江西省赣州市十五县市2019-2020学年高二数学上学期期中试题文[含答案]
江西省赣州市十五县（市）2019-2020学年高二数学上学期期中试
题 文
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知直线的点斜式方程是y－2＝－(x－1)，那么此直线的倾斜角为
3
A. B. C. D.
632356
2.如图所示，在正方体中ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分
在平面上的正投影是
3.过点P(－1，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－1＝0 C.x＋2y－5＝0 D.x－2y＋7＝0
4.已知向量＝(cos，sin)，＝(2，－1)，且⊥，则的值是
ababtan4
A. B.－3 C.3 D.－
131
3
5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值是
A.－1 B.1 C.2 D.
1
4
6.已知l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是
A.若l//α，l//β，则α//β B.若α⊥β，l//α，则l⊥β
C.若l//α，，α//β则l//β D.若l⊥α，l//β，则α⊥β
7、已知圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中不正确的是
A.圆M的圆心为(4，－3) B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25 D.圆M被y轴截得的弦长为6
8.一组数据X1，X2，…，Xn的平均数是3，方差是5，则数据3X1＋2，3X2＋2，…，3Xn＋2的
平均数和方差分别是
A.11，45 B.5，45 C.3，5 D.5，15
9.如图所示，△ABC的三条边长分别为AB＝4，AC＝3，BC＝5，现将此三角形以边BC所在直
线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为
A. B. C. D.
48536584512
5
10.若点P(x，y)在圆上x2＋y2＋4x＋3＝0，则的取值范围是
y
x
A.[－，0) B.[－，] C.(0，] D.(－∞，]
333333333
3
11.如图是某几何体的三视图，该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
A.15π B.16π C.17π D.18π
12.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数
问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点M(x，y)与
22
()()xayb
点N(a，b)的距离结合上述观点，可得的最小值
22
()420210fxxxxx
A.3 B.4 C.5 D.7
2222
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.已知圆柱Ω的母线长为l，O底面半径为，是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个
不同的点，BC是母线，如图。若直线OA与BC所成角的大小为，则＝__________。
6lr
14.如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘法计算，y与x之间的线性回归方程为
y＝bx＋1，则b＝___________。
15.已知实数x，y满足约束条件，则sin(x＋y)的取值范围为______________(用
6
0xyxy
区间表示)
16.如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知以下说法正确的是
___。(填序号)
①甲运动员的成绩好于乙运动员； ②乙运动员的成绩好于甲运动员；
③甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异； ④甲运动员的最低得分为0分。
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤)
17.(本小题满分10分)
数列{an}满足an＋1＝an＋2，且a4＝8，正项数列{bn}满足bn是1和的等比中项。
2
n
a
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式。(2)求{an＋bn}的前n项和Sn。
18.(本小题满分12分)
为庆祝建国70周年国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考
试的学生中抽出60名学生，将其成绩(成绩均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，
……[90，100]后画出如图的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分。
19.(本小题满分12分)
如图，在四面体P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝3，AC＝4，BC＝5，且D，E，F分别为
BC，PC，AB的中点。
(1)求证：AC⊥平面PAB；
(2)G是棱PA中点，求证：FG//平面ADE。
20.(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，D是BC边上的点。
2
cos2bAac
(Ⅰ)求角B；
(Ⅱ)若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的长。
21.(本小题满分12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝2，AB＝AC＝，过BC的截
22
面α与面AB1C1交于EF。
(1)求证：EF//BC。
(2)若截面α过点A1，求证：α⊥面AEF。
(3)在(2)的条件下，求。
1
AEFA
V
22.(本小题满分12分)已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：x＋2y－8＝0，点A在直线l上。
(1)若点A的横坐标为2，求过点A的圆O的切线方程。
(2)已知圆A的半径为2，求圆O与圆A的公共弦|EF|的最大值。
2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(371)
永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ）A ．50x -<<或5x >B ．5x <-或5x >C ．55x -<<D ．5x <-或05x <<2． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．33． 已知函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，则a 的值等于（ ） A ．8B ．1C ．5D ．﹣14． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假5． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜06． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件7． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=18． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄αC ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对9． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．210．已知函数，函数，其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣iD ．﹣1+i12．已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，则关于x 的不等式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，2）C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D ．（﹣，2）二、填空题13．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）．①设A ，B 为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P 的轨迹为双曲线；②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．14．对于集合M ，定义函数对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）fB （x ）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．15．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，）到直线l 的距离为 ．16．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 18．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B为 .三、解答题19．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女总计（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．附：K2=P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.63520．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中.k R ∈ （1）当3k =时，求函数()f x 在[]0,5上的值域； （2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.22．如图，M 、N 是焦点为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上两个不同的点，且线段MN 中点A 的横坐标为，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p=2，直线MN 与x 轴交于点B 点，求点B 横坐标的取值范围．23．（本小题满分12分）已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.24．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.12． 【答案】A【解析】解：由，得3x 2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y ﹣8=0与抛物线y=﹣x 2无交点．设与直线4x+3y ﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立，得3x 2﹣4x ﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m ）=16+12m=0，得m=﹣．所以与直线4x+3y ﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x 2相切的直线方程为4x+3y ﹣=0．所以抛物线y=﹣x 2上的一点到直线4x+3y ﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A ．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．3． 【答案】B【解析】解：∵函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，令3x+2=2，解得x=0，∴a=2×0+1=1．故选：B．4．【答案】B【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．5．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．6．【答案】A【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，当sinA=，∴A=或A=，故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，故选：A7．【答案】C【解析】解：如图，++（）．故选C．8．【答案】A【解析】解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．9．【答案】D【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．故选；D．10．【答案】D【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h （x ）的图象如图：当x ≤0时，h （x ）=2+x+x 2=（x+）2+≥，当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x+8=（x ﹣）2+≥，故当=时，h （x ）=，有两个交点，当=2时，h （x ）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，即h （x ）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b ∈（，4），故选：D ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．11．【答案】A【解析】解：∵z （1+i ）=2，∴z===1﹣i ．故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．12．【答案】B【解析】解：∵α，β为锐角△ABC 的两个内角，可得α+β＞90°，cos β=sin （90°﹣β）＜sin α，同理cos α＜sin β，∴f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；故选：B．二、填空题13．【答案】②③．【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．故正确的命题为②③．故答案为：②③．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．14．【答案】{1，6，10，12}．【解析】解：要使f A（x）f B（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．15．【答案】3．【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5．点（4，）化为． ∴点到直线l 的距离d=5﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．16．【答案】1 【解析】试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是212121c c b b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.117．【答案】2 【解析】18．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K2的观测值为：k==≈3.030．∵3.030＜3.841，∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中a i（i=1，2，3）表示男性，b j （j=1，2）表示女性．设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．∴P（A）=．【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD又OC=OB，所以△BOD≌△COD∴∠OCD=∠OBD=90°即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…（其他方法亦可）21．【答案】（1）[]1,21;（2）2k ≥.【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得()'f x =()()31x x k --，再分1k ≤和1k >两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：3k = 时，()32691f x x x x =-++则()()()23129313f x x x x x =-+=--' 令0f x '=得121,3x x ==列表由上表知函数()f x 的值域为[]1,21（2）方法一：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增 所以()()()min 31113132f x f k k ==-+++= 即53k =（舍） ②当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增所以()()()322min 313132f x f k k k k k ==-+++= 化简得：32340k k -+= 即()()2120k k +-=所以1k =-或2k =（舍）注：也可令()3234g k k k =-+则()()23632g k k k k k =='-- 对()()1,2,0k g k ∀∈'≤()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减所以()02g k <<不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥方法二：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意 …………8分 ②当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增所以()()min 23f x f <=不符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()min 23f x f k f =<=不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 22．【答案】【解析】解：（1）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=8﹣p ，|MF|=x 1+，|NF|=x 2+， ∴|MF|+|NF|=x 1+x 2+p=8；（2）p=2时，y 2=4x ，若直线MN 斜率不存在，则B （3，0）；若直线MN 斜率存在，设A （3，t ）（t ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则代入利用点差法，可得y 12﹣y 22=4（x 1﹣x 2）∴k MN =，∴直线MN 的方程为y ﹣t=（x ﹣3），∴B 的横坐标为x=3﹣，直线MN 代入y 2=4x ，可得y 2﹣2ty+2t 2﹣12=0△＞0可得0＜t 2＜12，∴x=3﹣∈（﹣3，3），∴点B 横坐标的取值范围是（﹣3，3）． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．【答案】（1）2或2）(1,0)(0,3)-．【解析】试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得范围．试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-， 当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=， 当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.（2）与夹角为锐角，0a b ∙>，2230x x -++>，13x -<<，又因为0x =时，//a b ， 所以的取值范围是(1,0)(0,3)-.考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是0a b a b⋅>且,a b 不同向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是0a b a b⋅<且,a b 不反向．24．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．。
江西省宜春市第二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷含详解
D.若一组数据2，4， ，8 平均数是5，则该组数据的方差也是5
2.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为
A.1B.2
C.3D.4
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
A.先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为 ，然后抽取编号为 ， ， ，…的学生，这种抽样方法是分层抽样法
