(通用版)2016年高考数学二轮复习 专题六 三角函数与解三角形 第3讲 解三角形课件 理
【3份】2016版高考数学大二轮总复习(文科通用)配套课件：专题三 三角函数 解三角形与平面向量 共134张PPT
考情考向分析
1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对 称性、周期性. 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、
角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考
的必考点.
热点分类突破 热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
(1)三角函数： 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x， y)， y 则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x.各象限角的三角函数值的符号：一 全正，二正弦，三正切，四余弦. sin α (2)同角关系：sin α＋cos α＝1，cos α＝tan α. kπ (3)诱导公式：在 2 ＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看
3π 3π 又 sin 4 >0，cos 4 <0，
7π 所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π)，所以 θ＝ 4 .
y＝sin 4x 的图象
π 向右平移12个单位.
答案 B
1 2 3 4
2.(2015· 课标全国 Ⅰ) 函数 f(x) ＝ cos(ωx ＋ φ) 的部分图象如图 所示，则f(x)的单调递减区间为( 1 3 A.kπ－4，kπ＋4 ，k∈Z 1 3 B.2kπ－4，2kπ＋4 ，k∈Z 1 3 C.k－4，k＋4，k∈Z 1 3 2 k － ， 2 k ＋ D. ，k∈Z 4 4 )
专题三
三角函数、解三角形与平面向量
第 1讲 三角函数的图象与性质
栏目索引
高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练
高考真题体验
1.(2015· 山东)要得到函数 y＝sin 4x 的图象( π A.向左平移12个单位 π C.向左平移3个单位 ) π B.向右平移12个单位 π D.向右平移3个单位
2016届高考数学二轮复习 高考大题专讲2 三角函数与解三角形课件 文
[举一反三] (2014· 天津卷)已知函数f(x)＝cos x∈R. (1)求f(x)的最小正周期；
π π (2)求f(x)在闭区间－4，4上的最大值和最小值． π x· sinx＋3－
3 3cos x＋ 4 ，
2
[解]
(1)由已知，有
1 x· 2sin 3 3 2 x＋ 2 cos x－ 3cos x＋ 4
π π 3 21 ＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝ . 3 3 14 1 3 3 所以△ABC的面积为 absin C＝ . 2 2
在三角函数问题中平面向量的知识主要 是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问 题．
[举一反三] 已知向量a＝ x)，函数f(x)＝a· b. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 3 π f(A)＝ 2 ，a＝2，B＝3，求△ABC的面积S.
π cos2x－ ，cos 3
x＋sin
x
，b＝(1，cos x－sin
[ 解]
π (1)f(x)＝a· b＝cos2x－3＋cos2x－sin2x
π ＝cos2x－3＋cos
2x
π π ＝cos 2xcos3＋sin 2xsin3＋cos 2x 3 3 ＝ 2 sin 2x＋2cos 2x
[感悟体验] 如图，D是Rt△BAC斜边BC上一点，AC＝ 3DC.
(1)若BD＝2DC＝2，求AD； (2)若AB＝AD，求角B.
[ 解]
π (1)∵DC＝1，BC＝3，AC＝ 3，∠BAC＝ ， 2
3 ∴cos C＝ ， 3 在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC· CDcos C ＝2， → 2→ 1→ ∴AD＝ 2.(也可以用AD＝ AC＋ AB，两边平方而求得) 3 3
2016届高考数学二轮专题复习课件：专题三 3.2 三角恒等变换与解三角形(新人教A版)(浙江专用)
三角恒等变换与解 三角形
-2热点考题诠释 能力目标解读
1 2 3 4 5 )
1.(2015福建,文6)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值等于(
A.
C.
B.D.-
关闭
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D 解析 答案
-3热点考题诠释 能力目标解读
1 2 3 4 5 )
2.(2015重庆,文6)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β= ( A. B. C. D.
-21命题热点 答题模板
热点一
热点二
热点三
热点四
迁移训练3某山顶有一座石塔BC,已知石塔的高度为a. (1)如图①,若以B,C为观测点,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C 处测得A处的俯角为β,用a,α,β表示山的高度h. (2)如图②,若将观测点选在地面的直线AD上,其中D是塔顶B在地面上的正投影. 已知石塔高度a=20,当观测点E在AD上满足DE=60时,看BC的视角(即∠BEC)最大, 求山的高度h.
用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”的条件,三个条件缺一不可.
-27命题热点 答题模板
热点一
热点二
热点三
热点四
迁移训练4(2015云南第一次检测)已知△ABC的内角A,B,C对的边分别为
a,b,c,sin A+sin B=2sin C,b=3,则cos C的最小值等于
1 2 3 4 5
5.(2015浙江,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2. (1)求的值; (2)若B=,a=3,求△ABC的面积.
解:(1)由tan=2,得tan A=,所以. (2)由tan A=,A∈(0,π),得sin A=,cos A=. 又由a=3,B=及正弦定理,得b=3. 由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=. 设△ABC的面积为S,则S=absin C=9.
