八年级上册第一章勾股定理知识点考点复习【贱贱精编版】

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八年级《勾股定理》知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EF G H S S S∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b=+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，cbaHG F EDCB Abacbac cabcab a bcc baE D CBAb，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b+与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222a b c+<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c+>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c及222a b c+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222a c b+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c+=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：丢番图发现的：式子nmnmmnnm>+-(,2,2222的正整数）毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++nnnnn（1>n的整数）柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠，1.5CD =，2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m 。

勾股定理知识点总结

第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。

初二数学勾股定理知识点(9篇)

初二数学勾股定理知识点(9篇)初二数学勾股定理知识点1逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的`三角形是直角三角形;(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边;(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

初二数学勾股定理知识点2一、勾股定理：1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：(1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;(2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的`一般步骤：(1)确定最大边;(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

八年级数学上册知识点：勾股定理

八年级数学上册知识点：勾股定理八年级数学上册知识点：勾股定理一、勾股定理：1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

２.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。

五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。

常见考法（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。

八年级数学上册勾股定理知识点笔记

八年级数学上册勾股定理知识点笔记基础知识点1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

即：a?+b?＝c?要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。

2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a?+b?＝c?，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c?＝a?+b?，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c?>a?+b?，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c?<a?+b?，则△ABC为锐角三角形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

勾股定理全章知识点总结大全

勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证6：勾股数cba HG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

(完整版)北师大八年级上册第一章勾股定理全章复习与巩固(提高)

