湖南省雅礼中学2018-2019届高三10月第二次月考试题(数学理)(含答案)
湖南师大附中2019届高三第二次月考试题理科数学试卷(含答案)
( )1
x－ n 【解析】∵ x 的展开式中第 5 项与第 8 项的二项式系数相等，所以 n＝4＋7＝11， 第 r＋1 项系数为 Tr＋1＝C1r1(－1)r，r＝6 时 Tr＋1 最大，故展开式中系数最大的项为第 7 项．
( ) ( ) π
π
0<α<
( ) 1 1
×6×6
(VP－BCD)max＝3× 2
×2 3＝12 3.
二、填空题，本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
z1
13．已知 x∈R，复数 z1＝1＋xi，z2＝2＋i，若z2为纯虚数，则实数 x 的值为__－2__．
z1 1＋xi （1＋xi）（2－i） 2＋x 2x－1
到曲线 C，若对于每一个旋转角 θ，曲线 C 都仍然是一个函数的图像，则 α 的最大值为(D)
πππ A．π B. 2 C. 3 D. 4 【解析】函数 f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当
1
其任意切线都不经过 y 轴时，其图像都仍然是一个函数的图像. 因为 f′(x)＝x＋1在[0，＋∞) 是减函数且 0<f′(x)≤1，当且仅当 x＝0 时等号成立，故函数 f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图像的切
π
πππ
线中，在 x＝0 处切线的倾斜角最大，其值为4. 由此可知 αmax＝2－4＝4，故选 D. 11．已知抛物线 y2＝4x 的弦 AB 的中点的横坐标为 3，则|AB|的最大值为(C)
A．4 B．6 C．8 D．10
【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝6，所以|AB|≤|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8， 当弦 AB 过焦点 F(1，0)时取得最大值 8. 故选 C.
2020年湖南省雅礼中学高三第2次月考 理科数学、文科数学(含答案)
#!!!本小题满分!#分" 已知函数)!#"'&!#(!"15!#(!")##)&#!&)$"是减函数! !!"试确定&的值+ !#"已 知 数 列 '&*($&* '15*!*((!!"$9* '&!&#&0 --&* !*+, "$求 证# 15*!*(#"9*)$!)*#!
!!"若甲解开密 码 锁 所 需 时 间 的 中 位 数 为 46$求 &&' 的 值$并 分 别 求 出 甲&乙在!分钟内解开密码锁的频率+
!#"若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时 间位于该区间的概率$并 且 丙 在 ! 分 钟 内 解 开 密 码 锁 的 概 率 为 $!%$ 各人是否解开密码锁相互独立! 按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员 数目的数学期望更小% 试猜想#该团队以怎样的先后顺序派出人员$可使所需派出的人员 数目 8 的数学期望达到最小$不需要说明理由!
炎德英才大联考雅礼中学#$#$届高三月考试卷!二"
数学!理科"参考答案
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湖南省2018-2019年高二10月月考数学(理)试题
高二10月月考数学学科试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若三点、、共线，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A即,故答案选2. 与已知直线平行，且不过第一象限的一条直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】直线化为一般式为,所以与直线平行的直线应为项和项中的直线，但项中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件。
故答案选3. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列命题中不．正确的是（）A. 若∥，，则B. 若∥，，则∥C. 若，，则∥D. 若，则【答案】B【解析】在中，则直线垂直面内任意一条直线，∥，则直线垂直面内任意一条直线，故，故A正确在中，若∥，，则与相交、平行或异面都有可能，故不正确在中，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故正确故选4. 若实数满足则的最大值为（）A. 10B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+4y过区域内某个顶点时，z最大值即可．解答：解析：先画出约束条件的可行域，如图，得到当x=，y=时目标函数z=2x+4y有最大值为，Z max=2×+4×=13．故选C．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5. 若直线 ( )A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】两条直线和相互垂直，解得故答案选6. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，，故选B．考点：圆锥的体积公式．7. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面的面积中最大的是（）A. 8B.C. 10D.【答案】C【解析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值为10，故选C8. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设正方体棱长为a。
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1．集合{}{}{}202,1,1A a B a A B ==⋂=，，，若，则a 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．-1D ．±1【答案】C【解析】{}{}221,02,1,A B A a a⋂==⇒=，又{}1,B a = ，1a ∴=- ，故选C.2．已知向量()()2,1,,2a b λ==r r ，若a b ⊥r r，则实数λ= （ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．4【答案】B【解析】由题得=0a b ⋅r r，解方程即得解.【详解】因为a b ⊥r r，所以=220,1a b λλ⋅+=∴=-r r .故选B 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是2i -+，1i -，22i +，则点D 对应的复数为（ ）A ．4i -B ．32i --C ．5D ．14i -+【答案】D【解析】分析：利用平行四边形的性质得到AB DC =u u u r u u u r,再把点的坐标代入计算即得点D 的坐标，再写出点D 对应的复数.详解：由题得A(-2，1),B(1，-1),C(2，2),设D(x,y)，则(3,2),(2,2),AB DC x y =-=--u u u v u u u v因为AB DC =u u u r u u u r，所以2322x y -=⎧⎨-=-⎩，解之得x=-1,y=4.所以点D 的坐标为（-1，4）， 所以点D 对应的复数为-1+4i, 故选D.点睛：本题方法比较多，但是根据AB DC =u u u r u u u r求点D 的坐标，是比较简单高效的一种方法，大家解题时，注意简洁高效. 4．已知集合2{|0}1x A x x -=<+，{|}B x x a =<，若“1a =”是“B A ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】化简两个集合，分别讨论充分性和必要性，可选出答案. 【详解】由题意，集合()()2{|0}{|120}{|12}1x A x x x x x x x -=<=+-<=-<<+， 先来判断充分性，若1a =，则{|11}B x x =-<<，满足B A ⊆，即“1a =”是“B A ⊆”的充分条件； 再来判断必要性，若B A ⊆，①集合B =∅，0a ≤，此时符合B A ⊆；②集合B ≠∅，此时21a a a a -<⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩，解得01a <≤.故B A ⊆时，1a ≤，即“1a =”不是“B A ⊆”的必要条件. 所以“1a =”是“B A ⊆”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的包含关系，考查充分性与必要性，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.5．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解,则实数a 的取值范围是 A ．2a <- B ．2a >-C ．6a >-D ．6a <-【答案】A【解析】由题意可得224a x x +<-在区间(1,4)内成立，由224(2)4y x x x =-=--，求得顶点处的函数值和端点处的函数值，即可得到所求范围． 【详解】解：关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解， 即为224a x x +<-在区间(1,4)内成立， 由224(2)4y x x x =-=--，可得2x =处函数y 取得最小值4-；1x =时，3y =-；4x =时，0y =； 则函数24y x x =-的值域为[)4,0-，可得20a +<， 解得2a <-． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想和二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题．6．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数()g x 图象的一个对称中心可以是（ ） A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】试题分析：()1sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,2,263x k x k k Z ππππ+=∴=-∈，令0,3k x π==-，∴()g x 图象的一个对称中心是,03π⎛⎫-⎪⎝⎭． 【考点】三角函数图象的平移、三角函数的对称中心．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成角的正切．．值为（ ）A ．2B C D【答案】C【解析】依据异面直线所成角的定义，结合//AB DC ，就得到异面直线DE 与AB 所成角，解三角形，即可求出异面直线DE 与AB 所成角的正切值. 【详解】如图，因为//AB DC ，所以EDC ∠（或其补角）即为异面直线DE 与AB 所成角， 连接EC ，设正方体棱长为2，利用勾股定理可以求得：2CD =，5CE =，3DE =，因此三角形DEC 是直角三角形，∴5tan EDC ∠=. 故选：C【点睛】本题考查了异面直线所成的角，属于基础题.8．已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由于，由题意知，，，因此，双曲线的离心率为，故选B.【考点】双曲线的离心率9．已知直线1:(3)10l mx m y +-+=，直线2:(1)10l m x my ++-=，若12l l ⊥则m =（ ）A ．0m =或1m =B ．1m =C ．32m =-D ．0m =或32m =- 【答案】A【解析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果. 【详解】因为直线1:(3)10l mx m y +-+=与直线2:(1)10l m x my ++-=垂直， 所以(1)(3)0m m m m ++-=，即(1)0m m -=，解得0m =或1m =. 故选A 【点睛】本题主要考查根据直线垂直求参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.10．已知函数2()log (46)x xf x a b =-+，满足2(1)1,(2)log 6f f ==，,a b 为正实数，则()f x 的最小值为（ ） A ．6- B ．3-C ．0D ．1【答案】D【解析】试题分析：22462{466a b a b -+=-+=，解得2{4b a ==， ∴222()log (44?26)log [(22)2]x x x f x =-+=-+，当1x =时，min ()1f x =，故选D .【考点】对数函数的性质11．直线l 是抛物线22x y =在点()2,2-处的切线，点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A 2BCD ．