函数与方程思想在中学数学中应用
函数与方程思想在中学数学中应用
作者：牛亭懿
来源：《新教育时代》2014年第03期
摘要：本文对中学数学中的函数与方程思想进行了介绍，并且分析了函数与方程思想在中学数学中应用及解题方法。
关键词：函数与方程思想，中学数学，应用
一、前言
在中学数学的学习过程中，函数与方程思想是其中的重要组成部分，而且是非常复杂难学的部分。
但是，对函数与方程思想的学习对学生在实际学习中是非常重要的，它不仅有助于培养和提离学生分析问题的能力，还能提高学生的综合能力和想象力。
二、函数与方程思想的概述
1.函数思想
把某个变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；
2.应用函数思想解题
确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：
2.1根据题意建立变量之间的函数关系式。
把问题转化为相应的函数问题；
2.2根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；
2.3方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求。
确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们。
这就是方程思想。
3.函数思想
所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。
函数思想的运用指的是运用建立变量之间的联系的方法来思考问题和解决问题。
函数思想是数学从常量数学转到变量数学的枢纽，它能使数学有效地揭示事物运动变化的规律，反映事
物之间的联系。
它具有凝聚数学概念和命题、原则和方法的能力，使教学内容达到更高层次的和谐与统一，是高中数学教学的主线、重点和难点，也是高考中的热点问题。
三、函数与方程思想在中学数学中应用
1.函数思想在方程、不等式知识当中的应用
事实上，代数式可以看作带有变量的函数表达式。
求代数式的值就是求特定的函数值；方程实际上就是求已知函数满足一定条件的变数值，使在该变数值上已知函数有某个预先指定的值，特别是函数值为零时的自变量的值：不等式可以视为求函数的误差估计；如此—来，就把方程和不等式都统一到函数的范畴中，体现了数学的统一性。
一元二次方程，一元二次不等式均可看作是研究二次函数和二次三项式的特殊情况。
下面的例题更加说明了函数知识在解算式、不等式以及方程时的重要作用。
解析：这是一道通过构造函数来求算式的值的问题，如何通过对题中所给的式子的形式的研究，巧妙地构造函数，从而使看似复杂的问题得到解决，是本题的关键。
不等式问题是中学数学中的一个难点，有些不等式采用常规的方法难以解决，若能够根据不等式的结构特征，唤起联想，巧妙地构造函数，将不等式问题转化成为函数的问题，借助函数的有关性质，常能使问题获得简捷明了的解决。
2.函数思想在数列知识当中的应用
数列的通项公式和前项和公式都可以看成 n的函数，也可以看成方程或方程组，比如等差数列的通项公式，可以看一次函数，而其求和公式可看成是二次函数，因此，许多数列问题可以用函数与方程的思想进行分析，加以解决。
3.函数思想在三角知识当中的应用
三角函数是高中教学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，是联系代数与几何的纽带和桥梁，且与高等数学密切相关。
三角函数是函数部分的延伸和深化，它既有一般函数的特征（定义域、值域、对应关系、奇偶性、单调性等），同时又兼顾自身的鲜明的特点（如周期性等），尤其在处理三角问题时“变”的因素始终贯穿前后。
用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系是它的一大特色。
变中求胜是解决三角问题的一条原则。
4.函数思想在解析几何中的应用
从广义的角度看，曲线可以看作是由点组成的集合：一个二元方程的解可以做点的坐标，因此二次方程的解集也描述了一个点集。
方程与曲线之间的对应关系的确立，进一步把“曲线”与“方程”之间的数行关系辩证的统一起来，从而为我们用坐标法去研究几何图形问题奠定了重要的理论基础。
在解析几何中常遇到动态型的问题。
在变化过程中，存在两个变量，我们常常把某一个看做自变量，另一个看做自变量的函数，通过明确函数的解析式，利用函数思想来研究和处理问题。
解析：解析几何的选择题和填空题可优先选用数形结合的方法来解，但也不是万能的方法。
用数形结合法解本题时，画出图像后会发现，当a0时，圆与抛物线的关系由于画的是草图，则不易直观判断，还是应代数的方法来解决。
本题解法所体现的函数（方程）思想是从设动点坐标，列方程和不等式开始的。
通过消参得到不等式，对这个不等式解集范围的研究转化为二次函数对称轴的位置，最后求得a的取值范围。
5.运用函数、方程思想解决相关的应用问题
函数与方程思想作为中学数学中的一种重要的数学思想，是高考所要考察的热点之一。
