2020-2021年高二下学期期末考试数学试卷
高二期末数学试卷
一. 填空题
1. 6(13)x展开式中含有2x的系数为
2. 已知球的体积为36，则该球的大圆的面积为
3. 在10件产品中有8件一等品，2件二等品，若从中随机抽取2件产品，则恰好含1件二
等品的概率为
4. 已知某市A社区35岁至45岁的居民有600人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至
65岁的居民有900人，为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用
分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，则
这次抽样调查抽取的人数为 人
5. 高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治
科目考试中达A的概率分别为56、78、34，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位
考生至少得1个A的概率为
6. 年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康
状况如下表：
健康指数
2 1 0
1
60岁至79岁的人数
120 133 34 13
80岁及以上的人数
9 18 14 9
其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活
能够自理”，1代表“生活不能自理”，按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从
该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位，则被访问地3位老龄人中恰有1
位老龄人的健康指数不大于0的概率为
7. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求
这3张卡片的颜色互不相同，且红色卡片至多1张，则不同取法的种数为
8. 点P是棱长为1的正方体1111ABCDABCD的底面1111ABCD上一点，则1PAPCuuuruuuur的取值
范围为
9. 设正方形ABCD的中心为O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点的三角形中任意
取出两个，则它们面积相等的概率为
10. 数列{}na是公差不为零的等差数列，其前n项和为nS，若记数据1a，2a，3a，，2019a
的标准差为1，数据11S，22S，33S，，20192019S的标准差为2，则12
二. 选择题
11. 在空间中，“直线m平面”是“直线m与平面内无穷多条直线都垂直”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
12. 一组统计数据12345,,,,xxxxx与另一组统计数据1234523,23,23,23,23xxxxx相
比较（ ）
A. 标准差一定相同 B. 中位数一定相同
C. 平均数一定相同 D. 以上都不相同
13. 如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，(0,0,2)OCuuur，
平面ABC的法向量为(2,1,2)nr，设二面角CABO的大小为，则cos（ ）
A. 43 B. 53 C. 23 D. 23
14. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，1ADAB，ADAB，45BCD，将△
ABD沿对角线BD折起，设折起后点A
的位置为A，使二面角ABDC为直二面角，
给出下面四个命题：① ADBC；② 三棱锥ABCD的体积为26；③ CD平面
ABD
；④ 平面ABC平面ADC；其中正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三. 解答题
15. 已知正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为2，113AD.
（1）求该四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E为线段1AD的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小.
16. 若一圆锥的底面半径为4，体积是16.
（1）求该圆锥的母线长；
（2）已知该圆锥的顶点为O，并且OA、OB为圆锥的两个母线，求线段AB长度为何值时，
△OAB的面积取得最大值？
17. 将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第
一次出的点数为a，第二次出的点数为b，且已知关于x、y的方程组322axbyxy.
（1）求此方程组有解的概率；
（2）若记此方程组的解为00xxyy，求00x且00y的概率.
18. 已知数列{}na（*nN）的通项公式为1nan（*nN）.
（1）分别求11(1)ax的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和；
（2）求201(12)ax的二项展开式中的系数最大的项；
（3）记1245kakd（*kN），求集合1{|,}kkxdxdxZ的元素个数（写出具体的
表达式）.
参考答案
一. 填空题
1. 135 2. 9 3. 1645 4. 150
5. 191192 6. 35 7. 256 8. 1[,0]2
9. 37 10. 2
二. 选择题
11. A 12. D 13. C 14. C
三. 解答题
15.（1）侧面积24，体积12；（2）35arctan10.
16.（1）5；（2）52.
17.（1）1112；（2）1336.
18.（1）102，0；（2）133133200(2)Cx，134134200(2)Cx；（3）164(1)5kk.
天津市部分区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)
6
24
当 a 1 或 a 31 时，解为 2 个；
6
24
当 1 a 31 时，解为 3 个．
6
24
18．（本小题满分 12 分）
…………12 分
解：（Ⅰ）零假设为 H0 ：性别与测试成绩之间没有关联，
根据列联表中的数据，经计算得到
…………………1 分
部分区期末练习高二数学参考答案 第 2 页（共 5 页）
63 3
6
3 36 3
3 54 18
………………………………………………………………………7 分
部分区期末练习高二数学参考答案 第 3 页（共 5 页）
P( X 2) 1 2 (1 2) (1 1) 2 2 1 (1 2) 2 24 4
63 3
6 3 3 6 3 3 54 9
f (x)
1 x
，所以原不等式可化为
h(
x1
)
h(x2 ) ，………………9 分
故可知
h(
x)
ln
x
1 2
ax
1 x
在
e1,
e
上单调递减，
因为
h( x)
1 x
1 x2
a 2
，
所以，
1 x
1 x2
a 2
0
在
x e1, e
上恒成立，…………………………10
分
即：
a
2 x2
2 x
2
1 x
1 2
2
2
2 24
当 x 1时， f ( x) 有极小值 f (1) 1 ． 6
…………8 分
（Ⅱ）方程 f (x) a ， a R 的解的个数为函数 y f (x) 的图象与直线 y a 的交点个数．
河北省2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)
第二学期期末考试 高二数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列{}n a 中，46a =，3510a a a +=，则公差d =（） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】全部用1,a d 表示，联立方程组，解出d 【详解】10354==2=12a a a a +104661a a d d -==⇒=【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属于基础题。
