浅析导数在函数中的作用
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，根据题意可知，当 x 0 时， g ' ( x) 0 ，那么 g（x）在 (0, ) 上是减函数 . 因为 f ( x) 是奇函数，且 f（-1）=0，所以 f（1）=-f（-1） =0，所以 g (1) f (1) 0 ，
1
那么当 x (0,1) 时， g ( x ) 0 ，从而 f ( x) 从而 f ( x ) 0 . 又因为 g ( x) f ( x ) f ( x ) f ( x ) g ( x) ，根据偶
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函数定义可知： g ( x) 是偶函数 . 那么当 x ( ,1) 时， g ( x) 0 ，从而 f ( x) 0 ；当 x (0,1) 时， g ( x ) 0 ，从而 f ( x ) 0 . 综上所述，x 的取值范围就是（ ， 1 ） (0,1) . 选项 A 正确 . 2. 导数与函数的值域、极值、最值 （1）函数的极值：设函数 y=f(x) 在点 x0 附近有定义，如果 对 x0 附近的所有的点，都有 f ( x) f ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 是函数 y=f(x) 的一个极大值；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f ( x) f ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 是函数 y=f(x) 的一个极小值 . 极大值与极小值统称为 极值 . 判断方法：一般的，当函数 f(x) 在点 x x0 处连续时，如 ' ' 果在 x0 附近的左侧 f ( x) 0 ，右侧 f ( x) 0 ，那么 f ( x0 ) 是极 ' 大值；如 果在 x0 附近 的左 侧 f ( x ) 0 ，右 侧 f ' ( x) 0 ，那 么 f ( x0 ) 是极小值 . 由费马定理我们知道，若函数 f 在 x0 可导，且 x0 为 f 的极 ' 值点，那么 f ( x0 ) 0 ，也就是说可导函数在点 x0 取得极值的 ' 必要条件是 f ( x0 ) 0 . （2）函数的最值： 一般的，设函数 y=f(x) 的定义域是 I，若存在实数 M 满足 : ①对于任意的 x I ，都有 f(x) M ; ②存在点 x0 I ，使得 f ( x0 ) M . 那么就称 M 是函数 y=f(x) 的最大值，简单记作 f ( x )max =M. 同理可得： 若存在实数 m 满足 : ①对于任意的 x I ，都有 f(x) m ; ②存在点 x0 I ，使得 f ( x0 ) m .
当代教育实践与教学研究
浅析导数在函数中的作用
湖南省娄底市娄底三中 277 班 聂 岚
摘 要：导数在高中的解题应用很广泛，尤其跟函数结合命题更有难度 , 通过课上老师的悉心讲解及课下认真解读、 分析近年来的高考数学卷子，我们不难发现导数在函数中的应用是高考常考问题，并且出现在最后的压轴 大题之中，最常见的题型有：求函数的单调区间、最值、极值，切线和最优化问题．在学习有关导数这一 章节中，我们要熟练掌握基本的求导公式，课下摸索其常考的题型和重点难点，这样有助于我们可以更简 洁地解决问题，开拓数学思维，也可以节省时间解决其它难题，取得更好的成绩 . 关键词：导数 函数 单调性 最值 极值 优化问题 文章编号：ISSN2095-6711/Z01-2017-03-0152
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x f ' ( x ) f ( x ) x2
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（2）导函数：假如函数 y f ( x) 在开区间（a，b）中每一 个点都可导，则它的导数值在（a，b）内构成一个新的函数， 我们将这个函数叫做 f ( x ) 在开区间（a，b）上的导函数 . 我们 记成 f ( x ) 或者 y ' . 特别强调 : 假如函数 f ( x ) 在 x x0 点可导，则函数 y f ( x) 一定在 x x0 点连续 . 2. 导数的几何意义 实际上，函数 f ( x ) 在 x x0 点的导数就是曲线 y f ( x) 在点 （ x0 ， f ( x0 ) ）的切线的斜率 . 3. 几种常见、常考的函数求导数 在平时做题中我们发现， 常求导数的函数原型就是那几个， 经过复合函数进而加强了函数求导的难度，所以我们一定要牢 牢记住下面几个常常考察的函数求导 . 