2020-2021广州市高二数学上期末试题(及答案)
2020-2021广州市高二数学上期末试题(及答案)一、选择题1．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（ ）A ．334πB ．32πC ．13D ．232．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①3．如果数据121x +、221x +、、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、、53n x -的平均值和方差分别为（ ）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1444．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020215．日本数学家角谷静夫发现的“31x + 猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程N ，则输出i值为（）序框图输入的6A．6B．7C．8D．96．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．-1C．0D．-27．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ．22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.758．高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（ ） A ．31号 B ．32号C ．33号D ．34号9．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元10．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ，则下列叙述正确的是（ ）A ．12x x >，乙比甲成绩稳定B ．12x x >，甲比乙成绩稳定C ．12x x <，乙比甲成绩稳定D ．12x x <，甲比乙成绩稳定11．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1512．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E 为正方体内任意一点，则AE 的长度大于3的概率等于_________.14．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．15．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是________．16．下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是____________.17．某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系。
x 2 4 5 6 8 y3040605070根据上表提供的数据得到回归方程y b x a ∧∧∧=+中的7b ∧=，预测广告费支出10万元时，销售额约为 _____________万元.（参考公式：a y b x ∧-∧-=-）18．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．19．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题21．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（1）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．22．随着智能手机的发展，各种“APP”（英文单词Application的缩写，一般指手机软件）应运而生．某机构欲对A市居民手机内安装的APP的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取100人，获得了他们手机内安装APP的个数，整理得到如图所示频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）从被抽取安装APP的个数不低于50的居民中，随机抽取2人进一步调研，求这2人安装APP的个数都低于60的概率；（Ⅲ）假设同组中的数据用该组区间的右端点值代替，以本次被抽取的居民情况为参考，试估计A市使用智能手机的居民手机内安装APP的平均个数在第几组（只需写出结论）．23．某班60名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示.（1）求图中a 的值及这60名学生数学成绩的中位数；（2）若规定成绩在80分以上为优良，求该班学生中成绩达到优良的人数.24．为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，，将他们的化学成绩（满分为100分）分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）记A 表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A 发生的概率；（3）在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在[60,80)内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在[60,70)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.25．某技术人员在某基地培育了一种植物,一年后,该技术人员从中随机抽取了部分这种植物的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计,绘制了如下频率分布直方图,已知抽取的样本植物高度在[)50,60内的植物有8株,在[]90,100内的植物有2株.(Ⅰ)求样本容量n 和频率分布直方图中的x ,y 的值;(Ⅱ)在选取的样本中,从高度在[]80,100内的植物中随机抽取3株,设随机变量X 表示所抽取的3株高度在[)80,90内的株数,求随机变量X 的分布列及数学期望;(Ⅲ)据市场调研,高度在[]80,100内的该植物最受市场追捧.老王准备前往该基地随机购买该植物50株.现有两种购买方案,方案一:按照该植物的不同高度来付费,其中高度在[]80,100内的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照该植物的株数来付费,每株6元.请你根据该基地该植物样本的统计分析结果为决策依据,预测老王采取哪种付费方式更便宜? 26．设关于x 的一元二次方程2220x bx a -+=，其中,a b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率. （1）若随机数,{1,2,3,4}a b ∈；（2）若a 是从区间[0,4]中任取的一个数，b 是从区间[1,3]中任取的一个数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =6293= ，故选D. 2．B解析：B 【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C 考点：统计初步 3．A解析：A 【解析】 【分析】计算出数据1x 、2x 、、n x 的平均值x 和方差2s 的值，然后利用平均数和方差公式计算出数据153x -、253x -、、53n x -的平均值和方差.【详解】 设数据1x 、2x 、、n x 的平均值为x ，方差为2s ，由题意()()()()121221212121215n n x x x x x x x nn++++++++=+=+=，得2x =，由方差公式得()()()()()()22212212121212121n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()2221224416n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===，24s ∴=. 所以，数据153x -、253x -、、53n x -的平均值为()()()12535353n x x x n-+-+-()1235535321n x x x x n+++=-=-=-⨯=-，方差为()()()()()()22212535353535353n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+---++---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()2221229936n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===. 故选：A. 【点睛】本题考查平均数与方差的计算，熟练利用平均数与方差的公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【解析】 【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯，11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭，111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1110091220192019⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．5．D解析：D 【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n 的值并输出相应的i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论. 详解：模拟程序的运行，可得6,1n i ==，不满足条件n 是奇数，3,2n i ==，不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，10,3n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，可得5,4n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，满足条件n 是奇数，16,5n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，8,6n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，4,7n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，2,8n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，1,9n i ==， 满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为9，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合流程图运行程序，考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合流程图可知程序运行过程如下： 首先初始化数据：1,2i S ==， 此时不满足5i >，执行循环：111,122S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,13S i i S=-=-=+=； 此时不满足5i >，执行循环：112,14S i i S=-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,152S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,16S i i S=-=-=+=； 此时满足5i >，输出1S =-. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据系统抽样知，组距为604=15÷，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号. 【详解】学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为604=15÷， 已知03号，18号被抽取，所以应该抽取181533+=号， 故选C.【点睛】本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题.9．A解析：A 【解析】 【分析】由已知求得 x ， y ，进一步求得 a ，得到线性回归方程，取16x =求得y 值即可． 【详解】8.38.69.911.1512.1 10x +++=+=， 5.97.88.18.49.858y ++++==．又 0.78b =，∴ 80.78100.2a y bx --⨯===． ∴ 0.780.2y x =+．取16x =，得 0.78160.212.68y ⨯+==万元，故选A ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．10．C解析：C 【解析】 甲的平均成绩11(7378798793)825x =++++=，甲的成绩的方差22222211[(7382)(7882)(7982)(8782)(9382)]50.45s =-+-+-+-+-=；乙的平均成绩21(7989899291)885x =++++=，乙的成绩的方差22222221[(7988)(8988)(8988)(9288)(9188)]21.65s =-+-+-+-+-=.∴12x x <，乙比甲成绩稳定. 故选C .11．A解析：A 【解析】 【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解 【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个, 随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况, 其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况, 则概率为51102P , 故选:A 【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题12．A解析：A 【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案 详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟 ∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P -=＝ ． 故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13．【解析】【分析】先求出满足题意的体积运用几何概型求出结果【详解】由题意可知总的基本事件为正方体内的点可用其体积满足的基本事件为为球心3为半径的求内部在正方体中的部分其体积为故则的长度大于3的概率【点 解析：16π-【解析】 【分析】先求出满足题意的体积，运用几何概型求出结果 【详解】由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积3327=， 满足||3AE 的基本事件为A 为球心3为半径的求内部在正方体中的部分， 其体积为31493832V ππ=⨯⨯=，故则AE 的长度大于3的概率9211276P ππ=-=-．【点睛】本题考查了几何概型，读懂题意并计算出结果，较为基础14．【解析】由题意可知2次检测结束的概率为3次检测结束的概率为则恰好检测四次停止的概率为解析：35【解析】由题意可知，2次检测结束的概率为22225110A p A ==，3次检测结束的概率为31123232335310A C C A p A +==， 则恰好检测四次停止的概率为231331110105p p p =--=--=. 15．3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值根据输出的值为10分别求出当时和当时的值即可【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值当时解得(或不合題意舍去)；当时解得舍去综上的值为3故答案为3【解析：3 【解析】 【分析】分析出算法的功能是求分段函数22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值，根据输出的值为10 ,分别求出当3x <时和当3x ≥时的x 值即可. 【详解】由程序语句知：算法的功能是求22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值， 当3x ≥时，2110y x =+=，解得3x =(或3- ,不合題意舍去)； 当3x <时，210y x ==,解得5x = ,舍去， 综上，x 的值为3，故答案为3 . 【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.16．1【解析】【分析】因为题目中要去掉一个最高分所以对进行分类讨论然后结合平均数的计算公式求出结果【详解】若去掉一个最高分和一个最低分86分后平均分为不符合题意故最高分为94分去掉一个最高分94分去掉一解析：1【解析】 【分析】因为题目中要去掉一个最高分，所以对x 进行分类讨论，然后结合平均数的计算公式求出结果 【详解】若4x >，去掉一个最高分()90x +和一个最低分86分后，平均分为()1899291949291.65++++=，不符合题意，故4x ≤，最高分为94分，去掉一个最高分94分，去掉一个最低分86分后，平均分()18992909192915x +++++=，解得1x =，故数字x 为1 【点睛】本题考查了由茎叶图求平均值，理解题目意思运用平均数计算公式即可求出结果，注意分类讨论17．【解析】【分析】求出样本数据中心点代入即可求出线性回归直线方程当时代入方程求即可【详解】由所给表格可知所以即线性回归直线方程为当时即销售额大约为85万元故填85【点睛】本题主要考查了线性回归直线方程解析：【解析】 【分析】求出样本数据中心点(),x y ，代入a y b x ∧∧=-，即可求出线性回归直线方程，当10x =时，代入方程求y ∧即可. 【详解】由所给表格可知5,50x y ==，所以 507515ˆa=-⨯=, 即线性回归直线方程为715y x ∧=+，当10x =时，ˆ85y= ，即销售额大约为85万元， 故填85. 【点睛】本题主要考查了线性回归直线方程的求法，及应用线性回归直线方程进行估计，属于中档题.18．38【解析】【分析】根据几何槪型的概率意义即可得到结论【详解】正方形的面积S ＝1设阴影部分的面积为S ∵随机撒1000粒豆子有380粒落到阴影部分∴由几何槪型的概率公式进行估计得即S ＝038故答案为：解析：38 【解析】 【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【详解】正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，∴由几何槪型的概率公式进行估计得380 11000S=，即S＝0.38，故答案为：0.38．