2017-2018学年高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2.1课件 新人教A版
经检验:x=4是原方程的解.
2.解不等式 2Cxx12 3Cxx11.
【解析】因为
2Cxx12
3Cxx
1 1
,
所以由组合数性质知
因为x+1≥3,x≥2,
2C3x1
3C2x1,
2
x
1
1
xx
23
1
3
x 1
1 2
x
,
所以(x+1)x>0,两边同除以(x+1)x,
【解析】选D.由题意4项工作分配给3名志愿者,分配方
式只能为(2,1,1),所以安排方式有
36种.
C24 A33
【误区警示】本题易对排列与组合误判,从而导致计算 错误.
2.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法? (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不 同的选法? (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少 种不同的选法?
【解析】(1)从口袋里的8个球中任取5个球,不同取法 的(2种)从数口是袋里C 58的 C883个球83中72任16 取 556.个球,其中恰有一个红球, 可以分两步完成: 第一步,从7个白球中任取4个白球,有 种取法; 第二步,把1个红球取出,有 种取法.C74
C11
故不同取法的种数是:
A=122 2.
C24A22
3.你能借助排列数计算 C24 吗?
提示:能.因为
A24＝C24A22
,所以
C24＝
A A
2 4 2 2
＝6.
结论:组合数公式及性质
组合数 公式
性质
备注
乘积 形式
阶乘 形式
Cmn
Amn Amm
nn 1n 2n m 1
m!
n!
Cmn m!n m!
【解析】是排列问题.选取的3个元素顺序不同时,得到
不同的一元二次方程,共有
=204个不同的一元
(C37－1)A33
二次方程.
2.典例(4)中将条件改为从10人中选出3人参加义务劳 动,有多少种选法? 【解析】选出3人参加义务劳动,3人间不存在顺序,因 此是组合问题,组合数为 =120.
C130
【规律总结】判断组合与排列的主要依据
得
,所以x=2,3,4,5.
x 1 9 , x 11 22
类型三:组合的简单应用 【典例3】某人决定投资8种股票和4种债券,经纪人向 他推荐了12种股票和7种债券.问:此人有多少种不同的 投资方式? 【解题指南】分两步,第一步,从12种股票中选,第2步, 从7种债券中选.
【解析】可分为两步,第一步,从12种股票中选8种股
【解题指南】明确组合、排列的定义是解题的关键,若 问题是否与顺序有关不明显,则可以尝试写出其中的一 个结果进行判断.
【解析】(1)当取出3个数字后,如果改变3个数字的顺 序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关, 而且与元素的安排顺序有关,是排列问题.排列数为
=504. A39
(2)取出3个数字之后,无论怎样改变这3个数字的顺序, 其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安 排顺序无关,是组合问题.组合数为 =84. (3)2名学生完成的是同一份工作,没C有39 顺序,是组合问 题.组合数为 =6.
又由 1 x 1 13 1 2x 3 13得2 x 8，
所以原x方程N *的解为x=4或x=5.
(所所2以以)原方5!x程x可32!化! 为1x0Cxxx3!32!， 110
A3x3，即C5x3
1 10
A3 x3
,
所以x122-0x-x1122=0! ,解10得x xx=411或 x=-23!,,
A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 【解析】选B.①④中所取元素不考虑顺序,故是组合问 题,②③中考虑元素顺序,是排列问题.
3.某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现在挑 选5名队员参加比赛,种子选手都必须在内,那么不同的 选法共有________种. 【解析】只需在除种子选手外的7人中再选3人,共有
【补偿训练】(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动,列举出所有的选法:__________. (2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去两个乡镇参加社 会调查,列举出所有的选法:____________________.
(3)以上两个问题有何区别与联系? 区别:____________________; 联系:____________________.
(C374)C从11 口C袋74 里C37任取35.5个球,其中不含红球,只需从7个白球
中任取5个白球即可,不同取法的种数是
C57
C72
76 21
21.
类型一 组合及组合数的概念 【典例1】判断下列问题是排列问题,还是组合问题.并 求出相应的排列数或组合数. (1)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,组成一个三位数, 这样的三位数共有多少个?
Cmn
2Cmn1
Cn2 m
.