2016版高考数学二轮：3.2《三角变换与解三角形》试题(含答案)课件
第2讲 三角变换与解三角形1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.122．(2014·福建)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 3．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 4．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)3cos 10°－1sin 170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4热点二 正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．(2)余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________________．(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练3 已知函数f (x )＝2cos x 2(3cos x 2－sin x2)，在△ABC 中，有f (A )＝3＋1.(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝1，求△ABC 面积的最大值．1．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则sin C 等于( ) A.1313 B.35 C.45 D.239132．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．二轮专题强化练专题三第2讲 三角变换与解三角形A 组 专题通关1．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( )A ．－210B.7210C ．－210或7210D ．－72102．已知函数f (x )＝4sin(x 3＋π6)，f (3α＋π)＝165，f (3β＋5π2)＝－2013，其中α，β∈[0，π2]，则cos(α－β)的值为( )A.1365B.1565C.4865D.63653．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定4．(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 35．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2D ．2－ 36．(2015·兰州第一中学期中)已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α的值为________．7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．8.如图，在一个塔底的水平面上的点A 处测得该塔顶P 的仰角为θ，由点A 向塔底D 沿直线行走了30 m 到达点B ，测得塔顶P 的仰角为2θ，再向塔底D 前进10 3 m 到达点C ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔PD 的高度为________m.9．(2015·安徽皖南八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若B ＝π3，且(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc .(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．10．已知f (x )＝2sin(x －π12)－3，现将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数g (x )的图象． (1)求f (π4)＋g (π6)的值；(2)若a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＋c ＝4，且当x ＝B 时，g (x )取得最大值，求b 的取值范围．B 组 能力提高11．(2015·成都新都一中月考)若α∈(0，π2)，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________．12．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.13．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为120°，BC →＝2BD →，且AD ＝2，∠ADC ＝120°，则△ABC 的面积等于________．14．(2015·四川)如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B2＋tanC2＋tan D2的值．学生用书答案精析第2讲 三角变换与解三角形 高考真题体验1．D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]2．2 3解析 如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B ，解得sin B＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－32×23＝2 3. 3. 6解析 由正弦定理得AB sin∠ADB ＝ADsin B ，即2sin∠ADB ＝3sin 120°，解得sin∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2AB cos 30°＝ 6. 4.6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ， 结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋2b242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1，且3a 2＝2b 2时取“＝”． 故cos C 的最小值为6－24.热点分类突破 例1 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.跟踪演练1 (1)C (2)D 解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.(2)3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝－12sin 20° ＝－2sin 20°12sin 20°＝－4， 故选D.例2 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD s in∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ， 所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 跟踪演练2 (1)(6－2，6＋2) (2)C解析 (1)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2. ∴6－2<AB <6＋ 2.(2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 例3 解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34. 所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 跟踪演练 3 解 (1)f (x )＝2cos x 2(3·cos x 2－sin x 2)＝23cos 2x 2－2sin x 2·cos x 2＝3＋3cos x －sin x＝3＋2sin(π3－x )， 由f (A )＝3＋1，可得3＋2sin(π3－A )＝3＋1， 所以sin(π3－A )＝12. 又A ∈(0，π)，所以π3－A ∈(－2π3，π3)， 所以π3－A ＝π6，即A ＝π6. 由a 2－c 2＝b 2－mbc 及余弦定理，可得m 2＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝32， 所以m ＝ 3.(2)由(1)知cos A ＝32，则sin A ＝12， 又b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝32， 所以b 2＋c 2－a 2＝3bc ≥2bc －a 2，即bc ≤(2＋3)a 2＝2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34， 即△ABC 面积的最大值为2＋34. 高考押题精练1．D [因为在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，所以S △ABC ＝12BC ·BA ·sin B ＝3，即12×1×BA ×32＝3，解得BA ＝4.又由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋BA 2－2BC ·BA ·cos B ，即得AC ＝13，由正弦定理，得BA sin C ＝AC sin B ， 解得sin C ＝23913.] 2．