函数的表示法_函数的概念与性质
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
函数的概念、表示、基本性质
2、满足不等式 的实数x的集合也可以看成区间，那么这些集合 如何用区间符号表示？
[a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).
将实数集R看成一个大区间，怎样用区间表示实数 集R？
（-∞，+∞）
二、函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函 数值.自变量的取值范围A叫做函数的定义域；函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
必修1 函数
一、区间的概念
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b} 闭区间 [ a, b ]
数轴表示 ab
{x|a<x<b} 开区间 ( a, b )
ab
{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间
{x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间
ab ab
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
1、在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集 合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗？
2、一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数 的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？ 两个函数相等的条件是什么？
定义域、对应关系、值域； 函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；
定义域相同，对应关系完全一致.
2、分段函数的意义及其处理。
四、 映射
问题提出
函数是“两个数集A、B间的一种确定的对应 关系”，如果集合A、B不都是数集，这种对 应关系又怎样解释呢？
1【课件(人教版)】第1课时 函数的表示法
法二：(换元法) 令 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝(t－1)2(t≥1)， 所以 f(t)＝(t－1)2＋2 （t－1）2＝t2－1(t≥1)． 所以 f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)f(x)＋2f1x＝x，令 x＝1x， 得 f1x＋2f(x)＝1x.
于是得到关于 f(x)与 f1x的方程组
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数， 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的 关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变 量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．
1．(2020·辽源检测)设函数 f11－ ＋xx＝x，则 f(x)的表达式为
解析：选 A.法一：令 2x＋1＝t，则 x＝t－2 1.
所以 f(t)＝6×t－2 1＋5＝3t＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
法二：因为 f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
()
3．已知函数 f(x)＝x－mx ，且此函数的图象过点(5，4)，则实数 m 的值为 ________． 解析：因为函数 f(x)＝x－mx 的图象过点(5，4)， 所以 4＝5－m5 ，解得 m＝5. 答案：5
5．已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)． 解：因为 f(x)是二次函数，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝1，得 c＝1. 由 f(x＋1)－f(x)＝2x， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
4．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
最新人教版高中数学必修第一册第3章 函数的概念与性质3.1.2 函数的表示法
当x=3时,f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不合题意;
综上,x的值等于2.
？
探究二 函数的图象及其画法
【例 2】 画出下列函数的图象:
(1)y=1-x,x∈Z;
(2)y=,x≥2;
, ≤ ≤ ,
基本水费1.3×5(元),第二部分由基本水费与加价水费组成,即
1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(1+200%),
则y2=1.3×5+1.3(x-5)(1+200%)=3.9x-13.
当6<x≤7时,
同理y3=1.3×5+1.3×(6-5)×(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)
？
【变式训练2】 画出下列函数的图象,并求出定义域和值域:
,- ≤ ≤ ,
(1)f(x)=
, < -或 > ;
(2)g(x)=|2x+3|-1.
解:(1)画出f(x)的图象,如图所示.
观察函数图象可知,函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1].
？
(2)g(x)=
+ , ≥ - ,
--, ≤ -或 ≥ ,
故 h(x)=
--,- < < .
(2)因为g(-2)=2×(-2)+4=0,
所以h(h(g(-2)))=h(h(0)),
而h(0)=2×02-2×0-2=-2,
所以h(h(g(-2)))=h(-2)=(-2)2-4×(-2)-7=5.
3.1.2 函数的表示法课件新教材】人教A版(2019)高一数学必修第一册
解析：选 C.设 y＝k，由题意得 1＝k，
x
2
解得 k＝2，所以 y＝2x.
