2020-2021高中数学人教版第一册学案：4.1.1 n次方根与分数指数幂含解析
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：4.1.1 n次方根与分数指数幂含解析第四章指数函数与对数函数4.1指数【素养目标】1．弄清（na）n与错误!的区别,掌握n次方根的运算．(数学抽象）2．能够利用a错误!＝错误!进行根式与分数指数幂的互化．(数学运算)3．通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理)【学法解读】本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．4。
1.1n次方根与分数指数幂必备知识·探新知基础知识知识点1n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为错误!a＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±错误!a＜0x不存在思考1：正数a的n次方根一定有两个吗?提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数,当n为奇数时,正数a的n次方根只有一个且仍为正数．知识点2根式(1）定义:式子__错误!__叫做根式，这里n叫做__根指数__，a 叫做__被开方数__.（2）性质：(n＞1，且n∈N*）①（na）n＝a。
②n，a n＝错误!思考2：(n，a）n与错误!中的字母a的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(错误!）n中隐含a是有意义的，若n 为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子错误!中，a∈R.知识点3分数指数幂的意义(a〉0，m,n∈N*,且n〉1)正分数指数幂a错误!＝错误!负分数指数幂a－错误!＝错误!＝错误!0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义思考3:为什么分数指数幂的底数规定a>0?提示：（1)当a<0时，若n为偶数，m为奇数,则a错误!，a－错误!无意义；（2）当a＝0时，a0无意义．知识点4有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r,s∈Q）(1）a r a s＝a r＋s.（2)（a r)s＝a rs.(3)（ab)r＝a r b r。
思考4：同底数幂相除a r÷a s,同次的指数相除错误!分别等于什么？提示:（1)a r÷a s＝a r－s；（2)错误!＝(错误!)r。
基础自测1。
错误!等于(B）A．2B．－2C．±2 D．－8[解析］错误!＝错误!＝－2。
2．下列各式正确的是（A)A．(3a)3＝a B．(47）4＝－7C．（错误!）5＝｜a｜D．错误!＝a[解析］（错误!）3＝a，(错误!）4＝7，(错误!)5＝a，错误!＝｜a|＝错误!，故选A．3．4－错误!可化为（C)A．8B．2错误!C．错误!D．2错误![解析]4－错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
4．若a〉0，n,m为实数,则下列各式中正确的是（D）A．a m÷a n＝a错误!B．a n·a m＝a m·nC．（a n)m＝a m＋n D．1÷a n＝a0－n［解析]由指数幂的运算法则知1÷a n＝a0÷a n＝a0－n正确，故选D．5．若错误!有意义,则实数x的取值范围为__(－∞，6］__.[解析］要使式子错误!有意义,应满足6－x≥0，∴x≤6。
关键能力·攻重难题型探究题型一n次方根的概念例1 (1)16的平方根为__±4__，－27的5次方根为__5－27__;（2)已知x7＝6,则x＝76__；（3）若错误!有意义，则实数x的取值范围是__［2，＋∞）__。
［分析］解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．［解析]（1）∵(±4）2＝16，∴16的平方根为±4。
－27的5次方根为错误!.（2)∵x7＝6，∴x＝错误!。
(3）要使错误!有意义，则需x－2≥0, 即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．［归纳提升］（1）任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；(2）(n，a)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．【对点练习】❶计算下列各值:（1)27的立方根是__3__；(2）256的4次算术方根是__4__；(3)32的5次方根是__2__。
[解析］（1)∵33＝27，∴27的立方根是3.(2)∵（±4）4＝256，∴256的4次算术方根为4. (3）∵25＝32， ∴32的5次方根为2.题型二 利用根式的性质化简或求值例2 化简：（1)错误!＋错误!; (2)5＋26－错误!＋错误!； （3）错误!＋错误!。
［分析] （1)（2)对被开方数进行配方处理,可化为完全平方式． (3)换元后两边立方,再转化为解关于x 的方程求解． ［解析］ (1)原式＝22＋22＋1＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋1＋错误!－1＝2错误!. (2)原式＝错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!－（2－错误!)＋2－错误!＝2错误!.(3)令x ＝错误!＋错误!，两边立方，得x 3＝2＋错误!＋2－错误!＋3·32＋5·错误!·（错误!＋错误!)，即x 3＝4－3x ，所以x 3＋3x －4＝0，所以（x －1）（x 2＋x ＋4)＝0，x 2＋x ＋4＝(x ＋错误!）2＋错误!>0，所以x －1＝0，x ＝1，所以错误!＋错误!＝1。
