圆的有关性质 证明题
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。
(完整版)四点共圆基本性质及证明
四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；(2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角.以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明.1定理判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB⨯DC+BC⨯AD=AC⨯BD.例题:证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答:归纳法。
我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。
n=1，n=2很轻松。
当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形.我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。
假设对于n大于等于3成立,我们来证明n+1。
假设直径为r（整数）.找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC(边长a〈b<c）.把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra〈rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。
这个三角形在圆上面对应了第n+1个点,记为P。
于是根据Ptolomy 定理,P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。
(考虑P，这个点Q和直径两端的四个点,这四点共圆,于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。
圆证明题的归纳与总结
圆证明题的归纳与总结一、引言圆是初中数学中的一个重要概念，在学习中常常会遇到各种与圆相关的证明题。
这些题目需要我们灵活运用各种几何知识和推理方法，才能成功地解答。
本文将针对圆证明题进行归纳和总结，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。
二、圆的基本性质1. 圆的定义圆是平面上到一定点距离相等的点的轨迹。
2. 圆的元素一个圆由圆心、直径、半径和弧组成。
3. 圆的重要性质（1）直径与半径的关系：直径是半径的两倍。
（2）圆的周长公式：周长等于直径乘以π（π≈3.14）。
（3）圆的面积公式：面积等于半径的平方乘以π。
三、圆的证明题解题方法解决圆的证明题需要掌握以下几种常用的解题方法：1. 利用圆的性质和定理在圆的证明过程中，可以充分利用圆的基本性质和定理，如弦切角定理、切线定理、弧长角度定理等。
通过灵活应用这些性质和定理，可以推导出所给证明题目的解答过程。
2. 利用等价命题在圆的证明中，我们常常可以将所要证明的命题转化为等价的命题，然后再通过证明该等价命题来完成整个问题的解答。
例如，对于证明两个圆互为切圆，可以转化为证明两个圆内切。
3. 利用反证法反证法是一种常用的证明方法，也适用于圆证明题。
当我们在解题过程中遇到矛盾的命题时，可以采用反证法，设定一个假设，通过推导矛盾的结论来证明所给命题的正确性。
4. 利用平移、旋转和对称在一些复杂的圆证明题中，我们可以通过平移、旋转和对称等操作，改变问题的结构，简化问题的难度。
例如，通过平移一个圆，可以使两个圆相交于一点，进而证明它们相切。
四、常见的圆证明题类型1. 圆的切线问题圆的切线问题是圆证明题中常见的一类问题。
在解答这类题目时，需要根据切线与半径的相互关系，运用平行线性质或相似三角形的性质，进行推导和证明。
2. 圆的切圆问题切圆问题是指两个或多个圆相切的情况。
在解答这类问题时，我们需要利用切线的性质，结合等角定理和相似三角形性质，推导出所给的切圆关系。
3. 圆的内接四边形问题内接四边形问题是指一个四边形可以内接于一个圆的情况。
2022年中考数学真题分类汇编：圆类几何证明题(含答案)
2022年中考数学真题汇编圆类几何证明题1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．2.(1)求证：直线PE是⊙O的切线；3.(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．4.(2022·广西壮族自治区贵港市)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中∠BDC．点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC=125.(1)求证：AF是⊙O的切线；6.(2)若BC=6，sinB=4，求⊙O的半径及OD的长．57.(2022·山东省烟台市)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°．8.(1)请用尺规作出⊙O的切线AD(保留作图痕迹，不写作法)；9.(2)在(1)的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．10.(2022·山东省聊城市)如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．11.(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；12.(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．13.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．14.(1)求证：∠D=∠EBC；15.(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．16.(2022·湖南省张家界市)如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是BD⏜的中点，延长AD交BC的延长线于点E．17.(1)求证：CE=CD；18.(2)若AB=3，BC=√3，求AD的长．19.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．20.(1)求证：CE与⊙O相切；21.(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．22.(2022·贵州省铜仁市)如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．23.(1)求证：AB=CB；24.(2)若AB=18，sinA=1，求EF的长．325.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．26.(1)求证：BF与⊙O相切；27.(2)若AP=OP，cosA=4，AP=4，求BF的长．528.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．29.(1)求证：CD是⊙O的切线．30.(2)若tan∠BED=2，AC=9，求⊙O的半径．331.32.(2022·内蒙古自治区呼和浩特市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．33.(1)求证：BD=CD；34.(2)若tanC=1，BD=4，求AE．235.(2022·北京市)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．36.(1)求证：∠BOD=2∠A；37.(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．38.(2022·广西壮族自治区百色市)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD．39.(1)求证：MC是⊙O的切线；40.(2)若AB=BM=4，求tan∠MAC的值．41.(2022·山东省临沂市)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD.过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．42.(1)求证：∠D=∠E；43.(2)若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．44.(2022·辽宁省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．45.(1)求证：BC与⊙O相切；46.(2)若sin∠BAC=3，CE=6，求OF的长．547.(2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．48.(1)求证：∠ADE=∠PAE．49.(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．50.(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．51.(2022·内蒙古自治区赤峰市)如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．52.(1)求证：AD是⊙O的切线；53.(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC的值．54.(2022·湖北省潜江市)如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．55.(1)求证：FB2=FE⋅FG；56.(2)若AB=6，求FB和EG的长．57.(2022·贵州省毕节市)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．58.(1)求证：BF=BD；59.(2)若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O的直径．60.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)(1)请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；61.(2)如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE⏜的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．62.①求证：BD⊥AD；63.②若AC=6，tan∠ABC=3，求⊙O的半径．464.65.(2022·山东省威海市)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．66.(1)若AB=AC，求证：∠ADB=∠ADE；67.(2)若BC=3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．68.(2022·江苏省无锡市)如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点(点A、C除外)，BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．69.