北京市人民大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷【pdf版含解析】
北京市首师大附属育新学校2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题 Word版缺答案
首师大附属育新学校2015-2016学年期中考试试卷高一年级 数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集{1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4},{3,4,5,6}U A B ===，则U BC A =A ．{}5,6B ．{}3,45,6C ．{}1,2,5,6D ．φ2、下列函数中，在区间(0,)+∞上是增函数的是A ．()23x f x x =+B ．2(1)y x =-C ．()2x g x -=D ．0.5log (1)y x =+ 3、设10.20.7322(), 1.3,()33a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>4、已知集合{|22,},{|}A x x x R B x x a =-≤≤∈=≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围A ．2a <-B ．2a >C ．2a ≤-D ．2a ≥5、已知函数()21,02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-恰有一个零点，则实数m 的取值范围是A ．[]0,1B ．(,0)(1,)-∞+∞ C ．(,0][1,)-∞+∞ D ．(,0)[1,)-∞+∞ 6、函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是7、已知实数,a b 满足等式20142015a b=，下列五个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =，其中不可能成立的关系式有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有1[()]2f f x x -=，则1()6f 的值是A ．5B ．6C ．7D ．8第Ⅱ卷二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，把答案填在答题卷的横线上。
北京大学附属中学河南分校2015-2016学年高一上学期抽考数学试卷 Word版含答案
宇华教育集团2015-2016学年上学期抽考试卷 高一数学 考试时间l20分钟试卷满分l50分 一选择题：(本大题共l 2小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1．设全集U=R，集合A={1 }，B={}，则集合=( )． A．{x0<x<l} B．{x0x<l} C．{x0 且a≠1)，则函数的图象大致是 ( ) 12．当<x≤时，4 xa≠1)，则a的取值范围是( A．(0，) B．(，l)C．） D．，2） 二填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在横线上) 13．已知集合A∈{1，2，3，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A的个数 14．下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h=cm． 15．已知三棱锥P-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为： 16．下列命题中： ①偶函数的图象一定与y轴相交； ②奇函数的图象一定过原点； ③若奇函数，则实数a=1． ④图象过原点的奇函数必是单调函数； ⑤函数y=2x—x2的零点个数为2； ⑥互为反函数的图象关于直线y=x对称。
上述命题中所有正确的命题序号是 三解答题：(本大题共6小题，共70分) 17．(本小题10分)集合={x|-2≤x≤5}，B={x| m+1≤x≤2m-1}。
(1)若B=B，求实数m的取值范围； (2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数。
18．(本小题12分)已知函数，x∈[2，4 ，求的最大值、最小值及此时的值。
19．(本小题12分)四面体中，AC=BD，E、F分别是D、BC的中点，EF=AC，BDC=90．求证：BD平面ACD． 20(本小题12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资万元时两类产品的收益分别为0125万元和05万元， (1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系； (2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元? 21．(本小题12分)如图所示，在长方体ABCD-AC1D1中，AB=AD=1，AA=2，M是棱CC的中点． (1)求异面直线AM和CD1所成的角的正切值； (2)证明：平面BM平面AB1M． 22(1 2分)已知是定义在[1，1]上的奇函数，f(1)=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有>0成立． (1)判断在[1，1]上的单调性，并证明； (2)解不等式： (3)若当∈[-1，1]时，≤2-2am+3对所有的x∈[1，1]恒成立，求实数的取值范围．。
北京市中国人民大学附属中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷无答案
北京市中国人民大学附属中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷无答案2015-2016中国人民大学附属中学高一上学期第一次月考数 学 第I 卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.【1】集合{03},{12}A x R x B x R x =∈<<=∈-≤≤，则A B =U （ ） A.{13}x x -≤≤ B.{02}x x ≤≤C.{13}x x -≤<D.{02}x x <≤【2】方程组71x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A.(4,3) B.{4,3}- C.{(4,3)} D.{(4,3)}-【3】下列各组函数表示同一函数的是（ ）A.21()1x f x x -=-与()1g x x =+B.()f x x =与2()()g x x =C.2()f x x =()g x x =D.2()21f x xx =-+与2()(1)g t t =-【4】设:f A B→是A到B的一个映射，其中{(,),}A B x y x y R ==∈，:(,)(2,)f x y x x y →-，则B 中元素(2,1)-的原象是（ ） A.(1,2)B.(1,2)-C.(4,3)D.(4,3)-【5】函数412()x xf x ++-= ）A.1[4,1)(1,]2---U B.