2020年北京交大附中初三年级数学10月月考试卷(含答案)
北京交大附中2021届初三10月月考练习数学试卷班级：姓名：一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．2.抛物线y(x1)2
2
的顶点坐标为（）
A．(1,2)B．(1,2)C．(1,2)D．(2,1)
3.抛物线
yx2
2x3
的对称轴是直线（）
A.x2B.x2C.x1D.x1
4.已知2是关于x的方程
3x2
2a0的一个解，则a的值是（）
A.3B.4C.5D.65．将抛物线y2x2
向下平移3个单位，得到的抛物线为（）
A．y2x23B．y2x2
3
C．y2x32D．y2x3
2
6．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）7.风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（）A．45B．60C．90D．120
8.已知一次函数y1kxm(k0)和二次函数y
2ax2bxc(a0)
部分自变量和对应的函数值
如表：x…-10245…
y1…01356…
y2…0-1059…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（）A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.方程
x2
2x80
的根是.
10.已知关于x的方程x2
2xk0有两个相等的实数根，则k的值是.
11．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式：．12.若二次函数y(x1)2
3
的图象上有两点A(0,a),B(5,b),则ab.（填“>”，“=”或“<”）
13.二次函数yx26xm（m是常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方
程x26xm0的根是．14.如右图所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转
一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长
为．15．若二次函数yx22xc
的最小值是7，则它的图象与y轴的交点坐标
是．16．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算√(−2)2+(π−1)0−√12+|√3−1|18.解方程：x2−2x=3
19.已知二次函数的图象经过点(0,1)，且顶点坐标为(2,5)，求此二次函数的解析式．
安全出口编号A，BB，CC，DD，EA，E疏散乘客时间（s）12022016014020020．关于x的一元二次方程x22kxk2
k20有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，求k的值及此时方程的根．
21.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
…－4－3－2－10…
…－50343…（1）求此二次函数的表达式；（2）画出此函数图象(不用列表).
（3）结合函数图象，当－4＜x≤1时,写出y的取值范围.
22.已知如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>CE．
连接BG、DE．求证：BG=DE.
23．图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m.水面上升3米，水面宽度减少多少？24.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，1）．
（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C；（2）在（1）的条件下，①点A经过的路径⏜′的长度为（结果保留π）；
②点B'的坐标为．25.探究函数yxx2的图象与性质．
小娜根据学习函数的经验，对函数yxx2的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1）下表是x与y的几组对应值．x…21012123…y…830mn13…
请直接写出：m=，n=；（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程xx2a有三个不同的解，记为x
1,x2,x3，
且x1
yA
BOx
C
y5
4321
–5–4–3–2–1O–112345
x
–2–3–4–5–6–7–8GB
G
C
y4321
–4–3–2–1O–1
1234
x
–2–3–4
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2
bxc
与直线yx1交于A,B两点，其中点A在x轴
上.
（1）用含有b的代数式表示c；（2）①若点B在第一象限，且AB32，求抛物线的解析式；
②若AB32，结合函数图象，直接写出b的取值范围.
27.在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
(1)如图1，当EF与AB相交时，当EAB60时，①请直接写出∠C度数为；②求证：EG=AG+BG；(2)如图2，当EF与CD相交时，且EAB90，请你写出线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明你的结论．
AED
AED
CB
FF
图1图228.定义:对于平面直角坐标系xOy上的点P(a,b)和抛物线yx2axb,我们称P(a,b)是抛物线
yx2axb的相伴点,抛物线yx2axb是点P(a,b)的相伴抛物线．
如图，已知点A(-2,-2)，B(4,-2)，C(1,4)．(1)点A的相伴抛物线的解析式为；过A,B两点的抛物线yx2axb的相伴点
坐标为；(2)设点P(a,b)在直线AC上运动:
①点P(a,b)的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上,求抛物线Ω的解析式．②当点P(a,b)的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时,请直接写出a的取值范围．1
2021届初三10月月考练习数学 评分标准及参考答案 一、 选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C D B A D D
二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 𝑥1=2,𝑥2=−4 10. 1 11. 𝑦=−𝑥2+2 （答案不唯一） 12.< 13. 𝑥1=−1,𝑥2=7 14. 1 15. (0,8) 16. D
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分） 17. 解：原式=2–√3；……5分 18.解：𝑥1=3,𝑥2=−1 19. 解: 设解析式为()225yax=−+……………………………2分 代入x=0，y=1，得 1=4a+5………………………………………3分 a= -1………………………….....……………4分
所以解析式为()225yx=−−+或241yxx=−++………………………………5分 20.解：（1）根据题意知△22(2)41(2)0kkk=−−+−， 即480k−+，
解得2k； （2）2k且k为正整数， 1k=， 220xx−=，
解得0x=或2x=． 21. 解：(1)由表知,抛物线的顶点坐标为(−1,4), 设y=a(x+1)2+4， 把(0,3)代入得a(0+1)2+4=3，解得a=−1， ∴抛物线的解析式为y=−(x+1)2+4,即y=−x2−2x+3；
(2) 函数图象如图所示，
北京市海淀区清华附中2019-2020年九年级(上)月考数学试卷(10月份) 解析版
2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 3．二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．35．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+26．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．87．如图，▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则△DEF与△BAF 的周长之比为（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：58．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二．填空题（共7小题）9．如果，那么的值为．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．11．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝．12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x… 1 3 5 …y… 1.5 1.5 ﹣2.6 …则a﹣b+c＝．14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是．15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．三．解答题（共12小题）16．解方程：x2﹣3x+1＝0．17．已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝4．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求△ABC的面积．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0．（1）当a﹣b﹣2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．21．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A、B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C，（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB、BC、CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，区域内的整点有个，其坐标为．②当k＝2时，区域W内的整点有个．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．24．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD ⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE ⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝OF＝；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算：OC＝，OF＝．25．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．26．已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．（1）如图，当∠APB＝30°时，①按要求补全图形；②求AB和PC的长．（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为，此时∠APB＝．27．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 【分析】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：D．3．二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝1【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，从而可以直接写出该函数的对称轴，本题得以解决．【解答】解：二次函数y＝2x2﹣4x﹣2＝2（x﹣1）2﹣4，则该函数的对称轴是直线x＝1，故选：B．4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．3【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠B＝60°，AC＝3，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝3，∴BC＝＝，∵AB⊥CD，∴CE＝BC•sin60°＝×＝，∴CD＝2CE＝3．故选：D．5．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+2【分析】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a，解得a＝．故原来的抛物线解析式是：y＝x2．设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．解得b＝0（舍去）或b＝4．所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．故选：C．6．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】根据位似变换的性质得到＝，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到＝，所以＝，然后把OC1＝OC，AB＝4代入计算即可．【解答】解：∵C1为OC的中点，∴OC1＝OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴＝，B1C1∥BC，∴＝，∴＝，即＝∴A1B1＝2．故选：B．7．如图，▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则△DEF与△BAF 的周长之比为（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝2，EC＝3，∴AB＝CD＝5，∵AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴△DEF与△BAF的周长之比＝＝，故选：C．8．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】根据图1，从点M、N、P、Q的位置分析得到甲虫运动时距离点M、N、P、Q的距离的变化情况，从而得解．【解答】解：由图可知，A、甲虫与点M的距离先逐渐增大，至点B时最大，然后逐渐变小，与图2不符合；B、甲虫与点N的距离从A到O逐渐变小，从O到B逐渐变大，从B到ON与半圆的交点逐渐变小，然后至点A逐渐变大，且甲虫在点A、B时与点N的距离相等，因此应出现3次与起始距离相等的情况，与图2不符合；C、甲虫与点P的距离从点A至点B减小，从点B至OP与半圆的交点减小，然后增大直至点A，图2不符合；D、甲虫与点Q的距离，从点A值点OB的过点Q与AB的垂线的垂足减小，再至点B增大，从点B值OP与半圆的交点减小，然后至点A一直增大，图2符合．故选：D．二．填空题（共7小题）9．如果，那么的值为 5 ．【分析】利用比例性质得到a﹣b＝4b，则a＝5b，从而得到的值．【解答】解：∵，∴a﹣b＝4b，∴a＝5b，∴＝＝5．故答案为5．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝120°．【分析】先根据圆周角定理求出∠BCD的度数，再由平角的定义即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD＝120°，∴∠BCD＝＝60°．∴∠DCE＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．11．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝﹣1 ．【分析】根据“方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数”，利用一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的等式，解之，再把m的值代入原方程，找出符合题意的m的值即可．【解答】解：∵方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，∴1﹣m2＝0，解得：m＝1或﹣1，把m＝1代入原方程得：x2+2＝0，该方程无解，∴m＝1不合题意，舍去，把m＝﹣1代入原方程得：x2＝0，解得：x1＝x2＝0，（符合题意），∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（2，0）．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故答案为：（2，0）．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x… 1 3 5 …y… 1.5 1.5 ﹣2.6 …则a﹣b+c＝﹣2.6 ．【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则可判断当x＝﹣1和x＝5时函数值相等，所以x＝﹣1时，y＝﹣2.6，然后把x＝﹣1时，y＝﹣2.6代入解析式即可得到a﹣b+c的值．【解答】解：∵x＝1，y＝1.5；x＝3，y＝1.5，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2，∴当x＝﹣1和x＝5时函数值相等，而x＝5时，y＝﹣2.6，∴x＝﹣1时，y＝﹣2.6，即a﹣b+c＝﹣2.6．故答案为﹣2.6．14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是130°．【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACO＝60°﹣，由外角性质可求∠BOC＝40°，即可求解．【解答】解：∵△AOB是等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝＝＝60°﹣，∵∠CAB+∠OBA＝∠COB+∠ACO，∴20°+60°＝∠COB+60°﹣，∴∠BOC＝40°，∵OC＝OA＝OB，∴∠OBC＝70°，∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝130°，故答案为：130°．15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长即可求出MN的长．【解答】解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，∴＝13．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．三．解答题（共12小题）16．解方程：x2﹣3x+1＝0．【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法求解即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1∴b2﹣4ac＝5∴x＝．故，．17．已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值．【分析】把代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7整理得：3（m2+m）﹣8，根据“m 是一元二次方程x2+x＝5的实数根”，得到m2+m＝5，代入3（m2+m）﹣8，计算求值即可．【解答】解：（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7＝4m2﹣1﹣m2+3m﹣7＝3m2+3m﹣8＝3（m2+m）﹣8，∵m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，∴m2+m＝5，原式＝3×5﹣8＝7，即代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值为7．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝4．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）根据余角的性质得到∠ACD＝∠B，根据相似三角形的判定定理即可得到结论△ACD∽△ABC；（2）根据相似三角形的性质得到AB＝5，根据勾股定理得到BC＝＝＝2，由三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A+∠B＝∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝5（负值舍去），∴BC＝＝＝2，∴△ABC的面积＝AC•BC＝＝5．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0．（1）当a﹣b﹣2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案；【解答】解：（1）由题意可知：△＝b2+4a，当a﹣b﹣2＝0时，∴b＝a﹣2，∴△＝（a﹣2）2+4a＝a2+4＞0，该方程有两个不相等的实数根；（2）由（1）可知：b2+4a＝0，∴当b＝2时，∴a＝﹣1，∴该方程为：﹣x2﹣2x﹣1＝0，∴（x+1）2＝0，∴x＝﹣120．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；（2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC＝60°，AD＝2即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝1，∵AD＝2BC＝2，∴sin∠ADB＝，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，∵AD＝2，∴CD＝1，AC＝．21．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．【分析】根据桥拱的对称性和已知数据，以对称轴为纵轴、水面为横轴建立坐标系，使拱顶在坐标原点最简单．【解答】解：正确．抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图．