北师大版九年级数学上(新)第四章图形的相似同步练习题
新北师大版九上第三章图形的相似同步练习题
一．选择题（共9小题）
1．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于
点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）
2•S△EFO=b2
•S△DGO．其中结论正确的个数是（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC
的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长
是（ ）A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
4．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（ ）
A． B． C．6 D．
5．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC
与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（ ）A． B． C．
D．
6．如图，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．4
7．如果两个相似三角形的面积比是1：2，那么它们的周长比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：1
北师大版九年级上数学《第四章图形的相似》专题练习（含答案）
图形的相似专题练习1．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，BC＝3，EF＝5，则△ABC与△DEF的面积比是()A．1∶9 B．1∶25C．9∶25 D．3∶52．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OB∶OB′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()图2A．4∶9 B．2∶5C．2∶3 D．2∶ 33．如果3A＝2B(AB≠0)，那么下列比例式中正确的是()A．ab＝32B．ba＝23C．a2＝b3D．a3＝b24．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥B C．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为()图4A．3 B．6C．9 D．125．在下面的图形中，相似的一组是(),A) ,B),C) ,D)图56．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(),A) ,B),C) ,D)图67．为测量某河的宽度，小在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于()图7A．120 m B．67.5 mC．40 m D．30 m8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(),A) ,B),C) ,D)图89．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥B C ．如果ADDB ＝32，AC ＝10，那么EC ＝________．图910．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_________米．图1011．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA ＝3OD ，OB ＝3OC )，然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若CD ＝3.2 cm ，则AB 的长为_________ cm.图1112．如图，已知矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，剪去正方形ABEF ，得到的矩形ECDF 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为__________．图1213．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A(－1，2)，B(－1，0)，A′(－2，4)，则B′的坐标为___________．图1314．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)．(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2∶1，并分别写出点A，B的对应点A1，B1的坐标；(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得△O2A2B2，并写出点A，B的对应点A2，B2的坐标；(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．图1415．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC ＝90°.(1)求证：△ADE∽△BEC；(2)若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．图1516．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.(1)求证：△ABF∽△BGC；(2)若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．图1617．如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F，H，求证：(1)DG2＝BG·CG；(2)BG·CG＝GF·GH.图1718．如图，一圆柱形油桶，高1.5 m，用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶内，至另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2 m，求桶内油面高度．图1819．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC，DE，两杆相距30米．测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H，B，F，D，G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度．图1920．如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：(1)如图2，将含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC＝120°)的底边中点O重合，两边DF，DE分别与边AB，BC 相交于点P，Q.写出图中的相似三角形__△APD∽△CDQ__(直接填在横线上)；(2)其他条件不变，将三角板DEF旋转至两边DF，DE分别与边AB的延长线、边BC相交于点P，Q.上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？请说明理由；(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．,图1),图2),图3)图20参考答案【过关训练】1．C2．A3．C4．B5．C6．A7．A8．D 9．__4__10．__10__11．_9.6__12．_1＋52__13．(－2，0)_14．解：(1)如答图，△OA1B1为所作，点A1，B1的坐标分别为(4，2)，(2，－4)；(2)如答图，△O2A2B2为所作，点A2，B2的坐标分别为(0，2)，(－1，－1)；(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形，如答图，点M为所，位似中心M的坐标为(－4，2)．15．[解：(1)证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°.∵∠DEC＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BE C．(2)∵△ADE∽△BEC，∴BEAD＝BCAE，即BE1＝32，∴BE＝3 2，∴AB＝AE＋BE＝7 2.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCG＝90°.∵BF⊥AE，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∠CBG＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，∴△ABF∽△GB C．(2)∵△ABF∽△BG C．∴ABBG＝AFBC.∵AB＝2，G是CD的中点，四边形ABCD是正方形，∴BC＝2，CG＝1，∴BG＝BC2＋CG2＝5，∴25＝AF2，解得AF＝45 5.17．证明：(1)∵BD⊥AC，DG⊥BC，∴∠BDC＝∠DGC＝90°，∴∠DBC＋∠DCG＝∠GDC＋∠DCG，∴∠GDC＝∠DBC，∴△BDG∽△DCG，∴BG∶DG＝DG∶CG，即DG2＝BG·CG.(2)同(1)中的方法，同理可证△BGH∽△FGC，∴BG∶GF＝GH∶CG，∴BG·CG＝GF·GH.18．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC＝ADAB，即AE1.5＝1.22，解得AE＝0.9 m，∴EC＝1.5－0.9＝0.6(m)，即油面高0.6 m. 19．解：设AH＝x，BH＝y，由题意知，△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，∴BFHF＝CBAH，DGHG＝DEAH，∴3x＝1.5×(y＋3)，5x＝1.5×(y＋30＋5)，解得x＝24.则旗杆AH的高度为24 m.20．__△APD∽△CDQ__解：(2)成立，如答图．理由如下：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BC A．∵∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ADP＋∠APD＝180°－30°＝150°.∵∠EDF＝30°，∴∠ADP＋∠CDQ＝150°，∴∠APD＝∠CDQ，∴△APD∽△CDQ. (3)△APD∽△DPQ.理由如下：∵△APD∽△CDQ，∴APCD＝DPDQ.∵点D为AC的中点，∴CD＝AD，∴APAD＝DPDQ，即APDP＝ADDQ.又∵∠P AD＝∠PDQ＝30°，∴△APD∽△DPQ.(4)△DEF满足∠EDF＝α，△ABC满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可．理由：∵∠ABC＝180°－2α，∴∠A＝∠C＝α.∵∠ADP＋∠APD＝180°－α，∠ADP＋∠QDC＝180°－α，∴∠APD＝∠CDQ.又∵∠A＝∠C，∴△APD∽△CDQ.。
北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似 含答案