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin(2ωx －π6)－12，因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3， 所以ω＝32. (2)由(1)知f (x )＝sin(3x －π6)－12，易得f (A )＝sin(3A －π6)－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sinB sinC ，所以a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)，因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin(3A －π6)≤1，所以－1<sin(3A －π6)－12≤12，所以函数f (A )的值域为(－1，12]．二轮专题强化练答案精析第2讲 三角变换与解三角形1．A [∵α∈(π2，π)， ∴α＋π4∈(34π，54π)， ∵sin(α＋π4)＝35， ∴cos(α＋π4)＝－45， ∴cos α＝cos(α＋π4－π4) ＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.] 2．D [由f (3α＋π)＝165， 得4sin[13(3α＋π)＋π6]＝165， 即4sin(α＋π2)＝165， 所以cos α＝45， 又α∈[0，π2]，所以sin α＝35. 由f (3β＋5π2)＝－2013， 得4sin[13(3β＋5π2)＋π6]＝－2013， 即sin(β＋π)＝－513， 所以sin β＝513. 又β∈[0，π2]， 所以cos β＝1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×1213＋35×513＝6365.] 3．B [由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．]4．C [由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2.]5．D [由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac， 由余弦定理， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1， 所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D.] 6.334解析 1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334. 7．8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π， ∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154 ＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.8．15解析 依题意有PD ⊥AD ，BA ＝30 m ，BC ＝10 3 m ，∠PAD ＝θ，∠PBD ＝2θ，∠PCD ＝4θ，所以∠APB ＝∠PBD －∠PAD ＝θ＝∠PAD .所以PB ＝BA ＝30 m.同理可得PC ＝BC ＝10 3 m.在△BPC 中，由余弦定理，得cos 2θ＝32＋302－322×103×30＝32， 所以2θ＝30°，4θ＝60°.在△PCD 中，PD ＝PC ×sin 4θ＝103×32＝15(m)． 9．解 (1)由(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc 可得a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝37bc ， 所以a 2＝b 2＋c 2－117bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1114， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝5143， 所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(1114×12－5314×32)＝17. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝437， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ＝a sin A ， 得c ＝a sin C sin A＝8， ∴S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3. 10．解 (1)因为g (x )＝2sin[(x ＋π4)－π12]－3＋3＝2sin(x ＋π6)， 所以f (π4)＋g (π6)＝2sin(π4－π12)－3＋2sin π3＝1. (2)因为g (x )＝2sin(x ＋π6)， 所以当x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )， 即x ∈π3＋2k π(k ∈Z )时，g (x )取得最大值． 因为x ＝B 时g (x )取得最大值，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 而b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝16－3ac ≥16－3·(a ＋c 2)2＝16－12＝4，所以b ≥2.又b <a ＋c ＝4，所以b 的取值范围是[2,4)．11.12解析 ∵α∈(0，π2)， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4且tan α>0， ∴2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋4tan α≤224＝12， 故sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为12. 12．100 6解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BAC ＝ABsin∠ACB ，即BCsin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.13．2 3解析 在△ABC 中，因为∠ADC ＝120°，所以∠ADB ＝60°，因为向量AB →，BC →的夹角为120°，所以∠B ＝60°，所以△ADB 为等边三角形．因为AD ＝2，所以AB ＝BD ＝2.因为BC →＝2BD →，所以点D 为BC 的中点，所以BC ＝4，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×4×sin 60°＝2 3. 14．(1)证明 tan A 2＝sin A 2cos A 2 ＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A . (2)解 由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B ，由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－－A －A ＋1－0°－B －B ＝2sin A ＋2sin B . 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 2AB ·AD ＋BC ·CD＝62＋52－32－42＋＝37， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得 cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 2AB ·BC ＋AD ·CD＝62＋32－52－42＋＝119， 于是sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019. 所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610 ＝4103.。
(新高考)高考二轮精品专题六 三角函数与解三角形 教师版