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
3、已知f（x+1）=x2+2x+2,求f(x)
解： 法一：配凑法 f（x+1）=x2+2x+2=（x+1）2+1， ∴f（x）=x2+1．
法二：换元法 令t=x+1 则x=t-1 f(t)=(t-1)²+2(t-1) =t²-2t+1+2t-2 =t²-1 ∴f（x）=x2+1
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
1、函数的基本表示法(列表法、图象法、解析法) 2、描点法画一些简单函数的图象。 3、求函数解析式 4、求函数解析式的配凑法、换元法
谢谢您的聆听
y
4
•
2
2 1 O 1 2
x
2
• 4
f(x)=2x，x∈R,且|x|≤2
3.1 函 数 的 概 念
典型例题
例2. 画出下列函数的图象: (2)f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
3.1 函 数 的 概 念
变式训练
1、画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y ＝x2－2x(x>1，或x<－1)
3
3.1 函 数 的 概 念
温故知新
知识点一 区间的概念及表示
1.一般区间的表示：设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
函数的概念及其表示课件
复合函数及其运算
复合函数的概念
复合函数是由两个或多个基本函数通过嵌套方式组合而成的新函数。内部函数 的值作为外部函数的自变量，形成一个新的函数关系。
复合函数的运算
对复合函数进行运算时，需要遵循从内到外的顺序，先计算内部函数的值，再 将结果代入外部函数进行计算。
函数在实际问题中的应用举例
01
经济学领域应用
函数的性质
包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期 性等。这些性质帮助我们更深入地理解函数
的行为和特征。
02
函数的表示方法
表格法
定义
通过列表格的方式来表示函数关 系，列出输入值与对应输出值的
一种表示方法。
优点
表格法简单明了，能够直观地展示 函数输入输出之间的关系，方便查 找特定输入值对应的输出值。
函数关于y轴对称。
函数的奇偶性是函数的另一种重 要性质，它与函数的对称性有关 ，可以帮助我们更好地理解函数
的图像和性质。
04
函数的运算与应用
函数的加减乘除运算
函数加减运算
当两个函数的定义域相同时，可以进行加减运算，将对应自变量上的函数值相加 或相减得到新的函数。
函数乘除运算
函数乘除运算也是基于相同的定义域进行的，将对应自变量上的函数值相乘或相 除得到新的函数。需要注意的是，函数除法运算中，除数函数不能为0。
在生物学研究中，函数可以描述生物种群数量随时间的变化关系，通过 函数的建模和分析，可以揭示生态系统中种群的动态平衡规律，为生态 保护提供科学依据。
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图象法
定义
通过画图的方式来表示函数关系，将函数的输入值作为自 变量，输出值作为因变量，在坐标系中描点并连成曲线表 示函数关系的方法。
函数的概念ppt课件
→s=x 十y;
⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0}, 对应关系f:x→
y=0.
A.①⑤⑥
B.②④⑤⑥
C.②③④
D.①②③⑤
【思维·引】
1.在x 轴上区间[0,2]内作与x 轴垂直的直线，此直线 与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B 是否为非空数集，再判断非空数集A 中任取一个数，在非空数集 B 中是否有唯一的数与之 对应.
②求f(g(a)): 已 知f(x) 与 g(x), 求 f(g(a)) 的值应遵 循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x 的 数a 必须是函数定 义域内的值，否则函数无意义.
习练 ·破
1.若f(x)=ax²—√2,a 为正实数，且f(f(√2))=—√2, 则 a=
2.设f(x)=2x²+2,
函数的定义，所以A 不是函数.B.由 |x—1|+√y²-1=
0得， |x—1|=0,√y²-1=0, 所以x=1,y=±1, 所以
●
( 1 ) 求 f(2),f(a+3),g
—2),g(f(2)). (2)求g(f(x)).
(a)+g(0)(a≠
≠—2),
【加练·固】
若
(x≠—1), 求 f(0),f(1),
f(1—a)(a≠2),f(f(2)) 的值.
课堂达标检测
1.下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是
y
3
(
)
3
x
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受 实际问题的制约.