2.已知等比数列{}n a 满足11a =，1357a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 26【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式可求出公比，即可求解.【详解】因为2413517a a a q q ++=++=，可解的22q =， 所以357a a a ++=62376+66()14a q q =+=+=，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题. 3.若110a b<<，则下列结论不正确的是( )A. 22a b <B. 2ab b <C.2b aa b+> D.a b a b -=-【答案】D 【解析】 【分析】不妨令12a b =-=-， ，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项． 【详解】由题110a b<<，不妨令12a b =-=-，，可得a 2＜b 2，故A 正确； 2ab b <，故B 正确；1222b a a b +=+＞，故C 正确．11a b a b -=--=，， 故D 不正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题4.某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，45ˆˆyx a =+,若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为( ) A. 9.2 B. 9.5C. 9.8D. 10【答案】B 【解析】 试题分析：468103568117,442x y ++++++====Q ˆ11417251ˆ0aa ∴=⨯+∴=-41510ˆyx ∴=-当12x =时9.5y = 考点：回归方程5.已知函数()9411y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则+a b 等于（） A. -3 B. 2C. 3D. 8【答案】C 【解析】 【分析】配凑成可用基本不等式的形式。
四川省南充市2020-2021学年高二下学期教学质量监测(期末)理科数学试卷 (解析版)
四川省南充市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数5i+2的共轭复数是（ ）A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i 2.双曲线 9x 2−16y 2=144 的渐近线方程是（ ） A.y =±916x B.y =±43x C.y =±169x D.y =±34x3.设函数 f(x)={x 2+1,x ≤1,lnx,x >1, 则 f(f(e ))= （ ）A.1B.2C.3D.ln(e 2+1)4.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ）A.C 53B.A 53C.35 D.53 5.(x −1x )9 的展开式中 x 3 的系数是（ ） A.-84 B.-56 C.56 D.846.函数 f(x)=sinx −2cosx 的最大值为（ ） A.1 B.√3 C.√5 D.37.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（ ） A.70 B.64 C.60 D.588.设偶函数 f(x) 满足 f(x)=x 3−8(x ≥0) ，则 {x|f(x −2)>0}= （ ） A.{x|x <−2或x >4} B.{x|x <0或x >4} C.{x|x <0或x >6} D.{x|x <−2或x >2}9.若 a =30.5 ， b =log 32 ， c =cos2 ，则（ ） A.c <a <b B.c <b <a C.b <c <a D.a <c <b10.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ， N 分别是A 1B 1 ， A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1 ， 则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A. 110 B. 25 C. √3010D. √2211.以抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的顶点为圆心的圆交 C 于 A ， B 两点，交 C 的准线于 D ， E 两点，已知 |AB|=4√2 ， |DE|=2√5 ，则 p = （ ） A.2 B.4 C.6 D.812.若函数 f(x)=x(lnx −ax) 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A.(−∞,0) B.(0,+∞) C.(0,1) D.(0,12)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量 a ⃗=(1,1) ， b ⃗⃗=(m,−2) ，若 a ⃗//(a ⃗+2b⃗⃗) ，则 m = ________. 14.设 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和， a 1=−3 ， 2a 4+3a 7=9 ，则 S 7= ________. 15.若曲线 y =e ax −ln(x +1) 在 x =0 处的切线方程为 2x −y +1=0 ，则 a = ________. 16.抛物线 x 2=2my(m >0) 的焦点为 F ，其准线与双曲线 x 2m 2−y 2n 2=1(n >0) 有两个交点 A ， B ，若 ∠AFB =120° ，则双曲线的离心率为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为 X . （1）求 X 的分布列； （2）求 E(X) 和 D(X) .18.在 ΔABC 中，角 A ，B,C 所对的边分别为 a,b,c ,其中 a =7,b =8,cosB =−17 （1）求 ∠A ;（2）求 AC 边上的高，19.如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2的正方形， ∠BAP =∠BCP =90∘ .（1）证明： PD ⊥ 平面 ABCD ；（2）若 PD =2 ，求二面角 D −PB −C 的正弦值.20.已知抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的准线与 x 轴的交点为 A(−1,0) . （1）求 C 的方程；（2）若过点 M(2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 P ， Q 两点.求证： 1|PM|2+1|QM|2 为定值. 21.已知函数 f(x)=a e x −x −1 的最小值为0. （1）求 a 的值；（2）若 m 为整数，且对于任意的正整数 n ， (1+12)(1+122)×⋅⋅⋅×(1+12n )<m ，求 m 的最小值. 22.已知 a,b,c ∈R ∗ ， a +b +c =1 ，求证： （1）√a +√b +√c ≤√3 ； （2）13a+1+13b+1+13c+1≥32 .(a∈R,b∈R,a>1)的图象过点(0,−1).23.已知函数f(x)=a x+sinb−3x+1（1）求b；（2）用反证法证明：f(x)没有负零点.答案解析部分四川省南充市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷一、单选题1.复数 5i+2 的共轭复数是（ ）A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i 【答案】 A【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】因为 5i+2=5(i−2)(i+2)(i−2)=5(i−2)−5=2−i ，所以其共轭复数是 2+i故答案为：A【分析】由复数的除法整理已知复数，进而由共轭复数概念表示答案. 2.双曲线 9x 2−16y 2=144 的渐近线方程是（ ） A.y =±916x B.y =±43x C.y =±169xD.y =±34x 【答案】 D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由 9x 2−16y 2=144 得： x 216−y 29=1 ， a 2=16,b 2=9所以其渐近线方程为 y =±34x . 故答案为：D【分析】由双曲线的简单性质即可得出答案。
2020-2021学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版).docx
2020-2021学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.若&为离散型随机变量，且&〜B（5, §）,则其方差。