[4,1)(1,1)---U C.1[,1)(1,)2+∞U D.[4,1)(1,)-+∞U 【6】已知函数2(21)445f x x x -=-+，则函数()f x 的解析式为（ ）A.2()2f x x=- B.2()6f x x=- C.2()225f x xx =+- D .2()5f x x=-【7】已知集合2{,},{2,1,1,2}A y y x x R B ==∈=--，则下面结论中正确的是（ ） A.(0,)A B =+∞U B.()(,0]RC A B =-∞UC.(){2,1}RC A B =--ID.()[0,)RA CB =+∞I【8】设函数()y f x =的定义域为R ，对于给定的正数K，定义函数(),()(),()Kf x f x Kfx K f x K≤⎧=⎨>⎩，取函数2()2f x xx=-+，若对于任意的(,)x ∈-∞+∞，恒有()()Kf x f x =，则A.K 的最大值为2B.K 的最小值为2C.K的最大值为1 D.K 的最小值为1第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.【9】全集{1,2,3,4,5}U =，若{1,2}A =，{1,4}B =，则()______________U C A B =U【10】函数2()1f x x =-，则函数1()(2)f f 的值为______________ 【11】函数2()23,(0,3)f x xx x =--∈的值域为______________【12】已知{24},{}A x x B x x a =-≤<=>，若A B φ=I ，且B A Ù，则实数a 的取值集合为______________【13】已知1,(0)()1,(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集为______________【14】如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额y（即运营所得票价收入与付出成本的差）与乘客量x之间关系的图象，由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）、（3）所示（1）（2）（3）给出下列说法：○1图（2）的建议是：提高成本，并提高票价○2图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；○3图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变○4图（3）的建议是：提高票价，并降低成本其中所有正确的说法为_______________三、解答题（本大题共2小题，共30分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15】（本小题满分15分）已知函数211,[1,)21(),(0,1)1,(,0]x x f x x xx x ⎧-∈+∞⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪--∈-∞⎪⎩（1）求3[()]2f f 的值 （2）请作出此函数的图像（3）若1()2f x =-，请求出此时自变量x 的值【16】（本小题满分15分）已知222=-+==-+-=，若A B A=A x x xB x x ax a a{320},{20}U，求实数a的取值集合三、附加题（本大题20分）【17】已知集合12{,,,}(2)kA a a a k =≥L ，其中(1,2,,)ia Z i k ∈=L ，由A 中的元素构成两个相应的集合： {(,),,},{(,),,}S a b a A b A a b A T a b a A b A a b A =∈∈+∈=∈∈-∈其中(,)a b 为有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ，若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A具有性质P（1）检验集合{0,1,2,3}与{1,2,3}-是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T （2）对任何具有性质P 的集合A ,证明：(1)2k k n -≤ （3）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论。
2015-2016人教A版高一数学上学期(期中)考卷
人教A 版高一数学上学期期中试题考试时间：100分钟 满分：120分一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项）1.已知M ＝{x|y ＝x 2－2}，N ＝{y|y ＝x 2－2}，则M∩N 等于（ ）A. NB. MC. RD. Φ2.图中阴影部分所表示的集合是（ ）A .B ∩［UC （A ∪C ）］B. （A ∪B ） ∪（B ∪C ）C .（A ∪C ）∩（U C B ）D .［U C （A ∩C ）］∪B3. 在给定映射B A f →:即),2(),(:xy y x y x f +→(,)x y R ∈的条件下，与B 中 元素11(,)66-对应的A 中元素是（ ） A ．11(,)636- B ． 11(,)32-或12(,)43- C ．11(,)366- D ． 11(,)23-或21(,)34- 4.下列各项表示相等函数的是（ ） A.1)(11)(2+=--=x x g x x x f 与 B.1)(1)(2-=-=x x g x x f 与 C.xx x g t t t f -+=-+=11)(11)(与 D.x x x g x f 1)(1)(⋅==与 5. 下列函数中,在定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =- C.1y x= D ．||y x x = 6. 函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是( ) A ．(),1-∞- B ．()1,+∞ C ．()()1,11,-+∞ D ．(),-∞+∞7.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23x f x =-,那么(2)f -的值是( )A ．1-B ．114 C ．1 D ．114- 8.在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A.1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭9.设0.3777,0.3,log 0.3a b c ===则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<10.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）A ．118元 B. 105元 C. 106元 D. 108元11.设函数()f x 满足对任意的,,m n Z +∈都有()()(),f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2011)(1)(2)(2010)f f f f f f ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．