熟记于心，这样才能提 高做题速度 . （1）原函数为： y x ，其导数 y ' = n x n1 ； （2）原函数为： y sin x ，其导数 y ' = cos x ； （3）原函数为： y cos x ，其导数 y ' = sin x ； （4）原函数为： y log a x （a>0，且 a 1 ），其导数 y ' 1 = x l n a ；特别的 , 当原函数是 y l n x 时，其导数为 y ' = 1 ； x （5） 原 函 数 为： y a （a>0， 且 a 1 ）， 其 导 数 y ' x = a xl n a . 特别的，当原函数是 y e 时，其导数为 y ' = e x . 4. 复合函数的求导法则 y= f [u ( x) ] 的导数是 y x yu u x . 5. 导数的四则运算法则
0
且 有 f（-1）=0, 当 x 0 时， 有 x f ' ( x ) f ( x) 0 ， 则 使 得 f ( x ) 0 成立的 x 的取值范围是多少？（A）
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（ ， 1 ） (0,1) B.(-1,0) (1, ) C.（ ， 1 ） (-1,0) D.(0,1) (1, ) 思路点拨 : 设函数 g（x） f ( x) ，那么 g ' ( x)
导数概念及意义范文
导数概念及意义范文导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数的变化率。
导数的意义在于解决了很多实际问题中的极限、斜率、速度和变化率等关键问题。
导数的定义可以通过极限来给出。
对于一个定义在区间上的函数，如果函数在其中一点上的导数存在，那么它就代表了在该点上函数的瞬时变化率。
导数被定义为该点上函数的斜率，表示了函数在该点附近的局部变化情况。
在直观上，导数可以理解为函数图像上其中一点处的切线的斜率。
切线的斜率可以用来描述函数在该点的变化速度，例如，对于一条直线函数来说，其导数在每一个点上都是相同的，即变化速度保持不变。
而对于曲线函数，导数在不同点上的值往往是不同的，因此可以用导数来描述曲线函数在不同点上的变化速度和方向。
导数的意义主要体现在以下几个方面：1.斜率的意义：在几何学中，斜率用来描述线段或曲线的倾斜程度。
导数可以精确计算出曲线在其中一点上的斜率，从而更好地描述曲线的性质。
2.速度的意义：对于物理学中的运动问题来说，导数可以表示物体的速度。
通过对位移函数关于时间的导数，可以得到速度函数，从而精确地描述物体在不同时间点上的瞬时速度。
3.变化率的意义：导数可以用来描述函数在给定点处的变化率，即函数值随自变量的变化而变化的快慢。
这对于许多实际问题中的分析和解决非常有用，比如经济学中的边际效应分析、生物学中的生长速率分析等。
4.最值和凹凸性的意义：导数的符号和变化规律可以用来判断函数的极值点和凹凸性。
根据导数的正负性可以判断函数的增减性，从而得到函数的最值点；而根据导数的单调性和凹凸性可以推断函数的趋势和拐点位置。
总之，导数是微积分中的一个基本概念，对于函数的性质研究和实际问题的分析具有重要意义。
它在物理、经济、生物等不同领域都起到了关键的作用，在解决实际问题和推导数学定理中都发挥了重要的作用。
导数在研究函数中的应用PPT课件
是减函数，求a的取值范围.
例4（09年宁夏/海南卷）已知函数 3 2 x f ( x) ( x 3x ax b)e . （1）若a＝b＝－3，求f(x)的单调区间 （2）若f(x)在(－∞，α )，(2，β )内 单调递增，在(α ，2)，(β ，＋∞)单调 递减，证明：β －α ＞6. 【解题要点】 求导后要指出定义域→由导数大于0得递 增开区间，定义域内其余区间为递减区 间→单调递增条件转化为导数非负.
考点2 导数在函数极值问题中的应用 3 x 2 例5 求函数 f ( x) 的极值 . 2 ( x 1) 例6 已知函数 f ( x) ( x ax a)e 有极小值0，求实数a的值.
2 x
例7（09年湖南卷文）已知函数 3 2 f ( x) x bx cx 的导函数的图象关于 直线x＝2对称，且函数f(x)在x＝t处取 得极小值g(t)，求函数g(t)的定义域和 值域.
10.2
导数在研究函数中的应用
知识梳理
1 5730 p 2
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1.导数与函数的单调性： f ′(x)≥0 Ûf(x)单调递增； f ′(x)≤0 Û f(x)单调递减， 其中f ′(x)不恒等于0.