（0 =（）OA.—B. —C. 1D.39 32.下面几种推理过程是演绎推理的是（）A.某中学高二有10个班，一班有51人，二班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人B.根据等差数列的性质，可以推测等比数列的性质C.由6=3+3, 8 = 3+5, 10=3+7,…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和D.平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分3.若函数f（.r）=e x+ax - 1的图象经过点（1, e）,则曲线y=f（.r）在点（2, f（2））处的切线的斜率4=（'）A. . eB. e+1C. e-D. e2+l4.在一次数学测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比丙高.乙：我的成绩比丙高.丙：甲的成绩比我和乙的都高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、丙、甲C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙5.六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（）A. 48B. 72C. 90D. 1206.某射手射击所得环数X的分布列如表，已知X的数学期望E（X） =8.9,则y的值为（）A.0.8B. 0.4C. 0.6D. 0.27.2019年1月28日至2月3日(腊月廿三至腊月廿九)我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X (单位：万)近似服从正态分布N (10, 0.82),则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为( )A.竺B.二C. 39D.业128 64 64 1288.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x (每分钟鸣叫的次数)与气温y (单位：°C)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了v关于x的线性回归方程=0.25x+k,A. 33°CB. 34°CC. 35°CD. 35.5°C9.若把单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为(A. 17B. 18C. 19D. 2010.设a=lnV2> b旦馨~，5c=ln5,则a, b, c的大小关系为( )A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a11.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美” .现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若/ (x)是f (x) 的导函数，f (-r)是f (x)的导函数，则曲线y=f (.r)在点(x, f (x))处的曲率|f" (x) | _K=A-若曲线f (x) =lnx+x与g (x)=石在(1, 1)处的曲率分别(x)]2)2Ki为Ki, K2,——=( )K2A. —B. —C. 4D. 24 212.设函数/ (x)是奇函数f (x) (x£R)的导函数，当x>0时,(x) < - -f (x),X 且/ (1) <0,则使得(寸-9) f (x) <0成立的工的取值范围( )A. ( -3, 0) U (3, +8)B. ( - oo, - 3)U (3, +8)C. ( - 3, 0) U (0, 3)D. ( - 8, -3)U (0, 3)二. 填空题(共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上), 4i ，一一—13.已知复数z= °为虚数单位)，z表示z的共貌复数，则z=.14.已知(3x2+3.r - 2) (x-1) 5 = ao+flix+- ■ +OJX1,则«2+«4+«6=.15.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的序号是•①如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法；②如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法；③如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法；④如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法.16.已知函数f (x) =lQa2 - 2a[x+3ln (3x) ]+x2+Zn2 (3x),若存在xo使得f (xo)忍*■成立，则实数a的值为 .三、解答题(共6小题，17、18题10分，19、20、21题各12分，22题附加题20分，请写出必要的解答过程)17.已知必七)11二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3.(1)求〃的值；(2)求展开式中/项的系数.18.已知函数f (x) =*+〃，曲线y=f (x)在点(1, £)处的切线方程为3x-3y+l=0.(1)求实数m, n的值；(2)令g (x) =f (x) +破2 - 3。
2020-2021学年四川省广元市高二下学期期末考试数学(理)试卷及解析
2020-2021学年四川省广元市高二下学期期末考试 数学（理）试卷
★祝考试顺利★ (含答案) 四川省广元市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数 （ i 是虚数单位），则 =（ ） ． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】【解答】解：z=3i-2i2=2+3i，则 故答案为：B 【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可. 2.同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币一枚正面向上一枚反面向上的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】【解答】同时抛掷两枚硬币的基本事件是：正正，正反，反正，反反， 所以两枚硬币一枚正面向上一枚反面向上的概率是 故答案为：A
【分析】同时抛掷两枚硬币的基本事件共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可. 3.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）． A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】【解答】解：由x2-5x<0得0∴是的必要不充分条件， 即 “ ”是“ ”的 必要不充分条件， 故答案为：B 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式的解法，结合充分必要条件的判定求解即可. 4.下列命题中错误．．的是（ ）．
A.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D.如果平面 平面 ，平面 平面 ， ， 那么 平面 【答案】 C 【解析】【解答】解：对于A，如图所示，平面a⊥平面β，a∩β=l， ， ， 若a//l，则a//β，所以A正确； 对于B，若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾， 所以如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故B正确； 对于C，如果平面α⊥平面β，则平面α内垂直于两平面的交线的直线与平面β垂直，故C错误； 对于D，设α∩γ=a，β∩γ=b，在平面γ内取一点O，点O不在a,b上，过O作直线OA,OB，使OA⊥a,OB⊥b， 因为γ⊥α，OA⊥a,，所以OA⊥α，则OA⊥l， 同理有OB⊥l， 又OA∩OB=O, ， 所以l⊥γ 故D正确 故答案为：C
2020-2021学年辽宁省鞍山市高二下学期期末考试数学试卷(解析版)