《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF′＝∠BCF ，∴ ∠ECF′＝45°．在△ECF 和△ECF′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF′(SAS)，∴ EF ＝EF′．在Rt △AEF′中，222AE F A F E ''+=，∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：222BD AB BC =+.【答案】解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC ＝AD ，故点A 转至点C ．点B 转至点E ，连结BE ．∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB∵ 四边形ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30°∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE +=∴ 222BC AB BD += 2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+ PB 2= BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB 、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合即△APC ≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】连接AC ，在直角三角形ABC 中，由AB 及BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD 及CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD 为直角三角形，根据四边形ABCD 的面积=直角三角形ABC 的面积+直角三角形ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【答案与解析】解：连接AC ，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC 为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC 2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，∴CD 2+AC 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，则S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =AB •BC +AC •CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD 的面积是36．【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵ ∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴ △GAB ≌△HCG∴ ∠GAB=∠H ，AB=CH又∵ AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴ △ABG ≌△ADE∴ ∠GAB=∠DAE在Rt ADF △中，设AD a =，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a a AF a =+=+==∴ 又544a HF CH CF a a =+=+= ∴ AF=HF∴ ∠FAH=∠H∴ ∠FAH=∠DAE∴ ∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD ，一般方法是在∠BAF 中取一个角使之等于∠EAD ，再证明另一个角也等于∠EAD ，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角. 举一反三：【变式】（2014春•防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵点G、A关于直线CD对称，∴AI＝GI，AE＝GE．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ，即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ．∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt △ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）．由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE ＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2级．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．【巩固练习】一．选择题1．在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形2．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．（2015春•西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A ．三内角之比为1：2：3B ．三边长的平方之比为1：2：3C ．三边长之比为3：4：5D ．三内角之比为3：4：54．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A ．2900mB ． 1200mC ． 1300mD ．1700m5．直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（）A ．ab =h 2B ．a 2+b 2=h 2C ．111a b h +=D ．222111a b h+= 6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC)2等于( )A ．25B ．325C ．2197D ．4057．已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（） A ．()()2222221,4,1a m b m c m =-==+B ．()()222221,4,1a m b m c m =-==+C ．()()222221,2,1a m b m c m =-==+D ．()()2222221,2,1a m b m c m =-==+8．（2016•连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6．其中S 1=16，S 2=45，S 5=11，S 6=14，则S 3+S 4=（）A ．86B ．64C ．54D ．48二．填空题9．如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD 上的任意一点，则AP+EP的最小值是cm．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14 BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．14．（2014春•监利县期末）小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）．15．（2016春•浠水县期末）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于．16．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________．三．解答题17．（2016春•召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．3，4，532+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c218．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0．25cm/s 的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．19．（2015•永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．cm，CD＝15cm，将这四根木条用小钉20．如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）．现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC 、AD 边的长．【答案与解析】一．选择题1．【答案】D ；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=， 222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2．【答案】C ；【解析】连接AC ，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°．3．【答案】D ；【解析】解：A 、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；B 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D 、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．故选D ．4．【答案】C ；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5．【答案】D ；【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：ab c h =．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2= 222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=．6．【答案】B ；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325．7．【答案】B ；【解析】()()22141m m m -+=+．8．【答案】C ；【解析】解：如图1，S 1=AC 2，S 2=AB 2，S 3=BC 2， ∵BC 2=AB 2﹣AC 2，∴S 2﹣S 1=S 3，如图2，S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45﹣16+11+14=54．故选C ．二．填空题9．【答案】6；【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为直角三角形．10．【答案】3；【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程．11．【答案】14或4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC ＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC ＝9－5＝4．12．【答案】5【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值5．13．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP=14BC ，∴AC=4cm ，PC=34BC=3cm ，根据两点之间线段最短，AP=5．14．【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．15．【答案】96；【解析】连接AC ，在Rt △ACD 中，AD=8，CD=6，∴AC 2=100，在△ABC 中，∵AC 2+BC 2=102+242=262=AB 2，∴△ABC 为直角三角形； ∴图形面积为：S △ABC ﹣S △ACD =×10×24﹣×6×8=96．16．【答案】90°；【解析】延长AD 到M ，使DM ＝AD ，易得△ABD ≌△MCD ．∴ CM ＝AB ＝5 AM ＝2AD ＝12在△ACM 中22251213+= 即222CM AM AC +=∴∠AMC ＝∠BAD=90°三．解答题17．【解析】解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a 2+b 2=c 2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．18．【解析】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，∵BC=8cm，∴BD=CD=BC=4cm，∴AD=3，分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2．25，∴BP=4﹣2．25=1．75=0．25t，∴t=7秒，当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2．25，∴BP=4+2．25=6．25=0．25t，∴t=25秒，∴点P运动的时间为7秒或25秒．19．【解析】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m，在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD===30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷300=0．2（分钟）=12（秒）．答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．20．【解析】解：（1）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变，BC ＝x ， ∴ 在图2中，AC ＝BC －AB ＝x －6，AD ＝AC ＋CD ＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变， ∴ 在图3中，BC ＝x ，AC ＝AB ＋BC ＝6＋x ，AD ＝x ＋9．在△ACD 中，∠C ＝90°由勾股定理得222AC CD AD +=．∴ 222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++．化简，得6x ＝180．解得 x ＝30．即 BC ＝30．∴ AD ＝39．。

北师大版八年级数学上第一章勾股定理专题复习(共30张PPT)

B
A
A
3
C B 1 C
B
3
2
1
A
2
3
2
A 1
3
C
变式二：将正方体改为一般的长方体，长为4cm，宽2cm，高3cm，试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。
H E F
、●
G
M
D A B
C
知识点4：判断一个三角形是否为直角三角形
1. 直接给出三边长度; 2.间接给出三边的长度或比例关系（1）若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为1cm,则这个三角形是___________。（2）将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ____________．（3）在△ABC中，，那么 a :b :c 1 : 1 : 2 △ABC的确切形状是_____________。
《勾股定理》专题复习
一、核心内容归纳：
• 基本知识：勾股定理及逆定理
一、核心内容归纳：
• 基本技能：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
一、核心内容归纳：
• 基本思想与方法：数形结合，分类讨论，方程思想，转化化归，由特殊到一般，数学建模。
寻找规律性问题二教参157页13题:细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：（1）用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12 + S22 + S32 + … + S102的值。
A4 A5 S4 S3 A6 S5 ... O
A3 S2 S1 A2 A1
寻找规律性问题一 • 1如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…（1）记正方形ABCD的边长，依上述方法所作的正方形的边长依次为，的值。 • （2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式。