【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．19．78【解析】【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24解析：【解析】【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．20．1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数计算结果详解：点睛：本题考查平均数考查基本求解能力解析：1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数，计算结果.详解：7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=．点睛：本题考查平均数，考查基本求解能力.三、解答题21．（1）甲班参加；（2）710P =． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）由题意知求出x=5，y=6．从而求出乙班学生的平均数为83，分别求出S 12和S 22，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛．（2）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，由此能求出随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率． 试题解析：（1）甲班的平均分为，易知6y =．2127.2S =；又乙班的平均分为283x =，∴2257.2S =；∵12x x =，2212S S <，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．（2）85分及以上甲班有2人，设为,a b ；乙班有人，设为，从这5人中抽取2人的选法有：,,,,,,,,,ab ax ay az bx by bz xy xz yz ，共10种，其中甲班至少有名学生的选法有7种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为710P =． 考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．茎叶图．22．（Ⅰ）a=0.025 （Ⅱ）3()5P A =（Ⅲ）第4组（或者写成[30，40））． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质，即可求得a 的值，得到答案.（Ⅱ）设事件A 为“这2人手机内安装“APP”的数量都低于60”．被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[50，60）的有4人，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[60，70]的有1人，记为b 1，从被抽取的智能手机内安装“APP”的数量不低于50的居民中随机抽取2人进一步调研，利用列举法能求出这2人安装APP 的个数都低于60的概率．（Ⅲ）利用平均数的计算公式，即可求解A 市使用智能手机的居民手机内安装APP 的平均个数，得到答案． 【详解】（Ⅰ）由（0.011+0.016+a+a+0.018+0.004+0.001）⨯10=1，得a =0.025． （Ⅱ）设事件A 为“这2人手机内安装“APP”的数量都低于60”被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[50，60）的有0.004×10×100=4人， 分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，被抽取的智能手机内安装“APP”的数量在[60，70]的有0.001×10×100=1人，记为b1， 从被抽取的智能手机内安装“APP”的数量不低于50的居民中随机抽取2人进一步调研， 共包含10个基本事件，分别为12a a ，13a a ，a 1a 4，a 1b 1，a 2a 3，a 2a 4，a 2b 1，a 3a 4，a 3b 1，a 4b 1， 事件A 包含6个基本事件，分别为12a a ，13a a ，a 1a 4，a 2a 3，a 2a 4，a 3a 4， 则这2人安装APP 的个数都低于60的概率()63105P A ==． （Ⅲ）由题意，可得估计A 市使用智能手机的居民手机内安装APP 的平均个数为:100.11200.16300.25400.25500.16600.04700.0132.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以可得A 市使用智能手机的居民手机内安装APP 的平均个数位于第4组． 【点睛】本题主要考查了频率、概率的求法，以及频率分布直方图和平均数公式的应用，着重考查了用数学知识解决实际生活问题的能力，及运算求解能力，属于基础题． 23．（1）0.005，中位数为73.75；（2）15人 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算得到0.005a =，再计算中位数得到答案. （2）根据比例关系计算得到答案. 【详解】（1）由题意可得：(0.030.040.02)101a a ++++⨯=，解得：0.005a =. 设中位数为(7080)m m <<，0.050.30.04(70)0.5m ++-=. 解得73.75m =.（2）成绩达到优良的人数：(0.020.005)106015+⨯⨯=（人） 【点睛】本题考查了频率直方图，意在考查学生的理解能力和计算能力. 24．（1）0.025a =（2）0.65（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据所有的小矩形的面积之和为1得到方程，解得. （2）根据频率分布直方图，计算概率.（3）按分层抽样的规则分别计算出成绩在[60,70)，[70,80)内的人数，在列出分布列，计算出数学期望. 【详解】 解：（1）(0.0050.0100.0200.0300.010)101a +++++⨯=，0.025a ∴=，（2）成绩不低于70分的频率为(0.0300.0250.010)100.65++⨯=，∴事件A 发生的概率约为0.65.（3）抽取的100名理科生中，成绩在[60,70)内的有1000.0201020⨯⨯=人， 成绩在[70,80)内的有1000.0301030⨯⨯=人，故采用分层抽样抽取的10名理科生中， 成绩在[60,70)内的有4人，在[70,80)内的有6人， 由题可知，X 的可能取值为0，1，2，3，4，46410151(0),21014C P X C ====6441031C C 8(1)C 2101802P X ====，2264410903(2),2107C C P X C ====6441013C C (3)C 21244350P X ====，444101(4)210C P X C ===X ∴的分布列为0123414217352105EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的数据的处理，分层抽样，离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，属于中档题.25．(Ⅰ)50n =,0.004y =，0.030x =；(Ⅱ)分布列见解析，()157E X =；(Ⅲ)方案一付费更便宜. 【解析】 【分析】(Ⅰ) 由题目条件及频率分布直方图能求出样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y ． (Ⅱ) 由题意可知，高度在[80，90）内的株数为5，高度在[90，100]内的株数为2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）内的株数X 的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．(Ⅲ)根据(Ⅰ)所得结论，分别计算按照方案一购买应付费和按照方案二购买应付费，比较结果即可得按照方案一付费更便宜. 【详解】 (Ⅰ) 由题意可知， 样本容量8500.01610n ==⨯,20.0045010y ==⨯， 0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=.(Ⅱ)由题意可知,高度在[80,90)内的株数为5,高度在[90,100]内的株数为2， 共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数X 的可能取值为1,2,3,则()125237117C C P X C ===， ()215237427C C P X C ===，()305237237C C P X C ===, ∴X 的分布列为：故()1237777E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ)根据(Ⅰ)所得结论，高度在[]80,100内的概率为()0.0100.004100.14⨯=+， 按照方案一购买应付费500.1410500.865285⨯⨯⨯⨯+=元， 按照方案二购买应付费506⨯=300元， 故按照方案一付费更便宜. 【点睛】本题考查频率分布直方图、分布列和数学期望，考查能否根据频率分布直方图得出每一组的概率以及一组的数据计算总体，求随机变量的分布列的主要步骤：①明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；②求每一个随机变量取值的概率；③列成表格，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题. 26．（1）58（2）12【解析】 【分析】（1）根据判别式求得方程有实根的条件，用列举法结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）画出可行域，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】（1）设事件A 为方程2220x bx a -+=有实根，()22240b a -≥，有实根的充要条件为b a ≥，若随机数,{1,2,3,4}a b ∈基本事件共有16个：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2，()()()()()()()()()()2,3,2,4,3,13,23,3,3,4,4,1,4,24,3,,4,4，其中括号中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，则事件A 中包含10个基本事。
2020-2021学年广东省广州市天河区高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，1），则＝（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1+i2．（5分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知各项不为0的等差数列{a n}满足a6﹣a72+a8＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b2b7b12等于（）A．1B．2C．4D．84．（5分）斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质n}满足a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），设1+a3+a5+a7+a9+…+a2021＝a k，则k＝（）A．2019B．2020C．2021D．20225．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，5]B．（﹣∞，7]C．[7，+∞）D．[5，+∞）6．（5分）下列叙述正确的是（）A．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x＞2”是“x2＞4”的必要不充分条件D．已知命题p：∀x∈R，x+≥2；命题q：∃x0∈[0，]，使sin x0+cos x0＝，则p∧q为真命题7．（5分）为了不断满足人民对日益增长的美好生活的需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造1B1C1D1（如图所示），该项目由长方形核心喷泉区ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2，绿化带的宽分别为2m和5m．当音乐喷泉综合体A1B1C1D1的面积最小时，核心喷泉区BC的长为（）A．20m B．10m C．50m D．100m8．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点．若点M是线段F2N的中点，且•＝0，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）已知复数z满足z（2﹣i）＝i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（）A．B．＝﹣C．复数z的实部为﹣1D．复数z对应复平面上的点在第二象限10．（5分）下列叙述正确的是（）A．若a，b，c∈R，且a＞b，则ac2＞bc2B．若实数0＜x＜，则x（1﹣2x）的最大值为C．已知x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}，则a+b＝5D．对于∀x∈R，ax2+4x≥2x2﹣1恒成立，则实数a的取值范围是[6，+∞）11．（5分）在四面体P﹣ABC中，以下说法错误的是（）A．若四面体P﹣ABC各棱长都相等，则＝0B．若四面体P﹣ABC各棱长都为2，M，N分别为P A，BC的中点，则||＝1C．若＝+，则＝2D．若Q为△ABC的重心，则＝++12．（5分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F点的直线与抛物线E交于A，C，D分别为A，B在l上的射影，M为AB的中点，则下列结论正确的是（）A．∠CFD＝90°B．直线AB的斜率为C．△CMD为等腰直角三角形D．线段AB的长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不等式﹣x2+5x+6＜0的解集为．14．（5分）已知F1，F2分别为椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|＝2|PF2|，则该椭圆的离心率为．15．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC、DD1上的点，若B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为．16．（5分）已知首项均为的等差数列{a n}与等比数列{b n}满足a3＝﹣b2，a4＝b3，且{a n}的各项均不相等，设S n为数列{b n}的前n项和，则S n的最大值与最小值之差的绝对值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n满足4a n﹣3S n＝3，其中n∈N*．（1）证明：数列{a n}为等比数列；（2）设b n＝a n﹣4n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝2，AA1＝，若N为AB的中点．（1）求证：AC1∥平面NB1C；（2）求B1C1与平面NB1C所成角的正弦值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2B．（1）求角B的值；（2）若A＝，且△ABC的面积为7，求BC边上的中线AM的长．20．（12分）设O为坐标原点，已知直线l：ax﹣y﹣2a＝0经过抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且直线l交抛物线C1于A，B两点．（1）求p的值；（2）求直线OA、OB的斜率之积．21．（12分）如图1，已知长方形ABCD中，AB＝2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，得到四棱锥D1﹣ABCM（如图2），使得平面AMD1⊥平面ABCM．（1）求证：AD1⊥BM；（2）若点E是线段D1B上的一动点，当点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D1的余弦值为．22．（12分）设抛物线C1：y2＝﹣2px（p＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：＝1（a ＞b＞0）的右焦点F2，F1为椭圆C2的左焦点，且椭圆C2的离心率e＝．（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）在（1）的条件下，设直线l：y＝kx+m（m≠0）2于A，B两点，若射线BO（O为坐标原点）+＝4于点Q，求△ABQ面积的最大值．2020-2021学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，1），则＝（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1+i【分析】推导出z＝1+i，从而＝，由此能求出结果．【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，∴z＝1+i，∴＝＝＝＝1﹣i．故选：A．【点评】本题考查复数的运算，考查复数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，反之数列﹣1，﹣1，6，1，但数列﹣1，﹣5，1，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．3．（5分）已知各项不为0的等差数列{a n}满足a6﹣a72+a8＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b2b7b12等于（）A．1B．2C．4D．8【分析】由等差数列中项的性质可得a6+a8＝2a7，即有a7＝2（0舍去），再由等比数列的性质，计算即可得到所求值．【解答】解：各项不为0的等差数列{a n}满足a6﹣a32+a8＝2，由a6+a8＝4a7，可得2a2＝a72，即有a5＝2（0舍去），数列{b n}是公比为q的等比数列，且b5＝a7＝2，则b4b7b12＝b74＝23＝7．故选：D．【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．4．（5分）斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质n}满足a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），设1+a3+a5+a7+a9+…+a2021＝a k，则k＝（）A．2019B．2020C．2021D．2022【分析】根据数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），偶数项a2＝1代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，即可得到结果．