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边之和为（）A.24cmB.21cmC.13cmD.9cm2、如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（）个．①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD•ABA.1B.2C.3D.43、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE的长为( )A.18B.C.D.4、如图，已知Rt△ABC中，AC=b，BC=a，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D 3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D 5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1， S2， S3，…Sn．则Sn为（）A. B. C. D.5、下列判断正确的是（）A.任意两个等腰直角三角形相似B.任意两个直角三角形相似C.任意两个等腰三角形相似D.菱形都相似6、《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（）A.150步B.200步C.250步D.300步7、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A.1B.2C.3D.48、如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F 是弦BC的中点，∠ABC=60°。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习及答案
*4.5相似三角形判定定理的证明同步练习1.会证明相似三角形判定定理；（重点）2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）一、情景导入相似三角形的判定方法有哪些？答：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似.怎样证明这些结论呢？二、合作探究探究点：相似三角形的判定定理【类型一】根据条件判定三角形相似如图所示，给出以下条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD＝ABBC；④AC2＝AD·AB.其中能单独判定△ABC∽△ACD的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：在图中已知两个三角形有一对公共角，只要再找一对角相等，或夹公共角的两组对应边成比例即可判定两个三角形相似.题中有三个条件可以单独判定△ABC∽△ACD，分别是①②④.①②是根据有两组角分别对应相等的两个三角形相似来判定的；④是根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定；③虽然两边对应成比例，但不能得到其夹角相等，所以不能判定两个三角形相似.故选C.方法总结：利用两边分别对应成比例且夹角相等的方法判定两个三角形相似时，一定要注意必须是对应成比例的两边的夹角相等，若不是夹角相等，则不能判定这两个三角形相似.【类型二】探索三角形相似的条件如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD .（1）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝10，请问在BD 上是否存在点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝12，请问在BD 上存在多少个点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（3）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝15，请问在BD 上存在多少个点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（4）若AB ＝m ，CD ＝n ，BD ＝l ，请问在m 、n 、l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个点P ？两个点P ？三个点P ？解：（1）设BP ＝x ，则DP ＝10－x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 10－x ，解得x ＝9013；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即910－x ＝x4，此时方程无解. 综上，存在这样的点P ，此时BP ＝9013；（2）设BP ＝x ，则DP ＝12－x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 12－x ，解得x ＝10813；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即912－x ＝x4，解得x ＝6. 综上所述，存在两个这样的点P ，此时BP ＝6或10813；（3）设BP ＝x ，则DP ＝15－x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 15－x ，解得x ＝13513；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即915－x ＝x4，解得x ＝3或12. 综上所述，存在三个这样的点，此时BP ＝13513，3或12；（4）设BP ＝x ，则DP ＝l －x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即m n ＝x l －x ，解得x ＝ml m ＋n ；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即m l －x ＝xn，得方程x 2－lx ＋mn ＝0，Δ＝l 2－4mn . 当Δ＝l 2－4mn ＜0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个点P ；当Δ＝l 2－4mn ＝0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的两个点P ；当Δ＝l 2－4mn ＞0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的三个点P .方法总结：由于相似情况不明确，因此要分两种情况讨论，注意要找准对应边.三、板书设计相似三角形判定定理的证明⎩⎪⎨⎪⎧判定定理1判定定理2判定定理3本课主要是证明相似三角形判定定理，以学生的自主探究为主，鼓励学生独立思考，多角度分析解决问题，总结常见的辅助线添加方法，使学生的推理能力和几何思维都获得提高，培养学生的探索精神和合作意识.4.5 相似三角形判定定理的证明【学习目标】1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法． 2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理． 【学习重点】掌握相似三角形的三个判定定理． 【学习难点】通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．情景导入 生成问题我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．自学互研 生成能力知识模块一 相似三角形判定定理的证明先阅读教材P 99－101的内容，然后完成下面的填空：如图，已知△ABC 和△A 1B 1C 1，∠A ＝∠A 1，AB A 1B 1＝ACA 1C 1，求证：△ABC ∽△A 1B 1C 1.证明的主要思路是，在边AD 上截取AD ＝A 1B 1，作DE ∥BC ，交AC 于E ，在△ABC 中构造△ADE ∽△ABC ，再通过比例式得AE ＝A 1C 1，证△A 1B 1C 1≌△ADE ，从而得到△A 1B 1C 1∽△ABC .1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P 99－100页．2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P 100－101页． 3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P 101－102页． 知识模块二 相似三角形判定定理的应用解答下列各题：1．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：①AB A′B′＝BC B′C′；②BC B′C′＝ACA′C′；③∠A ＝∠A ′；④∠C ＝∠C ′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试证明：△ABF ∽△EAD . 证明：∵矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，∴∠BAF ＝∠AED .∵BF ⊥AE ，∴∠AFB ＝90°.∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD .典例讲解：已知，如图，D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD ，连接DE .求证：△DBE ∽△ABC .分析：由已知条件∠ABD ＝∠CBE ，∠DBC 公用，所以∠DBE ＝∠ABC ，要证的△DBE 和△ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE ∽△ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．证明：在△CBE 和△ABD 中，∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD ，∴△CBE ∽△ABD ，∴BC AB ＝BE BD ，即：BC BE ＝AB BD.在△DBE 和△ABC 中，∠CBE ＝∠ABD ，∴∠CBE ＋∠DBC ＝∠ABD ＋∠DBC ，∴∠DBE ＝∠ABC 且BC BE ＝ABBD，∴△DBE ∽△ABC .对应练习：1．教材P 102页习题4.9的第1题．答：相似．证明：△ABC 为等边三角形．∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.又∵AE ＝BF ＝CD ，∴AD ＝FC ＝EB ，则△AED ≌△CDF ≌△BFE .∴ED ＝DF ＝EF .△EDF 为等边三角形．∴△DEF ∽△ABC .2.教材P 102页习题4.9的第3题． 证明：∵BE 为∠DBC 平分线，∴∠DBE ＝∠EBC .又∵AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ABE＝∠ABD ＋∠DBE ＝∠ABD ＋∠EBC ，∠AEB ＝∠EBC ＋∠C ，∴∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB .则AB AC ＝AD AB .∵AB ＝AE ，∴AE AC ＝ADAE，即AE 2＝AD ·AC .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 相似三角形判定定理的证明 知识模块二 相似三角形判定定理的应用检测反馈 达成目标1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E .求证：△ABD ∽△CBE . 证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE .2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，求证：△ABD ∽△CBA . 证明：∵AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，∴AB 2＝4，BD ·BC ＝1×(1＋3)＝4.∴AB 2＝BD ·BC .即AB BC ＝BDBA.而∠ABD ＝∠CBA .∴△ABD ∽△CBA . 3．教材P 102页习题4.9的第4题．解：设t 秒后△PBQ 与△ABC 相似，①△PBQ ∽△ABC ，则BP BA ＝BQBC ，即8－2t 8＝4t 16，解得t ＝2s .②当△PBQ ∽△CBA ，BP BC ＝BQBA ，即8－2t 16＝4t 8，解得t ＝0.8s .答：0.8s 或2s 时，△QBP与△ABC 相似．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末练习题含答案解析 (40)