1．高考对三角函数的考查主要在于三角函数的定义、图象和性质、三角恒等变换，主要考查三角函数图象的变换、三角函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值），三角恒等变换通常还与解三角交汇命题．2．解三角形的考查主要在具体面积、角的大小、面积与周长的最值或范围的考查，本部分要求对三角恒等变换公式熟悉．一、三角函数1．公式（1）扇形的弧长和面积公式如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是l rα=．相关公式：①l =|α|r②21122S lr r α==（2）诱导公式：正弦余弦正切α+k ⋅2πsin αcos αtan αα+π―sin α―cos αtan α―α―sin αcos α―tan απ―αsin α―cos α―tan α2πα+cos α―sin α2πα-cos αsin α32πα+―cos αsin α32πα-―cos α―sin α（3）同角三角函数关系式：sin 2α+cos 2α=1，sin tan cos ααα=（4）两角和与差的三角函数：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin(α―β)=sin αcos β―cos αsin βcos(α+β)=cos αcos β―sin αsin βcos(α―β)=cos αcos β+sin αsin βtan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（5）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-（6）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+=2．三角函数性质性质y =sin x ，x ∈Ry =cos x ，x ∈R奇偶性奇函数偶函数单调性在区间()2,222k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是增函数，在区间()32,222k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是减函数在区间[―π+2kπ，2kπ](k ∈Z )上是增函数，在区间[2kπ，π+2kπ](k ∈Z )上是减函数最值在()22x k k ππ=+∈Z 时，y max ；在()22x k k ππ=-∈Z 时，y min在x =2kπ(k ∈Z )时，y max ；在x =2kπ+π(k ∈Z )时，y min对称中心(kπ，0)(k ∈Z )(),02k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z x =kπ(k ∈Z )正切函数的性质图象特点定义域为{|,}2x x k k ππ≠+∈Z 图象与直线2x k k ππ=+∈Z ，没有交点最小正周期为π在区间,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，上图象完全一样在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是增函数图象在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是上升的对称中心为,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，图象关于点,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，成中心对称3．函数y =A sin(ωx +φ)的图象及变换（1）φ对函数y =sin(x +φ)的图象的影响（2）ω(ω>0)对y =sin(ωx +φ)的图象的影响（3）A(A >0)对y =A sin(ωx +φ)的图象的影响4．函数y =A sin(ωx +φ)的性质（1）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义（2）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的有关性质二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；；变形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在中，已知，和角时，解得情况如下：为锐角为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中为锐角时，，无解．为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos 356πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则x 0=（ ）ABCD【答案】C【解析】∵,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴,636πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又3cos 65πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以,063ππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴0cos cos cos cos sin sin 666666x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=-⨯=，故选C ．【点评】本题容易忽视6πα+的范围，而导致sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭出错．2．已知 tan 2θ―4tan θ+1=0，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C（70分钟）经典训练题【解析】由 tan 2θ―4tan θ+1=0，可得1tan 4tan θθ+=，所以sin cos 4cos sin θθθθ+=，即22sin cos 4cos sin θθθθ+=⋅，即1cos sin 4θθ⋅=，211cos 2121sin 212sin cos 124cos 422224πθπθθθθ⎛⎫++-⨯⎪--⎛⎫⎝⎭+===== ⎪⎝⎭，故选C ．【点评】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有1tan 4tan θθ+=，从而可得1cos sin 4θθ⋅=，由21cos 21sin 22cos 422πθπθθ⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭12sin cos 2θθ-=可解，属于中档题．3．已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)，(0,2πωϕ><的部分图象如图所示，f (x )的图象过,14A π⎛⎫⎪⎝⎭，5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．―2B ．2C ．―3D ．―1【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴T =2π，则1ω=，∴f (x )=2sin(x +φ)，将点,14A π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-，则()2sin 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32cos 4π=，故选A ．【点评】本题主要考了三角函数图象，以及三角函数的性质和三角函数图象的变换，属于中档题．4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ΔABC 的形状为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】因为在三角形中，sin cos sin CA B<变形为sin C <sin B cos A ，由内角和定理可得sin(A +B)<cos A sin B ，化简可得：sin A cos B <0，∴cos B <0，所以2B π>，所以三角形为钝角三角形，故选A ．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．5．（多选）已知函数f(x)=3sin x +sin 3x ，则（ ）A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数且最小正周期为2πC ．f(x)的值域是[―4，4]D ．当x ∈(0，π)时，f(x)>0【答案】ABD【解析】A ．f (―x )=3sin(―x )+sin(―3x )=―3sin x ―sin 3x =―f (x )，故f(x)是奇函数，故A 正确；B ．因为y =sin x 的最小正周期是2π，y =sin 3x 的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是f(x)的最小正周期，故B 正确；C ．分析f(x)的最大值，因为3sin x ≤3，sin 3x ≤1，所以f(x)≤4，等号成立的条件是sin x =1和sin 3x =1同时成立，而当sin x =1，即()22x k k ππ=+∈Z 时，()3362x k k ππ=+∈Z ，sin 3x =―1，故C 错误；D ．展开整理可得()2()3sin sin cos 2cos sin 2sin 4cos 2f x x x x x x x x =++=+，易知当x ∈(0，π)时，f(x)>0，故D 正确，故选ABD ．【点评】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．二、解答题．6．已知m =(2sin x ，sin x ―cos x )，n =(3cos x ，sin x +cos x )，函数f(x)=m ⋅n ．求函数f(x)的最大值以及取最大值时x 的取值集合．【答案】f(x)的最大值为2，,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【解析】()()()cos sin cos sin cos f x x x x x x x =⋅=+-+m n2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数f(x)的最大值为2，当2262x k πππ-=+，即,3x k k ππ=+∈Z 取得，即集合为,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【点评】本题与向量的坐标运算结合，考查三角函数的最值，属于基础题．7．已知函数2()cos 222x x x f x =+-．