上海交大附中2019-2020学年高二数学上学期期末试卷附答案解析
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
上海市交大附中2018-2019学年上学期高一数学期末试卷(附解析)
2021-2021学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，总分值54分)1. (4 分)集合A={1 ， 2， m}， B={2， 3}，假设AUB={1 ， 2， 3}，那么实数m =。
2. (4分)成立〞是“ xv 2成立〞的条件。
(选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要)3. (4分)函数6 卜1)")。
的定义域为______________________ 。
Y 1-24. (4分)假设函数F(及)二里士的反函数是其本身，那么实数a=。
5. (4分)函数f (x) = 2x 3|- 1，那么不等式f (x) <1的解集为。
6. (4 分)函数f (x) = 9x-3x+1 - 10 的零点为。
7. (5分)x， y贝+，且满足xy- x- 2y=0，那么x+y的最小值为。
8. (5分)假设定义在R上的函数二不“+1 (其中a>0， a*)有最大值，那么函数式元)二的单调递增区间为 - 43。
9. (5分)集合A = {x|x2- (2a+1) x+a2+a<0}，集合B = {x|x2+lgxw 1000}，且满足AA？R B=？，那么实数a的取值范围是。
10. (5分)函数y=f (x)的图象与函数y=a x (a>0且a^1)的图象关于直线y=x对称，记g (x) =f (x) [f (x) +f (2) - 1]，假设y=g (x)在区间2]上是增函数，2|那么实数a的取值范围是。
11. (5分)以下四个命题中正确的选项是。
①定义在R上是偶函数y=f (1+x)，那么f (1+x) =f (1 - x);②假设函数y=f (x)， xCD，值域为A (AwD)，且存在反函数，那么函数y=f (x)， x①与函数x=f 1 (y)， yCA是两个不同的函数；③函数f(x)二」「，xCN ，既无最大值，也无最小值；K-3④函数f (x) = (2|x|T) 2-5 (2|x|-1) +6的所有零点构成的集合共有4个子集。
上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析
交大附中高二期中数学卷一. 填空题1.若(2,1)n =-r是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示） 【答案】arctan 2 【解析】 【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。
【详解】由(2,1)n =-r是直线l 的一个法向量，所以可知直线l 的一个方向向量为(1,2)，直线l 的倾斜角为α，可得tan 2k α==， 所以直线的倾斜角为tan 2arc α=。
故答案为：tan 2arc 。
【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。
2.直角坐标平面xOy 中，若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ⋅=u u u r u u u r，则点P 的轨迹方程是________【答案】24x y += 【解析】 【分析】设点(,)P x y ，则(,)OP x y =u u u r ，由(1,2)A ，所以(1,2)OA =u u u r ，代入4OP OA ⋅=u u u r u u u r，即可求解。
【详解】设点(,)P x y ，则(,)OP x y =u u u r，可得(1,2)OA =u u u r ，因为4OP OA ⋅=u u u r u u u r，所以(,)(1,2)24x y OP OA x y ⋅=⋅=+=u u u r u u u r ，即24x y +=，所以点的轨迹方程为24x y +=。
故答案为：24x y +=。
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟练应用向量的数量积的运算公式，准确计算即可求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3.已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 ．【答案】2【解析】试题分析：圆的标准方程为：()2228x y -+=，圆心P 点的坐标为：()2,0，所以点P 到直线10x y --=的距离d === 考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离公式.4.若向量a r 、b r 满足a r ＝1，b r ＝2，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +r r＝_________.【解析】 【分析】由1,2,,a b a b ==v v v v 夹角为3π，利用平面向量数量积公式，求得a b +r r 平方的值，从而可得结果.【详解】1,2,,a b a b ==v Q v v v 夹角为3π，所以2222a b a b a b +=++⋅v v v v v v142cos 3a b π=++vv152125272=+⨯⨯⨯=+=所以a b +=r r..5.三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =________.【答案】14- 【解析】根据余子式的概念，在行列式中划去第2行第1列后，所余下的2阶行列式带上符号21(1)+-，即为所需代数余子式，由题意列出方程求解，即可得出结果.【详解】由题意，可得：三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式为212(1)22141012+-=⨯+⨯=+=--kk k ， 解得14=-k . 故答案为：14-【点睛】本题主要考查已知行列式的代数余子式求参数的问题，熟记概念即可求解，属于常考题型.6.点(3,4)P 关于直线1x y -=的对称点的坐标是_____． 【答案】(5,2) 【解析】 【分析】设对称点坐标，利用两点连线与直线垂直、两点的中点在直线上可构造方程求得结果. 【详解】设()3,4P 关于直线1x y -=的对称点坐标为(),P m n '411334122n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-∴⎨++⎪-=⎪⎩，解得：52m n =⎧⎨=⎩ ()5,2P '∴本题正确结果：()5,2【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求解问题，常用方法是采用待定系数法，利用两点连线与对称轴垂直且中点在对称轴上可构造方程组求得结果.7.己知两点(3,2)A ，(1,5)B -，直线l ：1y kx =-与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围________ 【答案】[,arctan 6]4ππ-【分析】由直线l 恒经过定点(0,1)P -，由直线的斜率公式，求得1,6PA PB k k ==-，再由倾斜角和斜率的关系，即可求解。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【详解】由题意A C ⊆，则U UC A ⊆痧，当U B C ⊆ð，可得“A B =∅”；若“AB =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð，U ∴为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的充分必要的条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题． 2．已知实数x ，y 满足()01xya a a <<<，[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面关系式恒成立的是（ ） A.221111x y >++ B.()()22ln 1ln 1x y +>+ C.11x y x y->- D.[][]x y ≥【答案】D【解析】根据条件求出x y >，结合不等式的关系，利用特殊值法进行判断即可． 【详解】当01a <<时，由x y a a <得x y >，A ．当1x =，1y =-，满足x y >但221111x y =++，故A 错误，B ．当1x =，1y =-，满足x y >，22(1)(1)ln x ln y +=+，但22(1)(1)ln x ln y +>+不成立，故B 错误，C ．当1x =，1y =-，满足x y >，但112x y -=+=，11112x y -=+=，则11x y x y ->-不成立，故C 错误，D ．x y >，[][]x y ∴…成立，故D 正确 故选：D ． 【点睛】本题主要考查不等式的关系和不等式的性质的应用，利用特值法是解决本题的关键． 3．函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得x <或0x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q+ B.(1)(1)12p q ++-1【答案】D【解析】【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得1x =． 【考点】函数模型的应用．二、填空题5．已知集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，若{}123A B ⋃=，，，则实数m =___________. 【答案】3【解析】直接利用并集的定义得到m 的值. 【详解】因为集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，{}123A B ⋃=，，， 所以3m =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查并集定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6．“21x>成立”是“2x <成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 【答案】充分非必要 【解析】先解不等式21x>，再利用充分条件必要条件的定义判断得解. 【详解】 因为21x>，所以02x <<，因为{|02}x x <<⫋{|2}x x < 所以“21x>成立”是“2x <成立”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 【点睛】本题主要考查解分式不等式和充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．函数()f x =___________.【答案】{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞【解析】分类讨论解不等式2(1)(1)02x x x -+-…，即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则2(1)(1)02x x x -+-…， 当1x =时，不等式成立， 当1x ≠时，不等式等价为102x x +-…， 即2x >或1x -…，综上2x >或1x -…或1x =，所以函数的定义域为{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞. 故答案为：{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞ 【点睛】本题主要考查不等式的解法和函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．若函数21()x f x x a+=+的反函数是其本身，则实数a =___________. 【答案】-2【解析】求出反函数与原函数比较可知2a =-． 【详解】 由21+=+x y x a得12-=-ay x y ，所以()f x 的反函数为11()2ax f x x --=-，依题意可得2a =-． 故答案为：2-．【点睛】本题考查了反函数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 9．函数3()21x f x -=-，则不等式()1f x <的解集为___________.【答案】(24)，【解析】问题转化为|3|1x -<，求出不等式的解集即可． 【详解】不等式()1f x <即|32|2x -<， 故|3|1x -<， 解得：24x <<， 故答案为：(2,4)． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式和指数不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题． 10．函数()19310xx f x +=--的零点为___________.【答案】315x og =【解析】由题得(32)(35)0x x +-=，再解指数方程即得解. 【详解】由1()93100x x f x +=--=得2(3)33100x x -⋅-=， 即(32)(35)0x x +-=，30x >，350x ∴-=，即35x =，即3log 5x =， 即函数零点为3log 5x =， 故答案为：3log 5x = 【点睛】本题主要考查函数零点的求解，结合一元二次方程以及指数和对数的转化公式是解决本题的关键．11．已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 【详解】由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+， 同除xy ，得211x y+=， 212()()33x yx y x yx y y x +=++=+++…2x =1y =时取到等号．故答案为：3+． 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 12．若定义在R 上的函数21()xf x a +=（其中0a >，1a ≠）有最大值，则函数()2()log 2a g x x x =-的单调递增区间为___________．【答案】()0-∞，【解析】先根据题意判断01a <<，可得即求函数2220)t x x x x =-><（或减区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【详解】21x +有最小值为1，定义在R 上的函数21()xf x a+=（其中0a >，1)a ≠有最大值，01a ∴<<．则函数2()log (2)a g x x x =-的单调递增区间，即函数2220)t x x x x =-><（或的减区间， 因为函数2220)t x x x x =-><（或的减区间为(,0)-∞， 故答案为：(,0)-∞． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．13．集合{}22|(21)0A x x a x a a =-+++<，集合{}2log |1000xB x x+=≤，且满足R A B ⋂=∅ð，则实数a 的取值范围是___．【答案】1,91000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由二次不等式的解法得1)A a a =+（，，由对数不等式的解法得1[1000B =，10]，即(R C B =-∞，1)(101000⋃，)+∞，由集合交集的运算得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟，得解． 【详解】解不等式22(21)0x a x a a -+++<得1a x a <<+即1)A a a =+（，， 解不等式21000lgx x +…得：(2)30lgx lgx +-…，即1101000x 剟，即1[1000B =，10]， 即(RC B =-∞，1)(101000⋃，)+∞， 又R AB =∅ð，得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟， 即实数a 的取值范围是1[,9]1000， 故答案为：1[,9]1000 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，对数不等式的解法及集合交集的运算，属中档题． 14．已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=+-⎣⎦，若()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】先求出函数()f x 的解析式，然后代入将函数()g x 表示出来，再对底数a 进行讨论即可得 到答案． 