上海市黄浦区2019届高三第一学期一模试卷数学试题(附答案)
黄浦区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
黄浦区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 如图，函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f （x ）的图象的一个对称中心是（ ）A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（，0）2． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 3． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A ．M ∪NB ．（∁U M ）∩NC ．M ∩（∁U N ）D ．（∁U M ）∩（∁U N ）4． 圆222(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2213y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ） AB ．2 CD．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．5． 如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（ ）A． B ． C. D． 6． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈 B ．5立方丈 C ．6立方丈 D ．8立方丈班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________7． 函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2.3） D ．（3，4）8． 在△ABC 中，，则这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角D ．等腰或直角三角形9． 已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），以双曲线C 的一个顶点为圆心，为半径的圆被双曲线C 截得劣弧长为23a π，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．65BC ．5D10．设函数()()21x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1111] 11．在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O ，A ，B 三点能构成三角形，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．“a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．设函数f （x ）=的最大值为M ，最小值为m ，则M+m= ．14．已知两个单位向量,a b 满足：12a b ∙=-，向量2a b -与的夹角为，则cos θ= . 15．观察下列等式 1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49 …照此规律，第n 个等式为 ．16．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=4，AA 1=3，沿该长方体对角面ABC 1D 1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．17．等比数列{a n}的公比q=﹣，a6=1，则S6=．18．已知函数f（x）=（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．三、解答题19．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．（1）求A∪B；（2）求（∁U A）∩B；（3）求∁U（A∩B）．20．在等比数列{a n}中，a1a2a3=27，a2+a4=30试求：（1）a1和公比q；（2）前6项的和S6．21．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．22．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．23．已知数列{a n}的首项a1=2，且满足a n+1=2a n+3•2n+1，（n∈N*）．（1）设b n=，证明数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．24．某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？黄浦区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】 B【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sin φ=，即sin φ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f （x ）=2sin （2x+）．由2x+=k π，k ∈Z 可解得：x=，k ∈Z ，故f （x ）的图象的对称中心是：（，0），k ∈Z当k=0时，f （x ）的图象的对称中心是：（，0），故选：B ．【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．2． 【答案】C【解析】根据分层抽样的要求可知在C 社区抽取户数为2492108180270360180108=⨯=++⨯．3． 【答案】B【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}， ∴∁U M={0，1}， ∴N ∩（∁U M ）={0，1}， 故选：B ．【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．4． 【答案】C5． 【答案】C 【解析】考点：平面图形的直观图.6． 【答案】 【解析】解析：选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E -AGHD 与四棱锥F -MBCN 与直三棱柱EGH -FMN .由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2，EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，所求的体积为V ＝13（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝13×（2×3）×1＋12×3×1×2＝5立方丈，故选B.7． 【答案】A【解析】解：∵f （0）=﹣2＜0，f （1）=1＞0，∴由零点存在性定理可知函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（0，1）． 故选A【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．8． 【答案】A【解析】解：∵，又∵cosC=，∴=，整理可得：b 2=c 2，∴解得：b=c ．即三角形一定为等腰三角形． 故选：A ．9． 【答案】B考点：双曲线的性质． 10．【答案】D 【解析】考点：函数导数与不等式．1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函数()()()21,xg x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值范围.11．【答案】B【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若O ，A ，B 三点能构成三角形，则O ，A ，B 三点不共线。
2019年上海市黄浦区中考数学一模试卷
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 15 2019年上海市黄浦区中考数学一模试卷2019 年上海市黄浦区中考数学一模试卷年上海市黄浦区中考数学一模试卷 共 一、选择题：一、选择题： （本大题共（本大题共 6 6 题，每题题，每题题，每题 4 4 分，满分分，满分分，满分 24 24 分）分）分） 1 1．（4 分）（2019黄浦区一模）如果两个相似三角形的周长比为黄浦区一模）如果两个相似三角形的周长比为 1 1： 4，那么这两个三角形的相似比为（，那么这两个三角形的相似比为（） A ．1： 2 B ．1：4 C ．1：8 D ．1：16 2．（4 分）（2019黄浦区一模）已知线段黄浦区一模）已知线段 a a 、b 、c ，其中，其中 c c 是 a 、b 的比例中项，若 a=9cm ，b=4cm b=4cm，，则线段则线段 c c长（ ） A ．18cm B ．5cm C ．6cm D ．6cm 3．（4 分）（2019黄浦区一模）如果向量黄浦区一模）如果向量 与向量与向量方向相反，且 ，那么向量用向量那么向量用向量表示为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（4 分）（2019黄浦区一模）在直角坐标平面内有一点黄浦区一模）在直角坐标平面内有一点 P P（3，4），OP 与 x 轴正半轴的夹角为轴正半轴的夹角为 ，下列结论正确的是（，下列结论正确的是（） A ．tan= B ．cot= C ．sin= D ．cos= 5．（4 分）（2019黄浦区一模）下列函数中不是二次函数的有（次函数的有（ ） A ．y=x y=x（（x ﹣1） B ．y= ﹣1 C ．y=y=﹣﹣x 2 D．y=（x+4x+4）） 2﹣x 2 6．（4 分）（2019黄浦区一模）如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别在边分别在边 AB AB 、AC 上，如果DE∥BC，且DCE=B DCE=B，那么下列说，那么下列说法中，错误的是（ ） A ．△ADE∽△ABC B ．△ADE∽△ACDC ．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB 共 二、填空题：二、填空题：（本大题共（本大题共 12 12 题，每题题，每题题，每题 4 4 分，满分分，满分分，满分 48 48 分）分）分） 7 7．（4 分）（2019黄浦区一模）如果黄浦区一模）如果 sin= sin= ，那么锐角，那么锐角，那么锐角 = = ． 8．（4 分）（2019黄浦区一模）已知线段黄浦区一模）已知线段 a a 、b 、c 、d ，如果，如果 ，那么，那么 = = ． 9．（4 分）（2019黄浦区一模）计算：黄浦区一模）计算：= ． 10．（4 分）（2019黄浦区一模）在 Rt△ABC 中，C=90C=90，，AC=2AC=2，，cotA=，则BC= ． 11．（4 分）（2019黄浦区一模）如图，已知已知 AD AD 、BC 相交于点相交于点 O O ，AB∥CD∥EF，如果如果 CE=2 CE=2，EB=4EB=4，，FD=1.5FD=1.5，，那么那么 AD= AD=． 12．（4 分）（2019黄浦区一模）如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的点，边上的点，且 CD=2BD ，如果如果 ， ，那么那么 = = （用含 、 的式子表示）． 13．（4 分）（2019黄浦区一模）在△ABC 中，点 O 是重心，是重心，是重心，DE DE 经过点经过点 O O 且平行于且平行于且平行于 BC BC 交边交边交边 AB AB 、AC 于点于点 D D 、E ，则 S △ADE ：S △ABC = ． 14．（4 分）（2019黄浦区一模）如图，在△ABC 中，中，D D 、E 分别是边分别是边 AC AC 、AB 上的点，且AD=2AD=2，，DC=4DC=4，，AE=3AE=3，，EB=1EB=1，，则 DE ：BC= ． 15．（4 分）（2019黄浦区一模）某水库水坝的坝高为高为 10 10 米，迎水坡的坡度为米，迎水坡的坡度为米，迎水坡的坡度为 1 1： 2.4，则该水库迎水坡的长度为，则该水库迎水坡的长度为 米．米． 16 16．（4 分）（2019黄浦区一模）如图，浦区一模）如图，AD AD AD、、BE 分别是△ABC 中 BC 、AC 边上的高，边上的高，AD=4AD=4AD=4，，AC=6AC=6，则，则，则 sinEBC= sinEBC=． 17．（4 分）（2019黄浦区一模）已知抛物线抛物线 y 1 =a y 1 =a （x ﹣m ） 2 +k 与 y 2 =a （x+m x+m）） 2 +k （m0m0）关于）关于）关于 y y 轴对称，我们称轴对称，我们称 y 1 y 1 与 y 2 互为和谐抛物线．请写出抛物线互为和谐抛物线．请写出抛物线 y= y=﹣4x 2 +6x+7 的和谐抛物线的和谐抛物线． 18．（4 分）（2019黄浦区一模）---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------3 / 15 如图，如图，在梯形在梯形在梯形 ABCD ABCD 中，中，中，AD∥BC，AD∥BC，AD∥BC，B=45B=45B=45，点，点，点 E E 是 AB 的中点，的中点，DE=DC DE=DC DE=DC，，EDC=90EDC=90，若，若，若 AB=2 AB=2，则，则，则 AD AD 的长是的长是的长是 ． 共 三、解答题：三、解答题： （本大题共（本大题共 7 7 题，满分题，满分题，满分 78 78 分）分）分） 19 19．（10 分）（2019黄浦区一模）计算：模）计算：cos 2 4545﹣﹣ +cot 2 3030．． 20．（10 分）（2019黄浦区一模）如图，已知△ABC 中，点 D 、E 分别在边分别在边 AB AB 和 AC 上，上，DE∥BC，点 F 是 DE 延长线上的点，延长线上的点， ，联结，联结 FC FC ，若，若，若 ，求，求 的值．的值． 21 21．（10 分）（2019黄浦区一模）已知抛物线黄浦区一模）已知抛物线 y=ax y=ax2 +bx+c 如图所示，请结合图象中所给信息完成以下问题：给信息完成以下问题：（1）求抛物线的表达式；）求抛物线的表达式；（2）若该抛物线经过一次平移后过原点原点 O O，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式．式． 22 22．（10 分）（2019黄浦区一模）如图，已知四边形黄浦区一模）如图，已知四边形 ABCD ABCD 的对角线对角线 AC AC 、BD 交于点交于点 F F ，点，点 E E 是 BD 上一点，且BCA=ADE BCA=ADE，，CAD=BAE CAD=BAE．． （1）求证：）求证：△ABC∽△AED；△ABC∽△AED； （2）求证：）求证：BEAC=CDAB ． 23．（12 分）（2019黄浦区一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点 O O 到球心的长度为到球心的长度为到球心的长度为 50 厘米，小球在厘米，小球在 A A、B 两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在 C 点位置时达到最低点．点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为最低点时细绳相应所成的角度为 37 37，细绳在右侧达到最高点时与一，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板个水平放置的挡板 DE DE 所成的角度为所成的角度为3030．．（sin370.6sin370.6，，cos370.8cos370.8，，tan370.75tan370.75））（1）求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差．差． （2）求）求 OD OD 这段细绳的长度．这段细绳的长度．这段细绳的长度． 24 24．（12 分）（2019黄浦区一模）在平面直角坐标系模）在平面直角坐标系 xOy xOy 中，抛物线中，抛物线中，抛物线 y=ax y=ax 2 ﹣3ax+c 与 x 轴交轴交于 A （﹣（﹣（﹣11，0）、B 两点（两点（A A 点在点在 B B 点左侧）点左侧），与，与 y y 轴交于点轴交于点轴交于点 C C （0，2）． （1）求抛物线的对称轴及）求抛物线的对称轴及 B B 点的坐标；点的坐标；点的坐标； （2）求证：）求证：CAO=BCO ； （3）点）点 D D 是射线是射线是射线 BC BC 上一点（不与上一点（不与上一点（不与 B B 、C 重合），联结联结 OD OD ，过点过点 B B 作 BEOD ，垂足为△BOD 外一点外一点 E E，若△BDE 与△ABC 相似，求点相似，求点 D D 的坐标．的坐标．的坐标． 25 25．（14 分）（2019黄浦区一模）已知直线 l 1 、l 2 ，l 1 ∥l 2 ，点 A 是 l 1 上的点，上的点，B B 、C是 l 2 上的点，的点，ACBC ACBC ACBC，，ABC=60ABC=60，，AB=4AB=4，，O 是 AB 的中点，的中点，的中点，D D 是 CB 延长线上的延长线上的点，将△DOC 沿直线沿直线 CO CO 翻折，点翻折，点翻折，点 D D 与 D 重合．重合． （1）如图）如图 1 1，当，当点 D D落在直线落在直线落在直线 l 1 l 1 上时，求上时，求 DB DB 的长；的长；的长； （2）延长）延长 DO DO交 l 1 于点 E ，直线，直线，直线 OD OD 分别交分别交 l l 1 、l 2 于点于点 M M 、N ． ①如图①如图 2 2，当点当点 E E 在线段线段 AM AM 上时，设上时，设上时，设 AE=x AE=x ，DN=y DN=y，求，求，求 y y 关于关于关于 x x 的函数解析式及其定的函数解析式及其定义域；义域； ②若△DON ②若△DON 的面积为的面积为 时，求时，求 AE AE 的长．的长．的长． 2019 2019 年上海市黄浦区中考数学一模试卷黄浦区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析参考答案与试题解析 共 一、选择题： （本大题共（本大题共 6 6 题，每题题，每题题，每题 4 4 分，满分分，满分分，满分 24 24 分）分）分） 1 1．