辽宁省鞍山市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|≤0}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2] B．[3，5] C．[2，3] D．[3，5）『答案』A『解析』因为集合A＝{x|x＞3}，所以∁R A＝{x|x≤3}，又B＝{x|≤0}＝{x|x≤2或x＞5}，故（∁R A）∩B＝（﹣∞，2]．故选：A．2．若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2『答案』B『解析』∵a＜b＜0，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＞成立；∵a＜b＜0，0＞a﹣b＞a，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＜，故B不成立；∵f（x）＝|x|在（﹣∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）＝x2在（﹣∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．3．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（）A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0『答案』A『解析』设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，则P（B）＝0.5，P（A|B）＝1，P（A|）＝0.25，P（A）＝P（AB）+P（A）＝＝1×0.5+0.25×0.5＝0.625．故选：A．4．在（x﹣）5的二项展开式中，x2的系数是（）A．8 B．﹣8 C．10 D．﹣10『答案』D『解析』∵（x﹣）5的二项展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x5﹣3r，令5﹣3r＝2，求得r＝1，可得展开式中x2的系数是﹣10，故选：D．5．疫情期间以网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间（小时）进行统计，服从正态分布N（9，12），则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（）（四舍五入保留整数）参考数据：P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．A．15 B．16 C．31 D．32『答案』B『解析』，故所求人数为100×0.1587≈16．故选：B．6．下列说法错误的是（）A．“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”B．“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”C．“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的必要不充分条件D．“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件『答案』C『解析』对于A，“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”，正确；对于B，“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”，正确；对于C，“x2﹣2x﹣3＞0”等价于“x＜﹣1或x＞3”，∴“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，错误；对于D，“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件，正确．故选：C．7．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1＞0，S10＝S20，则不成立是（）A．d＜0 B．a16＜0C．S n的最大值是S15D．当且仅当S n＜0时，n＝32『答案』D『解析』设等差数列{a n}的公差为d，由S10＝S20，得10a1+45d＝20a1+190d，即2a1+29d ＝0，又a1＞0，所以d＜0，故选项A正确；由2a1+29d＝0，得a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，所以a15＞0；a16＜0，即{a n}是递减数列，且n≤15时，a n＞0；当n≥16时，a n＜0，所以选项C正确．因为S31＝（a1+a31）＝31a16＜0，所以选项D错误．故选：D．8．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＞0恒成立，a＝f（2），b＝f（3），c＝（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a『答案』A『解析』构造函数g（x）＝，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＝，即函数g（x）单调递增，则a＝f（2）＝＝g（2），b＝f（3）＝＝g（3），c＝（+1）f（）＝＝g（），则g（）＜g（2）＜g（3），即c＜a＜b，故选：A．二、多选题（本大题4小题，每小题5分，共20分。
陕西省宝鸡市渭滨区2020-2021学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2020-2021学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列求导数运算错误的是（）A．（x2021+e）'＝2021x2020B．（3x）'＝3x ln3C．（sin x）'＝cos x D．3．曲线f（x）＝e x+x在（0，f（0））处的切线方程为（）A．y＝x+1B．y＝x﹣1C．y＝2x+1D．y＝2x﹣14．物体运动的位移方程是S＝10t﹣t2（S的单位为m；t的单位为s），则物体在t＝3s的瞬时速度是（）A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s5．用反证法证明“已知直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a∥b”时应假设（）A．a与b相交B．a与b异面C．a与b相交或异面D．a与b垂直6．若随机变量X～B（6，p），DX＝，则EX＝（）A．1B．2C．3D．47．的展开式中常数项为（）A．160B．184C．192D．1868．由曲线，x＝1，x＝3，x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是（）A．2πB．3πC．4πD．9π9．在平面直角坐标系中，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离，类比可得在空间直角坐标系中，点（1，2，3）到平面x+2y+2z﹣4＝0的距离为（）A．B．C．4D．510．下列说法中错误的是（）A．对于两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立B．线性回归直线＝b+a一定过样本中心点（，）C．空间正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五个多面体D．利用合情推理得出的结论一定是正确的11．（1+x）4+（2+x）3+（1+2x）2＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a1+a2+a3+a4＝（）A．49B．52C．56D．5912．若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf'（x），则（）A．2f（1）＜f（2）B．2f（1）＞f（2）C．2f（1）＝f（2）D．2f（1）≤f（2）二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13．函数的单调减区间是．14．已知某一随机变量X的概率分布列如表所示，且EX＝3，则DX＝．X a34P0.10.7b15．若函数在x＝0和x＝1时取极小值，则实数m的取值范围是．16．若把一句话“我爱大中华”的汉字顺序写错了，则可能出现错误的情况共有种．三、解答题（共5小题，满分70分）17．用数学归纳法证明：对任意正整数n，4n+15n﹣1能被9整除．18．已知函数f（x）为一次函数，若函数f（x）的图象过点（1，3），且．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数g（x）＝x2，求函数f（x）与g（x）的图象围成图形的面积．19．已知函数有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．20．某企业在产品出厂前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知该产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（1）求该产品不能销售的概率；（2）如果该产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该产品不能销售，则每件产品亏损20元，已知一箱中有该产品4件，记一箱该产品获利η元，求η的分布列．