2011高中数学总复习课件：抛物线
高中数学第二册(上)抛物线复习
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抛物线
一．复习目标：掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．
二．知识要点：
1．定义：
．
2．标准方程：
．
3．几何性质：
．
4．焦点弦长：过抛物线22ypx(0)p焦点F的弦AB，若1122(,),(,)AxyBxy，
则||AF ， ||AB
，12xx ，12yy ．
5．抛物线的焦点为F，AB是过焦点F且倾斜角为的弦，
若1122(,),(,)AxyBxy，则12xx ；12yy ；||AB ．
三．课前预习：
1．已知点1(,0)4F，直线l：41x，点B是直线l上的动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M所在曲线是 （ ）
()A圆 ()B椭圆 ()C双曲线 ()D抛物线
2．设抛物线22yx的焦点为F，以9(,0)2P为圆心，PF长为半径作一圆，与抛物线在x轴上方交于,MN，则||||MFNF的值为 （ ）
()A8 ()B18 ()C22 ()D4
高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
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专业资料 高中数学讲义之解析几何
圆锥曲线第 3 讲 抛物线
【知识要点】
一、抛物线的定义
平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线 l （ F l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这
个定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
注 1：在抛物线的定义中，必须强调：定点 F 不在定直线 l 上，否则点的轨迹就不是一个抛
物线，而是过点 F 且垂直于直线 l 的一条直线。
注 2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线 l （ F l ）
的距离之比等于 1 的点的轨迹叫抛物线。
注 3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事
实。以后在解决一些相关问题时， 这两者可以相互转化， 这是利用抛物线的定义解题的关键。
二、抛物线的标准方程
1. 抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有以下四种：
2
（1） y 2px
（ p 0），其焦点为 F ( p
2 ,0) p
x
，准线为 2
；
2
（2） y 2px
（ p 0 ），其焦点为 F ( p
2 ,0) p
x
，准线为 2
；
2
（3） x 2py
（ p 0），其焦点为 F (0, p
2 ) p
y
，准线为 2
；
2
（4） x 2py
（ p 0 ），其焦点为 F (0, p
2 ) p
y
，准线为 2
.
2. 抛物线的标准方程的特点 WORD文档
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专业资料 高中数学讲义之解析几何
2
抛物线的标准方程 y 2px 2
（ p 0）或 x 2py （ p 0）的特点在于：等号的一端
是某个变元的完全平方， 等号的另一端是另一个变元的一次项， 抛物线方程的这个形式与其
位置特征相对应：当抛物线的对称轴为 x 轴时，抛物线方程中的一次项就是 x 的一次项，且
一次项 x 的符号指明了抛物线的开口方向； 当抛物线的对称轴为 y 轴时， 抛物线方程中的一
(人教)高中数学选修1-1(课件)：2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质第2课时(2)
单几何性质 方程 y2 = 2px
(p>0) y2 =・2px
(p>0) x2 = 2py
(p>0) x2 = -2py
(p>0)
图
形 f
1 八
厂 V\
/ I y> /
c x F丿 O X ―Q ---------- X
/ z° •A x
范围 x>0 yc R x<0 yGR xGR y>0 xGR y<0
对称性 关于X轴对称 关于X轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
焦半径 p亠 + 乂 o 2 ° p
2 p丄
2+y° p
2 y°
焦点弦
的长度 p + xr+x2 p-(xx+x2)
P-01+^2)
一、直线与抛物线位置关系种类
1 v相离；2、相切；3、相交（一个交点， 二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：：判断直线y = x+2与 抛物线y2 =4x的位置关系
计算结果：得 到一元二次方 x 程，需计算判
别式。相离。 二、判断方法探讨
2、直线与抛物线相切，交于一点。
例:判断直线y = x+l与 抛物线y2 =4x的位置关系
计算结果^得 到一元二次方 > X 程，需计算判
别式。相切。 八y 二、判断方法探讨
3、直线与抛物线的对称轴平行，相交于 —点。
计算结果：得到一 ＞元一次方程，容易 解出支点坐标例：判断直线y = 6与抛 物线y2 =4x的位置关系 A y 二、判断方法探讨
4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交 于两点°
o 例：：判断直线y = x・l与 抛物线y2 =4x的位置关系
计算结果=得到一 元二次方程，需计 ＞算判别式。相交。
总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）:
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 得到一元二次方程
计算判别式
I I I
△>0 A=o A<0
相交（一个交点）
相交相切 相离 直线与抛物线的
抛物线教学课件
1
抛物线教学课件
抛物线教学课件
抛物线教学课件
【教学内容解析】
《抛物线及其标准方程》是普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学选修2-1第二章第四节第一课时的内容，是学习抛物线这种圆锥曲线的起始课，是在学习了椭圆与双曲线之后的又一重要内容，根据抛物线定义推出的标准方程，也为下一节用代数方法研究抛物线的几何性质和几何性质的应用提供了必要的工具和基础．因此，它是圆锥曲线这章的重要的组成部分．