（4 分）（2019黄浦区一模）如果两个相似三角形的周长比为黄浦区一模）如果两个相似三角形的周长比为 1 1： 4，那么这两个三角形的相似比为（，那么这两个三角形的相似比为（） A ．1： 2 B ．1：4 C ．1：8 D ．1：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------5 / 15 16 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【解答】解：答】解：∵两个相似三角形的周长比为∵两个相似三角形的周长比为 1 1： 4， 这两个三角形的相似比为这两个三角形的相似比为 1 1： 4， 故选：故选：B ． 2．（4 分）（2019黄浦区一模）已知线段黄浦区一模）已知线段 a a 、b 、c ，其中，其中 c c 是 a 、b 的比例中项，若 a=9cm ，b=4cm b=4cm，，则线段则线段 c c长（ ） A ．18cm B ．5cm C ．6cm D ．6cm 【分析】由【分析】由 c c是 a 、b 的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段例中项的定义，列出比例式即可得出线段 c c 的长，注意线段不能为的长，注意线段不能为负．负． 【解答】解：【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．比例中项的平方等于两条线段的乘积． 所以所以 c c 2 =49=49，解得，解得，解得 c=6 c=6（线段是正数，负值舍去）， 故选故选 C C． 3．（4 分）（2019黄浦区一模）如果向量如果向量 与向量与向量 方向相反，且 ，那么向量用向量那么向量用向量表示为（ ） A ． B ． C ． D ． 【分析】由向量【分析】由向量【分析】由向量 与向量与向量 方向相反，且方向相反，且 ，可得 3 =﹣ ，继而求得答案．，继而求得答案． 【解答】解：【解答】解：∵向量∵向量 与向量与向量 方向相反，且方向相反，且 ， 3 =﹣ ， =﹣ ． 故选故选D ． 4．（4 分）（2019黄浦区一模）在直角坐标平面内有一点在直角坐标平面内有一点 P P（3，4），OP 与 x 轴正半轴的夹角为轴正半轴的夹角为轴正半轴的夹角为 ，下列结论正确的是（ ） A ．tan= B ．cot= C ．sin= D ．cos= 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．案． 【解答】解：【解答】解：斜边为斜边为 =5 =5， A 、tan= ，故 A 正确；正确； B 、cot= ，故 B 错误；错误； C 、sin= ，故，故 C C 错误；错误；错误； D D 、cos= ，故，故 D D 错误；错误；错误； 故选：故选：A ． 5．（4 分）（2019黄浦区一模）下列函数中不是二次函数的有（的有（ ） A ．y=x y=x（（x ﹣1）B ．y= ﹣1C ．y=y=﹣﹣x 2D ．y=y=（（x+4x+4）） 2 ﹣x 2 【分析】依据二次函数的定义回答即可．【分析】依据二次函数的定义回答即可． 【解答】解：【解答】解： A 、整理得整理得 y=x y=x2 ﹣x ，是二次函数，与要求不符； B 、y= ﹣1 是二次函数，二次函数，与要求不符；与要求不符；与要求不符； C C 、y=y=﹣﹣x 2 是二次函数，与要求不符；是二次函数，与要求不符； D D 、整理得：整理得：y=8x+16 是一次函数，与要求相符．是一次函数，与要求相符． 故选：故选：D ． 6．（4 分）（2019黄浦区一模）如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别在边分别在边 AB AB 、AC 上，如果DE∥BC，且DCE=B DCE=B，那么下列说法中，，那么下列说法中，错误的是（ ） A ．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△D △ADE∽△DCB CBD ．△DEC∽△CDB 【分析】由相似三角形的判定方法得出由相似三角形的判定方法得出 A A、B 、D 正确，确，C C 不正确；即可得出结论．不正确；即可得出结论． 【解答】解：【解答】解：∵DE∥BC， △ADE∽△ABC，BCD=CDE BCD=CDE，，ADE=B ADE=B，，AED=ACB AED=ACB，，∵DCE=B， ADE=DCE ， 又∵A=A ， △ADE∽△ACD ； ∵BCD=CDE ，DCE=B ， △DEC∽△CDB； ∵B=ADE， 但是BCD BCD＜＜AED AED，，且BCDA BCDA，，△ADE 与△DCB 不相似；不相似； 正确的判断是正确的判断是 A A 、B 、D ，错误的判断是，错误的判断是 C C ； 故选：故选： C ． 共 二、填空题：二、填空题：（本大题共（本大题共 12 12 题，每题题，每题题，每题 4 4 分，满分分，满分分，满分 48 48 分）分）分） 7 7．（4 分）（2019黄浦区一模）如果黄浦区一模）如果 sin= sin= ，那么锐角，那么锐角，那么锐角 = 60 = 60 ． 【分析】根据特殊角---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------7 / 15 三角函数值，可得答案．三角函数值，可得答案． 【解答】解：【解答】解：由 sin= ，得，得，得 锐角锐角 =60 =60， 故答案为：故答案为：60． 8．（4 分）（2019黄浦区一模）已知线段黄浦区一模）已知线段 a a、b 、c 、d ，如果如果 ，那么，那么 = = ． 【分析】根据等比性质：【分析】根据等比性质：? = ，可得答案．，可得答案． 【解答】解：【解答】解：由等比性质，得由等比性质，得 = = ， 故答案为：故答案为：． 9．（4 分）（2019黄浦区一模）计算：黄浦区一模）计算：= + ． 【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．得答案． 【解答】解：【解答】解：= ﹣3 ﹣ +4 = + ． 故答案为：故答案为：． 10．（4 分）（2019黄浦区一模）在黄浦区一模）在 Rt△ABC 中，C=90C=90，，AC=2AC=2，，cotA= ，则，则 BC= BC=6 ． 【分析】根据余切等于邻边比对边，可得答案．得答案． 【解答】解：【解答】解：Rt△ABC 中，C=90C=90，，AC=2AC=2，，cotA= = ，得，得，得 BC=3AC=32=6 BC=3AC=32=6， 故答案为：案为：6． 11．（4 分）（2019黄浦区一模）如图，已知黄浦区一模）如图，已知 AD AD、BC 相交于点于点 O O ，AB∥CD∥EF，如果如果 CE=2 CE=2，EB=4EB=4，，FD=1.5FD=1.5，，那么那么 AD= AD=4.5 ． 【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得 AF=3，则，则 AD=AF+FD=4.5 即可．即可． 【解答】解：【解答】解：∵AB∥EF，∵AB∥EF， ，则，则，则 ， 又 EF∥CD，EF∥CD， ，则，则，则 ， ， 即 ， 解得： AF=3， AD=AF+FD=3+1.5=4.5， 即 AD 的长是的长是的长是 4.5 4.5； 故答案为：4.5． 12．（4 分）（2019黄浦区一模）如图，在△AB 黄浦区一模）如图，在△ABC C 中，点中，点 D 是 BC 边上的点，且边上的点，且边上的点，且 CD=2BD CD=2BD ，如果，如果，如果 ， ，那么，那么 = = 3 ﹣3 （用含（用含 、 的式子表示）． 【分析】由【分析】由【分析】由 ， ，直接利用三角形法则即可求得，直接利用三角形法则即可求得 ，再由再由 CD=2BD CD=2BD ，即可求得答案．，即可求得答案．，即可求得答案． 【解答】解：【解答】解：∵ ， ， = ﹣ = ﹣ ， ∵在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的点，边上的点，且 CD=2BD ， =3 =3 ﹣3 ． 故答案为：故答案为：． 13．（4 分）（2019黄浦区一模）在△ABC 中，点 O 是重是重心，DE 经过点经过点 O O 且平行于且平行于且平行于 BC BC 交边交边交边 AB AB 、AC 于点于点 D D、E ，则 S △ADE ： S △ABC = 4：9 ． 【分析】根据三角形的重心的性质得到【分析】根据三角形的重心的性质得到 = = ，根据相似三角，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方交点即可．形的面积比等于相似比的平方交点即可． 【解答】解：【解答】解：∵点∵点 O O 是重心，是重心，是重心， = = ， ∵DE∥BC，∵DE∥BC， = = = = ，△ADE∽△ABC，，△ADE∽△ABC， S S △ADE ：S △ABC =4：9， 故答案为：故答案为：4：9． 14．（4 分）（2019黄浦区一模）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边分别是边 AC AC 、AB 上的点，且AD=2AD=2，，DC=4DC=4，，AE=3AE=3，，EB=1EB=1，则，则，则 DE DE ： BC= ． 【分析】根据已知条件得到 ，由于A=A A=A，推出，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解： ∵AD=2，∵AD=2，DC=4DC=4DC=4，，AE=3AE=3，，EB=1EB=1，， AC=6，AB=4AB=4，，， ， ， ∵A=A， △ADE∽△ABC，△ADE∽△ABC， DE DE：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------9 / 15 BC=AD ：AB=1：2， 故答案为：故答案为：． 15．（4 分）（2019黄浦区一模）某水库水坝的坝高为某水库水坝的坝高为 10 10 米，米，迎水坡的坡度为迎水坡的坡度为 1 1： 2.4，则该水库迎水坡的长度为，则该水库迎水坡的长度为 26 26 米．米．米． 【分析】因为【分析】因为 tan tan （坡（坡度）度）==垂直距离水平距离，可得水平距离为垂直距离水平距离，可得水平距离为 24 24 米，根据勾股定理可米，根据勾股定理可得背水面的坡长为得背水面的坡长为 26 26 米．米．米． 【解答】解：【解答】解：∵大坝高∵大坝高 10 10 米，背水坝的坡度为米，背水坝的坡度为米，背水坝的坡度为 1 1： 2.4， 水平距离水平距离=102.4=24=102.4=24=102.4=24（米）（米）． 根据勾股定理，可得背水面的坡长为：的坡长为：=26（米）． 故答案为：故答案为：26． 16．（4 分）（2019黄浦区一模）如图，AD AD、、BE 分别是△ABC 中 BC 、AC 边上的高，边上的高，AD=4AD=4AD=4，，AC=6AC=6，则，则，则 sinEBC= sinEBC= ． 【分析】根据【分析】根据【分析】根据 AD AD、、BE分别是△ABC 中 BC 、AC 边上的高，可以求得EBC 和DAC 的关系，关系，AD=4AD=4AD=4，，AC=6AC=6，可以求得，可以求得，可以求得 CD CD 的长，从而可以求出的长，从而可以求出DAC的三角函数值，进而可以得到EBC 的三角函数值，的三角函数值，本题得以解决．本题得以解决．本题得以解决．【解答】解：解：∵AD、∵AD、BE BE 分别是△ABC 中 BC 、AC 边上的高，边上的高， BDA=ADC=90 BDA=ADC=90， CBE=DAC CBE=DAC，， ∵ADC=90，∵ADC=90，AD=4AD=4AD=4，，AC=6AC=6，， CD=， sin ， sinEBC= ， 故答案为：答案为：． 17．（4 分）（2019黄浦区一模）已知抛物线黄浦区一模）已知抛物线 y 1 =a y 1 =a （x ﹣m ） 2 +k 与 y 2 =a =a（（x+m x+m）） 2 +k +k（（m0m0）关于）关于）关于 y y 轴对称，我们称轴对称，我们称轴对称，我们称 y y 1 与 y 2 互为和谐抛物线．请写出抛物线互为和谐抛物线．请写出抛物线 y= y=﹣4x 2 +6x+7 的和谐抛物线抛物线 y= y=﹣4x 2 ﹣6x+7 ． 【分析】根据关于【分析】根据关于 y y 轴对称的点的坐轴对称的点的坐标规律：标规律：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案 【解答】解：【解答】解： 抛物线抛物线 y= y=﹣4x 2 +6x+7 的和谐抛物线是的和谐抛物线是 y= y=﹣4（﹣（﹣x x ） 2 +6+6（﹣（﹣x ）+7+7，， 化简，得化简，得 y= y=﹣4x 2 ﹣6x+76x+7，， 故答案为：故答案为：y=﹣4x 2 ﹣6x+76x+7．． 18．（4 分）（2019黄浦区一模）如图，在梯形梯形 ABCD ABCD 中，中，中，AD∥BC，AD∥BC，AD∥BC，B=45B=45B=45，，点 E 是 AB 的中点，的中点，DE=DC DE=DC DE=DC，，EDC=90EDC=90，，若 AB=2，则，则，则 AD AD 的长是的长是的长是 ． 【分析】延长【分析】延长【分析】延长 DE DE 交 CB 的延长线于的延长线于点 F ，将，将，将 AD AD 替换成替换成替换成 BF BF ，再由三角形相似，借助比的特性，即能得，再由三角形相似，借助比的特性，即能得出结论．出结论． 【解答】解：【解答】解：延长延长 DE DE 交 CB 的延长线于点的延长线于点的延长线于点 F F ，如图，，如图，，如图， ∵AD∥BC，∵AD∥BC，∵AD∥BC， ADE=F ADE=F ， ∵点∵点 E E是 AB 的中点， AE=BE=1， 在△ADE 和△BFE 中， ， △ADE≌△BFE （AAS AAS））， AD=BF ，DE=EF DE=EF，， ∵B=F+BEF=45，DE=DC DE=DC，，EDC=90EDC=90，， CED=F+ECF=45CED=F+ECF=45，，CE= DE DE，， BEF=ECF ， ∵F=F，∵F=F， △BEF∽△ECF，△BEF∽△ECF， = = ，即 = ， = ， AD= ． 故答案为：故答案为：． 共 三、解答题：三、解答题：（本大题共（本大题共 7 7 题，满分题，满分题，满分 78 78 分）分）分） 19 19．（10 分）（2019黄浦区一模）计算：模）计算：cos 2 45﹣ +cot 2 30． 【分析】根据特殊角三角函数值，可---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------11 / 15 得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．得实数的运算，根据实数的运算，可得答案． 【解答】解：【解答】解：原式原式==（） 2 ﹣ +（ ） 2 = ﹣ +3 = ． 20．（10 分）（2019黄浦区一模）如图，已知△ABC 中，点 D 、E 分别在边分别在边 AB AB 和 AC 上，上，DE∥BC，点 F 是 DE 延长线上的点，延长线上的点， ，联结联结 FC FC，若 ，求 的值． 【分析】由平行线分线段成比例定理和已知条件得出析】由平行线分线段成比例定理和已知条件得出 ，证出，证出AB∥CF，再由平行线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果．由平行线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果．【解答】解：解：∵DE∥BC，∵DE∥BC， ， 又∵ ， ， AB∥CF，AB∥CF， = =， ∵ ， =2， =2=2．． 21．（10 分）（2019黄浦区一模）已知抛物线黄浦区一模）已知抛物线 y=ax 2 +bx+c y=ax 2 +bx+c 如图所示，请结合图象中所给信息完成以下问题：如图所示，请结合图象中所给信息完成以下问题：（1）求抛物线的表达式；）求抛物线的表达式；（2）若该抛物线经过一次平移后过原点原点 O O，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式．式． 【分析】【分析】（1）根据题意和图形列出三元一次方程组，解方程组得到答案．得到答案．（2）由于平移前后的二次项系数不变，而平移后的抛物线过原点，则平移后的抛物线解析式中常数项为则平移后的抛物线解析式中常数项为 0 0，然后根据这两个条件写出一个解析式即可．条件写出一个解析式即可． 【解答】解：【解答】解：（1）由题意得）由题意得 ， 解得解得 ． 函数的解析式为：函数的解析式为：y=﹣x 2 ﹣2x+32x+3；； （2）平移抛物线）平移抛物线 y= y=﹣x 2 ﹣2x+32x+3，使它经，使它经过原点，则平移后的抛物线解析式可为过原点，则平移后的抛物线解析式可为 y= y=﹣x 2 ﹣2x 2x．． 故向下平移故向下平移 3 个单位，即可得到过原点个单位，即可得到过原点 O O 的抛物线．的抛物线．的抛物线． 22 22．（10 分）（2019黄浦区一模）如图，已知四边形浦区一模）如图，已知四边形 ABCD ABCD 的对角线的对角线的对角线 AC AC 、BD 交于点交于点 F F ，点，点，点E 是 BD 上一点，且上一点，且BCA=ADE BCA=ADE，，CAD=BAE CAD=BAE．． （1）求证：）求证：△ABC∽△AED；△ABC∽△AED； （2）求证：）求证：BEAC=CDAB ． 【分析】（1）根据已知条件和角的和差得到BAC=DAE BAC=DAE，，由于ACB=ADE ACB=ADE，即可得到结论；，即可得到结论；，即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到）根据相似三角形的性质得到 ，由BAE=CAD BAE=CAD，推出△ABE∽△ACD，由相似三角形的性质即可得到结，推出△ABE∽△ACD，由相似三角形的性质即可得到结论．论． 【解答】证明：【解答】证明：（1）∵BAE=DAC，）∵BAE=DAC，BAC=BAE BAC=BAE BAC=BAE﹣﹣CAE CAE，，DAE=DAC DAE=DAC﹣﹣CAE CAE，， BAC=DAE ， ∵ACB=ADE， △ABC∽△AED； （2）∵△ABC∽△AED， ， ∵BAE=CAD， △ABE∽△ACD，△ABE∽△ACD， ， 即：即：BEAC=CDAB ． 23．