从近几年高考应用题来看，对于此类问题，一般从以下几方面考虑：
5.1阅读理解材料，这一步要达到的目标是：读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时定义，理顺题目中的量与量的位置关系、数量关系，对照平时掌握的数学模型，把实际问题抽象为数学问题。
5.2建立函数关系：根据5.1的分析，把实际问题“用字母、运算符号、关系符号”表达出来，建立起函数或方程关系。
5.3讨论变量的性质：根据5.2所建立的函数关系，即函数模型，结合题目要求，讨论模型的有关性质，获得目标明确、有针对性的理论参数值。
5.4作出问题的结论：根据35.所获得的理论参数值，结合题目要求作出合乎题意的相应的结论。
四、结语
在中学数学中，函数与方程是其中的核心知识，函数和方程概念是中学数学中的一个非常重要的部分，对数学的学习有着非常重要的作用。
因此，在数学的教学中，要强调函数和方程思想的重要性，提高学生的综合能力，从而达到素质教育的根本要求。
参考文献
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函数与方程的思想是中学数学的基本思想(精)
所以f (n)为增函数, 从 而f (n) f (2) 7 12
要使 1 n
1
n
1
2
1 2n
1 12
l oga
a
1
2 3
对 于 大 于1的
正 整 数n恒 成 立 ，
必
须1 12
l oga
a
1
2 3
7 12
,
即loga a 1 －1
loga
1 a
解 得1 a 1 5 2
1、 对x [1,),不 等 式2 x 2 3 x 3 4 x 5 x a 0恒 成 立, 求a的 取 值 范 围 2、 解 不 等 式5 4x 5 5 2x 8 6x 3 0
以及讨论参数的取值范围等问题上； 是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究
的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
已知函数 f ( x) 3 x 2 3 x 4b2 9 (b 0)在区间 b,1 b
4 上的最大值为25，求实数b的值
关键是弄清什么时候取得最大值
设g( x) f ( x) x ax2 (b 1)x 1,则g( x) 0的 两 根 为x1和x2
y
0 x1 2 x2
2a 1
b 12 1
或 x2 2a
－2 1
x1 0
b 12
1
即
g(2) g(0)
0 0
或
g(2) g(0) 0
0
x2 -2
o
x1 x1
2 x2 x
n1 n2
2n
构 造 函 数f (n) 1 1 1
n1 n2
2n
f (n 1) f (n) 1 1 1 1 1
函数与方程思想在解题中的运用
函数与方程思想在解题中的运用函数与方程思想是中学数学最重要的基本思想,也是高考考查的重点.函数与方程思想既是两种思想本身的体现,也是两种思想综合运用的体现,二者密不可分.函数与方程思想也体现了动与静、常量与变量之间的辩证关系,是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想.函数是高中数学的一条主线,函数与方程思想运用几乎在高中各章节知识中都有体现,本文就这种数学思想在解题中的作用作一个较为详细的介绍.一、运用函数与方程思想处理函数、方程与不等式问题函数与方程虽是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系.方程f (x)=0的解就是函数y=f (x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f (x)本身就是一个二元方程f (x)-y=0,于是,函数问题与方程问题可以相互转化来求解.函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f (x),当时y>0,就转化为不等式f (x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式.故它们三者之间关系紧密,解决此类问题的关键是深刻理解三者的意义,熟练掌握三者之间的转化关系.例1 已知函数f (x)=x2-x2+2x+1,且x1,x2是f(x)的两个极值点,003(2)x1-x2==,由根与系数的关系可知:x1+x2=a,x1x2=2,∴x1-x2=>1 ,由不等式恒成立问题可知:1≥m2-2bm-2对b∈-1,1恒成立.令g(b)=-2mb+m2-3,则当b∈-1,1时,g(b)≤0恒成立,∴g(-1)=m2+2m-3≤0,g(1)=m2-2m-3≤0-1f (x3)-x3,∴0三、运用函数与方程思想处理数列问题数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数.