2011 B ．2010 C ．4020 D ．402212.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2，则(16)f = .14.函数232(01)y x x x =-+≤≤的值域为 .15. 函数y =2+a log (x-1) ()10≠>a a 的图象必过定点P , P 点的坐标为_________.16.关于函数y= log 2(x 2-2x+3)有以下4个结论:其中正确的有 . ① 定义域为(-)3,-∞),1(+∞⋃ ; ② 递增区间为[)+∞,1;③ 最小值为1; ④ 图象恒在x 轴的上方.三.解答题（本大题共5小题，共计52分．解答应写出必要的文字说明，证明步骤，推理过程）17. （本题满分10分） f (x )已知集合}121{+≤≤+=a x a x P ，集合}52{≤≤-=x x Q（1）若3a =，求集合()R C P Q ⋂;（2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围18．（本题满分10分）求 值：(1) 232021)23()833()2008()412(--+--- (2) 50lg 2lg )5(lg 2⨯+19.（本题满分10分） 2()1x f x x =+是定义在()1,1-上的函数 （1）判断函数)(x f 的奇偶性；(2) 利用函数单调性的定义证明：)(x f 是其定义域上的增函数.20.（本题满分10分）经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t （天）的函数，且销售量近似地满足f （t ）＝－2t ＋200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g （t ）＝12t ＋30（1≤t≤30，t∈N），后20天价格为g （t ）＝45（31≤t≤50，t∈N）．（1）写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系；（2）求日销售额S 的最大值．21.（本题满分12分）（普通班学生做（．．．．．．．1．）（．．2．），联办班学生做（．．．．．．．．．1．）（．．2．）（．．3．）．） 已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<（1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为-4，求a 的值．高一数学答案18.解：（1）232021)23()833()2008()412(--+--- =23221)32()827(1)49(+--- =94)278(12332+--=949421+- =21 …………5分 （2）50lg 2lg )5(lg 2⨯+=)15(lg 2lg )5(lg 2+⨯+=2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⨯+=2lg 5lg )2lg 5(lg +⨯+=12lg 5lg 1=+⨯ ………10分19. 解：（1）因为定义域为(－1,1) f(-x)=-=+-21xx f(x)∴2()1x f x x =+是奇函数 ………3分20.解：（1）根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2t ＋200)(12t ＋30)，1≤t ≤30，t ∈N ，45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N＝ ⎩⎨⎧－t 2＋40t ＋6000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9000，31≤t ≤50，t ∈N ． ……5分（2）①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6400，∴当t ＝20时，S 的最大值为6400②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9000为减函数，∴当t ＝31时，S 的最大值为6210． ………9分∵6210＜6400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6400． ………10分21.（ 普通班）解：（1）要使函数有意义，则有1030x x -⎧⎨+⎩>> 解之得31x -<<， ………4分 所以函数的定义域为（-3，1）． ………5分（2）函数可化为2()log (1)(3)log (23)a a f x x x x x =-+=--+由()0f x =，得2231x x --+=， ………8分 即2220x x +-=，1x =-， ………10分(3,1)-∵-1，()f x ∴的零点是1- ………12分21.（联办班）解：（1）要使函数有意义：则有1030x x -⎧⎨+⎩>>，解之得： 31x -<<， 所以函数的定义域为：（-3，1）． ………3分（2）函数可化为2()log (1)(3)log (23)a a f x x x x x =-+=--+ 由()0f x =，得2231x x --+=，即2220x x +-=，1x =-，(3,1)-∵-1，()f x ∴的零点是1-． ………7分（3）2()log (1)(3)log (23)a a f x x x x x =-+=--+2log (1)4a x ⎡⎤=-++⎣⎦ 31x -∵<< 201)44x ++≤∴<-(．01a ∵<<，2log (1)4log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦∴，∴min ()log 4a f x =．由log 44a =-，得44a -=，1442a -==∴． ………12分。
北京市中国人民大学附属中学(朝阳分校)2016-2017学年高一上学期中考试数学试题(原卷版)
（ ）当 时，求 的解析式.
（ ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18.已知函数 是二次函数，且满足 ， .
（ ）求 的解析式.
（ ）若 ，试将 的最大值表示成关于 的函数 .
19.某种商品在 天每件的销售价格 （元）与时间 （天）的函数关系用如图表示，该商品在 天内日销售量 （件）与时间 （天）之间的关系如下表：
11.计算： __________
12.函数 的定义域是__________．
13.在平面直角坐标系中，若直线 与函数 的图像只有一个交点，则实数 的取值范围是__________.
14.对于集合 ，如果 ，则称集合具有性质 ，给出下列结论：
①集合 具有性质 ；
②若 ， ，且 具有性质 ，则 ；
③若 ， ，则 不可能具有性质的值.
（ ）若 为三阶伸缩函数，且当 时， ，求证：函数 在 上无零点.
（ ）若函数 为 阶伸缩函数，且当 时， 的取值范围是 ，求 在 上的取值范围.
天
件
（ ）根据提供的图象（如图），写出该商品每件的销售价格 与时间 的函数关系式.
（ ）根据表 提供 数据，写出日销售量 与时间 的一次函数关系式.