2.函数极值的概念： 函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近 的所有的点，都有 （1）f(x)＞f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极小值； （2）f(x)＜f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极大值.
例8（09年全国卷）已知函数 2 x 1和x 2， f x x aIn 1 有两个极值点 x 且x 1＜x 2. （1）求实数a的取值范围；
1 2 In2 （2）证明 f x2 . 4
【解题要点】 由导函数的变号零点确定极值点→结合 图象确定极值类型.
导数的概念与应用
导数的概念与应用导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在给定点处的变化率。
在数学和实际应用中，导数具有广泛的应用，涉及到诸多领域，如物理学、经济学、工程学等。
本文将介绍导数的概念，讨论其应用领域，并探讨导数在实际问题中的重要性。
一、导数的概念导数是函数微分学中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的变化率。
在数学上，导数可以通过函数的微分来定义。
对于一个函数f(x)，在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h其中，lim表示当变量h无限接近于0时的极限值。
导数表示了函数在给定点处的瞬时变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。
二、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的应用非常广泛，尤其在运动学中发挥着重要作用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来计算物体的速度，进一步求二次导数可以得到加速度。
导数的概念和计算方法为运动学提供了数学工具，使我们能够更好地理解和分析物体的运动轨迹。
2. 经济学中的边际分析经济学中的许多问题都可以通过导数来进行边际分析。
例如，在微观经济学中，边际效用是指每额外消费一单位商品带来的额外满足程度。
通过对边际效用函数求导，我们可以获得边际效用的变化率，帮助经济学家进行决策分析。
3. 工程学中的优化问题导数在工程学中有着广泛的应用，特别是在优化问题中。
例如，在机械设计中，导数可以用于确定某种结构的最佳参数配置，以实现最佳性能。
通过优化函数的导数，工程师可以找到最优解，提高设计效率和性能。
三、导数在实际问题中的重要性导数在实际问题中具有重要的意义和作用。
它不仅可以提供函数在某一点的变化率，还可以揭示函数曲线的重要特性和行为。
导数的概念及其应用使得我们能够更深入地理解各种现象，并为解决实际问题提供了有效的数学工具。
导数在科学和工程领域的应用非常广泛。
例如在物理学中，我们可以通过对位置函数取导数，求得速度的变化率；通过求速度函数的导数，可以得到加速度的变化率。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
导数产生的实际意义是什么
导数产生的实际意义是什么1、导数的实质：导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
2、几何意义：函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f （x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
3、作用：导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。
导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。
扩展资料：一、导数的计算计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
二、导数与函数的性质1、单调性（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。
需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。
2、凹凸性可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。
如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。