（12 分）（2019黄浦区一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点 O O 到球心的长度到球心的长度为 50 厘米，小球在厘米，小球在厘米，小球在 A A 、B 两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在，在 C C 点位置时达到最低点．达到左侧最高点时点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为与最低点时细绳相应所成的角度为 37 37，细绳在右侧达到最高点时与，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板一个水平放置的挡板 DE DE 所成的角度为所成的角度为3030．．（sin370.6sin370.6，，cos370.8cos370.8，，tan370.75tan370.75））（1）求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差． （2）求 OD 这段细绳的长度．这段细绳的长度． 【分析】（1）根据题意得出根据题意得出 CF=OC CF=OC ﹣OF=OC OF=OC﹣﹣OAcos37OAcos37，，进而得出答案； （2）根据题意得出根据题意得出 CF=CD CF=CD﹣DF=BD ﹣BDcos60=10BDcos60=10，进而得出，进而得出，进而得出 DC DC 的长，进而得出答案．的长，进而得出答案．的长，进而得出答案． 【解答】解：【解答】解： （1）连接）连接 AB AB 交 OC 于点于点于点 F F ，可知，，可知，，可知，ABOC ABOC ABOC，， 由题意可得：由题意可得： AOC=37， 则 CF=OC ﹣OF=OC OF=OC﹣﹣OAcos37=50OAcos37=50﹣﹣500.8=10500.8=10（（cm cm））， 故 A ，C 之间的高度差为之间的高度差为 10cm 10cm ； （2）由（）由（11）知，）知，B B ，C的高度差也---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------13 / 15 是 10cm ， 故 CF=CD ﹣DF=BD DF=BD﹣﹣BDcos60=10BDcos60=10（（cm cm））， 解得：解得：CD=20， 则 OD=OC ﹣BD=50BD=50﹣﹣20=3020=30（（cm cm））， 答：答：OD 这段细绳的长度为这段细绳的长度为 30cm 30cm． 24．（12 分）（2019黄浦区一模）在平面直角坐标系模）在平面直角坐标系 xOy xOy 中，抛物线中，抛物线中，抛物线 y=ax y=ax 2 ﹣3ax+c 与 x 轴交轴交于 A （﹣（﹣（﹣11，0）、B 两点（两点（A A 点在点在 B B 点左侧）点左侧），与，与 y y 轴交于点轴交于点轴交于点 C C （0，2）． （1）求抛物线的对称轴及）求抛物线的对称轴及 B B 点的坐标；点的坐标；点的坐标； （2）求证：）求证：CAO=BCO ； （3）点）点 D D 是射线是射线是射线 BC BC 上一点（不与上一点（不与上一点（不与 B B 、C 重合），联结联结 OD OD ，过点过点 B B 作 BEOD ，垂足为△BOD 外一点外一点 E E ，若△BDE 与△A B C BC 相似，求点相似，求点 D D 的坐标．的坐标．的坐标． 【分析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得对称轴，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得轴对称，可得 B B 点坐标；点坐标；点坐标； （2）根据正切函数值相等的两锐角相等，可得答案； （3）根据两角对应相等的两个三角形相似，可得①EBD=CBA，根据余角的性质，可得EDB=CAB=OCD=ODC EDB=CAB=OCD=ODC，根据等腰三，根据等腰三角形的判定，可得可得 OD OD 的长，的长，根据勾股定理，可得可得 a a 的值，的值，根据根据 a a 的值 OH 的长，的长，可得可得 D D 点坐标；点坐标； ②根据等腰三角形的判定，可得可得 OD OD 的长，根据勾股定理，可得长，根据勾股定理，可得 m m 的值，根据自变量与函数值的对应关系，的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．可得答案． 【解答】解：【解答】解：（1）将）将 A A 、C 点坐标代入函数解析式，得点坐标代入函数解析式，得 ，解得，解得， 抛物线的解析式为解析式为 y= y=﹣ x 2 + x+2=x+2=﹣﹣ （x ﹣ ） 2 + ， 对称轴为对称轴为 x= x=， A 到对称轴的距离是对称轴的距离是 ﹣（﹣﹣（﹣11）= ， B 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， + =4 + =4， B 点坐点坐标为（标为（44，0）； （2）证明：）证明：如图如图 1 1 ， ∵AO=1，∵AO=1，OC=2OC=2OC=2，，BO=4BO=4，， tanCAO= =2，tanBCO= 2， tanCAO=tanBCO tanCAO=tanBCO，， CAO=BCO ； （3）垂足为△BOD 外一点 E ，得△BOD ，得△BOD 为钝角三角形，BED=ACB=90BED=ACB=90，， ①EBD=CBA 时，如图如图如图 2 2 ， 过 D 作 DHOB 于 H ， EDB=CAB=OCD=ODC ， OD=OC=2． tanCBO= = = ， 设 DH=a ，HB=2a HB=2a，，OH=4OH=4﹣﹣2a 2a，， OD 2 =OH 2 +DH 2 ，即，即 4= 4=（4﹣2a 2a）） 2 +a 2 ， 解得解得 a= a= ，a=2（舍）， 当 a= 时，时，OH=4OH=4﹣﹣2a= ， D 点坐标为点坐标为（ ， ）； ②EDB=CBA 时，如图 3 ， 此时此时 OD=OB=4 OD=OB=4， BC ： y=﹣ x+2， 设 D （m ，﹣，﹣ m+2 m+2）， m 2 +（﹣（﹣ m+2 m+2） 2 =16，解得 m=﹣ ，m=4m=4（舍）（舍）， 当 m=﹣ 时，﹣时，﹣ m+2= m+2= ， D （﹣（﹣（﹣ ， ）， 综上所述：上所述：D 点坐标为（点坐标为（ ， ），（﹣（﹣， ）． 25．（14 分）（2019黄浦区一模）已知直线一模）已知直线 l l 1 、l 2 ，l 1 ∥l 2 ，点 A 是 l 1 上的点，上的点，B B 、C 是 l 2 上的点，上的点，ACBC ACBC ACBC，，ABC=60ABC=60，，AB=4AB=4，，O 是 AB 的中点，的中点，的中点，D D 是 CB 延长线上的点，将△DOC 沿直线沿直线 CO CO 翻折，点翻折，点翻折，点 D D 与 D 重合．重合．（1）如图如图 1 1，当点当点 D D 落在直线落在直线 l l 1 上时，求 DB 的长；的长； （2）延长延长 DO DO 交 l 1 于点于点于点 E E ，直线，直线，直线 OD OD OD分别交分别交分别交 l 1 l 1 、l 2 于点于点于点 M M 、N ． ①如图①如图 2 2，当点当点 E E 在线段在线段在线段 AM AM 上时，设上时，设上时，设 AE=x AE=x ，DN=y DN=y，求，求，求 y y 关于关于关于 x x 的函数解析的函数解析式及其定义域；式及其定义域； ②若△DON 的面积为 时，求时，求 AE AE 的长．的长．的长． 【分析】（1）过）过 D D 作 DHl 2 ，如图，如图 1 1 所示，可得所示，可得所示，可得 DH=AC DH=AC ，由折叠的性质及，由折叠的性质及平角定义得到DCH=60DCH=60，，DC=DC DC=DC，求出，求出，求出 DC DC 的长，即为的长，即为的长，即为 DC DC 的长，再由的长，再由三角形三角形 BOC BOC 为等边三角形，为等边三角形，且 OC 等于斜边等于斜边等于斜边 AB AB 的一半，的一半，求出求出 BC BC 的长，由长，由 DC DC ﹣BC 求出求出 BD BD 的长即可；的长即可；的长即可； （2）①利用两对角相等的三角---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------15 / 15形相似得到△BOD∽△CND，由相似得比例列出关系式，即可确定出即可确定出 y y 与 x 的函数解析式，并求出定义域即可；的函数解析式，并求出定义域即可；的函数解析式，并求出定义域即可； ②过②过 O O 作 OPBC ，如图，如图，如图 3 3 所示，由所示，由 OP OP 的长及已知三角形的长及已知三角形的长及已知三角形 DON DON 的面积，求出的面积，求出的面积，求出 DN DN 的长，分两的长，分两种情况考虑：种情况考虑：当点当点 E E 在线段在线段在线段 AM AM 上时，上时，如图如图 3 3 所示，所示，根据根据 DN DN 的长，的长，求出求出 AE AE 的长即可；当点的长即可；当点 E E 在线段在线段在线段 AM AM 的延长线上时，如图的延长线上时，如图的延长线上时，如图 4 4 所示，同理可所示，同理可得△BOD∽△CND，由相似得比例求出此时得△BOD∽△CND，由相似得比例求出此时 AE AE 的长即可．的长即可．的长即可． 【解答】解：解：（1）过 D 作 DHl 2 ，如图 1 所示，可得 DH=AC=2 ， ∵DCO=DCO=60， DCH=60， CD=CD=4， ∵DCO=ABC=DCO=60， △OBC 为等边三角形，即等边三角形，即 BO=CO=BC BO=CO=BC ， ∵O 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中点，上的中点，上的中点， OC= AB=2，即，即，即 BC=2 BC=2， BD=CD ﹣BC=2BC=2；； （2）①∵DCO=DCO=BOC=60，）①∵DCO=DCO=BOC=60， OBD=NCD=120OBD=NCD=120，， ∵ODC=ODC， △BOD∽△CND， = ，即 = ， 则 y= ﹣x （0＜x2x2））； ②过②过 O O 作 OPBC ，如图，如图，如图 3 3 所示，所示，所示， S △DON = DNOP= ，OP= ， DN=3， 当点当点 E E 在线段在线段在线段 AM AM 上时，如图上时，如图上时，如图 3 3 所示，所示，所示， 可得可得可得 DN=y=3DN=y=3，， ﹣x=3x=3，， 解得：解得：x=1（负值舍去），即，即 AE=1 AE=1； 当点当点 E E 在线段在线段在线段 AM AM 的延长线上时，的延长线上时，如图如图 4 4 所示，所示，所示， 同理可得△BOD∽△CND，同理可得△BOD∽△CND，同理可得△BOD∽△CND， = = ，即，即 = = ， 解得：解得： AE=4， 综上，综上，AE AE 的长为的长为 1 1 或 4．。
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学考前模拟卷(1)含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学考前模拟卷（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84C ．57D ．56【答案】A 【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【详解】解：31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.2．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩，得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 3．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项. 【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.4．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5} B ．{1,2,3,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的基本运算即可求解.解：{1,3,5}A =Q ，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =， 则(){1,3}{2,3,4,5}{1,2,3,4,5}A B C ⋂⋃=⋃= 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．5．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A 【解析】 【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可. 【详解】所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.7．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．13,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知函数()y f x =为R 上为减函数，可知函数()2y a x =-为减函数，且()212212a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由题意知函数()y f x =是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得138a ≤， 因此，实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：B. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.8．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断. 【详解】当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥， 所以函数在[]0,2π上单调递增， 令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小， 当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数在[]2,0π-上单调递增， 令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D 【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 9．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A 【解析】 【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.10．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20206log a =（ ） A ．1- B ．1C 2D ．2【解析】 【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a 是正项等比数列，所以2020a ==∴20201a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.11．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则||a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，而|(0)|1c f m ==-，比较()()0,2f f ，即可比较,,a b c . 【详解】因为()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限， 所以01m <<，(1)0f =，所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又因为31382412422<=<=<，所以a b <，则|2|(2)||(0)|10f f m -=-<， 即|(2)||(0)|f f <， 所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想. 12．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．1516【答案】D 【解析】 【分析】由程序框图确定程序功能后可得出结论． 【详解】执行该程序可得12341111150222216S =++++=． 故选：D ． 【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市浦东新区2019-2020学年度第一学期期末(一模)教学质量检测高三数学word版
