二项式定理
课堂互动讲练
(2)通项公式 Tr＋1＝C8r· ( 2 x)
8－ r
2 r · (－ 2) x
r r 8－ r ＝ C8 · (－ 2) · x －2r，
8－ r 3 令 － 2r＝ ，则 r＝1， 2 2 3 3 故展开式中含 x 的项为 T2＝－16x . 2 2 (3)由 n＝ 8 知第 5 项二项式系数最大， 此时 T5＝1120x .
课堂互动讲练
2 2 3 T3＝ C5 x (3x2)2＝ 90x6， 3 22 3 2 2 2 3 T4＝ C5 x (3x ) ＝ 270x . 3 3
2 (2)展开式的通项公式为 Tr＋1＝ C5 3 · x 3 (5＋2r)．
r r
假 设 Tr ＋
2
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【误区警示】 这类带有减号的 二项展开式最容易出现的问题就是忽 视了(－1)r这个因素，导致最后结果产 生符号的差异，出现错误．
课堂互动讲练
互动探究
1． ( x＋ 1 4 x )n 展开式中各项系数的和
为 256. 求(1)n 的值； (2)展开式中所有有理项．
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解： (1)由题意 2n＝ 256，∴n＝8. 1 r r 8－ r (2)通项公式 Tr＋ 1＝ C8 ( x ) 4 ＝ x r 16－ 3r C8 x ， 4 16－ 3r 3r 又 ＝ 4－ ，其中 0≤r≤8， 4 4
第3课时
二项式定理
基础知识梳理
1．二项式定理 n 1 n－ 1 r 公式 (a＋ b)n＝ C0 a ＋ C a b ＋…＋ C n n n n－ r r n n a b ＋…＋Cn b (n∈N＋)，所表示的定理叫 做二项式定理．
基础知识梳理
在公式中，交换a，b的顺序 对其二项展开式是否有影响？ 【思考· 提示】 (a＋b)n 与 (b＋a)n 虽然结
7 9 ∴ ≤r≤ ，∵r∈N，∴r＝4. 2 2
课堂互动讲练
∴展开式中系数最大的项为 26 (3x ) ＝405x . 3
2 4
4 2 T 5＝ C 5 x
3
课堂互动讲练
【规律小结】 求展开式系数最大的项： 如求(a＋bx)n(a， b∈R)的展开式中系数最大的 项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系 数分别为 A1， A2，…，An＋1，且第 r＋ 1 项系
Ar≥ Ar－ 1 数最大，应用 解出 r 来，即得系数 Ar≥ Ar＋ 1
最大的项．
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跟踪训练
2 n 3．已知( x－ 2) (n∈N＋)的展开式 x 中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； 3 (2)求展开式中含 x 的项； 2 (3)求二项式系数最大的项．
课堂互动讲练
例2
(2009 年高考陕西卷 )若 (1－ 2x)2009＝ a0 a1 a2 2009 ＋ a1x＋…＋ a2009x (x∈R)，则 ＋ 2＋… 2 2 a2009 ＋ 2009的值为( ) 2 A． 2 B． 0 C．－1 D．－2
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【思路点拨】
该题解答的关键是
1 比较系数，当 x＝ 时，等式右边与所求 2 相同．
果相同，但具体到它们展开式的某一项时是
n 不相同的， (a＋b)n 的展开式的第 k＋1 项 Ck a n
－k
b 和 (b＋a) 的展开式的第 k＋1 项
k
n
k n－ k k Cnb a
是有区别的，应用二项式定理时，其中 a 和 b 不能随便交换．
基础知识梳理
2． 相关概念及公式 (1)公式右边的多项式叫做 (a＋b)n 的二项展开式 ． r (2)各项的系数 Cn (r＝0,1， …， n)叫做二项式系数． r n－ r r C (3) 展开式中的 na b 叫做二项展开式的通
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要使展开式中的项为有理项，只 要x的指数为整数， 则r＝0,4,8. 所以第1项，第5项与第9项为有 理项，它们分别是x4,70x，x－2.