一、选择题1.如图，△ABC中，D为边AB上一点，E是CD的中点，且∠ACD=∠ABE．已知AC=2，设AB=x，AD=y，则y与x满足的关系式为( )A．xy=4B．2xy−y2=4C．xy−y2=4D．x2+xy−2y2=42.如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法：① ∠EAF=45∘；②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形；③ △AMN∽△AFE；√2．④若BE=2，FD=3，则MN的长为52其中正确结论的个数是( )A．4B．3C．2D．13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F，若DF=6，则线段EF的长为( )A．2B．3C．4D．54.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，设S△ADE=a，S△BDF=b，S DECF=c，S△ABC=s．有如下对于a，b，c，s的描述：① a+b+c=s；② ab=c2；③ √a+√b=√s；④ 12abc2=s2．上述结论中正确的是( )A．①②③B．①③C．②③④D．①④6.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF 于点G，连接DG．给出以下结论：① DG=DF；②四边形EFDG是菱形；③ EG2=1 2GF×AF；④当AG=6，EG=2√5时，BE的长为125√5，其中正确的结论个数是( )A．1B．2C．3D．47.如图，菱形ABCD的对角线AC=3cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形ENCM的面积之比为( )A．9:4B．12:5C．3:1D．5:28.如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C，D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距( )米．A．1B．2C．3D．59.如图，△ABC中，∠A=78∘，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A．B．C．D．10.如图，在剧场中，坐在小明（AB）前面一排的女士（CD）戴着高帽子（DE=0.2m），此时小明的眼睛B，帽顶E以及舞台上方横梁的某点H在同一条直线上；女士发现帽子挡住了小明的视线，于是摘掉帽子，此时小明的眼睛B，女士头顶D以及舞台下方地面上某点F在同一条直线上．已知舞台的高FG=1m，A，C，F在同一条直线上，F，G，H在同一条直线上，AC= 1m，CF=15m，则舞台横梁到舞台的距离GH为( )A．3.2m B．3m C．2m D．2.2m二、填空题11.网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）．中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方．在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为．12.在△ABC中，AB=4√2，∠B=45∘，∠C=60∘．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△AʹDE．连接AAʹ，当AʹE⊥AC时，则线段AAʹ的长为．13.如图，在矩形ABCD中，AB=2，CB=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为．14.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为cm．15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，连接BE，那么BE的长为．16.如图，点A1、A2、A3、⋯，点B1、B2、B3、⋯，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥⋯，如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，⋯．那么A2B2=，A n B n=．（n为正整数）17.如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE 边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其它因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为cm．三、解答题18.阅读理解，并解决问题：小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得ab =cd成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若ab =cd，则a−bb=c−dd（分比性质）．已知① ac =bd；② ba=dc．问题解决：(1) 仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式；(2) 证明（1）中的分比性质等式成立．19.书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3，A4，A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．(1) 求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；(2) 如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB=2．①点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长；②若将长方形ABCD绕点B旋转得到长方形A1BC1D1，直线CC1交DD1于点M，N为BC的中点，直接写出MN的最大值：．20.如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.9 m，同一时刻这棵树落在地上的影长为2.7 m，落在墙上的影长为1.2 m，请你计算树高为多少．21.如图，工地上竖立着两根电线杆AB，CD，它们相距15m，分别从两杆上高出地面4m，6m的A，C处向两侧地面上的E，D和B，F处用钢丝绳拉紧，以固定电线杆．钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为多少米？22.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，DE⊥AB，点E在边BC，点F在边AC上，且∠DEF=∠B．(1) 求证△FCE∽△EBD；(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使S△FCE=4S△EBD，如果有可能，那么求出BD的长，如果不可能，请说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动．(1) 用含t的代数式表示：CP=，QC=；(2) 在运动过程中，P，Q，C三点是否能构成等腰三角形？若能，请求出点P的坐标；(3) 如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．24.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．(1) 求证：△AED∽△ADC；(2) 若AB=13，BC=10，求线段DE的长．25.我们把四个顶点都在三角形的三边上的矩形叫做三角形的内接矩形，四个顶点都在三角形的三边上的正方形叫做三角形的内接正方形．(1) 如图①，矩形DEFG，点D在边AB上，点E，F在边BC上，画出一个与矩形DEFG相似的内接矩形（画图工具不限，保留画图痕迹）；(2) 若一个△ABC中恰有两个内接正方形，则这个三角形一定是．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能(3) 如图②，在△ABC中，BC=4，BC边上的高AD=3，AD与△ABC的内接矩形EPQF的EF边相交于点G，以EF为斜边向下作Rt△HEF，使HE=HF，求△EFH与四边形EPQF重合部分的面积的最大值；(4) 若在一个面积为16的三角形内画出一个面积最大的内接正方形，则这个正方形的边长为，若又要使得三角形周长最小，则三角形三边长为．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】过C作CF∥EB交AB的延长线于F，由于E为CD中点，故BF=BD，∠F=∠ABE，而∠ACD=∠ABE，∴∠ACD=∠F，∴在△AFC和△ACD中，∠ACD=∠F，∠A=∠A，∴△AFC∽△ACD，∴ACAD =AFAC，∴AC2=AD⋅AF，又∵BE∥CF，DE=CE，∴DB=BF=x−y，∴22=y(2x−y)，∴2xy−y2=4．【知识点】两角分别相等2. 【答案】A【解析】①在Rt△ABE和Rt△AGE中，{AB=AG, AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴∠BAE=∠GAE，BE=EG，同理，∠GAF=∠DAF，GF=DF，∴∠EAF=12∠BAD=45∘，故①正确；②连将△ADN绕点A顺时针旋转90∘至△ABH位置，得到图②，连接HM，由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90∘，∵∠EAF=45∘，∴∠BAM+∠DAN=45∘，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45∘，∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，∴△AHM≌△ANM(SAS)，∴MN=MH∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠ABD=45∘由旋转知：∠ABH=∠ADB=45∘，HB=ND，∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90∘，∴MH2=HB2+BM2，∴MN2=ND2+BM2∵Rt△ABE≌Rt△AGE，∴∠BAM=∠GAM．在△ABM和△AGM中，{AB=AG,∠BAM=∠GAM, AM=AM,∴△ABM≌Rt△AGM(SAS)．∴MG=MB，同理NG=ND，∴MN2=NG2+MG2∴△MGN为直角三角形，故②正确；③ ∵∠AEB+∠BME+∠DBC=180∘，∠AEF+∠AFE+∠EAF=180∘∵∠DBC=∠EAF=45∘，∠AEB=∠AEF，∴∠AFE=∠BME，∴∠AFE=∠AMN，∵∠EAF=∠NAM，∴△AMN∽△AFE，故③正确；④ ∵BE=EG，GF=FD，BE=2，FD=3，∴EF=EG+FG=5，设正方形的边长为a，则EC=a−2，FC=a−3，∵EF2=EC2+FC2，∴52=(a−2)2+(a−3)2，解得a=6，∴AB=AD=6，∴BD=6√2，作AH⊥BD于H，则AH=3√2，∵△AMN∼△AFE，∴MNEF =AHAG，∵AG=AB=6，∴MN5=3√26，∴MN=52√2，故④正确．综上正确结论的个数是4个．【知识点】正方形的性质、两角分别相等3. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴AFBE =ADAE=DFAB，∵DF=6，∴AF=√102−62=8，∴8BE =10AE=63，∴AE=5，∴EF=AF−AE=8−5=3．【知识点】两角分别相等4. 【答案】C【解析】【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．【解析】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质．【知识点】相似三角形的性质5. 【答案】B【解析】作AP⊥DE于点P，DH⊥BF于点H．