上海市浦东新区2020届高三毕业班一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I2. 222lim 31n n n →∞=+ 3. 复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z = 4. 若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为5. 设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =6.在6(x +的二项展开式中，常数项为 7. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为8. 已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概 率为 （结果用数值表示）9. 在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为 10.若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是11. 已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ， 不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为 12. 如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件14. 已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A. (0,1)B. (1,0)C. (1,2)D. (2,1) 15. 以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A. 2211615x y +=B. 221164x y +=C. 22143x y +=D. 2214x y += 16. 动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰 好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是31(,)2，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位： 秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A. [0,3]B. [3,6]C. [6,9]D. [9,12]三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°.18. 已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.19. 某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府 大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作， 经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售 的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元. （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？20. 已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和||||AB EF =uu u r uu u r同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.21. 定义1212231(,,,)||||||n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.参考答案一. 填空题1. (0,2)2.233. 4. 111112⎛⎫⎪-⎝⎭5. 21n +6. 157. 2π8. 149.10. [0,311. (,1]-∞- 12. 90 11.111(1)n n a a n n n n +=+++，累加可得11211n a n n +=-++，∴322t a -⋅≥，即21t a ⋅≤， ∵[2,2]a ∈-，∴2211t t ⋅≤⇒≤-12. ∵2441936=，2452025=，∴从89n =开始分析，当89n =，12max (sin 2sin sin )123444504647891980n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+⨯+++⋅⋅⋅+=当90n =，12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+= 当12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. D三. 解答题17．【解答】（1）证明：联结BD ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以，BD AC ⊥，……………………………………………………2分 又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂≠平面ABCD ，所以SD AC ⊥．………………………………………………………4分由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥D SD BD SD AC BD AC ⇒⊥AC 平面SBD ．………………………………………6分 又因为BE ⊂≠平面SED ，所以BE AC ⊥．……………………………………7分 （2）解法一：设t ED =，因为SD ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠．……………………………2分在EDB Rt ∆中，由tan tan EBD ∠=30︒at 2=a t 36=⇒．……………6分 所以，当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ．………………7分 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()000,,D ，()00,,a A ，()0,a ,a B ，()00,a ,C ．设t DE =,则)t ,,(E 00 ………………………………………………2分 则()0,a ,a -=，()t ,a ,a --=……………………………4分 因为0022=+-=⋅a a ，所以BE AC ⊥ …………………………………………………7分（2）取平面ABCD 的一个法向量为()100,,n = ……………………………8分 因为()t ,a ,a --=，可知直线BE 的一个方向向量为()t ,a ,a --=．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知=θο30．与所成的角为ϕ，则222ta a t nd cos ++=⋅=ϕ，……………………………………10分因为21=ϕ=θcos sin ，所以，21222=++t a a t ，…………………12分 解得，a t 36=．……………………………………………………13分 当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为ο30．……………………14分18．【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……………………………3分,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………6分 （2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f …………………………10分 612BC BA ac ⋅=⇒=u u u r u u u r……………………………………………12分∴1sin 332ABC S ac B ==△………………………………………14分 19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +………………2分因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得341 2.5161253x x +≥≥ ……………………4分由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. ……………………6分（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x x x x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ ……10分对称轴*16534x N =∉， …………………………………………………11分 因而当()95<=x 时，max () 2.12 2.1f x => ………………………………13分 可以达到2.1万元． ……………………………………………14分 20．【解答】（1）曲线C的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，……2分由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==. ……4分（2） 设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x ==7分 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， ………………………8分 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，……………………………………………9分所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2…………………10分 （3）当直线:0l y =，直线:m x t =((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =（根据对称性，这种不讨论不扣分）11分 不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，…12分由弦长公式，||AB == …14分 将k 替换成1k -，可得||EF = ……………………15分由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得22t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{ ……………………………………16分 21．【解答】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-=………………4分 （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的…………………………………6分 解法1：()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，a b c a b c >><<Q 或，a b a c b c ∴---=--，c d b d b c ---≤-所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，若d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到…………………………………………10分 解法2：不妨设a b c >>，分4种情况讨论[1] 若d a ≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………7分[2] 若a d b >≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………………8分[3] 若b d c >≥，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b d c a c b d -=-+-----=()20d b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………9分[4] 若c d >，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----=()20c b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………10分（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论 ………………………………………11分()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-.（2）系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1] n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L ……………………13分()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+……………………………………15分 [2] n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L…………………………17分()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+…………………………………………………18分 综上，()22121max22142923,42,,...,1542132322nnn n n n n n f a a a n n n -⎧+⋅-⋅+≥⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⋅-⋅+≥⎪⎩是偶数，是奇数，。
黄浦区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
黄浦区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知f （x ）是R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设，b=f （log 43），c=f （0.4﹣1.2）则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 2． 在复平面内，复数Z=+i 2015对应的点位于（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3． 复数z 为纯虚数，若（3﹣i ）•z=a+i （i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ）A ．﹣B ．3C ．﹣3D ．4． 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ；③若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α；其中正确命题的序号是（）A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③5． 已知均为正实数，且，，，则（ ）,,x y z 22log xx =-22log yy -=-22log z z -=A ．B ．C ．D ．x y z <<z x y <<z y z <<y x z<<6． 设f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x ）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7． 有下列关于三角函数的命题P 1：∀x ∈R ，x ≠k π+（k ∈Z ），若tanx ＞0，则sin2x ＞0；班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；P3：∃x0∈R，2cosx0=3；P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（）A．P1，P4B．P2，P4C．P2，P3D．P1，P28．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=x2C．y=﹣x|x|D．y=x﹣29．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1D．10．若如图程序执行的结果是10，则输入的x的值是（）A．0B．10C．﹣10D．10或﹣1011．设命题p：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数y=|2x﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）A．p为假B．￢q为真C．p∨q为真D．p∧q为假12．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．8二、填空题13．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有 个直角三角形．14．设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则=||•；②若与平行，则=||•；③若与平行且||=1，则=．上述命题中，假命题个数是 ． 15．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．16．已知为常数，若,则_________.,a b ()()224+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，5a b -=17．若函数为奇函数，则___________．63e ()()32e x xbf x x a =-∈R ab =【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．18．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数是奇函数的导函数，，当时，()f x '()f x ()10f -=0x >，则使得成立的的取值范围是__________．()()0xf x f x -<'()0f x >x 三、解答题19．已知函数f （x ）=2|x ﹣2|+ax （x ∈R ）．（1）当a=1时，求f （x ）的最小值；（2）当f （x ）有最小值时，求a 的取值范围；（3）若函数h （x ）=f （sinx ）﹣2存在零点，求a 的取值范围．20．计算下列各式的值：（1）（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2．21．A={x|x 2﹣3x+2=0}，B={x|ax ﹣2=0}，若B ⊆A ，求a ．22．（本小题满分12分）1111]已知函数()()1ln 0f x a x a a x =+≠∈R ，．（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数的取值范围．23．（1）直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）．若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）已知A （﹣2，4），B （4，0），且AB 是圆C 的直径，求圆C 的标准方程．24．