B.线性回归直线 不一定过样本中心
3.设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥ ，
∠ = ，则C的离心率为
A. B. C. D.
4.下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有2位同学一起走的情况，则第二位走的是甲同学的概率是（）
A. B. C. D.
5.设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =
13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题(含答案解析)
吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆2214x y +=的焦点坐标是（）A ．()B ．()C ．(0,D ．(0,2．抛物线2y ax =的准线方程为1y =，则a 的值为（）A ．12-B ．2-C ．14-D ．4-3．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±4．若直线1x ya b-=过第一､二､三象限，则实数,a b 满足（）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <>C ．0,0a b <<D ．0,0a b ><5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中正视图中的曲线为14圆弧，则该几何体的体积为（）A ．π42-B ．π82-C ．4π-D ．8π-6．若P 为椭圆22195x y +=上的任意一点，F 是椭圆的一个焦点，则PF 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知正方形ABCD PA ⊥平面,2ABCD PA =，则PC 与平面ABCD 所成角是（）A ．30B ．45C ．60D ．908．双曲线221259x y -=的两个焦点分别是12,F F ，双曲线上一点P 到1F 的距离是12，则P到2F 的距离是（）A ．17B ．7C ．7或17D ．2或229．已知α、β是两个平面，直线l α⊄，l β⊄，若以①l α⊥；②//l β；③αβ⊥中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）A ．①③⇒②；①②⇒③B ．①③⇒②；②③⇒①C ．①②⇒③；②③⇒①D ．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①10．设12,F F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，点M 在椭圆上，若12MF F △是直角三角形，则12MF F △的面积等于（）A ．485B ．365C ．16D ．485或1611．一束光线从点()2,3射出，经x 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则入射光线所在直线的斜率为（）A ．65或56B ．54或45C ．43或34D ．32或2312．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C ．94D ．3二、填空题13．经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为______．14．在正方体1111ABCD A B C D -中，过11,,A C B 三点的平面与底面ABCD 的交线为l ，则直线l 与11A C 的位置关系为______.（填“平行”“相交”或“异面”）15．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为__________．16．如图，半径为R 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的18，则这两个圆锥高之差的绝对值为______.三、解答题17．如图，已知圆锥的顶点为P ，O 是底面圆心，AB 是底面圆的直径，5PB =，3OB =．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高PO 的中点O '作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．18．已知直线:4320l ax y a --+=.（1）求证：无论实数a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）若直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.19．已知直线1:210l x y ++=，2:280l ax y a +++=，12l l ⊥且垂足为A ．（1）求点A 的坐标；（2）若圆C 与直线2l 相切于点A ，且圆心C 的横坐标为2，求圆C 的标准方程．20．如图，在多面体ABCDGE 中，已知四边形ABCD 为矩形，ABEG 为平行四边形，⊥AE 平面,ABCD AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且24AB AE AD ===.(1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)求三棱锥P ACF -的体积.21．已知曲线M 由抛物线2x y =-及抛物线24x y =组成，直线l ：3y kx =-（0k >）与曲线M 有m （N m ∈）个公共点.(1)若3m ≥，求k 的最小值；(2)若3m =，记这3个交点为A ，B ，C ，其中A 在第一象限，()0,1F ，证明：2FB FC FA⋅=22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，三点()()1230,2,,0,1A A A -中恰有两点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交椭圆C 于,M N 两点，且线段MN 的中点P 的横坐标为-，过P 作直线l l '⊥，证明：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案：1．A【分析】根据椭圆方程写出焦点坐标即可.【详解】由题设方程，椭圆焦点在x 轴上且c ==∴焦点坐标为().故选：A.2．C【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得抛物线的标准方程为21x y a =，准线方程为14y a=-，又准线方程是1y =，所以114a-=，所以14a =-.故选：C 3．C【详解】c e a ==2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.4．C【分析】将直线1x ya b-=过第一､二､三象限，转化为直线在x 轴上的截距为负，在y 轴上的截距为正，可得答案.【详解】将直线1x y a b -=化为+1x y a b=-，又直线过第一､二､三象限，所以它在x 轴上的截距为负，在y 轴上的截距为正，所以a<0，0b ->．所以0,0a b <<.故选：C.5．B【分析】根据三视图判断出几何体的结构，由此求得几何体的体积.【详解】根据三视图可知，该几何体是正方体截去四分之一的圆柱所得，所以体积为()21π222π12842⨯⨯-⨯⨯⨯=-.故选：B6．D【分析】先求得,a c ，由此求得PF 的最大值.【详解】22195x y += ，29a ∴=，2254b c =⇒=，即3,2a c ==.所以PF 的最大值为325a c +=+=.故选：D 7．B【分析】根据线面角的知识求得正确答案.【详解】由于PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，故PCA ∠是PC 与平面ABCD 所成角，由于正方形ABCD ，所以2AC PA ==，所以45PCA ∠=︒.故选：B8．D【分析】讨论P 点位置，结合1PF 求2PF .【详解】当P 在双曲线左支上时，根据双曲线的定义得2121210PF PF PF -=-=，解得222PF =，当P 在双曲线右支上时，根据双曲线的定义得1221210PF PF PF -=-=，解得22PF =，因为225PF c a =≥-=，所以22PF =满足题意.所以22PF =或22，故选:D.9．A【解析】对三个命题逐个分析，可采用判定定理、定义、作图的方法进行说明，由此可确定出正确选项.【详解】（1）证明：①②⇒③为真命题因为l α⊥，//l β，设l 平行于β内一条直线l '，所以l α'⊥，根据面面垂直的判定定理可知：αβ⊥，所以①②⇒③为真命题；（2）证明：①③⇒②为真命题因为l α⊥，αβ⊥，所以l ⊂α或l //β，又因为l β⊄，所以l //β，所以①③⇒②为真命题；（3）证明：②③⇒①为假命题作出正方体如下图所示：记直线AD 为l ，平面1111D C B A 为α，平面11BB C C 为β，所以αβ⊥，//l β，但//l α，所以②③⇒①为假命题；故选：A.【点睛】本题考查空间中关于线、面的命题的真假判断，主要考查学生对空间中位置关系的理解，难度一般.说明位置关系不成立也可以举反例.10．D【分析】对12MF F △的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】依题意，5,4,3a b c ===，不妨设()()13,0,3,0F F -，对于直角三角形12MF F ，若12π2F MF ∠=，由1222212210436PF PF a PF PF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，整理得1232PF PF ⋅=,所以12121162MF F S PF PF =⨯⨯= .若12MF F ∠或21MF F ∠为直角，由()22312516M y ±+=得225616,255M M y y ==，所以121211164862255MF F M S F F y =⨯⨯=⨯⨯= .所以，12MF F △的面积等于485或16.故选：D 11．C【解析】设入射光线所在的直线方程为()32y k x -=-，根据对称性可知，直线与圆()()22321x y ++-=关于x 轴的对称圆相切，即可求出斜率k .【详解】由题意可知，点()2,3在入射光线上，设入射光线所在的直线方程为()32y k x -=-，即2kx y k --30+=.圆()()22321x y ++-=关于x 轴对称的圆为()()22321x y +++=，则入射光线与该圆相切.1=，化为21225120k k -+=，解得34k =或43.故选：C【点睛】本题主要考查了直线与圆的相切，圆的对称性，考查了运算能力，属于中档题.12．B【解析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出22949b b ab -=，可求得ba，再由公式e =可求得双曲线的离心率的值.【详解】由双曲线的定义得122PF PF a -=，又123PF PF b +=，()()2222121294PFPF PFPF b a +--=-，即1249PF PF ab ⋅=，因此22949b a ab -=，即29940b ba a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则33140b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得43b a =，13b a =-（舍去），因此，该双曲线的离心率为53c e a ===.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立a 、b 所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.13．