设AD:DE=1:k，AP=y，FC=x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴BD:AD=BF:FC，BF=kx，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∵AP⊥DE，DH⊥BF，∴△APD∽△DHB，∴DH=ky，S△ADE=a=12xy，S△BDF=b=12ky⋅kx=12k2xy，S四边形DECF=c=kx−y，S△ABC=s=12(kx+x)(ky+y)=12xy(k+1)2，故①正确；② ab=12xy⋅12k2xy=14k2x2y2，c2=k2x2y2≠ab，故②错误；③ √a+√b=√12xy+√12k2xy=√12xy(k+1)，√s=√12xy(k+1)2=√12xy(k+1)=√a+√b，故③正确；④ 12abc2=12⋅12xy⋅12k2xy−k2x2y2=18k4x4y4，s2=14x2y2(k+1)2≠12abc2，故④错误．【知识点】基本定理、两角分别相等6. 【答案】D【知识点】两角分别相等、菱形的判定7. 【答案】D【知识点】菱形的性质、两角分别相等8. 【答案】A【解析】设两个同学相距x米，∵△ADE∽△ACB，∴DEBC =ADAC，∴1.51.8=6−x6，解得：x=1．【知识点】相似三角形的应用9. 【答案】C【知识点】两角分别相等、两边成比例且夹角相等10. 【答案】D【解析】由题意知，AB，CE，FH都垂直于地面AF，∴DE∥FH，∴△BDE∽△BFH，∴DEFH =BDBF．∵AB∥CD，∴ACAF =BDBF，∴DEFH =ACAF．∵AC=1m，CF=15m，DE=0.2m，FG=1m，∴0.2FH =11+15，∴FH=3.2(m)，∴GH=FH−FG=3.2−1=2.2(m)．【知识点】相似三角形的应用二、填空题11. 【答案】1.95米【解析】如图，由题知：AB∥DE，∴ABDE =CBCD，解得：DE=1.95米．【知识点】相似三角形的应用12. 【答案】2√6【知识点】两角分别相等13. 【答案】1.5【知识点】两角分别相等14. 【答案】16【解析】∵△ABO∽△CDO∴ABCD =4520又∵AB=36∴CD=16．【知识点】相似三角形的应用15. 【答案】1【知识点】两角分别相等16. 【答案】6；n(n+1)【解析】设OA1=1，∴A1A2=2×1=2，A2A3=3×1=3，A3A4=4×1=4，⋯，A n−2A n−1=n−1，A n−1A n=n．∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥⋯，∴OA1OA2=A1B1A2B2，∴11+2=2×1A2B2，∴A2B2=6=2×(2+1)，A3B3=12=3×(3+1)，A4B4=20=4×(4+1)，⋯，∴A n B n=n(n+1)．【知识点】平行线分线段成比例定理17. 【答案】100【解析】∵AB⊥BD，AC⊥AB，∴AC∥BD．∴∠ACB=∠DBC．∵∠A=∠BCD=90∘，∴△ABC∽△CDB．∴ACBC =BCBD，∴BC2=AC⋅BD，在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=102+302=1000，∴10BD=1000．∴BD=100(cm)．【知识点】相似三角形的应用三、解答题18. 【答案】(1) ①若ac =bd，则a−cc=b−dd．②若ba =dc，则b−aa=d−cc．(2) ①若ac =bd，则a−cc=b−dd．理由：设ac =bd=k，则a=kc，b=kd，∴a−cc =kc−cc=k−1，b−dd=kd−dd=k−1，∴a−cc =b−dd．同理可证结论②成立．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算19. 【答案】(1) 设长方形的长与宽分别为a，b．由题意：ab =b a2，∴a2=2b2，∴ab=√2．(2) ①如图1中，延长PE，BC交于点G，∵∠PEB=90∘，∴PE⊥BE，∵BE⊥AC，BE⊥PE，∴PG∥AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，AD=BC=2√2，AD∥BG，∠ABC=90∘，∴四边形APGC是平行四边形，∴PG=AC=√AB2+BC2=√22+(2√2)2=2√3，∵AD∥BC，∴∠APB=∠GBP，∵∠APB=∠GPB，∴∠GBP=∠GPB，∴GP=GB=2√3，∴AP=CG=BG=BC=2√3−2√2．② √3+1．【解析】(2) ②如图2中，连接BM，取BD的中点O，连接OM，ON，延长CC1到K，使得C1K=CC1在MK的延长线上取一点J，使得D1J=D1K，连接BD1．∵BC=BC1，∴∠BCC1=∠BC1C，∵∠BC1D1=∠BCD=90∘，∴∠D1C1K+∠BC1C=90∘，∠BCC1+∠DCC1=90∘，∴∠D1C2K=∠DCC1，∵CD=C1D1，CC1=C1K，∴△DCC1≌△D1C1K(SAS)，∴DC1=KD1=JD1，∠CC1D=∠C1KD1，∵∠JKD1+∠C1KD1=180∘，∠CC1D+∠DC1M=180∘，∴∠DC1M=∠D1KJ，∵D1J=D1K，∴∠J=∠D1KJ，∴∠J=∠DC1M，∵∠D1MJ=∠DMC1，∴△D1MJ≌△DMC1(AAS)，∴D1M=DMʹ，∵BD=BD1，∴BM⊥DD1，取BD的中点O，连接OM，ON，∵∠BMD=90∘，BD=√3，∴OM=12∵BO=OD，BN=CN，CD=1，∴ON=12∵MN≤OM+ON，∴MN≤√3+1．∴MN的最大值为√3+1．【知识点】矩形的判定、勾股定理、旋转及其性质、平行四边形的概念、角角边、边角边、比例的性质与比例线段的概念及运算20. 【答案】根据题意画出示意图（如图），延长AD，BE相交于点C．由题意，得△PQR∽△DEC，∴PQDE =QREC，即11.2=0.9CE，∴CE=1.08(m)，∴BC=BE+CE=2.7+1.08=3.78(m)，又∵△PQR∽△ABC，∴PQAB =QRBC，即1AB=0.93.78，∴AB=4.2(m)，即树高为4.2 m．【知识点】相似三角形的应用21. 【答案】过点P作PQ⊥BD于点Q，易得△PQD∽△ABD，△PBQ∽△CBD，可以得到PQAB =DQBD，PQCD=BQBD，则PQAB +PQCD=1，求得PQ=2.4（m）．【知识点】相似三角形的应用22. 【答案】(1) ∵AB=AC=5，DE⊥AB，∴∠B=∠C，∠BDE=90∘，∵∠B=∠DEF，∴∠B+∠BDE=∠DEF+∠FEC，∴∠BDE=∠FEC=90∘，∵在△FCE和△EBD中，∠B=∠C，∠BDE=∠FEC，∴△FCE∽△EBD．(2) 作AG⊥BC，∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC，∴BG=3，∵S△FCE=4S△EBD，∴S△EBDS△FCE =14，∵△FCE∽△EBD，∴BDCE =12，∵在△BDE和△BGA中，∠B=∠B，∠BDE=∠BGA，∴△BDE∽△BGA，∴BDBG =BEBA，设BD=x，CE=2x，x 3=6−2x5，x=1811，∴BD=1811，CE=2×BD=2×1811=3611，∵△ECF∽△GCA，∴CF3611=53，CF=6011>5，∴不可能在线段AB上存在D点，使S△FCE=4S△EBD．【知识点】面积比等于相似比的平方、两角分别相等23. 【答案】(1) 2t；10−4t(2) 设运动的时间为t秒，当CQ=CP时，2t=10−4t，解得，t=53，此时CP=2×53=103，∴AP=8−103=143，P点坐标为(143,6)；当PC=PQ时，如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10−4t，CP=2t．∵△CEQ ∽△CAO ，∴EQ =35CQ =35(10−4t )=6−125t ，PE =45(10−4t )−2t =8−165t −2t =8−265t ，由勾股定理得，(6−125t)2+(8−265t)2=(2t )2，整理得：36t 2−140t +125=0，解得，t 1=2518，t 2=52（舍去）， 此时，AP =8×2518×2=479，∴P 点坐标为 (479,6)；当 QC =PQ 时，如图②，过点 Q 作 AC 的垂线交 AC 于点 F ， CQ =10−4t ，CP =2t ， ∵△CFQ ∽△CAO ， ∴QF =35(10−4t )=6−125t ，PF =2t −45(10−4t )=265t −8，则 (6−125t)2+(265t −8)2=(10−4t )2，整理得，21t 2−40t =0，解得，t 1=4021，t 2=0（舍去）， 此时，AP =8−4021×2=8821，则 P 点坐标为 (8821,6)．综上所述，P 点坐标为 (143,6)，(479,6)，(8821,6)． (3) 如图③，连接 EG ， 由题意得：△AOE ≌△AFE ， ∴∠EFG =∠OBC =90∘， ∵E 是 OB 的中点， ∴EG =EG ，EF =EB =4， 在 Rt △EFG 和 Rt △EBG 中， {EF =EB,EG =EG,∴Rt △EFG ≌Rt △EBG (HL )，∴∠FEG =∠BEG ，∠AOB =∠AEG =90∘， ∴△AOE ∽△AEG ，∴AE 2=AO ⋅AG ，即 36+16=6×AG ，解得，AG =263，由勾股定理得，CG =√AG 2−AC 2=103，∴BG=6−103=83，G的坐标为(8,83)．【解析】(1) 由Rt△AOC中，根据勾股定理得，OC=10，由运动知CP=2t，OQ=4t，∴QC=10−4t．【知识点】两角分别相等、勾股定理、平面直角坐标系及点的坐标、斜边、直角边24. 【答案】(1) ∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠AED=∠ADC=90∘，∴△AED∽△ADC．(2) ∵AD为BC边上的中线，∴BD=DC=12BC=5，∵在Rt△ADB中，∴AD=√AB2−DB2=12，由（1）得△AED∽△ADC，∴DEDC =ADAC，∴DE5=1213，∴DE=6013．【知识点】两角分别相等、等腰三角形的性质、勾股定理、对应边成比例25. 【答案】(1) 如图①中，矩形EʹFʹGʹDʹ即为所求．(2) B(3) ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC =AGAD，∴x4=AG3，∴AG=34x，①如图②中，当点G在矩形EPQF的内部或边上时，过点H作HT⊥EF于T．∵△EFH是等腰直角三角形，∴HT=12x，∴y=12⋅EF⋅HT=14x2，∵HT≤DG，∴12x≤3−34x，∴0<x≤125，由增减性可知，当x=125时，y最大值=14×(125)2=3625．②如图③中，当点H在矩形外部时，125<x<4．过点H作HT⊥EF于T，交MN于K．∵EF∥BC，∴∠KTG=∠TKD=∠GDK=90∘，∴四边形TKGD是矩形，∴TK=DG=3−34x，∵EF∥BC，∴△HMN∽△HEF，∴HMHE =HNHF，∵△HMN是等腰直角三角形，∴S△HMN=12⋅MN⋅HK=(54x−3)2，∴y=14x2−(2516x2−152x+9)=−2116x2+152x−9=−2116(x−207)2+127，∵−2116<0，∴当x=207时，y最大值=127．综上所述，x=207时，y最大值=127．(4) 2√2；4√2，2√10，2√10【解析】(2) 由题意，锐角三角形有三个内接正方形，直角三角形有两个内接正方形，钝角三角形有一个内接正方形，故选B．(4) 如图④中，正方形EFGH是△ABC的内接正方形，AD是△ABC的高，AD交EH于K，设BC=a，AD=ℎ，正方形的边长为x．由题意：12⋅BC⋅AD=16，∴aℎ=32，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴EHBC =AKAD，∴xa =ℎ−xℎ，整理得x=32a+ℎ，∵a+ℎ≥2√aℎ，∴a+ℎ≥8√2，∴当a=ℎ=4√2时，a+ℎ的最小值为8√2，可得x的最大值=8√2=2√2，∴BC=AD=4√2，设BD=m，则AB+AC=√m2+(4√2)2+√(4√2−m)2+(4√2)2，要使得△ABC的周长最小，只要AB+AC最小即可，欲求AB+AC=√m2+(4√2)2+√(4√2−m)2+(4√2)2的最小值，相当于在x轴上找一点M(m,0)，使得M(m,0)到P(0,4√2)，Q(4√2,4√2)的距离和最小，如图⑤中，作点Q关于x轴的对称点T，连接QT交x轴于M，连接MP，此时MP+MQ的值最小，∴T(0,−4√2)，Q(4√2,4√2)，∴M(2√2,0)，∴m=2√2时，AB+BC的值最小，此时BD=CD=2√2，AB=AC=√BD2+AD2=√(2√2)2+(4√2)2=2√10，∴满足条件的△ABC的边长为4√2，2√10，2√10．【知识点】勾股定理、相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质、相似图形的定义、轴对称之最短路径。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.3 相似多边形 同步测试题(无答案)