[归纳提升] 形如错误!的双重根式，当A 2－B 是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号,这也是双重根号能否开方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式．【对点练习】❷ 计算下列各式： （1）5，－a5＝__－a __；（2）错误!＝__π－3__；(3)错误!－错误!－错误!＝__错误!__。
［解析］(1)错误!＝－a。
(2）错误!＝错误!＝π－3。
（3)错误!－错误!－错误!＝错误!－错误!－错误!＝错误!－错误!－错误!＝错误!。
题型三根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂表示下列各式：(1)a3·错误!；（2）错误!（a>0，b〉0）；（3)错误!（a>0,b〉0)．[分析］(1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．[解析]（1)a3·3，a2＝a3·a错误!＝a3＋错误!＝a错误!。
(2）∵a〉0，b〉0，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝（a错误!b－错误!）错误!＝a错误!b－错误!.（3）∵a〉0，b〉0，∴错误!＝错误!＝错误!＝(a－错误!b错误!)错误!＝a－错误!b错误!。
［归纳提升］进行分数指数幂与根式的互化时,主要依据公式a错误!＝错误!（a〉0,m、n∈N)，同时应注意以下几点：＋（1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式．（2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数,由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．【对点练习】❸ (1）5－错误!化为根式形式为__错误!__； （2)错误!(b 〉0)化为分数指数幂的形式为__b －错误!__； （3）错误!（x ≠0）化为分数指数幂的形式为__x －错误!__. [解析] （1)原式＝错误!＝错误!＝错误!.（2)原式＝(b －错误!)错误!＝b －错误!×错误!＝b －错误!. (3）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝x －错误!. 题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值例4 (1）计算：（2错误!）0＋2－2·(2错误!）－错误!－(0。
01）0。
5＝__1615__；(2)化简：错误!÷错误!÷错误!.[分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．［解析] (1)原式＝1＋错误!×（错误!）错误!－（错误!)错误!＝1＋错误!－错误!＝错误!.（2）原式＝错误!÷错误!÷错误! ＝错误!÷错误!÷错误!＝a 错误!÷(a 错误!)错误!÷（a －2)错误! ＝a 错误!÷a 错误!÷a －错误!＝a 错误!－错误!÷a －错误!＝a －错误!＋错误!＝a 错误!。
［归纳提升］ 1。
幂的运算的常规方法(1）化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2）化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求利用分数指数幂进行根式计算时,结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数．【对点练习】❹ 化简:错误!÷(1－2错误!)×错误!。
[解析] 原式＝错误!÷错误!·a 错误!＝错误!·错误!·a 错误!＝a 错误!·a 错误!·a 错误!＝a 。
课堂检测·固双基1．化简[(－错误!）2］－错误!的结果是（ C ) A ．－错误! B ．错误! C ．错误!D ．－错误![解析] [(－错误!）2］－错误!＝3－错误!＝错误!＝错误!＝错误!. 2．已知m <错误!,则化简错误!的结果为( C ） A ．错误! B ．－错误! C ．错误!D ．－错误![解析］ ∵m <23，∴3m －2〈0，排除A ，B ，又(3m－2）2〉0，所以错误!为正,所以选C．3．若2＜a＜3，化简2－a2＋错误!的结果是(C)A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0，3－a＞0，所以原式＝a －2＋3－a＝1，故选C．4．以下说法正确的是(C)A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(其中n〉1且n∈N*）D．负数没有n次方根[解析］对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；对于B，负数的奇次方根是负数,偶次方根不存在，∴B错误;对于C，当n〉1且n∈N*时，0的n次方根是0，∴C正确；对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．5．(2019·江苏、苏州市高一期中测试）求值:错误!＝__错误!__.［解析］错误!＝错误!＝错误!。
学必求其心得，业必贵于专精攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。
4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.1.1 n次方根与分数指数幂
2.根式
(1)式子 n a 叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:当n>1,n∈N*时,
① (_n_a__)n a;
②
_n_a_n_
a, n为奇数， | a |, n为偶数.
【思考】 (n a )n 与n an 中的字母a的取值范围是否一样? 提示:取值范围不同.式子 (n a )n中隐含a是有意义的,若n 为偶数,则a≥0,若n为奇数,a∈R;式子n an 中,a∈R.