【解题指南】(1)根据组合数的性质先化简,再求解.
(2)将
变为
从两边化简,使之与左边
2Cnm－1
Cn－1 m
Cnm－1，
式子相同即可.
【解析】（1）原式 C84 C85 C96 C95 C96 C160 C140 210.
(2)右边=
而3n+6≤18且4n-2≤18,即n≤4且n∈N*, 所以n=8不符合题意,舍去,故n=2.
【补偿训练】
1.解方程:(1)
Cx1 13
C123x3.
(2)
Cx2 x2
Cx3 x2
1 10
A3x3.
【解析】(1)由原方程得x+1=2x-3或x+1+2x-3=13, 所以x=4或x=5,
=35(种).
答C案37 :35
4.计算 C34A33 =________.
【解析】
答案:24 C34A33 A34 43 2 24.
5.一个口袋里装有7个白球和1个红球,从口袋中任取5 个球. (1)共有多少种不同的取法? (2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法? (3)其中不含红球,共有多少种不同的取法? (仿照教材P23例6的解析过程)
(Cnm
Cn－1 m
)
(Cnm－1
Cn－2 m
)
Cn m1
Cn－1 m1
Cn m2
=左边,
所以,原式成立.
【规律总结】组合数性质的应用技巧
(1)性质 C=mn100C,nn可m 常以用简于化m运>算n2 .时组合数的计算,如
C99 100
C1 100
(2)性质
Cm n1
答案:{5,6,7,8,9,10,11}
(2)
C98 100
(3)由
C199 200
C2 100
及 C组1200合 1数00性29质9 可20知0 3n4+965=04n2-020或 5
150.
C C 3n6
4n2
18
18
3n+6=18-(4n-2),
解得n=8或n=2.
2.针对问题1中的(2)你能否总结其特征? 提示:从5个不同元素中任取2个元素组成一组,不考虑 这两个元素的顺序.
结论:
1.组合:
一般地,从_n_个__不__同__元__素__中__取__出__m_(_m_≤__n_)_个__元__素__合成一 组,叫做从_________________________的一个组合.
.
,求n.
C C 3n6
4n2
18
18
【解析】(1)
由
n（n
6
1）n
2
n
n
24
1n
2n
3
可n 得n n12-n11n22-401n2<03,解n 得4-,1<n<12.
又n∈N*,且n≥5,所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}.
(2)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,然后把这三个数 字相加得到一个和,这样的和共有多少个? (3)从a,b,c,d四名学生中选2名去完成同一份工作,有 多少种不同的选法? (4)5个人规定相互通话一次,共通了多少次电话?
(5)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有3 个元素的有多少?
出m个元素的组合数,等于从n个不同元素中取出n-m个
元素的组合数,因此
Cmn
Cnm n
.
【预习自测】
1.如果 =28,则n的值为 (
C2n
A.9
B.8
C.7
) D.6
【解析】选B.
=28,所以n=8或n=-7(舍).
C2n
28得
nn 1
2
2.给出下面几个问题,其中是组合问题的是 ( ) ①某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛; ②从1,2,3,4中选出2个数,构成平面向量a的坐标; ③从1,2,3,4中选出2个数分别作为实轴长和虚轴长,构 成焦点在x轴上的双曲线的方程; ④从正方体的8个顶点中任取两点构成线段.
1.2.2 组 合 第1课时 组合与组合数公式
主题1 组合与组合数的定义 1.给出下列两个问题: (1)从5人中选取2人分别担任正、副班长. (2)从5人中选取2人组成班委会. 列出上述两个问题中的所有可能情况.
2017-2018年度高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2.1 组合及组合数公式讲义 新人教B版选修2-3
12
知识拓展 (1)如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序 如何,都是相同的组合.
(2)当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时, 就是不同的组合.例如从a,b,c三个不同的元
素中取出两个元素的所有组合有3个,它们分别是ab,ac,bc.要注意 ba,ab是相同的组合.
(3)组合问题与排列问题的共同点是:都要“从n个不同元素中,任 取m个元素”,不同点是:前者是“不管顺序并成一组”,而后者要“按照 一定顺序排成一列”.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型四 易错辨析
【例 4】
已知C15������
−
1 C6������
=
107C7������,求
m.