4.3 多边形相似同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 下列各组图形中一定相似的图形是（）A.底角对应相等的两个等腰梯形B.有一个角为的两个菱形C.两邻边之比相等的两个平行四边形D.两个矩形2. 如果两个相似多边形的面积比为，那么这两个相似多边形的相似比为（）A. B. C. D.3. 下列各组图形中相似的图形是（）A.对应边成比例的多边形B.四个角都对应相等的两个梯形C.有一个角相等的两个菱形D.各边对应成比例的两个平行四边形4. 下列两个图形一定相似的是（）A.两个菱形B.两个矩形C.两个正方形D.两个等腰梯形5. 已知两个相似五边形的一组对应边分别是和，如果它们的面积之差是，则较大的五边形的面积是（）A. B. C. D.6. 下列说法正确的是（）A.对应边都成正比例的多边形相似B.对应角都相等的多边形相似C.等边三角形都相似D.矩形都相似7. 如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（）D.A. B. C.8. 下列说法中，错误的是（）A.所有的等边三角形都相似B.和同一图形相似的两图形相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的矩形都相似9. 下列各组图形不一定相似的是（）A.两个等边三角形B.各有一个角是的两个等腰三角形C.两个正方形D.各有一个角是的两个等腰三角形10. 如图，矩形中，，，若矩形与矩形相似，则矩形的面积是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 如图，在矩形中，、分别是、的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则________．12. 已知一个矩形的长和宽分别为和，另一个矩形的一组邻边的长为和，若这两个矩形是相似的，则的值为________．13. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的变成了，这次复印的放缩比例是________．14. 如图所示，，分别为平行四边形的边，中点，且，则等于________．15. 下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是________．16. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于________．17. 若两个相似多边形的对应边的比是，则这两个多边形的周长比是________．18. 如图，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与截去的矩形相似，则所截取的线段的长度可以是________．三、解答题（本题共计8 小题，共计66分，）19. 如图，在矩形中，点、分别是、上一点，若矩形与矩形相似，且，，求的长．20. 小林在一块长为米，宽为米，一边靠墙的矩形小花园周围栽种了一种花做装饰，这种花所占的边框宽为厘米，请问边框内外缘所围成的两个矩形相似吗？21. 已知四边形与四边形相似，如图所示，求、的长和的大小．22. 将一张矩形纸片，以它的一条宽为边长剪去一个正方形，将剩下的矩形再以一条宽为边长剪去一个正方形，若第二次剪裁后所留下的矩形与原来的矩形相似，则矩形的宽与长的比值是多少？23. 如图，矩形的花坛宽米，长米．现计划在该花坛四周修筑小路，使小路四周所围成的矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽相等，试问小路的宽与的比值是多少，说出你的理由．24. （1）观察下面两组图形，图中的两个图形相似吗？为什么？图中的两个图形呢？与同伴交流．24.（2）如果两个多边形不相似，那么它们的对应角可能都相等吗？对应边可能都成比例吗？25. 如图是一个由个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．26. 学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．。
北师大版九年级数学上册第4章《图形的相似》单元练习题(含答案)
北师大版九年级数学上册第4章《图形的相似》单元练习题（含答案）一、单选题1．在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR2．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC ，②△ADE ，③△AEF ，④△AFH ，⑤△AHG ，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）A ．②④B ．②⑤C ．③④D ．④⑤ 3．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b 为2米，则a 约为（ ）A ．1．24米B ．1．38米C ．1．42米D ．1．62米 4．如图，123l l l ∥∥，若23=AB BC ，15DF =，则EF =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．95．如图，点O 是四边形ABCD 内一点，A '、B '、C '、D 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且::::2:1OA A A OB B B OC CC OD D D '''''''====，若四边形A B C D ''''的面积为12cm 2，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．18cm 2B ．27cm 2C ．36cm 2D ．54cm 26．已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：17．如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm8．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是（ ）A ．∠AED =∠BB ．AD AE AC AB = C ．AD ·BC = DE ·ACD ．DE //BC 10．已知23a b =，那么下列等式中成立的是（ ） A ．23a b = B ．1314a b +=+ C ．53a b b += D ．13a b b -=． 11．如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 12．如图，ABC 中，点D 是边BC 上一点，下列条件中，不能判定ABC 与ABD △相似的是（ ）A ．2AB BD BC =⋅B ．BDA BAC ∠=∠ C ．ADC C B ∠=∠+∠D ．AD BC AB AC ⋅=⋅二、填空题13．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为______米．14．为了测量河宽AB ，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD ∥AB ，并使点B ，D ，O 和点A ，C ，O 分别在同一条直线上，量得CD ＝10米，OC ＝15米，OA ＝45米，则河宽AB ＝______米．15．如图，△ABC 与△A B C '''是位似图形，点O 是位似中心，若3OA AA '=，9ABC S =，则A B C S '''=________．16．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，2AO =，4=AD ，6OC =，8BC =，如果DAO CBO ∠=∠，那么ABCD ∶的值是___________．17．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，4），点B 的坐标为（7，0），D ，E 分别是线段AO ，AB 上的点，以DE 所在直线为对称轴，把△ADE 作轴对称变换得△A′DE ，点A′恰好在x 轴上，若△OA′D 与△OAB 相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）18．如图所示，在ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．（1）如图1，四边形DEFG 为ABC 的内接正方形，则正方形DEFG 的边长为_________；（2）如图2，若ABC 内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC ，则正方形的边长为_________．三、解答题19．如图，DA ⊥AB 于A ，EB ⊥AB 于B ，C 是AB 上的动点，若∠DCE =90°．求证：△ACD ∽△BEC20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC 于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求EF DF的值．21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．22．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足438324a b c+++==，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．23．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．24．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）求证：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．25．如图，小明同学为了测量路灯OP 的高度，先将长2m 的竹竿竖直立在水平地面上的B 处，测得竹竿的影长3m BE =，然后将竹竿向远离路灯的方向移动5m 到D 处，即5m BD =，测得竹竿的影长5m DF =（AB 、CD 为竹竿）．求路灯OP 的高度．26．如图，在ABC 中，90B ，12cm AB =，24cm BC =，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B 以2cm s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4cm s 的速度移动（不与点C 重合）．若P 、Q 两点同时移动()s t ．(1)当移动几秒时，BPQ 的面积为232cm ．(2)设四边形APQC 的面积为()2cm S ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为2108cm ？(3)当移动几秒时，BPQ与ABC相似？27．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；EF ，BD＝6．求AD的长．（2）若CE＝5，25参考答案1．A2．A3．A4．D5．B6．C7．B8．D9．C10．C11．D12．D 13．(51)##1514．3015．1616．2317．2.0或3.318．6037602512n+19．证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC．20．