★习练·破
求下列函数的定义域：
(1
;(2)y=√x- 1·√1—x;
③
2019新版高中数学人教A版必修一第三章 函数的概念与性质 第2节 函数的表示方法
解：∵f（x）≥﹣1，∴
或
∴﹣4≤x≤0 或 0＜x≤2，即﹣4≤x≤2．应选 B．
练习：已知函数 f（x）=
，若 f（x）≥1，则 x 的取值范围是（ ）
=f（9）=f[f（15）]=f（13）=11．
例 5：已知函数 y=
，若 f（a）=10，则 a 的值是（ ）
A．3 或﹣3
B．﹣3 或 5
C．﹣3
D．3 或﹣3 或 5
解：若 a≤0，则 f（a）=a2+1=10∴a=﹣3（a=3 舍去） 若 a＞0，则 f（a）=2a=10∴a=5 综上可得，a=5 或 a=﹣3 故选 B
的值域是（ ）
A．[﹣9，0] B．[﹣8，0） C．[﹣8，1] D．[﹣9，1]
解：由题意可知：当 0≤x≤2 时，y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，∴0≤y≤1； 当﹣4≤x＜0 时，y=x2+6x=（x+3）2﹣9，∴﹣9≤y＜0； 综上可知：函数的值域为：[﹣9，1]． 故选 D．
练习：函数 f（x）=
练习：已知函数
若 f（a）=8，则 a 等于（ ）
A．6
B．
C．4
D．﹣6
解：若 a≥2，f（a）=2a，⇒2a=8，⇒a=4；
若﹣2＜a＜2，f（a）=a2，⇒a2=8⇒a=
（舍去）；
若 a≤﹣2，f（a）=a+2，令 f（a）=8，⇒a+2=8⇒a=7（舍去）；
综上可得出：a=4 故选 C．
例 6：函数
考点一：列表法
例 1：已知函数 f(x)由下表给出，则 f[ f ( 3)) 3 2 4 1
A．1
B．2
C．3
D．4
函数的概念与性质知识点总结
函数的概念与性质知识点总结函数是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对函数的概念与性质进行总结和讨论。
一、函数的概念函数是数学中一个映射关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素上。
通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为函数的值或者因变量。
二、函数的表示方法1. 函数的集合表示法：可以将函数看作是由有序数对(x, f(x))组成的集合，即f={(x, f(x))}。
2. 函数的解析表示法：可以用一个公式或者算法来描述函数的性质。
三、函数的符号表示1. 函数的定义域：函数映射的自变量集合称为函数的定义域，通常用D(f)表示。
2. 函数的值域：函数映射到的因变量集合称为函数的值域，通常用R(f)表示。
四、函数的性质1. 奇偶函数：如果对于任意x∈D(f)，都有f(-x)=-f(x)，则函数称为奇函数；如果对于任意x∈D(f)，都有f(-x)=f(x)，则函数称为偶函数。
2. 单调性：如果对于任意x₁, x₂∈D(f)，若x₁<x₂，则有f(x₁)≤f(x₂)，则称函数为单调递增函数；如果对于任意x₁, x₂∈D(f)，若x₁<x₂，则有f(x₁)≥f(x₂)，则称函数为单调递减函数。
3. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意x∈D(f)，都有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T称为函数的周期。
4. 有界性：如果存在两个常数M, N，使得对于任意x∈D(f)，都有|f(x)|≤M，且|f(x)|≥N，则称函数为有界函数。
5. 连续性：如果对于任意x₀∈D(f)，当x→x₀时，有f(x)→f(x₀)，则称函数在x₀处连续。
若函数在定义域上的每个点处都连续，则称函数为连续函数。
6. 导数性质：函数的导数描述了函数的变化率。
如果函数在某一点处可导，则可以计算该点的导数。
导数可以用来判断函数的单调性、凹凸性和极值点等性质。
五、常见函数的性质1. 一次函数：f(x)=kx+b，其中k, b为常数，一次函数的图像为一条直线，具有常数斜率。
函数及基本性质
一 函数及其基本性质一、函数概念设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作()y f x =，x A ∈，其中x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域． 如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =所有函数值构成的集合{}|(),y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．二、函数的表示方法函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种． 三、函数的奇偶性设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．设函数()yg x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，则这个函数叫做偶函数．如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数． 此外，由奇函数定义可知，若奇函数()f x 在原点处有定义，则一定有(0)0f =，此时函数()f x 的图像一定通过原点．