【解答】解：∵斐波那契数列{a n}满足a1＝a2＝4，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），则和式2+a3+a5+a5+a9+…+a2021＝a k中，偶数项a2＝5代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，则有1+a3+a3+a7+a9+…+a2021＝（a7+a3）+a5+a4+a9+…+a2021＝（a4+a8）+a7+a9+…+a2021＝（a5+a7）+a9+…+a2021＝a2020+a2021＝a2022＝a k，∴k＝2022，故选：D．【点评】本题主要考查数列递推公式的应用，结合了数学文化中的斐波那契数列，属于中档题．5．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，5]B．（﹣∞，7]C．[7，+∞）D．[5，+∞）【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，利用数形结合得到最优解，计算目标函数的最值得出答案．【解答】解：画出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：联立，解得A（1，化目标函数z＝x+5y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣过点A时．所以z＝x+2y的取值范围是[7，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，也考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）下列叙述正确的是（）A．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x＞2”是“x2＞4”的必要不充分条件D．已知命题p：∀x∈R，x+≥2；命题q：∃x0∈[0，]，使sin x0+cos x0＝，则p∧q为真命题【分析】由四个命题之间的关系，充分不必要条件，必要不充分条件即可判断．【解答】解：选项A，￢p：∀x∈R2+x+1≥7，故A错误；选项B，逆否命题为：已知x，x＝2且y＝1；该命题为真命题；选项C“x＞5”是“x2＞4”的充分不必要条件，故选项C错误；选项D，当x＜6时，故选项D错误；故选：B．【点评】本题考查了四个命题，充分不必要条件，不要不充分条件，属于基础题．7．（5分）为了不断满足人民对日益增长的美好生活的需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造1B1C1D1（如图所示），该项目由长方形核心喷泉区ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2，绿化带的宽分别为2m和5m．当音乐喷泉综合体A1B1C1D1的面积最小时，核心喷泉区BC的长为（）A．20m B．10m C．50m D．100m【分析】设BC＝x，则，根据图形用x表示出综合体A1B1C1D1的面积，再利用基本不等式即可求出其最小值，以及此时的x的值．【解答】解：设BC＝x，则，∴＝＝1040+（8x+），当且仅当2x＝即x＝50时，∴当x＝50时，综合体A1B1C5D1的面积最小，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的实际应用考查了基本不等式的应用，是中档题．8．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点．若点M是线段F2N的中点，且•＝0，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【分析】利用中位线的性质可得直线F1N的斜率，进而得其方程，将其与y＝﹣x联立求出点N的坐标，再结合|ON|＝|F1F2|＝c，进行化简运算，即可得解．【解答】解：由题意知，点M在渐近线y＝，点N在渐近线y＝﹣，∵O，M分别为F1F2和F5N的中点，∴F1N∥OM，∴＝k OM＝，∴直线F5N的方程为y＝（x+c），联立，解得x＝﹣，∴点N（﹣，），∵•＝01F8的中点，∴|ON|＝|F8F2|＝c＝，化简得b＝a，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x．故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，主要涉及渐近线的问题，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）已知复数z满足z（2﹣i）＝i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（）A．B．＝﹣C．复数z的实部为﹣1D．复数z对应复平面上的点在第二象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由z（2﹣i）＝i，得z＝，∴|z|＝＝，故A错误；，故B正确；复数z的实部为﹣，故C错误；复数z对应复平面上的点的坐标为（，），在第二象限．故选：BD．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．10．（5分）下列叙述正确的是（）A．若a，b，c∈R，且a＞b，则ac2＞bc2B．若实数0＜x＜，则x（1﹣2x）的最大值为C．已知x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}，则a+b＝5D．对于∀x∈R，ax2+4x≥2x2﹣1恒成立，则实数a的取值范围是[6，+∞）【分析】由不等式的基本性质可以解选项A、B、D，再由一元二次不等式的解法可以判断选项C．【解答】解：选项A中，若c＝0；对于选项B，x（1﹣7x）＝﹣2x2+x＝﹣4，故取不到；不等式x2﹣7ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜8}，所以12﹣6ax+b＝0的两根，即5a＝8，b＝4；故选项C正确；对于∀x∈R，ax2+7x≥2x2﹣8可得，（a﹣2）x2+6x+1≥0恒成立，所以，解得a≥6，故选项D正确；故选：CD．【点评】本题考查了不等式的解法，不等式恒成立，一元二次不等式的解法，属于基础题．11．（5分）在四面体P﹣ABC中，以下说法错误的是（）A．若四面体P﹣ABC各棱长都相等，则＝0B．若四面体P﹣ABC各棱长都为2，M，N分别为P A，BC的中点，则||＝1C．若＝+，则＝2D．若Q为△ABC的重心，则＝++【分析】根据向量的线性运算与数量积的定义和性质对选项进行逐一判断即可．【解答】解：因为四面体P﹣ABC各棱长都相等，所以四面体的各个面都是正三角形，设正四面体的棱长为a，则＝＝a•a•cos60°+a•a•cos120°＝0，故选项A正确；因为＝，所以，因为＝＝，所以，故选项B错误；因为＝+，所以，所以，故，所以，即，故选项C错误；因为Q为△ABC的重心，则，所以，则，故，故选项D正确；故选：BC．【点评】本题考查了空间向量的计算，涉及了向量的线性运算与数量积的定义、向量的模的求解，解题的关键是将要求解的向量进行转化．12．（5分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F点的直线与抛物线E交于A，C，D分别为A，B在l上的射影，M为AB的中点，则下列结论正确的是（）A．∠CFD＝90°B．直线AB的斜率为C．△CMD为等腰直角三角形D．线段AB的长为【分析】先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，再设出点A，B的坐标进而得到点C，D的坐标，设出直线AB的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量的线性运算求出对应的各个选项的问题，即可求解．【解答】解：由抛物线的方程可得：F（1，0），设直线AB的方程为：x＝my+3，A（x1，y1），B（x3，y2），则C（﹣1，y4），D（﹣1，y2），联立方程，消去x整理可得：y8﹣4my﹣4＝6，所以y1+y2＝5m，y1y2＝﹣6，所以＝4+y4y2＝4﹣7＝0，所以FC⊥FD，即∠CFD＝90°，选项B：因为|AF|＝3|BF|，所以1＝﹣3y4，且y1+y2＝2m，y1y2＝﹣3，解得m＝，所以直线AB的斜率为k＝，选项C：由A正确，则CM⊥DM不可能，故C错误，选项D：由题意可得|AB|＝＝＝4（1+m6）＝，故D正确，故选：ABD．【点评】本题考查了抛物线的方程以及直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不等式﹣x2+5x+6＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）．【分析】不等式化为x2﹣5x﹣6＞0，再求不等式的解集．【解答】解：不等式﹣x2+5x+7＜0可化为x2﹣5x﹣6＞0，即（x+2）（x﹣6）＞0，解得x＜﹣3或x＞6，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（6．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．14．（5分）已知F1，F2分别为椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|＝2|PF2|，则该椭圆的离心率为．【分析】利用椭圆的焦距与椭圆的通经相等列出方程，然后求解椭圆的离心率．【解答】解：由题意椭圆＝1，且PF5垂直于x轴．若|F1F2|＝6|PF2|，可知：2c ＝2＝ac＝﹣c2+a2，即：e＝1﹣e8，解得e＝．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．15．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC、DD1上的点，若B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为x+y＝1．【分析】利用三条直线两两垂直，建立合适的空间直角坐标系，确定所需点的坐标，利用线面垂直得到两个向量垂直，结合向量的坐标，求解即可得到答案．【解答】解：以D1A1，D6C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴设CE＝x，DF＝y，则E（x，4，1），B1（6，1，0），2，1﹣y），1，2），0，1），则，因为B3E⊥平面ABF，所以B1E⊥AF，即，所以x+y＝1．故答案为：x+y＝1．【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解题的关键是利用线面垂直关系得到两个向量垂直．16．（5分）已知首项均为的等差数列{a n}与等比数列{b n}满足a3＝﹣b2，a4＝b3，且{a n}的各项均不相等，设S n为数列{b n}的前n项和，则S n的最大值与最小值之差的绝对值为．【分析】设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等比数列{b n}的公比为q（q≠0），由a3＝﹣b2，a4＝b3，得关于q与d的方程组，求得q值，写出数列{b n}的前n项和，分类求得最值，则答案可求．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等比数列{b n}的公比为q（q≠0），由a5＝﹣b2，a4＝b2，得，解得．∴，当n为奇数时，，当n＝8时，S n有最大值为；当n为偶数时，，当n＝5时，S n有最大值为．∴S n的最大值与最小值之差的绝对值为．故答案为：．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，考查数列的函数特性，分类求出S n的最值是关键，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n满足4a n﹣3S n＝3，其中n∈N*．（1）证明：数列{a n}为等比数列；（2）设b n＝a n﹣4n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）运用数列的递推式：n＝1时，a1＝S1，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，结合等比数列的定义，即可得证；（2）求得b n＝4n﹣1﹣4n+1，结合数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）证明：由4a n﹣3S n＝2，其中n∈N*，可得n＝1时，4a3﹣3S1＝8a1﹣3a4＝3，解得a1＝2，n≥2时，4a n﹣8﹣3S n﹣1＝6，又4a n﹣3S n＝4，两式相减可得4a n﹣4a n﹣5﹣3（S n﹣S n﹣1）＝8a n﹣4a n﹣1﹣8a n＝a n﹣4a n﹣1＝7，即a n＝4a n﹣1，所以数列{a n}首项为8，公比为4的等比数列；（2）b n＝a n﹣4n+1＝×3×4n﹣1﹣4n+6＝4n﹣1﹣2n+1，所以T n＝（1+4+42+…+8n﹣1）﹣（3+8+…+4n﹣1）＝﹣n（6+4n﹣1）＝n﹣1）﹣8n2﹣n．【点评】本题考查数列的递推式的运用、等比数列的定义和通项公式、等差数列和等比数列的求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝2，AA1＝，若N为AB的中点．（1）求证：AC1∥平面NB1C；（2）求B1C1与平面NB1C所成角的正弦值．【分析】（1）连接BC1，交B1C于点O，连接ON，推导出ON∥AC1，由此能证明AC1∥平面NB1C．（2）以A为原点，AB为x轴，AA1为y轴，过A作平面ABB1A1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1C1与平面NB1C所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接ON，∵直三棱柱ABC﹣A3B1C1中，BB5C1C是矩形，∴O是BC1的中点，∵N为AB的中点，∴ON∥AC3，∵AC1⊄平面NB1C，ON⊂平面NB4C，∴AC1∥平面NB1C．（2）∵三棱柱ABC﹣A3B1C1中，AB＝BC＝CA＝21＝，N为AB的中点，∴以A为原点，AB为x轴3为y轴，过A作平面ABB1A1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则B5（2，，3），C1（1，，），N（1，3，C（1，0，），＝（﹣6，0，），＝（1，，＝（8，0，），设平面NB8C的法向量＝（x，y，则，取x＝，得，﹣1，设B8C1与平面NB1C所成角为θ，则B7C1与平面NB1C所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2B．（1）求角B的值；（2）若A＝，且△ABC的面积为7，求BC边上的中线AM的长．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合sin A≠0，可得tan B＝，结合B∈（0，π），可得B的值．（2）由已知可求∠C＝，设AC＝BC＝2a，利用三角形的面积公式可求a的值，可得AC＝BC＝2，在△ACM中，由余弦定理即可求解AM的值．【解答】解：（1）因为a sin B﹣b cos B cos C＝c cos2B，所以由正弦定理可得sin A sin B﹣sin B cos B cos C＝sin C cos2B，可得，因为sin A≠3，可得，即tan B＝，由B∈（0，π）．（2）由已知A＝，则△ABC是等腰三角形，设AC＝BC＝4a，可得S△ABC＝AC•BC•sin∠ACB＝2sin＝a6，由已知△ABC的面积为7，得a4＝7，a＝，△ACM中，由余弦定理2＝CA2+CM7﹣2CA•CM•cos＝（2）6+（）2﹣8×2××（﹣）＝49，所以AM＝2．【点评】本题考查余弦定理、正弦定理、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想，是中档题．20．（12分）设O为坐标原点，已知直线l：ax﹣y﹣2a＝0经过抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且直线l交抛物线C1于A，B两点．（1）求p的值；（2）求直线OA、OB的斜率之积．【分析】（1）由直线系方程可得直线l所过定点的坐标，即可求得p的值；（2）联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可求得直线OA、OB的斜率之积．【解答】解：（1）由ax﹣y﹣2a＝0，得a（x﹣2）﹣y＝0，∴直线l过点（2，3）1：y2＝5px（p＞0）的焦点F（2，3），∴，则p＝2；（2）由（1）可得，抛物线方程为y2＝8x．直线l：ax﹣y﹣8a＝0为直线系方程，不含直线x＝2，联立，得a4x2﹣（4a7+8）x+4a6＝0．由直线l与抛物线有两个交点，得a≠0，设A（x4，y1），B（x2，y6），则，x1x2＝7，y1y2＝（ax3﹣2a）（ax2﹣2a）＝＝＝﹣16．∴＝．【点评】本题考查直线系方程的应用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）如图1，已知长方形ABCD中，AB＝2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，得到四棱锥D1﹣ABCM（如图2），使得平面AMD1⊥平面ABCM．（1）求证：AD1⊥BM；（2）若点E是线段D1B上的一动点，当点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D1的余弦值为．【分析】（1）推导出AM⊥BM，从而BM⊥平面AMD1，由此能证明AD1⊥BM．（2）以M为坐标原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当点E在线段DB的三等分点（靠近B）时，二面角E﹣AM﹣D1的余弦值为．【解答】解：（1）证明：∵长方形ABCD中，AB＝2，M为DC的中点，得到四棱锥D1﹣ABCM，∴△ABM中，AM＝BM＝＝2+BM5＝AB2，∴AM⊥BM，∵平面AMD1⊥平面ABCM，平面AMD6∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面AMD1，∵AD1⊂平面AMD8，∴AD1⊥BM．（2）如图，以M为坐标原点，MB为y轴，建立空间直角坐标系，则M（0，2，0），4，0），D1（，0，），B（0，，设E（a，b，c），，（4≤λ≤1），b，c﹣，，﹣），解得a＝，b＝，∴E（，，），＝（，6，0），，，），设平面EAM的法向量＝（x，y，则，取y＝1，得＝（7，1，），平面AMD1的法向量＝（0，2，∵二面角E﹣AM﹣D1的余弦值为．∴＝＝，由0≤λ≤2，角得λ＝．∴当点E在线段DB的三等分点（靠近B）时，二面角E﹣AM﹣D3的余弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足二面角的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．22．（12分）设抛物线C1：y2＝﹣2px（p＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：＝1（a ＞b＞0）的右焦点F2，F1为椭圆C2的左焦点，且椭圆C2的离心率e＝．（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）在（1）的条件下，设直线l：y＝kx+m（m≠0）2于A，B两点，若射线BO（O为坐标原点）+＝4于点Q，求△ABQ面积的最大值．【分析】（1）写出抛物线C1的准线为x＝，（p＞0），可得c＝，结合椭圆的离心率，可得a＝，b＝，利用基本不等式求+的最小值，得到a与b，则抛物线C1的方程与椭圆C2的方程可求；（2）当BO所在直线的斜率存在时，设BO所在直线方程为y＝nx，分别联立直线方程与两椭圆方程，可得，得到Q到直线l的距离是点O到直线l的距离的3倍，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求O导直线l的距离，代入三角形面积公式，变形后利用基本不等式求三角形ABO面积的最大值，从而可得△ABQ面积的最大值；当BO所在直线的斜率不存在时，不设B（0，1），则Q（0，﹣2），直线l的方程为y＝kx+1（k＞0），与椭圆方程联立求得A的横坐标，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得三角形ABQ面积的最大值．【解答】解：（1）抛物线C1的准线为x＝，（p＞6），∴F2（，8），又∵椭圆C2的离心率e＝＝，∴a＝，则b2＝a2﹣c3＝（）6﹣（）2＝，∴b＝，∴+＝+≥2（当且仅当p＝2时，此时a＝＝＝2，b2＝＝＝6，∴抛物线C1的方程为y2＝﹣2x，椭圆C2的方程为+y2＝3；（2）当BO所在直线的斜率存在时，设BO所在直线方程为y＝nx，由，解得，同理可得，，即Q到直线l的距离是点O到直线l的距离的3倍．设A（x1，y6），B（x2，y2），联立，得（1+4k5）x2+8kmx+7m2﹣4＝4，由△＞0，得4k8+1﹣m2＞7，且x1+x2＝﹣，x1x2＝，则弦长|AB|＝＝＝＝4＝，点O到直线l的距离d＝，S△ABO＝|AB|•d＝＝，当且仅当，即2m2＝8k2+1时等号成立．则△ABQ面积的最大值为2S△ABO＝3；当BO所在直线的斜率不存在时，由对称性，1），﹣2），直线l的方程为y＝kx+1（k＞0），联立，得（4k5+1）x2+5kx＝0，则，∴＝，当且仅当4k＝，即k＝．综上，△ABQ面积的最大值为6．【点评】本题考查抛物线与椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想及运算求解能力，属难题．。