解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝3在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝3∴BD＝BC－CD＝43∵DE∥CA，∴DECA23 BDBC==，∴DE＝4；（2）解：如图．∵点M 是线段AD 的中点，∴DM ＝AM ，∵DE ∥CA ， ∴DF AG ＝DM AM ． ∴DF ＝AG ．∵DE ∥CA ，∴EF AG ＝BF BG ，BF BG ＝BD BC ． ∴EF AG ＝BD BC ． ∵BD ＝43， BC ＝63， DF ＝AG ， ∴23EF DF =．21．解：∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ，∴△DEF ∽△DCB ， ∴BC DC EF DE=， ∵DF ＝0.5 m ，EF ＝0.3 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝10 m ，由勾股定理得DE 22DF EF -0.4 m ，∴100.30.4BC =， ∴BC ＝7.5m ，∴AB ＝AC +BC ＝1.5+7.5＝9（m ），答：树高AB 是9m ．22．解：令438324a b c +++===k ， ∴a +4=3k ，b +3=2k ，c +8=4k ，∴a =3k ﹣4，b =2k ﹣3，c =4k ﹣8，又∵a +b +c =12，∴（3k ﹣4）+（2k ﹣3）+（4k ﹣8）=12，∴k =3，∴a =5，b =3，c =4，∵32+42=52，∴△ABC 是直角三角形．23．解：延长OD ，∵DO ⊥BF ，∴∠DOE=90°，∵OD=1m ，OE=1m ，∴∠DEB=45°，∵AB ⊥BF ，∴∠BAE=45°，∴AB=BE ，设AB=EB=x m ，∵AB ⊥BF ，CO ⊥BF ，∴AB ∥CO ，∴△ABF ∽△COF ， ∴ABCOBF OF =，1.51(51)5x x +∴=+-，解得：x=4．经检验：x=4是原方程的解．答：围墙AB 的高度是4m ．24．（1）∵∠BAC=∠AE ，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE ，∴∠EAC=∠DAB ，在△CAE 与△BAD 中，AB AC EAC DAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAE ≌△BAD （SAS ）；（2）由（1）得△CAE ≌△BAD ，∴∠ACE=∠ABD ，CE=BD ，∵M 、N 分别是BD ，CE 的中点，∴CN=BM ，在△CAN 与△BAM 中，AC AB ACE ABD CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAN ≌△BAM （SAS ），∴AN=AM ，∠CAN=∠BAM ，∴∠CAN+∠BAN=∠BAM+∠BAN ，即∠CAB=∠NAM ，∵AC=AB ，AN=AM ， ∴AN AM AC AB=， ∴△AMN ∽△ABC ；（3）取AC 的中点F ，连接FN ，过点点N 作NG ⊥AC 于点G ，∵点N 是CE 的中点，∴NF ∥AE ，NF=12AE=2，∴∠GFN=∠EAC=60°，∴∠FNG=30°，∴FG=12FN=1，∴AG=1+3=4，2221-3在Rt △ANG 中，根据勾股定理可知：1925．解：由已知得，2AB CD ==m ，3BE =m ，5BD =m ，5DF =m ， 90POE ABE CDF ∠=∠=∠=︒，AEB PEO ∠=∠，CFD PFO ∠=∠，∴在EAB ∆和EPO ∆中，AEB PEO ABE POE∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴EAB ∆∽EPO ∆ ∴AB OP BE OE =，即233OP OB =+， ∴263OB OP +=，在FCD ∆和FPO ∆中CFD PFO CDF POF ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴FCD ∆∽FPO ∆， ∴CD OP DF OF =，即2510OP OB =+， ∴2205OB OP +=，∴263OB OP +=，2205OB OP +=，∴7.5OB =，7OP =，即路灯OP 的高度为7m ．26．（1）求出运动时间为t 秒时PB 、BQ 的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ 的面积为32cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）用△ABC 的面积减去△BPQ 的面积即可得出S ，令其等于108即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）分两种情况：①当△BPQ ∽△BAC 时，②当△BPQ ∽△BCA 时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．（1）解：运动时间为t 秒时（0≤t ＜6），PB ＝12−2t ，BQ ＝4t ，由题意得：S △BPQ ＝12PB ·BQ ＝12（12−2t ）·4t ＝2244t t -＝32， 解得：t 1＝2，t 2＝4，答：当移动2秒或4秒时，△BPQ 的面积为32cm 2；（2） 由题意得：()2212444241441082ABC BPQ S S S AB BC t t t t =-=⋅--=-+=△△， 解得：t ＝3，答：当移动3秒时，四边形APQC 的面积为108cm 2；（3）分两种情况：①当△BPQ ∽△BAC 时， 则BP BQ BA BC=，即12241224t t -=， 解得：3t =，②当△BPQ ∽△BCA 时， 则BP BQ BC BA=，即12242412t t -=， 解得：65t =， 综上，当移动3秒或65秒时，BPQ 与ABC 相似． 27．解：由题意可得：△DEF ∽△DCA ， 则DE EF DC AC=， ∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5m ，DC ＝20m ， ∴0.50.2520AC=， 解得：AC ＝10，故AB ＝AC+BC ＝10+1.5＝11.5（m ）．答：旗杆的高度为11．5m ．28．（1）证明：90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒， CD 为AB 边上的高，90A ACD ∴∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠， BE 是ABC ∠的平分线，ABE CBE ∴∠=∠，AEB CFB ∴∆∆∽．（2）解：如图，作CH EF ⊥于H ．∵∠BFD +∠ABE =90°，∠CEB +∠CBE =90°，∠ABE =∠CBE ， ∴∠BFD =∠CEB ，∵∠BFD =∠CFE ，CEF CFE ∴∠=∠，CEF ∴为等腰三角形，CE CF ∴=，CH EF ⊥，∴点H 为EF 的中点，5EH FH ∴==，22225(5)25CH EC EH ∴--=,90BFD CFH CHF BDF ∠=∠∠=∠=︒，BFD CFH ∴∆∆∽， ∴DF BD HF CH =， ∴5253DF ∴=，8CD CF DF =+=，90ADC CDB ∠==︒，,ECH FCH FBD CBF ∠=∠∠=∠，根据BFD CFH ∆∆∽，即FCH FBD ∠=∠，ACD CBD∴∆∆∽，∴AD CD CD BD=，∴8 86 AD=，323 AD∴=．。
北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似 含答案
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果把三角形的三边按一定的比例扩大，则下列说法正确的是（）A.三角形的形状不变，三边的比变大B.三角形的形状变，三边的比变大 C.三角形的形状变，三边的比不变 D.三角形的形状不变，三边的比不变2、如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：，，）A.6.29B.4.71C.4D.5.333、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（）A.（6，4）B.（6，2）C.（4，4）D.（8，4）4、如图，点E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点，连接DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.5、如图，在△中，D,E两点分别在边, 上，∥.若，则为（）A. B. C. D.6、如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）A.（2，5）B.（2.5，5）C.（3，5）D.（3，6）7、如图，为了估计某一条河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS 垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS = 60m，ST =120m，QR=80m，则这条河的宽度PQ为（）A.40mB.120mC.60mD.180m8、如图所示，在△ABC中∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于E 点，则下列结论正确的是( )A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC9、如图，直线，若，，，则的长为（）A. B. C. D.10、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④．其中单独能够判定△ABC △ACD的有（）A.①②③④B.①②③C.①②④D.①②．11、如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，添加下列条件仍不能判断△ADE与△ABC相似的是( )A.DE∥BCB.∠ADE=∠ACBC.D.12、如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.（4，0）B.（6，2）C.（6，3）D.（4，5）13、如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH长为（）A.1B.1.2C.2D.2.514、把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值（）A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍D.不能确定15、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的动点（不与点B，C，D重合），且∠EAF=45°，AE、AF与对角线BD分别相交于点G、H,连接EH、EF,则下列结论：①△ABH∽△GAH; ②△ABG∽△HEG; ③ AE= AH; ④ EH⊥AF;⑤ EF=BE+DF其中正确的有（）个。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》第1课时成比例线段典型题同步练习题及答案 (1)