20x y -=．【解析】设经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y c -+=，然后将()2,1P 求解.【详解】设经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y c -+=，把()2,1P 代入，得：2210c -⨯+=，解得0c =，∴经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y -=．故答案为：20x y -=．【点睛】本题主要考查平行直线的求法，属于基础题.14．平行【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理确定正确答案.【详解】根据正方体的性质可知：11//A C AC ，由于11A C ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以11//A C 平面ABCD ，由于平面11AC B ⋂平面ABCD l =，11AC ⊂平面11A C B ，所以11//l AC .故答案为：平行15．6【分析】利用抛物线的定义可知，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，所以|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取最大值为6．16【分析】根据体积的公式求出两个圆锥体积之和，进而求出圆锥的底面圆的半径，求出两圆锥的高，求出答案.【详解】球的体积为3344ππ33R R ⨯=，则两个圆锥的体积之和为3314π=π8316R R ⨯，设两个圆锥的高分别为12,h h ，则122h h R +=，设圆锥底面圆半径为r ，则()2231212π1ππ336r h h r R R ⋅+==⋅，解得：2R r =，即2PD R =，所以222232AP R R R R ⎛⎫=--= ⎪⎝-⎭，222232BP R R R R ⎛⎫=+-= ⎪⎝+⎭所以这两个圆锥的高之差的绝对值为2232233R --=3R17．（1）24π；（2）21π2．【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =，从而可求出锥的表面积，（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =．∴该圆锥的表面积22πππ3π3524πS r rl =+=⨯+⨯⨯=．（2）在Rt POB △中，2222534PO PB OB =-=-=，∵O '是PO 的中点，∴2PO '=．∴小圆锥的高2h '=，小圆锥的底面半径1322r r '==，∴截得的圆台的体积2211321π34π2π3322V V V ⎛⎫=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭小台大．18．（1）证明见解析；（2）2a ≥.【分析】（1）将含有a 的项整理在一起，令a 的系数为0，余下的项为零，进而解得定点坐标，得到答案；（2）将直线化为斜截式，进而限制斜率和纵截距的范围得到答案.【详解】（1）直线:4320l ax y a --+=化为(41)230a x y -+-=，令410,230,x y -=⎧⎨-=⎩1,42,3x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩即直线:4320l ax y a --+=恒过定点12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线l 总经过第一象限.（2）直线:4320l ax y a --+=化为4233ax a y -=+，当0a =时，得23y =，直线经过第二象限；要使l 不经过第二象限，须有403203a a ⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得2a ≥.19．（1）()1,3-；（2）()()22255x y -++=．【解析】（1）根据题意，由直线垂直的判断方法可得220a +=，解可得a 的值，即可得直线2l 的方程，联立两个直线的方程，解可得A 的坐标，即可得答案．（2）根据题意，分析可得圆心C 在直线1l 上，设C 的坐标为(2,)b ，将其代入直线1l 的方程，计算可得b 的值，即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，直线1:210l x y ++=，2:280l ax y a +++=，若12l l ⊥，则有220a +=，解可得1a =-，则直线2l 的方程为270x y -++=，即270x y --=；联立两直线的方程：210270x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解可得13x y =⎧⎨=-⎩，即A 的坐标为()1,3-；（2）根据题意，若圆C 与直线2l 相切于点A 且12l l ⊥且垂足为A ，则圆心C 在直线1l 上，设C 的坐标为()2,b ，则有2210b ⨯++=，解可得=5b -，则圆心C 的坐标为()2,5-，圆的半径r CA ===则圆C 的标准方程为()()22255x y -++=．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程以及直线垂直的判断，属于基础题．20．(1)证明见解析(2)43【分析】（1）通过证明EF BC ⊥、EF BE ⊥来证得EF ⊥平面BCE ；（2）根据锥体体积计算方法，求得三棱锥P ACF -的体积.【详解】（1）因为⊥AE 平面,ABCD AE ⊂平面ABED ，所以平面ABCD ⊥平面ABEG .因为四边形ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥.又BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面ABEG AB =，所以BC ⊥平面ABEG .因为EF ⊂平面ABEG ，所以EF BC ⊥.因为四边形ABEG 为平行四边形，AB AE =，所以AE GE =.又F 为AG 中点，所以EF AG ⊥.易知//BE AG ，所以EF BE ⊥.又,,BC BE B BC BE ⋂=⊂平面BCE ，所以EF ⊥平面BCE .（2）因为⊥AE 平面,ABCD AG 的中点为,F ABEG 为平行四边形，GE AE ⊥，所以三棱锥F ACP -的高为122AE =.又PAC △的面积12222PAC S =⨯⨯= ，所以三棱锥P ACF -的体积142233P ACF F PAC V V --==⨯⨯=.21．(2)证明见解析【分析】（1）联立2x y =-与3y kx =-，21=120k ∆+>，故l 与抛物线2x y =-恒有两个交点.所以24x y =与3y kx =-，至少有一个交点，故令22=16480k ∆-≥，可求得k 的最小值；（2）由（1）知，k =A x =3A y =，142A FA y =+= ，即可证明22FB FC FA FA ⋅== .【详解】（1）联立2x y =-与3y kx =-，得230x kx +-=，∵21=120k ∆+>，∴l 与抛物线2x y =-恒有两个交点；联立24x y =与3y kx =-，得24120x kx -+=，∵直线l 与曲线M 有m 个公共点，且3m ≥，∴l 与抛物线24x y =至少有1个交点，∴22=16480k ∆-≥，∵0k >，∴k ≥∴k（2）由（1）知，k =且24120A A x kx -+=，∴24A x k =，∴2A x k ==，∴(24A y =，∴3A y =，故()A ，易知()0,1F 为抛物线24x y =的焦点，则23142A FA y =+=+= ，设()11,B x y ，()22,C x y ，由230x kx +-=可得12x x k +=-=123x x =-，∴()121269y y k x x +=+-=-，()()()21212121233399y y kx kx k x x k x x =--=-++=，∴()()()121212*********FB FC x x y y x x y y y y ⋅=+--=+-++= ，∵2216FA FA == ，∴2FB FC FA⋅= 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)221124x y +=(2)证明见解析，3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】(1)分别讨论即可确定12,A A 在C 上，即可求解；(2)利用点差法表示出l 的斜率，再表示出l '的直线方程，即可求出定点.【详解】（1）显然13,A A 不能同时在C 上，若23,A A 在C 上，则2223331,31b a b a =+=+≠.故12,A A 在C 上，则22332,1b a b=+=，所以212a =.所以椭圆C 的方程为221124x y +=.（2）设()00,P y y ⎛-∈ ⎝⎭.当00y ≠时，设()()1122,,,M x y N x y ，显然12x x ≠.联立2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则222212120124x x y y --+=，即1212121213y y x x x x y y -+=-⋅-+.又P 为线段MN 的中点，故直线MN的斜率为0013-.又l l '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+，即3y x ⎛=+⎭，显然l '恒过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.当00y =时，l '过点,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.综上所述，l '恒过定点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.。
2020-2021学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学(理)试题 word版