65【答案】C【解析】先由题意求出直线l 的方程，再求出圆22420x y x y +--=的圆心到直线的距离，减去半径，即为所求结果. 【详解】因为22x y =，所以y x '=，因此抛物线22x y =在点()2,2-处的切线斜率为22x y x =-==-'，所以直线l 的方程为22(2)y x -=-+，即22y x =--，又圆22420x y x y +--=可化为22(2)(1)5x y -+-=，所以圆心为(2,1)，半径r =则圆心到直线的距离为d ==又因点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，所以点P 到直线l的距离的最小值等于d r -=. 故选C 【点睛】本题主要考查圆上的点到直线距离的最值问题，熟记直线与圆位置关系即可，属于常考题型.12．若对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln 30x x x mx +-+≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．132e e+- B ．32e e++C ．2e 1-D ．4【答案】D【解析】通过分离变量将恒成立的不等式变为32ln m x x x≤++，由此可知当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，通过导数求解出右侧函数在区间内的最小值，从而得到结果. 【详解】22ln 30x x x mx +-+≥ 22ln 3mx x x x ⇒≤++ 32ln m x x x⇒≤++22ln 30x x x mx +-+≥在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()32ln g x x x x =++，则()22223231x x g x x x x+-'=+-= 令()0g x '=，解得13x =-，21x =则1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；(]1,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增则1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()min 12ln1134g x g ==++= 4m ∴≤ 即m 的最大值为4 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用恒成立问题的求解，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与某一函数的最值比较的问题，通过求解函数最值得到所求参数的取值范围，属于恒成立问题中的常规题型.二、填空题13．已知抛物线24y x =-的准线经过椭圆2221(0)4x y b b+=>的焦点，则b =________． 【答案】3【解析】先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得b ． 【详解】解：依题意可得抛物线24y x =-的准线为1x =，又因为椭圆焦点为()240b ±-，所以有241b -=．即b 2＝3故b 3=． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握． 14．若实数x ，y 满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】化简题设条件，得到的取值范围，再化简为x 的二次函数，借助二次函数的图象与性质，即可求解函数的最值，得到答案． 【详解】由题意，实数x ，y 满足，即，可得．则，则函数的对称轴为，开口向下，所以在上，时函数取得最大值6，时，函数取得最小值．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到变量的取值范围，再结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．15．设x，y满足约束条件20230x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46yx++的取值范围是__________．【答案】[]3,1-【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由数形结合进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示：则46yx++的几何意义是区域内的点到定点P（﹣6，﹣4）的斜率，由230x yx y-+=⎧⎨+=⎩得x＝﹣1，y＝1，即A（﹣1，1），则AP的斜率k＝1416+-+＝1，由20230x yx y--=⎧⎨-+=⎩得x＝﹣5，y＝﹣7，即B（﹣5，﹣7），则BP的斜率k＝7456-+-+＝﹣3，则46yx++的取值范围是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.16．在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．【答案】10【解析】解法一：利用数列的递推公式，化简得122n n n a a a ++=+，得到数列{}n a 为等差数列，求得数列的通项公式313n a n =-，得到12100a a a >>>>L ，1112130a a a >>>>L ，得出所以1280b b b >>>>L ，90b <，100b >，1112130b b b >>>>L ，进而得到结论；解法二：化简得()128 11n n a a n n n n +-=---，令1n n a c n +=，求得11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而求得313n a n =-，再由0n b ≥，解得8n ≤或10n =，即可得到结论．【详解】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>L ，1112130a a a >>>>L 所以1280b b b >>>>L ，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>L所以12389T T T T T <<L ， 9101112T T T T >>L 又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=- 所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值． 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.三、解答题17．在锐角ABC V 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 0a B =. （1）求角A 的大小；（2）若4a =，求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）60A =︒（2）【解析】（1）由正弦定理可得sin sin 0A B B -=，结合sin 0B ≠，可求出sin A 与A ；（2）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，结合基本不等式可得162bc bc bc ≥-=，即可求出16bc ≤，从而可求出1sin 2ABC S bc A =V 的最大值.【详解】解：（1）因为sin 0a B =，所以sin sin 0A B B =，又sin 0B ≠，所以3sin 2A=， 又ABC V 是锐角三角形，则60A =o .（2）因为2222cos a b c bc A =+-，60A =o ，4a =， 所以222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-， 所以162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤（当且仅当4b c ==时取等号）， 故11sin 16sin 432260ABC S bc A =≤⨯⨯=V o . 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =⋅⋅⋅数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑ ()()81iii x x y y =-⋅-∑ ()()81iii w w y y =-⋅-∑46.6 5636.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =8118i i w w ==∑.（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-.根据（2）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，µµv u αβ=-. 【答案】（1）y c =+适宜（2）100.6y =+3）（i ）年销售量y 的预报值576.6，年利润的预报值66.32（ii ）46.24x =【解析】（1）根据所给的两个函数解析式的特点，结合图象直接选择即可； （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，利用表中所给的数据求解即可.（3）（i ）由（2）知，把49x =代入，100.6y =+即可；（ii ）根据（2）的结果知，求出年利润z 的预报值的函数关系式，利用配方法求出当年利润的预报值最大时，年宣传费的值. 【详解】（1）由散点图可以判断，这些点明显不在同一条直线上，也不是在一条直线的附近，所以y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8681.6iii i i w w y y d w w==--===-∑∑，56368 6.8100.6cy dw =-=-⨯=$， 所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+， 因此y 关于x的回归方程为100.6y =+（3）（i ）由（2）知，当49x =时，年销售量y的预报值100.6576.6y =+=，年利润的预报值0.2576.64966.32z=⨯-=$. （ii ）根据（2）的结果知，年利润z 的预报值()0.2100.66813.620.12x x x x z=+-=-++$， 所以当13.66.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值. 【点睛】本题考查了根据图象选择函数的解析式，考查了求线性回归方程，考查了线性回归方程的应用，考查了数学运算能力.19． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（III 3【解析】（I ）连接BD ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到GH PD P ，利用线面平行的判定定理证得结果；（II ）取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN PA ⊥，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III ）利用线面角的平面角的定义得到DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角，放在直角三角形中求得结果. 【详解】（I ）证明：连接BD ，易知AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，故GH PD P ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以GH ∥平面PAD .（II ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥， 又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC I 平面PCD PC =， 所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =I ， 所以PA ⊥平面PCD .（III ）解：连接AN ，由（II ）中DN ⊥平面PAC ， 可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角.因为PCD ∆为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点， 所以3DN =DN AN ⊥， 在Rt AND ∆中，3sin 3DN DAN AD ∠==， 所以，直线AD 与平面PAC 3【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.20．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【解析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数（I ）若在处的切线的斜率为，求的值；（Ⅱ），不等式恒成立，求整数的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题意得,解之即得a 的值；（Ⅱ）不等式或化为，设，再利用导数研究函数h(x)的图像和性质得解.