(1)求证：△CED∽△BAD；70.(2)当DC=2AD时，求CE的长．71.(2022·陕西省)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．72.(1)求证：∠CAB=∠APB；73.(2)若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长．74.(2022·新建生产建设兵团)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．75.(1)求证：∠ABC=∠CAD；76.(2)求证：BE⊥CE；77.(3)若AC=4，BC=3，求DB的长．78.(2022·江苏省扬州市)如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB=CP．79.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；80.(2)若sinA=√5，OA=8，求CB的长．5参考答案1.(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．可得BD=CD=12本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(1)作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD=CD，再通过导角得出AC是∠FAB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH=OE，从而证明结论；(2)根据BC=6，sinB=4，可得AC=8，AB=10，设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，5利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．3.(1)过点A作AD⊥AO即可；(2)连接OB，OC.证明∠ACB=75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC=120°，求出CH可得结论．本题考查作图−复杂作图，三角形的外接圆，切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4.(1)根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD=OF−OD求出即可．本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．5.(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．6.(1)连接AC，通过证明△ACE≌△ACB，利用全等三角形的性质分析推理；(2)通过证明△EDC∽△EBA，利用相似三角形的性质分析计算．本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．7.(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，∠D=60°，即得AB=√3BD=2√3，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=√2AB=√6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=2√2，故CF=2√AC2−AF2=√2，从而BC=BF+CF=√6+√2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．8.(1)连接OD，则OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD//BC，通过证明得出∠A=∠C，结论得证；(2)连接BD，在Rt△ABD中，利用sinA=1求得线段BD的长；在Rt△BDF中，利用3sin∠A=sin∠FDB，解直角三角形可得结论．本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质．连接过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．9.(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，AD，然后利用等腰三角形的进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE=90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．10.(1)连接OD，由圆周角定理得出∠ADB=90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC，由相似三角形的性质得出CDAC =BCCD=BDDA=23，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11.(1)连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；(2)利用(1)的结论可得BD=DC=4，BC=8，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用勾股定理求出AC的长，最后证明△CDA∽△CEB，利用相似三角形的性质求出CE的长，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．12.(1)连接AD，首先利用垂径定理得BC⏜=BD⏜，知∠CAB=∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；(2)连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD=CD，则∠ADF=∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF=∠OCF，∠CAB=∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE=90°，从而证明结论．本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.(1)根据垂直定义可得∠D=90°，然后利用等腰三角形和角平分线的性质可证OC//DA，从而利用平行线的性质可得∠OCM=90°，即可解答；(2)先在Rt△OCM中，利用勾股定理求出MC的长，然后证明A字模型相似三角形△MCO ∽△MDA，从而利用相似三角形的性质可求出AD，CD的长，进而在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠DAC的值，即可解答．本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．14.(1)连接OB，由切线的性质得出∠E+∠BOE=90°，由圆周角定理得出∠D+∠DCB= 90°，证出∠BOE=∠OCB，则可得出结论；(2)求出∠BOG=60°，由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案．本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．15.(1)连接OE，利用平行四边形的性质和圆的性质可得四边形AOEF是平行四边形，则OE//AC，从而得出∠OEB=90°，从而证明结论；(2)过点F作FH⊥OA于点H，根据sin∠CFE=sin∠CAB=35，可得EF的长，由OA=OE，得▱AOEF是菱形，则AF=AO=EF=10，从而得出FH和AH的长，进而求出OF的长．本题主要考查了圆的切线的判定，平行四边形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，熟练运用相等角的三角函数值相等是解题的关键．16.(1)连接OA，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可；(2)利用(1)的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；(3)CE=x，则DE=CD+CE=6+x，OA=OE=6+x2，OC=OE−CE=6−x2，OP=OE+PE=14+x2，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接OA是解决此类问题常添加的辅助线．17.(1)利用等腰三角形的三线合一，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；(2)利用全等三角形的判定与性质得到CF=CD=6，利用相似三角形的判定与性质求得线段AC，再利用直角三角形的边角关系定理在Rt△AOC中，求得cos∠OCA，则结论可得．本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，灵活应用等量代换是解题的关键．18.(1)利用相似三角形的判定与性质解答即可；(2)连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键．19.(1)连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；(2)连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．20.(1)利用尺规作图分别作出AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆即可；(2)①连接OB，根据切线的性质得到OB⊥CD，证明OB//AD，根据平行线的性质证明结论；②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC=∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AE，得到答案．本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．21.(1)根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；(2)连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出∠FBC=90°，∠F=∠BAC，解直角三角形即可得解．此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．22.(1)由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE=∠BDA，∠A=∠E，即可证明△CED∽△BAD；(2)过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A=60°，AC=AB=6，由DC=2AD，得出AD=2，DC=4，由相似三角形的性质得ECDE =ABAD=62=3，得出EC=3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，DF=√3x，EC=6x，进而得出FC=5x，利用勾股定理得出一元二次方程(√3x)2+ (5x)2=42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识是解决问题的关键．23.(1)根据平行线的判定和切线的性质解答即可；(2)通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．