【详解】函数()y f x =的图象与函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =对称， ()log (0)a f x x x ∴=>．()()[()g x f x f x f =+（2）1]log (log log 21)a a a x x -=+-2221(21)(log )24a a a log log x --=+-， ①当1a >时，log a y x =在区间1[2，2]上是增函数，1log [log 2a a x ∴∈，log 2]a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，化为log 21a -…， 解得12a …，舍去． ②当01a <<时，log ay x =在区间1[2，2]上是减函数，log [log 2a a x ∴∈，1log ]2a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，解得102a <…． 综上可得：102a <…． 故答案为：(0，1]2．【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．下列四个命题中正确的是______．①已知定义在R 上的偶函数(1)y f x =+，则()()11f x f x +=-；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î是两个不同的函数﹔③已知函数*1(),3f x x x =∈-N ，既无最大值，也无最小值； ④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+的所有零点构成的集合共有4个子集． 【答案】①②【解析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x 的单调性可判断③；由()0f x =的解的个数和集合的子集个数，可判断④． 【详解】①已知定义在R 上是偶函数(1)y f x =+，设()(1)F x f x =+，可得()()F x F x -=， 则(1)(1)f x f x +=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1()3f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在13x <…递减，3x >递减，可得2x =时，f （2）取得最小值1-，故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 16．已知函数()()20xf x x ex =+<与函数21()ln()2g x x x a =+++，图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是___________.【答案】(-∞【解析】根据条件转化为当0x >时，()()f x g x -=有解，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】由题意，存在0x >，使()()f x g x -=，即221()2x x ln x a x e -+++=+， 即11()()2xln x a e++=， 即11()()2xln x a e+=-+，设11()()2x h x e =-+，11(0)122h =-+=，当()y ln x a =+经过点1(0,)2时， 则12lna =，得12a e = 作出()y ln x a =+和()h x 的图象，要使两个图象恒有交点，则a即实数a 的取值范围是(a ∈-∞．故答案为：(-∞．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．三、解答题17．解关于x 的不等式：2(2)20kx k x -++<． 【答案】见解析【解析】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<分0k =，0k >，k 0<三种情况进行讨论．0k =、k 0<易解不等式；当0k >时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可． 【详解】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<， （1）当0k =时，有1x >；（2）当0k >时，有2()(1)0k x x k --<，2()(1)0x x k ∴--<，221k k k--=， 当2k >时21k<，21x k ∴<<；当2k =时，21k=，x φ∴∈；当02k <<时，有21k>， 21x k ∴<<；（3）当k 0<时，2()(1)0x x k -->，有21k<，所以21x x k <>或． 综上， 当0k =时，原不等式的解集为(1)+∞，； 当k 0<时，原不等式的解集为2,(1,)k ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 当2k =时，原不等式的解集为∅；当02k <<时，原不等式的解集为21,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2k >时，原不等式的解集为2,1k ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是△的符号，要不重不漏．18．动物园需要用篱笆围成两个面积均为502m 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m ，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m ．（1）设所用篱笆的总长度为l ，垂直于墙的边长为x ．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？【答案】（1）1003l x x =+，[225]，.（2时，所用篱笆的总长度最小，最小为【解析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长50x ，表示出l ；由2x …且502x…，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长50x ， 则1003l x x=+，2x …且502x…， 225x ∴剟，所以函数的定义域为[2，25]；（2）100320l x x x x =+=…1003x x =，即x =时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是． 【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．19．已知函数()y f x =是函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，函数3()1ax g x x +=-的图像关于直线y x =对称，记()()()F x f x g x =+.（1）求函数()f x 的解析式和定义域﹔（2）在()F x 的图像上是否存在这样两个不同点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求A ，B 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）1()1x f x lgx -=+，()f x 的定义域为(1,1)-；（2）不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【解析】（1）先求出函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，即求出()f x 的解析式，然后求出()f x 的定义域；（2）先求出函数()F x 的解析式，再设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，推出12y y >，得()F x 为(1,1)-上的递减函数，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【详解】 （1）由21101x y =-+得1101x y y -=+，11y x lg y -=+，1()1x f x lg x-∴=+， 因为函数21101x y =-+的值域为(1,1)-，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-. （2）3()1ax g x x +=-，13()x g x x a -+∴=-，依题意得1()()g x g x -=，1a \=，3()1x g x x +∴=-， 1(13)1x F x g x l x x -∴=+++-，定义域为(1,1)-， 设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，则122121122112113()()11131x x x y y F x F x lg lg x x x x x --+-=-=+--++--+ 12212112113()3(1111x x x lg x x x x x -++=+---++-） 21211212114(()11(1)()1)x x x x lg x x x x +--=++---， 1211x x -<<<，则21111x x +>+，12111x x ->-，210x x ->，12()1(1)0x x ->-， 211211()011x x lg x x +-∴>+-，211240(1)(1)x x x x ->--）（， 12y y ∴>，故()F x 在(1,1)-上单调递减，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【点睛】本题主要考查了反函数，考查了函数单调性的判定和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20．已知函数2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-（a 为负整数）()y f x =的图像经过点(2,0)()m m -∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()2g x bx =+，若()()g x f x ≥在[]1,3x ∈上解集非空，求实数b 的取值范围；（3）证明：方程1()0f x x-=有且仅有一个解． 【答案】（1）2()1f x x =-+．（2）10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（3）见解析﹔ 【解析】（1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，故2321m a m m -=--+，因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数，当23221m m m --+…时，利用判别式可判断此不等式无解，所以23211m m m -=-+，解得1a =-，从而可得()f x 的解析式； （2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空转化为1()b x x-+…在[1，3]上有解，再构造函数转化为最小值可得；（3）即证1y x=与21y x =-+的图象有且只有一个交点，证明0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点，在(,0)-∞上有且只有一个零点，即得证.【详解】 （1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，2321m a m m -∴=--+， 因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数， 当23221m m m --+…时，22540m m -+…，因为△2(5)42470=--⨯⨯=-<，所以22540m m -+…无解， 所以23211m m m -=-+，解得1m =或3m =，所以1a =-， 22(2)43(2)1f x x x x ∴-=-+-=--+，2()1f x x ∴=-+（2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空1()b x x⇔-+…在[1，3]上有解， 令1()()h x x x=-+，则()min b h x …， 因为函数()h x 在[1x ∈，3]上是减函数，所以3x =时，()min h x h =（3）103=-， 故103b -…． （3）证明：即证1y x =与21y x =-+的图象有且只有一个交点， 当0x >时，22221111(1)111110222x x x x x x x x x x --+=+-=++--==>， 即0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点， 当0x <时，令211y x x =+-， 因为函数1y x =在(,0)-∞上为递减函数，函数21y x =+在(,0)-∞上为递减函数， 所以211y x x=+-在(,0)-∞上为递减函数（减函数+减函数=减函数），又12x =-时，1304y =-+<，1x =时，10y =>，根据零点存在性定理知：2110x x+-=在(,0)-∞上有且只有一个零点， 综上得1()0f x x-=有且只有一个解． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，考查函数的零点问题，考查基本不等式，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.． 21．若实数x ﹑y 、m ()x m y m ≠≠，满足||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ． （1）若21x -比1接近0，求x 的取值范围；（2）对正实数a ，b ，如果1a a +比1b b +接近2，求证：当0x >时，1x x a a +比1x x b b +接近2；（3）已知函数()f x等于x a -中接近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）．【答案】(1) (1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--;（2）证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）由新定义可得2|1|1x -<且210x -≠，由绝对值不等式的解法，即可得到解集；（2）运用新定义作差比较，结合基本不等式，即可比较；（3）依据新定义分1a -…和1a >-两种情况写出函数()f x 的解析式，然后指明单调性．【详解】（1）由题意得，221110x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩∴0,1x x x <<≠≠±， 所以(1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--. （2）1a a+比1b b +接近2， 11|2||2|a b a b∴+-<+-， 0a >，0b >，12a a ∴+…，12b b+…， 1122a b a b ∴+-<+-，即11a b a b+<+， 11|2||2|x x x x a b a b ∴+-<+-，当0x >时，1x x a a+比1x x b b +接近2； （3）当1a -…时，()||f x x a =-，此时()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；1a >-时，,2222x a x a x a a x a ⎧->++<+-⎪⎨+-++⎪⎩， 当10a -<<时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；当0a …时，()f x在(,2a -∞+-上单调递减，在(2a +-上单调递增． 【点睛】本题是新定义题目，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果，注意转化思想的应用考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
江西省宜春市第二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷含详解
D.若一组数据2，4， ，8 平均数是5，则该组数据的方差也是5
2.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为
A.1B.2
C.3D.4
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
A.先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为 ，然后抽取编号为 ， ， ，…的学生，这种抽样方法是分层抽样法