（仅举两例）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A、B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C，（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB、BC、CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，区域内的整点有 1 个，其坐标为（0，0）．②当k＝2时，区域W内的整点有 6 个．【分析】（1）当x＝0，y＝1即可求点（0，1）；（2）①当k＝1时，y＝x+1，x＝1，y＝﹣1，画出函数，可得整数点坐标（0，0）；②当k＝2时，y＝2x+1，x＝2，y＝﹣2，由图象可看出分别6个整数点分别是（0，0），（0，﹣1），（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，0）．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝1，∴直线l与y轴的交点坐标是（0，1）；（2）①当k＝1时，y＝x+1，x＝1，y＝﹣1，∴区域内只有一个整点（0，0）；故答案为1，（0，0）；②当k＝2时，y＝2x+1，x＝2，y＝﹣2，此时区域内有6个整点，分别是（0，0），（0，﹣1），（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，0）；故答案为6．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．【分析】（1）连接OD．证明△AOD是等边三角形即可解决问题．（2）连接OC，CF，EC．证明△CFD是等腰直角三角形即可解决问题．【解答】解：（1）连接OD．∵DC⊥OA，AM＝MO，∴DA＝DO，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°．（2）连接OC，CF，EC．∵OA⊥CD，∴＝，CM＝DM，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，∵∠CDE＝45°，∴CF＝DF，FM＝CM＝DM＝3，DF＝FC＝3，∵∠CED＝∠COD＝60°，∠CFE＝90°，∴EF＝CF＝，∴DE＝EF+DF＝+3．24．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD ⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE ⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝OF＝；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算：OC＝，OF＝．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）构造相似三角形解决问题即可．【解答】解：（1）如图线段CD即为所求．（2）连接AC，BD．由题意AC＝2，DB＝3，CD＝＝2，∵AC∥BD，∴△ACO∽△BDO，∴＝＝，∴OC＝CD＝，∵AC∥DE，∴△ACF∽△EDF，∴＝＝1，∴DF＝CF＝，∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．故答案为，．（3）如图3中，线段AE即为所求．连接BC，作AM∥BC交CD于M．由题意：BC＝1，AM＝2.5，CD＝2，DF＝CF＝，CM＝，∵BC∥AM，∴△BOC∽△AOM，∴＝＝，∴OC＝CM＝．∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．故答案为，．25．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝0 ，点A的坐标为（4，0）．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．【分析】（1）根据题意和题目中的函数解析式可以求得c的值和点A的坐标；（2）根据（1）中点A得坐标和二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，可以求得a的值；（3）根据题意可以求得点B的坐标，然后根据二次函数与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（，0），二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，可以求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，∴当x＝0时，c＝0，将y＝0代入y＝x﹣4，得x＝4，即点A的坐标为（4，0），故答案为：0，（4，0）；（2）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，点A的坐标为（4，0），∴0＝a×42﹣（2a+1）×4，解得，a＝；（3）∵y＝ax2﹣（2a+1）x＝x[ax﹣（2a+1）]，∴函数y＝ax2﹣（2a+1）x过点（0，0）和（，0），∵点A（4，0），点O的坐标为（0，0），二次函数y＝ax2+（2a+1）x（a＞0）的图象与△AOB只有一个公共点，∴＞，a＞0，解得，0＜a＜，即a的取值范围是0＜a＜．26．已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．（1）如图，当∠APB＝30°时，①按要求补全图形；②求AB和PC的长．（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为2+4，此时∠APB＝120°．【分析】（1）①按要求补全图形即可；②作AH⊥PB于H，在Rt△APH中，由直角三角形的性质得出PH＝PA＝1，由勾股定理得出PH＝，得出BH＝3，在Rt△AHB中，由勾股定理得AB＝2；再由旋转的性质和勾股定理求出P'B，即可得出PC的长；（2）把△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，根据旋转的性质得AP'＝AP＝2，P'B ＝PC，∠P'AP＝60°，得出△APP'为等边三角形，得出PP'＝PA＝2，∠APP'＝60°，当P'点在直线PB上时，P'B最大，得出P'B的最大值，即可得出PC的最大值，此时∠APB ＝120°．【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示：②作AH⊥BP于H，如图2所示：在Rt△APH中，∵∠APB＝30°，∴AH＝PA＝1，∴PH＝＝＝，∴BH＝PB﹣PH＝3，在Rt△AHB中，AB＝＝＝2，把△PAC绕点A顺时针旋转60°得△P'AB，连接PP'，如图3所示：则∠APP'＝60°，AP'＝AP，PC＝P'B，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝PA＝2，∵∠APB＝30°，∴∠BPP'＝90°，∴P'B＝＝＝2，∴PC＝2；（2）把△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，则AP'＝AP＝2，P'B＝PC，∠P'AP＝60°，∴△APP'为等边三角形，∴PP'＝PA＝2，∠APP'＝60°，当P'点在直线PB上时，如图4所示：此时P'B最大，最大值为2+4，∴PC的最大值为2+4，此时∠APB＝120°；故答案为：2+4，120°．27．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为40 ．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．【分析】（1）由两点距离公式可求AB长，由正方形的性质可求解；（2）①分两种情况，由两点距离公式和正方形性质可求解；②由题意可得BM＝AM，可得m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，由正方形的性质可求a的取值范围，即可求解．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），∴AB＝＝2，由题意可知，AB是正方形对角线的一半，∴正方形的边长为2，∴正方形的面积为40，∴顶点A、B的“领域”的面积为40；故答案为40；（2）①如图，∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，∴AB与x轴的所成锐角为45°，当点B在A左侧，设B（2﹣a，a），∴AB＝＝a，∵点A、B的“领域”的面积为16，∴16＝，∴a＝2，∴点B（0，2），当点B在点A右侧，设B'（2+a，a）∴AB'＝a，∵点A、B的“领域”的面积为16，∴16＝，∴a＝2，∴点B（4，2），综上所述：B（4，2）或B（0，2）；②如图2，过点B作BM⊥AM，∵∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，∴AB与直线x＝2的所成锐角为45°，∴BM＝AM，设点B（a，﹣3a+2），∴AM＝|m+3a﹣2|，BM＝|2﹣a|∴AB＝|2﹣a|，∵点A、B的“领域”的面积不超过16，∴≤16∴0≤a≤4，∵BM＝AM，∴|m+3a﹣2|＝|2﹣a|∴m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，∴﹣12≤m≤4，或﹣8≤m≤0，综上所述：﹣12≤m≤4．。
2020年北京市中考数学试卷附答案解析版
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2020 年北京市高级中等学校招生考试
数学
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考生须知：
1.本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题。满分 100 分。考试时间 120 分钟.
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号.
答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
（2）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 AE ， EF ， BF 之间的数量关系，并证明．
28.在平面直角坐标系 xOy 中， O 的半径为 1， A，B 为 O 外两点， AB 1 ． 给出如下定义：平移线段 AB ，得到 O 的弦 AB（ A，B 分别为点 A，B 的对应点）， 线段 AA 长度的最小值称为线段 AB 到 O 的“平移距离”. 数学试卷 第 7 页（共 8 页）
（2）若点 A，B 都在直线 y 3x 2 3 上，记线段 AB 到 O 的“平移距离”为 d1 ，求
d1 的最小值；
3
（3）若点
A
的坐标为
2， 2
，记线段
AB
到
O
的“平移距离”为
d2
，直接写出
d2
的
取值范围.
（1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设 AE a ， BF b ，求 EF 的长（用含 a，b 的式子表示）；
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
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2024年北京交大附中高三(上)10月月考数学试题及答案
2024北京交大附中高三10月月考数 学2024.10一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知全集{|22}U x x =−≤≤，集合{}12A x x =−≤<，则UA =（ ）A. (2,1)−−B. [2,1]−−C. (2,1){2}−− D. [2,1){2}−−2. 已知命题p ：0x ∃∈R ，20020x x a ++≤是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],1−∞B. [)1,+∞C. (),1−∞D. ()1,+∞3. 在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +−=−，则C ∠=（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π64. 设0.32,sin28,ln2a b c ===，则（ ） A. c b a << B. b c a << C. a b c <<D. b a c <<5. 把函数sin y x =的图象向左平移π3个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的 13，纵坐标不变，则所得函数图象的解析式为（ ） A. πsin 33x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. πsin 39x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. πsin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D. πsin 39y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭6. 函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ） A. 若0a b +=，则()f x 为奇函数 B. 若π2a b +=，则()f x 为偶函数 C. 若π2b a −=，则()f x 为偶函数 D. 若πa b −=，则()f x 为奇函数7. 已知函数()2log 1f x x x =−+，则不等式()0f x <的解集是（ ） A. ()0,1 B. ()()0,11,+∞C. ()(),12,−∞+∞ D. ()()0,12,⋃+∞8. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%y ，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数100.05e (R)ty λλ−=+∈描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t （单位：分钟）的最小整数值为（ ） （参考数据ln 20.693,ln 3 1.098≈≈） A. 5B. 7C. 9D. 109. 若()y f x =为定义在D 上的函数，且D 关于原点对称，则“存在0x D ∈，使得()()2200f x f x ⎡⎤⎡⎤−≠⎣⎦⎣⎦”是“函数()y f x =为非奇非偶函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S S n ++=，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①22n n a a +−=；②若10a =，则501225S =； ③若11a =，则501224S =；④若数列{}n a 是单调递增数列，则1a 的取值范围是11(,)44−. A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数()1ln 1f x x x =+−的定义域是____________. 12. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点()1,2P −，则tan2α=________． 13. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（π02ϕ<<）的部分图象如图所示.①函数()f x 的最小正周期为______；②将函数()f x 的图象向右平移t （0t >）个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 为奇函数，则t 的最小值是______.14. 已知()2af x x x=+− 其中0a > .若()()0,,0x f x ∀∈+∞≥ 则a 的取值范围是__________;若[]()1,2,2x f x ∃∈≥ 则a 的取值范围是______.15. 已知函数()πsin 2f x a x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，给出下列四个结论： ①任意R a ∈，函数()f x 的最大值与最小值的差为2； ②存在R a ∈，使得对任意R x ∈，()()π2+−=f x f x a ；③当0a =时，存在()0,πT ∈，0R x ∈，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+； ④当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中所有正确结论的序号是______.三、解答题（共85分）16. 已知函数cos ()sin sin cos xf x x x x=++22.（Ⅰ）求(0)f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调递增区间.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足21n n S a =−，*n ∈N .数列{}n b 是等差数列，且1124,10b a b b =−+=−.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T ；（3）设1321n n C a a a −=⋅⋅⋅⋅，且4096n C =，求n . 18. 在ABC 中，sin cos02Bb A a −=. （1）求B ∠；（2）若3b =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求a 及ABC 的面积.条件①：sin sin 2sin A C B +=；条件②：c =；条件③：10ac =.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19. 已知函数32()1f x x x ax =++−.（Ⅰ）当1a =−时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：直线y ax =−2327是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）写出a 的一个值，使得函数()f x 有三个不同零点（只需直接写出数值） 20. 已知函数2()ln 1()f x mx x x m =−+∈R ．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若()0f x ≤在区间[1,)+∞上恒成立，求m 的取值范围；（3）试比较ln 4的大小，并说明理由．21. 数列{}n a 有100项，1a a =，对任意[]2,100n ∈，存在n i a a d =+，[]1,1i n ∈−，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P . （1）若11a =，2=d ，求4a 可能的值；（2）数列{}n a 中不存在具有性质P 的项，求证：{}n a 是等差数列；（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为c ，使用a ，d ，c 表示12100a a a ++⋅⋅⋅+.参考答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 【答案】D【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}U x x =−≤≤，集合{}12A x x =−≤<， 所以[2,1){2}UA =−−.故选：D 2. 【答案】B【分析】根据命题的否定为真命题，利用判别式即可求解. 【详解】由于“0x ∃∈R ，20020x x a ++<”为假命题， 故其否定为“x ∀∈R ，220x x a ++≥”为真命题， 则440a ∆=−≤，得1a ≥， 故选：B 3. 【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +−=−，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +−=−，即222a c ab b −=−，则222a b c ab +−=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +−===，又0πC <<，所以π3C =. 故选：B. 4. 【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.【详解】00.32,si 2n n212i 81s 30a b >=<===，而2e <<，则1ln 212<<，即112c <<， 所以b c a <<. 故选：B 5. 【答案】C【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可. 【详解】把函数sin y x =的图象向左平移π3个单位后，πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，得πsin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C 6. 【答案】B【分析】根据选项中,a b 的关系，代入()f x 的解析式，对AD 用特值说明()f x 不是奇函数，对BC 用奇偶性的定义验证即可.【详解】()f x 的定义域为R ，对A ：若0a b +=，()()()cos sin f x x a x a =++−，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f a a =−=不恒成立，故()f x 不是奇函数；对B ：若π2a b +=，()()()()πcos sin cos cos 2f x x a x a x a x a ⎛⎫=+++−=++− ⎪⎝⎭，()()()()()cos cos cos cos ()f x x a x a x a x a f x −=−++−−=−++=，故()f x 为偶函数，B 正确；对C ：若π2b a −=，()()()πcos sin 2cos 2f x x a x a x a ⎛⎫=++++=+ ⎪⎝⎭，()()2cos ()f x x a f x −=−+≠，故()f x 不是偶函数，故C 错误；对D ：若πa b −=，()()()()()cos πsin cos sin f x x b x b x b x b =++++=−+++，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f b b =−+=不恒成立，故()f x 不是奇函数； 故选：B 7. 【答案】D【分析】利用导数判断出()f x 的单调性，由此求得不等式()0f x <的解集. 