人教版九年级数学上册第二十一章 小结与复习课件
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人教版九年级数学上册全套教学课件
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二
次方程的解（又叫做根）.
例3 下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？ 一元二次方程可
能不止一个根.
当堂练习
2
解：根据题意，列方程：1 x(x 1) 21
2
整理得：
1 2
x2
1 2
x
21
化简，得：x2 x 42 0
①
该方程中 有未知数 的个数和 最高次数 各是多少？
问题2 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个 正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果
要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正 方形？请根据题意列出方程.
50cm
观察与思考
方程①、 ②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元
一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
x2 x 42 0 ①
x2 75x 350 0 ②
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
√
(x+3)(2x-4)=x2
√
3y2=(3y+1)(y-2)
×
x2=x3+x2-1
×
3x2=5x-1
√
2.填空：
方程
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版
合作探究
2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－x－＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2x＋10＝0.
解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；
2＋ 3
2－ 3
(2)x 1＝ 2 ，x 2＝ 2 ；
第二十一章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了 解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．
学前准备
用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0； 解：x1＝－2，x2＝－1； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：无解．
(3)没有实数根？
解：(1)m＜
1 4
Hale Waihona Puke ；(2)m＝；14
(3)m＞ .
1 4
合作探究
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋ mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1 ＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 根((，45))也由一可求般能根地有，公式式可子个知b12实，－根一4a或元c叫者二做次方方实程程没根a最x有．2多＋有bx＋c2个 ＝实数 0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2 －4ac.
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 阅读与思考 黄金分割数(共16张PPT)
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美 无 处 不 在
寻找黄金分割
寻找黄金分割
A
线段
B
N
M
E MN
BN
BM
C
D
BE
2021/8/10
长度 比值
MN BN BN BM BM BE
探索黄金分割
黄金分割的定义: A
C
B
思考：线段AB只有这一个黄金分割点吗？
分解黄金分割
A
B
N
M
E点N是线段BM的黄金分割点.
点N是线段BE的黄金分割点.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。23:26:1223:26:1223:268/10/2021 11:26:12 PM
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21.8.1023:26:1223:26Aug-2110- Aug-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。23:26:1223:26:1223:26Tues day, August 10, 2021
•
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
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人教版初中数学九年级上册教学课件 第21章 一元二次方程 一元二次方程(第2课时)
解析:根据已知条件,当x=a,x=b时a2-3a+1=0,b23b+1=0成立,所以x=a,x=b都是方程x2-3x+1=0的 解.故选D.
5.已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0),则
下列代数式的值恒为常数的是 (
A.ab
B. a C.a+b D.a-b
D
)
b
解析:把x=-a代入方程可得(-a)2-ab+a=0,即a2ab+a=0,所以a(a-b+1)=0,因为a≠0,所以a-b+1=0, 所以a-b=-1是常数.故选D.
C.0
D.0或3
解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3. 故选A.
3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根,则代数式m2m的值等于 ( D )
A.-1
B.0 C.1 D.2
解析:把x=m代入方程可得m2-m-2=0,所以m2m=2.故选D.
4.已知实数a,b(a≠b)满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则 关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确 的是 ( D ) A.x=a,x=b都不是该方程的解 B.x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解 C.x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解 D.x=a,x=b都是该方程的解
新课标 人
数学
ห้องสมุดไป่ตู้
9年级/上
九年级数学上 新课标 [人]
第二十一章 一元二次方程
学习新知
检测反馈
学习新知
根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列
方程化成一般形式.
一个面积为48 m2的矩形苗圃,它的长
5.已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0),则
下列代数式的值恒为常数的是 (
A.ab
B. a C.a+b D.a-b
D
)
b
解析:把x=-a代入方程可得(-a)2-ab+a=0,即a2ab+a=0,所以a(a-b+1)=0,因为a≠0,所以a-b+1=0, 所以a-b=-1是常数.故选D.
C.0
D.0或3
解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3. 故选A.
3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根,则代数式m2m的值等于 ( D )
A.-1
B.0 C.1 D.2
解析:把x=m代入方程可得m2-m-2=0,所以m2m=2.故选D.
4.已知实数a,b(a≠b)满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则 关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确 的是 ( D ) A.x=a,x=b都不是该方程的解 B.x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解 C.x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解 D.x=a,x=b都是该方程的解
新课标 人
数学
ห้องสมุดไป่ตู้
9年级/上
九年级数学上 新课标 [人]
第二十一章 一元二次方程
学习新知
检测反馈
学习新知
根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列
方程化成一般形式.
一个面积为48 m2的矩形苗圃,它的长
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
人教版九年级数学上 全册课件
3600cm2,得(100 2 x)(50 2 x) 3600
整理，得 4x2 300x 1400 0
化简，得 x2 75x 350 0 ①
3600cm2
100cm
该方程中未知 数的个数和最 高次数各是多 少？
50cm
问题2 要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安 排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
本单元数学的主要内容． （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周 角． （2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置 关系， 圆和圆的位置关系． （3）正多边形和圆． （4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面 积．
第二十五 随机事件与概率 本章内容是概率初步。教科书先以学生喜闻乐见的掷骰
解析：设应邀请x个队参赛，每个
队都要与其他(x-1)个队各赛一场，
因为甲队对乙队的比赛和乙队对
甲队的比赛是同一场比赛，所以
全部比赛共 1 x(x 1) 场.
2
解：根据题意，列方程：1 x(x 1) 28.
9
一 一元二次方程的概念
问题1 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个 正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果 要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正 方形？请根据题意列出方程.