赣州市2020~2021学年度第一学期期未考试高二数学（理科）试题2021年1月（考试时间120分钟，试卷满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上．1．已知命题:p 对任意1x >，有ln 1x x x >-成立，则p ⌝为（ ）A ．存在01x ，使000ln 1x x x -成立B ．存在01x >，使000ln 1x x x -成立C ．对任意01x ，有000ln 1x x x ≤-成立D ．对任意01x >，有000ln 1x x x -成立2．已知椭圆222116x y m+=的右焦点为(2,0)，则m =（ ）A ．B ．C ．±D ．±3．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．16D ．6435．如图是计算11113519++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ）A ．10iB ．10i ≤C ．10i >D ．10i <6．正方形ABCD 的边长为2，以A 为起点作射线交边BC 于点E ，则BE <的概率是（ ）A B ．23 C ．13D ．1 7．已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b+=，双曲线2C 的方程为221221,x y C a b -=与2C 的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．12y x =± D ．2y x =± 8．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC -中，若,,PA PB PC 两两垂直，12APB3,,,,,BPCCPAPA a PB b PC c Ss Ss Ss ======，则ABCS=（ ）A BC D9．围屋始建于唐宋，兴盛于明清．围屋结合了中原古朴遗风以及南方文化的地域特色，是中国五大民居特色建筑之一在形式上主要有方形围屋、半圆形围屋、圆形围屋，如图所示是墙体厚度为1m 的圆形围屋（主要用泥土建筑而成，大部分是客家民居，又称客家土围楼），从地面测量内环直径是16m ，外环直径是30m ，墙体高10m ，则该围屋所有房间的室内总体积（斜屋顶不计入室内体积及忽略房间之间的墙体厚度与楼板厚度）大约是（ ）A ．31610m πB ．31440m πC ．31320m πD ．31150m π 10．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（ ）A ．8+B ．8C ．16D ．1611．如图，已知校长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,HE 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HEα平面α，11A C D 与平面α相交于一条线段，则该线段的长度是（ ）A B C D 12．设直线l 与圆22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且积有4条，则p 的取值范围是（ ）A ．B ．(1,3)C ．(0,3)D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上．13．已知抛物线22y x =，则其准线方程为____________． 14．下面是两个变量的一组数据：这两个变量之间的线性回归方程为159y x =-+，变量y 中缺失的数据是___________．15ABCD 中，对角线AC =ABC 沿AC 折起，使得二面角B ACD --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________． 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点12,,P F F 分别为其左右焦点，圆M 是12PF F 内切圆，且1PF 与圆M 相切于点2,||2c A PA a =（c 为半焦距），若122PF PF >，则双曲线离心率的取值范围是_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知:p 方程22114x y m m +=--表示双曲线，q :方程22126x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的椭圆． （1）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）1971年，江西省赣州地区信丰县开辟脐橙种植实验基地，1975年11月，出自此基地的脐橙参加赣南农产品大比武大放异彩，1976年广交会上脐橙“一炮打响”，1977年脐橙销往香港市场，1980年中科院考察队认定赣南是得天独厚的柑橘生产地，时至今日赣南脐橙已享誉全球．据市场反馈“腰围”长是25cm ~27cm 的脐橙最受消费者青睐，某种植户在甲、乙两块地种植脐橙，从两种植地采摘的脐橙中分别随机抽取100颗脐橙（“腰围”长均在21cm ~31cm ），根据“腰围”长分类画出如下统计图表：（1）求乙种植地脐橙腰围长的中位数；（2）从甲种植地样本在23cm ~25cm,25cm 27cm -两段中用分层抽样的方法抽出6颗脐橙，某同学随机的从6颗中拿走2颗，问拿到的2颗都是受消费者青睐的概率是多少？ 19．（本小题满分12分）在三棱锥P ABC -中，AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ，且AE CF O ⋂=，若点P 在平面ABC 上的射影为点O ．（1）证明：AC PB ⊥；（2）若ABC 是正三角形，点,G H 分别为,PA PC 的中点． 证明：四边形EFGH 是矩形． 20．（本小题满分12分）已知动圆与直线1x =-相交于,A B 两点，且||AB =． （1）当动圆过定点(2,0)时，求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）过点(1,0)-的直线l 交（1）中动圆圆心C 的轨迹于,M N 两点，点P 为,M N 的中点，过点P 垂直于直线l 的直线交x 轴于点Q ，求点Q 的横坐标的取值范围． 21．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，13B BA π∠=．（1）证明：1B C ⊥平面1ABC ；（2）若平面11ABB A ⊥平面,ABC M 为11A C 的中点，求二面角1C AB M --的余弦值． 22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的左右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点P ，直线1PA 和2PA 的斜率之积为34-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆内一点(,0)(0)M m m ≠，作一条不垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，点Q 和点B 关于x 轴对称，直线AQ 交x 轴于点(,0)N n ，证明：m n ⋅为定值．赣州市2020~2021学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题参考答案一、选择题二、填空题13．18y =-； 14．4； 15．6； 16．1)．三、解答题17．解：（1）若p 是真命题，则(1)(4)0m m --< 1分解得14m << 2分而q 是真命题，所以260m m +>-> 3分 解得26m << 4分 因为“p 且q ”为真命题，所以24m << 6分（2）当p 真q 假时：有1420m m m <<⎧⎨≥⎩或，即12m < 8分若p 假q 真时：1426m m m ⎧⎨<<⎩或，解得46m < 10分所以12m <或46m < 12分18．（1）220.1240.2260.4280.15300.1526.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲 2分220.1240.2260.3280.3300.126.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙 4分设乙种植地的中位数为x ，则79(25)0.150.23x x -⨯=⇒=6分 （2）由频率分布直方图可知23cm ~25cm 的脐橙个数为0.210020⨯= 7分 抽出120210⨯=个，假设为12,Q Q 8分 25cm ~27cm 的脐橙个数0.410040⨯=， 9分抽出140410⨯=个，假设为1234,,,C C C C 10分 从这6颗中抽出2颗可能产生的结果为：121112131421222324121314232434,,,,,,,,,C ,,C ,C ,C ,C Q Q Q C Q C Q C Q C Q C Q C Q C Q C C C C C C C C共15种．2颗都是受消费者青睐的包括：121314232434C ,,C ,C ,C ,C C C C C C C C 共6种 11分所以2颗都受消费者青睐的概率62155P == 12分 19．证明：（1）连接BO 并延长交AC 于点M ， 因为,AE BC CF AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心 1分所以BM AC ⊥ 2分又因为P 在平面ABC 的射影为O ，所以PO ⊥平面ABC 3分 所以PO AC ⊥ 4分又因为PO BM O ⋂=，所以AC ⊥平面PBM 5分 所以AC PB ⊥ 6分 （2）分别连接,,,EF EH GF GH因为,,AE BC CF AB ABC ⊥⊥为正三角形 所以,E F 分别为,BC BA 的中点 7分 所以//EF AC 8分又由（1）AC PB ⊥，所以EF PB ⊥ 9分 因为,E H 分别为,BC PC 的中点，所以EH 平行等于12PB ， 又因为,F G 分别为,AB PA 的中点，所以GF 平行等于12PB 10分 所以EH 平行等于GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形 11分 又//,EH PB EF PB ⊥，所以EHEF ⊥，所以四边形EFGH 为矩形 12分20．解：（1）设(,)C x y ，则222(1)3(2)x x y ++=-+ 2分 即26y x =，所以圆心C 的轨迹方程为：26y x = 4分 （2）设过点(1,0)-直线:(1)MN y k x =+，联立26(1)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，消y 得：()2222260k x k x k +-+= 6分所以()2242640k k ∆=-->，即232k <7分 设()()1122,,,M x y N x y ，根据韦达定理得：1212262,1x x x x k +=-= 9分 所以MN 的中点2331,P kk ⎛⎫-⎪⎝⎭ 10分 过点P 的垂线为23131y x k k k ⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11分 令0y =，则2324x k =+>， 所以点Q 的横坐标的取值范围(4,)+∞ 12分 21．证明：（1）如图取AB 中点D ，连接1,B D CD ．因为四边形11BCC B 为菱形，所以11B C BC ⊥ 1分 又因为三棱柱的所有棱长均为2，13B BA π∠=，所以ABC 和1ABB 是等边三角形，所以1,B D AB CD AB ⊥⊥因为1,B D CD ⊂平面11,B CD B D CD D ⋂=，所以AB ⊥平面1B CD 3分 所以1B C AB ⊥，而1BC AB B ⋂=， 所以1B C ⊥平面1ABC 4分（2）因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ，由（Ⅰ）知1B D AB ⊥ 5分 所以1B D ⊥平面ABC ．则1,,DB DB DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴，建立空间直角坐标系．则1(0,0,0),(1,0,0),D A B C -，11(1(C A -- 6分因为M 为11A C的中点，所以32M ⎛- ⎝ 7分所以11(1,3,0),(1,0,3),2AC AB AM ⎛===- ⎝，设平面1AB M 的法向量为1(,,)nx y z =，则11130102AB n x z AM n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，得1(3,3,1)n =-- 8分 同理设平面1AB C 的法向量为()2222,,n x y z =，则1223030AB n x AC n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得2(3,1,1)n =- 9分11所以121212(cos ,n n n n n n ⋅-<>=== 11分所以所求二面角1C AB M --的余弦值为65 12分22．解：（1）由题可知：2a = 1分令1223(0,),44PA PA b P b k k ⋅==--，所以23b = 3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y += 4分（2）显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()y k x m =-， 联立223412()x y yk x m ⎧+=⎨=-⎩，消y 得：()222223484120k x mk x k m +-+-= 6分 设()()1122,,,A x y B x y ，根据韦达定理得：2221212228412,3434mk k m x x x x k k -+==++ 8分 直线()121112:y y AQ y y x x x x +-=--，令0y =，则()1121112111211212y x x y x y x x y x y n x x y y y y ---+++==+=++ 9分()()()()()2222212211212121221212122412822343482234k m mk m k x m x k x m x x x m x x y x x y k k mky y k x m k x m x x m mk ---+--++++====+-+-+--+ ()222222241282448686m k m k mk m mk m m ---===--- 11分所以44m n m m ⋅=⋅=（定值） 12分。