B.线性回归直线 不一定过样本中心
3.设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥ ，
∠ = ，则C的离心率为
A. B. C. D.
4.下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有2位同学一起走的情况，则第二位走的是甲同学的概率是（）
A. B. C. D.
5.设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =
13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第4章 数列(典型题专练)解析
第4章 数列典型题专练一、单选题1．（2020·上海金山·高一期末）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足下列各式，其中数列{}n b 必为等差数列的是（ ） A ．||n n b a = B ．2n n b a =C ．1n nb a =D ．2nn a b =-【答案】D【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，选项A,B,C,都不满足1n n b b --=同一常数，所以三个选项都是错误的； 对于选项D ，1112222n n n n n n a a a a d b b -----=-+==-, 所以数列{}n b 必为等差数列. 故选D【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．（2020·上海·高三专题练习）等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】C试题分析：利用等比数列的性质可得a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解：∵数列{a n }是等比数列，a 4=2，a 5=5， ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10． ∴lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1a 2…×a 8） ==4lg10 =4． 故选C ．考点：等比数列的前n 项和．3．（2020·上海交大附中高一期中）已知等差数列{}n a 、{}n b ，其前n 项和分别为n S 、n T ，2331n n a n b n +=-，则1111S T = A ．1517B ．2532C ．1D ．2【答案】A【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质得出611116a S Tb =，于此可得出结果．【详解】由等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质得()11111611112a a S a +==， 同理可得11611T b =，因此，6611116611263151136117a a S Tb b ⨯+====⨯-，故选A ． 【点睛】本题考查等差数列前n 和公式以及等差中项性质的应用，解题关键在于等差数列下标性质的应用，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题． 4．（2020·上海·高二课时练习）共有10项的数列{}n a 的通项()*200710,110200810nn n a n N n -=∈-，则该数列中最大项､最小项的情况是 A ．最大项为1a ､最小项为10a B ．最大项为10a ､最小项为1a C ．最大项为6a ､最小项为5a D ．最大项为4a ､最小项为3a【答案】D【分析】把200710200810nn na -=-化为11200810nn a =--，再根据单调性可得该数列的最大项和最小项.【详解】20071011200810200810n n n na -==---，因为lg1000lg 2008lg10000<<，故3lg 20084<<当2n ≥时，()()111111910200810200810200810200810n n n n n n n a a ----⨯=-=------当23n ≤≤时，120081020080,010n n --->>，故10n n a a --<即1n n a a -<且1n a <对任意的13n ≤≤恒成立. 当5n ≥时，120081020080,010n n ---<<，故10n n a a --<即1n n a a -<且1n a >对任意的4n ≥恒成立. 所以数列{}n a 中的最小项为3a ，最大项为4a . 故选：D.【点睛】本题考查数列的最大项和最小项，注意根据数列的单调性来讨论，本题属于中档题.5．（2020·上海·高三专题练习）已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（ ） A．( B ．()1,4 C ．()1,2 D ．()1,+∞【答案】A【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A.【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题6．（2020·上海市南洋模范中学高三期中）公差不为零的等差数列{}n a 中,125a a a 、、成等比数列,且该数列的前10项和为100，则数列{}n a 的通项公式为n a =_______ 【答案】21n -【分析】设等差数列的公差为d ,0d ≠.由125a a a 、、成等比数列可以得到等式,可以知道首项与公差的关系,再根据等差数列前n 和公式,结合已知该数列的前10项和为100, 可以得到一个等式,可以求出公差和首项,最后写出{}n a 的通项公式.【详解】设等差数列的公差为d ,0d ≠.因为125a a a 、、成等比数列,所以有2251a a a =⋅,因此21111()(4)2a d a a d d a +=⋅+⇒=,因为该数列的前10项和为100,所以有1111001010912212n a d a d a n =+⨯⨯⇒=⇒=⇒=-.故答案为21n -【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项的应用,考查了等差数列前n 和公式,考查了数学运算能力.7．（2020·上海·高二课时练习）从等差数列84，80，76，…的第____项开始，以后各项均为负值． 【答案】23【分析】根据数列的前几项得出等差数列的首项与公差，求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，等差数列84，80，76，…的首项为184a =，公差为80844d =-=-，所以该数列的通项公式为1(1)844(1)884n a a n d n n =+-=--=-，令0n a =，得22n =，所以该数列从第23项开始，以后各项均为负值.故答案为：23【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，属于基础题.8．（2020·上海市嘉定区第一中学高三期中）已知数列{}n a 的通项公式为2n a an n =+，若满足123a a a <<，且当8n ≥时，始终满足1n n a a +≥，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】11517a -<-【分析】求出二次函数对称轴，开口向下，再由题意得出对称轴的范围，解出即可． 【详解】解：2n a an n =+的对称轴为12x a=-，开口向下， 又当8n 时，1n n a a +，123a a a <<，∴5117222a <-，11517a ∴-<-， 故答案为：11517a -<-． 9．（2020·上海·高二课时练习）在数列{}n a 中，13a =且对任意大于1的正整数n，点在直线0x y -=上，则n a =________.【答案】3n 2【分析】根据点在直线上，点的坐标满足直线的方程，代入整理，得出首项和公差，写出数列的通项公式，两边平方，即可得解．【详解】解：∵点在直线0x y -=，=∴()1n -=， 即a n ＝3n 2 故答案为3n 2【点睛】本题考查等差数列，等差数列的通项和性质，是基础题．10．（2020·上海·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a 、3a 、9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++的值是______.【答案】1316【分析】根据1a 、3a 、9a 成等比数列得出1a 与d 的等量关系，代入可求得1392410a a a a a a ++++的值.【详解】等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a 、3a 、9a 成等比数列，2319a a a ∴=，即()()211128a d a a d +=+，解得1a d =，()11n a a n d nd ∴=+-=，因此，139********241016a a a d d d a a a d d d ++++==++++.故答案为：1316.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等比中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题.11．（2020·上海·高二课时练习）已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，则其前15项和15S =_____． 【答案】690【分析】利用首项与公差结合等差数列的前n 项和公式，分别表示出1020,S S 即可求解出首项与公差，代入前n 项和公式即可求解15S 的值. 【详解】设该等差数列的首项为1a ，公差为d ，则101201109201910310,201220,22S a d S a d ⨯⨯=+==+= 即11931,21961,2a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得14,6,a d =⎧⎨=⎩ 所以151151415690.2S a d ⨯=+= 故答案为：690【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题.12．（2020·上海市嘉定区第一中学高三期中）已知等差数列{}n a 的各项均为正整数，且92020a =，则1a 的最小值是________【答案】4【分析】若等差数列{}n a 的各项均为正整数，则数列{}n a 单增，公差d N ∈，从而表示出19820208a a d d =-=-，根据其增减性，求得最小值.【详解】若等差数列{}n a 的各项均为正整数，则数列{}n a 单增，则公差d N ∈， 故19820208a a d d =-=-为正整数，1a 关于d 单减， 202025284=⨯+，则当252d =时，故1a 取得最小值为4，故答案为：413．（2021·上海市进才中学高二阶段练习）在数列{}n a 中，对任意n *∈N ，n a k =，当且仅当122,k k n k N +≤<∈，若满足2481652m m m m m a a a a a ++++≥，则m 的最小值为___________. 【答案】512【分析】不妨设1*22,k k m k N +≤<∈，则12*222,k k m k N ++≤<∈，从而得到2m a ，同理求出4m a ，8m a ，16m a ，利用已知的不等式求解，求出k 的最小值，从而得到m 的最小值．【详解】不妨设1*22,k k m k N +≤<∈，*m N ∈， 由题意可得，m a k =， 因为12*222,k k m k N ++≤<∈， 所以21m a k =+，同理可得，42m a k =+，83m a k =+，164m a k =+，⋯所以24816(1)(2)(3)(4)510m m m m m a a a a a k k k k k k ++++=++++++++=+， 因为2481652m m m m m a a a a a ++++≥， 所以51052k +≥， 解得425k ≥，又*k N ∈， 所以k 的最小值整数解为9， 故m 的最小值为92512=． 故答案为：512．14．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________．【答案】2n【分析】由数列{a n ＋1}也是等比数列，建立关于q 的方程，即可求解【详解】因为数列{a n }为等比数列，则12n n a q =－，又数列{a n ＋1}也是等比数列， 则3，2q ＋1，2q 2＋1成等比数列，22)213(2)1(q q +=⨯+，即q 2－2q ＋1＝0，解得：q ＝1， 即2n a =，所以2n S n =． 故答案为：2n .15．（2020·上海市行知中学高二阶段练习）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =-【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.16．（2020·上海·模拟预测）若无穷数列{}n a 的所有项都是正数，且满足()23n n n *+∈=N ，则1221lim231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪+⎝⎭______． 【答案】2【分析】先由作差法求出数列{}n a 的通项公式为()241n a n =+，即可计算出12231na a a n ++++，然后利用常用数列的极限即可计算出1221lim 231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪+⎝⎭的值.【详解】当1n =4=，可得116a =；当2n ≥23n n =+，()()221312n n n n =-+-=+-，上式-()21n =+，得()241n a n =+，116a =也适合()241n a n =+，则()()241n a N n n *=+∈，()411na n n ∴=++.所以，()()()1284481241232312nn n a a a n nn n +++++=++++==++.因此，()12222313lim lim lim 212231n n n n n n a a a n n n n →∞→∞→∞+⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+==+= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：2.【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.17．（2020·上海·高三专题练习）在数列{}n a 中，已知11a =，1n n a a tn +=+（*n N ∈，t 为非零常数），且1a 、2a 、3a 成等比数列，则n a =______.