四、函数的单调性设D 是)(x f y =定义域内的一个区间，对于∀D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则称)(x f y =在D 上是增函数，D 叫做)(x f y =的单调递增区间；对于∀D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，则称)(x f y =在D 上是减函数，D 叫做)(x f y =的单调递减区间. )(x f y =在D 上是增函数或者是减函数，则称)(x f y =在D 上具有单调性，D 称为)(x f y =的单调区间.五、函数的零点函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标叫做函数)(x f y =的零点.六、零点定理若)(x f y =在区间],[b a 上连续，并且有0)()(<⋅b f a f ，则)(x f y =在区间),(b a 内至少有一个零点；若)(x f y =在区间),(b a 内有零点，不一定有0)()(<⋅b f a f . 典例分析例1．已知)(x f 的定义域为]3,1[，求)1(x f -的定义域．例2．判断下列函数的奇偶性．（1）1)(2-=x x f （2）x x x f -+=22)( （3）xx x f --=22)( （4）xx x f 1)(-=例3．奇函数)(x f 的定义域为R ，0x >时，2()(1)f x x =-，求)(x f 的解析式．例4．下列区间中包含函数2)21()(--=x x f x的零点的是 ．（1) )0,1(- (2) )1,1(- (3) )1,0( (4) (1,2) (5) )3,2(-例5．若⎩⎨⎧≥-<--=).0(),1(),0(,2)(2x x f x x x x f ，求函数x x f x F -=)()(的零点的个数．例6. (1)若函数()log (a f x x =是奇函数，则a =______.(2)设()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞上是增函数，(3)0f -=，则()0x f x⋅< 的解集为______例7. (1) 已知(31)41()log 1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是A ．()0,1B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2) 已知()log (2)a f x ax =-在[0,1]上是减函数，求a 的取值范围____________． (3) 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调增加，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭课下练习1．函数y 的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0]-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-2．函数111y x =-- A ．在()1,-+∞内单增 B ．在()1,-+∞内单减 C ．在()1,+∞内单增D ．在()1,+∞内单减3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是 A ．3,y x x =-∈RB ．sin ,y x x =∈RC ．,y x x =∈RD ．1,2xy x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R4．函数3()sin 1f x x x =++（x ∈R ），若()2f a =，则()f a -的值为 A ．3B ．0C ．1-D ．2-5. 已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式中一定成立的是A.(0)(6)f f <B.(-3)(-2)f f >C.(1)(3)f f -<D.(-2)(1)f f > 6. 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax Ac A x x c x f ,,,)(（,A C 为常数）。
函数概念ppt课件
复合函数的性质
复合函数具有一些重要的性质，如单 调性、奇偶性等，这些性质可以通过 对组成复合函数的各个函数的性质进 行分析得出。
复合函数的运算规则是先计算内层函 数，再计算外层函数，依次类推，直 到所有的函数都计算完毕。
反函数的概念与运算
01
02
03
反函数的概念
反函数是指将一个函数的 输入和输出互换，得到一 个新的函数。
一次函数
形如f(x)=kx+b的函数， 其中k和b为常数且k≠0。
分式函数
形如f(x)=k/x的函数，其 中k为常数且k≠0。
对数函数
形如f(x)=log_a x的函数， 其中a为常数且a>0且a≠1
。
02 函数的性质
有界性
总结词
函数的值域在一定范围内变动，不会 无限增大或减小。
详细描述
函数的输出结果总是在一定的范围内 ，不会超出这个范围。例如，正弦函 数和余弦函数的值域都在-1到1之间。
函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们决定了函数的作用范围和 结果范围。
函数的表示方法
解析法
用数学表达式来表示函数，是最 常用的一种表示方法。例如， f(x)=x^2表示一个函数，当x取 任意实数时，都有唯一的y值与 之对应。
表格法
通过表格的形式来表示函数，对 于一些离散的函数可以用此方法 。例如，一个离散函数的值可以
函数概念ppt课件
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的图像
01 函数的基本概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种对应关系使 得对于数集A中的每一个元素，通过某种法则，都可以唯一地对应到数集 B中的一个元素。