初二数学知识点梳理：勾股定理

初二数学知识点梳理：勾股定理知识点总结一、勾股定理：.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

二、勾股定理的逆定理.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

常见考法（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。

八年级数学上册重点知识点归纳

八年级数学上册重点知识点归纳八年级的学生在进行数学复习的时候，有一些重点知识点一定要做好归纳，弄清弄透。

小编为大家力荐了八年级数学上册知识点总结，给大家作为参考，欢迎阅读!八年级数学上册基础知识点勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c22、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数满足的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数组有：(3，4，5);(5，12，13);(8，15，17);(7，24，25);(20，21，29);(9，40，41);……(这些勾股数组的倍数仍是勾股数)二元一次方程组1、认识二元一次方程组①含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程②共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组③二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解2、求解二元一次方程组①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法②通过两式子加减，消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法3、应用二元一次方程组①鸡兔同笼4、应用二元一次方程组①增减收支5、应用二元一次方程组①里程碑上的数6、二元一次方程组与一次函数①一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线②一般地，从图形的角度看，确定两条直线相交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解，解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标7、用二元一次方程组确定一次函数表达式①先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法。

8、三元一次方程组①在一个方程组中，各个式子都含有三个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程②像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组③三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.八年级数学上册必背知识点数据的分析1、平均数①一般地，对于n个数x1x2...xn，我们把(x1+x2+···+xn)叫做这n个数的算数平均数，简称平均数记为。

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第一页共六页 c a b a

c b b c b a a

勾股定理常见题型（一）勾股定理的证明【例】如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？

【练习】 1．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c2＝a2＋b2.

2．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.

（二）翻折中的勾股定理【例】．如图，折叠矩形的一边，使点D落在BC边的点F处，其中cm10,cm8BCAB，你知道FC多长吗？

【练习】 1、如图长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将该矩形折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）（A）3.74 （B）3.75 （C）3.76 （D）3.77

D＇ B C D A

C＇ B＇ a b c 第二页共六页 Dˊ

A B C D

Aˊ Bˊ Cˊ

2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

3、如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD边与BD重合,得到折痕DG,若AB=8. BC=6,求AG的长.

AGB

（三）最值问题 1、点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表

面由A处向B处爬行，所走最短路程是

2．已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?

3、如图：有一圆柱，它的高等于cm8，底面直径等于cm4（3）在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约

4．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km

A E

C D

● ●

B (第1题图)

A B

小河东北牧童

小屋（3题图）

B A 第三页共六页

A C B

处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

（四）方位角与勾股定理【例】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？

【练习】 1．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？

（五）勾股定理的逆用【例】如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

【练习】 1、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，

CE=41BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.

2、如图所示，在四边形ABCD中，已知：1:3:2:2:::DACDBCAB，且090B，求DAB的度数。

O A B F E

C B D 第四页共六页

3、如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．提示：△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD

（六）逆用勾股定理作无理线段【例】右图是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A、B、C、D、E、F得线段AB、BC、CD、DE、EF、FA，请说出这些线段中长度是有理数的是哪些？长度是

无理数的是哪些？并在数轴上作出表示1、2、3、4、5的点.

【练习】 1．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出1352EFCDAB、、这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.

《勾股定理》考点专项训练考点一、已知两边求第三边 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为( ).

A．4cm B．4cm或cm34 C．cm34 D．不存在

4．在数轴上作出表示10的点．

5．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？

A C P B

_ D _ F

_ A

C _ B

E 第五页共六页

考点二、利用列方程求线段的长 1．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好． 2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（）．

A．3 B．4 C．5 D．5 3．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

考点三、综合其它考点的应用 1．如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm

2．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求 ①AD的长； ②ΔABC的面积．

3．在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC的面积．

4．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．

5．已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高． 6．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．

FED

CBA

AB 第六页共六页 7．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB间的尺寸．

考点四、判别一个三角形是否是直角三角形 1．下列说法错误的是( )． A．△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形. B．△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形. C．△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形. D．△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.

2．在△ABC中，2:1:1::cba，那么△ABC是（）． A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形考点五、开放型试题 1．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．

l321S

2．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3

表示，则不难证明S1=S2+S3 .

(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明) (2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明； (3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向内作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3

表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.