21．为了迎接期末考试，学生甲参加考前的5次模拟考试，下面是学生甲参加5次模拟考试的数学成绩表：x12345y90100105105100（1）已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程＝x+，若把本次期末考试看作第6次模拟考试，试估计该考生的期末数学成绩；（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值的个数为η，求出η的分布列与数学期望．参考公式：＝＝，＝x+．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵，∴z在复平面内z对应的点为（3，1），在第一象限．故选：A．2．下列求导数运算错误的是（）A．（x2021+e）'＝2021x2020B．（3x）'＝3x ln3C．（sin x）'＝cos x D．解：（x2021+e）′＝2021x2020，（3x）′＝3x ln3，（sin x）′＝cos x，．故选：D．3．曲线f（x）＝e x+x在（0，f（0））处的切线方程为（）A．y＝x+1B．y＝x﹣1C．y＝2x+1D．y＝2x﹣1解：由f（x）＝e x+x，得f′（x）＝e x+x＝e x+1，∴f′（0）＝e0+1＝2，又f（0）＝e0＝1，∴曲线f（x）＝e x+x在（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即y＝2x+1．故选：C．4．物体运动的位移方程是S＝10t﹣t2（S的单位为m；t的单位为s），则物体在t＝3s的瞬时速度是（）A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s解：∵S′＝10﹣2t，S′|t＝3＝10﹣6＝4，∴物体在t＝3s的瞬时速度是4m/s．故选：B．5．用反证法证明“已知直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a∥b”时应假设（）A．a与b相交B．a与b异面C．a与b相交或异面D．a与b垂直解：a与b的位置关系有a∥b和a与b不平行两种，因此用反证法证明“a∥b”时，应先假设a与b不平行，即a与b相交或异面．故选：C．6．若随机变量X～B（6，p），DX＝，则EX＝（）A．1B．2C．3D．4解：由于随机变量X～B（6，p），DX＝，则6p（1﹣p）＝，得p＝，E（X）＝6p＝6×＝3，故选：C．7．的展开式中常数项为（）A．160B．184C．192D．186解：∵的展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中常数项为•23＝160，故选：A．8．由曲线，x＝1，x＝3，x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是（）A．2πB．3πC．4πD．9π解：曲线，x＝1，x＝3，x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是V＝πxdx＝π×x2＝×（23﹣12）＝4π．故选：C．9．在平面直角坐标系中，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离，类比可得在空间直角坐标系中，点（1，2，3）到平面x+2y+2z﹣4＝0的距离为（）A．B．C．4D．5解：根据题意，类比可得在空间直角坐标系中，点（1，2，3）到平面x+2y+2z﹣4＝0的距离为＝．故选：A．10．下列说法中错误的是（）A．对于两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立B．线性回归直线＝b+a一定过样本中心点（，）C．空间正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五个多面体D．利用合情推理得出的结论一定是正确的解：对于A：对于两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立，故A正确；对于B：线性回归直线＝b+a一定过样本中心点（，），故B正确；对于C：设正多面体的顶点数为V，棱数为E，面数F，每个面是正m变形（其中整数m ≥3），每个顶点有n条边与之交汇（其中整数n≥3），则mF＝2E，nV＝2E，与欧拉公式V﹣E+F＝2联立，消去F，V得﹣E+＝2，即﹣1+＝，则＝＞0，则mn﹣2m﹣2n＜0，即（m﹣2）（n﹣2）＜4（其中整数m≥3，n≥2），则或或或或，则F＝•E＝•＝＝4或8或6或20或12，所以正多面体只有正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体，这五种，故C正确；对于D：合情推理得到的结论不一定正确，它是由特殊到一般，其本质就是由特殊猜想一般性结论，结论是否正确可判断，一般前提为真，结论可能为真，故D错误；故选：D．11．（1+x）4+（2+x）3+（1+2x）2＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a1+a2+a3+a4＝（）A．49B．52C．56D．59解：∵（1+x）4+（2+x）3+（1+2x）2＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝24+33+32＝52，故选：B．12．若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf'（x），则（）A．2f（1）＜f（2）B．2f（1）＞f（2）C．2f（1）＝f（2）D．2f（1）≤f（2）解：因为f（x）＞xf′（x），所以f（x）﹣xf′（x）＞0，设F（x）＝，F′（x）＝＜0，所以F（x）在R上单调递减，所以F（2）＜F（1），所以＜，即f（2）＜2f（1），故选：B．二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13．函数的单调减区间是（﹣2，4）．解：f′（x）＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2），令f′（x）＜0，得﹣2＜x＜4，所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，4）．故答案为：（﹣2，4）．14．已知某一随机变量X的概率分布列如表所示，且EX＝3，则DX＝0.6．X a34P0.10.7b 解：由题意可得：0.1+0.7+b＝1，解得b＝0.8，EX＝3，可得3＝0.1a+3×0.7+4×0.2，解得a＝1，DX＝0.1×（1﹣3）2+07×（3﹣3）2+0.2×（4﹣3）2＝0.6，故答案为：0.6．15．若函数在x＝0和x＝1时取极小值，则实数m的取值范围是（0，1）．解：f′（x）＝x3﹣（m+1）x2+mx＝x（x﹣m）（x﹣1），当m＜0时，在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（m，0）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝0处取得极大值，在x＝1处取得极小值，不合题意，当m＝0时，f′（x）＝x3﹣x2，f″（x）＝3x2﹣2x，所以在（﹣∞，0）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，在（0，）上，f″（x）＜0，f′（x）单调递减，在（，+∞）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，又因为f′（0）＝0，f′（）＝（）3﹣（）2＝﹣，f′（1）＝0，所以在（﹣∞，0），（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以在x＝1处取得极小值，x＝0处没有取得极值点，不合题意，当0＜m＜1时，在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，m）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（m，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝0，x＝1处取得极小值，合题意，当m＝1时，f′（x）＝x3﹣2x2+x，f″（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），在（﹣∞，）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，在（，1）上，f″（x）＜0，f′（x）单调递减，在（1，+∞）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，又f′（）＝（）3﹣2（）2+＝，f′（1）＝0，f′（0）＝0，所以在（﹣∞，0）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以在x＝0处取得极小值，x＝1处不是极值点，当m＞1时，在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，m）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（m，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝0处取得极小值，x＝1处取得极大值，不合题意，故答案为：（0，1）．