（1）求函数f(x)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．【答案】（1）[―2，2]；（2）5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）()2cos 2sin(2224x x x f x x x x π=+-==+，令4U x π=+，∵x ∈[0，π]，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，由y =sin U 的图象知，sin U ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 4x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 24x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数f(x)的值域为[―2，2]．（2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>，∵f(ωx)=3，2sin(4x πω∴+=，即sin()4x πω+=，∵x ∈[0，π]，,444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，且()243x k k ππωπ+=+∈Z 或()2243x k k ππωπ+=+∈Z ，由于方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，所以243ππωπ+≥，解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为f(x)=A sin(ωx +φ)，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．8．已知函数f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥．【解析】（1）f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1cos 21133212cos 2sin 222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，∴f(x)的为最小正周期22T ππ==，值域为()15,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）记f(x)=t ，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由f 2(x)―k ⋅f(x)―2≤0恒成立，知t 2―kt ―2≤0恒成立，即kt ≥t 2―2恒成立，∵t >0，∴222t k t t t-≥=-．∵()2g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，max 5541722510g g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，∴k 的取值范围是1710k ≥．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ．（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为，求a +b +c 的最小值．【答案】（1）13；（2）4+．【解析】（1）由3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ，∵A +B +C =π，所以228(sin sin )sin sin sin 3B C A B C +=+，由正弦定理可得228()3b c a bc +=+，则22223b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 23b c a A bc +-==．（2）由1cos 3A =，得sin A =，∵1sin 2ABC S bc A ==△，∴bc =12，由22223b c a bc +-=，得222224216333a b c bc bc bc bc =+-≥-==，∴a ≥4，当且仅当b =c =23时，等号成立．又b +c ≥2bc =43，当且仅当b =c =23时，等号成立．∴a +b +c ≥4+43，当且仅当b =c =23时，等号成立．即a +b +c 的最小值为4+．【点评】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a +b ，ab ，a 2+b 2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．10．设函数f(x)=12cos 2x ―43sin x cos x ―5．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c ．若f(A)=―5，a =3，求△ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π，[―43+1，43+1]（2）(3+3，33]．【解析】（1）f (x )=12cos 2x ―43sin x cos x ―5=12cos 2x ―23sin 2x ―56cos 221216x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，T π∴=，值域为[―43+1，43+1]．（2）由f(A)=―5，可得212cos cos A A A =，因为三角形为锐角△ABCsin A A =，即tan A =，3A π=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin b B =，22sin 2sin()3c C B π==-，所以212sin sin()2(sin sin )32a b c B B B B B π⎡⎤++=++-=++⎢⎥⎣⎦32(sin ))26B B B π==++，因为△ABC 为锐角三角形，所以02B π<<，02C π<<，即022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin(16B π<+≤，即36B π+<+≤，所以周长的取值范围为区间(3+3，33]．【点评】在解三角形的周长范围时，将a +b +c 转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域，求周长的取值范围，是常用解法．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b )(sin A ―sin B )=(b +c )sin C ．（1）求角A 的大小；（2）若点D 是BC 的中点，且AD =2，求△ABC 的面积的最大值．【答案】（1）23π；（2）23．【解析】（1）由题意得(a +b)(a ―b)=(b +c)c ，∴b 2+c 2―a 2=―bc ，1cos 2A ∴=-，()0,A π∈，23A π∴=．（2）1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，()()2222211244AD AB AC AB AC AB AC AB AC =++⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()1224AB AC AB AC ∴≥⋅-⋅，当且仅当AB =AC 时，等号成立，∴AB ⋅AC ≤8，11sin120822S AB AC =⋅︒≤⨯=故△ABC 的面积的最大值是23．【点评】用三角形中线向量进行转化是解题关键．12．如图，在△ABC 中，AB =2AC ，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ．（1）求ABD ADCS S △△的值；（2）若AC =1，BD =2，求AD 的长．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，即sin ∠BAD =sin ∠CAD，∴1sin 21sin 2ABDADC AB AD B AB AD S S AC AD A ACC D ⋅∠∠==⋅V V ，又∵AB =2AC ，∴2ABD ADC S S =△△．（2）由（1）知2ABD ADC S AB S AC ==△△，而1212ABDADC BC h S BC S CDCD h ⋅==⋅△△，2AB BD AC CD ∴==且AC =1，BD =2，∴2AB =，CD =∵∠BAD =∠CAD ，∴cos ∠BAD =cos ∠CAD ，在△ABD 中，22222422cos 2224AB AD BD AD AD BAD AB AD AD AD+-+-+∠===⋅⨯⨯，在△ACD 中，2222211122cos 2212AD AD AC AD CD CAD AC AD AD AD +-++-∠===⋅⨯⨯，∴2212242AD AD AD AD ++=，∴AD =1．【点评】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用，解题的关键在于对角平分线的性质的理解和运用，考查解题和运用能力．13．在ΔABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ．（1）求角C 的值；（2）若c =2，且ΔABC 为锐角三角形，求a +b 的取值范围．【答案】（1）3C π=；（2）(23，4]．【解析】（1）由题意知(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵C ∈(0，π)，∴3C π=．