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考点二
二项展开式中的系数之和问题
二项式定理实质是关于a，b，n 的恒等式，除了正用、逆用这个恒等 式，还可根据要求系数和的特征，让 a、b取相应的特殊值，至于特殊值 a、b如何选取，视具体问题而定．没 有一成不变的规律．
基础知识梳理
n 中间一项 C n 2 取得 当 n 是偶数时， 最大值． n－ 1 当 n 是奇数时，中间两项 C 和 2 n n＋ 1 C 相等且取得最大值． 2 n
基础知识梳理
Байду номын сангаас
1 2 (3)展开式系数总和：C0 ＋ C ＋ C n n n＋… n ＋Cn ＝ 2n ，其中奇数项系数的和等于偶数 2 4 1 3 项系数的和，即 C0 ＋ C ＋ C ＋…＝ C ＋ C n n n n n
n r r 项， 记作： Tr＋1＝Cr a b， 它表示展开式的第 r＋1 项． n
－
基础知识梳理
(4)在二项式定理中，如果设a＝ 1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝ 2 2 r r n 1＋C1 x ＋ C x ＋…＋ C x ＋…＋ x . n n n
基础知识梳理
3．二项式系数的性质 (1)二项式系数的对称性：
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1 【解析】 依题意令 x＝ ， 2 2009 由 (1 － 2x) ＝ a0 ＋ a1x ＋ … ＋ a2009x2009(x∈ R)， 1 2009 a1 a2 a2009 得 (1－2× ) ＝ a0＋ ＋ 2＋ …＋ 2009＝0， 2 2 2 2 令 x＝0，可得 a0＝1， a1 a2 a2009 所以 ＋ 2＋ …＋ 2009＝－1，答案选 C. 2 2 a
＋C5 n＋…＝
2 n－ 1 .
三基能力强化
1 6 1． (教材习题改编)( x－ ) 的展开式 x 中常数项为( )
A．15 C．－15 答案：B
B．－20 D．20
三基能力强化
x5 2 2 ． (1 ＋ ) 的展开式中 x 的系数为 2 ) A．10 B． 5 5 C. D． 1 2
(
答案：C
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n－ 2r 1 (2)令 ＝2，得 r＝ (n－ 6)＝ 2， 3 2 1 2 45 2 2 ∴含 x 项的系数为 C10 (－ ) ＝ . 2 4 10－ 2r ∈Z， 3 (3)由题意知： 0≤r≤10， r∈Z. 10－ 2r 令 ＝ k(k∈Z)， 3
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【答案】
C
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【名师点评】 本题主要使用赋 值的办法来解决．
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跟踪训练 2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋ …＋a1x＋a0，求： (1)a7＋a6＋…＋a1； (2)a7＋a5＋a3＋a1； (3)a6＋a4＋a2＋a0； (4)|a7|＋|a6|＋…＋|a0|.
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(4)∵(3x－1)7展开式中，a7、a5、 a3、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均 小于零， ∴|a7|＋|a6|＋…＋|a0| ＝(a1＋a3＋a5＋a7)－(a0＋a2＋a4 ＋a6) ＝8256－(－8128)＝16384.