（本题满分15分）如图是圆的直径，是弧上一点，垂直圆所在平面，，分别为，的中点.AB O C AB VC O D E VA VC （1）求证：平面；DE ⊥VBC （2）若，圆的半径为，求与平面所成角的正弦值.6VC CA ==O 5BE BCD【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．黄浦区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：由题意f（x）=f（|x|）．∵log43＜1，∴|log43|＜1；2＞|ln|=|ln3|＞1；∵|0.4﹣1.2|=| 1.2|＞2∴|0.4﹣1.2|＞|ln|＞|log43|．又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．∴c＜a＜b．故选C2．【答案】A【解析】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．复数对应点的坐标（），在第四象限．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．3．【答案】D【解析】解：∵（3﹣i）•z=a+i，∴，又z为纯虚数，∴，解得：a=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．【答案】B【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：在①中：若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直得m⊥n，故①正确；在②中：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，∵m⊥α，∴由直线垂直于平面的性质定理得m⊥γ，故②正确；在③中：若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n，故③正确；在④中：若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误．故选：B．5．【答案】A【解析】考点：对数函数，指数函数性质．6．【答案】D【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B故选D【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题7．【答案】D【解析】解：对于P1，∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x=2sinxcosx==＞0，则P1为真命题；对于P2，函数y=sin（x﹣）=sin（2π+x﹣）=sin（x+）=cosx，则P2为真命题；对于P3，由于cosx∈[﹣1，1]，∉[﹣1，1]，则P3为假命题；对于P4，函数y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f（x），则f（x）的最小正周期为π，则P4为假命题．故选D．【点评】本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题．8．【答案】D【解析】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．9．【答案】B【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．【答案】D【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10当x≥0，时x=10，解得：x=10故选：D．11．【答案】C【解析】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，当x=0时，y=sin=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，故命题p为假命题；函数y=|2x﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．故命题q为假命题；则￢q为真命题；p∨q为假命题；p∧q为假命题，故只有C判断错误，故选：C12．【答案】D【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．二、填空题13．【答案】 4 【解析】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：4【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．14．【答案】 3 ．【解析】解：对于①，向量是既有大小又有方向的量，=||•的模相同，但方向不一定相同，∴①是假命题；对于②，若与平行时，与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=﹣||•，∴②是假命题；对于③，若与平行且||=1时，与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=﹣，∴③是假命题；综上，上述命题中，假命题的个数是3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的概念以及应用的问题，解题时应把握向量的基本概念是什么，是基础题目． 15．【答案】 ．【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，∵bc=4，∴S △ABC =bcsinA==．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题． 16．【答案】【解析】试题分析：由，得，()()224+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，22()4()31024ax b ax b x x ++++=++即，比较系数得，解得或222224431024a x abx b ax b x x +++++=++22124104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩1,7a b =-=-，则.1,3a b ==5a b -=考点：函数的性质及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简的解析式是解答的关键.()f ax b +17．【答案】2016【解析】因为函数为奇函数且，则由，得，整理，得．()f x x ∈R (0)0f =0063e 032eba -=2016ab =18．【答案】()(),10,1-∞-⋃【解析】三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）当a=1时，f （x ）=2|x ﹣2|+x=…（2分）所以，f （x ）在（﹣∞，2）递减，在[2，+∞）递增，故最小值为f （2）=2； …（4分）（2）f （x ）=，…（6分）要使函数f （x ）有最小值，需，∴﹣2≤a ≤2，…（8分）故a 的取值范围为[﹣2，2]． …（9分）（3）∵sinx ∈[﹣1，1]，∴f （sinx ）=（a ﹣2）sinx+4，“h （x ）=f （sinx ）﹣2=（a ﹣2）sinx+2存在零点”等价于“方程（a ﹣2）sinx+2=0有解”，亦即有解，∴，…（11分）解得a ≤0或a ≥4，…（13分）∴a 的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）…（14分）【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质，是解决本题的关键． 20．【答案】 【解析】解：（1）=…==5…（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2…=．…21．【答案】【解析】解：解：集合A={x|x 2﹣3x+2=0}={1，2}∵B ⊆A ，∴（1）B=∅时，a=0（2）当B={1}时，a=2（3））当B={2}时，a=1故a 值为：2或1或0． 22．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；（2）()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，．【解析】试题分析：（1）由1a =⇒()22111'x f x x x x-=-+=．令()'0f x =⇒1x =．再利用导数工具可得：极小值和单调区间；（2）求导并令()'0f x =⇒1x a =，再将命题转化为()f x 在区间(0]e ，上的最小值小于．当10x a=<，即0a <时，()'0f x <恒成立，即()f x 在区间(0]e ，上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]①若1e a≤，则()'0f x ≤对(0]x e ∈，成立，所以()f x 在区间(0]e ，上单调递减，则()f x 在区间(0]e ，上的最小值为()11ln 0f e a e a e e =+=+>，显然，()f x 在区间(0]e ，的最小值小于0不成立．②若10e a <<，即1a e>时，则有10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1a 1e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()'f x -0+()f x ↘极小值↗所以()f x 在区间(0]e ，上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，得1ln 0a -<，解得a e >，即()a e ∈+∞，，综上，由①②可知，()1a e e ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，符合题意．……………………………………12分考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.23．【答案】【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；当a ≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a ﹣2），（，0）．∵直线l 在两坐标轴上的截距相等，∴a ﹣2=，解得a=2或a=0；（2）∵A （﹣2，4），B （4，0），∴线段AB 的中点C 坐标为（1，2）．又∵|AB|=，∴所求圆的半径r=|AB|=．因此，以线段AB 为直径的圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=13． 24．【答案】（1）详见解析；（2.【解析】（1）∵，分别为，的中点，∴，…………2分D E VA VC //DE AC ∵为圆的直径，∴，…………4分AB O AC BC ⊥又∵圆，∴，…………6分VC ⊥O VC AC ⊥∴，，又∵，∴；…………7分DE BC ⊥DE VC ⊥VC BC C =I DE VBC ⊥面（2）设点平面的距离为，由得，解得E BCD d D BCE E BCD V V --=1133BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯12分 设与平面所成角为，∵，d =BE BCD θ8BC ==…………15分BE ==sin d BE θ==。
上海市2019届高三上学期一模冲刺练习试卷(一)数学试题
+ b2
= c2 ，其
中 a ， b ， c 为定值，且 a > 0 ， b > 0 ， c > 0 ， P 为双曲线上的一个动点．
（1）设 P 点的横坐标为 x0 ，用 x0 来表示 PF1 的值；
（2）作 ∆PF1F2 的内切 e Q ，且圆心坐标为 Q (m, n) ，求证： m 为定值；
18．如图（1）所示，五边形 ABEDC 中， AB = AC ，∠EBC = ∠BCD = 90° ， M ， P 分别是线段 DE ， BC 的 2
11．
12． (12, 24]
二、选择题： 13．D 14．A 15．A
4
16．C
三、解答题：
17 ． （ 1 ） PF1 =
( x0 + c)2 + y02 =
( x0
+ c)2
+
b2 a2
x02
− b2
=
c a
x0
+
a
2
=
c a
x0
+
a
，又因为
x0
∈ ( −∞,
−a]
U[a,
+∞)
，所以
PF1
13． (1− ax)2 (1− x)6 的展开式中， x3 项的系数为 −16 ，则实数 a 的值为（ ）
A．2
B．3
C． −2
D．2 或 3
14．已知在正方形
ABCD
中，
uuur AE
=
1
uuur AB
，
uuur AF
=
1
uuur AD
，则
uuur CE 在
uuur CF
上海市浦东新区2019高三一模数学试卷
上海市浦东新区2019高三一模数学试卷上海市浦东新区2019届高三一模数学试卷2018.12一、填空题1. 已知全集R U =，集合),2[]1,(+∞-∞= A ，则=A C U ；2. 抛物线x y 42=的焦点坐标为；3. 不等式0121log 2>x 的解集为；4. 已知复数z 满足i z i 4)1(=?+（i 为虚数单位），则z 的模为；5. 若函数)(x f y =的图像恒过点)1,0(，则函数3)(1+=-x f y 的图像一定经过定点；6. 已知数列}{n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若369=S ，则=++843a a a ；7. 在ABC △中，角A 、B 、C 对边是a 、b 、c ，若22)32(ba ?+=，cb =，则=A ；8. 已知圆锥的体积为π33，母线与地面所成角为3π，则该圆锥的表面积为； 9. 已知二项式n x x )21(4+的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中第五项为；10. 已知函数1||2)(-+=a x x x f 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为；11. 已知数列}{n a 满足：)()1(2018)1(100712*++∈++-=N n a n a n na n n n ，11=a ，22=a ，若A a a nn n =+∞→1lim ，则=A ； 12. 已知函数<≥+=-2)21(2164)(||2x x x x x f a x ，若对于任意的),2[1+∞∈x ，都存在唯一的)2,(2-∞∈x ，满足)()(21x f x f =，则实数a 的取值范围为；二、选择题13. “41C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件14. 下列命题正确的是（）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；B. 如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；C. 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面；D. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A. 72B. 36C. 64D. 8116. 已知点)2,1(-A ，)0,2(B ，P 为曲线2433x y -=上任意一点，则?的取值范围为（）A. ]7,1[B. ]7,1[-C. ]323,1[+D. ]323,1[+-三、解答题17. 已知直三棱柱111C B A ABC -中，11===AA AC AB ，90=∠BAC 。
上海市黄浦区2019届中考数学一模试题含答案解析