（ ）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 天中的第几天.（日销售金额 每件的销售价格 日销售量）
20.定义在 上的函数 ，如果对任意的 ，都有 成立，则称 为 阶伸缩函数.
C.增函数且最大值是 D.减函数且最小值是
8.已知函数 若对任意 ，总有 或 成立，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分共60分）
二、填空题（本题包括6小题，每小题4分，共计24分.）
2015-2016人教A版高一数学上学期期中——高分卷
人教A 版高一数学上学期期中试题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分，考试时间：120分钟；注意事项：1．答题第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号、考试科目等信息填涂在答题卡的相应位置。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再途选其它答案，不能答在试题卷上3．第II 卷要用钢笔或圆珠笔写在给定答题纸的相应位置，答卷前请将答题纸密封线内的学校、班级、姓名、考试号填写清楚。
4．考试结束后，监考人员将答题卡和答题纸按顺序一并收回。
第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
l.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合M={0，3，5}，N={l ，4，5}，则集合()U M C N =( )A.{5}B. {}0,3C. {}0,2,3,5D. {}0,1,3,4,52．函数y =的定义域是( )A.[0,+∞)B.[0,2]C.(-∞,2]D.(0,2)3．已知集合{}{}(,)|2,(,)|4M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合为( )A.x =3，y=lB. {}(,)|31x y x y ==-或C ．（-3，-1） D. {}(3,1)-4．下列函数为奇函数的是( )A.22x x y -=-B. 21y x=C. y =．31y x =+ 5．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f ==( ) A ．14 B.4 C. -4 D ．14- 6．若二次函数221y x ax =-+在区间[2，+∞）上的单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a ≤O C.a ≥2 D ．a ≤27．已知幂函数()m f x x =的图象经过点(4，2)，则(16)f =( )A ．2B ．4 C．．88．设232555322(),(),()555a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.b>c>a B ．a>b>c C.c>a>b D ．a>c>b9．己知a>l ，b<-l ，则函数log ()a y x b =-的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第四象限D ．第三象限10．函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是( )11.在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在区间为( )A ．1(,0)4-B ．11(,)42--C ．13(,)24-- D. 1(0,)4 12．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)f -，则()0x f x⋅<的解集是( ) A ．{}|30<3x x x <-<或 B ．{}|303x x x -<<>或C ．{}|33x x x <->或D ．{}|300<3x x x -<<<或 第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每题6分，共16分，将答案直接填写在答题纸给定的横线上。
北京市八一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
北京市八一学校2015-2016学年度第一学期期中试卷高一数学一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}220M x x x =-<，集合{}1N x x =>，则集合()U MC N =（A ）{}01x x << (B){}01x x <≤ （C ）{}02x x << (D){}1x x ≤2.下列函数中，与函数()0y x x =≥有相同图象的函数是(A) 2y =（B ）y = (C)y = (D)2x y x=3. 已知 1.23a =，03b =,0.913c -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则a ，b ,c 的大小关系是(A)c a b << (B)c b a << (C)b c a << (D)a c b << 4.下列函数是奇函数的是(A)()f x = （B ）()11f x x =+ (C)()()31f x x =- （D ）()2x f x = 5.直线y ax b =+的图象如右图所示，则函数()()xh x ab =在R 上(A)为增函数 (B)为减函数 （C ）为常数函数 （D ）单调性不确定6.函数()12xf x =-的图象大致是7.定义在实数集R 上的偶函数()y f x =满足()()11f x f x +=-,且在区间[]1,0-上单调递增，设()1a f =，b f=，()2c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）(A)a b c >> (B) c b a >> (C)b c a >> （D ）a c b >> 8. 要得到函数()12x f x -=的图象，可以将（A ）函数2xy =的图象向左平移1个单位长度 （B ）函数2xy =的图象向右平移1个单位长度 （C ）函数2x y -=的图象向左平移1个单位长度 (D) 函数2x y -=的图象向右平移1个单位长度9. 已知点()20B ，,P 是函数2xy =图象上不同于()01A ，的一点，有如下结论：①存在点P 使得ABP ∆是等腰三角形； ②存在点P 使得ABP ∆是锐角三角形； ③存在点P 使得ABP ∆是直角三角形. 其中，正确结论的序号为（ ）(A)①② （B ）②③ (C)①③ (D) ①②③10.已知函数()22f x x x =-,()()g 20x ax a =+>，若对任意[]11,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （B ）132⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）(]0,3 (D)[)3+∞，二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. 若()f x =()f x 的定义域是__________________12. 已知()12f x x +=,且()4f a =,则a =______________13.已知()33,014,02x x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 则()f x 的零点为_____________.14.