纵观近几年的高考题,在客观题中,突出“小、巧、活”的特点,解答题以中等以上难度的综合题目为主,涉及函数、方程、不等式的综合内容.在数列问题时,要切实注意运用函数观点来分析、解决有关数列的最值、单调性等问题,运用方程的思想来解决有关的计算问题.例5 设等差数列{an}的前n项和Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,求n的值.解析(法一)由S4=S8,得d=-a10,a7+-=0,所以f(n)是单调递增的数列,故f(n)的最小值为f(2)=.(3)∵b=,∴Sn=1+++…+,∴Sn-1=++…+,又S1+S2+…Sn-1=+++…+=(n+++…+)-(n-1)=(++…++).假设存在整式g(n),使得S1+S2+…+Sn-1=(Sn-1)g(n)成立, 则g(n)==n,满足题目要求,故存在g(n)=n.点评数列其实就是关于正整数n的离散型函数,数列求最值的方法与函数最值的求法类似.此题问(2)先证数列是单调递增的,再利用单调性求数列最值,这是数列不等式证明中常用到的一种方法.问(3)是一个探究性问题,需要将左边和式朝着右边逐步变形,最终消除等式两边的差异,思维难度较大.四、运用函数与方程思想处理立体几何中的最值问题方程思想在立体几何中主要体现在,根据具体图形列方程(组)求角,求距离,求面积,求体积等.而当图形中涉及运动变化、不确定量时,往往要通过函数关系把这种数量关系表示出来,并加以研究,从而使问题获得解决,运用函数与方程思想在处理这类问题时非常有效.例7 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,B1B1=BC=2,AC=2,点P是线段B1C上任意一点,求线段AP+C1P的最小值.解析连接AB1,在Rt△ACB中,AB==2,Rt△ABB1中,AB1==,在△ACB1中,AC=2,B1C=4,∴AC2+B1C2=AB12∠ACB1=90°.设CP=x,∴在Rt △ACP中,AP=,在△CC1P中,∠CC1P=45°,由余弦定理有C1P==,∴AP+C1P=+=+.此式可以看作是点(x,y)到点(2,2)及(0,-2)的距离之和.由数形结合可知:当三点在一条直线上时距离之和最小,即(AP+C1P)min==2为所求.点评本题是较常见的距离和的最值问题,如直接利用几何知识难以求解,需要借助函数建模,而最终又需要数形结合来完成求解.此题可谓构思巧妙、环环相扣,综合运用了几何、三角和函数等知识,能力要求较高.五、运用函数与方程思想处理圆锥曲线问题圆锥曲线问题中,常见的是利用几何性质列方程(组)求圆锥曲线的方程、离心率等.而涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题时,一般需要通过解二元方程组,将其转化为一元二次方程,然后用根的判别式或根与系数的关系解题.此类问题对运算求解能力、推理论证能力要求较高,但同时它有一定的规律可循,因为它与函数方程思想有着紧密的联系,考生可以往这方面思考.例8 已知椭圆+=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点,且OA⊥OB(O坐标原点).(1)求+的值; (2)若椭圆长轴长2a的取值范围是[,],求椭圆离心率e的取值范围.解析(1)联立方程组:x+y-1=0,+=1(a2+b2)x2-2a2x-a2(1-b2)=0……(*)设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,x1x2=,而y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=.又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴+=0,∴a2+b2=2a2b2+=2……①经检验,方程(*)△=4a4(2b4-2b2+1)>0有解,故+=2.(2) 将b2=a2-c2,e=代入①,得2-e2=2a2(1-e2),∴e2==1-,而2a∈[,],由不等式的性质,得≤e2≤,而00.责任编校徐国坚。
函数与方程思想在数学解题中的应用
遗忘 Ｂ ＝ Ｏ这一特殊情形 ：再分别利 用方程 求根 公式及 韦达定
理 求解 ，最后 答案必须进行检验 ．否则解 的取值可能扩大．
三、函数 与方 程思想在不等式 中的应用
≠ ＝ 一 １ 隹［ １ ３ ］ ，
，
。 ．
ｆ 例３ Ｉ 已知二次函数． 厂 （ ） ＝ ∞ｚ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ ．
当Ｂ ＝ ０时 ，即 ２ ＋ ２ （ 叶１ ） ＋ 一 １ ＝ ０无实根 ，由 △＜ ０ ，
即４ （ ａ ＋ １ ） 一 ４ （ 一 １ ） ＜ ０ ，解 得 一 １ ；
的零点． 因此 ．许多有关方程 的问题可 以用 函数的方法去解决 ；