错解:由已知得������!(55!-������)!
−
������!(6-������)! 6!
=
7(170-������)7!!������!,
即 60-10(6-m)=(7-m)(6-m),
1234 5
4.已知C������2������-1
=
C������������ 3
=
C���������4���+1,则
m
与
n
的值分别为
.
解析:
由C������������-1
2
=
C������������可得
3
5m=2n+2,①
由C������������
3
=
C������������+1可得
=
������! ������!(������-������)!
=
������(������-1)(������-2���)���…! (������-������+1),这里
2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列课件新人教A版选修2_3
(3)全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个 元素的一个全排列.即有 A������ ������ =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1, 就是说,n 个不同元素全部取出的排列数,等于正整数 1 到 n 的连 乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n!表示.所以 n 个不同
2.排列数与排列数公式 (1)排列数定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 符号A������ ������ 表示. (2)排列数公式:A������ ������ =n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
������-1 (4) ������!
������ -1
=
1 1 − . (������-1)! ������!
即A2 4 =12.
A������ 12
2.“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念 剖析不是同一个概念.“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m 个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数;“排列数”是指 “从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”,它是一个数. 例如,从a,b,c中任取2个元素的排列有ab,ba,ac,ca,bc,cb,共6个,6就是 从a,b,c中任取2个元素的排列数. 归纳总结解简单的排列实际问题,首先必须认真分析理解题意, 看能否把问题归结为排列问题,即是否有顺序.如果是的话,再进一 步分析,这里“n个不同的元素”指的是什么,以及“从n个不同的元素 中任取m个元素”的每一种排列对应的是什么情况,然后才能运用排 列数公式求解.
1.排列的相关概念 (1)定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定 的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)相同排列:两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同, 且元素的排列顺序也相同. 名师点拨1.排列的定义包括两个基本内容:一是“取出元素”;二是 “按照一定的顺序排成一列”.研究的n个元素是互不相同的,取出的 m个元素也是不同的. 2.由相同排列的定义知,元素完全不同或元素部分相同或元素完 全相同而顺序不同的排列都不是同一个排列.
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合(第2课时)教案 新人教A版选修2-
1.2.2 组合第二课时教学目标知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学过程引入新课提出问题1：判断以下问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．活动设计：教师提问．活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合与排列的区别和联系：(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列那么需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成以下两个练习： 练习1：求证：C m n ＝n m C m －1n －1.(本式也可变形为：mC m n ＝nC m －1n －1)练习2：计算：①C 310和C 710；②C 37－C 26与C 36；③C 411＋C 511. 活动设计：学生板演．活动成果：练习2答案：①120,120 ②20,20 ③792.1．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示．2．组合数的公式：C m n＝A mn A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C mn ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m∈N ，且m≤n)．设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．探索新知提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充． 活动成果：1．性质：(1)C mn ＝C n －mn ；(2)C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .2．证明：(1)∵C n －mn ＝n ！(n －m)！[n －(n －m)]！＝n ！m ！(n －m)！，又C mn ＝n ！m ！(n －m)！，∴C m n ＝C n －mn .(2)C m n ＋C m －1n ＝n ！m ！(n －m)！＋n ！(m －1)！[n －(m －1)]！＝n ！(n －m ＋1)＋n ！m m ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1＋m)n ！m ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！m ！(n －m ＋1)！＝C mn ＋1，∴C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．运用新知类型一：组合数的性质 1(1)计算：C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (2)求证：C nm ＋2＝C nm ＋2C n －1m ＋C n －2m .(1)解：原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210；(2)证明：右边＝(C nm ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C nm ＋1＋C n －1m ＋1＝C nm ＋2＝左边． [巩固练习]求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝n2n －1.证明：左边＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝C 11C 1n ＋C 12C 2n ＋C 13C 3n ＋…＋C 1n C nn ，其中C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数．设某班有n 个同学，选出假设干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i 分类(i ＝1,2，…，n)，那么选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的n －1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n －1种，所以选法总数为n2n －1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．