24.(1)利用等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠ADC，即可解答；(2)利用切线的性质可得∠OCE=90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD=∠CBE，再利用(1)的结论可得∠OCB=∠CBE，然后可证OC//BE，最后利用平行线的性质可得∠E=90°，即可解答；(3)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB，进而可证△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性质可求出DE的长，最后再利用(2)的结论可证△ACB∽△CEB，利用相似三角形的性质可求出BE的长，进行计算即可解答．本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．25.(1)连接OB，由等腰三角形的性质得出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，结合对顶角的性质得出∠APO=∠CBP，由垂直的性质得出∠A+∠APO=90°，进而得出∠OBA+∠CBP=90°，即可得出直线BC与⊙O相切；(2)由sinA=√5，设OP=√5x，则AP=5x，由勾股定理得出方程(√5x)2+82=(5x)2，5=4，再利用勾股定理得出BC2+82=解方程求出x的值，进而得出OP=√5×4√55(BC+4)2，即可求出CB的长．本题考查了切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一元二次方程的解法是解决问题的关键．。
九上圆的证明题专题
1．（2013•深圳）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．2．（2013•邵阳）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径r．6．（2010•长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽．8．如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60m，拱高为18m，当洪水泛滥跨度小于30m时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4m时，问是否要采取紧急措施？9．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D，（1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8cm，CD=2cm，求（1）中所作圆的半径．2．（2009•株洲）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB．（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求PE的长．0.01公顷）；（2）先化简下式，再求值：，其中，；（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．3．（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．6．如图所示，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于点E；求证：BE=AE．点与圆的位置关系4．已知如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M．（1）以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？（2）若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．6．如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC 是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC 四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．35cm长为半径画圆，试判断点B，C，D，O四点与这个圆的位置关系．38．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？三角形的外接圆与外心1．如图，O，H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边上的中点．由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E，F．求证：D，E，F三点共线．1．如图，已知△ABC中．∠A=60°，⊙O是△ABC的外接圆，AD是BC边上的高，H是△ABC的垂心，连接OA、OB、OC，连接OH并延长交AB于M，交AC于N，求证：（1）∠BAD=∠OAC；（2）AH等于△ABC外接圆半径；（3）MH=NO．1．已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．4．（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC 于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的1/3（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的1/3直线与圆的位置关系3．如图，⊙O的半径为6cm，射线PM与⊙O相切于点C，且PC=16cm．（1）请你作出图中线段PC的垂直平分线EF，垂足为Q，并求出QO的长；（2）在（1）的基础上画出射线QO，分别交⊙O于点A、B，将直线EF沿射线QM 方向以5cm/s 的速度平移（平移过程中直线EF始终保持与PM垂直），设平移时间为t．当t为何值时，直线EF与⊙O相切？（3）直接写出t为何值时，直线EF与⊙O无公共点？t为何值时，直线EF与⊙O 有两个公共点．4．如图，OA是⊙O的半径，OA=24cm．动点P从A点出发，以2πcm/s的速度沿圆周顺时针运动．（1）当路程AP=5π时，求点P运动了多少秒？（2）在OA的延长线上取一点B，使得AB=OA，当P运动时间为4s时，请判断BP与⊙O的位置关系，并说明理由．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？（2）若点O沿射线CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？2．如图，P为正比例函数y=2/3x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）．（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标．（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．切线的性质与判定2．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）3．如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC 交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．1．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）求∠B的度数．9．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．（1）证明PA是⊙O的切线；（2）求点B的坐标．4．已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．切线长定理3．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是弧AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．（1）若PA=4，求△PED的周长；（2）若∠P=40°，求∠AFB的度数．15．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．（1）求证：AB+CD=AD+BC；（2）求∠AOD的度数．18．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC=90°，（1）求证：AB∥CD；（2）若OB=3，OC=4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．11．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．10．如图，点B在⊙O外，以B点为圆心，OB长为半径画弧与⊙O相交于两点C，D，与直线OB相交A点．当AC=5时，求AD的长．三角形的内切圆和内心3．（2009•万年县模拟）如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED，（1）若∠A=40°，求∠BIC与∠FDE的度数．（2）若∠BIC=α；∠FDE=β，试猜想α，β的关系，并证明你的论．7．规定三角形的三条内角平分线的交点叫三角形的内心．（1）已知I为三角形ABC的内心，连接AI交三角形ABC的外接圆于点D，如图所示，连接BD和CD，求证：B、I、C三点共圆（2）己知三角形ABC，AD平分∠BAC且与它的外接圆交于点D，在线段AD上有一点I 满足BD=ID．试问点I是否是三角形ABC的内心？若是加以证明；若不是，说明理由．17．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，（1）若∠A=x，∠EDF=y，求y与x的函数关系式．（2）若∠A=90°，AB=8，BC=10，求⊙O的半径．14（1）求BF+CE的值；（2）求△ABC的周长．圆与圆的位置关系8．（2008•鼓楼区一模）如图，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，动圆⊙O1从点A出发以5cm/s的速度沿折线AD-DC-CB-BA的方向运动，动圆⊙O2同时从点D出发以1cm/s的速度沿折线DC-CB-BA的方向运动，当O1和O2首次重合，则运动停止，设运动的时间是t s．（1）当t是多少时，O1和O2首次重合．（2）如果⊙O1、⊙O2的半径分别为1cm和2cm，那么t为何值时，⊙O1和⊙O2相切．9．两圆外切，圆心距为5，它们的半径分别为R、r，若R、r分别是关于x的方程x2-m （m-4）x+5-m=0的两个根，求m的值．10圆半径，d为两圆的圆心距，你能根据条件确定两圆的位置关系吗？请说明理由．1．（2008•威海）如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？和圆的有关计算12．（2006•大连）如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接出答案）；（3）根据前面探索和图3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，（n为大于2的偶数）若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．9．（2007•桂林）已知：如图，△ABC关于y轴对称，点B、P关于y轴的对称点分别是点C、Q．BP=AP=2，且P点坐标为（-1，0）．（1）分别写出Q点和C点的坐标，并指出△ABP关于y轴的对称三角形；（2）M为线段CQ上一点，若以x轴为旋转轴，旋转△PAM一周形成的旋转体的全面积（3）N为线段AM上一动点（与点A、M不重合），过点N分别作NH⊥x轴于H，NG⊥y 轴于G．求当矩形OHNG的面积最大时N点的坐标．（1）求圆锥的全面积；（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．162．己知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离．。