【详解】函数()2log 1f x x x =−+的定义域是()0,∞+，()11ln 21ln 2ln 2x f x x x −'=−=， 令()0f x '=解得11ln 2x =>， 所以()f x 在区间10,ln 2⎛⎫⎪⎝⎭上()()0,f x f x '>单调递增， 在区间1,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()()0,f x f x '<单调递减， 而()()110,12,20ln 2f f =<<==， 故要使()0f x <，则需01x <<或2x >.综上所述，不等式()0f x <的解集为()()0,12,⋃+∞. 故选：D8. 【答案】B【分析】根据已知条件求得λ，然后列不等式来求得t 的取值范围，进而求得t 的最小整数值. 【详解】当0t =时，0100.05e .050.25,0.20y λλλ−=++===， 所以100.050.2et y −=+，由100.050.2e0.15t y −≤=+得10e12t −≤， 10ln e ln 2,10ln 2100.693 6.93101ln ,2t tt −⎛⎫−≤−≥⨯≈⨯= ⎝≤⎪⎭，所以t 的最小整数值为7. 故选：B 9. 【答案】A【分析】由()()2200f x f x ⎡⎤⎡⎤−≠⎣⎦⎣⎦可得()()00f x f x −≠且()()00f x f x −≠−，故可得()()2200f x f x ⎡⎤⎡⎤−≠⎣⎦⎣⎦是函数y =f (x )为非奇非偶函数的充分条件，举反例说明反之不成立.【详解】由()()2200f x f x ⎡⎤⎡⎤−≠⎣⎦⎣⎦得()()00f x f x −≠且()()00f x f x −≠−，由前式可得()f x 不是偶函数，由后式可得()f x 不是奇函数，由此可得()f x 是非奇非偶函数， 即()()2200f x f x ⎡⎤⎡⎤−≠⎣⎦⎣⎦是函数y =f (x )为非奇非偶函数的充分条件； 反之不成立，举例如下：当1x ≠时，()f x x =，当1x =时，()1f x =−.当1x =时，有()()11f x f −=−=−，而()()11f x f −=−=，()()f x f x −≠−，所以()f x 不是奇函数；又当1x ≠±以及0x ≠时，都有()()f x f x −≠，所以()f x 不是偶函数， 而对于R x ∀∈，都有()()2200f x f x ⎡⎤⎡⎤−=⎣⎦⎣⎦成立，所以若函数y =f (x )为非奇非偶函数不能得到()()2200f x f x ⎡⎤⎡⎤−≠⎣⎦⎣⎦. 故()()2200f x f x ⎡⎤⎡⎤−≠⎣⎦⎣⎦是函数y =f (x )为非奇非偶函数的充分不必要条件. 故选：A 10. 【答案】C【分析】由21n n S S n +=−+，可得21(1)n n S S n −=−+−，两式相减得到121(2)n n a a n n ++=−≥，进而可得 22(2)n n a a n +−=≥，可判断①，根据1a 的值可判断{}n a 是否为等差，再根据等差数列得前n 项和公式即可求解②③；根据条件得21221n a n a =−−，21122+=+n a n a ，再根据数列{}n a 单调递增，则必有22212n n n a a a ++>>，且21a a >，求解即可得出1a 的取值范围．【详解】因为21n n S S n +=−+，当2n ≥，21(1)n n S S n −=−+−，两式相减得121(2)n n a a n n ++=−≥，所以122(1)121+++=+−=+n n a a n n ， 两式相减得22(2)n n a a n +−=≥，故①错误，当10a =时，令1n =，则211S S =−+，1211a a a +=−+，得2121a a =−+，所以21a =，令2n =，则324S S =−+，112234a a a a a ++=−−+，得312122422=−−+=+a a a a ，所以32a =，则312a a −=，所以22n n a a +−=，故{}n a 奇数项是以10a =为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以21a =为首项，2为公差的等差数列， 则50123495013492450()()S a a a a a a a a a a a =+++++=+++++++25242524(2502)(2512)122522⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以②正确； 当11a =时，令1n =，则211S S =−+，1211a a a +=−+，得2121a a =−+，所以21a =−， 令2n =，则324S S =−+，112234a a a a a ++=−−+，得3122244a a a =−−+=，故{}n a 偶数项是以21a =−为首项，2为公差的等差数列，奇数项从第二项开始以34a =为首项，2为公差的等差数列， 则50123495013492450()()S a a a a a a a a a a a =+++++=+++++++()242325241(2442)2512122422⨯⨯⎡⎤=+⨯+⨯+⨯−+⨯=⎢⎥⎣⎦，所以③正确； 由于22(2)n n a a n +−=≥，2121a a =−+，3122=+a a ， 则2222222442211()()()2(1)21221n n n n n a a a a a a a a n a n a −−−=−+−++−+=−−+=−−，2121212123533311()()()2(1)222222n n n n n a a a a a a a a n a n a n a ++−−−=−+−++−+=−+=−++=+又数列{}n a 单调递增，则必有22212n n n a a a ++>>，且21a a >，所以111222122221n a n a n a +−−>+>−−，且1112−>a a ，解得11144a −<<， 所以1a 的取值范围是11(,)44−，所以④正确． 故选：C ．二、填空题（每题5分，共25分）11. 【答案】()()0,11+，⋃∞. 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得，100x x −≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 12. 【答案】43【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得. 【详解】由三角函数的定义可知tan 2α所以2tan 4t 24tan211an 43ααα−===−− 故答案为：43. 13. 【答案】 ①.3π2②. π8【分析】先根据函数图象得出函数的最小正周期，再根据周期得出ω再代入点得出ϕ，最后平移得出解析式，令函数为奇函数得出π3π,Z,84t k k =−∈即可得出t 的最小值. 【详解】因为函数()()2sin f x x ωϕ=+（π02ϕ<<）的图象，可得()3π01,14f f ⎛⎫==− ⎪⎝⎭所以3π42T= 所以3π2T =;3π2π4,23T ωω=== 所以函数()42sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 函数过点()0,1得12sin ϕ= 1πsin ,0,22ϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭所以π6ϕ=， 所以()4π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象向右平移t （0t >）个单位长度，得到函数()()4π44π2sin 2sin 36336g x x t x t ⎡⎤⎛⎫=−+=−+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭为奇函数，所以4ππ,Z 36t k k −+=∈ π3π,Z,84t k k =−∈0t > 则t 的最小值是π8. 故答案为：3ππ28；. 14. 【答案】 ①. 1a ≥ ②. 3a ≥【分析】()()0,,0x f x ∞∀∈+≥转化为()()max 0,,2x a x x ∞⎡⎤∀∈+≥−⎣⎦ 则求出()2y x x =−的最大值即可;[]()[]()min 1,2,21,2,4x f x x a x x ⎡⎤∃∈≥⇔∃∈≥−⎣⎦ 根据单调性求出()4y x x =−的最小值即可.【详解】()()()()()max 0,,00,,200,,2ax f x x x x a x x x∞∞∞⎡⎤∀∈+≥⇔∀∈++−≥⇔∀∈+≥−⎣⎦ 因为()2y x x =−的对称轴为1x = 所以当1x =时 max 1y = 则1a ≥;[]()[][]()min 1,2,21,2,221,2,4ax f x x x x a x x x⎡⎤∃∈≥⇔∃∈+−≥⇔∃∈≥−⎣⎦ 因为()4y x x =−的对称轴为2x = 所以当[]1,2x ∈时 ()4y x x =−为增函数 则当1x =时 min 3y = 即3a ≥.故答案为：1a ≥;3a ≥. 15. 【答案】②【分析】①举一例说明最大值与最小值的差不为2，②令1a =，可证明()()π2+−=f x f x a ，③证明函数的最小正周期不能小于π，④例如1a =时，举一例说明ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而判断各命题的真假．【详解】π()sin()cos 2f x a x a x =++=+， ①当0a =时，()cos f x x =，最大值是1，最小值是0，差为1，①错； ②当1a =时，()1cos 1cos f x x x =+=+，()(π)1cos 1cos(π)2cos cos 2f x f x x x x x +−=+++−=+−=，②正确；③0a =，()cos f x x =，它的最小值正周期是π， 若(0,π)T ∈，(0)1f =，()1f T <，()(0)f T f ≠，③错； ④当0a ≠时，πx =时，ππ3π1cos(π)1cos 1222f x ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭， ππππ1cos(π)1cos()1cos 12222f x ⎛⎫−=+−=+−=+= ⎪⎝⎭，即ππ(π)(π)22f f +=−，④错， 所以正确的只有②， 故答案为：②．三、解答题（共85分）16. 【答案】（1）1 ； （2）0,4π⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（Ⅰ）代入x =0，求出()0f 的值即可；（Ⅱ）化简()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质求出函数的单调区间即可． 【详解】（Ⅰ）()cos002sin01sin0cos0f =+=+（Ⅱ）因为sin cos 0x x +≠，所以4x k ππ≠−，即函数()f x 的定义域为,4x x k k Z ππ⎧⎫≠−∈⎨⎬⎩⎭()cos22sin sin cos x f x x x x =++ 22cos sin 2sin sin cos x xx x x−=++=2sin cos sin x x x +−=sin cos x x +4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭令22242k x k ππππ−≤+≤+解得322,44k x k k Z ππππ−≤≤+∈ 令0k =，得到344x ππ−≤≤， 因为4x k ππ≠−所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增区间为0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查函数求值，考查了三角函数式的化简以及正弦函数的性质，考查函数的单调性问题，属于中档题． 17. 【答案】（1）()11*12N n n n a a q n −−==∈，()*21N n b n n =−+∈（2）221=−−nn T n （3）4n =【分析】（1）利用n S 与n a 关系求数列{}n a 的通项公式，用方程的思想求等差数列{}n b 的通项公式； （2）利用公式法和分组求和法，即可求得数列{}n n a b +的前n 项和； （3）求出数列{}n C 的通项公式，然后解关于n 的方程即可得解 【小问1详解】当1n =时，11121S a a =−= 得11a =. 由已知21n n S a =−①当*2,n n ∈N ≥时，1121n n S a −−=− ②①-②得122n n n a a a −=−. 所以 12n n a a −= 所以数列{}n a 为等比数列，且公比为 2.q = 因为11a =，所以()11*12N n n n a a q n −−==∈.设数列{b n }公差为d ，1241111,()(3)2410,b b b b d b d b d =−+=+++=+=− 由111,25b b d =−⎧⎨+=−⎩得 2.d =−所以()()()()*1111221Nn b b n d n n n =+−=−+−⨯−=−+∈.综上，数列{}n a 的通项公式为；1*2()N n n a n −=∈；数列{}n b 的通项公式为：()*21N n b n n =−+∈.【小问2详解】设12(21)n n n n c a b n −=+=+−+，前n 项和1(1242)2(123)n n T n n −=++++−⨯+++++212(1)22 1.122n n n n n n −+=−⨯+=−−− 【小问3详解】(022)02221221321222240962n nn n n C a a a +−−−=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅===即(022)122n n+−=，即2120n n −−=，解得4n =18. 【答案】（1）π3B =（2）选择①，3a =，4ABC S =△，选择②，a =2ABC S =△ 【分析】（1）由正弦定理及倍角公式求得1sin22B =，从而求得B ∠； （2）选条件①：由正弦定理及余弦定理解得9ac =，代入面积公式求解.选条件②：由余弦定理求出a 值，再利用三角形面积公式即可；选条件③：由余弦定理及基本不等式得到矛盾. 【小问1详解】由正弦定理得sin sin b A a B =， 代入sin cos02B b A a −=得sin cos 02Ba B a −=，所以2sin cos cos 0222B B Ba a −=， 因为π022B <<，所以cos 0.2Ba ≠所以1sin22B =，所以π26B =，π3B =.【小问2详解】选条件①： sin sin 2sin .A C B += 因为π3,3b B ==，sin sin 2sin .A C B += 由正弦定理得26a c b +==，由余弦定理得2229()3a c ac a c ac =+−=+−，解得9ac =，所以1sin 24ABCSac B ==． 由9,6,ac a c =⎧⎨+=⎩解得3a c ==，ABC 解是唯一的.所以3a =，4ABC S =△.选择条件②：由π33,===及余弦定理得293a =+，即260a −=，解得a =或（负舍），此时ABC 有一解，所以11sin 2222ABCSac B ==⨯=，所以a =ABC S =△. 选条件③：由π3,3b B ==及余弦定理得229a c ac =+−， 所以2292a c ac ac ac ac =+−≥−=，故9ac ≤. 这与10ac =矛盾，故不成立. 所以条件③不满足.19. 【答案】（1）单调递增区间为()1,1,,3⎛⎫−∞−+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,3⎛⎫− ⎪⎝⎭； （2）见解析；（3）见解析.【分析】（Ⅰ）当1a =−时，对函数()f x 求导，通过判断导数与0的关系即可得单调区间；（Ⅱ）根据导数的几何意义可令()f x a '=，解得x ，而()01f =−，通过直线2327y ax =−不经过()0,1−，即可得最后结果；（Ⅲ）取a 的值为2−．【详解】（Ⅰ）函数()321f x x x ax =++−的定义域为(),−∞∞，当a =−1时，()321f x x x x =+−−所以()2321f x x x '=+−令()0f x '=，得1211,3x x =−=当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调递增区间为(),1,,3⎛⎫−∞−+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,3⎛⎫− ⎪⎝⎭（Ⅱ）因为()232f x x x a '=++令()232f x x x a a =++='，解得1220,3x x ==−因为()01f =−，直线2327y ax =−不经过()0,1− 而22233327f a ⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭， 所以曲线()y f x =在点22,33f ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线为22323273y a a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−=−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得到2327y ax =−所以无论a 为何值，直线2327y ax =−都是曲线()y f x =在点22,33f ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线 （Ⅲ）取a 的值为-2.这里a 的值不唯一，只要取a 的值小于-1即可.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线的切线方程以及根据函数的增减性研究函数的零点问题，是中档题． 20. 【答案】（1）10x y +−= （2）(],2−∞（3）ln 4<【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，转化为1ln 0m x x x −+≤，令()1ln g x m x x x=−+，问题转化为()max 0g x ≤，利用导数求函数()max g x 即可得解；（3）由（2）知，2m =时，()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，取x =.【小问1详解】当1m =时，()2n1lf x x x x −+=， ()ln 12f x x x '∴=+−，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处切线的斜率()11k f '==−，又()10f =， 所以曲线()f x 在点()()1,1f 处切线的方程为()1y x =−−即10x y +−=. 【小问2详解】()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，即2ln 10mx x x −+≤，对[)1,x ∀∈+∞，即1ln 0m x x x−+≤，对[)1,x ∀∈+∞， 令()1ln g x m x x x=−+，只需()max 0g x ≤， ()222111m x mx g x x x x−+−'=−−=，[)1,x ∞∈+， 当0m ≤时，有0mx ≤，则()0g x '<，()g x ∴在[)1,+∞上单调递减， ()()10g x g ∴≤=符合题意，当0m >时，令()21h x x mx =−+−，其对应方程210x mx −+−=的判别式24m ∆=−， 若0∆≤即02m <≤时，有()0h x ≤，即()0g x '≤，()g x ∴在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=符合题意，若0∆>即2m >时，()21h x x mx =−+−，对称轴12mx =>，又()120h m =−>，方程210x mx −+−=的大于1的根为02m x =，()01,x x ∴∈，()0h x >，即()0g x '>，()0,x x ∈+∞，()0h x <，即()0g x '<，所以函数()g x 在()01,x 上单调递增，()()10g x g ∴>=，不合题意. 综上，()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，实数m 的取值范围为(],2−∞. 【小问3详解】由（2）知，当2m =时，()0f x ≤，在区间[)1,+∞上恒成立， 即22ln 1x x x ≤−，对[)1,x ∀∈+∞，取x =1<，化简得ln 4<.21.【答案】（1）3,5,7（2）证明见解析 （3）974656a d c ++【分析】（1）根据11a =，2=d 逐一求出234,,a a a 即可； （2）根据题设条件和等差数列的定义即可得证.（3）去除具有性质P 的数列{a n }中的前三项后，数列{a n }的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a ，公差为d ，求12100a a a ++⋅⋅⋅+即可． 【小问1详解】数列{a n }有100项，1a a =，对任意[]2,100n ∈，存在n i a a d =+，[]1,1i n ∈−， 所以若11a =，2=d ，则当2n =时，213a a d =+=， 当3n =时，[]1,2i ∈，则313a a d =+=，或325a a d =+=， 当4n =时，[]1,3i ∈，则413a a d =+=，或425a a d =+=， 或43125a a d a d =+=+=，或43227a a d a d =+=+=， 所以4a 可能的值：3,5,7 【小问2详解】1a a =，21a a d a d =+=+，()31,2i a a d i =+=，当1i =时，312a a d a d a =+=+=，则3a 满足了性质P ，矛盾， 当2i =时，322a a d a d =+=+，不矛盾，所以32a a d =+， 以此类推，()1,2,3,,1n i a a d i n =+=−，当1,2,3,,1i n =−时，n a 分别等于1a 、2a 、3a 、……、2n a −，则n a 满足了性质P ，矛盾.所以只能1i n =−，即1n n a a d −=+，不矛盾，即数列{a n }是等差数列， 【小问3详解】将数列{a n }中具有性质P 的三项去掉，得到一个新的数列{b n }，[][]()11,2,97,1,1n i b a a n b b d i n ==∈=+∈−，且中没有满足性质P 的项，由（2）可知，数列{b n }是等差数列， 所以129719796979746562b b b b d a d ⨯+++=+=+， 又因为数列{a n }中去掉的三项和为c ，所以12100974656a d c a a a ++⋅⋅+⋅+=+；【点睛】方法点睛：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。
2020-2021学年北京交大附中九年级下数学开学考试
A． 40
B．140
C．160
D．170
【答案】B 【分析】
根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.