[变练演编]求证：C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝n(n ＋1)2n －2.证明：由于i 2C in ＝C 1i C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．假设组长和副组长是同一个人，那么有n2n －1种选法；假设组长和副组长不是同一个人，那么有n(n－1)2n －2种选法．∴共有n2n －1＋n(n －1)2n －2＝n(n ＋1)2n －2种选法．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．类型二：有约束条件的组合问题2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700种．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12×C 298＝9 506种．(3)解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12×C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 12×C 298＋C 22×C 198＝9 604种．解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604种．点评：“至少〞“至多〞的问题，通常用分类法或间接法求解． [巩固练习]1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C 34，C 24×C 16，C 14×C 26种方法，所以，一共有C 34＋C 24×C 16＋C 14×C 26＝100种方法． 解法二：(间接法)C 310－C 36＝100.2．按以下条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ (1)甲、乙、丙三人必须当选； (2)甲、乙、丙三人不能当选； (3)甲必须当选，乙、丙不能当选； (4)甲、乙、丙三人只有一人当选； (5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；解：(1)C 33C 29＝36；(2)C 03C 59＝126；(3)C 11C 49＝126；(4)C 13C 49＝378； (5)方法一：(直接法)C 03C 59＋C 13C 49＋C 23C 39＝756， 方法二：(间接法)C 512－C 33C 29＝756；(6)方法一：(直接法)C 13C 49＋C 23C 39＋C 33C 29＝666， 方法二：(间接法)C 512－C 03C 59＝666. [变练演编]有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少X 不同的？解：分三类：第一类：2名英、法语皆通的均不选，有C 45C 44＝5种；第二类：2名英、法语皆通的选一名，有C 12C 35C 44＋C 12C 45C 34＝60种； 第三类：2名英、法语皆通的均选，有A 22C 35C 34＋C 25C 44＋C 45C 24＝120种． 根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的． [达标检测]1．计算：(1)C 399＋C 299；(2)2C 38－C 39＋C 28.2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求X 、王两人中至多有一个人参加，那么有不同的选法种数为________．3．从7人中选出3人参加活动，那么甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种． 答案：课堂小结1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题． 2．方法收获：化归的思想方法． 3．思维收获：化归的思想方法．补充练习[基础练习]1．求证：(1)C mn ＋1＝C m －1n ＋C mn －1＋C m －1n －1；(2)C m ＋1n ＋C m －1n ＋2C mn ＝C m ＋1n ＋2.2．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有______．3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有1件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有多少种？4．从编号为1,2,3，…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，那么一共有多少种不同的取法？38＝56；3．解：(1)C490＝2 555 190；(2)C4100－C490＝C110C390＋C210C290＋C310C190＋C410＝1 366 035；(3)C4100－C410＝C190C310＋C290C210＋C390C110＋C490＝3 921 015.4．解：分为三类：1奇4偶有C16C45；3奇2偶有C36C25；5奇有C56，所以一共有C16C45＋C36C25＋C56＝236种不同的取法．[拓展练习]现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，那么有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C23；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C13；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C23.所以一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42种方法．设计说明本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料相同元素分组分配问题解决方法：档板法．(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，那么每个班级至少一个名额的分配方法有______种；(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，那么使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有______种．解析：利用档板法．(1)相当于在排成一排的10个“1〞所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C79种方法；(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C26种方法．注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1＋x2＋…＋x m＝n(m，n∈N，m，n≥2)的自然数解有C m－1n＋m－1组．简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换y i＝x i＋1(i＝1,2，…，m)，那么方程x1＋x2＋…＋x m＝n的自然数解的组数，即y1＋y2＋…＋y m＝n＋m的正整数解的组数，相当于把n＋m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n＋m－1个球的间隙中放置m－1个档板的方法种数，即C m－1n＋m－1.。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列
答案:6
12
2.排列数公式 (1)排列数公式:A������������ = (���������-������!���)!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),这里 n,m∈ N+,并且 m≤n. (2)一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元 素的一个全排列. A������������ =n!. (3)规定:0!=1.
12
(2)排列数公式的阶乘表示为
Amn
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n
·(n -1)·(n -2)·…·(n -m +1)·(n -m )·…·2·1 (n -m )·(n -m -1)·…·3·2·1
=(nn-m! )!,即Amn
=
n! (n -m
.
)!