解：设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为（100-2x)cm,宽为 (50-2x)cm,根据方盒的底面积为 x
新人教版九年级上册
数学
全册课件
各单元内容分析
第二十一章 一元二次方程 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念,一元二
整理，得 4x2 300x 1400 0
化简，得 x2 75x 350 0 ①
3600cm2
100cm
该方程中未知 数的个数和最 高次数各是多 少？
50cm
问题2 要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安 排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
本单元数学的主要内容． （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周 角． （2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置 关系， 圆和圆的位置关系． （3）正多边形和圆． （4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面 积．
第二十五 随机事件与概率 本章内容是概率初步。教科书先以学生喜闻乐见的掷骰
解析：设应邀请x个队参赛，每个
队都要与其他(x-1)个队各赛一场，
因为甲队对乙队的比赛和乙队对
甲队的比赛是同一场比赛，所以
全部比赛共 1 x(x 1) 场.
2
解：根据题意，列方程：1 x(x 1) 28.
9
一 一元二次方程的概念
问题1 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个 正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果 要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正 方形？请根据题意列出方程.
解：设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为（100-2x)cm,宽为 (50-2x)cm,根据方盒的底面积为 x
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第二十一章 一元二次方程 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念,一元二
人教版九年级数学课件《一元二次方程根与系数的关系》
知识精讲
人教版数学九年级上册
解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0;
(2)x2-5x+6=0;
(3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程
x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 2x2+3x+1=0
a b c 两根
x1 x2
关系
1 3 -4 -4 1 x1+x2=_-_3_；x1 ·x2=__-4_.
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
典例解析
人教版数学九年级上册
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解： a = 1 , b = 7 , c = 6.
解： a = 2 , b = -3 , c = -2.
二、常见的求值应用
1. 1 1 x1 x2 ;
x1 x2
x1 x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 =(x1-x2 )2 +2x1x2;
3. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
人教版数学九年级上册
THE END!
祝各位同学们学业进步、天天向上！
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 =
3 2
, x1 x2 = -1 .
典例解析
人教版数学九年级上册
例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根
及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》PPT课件
感悟新知
知4－练
1 一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若 把这两个数字调换位置，所得的两位数与原两 位数的乘积等于765，求原两位数． 15
2 两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数．
12和14
课堂小结
一元二次方程
1. 列一元二次方程解实际应用问题有哪些步骤? 2. 列方程解实际问题时要注意以下两点：
感悟新知
乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较
两种药品成本的年平均下降率．
知1－练
解：设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得
6000（1 － y ）2=3600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率
约为22.5%. 综上所述，甲乙两种药品成本的年平均
感悟新知
知2－练
解：(1) 设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌， 根据题意，得 60(1＋x)2＝24 000. 解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)． 答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．
(2) 60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)． 答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．
知识点 2 营销策划问题
知2－练
例2 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元， 按每
千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市 场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增 加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获 利2240元,请回答:
在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客, 赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?
是否正确、作答前验根是否符合实际.
感悟新知
九年级数学上册.解一元二次方程课件人教版
4 4x2 6x0
解： a4,b6,c0.
b24ac 6244036.
6
x
3666,
24
8
3 x1 0, x2 2 .
5 x2 4 x 84 x 1 1
解：化为一般式 x230 .
a1,b0,c3.
b 2 4 a c 0 2 4 1 3 1 2 .
x0 12 2 3, 21 2
x2；当b2-4ac＜0时，原方程无实数根。
你能利用求根公式写出方程 a2x b xc0(a0)的解吗？该 方程有解的条件是什么？
②
因为a≠0,4a2>0,当b2－4ac≥0时，
b2 4ac 4a2 0,
由②式得
x b
b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . 2a
bb24ac bb24ac x1 2a ,x2 2a .
由上可知，一元二次方程
a x 2 b x c 0（ a 0 ） .
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以
任何一元二次方程都可以写成一般形式
a x 2 b x c 0（ a 0 ） . ①
你能否也用配方法得出①的解呢？
移项，得
ax2bxc.
二次项系数化为1，得 x2 b x c . aa
配方
x2bax2ba2ac2ba2,
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2 .
②
xБайду номын сангаас
b
2
2a
b2 4ac. 4a2
（2） 2x222x10 ；
（3）5x23xx1；
（4） x2178x
用公式法解方程的一般步骤：
人教版九年级上册数学精品教学课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 配方法 第2课时 配方法
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
x
3 4
2
1 16
31
1
x , 44
x1 1, x2 2
(3) 3x2-6x+4=0
(3) 解：移项，得：3x2-6x=-4 二次项系数化为1：x2 2x 4
3
配方，得：x2 2x 12 4 12 ,
3 ( x 1)2 1
3
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
①当p>0时，则 x n p ，方程的两个根为
x1 n p, x2 n p
②当p=0时,则(x+n)2=0，x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.
③当p<0时，则方程(x+n)2=p 无实数根.
随堂训练
基础巩固
1．将方程x2＋4x＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该 是( A )
A．9 B．6 C．4 D．1 2．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C ) A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对
3．用配方法解方程：
(1)2x2－4x－2＝1；
解：x1＝1＋
10 2
，x 2＝1－
10 2
(2)－3x2＋2x＋1＝0.
解：x1＝1，x 2＝－13
综合应用
4．能否存在一个实数x，使得x满足下列条件： ①x＋1＜3x－3；②3x－12＜2x－8；③代数式x2－2x的值为4. 若存在，请你求出这个x的值；若不存在，请说明理由．
(1)解：移项，得：x2-8x=-1
配方，得：x2-8x+42=-1+42
(x-4)2=15