（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===a A =，b B =，∴)2sin sin sin sin 3a b A B A A π⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos 4sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又∵ΔABC 为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上a +b 的取值范围为(23，4]．【点评】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．一、选择题．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“b cos A ―c <0”，是“△ABC 为锐角三角形”的（ ）条件．A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要【答案】C高频易错题即sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A >sin B cos A ，∴sin A cos B >0，因为sin A >0，∴cos B >0，所以B 为锐角．当B 为锐角时，△ABC 不一定为锐角三角形；当△ABC 为锐角三角形时，B 一定为锐角，所以“b cos A ―c <0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要非充分条件，故选C ．【点评】判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法．我们要根据实际情况灵活选择方法，本题选择的是定义法判断充分必要条件．二、填空题．2．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2，B =2A ，则b 的取值范围为___________．【答案】(22，23)【解析】由sin2sin b a A A=，得4cos b A =，由0290045A A ︒<<︒⇒︒<<︒，01803903060A A ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos A A ︒<<︒⇒<<cos A <<b =4cos A ∈(22，23)．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．三、解答题．3．已知a >0，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，―5≤f (x )≤1．（1）求常数a ，b 的值；（2）设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．【答案】（1）2a =，5b =-；（2）递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【解析】（1）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(2)2,6a x a a π-+∈-，所以f (x )∈[b ，3a +b]，又因为―5≤f (x )≤1，可得531b a b =-⎧⎨+=⎩，解得2a =，5b =-．（2）由（1）得()4sin(2)16f x x π=-+-，则()74sin(214sin(21266g x f x x x πππ⎛⎫=+=-+-=+- ⎪⎝⎭，又由lg g (x )>0，可得g (x )>1，所以4sin(2116x π+->，即1sin(2)62x π+>，所以5222666k x k k πππππ+<+<+∈Z ，，当222662k x k k πππππ+<+≤+∈Z ，时，解得6k x k k πππ<≤+∈Z ，，此时函数g (x )单调递增，即g (x )的递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；当5222266k x k k πππππ+<+<+∈Z 时，解得63k x k k ππππ+<<+∈Z ，，此时函数g (x )单调递减，即g (x )的递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力．一、选择题．1．如图所示，扇形OQP 的半径为2，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则S ABCD 的最大值是（）AB．CD ．23【答案】A【解析】如图，记∠COP =α，在Rt △OPC 中，2cos OB α=，2sin BC α=，在Rt △OAD中，OA DA BC α===，所以2cos AB OB OA αα=-=，设矩形ABCD 的面积为S，(2cos )2sin S AB BC ααα=⋅=⋅精准预测题24sin cos 2sin 22ααααα==+-)6πα=+，由03πα<<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S =，故选A ．【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行求解．2．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为（ ）A ．221124x y +=B ．sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移12π个单位得2sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()2sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，故选C ．【点评】在三角函数平移变换中，y =sin ωx 向左平移ϕ个单位得到的函数解析式为y =sin[ω(x +φ)]=sin(ωx +ωφ)，而不是y =sin(ωx +)，考查运算求解能力，是基础题．3．（多选）如图是函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（ ）A ．ω=2B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数，f (x )的一个对称中心C ．23πϕ=D ．函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数【答案】ACD【解析】由题知，A =2，函数f (x )的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22T πω==，故A 正确；因为1111112sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得423k πϕπ=-，k ∈Z ，又|φ|<π，所以23πϕ=，故C 正确；函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为22sin 22sin 06633f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+==≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以,06π⎛⎫-⎪⎝⎭不是函数f (x )的一个对称中心，故B 错误；令23222232m x m πππππ+≤+≤+，m ∈Z ，得51212m x mx πππ-≤≤+，m ∈Z ，当m =―1时，1371212x ππ-≤≤-，因为4137,,51212ππππ⎡⎤⎡⎤--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故D 正确，故选ACD ．【点评】已知()(sin 0,0)()f x A x A ωϕω+>>=的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）由2Tπω=，即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=(或0x ωϕπ+=)，即可求出φ．（2）代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．二、解答题．4．已知函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数()()0,42g x x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，的值域；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()12f A =-，△ABC 的面积为33，b ―c =2，求a 的值．【答案】（1）ω=2，值域为[―1，2]；（2）4．【解析】（1）因为函数f(x)=cos(ωx)的最小正周期为π，由2T ππω==，2ω=，又因为ω>0，所以ω=2．此时f(x)=cos 2x ，则得()2cos 24g x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即g(x)=3sin 2x ―cos 2x ，即()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]2sin 21,26x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以所求函数的值域为[―1，2]．