在一般情况下,排列数的第一个公式Amn =n(n-1)·(n-2)…(n-m+1)
∴④式不正确.
答案:C
排列应用题的常见类型及解法有哪些? 剖析排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问 题,绝大多数排列问题都可转化为这两种形式. (1)无限制条件的排列应用题,直接利用排列数公式计算. (2)有限制条件的排列应用题,采用直接法或间接法.应注意以下 几种常见类型:
①含有特殊元素或特殊位置的,通常优先安排特殊元素或特殊位
=
������(������-1)! (������-������)!
=
������! (������-������)!
=
A������������ ,
∴②式正确;③式显然正确;
∵
A������������--11
=
(������-1)! [(������-1)-(������-1)]!
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列(第3课时)教案 新人教A版选修2-
1.2.1 排列第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归〞的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归〞思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学过程复习回顾提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决以下排列问题．(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5 040.(2)根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66＝720.(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A22种；第二步余下的5名同学进行全排列有A55种，所以，共有A22·A55＝240种排列方法．(5)第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A25种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法，所以一共有A25A55＝2 400种排列方法．典型例题类型一：捆绑法例17位同学站成一排，(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑〞在一起看成一个元素，与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22＝1 440种．(2)方法同上，一共有A55A33＝720种．(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A25A44A22＝960种．解法二：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，假设丙站在排头或排尾有2A55种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960种．解法三：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A14种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑〞，所以，这样的排法一共有A14A55A22＝960种．(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑〞在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A33A44A22＝288种．点评：对于相邻问题，常用“捆绑法〞(先捆后松)．[巩固练习]某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，假设要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，那么不同的陈列方式有多少种？解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，乙厂3台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，丙厂2台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A22种排法，共有A55A33A22A22＝2 880种不同的排法．[变练演编]7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？(2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A15种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有A15A55A22＝1 200种不同的排法．(2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有A25种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有A25A44A22＝960种不同的排法．类型二：插空法例27位同学站成一排，(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600；方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置(称为“空〞)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A26种方法，所以一共有A55A26＝3 600种方法．(2)先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空〞，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空〞有A 35种方法，所以一共有A 44A 35＝1 440种方法．点评：对于不相邻问题，常用“插空法〞(特殊元素后考虑)．[巩固练习]5男5女排成一排，按以下要求各有多少种排法：(1)男女相间；(2)女生按指定顺序排列．解：(1)先将男生排好，有A 55种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空〞(包括两端，但不能同时排在两端)中，有2A 55种排法，故此题的排法有N ＝2A 55·A 55＝28 800种．(2)方法1：N ＝A 1010A 55＝A 510＝30 240； 方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A 510种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法．故此题的排法为N ＝A 510×1＝30 240种．[变练演编]5男6女排成一列，问(1)5男排在一起有多少种不同排法？(2)5男不都排在一起有多少种排法？(3)5男每两个不排在一起有多少种排法？(4)男女相互间隔有多少种不同的排法？解：(1)先把5男看成一个整体，得A 77，5男之间排列有顺序问题，得A 55，共A 77A 55种．(2)全排列除去5男排在一起即为所求，得A 1111－A 77A 55.(3)因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得A 66A 57.(4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得A 66A 55.[达标检测]1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A ．1 440种B ．960种C．720种 D．480种2．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是( )A．A88 B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A．42 B．96C．48 D．124答案：课堂小结1．知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式．2．方法收获：捆绑法、插空法．3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．补充练习[基础练习]1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，那么不同的排法种数为( )A．12 B．24C．48 D．1442．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有______个( )A．9 B．12C．24 D．213．用数字0,1,2,3,4能组成没有重复数字的且比20 000大的五位奇数的个数为( ) A．3 B．30C．72 D．184．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )A．540 B．300C．180 D．150答案：[拓展练习]5．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．答案：(1)241 920 (2)10 080 (3)5 760 (4)2 880 (5)60 480设计说明本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空法．本节课的特点是教师引导给学生以提示，在从例题中学会了方法后，马上让学生练习巩固方法，在变练演编中，举一反三，反复强化，使学生更好地掌握方法和技巧．