【答案】222n n -+【分析】由1a 、2a 、3a 成等比数列求出非零实数t 的值，再利用累加法可求得n a . 【详解】11a =，1n n a a tn +=+（*n N ∈，t 为非零常数），则211a a t t =+=+，32231a a t t =+=+，由于1a 、2a 、3a 成等比数列，则2213a a a =，即()()21131t t +=⨯+，整理得20t t -=，0t ≠，解得1t =，1n n a a n +∴-=， ()()()()()()121321*********n n n n n a a a a a a a a n -+--∴=+-+-++-=++++-=+222n n -+=.故答案为：222n n -+.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，同时也考查了利用等比中项的性质求参数，考查计算能力，属于中等题.18．（2021·上海市行知中学高二期中）若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大. 考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.三、解答题19．（2020·上海市进才中学高一期中）数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负． (1)求数列的公差； (2)求前n 项和S n 的最大值． 【答案】（1）4d =-；（2）78【分析】（1）根据670,0a a ><可得d 的范围，再根据d 为整数得到d 的值. （2）根据项的符号特征可得6S 最大．【详解】(1)由已知，得6152350a a d d =+=+>，7162360a a d d =+=+<.解得232356d -<<-. 又d Z ∈，∴4d =-.(2)∵0d <，∴数列{}n a 是递减数列． 又∵60a >，70a <，∴当6n =时， n S 取得最大值，为()6656234782S ⨯=⨯+⨯-=. 【点睛】一般地，等差数列的前n 项和n S 的最值可以通过等差数列的通项的符号来确定，如果{}n a 满足0m a <，10m a +>，则n S 有最小值且最小值为m S ；如果{}n a 满足0m a >，10m a +<，则n S 有最大值且最大值为m S .20．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）已知数列{}n a 满足156a =，()*11133n n a a n N +=+∈.（1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）1123n na =+. 【分析】（1）利用数列{}n a 的递推公式证明出11212n n a a +--为非零常数，即可证明出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）确定等比数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的首项和公比，求出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可求出n a .【详解】（1）()*11133n n a a n N +=+∈，111111111132332362111132222n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫-+---⎪⎝⎭∴====----， 因此，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由于115112623a -=-=，所以，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13为首项，以13为公比的等比数列，111112333n n na -⎛⎫∴-=⨯=⎪⎝⎭，因此，1123nn a =+. 【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．（2020·上海·高二课时练习）若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于多少？【答案】9【分析】利用韦达定理结合0,0p q >>可判断0,0a b >>，根据等比中项、等差中项建立适当的方程即可求解.【详解】由韦达定理得,a b p a b q +=⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故24(2)4,a b b a⋅=-==．当,,2a b -适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a=-．解得1,4a b ==．当4a 是等差中项时，82a a=-．解得4,1a b ==．综上所述，5,4a b p ab q +====，9p q ∴+=. 【点睛】本题主要考查等比中项与等差中项，属于基础题.22．（2020·上海·高二课时练习）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. （1）求证：数列{a n ＋1}是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）a n ＝2n －1.【分析】（1）利用等比数列的定义可证明数列{a n ＋1}是等比数列； （2）求出数列{a n ＋1}的通项公式，进而可得数列{a n }的通项公式． 【详解】（1）∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，∴a n ＋1≠0.∴111n na a +++＝2(n ∈N ＋)．∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.23．（2020·上海市三林中学高二期末）已知等差数列{}n a 中，第2项为6，前5项和为45．（1）求{}n a 通项公式；（2）若2nn b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）3n a n =；（2）1326n n T +=⋅-．【分析】（1）先设等差数列的公差为d ，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，得到n b ，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为216a a d =+=，51545452S a d ⨯=+=， 所以11629a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,3a d ==，所以()3313n a n n =+-=；（2）由（1）可得，232n nn b a ==⨯，所以数列{}n b 的前n 项和()1321232612nn n S +⨯-==⨯--.【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式，等比数列的求和公式,关键是利用首项和公差表示已知条件，构造方程组求得首项和公差，第二问中关键注意准确使用等比数列的求和公式计算.24．（2022·上海·高三专题练习）已知数列{}n a 中，1n a >，21log 3=a ，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记n a 所有可能取值的集合为n A ，其元素和为()*n S n N ∈．（1）证明2A 为单元素集，并用列举法写出5A ，6A ；（2）由（1）的结果，设*k N ∈，归纳出21k A +，22k A +（只要求写出结果），并求21k S +，指出22k S +与21k S +的倍数关系．【答案】（1）证明见解析，{}5111,4,16A a a a =，{}61112,8,32A a a a =；（2）答案见解析. 【分析】（1）由1n a >，()12log 31,2a =∈，且数列中任意相邻两项具有2倍关系，可得2A 为单元素集，进而可列举出5A ，6A ；（2）由（1）的结果，归纳得21k A +，22k A +，并利用等比数列求和公式计算出21k S +，进而得出22k S +与21k S +的倍数关系．【详解】（1）证明：∵()12log 31,2a =∈，数列中任意相邻两项具有2倍关系，∴2112a a =或12a ．∵1112a <，而1n a >，∴212a a =． ∴{}212A a =为单元素集．由此，得{}311,4A a a =，{}4112,8A a a =， 则{}5111,4,16A a a a =，{}61112,8,32A a a a =．（2）由（1）的结果，归纳得{}211111,4,16,,4kk A a a a a +=⋅⋅⋅，{}2211112,8,32,,24k k A a a a a +=⋅⋅⋅⨯．112111111241414164log 333k k kk S a a a a a +++--=+++⋅⋅⋅+==，因为21k A +中的每一个元素的两倍构成的集合等于22k A +， 所以22212k k S S ++=．25．（2020·上海·高二课时练习）已知函数()()222f x x n x n =+--的图象与x 轴正半轴的交点为0(),n A a ，1,2,3,n =⋯． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令13(1)2nna a n nb λ-=+-⋅⋅（n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n ，都有1n n b b +>？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）n a n =；（2）存在，1-.【分析】（1）把点A 带入()()222f x x n x n =+--即可（2）根据（1）的{}n a 计算出n b 、1n b +，再解不等式即可【详解】（1）设()0f x =，()2220x n x n +--=得12x =-，2x n =．所以n a n = ； （2）()1312n n n n b λ-=+-⋅⋅，若存在0λ≠，满足1n n b b +>恒成立即：()()111312312nn n n n n λλ-+++-⋅⋅>+-⋅⋅，()11312n n λ--⎛⎫>-⋅ ⎪⎝⎭恒成立当n 为奇数时，1312n λλ-⎛⎫>⇒< ⎪⎝⎭当n 为偶数时，13322n λλ-⎛⎫>-⇒>- ⎪⎝⎭所以312λ-<<，故：1λ=- .【点睛】本题考查了数列通项的求法，以及不等式恒成立的问题，不等式恒成立是一个难点，也是高考中的常考点，本题属于较难的题．26．（2022·上海·高三专题练习）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得S n≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．【答案】（1）a n=（﹣）×（﹣2）n（2）存在，见解析【详解】（1）设数列{a n}的公比为q，显然q≠1，由题意得，解得q=﹣2，a3=12，故数列{a n}的通项公式为a n=a3•q n﹣3=12×（﹣2）n﹣3=（﹣）×（﹣2）n．（2）由（1）有a n=（﹣）×（﹣2）n．若存在正整数n，使得S n≥2013，则S n==1﹣（﹣2）n，即1﹣（﹣2）n≥2013，当n为偶数时，2n≤﹣2012，上式不成立；当n为奇数时，1+2n≥2013，即2n≥2012，则n≥11．综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．27．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知无穷数列满足()* 1Nn nnqa p a na+=⋅+∈，其中p，q均为非负实数且不同时为0．（1）若12p=，2q，且34120a=，求1a的值；（2）若15a =，0p q ⋅=，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）1或4；（2）当0p =，2525,2110(N )25,210n n qn q n k S k n qn n k +++-⎧=-⎪⎪=∈⎨+⎪=⎪⎩，当0q =，()51,115,1n n p p S p n p ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩．【分析】（1）根据已知条件得到关于2a 的方程，求得2a ，进而求得1a 的值；（2）由已知可得0,0p q =>或0,0q p =>，分情况利用周期数列和等比数列求和公式进行计算.【详解】(1)∵12p =，2q ，∴1122n n na a a +=⋅+，21240n n n a a a +-+=， ∵34120a =，∴222414010a a -+=，解得252a =或285a =,当252a =时，211540a a -+=，解得11a =或14a =； 285a =时，21116405a a -+=，无解. ∴11a =或14a =；（2）∵0p q ⋅=，且p ，q 均为非负实数且不同时为0． ∴0,0p q =>或0,0q p =>， 当0,0p q =>时，()*1N n nqa n a +=∈， 由15a =，∴25q a =，325q a a ==，…，()5,21,25n n k a k N qn k +=-⎧⎪=∈⎨=⎪⎩, 2525,2110(N )25,210n n qn q n k S k n qn n k +++-⎧=-⎪⎪=∈⎨+⎪=⎪⎩;当0,0q p =>时，1n n a pa +=,是以15a =为首项，以p 为公比的等比数列，()51,115,1n n p p S p n p ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩.28．（2020·上海·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()4210n n S n a λλ=++≠.（1）求证：数列{}n a 等差数列； （2）当1λ=时，记212310n na nb +⋅=，是否存在正整数p 、()1q p q <<，使得1b 、p b 、q b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对(),p q ；若不存在，请说明理由； （3）若数列1k a 、2k a 、3k a 、、nk a 、()11k =是公比为3的等比数列，求最小正整数m ，使得当n m ≥时，32nn k >. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，有且只有一个为()2,3；（3）6. 