16．若把一句话“我爱大中华”的汉字顺序写错了，则可能出现错误的情况共有119种．解：根据题意，“我爱大中华”五个字排成一排，有＝120种不同的顺序，其中正确的只有1种，则可能出现错误的情况有120﹣1＝119种；故答案为：119．三、解答题（共5小题，满分70分）17．用数学归纳法证明：对任意正整数n，4n+15n﹣1能被9整除．【解答】证明：（1）当n＝1时，4n+15n﹣1＝18，能被9整除，故当n＝1时，4n+15n﹣1能被9整除．（2）假设当n＝k时，命题成立，即4k+15k﹣1能被9整除，则当n＝k+1时，4k+1+15（k+1）﹣1＝4（4k+15k﹣1）﹣9（5k﹣2）也能被9整除．综合（1）（2）可得，对任意正整数n，4n+15n﹣1能被9整除．18．已知函数f（x）为一次函数，若函数f（x）的图象过点（1，3），且．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数g（x）＝x2，求函数f（x）与g（x）的图象围成图形的面积．解：（1）根据题意，f（x）为一次函数，设f（x）＝kx+b（k≠0），又因为函数f（x）的图象过点（1，3），则有3＝k+b，①又由，即f（x）dx＝（kx+b）dx＝（kx2+bx）＝+3b＝，②由①②得：k＝1，b＝2，故f（x）＝x+2；（2）由，解可得x1＝﹣1，x2＝2，所以f（x）与g（x）围成的图形面积为，即S＝（x+2﹣x2）dx＝（x2+2x﹣）＝；故函数f（x）与g（x）的图象围成图形的面积为．19．已知函数有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．解：（1）因为函数有三个极值点，则f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c＝0有三个不等的实根，设g（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c，则g'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1），当x∈（﹣∞，﹣1）或（3，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（﹣1，3）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，故，即，解得﹣5＜c＜27，所以c的取值范围为（﹣5，27）；（2）当c＝27时，f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+27＝（x﹣3）2（x+3），由f'（x）＜0，可得x＜﹣3，所以f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，又函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，所以a+2≤﹣3，故a的取值范围为（﹣∞，﹣5]．20．某企业在产品出厂前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知该产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（1）求该产品不能销售的概率；（2）如果该产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该产品不能销售，则每件产品亏损20元，已知一箱中有该产品4件，记一箱该产品获利η元，求η的分布列．解：（1）设“该产品不能销售”为事件A，则．所以该产品不能销售的概率为；（2）由已知，可知η的可能取值为﹣80，﹣20，40，100，160，所以，，，，，所以η的分布列为：η﹣80﹣2040100160P21．为了迎接期末考试，学生甲参加考前的5次模拟考试，下面是学生甲参加5次模拟考试的数学成绩表：x12345y90100105105100（1）已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程＝x+，若把本次期末考试看作第6次模拟考试，试估计该考生的期末数学成绩；（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值的个数为η，求出η的分布列与数学期望．参考公式：＝＝，＝x+．解：（1）由表可知＝，＝，则，＝100﹣2.5×3＝92.5，故回归直线方程为＝2.5x+92.5.当x＝6时，＝2.5×6+92.5＝107.5，所以估计该考生的期末数学成绩为107．．（2）由题可知随机变量η的所有可能取值为1，2，3，则；；，故随机变量η的分布列为：η123P随机变量η的数学期望．。
2020-2021学年黑龙江省大庆中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2020-2021学年黑龙江省大庆中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．z＝（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”，则￢p为（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≥0B．∃x∉R，x2﹣x+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜04．已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假5．已知命题p：∀x＞0，e x+1＞0；命题q：a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．p∧q C．￢p∧q D．￢p∧￢q6．如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为＝0.7x+0.35，则t等于（）x3456y 2.5t4 4.5A．4.5B．3.5C．3.15D．37．在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有（）A．24B．30C．48D．608．2020年高校招生实施强基计划，其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，有36所大学首批试点强基计划某中学积极应对，高考前进行了一次模拟笔试，甲、乙、丙、丁四人参加，按比例设定入围线，成绩公布前四人分别做猜测如下：甲猜测：我不会入围，丙一定入围；乙猜测：入围者必在甲、丙、丁三人中；丙猜测：乙和丁中有一人入围；丁猜测：甲的猜测是对的．成绩公布后，四人中恰有两人预测正确，且恰有两人入围，则入围的同学是（）A．甲和丙B．乙和丁C．甲和丁D．乙和丙9．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的概率为（）A．B．C．D．10．二项展开式的第三项系数为15，则的二项展开式中的常数项为（）A．1B．6C．15D．2011．已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝|x|e x，若g（x）＝f2（x）﹣af（x）+1恰有四个不同的零点，则a取值范围为（）A．（2，+∞）B．（e+，+∞）C．（2，e）D．（）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X＞2）＝0.2，则P（X＞0）＝．14．．15．已知箱子中装有10不同的小球，其中2个红球，3个黑球和5个白球．现从该箱中有放回地依次取出3个小球，若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D（ξ）＝．