广东省湛江市2020-2021学年高二上学期数学期末试卷及答案
广东2020-2021学年第一学期高二期末考试数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀x∀[0，+∞），x2+2x≥0”的否定是（）A．∀x∀（﹣∞，0），x2+2x≥0B．∀x∀（﹣∞，0），x2+2x＜0C．∀x0∀[0，+∞），x02+2x0≥0D．∀x0∀[0，+∞），x02+2x0＜02．双曲线＝1的焦距是（）A．10B．20C．2D．43．在数列{a n}中，a1＝0，a n＝3a n﹣1+2（n≥2），则a3＝（）A．2B．6C．8D．144．在∀ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则b＝（）A．B．C．D．5．已知点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，4）C．（2，0）D．（4，0）6．已知双曲线＝1的焦点与椭圆＝1的焦点相同，则m＝（）A．1B．3C．4D．57．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．2或18B．2C．18D．49．在∀ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin2B＝b cos A cos B，则∀ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定10．直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣]∀[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∀[，+∞）11．已知等差数列{a n}的前n项和S n有最小值，且，则使得S n＞0成立的n 的最小值是（）A．11B．12C．21D．2212．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆4x2+6y2＝24的短轴长是．14．已知a＞b＞0，且a+b＝2，则的最小值是．15．从某建筑物的正南方向的A处测得该建筑物的顶部C的仰角是45°，从该建筑物的北偏东30°的B处测得该建筑物的顶部C的仰角是30°，A，B之间的距离是35米，则该建筑物的高为米．16．已知抛物线C：y2＝4x，点Q在x轴上，直线l：（m﹣2）x﹣y﹣2m+4＝0与抛物线C 交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：函数f（x）＝|ax﹣m|（a≠0）在区间[1，+∞）上单调递增，q：关于x的不等式x2+mx+m≤0的解集非空．（1）当a＝3时，若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＞0时，若p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，求a的取值范围．18．∀ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a，．（1）求C；（2）若，求∀ABC的面积．19．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线C交于M，N两点．（1）若直线l的方程为y＝x+3，求|MF|+|NF|的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且＝2，求|MN|．20．已知数列{a n}的前n项和Sn＝2﹣a n，数列{b n}满足b1＝1，b3+b7＝18．且b n+1+b n﹣1＝2b n （n≥2）．（I）数列{a n}和{b n}的通项公式．（II）若b n＝a n•c n，求数列{c n}的前n项和T n．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∀AD，AD∀BC，P A＝PB＝PD，PE＝2EC，O为BD 的中点．（1）证明：OP∀平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，P A＝4，求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点A在椭圆E上，且|OA|的最小值是（O为坐标原点）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线l与圆O：x2+y2＝t2（t＞0）相切，且与椭圆E交于P，Q两点．是否存在实数t，使得OP∀OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．广东2020-2021学年第一学期高二期末考试数学一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x≥0B．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x＜0C．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0≥0D．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0＜0【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定：∃x0∈[0，+∞），x02+2x0＜0，故选：D．2．双曲线＝1的焦距是（）A．10B．20C．2D．4【解答】解：双曲线﹣＝1中a＝8，b＝6，∴c＝＝10，∴2c＝20．故选：B．3．在数列{a n}中，a1＝0，a n＝3a n﹣1+2（n≥2），则a3＝（）A．2B．6C．8D．14【解答】解：因为a1＝0，a n＝3a n﹣1+2，所以a2＝3a1+2＝2，则a3＝3a2+2＝8．故选：C．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则b＝（）A．B．C．D．【解答】解：利用正弦定理：因为，所以．故选：A．5．已知点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，4）C．（2，0）D．（4，0）【解答】解：因为点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px的准线上，所以，所以p＝4，则该抛物线的焦点坐标是（2，0）．故选：C．6．已知双曲线＝1的焦点与椭圆＝1的焦点相同，则m＝（）A．1B．3C．4D．5【解答】解：因为椭圆＝1的焦点坐标（，0），双曲线＝1的焦点坐标（，0）所以＝，解得m＝1．故选：A．7．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程表示椭圆，则，解得﹣1＜m＜3或3＜m＜7，故“﹣1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件．故选：A．8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．2或18B．2C．18D．4【解答】解：因为|PF1|＝10＜a+c＝12，所以点P在该双曲线左支上，则|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+10＝18．故选：C．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin2B＝b cos A cos B，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解答】解：因为a sin2B＝b cos A cos B，所以sin A sin2B＝sin B cos A cos B，所以sin B（sin A sin B﹣cos A cos B）＝0，即﹣sin B cos（A+B）＝0．因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以，故△ABC是直角三角形．故选：B．10．直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：∵直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，∴联立方程，消去y得：（1+2k2）x2+8kx+6＝0，∴△＝64k2﹣24（1+2k2）≥0，解得：或，故选：B．11．已知等差数列{a n}的前n项和S n有最小值，且，则使得S n＞0成立的n 的最小值是（）A．11B．12C．21D．22【解答】解：由题意可得等差数列{a n}的公差d＞0．因为，所以a12＞0，a11＜0，所以a11+a12＞0，则，S21＝21a11＜0．故使得S n＞0成立的n的最小值是22．故选：D．12．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解：记O为坐标原点．由题意可得F1（﹣c，0），不妨设l1：，l2：，则直线l：．联立，解得，则，故|PF1|＝b，|OP|＝a．因为，所以|PQ|＝2|PF1|，所以|PQ|＝2b，，则．因为，所以，所以，整理得c4﹣4a2c2+3a4＝0，则e4﹣4e2+3＝0，解得．故选：B．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆4x2+6y2＝24的短轴长是4．【解答】解：由题意椭圆4x2+6y2＝24，即：，可得b＝2，则短轴长是2b＝4．故答案为：4．14．已知a＞b＞0，且a+b＝2，则的最小值是．【解答】解：因为a+b＝2，所以，因为a＞b＞0，所以（当且仅当，时，等号成立），所以，故答案为：．15．从某建筑物的正南方向的A处测得该建筑物的顶部C的仰角是45°，从该建筑物的北偏东30°的B处测得该建筑物的顶部C的仰角是30°，A，B之间的距离是35米，则该建筑物的高为米．【解答】解：设该建筑物的高|OC|＝h（O为该建筑物的底部），由题意可得|OA|＝h，，|AB|＝35，∠AOB＝150°，则|AB|2＝|OA|2+|OB|2﹣2|OA||OB|cos∠AOB，即，解得．故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝4x，点Q在x轴上，直线l：（m﹣2）x﹣y﹣2m+4＝0与抛物线C 交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是（﹣2，0）．【解答】解：如图所示，直线QM、QN交Y轴分别于A、B点，不妨设m＝3，则直线方程为y+2＝x，联立抛物线y2＝4x，得：y2﹣4y﹣8＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣8，设Q（n，0），M（x1，y1），N（x2，y2）∵直线QM与直线QN的斜率互为相反数，∴，∴y1（x2﹣n）+y2（x1﹣n）＝0，∵x＝y+2∴y1（y2+2）+y2（y1+2）﹣n（y1+y2）＝02y1y2+2（y1+y2）﹣n（y1+y2）＝0﹣16+8﹣4n＝0∴n＝﹣2．故答案为：（﹣2，0）．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：函数f（x）＝|ax﹣m|（a≠0）在区间[1，+∞）上单调递增，q：关于x的不等式x2+mx+m≤0的解集非空．（1）当a＝3时，若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＞0时，若p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）＝|3x﹣m|．因为p为真命题，所以，即m≤3，故m的取值范围是（﹣∞，3]．（2）因为p为假命题，所以，因为a＞0，所以m＞a．记满足p为假命题的m的取值集合为A＝（a，+∞）．因为q为真命题，所以m2﹣4m≥0，解得m≤0或m≥4．记满足q为真命题的m的取值集合为B＝（﹣∞，0]∪[4，+∞）．因为p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集，则a ≥4．故a的取值范围是[4，+∞）．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a，．（1）求C；（2）若，求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为b＝2a，所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝5a2﹣4a2cos C．所以，可得sin C+cos C＝1，整理得．又因为C∈（0，π），所以．（2）由（1）可知，c2＝5a2﹣4a2cos C＝7a2，又因为，所以a＝2，b＝2a＝4．所以．19．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线C交于M，N两点．（1）若直线l的方程为y＝x+3，求|MF|+|NF|的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且＝2，求|MN|．【解答】解：（1）设直线l与抛物线C交点M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x，整理得y2﹣14y+9＝0，所以y1+y2＝14，所以|MF|+|NF|＝y1+2+y2+2＝18，所以|MF|+|NF|的值18；（2）设直线P（0，t），直线l的方程为y＝2x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y，整理得x2﹣16x﹣8t＝0，由△＝162+4×8t＞0，则t＞﹣8，所以x1+x2＝16，x1x2＝﹣8t，①因为＝2，（0﹣x1，t﹣y1）＝2（0﹣x2，t﹣y2），所以x1＝2x2，②由①②解得t＝﹣，满足t＞﹣8，所以|MN|＝•＝．20．已知数列{a n}的前n项和Sn＝2﹣a n，数列{b n}满足b1＝1，b3+b7＝18．且b n+1+b n﹣1＝2b n（n≥2）．（I）数列{a n}和{b n}的通项公式．（II）若b n＝a n•c n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解由题意可得S n＝2﹣a n，①当n≥2时，S n﹣1＝2﹣a n﹣1，②①﹣②得，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣1﹣a n，即又a1＝S1＝2﹣a1，可得a1＝1，易知a n﹣1≠0，故数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，所以由b n+1+b n﹣1＝2b n可知数列{b n}为等差数列，设其公差为d，则，所以d＝＝2，故b n＝b1+（n﹣1）d＝2n﹣1（II）由（I）结合题意可得，＝（2n﹣1）•2n﹣1．则+…+（2n﹣1）×2n﹣1③两边同乘以2得，+…+（2n﹣1）×2n④③﹣④得，﹣T n＝1+2（21+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n整理得，﹣T n＝1+＝﹣（2n﹣3）•2n﹣3故21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝PB＝PD，PE＝2EC，O为BD 的中点．（1）证明：OP⊥平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，P A＝4，求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．【解答】解：（1）证明：取AD的中点F，连接PF，OF．因为P A＝PD，F为AD的中点，所以AD⊥PF．因为O为BD的中点，F为AD的中点，所以OF∥AB．因为AB⊥AD，所以OF⊥AD，因为OF∩PF＝F，OF⊂平面POF，PF⊂平面POF，所以AD⊥平面POF．又OP⊂平面POF，所以AD⊥OP．因为PB＝PD，O为BD的中点，所以PO⊥BD．因为AD∩BD＝D，AD⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．（2）解：以O为坐标原点，平行AD的直线为x轴，FO所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，0），B（﹣，1，0），D（，﹣1，0），C（3，1，0），P（0，0，2）．因为PE＝2EC，所以E（2，，），故＝（2，﹣2，0），＝（，，），＝（0，0，2）．设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，则＝（1，，﹣4）．记二面角C﹣BD﹣E的大小为θ，由图可知θ为锐角，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝．∴二面角C﹣BD﹣E的余弦值为．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点A在椭圆E上，且|OA|的最小值是（O为坐标原点）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线l与圆O：x2+y2＝t2（t＞0）相切，且与椭圆E交于P，Q两点．是否存在实数t，使得OP⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为|OA|的最小值是，所以b＝，因为椭圆E的焦距为2，所以2c＝2，即c＝，所以a2＝b2+c2＝4，故椭圆E的标准方程是；（2）①当直线l的斜率不存在时，因为直线l与圆O相切，所以直线l的方程为x＝±t，则直线l与椭圆E的交点为（t，）或（﹣t，），因为OP⊥OQ，所以，所以，即t＝，②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，则，，因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在直线l上，所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，将则，代入上式，得：，因为OP⊥OQ，所以，即3m2＝4（k2+1），因为动直线l与圆O相切，所以，所以，即t＝，综上，存在t＝，使得OP⊥OQ．。