成比例线段同步练习（典型题汇总）知识点 1 线段的比1．下列说法中正确的有( )①两条线段的比是两条线段的长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比；③两条线段的比值是一个数量，不带单位；④两条线段的比有顺序，ab与ba不同，它们互为倒数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB之比为( )A．3∶4 B．2∶3C．3∶5 D．1∶2知识点 2 成比例线段3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A．1，2，3，4 B．1，2，2，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，34．教材随堂练习第3题变式题若线段a，b，c，d成比例，其中a＝3 cm，b＝6 cm，c ＝2 cm，则d＝__________．知识点 3 比例的基本性质5．已知x2＝y3，那么下列式子中一定成立的是( )A．2x＝3y B．3x＝2yC．x＝2y D．xy＝66．若3a＝5b，则ab＝________．7．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C．2∶3 D．1∶38．如果a＋2bb＝52，那么ab的值是( )A.12 B．2 C.15 D．59．如图4－1－1所示，已知矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm.(1)求A′B′AB和B′C′BC的值；(2)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？图4－1－110．教材习题4.1第2题变式题如图4－1－2，已知ADDB＝AEEC，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，求AC的长．图4－1－211．已知三条线段的长度分别是4，8，5，试写出另一条线段的长度，使这四条线段为成比例线段．答案：1．D.2．A .3．B 4.4 cm 5.B 6.537.C8．A9．解：(1)∵AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm，∴A′B′AB＝48＝12，B′C′BC＝612＝12.(2)由(1)知A′B′AB＝12，B′C′BC＝12，∴A′B′AB＝B′C′BC，∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．10．解：∵ADDB＝AEEC，∴6.44.8＝AE4.2，解得AE＝5.6(cm)，则AC＝AE＋EC＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．11．解：设所求的线段长度为x.当x∶4＝8∶5时，可求得x＝325；当x∶4＝5∶8时，可求得x＝208＝52；当4∶8＝5∶x时，可求得x＝404＝10.所以所求的线段长度可能为325或52或10.成比例线段同步练习（典型题汇总）一、选择题1.若34yx =，则x yx +的值为（ ）A ．1B ．47C ．54D ．74答案：D解析：解答：∵34yx =， ∴43744x yx ++==．故选D ．分析：根据合分比性质求解．2.已知250x y y =≠（），则下列比例式成立的是（）A ． 25x y＝B ． 52x y＝C ．25x y ＝D ．52x y ＝答案：B解析：解答：∵250x y y =≠（）， ∴ 52x y＝故选B ．分析：本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．3.若250y x -=，则x y ：等于（ ）A ．2：5B ．4：25C ．5：2D ．25：4答案：A解析：解答：∵250y x -=，∴25y x =，∴25x y =：：．故选A ．分析：根据两內项之积等于两外项之积整理即可得解．4.已知32x y =，那么下列等式一定成立的是（ ）A ．x ＝2，y ＝3B ．32x y =C ．23x y =D ．320x y +=答案：A解析：解答：A 、x ＝2，y ＝3时，32x y =，故A 正确；C 、当y ＝0时，23xy =无意义，故C 错误；故选：A ．分析：根据比例的性质，代数式求值，可得答案．5.已知52ab =，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）A ．25a b =B ． 52ab=C ．7a b +=D ．72a b b +=答案：C解析：解答：由比例的性质，得A 、25a b =，故A 正确；B 、25a b =，得 52ab=，故B 正确；C 、a b +有无数个值，故C 错误；D 、由合比性质，得72a bb +=，故D 正确；故选：C ．分析：根据比例的性质，可判断A 、B ；根据合比性质，可判断D ．6.若34a b =，则ab ＝（ ）A ．34B ．43C ．32D ．23答案：B解析：解答：两边都除以3b ，得43a b =，故选：B ．分析：根据等式的性质，可得答案．7.若非零实数x ，y 满足43y x =，则x y ：等于（）A ．3：4B ．4：3C ．2：3D ．3：2答案：B解析：解答：∵43y x =，∴43x y =：：， 故选：B ．分析：根据比例的性质，即可解答．8.不为0的四个实数a 、b ，c 、d 满足ab cd =，改写成比例式错误的是（ ）A ．a dc b =B ．cba d =C ．d ba c =D ．acb d =答案：D解析：解答：A 、adab cd c b =⇒=，故A 正确；B 、cba d =ab cd ⇒=，故B 正确；C 、dba c = ab cd ⇒=，故C 正确；D 、acb d =ad bc ⇒=，故D 错误；故选：D ．分析：根据比例的性质，可得答案．9.已知32x y ＝，那么下列等式中，不一定正确的是（）A ．5x y +=B ．23x y =C ．52x y y +＝D ．35xx y +＝答案：A解析：解答：∵32xy ＝，∴设3x k =，2y k =，A 、5x y k +=，k 不一定等于1，则5x y +=不一定正确，故本选项符合题意；B 、236x y k ==，一定成立，故本选项不符合题意；C 、5522x y ky k +==，一定成立，故本选项不符合题意；D 、3355xkx y k ==+，一定成立，故本选项不符合题意．故选A ．分析：根据比例的性质，设x ＝3k ，y ＝2k ，然后对各选项分析判断利用排除法求解．10.如果a ＝3，b ＝2，且b 是a 和c 的比例中项，那么c ＝（ ）A ．23±B ．23C ．43D ．43±答案：C解析：解答：根据题意，可知a b b c =：：，2b ac =，当a ＝3，b ＝2时223c =，34c =，43c =． 故选：C ．分析：比例中项，也叫“等比中项”，即如果a 、b 、c 三个量成连比例，即a b b c =：：，则b 叫做a 和c 的比例中项．据此代数计算得解．11.在比例尺为1：2000的地图上测得A 、B 两地间的图上距离为5cm ，则A 、B 两地间的实际距离为（ ）A ．10mB ．25mC ．100mD ．10000m答案：C解析：解答：设A 、B 两地间的实际距离为xm ， 根据题意得152000x 100=g ，解得x＝100．所以A、B两地间的实际距离为100m．故选C．分析：设A、B两地间的实际距离为x m，根据比例线段得152000x100g，然后解方程即可．12.在一张比例尺为1：5000000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为（）A．3.5千米B．35千米C．350千米D．3500千米答案：C解析：解答：设甲、乙两地的实际距离为x mm，1：5000000＝70：x，解得x＝350000000．350000000mm＝350千米即甲乙两地的实际距离为350千米．故选C．分析：根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲、乙两地的实际距离．要注意统一单位．13.下列各组中得四条线段成比例的是（）A．4cm、2cm、1cm、3cmB．1cm、2cm、3cm、5cmC．3cm、4cm、5cm、6cmD．1cm、2cm、2cm、4cm答案：D解析：解答：A、从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于1×4＝2×2，所以成比例，符合题意．故选D．分析：四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．14.在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是（）米2．A．4 10m abB．42 10m abC．410abmD．24 10 abm答案：D解析：解答：设该园区的实际面积是2xcm，∵地图上长a 厘米，宽b 厘米的矩形工业园区的面积为：ab 平方厘米，根据题意得： 21abx m =（），∴2x abm =，2abm 平方厘米＝2410abm 平方米．故选D ．分析：首先设该园区的实际面积是2xcm ，然后由比例尺的定义列方程：21abxm =（），解此方程即可求得答案．15.已知线段a ＝2，b ＝4，线段c 为a ，b 的比例中项，则c 为（ ）A ．3B ．±C ．D答案：C解析：解答：∵线段c 为a ，b 的比例中项，∴2c ab =，∵线段a ＝2，b ＝4，∴28c =，∴c ＝故选C ．分析：根据比例中项的定义列方程求解即可．二、填空题16.如果0acek b d f b d f ===++≠（），且3a c e b d f ++=++（），那么k ＝______．答案：3解析：解答：由等比性质，得3 aa c ek b b d f ++===++，故答案为：3．分析：根据等比性质，可得答案．17.已知0456c b a≠＝＝，则b ca +的值为______． 答案：32解析：解答：由比例的性质，得23c a =，56b a =．52936362a ab c a a ++===． 故答案为：32．分析：根据比例的性质，可用a 表示b 、c ，根据分式的性质，可得答案．18.已知52x y =：：，那么x y y +=（）：______．答案：7:2解析：解答：由合比性质，得72x y y +=（）：：， 故答案为：7：2．分析：根据合比性质，可得答案．19.已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是______厘米．答案：4解析：解答：∵线段b 是a 、c 的比例中项，∴216b ac ==，解得b ＝±4，又∵线段是正数，∴b ＝4．故答案为4．分析：根据线段比例中项的概念，可得a b b c =：：，可得216b ac ==，故b 的值可求． 20.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m ．在图纸上，这条边的长为5cm ，其他两条边的长都为4cm ，则其他两边的实际长度都是______m ．答案：20解析：解答：设其他两边的实际长度分别为xm 、ym ， 由题意得，25445x y ==， 解得x ＝y ＝20．即其他两边的实际长度都是20m ．分析：设其他两边的实际长度分别为x m 、y m ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．三、解答题21.若0235a b c abc ==≠（），求a b c a b c++-+的值． 答案：解答：设235a b c k ===， 则2a k =，3b k =，5c k =， 所以23510523542a b c k k k k a b c k k k k ++++===-+-+． 解析：分析：先设235a b c k ===，可得2a k =，3b k =，5c k =，再把a 、b 、c 的值都代入所求式子计算即可．22.已知：643xy z ＝＝（x 、y 、z 均不为零），求332x y y z+-的值． 答案：解答：设643xy z k =＝＝，则6x k =，4y k =，3z k = ∴36341833234236x y k k k y z k k k++⨯===-⨯-⨯． 解析：分析：先设643x y z k =＝＝（k ≠0），然后用k 表示x 、y 、z ；最后将x 、y 、z 代入332x y y z+-消去k ，从而求解．23.已知线段a 、b 、c 满足::3:2:6a b c =，且226a b c ++=．（1）求a 、b 、c 的值； 6a =|4b =|12c =（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．答案：解答：（1）∵::3:2:6a b c =，∴设3a k =，2b k =，6c k =，又∵226a b c ++=，∴322626k k k +⨯+=，解得2k =，∴6a =，4b =，12c =；（2）∵x 是a 、b 的比例中项，∴2x ab =，∴246x =⨯，∴x =x =-（舍去），即x 的值为．解析：分析：（1）利用::3:2:6a b c =，可设3a k =，2b k =，6c k =，则322626k k k +⨯+=，然后解出k 的值即可得到a 、b 、c 的值；（2）根据比例中项的定义得到2x ab =，即246x =⨯，然后根据算术平方根的定义求解．24.在比例尺为1：10000的地图上，有甲、乙两个相似三角形区域，其周长分别为10cm 和15cm ．（1）求它们的面积比；49（2）若在地图上量得甲的面积为216cm ，则乙所表示的实际区域的面积是多少平方米？523.610m ⨯答案：解答：（1）2104 159S S ==甲乙（）； （2）∵4 9S S =甲乙，216S cm =甲， ∴236S cm =乙，又∵比例尺是1：1000，∴829252S 3610cm 3.610cm 3.610m =⨯=⨯=⨯实际．解析： 分析：（1）先根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解；（2）首先根据两个图形的面积的比即可求得乙的面积，然后根据面积的比等于相似比的平方求得实际面积． 25.已知234x y z ==，求223x y z y z ++-． 答案：解答：令234x y z k ===， ∴2x k =，3y k =，4z k =， ∴原式46414149455k k k k k k k ++===-． 解析：分析：设2x k =，3y k =，4z k =，再代入原式即可得出答案．。