反之 ，许多有关 函数 的问题也可用方程的方法去解决． 函数与 方程思想 在解题 中应用广 泛 ：如 函数与方 程两 者
８ ＝ ０ ……① （ 方法一 ）记 ） ＝ ２ ＋ ４ ａ ｔ ＋ ａ 一 ８ ，则原 问题 转化 为， （ ） ＝ ０ 在 ［ 丁 １ ３ ］内有解 （ 即有一解或两解 ） ，留意到 ） 的对称轴
，
细审题 ，防止解 的取 值扩 大或 缩小． 本题 考查 了方程 思想、分
类讨论思想． 首 先 要 确 定 对 集 合 Ｂ 多种 情 况 的 讨 论 ． 千 万 不 能
ＧＵＡＮＧ ０ＯＮＧ Ｊ｜ Ａ０ Ｙｕ ＧＡＯ ｚＨｏＮＧ
函数 与方程 思想在数 学解题 中的应 用
●袁 海军
函数与方程的思想是 中学数学的基本思想 。是高 中数学的
一
明显 看 出利 用分 离常数 求函数值 域更 为简单 ，这 更加体现 函 数思想在解题 中的 实效性． 二、函数与方程思想在 集合中的应用
一
当 ｛ ｝ 时， 由根与系数的关系 ： － ＇ ４ ＝ － ２ （ 叶１ ） ， （ ） × （ ＿ ４ ） ＝
函数思想在中学数学解题中的应用
函数思想在中学数学解题中的应用摘要：随着我国教育的不断变革，在教学过程中涉及到的学科思想越来越重要，尤其对于中学数学教学来说，这个特点十分明显。
中学时期的教学对学生们是至关重要的，受到社会各界广泛的关注。
对于中学教学科目来说，数学这门科目是十分重要的，学生们在做数学题的时候，需要具有较强的数学知识作为基础，并能够熟练的应用函数思想进行解题。
学生们在学习数学过程中能够合理地运用函数知识解决相关问题，就可以极大的提升学生们的学习效率。
本文主要围绕函数知识在中学数学解题中的应用展开分析。
关键词：函数知识；中学数学解题；应用措施引言现阶段在中学数学教学过程中要求学生们学会合理的利用函数知识解决相关问题。
数学这门学科对学生们数字理解能力、逻辑推理能力要求都比较严格，一旦学生们数学基础知识十分薄弱，那么对于解决数学问题来说也将十分困难。
函数知识作为中学数学教学内容重要的一部分，在数学解题过程中发挥着十分重要的作用。
函数将各个变量之间的关系描述得十分清楚。
在中学数学解题中应用函数知识就是将数学题目中部分数量关系利用函数表达式呈现给学生们，之后让学生们根据函数表达式建立数学模型来解决相关问题。
在数学解题中，应用函数知识解题就表明题中的各个数量关系是不断变化的，并且存在着某种联系，能够形成某个特定的公式，从而方便学生们在解题过程中了解各个数量的变化趋势，以此更加高效地解决相关数学问题。
一、函数思想在中学数学解题中的应用现状（一）函数思想在中学数学解题中学生的应用不积极对于中学生来说，在解决数学问题的时候，利用学过的数学知识进行解决是不可避免的。
大部分的数学题都是需要学生们从题目中找出有用的信息，并利用所学知识将各个信息建立联系，以此来方便解决整个题目。
在数学解题过程中，应用函数知识就是找出题目中各个变量之间的关系来进行解答。
但是在实际教学过程中，大部分的学生们由于函数知识基础薄弱。
因此，在解决数学问题的时候，也不善于运用函数知识解决。
函数与方程思想在高中数学解题中的应用
函数与方程思想在高中数学解题中的应用【摘要】函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。
【关键词】函数与方程思想；高中数学；应用什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题：是否需要把一个代数式看成一个函数，是否需要把字母看作变量，如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质，如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题，是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程，如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？一、把字母看作变量或把代数式看作函数规律技巧提炼：1.函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处量变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想.（1）函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量之间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：①根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；②根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题.（2）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想.2.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想.综上所述，在高中数学教学过程中重视函数与方程思想方法的渗透，可以深化学生对基础知识的理解，进一步完善学生的知识结构，优化思维品质，提高学生分析问题，解决问题能力，提高学生的数学素养。