2020-2021学年广东省佛山市高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．命题“∃m∈N，∈N”的否定是（）A．∀m∉N，∈N B．∀m∈N，∉NC．∃m∈N，∉N D．∃m∉N，∈N2．直线x+y﹣2＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．两平行直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x﹣y+3＝0之间的距离是（）A．B．C．1D．54．已知l，m为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m⊂α，则l∥mB．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊂α，m∥β，则1∥mD．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m5．月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆．已知近地点距离（月心到地心的最小距离）约为36.4万公里，远地点距离（月心到地心的最大距离）约为40.6万公里，据此可估算月球轨道的离心率为（）A．B．C．D．6．“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若A，B是抛物线C：y2＝4x上的两个动点，满足|AB|＝8，则线段AB的中点M到抛物线C的准线l的距离的最小值为（）A．2B．4C．6D．88．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C 的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．已知M是椭圆C：＝1上一点，F1，F2是其左、右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率e＝C．|MF1|+|MF2|＝2D．△MF1F2的面积的最大值是410．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无数条直线都与β平行B．α内的任何直线都与β平行C．两条相交直线同时与α，β平行D．两条异面直线同时与α，β平行11．设有一组圆∁k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（）A．不论k如何变化，圆心∁k始终在一条直线上B．存在圆∁k经过点（3，0）C．存在定直线始终与圆∁k相切D．若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，则k∈（）12．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中（）A．AB与CD是异面直线B．AB与CD是相交直线C．存在内切球，其表面积为πD．存在外接球，其体积为π三、填空题（共4小题）.13．双曲线9y2﹣16x2＝144的渐近线方程为．14．抛物线y2＝mx（m为常数）过点（﹣1，1），则抛物线的焦点坐标为．15．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是．16．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离．我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O，探测器在A（4000，0）处以12km/s的速度匀速直线飞向距月心2000km的圆形轨道上的某一点P，在点P处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km/s的速度匀速直线飞至B（0，3000），这一过程最少用时s．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝1，CD＝2．现选择梯形的某一边为轴旋转一周，请说明所得到的几何体的构成并计算该几何体的体积．18．如图，四面体ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°，AD⊥平面BCD．M为AD中点，P 为BM中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若AD＝DC，N是CD的中点，求证：NQ⊥平面ABC．19．在平面直角坐标系xOy中，已知四点A（0，1），B（3，0），C（1，4），D（0，3）．（1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由．（2）求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标．20．在平面直角坐标系xOy中，动圆P过点F（1，0），且与直线l：x＝﹣1相切，设圆心P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）已知M（2，0），N（﹣2，1），过点M的直线交曲线C于点A，B（A位于x轴下方），AB中点为Q，若直线QN与x轴平行，求证：直线NA与曲线C相切．21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当EF取得最大值时，求二面角E﹣A1C1﹣F的余弦值．22．已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知O为坐标原点，若平行四边形OACB的三个顶点A，B，C均在椭圆Γ上，求证：平行四边形OACB的面积为定值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．命题“∃m∈N，∈N”的否定是（）A．∀m∉N，∈N B．∀m∈N，∉NC．∃m∈N，∉N D．∃m∉N，∈N解：命题“∃m∈N，∈N”的否定是“∀m∈N，∉N”．故选：B．2．直线x+y﹣2＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：的斜率为，设倾斜角为α，则．所以倾斜角．故选：D．3．两平行直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x﹣y+3＝0之间的距离是（）A．B．C．1D．5解：两平行直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x﹣y+3＝0，则a＝﹣2，即直线l1：﹣2x+y﹣2＝0可化为2x﹣y+2＝0，所以两平行直线l1：2x﹣y+2＝0，l2：2x﹣y+3＝0之间的距离是．故选：A．4．已知l，m为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m⊂α，则l∥mB．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊂α，m∥β，则1∥mD．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m解：若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m异面，故A错误；若l∥α，m∥α，则l∥m，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故B错误；若l⊂α，m∥β，则1∥m，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故C错误；若l∥α，过l的平面与α相交于a，则l∥a，若l∥β，过l的平面与β相交于b，则l∥b，则a∥b，又α∩β＝m，可得al∥m，则l∥m，故D正确．故选：D．5．月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆．已知近地点距离（月心到地心的最小距离）约为36.4万公里，远地点距离（月心到地心的最大距离）约为40.6万公里，据此可估算月球轨道的离心率为（）A．B．C．D．解：因为月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆，所以近地点的坐标可设为（﹣a，0），远地点的坐标设为（a，0），则由题意可得a﹣c＝36.4，又2a＝36.4+40.6＝77，所以a＝38.5，则c＝2.1，故月球轨道的离心率为e＝，故选：C．6．“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当k＝1时，直线l：x﹣y＝0，点A（1，3），B（7，5）到直线分别为，，故k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的充分条件；直线l：kx﹣y＝0，根据两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等得，解得：k＝1或k＝，所以“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的不必要条件，所以“k＝1”是“两点A（1，3），B（7，5）到直线l：y＝kx的距离相等”的充分不必要条件，故选：A．7．若A，B是抛物线C：y2＝4x上的两个动点，满足|AB|＝8，则线段AB的中点M到抛物线C的准线l的距离的最小值为（）A．2B．4C．6D．8解：由抛物线的方程可得准线的方程为x＝﹣1，由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：y2﹣4my﹣4t＝0，所以△＝16m2+16t＞0，所以t＞﹣m2，且y1+y2＝4m，x1+x2＝m（y1+y2）+4t＝4m2+4t，所以中点M的横坐标x M＝2m2+t，所以M到准线的距离d＝x M+1＝2m2+t+1，弦长|AB|＝＝，由题意|AB|＝8，8＝，可得：t＝﹣m2，所以d＝2m2+t+1＝m2+1+＝4，当且仅当1+m2＝2，所以m＝±1时，d的最小值为4．故选：B．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C 的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．解：如图，由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，当P位于BB1的中点P1时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，BP1＝B1P1＝1，，求得，OP1＝，．∴，得OD1⊥OP1．又OP1∩OC＝O，∴D1O⊥平面OP1C，得到P的轨迹在线段P1C上．由C1P1＝CP1＝，可知∠C1CP1为锐角，而CC1＝2，知P到棱C1D1的最大值为．则△D1C1P面积的最大值为．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知M是椭圆C：＝1上一点，F1，F2是其左、右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率e＝C．|MF1|+|MF2|＝2D．△MF1F2的面积的最大值是4解：由椭圆的方程可得：a＝2，b＝2，c＝2，所以椭圆的焦距为2c＝4，故A错误，离心率为e＝，故B正确，由椭圆的定义可得|MF，故C错误，设点M（m，n），则三角形MF1F2的面积S＝＝2|n|，当|n|＝b＝2时，三角形面积取得最大值为4，故D正确，故选：BD．10．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无数条直线都与β平行B．α内的任何直线都与β平行C．两条相交直线同时与α，β平行D．两条异面直线同时与α，β平行解：当α内有无数多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A．当直线a⊂α，a是α平面内任意直线，即a可是α内任意两相交直线，a∥β时，满足面面平行的判定定理，a与β平行，故B正确．两条相交直线同时与α，β平行，即量相交直线所在的面γ分别与α，β平行，即γ∥α，γ∥β，可得α∥β，故C正确．两条异面直线同时与α，β平行，可在空间找一点分别作两异面直线的平行线，则所作的平行线也分别平行于α，β，可得α∥β，故D正确，故选：BCD．11．设有一组圆∁k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（）A．不论k如何变化，圆心∁k始终在一条直线上B．存在圆∁k经过点（3，0）C．存在定直线始终与圆∁k相切D．若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，则k∈（）解：根据题意，圆∁k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4（k∈R），其圆心为（k，k），半径为2；依次分析选项：对于A，圆心为（k，k），其圆心在直线y＝x上，A正确；对于B，圆∁k：（x﹣k）2+（y﹣k）2＝4，将（3，0）代入圆的方程可得（3﹣k）2+（0﹣k）2＝4，化简得2k2﹣6k+5＝0，△＝36﹣40＝﹣4＜0，方程无解，B错误；对于C，存在直线y＝x±2x，即x﹣y+2＝0或x﹣y﹣2＝0，圆心（k，k）到直线x﹣y+2＝0或x﹣y﹣2＝0的距离d＝2，这两条直线始终与圆∁k相切，C正确，对于D，若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x2+y2＝1与圆∁k有两个交点，则有1＜|k|＜3，解可得：﹣＜k＜﹣或＜k＜，D错误．故选：AC．12．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中（）A．AB与CD是异面直线B．AB与CD是相交直线C．存在内切球，其表面积为πD．存在外接球，其体积为π解：折叠后A与C重合，B与G重合，因为AB与CD是相交直线，故选项A错误，选项B正确；△ABD是等边三角形，O为△ABD的中心，则OA＝OB＝OD＝，连结OH，则有OH⊥平面ABD，在△AOH中，由勾股定理可得OH＝，由对称性可得，OE＝，由于OA＝OB＝OD≠OH，所以O不是外接球的球心，除O点以外的其它点，无法保证到五个顶点（A，B，D，H，E）的距离都相等，故此六面体无外接球，故选项D错误；由对称性，O到六个面的距离相等，故O为六面体内切球的球心，在△HOM中，ON即为内切球的半径，，因为OM＝，HM＝，所以HD＝，所以，故，所以，故选项C正确．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．双曲线9y2﹣16x2＝144的渐近线方程为y＝．解：把双曲线9y2﹣16x2＝144化成标准方程为，∴a＝4且b＝3，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．故答案为：y＝x．14．抛物线y2＝mx（m为常数）过点（﹣1，1），则抛物线的焦点坐标为．解：抛物线y2＝mx（m为常数）过点（﹣1，1），可得1＝﹣m，所以m＝﹣1，抛物线方程为：y2＝﹣x，所以抛物线的焦点坐标为．故答案为：．15．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是6．解：如图，空间四边形A﹣BCD中，两对角线的长AC、BD的长分别为6和8，所成的角为60°，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HA，则EF∥GH∥AC，且EF＝GH＝AC＝3，EH∥GF∥BD，且EH＝GF＝BD＝4，∴∠HEF＝60°，∴连接各边中点所得四边形的面积是：S四边形EFGH＝2S△FEH＝2×（）＝6．故答案为：6．16．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离．我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O，探测器在A（4000，0）处以12km/s的速度匀速直线飞向距月心2000km的圆形轨道上的某一点P，在点P处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km/s的速度匀速直线飞至B（0，3000），这一过程最少用时s．解：设PB＝x，PA＝y，则由已知可得时间t＝，当点P在P1时，设C（0，a），则由P得，a＝，即C（0，），当P在P2时，此时P2C＝，P，故时间t＝＝，因为PC+PA≥CA＝，所以，故一过程最少用时s．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝1，CD＝2．现选择梯形的某一边为轴旋转一周，请说明所得到的几何体的构成并计算该几何体的体积．解：选择一：以AB为轴旋转一周，得到的几何体为：圆柱挖去一个圆锥.圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以几何体的体积为．选择二：以BC为轴旋转一周，得到的几何体为：大圆锥加上小圆锥挖去一个圆锥．大圆锥的体积为，小圆锥挖去一个圆锥的体积为，所以几何体的体积为．选择三：以CD为轴旋转一周，得到的几何体为：圆柱加上圆锥．圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以几何体的体积为＝．选择四：以AD为轴旋转一周，得到的几何体为：圆台．圆台上底面面积为，圆台下底面的面积为，所以圆台的体积为＝．18．如图，四面体ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°，AD⊥平面BCD．M为AD中点，P 为BM中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若AD＝DC，N是CD的中点，求证：NQ⊥平面ABC．