【详解】 解：（Ⅰ），由题意得，则.（Ⅱ）不等式或化为.设，．设，当时，，则在单调递增. 又，，则在存在唯一零点满足.则当时，单调递减，当时，单调递增，则.又因为，则，因为，则，则整数的最大值为. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的最值、单调性、零点问题的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.【答案】（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）2. 【解析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C，1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程． （2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MONS OM ON sin π==V u u u u r u u u r 2sin （23πθ+）△MON 面积的最大值．【详解】（1）由题意可知将直线l的直角坐标方程为2y =+，曲线C是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C相切，可得：2r ==；可知曲线C的方程为(()2214x y +-=，∴曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MONS OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u v u u u vsin22sin 23πθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2+.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．设函数()2f x x x a =--+． (1)当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；(2)当()()(),22x y R f y f x f y a ∈-+≤≤+时，，求的取值范围． 【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）[]3,1-- 【解析】(1) 求出函数f （x ）的分段函数的形式，通过讨论x 的范围求出各个区间上的x 的范围，取并集即可；(2)()()()22f y f x f y -+≤≤+等价于()()()()max min 22f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦，求出()f x 的最值即可.【详解】（1）当a =1时，()3,1,12,123,2x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，可得()2f x <-的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）当,x y R ∈时，()()()()()()()max min 2222f y f x f y f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-+≤≤+⇔-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦,因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()222a a +--+≤. 所以21a +≤，所以31a -≤≤-. 所以a 的取值范围是[-3，-1] 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。
最新2019届雅礼中学第二次月考文数(试题)
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文科数学试题!雅礼版"!第!0 页!共"页"
!"!本小题满分!#分 已知四棱锥0.$%&' 的三视图如下图所示其中正视图侧视图是直 角三角形俯视图是有一条对角线的正方形5 是侧棱0& 上的动点!
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炎德英才大联考雅礼中学#$!%届高三月考试卷!二"
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数!学!文科"
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命题人#李群丽!!审题人#滕晓军
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得分#!!!!!!!
" " !!本试卷分第卷!选择题"和第卷!非选择题"两部分$共"页%时量
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密!!封!!线!!内!!不!!要!!答!!题
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第卷
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一&选择题#本大题共!#个小题$每小题&分$共'$分!在每小题给出的四个
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选项中$只有一个选项是符合题目要求的!
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2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学(理)试题及答案
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学（理）试题及答案一、单选题1．集合{}{}{}202,1,1A a B a A B ==⋂=，，，若，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．±1【答案】C【解析】{}{}221,02,1,A B A a a ⋂==⇒=，又{}1,B a = ，1a ∴=- ，故选C.2．已知向量()()2,1,,2a b λ==，若a b ⊥，则实数λ= （ ） A ．4- B ．1-C ．1D ．4【答案】B【解析】由题得=0a b ⋅，解方程即得解. 【详解】因为a b ⊥，所以=220,1a b λλ⋅+=∴=-. 故选B 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是2i -+，1i -，22i +，则点D 对应的复数为（ ）【答案】D【解析】分析：利用平行四边形的性质得到AB DC =,再把点的坐标代入计算即得点D 的坐标，再写出点D 对应的复数.详解：由题得A(-2，1),B(1，-1),C(2，2),设D(x,y)，则(3,2),(2,2),AB DC x y =-=-- 因为AB DC =，所以2322x y -=⎧⎨-=-⎩，解之得x=-1,y=4.所以点D 的坐标为（-1，4）， 所以点D 对应的复数为-1+4i, 故选D.点睛：本题方法比较多，但是根据AB DC =求点D 的坐标，是比较简单高效的一种方法，大家解题时，注意简洁高效. 4．已知集合2{|0}1x A x x -=<+，{|}B x x a =<，若“1a =”是“B A ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A【解析】化简两个集合，分别讨论充分性和必要性，可选【详解】由题意，集合()()2{|0}{|120}{|12}1x A x x x x x x x -=<=+-<=-<<+， 先来判断充分性，若1a =，则{|11}B x x =-<<，满足B A ⊆，即“1a =”是“B A ⊆”的充分条件；再来判断必要性，若B A ⊆，①集合B =∅，0a ≤，此时符合B A ⊆；②集合B ≠∅，此时21a a a a -<⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩，解得01a <≤.故B A ⊆时，1a ≤，即“1a =”不是“B A ⊆”的必要条件. 所以“1a =”是“B A ⊆”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的包含关系，考查充分性与必要性，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.5．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解,则实数a 的取值范围是 A ．2a <- B ．2a >- C ．6a >- D ．6a <-【答案】A【解析】由题意可得224a xx +<-在区间(1,4)内成立，由224(2)4y x x x =-=--，求得顶点处的函数值和端点处的函数解：关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解， 即为224a xx +<-在区间(1,4)内成立，由224(2)4y x x x =-=--，可得2x =处函数y 取得最小值4-；1x =时，3y =-；4x =时，0y =；则函数24y x x =-的值域为[)4,0-， 可得20a +<， 解得2a <-． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想和二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题．6．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数()g x 图象的一个对称中心可以是（ ）A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】试题分析：()1sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,2,263x k x k k Z ππππ+=∴=-∈，令0,3k x π==-，∴()g x 图象的一个对称中心是,03π⎛⎫-⎪⎝⎭．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成角的正切．．值为（ ） A ．2B ．32C ．5 D ．7【答案】C【解析】依据异面直线所成角的定义，结合//AB DC ，就得到异面直线DE 与AB 所成角，解三角形，即可求出异面直线DE 与AB 所成角的正切值. 【详解】如图，因为//AB DC ，所以EDC ∠（或其补角）即为异面直线DE 与AB 所成角，连接EC ，设正方体棱长为2，利用勾股定理可以求得：2CD =，5CE =，3DE =，因此三角形DEC 是直角三角形，∴5tan 2EDC ∠=.故选：C【点睛】本题考查了异面直线所成的角，属于基础题.8．已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由于，由题意知，，，因此，双曲线的离心率为，故选B.【考点】双曲线的离心率9．已知直线1:(3)10l mx m y +-+=，直线2:(1)10l m x my ++-=，若12l l ⊥则m =（）A ．0m =或1m =B ．1m =C ．32m =-D ．0m =或32m =-【答案】A【解析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果. 【详解】因为直线1:(3)10l mx m y +-+=与直线2:(1)10l m x my ++-=垂直， 所以(1)(3)0m m m m ++-=，即(1)0m m -=，解得0m =或1m =. 故选A 【点睛】本题主要考查根据直线垂直求参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.10．已知函数2()log (46)x x f x a b =-+，满足2(1)1,(2)log 6f f ==，,a b 为正实数，则()f x 的最小值为（ ） A ．6- B ．3- C ．0 D ．1【解析】试题分析：22462{466a b a b -+=-+=，解得2{4b a ==，∴222()log (44?26)log [(22)2]x x x f x =-+=-+，当1x =时，min ()1f x =，故选D .【考点】对数函数的性质11．直线l 是抛物线22x y =在点()2,2-处的切线，点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A2B CD ．65【答案】C【解析】先由题意求出直线l 的方程，再求出圆22420x y x y +--=的圆心到直线的距离，减去半径，即为所求结果. 