第7讲-方程与函数思想在初中数学中的应用
第7讲：函数与方程思想【写在前面】方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容． 【典型例题】【例1】 如图：在△ABC 中，BA=BC=20 cm ，AC=30 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 以每秒4 cm 的速度向点B 运动；同时Q 点从C 点出发，沿CA 以每秒3 cm 的速度向点A 运动．设运动的时间为x 秒．(1)当x 为何值时，PQ ∥BC? (2)△APQ 能否与△CQB 相似?(3)若能．求出AP 的长；若不能．请说明理由．【解】(1)根据题意AP=4xcm ，AQ=A C －QC=(30－30x)cm ，若PQ ∥BC ，则AP AQAB AC=． 则43032030x x -=，解得103x =．所以当103x =s 时，PQ ∥BC ． (2)因为∠A=∠C ，所以当AP AQ CQ CB =或AP AQCB CQ=时，△APQ 能与△CQB 棚以． ①当AP AQCQ CB=时，4303320x x x -=，解得109x =． ②当AP AQCB CQ=时，4303203x x x -=，解得x 1=5，x 2=－10(舍去)．所以AP=4x=20． 所以当409AP =cm 或20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似． 【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．【例2】某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=a x 2+bx ，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的维修、保养费为4万元． (1)求y 的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 【解】 (1)由题意，把x=1时，y=2和x=2时，y=2+4=6，代入y=a x 2+bx ，得2426a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以y=x 2+x (2)设y ′=33x －100－x 2－x ，则y ′=－x 2+32x －100=－(x －16) 2+156．由于当1≤x ≤16时，y ′随x 的增大而增大，且当x=1、2、3时，y ′的值均小于0，当x=4时，y ′=－12 2+156>0，已知投产后该企业在第4年就能收回成本． 【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y 是从第1年到第x 年的维修、保养费用总和．【例3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，该村实行合作医疗制度，村委会规定：(一)每位村民年初交纳合作医疗基金a 元；(二)村民个人当年治疗花费的医疗费(以医院的收据为准)，年底按下列办法处理．设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y 元．(1)当0≤x ≤b 时，y=________；当b<x ≤5000时，y=_______(用含a 、b 、c 、x 的代数式表示) (2)下表是该村3位村民2008年治疗花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中的数据，求a 、b 、c 的值；写出y 与x 之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承担医疗费为多少元．(3)下表是小强同学一家2006年治疗花费的医疗费用：请你帮助小强计算参加合作医疗保险后村集体为他们家所承担的费用．【解】(1)a a+(x－b)c％(2)假设b≤40，则()()()4030(1)9050(2)15080(3) a b ca b ca b c+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩②－①得，c=40，③－②得，c=50，结果矛盾，∴b>40，这样①不成立，应为a=30，代入②和③中，解得c=50，b=50．∴当0≤x≤50时，y=30；当50<x≤5000时，y=30+(x－50)50％=0．