【分析】（1）由()421n n S n a λ=++得出()11423n n S n a λ++=++，两式相减，推导出()1122n n n a a a n -++=≥，利用等差中项法可证得数列{}n a 是等差数列；（2）由1λ=，得出()4211n n S n a =++，求出1a 、2a ，可求出等差数列{}n a 的通项公式，进而可得出310n nnb =，假设存在正整数p 、()1q p q <<，使得21p q b bb =，化简得出21333qp p q =+，变形得出21333q p p q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对p 的取值进行分类讨论，结合数列的单调性的p 、q 的值；（3）求出1a 、2a ，可求出等差数列{}n a 的通项公式，由题意得出nk a 的表达式，进而可得出1312n n k -+=，设3313112632n n n n n n c k -⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，计算得出10c >，20c <，30c <，40c <，50c <，60c >，设()31163n n n P n -=-≥，利用定义证明数列{}n P 的单调性，由此可证得当6n ≥时，0n c >，进而可证得结论成立.【详解】 （1）由题意得()()11423421n n nn S n a S n a λλ++⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，两式相减得()()()121212n n n a n a n +-=+≥，则有()()()123212n n n a n a n --=-≥，所以()()()()114221212n n n n a n a n a n -+-=-+-≥.因为210n ->，所以()1122n n n a a a n -++=≥，故数列{}n a 为等差数列； （2）因为1λ=，()4211n n S n a ∴=++，所以11431S a =+，解得11a =；22451S a =+，即224451a a +=+，解得23a =. 所以数列{}n a 的公差为2，所以21n a n =-，故310n nnb =.假设存在正整数p 、()1q p q <<，使得1b ，p b ，q b 成等比数列，则21333101010p qp q ⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭， 于是21333q p p q =+（*），所以21333q pp q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当2p =时，21339q q q -=⋅=，则3q =，所以23p q =⎧⎨=⎩是方程（*）的一组解； 当3p ≥且*∈p N 时，因为()11212240333p p p p p p+++--=<， 所以，数列23p p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭在{}3,p p p N *≥∈上单调递减，所以32123103333p p ⨯-≤-<，此时方程（*）无正整数解. 综上，满足题设的数对(),p q 有且只有一个，为()2,3；（3）由题意得11224345S a S a λλ=+⎧⎨=+⎩，解得123a a λλ=⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的公差212d a a λ=-=，所以()()1121n a a n d n λ=+-=-，故11k a a λ==，所以11133n n n k k a a λ--=⋅=.又因为()21n k n a k λ=-，所以1213n n k --=，即1312n n k -+=.记313313131122632n n n n n n n n c k --⎛⎫-+=-==-+ ⎪⎝⎭， 则10c >，20c <，30c <，40c <，50c <，61(2432161)02c =-+>， 猜想：当6n ≥时，0n c >.验证如下：记()31163n n n P n -=-≥，则()()()()33323221111123312523213333n n n n nn n n P P n n n n n n n +-+⎡⎤-=-=---=-+--+⎣⎦ ()()()2125221103n n n n n ⎡⎤=-+-++>⎣⎦， 所以数列{}n P 单调递增，故621610243n P P ≥=->， 所以0n c >，故最小正整数m 的值为6.【点睛】本题考查等差数列的证明，同时也考查了数列中的探索性问题与数列单调性的问题，考查了等比中项性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题. 29．（2022·上海·高三专题练习）在数列{}n a 中，已知12a =，112n n n n a a a a ++=-（n *∈N ）．（1）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）记12n n n na ab +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得 1.999n S >的整数n 的最小值； （3）是否存在正整数m 、n 、k ，且m n k <<，使得m a 、n a 、k a 成等差数列？若存在，求出m 、n 、k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）不存在，证明见解析.【分析】（1）证明数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，即转化变形方向为111n a +-与11n a -的关系.首先分离1n a +与n a ，然后两边同取倒数，再同减去1，即可得证； （2）先由(1)结论求出n a ，再化简12n n n na ab +=，根据分式形式，裂项求和得n S ，求解不等式，估值可得整数n 的最小值；（3）假设存在正整数m 、n 、k ，使得m a 、n a 、k a 成等差数列，得到m 、n 、k 的等量关系，根据整数性质，等式左偶右奇不可能成立． 【详解】（1）证明：由112n n n n a a a a ++=-，得121n n n a a a +=+，从而11111222n n n n a a a a ++==+， 11111111222n n n a a a +⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭，又111102a -=-≠，故数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）解：由(1)得，111111222n n n a -⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，故221nn n a =-， 所以11112112()2(21)(21)2121n n n n n nn n n a a b ++++===-----， 1223111111112222221212121212121n n n n S ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令122 1.99921n +->-，则122001n +>，解得2log 20011n >-，210log 200111<<，29log 2001110∴<-<. 故使得 1.999n S >的整数n 的最小值为10；（3）解：假设存在正整数m 、n 、k ()m n k <<满足题意，则2n m k a a a =+，即2222212121n m kn m k ⋅=+---， 即12(21)(21)2(21)(21)2(21)(21)n m k m n k k n m +--=--+-- 两边同除以2m 得，12(21)(21)(21)(21)2(21)(21)n m m k n k k m n m -+---=--+-- (*)由m n k <<得，2k m -≥，21n m -+≥；所以(21)(21)n k --为奇数，而12(21)(21)nm m k -+--、2(21)(21)k m n m ---均为偶数， 故(*)式不能成立；即不存在正整数m 、n 、k ，且m n k <<，使得m a 、n a 、k a 成等差数列. 【点睛】数列常见裂项形式： （1=-（2）21111()4122121n n n =---+； （3）1111(2)(1)(1)2(1)(1)n n n n n n n n ⎡⎤=-≥⎢⎥+--+⎣⎦；（4）11211(21)(21)2121n n n n n ++=-----.。
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（ ）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ．2．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ）A ．B ．1C ．2D ．43．双曲线4x 2﹣y 2=1的一条渐近线的方程为（ ）A ．2x+y=0B ．2x+y=1C ．x+2y=0D ．x+2y=14．在空间中，“直线a ，b 没有公共点”是“直线a ，b 互为异面直线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知A ，B 为圆x 2+y 2=2ax 上的两点，若A ，B 关于直线y=2x+1对称，则实数a=（ ）A ．B ．0C ．D ．16．已知直线l 的方程为x ﹣my+2=0，则直线l （ ）A ．恒过点（﹣2，0）且不垂直x 轴B ．恒过点（﹣2，0）且不垂直y 轴C ．恒过点（2，0）且不垂直x 轴D ．恒过点（2，0）且不垂直y 轴7．已知直线x+ay ﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a 的取值是（ ）A ．2B ．±2C ．﹣2D ．08．已知两直线a ，b 和两平面α，β，下列命题中正确的为（ ）A ．若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥αB ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥αC ．若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥bD ．若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ． 12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 ．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 ．14．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 的两组对边均不平行．①在平面PAB 内不存在直线与DC 平行；②在平面PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行；③平面PAB 与平面PDC 的交线与底面ABCD 不平行；上述命题中正确命题的序号为 ．15．已知向量，则与平面BCD 所成角的正弦值为 ．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为 ，表面积为 ．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．19．已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0 C．D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系．【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，故选：B．7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥α B．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D ，若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β或者a 在平面β内，故D 错误；故选：C ．9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出P 的坐标，设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==，可得∠APB=120°，即可求出cos ∠APB ．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P 的横坐标为3，不妨取点P （3，2），设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==， ∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos ∠APB=﹣． 故选：C ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1P 的长度的最大值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则D 1（0，0，2），E （1，2，0），B 1（2，2，2），=（a ﹣2，b ﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2）， ∵B 1P ⊥D 1E ，∴=a ﹣2+2（b ﹣2）+4=0，∴a+2b ﹣2=0，∴点P 的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD 中点F ，则点P 在线段AF 上，当A 与P 重合时，线段B 1P 的长度为：|AB 1|==2； 当P 与F 重合时，P （0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B 1P 的长度||==3， 当P 在线段AF 的中点时，P （1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B 1P 的长度||==． ∴线段B 1P 的长度的最大值为3．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ∃x ∈R ，x 2＜0 ． 【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0． 故答案为：∃x ∈R ，x 2＜0．12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a ．