16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x20142015201620172018足球特色学校y（百个）0.300.60 1.00 1.40 1.70（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）．参考公式：r＝，（x i﹣）2＝10，（y i﹣）2＝1.3，，＝，＝．18．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计10x A 没有注射重组新冠疫苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828 19．2019女排世界杯于2019年9月14日到9月29日举行，中国女排以十一胜卫冕女排世界杯冠军，四人进入最佳阵容，女排精神，已经是一种文化．为了了解某市居民对排球知识的了解情况，某机构随机抽取了100人参加排球知识问卷调查，将得分情况整理后作出的直方图如图：（1）求图中实数a的值，并估算平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）得分在90分以上的称为“铁杆球迷”，以样本频率估计总体概率，从该市居民中随机抽取4人，记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20．已知函数f（x）＝ax+lnx，g（x）＝e x﹣1﹣1．（1）讨论函数y＝f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤g（x）+a在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．21．如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A（2，1）作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点．（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；（2）若k1+k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．22．在极坐标系中，曲线，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求C1的直角坐标方程与C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且定点P的坐标为（2，0），求|PA|+|PB|的值．参考答案一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4}【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．2．z＝（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解：∵z＝＝，∴．故选：C．3．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”，则￢p为（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≥0B．∃x∉R，x2﹣x+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜0【分析】由特称命题的否定为全称命题，注意量词和不等号的变化．解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p是∀x∈R，x2﹣x+1≥0．故选：C．4．已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假【分析】命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q真；由已知条件然后逐项判断即可．解：命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q真；∵￢p也为真命题，⇒p为假命题，q为真，￢q为假命题，由逻辑连词链接的命题真假逐项判断即可．故选：B．5．已知命题p：∀x＞0，e x+1＞0；命题q：a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．p∧q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】容易判断出p是真命题，q是假命题，所以得到p∧￢q为真命题．解：∵∀x＞0，e x+1＞e1＝e＞0，∴命题p为真命题，当a＝﹣2，b＝﹣1时，满足a＜b，但不满足a2＜b2，∴命题q为假命题，∴p∧￢q为真命题，故选：A．6．如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为＝0.7x+0.35，则t等于（）x3456y 2.5t4 4.5A．4.5B．3.5C．3.15D．3【分析】计算代入回归方程求出，根据平均数公式列方程解出t．解：＝，∴＝0.7×4.5+0.35＝3.5，∴，解得t＝3．故选：D．7．在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有（）A．24B．30C．48D．60【分析】以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合公式和基本原理可求．解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有C C C＝12种选法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有A C A＝48种选法，所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12+48＝60种，故选：D．8．2020年高校招生实施强基计划，其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，有36所大学首批试点强基计划某中学积极应对，高考前进行了一次模拟笔试，甲、乙、丙、丁四人参加，按比例设定入围线，成绩公布前四人分别做猜测如下：甲猜测：我不会入围，丙一定入围；乙猜测：入围者必在甲、丙、丁三人中；丙猜测：乙和丁中有一人入围；丁猜测：甲的猜测是对的．成绩公布后，四人中恰有两人预测正确，且恰有两人入围，则入围的同学是（）A．甲和丙B．乙和丁C．甲和丁D．乙和丙【分析】本题主要抓住甲、丁的预测是一样的这一特点，则甲、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设甲、丁的预测成立，则乙、丙的预测不成立，可推出矛盾，故甲、丁的预测不成立，则乙、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是甲和丁．解：由题意，可知：∵甲、丁的预测是一样的，∴甲、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．①假设甲、丁的预测成立，则乙、丙的预测不成立，根据甲、丁的预测，丙获奖，乙、丁中必有一人获奖；这与丙的预测不成立相矛盾．故甲、丁的预测不成立，②甲、丁的预测不成立，则乙、丙的预测成立，∵乙、丙的预测成立，∴丁必获奖．∵甲、丁的预测不成立，乙的预测成立，∴丙不获奖，甲获奖．从而获奖的是甲和丁．故选：C．9．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的概率为（）A．B．C．D．【分析】先利用排列组合求出基本事件总数和甲被分到A班包含的基本事件个数，由此能求出甲被分到A班的概率．解：要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，基本事件总数n＝＝36，甲被分到A班包含的基本事件个数m＝＝12，∴甲被分到A班的概率为p＝．故选：B．10．二项展开式的第三项系数为15，则的二项展开式中的常数项为（）A．1B．6C．15D．20【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：∵二项展开式的第三项系数为＝15，∴n＝6，则的二项展开式的通项公式为T r+1＝•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项为T4＝＝20，故选：D．11．已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【分析】由题意，计算正方形EFGH与圆I的面积比，利用对立事件的概率求出P（B|A）的值．解：由题意，设正方形ABCD的边长为2a，则圆I的半径为r＝a，面积为πa2；正方形EFGH的边长为a，面积为2a2；∴所求的概率为P（B|A）＝1﹣＝1﹣．故选：C．12．