（2）由题意得1cos 22A =-，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则得2A ∈(0，π)，所以223A π=，解得3A π=，因为△ABC 的面积为33，则得1sin 2bc A =，即1sin 23bc π=，即bc =12．又因为b ―c =2，由余弦定理，得a =b 2+c 2―2bc cos A =b 2+c 2―bc =(b ―c )2+bc =22+12=4，所以a =4．【点评】本题考查求三角函数的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面积公式．三角函数问题中，首先需利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式（主要是f(x)=A sin(ωx +ϕ)+k 形式），然后利用正弦函数性质确定求解．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A +B ―C )=c sin(B +C )．（1）求角C 的大小；（2）若2a +b =8，且△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．【答案】（1）3C π=；（2）6+23．【解析】（1）∵a sin(A +B ―C)=c sin(B +C)，∴sin A sin(π―2C)=sin C sin A ，∴2sin A sin C cos C =sin C sin A ，∵sin A sin C ≠0，1cos 2C ∴=，0C π<<，3C π∴=．（2）由题意可得12=∴ab =8，∵2a +b =8联立可得，a =2，b =4，由余弦定理可得，c 2=12，c =23，此时周长为6+23．【点评】本题主要考查了三角形的内角和诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．6．如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=．记∠EPM =θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（2）求S 的最小值．【答案】（1）4sin cos PM θθ=+，PN =，30arctan 34πθ≤≤-；（2）8(2―1)平方米．【解析】（1）在△PME 中，∠EPM =θ，4PE AE AP =-=米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 4sin sin cos PE PEM PM PME θθ⨯∠===∠+；同理在PNE △中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin PE PEN PN PNE ⨯∠===∠当M 与E 重合时，θ=0；当N 与D 重合时，tan ∠APD =3，即∠APD =arctan 3，3πarctan 3arctan 344πθπ=--=-，所以30arctan 34πθ≤≤-．（2）△PMN 的面积214sin 2cos sin cos S PM PN MPN θθθ=⨯⨯∠=+481cos 21sin 2cos 21sin 222θθθθ===++++，因为30arctan 34πθ≤≤-，所以当242ππθ+=，即30,arctan 384ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S)81=-，所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2―1)平方米．【点评】本题考查解三角形的应用．掌握三角函数的性质是解题关键．解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值．7．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos 2A =0，且△ABC 为锐角三角形，a =7，c =6，求b 的值；（2）若a =3，3A π=，求b +c 的取值范围．【答案】（1）5b =；（2）b +c ∈(3，23]．【解析】（1）22223cos cos 223cos 2cos 10A A A A +=+-=Q ，∴21cos 25A =，又∵A 为锐角，1cos 5A =，而a 2=b 2+c 2―2bc cos A ，即2121305b b --=，解得b =5或135b =-（舍去），∴b =5．（2）由正弦定理可得()22sin sin 2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，203B π<<Q ，∴5666B πππ<+<，∴1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴b +c ∈(3，23]．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．。
2016届高考数学专题复习课件：专题4-三角函数(共77张PPT)-全国通用---二轮复习.ppt-[兼容模式]
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考法2 根据三角函数图象(或性质)求解析式
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考点26 三角函数图象及其变换
考法1 三角函数图象的变换
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考法1 三角函数图象的变换
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考法2 根据三角函数图象(或性质)求解析式
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考法2 根据三角函数图象(或性质)求解析式
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考点27 三角函数性质的应用
考法3 三角函数的奇偶性及其图象的对称性 考法4 三角函数的周期性 考法5 三角函数的单调性 考法6 三角函数的最值及值域 考法7 三角函数图象的综合应用 考法8 三角函数性质的综合应用
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考法4 三角函数式的化简与求值
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考法4 三角函数式的化简与求值
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考法5 三角函数的给值求值(角)
给值求角 即给出 角函数值 求符合条件的角．实质 也可以转化 给值求值问题 把所求角的 角函数值用含已知角的式子表示 由所得 的函数值结合该函数的单调性求得角． 解决给值求角问题遵循的原则 (1)根据题设条件求角的某一 角函数值．选函数时 一般根据 列原 则 若已知 函数值 选 函数 已知 弦、余弦函数值 选 弦 或者余弦函数 若角的范围是 可以选 弦函数或者余弦函数 若角的 范围是 选 弦函数比余弦函数好 因 弦函数在 区间 是单调函 数 理 若角的范围是(0 π) 选余弦函数比 弦函数好． (2)讨论角的范围 必要时需要根据已知 角函数值缩小角的范围．确 定角的范围要结合已知条件中的角的范围 以及 角函数值的符号 特 别要注意一些隐含条件 尽 使角的范围最小 避免出现增根． (3)根据角的范围和函数值确定角的大小．
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考点27 三角函数性质的应用
角函数的图象和性质
考法3 三角函数的奇偶性及其图象的对称性
2016年高考数学总复习专题二解三角形课件文
解三角形
题型一
正弦定理与余弦定理
例1：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 b2＋c2＝a2＋bc. (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3 ，b＝1，求角 B 的大小．
b2＋c2－a2 bc 1 解：(1)由题知，cosA＝ 2bc ＝2bc＝2， π 又∵∠A 是△ABC 的内角，∴∠A＝3. a b (2)由正弦定理sinA＝sinB， 3 1× 2 b· sinA 1 ∴sinB＝ a ＝ ＝2. 3 又∵b<a，∴∠B<∠A. π 又∠B 是△ABC 的内角，∴∠B＝6.
题型三
三角形中的综合问题
例 3：(2014 年浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边 分别为 a，b，c，已知 4sin
2A－B
2 ＋4sinAsinB＝2＋ 2.
(1)求角 C 的大小；
(2)已知 b＝4，△ABC 的面积为 6，求边长 c 的值．
思维点拨： (1)由二倍角的余弦公式把 4sin
题型二
求三角形的面积
例2：(2013 年浙江)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C
的对边分别为 a，b，c，且 2asinB＝ 3 b.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a＝6，b＋c＝8，求△ABC 的面积．
解：(1)由已知，得 2sinAsinB＝ 3sinB，且 ∴sinB≠0.
π 3 π ∴sinA＝ 2 ，且 A∈0，2.∴A＝3.