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考点三
二项式系数的性质
1．根据二项式系数的性质，n为奇数 时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时 中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与求二项式 系数最大项不同，求展开式中系数最大项 的步骤是：先假定第r＋1项系数最大，则它 比相邻两项的系数都不小，列出不等式并 解此不等式组求得．
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【解】 (1)令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝ (1＋ 3)n＝ 4n， 又展开式中各项的二项式系数之和为 2n， 由题意知，4n－ 2n＝992. ∴(2n)2－ 2n－992＝ 0，∴(2n＋31)(2n－ 32)＝0， ∴2n＝－31(舍 )，或 2n＝ 32，∴n＝5. 由于 n＝5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大 的项为中间两项，它们分别是
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例1
3 1 n 已知在( x－ ) 的展开式中， 第6 3 2 x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
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【思路点拨】 利用通项确定 n，进而根据特定项的特征求解．
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(1)二项展开式的通项公式为 1 r r r n－ r T r ＋ 1 ＝ Cn x (－ )x－ ＝ (－ 3 2 3 1 r r n－ 2r ) Cn x . 2 3 ∵第 6 项为常数项， n－ 2r ∴r＝ 5 时，有 ＝0， 3 解得 n＝10. 【解】
距首末两端等距离的两项的二项式系数相等
n 1 n-1 r n-r ，即：C0 ＝ C ， C ＝ C ，…， C ＝ C n n n n n n .
基础知识梳理
(2)增减性与最大值：二项式系数 Ck n，当 n＋ 1 n＋ 1 递增的 k< 时，二项式系数是 ，当 k> 2 2 时，二项式系数是 递减的 ．
课堂互动讲练
例3
3
已知 f(x)＝( x ＋3x ) 展开式 中各 项的系数和 比各项的 二项式 系数和大 992. (1) 求 展开式中二项式 系数最 大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
2
2 n
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【思路点拨】 根据二项式系数 的性质，列方程求n，系数最大问题 需列不等式组求解．
1n 5．(2008 年高考湖南卷)记(2x＋ ) 的展 x 开式中第 m 项的系数为 bm，若 b3＝2b4，则 n＝________.
答案：5
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考点一 求特定项或特定项的系数
求二项展开式中的特定项，一定 要抓住展开式中的通项Tk＋1＝Cnkan－ kbk，要注意通项是(a＋b)n的展开式的 第k＋1项，而不是第k项，这里k＝ 0,1，…，n.求解时要将通项化成常数 乘一个未知数多少次方的形式，然后 根据需要求适合条件的项．
二项式定理
4.代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为__x_4__. 解析 (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1 ＝C04(x＋1)4＋C14(x＋1)3(－1)1＋C24(x＋1)2(－1)2＋C34(x＋1)·(－1)3＋C44(－1)4 ＝[(x＋1)－1]4＝x4.
跟踪训练 1 求2x－23x25 的展开式.
解 方法一 2x－23x25＝C05(2x)5＋C15(2x)4·－23x2＋C25(2x)3－23x22 ＋C35(2x)2－23x23＋C45(2x)·－23x24＋C55－23x25 ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310. 方法二 2x－23x25＝43x32－x1035＝321x10[C05(4x3)5＋C15(4x3)4(－3)＋C25(4x3)3(－3)2 ＋C35(4x3)2(－3)3＋C45(4x3)(－3)4＋C55(－3)5] ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
令3－k＝2，解得k＝1，
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
反思感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝Ckn－1an－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项； ④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的常用方法 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是 整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要 求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解； ③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负 整数，求解方式与求有理项一致.