江西省赣州市2020-2021学年高二数学下学期期末考试数学试题文含解析
江西省赣州市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合P＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，，则P∩Q＝（）A．〖2，3〗B．〖0，3〗C．〖3，+∞）D．∅3．命题“∀x＞1，”的否定是（）A．∀x≤1，B．∀x＞1，C．∃x≤1，D．∃x＞1，4．“|x﹣1|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知a＝log30.6，b＝30.1，c＝ln2，则（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为6、2，则输出的n＝（）A．3 B．4 C．5 D．67．甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、、，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则p等于（）A．B．C．D．8．已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，由表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞10时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为（）x 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0A．7 B．8 C．9 D．109．函数y＝ln|x|+cos x的大致图象是（）A．B．C．D．10．函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝1处有极小值，则实数c为（）A．3 B．1 C．1或3 D．﹣111．已知f（x）是定义在R上周期为2的函数，当x∈〖﹣1，1〗时，f（x）＝x2．若关于x的函数g（x）＝f（x）+log a x有唯一零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．12．已知e为自然对数的底数，f（x）是可导函数．对于任意的x∈R，f′（x）﹣f（x）＜0恒成立且f（0）＝1，则（）A．f（2）＞e2，f（2021）＜e2020f（1）B．f（2）＜e2，f（2021）＞e2020f（1）C．f（2）＞e2，f（2021）＞e2020f（1）D．f（2）＜e2，f（2021）＜e2020f（1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．函数f（x）＝（x﹣4）e x在x＝0处的切线方程为．14．已知x，y是〖0，2〗上的两个随机数，则x，y满足的概率为．15．已知函数f（x）＝xe x，则函数f（x）的最小值为．16．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M 是直线x+y﹣4＝0上的动点，则|MA|+|MB|的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．已知k∈R，设p：∀x∈〖1，2〗，（k+1）x﹣2＞0恒成立，命题q：∀x∈R，使得x2+kx+1≥0．（1）若p∧q是真命题，求k的取值范围；（2）若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，求k的取值范围．18．我国武汉在2019年的12月份开始出现不明原因的肺炎，在2020年的2月份命名为新型冠状病毒肺炎，新型冠状病毒传染性较强．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如表格：〖0，2〗（2，4〗（4，6〗（6，8〗（8，10〗（10，12〗（12，14〗潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1 （1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数；（2）该新冠病毒的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）20 50岁以下9总计40 （3）以（2）中40名患者的潜伏期≤6天的频率代替该地区1名患者的潜伏期≤6天的概率，每名患者的潜伏期是否≤6天相互独立，从这40名患者中按潜伏期时间分层抽样抽出5人，再从这5人中随机挑选出2人，求至少有1人是潜伏期大于6天的概率．附：P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．19．已知函数f（x）＝mx2﹣2mx+n（m＞0）在区间上有最大值3和最小值﹣1．（1）求实数m，n的值；（2）设，若不等式h（5x）﹣k•5x≥0在x∈〖﹣1，0）上恒成立，求实数k 的取值范围．20．在极坐标系xOy中，已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝7．以坐标原点为极点，极轴为x轴正半轴建立直角标系．（1）求曲线C1，C2，的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．21．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣2|（x∈R），记f（x）的最小值为m．（1）求不等式f（x）≥4的解集；（2）若实数a、b满足a＞0，b＞0，a+b＝m，求的最小值．22．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知函数F（x）＝f（x）﹣ax+（a∈R），若x0是F（x）的极大值点，求F（x0）的取值范围．▁▃▅▇█参 *考 *答 *案█▇▅▃▁一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z＝＝＝＝+i则在复平面内z对应的点位于第一象限，故选：A．2．设集合P＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，，则P∩Q＝（）A．〖2，3〗B．〖0，3〗C．〖3，+∞）D．∅解：∵集合P＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，＝{y|y≥0}，∴P∩Q＝{x|0≤x≤3}＝〖0，3〗．故选：B．3．命题“∀x＞1，”的否定是（）A．∀x≤1，B．∀x＞1，C．∃x≤1，D．∃x＞1，解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则命题“∀x＞1，”的否定是“∃x＞1，”．故选：D．4．“|x﹣1|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵|x﹣1|＜2，∴﹣2＜x﹣1＜2，∴﹣1＜x＜3，∵x2﹣x﹣6＜0，∴﹣2＜x＜3，∵（﹣1，3）⊊（﹣2，3），∴|x﹣1|＜2是x2﹣x﹣6＜0的充分不必要条件，故选：A．5．已知a＝log30.6，b＝30.1，c＝ln2，则（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c解：因为a＝log30.6＜log31＝0，b＝30.1＞30＝1，0＝ln1＜c＝ln2＜lne＝1，所以a＜c＜b．故选：B．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为6、2，则输出的n＝（）A．3 B．4 C．5 D．6解：当n＝1时，a＝9，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8，满足进行循环的条件，当n＝3时，a＝，b＝16，满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32，不满足进行循环的条件，故输出的n的值为4．故选：B．7．甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、、，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则p等于（）A．B．C．D．解：甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、、，∵三人中有人达标但没有全部达标的概率为，∴1﹣（1﹣p）×（1﹣）×（1﹣）﹣p×＝，解得p＝．故选：C．8．已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，由表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞10时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为（）x 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0A．7 B．8 C．9 D．10解：由表中的数据可得：，，将样本中心点代入到回归方程可得，，解得，故回归方程为＝1.23x+0.08，当＝1.23x+0.08＞10，解得x＞8.065，则该设备在第9年时，维修费用已经超过10，故最大使用年限为8年．故选：B．9．函数y＝ln|x|+cos x的大致图象是（）A．B．C．D．解：根据题意，设f（x）＝ln|x|+cos x，其定义域为{x|x≠0}，则f（﹣x）＝ln|x|+cos x＝f（x），y＝ln|x|+cos x为偶函数，排除BD，在区间（e，+∞）上，lnx＞1，﹣1≤cos x≤1，则f（x）＞0，排除A，故选：C．10．函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝1处有极小值，则实数c为（）A．3 B．1 C．1或3 D．﹣1解：∵函数f（x）＝x（x﹣c）2＝x3﹣2cx2+c2x，∴f′（x）＝3x2﹣4cx+c2，∵函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝1处有极小值，∴f′（1）＝3﹣4c+c2＝0，解得c＝1或c＝3，当c＝1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1，由f′（x）＞0，得x＜或x＞1；由f′（x）＜0，得．∴增区间是（﹣∞，），（1，+∞），减区间是（，1），当x＝1时，f（x）取极小值，故c＝1成立；当c＝3时，f′（x）＝3x2﹣12x+9，由f′（x）＞0，得x＜1或x＞3；由f′（x）＜0，得1＜x＜3．