【详解】
∵ BDC 20 ,
∴∠BOC=2∠BDC=40°， ∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，
故选：B.
【点睛】
此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，邻补角的定义.
试卷第 4页，总 28页
两个三角形重叠部分的面积为 y ，则 y 随 x 变化的函数图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【分析】
根据图象可得出重叠部分三角形的边长为 x,根据特殊角三角函数可得高为 3 x ,由此得出面积 y 是 x 的二 2
次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】
AB
AB
AD
选项 B、C、D 都是错误的，
故答案选 A．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
8．如图 ABC 和 DEF 都是边长为 2 的等边三角形，它们的边 BC, EF 在同一条直线 l 上，点 C ， E 重
合，现将 ABC 沿着直线 l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为 x ，
C 点移动到 F 点,重叠部分三角形的边长为 x,由于是等边三角形,则高为
3 x ,面积为 y=x· 2
A． 5.5104
B． 55103
C． 5.5103
D． 0.55 105
【答案】A 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 【详解】 解：数字 55000 用科学记数法表示为 5.5×104．
北京交大附中2020届初三零模(适应性)练习数学试题
12．如果代数式
，那么
的值为
．
13．如图， AB 是 O 的直径，弦 CD AB 于点 E ．如果 A 15 ，
弦 CD 4 ，那么 AB 的长是
．
14. 2017 年全球超级计算机 500 强名单公布，中国超级计算机“神威·太湖之光”
和“天河二号”携手夺得前两名．已知“神威·太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的 2.74 倍．这
.
x
10. 在某一时刻，测得身高为 1.8m 的小明的影长为 3m，同时测得一建筑物的影长为 10m，那么这个建筑
物的高度为
m．
11．袋子中有 20 个除颜色外完全相同的小球. 在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，记录颜色
后放回，将球摇匀. 重复上述过程 150 次后，共摸到红球 30 次，由此可以估计口袋中的红球个数是______.
（包括边界）内，则 m 的取值范围是
.
三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题每题 5 分，第 23-26 题每题 6 分，第 27-28 题每题 7 分）
17.计算 - 3 （4-）0 2sin 60 (1)1 4
3x 4x 1,
18．解不等式组：
5x 2
1
x
2.
19．在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线 l 外一点 P 作已知直线 l 的平行线”．
（1）该二次函数图象的对称轴是 x
；
（2）若该二次函数的图象开口向下，当1 x 4 时， y 的最大值是 2，求当1 x 4 时， y 的最小值； （3）若对于该抛物线上的两点 P(x1，y1) ， Q(x2，y2 ) ，当 t x1 t+1， x2 5 时，均满足 y1 y2 ， 请结合图象，直接写出 t 的取值范围．
2019—2020 年度北京交大附中初三数学第一学期 12 月月考试卷 2019.12 答案
北京交大附中2019—2020年度第一学期12月月考练习初三数学答案参考答案：一、选择题（共16分，每小题2分）题号12345678答案A C B D D A B C二、填空题（共16分，每小题2分）题号910111213141516答案-720022±320<k 即可3±2527-②④三、解答题（共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）17．（本小题满分5分）解：0)12)(3(=+-x x ...................................................................3分01203=+=-x x 或21,321-==x x ……………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分）解：（1）；…………………………………………………………………………3分（2）图象正确．…………………………………………………………………………5分19．（本小题满分5分）解：（1）画圆1分，直线1分…………………………………………………………………………2分（2）直径所对的圆周角是直角；……………………………………………………………………3分经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…………………………………5分20．（本小题满分5分）解：（1）画图正确；………………………………………………………………………2分（2）①172p ；……………………………………………………………………………4分②（-4，2）.……………………………………………………………………5分21．（本小题满分5分）解:∵DE ⊥AB ，∴∠DEA =90°．又∵∠ACB =90°=AED ∠，∠A=∠A ．∴∆ADE ∽∆ABC ．………………………………1分1)2(2--=x y∴BCDEAB AD =………………………………2分在Rt △ABC 中，∵AC =12，BC =5，∴AB =13．………………………………3分设x AD =∵DE DC=∴51213x x -=.………………………………4分解得∴263AD =.……………………………5分22．（本小题满分5分）解：（1）由题意，得△=()44240.k -->∴5.2k <………………………………………………………2分（2）∵k 为正整数，∴k =1，2．…………………………………………………………………3分当k =1时，方程2220x x +-=的根13x =-±不是整数；………………………………4分当k =2时，方程220x x +=的根12x =-，20x =都是整数；综上所述，k =2．…………………………………………………………………5分23．（本小题满分6分）(1)∵直线3+-=x y 与双曲线xky =相交于点A （m ，2）.∴A （1，2）∴xy 2=…………………………………………1分(2)如图…………………………………………………………2分(3)10≤<x 或3≥x …………………………………………4分(4))393,0()0,311(--P P 或…………………………………………6分24．（本小题满分6分）（1）证明：连接CB ，OC ，∵BD 为 O 的切线，AB 是 O 的直径，∴⊥DB AB ，90∠=︒ACB .----------------------1分∴90∠=︒ABD .∴90∠=︒BCD .∵E 为BD 的中点，∴=CE BE .∴∠=∠BCE CBE .--------------------------------------2分326=x又∵∠=∠OCB OBC ∴90∠+∠=∠+∠=︒OBC CBE OCB BCE .∴⊥OCCF .∴CF 是 O 的切线．----------------------------------3分（2）解：∵3===CE BE DE ，5=EF ∴8=+=CF CE EF ∵90∠=︒ABD ，∴90∠=︒EBF ，∵90∠=︒OCF ，∴∠=∠EBF OCF ，∵∠=∠F F ，∴∆EBF ∽∆OCF ---------------------------------5分∴=BE OCBF CF ，∴348=OC ，∴6=OC，即 O 的半径为6．--------------6分25．（本小题满分6分）解：（1）x ≥0；…………………………………………………………………………1分（2）20；……………………………………………………………………………2分（3）略；……………………………………………………………………………3分（4）915y x =+，300y x=；………………………………………………………………5分（5）25.3…………………………………………………………………………6分26．（本小题满分6分）解：（1）∵点A ，B 在抛物线y =2x 2+mx +n 上，∴解得4,2.m n =⎧⎨=⎩……………………………………………………………………1分∴抛物线的表达式为y =－2x 2+4x +2.…………………………………………2分∴抛物线的对称轴为x =1.………………………………………………………3分（2）或4=t .……………………………………………………………………………6分27．（本小题满分7分）（1）证明：如图1，∵∠ACB =90°，AE ⊥BD ，∴∠ACB =∠AEB =90°，3434<≤-t 22,4233.n m n =⎧⎨-=⨯++⎩又∵∠1=∠2，∴∠CAE =∠CBD ．………………………………2分（2）①补全图形如图2.………………………………………3分②2AF CE =.…………………………………………………………………4分证明：在AE 上截取AM ，使AM =BE .又∵AC =CB ，∠CAE =∠CBD ，∴△ACM ≌△BCE .∴CM =CE ，∠ACM =∠BCE .又∵∠ACB =∠ACM +∠MCB =90°，∴∠MCE =∠BCE +∠MCB =90°.∴.ME =又∵射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后得到AF ，且∠AEF =90°，∴EF =AE =AM +ME =BE.∴2AF CE ==+………………………………………7分28．（本小题满分7分）解：（1）2……………………………………………………………………………………………2分（2）①过程略，答案为1-………………………………………………………….......……3分15-或………………………………………………………………………………5分（3）6-＜m＜4………………………………………………………………………………7分图2。
北京市理工大学附属中学分校2020届九年级10月月考试题(数学解析版)
北京理工附中分校初三年级数学10月月考试卷2019年10月9日一、选择题（每小题3分，共30分）1. 将方程3x 2﹣x =﹣2(x +1)2化成一般形式后，一次项系数为( ) A.﹣5 B.5 C.﹣3 D.32. 下列抛物线中，与抛物线y =x 2﹣2x +4具有相同对称轴的是( ) A.y =4x 2+2x +1 B.y =2x 2﹣4x +1 C.y =2x 2﹣x +4 D.y =x 2﹣4x +2 3．对于函数y =﹣2（x ﹣m ）2的图象，下列说法不正确的是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是x =mC ．最大值为0D ．与y 轴不相交4. 将抛物线25y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）． A ．25(2)3y x =++B ．25(2)3y x =-+C ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =+-5．代数式245x x -+的最小值是（ ）． A ．1-B ．1C ．2D ．56．如图，ABC △是等边三角形，D 是BC 的中点，以D 为旋转中心，把ABC △顺时针旋转60︒后，所成的图形是（ ）．A． B． C． D．7．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x =8. 如图，已知顶点为(－3，－6)抛物线y =ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( )A.b2＞4acB.ax2＋bx＋c≥－6C.若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞nD.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=－4的两根为－5和－19．一次函数y=ax+c（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．10. 如图，在平面直角坐标系中将△ABC绕点C(0，﹣1)旋转180°得到△A1B1C1，设点A1的坐标为(m，n)，则点A的坐标为()A.(﹣m，﹣n)B.(﹣m，﹣n﹣2)C.(﹣m，﹣n﹣1)D.(﹣m，﹣n+1)二、填空题（每小题3分，共24分）11. 二次函数的图像的顶点在第象限12. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是13．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形A B1OD的面积是()14. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为15. 如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上.已知∠C=80°，则∠EAB=°.16. 如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2C D.把线段BD绕着点D逆时针旋转α(0＜α＜180)度后，如果点B恰好落在Rt△ABC的边上，那么α=.17. 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为.18、如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为三、解答题（共46分）19、二次函数图像的顶点坐标是(-2，3)，并经过点(1，2)，求这个二次函数的函数关系式。
2024北京清华附中初三10月月考数学
2024北京清华附中初三10月月考数 学（清华附中初22级）一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 用配方法解方程2610x x +−=，变形后结果正确的是（ ） A. ()2310x +=B. ()237x +=C. ()2310x −=D. ()237x −=3. 如果两个相似三角形的面积之比为9:4，那么这两个三角形的周长之比为（ ） A. 81:16B. 27:12C. 9:4D. 3:24. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. 23(x 4)1y =+−B. 23(4)1y x =++C. 23(4)1y x =−−D. 23(4)1y x =−+5. 如果()11,M y −，()22,N y 是正比例函数y kx =的图象上的两点，且12y y >．那么符合题意的k 的值可能是( ) A.13B. 1C. 3D. 2−6. 如图，在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒，对角线AC BD ，交于点O ，E 为CD 的中点，连接OE ，则AOE ∠的度数为（ ）A. 114︒B. 120︒C. 123︒D. 147︒7. 已知0b >时，二次函数221y ax bx a =++−的图象如下列四个图之一所示．根据图分析，a 的值等于．．．．（ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 28. 如图，在Rt ABC △中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △，连接EF ，若AED AEF ≌△△，下列结论：①45DAE =︒∠；②ABD EAF △∽△；③BE CD DE +=；④222BE CD DE +=．其中正确的是（ ） A. ①②③B. ②③④C. ①②D. ①②④二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 在平面直角坐标系中，点()3,4P −关于原点对称的点的坐标是______． 10. 二次函数2246y x x =−+−的最大值是______． 11. 如图，ABCD 中，延长BC 至E ，使得12CE BC =．若2CF =，则DF 的长为_______．12. 2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元．设人均可支配年收入的平均增长率为x ，根据题意列出方程得 ____________________．13. 已知点()11,P y −，()23,Q y 在一次函数()10y kx k =+≠的图象上，且12y y <，则k 的值可以是______．（写出一个即可）．14. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作OE AD ⊥，垂足为E ，若6AB =，则OE 的长为______．15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边20cm DE =，10cm EF =，测得边DF 离地面的高度 1.5m AC =，6m CD =，则树高AB 是______m ．16. 某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如表所示：_________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要_________分钟．三、解答题（本题共72分，其中17、18、19、21、22、23题每小题5分，20、26题每小题6分，25、26题每小题7分，27、28题每小题8分）17. 解方程：2520x x −+=．18. 如图，已知△ABC 顶点的坐标分别为A （1，－1），B （4，－1），C （3，－4）．（1）将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AB 1C 1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的11AB C ∆,并写出点1B 的坐标：1B ；（2）以坐标原点O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的222A B C ∆，使得它与△ABC 的位似比等于2：1 .19. 二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：（1）直接写出c ，m 的值； （2）求此二次函数的解析式．20. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+3）x+m+2=0． （1）求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m 的值．21. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边AB 上任意一点，连接CE ，点F 为CE 的中点，过点F 作MN CE ⊥，MN 与AB 、CD 分别相交于点M 、N ，连接CM 、EN ．（1）求证：四边形CNEM 为菱形；（2）若10AB =，4=AD ，当2AE =时，求EM 的长．22. 如图，某班级门口有一块长为20厘米、宽为15厘米的小型长方形优秀事迹展板，展板上粘贴上下左右对齐两排的6个长方形且面积都为18平方厘米的班级学生主要事迹贴纸，若要求学生的主要事迹贴纸之间以及到上下左右的宽度都相等（设为x 厘米），如图所示，求宽度x ．