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------上海市黄浦区2019届中考数学一模试题含答案解析2019 年上海市黄浦区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共 24 分） 1．下列抛物线中，与抛物线 y=x2 ﹣2x+4 具有相同对称轴的是（） A．y=4x2 +2x+1 B．y=2x2 ﹣4x+1 C．y=2x 2 ﹣x+4 D．y=x2 ﹣4x+2 2．如图，点 D、E 位于△ABC 的两边上，下列条件能判定DE∥BC 的是（） A．ADDB=AEEC B．ADAE=BDEC C．ADCE=AEBD D．ADBC=ABDE 3．已知一个坡的坡比为i，坡角为，则下列等式成立的是（） A．i=sin B．i=cos C．i=tan D．i=cot 4．已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（）A． B． C． D．| |﹣| |=0 5．已知二次函数 y=x2 ，将它的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得图象的表达式为（） A．y=（x+2）2 +3 B．y=（x+2） 2 ﹣3 C．y=（x﹣2） 2 +3 D．y=（x﹣2） 2 ﹣3 6．Word 文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知 AB=AC，当它以底边 BC 水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当△ABC 以腰AB 水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（）图形图① 图② 图③ 图④ 图⑤绝对高度 1.501/ 182.00 1.20 2.40 ？绝对宽度 2.00 1.50 2.503.60 ？A．3.60 和2.40 B．2.56 和 3.00 C．2.56 和 2.88 D．2.88 和 3.00 二.填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分） 7．已知线段 a 是线段 b、c 的比例中项，如果 a=3，b=2，那么 c= ． 8．化简：= ． 9．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP＞BP），若AB=2，则 AP﹣BP= ． 10．已知二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，则 f（1） f（5）（填＞或＜） 11．求值：sin60tan30= ． 12．已知 G 是等腰直角△ABC 的重心，若AC=BC=2，则线段 CG 的长为． 13．两个相似三角形的相似比为 2： 3，则它们的面积之比为． 14．等边三角形的周长为 C，面积为 S，则面积 S 关于周长 C 的函数解析式为． 15．如图，正方形 ABCD 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上，已知 BC=6，△ABC 的面积为 9，则正方形 DEFG 的面积为． 16．如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB 的底部 A 处，利用对面楼CD 墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB 顶部 B 处的仰角是，若 tan=0.45，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼 AB 的高度是米． 17．如图，在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为． 18．如图，菱形 ABCD 内两点 M、N，满足 MBBC，MDDC，NBBA，NDDA，若四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，则cosA= ．三.解答题（本大题共7 题，共---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 10+10+10+10+12+12+14=78 分） 19．用配方法把二次函数 y= x2 ﹣4x+5 化为 y=a（x+m） 2 +k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点 E、F 分别在两腰上，且EF∥AD，AE：EB=2：1；（1）求线段 EF 的长；（2）设 = ， = ，试用、表示向量． 21．如图，在△ABC 中，ACB=90，AB=5，tanA= ，将△ABC 沿直线 l 翻折，恰好使点 A 与点 B重合，直线 l 分别交边 AB、AC 于点 D、E；（1）求△ABC 的面积；（2）求 sinCBE 的值． 22．如图，在坡 AP 的坡脚 A 处竖有一根电线杆 AB，为固定电线杆在地面C 处和坡面 D 处各装一根等长的引拉线 BC 和 BD，过点 D 作地面MN 的垂线 DH，H 为垂足，已知点 C、A、H 在一直线上，若测得 AC=7 米，AD=12 米，坡角为 30 ，试求电线杆 AB 的高度；（精确到 0.1 米）23．如图 1，点 D 位于△ABC 边 AC 上，已知 AB 是 AD 与 AC 的比例中项．（1）求证：ACB=ABD；（2）现有点 E、F 分别在边 AB、BC 上如图 2，满足EDF=A+C，当 AB=4，BC=5，CA=6 时，求证：DE=DF． 24．平面直角坐标系 xOy 中，对称轴平行于 y 轴的抛物线过点 A（1，0）、B（3，0）和 C（4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，再沿y 轴方向平移 k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点 D、E（点 D 在3/ 18点 E 的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点 A、C、D 依次对应顶点 A、E、C），试求 k 的值，并注明方向． 25．如图，△ABC 边 AB 上点D、E（不与点 A、B 重合），满足DCE=ABC，ACB=90，AC=3，BC=4；（1）当 CDAB 时，求线段 BE 的长；（2）当△CDE 是等腰三角形时，求线段 AD 的长；（3）设 AD=x，BE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域． 2019 年上海市黄浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共24 分） 1．下列抛物线中，与抛物线 y=x2 ﹣2x+4 具有相同对称轴的是（） A．y=4x2 +2x+1 B．y=2x2 ﹣4x+1 C．y=2x 2 ﹣x+4 D．y=x2 ﹣4x+2 【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴方程分别确定各个抛物线的对称轴后即可作出判断．【解答】解：抛物线 y=x2 ﹣2x+4 的对称轴为 x=1； A、y=4x2 +2x+1 的对称轴为 x=﹣，不符合题意； B、y=2x2 ﹣4x+1 的对称轴为 x=1，符合题意； C、y=2x2 ﹣x+4 的对称轴为 x=，不符合题意； D、y=x2 ﹣4x+2 的对称轴为 x=2，不符合题意，故选 B．【点评】此题考查了二次函数的性质，牢记对称轴方程公式是解答本题的关键，难度不大． 2．如图，点 D、E 位于△ABC 的两边上，下列条件能判定DE∥BC 的是（） A．ADDB=AEEC B．ADAE=BDEC C．ADCE=AEBD D．ADBC=ABDE 【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据选项选出能推出对应线段成比例的即可．【解答】解：∵ADCE=AEBD，，DE∥BC，故选 C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 的关键． 3．已知一个坡的坡比为 i，坡角为，则下列等式成立的是（） A．i=sin B．i=cos C．i=tan D．i=cot 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比的定义：斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正弦值，据此即可判断．【解答】解：i=tan．故选 C．【点评】本题考查了坡比的定义，理解坡比是斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正弦值，是关键． 4．已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（）A． B． C． D．| |﹣| |=0 【考点】*平面向量．【专题】推理填空题．【分析】根据向量和都是单位向量，可知| |=| |=1，由此即可判断．【解答】解：∵已知向量和都是单位向量， | |=| |=1， | |﹣| |=0，故选 D．【点评】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键． 5．已知二次函数 y=x2 ，将它的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得图象的表达式为（）A．y=（x+2）2 +3 B．y=（x+2） 2 ﹣3 C．y=（x﹣2） 2 +3 D．y=（x﹣2） 2 ﹣3 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据上加下减、左加右减的原则进行解答即可．【解答】解：由左加右减的原则可知，二次函数 y=x2 的图象向左平移个单位得到 y=（x+2） 2 ，由上加下减的原则可知，将二次函数 y=（x+2）2 的图象向上平移 3 个单位可得到函数 y=（x+2） 2 +3，故选：5/ 18A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知上加下减、左加右减的原则是解答此题的关键． 6．Word 文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知 AB=AC，当它以底边 BC 水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当△ABC 以腰AB 水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（）图形图① 图② 图③ 图④ 图⑤绝对高度 1.50 2.00 1.20 2.40 ？绝对宽度 2.00 1.50 2.50 3.60 ？A．3.60 和 2.40 B．2.56 和 3.00 C．2.56 和 2.88 D．2.88 和 3.00 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质，勾股定理可求 AB，即图⑤绝对宽度，再根据三角形面积公式可求图⑤绝对高度．【解答】解：图④，过 A 点作 ADBC 于 D， BD=3.602=1.80，在Rt△ABD 中，AB= =3，图⑤绝对宽度为 3；图⑤绝对高度为：2.403.60223 =4.3223 =2.88．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握图形的绝对高度和绝对宽度的定义．二.填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分） 7．已知线段 a 是线段b、c 的比例中项，如果 a=3，b=2，那么 c= ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义可得 b2 =ac，从而易求 c．【解答】解：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ∵线段 a 是线段 b、c 的比例中项， a2 =bc，即 32 =2c，c= ．故答案是：．【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义． 8．化简：= ﹣﹣7 ．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：=2 ﹣4 ﹣3 ﹣3 =﹣﹣7 ．故答案为：．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键． 9．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP＞BP），若 AB=2，则 AP﹣BP= 2 ﹣4 ．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可．【解答】解：∵点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP＞BP， AP= AB= ﹣1，则BP=2﹣AP=3﹣， AP﹣BP=（﹣1）﹣（3﹣）=2 ﹣4，故答案为： 2 ﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC），且使AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割． 10．已知二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，则 f（1）＞ f（5）（填＞或＜）【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．【解答】解：∵二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，当 x7/ 18的取值越靠近 4 函数值就越小，反之越大， f（1）＞f（5），故答案为：＞．【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性，难度不大． 11．求值：sin60tan30= ．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】先根据特殊角的三角函数值计算出各数，再根据二次根式的乘法进行计算即可．【解答】解：原式= = ．故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 12．已知 G 是等腰直角△ABC 的重心，若 AC=BC=2，则线段 CG 的长为．【考点】三角形的重心；等腰直角三角形．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍解答即可．【解答】解：∵G 是等腰直角△ABC 的重心，AC=BC=2， CG= ，故答案为：【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍是解题的关键． 13．两个相似三角形的相似比为 2：3，则它们的面积之比为 4：9 ．【考点】相似三角形的性质．【专题】探究型．【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为 2：3，它们的面积之比为 4：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 9．故答案为：4：9 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方． 14．等边三角形的周长为 C，面积为 S，则面积 S 关于周长 C 的函数解析式为 S= C2 ．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】直接利用等边三角形的性质得出 AD 的长，再利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：如图所示：过点 A 作ADBC 于点D，∵等边三角形的周长为C，AB=BC=AC= ， DC=BD= ， AD= = C， S= C = C2 ．故答案为： S= C = C2 ．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题关键． 15．如图，正方形 ABCD 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边AB、AC 上，已知 BC=6，△ABC 的面积为 9，则正方形 DEFG 的面积为 4 ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由DG∥BC 得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：作 AHBC 于 H，交 DG 于 P，如图所示：∵△ABC 的面积= BCAH=9，BC=6， AH=3，设正方形 DEFG 的边长为 x．由正方形 DEFG 得，DG∥EF，即DG∥B C，∵AHBC， APDG．由DG∥BC 得△ADG∽△ABC ．∵PHBC，DEBC PH=ED，AP=AH﹣PH，9/ 18即，由 BC=6，AH=3，DE=DG=x，得，解得 x=2．故正方形 DEFG 的面积=22 =4；故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 16．如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB 的底部 A 处，利用对面楼CD 墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB 顶部 B 处的仰角是，若 tan=0.45，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼 AB 的高度是 27 米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作 PEAB 于点 E，在直角△AEP 中，利用三角函数求得 AE 的长，根据 AB=2AE 即可求解．【解答】解：作PEAB 于点E，在直角△AEP 中，APE=，则AE=PEtanAPE=300.45=13.5（米），则 AB=2AE=27（米）．故答案是： 27．【点评】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义，解题的关键是记住特殊三角形的边之间关系，学会把问题转化为方程解决，属于中考常考题型． 17．如图，在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P 位于边 AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段 AP 的长为 4 或．【考点】相似三角形的判定．【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，再分△ADP∽△ABC 与△ADP∽△ACB 两种情况进行讨论即可．【解答】解：∵在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6， AB= =10．∵D 是边 AB 的中点， AD=5．当△ADP∽△ABC 时， = ，即 = ，解得 AP=4；当---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ △ADP∽△ACB 时， = ，即 = ，解得 AP= ．故答案为：4 或．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 18．如图，菱形 ABCD 内两点 M、N，满足 MBBC，MDDC，NBBA，NDDA，若四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，则 cosA= ．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【分析】如图，连接 AN、CM，延长 BM 交 AD 于 H．AN 是菱形 ABCD 的角平分线，同理 CM 也是菱形 ABCD的角平分线，设BD 与 AC 交于点 O，易知四边形 BMDN 是菱形，设S △OMB =S △ONB =S △OMD =S △OND =a，因为四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，所以S △AMB =S △AMD =S △CNB =S △CND =4a，推出AM=4OM，CN=4ON，设 ON=OM=k，则 AM=CN=4k，由△ABO∽△BNO，推出 OB2 =OAON=5k 2 ，推出 OB=k，AB=AD= = k，由 ADBH= BDAO，推出BH= = ，再利用勾股定理求出 AH 即可解决问题．【解答】解：如图，连接 AN、CM，延长 BM 交 AD 于 H．