圆的基本性质(解答题)
21．圆的基本性质（解答题）三、解答题85.（2009柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长．【关键词】圆证明：（1）连结AC，如图。
∵C是弧BD的中点∴∠BDC＝∠DBC又∠BDC＝∠BAC在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB∴ ∠BCE＝∠BAC∠BCE＝∠DBC∴ CF＝BF因此，CF＝BF．（2）证法一：作CG⊥AD于点G，∵C 是弧BD 的中点∴ ∠CAG＝∠BAC ， 即AC 是∠BAD 的角平分线．∴ CE＝CG ，AE ＝AG在Rt△BCE 与Rt△DCG 中，CE ＝CG ， CB ＝CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG∴BE＝DG∴AE＝AB-BE ＝AG ＝AD+DG即 6-BE ＝2+DG∴2BE＝4，即 BE ＝2又 △BCE∽△BAC∴ 212BC BE AB ==·32±=BC （舍去负值） ∴32=BC（2）证法二：∵AB 是⊙O 的直径，CE⊥AB∴∠BEF＝︒=∠90ADB ，在Rt ADB △与Rt FEB △中，∵FBE ABD ∠=∠∴ADB △∽FEB △，则BF AB EF AD = 即BFEF 62=， ∴EF BF 3= 又∵CF BF =， ∴EF CF 3=利用勾股定理得：EF EF BF BE 2222=-=又∵△EBC∽△ECA则CE BE AE CE =，即则BE AE CE ⋅=2 ∴BE BE EF CF ⋅-=+)6()(2即EF EF EF EF 22)226()3(2⋅-=+∴22=EF ∴3222=+=CE BE BC .86.(2009年四川省内江市)如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E 、F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC.求证：（1）CD ⊥DF ；（2）BC ＝2CD【关键词】三角形全等的判定.【答案】证：（1）设∠DFC ＝θ，则∠BAD ＝2θ在△ABD 中，∵AB ＝AD ， ∴∠ABD ＝∠ADB∠ABD ＝12（180°-∠BAD ）＝90°-θ又∠FCD ＝∠ABD ＝90°-θ∴∠FCD+∠DFC ＝90°∴CD ⊥DF（2）过F 作FG ⊥BC 于G在△FGC 和△FDC 中 ，∠FCG ＝∠ADB ＝∠ABD ＝∠FCD∠FGC ＝∠FDC ＝90°,FC ＝FC∴△FGC ≌△FDC∴GC ＝CD 且∠GFC ＝∠DFC又∠BFC ＝2∠DFC∴∠GFB ＝∠GFC∴BC ＝2GC ， ∴BC ＝2CD.87．（2009年甘肃庆阳）（10分）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD 中，AC 是对角线，P 为边CD 的中点，延长AP 交圆于点E ．（1）∠E ＝ 度； （2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； （3）求弦DE 的长．【关键词】圆周角和圆心角；相似三角形【答案】本小题满分10分解：（1）45．（2）△ACP∽△DEP．理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，∴ △ACP∽△DEP．（3）方法一： ∵ △ACP∽△DEP， ∴ .AP AC DP DE = 又 AP ＝522=+DP AD ，AC ＝2222=+DC AD ，∴ DE＝5102．方法二：如图2，过点D 作DF AE ⊥于点F ．在Rt ADP △中， AP 225,AD DP +又1122ADP S AD DP AP DF ==△， ∴ DF＝552．∴ 51022==DF DE ．88.(2009年衢州）如图，AD 是⊙O 的直径．(1) 如图①，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ；(2) 如图②，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，分别求∠B 1，∠B 2， ∠B 3的度数；(3) 如图③，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示∠B n 的度数(只需直接写出答案)．【关键词】开放性试题【答案】解：(1) 22.5°，67.5°(2) ∵ 圆周被6等分，∴ 11B C ＝12C C ＝23C C ＝360°÷6＝60°．∵ 直径AD ⊥B 1C 1，∴ 1AC ＝1211B C ＝30°，∴ ∠B 1m =121AC ＝15°． ∠B 2m =122AC ＝12×(30°＋60°)＝45°， ∠B 3m =123AC ＝12×(30°＋60°＋60°)＝75°． (3) 11360360[(1)]2222n B n n n ︒︒∠=⨯+-⨯(9045)n n-︒=． (或3604590908n B n n︒︒∠=︒-=︒-)89. （2009年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB ＝∠BDC＝60°，AC ＝cm 32，（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长【关键词】圆【答案】90.（2009年广西钦州）（2）已知：如图2，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 15．求⊙O 1的半径．B A O图2 x y A BO 1O【关键词】垂径定理、勾股定理、坐标系【答案】（2）解：过点O 1作O 1C ⊥AB ，垂足为C ，则有AC ＝BC ． B A O图2 x yA BO 1O C由A （1，0）、B （5，0），得AB ＝4，∴AC ＝2．在1Rt AO C △中，∵O 15，∴O 1C 5．∴⊙O 1的半径O 1A 22221(5)2O C AC ++3．91．(2009年南充)如图8，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．P BCE A【关键词】圆的性质，三角形相似的性质【答案】解：AB 是半圆的直径，点C 在半圆上，90ACB ∴∠=°．在Rt ABC △中，22221068AC AB BC =-=-= （2）PE AB ⊥，90APE ∴∠=°．90ACB ∠=°，APE ACB ∴∠=∠．又PAE CAB ∠=∠，AEP ABC ∴△∽△，PE AP BC AC∴= 110268PE ⨯∴= 301584PE ∴==．92．（2009年哈尔滨）如图，在⊙O 中，D 、E 分别为半径OA 、OB 上的点，且AD ＝BE ． 点C 为弧AB 上一点，连接CD 、CE 、CO ，∠AOC＝∠BOC．求证：CD ＝CE ．【关键词】圆的半径，圆心角【答案】此题证明△OCD 与△OCE 全等即可，给出了一对角相等，再利用半径相等的性质即可得证OA OB AD BE ==，，OA AD OB BE ∴-=-，即OD OE =．93．（2009年中山）（1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13． （2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC △的面积的13．【关键词】圆的内接三角形【答案】（1）如图1，连结OA OC ，，因为点O 是等边三角形ABC 的外心，所以Rt Rt Rt OFC OGC OGA △≌△≌△．2OFCG OFC OAC S S S ==△△，因为13OAC ABC S S =△△， 所以13OFCG ABC S S =△． （2）解法一：连结OA OB ，和OC ，则AOC COB BOA △≌△≌△，12∠=∠，不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ，3412054120AOC DOE ∠=∠+∠=∠=∠+∠=°，°，35∴∠=∠．在OAG △和OCF △中，1235OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， OAG OCF ∴△≌△，13OFCG AOC ABC S S S ∴==△△．解法二：不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ，作OH BC OK AC ⊥⊥，，垂足分别为H K 、，在四边形HOKC 中，9060OHC OKC C ∠=∠=∠=°，°，360909060120HOK ∴∠=-︒-︒=︒°-?，即12120∠+∠=°．又23120GOF ∠=∠+∠=°，13∴∠=∠．AC BC =， OH OK ∴=，OGK OFH ∴△≌△，13OFCG OHCK ABC S S S ∴==△．在ODC △ 和OEC △中，OD OE DOC EOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ODC OEC ∴△≌△．CD CE ∴=．94.（2009年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB ＝∠BDC＝60°，AC ＝cm 32，（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长【关键词】圆【答案】95. （2009年株洲市）（本题满分10分）如图，点A 、B 、C 是O 上的三点，//AB OC .（1）求证：AC 平分OAB ∠.（2）过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P . 若2AB =，30AOE ∠=︒，求PE 的长．【关键词】与圆有关的综合题【答案】（1）∵//AB OC ， ∴C BAC ∠=∠；∵OA OC =，∴C OAC ∠=∠ ∴BAC OAC ∠=∠ 即AC 平分OAB ∠.（2）∵OE AB ⊥ ∴112AE BE AB === 又30AOE ∠=︒，90PEA ∠=︒∴60OAE ∠=︒∴1302EAP OAE ∠=∠=︒， ∴12PE PA =，设PE x =，则2PA x =，根据勾股定理得2221(2)x x +=，解得3x =tan PE EAP AE ∠=） 即PE 397.(2009年潍坊)如图所示，圆O 是ABC △的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD DC 、．（1）求证：BD DC DI ==；（2）若圆O 的半径为10cm ，120BAC ∠=°，求BDC △的面积．