如果集合{}2210A x ax x =++=中只有一个元素，那么a 的值是__________.15.已知函数211x y x -=-的图象与函数2y x b =+的图象恰有两个交点，则实数b 的取值范围是___________16.给定集合{}1,2,3,...,n A n =，*n N ∈.若f 是n n A A →的映射且满足:①任取,n i j A ∈，若i j ≠,则()()f i f j ≠；②任取n m A ∈，若2m ≥，则有()()(){}1,2,...,m f f f m ∈.则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”.例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”.（1） 若44:f A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2） 若20152015:f A A →是“优映射”,且()10041f =,则()()10001017f f +的最大值为______________.二、 解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题10分)解关于x 的不等式20ax ax x -+>，其中a R ∈.18.(本小题8分)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中4AE =米，6CD =米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内攫取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. (I) 设MP x =米，PN y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (II) 求矩形BNPM 面积的最大值.19. (本小题9分)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≥时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(I) 求()1f -的值； (II) 求函数()f x 的值域A ；(III) 设函数()g x =B ，若A B ⊆,求实数a 的取值范围.20. (本小题9分)已知函数()f x 的定义域为()0+∞，,若()f x y x=在()0+∞，上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”.(I) 若()2f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围； (II) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：对任意()12,0+x x ∈∞，，总有()()()1212f x f x f x x +<+；(III) 若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：关于x 的不等式()2015f x >有解.北京市八一学校2015-2016学年度第一学期高一数学期中试卷参考答案一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. [)()0,11+∞，12. 3 13. 2,1- 14. 0,1 15. ()4,0- 16. 2011 三、解答题（本大题共4小题，共36分） 17. 解：（I ）当0a =时，原不等式变为：0x > （II ）当0a ≠时，原不等式可写为110ax x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭① 当0a >时，若110a -=即1a = 此时不等式变为20x >得0x ≠ 若110a -<即01a << 可得11x a <-或0x >若110a ->即1a >时 可得0x <或11x a >-② 当0a <时，110a -> 可得101x a<<-综上所述：当0a =时，不等式的解集为{}0x x >； 当1a =时，不等式的解集为{}0x x ≠； 当0a <时，不等式的解集为101x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭ 当1a >时，不等式的解集为101x x x a ⎧⎫<>-⎨⎬⎩⎭或当01a <<时，不等式的解集为 110x x x a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 18. 解：（I ）如图所示，作PQ AF ⊥于点Q ，由题意可知8PQ AB PN y =-=-，4EQ MP AE x =-=-（II ）设矩形BNPM 的面积为S ，可知易知()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =，()S x 在区间[]4,8上为增函数，故当8MP =米，6PN =米时，矩形BNPM 面积最大，为482m19. 解（I ）由()f x 为R 上的偶函数可得：()()11f f -=由指数函数的图像与性质可知：故函数()f x 的值域为(]01A =，（III ）令()()()2110x a x a x x a -+-+=-+-≥即()()10x x a +-≤由AB ⊆易知此种情况不成立；由A B ⊆可得1a ≥综上所述，所求实数a 的取值范围是[)1,a ∈+∞由一次函数性质可知一次项系数0a > 所求实数a 的取值范围为()0+∞，又对任意()12,0,x x ∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+不等式左右两边分别相加可得：因此，对于任意()12,0,x x ∈+∞，总有()()()1212f x f x f x x +<+（III ）设()00f x =，其中00x >.取()0,t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =. 由（II ）知()()222f t f t m >= 同理可得：()()4224f t f t m >=()()8248f t f t m >>所以一定存在*n N ∈，使得()222015n n f t m >> 故不等式()2015f x >有解。
2024—2025学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷
