解耦控制

µ1 h11 µ = h 2 21
∂µ j ∂yi
yr
h12 y1 y h22 2
1 = qij
（7-14） ）
h ji =
式中
K22 h11 = K11K22 − K12 K21
K12 h12 = − K11K 22 − K12 K 21
p ij
∂yi = ∂µ j
µ
r
µ j → yi的增益 通道投运， （仅µ j → yi通道投运， 其他通道不投运） 其他通道不投运）
对于双输入对于双输入-双输出系统
µ1 K11 K21 K12 µ2 K22 y2 y1
p11 p12 k11 k12 P= = p21 p22 k21 k22
2
h
p2
压力－ 压力－流量系统可描述为
µ1 µ 2 ( p 0 − p 2 ) h = µ1 ( p0 − p1 ) = µ 2 ( p1 − p 2 ) = µ1 + µ 2
h 对 µ1 的第一放大倍数为
∂h ∂µ1 µ2 = µ + µ ( p0 − p 2 ) 1 2
存在耦合的多变量过程控制系统的分析与设计中 需要解决的主要问题： 需要解决的主要问题： 1. 如何判断多变量过程的耦合程度？ 如何判断多变量过程的耦合程度？ 2. 如何最大限度地减少耦合程度？ 如何最大限度地减少耦合程度？ 3. 在什么情况下必须进行解耦设计，如何设计？ 在什么情况下必须进行解耦设计，如何设计？
y1 = K11µ1 + K12 µ2 y2 = K 21µ1 + K 22 µ 2
式中， 表示第j个输入变量作用于第i个输出变量的放大系数。 式中，Kij表示第j个输入变量作用于第i个输出变量的放大系数。
1 要求λ 1 1 ，首先求其分子项 ∂µ1 则有
∂y
µ
r
，除 µ1 外，其他 µ 不变， 不变，
λ 22 = λ11 λ12 = λ 21
k11k 22 = k11k 22 − k12 k − k12 k 21 = k11k 22 − k12 k
21
21
µ1
K11 K21 K12
y1
µ2
K22
y2
从上例可以看到， 只要知道第一放大系数， 从上例可以看到 ， 只要知道第一放大系数 ， 就 可以求出第二放大系数，进而得到相对增益。 可以求出第二放大系数，进而得到相对增益。 既然如此， 既然如此，各放大系数之间的内在关系是什么 呢？
λ11 λ12 λ λ22 21 Λ= ⋮ ⋮ λn1 λn 2
yi
⋯ λ1n ⋯ λ2 n ⋱ ⋮ ⋯ λnn
uj
2
相对增益的求取方法
1）直接微分法（最基本的方法） 直接微分法（最基本的方法） 例：计算压力－流量过程的相对增益 计算压力－
P G
p0
1
p1
引入K（ ）矩阵，可写成矩阵形式， 引入 （P）矩阵，可写成矩阵形式，即
y1 K11 K12 µ1 y = K K µ 2 21 22 2
（7-12） ）
p11 p12 k11 k12 P= = p21 p22 k21 k22
det P ∑ λij = ∑ pij det P = det P = 1 i =1 i =1
n
p ij det P
式中， 的行列式； 是矩阵P 式中，detP是矩阵P的行列式；Pij是矩阵P的代数余 子式。公式（ 26） 子式。公式（7-26）是利用通道静态增益来计算相 对增益的一般公式。 对增益的一般公式。
3 相对增益矩阵特性
Λ中每行或每列的相对增益的总和都是1 中每行或每列的相对增益的总和都是1
q ij
∂yi = ∂µ j
y
r
µ j → yi的增益 不仅µ 通道投运， （不仅 j → yi通道投运， 其他通道也投运） 其他通道也投运）
相对增益λ 定义为： 相对增益λij定义为：
λ ij =
p ij q ij
∂yi ∂µ j = ∂yi ∂µ j
µ
r
y
r
相对增益矩阵Λ 相对增益矩阵Λ
由相对增益λ 元素构成的矩阵， 由相对增益λij元素构成的矩阵，即
第二放大系数q 闭环增益） 第二放大系数 ij （闭环增益）
指除所观察的µ j到 yi通道之外，其它通道均 指除所观察的 通道之外， 闭合且保持y 闭合且保持 r（r≠i）不变时， µ j到yi通道之 ）不变时， 间的静态增益。 间的静态增益。 只改变被控量y 所得到的变化量∆ 即，只改变被控量 i所得到的变化量∆yi与µ j 的变化量∆ 之比。 的变化量∆ µ j之比。 qij可表示为： 可表示为：
λ 1 1 的分母项 ∂ y 1 再求
∂ y1 ∂µ1
µ
r