【解答】证明：（1）如图，取BD的中点为E，在CD上取一点F，使得DF＝3FC，连结EP，FQ，EF，则由P，E分别为BM，DB的中点，可得PE∥DM，且PE＝DM，又M为AD的中点，则PE＝AD，因为AQ＝3QC，DF＝3FC，所以QF∥AD，且QF＝AD，所以PE∥QF，且PE＝QF，故四边形EFQP是平行四边形，所以PQ∥EF，又PQ⊄平面BCD，EF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD．（2）设O为AC的中点，因为AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以AD⊥BC，因为BC⊥CD，CD，AD⊂平面BCD，CD∩AD＝D，所以BC⊥平面ACD，因为NQ⊂平面ACD，所以BC⊥NQ，因为点O为AC的中点，AQ＝3QC，所以点Q为CO的中点，因为N是CD的中点，所以NQ∥DO，因为AD＝DC，所以△ADC是等腰直角三角形，DO⊥AC，所以NQ⊥AC，因为BC⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，BC∩AC＝C，所以NQ⊥平面ABC．19．在平面直角坐标系xOy中，已知四点A（0，1），B（3，0），C（1，4），D（0，3）．（1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由．（2）求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标．解：（1）设经过A，B，C三点的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，所以，解得a＝2，b＝2，r2＝5，所以经过A，B，C三点的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，由于（0﹣2）2+（3﹣2）2＝5，故点D也在这个圆上，因此，四点A（0，1），B（3，0），C（1，4），D（0，3）都在圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5上．（2）因为|PA|+|PC|≥|AC|，当且仅当点P在线段AC上时取等号，同理，|PB|+|PD|≥|BD|，当且仅当点P在线段BD上时取等号．因此，当点P是AC和BD的交点时，它到A，B，C，D的距离之和最小，因为直线AC的方程为y＝3x+1，直线BD的方程为y＝﹣x+3，联立，解得，所以点P的坐标为（，）．20．在平面直角坐标系xOy中，动圆P过点F（1，0），且与直线l：x＝﹣1相切，设圆心P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）已知M（2，0），N（﹣2，1），过点M的直线交曲线C于点A，B（A位于x轴下方），AB中点为Q，若直线QN与x轴平行，求证：直线NA与曲线C相切．【解答】（1）解：根据题意可得，点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l：x＝﹣1的距离，故点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，直线：x＝﹣1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2＝4x；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），设直线AB的方程为x＝my+2，由，可得y2﹣4my﹣8＝0①，所以y1+y2＝4m，因为直线QN与x轴平行，所以，此时方程①为y2﹣2y﹣8＝0，解得，故点A（1，﹣2），所以NA的方程为y+2＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x﹣1，由，可得y2+4y+4＝0，△＝16﹣16＝0，所以直线NA与曲线C相切．21．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当EF取得最大值时，求二面角E﹣A1C1﹣F的余弦值．解：（1）证明：如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AE＝m，（0≤m≤2），则A1（2，0，2），F（2﹣m，2，0），C1（0，2，2），E（2，m，0），∴＝（﹣m，2，﹣2），＝（2，m﹣2，﹣2），∴＝﹣2m+2m﹣4+4＝0，∴A1F⊥C1E．（2）由（1）得EF＝＝＝，∵0≤m≤2，∴当m＝0或m＝2时，EF取得最大值为2，当m＝0时，点E与点A重合，即E（2，0，0），点F与点B重合，即F（2，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，2），＝（0，﹣2，2），设平面A1C1E的一个法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），设平面A1C1F的一个法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，1，1），设二面角E﹣A1C1﹣F的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角E﹣A1C1﹣F的余弦值为．当m＝2时，点E与点B重合，点F与点C重合，同理可得二面角E﹣A1C1﹣F的余弦值为．综上，当EF取得最大值时，二面角E﹣A1C1﹣F的余弦值为．22．已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知O为坐标原点，若平行四边形OACB的三个顶点A，B，C均在椭圆Γ上，求证：平行四边形OACB的面积为定值．解：（1）由题意可得e＝＝＝，+＝1，解得a＝2，b＝，则椭圆的方程为+＝1；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1+x2，y1+y2），且平行四边形OACB 的面积为△ABO的面积的2倍，①若直线AB的斜率不存在，设AB的方程为x＝t，则x1＝x2＝t，y1＝﹣y2，故C（2t，0），代入椭圆的方程可得t＝±1，则|AB|＝|y1﹣y2|＝3，S△BAO＝，平行四边形OACB的面积为3；②若直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+m，与椭圆方程联立，可得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）＝0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，代入椭圆的方程可得+＝1，整理可得3+4k2＝4m2，于是S△BAO＝|m|•|x1﹣x2|＝|m|•＝|m|•＝|m|•＝，则平行四边形OACB的面积为3，综上可得，平行四边形OACB的面积为定值3．。
2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，200230x x -+<B ．0x ∀≤，2230x x -+<C ．00x ∃>，200230-+≥x xD ．0x ∀>，2230x x -+≥【答案】D【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题求解即可.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时既要改变量词又要否定结论，所以命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是0x ∀>，2230x x -+≥，故选：D.2．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ） A ．168 B ．167C ．153D ．135【答案】A【分析】先求样本间隔，然后根据抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可． 【详解】样本间隔为18﹣3＝15， 即抽取样本数为180÷15＝12， 则最大的样本编号为3+15×11＝168， 故选：A ．3．在空间直角坐标系中，点(4,1,9)A ---与点(10,1,6)B --的距离是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由A ，B 的坐标求出AB 的坐标，求其模可得A 与B 的距离． 【详解】点(4,1,9)A ---，点(10,1,6)B --，∴(6,2,3)AB =-，则||||(7AB AB ==-=． 故选：C ．4．命题“[1,2]x ∀∈，2x a ≤”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a > B ．1a ≥C ．4a ≥D ．4a >【答案】D【分析】先找出命题为真命题的充要条件{}4a a ≥，从集合的角度充分不必要条件应为{}4a a ≥的真子集，由选项得出答案.【详解】[]1,2x ∀∈，214x ≤≤，∴要使2x a ≤恒成立，即4a ≥， 本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有D 符合. 故选：D.【点睛】结论点睛：充分不必要条件一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．5．方程211(1)x y -=--表示的曲线是（ ） A ．一个圆 B ．一个椭圆C ．两个圆D ．半圆【答案】D【分析】原方程两边平方，等价于22(1)(1)1(1)x y x -+-=，从而可得出结论． 【详解】方程211(1)x y -=--等价于22(1)(1)1(1)x y x -+-=，∴表示的曲线是半个圆．故选：D ．6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x 、y 的值分别为A ．7、8B ．5、7C ．8、5D ．7、7【答案】D【分析】根据中位数和平均数的公式分别进行计算即可．【详解】组数据的中位数为17，x 7∴=，乙组数据的平均数为17.4，()19161610y 2917.45∴+++++=， 得80y 87+=， 则y 7=， 故选D ．【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数和平均数的公式是解决本题的关键．中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数. 7．根据如表数据，得到的回归方程为y b x 9=+，则b (= )A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【分析】由题意可得样本中心点，代入回归直线可得b 值，即可得答案． 【详解】由题意可得()14567865x =++++=，()15432135y =++++=， 回归方程为9y b x =+且回归直线过点()6,3，369b ∴=+，解得1b =-，故选D ．【点睛】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.8．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为4，则数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．8-【答案】B【分析】首先设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为12x -，然后结合原数据的方差，利用方差的公式计算得出新数据的方差，再求出标准差即可． 【详解】设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为12x -， 则原数据的方差为22211021[()()()]1610x x x x x x -+-+⋯+-=， 则新数据的方差为：11[(121210x --+22)(1212x x +--+102)(1212x x +⋯+--+2)]x 222121014[()()()10]x x x x x x =⨯-+-+⋯+- 41664=⨯=．故数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为：8． 故选：B ．9．从[0]2，中任取一个数x ，从[0]3，中任取一个数y ，则使224x y ≤＋的概率为（ ）A ．12B ．π9C ．π3D ．π6【答案】D【分析】在平面直角坐标系中作出图形，则x ∈[0，2]，y ∈[0，3]的平面区域为矩形，符合条件x 2+y 2≤4的区域为以原点为圆心，2为半径的扇形内部，则扇形面积与矩形面积的比为概率【详解】在平面直角坐标系中作出图形，如图所示， 则x ∈[0，2]，y ∈[0，3]的平面区域为矩形OABC ， 符合条件x 2+y 2≤4的区域为以原点为圆心， 2为半径的扇形OAD 内部， ∴P （x 2+y 2≤4）2124236S S ππ⨯===⨯扇形矩形；故选D ．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，正确作出几何图形是解题的关键．10．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．33C 3D ．22【答案】D【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可得()()0,,,0B b F c -，由3BF FA =， 得4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点A 在椭圆上，则：22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：2222216812,,9922c c e e a a ⋅=∴===. 故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．11．已知椭圆：22142x y +=，过点()1,1M 的直线与椭圆相交于,A B 两点，且弦AB 被点M 平分，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y +-=C ．20x y +-=D ．210x y -+=【答案】B【详解】设()11A x y ，，()22B x y ，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-∴+=则()()121212122142x x y y x x y y -+-==--+ 即直线AB 的斜率为12-则直线AB 的方程为()1112y x -=-- 即230x y +-= 故选B12．给出下列命题：①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 全不为0”； ②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题； ③设,x y ∈R ，则“1x ≠或2y ≠”是“2xy ≠”的充分不必要条件；④已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率其中是真命题的有（ ） A ．①② B ．②④C ．①③D ．②③④【答案】B【分析】根据否命题的定义判断①；求出逆否命题判断②命；根据充分条件与必要条件的定义判断③；求出双曲线的离心率判断④.【详解】①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题应该是“若220a b +≠，则a ，b 不全为0”，故①错误；②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是“已知,x y ∈R ，若2x =且1y =，则3x y +=”，故②正确； ③取112x =≠，42y =≠，但是2xy =，即“1x ≠或2y ≠”不能推出“2xy ≠”，所以“1x ≠或2y ≠”不是“2xy ≠”的充分不必要条件，故③错误；④双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则有2b a=，则离心率2215c b e a a==+=，故④正确故选：B ．二、填空题13．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取__________名志愿者．【答案】3【分析】先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案. 【详解】第3组的人数为10050.0630⨯⨯=， 第4组的人数为10050.0420⨯⨯=， 第5组的人数为1000.02510⨯⨯=， 所以这三组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，第三组应抽取306360⨯=名， 故答案为：3.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关频率分布直方图的识别以及分层抽样某层抽取个数的问题，正确解题的关键是掌握在抽取过程中每个个题被抽到的机会均等. 14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为__________． 【答案】1【分析】求出抛物线22x y =的焦点坐标与准线方程，从而可得答案. 【详解】由22x y =可得1p =，抛物线22x y =的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12y， 所以抛物线22x y =的焦点到准线的距离为11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 故答案为：1.15．某学校羽毛球校队进行扩招，共2个名额，现有2名男生和3名女生报名，从报名学生中任选2名学生，则恰好选中2名女生的概率为__________． 【答案】310【分析】从2名男同学和3名女同学中任选2人，共有2510C =种，其中全是女生的有233C =种，根据概率公式计算即可【详解】从2名男同学和3名女同学中任选2人，共有2510C =种，其中全是女生的有233C =种，故选中的2人都是女同学的概率310P =， 故答案为：310.16．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为，则该双曲线的标准方程为____________________.【答案】2219y x -=.【解析】解：由双曲线渐近线方程可知b /a =3 ①因为它的一个的焦点为（10，0），所以c=10 ② 又c2=a 2+b 2③联立①②③，解得a 2=1，b 2=9， 所以双曲线的方程为x 2- y 2/9 =1． 故答案为为x 2- y 2/9 =1．17．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 和N 分别是11B D 和11B C 的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为__________．【答案】3010【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出(1,1,2)AM =-，(1,0,2)CN =，利用空间向量夹角余弦公式可得答案.【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，(1,1,2)M ，(0,2,0)C ，(1,2,2)N ，(1,1,2)AM =-，(1,0,2)CN =，设异面直线AM 和CN 所成角为θ， 则||30cos ||||65AM CN AM CN θ⋅===⋅⨯．