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容。
在高考中，二项式定理的命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。
因此，复时要正确理解二项式定理、二项展开式的概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键。
同时，注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。
其中，非标准二项式定理求解特殊项的问题是难点问题。
二项式定理的公式为(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+。
+C(n,k)*a^(n-k)*b^k+。
+C(n,n)*b^n，其中n∈N*。
展开式的第k+1项为C(n,k)*a^(n-k)*b^k。
在求二项展开式的特定项问题时，实质上是考查通项T(k+1)=C(n,k)*b的特点。
一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解。
注意k的取值范围为k=0,1,2，…，n。
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解。
二项式系数是二项展开式中各项的系数，记为C(n,k)。
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。
二项式系数具有对称性，在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C(n,k)=C(n,n-k)。
二项式系数的增减性与最大值是：当k(n+1)/2时，二项式系数逐渐减小。
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大。
各二项式系数的和等于2，即C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+…=2^(n-1)。
在高考中，常涉及多项式和二项式问题，主要考查学生的化简能力。
常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题。
赋值法是一种重要的方法，适用于恒等式，用于求形如(ax＋b)、(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子展开式的各项系数之和。
二项式定理
例 2、证明 、证明:99 -1 能被 1000 整除
10
七、其他应用
例5、求（1+x）+(1+x)2+ (1+x)3 + …+(1+x)2n 、 ） n ∈ N*的展开式中含 n的系数 的展开式中含x
练 习
展开式中x 求(1－ x ）6（ 1 + x ）4展开式中 3的系数 －
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注：求二项式系数、项的系数或项的另 求二项式系数、 一种方法是利用二项式的通项公式
练习
1、 (
x a
2
−
a x
) 的展开式中，第五项是____________ 的展开式中，
6
2、 ( a −
3
1
a 第_________项
)15 的展开式中，不含 a 的项是 的展开式中，
应用
一、近似值计算
精确到0.01) 例1、计算（0.997）3的近似值 (精确到 、计算（ ） 精确到
2 r n r n n n
3、特例： 、特例：
（1 + x） = 1 + C x + C x + L + C x + L + C x
n 1 n 2 n
例1、(1)求（1+2x ) 的展开式的第4项的系数 (1)求
7
1 8 2 (2)求 (2)求（x − ) 的展开式中x 的系数和中间项 x
x 3 9 (3)求 (3)求 ( + ) 的展开式常数项 3 x
二 项 式 定 理 应 用
1、二项式定理： 、二项式定理：
(a + b) = C a + C a b +L+ C a b +L+ C b
二项式定理
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、 的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解：( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结：
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性 质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；
二项式定理的定义
二项式定理的定义二项式定理是高中数学中非常重要的定理，在大学的数学、物理、统计等学科中也有广泛的应用。
它可以将二次式展开为多项式，方便我们进行计算和研究。
那么，什么是二项式定理呢？一、定义二项式定理又称为牛顿（Isaac Newton）二项式公式，是一种非常重要的数学定理。
它由镇上的数学家牛顿首先提出，经过一系列证明和推广之后，成为了现代数学中不可或缺的一部分。
二项式定理的表述如下：$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$$其中，$a$和$b$是任意实数，$n$为正整数，$C_n^k$是组合数，表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数。
公式的左边表示一个二次式的展开式，右边则表示该二次式展开式中各项系数的求法。
二、过程如何推导二项式定理呢？这里我们可以用数学归纳法来证明其有效性。