（1）证明：AI 平分BAC ∠BAD DAC BD DC ∴∠=∠∴=，BI 平分ABC ABI CBI ∠∴∠=∠，BAD DAC DBC DAC ∠=∠∠=∠，BAD DBC ∴∠=∠，又DBI DBC CBI DIB ABI BAD ∠=∠+∠∠=∠+∠， DBI DIB BDI ∴∠=∠∴，△为等腰三角形 BD ID BD DC DI ∴=∴==，（2）解：当120BAC ∠=°时，ABC △为钝角三角形，∴圆心O 在ABC △外，连结OB OD OC 、、，2120DOC BOD BAD ∴∠=∠=∠=°， 60DBC DCB ∴∠=∠=°，∴BDC △为正三角形．又知10cm OB =，32sin 60210103cm BD OB ∴==⨯⨯=° 223(103)753cm BDC S ∴=⨯=△.答：BDC △的面积为7532．98.（09湖北宜昌）已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，BC CD DE ==，∠BAE ＝90°．(1)求△CAD的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P，那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少？【关键词】圆的基本性质、圆周角和圆心角【答案】解：（1）∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝∠BAE＝90°．∵ BC CD DE==，∴ ∠BAC＝∠CAD＝∠DAE．∴∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ＝30°．∵在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝2sin30°＝1， AC＝2cos30°＝3．∴S△ACD＝1 2AC×CD ＝32．(2) 连BD，∵∠A BD＝90°，∠BAD＝＝60°，∴∠BDA＝∠BCA＝30°，∴BA＝BC.作BF⊥AC，垂足为F，（5分）∴AF＝12AC＝32，∴BF＝AFtan30°＝12，∴S△ABC＝12AC×BF ＝34，∴S ABCD＝334．∵S⊙O＝π ，∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝334π＝334π．（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M．∵∠BCA＝∠CAD（证明过程见解法），∴BC∥AD．∴四边形ABCD为等腰梯形．∵CM＝ACsin30°＝32，∴S ABCD＝12(BC+AD)CM＝334．∵S⊙O＝π，∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝334π＝334π．99.(2009年黄冈市)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C 作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：BFBGBC⋅=2.【关键词】圆周角性质【答案】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°又∵CD⊥AB于点D，∴∠BCD＝90°－∠ABC＝∠A＝∠F∵∠BCD＝＝∠F，∠FBC＝∠CBG∴△FBC∽△CBG∴CBFBBGBC=∴BFBGBC⋅=2100. （2009襄樊市）如图12，已知：在O中，直径4AB=，点E是OA上任意一点，过E作弦CD AB⊥，点F是BC上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：ACH AFC△∽△；（2）猜想：AH AF与AE AB的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E 位于何处时，14?AEC BOD S S =△△::并加以说明．证明：（1）∵直径AB CD ⊥ ∴AC AD = ∴F ACH ∠=∠ 又CAF FAC ∠=∠ ∴ACH AFC △∽△（2）答：AH AF AE AB =,连接FB ∵AB 是直径，∴90AFB AEH ==︒∠∠ 又EAH FAB =∠∠ ∴Rt Rt AEH AFB △∽△∴AE AHAF AB =∴AH AF AE AB =（3）当32OE =（或12AE =）时，14AEC BOD S S =△△．::∵直径AB CD ⊥ ∴CE ED =∵1122AEC BOD S AE EC S OB ED ==△△，∴14AEC BOD S AE S OB ==△△∵O 的半径为2∴2124OE -= ∴32OE =101.（2009湖北省荆门市）如图，半径为25的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．（1）求证：PA·PB＝PC·PD；（2）设BC中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；（3）若AB＝8，CD＝6，求OP的长．解:（1）∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴AP PDCP PB=，∴PA·PB＝PC·PD；（2）∵F为BC中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由垂径定理：∴OM2＝（52－42＝4，ON2＝（52－32＝11又易证四边形MONP是矩形，2215OM ON+=.102. 44.（2009年泸州）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．【关键词】三角函数及切线的判定. 【答案】(1)如图,连结OD 、BD. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB ＝90°,∴BD ⊥AC. ∵AB ＝BC,∴AD ＝DC. ∵OA ＝OB,∴OD ∥BC, ∵DE ⊥BC,OD ⊥DE, ∴直线DE 是⊙O 的切线.(2)作DH ⊥AB,垂足为H,则∠EDH+∠E ＝90°, 又∵DE ⊥OD,∴∠ODH+∠EDH ＝90°,∴∠E ＝∠ODH, ∵AD ＝DC,AC ＝8,∴AD ＝4. 在Rt △ADB 中,3452222=-=-=AD AB BD ,由三角形面积公式得:AB ·DH ＝DB ·DA,即5DH ＝4×3,解得512=DH , 在Rt △ODH 中,cos ∠ODH ＝5.2512＝2524,∴cosE ＝2524.103. （2009年常德市）如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论．【关键词】圆 【答案】△ABE 与△ADC 相似．理由如下： 在△ABE 与△ADC 中∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE＝90o， ∵AD 是△ABC 的边BC 上的高， ∴∠ADC＝90o， ∴∠ABE＝∠ADC．又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA＝∠DCA． ∴△ABE ～△ADC．104.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝ 60︒，AB 与PC 交于Q 点． （1）判断△ABC 的形状，并证明你的结论； （2）求证：QBAQPB AP =； （3）若∠ABP ＝ 15︒，△ABC 的面积为43，求PC 的长．解:（1） 证明:∵ ∠ABC ＝∠APC ＝ 60︒，∠BAC ＝∠BPC ＝ 60︒，∴ ∠ACB ＝ 180︒－∠ABC －∠BAC ＝ 60︒， ∴ △ABC 是等边三角形．（2）如图，过B 作BD ∥PA 交PC 于D ，则 ∠BDP ＝∠APC ＝ 60︒．又 ∵ ∠AQP ＝∠BQD ， ∴ △AQP ∽△BQD ，BDAPQB AQ =． ∵ ∠BPD ＝∠BDP ＝ 60︒， ∴ PB ＝ BD ． ∴PBAPQB AQ =． （3）设正△ABC 的高为h ，则 h ＝ BC · sin 60︒．∵21BC · h ＝ 43， 即21BC · BC · sin 60︒ ＝ 43，解得BC ＝ 4．连接OB ，OC ，OP ，作OE ⊥BC 于E ．由△ABC 是正三角形知∠BOC ＝ 120︒，从而得∠OCE ＝ 30︒， ∴ 3430cos =︒=CE OC ．由∠ABP ＝ 15︒ 得 ∠PBC ＝∠ABC +∠ABP ＝ 75︒，于是 ∠POC ＝ 2∠PBC ＝ 150︒． ∴ ∠PCO ＝（180︒－150︒）÷2 ＝ 15︒．如图，作等腰直角△RMN ，在直角边RM 上取点G ，使∠GNM ＝ 15︒，则∠RNG ＝ 30︒，作GH ⊥RN ，垂足为H ．设GH ＝ 1，则 cos ∠GNM ＝ cos15︒ ＝ MN ． ∵ 在Rt △GHN 中，NH ＝ GN · cos30︒，GH ＝ GN · sin30︒． 于是 RH ＝ GH ，MN ＝ RN · sin45︒，∴ cos15︒ ＝462+． 在图中，作OF ⊥PC 于E ，∴ PC ＝ 2FD ＝ 2 OC ·cos15︒ ＝36222+．105.(2009年福建省泉州市)已知：直线y ＝kx(k ≠0)经过点（3，-4）.(1)求k 的值；(2)将该直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相离（点O 为坐标原点）,试求m 的取值范围.【关键词】直线与⊙O 相离【答案】解：（1）依题意得：-4＝3k ，∴k ＝34-（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线l 所对应的函数关系式为y ＝34-x+m(m ＞0) 设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，（如图所示）当x ＝0时，y ＝m;当y ＝0时，x ＝43m. ∴A(43m,0),B(0,m)，即OA ＝43m ，OB ＝m 在Rt △OAB 中，AB ＝22OB OA + 2＝m m m 4516922=+ 过点O 作OD ⊥AB 于D ，∵S △ABO ＝21OD ·AB ＝21OA ·OB ∴21OD ·m 45＝21·43m ·m ∵m ＞0,解得OD ＝53m依题意得：53m ＞6，解得m ＞10即m 的取值范围为m ＞10.。
题型五 圆的相关证明与计算 类型二 与切线有关的证明与计算(专题训练)(解析版)