∴异面直线AM 和CN 30．30．18．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.【答案】2212516x y += 【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=， 故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为__________．【答案】319【分析】以D为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面1ACD 的法向量，利用向量法能求出点E 到平面1ACD 的距离． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0,0)A ，(0,3,0)C ，1(0,0,1)D ， (1,3,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-，30,,02AE ⎫⎛= ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的法向量(,,)n x y z =，则1300n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(3,1,3)n =， ∴点E 到面1ACD 的距离：||319||38AE n d n ⋅==， 故答案为:31938．【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间角与距离的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”.20．如图，在一个直二面角AB αβ--的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD =__________．【答案】229【分析】求CD 的长转为求||CD ，而CD CA AB BD =++，按照向量的模长求法，即可求解.【详解】由已知，可得AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC BD ⊥，CD CA AB BD AB AC BD =++=-+，22()CD AB AC BD ∴=-+22222AB AC BD AB AC AB BD =++-⋅+⋅2163664116AC BD -⋅=++=， ||229CD ∴=．故答案为229．三、解答题21．已知命题p ：“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有实数根”，命题q ：“23m -<<”，命题r ：“1t m t <<+”．（1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围； （2）若r 是q 的充分不必要条件，求t 的取值范围． 【答案】（1）21m -<≤；（2）22t -≤≤. 【分析】（1）由p 为真可得1m ，从而123m m ≤⎧⎨-<<⎩，进而可得答案；（2）由r 是q 的充分不必要条件，可得213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），进而可得答案.【详解】（1）若p 为真：440m ∆=-≥，解得1m 若“p q ∧”是真命题，则p ，q 均为真命题即123m m ≤⎧⎨-<<⎩，解得21m -<≤．m ∴的取值范围21m -<≤（2）由r 是q 的充分不必要条件， 可得(,1)t t +是(2,3)-的真子集，即213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），解得22t -≤≤． t ∴的取值范围22t -≤≤22．某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛．随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成[160,165)，[165,170)，……，[180,185)共五组后，得到的频率分布表如下所示：（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．【答案】（1）答案见解析；（2）11 15.【分析】（1）依据频数与频率公式求得相应数据，再根据数据完成频率分布直方图；（2）利用分层抽样求得第3、4、5组中的人数，再用列举法求得相应概率.【详解】（1）第2组的频数为1000.30030⨯=人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300，频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯=人，第4组：206260⨯=人，第5组：106160⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答．设第3组的3位学生为1A，2A，3A，第4组的2位学生为1B，2B，第5组的1位学生为1C，则从这6位学生中抽取2位学生有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()11,AC ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共15种情况．抽到的2位学生不同组的有：()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()11,B C ，()21,B C ，共11种情况．所以抽到的2位学生不同组的概率为1115． 【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏.23．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）22122y x -=；（2）8. 【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可；（2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可.【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b=⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x=-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 24．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，//CF DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，由平面几何证得四边形CMEF 为平行四边形，再由线面平行的判定可得证；（2）由已知以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，运用二面角的向量求解方法可求得平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，则//AM BC=，∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC∴=，四边形ABEF 为矩形//AB EF ∴=，//MC EF∴=， ∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM∴=， 又CF ⊂/平面ADE ，ME ⊂平面ADE ，//CF ∴平面ADE ；（2）点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F ，(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =-设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则00n CD n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩，(2,2,1)n ∴=， 又AD 是平面AEFB 的一个法向量，2cos ,3||||n AD n AD n AD ⋅∴〈〉==⋅，∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．【点睛】方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上.2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.3、求：求出两个面的法向量.4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围()0π，和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，右焦点为F ，右顶点为A ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形面积为122．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，直线MA、NA分别与直线9x=交于点P、Q，且P、Q中点为G，求证：1||||2FG PQ=．【答案】（1）22198x y；（2）证明见解析.【分析】（1）根据离心率及菱形的面积联立方程求出,a b，即可求解；（2）设直线方程为1x ty=+，表示出,P Q点的坐标，利用向量可证明FP FQ⊥，根据直角三角形斜边中线的性质得证.【详解】（1）由题意得132122caab⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3a=，1c=，22b =，所以椭圆C 的方程为22198x y；（2）如图，设直线l的方程为1x ty=+，设点()11,M x y、()22,N x y，联立221198x tyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得()228916640t y ty++-=，则0∆>恒成立，由韦达定理得1221689ty yt+=-+，1226489y yt=-+，设点(9,)P m，(3,0)A，则()()11113,2,AM x y ty y=-=-，(6,)AP m=，由AM//AP→得()1162y m ty=-，可得1162y m ty =-，即点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，同理可得点2269,2y Q ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，1168,2y FP ty ⎫⎛∴=⎪ -⎝⎭，2268,2y FQ ty ⎫⎛=⎪ -⎝⎭， ()()1212366422y y FP FQ ty ty ∴⋅=+--()1221212366424y y t y y t y y =+-++2222236648964643248989t t t t t ⨯+=+-++++()222366464646406432489t t t -⨯=+=-=-+++ 因此，FP FQ ⊥．又因为P 、Q 中点为G ，所以1||||2FG PQ =． 【点睛】关键点点睛：设点()11,M x y 、()22,N x y ，点(9,)P m ，根据向量AM //AP →，转化出点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，2269,2y Q ty ⎫⎛⎪-⎝⎭，利用向量0FP FQ ⋅=，证明FP FQ ⊥是证明结论的关键所在，属于中档题.。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
2020-2021学年广东省东莞市高二上学期期末数学试题及答案
2020-2021学年广东省东莞市高二上学期期末数学试题一、单选题1．设,a b ∈R ，且0a b <<，则（ ） A ．11a b< B ．2a ab > C ．22a b < D ．2ab b <答案：B利用不等式的性质，结合作差比较法，对选项逐一判断，由此确定正确选项. 解：解：由于0a b <<，所以11a b>，故A 选项错误； 由于0a b <<，两边乘以a 得2a ab >，故B 选项正确；由于0a b <<，所以()()220a b a b a b -=+->，即22a b >，故C 选项错误；由于0a b <<，所以()20ab b b a b -=->，所以2ab b >，所以D 选项错误.故选：B2．在ABC 中，3B π=，4Cπ，2AB =，则AC =（ ）ABC ．3D．答案：B在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin AC ABB C=，代入已知数据即可求解. 解：在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin AC ABB C=，即2sin sin 34AC ππ=，所以22AC ==， 故选：B.3．若实数x ，y 满足1310x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩，则3x y -的最大值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11答案：C作出可行域，平移3y x z =-，截距取最小值时，即z 取最大值.解：作出可行域如图三角形ABC 内部区域，令3z x y =-，3y x z =-，平移至C 点处，z -取得最小值，z 取得最大值. 又易知()4,3C，故max3439z=⨯-=故选：C点评：求线性目标函数z ＝ax ＋by(ab≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 4．在等差数列{}n a 中，1236a a a ++=，520S =，则4a =（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8答案：C设等差数列{}n a 的公差为d ，可得1133651020a d a d +=⎧⎨+=⎩，解出1a 和d ，即可求解.解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则1133651020a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩，所以4136a a d =+=， 故选：C.5．2020年5月，《东莞市生活垃圾分类三年行动方案》出台.根据该方案，小明家所在小区设置了两个垃圾回收点A ，B ，他从自家楼下出发，向正北方向走80米，到达回收点A ，再向南偏东60°方向走30米，到达回收点B ，则他从回收点B 回到自家楼下至少还需走（ ）A ．50米B ．57米C ．64米D ．70米答案：D画出图形，利用余弦定理，即可求解.解：由题意，可知李华的行走路线，如图所示， 由余弦定理可得222cos60OB OA AB OA OB =+-⋅1900640023080702=+-⨯⨯⨯=， 即他从回收点B 回到自家楼下至少还需要走70米. 故选：D.6．已知抛物线24y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若1x ，3，2x 三个数构成等差数列，则线段AB 的长为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案：B先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义以及等差数列的性质，即可求解. 解：由题意，抛物线24y x =，可得其焦点坐标为(1,0)F ， 根据抛物线的定义，可得1212222p pAB AF BF x x x x =+=+++=++， 又由1x ，3，2x 三个数构成等差数列，所以126x x +=， 所以628AB =+=. 故答案为：8.7．已知函数()24a f x x x =-+，()()2244g x a a x a =-+-，若对于任意()1,x ∈+∞，均有()()f x g x >成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．(),1-∞-D ．()3,+∞答案：A由()()f x g x >得()()()0F x f x g x =->恒成立，分离参数，转化为求函数的最小值，然后可得解a 的范围．解：设22()()()(1)4F x f x g x x a x =-=--+，()()f x g x >恒成立，即()0F x >恒成立，1x >时，()0F x >恒成立，即24(1)a x x-<+恒成立，1x >时，4424x x x x+≥⨯=，当且仅当2x =时等号成立，∴4x x +的最小值为4．∴2(1)4a -<，解得13a -<<． 故选：A ． 8．如图，已知曲线2yx 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ，M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()310y x x a a=≤≤ B ．()31022ay x x x a a =+≤≤ C ．()220y x ax x a =-≤≤ D ．()2022a ay x x x a =+≤≤答案：A设点(),P x y ，求出点M 、E 的坐标，利用O 、P 、E 三点共线可得出//OP OE 可求得点P 的轨迹方程.解：设点(),P x y ，其中0x a ≤≤，则点()2,M x x，ME 与直线x a =垂直，则点()2,E a x ，因为O 、P 、E 三点共线，则//OP OE ，可得3ay x =，31y x a∴=， 因此，点P 的轨迹方程是()310y x x a a=≤≤. 故选：A.点评：方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 二、多选题9．已知曲线22:173x y C m m +=--，则下列选项正确的是（ ）A ．()0,3m ∃∈，曲线C 表示椭圆B ．()3,5m ∀∈，曲线C 表示椭圆 C ．()5,7m ∃∈，曲线C 表示双曲线D ．()7,m ∀∈+∞，曲线C 表示双曲线 答案：BD根据m 的范围，确定方程表示的曲线，然后判断各选项．解：(0,3)m ∈时，70m ->，30m -<，方程表示双曲线，A 错；(3,5)m ∈时，70,30m m ->->，且73m m ->-，方程表示椭圆，B 正确； (5,7)m ∈时，70,30m m ->->，且73m m -<-，方程表示椭圆，C 错； (7,)m ∈+∞时，70,30m m -<->，方程表示双曲线，D 正确．故选：BD ．10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱1AA 和1BB 的中点，则下列选项正确的是（ ）A ．1AC D N ⊥B ．1MCD N ⊥C ．()11110MC A B A D ⋅-= D ．112MC AB B B AD =++ 答案：ACD以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，得出各点坐标，由向量的运算判断ABC 三个选项，由向量的线性运算判断D ．