∴增区间是（﹣∞，1），（3，+∞），减区间是（1，3），当x＝1时，f（x）取极大值，故c＝3不成立．综上：实数c为1．故选：B．11．已知f（x）是定义在R上周期为2的函数，当x∈〖﹣1，1〗时，f（x）＝x2．若关于x的函数g（x）＝f（x）+log a x有唯一零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．解：由f（x）是定义在R上周期为2的函数，当x∈〖﹣1，1〗时，f（x）＝x2，作出函数f（x）的图象如图所示，因为函数g（x）＝f（x）+log a x有唯一零点，即方程﹣log a x＝f（x）有唯一的根，所函数y＝f（x）与函数的图象仅有一个交点，当，即a＞1时，由图象可知，符合题意；当，即0＜a＜1时，函数的图象恒过定点（1，0），要使得函数y＝f（x）与函数的图象仅有一个交点，则有，解得．综上所述，实数a的取值范围为．故选：D．12．已知e为自然对数的底数，f（x）是可导函数．对于任意的x∈R，f′（x）﹣f（x）＜0恒成立且f（0）＝1，则（）A．f（2）＞e2，f（2021）＜e2020f（1）B．f（2）＜e2，f（2021）＞e2020f（1）C．f（2）＞e2，f（2021）＞e2020f（1）D．f（2）＜e2，f（2021）＜e2020f（1）解：设h（x）＝，则h′（x）＝＜0，即h（x）在R上是减函数，而f（0）＝1，故h（0）＝f（0）＝1，则h（2）＜h（0），h（2021）＜h（1），则＜，＜，则f（2）＜e2，f（2021）＜e2020f（1），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．函数f（x）＝（x﹣4）e x在x＝0处的切线方程为3x+y+4＝0 ．解：由f（x）＝（x﹣4）e x，得f′（x）＝e x+（x﹣4）e x＝（x﹣3）e x，∴f′（0）＝（0﹣3）e0＝﹣3，又f（0）＝（0﹣4）e0＝﹣4，∴函数f（x）＝（x﹣4）e x在x＝0处的切线方程为y+4＝﹣3（x﹣0），即3x+y+4＝0．故答案为：3x+y+4＝0．14．已知x，y是〖0，2〗上的两个随机数，则x，y满足的概率为．解：满足条件的x，y构成的点（x，y）在正方形OABC内及边界上，其面积为4，满足的x，y构成的点（x，y）在正方形中除去以原点为圆心，为半径的圆的部分，其面积为，所以x，y满足的概率为＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝xe x，则函数f（x）的最小值为．解：∵f（x）＝xe x，∴f'（x）＝（1+x）e x，令f'（x）＞0，解得x＞﹣1，f'（x）＜0，解得x＜﹣1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴故f（x）在x＝﹣1时，取得极小值，也为最小值，∴．故答案为：．16．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M 是直线x+y﹣4＝0上的动点，则|MA|+|MB|的最小值为 4 ．解：设点A（a，0），B（0，b），则a²+b²＝9，点B关于直线x+y﹣4＝0的对称点为B'（x1，y1），则，解得，所以要使|MA|+|MB|最短，则需|AB'|最短，而|AB'|＝＝，又a²+b²＝9，设a＝3cosθ，b＝3sinθ，所以a+b＝3sinθ+3cosθ＝3sin（θ+），所以﹣3≤a+b≤3，所以当a+b＝4时（满足﹣3≤a+b≤3），|AB|取得最小值，最小值为|AB'|＝＝4，所以|MA|+|MB|的最小值为4，故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．已知k∈R，设p：∀x∈〖1，2〗，（k+1）x﹣2＞0恒成立，命题q：∀x∈R，使得x2+kx+1≥0．（1）若p∧q是真命题，求k的取值范围；（2）若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，求k的取值范围．〖解答〗（1）若p为真，即p：∀x∈〖1，2〗，（k+1）x﹣2＞0恒成立，可得，解得k＞1．若q为真，即q：∀x∈R，使得x2+kx+1≥0，则△＝k2﹣4≤0，解得﹣2≤k≤2，若p∧q是真命题，则p，q为真，可得，所以1＜k≤2，所以k的取值范围（1，2〗．（2）因为p∧（¬q）为假，p∨（¬q）为真，所以p，（¬q）一真一假，即p，q同真同假，当p，q都真时，由（1）知1＜k≤2，当p，q都假时，即k＜﹣2，综上可得1＜k≤2或k＜﹣2，故a的范围为{k|1＜k≤2或k＜﹣2}．18．我国武汉在2019年的12月份开始出现不明原因的肺炎，在2020年的2月份命名为新型冠状病毒肺炎，新型冠状病毒传染性较强．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如表格：〖0，2〗（2，4〗（4，6〗（6，8〗（8，10〗（10，12〗（12，14〗潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1 （1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数；（2）该新冠病毒的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）20 50岁以下9总计40 （3）以（2）中40名患者的潜伏期≤6天的频率代替该地区1名患者的潜伏期≤6天的概率，每名患者的潜伏期是否≤6天相互独立，从这40名患者中按潜伏期时间分层抽样抽出5人，再从这5人中随机挑选出2人，求至少有1人是潜伏期大于6天的概率．附：P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．解：（1）＝5.4（天）；（2）用分层抽样，应该抽到潜伏期≤6天的人数为，根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期大于6天总计潜伏期小于或等于6天50岁以上（含50岁）15 5 20 50岁以下9 11 20 总计24 16 40 则，经查表，得K2＝3.75＜3.841，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）因为，所以由分层抽样可知，5人中有潜伏期小于或等于6天的3人，潜伏期40大于6天的2人，潜伏期大于6天的2人记为A、B，潜伏期小于或等于6天的3人记为a，b，c，从这5人中抽取2人的情况分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共有10种，其中至少有一人是潜伏期大于6天的种数是7种，分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，故至少有1人是潜伏期大于6天的概率是．19．已知函数f（x）＝mx2﹣2mx+n（m＞0）在区间上有最大值3和最小值﹣1．（1）求实数m，n的值；（2）设，若不等式h（5x）﹣k•5x≥0在x∈〖﹣1，0）上恒成立，求实数k 的取值范围．解：（1）因为f（x）＝mx2﹣2mx+n的对称轴是x＝1，又因为m＞0，所以f（x ）在上单调递减，在〖1，3〗上单调递增，所以当x＝1时，f（x）取最小值﹣1，当x＝3时，f（x）取最大值3，即，解得；（2）因为，所以h（5x）﹣k⋅5x＝5x﹣2﹣k⋅5x≥0，所以（1﹣k）⋅5x﹣2≥0，所以，令，则g（x）在〖﹣1，0）上是增函数．故g（x）min＝g（﹣1）＝﹣9，所以h（5x）﹣k•5x≥0在x∈〖﹣1，0）上恒成立时，可得k≤﹣9，即k的取值范围是（﹣∞，﹣9〗．20．在极坐标系xOy中，已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝7．以坐标原点为极点，极轴为x轴正半轴建立直角标系．（1）求曲线C1，C2，的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．解：（1）线C1的极坐标方程为，由转换为直角坐标方程为：x+y＝4；曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝7．根据，转换为直角坐标方程为：＝1．（2）射线与曲线C1交于点M，所以解得：，射线与曲线C2交于点N，联立解得：；故S△MON＝．21．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣2|（x∈R），记f（x）的最小值为m．（1）求不等式f（x）≥4的解集；（2）若实数a、b满足a＞0，b＞0，a+b＝m，求的最小值．解：（1）函数，所以，原不等式等价于：或，解得：x＜﹣1或x＝﹣1或，综上所述：原不等式的解集为：．（2）f（x）＝|x+1|+|2x﹣2|＝|x+1|+|x﹣1|+|x﹣1|，f（x）表示数轴上的点到数轴上﹣1，1，1对应点的距离之和．所以f（x）min＝f（1）＝2，因为a+b＝2，所以＝，当且仅当，即a＝1，b＝1时，有最小值1．22．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知函数F（x）＝f（x）﹣ax+（a∈R），若x0是F（x）的极大值点，求F（x0）的取值范围．解：（1）记f（x）＝（﹣x2+x+5）e﹣x，定义域为R，则f′（x）＝（x+1）（x﹣4）e﹣x，由f′（x）＞0得增区间（﹣∞，﹣1）和（4，+∞），f′（x）＜0得减区间（﹣1，4），所以f（x）在区间（﹣1，4）上单调递减，在（﹣∞，﹣1）和（4，+∞）上单调递增．（2）由题意知F（x）＝f（x）﹣ax+（2x2﹣9）e﹣x＝（x2+x﹣4）e﹣x﹣ax，所以F′（x）＝（﹣x2+x+5）e﹣x﹣a，而f（x）＝（﹣x2+x+5）e﹣x在区间（﹣1，4）上单调递减，若x0是F（x）的极大值点，则﹣1＜x0＜4，且，所以，记h（x）＝（x3﹣4x﹣4）e﹣x，则h′（x）＝﹣xe﹣x（x+1）⋅（x﹣4），所以h（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，在区间（0，4）上单调递增，且h（0）＝﹣4，h（﹣1）＝﹣e，，所以当x∈（﹣1，4）时，，所以，即F（x0）的取值范围为．江西省赣州市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合P＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，，则P∩Q＝（）A．〖2，3〗B．〖0，3〗C．〖3，+∞）D．∅3．命题“∀x＞1，”的否定是（）A．∀x≤1，B．∀x＞1，C．∃x≤1，D．∃x＞1，4．“|x﹣1|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知a＝log30.6，b＝30.1，c＝ln2，则（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为6、2，则输出的n＝（）A．3 B．4 C．5 D．67．甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、、，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则p等于（）A．B．C．D．8．已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，由表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞10时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为（）x 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0A．7 B．8 C．9 D．109．函数y＝ln|x|+cos x的大致图象是（）A．