23. 某高校要选派一位同学去参加首都高校校园文化演讲，为了选出综合素质最高的一名同学进行演讲，先对所有报名的同学进行了笔试，再对笔试90分以上（含90分）的同学进行面试．小强、小亮、小旭三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100）分别是98，94，90．之后组织了十位评委对小强、小亮、小旭三位同学面试表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．之后对这三位同学的面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．评委给小强同学打分如下：10，10，9，8，8，8，7，7，6，6b．评委给小亮、小旭两位同学打分的折线图如下图：c．小强、小亮、小旭三位同学面试情况统计表：（1）直接写出表中m，n的值；（2）在面试中，如果评委给某个同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：小强、小亮、小旭三位同学中，评委对_________的评价更一致（填“小强”、“小亮”或“小旭”）；（3）在笔试和面试两项成绩中，按笔试成绩占40%，面试成绩占60%，计算小强、小亮、小旭的综合成绩，综合成绩最高的是_________（填“小强”、“小亮”或“小旭”）．=，点D为BC中点，作点D关于线段AC的对称点F，连接DF交AC 24. 如图，在ABC中，AB AC∥交AC、AB于H、G．于E，过点F作FG BC=；（1）求证：CE EH（2）若3BC =，1CE =，求GH 的长．25. “夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日．某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，100cm 高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x （单位：度），影长为y （单位：cm ），x 与y 的部分数据如下表：（1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x 和影长y 之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中，画出此函数的图象；（2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，100cm 高的物体的影长约为______cm （精确到0.1）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了100cm 高的物体的影长均为40cm ，那么他们生活的地区纬度差约是______度．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221y ax mx =−−经过点()1,22P m −−， （1）求a 的值；（2）己知点()11,A m y −−，()224,B m y +在此抛物线上，当11m −<<时，比较1y ，2y ，1−的大小，并说明理由．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，P 为线段BC 上的动点（不与点C 重合），将线段AP 绕点A 顺时针旋转α得到线段AQ ．（1）如图1，当P 是BC 中点时，连接BQ ，求证：BP BQ =；（2）过点Q 作直线QM AC ∥，交直线BC 于点M ，在射线MB 上取一点N ，使得2MN CP =，连接QN ．请补全图2，直接写出MQN ∠的大小并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，Q 是x 轴正半轴上一点，对于四边形ABCD 边上的点P 和图形W （点P 不在x 轴上），给出如下定义：若POQ α∠=，将图形W 绕点P 逆时针旋转α得到图形M ，则称图形M 是图形和点P 的“关联图”．如图，点()1,1A ，()1,1B −，()1,1C −−，()1,1D −．（1）点()11,2N −，()222N ,，331,2N ⎛⎫⎪⎝⎭，(4N 中，在四边形ABCD 和点()0,1E 的“关联图”上的点是__________；（2）已知点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，3G t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． ①若线段OF 关于点P 的“关联图”在四边形ABCD 的内部（包含边界），设点P 的横坐标的最小值为m ，纵坐标的最大值为n ，直接写出n m −的值__________；②当OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部（包含边界）时，锐角α的最大值是60︒，请直接写出t 的取值范围__________．参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】D【分析】本题考查了轴对称、中心对称图形的定义，掌握相关定义是解题的关键．“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，据此找出图中的轴对称图形；“ 把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此找出图中的中心对称图形即可解答题目． 【详解】A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C 、不是中心对称图形，但是轴对称图形，不符合题意； D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 故选：D ． 2. 【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案． 【详解】解：2610x x +−= 即261x x +=， ∴26919x x ++=+， ∴()2310x +=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解此题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为9:4， ∴两个相似三角形的相似比为3:2， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴这两个三角形的周长之比为3:2， 故选：D ． 4. 【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．【详解】将抛物线23y x =先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是23(4)1y x =−+．故选：D ． 5. 【答案】D【分析】本题考查了正比例函数的性质，由12x x <时，12y y >，根据正比例函数的增减性，得到0k <，即可得到答案．【详解】解：∵()11,M y −，()22,N y 是正比例函数y kx =的图象上的两点，且12y y >． ∴0k <， 故选：D ． 6. 【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．由菱形的性质求得33DBC ∠=︒，90AOD ∠=︒，根据三角形中位线定理得到OE BC ∥，求得33DOE ∠=︒，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒， ∴1332DBC ABC ∠=∠=︒，90AOD ∠=︒，O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点，∴OE 是DBC △的中位线， ∴OE BC ∥，∴33DOE DBC ∠=∠=︒， ∴9033123AOE ∠=︒+︒=︒， 故选：C ． 7. 【答案】B【分析】本题难度中等，考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围，先根据所给条件和图象特征，判断出正确图形，再根据图形特征求出a 的值． 【详解】解：因为前两个图象的对称轴是y 轴，所以02ba−=，又因为0a ≠，所以0b =，与0b >矛盾； 第三个图的对称轴02ba−>，0a >，则0b <，与0b >矛盾； 故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将(0,0)代入解析式，得：210a −=，解得1a =±， 由于开口向下，1a =−．故选：B ．8. 【答案】D【分析】先求出90,45BAC ABC C ︒︒∠=∠=∠=，再根据旋转和全等的性质得到1452DAE EAF FAD =∠=∠=︒∠，即可判断①；AFE BDA ∠=∠，45EAF ABD ∠=∠=︒，即可判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到BF CD =，EF DE =，再根据三角形三边关系即可判断③；证明90EBF ABF ABC ∠=∠+∠=︒，在Rt BEF △中，利用勾股定理和等量代换即可判断④． 【详解】解：在Rt ABC △中，AB AC =， ∴90,45BAC ABC C ︒︒∠=∠=∠=，∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴90FAD ∠=︒， ∵AED AEF ≌△△， ∴1452DAE EAF FAD =∠=∠=︒∠， 故①正确；∵AED AEF ≌△△， ∴AFE BDA ∠=∠， 又∵45EAF ABD ∠=∠=︒， ∴ABD EAF △∽△， 故②正确；∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴BF CD =， ∵AED AEF ≌△△， ∴EF DE =，在BEF △中，BE BF EF +>， ∴BE CD DE +>， 故结论③错误；∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴45ABF C ∠=∠=︒，BF CD =， ∴90EBF ABF ABC ∠=∠+∠=︒， ∴在Rt BEF △中，222BE BF EF +=， ∴222BE CD DE +=， 故结论④正确，综上可知，正确的是①②④， 故选：D【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 【答案】(3,−4)【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点(),x y 关于原点对称的点的坐标为(),x y −−求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点()3,4P −关于原点对称的点的坐标是()3,4−，故答案为：()3,4−．10. 【答案】4−【分析】先求出对称轴，再求出最大值即可．【详解】∵2246y x x =−+−∴二次函数2246y x x =−+−开口向下，在顶点处有最大值，∵二次函数2246y x x =−+−对称轴为直线4122x ，∴当1x =时，2464y =−+−=−，即最大值为：4−，故答案为：4−．【点睛】本题考查二次函数的性质和最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11. 【答案】4【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和相似三角形【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，AD BC ∥， 12CE BC =， 12CE AD ∴=， AD CE ∥，ADF ECF ∴∽，∴AD DF CE CF=2=， 2CF =，24DF CF ∴==，故答案为：4．12. 【答案】()26.5817.96x +=【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元”列方程求解．【详解】解：由题意得：()26.5817.96x +=，故答案为：()26.5817.96x +=．13. 【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查了一次函数的性质，由13−<时，12y y <，得y 随x 的增大而增大，则0k >，然后取值即可，根据正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．【详解】解：∵点()11,P y −，()23,Q y 在一次函数()10y kx k =+≠的图象上，∴当13−<时，12y y <，∴y 随x 的增大而增大，∴0k >，∴取1k =，故答案为：1（答案不唯一）．14. 【答案】3【分析】首先根据矩形的性质得到OA OD =，然后利用等腰三角形三线合一性质得到AE DE =，然后证明出OE 是ABD △的中位线，进而求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴OA OD =∵OE AD ⊥∴AE DE =∵OB OD =∴OE 是ABD △的中位线 ∴132OE AB ==． 故答案为：3．【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15. 【答案】4.5【分析】根据相似三角形的判定及性质可得3BC =（m ），进而可求解．【详解】解：90FED BCD ∠=∠=︒，且D D ∠=∠，FED BCD ∴∽，EF DE CB DC ∴=，即：0.10.26CB =， 解得：3BC =（m ），3 1.5 4.5AB BC AC ∴=+=+=（m ），∴树高AB 是4.5m ，故答案为：4.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．16. 【答案】 ①. 29 ②. 48【分析】本题主要考查统计的知识，理解题意是解题的关键；在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所需时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床铺”2个步骤所需时间的和．【详解】解：在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为1086529+++=（分）； 若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，甲完成四间客房“打扫卫生”需40分钟，甲完成一间客房“打扫卫生”需10分钟，随后乙、丙进行其他三个步骤，可完成四间客房整理床铺、更换客用物品的工作，其中一人完成四间客房整理床铺需32分钟，可再完成两间客房检查设备的工作，一人完成四间客房更换客用物品需24分钟，也可再完成两间客房检查设备的工作，所以若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要40848+=（分）；故答案为29；48．三、解答题（本题共72分，其中17、18、19、21、22、23题每小题5分，20、26题每小题6分，25、26题每小题7分，27、28题每小题8分）17. 【答案】152x =，252x −=【详解】首先找出方程中得a 、b 、c ，再根据公式法求出b 2﹣4ac 的值，计算x = 2b a−，即可得到答案．∵a =1，b =－5，c =2()2245412170b ac −=−−⨯⨯=＞∴代入求根公式得， ()521x −−===⨯∴152x +=，252x −= “点睛”当一元二次方程方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，且a ，b ，c 都是常数）的二次项的系数不为1或是无理数时，优先考虑公式法.18. 【答案】（1）作图见解析；B （1， 2）；（2）作图见解析.【详解】分析：（1）由题意得，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AB 1C 1．则AB 1⊥AB ，AC 1⊥AC ，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A 2B 2C 2，可以得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．详解：（1）如图： B 1（1，2），（2）如图点睛：此题主要考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A 1，B 1，C 1的坐标是解决问题的关键．19. 【答案】（1）4c =，52m =；（2）219(1)22y x =−++或2142y x x =−−+ 【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可求得c 的值，根据抛物线的对称性即可求得m 的值；（2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【详解】解：（1）根据图表可知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（0，4），（-2，4）， ∴对称轴为直线2012x −+==−，c=4， ∵（-3，52）的对称点为（1，52）， ∴m=52； （2）∵对称轴是直线x=-1， ∴顶点为（-1，92）， 设y=a （x+1）2+92， 将（0，4）代入y=a （x+1）2+92得，a+92=4， 解得a=-12， ∴这个二次函数的解析式为y=-12（x+1）2+92． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．20. 【答案】(1)见解析；(2) m=-1.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1>0，由此即可证出：无论实数m 取什么值，方程总有两个不相等的实数根；（2）利用分解因式法解原方程，可得x 1=m ，x 2=m+1，在根据已知条件即可得出结论．【详解】（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+2）=（m+1）2∴无论m 取何值，（m+1）2恒大于等于0∴原方程总有两个实数根（2）原方程可化为:(x-1)(x-m-2)=0∴x 1=1, x 2=m+2∵方程两个根均为正整数,且m 为负整数∴m=-1.【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与根据因式分解法解一元二次方程.21. 【答案】（1）证明见解析（2）5【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．（1）根据已知证明EFM CFN △≌△，证得EM CN =，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CNEM 是平行四边形，然后证明NE NC =，即可证得结论；（2）10AB =，2AE =，则8BE =，设EM MC x ==，则8BM x =−，利用勾股定理求出x 即可解答．【小问1详解】证明：矩形ABCD 中，AB DC ，MEF NCF ∴∠=∠，EMF CNF ∠=∠，点F 为CE 的中点，EF CF ∴=，EFM CFN ∴≌，EM CN ∴=，∴四边形CNEM 为平行四边形，MN CE ⊥于点F ，EF CF =，NE NC ∴=，∴四边形CNEM 为菱形；【小问2详解】 解：四边形CNEM 是菱形，EM CM ∴=，四边形ABCD 是矩形，4AD BC ∴==，90B ，10AB =，2AE =，8BE ∴=，设EM MC x ==，则8BM x =−，在Rt BMC 中，222BM BC CM +=，即2224)8(x x −+=，解得5x =，EM ∴的长为5．