《抛物线及其标准方程》的重点是抛物线的定义和抛物线标准方程．难点是抛物线标准方程的推导．
抛物线作为点的轨迹，标准方程的推出过程充满了辩证法，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换．抛物线标准方程的结构和形式不仅依赖于坐标系的选择，还依赖于焦点和准线间的相互位置关系．因此，抛物线标准方程的推导是培养学生数形结合思想的好素材．
【教学目标设置】
1．知识与技能
通过“几何特征”的分析，让学生由观察与思考后理解抛物线的定义；
通过类比椭圆和双曲线的标准方程的推导过程，让学生探究出抛2
物线的标准方程；
在研究方程与抛物线定义的过程中，让学生能够根据已知条件写出抛物线的标准方程，根据所给的抛物线方程写出焦点坐标、准线方程．
2．过程与方法
掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解解析法，培养学生解决数学问题时的观察、类比、分析、计算能力．
3．情感态度与价值观
通过本节课的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，进一步体会数形结合的思想．
【学生学情分析】
1．学生已有认知基础
学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线有了初步的认识．通过曲线与方程的学习已经对解析法有了一定的了解．
2．达成目标所需要的认知基础
学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备较好的归纳、猜想和推理能力．
3．难点及突破策略
高考数学(理)总复习讲义：抛物线
版权所有：中国好课堂 第七节抛物线
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．❶
其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程❷和几何性质
标准方程
y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F p2，0 F －p2，0 F 0，p2 F 0，－p2
离心率 e＝1
准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2 |PF|＝－y0＋p2
若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线．
四种不同抛物线方程的异同点
共同点 (1)原点都在抛物线上；
(2)焦点都在坐标轴上；
(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14，即2p4＝p2
版权所有：中国好课堂 不同点 (1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；
(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号.
[熟记常用结论]
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝p1－cos α，|BF|＝p1＋cos α，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；
高中数学专题：抛物线
仅供个人参考
不得用于商业用途 抛物线专题复习
一、抛物线的知识点：
标准方程
图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 焦半径 焦点弦公式
x轴
x轴
y轴
y轴
通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：pd2
AB为抛物线pxy22的焦点弦，则BAxx 42p ，BAyy2p，||AB=pxxBA
考点1 抛物线的定义
[例1 ]已知点P在抛物线xy42上，则点P到点)1,2(Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为
考点2 抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点)2,3(； (2)焦点在直线240xy上
考点3 抛物线的几何性质
[例3 ]设BA,为抛物线pxy22上的点,且OAOB(2为原点),则直线AB必过的定点坐标为_______
[例4 ]设F是抛物线2:4Gxy的焦点．（I）过点(04)P，作抛物线G的切线，求切线方程；
（II）设AB，为抛物线G上异于原点的两点，且满足,0FBFA延长AF,BF分别交抛物线G于点CD，，求四边形ABCD面积的最小值．
二．基本题型 仅供个人参考
不得用于商业用途 1．过抛物线xy42的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)AxyBxy两点，如果621xx，那么||AB=( )
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点111222()()PxyPxy，，，，333()Pxy，在抛物线上，且||1FP、||2FP、||3FP成等差数列， 则有 （ ）
A．321xxx B． 321yyy C．2312xxx D. 2312yyy
31.第三十一讲：抛物线
1 第三十一讲 抛物线
一、引言
（一）本节的地位：抛物线是圆锥曲线的重要组成部分，所以它是高考的重点内容，在高考试卷中一般会有一道有关圆锥曲线的解答题，并且椭圆、双曲线、抛物线出现的几率大体相当．
（二）考纲要求：通过本节的学习通过本节的学习掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其几何性质，会用它们解决有关问题．重点是抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质，难点是综合应用定义、性质解决问题．
（三）考情分析：有关抛物线的题目一般会出一道大题或小题．在选择题或填空题中主要考查对概念的理解和灵活运用、基本量的求解以及集合性质的应用，解答题一般为中档题或难题，往往与函数、导数、不等式、数列等知识综合考查，主要考查推理能力及数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想．
高考考查的题目的类型：对概念的考查、基本量及几何性质的考查、求曲线方程、突出几何特征的考查、参数范围问题等．
二、考点梳理
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条直线l（不过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质（其中0p）：