2.若 (2a－1)2＝3 (1－2a)3，则实数a的取值范围为______. 【解析】 (2a－1)2＝| 2a－1|，
3 (1－2a)3＝ 1-2a. 所以|2a-1|=1-2a, 故2a-1≤0,
所以a≤ 1 .
2
答案: (－，1]
2
类型二 根式与分数指数幂的互化
【典例】1.根式 1 1 (式中a>0)的分数指数幂形式为
2.怎样求根式中变量的范围? 提示:根指数是偶数时,被开方数非负,根指数为奇数时, 被开方数为任意实数.
【类题·通】 1.n(n>1)次方根的个数及符号的确定 (1)方根个数:正数的偶次方根有两个且互为相反数,任 意实数的奇次方根只有一个. (2)符号:根式 n a 的符号由根指数n的奇偶性及被开方 数a的符号共同确定:
义;若n为奇数,则
a
m
n，a
m n
有意义.
(2)当a=0时,a0无意义.
4.有理数指数幂的运算性质(a>0,b>0,r,s∈Q) (1)aras=ar+s. (2)(ar)s=ars. (3)(ab)r=arbr.
【思考】
同底数幂相除ar÷as,同次的指数相除 ar 分别等于
高一数学教案411N次方根与分数指数幂
第四章指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计一、教学目标1.理解n次方根与分数指数幂的概念与性质。
2.掌握分数指数幂与根式的互化。
二、教学重难点1.教学重点n次方根与分数指数幂的概念与性质，分数指数幂与根式的互化2.教学难点分数指数幂与根式的互化三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1.新课导入提问：如果x2=a，那么x是a的什么？例如：就是4的平方根。
教师提问，学生回答：x是a的平方根。
提问引入，吸引学生的学习兴趣。
2.探索新知如果x3=a，那么x叫做a的立方根。
例如：2就是8的立方根。
n次方根的定义：一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N。
那么n的取值会影响n次方根的值吗？小组讨论。
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a 的n次方根用符号表示。
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正学生讨论n的取值的影响，加强对n次方根的定义的理解，讨论出答案后教师进行纠正。
加深学生对知识的记忆，培养学生自主发现的能力。
的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示。
正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 (a>0).负数没有偶次方根提问:为什么负数没有偶次方根？0的任何次方根都是0,记作=0.根式的定义：式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a叫做被开方数。
根据n 次方根的意义，可得=a.=a一定成立吗？如果不成立，如何表示？当n是奇数时，=a当n是偶数时，=|a|=完成课本P105例1根据n次方根的定义和数的运算，我们知道==a2=(a>0)分数指数幂的概念：当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。
你还记得哪些整数指数幂的运算性质。
把根式表示为分数指数幂的形式时，整数指数幂的运算性质对分数指数幂仍然适用。
学生思考讨论后回答，教师进行更正：因为负数的偶次方根一定是正数。
人教版数学必修一4.1.1 n次方根与分数指数幂
定义2:
式子 n a叫做根式, n 叫做根指数, a 叫做被开方数
2、两个公式：
① (n a )n a
② 当n为奇数时, n a n a 当n为偶数时, n an | a | aa, a, a00
达标练习：
1. 求下列各式的值：
(1) 7 (2)7 ;
及时巩固，收获的东 西才真正属于你们！
;
4
③ 4 16
16
;
③ 3 33
3
;
3
④ 3 1
-1
;
④ 3 (3)3 -3
;
3
⑤ 3 8 -8
;
⑤ 4 (1)4 1
;
那么:
n
① n a a 一定成立吗？
② n an a 一定成立吗？
公式1：(n a )n a
2
① 4
4;
2
② 16
9
;
4
③ 4 16
16
;
3
(3) 4 (3 )4
(4) (a - b)2 (a b).
(5)5 a10 (a 0)
(6) 4 a12
练习: 求下列各式的值:
(1) 3 -8;
(2)
(3) ( 2 - 3)2; (4)
(-2)4;
4
(3a
-
1)4(a
1). 3
知识点小结：
1、两个定义
定义1:
若 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 , 其中 n 1 , 且 n N * .