22. 【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移的观点，把6个长方形平移在一起，成为一个一个新的长方形，则长和宽分别是(20x −米和()153x −米，根据面积公式即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()()826015143x x −=⨯−，整理得210160x x −+=，解得12x =，28x =（不符合题意，舍去）故宽度x 为2．23. 【答案】（1）79，9（2）小旭 （3）小亮【分析】本题考查了求中位数、求方差、求加权平均数，熟练掌握求法是解此题的关键．（1）将小强的成绩全部相加即可得出m 的值，根据中位数的定义即可得出n 的值；（2）分别求出三人面试成绩的方差，比较即可得出答案；（3）分别求出三人数为最终成绩，进行比较即可得出答案．【小问1详解】解：由题意可得：10109888776679m =+++++++++=，将小亮的面试成绩按从小到大排列如下：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，故9992n +==； 故答案为：79，9【小问2详解】 解：79107.9x =÷=小强，()()()()()2222222107.997.9387.9277.9267.9 1.8910S ⨯−+−+⨯−+⨯−+⨯−==小强，85108.5x =÷=小亮，()()()()()22222268.5278.588.5398.53108.5 1.8510S −+⨯−+−+⨯−+⨯−==小亮，87108.7x =÷=小旭，()()()2222588.7398.72108.70.6110S ⨯−+⨯−+⨯−==小旭，222S S S ∴>>小强小旭小亮，故评委对小旭的评价更一致；故答案为：小旭【小问3详解】解：小强的成绩为：9840%7960%39.247.486.6⨯+⨯=+=（分），小亮的成绩为：9440%8537.65188.6⨯+⨯=+=（分），小旭的成绩为：9040%8760%3652.288.2⨯+⨯=+=（分），86.688.288.6<<，∴综合成绩最高的是小亮．故答案为：小亮24. 【答案】（1）见详解 （2）13GH = 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；（1）由轴对称可知DE FE =，则有()ASA DCE FHE ≌，然后问题可求证；（2）连接AD ，交FG 于点M ，由题意易得32BD CD ==，AD BC ⊥，由（1）可得3,12HF CD EH CE ====，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】证明：∵点D 关于线段AC 的对称点F ，∴DE FE =，DFAC ⊥，∵FG BC ∥，∴EDC F ∠=∠， ∵CED HEF ∠=∠，∴()ASA DCE FHE ≌，∴CE EH =；【小问2详解】解：连接AD ，交FG 于点M ，如图所述：∵点D 为BC 中点，3BC =， ∴32BD CD ==，AD BC ⊥， ∵FG BC ∥，∴AM GH ⊥，ABC AGH ACB AHG ∠=∠=∠=∠，∴AG AH =，∴GM MH =，∵DCE FHE ≌， ∴3,12HF CD EH CE ====， ∵90,DEC ADC ACD DCE ∠=∠=︒∠=∠，∴DCE ACD ∽， ∴CD CE AC CD=，即2CD CE AC =⋅， ∴94AC =， ∴14AH AC CH =−=， ∵FG BC ∥， ∴AMH ADC ∽，∴114994MH AH CD AC ===， ∴16MH =， ∴123GH MH ==． 25. 【答案】（1）见解析 （2）30.0（3）44【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键； （1）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象；（2）结合函数图象找到40x =时，y 的值即可；（3）结合函数图象找到40y =时，x 的值，再作差即可；【小问1详解】解：函数的图象如下：【小问2详解】解：根据（1）中图象可得：当40x =时，30.0y ≈，故答案为：30.0（答案不唯一）；【小问3详解】解：根据（1）中图象可得：当40y =时，1x ≈或45x ≈，45144−=，故答案为：44（答案不唯一）；26. 【答案】（1）1a =−（2）211y y <<−，理由见解析【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．（1）把()1,22P m −−代入221y ax mx =−−，即可得到答案；（2）由（1）得到()222211y x mx x m m =−−−=−++−，当1x m =−−时，122y m =−，当24x m =+时，2282417y m m =−−−，则21y y −24913m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质得到当11m −<<时，249103m ⎛⎫−++< ⎪⎝⎭，则当11m −<<时21y y <，由221m −<−得到1221y m =−<−，即可得到答案．【小问1详解】解：∵抛物线221y ax mx =−−经过点()1,22P m −−，∴把点()1,22P m −−代入221y ax mx =−−得到， 2221m a m −=+−，解得，1a =−；【小问2详解】由（1）得到抛物线221y ax mx =−−为()222211y x mx x m m =−−−=−++−， 当1x m =−−时，()1222112y m m m m =−−−++−=−，当24x m =+时，()222224182417y m m m m m =−+++−=−−−， ∴()2122282417292415y y m m m m m −=−−−−−=−−−24913m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭ 当249103m ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭时，解得1m =−或53m =−， 即抛物线24913y m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭与x 轴交于点()1,0−和5,03⎛⎫− ⎪⎝⎭，如图，∵抛物线24913y m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭开口向下，∴当11m −<<时，249103m ⎛⎫−++< ⎪⎝⎭， ∴当11m −<<时，210y y −<，即21y y <， ∵11m −<< ∴201m <<， ∴221m −<− ∴1221y m =−<− ∴211y y <<−27. 【答案】（1）见详解 （2）图见详解，90MQN ∠=︒，过程见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、 （1）由题意易得11,22AP AQ BAP BAC QAP =∠=∠=∠，然后可证()SAS BAP BAQ ≌，然后问题可求证；（2）按题意画出图形，连接BQ ，作QB QD =，交CN 于点D ，由题意易得()SAS BAQ CAP ≌，则有QBA C ABC ∠=∠=∠，12BQ CP MN ==，然后可得QD DN DM ==，进而问题可求解． 【小问1详解】证明：由旋转可知：,AP AQ QAP BAC α=∠==∠， ∵AB AC =，点P 是BC 中点， ∴1122BAP BAC QAP ∠=∠=∠， ∴BAP BAQ ∠=∠， ∵AB AB =，∴()SAS BAP BAQ ≌， ∴BP BQ =； 【小问2详解】 解：由题意可得如图：连接BQ ，作QB QD =，交CN 于点D ， ∵,AP AQ QAP BAC α=∠==∠，∴,QAB QAP BAP PAC BAC BAP ∠=∠−∠∠=∠−∠，即QAB PAC ∠=∠， ∵AB AC =，∴()SAS BAQ CAP ≌，∴QBA C ABC ∠=∠=∠，12BQ CP MN ==， ∵QB QD =，∴2QBD QDB C ∠=∠=∠， ∵QM AC ∥， ∴C QMD ∠=∠，∴DQM QDB QMD C QMD ∠=∠−∠=∠=∠， ∴QD DM =， ∴12DM QD BQ MN ===， ∴点D 是MN 的中点， ∴QD DN DM ==，∴,N DQN DQM DMQ ∠=∠∠=∠，由三角形内角和可知22180DQN DQM ∠+∠=︒， ∴90DQN DQM ∠+∠=︒，即90∠=︒NQM ． 28. 【答案】（1）24,N N（2；②11t −≤≤【分析】（1）由题意得：90α=︒，此时正方形ABCD 绕点()0,1E 逆时针旋转90︒得到的关联图形M 仍为正方形，()1,1A 的对应点为()10,2A ，()1,1B −的对应点为()10,0B ，点()1,1C −−的对应点()12,0C ，点()1,1D −的对应点()12,2D ，即可确定；（2）①分类讨论，分别讨论点P 在正方形的四条边上，画出示意图进行分析，找出临界状态，多动点，固定变量，一个一个分析即可；②由①可知，只有P 落在CD 或AD 边上，OF 关于点P 的“关联图”才在正方形ABCD 内部，要使OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部，且α的最大值为60︒，故P 一定会在CD 上，当60POF ∠=︒，此时α不能增大，即移动点G 时，不能使得G '仍然落在正方形ABCD 内部，则此临界状态时，G '一定落在BC 上．由G t ⎛ ⎝⎭可知点G 在直线3y =上运动，记为直线l ，记直线l 与y 轴交于点M ，过点P 作PN l ⊥，由勾股定理建立方程221533t t +=++P 落在AD 上时，1t =−，均可满足G O F '''△在正方形ABCD 内部，综上所述：11t −≤≤． 【小问1详解】 解：如图，由题意得：90α=︒，此时正方形ABCD 绕点()0,1E 逆时针旋转90︒得到的关联图形M 仍为正方形，()1,1A 的对应点为()10,2A ，()1,1B −的对应点为()10,0B ，点()1,1C −−的对应点()12,0C ，点()1,1D −的对应点()12,2D ，当()12,0C 时，连接1,CE EC CD 与y 轴交于点R ， 则11,2CR OE ER OC ====， 而190CRE EOC ∠=∠=︒， ∴1CRE EOC △≌△， ∴1EC EC =， ∴1CER EC O ∠=∠，∴11190CER CE O EC O CE O ∠+∠=∠+∠=︒， ∴点()1,1C −−的对应点()12,0C ， 同理可证明点()1,1D −的对应点()12,2D ，∴()11,2N −，()22,2N 在四边形ABCD 和点()0,1E 的“关联图”上， 故答案为：()11,2N −，()22,2N ； 【小问2详解】解：①当点P 在AD 上时，连接,PO DO ，∵四边形ABCD 是正方形，∴045α<≤︒，OP OD ≤==∴1OP <≤当点P 与点D 重合时，即45α=︒，此时点O 的对应点'O 在CD 上，且()11O '−，如图：随着点P 在AD 上运动，画图可知O F ''在正方形内部运动，直至点F '落在AD 上，如图：如上图，此时POQ FPF α'∠=∠=， ∵PTF OTP ∠=∠， ∴PTF OTP △∽△， ∴PT TFOT PT=， ∴211122PT TO TF =⨯=⨯=，∴2PT =，∴当点P 在AD 上运动时，12P y −≤≤， 当点P 在AB 边上时，此时45135α︒≤≤︒，即点P 在AB 两个端点处，α取得最小值和最大值，1OP OA ≤≤=随着α增大，作图可发现O F ''会远离AB ，如图：当点P 运动到AB ，点O '恰好落在点A ，但此时点F '仍在正方形的外部，∴当点P 在AB 边上时，线段OF 关于点P 的“关联图”不可能在正方形ABCD 的内部； 当点P 在BC 边运动时，∵135180α︒≤<︒，O F ''会更加远离正方形ABCD ，如图：∴点P 在BC 边运动时，线段OF 关于点P 的“关联图”不可能在正方形ABCD 的内部； 当点P 在CD 边上时， ∵OPO POQ α'∠=∠=， ∴O P OF '∥，如图：当点P 运动到CD 中点时，此时O '落在点C 处，F 点落在点112⎛⎫−− ⎪⎝⎭，处，随着点P 继续接近点D ，O F ''始终在正方形ABCD 内，如图：∴点P 在CD 边上时，01P x ≤≤，综上所述：点P 横坐标最小值为0，纵坐标最大值为2n =，∴2n m −=，故答案为：2；②由①可知，只有P 落在CD 或AD 边上，OF 关于点P 的“关联图”才在正方形ABCD 内部， ∴要使OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部，且α的最大值为60︒， ∴P 一定会在CD 上，如图所示，当60POF ∠=︒，此时α不能增大，即移动点G 时，不能使得G '仍然落在正方形ABCD 内部，则此临界状态时，G '一定落在BC 上．由,3G t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭可知点G 在直线3y =上运动，记为直线l ，记直线l 与y 轴交于点M ， 过点P 作PN l ⊥，∴在Rt OMG △中，由勾股定理得：2222133GO G O t t ⎛⎫==+=+ ⎪ ⎭'⎝'⎪， ∵60POQ α∠==︒，CD x ∥轴， ∴60OPR ∠=︒， ∴30ROP ∠=︒， ∴2OP PR =， 设,2RP x OP x ==，则在Rt ORP △中，由勾股定理得：1OR ==，∴3x =，∴3OP =，∴11333CO CP PO ''=−=+−=−，在Rt CG O '△中，由勾股定理得：22221113CG t t ⎛=+−−=+ ⎝⎭'，∴在Rt CG P '△中，由勾股定理得：22221113G P t t ⎛'=−++=+ ⎝⎭，在Rt GNP △中，222251333GP t t ⎛⎫⎛=−++=−++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 由旋转得G O P GOP ''△≌△， ∴GP G P '=，∴221533t t ++=+解得：13t =−， 当点P 落在AD 上时，1t =−，均可满足G O F '''△在正方形ABCD 内部，∴综上所述：11t −≤≤．故答案为：11t −≤≤． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，难度很大，重点理解题意，根据旋转的不变性，进行画图分析，对分类讨论的思想要求较高．。
2022-2023学年第二学期北京交大附中九年级中考数学模拟试卷
2022-2023学年第二学期北京交大附中九年级中考数学模拟测试一 、 选择题（本题共16分 ， 每小题2分）下面各题均有四个选项 ， 其中只有一个是符合题意的 ．1 ． 右图是某几何体的表面展开图 ， 则这个几何体是（ ）A ． 正三棱柱B ． 正方体C ． 圆柱D ． 圆锥2 ． 经文旅部数据中心测算 ， 2021年五一假期 ， 北京市接待旅游总人数842.6万人次 ， 同比2020年增长81.9% ， 按可比口径计算恢复到2019年的98.4% ， 旅游总收入93亿元 ， 同比2020年增长1.2倍 ， 按可比口径计算恢复到2019年的86% ． 将93亿用科学记数法表示应为（ ） A ． 89310⨯B ． 99.310⨯C ． 109.310⨯D ． 100.9310⨯3 ． 如图 ， 以量角器的直径AB 为斜边画直角三角形ABC ， 量角器上点D 对应的读数是100° ， 则∠BCD 的度数为（ ）A ． 30°B ． 50°C ． 40°D ． 80°4 ． 如下图所示 ， 数轴上两点A ， B 所对应的实数分别为a ， b ， 则b －a 的结果可能是（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ． －15 ． 如右图 ， 是一个可以自由转动的转盘 ， 转盘分成4个大小相同的扇形 ， 颜色分为灰 、 白两种颜色 ， 指针的位置固定 ， 转动的转盘停止后 ， 其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时 ， 当作指向右边的扇形） ， 则指针指向白色区域的概率是（ ）A ．14B ．32C ．12D ． 16 ． 关于x 的一元二次方程210x ax ++=有两个不相等的实数根 ， 则a 的值可以是（ ） A ． 3B ． 2C ． 1D ． 07 ． 2021年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大 、 保存最完好的战国水井 ， 井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌 ， 如下图 ， 关于正九边形下列说法错误的是（ ）A ． 它是轴对称图形B ． 它是中心对称图形C ． 它的外角和是360°D ． 它的每个内角都是140°8 ． 下面的四个选项中都有两个变量 ， 其中变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）A ． 圆的面积y 与它的半径xB ． 正方形的周长y 与它的边长xC ． 小丽从家骑车去学校 ， 路程一定时 ， 匀速骑行中所用时间y 与平均速度xD ． 用长度一定的铁丝围成一个矩形 ， 矩形的面积y 与一边长x二 、 填空题（本题共16分 ， 每小题2分）9 ． 若3x +在实数范围内有意义 ， 则x 的取值范围是 ． 10 ． 因式分解 ： 231212a a -+= ． 11 ． 方程 ：2303x x-=-的解为 ． 12 ． 在平面直角坐标系xOy 中 ， 直线y kx =与双曲线4y x=交于()11,M x y ， ()22,N x y 两点 ， 则12y y +的值为 ．13 ． 某市6月份日平均气温统计如图所示 ， 则在日平均气温这组数据中 ， 众数是 ， 中位数是 ．14 ． 如图 ， 在矩形ABCD 中 ， 若AE ＝2 ， AC ＝10 ，14AF FC = ， 则AB 的长为 ．15 ． 如图 ， 已知等腰三角形ABC ， AB ＝AC ， ∠A ＝40° ， 若以点B 为圆心 ， BC 长为半径画弧 ， 交腰AC 于点E ， 则∠ABE ＝ ° ．16 ． 以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表 ， 有一个炒菜锅 ， 一个电饭煲 ， 一个煲汤锅 ， 两个燃气灶可用 ， 做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟 ．用时种类准备时间（分钟）加工时间（分钟）米饭 3 30 炒菜1 5 6 炒菜2 5 8 汤56三 、 解答题（本题共68分 ， 第17至22题 ， 每小题5分 ， 第23至26题 ， 每小题6分 ， 第27至28题 ， 每小题7分）17 ． 计算 ： ()217324sin 602π-⎛⎫--+-+︒ ⎪⎝⎭．18 ． 解不等式组()41710853x x x x ⎧++⎪⎨--<⎪⎩≤ ， 并写出它的所有非负整数解 ． 19 ． 已知22360a a +-= ． 求代数式()()()3212121a a a a +-+-的值 ．20 ． 在证明圆周角定理时 ， 某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1 ， 2 ， 3所示） ， 小敏说 ： 当圆心O 在∠ACB 的边上时 ， 只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明 ． 