【解答】解：椭圆x 2+9y 2=9即为+y 2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 （2，+∞） ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m ＞0且m ﹣2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【考点】棱锥的结构特征．【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断；③用反证法利用线面平行的性质即可证明．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为．棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程．【分析】（1）证明•=﹣16+16=0，可得⊥，即可证明△ABC 是直角三角形；（2）求出△ABC 的外接圆的方程，利用△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m 的值．【解答】（1）证明：∵A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC 是直角三角形；（2）解：△ABC 的外接圆是以BC 为直径的圆，方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，∵△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CC 1∥AA 1，AD ∥BC ，从而平面AA 1D ∥平面CC 1B ，由此能证明AE ∥平面CC 1B ． （Ⅱ）法1：推导出AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD ，以AB ，AD ，AA 1分别x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1D ⊥平面ABE ．法2：推导出AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥A 1D ，再由AE ⊥A 1D ，能证明A 1D ⊥平面ABE ．（Ⅲ）推导出平面EFD ⊥平面ABE ，从而二面角D ﹣EF ﹣B 为90°，设，且λ∈[0，1]，则G （2，2，3λ），再由A 1D ⊥BG ，能求出CG 的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，所以CC 1∥AA 1，因为ABCD 是正方形，所以AD∥BC，因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），，，因为，所以，所以A1D⊥平面ABE．法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，所以AB⊥A1D．因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，所以A1D⊥平面ABE．（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE．因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．19．已知椭圆G ：的离心率为，经过左焦点F 1（﹣1，0）的直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，且点C 在线段AB 上．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若|AF 1|=|CB|，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b 2=a 2﹣c 2=3，则椭圆G 的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），由消y ，并化简整理得（4k 2+3）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，因为点C ，F 1都在线段AB 上，且|AF 1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=（x 2，y 2﹣y C ），所以﹣1﹣x 1=x 2，即x 1+x 2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
2019-2020学年上海交大附中高一(下)期末数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）计算：arcsin （sin 5π6 ）=___ ．2.（填空题，3分）关于未知数x ，y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) ，则此方程组的解x+y=___ ．3.（填空题，3分）设 a ⃗=(32，sinα) ， b ⃗⃗=(cosα，13) ，且 a ⃗ || b ⃗⃗ ，则cos2α=___ ． 4.（填空题，3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π3 ，则a=___ ．5.（填空题，3分）已知平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |= √3 ，| b ⃗⃗ |=2， a ⃗•b ⃗⃗ =-3，则| a ⃗+2b ⃗⃗ |=___ ．6.（填空题，3分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…，S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12．希望证明S n =n(2n 2+1)3，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k 到k+1应添的项是___ ．（不用化简）7.（填空题，3分）已知 a ⃗ + b ⃗⃗ + c ⃗ = 0⃗⃗ ，且| a ⃗ |=3，| b ⃗⃗ |=4，| c ⃗ |=5，则 a ⃗ • b ⃗⃗ + b ⃗⃗ • c ⃗ + c ⃗ • a ⃗ =___ ， a ⃗ • b⃗⃗ =___ ． 8.（填空题，3分）若数列{a n }为无穷等比数列，且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2，则a 1的取值范围是___ ．9.（填空题，3分）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，则 |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =___ ． 10.（填空题，3分）已知向量 a ⃗ =（5，5）， b ⃗⃗ =（λ，1），若 a ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗ - b ⃗⃗ 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为___ ．11.（填空题，3分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且OA=2，OC=4，AC=5，则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．12.（填空题，3分）已知平面直角坐标系内定点A （1，1），动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，动点C 满足| CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为___ ．13.（单选题，3分）要得到函数y=3sin （2x+ π3 ）的图象，只需将函数y=3sin2x 的图象（ ）A.向左平移 π3个单位长度 B.向右平移 π3 个单位长度 C.向左平移 π6 个单位长度 D.向右平移 π6 个单位长度14.（单选题，3分）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) ，λ∈[0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心15.（单选题，3分）已知数列{a n }为等差数列，a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0，设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n }的前n 项和S n 最小时，n 的值有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个16.（单选题，3分）设O 为△ABC 所在平面内一点，满足2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -7 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83 C. 127 D.417.（问答题，0分）解关于x 、y 的一元二次方程组 {ax +3y =−a −3x +(a −2)y =−2 ，并对解的情况进行讨论．18.（问答题，0分）已知x∈R ，设 m ⃗⃗⃗ =（ √3 cosx ，sinx-cosx ）， n ⃗⃗ =（2sinx ，sinx+cosx ），记函数f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ ．（1）求函数f （x ）的最小值，并求出函数f （x ）取最小值时x 的值；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f （C ）=2，c=2 √3 ，求△ABC 的面积S 的最大值．19.（问答题，0分）已知△ABC 内接于⊙O ，AB=c ，BC=a ，CA=b ，⊙O 的半径为r ． （1）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，试求∠BOC 的大小； （2）若A 为动点，∠BAC=60°， AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试求λ+μ的最大值．20.（问答题，4分）已知平方和公式：12+22+…+n 2= n (n+1)(2n+1)6，其中n∈N*． （1）记f （n ）=（-3n+1）2+…+（-5）2+（-2）2+12+42+…+（3n-2）2，其中n∈N*，求f （20）的值；（2）已知 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 ，求自然数n 的值；（3）抛物线y=kx 2、x 轴及直线AB ：x=a 围成了如图（1）的阴影部分，AB 与x 轴交于点A ，把线段OA 分成n 等份，作以 an为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S ，等于这些内接矩形面积之和．a n×k×（ a n）2 +a n×k×（ 2a n）2 +a n×k×（ 3a n）2+…+ a n×k×（ n−1na ）2， 当n→+∞时的极限值S=n→∞[k•（ 1n ）2+k•（ 2n ）2+k•（ 3n ）2+…+k•（n−1n ）2]2• a n= n→∞ 12+22++(n−1)2n 3 •ak= n→∞(n−1)•n•(2n−1)6n 3 •ak= 13 ak ．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2=x．抛物线y= √x、x轴及直线AB：x=4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）21.（问答题，0分）设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n=3，n∈N*，数列{b n}满足：对于任）n-1+3n-3成立．意的n∈N*，都有a1b n+a2b n-1+a3b n-1+…+a n b1=（13（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n=a n b n，问：数列{c n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）计算：arcsin （sin 5π6 ）=___ ． 【正确答案】：[1] π6【解析】：由题意利用反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，求得结果．【解答】：解：arcsin （sin 5π6 ）=arcsin 12 = π6 ， 故答案为： π6 ．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题．2.（填空题，3分）关于未知数x ，y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) ，则此方程组的解x+y=___ ． 【正确答案】：[1] 307【解析】：推导出 {2x +y =63x −2y =0 ，由此能求出x+y 的值．【解答】：解：∵关于未知数x ，y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) ，∴ {2x +y =63x −2y =0 ，解得 {x =127y =187 ， ∴x+y= 307． 故答案为： 307 ．【点评】：本题考查方程的解求法，考查增广矩阵等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（填空题，3分）设 a ⃗=(32，sinα) ， b ⃗⃗=(cosα，13) ，且 a ⃗ || b ⃗⃗ ，则cos2α=___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：由平面向量的共线定理列方程求出sin2α的值，再求cos2α的值．【解答】：解：由 a ⃗=(32，sinα) ， b ⃗⃗=(cosα，13) ，且 a ⃗ || b ⃗⃗ ， 则sinαcosα- 32 × 13 =0， 所以sinαcosα= 12 ， 所以sin2α=1；所以2α= π2 +2kπ，k∈Z ； 所以cos2α=0． 故选：0．【点评】：本题考查了平面向量的共线定理与三角函数求值问题，是基础题． 4.（填空题，3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π3 ，则a=___ ． 【正确答案】：[1] √3【解析】：由题意化简函数f （x ），将函数的对称轴代入可得辅助角的值，进而求出正切值，可得a 的值．