标准方程 22ypx 22ypx 22xpy 22xpy
图
形
焦点 (,0)2pF (,0)2pF (0,)2pF (0,)2pF
准线
2px 2px 2py 2py
焦半径
02px 02px 02py 02py
范围 0,xyR 0,xyR 0,yxR 0,yxR
对称轴 x轴 y轴
顶点 原点(0,0)O
离心率 1e
另外，抛物线焦点弦：1122(,),(,)AxyBxy，以AB中点E为圆心，以AB为直径的圆与准线相切.12ABxxp；2ABEH；2124pxx，212yyp等. 2
三、典型例题选讲
（一）对概念的考查
抛物线.知识框架 普通高中数学复习讲义Word版
抛物线的定义与性质 要求层次 重难点
抛物线的定义及标准方程 C 由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质 抛物线的简单几何性质 C
直线与抛物线的位置关系 要求层次 重难点
抛物线的定义与性质 C 判别式和韦达定理的应用；直线与抛物线相交截得的弦长 直线与抛物线的位置关系
C
1．平面内与一个定点F和一条定直线l()Fl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程：22(0)ypxp，焦点在x轴正半轴上，坐标是(0)2p，，
准线方程是2px，其中p是焦点到准线的距离．
3．抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程22(0)ypxp研究性质）：
⑴范围：抛物线在y轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸．
⑵对称性：以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点． ⑷离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e表示，1e．
4．设抛物线的焦点到准线的距离为(0)pp，抛物线方程的四种形式如下：
标准方程 图形 对称轴 焦点坐标 准线方程 知识内容 高考要求 模块框架
抛物线.知识框架 22(0)ypxp
x轴
(0)2p， 2px
22(0)ypxp
(0)2p， 2px
22(0)xpyp
y轴 (0)2p， 2py
22(0)xpyp
(0)2p， 2py
5．抛物线
Fx=-p2D(x2 , y2)C(x1 , y1)BAyxO
标准方程：22(0)ypxp；
焦点：02p，，通径2ABp；准线：2px；
焦半径：12pCFx，
过焦点弦长121222ppCDxxxxp，2212124pxxyyp，
高考高三数学总复习教案：抛物线
第九章 平面解析几何第9课时 抛 物 线错误!
考情分析 考点新知
建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．
１ 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，了解它们的简单几何性质.
２ 掌握抛物线的简单应用.
１． 已知抛物线的焦点坐标是（0，—３），则抛物线的标准方程是________．
答案：x２＝—１２y
解析：∵ 错误!＝３，∴ p＝6，∴ x２＝—１２y.
２． 抛物线y２＝—8x的准线方程是________．
答案：x＝２
解析：∵ ２p＝8，
∴ p＝４，故所求准线方程为x＝２．
３． 抛物线y＝ax２的准线方程是y＝２，则a的值是________．
答案：—错误!
解析：抛物线的标准方程为x２＝错误!y.则a＜0且２＝—错误!，得a＝—错误!.
４． （选修１１P４４习题２改编）抛物线y２＝４x上一点M到焦点的距离为３，则点M的横坐标x＝________．
答案：２
解析：∵ ２p＝４，∴ p＝２，准线方程x＝—１．由抛物线定义可知，点M到准线的距离为３，则x＋１＝３，即x＝２． ５． 已知斜率为２的直线l过抛物线y２＝ax（a＞0）的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为４，则抛物线方程为________．
答案：y２＝8x
解析：依题意得，OF＝错误!，又直线l的斜率为２，可知AO＝２OF＝错误!，△AOF的面积等于错误!·AO·OF＝错误!＝４，则a２＝6４．又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y２＝8x.
１． 抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
２． 抛物线的标准方程和几何性质（如下表所示）
标准方程 y２＝２px（p>0） y２＝—２px（p>0）
高中数学抛物线复习(几个常见结论及其应用)
. 抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
结论一：若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)Axy，22(,)Bxy，则：2124pxx，212yyp。
证明：因为焦点坐标为F(2p,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： ()2pykx，
由2()22pykxypx得: 2220kypykp ∴212yyp，2242121222244yyppxxppp。
当AB⊥x轴时，直线AB方程为2px，则1yp，2yp，∴212yyp，同上也有：2124pxx。
例：已知直线AB是过抛物线22(0)ypxp焦点F，求证：11AFBF为定值。
证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，由抛物线的定义知：12pAFx，22pBFx，又AF+BF=AB，所以1x+2x=AB-p，且由结论一知：2124pxx。
则：212121211()()()2224AFBFABABppppAFBFAFBFxxxxxx =222()424ABppppABp（常数）
结论二：（1）若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则22sinPAB（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
证明：（1）设11(,)Axy，22(,)Bxy，设直线AB:()2pykx
由2()22pykxypx得:,2220kypykp ∴122pyyk，212yyp，
∴221212122221112111()41pkAByyyyyykkkk222222(1)2(1tan)2tansinpkpPk。