小亮说 ： 当圆心O 在∠ACB 的内部或外部时 ， 可以通过添加直径这条辅助线 ， 把问题转化为圆心O 在∠ACB 的边上时的特殊情形来解决 ． 请选择图2或图3中的一种 ， 完成证明 ． 圆周角定理 ： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ．已知 ： 如图 ， 在⊙O 中 ， 弧AB 所对的圆周角是∠ACB ， 圆心角是∠AOB ． 求证 ： 12ACB AOB =∠∠ ．21 ． 如图 ， 在ABCD □中 ， AE 平分∠BAD ， 交BC 于点E ， BF 平分∠ABC ， 交AD 于点F ， AE 与BF 交于点P ， 连接EF ， PD ．（1）求证 ： 四边形ABEF 是菱形 ；（2）若AB ＝4 ， AD ＝6 ， 60ABC =︒∠ ， 求tan ADP ∠的值 ．22 ． 在平面直角坐标系xOy 中 ， 一次函数()0y kx b k =+≠的图象与直线2y x =平行 ， 且经过点()1,3 ． （1）求这个一次函数的解析式 ；（2）当1x >时 ， 对于x 的每一个值 ， 反比例函数()0my m x=≠的值都小于一次函数()0y kx b k =+≠的值 ， 直接写出m 的取值范围 ．23 ． 某商场为了解甲 、 乙两个部门的营业员在某月的销售情况 ， 分别从两个部门中各随机抽取了20名营业员 ， 获得了这些营业员的销售额（单位 ： 万元）的数据 ， 并对数据进行整理 、 描述和分析 ． 下面给出了部分信息 ．a ． 设营业员该月的销售额为x （单位 ： 万元） ， 甲部门营业员销售额数据的频数分布直方图如下（数据分成5组 ： 10≤x ＜15 ， 15≤x ＜20 ， 20≤x ＜25 ， 25≤x ＜30 ， 30≤x ≤35） ：b ． 甲部门营业员该月的销售额数据在20≤x ＜25这一组的是 ： 21.322.122.623.724.324.324.824.9c ． 甲 、 乙两部门营业员该月销售额数据的平均数 、 中位数如下 ：平均数 中位数 甲部门 22.8 m 乙部门23.022.7（1）写出表中m 的值 ；（2）在甲部门抽取的营业员中 ， 记该月销售额超过23.0万元的人数为1n ． 在乙部门抽取的营业员中 ， 记该月销售额超过23.0万元的人数为2n ． 比较1n ， 2n 的大小 ， 并说明理由 ； （3）若该商场乙部门共有100名营业员 ， 通过计算估计乙部门该月的销售总额 ．24 ． 如图 ， 在Rt △ABC 中 ， 90BAC ∠=︒ ， 点D 为BC 边的中点 ， 以AD 为直径作⊙O ， 分别与AB ， AC 交于点E ， F ， 过点E 作EG ⊥BC 于G ．（1）求证 ： EG 是⊙O 的切线 ；（2）若AF ＝6 ， ⊙O 的半径为5 ， 求BE 的长 ．25 ． 一小球M 从斜坡OA 上的点O 处抛出 ， 球的抛出路线是抛物线的一部分 ， 建立如图所示的平面直角坐标系 ， 斜坡可以用一次函数12y x =刻画 ． 若小球到达最高点的坐标为()4,8 ．（1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x 的取值范围） ；（2）若要在斜坡OA 上的点B 处竖直立一个高4米的广告牌 ， 点B 与抛出点O 的水平距离为2 ， 请判断小球M 能否飞过这个广告牌 ？ 通过计算说明理由 ；（3）直接写出小球M 在飞行的过程中离斜坡OA 的最大高度 ．26 ． 在平面直角坐标系xOy 中 ， 抛物线()2420y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ． （1）求点A 的坐标及抛物线的对称轴 ；（2）当05x ≤≤时 ， y 的最小值是－2 ， 求当05x ≤≤时 ， y 的最大值 ；（3）抛物线上的两点()11,P x y ， ()22,Q x y ， 若对于11t x t <<+ ， 223t x t +<<+ ， 都有12y y ≠ ， 直接写出t 的取值范围 ．27 ． 已知 ： 在△ABC 中 ， 45A ∠=︒ ， ABC α∠= ， 以BC 为斜边作等腰Rt △BDC ， 使得A ， D 两点在直线BC 的同侧 ， 过点D 作DE ⊥AB 于点E ． （1）如图1 ， 当20α=︒时 ．①直接写出∠CDE 的度数 ；②判断线段AE 与BE 的数量关系 ， 并证明 ；（2）当4590α<<︒︒时 ， 依题意补全图2 ， 请直接写出线段AE 与BC 的数量关系（用含α的式子表示） ．28 ． A ， B 是⊙C 上的两个点 ， 点P 在⊙C 的内部 ． 若∠APB 为直角 ， 则称∠APB 为AB 关于⊙C 的内直角 ， 特别地 ， 当圆心C 在∠APB 边（含顶点）上时 ， 称∠APB 为AB 关于⊙C 的最佳内直角 ． 如图1 ， ∠AMB 是AB 关于⊙C 的内直角 ， ∠ANB 是AB 关于⊙C 的最佳内直角 ． 在平面直角坐标系xOy 中 ．（1）如图2 ， ⊙O 的半径为5 ， ()0,5A - ， ()4,3B 是⊙O 上两点 ．①已知()11,0P ， ()20,3P ， ()32,1P - ， 在1AP B ∠ ， 2AP B ∠ ， 3AP B ∠中 ， 是AB 关于⊙O 的内直角的是 ；②若在直线2y x b =+上存在一点P ， 使得∠APB 是AB 关于⊙O 的内直角 ， 求b 的取值范围 ． （2）点A 是以(),0C t 为圆心 ， 4为半径的圆上一个动点 ， ⊙C 与x 轴交于点B （点B 在点C 的右边） ． 现有点()1,0M ， ()0,2N ， 对于线段MN 上每一点P ， 都存在点C ， 使∠APB 是AB 关于⊙C 的最佳内直角 ， 请直接写出t 的取值范围 ．参考答案一 、 选择题（本题共16分 ， 每小题2分）9 ． x ≥－3 10 ． ()232a - 11 ． x ＝9 12 ． 0 13 ． 21 ， 22 14 ． 6 15 ． 3016 ． 33三 、 解答题（本题共68分）17 ． 原式4124=-+5=+．18 ． 解 ： ()41710853x x x x ⎧++⎪⎨--<⎪⎩≤①② ． 由①得 ： x ≥－2 ； 由②得 ： 72x <． ∴不等式组的解集为722x -<≤ ． 则不等式组的所有非负整数解为 ： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ． 19 ． 解 ：∵22360a a +-= ， 即2236a a += ． ∴原式226341a a a =+-+2231a a =++ 61=+ 7= ．20 ． 若选图（2） 证明 ： ∵OC AO = ∴ACO CAO ∠=∴2AOD ACO CAO ACO ∠=∠+∠=∠ 同理 ： 2BOD BCO ∠=∠ ∵AOB AOD BOD ∠=∠+∠∴()2222AOB ACO BCO ACO BCO ACB =∠+∠=∠+∠=∠∠ 即12ACB AOB ∠=∠ ．21 ． （1）证明 ：∵四边形ABCD 是平行四边形 ． ∴AD BC ∥ ． ∴DAE AEB ∠=∠ ． ∵AE 是角平分线 ． ∴DAE BAE ∠=∠ ． ∴BAE AEB ∠=∠ ． ∴AB BE = ． 同理AB AF = ． ∴AF BE = ． 又AF BE ∥∴四边形ABEF 是平行四边形 ． ∵AB BE = ．∴四边形ABEF 是菱形 ． （2）解 ： 作PH AD ⊥于H ．∵四边形ABEF 是菱形 ， 60ABC ∠=︒ ， 4AB = ． ∴4AB AF == ， 30ABF AFB ∠=∠=︒ ， AP BF ⊥ ． ∴122AP AB == ． ∴3PH = ， 1AH = ． ∴5DH = ． ∴3tan PH ADP DH ∠== ． 22 ． 解 ：（1）一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数2y x =的图象平移得到 ． ∴2k = ．一次函数2y x b =+的图象过点()1,3 ． ∴321b =⨯+ ． ∴1b = ．∴这个一次函数的表达式为21y x =+ ． （2）03m <≤或0m < 23 ． 解 ： （1）24.0 ．（2）12n n > ．理由如下 ： 由甲部门抽取的营业员该月的销售额的数据可知111n = ．因为在乙部门抽取的20名营业员该月销售额数据的中位数是22.7万元 ， 小于23.0万元 ， 所以210n ≤ ．所以12n n > ．（3）估计乙部门该月的销售总额约为2300万元 ． 24 ． （1）证明 ： 如图 ， 连接OE ．∵Rt △ABC 中 ， 点D 为BC 边中点 ． ∴AD BD = ． ∴∠BAD ＝∠DBA ． ∵OE ＝OA ． ∴∠OAE ＝∠OEA ． ∴∠OEA ＝∠DBA ． ∴OE ∥BD ． 又∵EG ⊥BC ． ∴OE ⊥EG ． 又∵OE 是半径 ． ∴EG 是O 的切线 ．（2）解 ： 如图 ， 连接DE ， DF ． ∵AD 为O 的直径 ． ∴∠AED ＝∠AFD ＝90° ． 又∵∠BAC ＝90° ． ∴四边形AEDF 为矩形 ． ∴DE ＝AF ＝6 ． 又∵BD ＝AD ＝10 ． ∴在Rt △BDE 中 ， 228BE BD DE =-= ．25 ． 解 ：（1）小球到达的最高的点坐标为()4,8 ． ∴设抛物线的表达式为()248y a x =-+ ． 把()0,0代入得 ， ()20048a =-+ ．解得 ： 12a =-． ∴抛物线的表达式为()21482y x =--+ ； （2）当2x =时 ， 1112y x == ， ()2214862y x =--+= ． ∵614-> ．∴小球M 能飞过这棵树 ；（3）小球M 在飞行的过程中离斜坡OA 的高度()221117494822228h x x x ⎛⎫=--+-=--+ ⎪⎝⎭ ．∴小球M 在飞行的过程中离斜坡OA 的最大高度为498． 26 ． 解 ：（1）令x ＝0则y ＝2 ． ∴()0,2A ．配方得 ： ()()222424424224y ax ax a x x a a x a =-+=-++-=-+- ． ∴二次函数图象的对称轴是x ＝2 ．（2）画图 ， 由于抛物线开口向上 ， 当05x ≤≤时 ， y 的最小值是－2 ， 在顶点处取得 ． 即242a -=- ， 解得a ＝1 ．∴二次函数表达式为242y x x =-+ ， 由图象可知 ． 当x ＝5时 ， y 有最大值 ， 254527y =-⨯+= ． （3）t ≤0或t ≥1 27 ． （1）①解 ：∵以CB 为斜边作等腰直角三角形△BCD ． ∴90CDB ∠=︒ ， 45CBD ∠=︒ ． ∵20ABC ∠=︒ ． ∴25EBD ∠=︒ ． ∵过点D 作DE ⊥AB 于E ． ∴90DEB ∠=︒ ．∴90EBD EDB ∠+∠=︒ ．∵90CDB ∠=︒ ， 即90CDE EDB ∠+∠=︒ ． ∴25CDE EBD ∠=∠=︒ ． ②AE BE = ； 理由如下 ：如图1 ， 延长BD 至H ， 使BD ＝DH ， 连接CH ．∵BD ＝DH ， CD ⊥BD ．∴CH ＝BC ．∴∠CHB ＝∠CBH ＝45° ．∴∠A ＝∠CHB ＝45° ， ∠HCB ＝90° ．∴点A ， 点C ， 点B ， 点H 四点共圆 ．∵∠HCB ＝90° ．∴BH 是直径 ， D 是圆心 ．∵DE ⊥AB ．∴AE ＝BE ；（2）()2cos 45AE BC α=⋅-︒ ．28 ． （1）①2AP B ∠ ， 3AP B ∠ ；②∵∠APB 是AB 关于⊙O 的内直角 ．∴∠APB ＝90° ， 且点P 在⊙O 的内部 ．∴满足条件的点P 形成的图形为如图2中的半圆H （点A ，B 均不能取到） ．过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．∵A （0 ， －5） ， B （4 ， 3） ．∴BD ＝4 ， AD ＝8 ．并可求出直线AB 的解析式为y ＝2x －5 ．∴当直线y ＝2x ＋b 过直径AB 时 ， b ＝－5 ．连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF∥AB，交y轴于点F．∵OA＝OB，AH＝BH．∴EH⊥AB．∴EH⊥EF．∴EF是半圆H的切线．∵∠OAH＝∠OAH，∠OHB＝∠BDA＝90°．∴△OAH∽△BAD．∴4182 OH BDAH AD===．∴1122OH AH EH==．∴OH＝EO．∵∠EOF＝∠AOH，∠FEO＝∠AHO＝90°．∴△EOF≌△HOA（ASA）．∴OF＝OA＝5．∵EF∥AB，直线AB的解析式为y＝2x－5．∴直线EF的解析式为y＝2x＋5，此时b＝5．∴b的取值范围是－5＜b≤5．（2）－5－1≤t＜5。
北京中国人民大学附属中学朝阳学校2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(10月份) 解析版
2019-2020学年人大附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2 2．“垃圾分类，从我做起”，以下四幅图案分别代表四类垃圾，其中图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x+2）2＝7D．（x+2）2＝1 4．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（）A．y＝（x+3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x﹣3）2﹣2D．y＝（x+3）2+25．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．38．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二．填空题（共8小题）9．方程x2﹣2x＝0的根是．10．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于．11．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为．12．一个斜边长是8的Rt△AEC，一个斜边长是6的Rt△AFB，一个正方形AEDF，拼成一个如图所示的Rt△BCD，则Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和是．13．如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验的结果．那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性“凹面向上”的可能性．（填“大于”，“等于”或“小于”）．14．若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a b（填“＜”或“＝”或“＞”）．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B 的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．如图，一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，得到图形（1）请写出抛物线C2的解析式：．（2）若点P（4037.5，a）在图形G上，则a＝．三．解答题（共12小题）17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）18．下面是小明主设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：直线l．求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．作法：如图，①在直线l上任取两点O，A；②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于点C；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：在⊙O中，AB为直径，∴∠ACB＝90°（①），（填推理的依据）连接OC∵OA＝OC＝AC，∴∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°（②），（填推理的依据）19．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围．20．党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是；（2）请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，、△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系（1）点A的坐标为，点C的坐标为．（2）以原点O为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1请在网格内画出△A1B1C1，并写出点A1和B1的坐标，．22．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．23．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD 到点F，使DF＝CE，连接AF．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．24．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表刹车时车速（千0510********米/时）刹车距离（米）00.10.30.61 1.6 2.1（1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝40°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB＝2cm，设BD为x cm，BD'为y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3y/cm 1.7 1.3 1.10.70.9 1.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为cm；若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A，B，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y＝x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x+a和l2：y＝﹣x+b组成图形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1．①依题意补全图1；②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB＝，则GE的长为，并简述求GE长的思路．28．在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和x轴上方的点P 给出如下定义：当∠APB＝60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t＝﹣，在点C（0，），D（，1），E（﹣，）中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN＝30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP＝90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥P A，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2【分析】由抛物线的顶点式y＝（x﹣h）2+k直接看出对称轴是x＝h．