= k11
r
y1 = K11µ1 + K12 µ 2 0 = K 21µ1 + K 22 µ 2
∂µ1
y
不变， ，除 y1 外，其他 y 不变，则有
由上面两式可得： 由上面两式可得：
K 21 y1 = K11µ1 − K12 µ1 K 22
精馏塔温度控制方案系统图
控制系统方框图
耦合：控制变量与被控变量之间是相互影响的， 耦合：控制变量与被控变量之间是相互影响的， 一个控制变量的改变同时引起几个被控变量变换 的现象。 的现象。 解耦：消除系统之间的相互耦合， 解耦：消除系统之间的相互耦合，使各系统称为 独立的互不相关的控制回路。 独立的互不相关的控制回路。 把具有相互关联的多参数控制过程转化为几个彼 此独立的单输入-单输出控制过程来处理， 此独立的单输入-单输出控制过程来处理，实现一 个调节器只对其对应的被控过程独立地进行调节。 个调节器只对其对应的被控过程独立地进行调节。 解耦控制系统（ 这样的系统称为解耦控制系统 这样的系统称为解耦控制系统（或自治控制系 统）。
pij λij = qij
pij 第一放大系数（开环增益） 第一放大系数（开环增益） qij 第二放大系数（闭环增益） 第二放大系数（闭环增益）
第一放大系数p 开环增益） 第一放大系数 ij （开环增益） 指耦合系统中， 通道外， 指耦合系统中，除µ j到yi通道外，其它通道 全部断开时所得到的µ 通道的静态增益; 全部断开时所得到的 j到yi通道的静态增益 调节量µ 改变了∆ 所得到的y 即，调节量 j改变了∆ µ j所得到的 i的变化 之比，其它调节量µ 量∆yi与∆ µ j之比，其它调节量 r（r≠j）均 ） 不变。 不变。 pij可表示为： 可表示为：
p11 Λ= ⋮ pn1
n
p12 ⋮ ... pn 2
n
p1n P 11 ⋮ . * ⋮ pnn Pn1
Pij
P 12 ⋮ Pn 2
... P n 1 1 ⋮ det P ... Pnn
1 n det P ∑ λij = ∑ pij det P = det P ∑ pij Pij = det P = 1 j =1 j =1 j =1
h h
相对增益为
λ p1 =
p1 − p 2 p0 − p 2
λ p2 =
p0 − p1 p0 − p 2
相对增益矩阵为
p0 − p1 p −p 0 2 Λ= p1 − p 2 p0 − p 2 p1 − p2 p0 − p 2 p0 − p1 p0 − p 2
由（7-12）式得 ）
K22 K12 µ1 = y1 − y2 K11K22 − K12K21 K11K22 − K12K21 −K21 K11 µ2 = y1 + y2 K11K22 − K12K21 K11K22 − K12K21
（7-13） ）
引入H矩阵 ， 引入 矩阵， 则 （ 7-13） 式可写成矩阵形式 ， 矩阵 ） 式可写成矩阵形式， 即
2
µ2
h 对 µ1 的第二放大倍数为
∂h ∂µ1
p1
µ2 = p0 − p1 = ( p0 − p 2 ) µ1 + µ 2
相对增益为
p0 − p1 µ2 λh1 = = µ1 + µ 2 p 0 − p 2
λh2
p1 − p 2 = p0 − p 2
压力－流量系统可描述为 压力－
µ1 p0 + µ 2 p2 p1 = p0 − = p2 + = µ1 µ2 µ1 + µ 2
K21 h21 = − K11K22 − K12K21
1 qij = h ji
K11 h22 = K11 K 22 − K12 K 21
λ ij = pij ⋅ h ji KH = I
λij =
pij qij
H = K −1
注意： 元素下标要颠倒。 注意：h元素下标要颠倒。
相对增益矩阵Λ 可表示成矩阵K中每个元素与 相对增益矩阵 Λ 可表示成矩阵 中每个元素与 转置矩阵中相应元素的乘积 中相应元素的乘积（ 逆矩阵K 逆矩阵 -1 的 转置矩阵 中相应元素的乘积 （ 点 积），即
对于双输入-双输出系统 对于双输入 双输出系统
µ1 K11 K21 K12 µ2 K22 y2 y1
p11 p12 k11 k12 P= = p21 p22 k21 k22
y1 = K11µ1 + K12 µ 2 y2 = K 21µ1 + K 22 µ2
Λ = K ∗ (K ) = P ∗ (P )
或表示成
−1 T
−1 T
（7-24） ）
Λ = H ∗H
−1