5x+5；当x>5000时，y=2505，∴村民个人一年最多承担医疗费为2505元；(3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和(0．5×200+5)+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承担的药费360－250=110(元)．【解题反思】本题的关键是确定a的范围，这里采用了反证法来说明b>40．【综合训练】1．如果关于x的方程3211axx x=-+-无解，则a的值为__________．2．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．3．如图，△ABC中，AC=4，AB=5，D是线段AC上一点(点D不与点A重合，可与点C重合)，E是线段AB上一点，且∠ADE=∠B．设AD=x，BE=y．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)写出y的取值范围．4．如图，某农场要用总长24 m的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为xm，面积为S m2；(1)求S关于x的函数关系式；(2)若鸡场的面积为45 m2，试求出鸡场的宽AB的长；(3)鸡场的面积能否达到50 m2?若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由．5．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间t(分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．6．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力的促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，需费用120万元；若甲队单独做20天后，剩下的工程由乙队做，还需40天才能完成，这样需要费用110万元．问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元?7．已知，关于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2)，若y是关于m的函数，且y=x2－2x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当m满足什么条件时，y≤－m+3?8．已知：△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若关于x 的方程x 2－2(b+c)x+2bc+a 2=0有两个相等的实数根，且△ABC 的面积为8，a = (1)试判断△ABC 的形状并求b 、c 的长；(2)若点P 为线段AB 边上的一个动点，PQ ∥AC 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点B 与线段MN 不在线段PQ 的同侧，设正方形PQMN 与△ABC 的公共部分的面积为S ，BP 的长为x ．①试写出S 与x 之间的函数关系式； ②当P 点运动到何处时，S 的值为3．9．(02镇江)已知抛物线y=a x 2+bx+c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求此抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线． (2)若点(x 0，y 0)在抛物线上，且0≤x 0≤4，试写出y 0的取值范围．(3)设平行于y 轴的直线x=t 交线段BM 于点P(点P 能与点M 重合，不能与点B 重合)，交x 轴于点Q ，四边形AQPC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围．②求S 取得最大值时，点P 的坐标．③设四边形OBMC 的面积为S ′，判断是否存在点P ，使得S=S ′． 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．10．已知动点P(2m －1，－2m+3)和反比例函数ky x=(k<0)． (1)若对一切实数m ，动点P 始终在一条直线l 上，试求l 的解析式．(2)设O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，与y 轴相交于点N ，与反比例函数的图象相交于A ，B 两点(点A 在第四象限)．①证明：△OAM ≌△OBN ；②如果△AOB 的面积为6，求反比例函数解析式．【参考答案】1．2和3 2．6cm 3．(1)455y x =-+ (2)955y ≤< 4．