【详解】因为22x y =，所以y x '=，因此抛物线22x y =在点()2,2-处的切线斜率为22x y x =-==-'， 所以直线l 的方程为22(2)y x -=-+，即22y x =--， 又圆22420x y x y +--=可化为22(2)(1)5x y -+-=， 所以圆心为(2,1)，半径r =；则圆心到直线的距离为d ==又因点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，所以点P 到直线l 的距离的最小值等于d r -=故选C本题主要考查圆上的点到直线距离的最值问题，熟记直线与圆位置关系即可，属于常考题型.12．若对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln 30x x x mx +-+≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．132e e +-B ．32e e++C ．2e1- D ．4【答案】D【解析】通过分离变量将恒成立的不等式变为32ln m x x x ≤++，由此可知当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，通过导数求解出右侧函数在区间内的最小值，从而得到结果. 【详解】22ln 30x x x mx +-+≥22ln 3mx x x x ⇒≤++32ln m x x x⇒≤++22ln 30x x x mx +-+≥在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()32ln g x x x x =++，则()22223231x x g x x x x+-'=+-= 令()0g x '=，解得13x =-，21x =则1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；(]1,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增则1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()min 12ln1134g x g ==++= 4m ∴≤即m 的最大值为4本题正确选项：D【点睛】本题考查利用恒成立问题的求解，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与某一函数的最值比较的问题，通过求解函数最值得到所求参数的取值范围，属于恒成立问题中的常规题型.二、填空题13．已知抛物线24y x=-的准线经过椭圆2221(0)4x ybb+=>的焦点，则b=________．【答案】3【解析】先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得b．【详解】解：依题意可得抛物线24y x=-的准线为1x=，又因为椭圆焦点为()240b±-，所以有241b-=．即b2＝3故b3=．故答案为3．【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握．14．若实数x，y满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】化简题设条件，得到的取值范围，再化简为x的二次函数，借助二次函数的图象与性质，即可求解函数的最值，得到答案．【详解】由题意，实数x，y 满足，即，可得．则，则函数的对称轴为，开口向下，所以在上，时函数取得最大值6，时，函数取得最小值．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到变量的取值范围，再结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．15．设x，y满足约束条件20230x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46yx++的取值范围是__________．【答案】[]3,1-【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示：则46y x ++的几何意义是区域内的点到定点P （﹣6，﹣4）的斜率，由230x y x y -+=⎧⎨+=⎩得x ＝﹣1，y ＝1，即A （﹣1，1），则AP 的斜率k ＝1416+-+＝1，由20230x y x y --=⎧⎨-+=⎩得x ＝﹣5，y ＝﹣7，即B （﹣5，﹣7），则BP 的斜率k ＝7456-+-+＝﹣3，则46y x ++的取值范围是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.16．在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________． 【答案】10【解析】解法一：利用数列的递推公式，化简得122n n n a a a ++=+，得到数列{}n a 为等差数列，求得数列的通项公式313n a n =-，得到12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>，得出所以1280b b b >>>>，90b <，100b >，1112130b b b >>>>，进而得到结论；解法二：化简得()128 11n n a a n n n n +-=---，令1n n a c n +=，求得11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而求得313n a n =-，再由0n b ≥，解得8n ≤或10n =，即可得到结论．【详解】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列．在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>所以1280b b b >>>>，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>> 所以12389T T T T T <<， 9101112T T T T >>又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值．解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811nn c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=-所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值． 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.三、解答题 17．在锐角ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 02a B -=. （1）求角A 的大小； （2）若4a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）60A =︒（2）【解析】（1）由正弦定理可得sin sin 0A B B =，结合sin 0B ≠，可求出sin A 与A ；（2）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，结合基本不等式可得162bc bc bc ≥-=，即可求出16bc ≤，从而可求出1sin 2ABCS bc A =的最大值. 【详解】解：（1）因为sin 0a B =，所以sin sin 0A B B =，又sin 0B ≠，所以sin A =，又ABC 是锐角三角形，则60A =.（2）因为2222cos a b c bc A =+-，60A =，4a =， 所以222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-，所以162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤（当且仅当4b c ==时取等号）， 故11sin 16sin 432260ABCSbc A =≤⨯⨯=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =⋅⋅⋅数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑ ()()81iii x x y y =-⋅-∑ ()(81iii w w y y =-⋅-∑ 46.6 563 6.8289.81.61469108.8表中i i w x =8118ii w w ==∑.（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c x=+为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-.根据（2）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，v u αβ=-.【答案】（1）y c =+适宜（2）100.6y =+3）（i ）年销售量y 的预报值576.6，年利润的预报值66.32（ii ）46.24x = 【解析】（1）根据所给的两个函数解析式的特点，结合图象直接选择即可； （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，利用表中所给的数据求解即可.（3）（i ）由（2）知，把49x =代入，100.6y =+后求出年利润的预报值即可；（ii ）根据（2）的结果知，求出年利润z 的预报值的函数关系式，利用配方法求出当年利润的预报值最大时，年宣传费的值. 【详解】（1）由散点图可以判断，这些点明显不在同一条直线上，也不是在一条直线的附近，所以y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8681.6iii i i w w y y d w w==--===-∑∑，56368 6.8100.6c y dw =-=-⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+，因此y 关于x 的回归方程为100.6y =+（3）（i ）由（2）知，当49x =时，年销售量y 的预报值100.66849576.6y =+=，年利润的预报值0.2576.64966.32z =⨯-=. （ii ）根据（2）的结果知，年利润z 的预报值()0.2100.66813.620.12x x x x z =+-=-++，所以当13.66.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值. 【点睛】本题考查了根据图象选择函数的解析式，考查了求线性回归方程，考查了线性回归方程的应用，考查了数学运算能力.19． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（III 3【解析】（I ）连接BD ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到GH PD ，利用线面平行的判定定理证得结果；（II）取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DN PC⊥，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN PA⊥，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III）利用线面角的平面角的定义得到DAN∠为直线AD与平面PAC所成的角，放在直角三角形中求得结果.【详解】（I）证明：连接BD，易知AC BD H⋂=，BH DH=，又由BG PG=，故GH PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.（II）证明：取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DN PC⊥，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC平面PCD PC=，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN PA⊥，又已知PA CD=，⊥，CD DN D所以PA⊥平面PCD.（III）解：连接AN，由（II）中DN⊥平面PAC，可知DAN∠为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCDCD=且N为PC的中点，∆为等边三角形，2所以3⊥，DN=DN AN在Rt AND ∆中，sin 3DN DAN AD ∠==，所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.20．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【解析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程； (Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数（I ）若在处的切线的斜率为，求的值；（Ⅱ），不等式恒成立，求整数的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题意得,解之即得a 的值；（Ⅱ）不等式或化为，设，再利用导数研究函数h(x)的图像和性质得解. 