备课资料一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．例A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________．解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4人的全排列，有A44＝24种排法．二、相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有______种不同的插法(具体数字作答)．解析：A17A33＋A27A23＋A37＝504种．例2高三(1)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是________．解析：不同排法的种数为A55A26＝3 600.例3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________．解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个“空〞中，可得有A25＝20种不同排法．例4某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾〞有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，那么该晚会的节目单的编排总数为________种．解析：A19A33＋A29A23＋A39＝990种．例53个人坐在一排8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？解析：解法1：先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A33，○*○*○*○，在四个“空〞中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都有空位的排法有A14A33＝24种．解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个“空〞，*○*○*○*○*，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34＝24种．注：题中*表示元素，○表示空．例6停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放．要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A88种方法，要求空位置连在一起，那么在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空位置插入有A19种方法，所以共有A19A88种方法．。
【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第2课
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第2课时排列的综合应用学习目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)[自主预习·探新知]1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n －m！(n，m∈N*，m≤n)A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！＝1.2．排列应用题的最基本的解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．3．解简单的排列应用题的基本思想[基础自测]1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )A．6 B．8C．9 D．12C[由A2n＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.【导学号：95032035】48[从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．] 3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．24[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．]4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．][合作探究·攻重难]同的送法？(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【导学号：95032036】[思路探究](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．720[问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.](1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起．(4)全体排成一行，男、女各不相邻．(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．(6)排成前后二排，前排3人，后排4人.【导学号：95032037】[思路探究] 分析题意，确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素[解] (1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择．有A 13种，其余6人全排列，有A 66种．由分步乘法计数原理得A 13A 66＝2 160种．(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A 16种，余下的6个位置全排列有A 66种，但应剔除乙在最右边的排法数A 15A 55种．则符合条件的排法共有A 16A 66－A 15A 55＝3 720种．(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A 33种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A 55种排法，共有A 33A 55＝720种．(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有A 33A 44＝144种．(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N ，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有A 77＝N ×A 33，∴N ＝A 77A 33＝840种． (6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A 77＝5 040种．注意：解(6)时易出现A 33A 44的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻．[规律方法]1．排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列．对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住．2．元素相邻和不相邻问题的解题策略2．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间，乙必在两端；(2)甲不在左端，乙不在右端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)男生不全相邻．[解] (1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有：2×7×A77＝70 560种(2)按甲在不在右端分类讨论．甲站右端的有：A88种；甲不在右端的有：7×7×A77种；共有：A88＋7×7×A77＝A77×(8＋49)＝287 280种．(3)(捆绑法)A22·A44·A55＝5 760种．(4)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880种排法．(5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A99－A44·A66＝345 600种．1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示]偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?[提示]在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？(3)不大于4310的四位偶数.【导学号：95032038】[思路探究]这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解](1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．(3)用直接法①当千位上排1,3时，有A12·A13·A24个．②当千位上排2时，有A12·A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；形如41××的有A13·A12个，形如43××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12·A13·A24＋A12·A24＋2A13＋A12·A13＋2＝110(个)．1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )A．36 B．120C．720 D．240C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.]2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种B．360种C．480种D．720种C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A55＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．144[先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．]4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．]5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？[解]法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．。