(1)S=x(24－3x)=－3x 2+24x(x ≥4)； （2）－3x 2+24x=45，解得：x 1=3(舍去)，x 2=5，∴鸡场的宽AB 的长为5米．(3)－3x 2+24x=50，3x 2－24x+50=0，△=242－4×3×50<0∴此方程无实数解，∴鸡场的面积不能达到50米2．5．(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨的油，全部加给运输飞机需10分钟． (2)设Q 1=kt+b ，则406910b k b =⎧⎨=+⎩， 2.940k b =⎧∴⎨=⎩，∴Q=2．9t+40(0≤t ≤10)．(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0．1吨，∴10小时的耗油量为10×60×0．1=60(吨)<69(吨)，∴油料够用．6．(1)30 120 (2)135 607．(1)△=(3m+2) 2－4×m ×(2m+2)=m 2+4m+4=(m+2) 2m>0，∴ (m+2) 2>0，即A>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 1=1，222x m =+，∴ 2122y x x m=-=． (3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出2y m=和y=－m+3的图象，观察图象得： 当1≤m ≤2时，y ≤－m+3．8．(1)△ABC 是等腰直角三角形，b=c=4；(2)①当0<x ≤2时，S=x 2；当2<x ≤4时，S=－x 2+4x 3． 9．(1)y=－x 2+2x+3，M(1，4)，图略． (2)－5≤y 0≤4 (3)①29322t S t =-++(1≤t<3) ②9342⎛⎫ ⎪⎝⎭， ③不存在．15'2S =，若S=S ′， 则29315222t t -++=，整理得29602t t -+=．812404∆=-<，∴此方程没有实数根，∴不存在点P ，使得S=S ′．10．(1)设l ：y=k ′x+b ，当m=0时，P 1 (－1，3)，当m=1时，P 2(1，1)，带入l ：y=k ′x+b 得，3'1'k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得'12k b =-⎧⎨=⎩，∴l ：y=－x+2，经检验满足条件．(2)①解方程组2k y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得x 2－2x+k=0，解得1A x =1B x =1A y =1B y =OA =OB =．∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ；M(2，0)，N(0，2)，∴OM=ON ，∴∠OMN=∠ONM=45°，∴∠ONB=∠OMA=135°，∴△OA M ≌△OBN ． ②26AOBMONAPMSSS=+=，又12222MO NS=⨯⨯=，2AOMS∴=，代入得：(1122⨯-⨯3=，∴k=－8，∴反比例函数的解析式为8y x=-．。
方程函数思想在初中数学中的应用
方程函数思想在初中数学中的应用方程函数是数学中的重要思想和工具，具有广泛的应用。
在初中数学教学中，方程函数思想被广泛运用于各个章节和知识点，如代数基础、线性方程与不等式、二次函数、比例与相似等。
本文将就方程函数思想在初中数学中的应用进行详细介绍。
一、代数基础在初中数学教学中，方程函数思想首先运用在代数基础中。
对于代数表达式的简化与展开，通过数学符号和运算来描述实际问题，并通过方程函数的思想解决这些问题。
例如：1.简化与展开代数式：通过方程函数思想，我们可以简化和展开各种代数式，使其更加简明和易于理解。
比如，将多项式进行因式分解、将代数式进行化简等。
这些操作都涉及到方程函数的思想和运算。
2.代数方程的建立与求解：通过将实际问题转化为代数方程，再通过方程函数的求解方法解决问题。
例如，小明的年龄是小红年龄的三倍减去2，用方程函数表示就是3x-2=5，解得x=2，即小明的年龄是2岁。
二、线性方程与不等式线性方程和不等式是初中数学中的重要内容，方程函数思想也被广泛应用于相关的知识点。
1.线性方程的解：通过方程函数的思想，我们可以解线性方程，找到方程的解集。
例如，2x+3=7，通过方程函数解得x=2，即方程的解集是{x=2}。
2.线性不等式的解集：通过方程函数的思想，我们可以解线性不等式，找到不等式的解集。
例如，3x-2>4，通过方程函数解得x>2，即不等式的解集是x的全部大于2的实数。
三、二次函数在二次函数的学习中，方程函数思想发挥了重要作用。
1. 求解二次方程：二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程。
通过方程函数的思想，我们可以解二次方程，找到方程的解集。
例如，x^2-5x+6=0，通过方程函数解得x=2或x=3，即方程的解集是{x=2, x=3}。