B．C．D．10．函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝1处有极小值，则实数c为（）A．3 B．1 C．1或3 D．﹣111．已知f（x）是定义在R上周期为2的函数，当x∈〖﹣1，1〗时，f（x）＝x2．若关于x的函数g（x）＝f（x）+log a x有唯一零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．12．已知e为自然对数的底数，f（x）是可导函数．对于任意的x∈R，f′（x）﹣f（x）＜0恒成立且f（0）＝1，则（）A．f（2）＞e2，f（2021）＜e2020f（1）B．f（2）＜e2，f（2021）＞e2020f（1）C．f（2）＞e2，f（2021）＞e2020f（1）D．f（2）＜e2，f（2021）＜e2020f（1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．函数f（x）＝（x﹣4）e x在x＝0处的切线方程为．14．已知x，y是〖0，2〗上的两个随机数，则x，y满足的概率为．15．已知函数f（x）＝xe x，则函数f（x）的最小值为．16．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M 是直线x+y﹣4＝0上的动点，则|MA|+|MB|的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．已知k∈R，设p：∀x∈〖1，2〗，（k+1）x﹣2＞0恒成立，命题q：∀x∈R，使得x2+kx+1≥0．（1）若p∧q是真命题，求k的取值范围；（2）若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，求k的取值范围．18．我国武汉在2019年的12月份开始出现不明原因的肺炎，在2020年的2月份命名为新型冠状病毒肺炎，新型冠状病毒传染性较强．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如表格：〖0，2〗（2，4〗（4，6〗（6，8〗（8，10〗（10，12〗（12，14〗潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1 （1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数；（2）该新冠病毒的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）20 50岁以下9总计40 （3）以（2）中40名患者的潜伏期≤6天的频率代替该地区1名患者的潜伏期≤6天的概率，每名患者的潜伏期是否≤6天相互独立，从这40名患者中按潜伏期时间分层抽样抽出5人，再从这5人中随机挑选出2人，求至少有1人是潜伏期大于6天的概率．附：P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．19．已知函数f（x）＝mx2﹣2mx+n（m＞0）在区间上有最大值3和最小值﹣1．（1）求实数m，n的值；（2）设，若不等式h（5x）﹣k•5x≥0在x∈〖﹣1，0）上恒成立，求实数k 的取值范围．20．在极坐标系xOy中，已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝7．以坐标原点为极点，极轴为x轴正半轴建立直角标系．（1）求曲线C1，C2，的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．21．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣2|（x∈R），记f（x）的最小值为m．（1）求不等式f（x）≥4的解集；（2）若实数a、b满足a＞0，b＞0，a+b＝m，求的最小值．22．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知函数F（x）＝f（x）﹣ax+（a∈R），若x0是F（x）的极大值点，求F（x0）的取值范围．▁▃▅▇█参 *考 *答 *案█▇▅▃▁一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z＝＝＝＝+i则在复平面内z对应的点位于第一象限，故选：A．2．设集合P＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，，则P∩Q＝（）A．〖2，3〗B．〖0，3〗C．〖3，+∞）D．∅解：∵集合P＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，＝{y|y≥0}，∴P∩Q＝{x|0≤x≤3}＝〖0，3〗．故选：B．3．命题“∀x＞1，”的否定是（）A．∀x≤1，B．∀x＞1，C．∃x≤1，D．∃x＞1，解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则命题“∀x＞1，”的否定是“∃x＞1，”．故选：D．4．“|x﹣1|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵|x﹣1|＜2，∴﹣2＜x﹣1＜2，∴﹣1＜x＜3，∵x2﹣x﹣6＜0，∴﹣2＜x＜3，∵（﹣1，3）⊊（﹣2，3），∴|x﹣1|＜2是x2﹣x﹣6＜0的充分不必要条件，故选：A．5．已知a＝log30.6，b＝30.1，c＝ln2，则（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c解：因为a＝log30.6＜log31＝0，b＝30.1＞30＝1，0＝ln1＜c＝ln2＜lne＝1，所以a＜c＜b．故选：B．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为6、2，则输出的n＝（）A．3 B．4 C．5 D．6解：当n＝1时，a＝9，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8，满足进行循环的条件，当n＝3时，a＝，b＝16，满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32，不满足进行循环的条件，故输出的n的值为4．故选：B．7．甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、、，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则p等于（）A．B．C．D．解：甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为p、、，∵三人中有人达标但没有全部达标的概率为，∴1﹣（1﹣p）×（1﹣）×（1﹣）﹣p×＝，解得p＝．故选：C．8．已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，由表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞10时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为（）x 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0A．7 B．8 C．9 D．10解：由表中的数据可得：，，将样本中心点代入到回归方程可得，，解得，故回归方程为＝1.23x+0.08，当＝1.23x+0.08＞10，解得x＞8.065，则该设备在第9年时，维修费用已经超过10，故最大使用年限为8年．故选：B．9．函数y＝ln|x|+cos x的大致图象是（）A．B．C．D．解：根据题意，设f（x）＝ln|x|+cos x，其定义域为{x|x≠0}，则f（﹣x）＝ln|x|+cos x＝f（x），y＝ln|x|+cos x为偶函数，排除BD，在区间（e，+∞）上，lnx＞1，﹣1≤cos x≤1，则f（x）＞0，排除A，故选：C．10．函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝1处有极小值，则实数c为（）A．3 B．1 C．1或3 D．﹣1解：∵函数f（x）＝x（x﹣c）2＝x3﹣2cx2+c2x，∴f′（x）＝3x2﹣4cx+c2，∵函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝1处有极小值，∴f′（1）＝3﹣4c+c2＝0，解得c＝1或c＝3，当c＝1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1，由f′（x）＞0，得x＜或x＞1；由f′（x）＜0，得．∴增区间是（﹣∞，），（1，+∞），减区间是（，1），当x＝1时，f（x）取极小值，故c＝1成立；当c＝3时，f′（x）＝3x2﹣12x+9，由f′（x）＞0，得x＜1或x＞3；由f′（x）＜0，得1＜x＜3．∴增区间是（﹣∞，1），（3，+∞），减区间是（1，3），当x＝1时，f（x）取极大值，故c＝3不成立．综上：实数c为1．故选：B．11．已知f（x）是定义在R上周期为2的函数，当x∈〖﹣1，1〗时，f（x）＝x2．若关于x的函数g（x）＝f（x）+log a x有唯一零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．解：由f（x）是定义在R上周期为2的函数，当x∈〖﹣1，1〗时，f（x）＝x2，作出函数f（x）的图象如图所示，因为函数g（x）＝f（x）+log a x有唯一零点，即方程﹣log a x＝f（x）有唯一的根，所函数y＝f（x）与函数的图象仅有一个交点，当，即a＞1时，由图象可知，符合题意；当，即0＜a＜1时，函数的图象恒过定点（1，0），要使得函数y＝f（x）与函数的图象仅有一个交点，则有，解得．综上所述，实数a的取值范围为．故选：D．12．已知e为自然对数的底数，f（x）是可导函数．对于任意的x∈R，f′（x）﹣f（x）＜0恒成立且f（0）＝1，则（）A．f（2）＞e2，f（2021）＜e2020f（1）B．f（2）＜e2，f（2021）＞e2020f（1）C．f（2）＞e2，f（2021）＞e2020f（1）D．f（2）＜e2，f（2021）＜e2020f（1）解：设h（x）＝，则h′（x）＝＜0，即h（x）在R上是减函数，而f（0）＝1，故h（0）＝f（0）＝1，则h（2）＜h（0），h（2021）＜h（1），则＜，＜，则f（2）＜e2，f（2021）＜e2020f（1），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．函数f（x）＝（x﹣4）e x在x＝0处的切线方程为3x+y+4＝0 ．解：由f（x）＝（x﹣4）e x，得f′（x）＝e x+（x﹣4）e x＝（x﹣3）e x，∴f′（0）＝（0﹣3）e0＝﹣3，又f（0）＝（0﹣4）e0＝﹣4，∴函数f（x）＝（x﹣4）e x在x＝0处的切线方程为y+4＝﹣3（x﹣0），即3x+y+4＝0．故答案为：3x+y+4＝0．14．已知x，y是〖0，2〗上的两个随机数，则x，y满足的概率为．解：满足条件的x，y构成的点（x，y）在正方形OABC内及边界上，其面积为4，满足的x，y构成的点（x，y）在正方形中除去以原点为圆心，为半径的圆的部分，其面积为，所以x，y满足的概率为＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝xe x，则函数f（x）的最小值为．解：∵f（x）＝xe x，∴f'（x）＝（1+x）e x，令f'（x）＞0，解得x＞﹣1，f'（x）＜0，解得x＜﹣1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴故f（x）在x＝﹣1时，取得极小值，也为最小值，∴．故答案为：．16．