【解答】：解：由题意显然a≠0，当a ＞0时，f （x ）= √a 2+1 sin （x+α），且tanα= 1a ， 因为函数的一条对称轴为x= π3，所以 π3+α= π2+kπ，k∈Z ， 所以α= π6+kπ，k∈Z ， 则tanα=tan （ π6+kπ）= √33， 所以 √33= 1a，解得：a= √3 ；当a ＜0，则f （x ）=- √a 2+1 sin （x+α），且tanα= 1a ， 下面运算相同，综上所述，可得a= √3 ， 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查三角函数的化简即正弦函数的性质，属于基础题．5.（填空题，3分）已知平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |= √3 ，| b ⃗⃗ |=2， a ⃗•b ⃗⃗ =-3，则| a ⃗+2b ⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1] √7【解析】：求出（a⃗+2b⃗⃗）2，开方即为| a⃗+2b⃗⃗ |．【解答】：解：（a⃗+2b⃗⃗）2= a⃗2+4a⃗•b⃗⃗+4b⃗⃗2 =3-12+16=7，∴| a⃗+2b⃗⃗ |= √7．故答案为：√7．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6.（填空题，3分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，，在应用数学归纳法求证上式时，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n= n(2n2+1)3第二步从k到k+1应添的项是___ ．（不用化简）【正确答案】：[1]（k+1）2+k2【解析】：分别写出n=k与n=k+1时S n中的项，然后确定从k到k+1应添的项．【解答】：解：当n=k时，S n=12+22+32+…+k2+…+32+22+12，那么，当n=k+1时，S k+1=12+22+32+…k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12．从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2，故答案为：（k+1）2+k2．【点评】：本题考查数学归纳法证题的步骤，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．7.（填空题，3分）已知a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗，且| a⃗ |=3，| b⃗⃗ |=4，| c⃗ |=5，则a⃗• b⃗⃗ + b⃗⃗• c⃗ + c⃗• a⃗=___ ，a⃗• b⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]-25; [2]0【解析】：首先，根据a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗得到c⃗=−(a⃗+b⃗⃗)，然后，根据| c⃗ |=5，求解a⃗•b⃗⃗=0，然后，再求解a⃗• b⃗⃗ + b⃗⃗• c⃗ + c⃗• a⃗的值．【解答】：解：∵ a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗，∴ c⃗=−(a⃗+b⃗⃗)，∵| c⃗ |=5，∴（a⃗+b⃗⃗）2=25，∴| a⃗|2+2a⃗•b⃗⃗+|b⃗⃗|2 =25，∵| a⃗ |=3，| b⃗⃗ |=4，∴9+2 a⃗•b⃗⃗ +16=25，a ⃗•b⃗⃗=0 ， ∴ a ⃗ • b ⃗⃗ + b ⃗⃗ • c ⃗ + c ⃗ • a ⃗ = a ⃗ • b ⃗⃗ + c ⃗ •（ a ⃗ + b ⃗⃗ ） = a ⃗•b ⃗⃗ -（ a ⃗+b ⃗⃗ ）2 =0-25=-25． 故答案为：-25；0．【点评】：本题重点考查了平面向量的基本运算，数量积的运算性质等知识，属于中档题． 8.（填空题，3分）若数列{a n }为无穷等比数列，且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2，则a 1的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-4，-2）∪（-2，0）【解析】：设公比为q ，由题意可得0＜|q|＜1，且 a11−q =-2，解不等式可得所求范围．【解答】：解：数列{a n }为无穷等比数列，且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2，设公比为q ，可得0＜|q|＜1， 且a 11−q=-2， 则q=1+ a12 ，由0＜|1+ a12 |＜1，解得-4＜a 1＜-2或-2＜a 1＜0， 故答案为：（-4，-2）∪（-2，0）．【点评】：本题考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 9.（填空题，3分）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，则 |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：利用三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式直接求解．【解答】：解：∵数列{a n }是公比为q 的等比数列， ∴ |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =a 1a 5a 9+a 4a 8a 3+a 2a 6a 7-a 7a 5a 3-a 8a 6a 1-a 4a 2a 9 = a 13q 12 + a 13q 12 + a 13q 12 - a 13q 12 - a 13q 12 - a 13q 12 =0． 故答案为：0．【点评】：本题考查三阶行列式的值的求法，考查三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.（填空题，3分）已知向量 a ⃗ =（5，5）， b ⃗⃗ =（λ，1），若 a ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗ - b ⃗⃗ 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-7，1）∪（1，7）【解析】：可先求出 a ⃗+b ⃗⃗=(λ+5，6)，a ⃗−b ⃗⃗=(5−λ，4) ，根据题意即可得出 {(λ+5)(5−λ)+24＞04(λ+5)−6(5−λ)≠0，然后解出λ的值即可．【解答】：解： a ⃗+b ⃗⃗=(λ+5，6)，a ⃗−b ⃗⃗=(5−λ，4) ， ∵ a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b⃗⃗ 的夹角是锐角， ∴ (a ⃗+b ⃗⃗)•(a ⃗−b ⃗⃗)＞0 ，且 a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 不共线， ∴ {(λ+5)(5−λ)+24＞04(λ+5)−6(5−λ)≠0 ，解得-7＜λ＜7且λ≠1，∴实数λ的取值范围为（-7，1）∪（1，7）． 故答案为：（-7，1）∪（1，7）．【点评】：本题考查了向量坐标的加法和减法运算，向量数量积的计算公式，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．11.（填空题，3分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且OA=2，OC=4，AC=5，则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]- 52【解析】：建立坐标系，设O （m ，n ），C （a ，b ），根据条件得出O ，C 的坐标之间的关系，再计算 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：以A 为原点，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系， 设O （m ，n ），B （a ，0），D （0，b ），则C （a ，b ）， ∵OA=2，OC=4，AC=5，∴ {a 2+b 2=25m 2+n 2=4(m −a )2+(n −b )2=16 ，整理可得：am+bn= 132 ． 又 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-m ，-n ）， OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-m ，b-n ）， ∴ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m （m-a ）+n （n-b ）=m 2+n 2-（am+bn ）=4- 132 =- 52 ． 故答案为：- 52 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．12.（填空题，3分）已知平面直角坐标系内定点A （1，1），动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为___ ． 【正确答案】：[1]24π【解析】：本题先将B 固定，得到C 的轨迹，C 的轨迹随着B 的动点而运动从而形成一个圆环，即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】：解：因为动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，所以B 点的轨迹是以A 为圆心，2为半径的一个圆，又因为动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，所以C 点轨迹是以B 为圆心，3为半径的一个圆， 当B 点在圆上运动时，C 点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为52π-12π=24π．【点评】：本题考查根据曲线的轨迹方程求面积，考查学生的直观想象能力和作图能力，易错点是把覆盖的面积看成一整个圆，属于中档题．13.（单选题，3分）要得到函数y=3sin（2x+ π3）的图象，只需将函数y=3sin2x的图象（）A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向右平移π6个单位长度【正确答案】：C【解析】：由于函数y=3sin（2x+ π3）=3sin2（x+ π6），故只要将函数y=3sin2x的图象相左平移π6个单位即可实现目标．【解答】：解：由于函数y=3sin（2x+ π3）=3sin2（x+ π6），故只要将函数y=3sin2x的图象相左平移π6个单位，即可得到函数y=3sin（2x+ π3）的图象．故选：C．【点评】：本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，属于中档题．14.（单选题，3分）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) ，λ∈[0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心【正确答案】：B【解析】：先根据 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量，确定 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的方向与∠BAC 的角平分线一致，再由OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) 可得到 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|），可得答案．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量 ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的方向与∠BAC 的角平分线一致又∵ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) ，∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|） ∴向量 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与∠BAC 的角平分线一致 ∴一定通过△ABC 的内心 故选：B ．【点评】：本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．15.（单选题，3分）已知数列{a n }为等差数列，a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0，设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n }的前n 项和S n 最小时，n 的值有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【正确答案】：B【解析】：根据等差数列的性质，可推得a 100=0，进而可得数列{a n }为递增数列，a 99＜0，a 101＞0，根据题意，b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），当n≤97时，b n ＜0；当n=98，n=99，n=100时，b n =0；当n≥101时，b n ＞0．所以{b n }的前n 项和S n 最小时，n=97或n=98或n=99或n=100，共4个．【解答】：解：∵数列{a n }为等差数列 ∴a 1+a 199=a 2+a 198=…=a 99+a 101=2a 100， 又∵a 1+a 2+a 3+…+a 199=0， 即199a 100=0， ∴a 100=0．又∵a 1＜0，∴数列{a n }为递增数列， ∴a 99＜0，a 101＞0， ∵b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），∴{b n }的前n 项和S n =a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n+1a n+2， 当n≤97时，b n ＜0，当n=98，n=99，n=100时，b n =0， 当n≥101时，b n ＞0，∴{b n }的前n 项和S n 最小时，n=97或n=98或n=99或n=100，共4个． 故选：B ．【点评】：本题主要考查等差数列的性质，考查数列的前n 项和的最值，考查学生运算和推理的能力，属于中档题．16.