－4 无
8
2
23 8Βιβλιοθήκη －9 无27 333 27
类比分析， 可是个好 方法哟！
2020-2021学年高中数学人教A版第一册课时素养评价4.1.1n次方根与分数指数幂
课时素养评价二十六n次方根与分数指数幂(15分钟30分）1.(2020·惠州高一检测）已知a〉0，则= ( )A. B.C。
D。
【解析】选D。
===.2.已知=4,则x等于（)A.±B。
±8C。
D。
±2【解析】选A。
由=4,得=4,即=，所以x2=,得x=±.3.计算:++（2 019)0= （）A。
6 B.7 C。
8 D。
【解析】选B。
++（2 019)0=2++1=2+22+1=7. 4。
用分数指数幂表示=_______.【解析】===-.答案：-5。
计算下列各式:(1）-（-9。
6)0—+；（2)b—2(—3b—1)÷（4b—3.【解析】（1）原式=-1—+=-1=.(2）原式=—×3·b—3÷(2）=—。
（20分钟40分）一、单选题(每小题5分,共15分)1。
化简（其中a〉0,b〉0)的结果是（）A. B.—C。
D.-【解析】选C。
===.2。
计算（—2）2 019·(+2)2 020= （)A.+2 B。
-2C.—-2D.-+2【解析】选C.原式=［（-2)（+2)］2 019·（+2)=（-1)2 019·（+2）=-—2.3.化简·的结果是 ( )A. B.—C.D。
-【解析】选B.由题意可知a≤0,则·=（-a·=—(-a·(—a= -(—a=—=-.【补偿训练】化简的结果是( )A.-B.C。
-D。
【解析】选A。
由题意知，解得x<0，所以=====—。
【误区警示】本题容易忽视x的范围,式子隐含x〈0。
二、多选题(共5分,全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）4。
在下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是（）A.(—x）0。
5=—(x≠0）B。
=C.=（xy〉0)D.=-【解析】选BC.对于A,（—x)0.5和—必有一个无意义，错误；对于B，==,正确；对于C，因为xy〉0，则==，正确；对于D，==,错误.三、填空题(每小题5分，共10分）5。
4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计(1)
第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节《n次方根与分数指数幂》第１课时。从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，本节以此为出发点，引出了开n次方根的概念，并将指数由整数推广到了分数。体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。
课程目标 学科素养 1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念； 2. 理解根式与分数指数幂的互化；掌握有理数指数幂的运算性质； 3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。
a.数学抽象：根式的概念； b.逻辑推理：根式与分数指数幂的互化； c.数学运算：根式的化简； d.直观想象：指数幂的运算法则； e.数学建模：将指数幂的运算性质推广到有理数的范围；
重点：根式的概念、分数指数幂的概念； 难点：根式与分数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；
多媒体
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 （一）、温故知新 1．思考辨析 (1)实数a的奇次方根只有一个．( ) (2)当n∈N*时，(n－2)n＝－2.( ) (3)π－42＝π－4.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× 2.416的运算结果是( ) A．2 B．－2 C±2 D．±2 A [416＝424＝2.] 3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A4m2 B.5m C6m D.5－m C [当m<0时，6m没有意义，其余各式均有意义．] 4．若x3＝－5，则x＝________. －35 [若x3＝－5，则x＝3－5＝－35.] （二）、探索新知 探究1 n次方根的概念问题 例1 (1)27的立方根是________；16的4次方根是________． (2)已知x6＝2 016，则x＝________. (3)若4x＋3有意义，求实数x的取值范围为________. (1)3；±2 (2)±62 016 (3)[－3，＋∞] 解析：(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2. (2)因为x6＝2 016，所以x＝±62 016. (3)要使4x＋3有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3. 所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)． [规律方法] n次方根的个数及符号的确定 1.n的奇偶性决定了n次方根的个数； 2.n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号. 跟踪训练1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子： ①6－32n；②5a2；③6－52n＋1；④9－a2，其中无意义的有( ) A．1个 B．2个 C 3个 D．0个 A [①中(－3)2n>0，所以6－32n有意义，②中根指数为5有意义，③中(－
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
【新教材教案】4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计(2)-人教A版高中数学必修第一册
【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。
有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。
课程目标1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。
数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。
重点：（1）根式概念的理解；（2）分数指数幂的理解；（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本104-106页，思考并完成以下问题 (1)n 次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．n 次方根2．根式(1)叫做根式，这里n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *)23111,(),(),222111,,,248600010000100000573057305730111(),(),()222①(na )n＝ a . ②n a n ＝,,.a n a n ⎧⎨⎩为奇数为偶数3．分数指数幂的意义4．