题型五 圆的相关证明与计算类型二 与切线有关的证明与计算（专题训练）1.如图，ABC V 内接于O e ，AB 是O e 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O e 的切线；（2）若1tan 3ACE Ð=，3OE =，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据BE BC =，可得BEC BCE Ð=Ð，根据对顶角相等可得AED BEC Ð=Ð，进而可得BCE AED Ð=Ð，根据AD AC =，可得ADC ACE Ð=Ð，结合90ACB Ð=°，根据角度的转化可得90AED D Ð+Ð=°，进而即可证明AD 是O e 的切线；（2）根据ADC ACE Ð=Ð，可得1tan tan 3EA D ACE DA ==Ð=，设AE x =，则3AC AD x ==，分别求得,,AC AB BC ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得x ，进而根据6BC x =+即可求得．【详解】（1）Q BE BC =，\BEC BCE Ð=Ð，Q AED BEC Ð=Ð，\BCE AED Ð=Ð，Q AD AC =，\ADC ACE Ð=Ð，Q AB 是直径，\90ACB Ð=°，90D AED ACD BCE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，\AD 是O e 的切线；（2）AD AC =Q ，\ADC ACE Ð=Ð，1tan tan 3EA D ACE DA \==Ð=，设AE x =，则3AC AD x ==，3,336OB OA AE OE x BC BE OE OB x x ==+=+==+=++=+，226AB OA x ==+，在Rt ABC V 中，222AC BC AB +=，即()()()2223626x x x ++=+，解得122,0x x ==（舍去），68BC x \=+=．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．2.如图，ABC V 内接于O e ，AB AC =，AD 是O e 的直径，交BC 于点E ，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F ，连接BD ．（1）求证：DF 是O e 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）DF =【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出90ABC CBD Ð+Ð=°，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出FBD FDA ~△△，继而运用相似比FB FD FD FA=即可求出DF 的长．【详解】解：（1）证明：∵AD 是O e 的直径∴90ABD Ð=°（直径所对的圆周角是直角）即90ABC CBD Ð+Ð=°∵AB AC=∴ABC C Ð=Ð（等边对等角）∵ AB AB=∴ADB C Ð=Ð（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴ABC ADBÐ=Ð∵//BC DF ，∴CBD FDBÐ=Ð∴90ADB FDB Ð+Ð=°即90ADF Ð=°∴AD DF^又∵AD 是O e 的直径∴DF 是O e 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）解：∵12AB AC ==，15AF =∴3BF AF AB =-=∵F F Ð=Ð，90FBD FDA Ð=Ð=o∴FBD FDA ~△△（两个角分别相等的两个三角形相似）∴FB FD FD FA=，∴231545FD FB FA =×=´=∴DF =【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．3.如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ^交CD 的延长线于点E ，CE 交O e 于点G ，连接AC ，AG ，在EA 的延长线上取点F ，使2FCA E Ð=Ð．（1）求证：CF 是O e 的切线；（2）若6AC =，AG =，求O e 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定ADG DCB V V ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ÐÐ＝，从而可得FCA AGD ÐÐ＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO а＝，从而判定CF 是O e 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ÐÐ＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ÐÐQ ＝，ADG CDB ÐÐ＝，ADG DCB \V V ∽，BD BC GD GA\=，BD BC Q ＝，GD GA \＝，ADG DAG \ÐÐ＝，又AE AB ^Q ，90EAD \а＝，90GAE DAG E ADG \Ð+ÐÐ+а＝＝，GAE E \ÐÐ＝，AG DG EG \＝＝，2AGD E ÐÐ＝，2FCA E ÐÐQ ＝，FCA AGD B \ÐÐÐ＝＝，Q AB 是O e 的直径，90CAB B \Ð+а＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB \ÐÐ＝，90FCA ACO \Ð+а＝，90FCO \а＝，即CF 是O e 的切线；（2）Q CF 是O e 的切线，AE AB ^，AF CF \＝，2FAC FCA E \ÐÐÐ＝＝，6AC AE \＝＝，又AG DG EG Q ＝＝，在Rt ADE △中，2AD ===，设O e 的半径为x ，则2AB x ＝，22BD BC x＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O \e 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键．4.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE ＝1，CD ＝3，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC ，先根据四边形ABCD 内接于⊙O ，得CDE OBC ÐÐ＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE а＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ^于G ，连接OC ，OD ，则90OGE а＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x ，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC ，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ÐÐ＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴180CDA ABC Ð+Ð=°又180CDE CDA Ð+Ð=°∴CDE OBC ÐÐ＝，∵CE AD ^，∴90E CDE ECD ÐÐа＝＋＝，∵ECD BCF ÐÐ＝，∴90OCB BCF Ðа＋＝，∴90OCE а＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ^于G ，连接OC ，OD ，则90OGE а＝，∵90E OCE Ðа＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x ，Rt △CDE 中，31CD DE ＝，＝，∴EC ==∴OG =1GD xOD x ＝﹣，＝，由勾股定理得222OD OG DG +：＝，∴222(1)x x =+-，解得： 4.5x ＝，∴⊙O 的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．5.如图，V ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，其外角平分线AD 与CO 的延长线交于点D ．（1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝，BC ＝6，求图中阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）6p -【分析】（1）连接OA ，证明OA ⊥AD 即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC ．【详解】解：（1）如图，连接OA 并延长交BC 于E ，∵AB=AC ，△ABC 内接于⊙O ，∴AE 所在的直线是△ABC 的对称轴，也是⊙O 的对称轴，∴∠BAE=∠CAE ，又∵∠MAD=∠BAD ，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=12×180°=90°，即AD ⊥OA ，∴AD 是⊙O 的切线；（2）连接OB ，∵∠OAD=∠OEC=90°，∠AOD=∠EOC ，∴△AOD ∽△EOC ，∴AD OA EC OE =，由（1）可知AO 是ABC D 的对称轴，OE \垂直平分BC ，132CE BC \==，设半径为r ，在Rt EOC D 中，由勾股定理得，，\解得6r =（取正值），经检验6r =是原方程的解，即6OB OC OA ===，又6BC =Q ，OBC \D 是等边三角形，60BOC \Ð=°，OE =BOC BOC S S S D \=-阴影部分扇形2606163602p ´=-´´6p =-【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．6.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点D 作//DG BC ，DG 交线段AC 于点G ，交AB 于点E ，交⊙O 于点F ，连接DB ，CF ，∠A ＝∠D ．（1）求证：BD 与⊙O 相切；（2）若AE ＝OE ，CF 平分∠ACB ，BD ＝12，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图1，延长DB 至H ，证明90ABD Ð=°，即可根据切线的判定可得BD 与O e 相切；（2）如图2，连接OF ，先根据圆周角定理证明OF AB ^，再证明EFO EDB △∽△，列比例式可得4OF =，即O e 的半径为4，根据勾股定理可得DE 的长．【详解】（1）证明：如图1，延长DB 至H ，Q，DG BC//\Ð=Ð，CBH DQ，Ð=ÐA D\Ð=Ð，A CBHe的直径，Q是OAB\Ð=°，ACB90\Ð+Ð=°，A ABC90\Ð+Ð=°，90CBH ABC\Ð=°，90ABD∴AB⊥BD，e相切；\与OBD（2）解：如图2，连接OF，CFQ平分ACBÐ，\Ð=Ð，ACF BCF\=，AF BF∴∠AOF＝∠BOF＝90°，OF AB \^，BD AB ^Q ，//OF BD \，EFO EDB \△∽△，\OF OE BD BE=，AE OE =Q ，\13OE EB =，\1123OF =，4OF \=，4OA OB OF \===，246BE OE OB \=+=+=，DE \．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明EFO EDB △∽△．7.如图，在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，点O 在CD 上，作⊙O ，使⊙O 与AD 相切于点B ，⊙O 与CD 交于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交AO 的延长线于点F ，且∠OAB ＝∠F ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC ＝3，DE ＝2，求tan ∠F 的值．【答案】（1）见详解；（2）12．【分析】（1）由题意，先证明OA 是∠BAC 的角平分线，然后得到BO=CO ，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出6AB AC ==，10AD =，结合直角三角形ODF ，即可求出tan ∠F 的值．