2024—2025学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合且，集合，集合，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 设有下面四个命题，其中真命题为（）A．B．C．D．(★★) 3. 设集合，，若函数是定义域为M，值域为N的单调函数，则的图象可能是（）A．B．C．D．(★) 4. 函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知，，若，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知函数是上的偶函数，若，则（）A．B．C． 1D． 2(★★) 7. 已知不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．(★) 8. 张老师锻炼时离家距离S与行走时间t之间的函数图象如图所示，若在四个选项中用黑点•表示张老师家的位置，则张老师行走的路线可能是（）A．B．C．D．(★★★) 9. 已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 10. 已知二次函数，对任意的，都有，则（）A．有两个正零点B．有一正一负两个零点C．有两个负零点D．无零点二、填空题(★) 11. 函数的定义域为 ______ ．(★) 12. 设函数，则 ______ ．(★★★) 13. 设，是关于的方程的实数根，则实数a的取值范围是______ ，的最大值为 ______ ．(★★★) 14. 已知是定义在R上的奇函数，当时，．若在R上具有单调性，则a的取值范围是 ______ ．(★★★★) 15. 已知，函数．（1）当时，不等式的解集是 ______（2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是 ______三、解答题(★★★) 16. 已知集合，．(1)若，求；(2)若，求a的取值范围．(★★★) 17. 已知的定义域为，且满足，．(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明．(★★★) 18. 设函数，其中．(1)对于任意，都有，求t的值；(2)若存在，使得关于x的方程有4个不同的实数根，直接写出t的范围：(3)若对于任意，都有，求实数t的取值范围．四、单选题(★★★) 19. 已知函数，则（）A．是偶函数B．的值域为RC．对于任意正有理数a，有奇数个零点D．在上是增函数(★★★) 20. 司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（）A．甲更低B．乙更低C．甲和乙一样高D．不能判断谁更高(★★★) 21. 若集合表示的图形中，两点间最大距离为d，面积为S，则（）A．，B．，C．，D．，五、填空题(★★★) 22. 关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ______ ．(★★★★) 23. 设，，若恒成立，则实数的取值范围是 ______ .(★★★)24. 小明和小强做一个数学游戏，规则如下：首先由小明和小强各出一个实数和，满足，然后由裁判对和分别进行两种数学运算：（1）乘法运算：；（2）“*”运算：．若，则判定小强获胜；若，则判定小明获胜．现有下面三个结论：①若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜；②若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜：③若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜；其中正确结论的序号为 ______ ．六、解答题(★★★★★) 25. 如图，A是n行n列的数表（，），用（）表示位于第i行第j列的数，且满足，给定，若数表A满足，则称A具有性质．(1)直接写出数表，是否具有性质；(2)判断是否存在具有性质的数表A，并加以证明；(3)若数表A具有性质，求n（用p表示）．。
北京师范大学附属实验中学15—16学年上学期高一期中考试数学试题(附答案)
北师大附属实验中学2015－2016学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷（一卷）班级 分层班级 姓名 学号 分数一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填在答题卡上）1.设集合{1,0,1}A =-，{|0}B x R x =∈>，则AB =（ ）（A ）{1,0}- （B ）{1}- （C ）{0,1} （D ）{1}2.函数()f x =） （A ）(,2)-∞ （B ）[2,)+∞ （C ）(,2]-∞ （D ）(2,)+∞3.已知幂函数y =f x ()的图象过点（12，2），则f 2()的值为（ ）（A（B （C ）2（D ）－24. 已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系是（ ） （A ）c a b << （B ）a c b << （C ）a b c << （D ）b c a <<5.下列函数中，既是偶函数又在（0，+¥）上单调递增的函数是（ ） （A ）y =x 3（B ）y =|x |+1（C ）y =-x 2+1 （D ）y =2-|x |6.设函数3y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）（A ）(01)，（B ）(12)，（C ）(23)，（D ）(34)，7.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，232)(x x x f -=，则0<x 时，函数)(x f 的表达式为)(x f =（ ）（A ）232x x + （B ） 232x x - （C ）232x x +- （D ） 232x x -- 8.函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（ ） （A ）1e x + （B ）1e x - （C ）1e x -+（D ）1e x --二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上） ９．满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 的个数是____________. 10．函数的图象经过的定点坐标是__________．11. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为___________升. 12. 已知定义域为()+∞,0的函数()x f 满足：（ⅰ）对任意()+∞∈,0x ，恒有()()x f x f 22=成立； （ⅱ）当(]2,1∈x 时，()x x f -=2。
2015-2016学年北京市民大附中高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
2015-2016学年北京市民大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．2．（4分）命题“存在点P（x0，y0），使x02+y02﹣1≤0成立”的否定是（）A．不存在点P（x0，y0），使x02+y02﹣1＞0成立B．存在点P（x 0，y0），使x02+y02﹣1＞0成立C．对任意的点P（x，y），使x2+y2﹣1＞0成立D．对任意的点P（x，y），使x2+y2﹣1＜0成立3．（4分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则实数λ的值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣15．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6．（4分）抛物线y=x2上的一动点M到直线l：x﹣y﹣1=0距离的最小值是（）A．B．C．D．7．（4分）若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A．2 B．1 C．D．8．（4分）已知抛物线M：y2=4x，圆N：（x﹣1）2+y2=r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是（）A．r∈（0，1]B．r∈（1，2]C．D．二、填空题（每小题4分，共24分）9．（4分）抛物线y2=﹣8x的焦点坐标为；准线方程为．10．