2018年秋高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式学
第1课时排列与排列数公式学习目标：1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列. （重点）2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明. （难点）［自主预习•探新知］1. 排列的概念从n个不同元素中取出mmc n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2. 相同排列的两个条件（1）元素相同.（2）顺序相同.思考：如何理解排列的定义？［提示］可从两个方面理解：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素相同，②元素的排列顺序也相同.3. 排列数与排列数公式［提示］“一个排列”是指：从n个不同的元素中任取n）个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出n）个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列.［基础自测］1.判断（正确的打“V”，错误的打“x”）（1）两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列.（ ）（2） 从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题.(3) 有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题. (4) 从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幕属于排列问题. (5) 从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题. ［解析］(1) X因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同.(2) V 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于 排列问题. (3) X 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题.(4) V 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同•结果与顺序 有关，故属于排列问题.(5) V 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题.［答案］⑴X ⑵V⑶X ⑷V (5) V2.甲、乙、丙三名冋学排成一排，不冋的排列方法有()A . 3种B . 4种C . 6种D .12种C ［由排列定义得，共有 A = 6种排列方法. ]3. 90 X 91 X 92X-X 100 可以表示为( )A . 10A 1oo B.血。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式检测(含解析)
1.2 排列与组合排列第1课时 排列与排列数公式A 级 基础巩固一、选择题1．从集合{3， 5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是( ) A ．①②③④B ．②④C ．②③D ．①④解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：A 67＝7×6A 45，A 56＝6A 45，所以A 67－A 56A 45＝36A 45A 45＝36.答案：D3．、某某、某某三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析：这个问题就是从、某某、某某三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．起点站终点站飞机票答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：由排列定义知选派方案有A 46＝6×5×4×3＝360(种)． 答案：B5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A 二、填空题6．若A m10＝10×9×…×5，则m ＝_________________________. 解析：由10－(m －1)＝5，得m ＝6. 答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个．答案：12 6 三、解答题9．求下列各式中n 的值： (1)90A 2n ＝A 4n ； (2)A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2. 解：(1)因为90A 2n ＝A 4n ，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)． 所以n 2－5n ＋6＝90. 所以(n －12)(n ＋7)＝0. 解得n ＝－7(舍去)或n ＝12. 所以满足90A 2n ＝A 4n 的n 的值为12.(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2，得n ！（n －4）！·(n －4)！＝42(n －2)！.所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数． (1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4， 6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．B 级 能力提升1．满足不等式A 7nA 5n ＞12的n 的最小值为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析：由排列数公式得n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种．所以符合条件的直线有A 26＝30(条)． 答案：303．一条铁路线原有m 个车站，为了适应客运需要，新增加了n (n ≥1，n ∈N *)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？解：原有m 个车站，所以原有客运车票A 2m 种，现有(n ＋m )个车站，所以现有客运车票A 2n ＋m 种．所以A 2n ＋m －A 2m ＝58，所以(n ＋m )(n ＋m －1)－m (m －1)＝58. 即2mn ＋n 2－n ＝58，即n (2m ＋n －1)＝29×2＝1×58.由于n ，2m ＋n －1均为正整数，故可得方程组①⎩⎪⎨⎪⎧n ＝29，2m ＋n －1＝2或②⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，2m ＋n －1＝29 或③⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，2m ＋n －1＝58或④⎩⎪⎨⎪⎧n ＝58，2m ＋n －1＝1. 方程组①与④不符合题意．解方程组②得m ＝14，n ＝2，解方程组③得m ＝29，n ＝1.所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．。
2017-2018学年高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1.2课件 新人教A版
=
A15 44n
.
(2)因为 A
ห้องสมุดไป่ตู้
n1 n1
=(n+1)×n×(n-1)×…×3×2×1,
=(n+1)×n×(n-1)×…×3×2, An
2.12×11×…×6可表示为 ( )
【A.解A182析】选B.AB.172 =1C2.A×16211×…D.×A15(2 12-7+1). A172
3.若x= n!，则x= ( ) 3!
【A解.A析3n 】选BB.A.nn由3
C.A 3n
D.A3n3
A
m n
n
n! ，知
m!
n! 3!
2.试说明为何规定0!=1?
提0!示=1:,为这了种使规公定式说明Amn:若 一n n个!m元! 素在都m=不n时取也,则能构成成立排,规列定的
情形只有1种.
【预习自测】
1.已知 =132,则n等于 (
A
2 n
A.11
B.12
) C.13
D.14
【解析】选B.由n(n-1)=132,得n=12(n=-11舍去).
n1
(n+1) =(n+1)·n!=(n+1)×n×(n-1)×…×3×2
×1.
A
n n
所以原等式成立.