2.二次函数图像与性质：通过方程函数的思想，我们可以求解二次函数的图像、顶点、对称轴等性质。
例如，y=x^2-4x+3，通过方程函数解得函数的顶点坐标是(2,-1)，它的对称轴是x=2，函数的图像是开口向上的抛物线。
函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的应用【摘要】本论文将所研究的问题借助建立函数关系式，结合初等函数，图像和性质，加以分析、转化、解决有关求值、数列、不等式、三角、解析几何等问题。
同时利用方程的观点将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型或构造出关于主元的方程加以解决。
【关键词】函数思想方程思想高考函数是中学数学的一个重要概念，函数一直是高考的热点、重点内容，它渗透在数学的各部分内容中，是高中数学的一条重要主线。
新课标内容中不仅没有淡化这一传统，而且还有加强的趋势，这从考试说明中很容易看出来。
但许多同学在学习这部分章节知识的时候都很难从本质上去理解、掌握，长期以来这部分知识又在高考试题中占据着可观的分值，而且考核的形式也比较灵活，学生在学习过程中稍有不慎就容易造成失分现象。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
为此，本文就函数与方程思想在教材与高考试题中体现出来的具体案例进行解析。
1.运用函数图像解题函数和方程的关系非常密切，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数y=f（x）看作二元方程y-f（x）.如解方程f（x）=0就是解y=f（x）的零点。
例1：函数f（x）=4x-4，x≤1x2-4x+3，x>1的图像和函数g（x）=log2x 的图像的交点个数是多少个？分析：求两个函数图像的交点个数，即是求两个函数所对应的方程有几个相同的根，可建立方程：x2-4x+3=log2x，x>14x-4=log2x，00解：因为8（x+1）3+10x+1=（2x+1）3+5（2x+1），则原不等式可化为（2x+1）3+5（2x+1）>x3+5x，由此，可令函数f（x）=x3+5x，则f（x）在R上是单调递增函数，而原不等式可化为f（2x+1）>f（x），所以原不等式等价于2x+1>x，解得-10且q≠0）是关于n的指数函数，因此运用函数性质解决数列问题，是对数列概念的本质理解。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
浅谈函数与方程思想在中学数学中的应用
浅谈函数与方程思想在中学数学中的应用在高中数学教学的过程中，数学的函数思想一直是我们从事教学的理念之一，函数的定义起始于初中阶段，进入到高中以后，不断的在原来的基础上增加了新的函数概念，主要是用映射的观点来阐明函数，这就要求我们学生对函数要有更加深层的理解，了解函数方程思想的关系。
函数与方程是反映客观事物数量变化规律的一种数学模型，函数思想能使数学有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物间的相互关系；而方程思想则是函数思想的具体体现，是已知量和未知量的矛盾统一。
一、准确、深刻理解函数的有关概念函数是中学数学中的一个重要概念，也是高中数学的基础。
学生学习函数的知识分四个阶段：第一个阶段是在初中，学生已经接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图像；第二个阶段（数学必修1）；第三个阶段将学习三角函数（数学必修4）、数列（数学必修5）；第四个阶段在选修课程中，如导数及其应用、概率（选修系列2）、参数方程（选修系列4）等都仍然要涉及函数知识的再认识，是对函数及其应用研究的深化和提高。
对于函数概念的引入，教材通过具体实例，让学生体会函数是数集之间的一种特殊的对应关系。
教学应从学生已有的函数知识入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的变化，在集合的基础上，构建函数的一般概念。
如（1）随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖；(2)打电话时，通话费用与通话时间之间的关系；(3)中国的国内生产总值正在逐年增长等等。
二、函数与方程思想的概念以及相互转化1.函数与方程思想的概念。
函数的思想方法就是对于客观事物的运动变化过程中各个变量之间的相互关系，通过函数的形式表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。
函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。
方程的思想方法就是经过数学变换，把非方程的问题转化为方程的形式，并通过解方程的手段或对方程有关性质的研究，使原问题得到解决。