∵ABBN，ADDN，ABN=ADN=90，在Rt△ANB 和Rt△AN D 中，，△ABN≌△ADN，BAN=DAN， AN 是菱形 ABCD 的角平分线，同理 CM 也是菱形 ABCD 的角平分线，设 BD 与 AC 交于点 O，易知四边形 BMDN 是菱形，设 S △OMB =S △ONB =S △OMD =S △OND =a，∵四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，S △AMB =S △AMD =S △CNB =S △CND =4a，AM=4OM，CN=4ON，设 ON=OM=k，则 AM=CN=4k，∵△ABO∽△BNO， OB2 =OAON=5k 2 ， OB= k，AB=AD= = k，∵ ADBH= BDAO， BH= = ，11/ 18AH= = = k， cosA= = = ．故答案为【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会利用面积法求线段，所以中考常考题型．三.解答题（本大题共 7 题，共 10+10+10+10+12+12+14=78 分） 19．用配方法把二次函数 y= x2 ﹣4x+5 化为 y=a（x+m） 2 +k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：y= x2 ﹣4x+5=（x﹣4）2 ﹣3，抛物线开口向上，对称轴 x=4，顶点（4，﹣3）．【点评】本题考查的是二次根式的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 20．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点 E、F 分别在两腰上，且EF∥AD，AE：EB=2：1；（1）求线段 EF 的长；（2）设 = ， = ，试用、表示向量．【考点】*平面向量；梯形．【专题】计算题．【分析】（1）作BM∥CD 交 AD、EF 于 M、N 两点，将问题转化到△ABM 中，利用相似三角形的判定与性质求 EN，由 EF=EN+NF=EN+AD 进行求解；（2）由 = 、 = 得 BC= AD，EB= AB，根据 = 可得答案．【解答】解：（1）作BM∥CD 交 AD、EF 于 M、N 两点，又AD∥BC，EF∥AD，---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 四边形 BCFN 与 MNFD 均为平行四边形． BC=NF=MD=2， AM=AD﹣MD=1．又 =2， = ，∵EF∥AD，△BEN∽△BAM，，即， EN= ，则 EF=EN+NF= ；（2）∵ = ， = ， BC= AD，EB= AB， = = ，= = ，则 = = + ．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质得出对应边的长度之比和向量的基本运算是解题的关键． 21．如图，在△AB C 中，ACB=90，AB=5，tanA= ，将△ABC 沿直线 l 翻折，恰好使点 A 与点 B重合，直线 l 分别交边 AB、AC 于点 D、E；（1）求△ABC 的面积；（2）求 sinCBE 的值．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据A 的正切用 BC 表示出 AC，再利用勾股定理列方程求出 BC，再求出 AC，然后根据直角三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）设 CE=x，表示出 AE，再根据翻折变换的性质可得 BE=AE，然后列方程求出 x，再利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵ACB=90，tanA= ， = ， AC=2BC，在Rt△ABC 中，BC2 +AC 2 =AB 2 ，即 BC2 +4BC 2 =25，解得 BC= ，所以，AC=2 ，△ABC 的面积= ACBC= 2 =5；（2）设 CE=x，则 AE=AC﹣CE=2 ﹣x，∵△ABC 沿直线 l 翻折点 A 与点 B 重合， BE=AE=2 ﹣x，在Rt△BCE 中，BC2 +CE 2 =BE 2 ，即2 +x 2 =（2﹣x）2 ，解得 x= ，所以，CE= ， BE=2 ﹣x=2 ﹣ = ，所以，sinCBE= = = ．【点评】本题考查了翻折变换的性质，锐角三角函数的定义，此类题目，13/ 18利用勾股定理列出方程求出相关的线段的长度是解题的关键． 22．如图，在坡 AP 的坡脚 A 处竖有一根电线杆 AB，为固定电线杆在地面 C 处和坡面 D 处各装一根等长的引拉线 BC 和BD，过点 D 作地面 MN 的垂线 DH，H 为垂足，已知点 C、A、H 在一直线上，若测得 AC=7 米，AD=12 米，坡角为 30 ，试求电线杆 AB 的高度；（精确到 0.1 米）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】作 BEAD 于点 E，设 AB=x 米，在直角△ABE 中，根据三角函数，利用 x 表示出 AE 和 BE 的长，则在直角△BED 中，利用勾股定理表示出 BD 的长，在直角△ABC 中利用勾股定理表示出BC，根据 BC=BD 即可列方程求解．【解答】解：作 BEAD 于点 E，设 AB=x 米，在直角△ABE 中，BAE=90﹣DAH=90﹣30=60，则 AE=ABcosBAE=xcos60= x（米）， BE=ABsinBAE=xsin60= x（米）．则 DE=AD﹣AE=12﹣ x，在直角△BED 中，BD2 =BE 2 +DE 2 =（x）2 +（12﹣x）2 =144+x 2 ﹣12x，在直角△ABC 中，BC2 =AC 2 +AB 2 =7 2 +x 2 =49+x 2 ．∵BC=BD， 144+x2 ﹣12x=49+x 2 ．解得 x= 7.9 答：电线杆 AB 的高度约是 7.9 米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，正确作出辅助线，利用 AB 的长表示抽BD 和 BC 是关键． 23．如图 1，点 D 位于△ABC 边 AC 上，已知 AB 是 AD 与 AC 的比例中项．（1）求证：ACB=ABD；（2）现有点 E、F 分别在边 AB、BC 上如图 2，满足EDF=A+C，当 AB=4，BC=5，CA=6 时，求证：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ DE=DF．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证出△ABD∽△ACB，得出对应角相等即可；（2）由相似三角形的性质得出对应边成比例求出 AD= ，BD= ，得出 BD=CD，由等腰三角形的性质得出DBC=ACB，证出ABD=BDC，再证明点 B、E、D、F 四点共圆，由圆周角定理得出，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB 是AD 与AC 的比例中项．，又∵A=A，△ABD∽△ACB， ACB=ABD；（2）证明：∵△ABD∽△ACB，，即，解得：AD= ，BD= ， CD=AC﹣AD=6﹣ = ， BD=CD， DBC=ACB，∵ACB=ABD，ABD=BDC，∵EDF=A+C，A+C=180﹣ABC， EDF+ABC=180，点 B、E、D、F 四点共圆，， DE=DF．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四点共圆是解决问题（2）的关键． 24．平面直角坐标系 xOy 中，对称轴平行于 y 轴的抛物线过点 A（1，0）、B（3，0）和 C（4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，再沿y 轴方向平移 k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点 D、E（点 D 在点 E 的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点 A、C、D 依次对应顶点 A、E、C），试求 k 的值，并注明方向．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；（2）设出 D，E 坐标，根据平移，用 k 表示出平移后的抛物线解析式，利用坐标15/ 18轴上点的特点得出m+n=16，mn=63﹣，进而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出 k 【解答】解：（1）∵抛物线过点 A（1，0）、B（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），∵C（4，6）， 6=a（4﹣1）（4﹣3）， a=2，抛物线的解析式为 y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x2 ﹣8x+6；（2）如图，设点 D（m，0），E（n，0），∵A（1，0）， AD=m﹣1，AE=n﹣1 由（1）知，抛物线的解析式为 y=2x2 ﹣8x+6=2（x﹣2） 2 ﹣2；将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，得到抛物线的解析式为 y=2（x﹣8）2 ﹣2；再沿 y 轴方向平移 k 个单位，得到的抛物线的解析式为 y=2（x﹣8）2 ﹣2﹣k；令 y=0，则 2（x﹣8）2 ﹣2﹣k=0，2x2 ﹣32x+126﹣k=0，根据根与系数的关系得， m+n=16，mn=63﹣，∵A（1，0），C（4，6）， AC2 =（4﹣1）2+6 2 =45，∵△ACD∽△AEC，，AC2 =ADAE， 45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1， 45=63﹣﹣16+1，k=6，即：k=6，向下平移 6 个单位．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，相似三角形的性质，根与系数的关系，解本题的关键是设出了点 D，E 的坐标，借助韦达定理直接求出 k． 25．如图，△ABC 边 AB 上点 D、E（不与点 A、B 重合），满足DCE=ABC，ACB=90，AC=3，BC=4；（1）当 CDAB 时，求线段 BE 的长；（2）当△CDE 是等腰三角形时，求线段 AD 的长；（3）设AD=x，BE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．【考点】三角形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 性质；解直角三角形．【专题】压轴题；面积法．【分析】（1）先根据ACB=90，AC=3，BC=4，求得 AB=5，sinA= ，tanB= ，再根据△ACD 为直角三角形，求得 AD，在Rt△CDE 中，求得 DE，最后根据 BE=AB ﹣AD﹣DE 进行计算即可；（2）当△CDE 时等腰三角形时，可知CDE＞A＞B=DCE，CED＞B=DCE，进而得出CED=CDE，再根据B=DCE，CDE=BDC，得到BCD=CED=CDE=BDC，最后求得 AD 的长；（3）先作 CHAB 于 H，Rt△ACH 中，求得 CH 和 AH 的长，在Rt△CDH 中，根据勾股定理得出：CD2 =x 2﹣ x+9，再判定△BDC∽△CDE，得出 CD2 =DEDB，即 x 2 ﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），最后求得 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．【解答】（1）在△ABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4， AB=5，sinA= ，tanB= ，如图，当 CDAB 时，△ACD 为直角三角形，CD=ACsinA= ，AD= = ，又∵DCE=ABC，在Rt△CDE 中，DE=CDtanDCE= = ， BE=AB﹣AD﹣DE=5﹣﹣ = ；（2）当△CDE 时等腰三角形时，可知CDE＞A＞B=DCE，CED＞B=DCE，唯有CED=CDE，又∵B=DCE，CDE=BDC， BCD=CED=CDE=BDC， BD=BC=4， AD=5﹣4=1；（3）如图所示，作 CHAB 于 H，∵ BCAC= ABCH， CH= ，Rt△ACH 中，AH= = ，在Rt△CDH 中，CD2 =CH 2 +DH 2 =（）2 +（﹣x）2 =x 2 ﹣x+9，又∵CDE=BDC，DCE=B，△BDC∽△CDE， CD2 =DEDB，即 x2 ﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），解得．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性17/ 18质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是中辅助线构造直角三角形，根据勾股定理以及面积法进行求解．。
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学三月模拟试卷含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为3y x =，则C 为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2211648x y -= D ．2214816x y -= 【答案】A【解析】【分析】由题意求得c 与b a 的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又3b a=，且a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.2．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE 'V ，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立【答案】A【分析】作出二面角α的补角、线面角β、线线角γ的补角，由此判断出两个命题的正确性.【详解】①如图所示，过'A 作'AO ⊥平面BCDE ，垂足为O ，连接OE ，作OM BE ⊥，连接'A M .由图可知'A MO πα∠=-，''A EO A MO βπα∠=≤∠=-，所以αβπ+≤，所以①正确.②由于//BC DE ，所以'A E 与BC 所成角''A ED A MO γππα=-∠≤∠=-，所以αγπ+≤，所以②正确.综上所述，①②都正确.故选：A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】 模拟程序的运行即可求出答案．解：模拟程序的运行，可得：p ＝1，S ＝1，输出S 的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝3，S ＝7，输出S 的值为7，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝5，S ＝31，输出S 的值为31，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝7，S ＝127，输出S 的值为127，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝9，S ＝511，输出S 的值为511，此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．4．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29πC ．18πD ．24π【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值.【详解】 解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+， 因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈， 因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.5．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =-<<，从而可得体积()222114466E ABC V x x x x -=-=- 【详解】 因为,//DC BE DC BE =，所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，CA ⊂平面ABC ，所以DC ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中，22AB EB ==，设AC x =，则)2402BC x x =-<<， 所以211422ABC S AC BC x x ∆=⋅=- 以()222114466E ABC V x x x x -=-=-又因为()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，当且仅当()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，即2x 时等号成立， 所以()max 13E ABC V -=. 故选：B ．【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x ，用建立体积V 与边长x 的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．6．已知函数()x e f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】D【解析】【分析】由()()1221f x f x x x <变形可得()()1122x f x x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由()20x g x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】(0,),x ∈+∞Q()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.则()20xg x e ax '=-≥恒成立. 2xe a x∴≤. 令()x e m x x =,则2(1)()xx e m x x-'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.min 2()(1),2e a m x m e a ∴≤==∴≤故选:D.