【详解】解：（1）∵DF ∥AC ，∴∠CAO=∠F ，∵∠OAB ＝∠F ，∴∠CAO=∠OAB ，∴OA 是∠BAC 的角平分线，∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴BO=CO ，又∵AC ⊥OC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由题意，∵OC ＝3，DE ＝2，∴OD=5，OB=3，CD=8，∴4BD ==，由切线长定理，则AB=AC ，设AB AC x ==，在直角三角形ACD 中，由勾股定理，则222AC CD AD +=，即2228(4)x x +=+，解得：6x =，∴6AB AC ==，6410AD =+=，∵∠OAB ＝∠F ，∴10DF AD ==，∵90FDO ACO Ð=Ð=°，∴51tan 102OD F DF Ð===．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．8.如图，在Rt ABC V 中，90ACB °Ð=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O e ，与BC 交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN AB ^，垂足为N ．（1）求证：MN 是O e 的切线；（2）若O e 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．【答案】（1）见解析；（2）75ED =．【解析】【分析】（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM ⊥MN ．（2）连接,DM CE ，分别求出BD=5，BE=325，根据ED BE BD =-求解即可．【详解】（1）证明：连接OM ，OC OM =Q ，OCM OMC \Ð=Ð．在Rt ABC V 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD \==，DCB DBC \Ð=Ð，OMC DBC \Ð=Ð，//OM BD \，MN BD ^Q ，MN OM \^，MN \是O e 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ^^，由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =Q ，4cos 5B \=，在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =×=，28BC BM \==．在Rt CEB V 中，32cos 5BE BC B =×=，327555ED BE BD \=-=-=．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．9.如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB D D ≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB Ð．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC Ð=Ð利用AB 为直径，证明90,ADB BCA Ð=Ð=°结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC Ð=Ð 再证明,CBF DAF Ð=Ð 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB Ð=Ð 从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC =Q,AD BC\= ,ABD BAC \Ð=ÐAB Q 为直径，90,ADB BCA \Ð=Ð=°,AB BA =QCBA DAB \V V ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =Ð=°Q,FBC EBC \Ð=Ð90,,ADC ACB DFA CFB Ð=Ð=°Ð=ÐQ,DAF FBC EBC \Ð=Ð=ÐBE Q 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC \Ð=°Ð+Ð=°90,ACB Ð=°Q90,CAB ABC \Ð+Ð=°,CAB EBC \Ð=Ð,DAF CAB \Ð=ÐAC \平分DAB Ð．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 BC于点D，过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，Q AB为⊙O的直径，90,ACB\Ð=°∵DE∥BC，∴∠E＝ACB=∠ 90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BF BA BD=，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．11.如图，在⨀O中，AB为⨀O的直径，C为⨀O上一点，P是 BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC 的延长线于点D ．（1）求证：DP 是⨀O 的切线；（2）若AC=5，5sin 13APC Ð=,求AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）AP=．【解析】【分析】（1）根据题意连接OP ，直接利用切线的定理进行分析证明即可；（2）根据题意连接BC ，交于OP 于点G ，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.【详解】解：（1）证明：连接OP ；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P 为 BC的中点；∴ PCPB =∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP ∥DA ；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP 为⨀O 半径；∴DP 为⨀O 的切线；（2）连接BC ，交于OP 于点G ；∵AB 是圆O 的直径；∴∠ACB 为直角；∵5sin 13APC Ð=∴sin ∠ABC=513AC=5,则AB=13,半径为132由勾股定理的12=，那么CG=6又∵四边形DCGP 为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt △ADP 中，==.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC ，CE ⊥AB 于点E ，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE ＝∠BCD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝8，BE CE ＝12，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO ＝∠BCO+∠BCD ＝90°，∴∠DCO ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A ＝∠BCE ，∴tanA ＝BC AC ＝tan ∠BCE ＝BE CE ＝12，设BC ＝k ，AC ＝2k ，∵∠D ＝∠D ，∠A ＝∠BCD ，∴△ACD ∽△CBD ，∴BC AC ＝CD AD ＝12，∵AD ＝8，∴CD ＝4．【点睛】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．13.如图，AB 是O e 的直径，点C 是O e 上一点，CAB Ð的平分线AD 交 BC于点D ，过点D 作//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O e 的切线；（2）过点D 作DF AB ^于点F ，连接BD ．若1OF =，2BF =，求BD 的长度．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OD ，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO ＝∠DAE ，从而OD ∥AE ，由DE ∥BC 得∠E ＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE ＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB ＝90°，再由OF ＝1，BF ＝2得出OB 的值，进而得出AF 和BA 的值，然后证明△DBF ∽△ABD ，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出BD 的值．【详解】解：（1）连接OD ，如图：∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠DAE ＝∠OAD ，∴∠ADO ＝∠DAE ，∴OD ∥AE ，∵DE ∥BC ，∴∠E ＝90°，∴∠ODE ＝180°−∠E ＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）因AB 为直径，则90ADB Ð=°∵1OF =，2BF =∴OB=3∴4AF =，6BA =∵∠ADB=∠DFB=90°, ∠B=∠B∴△DBF ∽△ABD ∴BF BD BD AB=∴22612BD BF BA =×=´=所以BD=．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．。
九年级数学上册专题第14讲圆的有关性质重点、考点知识总结及练习
第14讲圆的有关性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩垂径定理弧、弦、圆心角的关系圆的有关性质圆周角定理及推论圆内接四边形的性质 知识点1垂径定理①弦和直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。
直径等于半径的两倍。
②弧：(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧记作AB ⌒,读作弧AB.(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如 ACB .小于半圆的弧叫做劣弧，如AB 。
（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。
③弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。
四者有一个相等，则其他三个都相等。
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．⑥同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。
（图一）（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。
圆的概念和性质