【解答】解：∵抛物线的顶点式为y＝（x﹣1）2+2，∴对称轴是x＝1．故选：B．2．“垃圾分类，从我做起”，以下四幅图案分别代表四类垃圾，其中图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．3．用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x+2）2＝7D．（x+2）2＝1【分析】把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式．【解答】解：x2+4x+4＝7，（x+2）2＝7．故选：C．4．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（）A．y＝（x+3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x﹣3）2﹣2D．y＝（x+3）2+2【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位得y＝（x+3）2﹣2．故选：A．5．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°【分析】由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．【解答】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C＝35°，∴∠AOB＝2∠C＝70°．故选：D．6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC＝＝＝75°，故选：D．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为x＝﹣2．故选：B．8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径【分析】利用图象信息一一判断即可解决问题．【解答】解：A、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；C、当小红运动到点D的时候，小兰还没有经过了点D，故本选项不符合题意；D、当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t＝＝4.84，故本选项正确；故选：D．二．填空题（共8小题）9．方程x2﹣2x＝0的根是x1＝0，x2＝2．【分析】因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．【解答】解：因式分解得x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．故答案为x1＝0，x2＝2．10．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：211．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1．【分析】关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n交点的横坐标．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为x1＝﹣3，x2＝1．12．一个斜边长是8的Rt△AEC，一个斜边长是6的Rt△AFB，一个正方形AEDF，拼成一个如图所示的Rt△BCD，则Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和是24．【分析】设正方形AEDF的边长为x，则AE＝AF＝x，证明△AEC∽△BF A，利用相似比得到BF＝x，CE＝x，在Rt△ACE中利用勾股定理得到x2+（x）2＝82，则x2＝，然后根据三角形面积公式计算Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和．【解答】解：设正方形AEDF的边长为x，则AE＝AF＝x，∵AE∥BD，∴∠CAE＝∠B，而∠AEC＝∠AFB＝90°，∴△AEC∽△BF A，∴＝＝，即＝＝，∴BF＝x，CE＝x，在Rt△ACE中，x2+（x）2＝82，∴x2＝，∴Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和＝•x•x+•x•x＝x2＝×＝24．故答案为24．13．如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验的结果．那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性小于“凹面向上”的可能性．（填“大于”，“等于”或“小于”）．【分析】根据图形中的数据即可解答本题．【解答】解：根据表中数据可得，“凸面向上”的频率在0.443与0.440之间，∴凸面向上”的可能性小于“凹面向上”的可能性．，故答案为：小于．14．若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a＜b（填“＜”或“＝”或“＞”）．【分析】根据二次函数图象的增减性即可解答．【解答】解：y＝2x2﹣5的对称轴为x＝0，开口方向向上，顶点为（0，﹣5）．对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y值越小，2比3距离近，所以a＜b．故答案为＜．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B 的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④16．如图，一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，得到图形（1）请写出抛物线C2的解析式：y＝﹣（x﹣2）（x﹣4）．（2）若点P（4037.5，a）在图形G上，则a＝0.75．【分析】（1）利用交点式得到A1（2，0），利用旋转的性质得A2（4，0），然后利用交点式写出抛物线C2的解析式；（2）利用4037.5＝2018×2+1.5可判断点P在抛物线C2019上，而它的解析式为y＝（x ﹣4036）（x﹣4038），然后计算把x＝4037.5对应的函数值即可．【解答】解：（1）抛物线C1的解析式为y＝x（x﹣2），则A1（2，0），根据旋转的性质得A1A2＝OA1＝2，则A2（4，0），抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣2）（x﹣4）；（2）∵4037.5＝2018×2+1.5，∴点P（4037.5，a）在抛物线C2019上，而抛物线C2019的解析式为y＝（x﹣4036）（x﹣4038）把x＝4037.5代入得a＝（4037.5﹣4036）（4037.5﹣4038）＝0.75．故答案为y＝﹣（x﹣2）（x﹣4）；0.75．三．解答题（共12小题）17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，变形得：（x﹣2）2＝9，开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．18．下面是小明主设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：直线l．求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．作法：如图，①在直线l上任取两点O，A；②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于点C；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：在⊙O中，AB为直径，∴∠ACB＝90°（①直径所对的圆周角是直角），（填推理的依据）连接OC∵OA＝OC＝AC，∴∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°（②直角三角形两锐角互余），（填推理的依据）【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据圆周角定理，等边三角形的判定和性质即可解决问题．【解答】解：（1）△ABC即为所求．（2）在⊙O中，AB为直径，∴∠ACB＝90°（①直径所对的圆周角是直角），连接OC∵OA＝OC＝AC，∴∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°（②直角三角形两锐角互余）．故答案为：直径所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余．19．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据x＝﹣4、﹣2时的函数值即可写出y的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；（2）如图所示：（3）∵y＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，当x＝﹣2时，y＝﹣3，又对称轴为x＝﹣1，∴当﹣4＜x＜﹣2时，y的取值范围是﹣3＜y＜5．20．党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是；（2）请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率＝＝；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的结果数为8，所以两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率＝＝．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，、△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系（1）点A的坐标为（2，8），点C的坐标为（6，6）．（2）以原点O为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1请在网格内画出△A1B1C1，并写出点A1和B1的坐标（﹣8，2），（﹣6，0）．【分析】（1）直接根据图形即可写出点A和C的坐标；（2）直接依据旋转中心，旋转方向以及旋转角度，即可得到△A1B1C1．【解答】解：（1）如图所示，A点坐标为：（2，8），C点坐标为：（6，6）；故答案为：（2，8），（6，6）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1和B1的坐标分别为（﹣8，2），（﹣6，0）．故答案为：（﹣8，2），（﹣6，0）．22．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；（2）根据题意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m 的最小值．【解答】（1）证明：依题意，得△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝m2+6m+9﹣4m﹣8＝m+1）2．∵（m+1）2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥﹣1．∴m的最小值为﹣1．23．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD 到点F，使DF＝CE，连接AF．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF＝AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，∴AD∥BC且AD＝BC，∴∠ADF＝∠BCE，在△ADF和△BCE中，∵∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠BEC＝90°，∴AF∥BE，∴四边形ABEF是矩形；（2）解：由（1）知：四边形ABEF是矩形，∴EF＝AB＝6，∵DE＝2，∴DF＝CE＝4，∴CF＝4+4+2＝10，Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AF＝DF＝4，由勾股定理得：AC＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴OF ＝AC ＝．24．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表0510********刹车时车速（千米/时）刹车距离（米）00.10.30.61 1.6 2.1（1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．【分析】（1）通过描点、连线就可以得出函数的大致图象；（2）由函数图象，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，由待定系数法求出其解即可；（3）将x＝100代入（2）的解析式求出其值，再与130作比较即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数，∵图象经过原点，∴设二次函数的表达式为：y＝ax2+bx（x≥0），选取（20，1）和（10，0.3）代入表达式，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝x2+x（x≥0），（3）∵当x＝100时，y＝21＜40，∴汽车已超速行驶．25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝40°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB＝2cm，设BD为x cm，BD'为y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3 y/cm 1.7 1.3 1.10.90.70.9 1.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为0.7cm；若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是0≤x≤0.9．【分析】（1）先构造出全等三角形，判断出DE＝BD'＝y，再利用三角函数求出BC，AC，进而得出CE，进而利用三角函数求出EF，CF，进而得出DF，最后用勾股定理即可得出结论；（2）利用画函数图象的方法即可得出结论；（3）方法1、利用图象和表格即可得出结论；方法2、利用（1）的方法得出的y＝，即可得出y的最小值，再令y＝x求出x的值，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，在AC上取一点E使AE＝AB＝2，由旋转知，AD＝AD'，∠DAD'＝50°＝∠BAC，∴∠DAE＝∠D'AB，在△DAE和△D'AB中，，∴△DAE≌△D'AB（SAS），∴DE＝BD'＝y，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝40°，∴∠BAC＝50°，AC＝＝≈＝3.13，BC＝＝≈≈2.40∴CE＝AC﹣AE＝3.13﹣2＝1.13，过点E作EF⊥BC于F，在Rt△CEF中，EF＝CE•sin C＝1.13×sin40°≈0.72，CF＝CE•cos C＝1.13×cos40°≈1.13×0.78≈0.88，当x＝1时，BD＝1，∴DF＝BC﹣BD﹣CF＝2.40﹣1﹣0.88＝0.52，在Rt△DEF中，根据勾股定理得，y＝DE＝≈0.9，故答案为：0.9．（2）函数图象如图2所示．（3）方法1、由图象和表格知，线段BD'的长度的最小值约为0.7cm，∵BD'≥BD，∴y≥x，由图象知，0≤x≤0.9，故答案为：0.7，0≤x≤0.9．（3）方法2、由（1）知，BC＝2.4，CF＝0.88，EF＝0.72，DF＝BC﹣BD﹣CF＝2.40﹣x﹣0.88＝1.52﹣x，根据勾股定理得，y＝＝，∵0≤x≤2.40，∴x＝1.52时，y最小＝0.72≈0.7，当BD'＝BD时，DE＝y＝x在Rt△DEF中，根据勾股定理得，DE2＝DF2+EF2，∴x2＝（1.52﹣x）2+（0，72）2，∴x≈0.9∴BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是0≤x≤0.9．故答案为：0.7，0≤x≤0.9．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A，B，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y＝x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x+a和l2：y＝﹣x+b组成图形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）①根据抛物线的对称性可得出点B的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值，此问得解；②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C时b的值，进而可得出点P的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y＝mx2﹣2mx+n，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B关于直线x＝1对称．∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（4，0）．∵抛物线y＝mx2﹣2mx+n过点B，直线y＝x﹣4m﹣n过点B，∴，解得：，∴直线所对应的函数表达式为y＝x﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+4．②联立两函数表达式成方程组，，解得：，．∵点B的坐标为（4，0），∴点C的坐标为（﹣3，﹣）．当直线l2：y＝﹣x+b1过点B时，0＝﹣4+b1，解得：b1＝4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝﹣x+4，当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，∴点P1的坐标为（1，3）；当直线l2：y＝﹣x+b2过点C时，﹣＝3+b2，解得：b2＝﹣，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝﹣x﹣，当x＝1时，y＝﹣x﹣＝﹣，∴点P2的坐标为（1，﹣）．∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为﹣≤t≤3．27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1．①依题意补全图1；②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB＝，则GE的长为，并简述求GE长的思路．【分析】（1）①依题意补全图形，如图1所示，②判断出△BAD≌△CAF即可；（2）先判断出△BAD≌△CAF，得到BD＝CF，BG⊥CF，得到直角三角形，利用勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：①依题意补全图形，如图1所示，。