【点睛】 本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.7．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =I （ ）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}- 【答案】A【解析】【分析】化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解.【详解】集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ，{|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =I .故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.8．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0B ．55C ．66D ．78 【答案】D【解析】【分析】 先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++-12341112=++++⋅⋅⋅++121+122⨯=（） 78=故选：D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.9．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值．【详解】 ∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ．【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.10．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．80-B ．80C ．160-D ．160 【答案】A【解析】【分析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果. 【详解】解：二项式52x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512r r r r r r r r r T C x C x ---+-+=-=-， 令5202r r --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.11．设复数z ＝213i i-+，则|z|＝（ ）A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】D【解析】【分析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长.【详解】解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z|2. 故选：D.【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.12．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件【答案】D【解析】【分析】对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断．【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确；选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确；选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市浦东新区2019-2020学年度第一学期期末(一模)教学质量检测高三数学试卷
浦东新区2020届高三一模数学试卷2019.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I2. 222lim 31n n n →∞=+ 3. 复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z = 4. 若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为5. 设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =6. 在61()x x+的二项展开式中，常数项为 7. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为8. 已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概 率为 （结果用数值表示）9. 在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为 10. 若函数221y ax a x =+--存在零点，则实数a 的取值范围是11. 已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ， 不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为 12. 如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件14. 已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A. (0,1)B. (1,0)C. (1,2)D. (2,1)15. 以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A. 2211615x y +=B. 221164x y +=C. 22143x y +=D. 2214x y +=16. 动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰 好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是31(,)22，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位： 秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A. [0,3]B. [3,6]C. [6,9]D. [9,12]三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°.18. 已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.19. 某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府 大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作， 经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售 的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元. （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？20. 已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点.（1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和||||AB EF =uu u r uu u r同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.21. 定义1212231(,,,)||||||n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.参考答案一. 填空题1. (0,2)2.233. 24. 111112⎛⎫⎪-⎝⎭5. 21n +6. 157. 2π8. 149. 33 10. 3[0,]311. (,1]-∞- 12. 90 11.111(1)n n a a n n n n +=+++，累加可得11211n a n n +=-++，∴322t a -⋅≥，即21t a ⋅≤， ∵[2,2]a ∈-，∴2211t t ⋅≤⇒≤-12. ∵2441936=，2452025=，∴从89n =开始分析，当89n =，12max (sin 2sin sin )123444504647891980n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+⨯+++⋅⋅⋅+=当90n =，12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+= 当12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. D三. 解答题17．【解答】（1）证明：联结BD ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以，BD AC ⊥，……………………………………………………2分 又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂≠平面ABCD ，所以SD AC ⊥．………………………………………………………4分由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥D SD BD SD AC BD AC ⇒⊥AC 平面SBD ．………………………………………6分 又因为BE ⊂≠平面SED ，所以BE AC ⊥．……………………………………7分 （2）解法一：设t ED =，因为SD ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠．……………………………2分 在EDB Rt ∆中，由tan tan EBD ∠=30︒at 2=a t 36=⇒．……………6分所以，当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ．………………7分 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()000,,D ，()00,,a A ，()0,a ,a B ，()00,a ,C ．设t DE =,则)t ,,(E 00 ………………………………………………2分 则()0,a ,a AC -=，()t ,a ,a BE --=……………………………4分 因为0022=+-=⋅a a BE AC ，所以BE AC ⊥ …………………………………………………7分（2）取平面ABCD 的一个法向量为()100,,n = ……………………………8分 因为()t ,a ,a BE --=，可知直线BE 的一个方向向量为()t ,a ,a d--=．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知=θο30．d 与n 所成的角为ϕ，则222ta a t nd n d cos ++=⋅⋅=ϕ，……………………………………10分因为21=ϕ=θcos sin ，所以，21222=++t a a t ，…………………12分 解得，a t 36=．……………………………………………………13分 当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为ο30．……………………14分18．【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………………………3分,,,36T x k k k Zπππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………6分（2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f …………………………10分 612BC BA ac ⋅=⇒=u u u r u u u r……………………………………………12分∴1sin 332ABC S ac B ==△………………………………………14分19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +………………2分因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得341 2.5161253x x +≥⇒≥ ……………………4分由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. ……………………6分（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x x x x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ ……10分对称轴*16534x N =∉， …………………………………………………11分 因而当()95<=x 时，max () 2.12 2.1f x => ………………………………13分 可以达到2.1万元． ……………………………………………14分 20．【解答】（1）曲线C 的焦点为()()122,0,2,0F F -，渐近线方程y x =±，……2分由对称性，不妨计算()22,0F 到直线y x =的距离，2012d -==. ……4分（2） 设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x ==7分 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， ………………………8分 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，……………………………………………9分所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2…………………10分 （3）当直线:0l y =，直线:m x t =()()222,0,1,0,1AB E t F t =---，221=2 2.t t -⇒=±当直线:l x t =，直线:0m y =时，2t =±（根据对称性，这种不讨论不扣分）11分 不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，…12分由弦长公式，2222221(1)1||1211k t k AB k k k+-+∆=+=-- …14分 将k 替换成1k -，可得222211||21k t k EF k +-+=- ……………………15分由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得22t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{2,2}- ……………………………………16分 21．【解答】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-=………………4分 （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的…………………………………6分 解法1：()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，a b c a b c >><<Q 或，a b a c b c ∴---=--，c d b d b c ---≤-所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，若d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到…………………………………………10分 解法2：不妨设a b c >>，分4种情况讨论[1] 若d a ≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………7分[2] 若a d b >≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………………8分[3] 若b d c >≥，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b d c a c b d -=-+-----=()20d b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………9分[4] 若c d >，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----=()20c b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………10分（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论 ………………………………………11分()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-.（2）系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1] n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L ……………………13分()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+……………………………………15分 [2] n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L…………………………17分()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+…………………………………………………18分 综上，()22121max22142923,42,,...,1542132322nnn n n n n n f a a a n n n -⎧+⋅-⋅+≥⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⋅-⋅+≥⎪⎩是偶数，是奇数，。