【详解】 解：（Ⅰ），由题意得，则.（Ⅱ）不等式或化为.设，．设，当时，， 则在单调递增. 又，，则在存在唯一零点满足.则当时，单调递减，当时，单调递增，则. 又因为，则，因为，则，则整数的最大值为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的最值、单调性、零点问题的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.【答案】（1）4sin3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）2+.【解析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y=+2，曲线C，1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MONSOM ON sin π==2sin （23πθ+）由此能求出△MON面积的最大值． 【详解】（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y +-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MON S OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin22sin 23πθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 23．设函数()2f x x x a =--+．(1)当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；(2)当()()(),22x y R f y f x f y a ∈-+≤≤+时，，求的取值范围． 【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）[]3,1-- 【解析】(1) 求出函数f （x ）的分段函数的形式，通过讨论x 的范围求出各个区间上的x 的范围，取并集即可；(2)()()()22f y f x f y -+≤≤+等价于()()()()max min 22f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦，求出()f x 的最值即可.【详解】 （1）当a =1时，()3,1,12,123,2x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，可得()2f x <-的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）当,x y R ∈时，()()()()()()()max min 2222f y f x f y f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-+≤≤+⇔-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦,因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+，所以()222a a +--+≤.所以21a+≤，所以31-≤≤-.a所以a的取值范围是[-3，-1]【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(五)理科数学试题 PDF版含答案
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湖南省长沙市雅礼中学2019届高三月考(七)数学(理)试题(解析版)
雅礼中学2019届高三月考试卷（七）数学（理科）命题人：雅礼中学高三数学备课组审题人：雅礼中学高三数学备课组注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，.若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，若，则，即，故选A．2.设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．【详解】∵，∴，∴，∴复数的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.设，，若函数为奇函数，则的解析式可以为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，则，代入，得为奇函数，满足题意，故选B.考点：（1）函数的奇偶性；（2）定积分的计算.5.如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】分析：从A点开始沿着三角形的边转到D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把写成的实数倍，从而得到，从而确定出，最后求得结果.详解：，所以，从而求得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.6.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知榫卯的榫为底边长为高为长方体，卯为底面半径为，高为的中空的圆柱体，设表面积为，侧面积为，上下底面积的和为，则有，故选B【点睛】本题重点是抓住榫卯的工作原理—榫凸卯凹、榫卯咬合连接，由此发现卯（中空的圆柱体）中间所缺失的上下表面积刚好由榫的上下表面积补充。
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第2次月考数学（理）试题一、单选题1．集合{}21|20,|2A x x x B x x ⎧⎫=+-<=≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．1(0,]2B ．1(1,0)[,2)2-UC ．1(2,0)[,1)2-UD ．1[,1)2【答案】C【解析】先求解不等式化简集合A 和B ，再根据集合的交集运算求得结果即可. 【详解】因为集合{}2|20{|21}A x x x x x =+-<=-<<，集合1|2{|0B x x x x ⎧⎫=≤=<⎨⎬⎩⎭或1}2x …，所以1(2,0),12A B ⎡⎫=-⋃⎪⎢⎣⎭I . 故本题正确答案为C. 【点睛】本题考查一元二次不等式，分式不等式的解法和集合的交集运算，注意认真计算，仔细检查，属基础题. 2．已知复数21z i=-，则下列结论正确的是 A ．z 的虚部为i B ．2z = C ．2z 为纯虚数 D ．1z i =-+【答案】C【解析】先利用复数的除法将复数z 化为一般形式，然后利用复数的基本知识以及四则运算法则来判断各选项的正误． 【详解】()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+Q ，z ∴的虚部为1，z ==()2221122z i i i i =+=++=为纯虚数，1z i =-，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算、复数的概念、共轭复数等的理解，解题的关键就是将复数化为一般形式，借助相关概念进行理解，考查计算能力，属于基础题．3．已知2513a⎛⎫= ⎪⎝⎭2523b⎛⎫= ⎪⎝⎭131log5c=则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 【答案】D【解析】对于,a b看成幂函数，对于c与,a b的大小和1比较即可【详解】因为25y x=在()0,∞+上为增函数，所以b a>，由因为2513113a⎛⎫<⎛⎫= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭，2523213b⎛⎫<⎛⎫= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭，113311log log153c=>=，所以c b a>>，所以选择D【点睛】本题主要考查了指数、对数之间大小的比较，常用的方法：1、通常看成指数、对数、幂函数比较．2、和0、1比较．4．函数1()ln1xf xx-=+的大致图像为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题采用特值法判断即可，选择有效特值代入即可判断正确答案【详解】从选项中可知，采用特值法进行代入求解，对于函数1 ()ln1xf xx-=+取2x =得，()12ln03f=<，排除A ，D ； 取2x =-得，()2ln30f -=>，排除C ； 得到答案选B 【点睛】本题考查函数图像问题，适用特值法求解，属于基础题5．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．3π- B ．33π-C ．33π-D ．3π-【答案】C【解析】将阴影部分拆分为两个小弓形，根据长度关系可知弓形所在的扇形圆心角为120o ，从而可求得弓形面积，进而得到阴影部分面积，利用几何概型概率公式求得结果. 【详解】 如下图所示：设长方形的长为4，宽为2，则120AOB ∠=o∴阴影部分的面积21182223123323S ππ⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭∴所求概率为：823334234p ππ-==-⨯ 本题正确选项：C 【点睛】本题考查几何概型中的面积型的概率的求解，关键是能够将阴影部分拆分为两个弓形，进而求得阴影部分面积.6．若()2,4,a b a b a ==+⊥r r r r r ,则a r 与b r的夹角为( )A ．23π B ．3π C ．43π D ．π【解析】由（ a b +rr）⊥a r，可得（ a b +rr）a r⋅=0，解出 4a b ⋅=-rr ，再利用两个向量的数量积的定义求出cosθ 的值，则夹角可求． 【详解】∵（ a b +r r ）⊥a r ，∴（ a b +r r ）2a a a ⋅=+⋅r r r b =r 4+a ⋅r b =r 0，得4a b ⋅=-r r∴4a b ⋅=-=rr |a r ||b r|cosθ∴cosθ12=-，又[]20,,3θπθπ∈∴= 故选：A 【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的夹角的求法，向量垂直的性质，是基础题 7．从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．6【答案】B 【解析】【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．8．设数列{}n a ，{}2n a (*n N ∈)都是等差数列，若12a =，则23452345a a a a +++等于（ ） A ．60 B ．62 C ．63 D ．66【答案】A【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得2222132a a a =+，求得d 的值，得到数列的通项公式，即可求解23452345a a a a +++得值，得到答案.【详解】由题意，数列{}n a ，{}2n a 都是等差数列，且12a =，设数列{}n a 的公差为d ，则有2222132a a a =+，即2222(2)2(22)d d ⨯+=++， 解得0d =，所以2n a =，24n a =，所以2345234548163260a a a a +++=+++=，故选A.本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．设实数,x y满足条件223x yx yy x+≤⎧⎪+≥-⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y=-+的最大值为( ) A．16B．6C．4D．14【答案】D【解析】画出约束条件对应的可行域，找出取最大值的点，解方程组求得最优解，代入求得结果.【详解】画出约束条件对应的可行域，如图所示：画出直线23y x=+，上下移动，得到23z x y=-+在点A处取得最大值，解方程组223x yx y+=⎧⎨+=-⎩，得(5,7)A-，代入23z x y=-+，求得max2(5)7314z=⨯--+=，故选D.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有根据约束条件画出可行域，找出目标函数取最值时对应的点，注意目标函数的形式，属于简单题目.10．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．()6,10B ．()8,12C ．[]6,8D ．[]6,12【答案】B【解析】根据抛物线的定义，结合圆的几何性质，求得则FAB ∆的周长的表达式，进而求得其取值范围. 【详解】抛物线28y x =焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，圆()22216x y -+=的圆心为()2,0，半径4r =，故圆()22216x y -+=与准线相切.根据抛物线的定义以及//AB x 轴可知，FAB ∆的周长4AF AB BF AF AB ++=++，等价于B 到准线2x =-的距离加4.