圆的概念和性质知识目标模块一圆的有关概念易错总结判断下列说法的正误，并说明理由．（1）直径是弦，弦是直径．（2）过圆心的线段是直径．（3）直径只有一条．（4）过圆内一点只能作一条直径．（5）半圆是弧，弧是半圆．（6）圆中的弧分为优弧和劣弧．（7）长度相等的弧是等弧．例1（1）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，︒∠的度数为．BOC，AD∥OC，则A O D∠110=B （2）如图，在ABC∠70C，则BOD=∠的度数为．=∆中，AB为⊙O的直径，︒∠60B，︒（3）如图，正方形ABCD 与BEFG 彼此相邻且内接于半圆O ，若正方形BEFG 的面积为16，则半圆O 的半径为 .【练习】（1）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，若DE AB 2=，︒=∠18E ，则AOC ∠的度数为．AE（2）如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设a BC =，b EF =，c NH =，则c b a 、、的大小关系为 ．HFCGO【拓展】（1）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．（2）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．模块二 圆的有关性质垂径定理“知二求三”：BO 、BC 、BA 、CO 、CA 五条线段，知道其中任意两条的长，可以求出其余三条线段的长.【例2】（1）如图，P 是⊙O 的弦上的点，6=PA ，2=PB ，⊙O 的半径为5，则=OP ．（2）如图，在Rt△ABO中，∠O=90°，AO=2，BO=1，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点P，则PB= .A【练习】如图，在⊙O中，AB为直线，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°，若AP=2，BP=6，则MN= .A【例3】（1）如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：BDAC ．（2）如图，AB是⊙O的直径，P是AB上一点，且PB平分∠CPD，求证：PC=PD.【练习】如图，圆O 的弦AB 、CD 交于点P ，AB=CD ，求证：OP 平分∠BPO.P【例4】（1）如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是⌒AC 的中点，AB MN ⊥于N ，试判断MN 与AC 的数量关系并证明．N AO（2）如图，P 是⊙O 外一点，过点P 作两条割线PAB 和PCD ，点M 、N 分别是⌒AB 、⌒CD 的中点，MN 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，求证：PEF ∆为等腰三角形．M题型二圆周角定理二、圆周角定理四、圆周角导角思路： 1.利用同弧或等弧转化角2.利用直径构造直角三角形转化角3.利用圆的内接四边形转化角4.利用特殊数量关系构造特殊角转化角. 【例5】（1）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC ＝70°，则∠OAC 的度数为 ．（2）如图，已知C 、D 是以AB 为直径的⊙O 上的两个点，⌒BC =⌒BD ，∠CAB ＝24°，则∠ABD 的度数为 ．（3）如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠CDA ＝25°，则∠AOB 的度数为 ．（4）如图，⊙O 的直径CB 的延长线与弦ED 的延长线交于点A ，且⌒CE =⌒BE ，∠A ＝20°，则∠C ＝ ．【例6】（1）如图，AB是半圆O的直径，D为弧AC的中点，∠B＝40°，则∠C的度数为．（2）如图，△ABC内接于⊙O，CH AB于H，连OC，若∠HCB＝15°，则∠ACO＝．（3）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，直径AB交CD于点E，已知∠C＝57°，∠D＝45°，则∠CEB＝．A（4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交AC于E，若∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠AEB ＝．【例7】（1）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为．（2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为．（3）如图，⊙O的半径为1，弦AB ACB＝．（4）如图，⊙O的半径为1，弦ABAC，则∠BOC＝．圆的概念和性质A基础巩固1．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝87°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数为2．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BOD ＝90°，则∠BCD 的度数为3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足是E ，连接OC ，若OC ＝5，CD ＝8，则AE 的值为4．如图，CD 为⊙O 的直径，CD AB ⊥于E ，8=DE ，2=CE ，则=AB．C5.如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为径，弦CD ⊥AB ，垂足是E，连接OC ，若OC ＝5，CD ＝8，则AE ，则⊙O 1的半径为6．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，∠BOC＝70°，则∠A的大小为7．如图，点O是优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D的大小为8．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为CB 综合训练9．如图，AB 、CD 分别是⊙O 上的两条弦，圆心O 到它们的距离分别是OM 、ON ．如果AB=CD ，求证：OM =ON ．A B10.如图，AB 是圆O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于E 、F ，且AE=BF ，求证：OE=OF11.已知：如图，在△ANBC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ，连接EB 交OD 于点F.（1）求证：OD ⊥BE ；（2）若DE=5，AB=5，求AE 的长.BAC数学故事蝴蝶定理蝴蝶定理这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。
初三数学圆的有关性质及有关的角(含答案)
第三讲圆的有关性质及有关的角一、知识要点：1、圆是平面上到的距离等于的点的集合。
2、的三点确定一个圆；任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的心，它是三角形的的交点。
3、圆是以为轴的轴对称图形，又是以为中心的中心对称图形。
4、垂径定理的条件是，结论是。
5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都。
重、难点：圆的基本性质，垂径定理。
基础知识圆的有关性质和计算①垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．②弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.④圆内接四边形的性质: 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.1、圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的；半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。
2、弦切角它所夹的弧对的圆周角。
3、圆内接四边形的对角；任何一个外角都等于它的。
二、例题讲解（1）圆的认识1、（2005•扬州）下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、下列命题中，正确的是（）A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴3、过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）A．1条B．2条C．3条D．无数条4、下列命题中，正确的个数是（）（1）不同的圆中不可能有相等的弦；（2）优弧一定大于劣弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）垂径定理及推论例1、1．（2012•新疆）如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE．练习1、（2019•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O 位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．变式题1：（2010•襄阳）圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求两弦AB、CD的距离。
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圆的有关性质证明题
一、圆的有关证明（角的转换）
1、如图，△ABC 内接于⊙O ，边AC 、BC 的高BE 、AD 相交于H （E 、D 是垂足），AD 交⊙O 于G 。
（1）求证：HG=2HD
2、如图,AB 是⊙O 的直径，弦DC ⊥AB 于点E ，在弧
AD 上取一点F ，连结CF 交AB 于点M ，连结DF 并延
长交BA 的延长线于点N.
（1）求证：∠DFC=∠DOB ；
3如图：ΔABC 中，∠ACB=90°，D 为AC 的中点，
以BC 为直径作
⊙O 交 AB 于E ，交BD 于F ，连接EF 、CF 。
① 求证：∠BFE=∠A
4、如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＞AC ，∠BAC 的外角
平分线交⊙O 于E ，
EF ⊥AB ，垂足为F 。
（1）求证：EB=EC
5、如图，等腰三角形ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，
它的外角∠EAC 的平分线交⊙O 于D 点，DB 交AC 于F 。
（1）求证：△DAB ≌△DFC
M O F E D C
B A N
6、如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=900，∠BAC的外角
平分线交⊙O于点D，AC、BD交于点E，连接CD。
（1）求证：DO∥AB
7、如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，⊙O分别交AB、AC 于D、E两点，E为弧CD的中点。
CD交BE于F.
（1）求证：ED=EA；
8、如图，AD是R t△ABC斜边BC上的高，AB=AC，
过A、D的圆与AB、AC分别交于E、F，弦EF交AD于G。
（1）求证：AF =BE
9、如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O分别交AB、BC
于D、E，BH⊥AC于H，BH、CD交于点F，E为半圆弧的中点。
（1）求证：AH=FH
10、如图，⊙O是△ABC的外接圆，过A作AD⊥BC
于D，交⊙O于E，过C作CF⊥AB于F，交AD于H，
交⊙O于G，连接BE、BG。
（1）求证：BE=BG。