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M 是直线x+y﹣4＝0上的动点，则|MA|+|MB|的最小值为 4 ．解：设点A（a，0），B（0，b），则a²+b²＝9，点B关于直线x+y﹣4＝0的对称点为B'（x1，y1），则，解得，所以要使|MA|+|MB|最短，则需|AB'|最短，而|AB'|＝＝，又a²+b²＝9，设a＝3cosθ，b＝3sinθ，所以a+b＝3sinθ+3cosθ＝3sin（θ+），所以﹣3≤a+b≤3，所以当a+b＝4时（满足﹣3≤a+b≤3），|AB|取得最小值，最小值为|AB'|＝＝4，所以|MA|+|MB|的最小值为4，故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）17．已知k∈R，设p：∀x∈〖1，2〗，（k+1）x﹣2＞0恒成立，命题q：∀x∈R，使得x2+kx+1≥0．（1）若p∧q是真命题，求k的取值范围；（2）若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，求k的取值范围．〖解答〗（1）若p为真，即p：∀x∈〖1，2〗，（k+1）x﹣2＞0恒成立，可得，解得k＞1．若q为真，即q：∀x∈R，使得x2+kx+1≥0，则△＝k2﹣4≤0，解得﹣2≤k≤2，若p∧q是真命题，则p，q为真，可得，所以1＜k≤2，所以k的取值范围（1，2〗．（2）因为p∧（¬q）为假，p∨（¬q）为真，所以p，（¬q）一真一假，即p，q同真同假，当p，q都真时，由（1）知1＜k≤2，当p，q都假时，即k＜﹣2，综上可得1＜k≤2或k＜﹣2，故a的范围为{k|1＜k≤2或k＜﹣2}．18．我国武汉在2019年的12月份开始出现不明原因的肺炎，在2020年的2月份命名为新型冠状病毒肺炎，新型冠状病毒传染性较强．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如表格：〖0，2〗（2，4〗（4，6〗（6，8〗（8，10〗（10，12〗（12，14〗潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1 （1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数；（2）该新冠病毒的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）20 50岁以下9总计40 （3）以（2）中40名患者的潜伏期≤6天的频率代替该地区1名患者的潜伏期≤6天的概率，每名患者的潜伏期是否≤6天相互独立，从这40名患者中按潜伏期时间分层抽样抽出5人，再从这5人中随机挑选出2人，求至少有1人是潜伏期大于6天的概率．附：P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．解：（1）＝5.4（天）；（2）用分层抽样，应该抽到潜伏期≤6天的人数为，根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期大于6天总计潜伏期小于或等于6天50岁以上（含50岁）15 5 20 50岁以下9 11 20 总计24 16 40 则，经查表，得K2＝3.75＜3.841，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）因为，所以由分层抽样可知，5人中有潜伏期小于或等于6天的3人，潜伏期40大于6天的2人，潜伏期大于6天的2人记为A、B，潜伏期小于或等于6天的3人记为a，b，c，从这5人中抽取2人的情况分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共有10种，其中至少有一人是潜伏期大于6天的种数是7种，分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，故至少有1人是潜伏期大于6天的概率是．19．已知函数f（x）＝mx2﹣2mx+n（m＞0）在区间上有最大值3和最小值﹣1．（1）求实数m，n的值；（2）设，若不等式h（5x）﹣k•5x≥0在x∈〖﹣1，0）上恒成立，求实数k 的取值范围．解：（1）因为f（x）＝mx2﹣2mx+n的对称轴是x＝1，又因为m＞0，所以f（x ）在上单调递减，在〖1，3〗上单调递增，所以当x＝1时，f（x）取最小值﹣1，当x＝3时，f（x）取最大值3，即，解得；（2）因为，所以h（5x）﹣k⋅5x＝5x﹣2﹣k⋅5x≥0，所以（1﹣k）⋅5x﹣2≥0，所以，令，则g（x）在〖﹣1，0）上是增函数．故g（x）min＝g（﹣1）＝﹣9，所以h（5x）﹣k•5x≥0在x∈〖﹣1，0）上恒成立时，可得k≤﹣9，即k的取值范围是（﹣∞，﹣9〗．20．在极坐标系xOy中，已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝7．以坐标原点为极点，极轴为x轴正半轴建立直角标系．（1）求曲线C1，C2，的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求△MON的面积（其中O为坐标原点）．解：（1）线C1的极坐标方程为，由转换为直角坐标方程为：x+y＝4；曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝7．根据，转换为直角坐标方程为：＝1．（2）射线与曲线C1交于点M，所以解得：，射线与曲线C2交于点N，联立解得：；故S△MON＝．21．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣2|（x∈R），记f（x）的最小值为m．（1）求不等式f（x）≥4的解集；（2）若实数a、b满足a＞0，b＞0，a+b＝m，求的最小值．解：（1）函数，所以，原不等式等价于：或，解得：x＜﹣1或x＝﹣1或，综上所述：原不等式的解集为：．（2）f（x）＝|x+1|+|2x﹣2|＝|x+1|+|x﹣1|+|x﹣1|，f（x）表示数轴上的点到数轴上﹣1，1，1对应点的距离之和．所以f（x）min＝f（1）＝2，因为a+b＝2，所以＝，当且仅当，即a＝1，b＝1时，有最小值1．22．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知函数F（x）＝f（x）﹣ax+（a∈R），若x0是F（x）的极大值点，求F（x0）的取值范围．解：（1）记f（x）＝（﹣x2+x+5）e﹣x，定义域为R，则f′（x）＝（x+1）（x﹣4）e﹣x，由f′（x）＞0得增区间（﹣∞，﹣1）和（4，+∞），f′（x）＜0得减区间（﹣1，4），所以f（x）在区间（﹣1，4）上单调递减，在（﹣∞，﹣1）和（4，+∞）上单调递增．（2）由题意知F（x）＝f（x）﹣ax+（2x2﹣9）e﹣x＝（x2+x﹣4）e﹣x﹣ax，所以F′（x）＝（﹣x2+x+5）e﹣x﹣a，而f（x）＝（﹣x2+x+5）e﹣x在区间（﹣1，4）上单调递减，若x0是F（x）的极大值点，则﹣1＜x0＜4，且，所以，记h（x）＝（x3﹣4x﹣4）e﹣x，则h′（x）＝﹣xe﹣x（x+1）⋅（x﹣4），所以h（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，在区间（0，4）上单调递增，且h（0）＝﹣4，h（﹣1）＝﹣e，，所以当x∈（﹣1，4）时，，所以，即F（x0）的取值范围为．。
江西省赣州市十五县(市)2019_2020学年高二物理上学期期中试题
江西省赣州市十五县（市）2019-2020学年高二物理上学期期中试题一：选择题(每小题4分，共40分。
其中1－7题为单选题，8－10题为多选题，全对得4分，选不全的得2分，有选错或不选的得0分)1.古代琥珀价格昂贵，常有人鱼目混珠。
南朝陶弘景知道“惟以手心摩热拾芥为真”，南北朝时的雷敩(音xiào)在《炮炙论》中也有“琥珀如血色，以布拭热，吸得芥子者真也”的说法，以此作为识别真假琥珀的标准。
这些识别方法主要是利用了A.摩擦生热使琥珀温度升高B.尖端放电现象C.手心和琥珀之间的热传递D.摩擦起电使琥珀带电从而能够吸引轻小物体2.如图所示为两个大小不同的电阻的伏安特性曲线，那么A.电阻大的应是图线a，两电阻串联后的伏安特性曲线在区域ⅢB.电阻小的应是图线a，两电阻并联后的伏安特性曲线在区域ⅢC.电阻大的应是图线b，两电阻串联后的伏安特性曲线在区域ⅢD.电阻小的应是图线b，两电阻并联后的伏安特性曲线在区域Ⅲ3.在如图所示的电路中，电源电压U恒定不变，当S闭合时电阻R1消耗的电功率为P1，当S 断开时R1消耗的电功率为P2，P1：P2＝9：4，则下列判断正确的是A.电阻R1与R2的比值是2：1B.电阻R1与R2的比值是1：2C.电阻R1与R2的比值是3：2D.电阻R1与R2的比值是2：34.如图所示，实线是匀强电场的电场线，带电粒子q1、q2分别从A、C两点以初速度v垂直电场线射入电场，其运动轨迹分别是图中的ABC、CDA。
已知q1带正电，不计粒子的重力、q1、q2之间作用力和其它阻力。
则下列说法中正确的是A.q2带正电B.A点的电势高于C点的电势C.电场力对q1做正功，对q2做负功D.q1的电势能减小、q2的电势能不变5.两个电压表V1和V2是由完全相同的两个小量程电流表改装成的，V1的量程是3V，V2的量程是15V，为了测量约16V的电压，我们把两个电压表串联起来使用，以下叙述正确的是A.V1和V2的指针偏转角度相同B.V1和V2的示数相等C.V1和V2的示数不相等，指针偏转角度也不相同D.V1和V2的示数之比为5：16.北京正负电子对撞机的储存环可看作是周长为240m的圆形轨道，当环中的电流强度为10mA 时，若电子的速率为十分之一光速，则在整个环中运行的电子数目为A.5×1019B.5×1011C.10×10－3D.10×1037.如图所示，光滑绝缘的水平面附近存在一个平行于水平面的电场，其中某一区域的电场线与x轴平行，现有一个质量为0.1kg，电荷量为－2.0×10－8C的滑块P(可看做质点)，仅在电场力作用下由静止沿x轴向左运动。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
树德中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性测 数学(文)试题(含答案)
16.
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
与双曲线
C2
:
x2 m2
y2 n2
1(m 0, n 0) 有相同的焦点 F1, F2 ，其中
F1 为左焦点．点 P 为两曲线在第一象限的交点，e1、e2 分别为曲线 C1、C2 的离心率，若△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，则 e2﹣e1 的取值范围为_____． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 如图，圆 C 与 x 轴正半轴交于两点 A，B（B 在 A 的右方），与 y 轴相切
A． k 4 或 k 0 B． k 3 C． k 3 或 k 1 D． k 1
3
4
4
12.点 A 、 B
为椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 长轴的端点， C
、 D 为椭圆 E 短轴的端点，动点 M
满足
MA MB 2 ，若 MAB 面积的最大值为 8， MCD 面积的最小值为 1，则椭圆的离心率为
于点 M 0,1 ，已知 AB 2 3 .
（1）求圆 C 的标．准．方程； （2）求圆 C 在点 A 处的切线 l 的方程.
20.
设椭圆 M
：x2 a2
y2 b2
1a b 0 的离心率与双曲线 x2 y2
1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴
长为 4.
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）若直线 x 2 y m 交椭圆 M 于 A ， B 两点， P 2，1 为椭圆 M 上一点，求 PAB 面积的最大
联立
x2 3
y
y2 1