解：以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，1111(2,0,2),(2,2,2),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ，(2,0,1),(2,2,1)M N ，(2,2,0)=-AC ，1(2,2,1)D N =-，10AC D N ⋅=，1AC D N ⊥，A 正确；(2,2,1)MC =--，11MC D N ⋅=，B 错；111111(2,2,0)A B A D D B -==，()11110MC A B A D ⋅-=，C 正确；111122MC AC AM AB AB B B D A AD A A =+=-=+-+，D 正确． 故选：ACD ．点评：方法点睛：本题考查空间向量的数量积，考查空间向量的线性运算．解题方法建立空间直角坐标系，把空间向量的数量积用坐标进行运算，向量垂直用数量积进行表示，这样直接计算可减少证明．简化的解题过程．11．若不等式20ax bx c -+>的解集是()1,2-，则下列选项正确的是（ ） A ．0a < B ．0b <且0c >C ．0a b c ++>D ．不等式20ax cx b -+<的解集是R答案：AB结合不等式的解集与方程的根之间的关系，求得,2==-b a c a 且0a <，逐项判定，即可求解.解：由题意，不等式20ax bx c -+>的解集是()1,2-，可得1,2-是方程20ax bx c -+=的两个根，所以1212b a c a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，且0a <，所以A 正确；又由,2==-b a c a ，所以0,0b c <>，所以B 正确； 当1x =-时，此时0a b c ++=，所以C 不正确；把,2==-b a c a 代入不等式20ax cx b -+<，可得220ax ax a ++<，因为0a <，所以2210x x ++>，即2(1)0x +>，此时不等式的解集为{}|1x x ≠-，所以D 不正确. 故选：AB.12．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（ ）A ．01q <<B ．202020211S S +<C ．2020T 是数列{}n T 中的最大项D ．20211T >答案：ACD分析出01q <<，可得出数列{}n a 为正项递减数列，结合题意分析出正项数列{}n a 前2020项都大于1，而从第2021项起都小于1，进而可判断出各选项的正误.解：由()()20202021110a a -⋅-<可得20201a -与20211a -异号，2020202111a a >⎧⎨<⎩或2020202111a a <⎧⎨>⎩， 又11a >，且202020211a a ⋅>，可得2020a 与2021a 同号，即0q >， 且一个大于1，一个小于1，若1q >，则111n n a a q -=>，不符合题意；若01q <<，则11a >，11n n a a q -=为递减数列，满足2021202001a a <<<，故A 正确；对于B 选项，由于01q <<，数列{}n a 为正项递减数列，2021202001a a <<<，所以，2021202020211S S a -=<，故B 选项错误；对于C 选项，由上可知，正项数列{}n a 前2020项都大于1， 而从第2021项起都小于1，所以，2020T 是数列{}n T 中的最大值，故C 选项正确；对于D 选项，22021202120211011202120211111110121T a a q a q a q a q a ⨯=⨯⨯⨯⨯==>，D 选项正确. 故选：ACD.点评：关键点点睛：在等比数列{}n a 的公比q 的取值不确定时，首先分析q 的符号，进一步确定q 的取值范围，解本题的关键就是结合已知条件分析出01q <<，并结合等比数列{}n a 的单调性来进行推导. 三、填空题13．双曲线22145x y -=的一个焦点F 到其渐近线的距离为__________.由双曲线方程，得到焦点坐标为（±3，0），渐近线为y．由点到直线的距离公式进行计算，结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点F 到其渐近线的距离．解：∵双曲线方程为22145x y -=∴双曲线的焦点坐标为（±3，0） 渐近线为y0 可得焦点F 到其渐近线的距离为d 3==点评：本题考查了点到渐近线的距离，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()21n n n a +=，则4S =__________.答案：45根据题意，得到111n a n n =-+，结合裂项求和法，即可求解. 解：由题意，数列{}n a 中，满足()21n n n a +=，可得21111n a n n n n ==-++， 所以41234111111114(1)()()()1223344555S a a a a =+++=-+-+-+-=-=. 故答案为：45. 15．四棱柱111ABCD A BC D -中，2AB AD ==，13AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则向量1AC 的模长1AC =__________.画出图形，根据条件得出211()AC AA AD AB =++，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.解：如图所示，四棱柱111ABCD A BC D -中，2AB AD ==，13AA =，90BAD ∠=︒， 且1160BAA DAA ∠=∠=︒，所以1111111AC AA A D DC AA AD AB =++=++， 所以222211111()222AC AA AD AB AA AD AB AA AD AD AB AA AB =++=+++⋅+⋅+⋅94460629=+++++=.故答案为：29.16．从椭圆的一个焦点1F 发出的光线射到椭圆上的点P ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F ，事实上，点()00,P x y 处的切线00221xx yy a b+=垂直于12F PF ∠的角平分线，已知椭圆22:143x y C +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的角平分线PT 交椭圆C 的长轴于点(),0T t ，则t 的取值范围是__________. 答案：11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为1-，即可求解. 解：由题意，椭圆C 在点()00,P x y 处的切线00221xx yy a b+=，且0(2,2)x ∈-， 所以切线的斜率为0034x y -，而角12F PF ∠的角平分线的斜率为00y x t-，又由切线垂直角12F PF ∠的角平分线，所以0000314x y y x t-⋅=--， 即0111(,)422t x =∈-. 故答案为：11(,)22-.四、解答题17．已知集合{}2680A x x x =-+<，集合()(){}30,0B x x m x m m =--. （1）若1B ∈，求实数m 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.答案：（1）1(,1)3；（2）4[,2]3.（1）根据不等式的解法，先求得集合,A B ，根据1B ∈，列出不等式组，即可求得实数m 的取值范围；（2）由“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，得到集合A 是集合B 的真子集，列出不等式组，即可求解.解：（1）由不等式2(2)(48)06x x x x --+=<-，解得24x <<，所以集合{}|24A x x =<<，因为0m >，所以3m m <，所以集合{}|3B x m x m =<<，因为1B ∈，所以131m m <⎧⎨>⎩ ，解得113m <<，即实数m 的取值范围1(,1)3.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，即集合A 是集合B 的真子集，则满足243m m ≤⎧⎨<⎩或243m m<⎧⎨≤⎩，解得423m <≤或423m ≤<，所以423m ≤≤，即实数m 的取值范围4[,2]3.18．若数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 答案：（1）21n a n =-；（2）113n n n S +=-.（1）利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求通项公式；（2）由（1）知利用错位相减法求和.解：解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，也符合上式，所以对任意正整数n ，21n a n =-.（2）由（1）得213n nn b -=， 所以131********33333n n nn n S ---=+++++…，①234111352321333333…n n n n n S +--=+++++，② -①②，得32121111212333333n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…， 21113311132[1()]12122231333n n n n n -++⨯--+=+-=--， 所以113n n n S +=-． 点评：方法点睛：本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.19．在①8a b +=，c =10b c +=，3cos 4B =这两组条件中任选一组补充在下面问题的横线上，并进行解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若8cos 8a c A b +=，__________. （1）求cos C ； （2）求ABC 的面积. 答案：选择条件①（1）18；（2）1）18；（2（1）解法一：利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质即可求解；解法二：利用余弦定理即可求解.（2）选择条件①. 利用余弦定理，2221cos 28a b c Cab，可得16ab =，再由三角形的面积公式即可求解；选择条件②，利用正弦定理可得4b =，6c =，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+以及三角形的面积公式即可求解.解：解：（1）解法一：由正弦定理，得sin 8sin cos 8sin A C A B +=， 由()B A C π=-+，得sin 8sin cos 8sin()A C A A C +=+，即sin 8sin cos 8sin cos 8cos sin A C A A C A C +=+，整理得sin 8sin cos A A C =， 由(0,)A π∈，得sin 0A ≠， 所以1cos 8C =. 解法二：由余弦定理，得222882b c a a c b bc+-+=，整理得22214a b c ab +-=， 所以222114cos 228ab a b c C ab ab +-=== （2）选择条件①. 由余弦定理，得2221cos 28a b c C ab ，即22214a b c ab +-=，即229()4a bc ab +-=， 又8,a b c +==，得964284ab -=，解得16ab =， 在ABC 中，由1cos 8C =，得sin C = 由面积公式1sin 2ABCSab C =，得1162ABCS =⨯=. 选择条件②. 在ABC中，由1cos 8C =，得sin C =，由3cos 4B =，得sin 4B =，由正弦定理sin sin b cB C=，得7sin 24sin 337b B c C ===， 联立10b c +=，解得4b =，6c =，由7133757sin sin()sin cos cos sin 484816A B C B C B C =+=+=⨯+⨯=， 由面积公式1sin 2ABCSbc A =，得157157462ABCS =⨯⨯⨯=. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，PA AB BC ==，2AD BC =，E 是PB 的中点.（1）证明：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的大小. 答案：（1）证明见解析；（2）56π.（1）以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，由=0AE PB ⋅，=0AE PC ⋅可得答案；（2）求平面PBC 的法向量和平面PCD 的法向量，利用数量积公式可得答案. 解：PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA AB ∴⊥， PA AD ⊥，又AB AD ⊥，AB ∴、AD 、AP 两两互相垂直，以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，设1AB =，则1PA BC ==，2AD =，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ，11,0,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， （1）证明：11,0,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,0,1PB =-，()1,1,1PC =-， 因为11=022AE PB ⋅=-，11=022AE PC ⋅=-， 所以AE PB ⊥，AE PC ⊥，即AE PB ⊥，AE PC ⊥， 又因为PB PC P ⋂=，PB ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以AE ⊥平面PBC .（2）由（1）得平面PBC 的法向量为11,0,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由()()1,1,0,0,2,1CD PD =-=-得，020n CD x y n PD y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩，解得2x yz y =⎧⎨=⎩，令1y =，则平面PCD 的一个法向量()1,1,2n =， 则1132cos ,2262AE n AE n AE n+⋅<>===⨯，设二面角B PC D --的平面角为θ，由题知3cos cos ,2AE n θ=-<>=-， 所以二面角B PC D --的平面角为56π.点评：本题考查利用空间向量证明线面垂直、求面面所成的角，关键点是建立空间直角坐标系，用向量法解题，属于中档题.21．目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高50m AB =，该同学眼高1.5m （眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°.（1）求出山高BE （结果保留整数）；（2）如图，当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离m MD x =，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角为β.试问当x 多大时，观测基站的视角AMB ∠最大?参考数据：sin80.14︒≈，sin370.6︒≈，sin 450.7︒≈，sin1270.8︒≈. 答案：（1）152m ；（2）1003x =（1）根据题意，把条件抽象到三角形中，用正弦定理直接求出山高BE ；（2）由两角和差正切公式和基本不等式，求最值，可得观测站视角AMB ∠的最大值. 解：解：（1）由题知8,45ACB BAC ∠=∠=， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC =∠∠，即50sin8sin 45BC =，所以500.72500.14BC ⨯≈=在Rt BDC 中，sin BDBCD BC ∠=，即sin 37250BD =， 所以2500.6150BD ≈⨯=，所以山高150 1.5151.5152BE BD DE =+=+=≈m. （2）由题知AMD β∠=，BMD α∠=，则在Rt BMD 中，150tan BD MD x α== 在Rt AMD 中，200tan AD MD xβ== 由题知AMB βα∠=-，则tan tan tan tan()1tan tan AMB βαβααβ-∠=-=+220015050200150300001x x x x x x -==++⋅5030000x x =≤==+ 当且仅当30000x x=即x =时，tan ACB ∠取得最大值，即视角最大. 点评：数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．22．已知焦点在x 轴上的椭圆C ，其离心率为12，且经过点2P ⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()0,M m 的直线l （斜率存在且不为0）与椭圆C 交于两点T ，Q，设0,12D ⎛ ⎝⎭，且满足DT DQ =，求实数m 的取值范围.答案：（1）22143x y +=；（2）4m -<<-. （1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，有由题意可得12c e a ==，将点P⎭代入椭圆方程，结合222a b c=+即可求出,,a b c的值，进而可得椭圆C的标准方程；（2）设直线l为y kx m=+，1122(,)(,)T x y Q x y、，TQ的中点00(,)H x y，联立直线l 与椭圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，由韦达定理可得12x x+、12x x，以及H坐标，利用DH TQ⊥可得22112433434DHkmkkk mk+-+=-=，结合0∆>即可求解. 解：（1）设椭圆方程为()222210x ya ba b+=>>，依题意得222222112a b cbcea⎧=+⎪+=⎪⎪==⎪⎩，解得:2a=，b=所以椭圆的标准方程是22143x y+=.（2）设直线l为y kx m=+，联立22143y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(34)84120k x kmx m+++-=，所以21212228412,3434mx x xkkmkx--+==++，由2222644(412)(34)0k m m k∆=--+>，整理得2234m k<+，①设1122(,)(,)T x y Q x y、，TQ的中点00(,)H x y，则2221004,342334x xx ykm mkx mk k+-===+=++，所以22334,434km mk kH-⎛++⎫⎪⎝⎭，由DT DQ =，得DH TQ ⊥，所以22112433434DHk m k k km k +-+=-=，整理得2(342),01k k m =-+≠，②由②得m <，将②代入①得20m +<，解得0m -<<， 综上所述：m的取值范围是m -<<. 点评：方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。