北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 4.2 平行线分线段成比例 同步练习题及答案
北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 4.2 平行线分线段成比例同步练习题1. 如图，已知l 1∥l 2∥l 3，如果AB ∶BC ＝2∶3，DE ＝4，则EF 的长是( ) A.103 B ．6 C.23D ．1 2. 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F.若AB BC ＝12，则DEEF 等于( )A.13B.12C.23D ．1 3. 如图，已知AB ∥CD ，下列结论不成立的是( ) A.AO OD ＝BO OC B.AO AD ＝OB BC C.OA OB ＝OD OC D.OA OB ＝BC AD4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AEEC 等于( )A.13B.25C.23D.355. 已知线段a ，b ，c ，求作线段x ，使ax ＝bc ，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是( )6. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( ) A ．5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．2∶57. 如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别与l 1，l 2，l 3相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果AB ＝1，EF ＝3，那么下列各式中，正确的是( ) A ．BC ∶DE ＝3 B ．BC ∶DE ＝1∶3 C ．BC ·DE ＝3 D ．BC ·DE ＝138. 如图，在△ABC 中，已知MN ∥BC ，DN ∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论：①AN CN ＝AM AB ；②AD DM ＝AM MB ；③AM MB ＝AN NC ；④AD AM ＝AN AC .其中正确结论的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________．9. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若AE ＝4，EC ＝2，则AD∶AB 的值为________．10. 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6 cm ，BG ＝1.2 cm ，CD ＝1.5 cm ，则CH ＝_______cm.11. 如图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝EF ＝FC ，BE 交AD 于点G ，则AG AD ＝_________．12. 如图，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝23，DF ＝15，则DE ＝____，EF ＝____．13. 如图，△ABC 中有菱形AMPN ，如果AM BM ＝12，那么BPBC ＝_____．14. 如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，DE ＝2，EF ＝4，求AC 的长． 15. 如图，EG ∥BC ，GF ∥DC ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．16. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果AB ＝6，BC ＝8，DF ＝21，求DE 的长．17. 如图，点E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F ，BE AB ＝13，EF＝2，BF ＝1.5.求DF ，BC 的长．18. 如图，点E 为AC 的中点，点F 在AB 上，且AF∶AB＝2∶5，FE 与BC 的延长线交于点D ，求EF∶ED 的值． 参考答案： 1---7 BBDCA AC 8. 成比例 9. 2:3 10. 0.5 11. 1212. 6 9 13. 2314. ∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ，即3BC ＝24，∴BC ＝6.∴AC ＝AB ＋BC ＝3＋6＝915. ∵EG ∥BC ，∴AE EB ＝AG GC ，又∵GF ∥DC ，∴AG GC ＝AF FD ，∴AE EB ＝AF FD ，即32＝6FD .∴FD＝4，∴AD ＝1016. 设DE 为x ，则EF ＝21－x ，∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，即68＝x21－x .解得x＝9，经检验，x ＝9是原分式方程的解，∴DE ＝917. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴BE AB ＝EF DF ，∴13＝2DF，∴DF ＝6，又∵CD ∥BE ，∴BF CF ＝EF DF ，∴1.5FC ＝26，∴CF ＝4.5，∴BC ＝FC ＋BF ＝618. 作EG ∥BC 交AB 于点G ，∵点E 为AC 的中点，EG ∥BC ，∴AG ＝BG ，又∵AF ∶AB ＝2∶5，即AF ∶FB ＝2∶3，∴FG ∶BG ＝0.5∶2.5＝1∶5，又∵EG ∥BC ，∴FGBG ＝EFED ，即EF ∶ED ＝1∶5。
北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明 同步练习题及答案
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习题及答案2019-2019 北师大版数学九年级上册第四章图形的相似4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习题1. 如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE ∽△ACB的是( )A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠BC.ADAB＝DEBCD.ADAC＝AEAB2. 下列命题中是真命题的是( )A．有一个角相等的直角三角形都相似B．有一个角相等的等腰三角形都相似C．有一个角是120°的等腰三角形都相似D．两边成比例且有一角相等的三角形都相似3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3 cm，则AF的长为( )A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5. 在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图，∠A＝36°，AB ＝AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有____条．14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于点E.求证：△ABD ∽△CBE. 15. 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，点B ，D ，E 在一条直线上．能得到△ABD ∽△ACE 吗？16. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ； (3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值． 17. 如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 边上有一动点P ，连接PD ，线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后，得到线段PE ，且PE 交BC 于点F ，连接DF ，过点E 作EQ ⊥AB 的延长线于点Q. (1)求线段PQ 的长；(2)问：点P 在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由． 参考答案： 1---6 CCBBB D7. 两角分别相等 成比例 相等 成比例 8. 一边的直线 成比例9. 2310. 10311. 1.8 12. 55或25513. 314. ∵在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE15. 能．由AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，得△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE.∵AB AD ＝AC AE ，∴AB AC ＝ADAE，∴△ABD ∽△ACE 16. (1)∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，又∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB ＝ADAC，∴AC 2＝AB ·AD(2)∵∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点，∴CE ＝AE ，∴∠ACE ＝∠EAC ，又∵∠EAC ＝∠DAC ，∴∠ECA ＝∠DAC ，∴CE ∥AD(3)∵CE ∥AD ，∴△CEF ∽△ADF ，∴CF AF ＝CE AD ，∵AB ＝6，∴CE ＝3，∴CF AF ＝CE AD ＝34，∴AC AF ＝7417. (1)根据题意得：PD ＝PE ，∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠QPE ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE ，∵EQ ⊥AB ，∴∠A ＝∠Q ＝90°，在△ADP 和△QPE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝EP ，∴△ADP≌△QPE(AAS)，∴PQ ＝AD ＝1(2)∵△PFD ∽△BFP ，∴PB BF ＝PDPF ，∵∠ADP ＝∠EPB ，∠CBP ＝∠A ，∴△DAP ∽△PBF ，∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PB BF ，∴PA ＝PB ，∴PA ＝12AB ＝12，∴当PA ＝12时，△PFD∽△BFP。