我们假设二项式定理对于任意正整数$m$都成立，即：$$(a+b)^m = \sum_{k=0}^{m}C_m^ka^{m-k}b^k$$现在我们需要证明，当$m$加1时，二项式定理仍然成立，即：$$(a+b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^ka^{m-k+1}b^k$$ 证明过程如下：- 将$(a+b)^{m+1}$展开，得到$a(a+b)^{m} + b(a+b)^{m}$- 根据归纳假设，我们可以将$(a+b)^m$表示为$\sum_{k=0}^{m}C_m^ka^{m-k}b^k$，然后将其带入上式中的每一个因式中- 将所有同类项合并，最终得到$\sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^ka^{m+1-k}b^k$，这正是二项式定理右边的式子，故定理得证三、应用二项式定理在数学、物理、统计等多个领域中都有广泛应用。
比如，在概率统计中，我们需要计算二项分布，而二项分布的密度函数就可以用二项式定理推导得到。
在物理学中，二项式定理可以被用来计算气体分子的速度和位置等物理参数。
二项式定理百科
二项式定理百科二项式定理（Binomial theorem）是数学中的一个重要定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
这个定理在代数、组合数学、概率论等领域都有广泛应用。
本文将详细介绍二项式定理及其应用。
一、二项式定理的定义二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，都有以下等式成立：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$其中，$\binom{n}{k}$表示组合数，计算公式为$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$式中的$\binom{n}{k}$可以读作n选择k，它表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式系数$\binom{n}{k}$决定了二项式展开后各项的系数。
二、二项式定理的展开式通过二项式定理，可以将一个二项式的幂展开成多个项的和。
例如，对于$(a+b)^3$，应用二项式定理，展开式为：$$(a+b)^3=\binom{3}{0}a^3b^0+\binom{3}{1}a^2b^1+\binom{3}{2}a ^1b^2+\binom{3}{3}a^0b^3$$化简得：$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$可以看出，展开后的每一项的指数和为3，且系数由组合数$\binom{3}{k}$确定。
三、二项式定理的应用1. 代数应用二项式定理常用于代数运算中，特别是求解多项式的展开式和系数。
通过二项式定理，可以快速计算高次幂的二项式展开式，简化复杂计算过程。
同时，二项式定理也可用于证明其他代数恒等式。
2. 组合数学组合数学研究的是离散结构和计数问题。
二项式定理的组合数$\binom{n}{k}$用于计算从n个元素中选择k个元素的方法数。
这对于排列组合、概率计算等问题都具有重要意义。
3. 概率论在概率论中，二项分布是一种重要的离散概率分布，它描述了一系列独立重复实验中成功次数的概率分布。
二项式定理可以用于计算二项分布的概率，判断在一定概率下，事件发生k次的概率。
二项式定理
－ － －
＋ n· 2n－1＝(n＋2)· 2n－1， 故 3n>(n＋2)· 2n－1.
2 n 例 4：已知( x－ 2) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三 x 项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
2 3 1 ( x 2) 【 3】 展开式中的常数项是_______. 2 x
20
1 1 3 3 C x C 2 C1 ( 2) C3 (2) x
1 3 2 1 2
20.
( x 2 12 2)3 ( x 1 )6 x x
Tr +1 = (1) C x
r n－ r r n－ r r a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝Cn2 · 3 x y ，其中 r Cn
2n－r3r 就是 Tr＋1 项的系数．
求展开式中的特定项或特 定项的系数
1 x＋ n 例 1 在二项式 4 的展开式中，前三项的系数成等 2 x 差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．
4 所以x的系数为 C4 5 3 2 240.
【点评】三项式不能用二项式定理,必须转化 为二项式．
例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数． 解法二：因为 (x2 十 3x 十 2)5 ＝ (x2 十 3x 十 2)(x2 十 3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2), 所以 (x2 十 3x 十 2)5 展开式的各项是由五个 因式中各选一项相乘后得到的. 则它的一次项只能从五个因式中的一个取 一次项3x,另四个因式中取常数项2相乘得到.
二项式定理公式大全
二项式定理公式大全一、二项式定理基本公式。
1. 二项式定理。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈N^*。
- 例如，当n = 3时，(a +b)^3=C_3^0a^3b^0+C_3^1a^2b^1+C_3^2a^1b^2+C_3^3a^0b^3。
- 计算各项系数：- C_3^0=(3!)/(0!(3 - 0)!)=1- C_3^1=(3!)/(1!(3 - 1)!)=(3!)/(1!2!)=3- C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3!)/(2!1!)=3- C_3^3=(3!)/(3!(3 - 3)!)=1- 所以(a + b)^3=a^3+3a^2b + 3ab^2+b^3。
2. 二项展开式的通项公式。
- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k（k =0,1,·s,n）。
- 例如，在(x + 2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。