（单选题，3分）设O 为△ABC 所在平面内一点，满足2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -7 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83 C. 127 D.4【正确答案】：D【解析】：先设 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，于是得到点O 是△A 1B 1C 1的重心，则 S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1 =k ，再结合三角形面积公式即可求出△ABC 的面积与△BOC 的面积，进而得到答案．【解答】：解：不妨设 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如图所示，根据题意则 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ ，即点O 是△A 1B 1C 1的重心，所以有 S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1 =k ， 又因为 S △OBCS△OB 1C 1=OB•OCOB1•OC 1=121 ， S △OABS△OA 1B 1=OA•OB OA1•OB 1=114 ， S △OACS△OA 1C 1=OA•OC OA1•OC 1=16 ，那么 S △OBC =121k ， S △OAB =114k ， S △OAC =16k ， S △ABC =S △OAB +S △OAC −S △OBC =(114+16−121)k =421k ， 故△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为 421k 121k =4 ．故选：D ．【点评】：本题考查了向量的数乘运算，重心的性质，三角形的面积公式，考查了转化与化归的数学思想，属于难题．17.（问答题，0分）解关于x 、y 的一元二次方程组 {ax +3y =−a −3x +(a −2)y =−2 ，并对解的情况进行讨论．【正确答案】：【解析】：（1）若 a1 = 3a−2 = −a−3−2（a-2≠0），解得a ，可得方程组有无数个解．（2）若 a1 = 3a−2 ≠−a−3−2（a-2≠0），解得a ，可得方程组无解．（3）若a=2时，方程组化为： {2x +3y =−5x =−2 ，解出即可判断出结论．．若a-2≠0， a1 ≠ 3a−2 ，解出可得方程组有唯一解．【解答】：解：（1）若 a1 = 3a−2 = −a−3−2（a-2≠0），则a=3，此时两条直线重合，方程组有无数个解． （2）若 a1 = 3a−2 ≠−a−3−2（a-2≠0），则a=-1，此时两条直线平行，方程组无解．（3）若a=2时，方程组化为： {2x +3y =−5x =−2 ，解得 {x =−2y =−13 ．若a-2≠0， a 1≠ 3a−2，则a≠3，-1，2，此时两条直线相交，方程组有唯一解 {x =−a−4a+1y =−1a+1．【点评】：本题考查了方程组的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.（问答题，0分）已知x∈R ，设 m ⃗⃗⃗ =（ √3 cosx ，sinx-cosx ）， n ⃗⃗ =（2sinx ，sinx+cosx ），记函数f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ ．（1）求函数f （x ）的最小值，并求出函数f （x ）取最小值时x 的值；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f （C ）=2，c=2 √3 ，求△ABC 的面积S 的最大值．【正确答案】：【解析】：结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f （x ）=2sin （2x- π6 ）．（1）根据正弦函数的图象可知，当2x- π6 = −π2 +2kπ时，f （x ）可取得最小值． （2）易知C= π3 ，由余弦定理得，cosC= a 2+b 2−c 22ab ，再利用基本不等式的性质可求出ab 的最大值，然后根据S △ABC = 12 absinC 即可得解．【解答】：解：f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ =2 √3 sinxcosx+（sinx-cosx ）（sinx+cosx ）= √3 sin2x-cos2x=2sin （2x- π6 ）．（1）∵x∈R ，∴2x - π6 ∈R ，当2x- π6 = −π2 +2kπ，即x= −π6 +kπ，k∈Z 时，f （x ）min =2×（-1）=-2． 故f （x ）的最小值为-2，此时x= −π6 +kπ，k∈Z ．（2）∵f （C ）=2，∴2sin （2C- π6 ）=2，∴2C - π6 = π2 +2π，k∈Z ，即C= π3 +kπ，k∈Z ． ∵C∈（0，π），∴C= π3 ． 由余弦定理知，cosC= a 2+b 2−c 22ab ，即 12 = a 2+b 2−122ab ≥ 2ab−122ab ，当且仅当a=b 时，取等号．∴ab≤12，∴S △ABC = 12 absinC≤ 12×12×√32= 3√3 ． 故△ABC 的面积S 的最大值为 3√3 ．【点评】：本题考查平面向量与解三角形的综合运用，包含平面向量数量积的运算、二倍角公式、余弦定理以及基本不等式的性质等基础考点，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.（问答题，0分）已知△ABC 内接于⊙O ，AB=c ，BC=a ，CA=b ，⊙O 的半径为r ． （1）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，试求∠BOC 的大小； （2）若A 为动点，∠BAC=60°， AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试求λ+μ的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，得∴- OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，等式两边同时平方，即可求得cos∠BOC=- √32 ，进而求得∠BOC= 56π ．（2）因为⊙O 中，∠BAC=60°，所以∠BOC=120°， AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，等式两边同时平方，可得λ2+μ2=λμ+1，根据均值不等式，即可求得λ+μ≤2．【解答】：解：（1）∵ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ， ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=（2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2， ∵AO=OB=OC=r ，∴r 2=4r 2+2•2• √3 r 2•cos∠BOC+3r 2， 计算得cos∠BOC=- √32 ， 由题，∠BOC∈（0，π）， ∴∠BOC= 56π ．（2）由题，⊙O 中，∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°， AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=（ λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2， ∴r 2=λ2r 2+2•λ•μr 2•cos120°+μ2r 2， ∴λ2+μ2=λμ+1，根据题意，可知λ＞0，μ＞0， ∴（λ+μ）2=3λμ+1≤3• (λ+μ)24+1，（当且仅当λ=μ时等式成立），∴（λ+μ）2≤4 ∴λ+μ≤2．∴λ+μ的最大值为2．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的应用及基本不等式的应用．考查学生转化的思想，属于中档题．20.（问答题，4分）已知平方和公式：12+22+…+n 2=n (n+1)(2n+1)6，其中n∈N*．（1）记f （n ）=（-3n+1）2+…+（-5）2+（-2）2+12+42+…+（3n-2）2，其中n∈N*，求f （20）的值；（2）已知 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948，求自然数n 的值；（3）抛物线y=kx 2、x 轴及直线AB ：x=a 围成了如图（1）的阴影部分，AB 与x 轴交于点A ，把线段OA 分成n 等份，作以 an 为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S ，等于这些内接矩形面积之和．a n ×k×（ a n ）2 +a n ×k×（ 2a n ）2 +a n ×k×（ 3a n ）2+…+ an ×k×（ n−1na ）2， 当n→+∞时的极限值S=n→∞[k•（ 1n）2+k•（ 2n）2+k•（ 3n）2+…+k•（n−1n ）2]2• an= n→∞ 12+22++(n−1)2n 3 •ak= n→∞(n−1)•n•(2n−1)6n 3 •ak= 13 ak ．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y 2=x ．抛物线y= √x 、x 轴及直线AB ：x=4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）【正确答案】：【解析】：（1）直接利用关系式的应用求出函数的值． （2）利用合比性质的应用求出n 的值．（2）首先求出被积函数原函数，进一步求出定积分的值．【解答】：解：（1）f （20）=（-59）2+（-56）2+...+（-5）2+（-2）2+12+42+...+（58）2， =12+22+32+...+592-[32+62+92+ (572)=12+22+32+…+592-[（3×1）2+（3×2）2+（3×3）2+…+（3×19）2] =12+22+32+…+592-[9×（12+22+32+…+192）] =59×(59+1)×(2×59+1)6 -9× 19×(19+1)(2×19+1)6=47980；（2） 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 ，由合比性质可知 12+32+⋯+(2n+1)2+22+42+⋯+(2n )222+42+⋯+(2n )2 = 49+4848， 所以(2n+1)[(2n+1)+1][2(2n+1)+1]64×n (n+1)(2n+1)6= 9748，解得n=72，所以自然数n 的值为72．（3）S= ∫√x 40dx = 23x 32|04=163．【点评】：本题考查的知识要点：数列的求和，合比性质，定积分，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．21.（问答题，0分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n +a n =3，n∈N*，数列{b n }满足：对于任意的n∈N*，都有a 1b n +a 2b n-1+a 3b n-1+…+a n b 1=（ 13 ）n-1+3n-3成立． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列c n =a n b n ，问：数列{c n }中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）将n 换为n-1，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；（2）a 1b n +a 2b n-1+a 3b n-1+…+a n b 1=（ 13 ）n-1+3n-3中的n 换为n-1，乘以 13 ，相减可得所求通项公式；（3）求得c n =a n b n = 2n−13n−1 ，讨论单调性，假设存在三项c s ，c p ，c r 成等差数列，其中s ，p ，r∈N*，运用等差数列中项性质和不等式的性质，推理运算，即可得到所求结论．【解答】：解：（1）由2S n +a n =3， ① 得2S n-1+a n-1=3，（n≥2）， ②由 ① - ② 得2a n +a n -a n-1=0，即a n = 13 a n-1（n≥2）． 对 ① 取n=1得，a 1=1≠0，所以a n ≠0， 所以{a n }为等比数列，首项为1，公比为 13 ， 即a n =（ 13）n-1，n∈N*．（2）由a n =（ 13 ）n-1，可得对于任意n∈N*．有b n + 13 b n-1+（ 13 ）2b n-2+…+（ 13 ）n-1b 1=（ 13 ）n-1+3n-3， ③ 则b n-1+ 13 b n-2+（ 13 ）2b n-3+…+（ 13 ）n-2b 1=（ 13 ）n-2+3n-6，n≥2， ④则 13 b n-1+（ 13 ）2b n-2+（ 13 ）3b n-3+…+（ 13 ）n-1b 1=（ 13 ）n-1+n-2，n≥2， ⑤ 由 ③ - ⑤ 得b n =2n-1（n≥2）， 对 ③ 取n=1得，b 1=1也适合上式， 因此b n =2n-1，n∈N*．（3）由（1）（2）可知c n =a n b n = 2n−13n−1 ， 则c n+1-c n =2n+13n - 2n−13n−1 = 4(1−n )3n， 所以当n=1时，c n+1=c n ，即c 1=c 2，当n≥2时，c n+1＜c n ，即{c n }在n≥2且n∈N*上单调递减， 故c 1=c 2＞c 3＞c 4＞c 5＞…，假设存在三项c s ，c p ，c r 成等差数列，其中s ，p ，r∈N*， 由于c 1=c 2＞c 3＞c 4＞c 5＞…，可不妨设s ＜p ＜r ，则2c p =c s +c r （*）， 即2(2p−1)3p−1 = 2s−13s−1 + 2r−13r−1， 因为s ，p ，r∈N*，且s ＜p ＜r ，则s≤p -1且p≥2， 由数列{c n }的单调性可知，c s ≥c p-1，即 2s−13s−1 ≥ 2p−33p−2 ， 因为c r =+ 2r−13r−1 ，＞0， 所以 2(2p−1)3p−1 = 2s−13s−1 + 2r−13r−1 ＞ 2p−33p−2 ， 即以2(2p−1)3p−1 ＞ 2p−33p−2，化简得p ＜ 72，又p≥2且p∈N*，所以p=2或p=3，当p=2时，s=1，即c 1=c 2=1，由r≥3时，c r ＜c 2=1， 此时c 1，c 2，c r 不构成等差数列，不合题意．当p=3时，由题意s=1或s=2，即c s =1，又c p =c 3= 59 ， 代入（*）式得c r = 19 ．因为数列{c n }在n≥2且n∈N*上单调递减，且c 5= 19 ， r≥4，所以r=5．综上所述，数列{c n }中存在三项c 1，c 3，c 5或c 2，c 3，c 5构成等差数列．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列中项性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。