由()2222168x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩解得2x =，所以()2,6B x ∈，所以B 到准线2x =-的距离的取值范围是()4,8，所以FAB ∆的周长的取值范围是()8,12. 故选：B 【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满足()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最小值为（ ） A ．494-B ．498-C ．14-D ．28-【答案】C【解析】分析：首先对题中所给的数列的递推公式进行变形，整理得出数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，确定首项和公差，从而得到新数列的通项公式，接着得到{}n a 的通项公式，利用其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从而能够判断出n m S S -在什么情况下取得最小值，并求出最小值的结果. 详解：根据题意可知1(25)(23)(25)(23)n n n a n a n n +-=-+--， 式子的每一项都除以(25)(23)n n --，可得112325n na a n n +=+--，即112(1)525n n a an n +-=+--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以15525=--为首项，以1为公差的等差数列， 所以5(1)1625na n n n =-+-⋅=--，即(6)(25)n a n n =--，由此可以判断出345,,a a a 这三项是负数，从而得到当5,2n m ==时，n m S S -取得最小值，且5234536514n m S S S S a a a -=-=++=---=-，故选C.点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从而借助于等差数列求出{}n a 的通项公式，而题中要求的n m S S -的值表示的是连续若干项的和，根据通项公式判断出项的符号，从而确定出哪些项，最后求得结果. 12．已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23x f x e x f x =++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．21,0e ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．21,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】利用构造函数法，结合()()()'23xf x ex f x =++以及()01f =，求得()f x 解析式.利用导数求得()f x 的单调区间和极值，由此画出()f x 函数图像，结合图像求得k 的取值范围. 【详解】 构造函数()()()()()''23x xf x f x f xg x g x x e e -=⇒==+，可令：()23g x x x c =++，所以()()23x x x e f c x =++，由()01f c ==，得：()()231x f x x x e =++.由()0f x =，解得123322x x --+==.由()0f x <，得：2310x x ++<得出解为3322x ---<<，其中恰有两个整数-2，-1.当x <x >()0f x >.而()()'254x f x x x e =++⋅()()14x x x e =++⋅，所以()f x 在(),4-∞-和()1,-+∞上递增，在()4,1--上递减. 当x →-∞时，()0f x →.且()()4151,4f f e e-=--=，()01f =.由此画出()f x 的图像如下图所示，由图可知，当0k =时，()0f x <恰好有两个整数解2,1--. 当0k >时，()f x k <不止两个整数解.当k 0<时，要使()f x k <有两个整数解，则()212f k e -=-<，故210k e -<<. 综上所述，k 的取值范围是21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：C【点睛】本小题主要考查导数运算，考查利用导数研究不等式的解，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知函数()sin 21f x x x x =+-，则()f π'=_________． 【答案】2π-【解析】求导，代入数据得到答案. 【详解】()sin 21'()sin cos 2'()2f x x x x f x x x x f ππ=+-⇒=++⇒=-+故答案为2π- 【点睛】本题考查了导数的计算，属于简单题.14．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则p 值为______.【答案】34【解析】根据甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920列方程，解方程求得p 的值. 【详解】甲、乙两人各射击一次得分之和为2，可能是甲击中乙未击中，或者乙击中甲未击中，故()339115520p p ⎛⎫⋅-+⋅-= ⎪⎝⎭，解得34p =. 故答案为：34【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.15．已知函数()()()2cos 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫---<⎝=⎪⎭的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02p轾-犏犏臌上的最小值为______.【答案】【解析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，根据图象变换后所得函数的对称性，求得ϕ的值，进而求得()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【详解】依题意()π2cos 23f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，向右平移π12个单位得到ππ2cos 2123x ϕ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2cos 26x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，而π2cos 26y x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，所以πππ,π66k k ϕϕ-==-，由于2πϕ<，所以π6ϕ=.所以()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当π02x -≤≤时，5πππ2666x -≤+≤，所以()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为5πππ2cos 2cos π2cos 666⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：3- 【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查三角函数最值的求法，考查三角函数的对称性，属于中档题.16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为______.【答案】33,93⎣ 【解析】【详解】 如图：∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23∴正方体的对角线长为6， ∵[]1,5x ∈，当1x =或5时，三角形的面积最小，设截面三角形的边长为t ，由等体积法得：221311221343222t t ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴6t =∴2min 3336y ==. 当3x =，即P 在1BD 中点时，截面为正六边形的面积最大，此时正六边形的边长为()()22336+=23663=故答案为：33,932⎡⎢⎣【点睛】本小题主要考查正方体截面面积的最大值，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围； （2）若5a =，且43sin sin 5B C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3(2-；（21334【解析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，3sin(2)123x π-<-≤，问题得解. （2）利用正弦定理可得：3sin sin )+=+B C b c ，结合43sin sin B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解.【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+---sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以()sin(2)3f x x π=-.因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)13x π<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(．（2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin )10+=+B C b c ．又sin sin 5B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ， 所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆==【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．18．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是圆内接四边形，1CB CD CE ===，3AB AD AE ===，EC BD ⊥.（1）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；（2）设线段AE 的中点为M ，线段AB 的中点为N ，且P 在线段MN 上运动，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，通过证明AC BD ⊥、EC BD ⊥证得BD ⊥平面AEC ，由此证得OE BD ⊥.证得OE AC ⊥，从而证得EO ⊥平面ABCD ，进而证得平面BED ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，设()01MP MN λλ=≤≤u u u r u u u u r，通过直线DP 的方向向量和平面ABE 平面而的法向量求得直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值 【详解】（1）证明：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ， ∵AD AB =，CD CB =，AC AC =，∴ADC ABC ∆≅∆， 易得ADO ABO ∆≅∆，∴90AOD AOB ∠=∠=︒，∴AC BD ⊥. 又EC BD ⊥，EC AC C ⋂=，,EC AC ⊂平面AEC ， ∴BD ⊥平面AEC ，又OE ⊂平面AEC ，∴OE BD ⊥. 又底面ABCD 是圆内接四边形，∴90ADC ABC ∠=∠=︒， 在Rt ADC ∆中，由3AD =1CD =，可得2AC =，32AO =， ∴90AEC ∠=︒，3AE AO AC AE ==易得AEO ACE ∆∆:，∴90AOE AEC ∠=∠=︒， 即OE AC ⊥.又,AC BD ⊂平面ABCD ，AC BD O =I ，∴EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面ABCD .（2）解：点P 在线段MN 上.