当k = 2时，T_3=C_5^2x^5 - 22^2。
- 计算C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=(5×4)/(2×1)=10- 所以T_3=10x^3×4 = 40x^3二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 在二项式(a + b)^n的展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。
- 例如，在(a + b)^5的展开式中，C_5^1=C_5^4，C_5^2=C_5^3。
- 计算C_5^1=(5!)/(1!(5 - 1)!)=5，C_5^4=(5!)/(4!(5 - 4)!)=5；C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=10，C_5^3=(5!)/(3!(5 - 3)!)=10。
二项式定理
§9.3 二项式定理（二十九）一、知识导学1.二项式定理：上列公式所表示的定理叫做二项式定理.右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有ｎ＋1项.其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即＝.2.二项式系数的性质：（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式得到.（2）增减性与最大值.二项式系数，当ｒ＜时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和.的展开式的各个二项式系数的和等于.二、疑难知识导析1．二项式定理是代数公式和的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的.同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解.2．对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式.通项公式＝在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项.3．二项式定理的特殊表示形式（1）.这时通项是＝.（2）.这时通项是＝.（3）.即各二项式系数的和为.4．二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即三、经典例题导讲[例1]已知，求的值.错解：由二项展开式的系数的性质可知：的展开式的各个二项式系数的和等于，显然，就是展开式中的，因此的值为－1.错因：上述解答忽略了是项的系数，而不是二项式系数.正解：由二项展开式的结构特征，是项的系数，而不是二项式系数.观察式子特征，如果＝1，则等式右边为，出现所求式子的形式，而就是展开式中的，因此，即1＝1＋，所以，＝0评注这是二项式定理的一个典型应用—赋值法，在使用赋值法时，令、ｂ等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“－1”，或其他值.[例2]在多项式的展开式中，含项的系数为.错解：原式＝＝∴项的系数为0.错因：忽视了ｎ的范围，上述解法得出的结果是在ｎ不等于6的前提下得到的，而这个条件并没有提供.正解：原式＝＝∴当ｎ≠6时，项的系数为0.当ｎ＝6时，项的系数为1说明：本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性，应注意原式中对照二项式定理缺少这一项.[例3]的末尾连续零的个数是( )A．7 B．5 C．3 D．2解：上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0.所以的末尾连续零的个数是3.故选C.[例4]已知的展开式前三项中的的系数成等差数列.（1）求展开式中所有的的有理项；（2）求展开式中系数最大的项.解：（1）展开式前三项的系数分别为.由题设可知：解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）.当ｎ＝8时，＝.据题意，4－必为整数，从而可知必为4的倍数，而0≤≤8，∴＝0,4，8.故的有理项为：，，.（2）设第＋1项的系数最大，显然＞0，故有≥1且≤1.∵＝，由≥1，得≤3.∵＝，由≤1，得≥2.∴＝2或＝3，所求项分别为和.评注：1.把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键，除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质.2.运用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是运用通项公式根据题意列方程，在求得ｎ或ｒ后，再求所需的项（要注意ｎ和ｒ的数值范围及大小关系）.3.注意区分展开式“第＋1项的二项式系数”与“第＋1项的系数”.[例5]已知的展开式中含项的系数为24，求展开式中含项的系数的最小值.解：解法一由中含项的系数为24，可得.从而，.设中含项的系数为ｔ，则ｔ＝.把代入上式，得ｔ＝.∴当ｎ＝6时，ｔ的最小值为120，此时ｍ＝ｎ＝6.解法二由已知，设中含项的系数为ｔ，则ｔ＝≥2＝2（72－12）＝120.当且仅当ｍ＝ｎ＝6时，ｔ有最小值120.∴展开式中含项的系数的最小值为120.评注：构造函数法是一种常用的方法，尤其在求最值问题中应用非常广泛.四、典型习题导练1．化简：2.设，则的值为3.（1+x）(2+x)(3+x)…(20+x)的展开式中x19的系数是.4.式子的展开式中的常数项是（）A、－15B、20C、－20D、155．已知二项式中，＞0，ｂ＞0,2ｍ＋ｎ＝0但ｍｎ≠0，若展开式中的最大系数项是常数项，求的取值范围.6．用二项式定理证明：能被整除（ｎ∈，ｎ≥2）.。
二项式定理ppt课件
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.