如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。
曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
深入分析导数与函数的关系
深入分析导数与函数的关系导数与函数的关系是微积分中的重要概念，它揭示了函数在各点的变化率和函数的局部性质。
本文将深入分析导数与函数的关系，并探讨导数在函数研究中的应用。
一、导数的定义与性质导数是函数在某一点处的变化率，可以用极限的概念来定义。
设函数f(x)在点x0处可导，其导数记为f'(x0)，则导数的定义如下：f'(x0) = lim┬(h→0)〖(f(x0+h)-f(x0))/h〗导数具有以下基本性质：1. 导数存在的充分条件是函数在该点处连续；2. 导数存在的必要条件是函数在该点处可导；3. 若函数在一点处可导，则在该点处函数必定连续；4. 导数可以表示函数的斜率，斜率为正表示函数单调递增，斜率为负表示函数单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线斜率。
对于函数f(x)，若在点(x0, f(x0))处的导数存在，则切线的斜率即为f'(x0)。
通过导数，我们可以得到函数在各点的切线斜率，进而了解函数的变化趋势和局部性质。
三、导数与函数的关系1. 函数的增减性与导数的正负性对于函数f(x)，若在某一区间内导数恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若导数恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
若导数恒为零，则函数在该区间上为常数函数。
2. 函数的极值与导数的零点函数的极值点对应导数的零点。
对于函数f(x)，若在某一点x0处导数为零，且导数在该点的左侧由负变正，则该点为函数的极小值点；若导数在该点的左侧由正变负，则该点为函数的极大值点。
3. 函数的拐点与导数的变号函数的拐点对应导数的变号。
对于函数f(x)，若在某一点x0处导数的正负性发生改变，即由正变负或由负变正，则该点为函数的拐点。
四、导数在函数研究中的应用导数在函数研究中有广泛的应用，以下列举几个典型的应用场景：1. 切线与法线的求解：通过导数可以求解函数曲线上某一点处的切线和法线方程，进而研究曲线的特性和性质。
《应用高等数学》导数的意义
《应用高等数学》导数的意义导数是高等数学中一个重要的概念，它在数学、物理、工程和经济等领域中都有广泛的应用。
导数的意义包括数学意义、几何意义和物理意义等方面。
首先是导数的数学意义。
导数可以看作函数在特定点上的变化率。
具体地说，对于函数f(x)，如果x的微小变化量Δx引起f(x)的变化量Δy，那么Δy/Δx就是函数在x点上的变化率。
而导数则定义了这一变化率的极限。
换句话说，导数就是函数在其中一点的瞬时变化率，表示随着自变量的微小变化，函数值的变化量。
其次是导数的几何意义。
导数可以用来描述曲线上其中一点的切线斜率。
具体而言，如果函数f(x)在点x=a处有导数f'(a)，那么曲线在点(x,f(x))处的切线的斜率就是导数f'(a)。
切线斜率的大小和正负决定了曲线是上升还是下降。
通过导数，我们可以研究曲线的变化趋势、最值点、转折点等等几何特征。
导数的物理意义则体现在速度和加速度的描述中。
在物理中，物体的运动状态可以由其位置函数表示。
如果我们知道位置函数关于时间的导数，即速度函数，那么我们就能够了解物体在不同时刻的速度信息。
同样地，如果我们知道速度函数关于时间的导数，即加速度函数，那么我们就能够了解物体在不同时刻的加速度信息。
导数在经济学中也有重要的应用。
在经济学中，我们经常需要分析经济指标的变化率。
例如，对于其中一种商品的需求函数而言，需求量的变化率对于制定价格、预测市场变化等都具有重要的参考价值。
同样地，成本函数、利润函数等在经济学中也需要用到导数的概念。
导数可以帮助我们分析经济现象中的微小变化和灵敏性。
导数的意义不仅仅局限于以上几个方面，它还有很多其他的应用。
例如，导数在微分方程中被广泛应用，可以用来描述物理、生物等现象中的变化规律。
导数也在最优化问题中有着重要作用，用于求解最大值、最小值以及优化问题。
此外，导数作为微分的基础，还可以在数值求解、数学建模等领域中发挥重要作用。
总之，导数在数学和其他学科中都有着重要的意义。
函数的导数及其应用
函数的导数及其应用
函数的导数是指函数y=f(x)的斜率，表示函数在每个点上的变
化率。
导数表示了函数在某一点的瞬时变化率。
导数的符号和大小
可以告诉我们函数在该点的增长或减少程度，以及函数变化的速率。