有理数指数幂的运算性质(1)a ras＝ar＋s(a＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s＝rs a (a ＞0，r ，s ∈Q)． (3)(ab )r ＝r r a b (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 四、典例分析、举一反三 题型一 根式的化简(求值) 例1 求下列各式的值 【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简√a n n时,首先明确根指数n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(√a n)n 时,(1)(2)(3)(4)关键是明确√a n 是否有意义,只要√a n 有意义,则(√a n)n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a 的正负,再结合n 的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一 1.化简(1)n (x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 【答案】见解析【解析】 (1)∵x ＜π，∴x －π＜0.当n 为偶数时，n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n(x －π)n ＝x －π. 综上可知，n(x －π)n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *. (2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a . 题型二 分数指数幂的简单计算问题 例2 求值【答案】见解析【解析】解题技巧：(分数指数幂的运算技巧)1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 跟踪训练二 1.计算223338(2)=2323224⨯===334()44162()()813-⨯-=3227()38-==(1)(12527)-23; (2)0.008-23; (3)(812 401)-34; (4)(2a+1)0; (5)[56-(35)-1]-1. 【答案】见解析 【解析】(1)(12527)-23=(5333)-23=5-23-2=3252=925. (2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=(15)-2=52=25.(3)(812 401)-34=(3474)-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0={1,a ≠-12,无意义,a =-12.(5)[56-(35)-1]-1=(56-53)-1=(-56)-1=-65.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）【答案】见解析 【解析】解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 跟踪训练三1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ＞0)B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)【答案】C【解析】 －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；2223a a a ⋅=⋅28233aa+===421332()a a==x －34＝(x －3)14＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；x 1-3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x —13＝31x (x ≠0)．题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例4 计算:0.064-13−(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12.【答案】14380 【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380. 解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练四1.计算:(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;2 .化简:√a 72√a -33÷√√a 3153√√a 3a>0).【答案】见解析【解析】(1)原式=1+14×(49)12−(1100)12=1+16−110=1615.(2)原式=√a 72·a -323÷√a -83·a 153÷√a -32·a -123=√a 23÷√a 73÷√a -23=a 23÷(a 73)12÷a -23=a 23÷a 76÷a -23=a 23-76+23=a 16=√a 6.五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本109页习题4.1本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.。
4.1.1n次方根与分数指数幂.高中数学人教A版必修一
等于其绝对值.
4.填空 性质(当n>1，n∈N*时)：
(1)(n a)n＝__a___； (2)n an＝a_， __|a_n_|为_，奇n数为，偶数.
温馨提醒 (1) n an是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶限制，但这个式子的 值受 n 的奇偶限制.
4.若 a>0，将
1
A.a2
7
C.a6
a2 表示成分数指数幂，其结果是( C )
a·3 a2
5
B.a6
3
D.a2
解析 由题意得
a2
11 7
＝a2－2－3＝a6.
a·3 a2
5.(多选)下列说法正确的是(CD )
A.4 81的运算结果是±3 B.16 的 4 次方根是 2
C.当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时才有意义
3 a2
解 (1) 1 ＝ 12＝a－23. 3 a2 a3
4
(2)
ab23＝ba3214＝b34a－24＝a－12b34.
2
2 11
(3)a3·3 a2＝a3·a3＝a3＋3＝a 3 .
题型三 有理数指数幂的运算
例3 计算或化简下列各式：
1
(1)(3 2× 3)6－41469－2－4 2×80.25－(－2.015)0；
4.
3.填空 (1)分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：amn＝__n_a_m___ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)
分数 指数 幂
负分数指数幂
1
规定：a－mn ＝__a_mn____＝n
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)(4)
规定：正数的正分数指数幂的意义是
m
n
n
a ＝ am (a>0，m，n ∈ N*，n>1).
正数的负分数指数幂的意义是
m
-n
1
1
a ＝ m＝ n (a>0，m，n ∈ N*，n>1).
an
am
例如：
4
－
3
1
1
5 ＝ 4＝ 3
53
54
－
2
3
1
1
a ＝ 2＝ 3
a3
a2
规定：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义.
【2】 当a＜0且n为偶数时，
= −
在实数范围内没有意义.
【3】 当 有意义时， 是一
个实数，且它的n次方等于a.
探究
表示 的n次方根，
= 一定成立吗？ 不一定
①当n为奇数时， =
②当n为偶数时，
思考
和
, ≥ ,
= =
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：
比如：
−
注：
一般读作“n次根号a”
= ，
【1】
=
(2) (m n
3