【方法总结】排列数的化简与证明技巧 (1)应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简 和证明,化简的过程中要对排列数进行变形,并要熟悉 排列数之间的内在联系.解题中要灵活地运用如下变式:
①n!=n·(n-1)!;②
2018年秋高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学
第1课时 组合与组合数公式学习目标：1.理解组合与组合数的概念．(重点)2.会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．组合的概念一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．思考：怎样理解组合，它与排列有何区别？[提示] (1)组合要求n 个元素是不同的，被取的m 个元素也是不同的，即从n 个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)取出的m 个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点． (3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．2．组合数的概念从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．思考：如何理解组合与组合数这两个概念？[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n 个不同元素中取m (m ≤n )个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a ，b ，c 中每次取出两个元素的组合为ab ，ac ，bc ，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.3．组合数公式及其性质(1)公式：C m n＝A mn A m m ＝n ！m ！n －m ！.(2)性质：C m n ＝C n －m n _，C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1. (3)规定：C 0n ＝1.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(2)从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C 23. (3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．( ) (4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．( )(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．( )[解析] (1)√ 因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)√ 由组合数的定义可知正确．(3)× 因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．(4)√ 因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题． [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 2．若C 2n ＝28，则n ＝( )【导学号：95032046】A ．9B ．8C ．7D ．6B [C 2n ＝n n －2＝28，解得n ＝8.]3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C 23＝3×22＝3.]4．C 26＝________，C 1718＝________.【导学号：95032047】15 18 [C 26＝6×52＝15，C 1718＝C 118＝18.][合 作 探 究·攻 重 难]①设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？ ②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？③2018年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？ (2)已知A ，B ，C ，D ，E 五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合.【导学号：95032048】[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．[解](1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？②从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．[解](1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．(2)可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.1073(2)计算C 5－nn ＋C 9－nn ＋1.【导学号：95032049】[思路探究] 解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐含条件．[解] (1)原式＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×53×2×1·(3×2×1)＝210－210＝0.当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16. n －！．解题时，一定不要忘记组合数的意义． 2．求值：C 17－n2n ＋C 3n13＋n .[解] 由组合数的公式的性质，解得n ＝6.所以，原式＝C 1112＋C 1819 ＝C 112＋C 119 ＝12＋19＝31.1．试用两种方法求：从a ，b ，c ，d ，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？[提示] 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C 35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C 25＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C 35＝C 25.推广到一般结论有C m n ＝C n －mn .2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？ [提示] 共有C 610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．3．在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？[提示] 若队长必须参加，共C 59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C 69＝84(种)选法． 由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C 610＝C 59＋C 69.一般地：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .(1)计算：C 9799＋C 9899＋C 99100＝________； (2)若C 4n >C 6n ，则n 的取值集合是________.【导学号：95032050】[思路探究] 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．(1)5 050 (2){6,7,8,9} [(1)C 9799＋C 9899＋C 99100＝C 98100＋C 99100＝C 99101＝C 2101＝101×1002×1＝5 050.(2)由C 4n >C 6n ，得n ！4！n －！>n ！6！n －！，所以n 2－9n －10<0，得－1<n <10，因为n ∈N *且n ≥6，所以n ＝6,7,8,9，所以n 的取值集合为{6,7,8,9}．]2．连续使用“C mn ＋C m －1n ＝C mn ＋1”时，一定要掌握住该性质两边的上、下标字母的特征，3．(1)化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8m ＝________； (2)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值．(1)0 [原式＝(C 9m ＋C 8m )－C 9m ＋1＝C 9m ＋1－C 9m ＋1＝0.] (2)[解] 根据题意，C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ， 变形可得C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ， 由组合数的性质，可得 C 7n ＋1＝C 8n ＋1，故8＋7＝n ＋1， 解得n ＝14.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列问题：①将图案不同的4张扑克牌分给两人，每人2张，有几种方法？ ②将图案不同的4张扑克牌分给四人，每人1张，有几种分法？③空间中的10个点，任意3个点都不共线，能构成多少个以这些点为顶点的三角形？ 其中，包含组合问题的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个C [由组合的定义可知①③两个命题与顺序无关，是组合问题．] 2．下列计算结果为21的是( ) A ．A 24＋C 26 B ．C 37 C ．A 27D ．C 27D [C 27＝7×62×1＝21.]3．下列等式不正确的是( )【导学号：95032051】A ．C m n ＝n ！m ！n －m ！B ．C m n ＝C n －mn C ．C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1 D ．C mn ＝C m ＋1n ＋1D [由组合数公式逐一验证知D 不正确．]4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．15 [每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C 26＝15次．] 5．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值.【导学号：95032052】[解] 由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 所以2·n ！5！n －！＝n ！4！n －！＋n ！6！n －！， 整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.。