导数在实际应用中有很多重要的作用，包括：
1. 切线和切平面的计算：导数可以用来计算曲线在某一点的切
线以及曲面在某一点的切平面。
2. 极值的计算：导数可以用来找出函数的最大值和最小值，以
及函数的拐点和凸凹性。
3. 增长率和加速度的计算：导数可以用来计算物体的速度和加
速度，而这些量在物理学中有重要的应用。
4. 构建数学模型：导数是数学建模中不可或缺的工具，可以用
来描述各种现象，从物理学到经济学、生态学等学科。
总之，导数是数学中非常重要的概念，可以应用于各个领域的
问题中，深受科学家和工程师的青睐。
浅谈导数在高中数学解题中的运用
浅谈导数在高中数学解题中的运用摘要：如今高中导数已经列入课本当中，导数是高中数学中的重要内容，是基础性的概念之一，是为高中阶段研究函数相关性质所提出的有较大辅助作用的一种运算方式。
以导数在函数、切线及不等式中的应用为实例，并帮助学生解决复杂的恒等式、不等式、根的存在性、应用题和几何数学难题等，具体探究了导数在高中数学解题中的运用。
关键词：导数；高中数学；解题；运用近年来，导数在高考中的地位越来越突出，各地的模拟考试都把导数作为考点，这些试题也从不同的角度考查了学生对导数的认识和学生对导数综合运用的能力，在导数和方程组、不等式、数列、函数等方面进行交汇命题，从而考查学生综合解决问题的能力。
因此，导数成为近年来考查的热点，在复习时一定要加强对导数的运用和运用导数解决数学问题的意识。
一、导数在函数中的运用导数在函数中运用是非常普遍的，利用导数可以解决函数的极大值与极小值，可以画出一个函数的图象的草图，可以知道一个函数的单调区间.而这些问题往往式教学的重点，也是学生必须掌握的最基础的知识，也是历年高考的重点，因此学生抓住这部分的重点还是非常有必要的.这就要求学生平时要多做多练用导数解决的这类题目，在多做多练中提高做题的效率，掌握做题的方法与技巧，争取遇到这类题可以手到擒来.例1 求函数f(x)=6x2+8x+4的单调区间和最小值.这道题很明显是求函数的极值和单调区间问题.可以利用导数来解决，过程如下.解∵f′(x)=12x+8,∴令f ′(x)=12x+8=0,则x=-2/3.当x -2/3时，f ′(x) ;0,则f(x)在(-2/3,+∞)上单调递增；当x -2/3时，f ′(x) 0,则f(x)在(-∞,-2/3)上单调递减；当x=-2/3时，f(x)取得最小值f(-2/3)=3/4.综上所述，这道题就解出来了，可以看出，利用导数求解这类问题简单而又方便.如果利用数形结合的方法求解这类问题，这类问题是可以得到解决，但是过程繁琐，不能很好地确定它的单调性时不能准确地画出它的草图，因此不能较容易简单地解决这类问题.但是利用导数后，按照导数解决函数问题的一般步骤，可以让学生对这类题目有了明确的解题步骤，因而这类题按照导数求解问题的一般步骤：1.求出函数的导数；2.令求出的导数等于零；3.由导数等于零确定函数的可疑极值点；4.根据极值点将函数的定义域进行划分；5.确定函数的导数在定义域内的正负，从而判断函数的单调性；6.根据函数的单调性画出函数的草图，根据草图得出函数的准确极值.这类问题就被轻而易举地解决了，看似步骤挺多，但当你求出函数的导数和定义域时，所有问题就会迎刃而解了.二、导数在不等式中的运用不等式问题也是一类常考的题型，包括不等式的证明与不等式的求解，处理这些问题时往往需要利用函数的性质，因此，很多时候可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题.这类问题的解决，需要积累一定的经验，因为有时候更多的是需要构造出一个函数，从而才能引入导数这个方法，借助函数的一些性质，求出极值，从而使不等式问题得到解决.例2 已知函数f(x)= x2+lnx，求证：在区间(1,+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)= x3的图象的下方.分析函数f(x)的图象在函数g(x)的下方⟺不等式f(x) g(x)的问题，即x2+lnx x3成立，只需证明在区间(1,+∞)上，恒有 x2+lnx x3成立.设F(x)=g(x)-f(x),x∈(1,+∞),考虑到F(1)= 0,要证明不等式转变为：当x 1时，F(x) F(1),这只要证明：g(x)在区间(1,+∞)是增函数即可.证明设F(x)=g(x)-f(x)，即F(x)= x3- x2-lnx因为F′(x)=2x2-x- =，x∈(1,+∞)，所以F′(x)=2x2-x- = 0恒成立,所以函数F(x)在(1,+∞)上单调递增，即F(x) F(1)= 0,从而有f(x)g(x).