（4分）若实数x，y满足，则s=x﹣y的最小值为．11．（4分）若双曲线C与双曲线共渐近线，且过点，则双曲线C的方程为．12．（4分）如图所示，O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E 为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的投影不可能是13．（4分）已知曲线C：，则“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的条件．14．（4分）（1）已知点，点B是圆上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为（2）在平面直角坐标系中，A，B分别为x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则动圆圆心C的轨迹为．三、解答题（共80分）15．（15分）已知：全集U=R，集合A={x|4x＞2}，集合（1）求A，B（2）若M∪（A∪B）=R，且M∩（A∪B）=∅，求集合M．16．（15分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，b=1．（Ⅰ）若，求c；（Ⅱ）若a=2c，求△ABC的面积．17．（16分）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．点O是线段AM的中点．（Ⅰ）求证：平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求证：AD⊥BM；（Ⅲ）过D点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面BCD；②l∥AM．请说明理由．18．（16分）已知A，B是抛物线y2=4x上异于原点O的两点，且（1）求证：直线AB恒过定点（4，0）（2）若将改为，判断直线AB是否经过一定点．若是，请写出m=﹣2时该定点的坐标（直接写出结论即可）19．（16分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小20．（16分）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆C上，直线y=t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P（1）求椭圆C的方程（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标（3）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．2015-2016学年北京市民大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可知a2=4，b2=5，则c2=a2+b2=4+5=9，则a=2，c=3，即双曲线的离心率e==，故选：B．2．（4分）命题“存在点P（x0，y0），使x02+y02﹣1≤0成立”的否定是（）A．不存在点P（x0，y0），使x02+y02﹣1＞0成立B．存在点P（x0，y0），使x02+y02﹣1＞0成立C．对任意的点P（x，y），使x2+y2﹣1＞0成立D．对任意的点P（x，y），使x2+y2﹣1＜0成立【解答】解：∵命题“存在点P（x0，y0），使x02+y02﹣1≤0成立”∴命题的否定为“任意点P（x，y），使x2+y2﹣1＞0成立”故选：C．3．（4分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“a＞b＞0”能推出“a2＞b2”，是充分条件，由“a2＞b2”推不出“a＞b＞0”，不是必要条件，故选：A．4．（4分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则实数λ的值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：向量，，若，=（2λ+3，3），=（﹣1，﹣1）则：（2λ+3）（﹣1）+3（﹣1）=0，解得λ=﹣3．故选：B．5．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n 异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选：D．6．（4分）抛物线y=x2上的一动点M到直线l：x﹣y﹣1=0距离的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：（法一）对y=x2求导可得y′=2x令y′=2x=1可得∴与直线x﹣y﹣1=0平行且与抛物线y=x2相切的切点（，），切线方程为y﹣即x﹣y由两平行线的距离公式可得所求的最小距离d==（法二）设抛物线上的任意一点M（m，m2）M到直线x﹣y﹣1=0的距离d===由二次函数的性质可知，当m=时，最小距离d==故选：A．7．（4分）若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由椭圆的方程可得a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4②，由①②可得m•n=2，∴△F1PF2的面积是m•n=1，故选：B．8．（4分）已知抛物线M：y2=4x，圆N：（x﹣1）2+y2=r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是（）A．r∈（0，1]B．r∈（1，2]C．D．【解答】解：x=1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设．设直线l：x=my+1，（1）代入y2=4x，得y2﹣4my﹣4=0，△=16（m2+1），把（1）代入（x﹣1）2+y2=r2得y2=设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），|AC|=|BD|即y1﹣y3=y2﹣y4，即y1﹣y2=y3﹣y4，即4=即r=2（m2+1）＞2，即r＞2时，l仅有三条．考查四个选项，只有D中的区间包含了（2，+∞）即是直线l只有三条的必要条件故选：D．二、填空题（每小题4分，共24分）9．（4分）抛物线y2=﹣8x的焦点坐标为（﹣2，0）；准线方程为x=2．【解答】解：根据抛物线的性质可知抛物线y2=﹣8x，p=4，则准线方程为x==2，焦点坐标为（﹣2，0），准线方程为：x=2故答案为（﹣2，0）；x=210．（4分）若实数x，y满足，则s=x﹣y的最小值为﹣8．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由s=x﹣y可得y=x﹣s，则﹣s为直线在y轴上的截距，截距越大，s越小做直线L：x﹣y=0，把直线L：x﹣y=0向可行域平移，结合图象可知，当直线经过A时，s最小由可得A（﹣3，5），此时s=﹣8故答案为：﹣811．（4分）若双曲线C与双曲线共渐近线，且过点，则双曲线C的方程为．【解答】解：由题意可得：可设双曲线的标准方程为，因为双曲线过，所以λ=，所以双曲线的标准方程为．故答案为．12．（4分）如图所示，O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E 为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的投影不可能是①【解答】解：空间四边形OEC1D1在正方体左右面上的投影是③选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体上下面上的投影是④选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体前后面上的投影是②选项的图形，只有①选项不可能是投影，故答案为：①．