2A－B
2 ＋4sinAsinB
＝2＋ 2降次，再用两个角的和的余弦公式求 cos(A＋B)，由三 角形三内角和定理可求得 cosC，从而求得角 C；
(2)根据三角形的面积公式求出边a，再由余弦定理求c边．
2016届高考数学(理)二轮复习课件1-2-2
π 2tan · cos 5 ＝ π 2tan · cos 5
π ＋sin 5 π －sin 5
π 5 π 5
π sin 5 π π 2· cos ＋sin π 5 5 π cos 3sin 5 5 ＝ ＝ ＝3，故选 C. π π sin sin 5 π 5 π 2· cos －sin π 5 5 cos 5
(1)(2015· 重庆卷)若 tan A．1 C．3 B．2 D．4
3π cosα－10 π α＝2tan ，则 ＝( 5 π α － sin 5
)
(2)(2015· 济南一模)若 7 A．－ 9 2 C．－ 9
π 1 sin6－α ＝3，则
2π 1 1 7 2π ，∴cos 3 ＋2α＝1－2sin 3＋α＝1－2× ＝ ，故选 B. 3 9 9
[答案] B
(1)化简求值的方法与思路 三角函数式的化简求值可以采用 “切化弦 ”“弦化切 ” 来 减少函数的种类， 做到三角函数名称的统一， 通过三角恒等变换， 化繁为简， 便于化简求值， 其基本思路为： 找差异， 化同名(同角)， 化简求值．
)
1 A．－ 3 1 C. 3
2 B．－ 3 2 D. 3
[解析] cos
2
∵ cos
2
π α － 4
＝
π 1＋cos2α－2
2
1＋sin 2α ＝ ，∴ 2
π 2 α － ＝ ，故选 4 3
D.
[答案] D
2 ． (2015· 洛阳模拟)若 2sin2α＋sin 2α ＝( π α － cos 4 2 5 A．－ 5 3 5 C．－ 10 ) 3 5 B. 10 2 5 D. 5
2016版高考数学(新课标全国卷Ⅱ·理科)二轮复习配套课件专题二 三角函数与平面向量第3讲
(2)平面向量的两个重要定理 ①向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个 实数λ，使b＝λa； ②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线
向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数
λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
2．活用性质与结论 (1)平面向量的三个性质 ①若 a＝(x， y)，则 |a|＝ a· a ＝ x2＋ y2； ②若 A(x1， y1)， B(x2， y2)， → 则 |AB|＝ （ x2－x1） 2＋（ y2－ y1）2； ③若 a＝(x1， y1)，b＝(x2， y2)， θ 为 a 与 b 的夹角， x1x2＋ y1y2 a· b 则 cos θ＝ ＝ 2 2 2 . 2 |a||b| x1＋ y1 x2＋ y2
3．辨明易错易混点 (1)若 a＝0，则 a· b＝ 0，但由 a· b＝0，不能得到 a＝ 0 或 b＝0，因 为 a⊥ b，a· b＝ 0. (2)两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量 积大于 0 不等价．
考点一
平面向量的概念及线性运算
[命题角度] 1．平面向量的概念与表示．
λ＝ t， → → 线得，AB＝ tAC，所以 λa＋b＝t(a＋ μb)＝ ta＋ tμb，即 所 1＝ tμ，
以 λμ＝ 1，故 λ≠0.
2．若向量 α，β 是一组基底，向量 γ＝ xα＋ yβ(x，y∈ R)，则称(x， y)为向量 γ 在基底 α，β 下的坐标，现已知向量 a 在基底 p＝ (1， － 1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则向量 a 在另一组基底 m ＝ (－ 1， 1)， n＝ (1，2)下的坐标为( D ) A． (2，0) C． (－ 2， 0) B．(0，－2) D． (0，2)
2023新教材高考数学二轮专题复习：三角函数与解三角形课件
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题， 一般利用S＝12ab sinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边
用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
巩固训练1 1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知b(2sin A－ 3cos A)＝a sin B. (1)求A；
2，则sin B＝ 22且π>B>0，可得B＝π4或B＝34π，
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
解析：由题设，a＝2，则b＝ 3，又B＝π4，
所以cos B＝a2+c2−b2＝1+c2＝ 2，整理得c2－2 2c＋1＝0，解得c＝ 2±1，满足
2ac
4c 2
题设．
由S△ABC＝12ac sin B＝ 22c， 所以，当c＝ 2＋1时S△ABC＝1＋ 22；当c＝ 2－1时S△ABC＝1－ 22.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小 为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－1π2，π6]时， 求函数g(x)的值域．
解析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin (2x－π3)的图象． 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x－π3)的图象． 当当当x44∈xx－－[－ππ33＝＝1π2－π3，时π2时，π6]时，函，函数4数gx(－xg)(取π3x∈)取得[－得最2最大3π 小值，值，π3]，最，最 大小值值为为3－，2， 故函数g(x)的值域为[－2， 3].
1.已知函数f(x)＝ 称轴间的距离为π2.