所以函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的下方这道题其实是不等式的证明题，巧妙地构造了函数F(x)，随后发现成了函数的基本问题，从而利用导数对函数问题进行了解答，从而使很棘手的不等式证明题变得简单易懂.显而易见，在解决不等式的问题时，函数的构造对解题来说是最重要的一步，而这一步对大多数学生而言，也是存在很大困难的一步.想到这步的最好的办法还是要多做不等式的题，总结一定的构造函数的经验.三、利用导数解决一些切线问题导数的几何意义是在该点处切线的斜率，这个问题有时候也是学生最容易忽略的问题.利用导数的几何意义，可以方便快捷地求解一些函数曲线上点的切线问题.例3 y=-lnx+3,求其在点A(e,2)处和过点B(e,2- )的切线方程.分析将A和B点分别代入y=-lnx+3,发现点A在曲线上，点B不在曲线上；求解这类问题时，我们知道在曲线上的点的斜率就是曲线在该点处的导数，不在曲线上的点，需要我们设出切点，进而进行求解.解y′=-,x∈(0,+∞)，对点A在曲线上，k=y′(e)=- .所以y-2=- (x-e),即ey+x=0.对于B点，设切点为(x0,y0)，则k=y′(x0)=- .y-y0=- (x-x0),将B点坐标代入上式中得，2- -y0=- (e-x0).又因为y0=-lnx0+3，解得x0=e2.从而e2y+x-2e=0.这道题的求解关键是要将A和B两点坐标代入，确定它们是否是曲线上的点，然后分别对是否在曲线上采取不同的方法进行求解.好多学生会不管是否在曲线上，直接代入导数求解切点的切线，对是否是切点没有进行判断.如果提前进行判断，对切点和非切点的点分别引入该曲线的导数，利用其具有的几何意义对其进行求解，是目前高中数学中最高效、最便捷、最容易理解的唯一方法.这类题经常会考两种类型，题目多为选择和填空题，难度不大，属于送分题，借助于导数的知识进行求解会达到事半功倍的效果.导数在高中数学解题中的引用非常广泛，在高中数学中也是相当难的一部分内容，但是它相对而言，比较容易理解，难点在于学生们想不到利用导数去解决有些问题.所以更多的还是需要培养学生利用导数解决数学问题的能力，而不至于走很多弯路，在考试的过程中浪费很多时间.这就需要学生平时多积累题型，多跟着教师的思路走，自己在做题时，多培养自己在这方面的思维能力.参考文献：[1]王小燕. 新课标下导数应用的进一步探索学习[J]. 中国校外教育,2014(36).[2]焦存德. 微分中值定理与导数在中学数学中的应用[J]. 延安职业技术学院学报,2013(06).[3]杨洪涛,张艳婷. 导数在高中数学函数中的应用[J]. 旅游纵览(下半月),2013(07).[4]邓晗阳. 导数在高中数学解题中的应用探讨[J]. 科学大众(科学教育),2016(12):27.。
导数的意义及应用
导数的意义及应用导数是微积分的重要概念之一，真实世界中有许多应用与导数相关。
导数表示一个函数在其中一点上的瞬时变化率。
可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数能够提供有关函数如何随着自变量的变化而变化的信息。
导数的应用：1.确定函数的递增和递减区间函数在其中一点的导数为正表示函数在该点处递增，即函数的值随自变量的增加而增大。
函数在其中一点的导数为负表示函数在该点处递减，即函数的值随自变量的增加而减小。
通过导数的正负性推断出函数的递增和递减区间。
2.求取最大值和最小值在函数图像上，极大值和极小值对应于导数为零或不存在的点，即导数为零的点可能是函数的极值点。
可以通过导数值的变化确定极值的位置，并通过二次导数的符号推断出最大值和最小值。
3.切线和法线导数可以用来确定函数曲线在其中一点的切线方程。
切线是曲线在该点上的最佳线性逼近。
导数还可以用来确定切线的斜率，进一步确定切线的方程。
法线是切线的垂直线，法线的斜率是切线斜率的相反数。
4.求解速度和加速度在物理学和工程学中，导数用于求解物体的速度和加速度。
速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
通过求解导数，可以确定物体的速度和加速度的变化率。
5.求解曲线的凹凸性曲线的凹凸性可以通过函数的导数的变化来确定。
如果函数的二阶导数为正，表示函数的曲线是凹向上的；如果函数的二阶导数为负，表示函数的曲线是凹向下的。
通过确定曲线的凹凸性，可以优化路径规划和表面设计等。
6.求解函数的方程导数在求解函数的方程时也发挥重要作用。
利用导数可以找到函数的零点，即函数的图像与x轴相交的点。
通过求解导数，可以确定方程的解的存在性和位置。
总之，导数在实际生活和科学研究中具有广泛的应用。
从数学的角度来看，导数提供了函数变化的有用信息。
从物理学、工程学和其他科学领域来看，导数帮助我们了解和解释自然现象以及进行预测和优化。