13．（4分）已知曲线C：，则“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．【解答】解：将化为标准形式，得．若表示焦点在y轴上的椭圆，则应k﹣3＞5﹣k＞0，即4＜k＜5，因此若4≤k＜5，曲线C不一定表示焦点在y轴上的椭圆，反之成立．故答案为：必要不充分．14．（4分）（1）已知点，点B是圆上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为（2）在平面直角坐标系中，A，B分别为x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则动圆圆心C的轨迹为抛物线．【解答】解：（1）如图圆的圆心坐标为F（，0），半径为2，依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA|，∴|AP|+|PF|=2，根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，a=1，c=，则有b=，故点P的轨迹方程为；（2）如图∵圆C是以AB为直径得圆，∴OC=AB，又圆C与直线2x+y﹣4=0相切，∴C到直线2x+y﹣4=0的距离CD=OC，由抛物线定义可知，C的轨迹是以O为焦点，以2x+y﹣4=0为准线的抛物线．故答案为：（1）；（2）抛物线．三、解答题（共80分）15．（15分）已知：全集U=R，集合A={x|4x＞2}，集合（1）求A，B（2）若M∪（A∪B）=R，且M∩（A∪B）=∅，求集合M．【解答】解：（1）集合A={x|4x＞2}={x|2x＞1}={x|x＞}，集合={x|x（x+2）＜0}={x|﹣2＜x＜0}；（2）∵A∪B={x|x＞或﹣2＜x＜0}，M∪（A∪B）=R，且M∩（A∪B）=∅，∴．16．（15分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，b=1．（Ⅰ）若，求c；（Ⅱ）若a=2c，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知，∵，∴sin（B﹣）=．…（2分）∵0＜B＜π，∴．故B﹣=，解得B=．…（4分）由，且A+B+C=π，得C=．由，即，解得c=．…（7分）（Ⅱ）因为b2=a2+c2﹣2accosB，a=2c，B=，所以b2=4c2+c2﹣4c2×，解得b=c．…（10分）由此得a2=b2+c2，故△ABC为直角三角形，A=，c=．其面积S=bc=．…（13分）17．（16分）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．点O是线段AM的中点．（Ⅰ）求证：平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求证：AD⊥BM；（Ⅲ）过D点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面BCD；②l∥AM．请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）由已知DA=DM，O是AM的中点，∴DO⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，DO⊂平面DOB，∴平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点，∴AM=BM=AD=AB，∴AM⊥BM，由（1）知，DO⊥平面ABCM；∵BM⊂平面ABCM，∴DO⊥BM，∵DO，AM⊂平面ADM，DO∩AM=0，∴BM⊥平面ADM，而AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM；（Ⅲ）过D点是不存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面BCD；②l∥AM．证明（反证法）假设过D存在一条直线l满足条件，则∵l∥AM，L⊄平面ABCM，AM⊂平面ABCM，∴l∥平面ABCM，∵l⊂平面BCD，平面ABCM∩平面BCD=BC，∴l∥BC，即AM∥BC，由图易知，AM，BC相交，此时矛盾，∴过D点不存在一条直线l满足题设条件．18．（16分）已知A，B是抛物线y2=4x上异于原点O的两点，且（1）求证：直线AB恒过定点（4，0）（2）若将改为，判断直线AB是否经过一定点．若是，请写出m=﹣2时该定点的坐标（直接写出结论即可）【解答】（1）证明：设直线AB方程为x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，得y2﹣4my﹣4b=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4b，∵，∴OA⊥OB，∴k OA•k OB===﹣=﹣1，b=4．于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0）．（2）否，当m=﹣2时，无论是直线还是直线均满足，但第一条直线恒过，第二条直线恒过．19．（16分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小【解答】（1）证明：连BD，∵四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，∵Q为AD中点，∴AD⊥BQ∵PA=PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，AD⊂平面PAD∴平面PQB⊥平面PAD；（2）当t=时，使得PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的边长为a，则AN=a，AC=a．∴PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN∴PA∥MN∴==即：PM=PC，t=；（3）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，，0）），Q（0，0，0），P （0，0，）设平面MQB的法向量为，可得，而PA∥MN，∴，∴y=0，x=∴取平面ABCD的法向量∴cos=∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．20．（16分）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆C上，直线y=t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P（1）求椭圆C的方程（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标（3）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．【解答】解：（1）由题意可得：，解得a2=3，b2=1．∴椭圆C的方程为：；（2）由题意知p（0，t）（﹣1＜t＜1），由，得x=±，∴圆P的半径为，则有t2=3（1﹣t2），解得t=±，∴点P的坐标是（0，±）；（3）由（2）知，圆P的方程x2+（y﹣t）2=3（1﹣t2）．∵点Q（x，y）在圆P上．∴y=t±≤t+，设t=cosθ，θ∈（0，π），则t+=cosθ+sinθ=2sin（θ+），∴当θ=，即t=，且x=0时，y取最大值2．。