以O 为坐标原点，OA ，OB ，OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3E ⎛ ⎝⎭，33,0,44M ⎛ ⎝⎭，30,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，33,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴33,,022AB ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，33,0,22⎛=- ⎝⎭u u u r AE ，333,424DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u ur ，330,,44MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00AB n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v ，即3030x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则(3,3n =r，设()01MP MN λλ=≤≤u u u r u u u u r ，可得333334DP DM MP ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u u r u u u r ，设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin cos ,n DP n DP n DPθ⋅==⋅r u u u r r u u u r r u u u r 224241154224λλλ==⨯++⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭， ∵01λ≤≤，∴当0λ=时，sin θ取得最大值427. 故直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值为427. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ，（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．【答案】(1) 22142x y +=（0y ≠）(2) 07x y -+=或07x y +=【解析】（1）由题意，设(),C x y ，得到12y k x =+，22y k x =-，根据1212k k =-，即可求解椭圆的标准方程；（2）设直线:MN x my =-1212,y y y y +，再由2MAB NAB S S =V V ，得到122y y =-，列出关于m 的方程，即可求解．【详解】（1）由题意，设(),C x y ，则12y k x =+，22yk x =-，又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=，由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x轴重合，设直线:MN x my =联立方程组22142x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()22220m y +--=，易知>0∆，且1222y y m +=+，122202y y m -=<+ 由2MAB NAB S S =V V ，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+， 解得227m =，即m =，所以直线MN的方程为07x y -+=或07x y ++=． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，不需要说明理由.【答案】（1）0.024a =；0.026b =；甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9；乙在1分钟内解开密码锁的频率是0.7（2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙【解析】（1）根据甲解开密码锁所需时间的中位数求得b ，根据频率求得a ，由此求得甲在1分钟内解开密码锁的频率.通过频率分布直方图求得乙在1分钟内解开密码锁的频率. （2）①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法. ②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法. 【详解】（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，∴0.0150.014550.0345b ⨯+⨯+⨯+⨯()0.0447450.5+⨯-=，解得0.026b =； ∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =； ∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =且各人是否解开密码锁相互独立；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X则()121P X p ==，()()23112P X p p =-=，()()()231131p p P X =--=，()()()()21332223111E X p p p p p +-+--=232332p p p p =--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考）设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；则()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1221121311E X p p p p p +-+--=121232p p p p =--+，∴()()121213E p p p p p X =-++-，若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁；若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，∵交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序则期望值变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙， 这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小. 【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图频率、中位数有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题. 21．已知函数()()2()1ln 1(0)f x a x x x ax a =++-->是减函数.（1）试确定a 的值； （2）已知数列{}()()*123ln 11n n n n n a a T a a a a n N n +==∈+L L ，求证：()ln 212n nn T +<-⎡⎤⎣⎦. 【答案】（Ⅰ）2a =（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）求导得()()ln 12f x a x x +'=-，由()f x 是减函数得，对任意的()1,x ∈-+∞，都有()()ln 120f x a x x +-'=≤恒成立，构造函数()()ln 12g x a x x =+-，通过求导判断它的单调性，令其最大值小于等于0，即可求出a ；（Ⅱ）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，则()0f n <，即()()221ln 12n n n n ++<+，两边同除以()221n +得，()ln 1121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++，从而12311233452...............223412341n n nn n T a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=<⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭11221n n n ++=⋅+，两边取对数()()()212ln 2ln 21n n n n T n +⎡⎤+⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦()()()2ln 2ln 11ln2n n n =+-+-+，然后再证明()()()2ln 2ln 11ln2102nn n n +-+-++-<恒成立即可，构造函数()()()()2ln 2ln 11ln212xh x x x x =+-+-++-，[)1,x ∈+∞，通过求导证明()0h x <即可．【详解】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()1,-+∞，()()ln 12f x a x x +'=-.由()f x 是减函数得，对任意的()1,x ∈-+∞，都有()()ln 120f x a x x +-'=≤恒成立.设()()ln 12g x a x x =+-.∵()2121a x g x x ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+，由0a >知112a->-， ∴当1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()'0g x >；当1,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，∴()g x 在1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴()g x 在12ax =-时取得最大值. 又∵()00g =，∴对任意的()1,x ∈-+∞，()()0g x g ≤恒成立，即()g x 的最大值为()0g .∴102a-=，解得2a =. （Ⅱ）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <， ∴()0f n <，即()()221ln 12n n n n ++<+.两边同除以()221n +得，()ln 1121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++. 从而12311233452 (2234)12341n n nn n T a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=<⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ 11221n n n ++=⋅+， 所以()()()212ln 2ln 21n n n n T n +⎡⎤+⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦()()()2ln 2ln 11ln2n n n =+-+-+①.下面证()()()2ln 2ln 11ln2102nn n n +-+-++-<；记()()()()2ln 2ln 11ln212xh x x x x =+-+-++-，[)1,x ∈+∞.∴()22111ln2ln2212322x h x x x x x =--+=-++'+++ 11ln2223x x=-+++，∵2y x x=+在[)2,+∞上单调递增， ∴()h x '在[)2,+∞上单调递减，而()()()()11112ln223ln22ln806233h x h ≤=-+=-=-'<'， ∴当[)2,x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[)2,+∞上单调递减，即[)2,x ∈+∞时，()()22ln4ln33ln2ln2ln30h x h ≤=--=-<，∴当2n ≥时，()0h n <.∵()1912ln3ln22ln2ln 028h =---=-<， ∴当*n N ∈时，()0h n <，即()()()2ln 2ln 11ln212n n n n +-+-+<-②. 综上①②可得，()ln 212n n n T ⎡⎤+<-⎣⎦. 【点睛】 本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了函数的最值，考查了构造函数的能力，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题．，22．曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的直角坐标方程为10x +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，B （A ，B 异于原点），当斜率3k ∈⎣时，求1||||OA OB +的取值范围. 【答案】(1) 1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为cos sin 1ρθθ+=.(2) 3,⎡⎣【解析】(1)由题意首先将参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程即可；(2)利用(1)中求得的极坐标方程和极坐标的几何意义将原问题转化为三角函数求值域的问题，结合三角函数的性质可得1||||OA OB +的取值范围. 【详解】（1）由1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩消θ得()2211x y -+=，即2220x y x +-= 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入1C ，2C 得1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C的极坐标方程为cos sin 1ρθθ=. （2）设直线l 的极坐标方程为θα=，ρ∈R ，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 联立方程可得A 2cos ρα=，B ρ=所以1||2cos ||OA OB α+=+cos 3cos ααα+=3παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 又,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则有2,323πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即sin 3πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦综上1||OA OB +的取值范围为3,⎡⎣ 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．已知函数()21f x x x =-++.（1）解关于x 的不等式()4f x x ≥-；（2）设(){},|a b y y f x ∈=,试比较()2a b +与4ab +的大小.【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃+∞；（2）2()4a b ab +<+.【解析】试题分析：（1）零用零点分段法去绝对值，化21(1)()21{3(12)21(2)x x f x x x x x x -+<-=-++=-≤≤->，分别令()4f x x ≥-，可求得解集为(,3][1,)-∞-⋃+∞；（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3a b ≥≥，利用差比较法，作差，2()(4)224(2)(2)0a b ab a ab b a b +-+=-+-=--<，所以2()4a b ab +<+. 试题解析：（1）21(1)()21{3(12)21(2)x x f x x x x x x -+<-=-++=-≤≤->所以1{3214x x x x <-⇒≤--+≥-或12{1234x x x -≤≤⇒≤≤≥-，或2{2214x x x x >⇒>-≥-. 所以不等式的解集为(,3][1,)-∞-⋃+∞.（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3a b ≥≥，由于2()(4)224(2)(2)a b ab a ab b a b +-+=-+-=--，因为3,3a b ≥≥，所以20,20a b ->-<，即(2)(2)0a b --<， 所以2()4a b ab +<+.【考点】不等式选讲.。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考二数学(文)试题(解析版)
雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知命题，则（）A. 命题：，为假命题B. 命题：，为真命题C. 命题：，为假命题D. 命题：，为真命题【答案】D【解析】【分析】命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【详解】命题，则命题：，为真命题故选：D【点睛】本题主要考查了命题的否定的写法，属于基础题．2.已知是虚数单位，则（）A. B. C. 1 D. —1【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除法运算即可得到结果.【详解】=，故选：C．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.3.“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先排好医字，共有种排法，再排国字，只有一种方法.【详解】幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n==3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率p=．故选：A【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．4.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【详解】∵渐近线的方程是y=±x，根据对称性，图象也过∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：C．【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5.已知是边长为1的等边三角形，为中点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得到，进而由线性运算及数量积运算得到结果.【详解】∵是边长为1的等边三角形，为中点，∴而故选：B【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.6.已知是的一个零点，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】已知x0是的一个零点，可令h（x）=，g（x）=﹣，画出h（x）与g（x）的图象，判断h（x）与g （x）的大小，从而进行求解；【详解】∵已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），可令h（x）=，g（x）=﹣，如下图：当0＞x＞x0，时g（x）＞h（x），h（x）﹣g（x）=＜0；当x＜x0时，g（x）＜h（x），h（x）﹣g（x）=＞0；∵x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），∴f（x1）＞0，f（x2）＜0，故选：C．【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．7.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，所以，得，因此，故选A．考点：1、等比数列的通项公式；2、等比、等差数列的性质．8.函数的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项；因为时，，所以排除选项，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【详解】设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点睛】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．10.若函数的图象关于点对称，则的单调速增区间为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据图象关于点对称，求出θ的值，然后根据正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．【详解】f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ），=2sin（2x+θ+），∵图象关于点对称，∴2×+θ+=kπ，（k∈Z）∴θ=kπ，（k∈Z），∵|θ|＜，∴，∴f（x）=2sin（2x+）；由（k∈Z）解得：（k∈Z）∴函数f（x）的增区间为．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数式的化简及三角函数的图象与性质，解题的关键是把三角函数式化成标准形式，在求θ值时要注意其范围．11.设函数恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】【分析】的几何意义是函数上的点到直线上的点的距离的平方【详解】的几何意义是函数上的点到直线上的点的距离的平方，当切点为时，切线的斜率为1，到直线的距离为，∴．故选：B【点睛】不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题，本题解题的关键是理解函数式隐含的几何意义.12.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【详解】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号．故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知函数，若，则_____.【答案】【解析】【分析】推导出f（2）=log2（4+a）=0，由此能求出a的值．【详解】∵函数f（x）=log2（x2+a），f（2）=0，∴f（2）=log2（4+a）=0，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_______.【答案】12【解析】试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积视频15.设的内角所对的边长分别为，且，则面积的最大值为_______.【答案】3【解析】【分析】利用余弦定理得出ac的最大值从而得出面积的最大值．【详解】由余弦定理可得cosB===，∴a2+c2=+4≥2ac，解得ac≤10，∴S△ABC=acsinB=≤3．∴△ABC面积的最大值是3．故答案为：3【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16.已知数列满足，且，记为数列的前项和，则_______. 【答案】304【解析】【分析】由na n+1=（n+1）a n+n（n+1），变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式可得：，可得a n．由b n=a n cos=，对n分类讨论利用三角函数的周期性即可得出．【详解】∵，∴，∴数列是公差与首项都为1的等差数列．∴，可得．∵，∴，令，，则，，同理可得，，，．∴，，则．故答案为：304【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、三角函数的周期性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大題共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由三角函数的公式化简已知函数可得f（x）=，易得周期；（2）由x的范围，结合不等式的性质，一步步可得值域，先求函数的单调区间，结合函数的定义域可得答案．【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期为．（2）时，，∴．∴．∴的值域为．【点睛】本题考查三角函数的公式的应用，涉及正弦函数的单调性以及函数值域的求解，属中档题．18.已知四棱锥的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，是侧棱上的动点.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证平面平面BDE，转证平面，即证（2）过点E作于H，则平面PBD，故为BE与平面PBD所成的角，解三角形即可得到结果．【详解】（1）由已知，平面ABCD，∵平面，又∵，∴平面．因平面EBD，则平面平面BDE．（2）法1：记AC交BD于点O，连PO，由（1）得平面平面BDP，且交于直线PO，过点E作于H，则平面PBD，∴为BE与平面PBD所成的角．∵，∴．∴．又，则．于是，直线BE与平面PBD所成角的正弦值是．法2：（等体积法）∵，∴E点到平面PBD的距离为．又，则．于是，直线BE与平面PBD所成角的正弦值是．【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.19.二手车经销商小王对其所经营的型号二手汽车的使用年数（单位年）与销售价格（单位：万元／辆）进行整理，得到如下数据：下面是关于的折线图.（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的回归方程，并预测当某辆型号二手车使用年数为9年时售价约为多少？（小数点后保留两位有效数字）（2）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（1）求出的回归方程预測在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：,,.【答案】（1）万元；（2）11.【解析】【分析】（1）利用最小二乘估计公式计算、，写出z与x的线性回归方程，求出y关于x的回归方程，计算x=9时的值即可；（2）利用线性回归方程求出≥0.7118时x的取值范围，即可得出预测结果．【详解】（1）由题意，计算，，且，，利用最小二乘估计公式计算，∴，∴z关于x的线性回归方程是，又，∴y关于x的回归方程是；令，解得，即预测当某辆A型号二手车使用年数为9年时售价约1.46万元．（2）当时，，∴，解得，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．【点睛】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数：公式有两种形式，即。