已知函数f（x）＝|x|e x，若g（x）＝f2（x）﹣af（x）+1恰有四个不同的零点，则a取值范围为（）A．（2，+∞）B．（e+，+∞）C．（2，e）D．（）【分析】函数f（x）＝|x|e x＝，利用导数研究函数的单调性极值即可得出图象，令f2（x）﹣af（x）+1＝0，对△＝a2﹣4及其a分类讨论，结合图象即可得出．解：函数f（x）＝|x|e x＝，x≥0，f（x）＝xe x，f′（x）＝（x+1）e x＞0，因此x≥0时，函数f（x）单调递增．x＜0，f（x）＝﹣xe x，f′（x）＝﹣（x+1）e x，可得函数f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增；可得函数f（x）在（﹣1，0）单调递减．可得：f（x）在x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，f（﹣1）＝．画出图象：可知：f（x）≥0．令f2（x）﹣af（x）+1＝0，①△＝a2﹣4＜0时，函数g（x）无零点．②△＝0时，解得a＝2或﹣2，a＝2时，解得f（x）＝1，此时函数g（x）只有一个零点，舍去．a＝﹣2，由f（x）≥0，可知：此时函数g（x）无零点，舍去．③△＝a2﹣4＞0，解得a＞2或a＜﹣2．解得f（x）＝，f（x）＝．a＜﹣2时，＜0，＜0．此时函数g（x）无零点，舍去．因此a＞2，可得：0＜＜1＜．由g（x）＝f2（x）﹣af（x）+1恰有四个不同的零点，∴a＞2，0＜＜，1＜．解得：a＞+e．则a取值范围为．另解：由g（t）＝t2﹣at+1有两根，一个在（0，）上，一个在（，+∞）上，∴△＝a2﹣4＞0，g（）＝﹣a•+1＜0，解得a＞e+．∴a取值范围为．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X＞2）＝0.2，则P（X＞0）＝0.8．【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由已知结合对称性求解．解：∵随机变量X～N（1，σ2），∴正态分布曲线的对称轴方程为x＝1．又P（X＞2）＝0.2，∴P（X＜0）＝P（X＞2）＝0.2，则P（X＞0）＝1﹣P（X＜0）＝1﹣0.2＝0.8．故答案为：0.8．14．．【分析】由于dx＝，第一个积分根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径第一、二象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以二分之一即可，第二个积分利用公式进行计算即可．解：由于，表示的几何意义是：以（0，0）为圆心，1为半径第一，二象限内圆弧与坐标轴围成的面积＝π×1＝，又＝＝0，∴原式＝．故答案为：．15．已知箱子中装有10不同的小球，其中2个红球，3个黑球和5个白球．现从该箱中有放回地依次取出3个小球，若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D（ξ）＝．【分析】先求出每次抽出红球的概率，然后利用ξ～B（3，），由方差的计算公式求解即可．解：由题意，每次抽出红球的概率为，所以ξ～B（3，），故ξ的方差D（ξ）＝np（1﹣p）＝＝．故答案为：．16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为π．【分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积．解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线BS＝3，底面半径BC＝1，则其高SC＝＝2，不妨设该内切球与母线BS切于点D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，则＝，即＝，解得r＝，V＝πr3＝π，故答案为：π．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x20142015201620172018足球特色学校y（百个）0.300.60 1.00 1.40 1.70（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱）；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）．参考公式：r＝，（x i﹣）2＝10，（y i﹣）2＝1.3，，＝，＝．【分析】（Ⅰ），，∴y与x线性相关性很强．（Ⅱ）根据公式计算线性回归方程，再令x＝2019可得．解：（Ⅰ），，∴y与x线性相关性很强．…………………………（Ⅱ），，∴y关于x的线性回归方程是．当x＝2019时，，即A地区2019年足球特色学校有208个．…………………………18．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计10x A 没有注射重组新冠疫苗注射重组新冠疫苗20y B 总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）由题意列方程求出y、x和A、B的值；计算K2，对照附表得出结论；（2）由题意计算所求的概率值即可．解：（1）由题知，解得y＝5，所以x＝30﹣5＝25，A＝10+25＝35，B＝20+5＝25；所以，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，所以．19．2019女排世界杯于2019年9月14日到9月29日举行，中国女排以十一胜卫冕女排世界杯冠军，四人进入最佳阵容，女排精神，已经是一种文化．为了了解某市居民对排球知识的了解情况，某机构随机抽取了100人参加排球知识问卷调查，将得分情况整理后作出的直方图如图：（1）求图中实数a的值，并估算平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）得分在90分以上的称为“铁杆球迷”，以样本频率估计总体概率，从该市居民中随机抽取4人，记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a，并能估算平均分．（2）记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，则X～B（4，0.1），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）由频率分布直方图得：（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，解得a＝0.030．估算平均分为：＝45×0.005×10+55×0.010×10+65×0.020×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.010×10＝74．（2）得分在90分以上的称为“铁杆球迷”，由频率分布直方图的性质得得分在90分以上的频率为0.010×10＝0.1，以样本频率估计总体概率，从该市居民中随机抽取4人，记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，则X～B（4，0.1），P（X＝0）＝＝0.6561，P（X＝1）＝＝0.2916，P（X＝2）＝＝0.0486，P（X＝3）＝＝0.0036，P（X＝4）＝＝0.0001，∴X的分布列为：X01234P0.65610.29160.04860.00360.0001 E（X）＝4×0.1＝0.4．20．已知函数f（x）＝ax+lnx，g（x）＝e x﹣1﹣1．（1）讨论函数y＝f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤g（x）+a在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，，然后对a进行分类讨论，再结合导数与单调性关系即可求解；（2）由已知不等式可令F（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a，x≥1，然后求导，结合导数研究单调性，即可求解．解：（1）函数f（x）定义域是（0，+∞），，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，无减区间；当a＜0时，函数f（x）在单调递增，在单调递减，（2）由已知e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a≥0在x≥1恒成立，令F（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣ax﹣1+a，x≥1，则，易得F'（x）在[1，+∞）递增，∴F'（x）≥F'（1）＝﹣a，①当a≤0时，F'（x）≥0，F（x）在[1，+∞）递增，所以F（x）≥F（1）＝0成立，符合题意．②当a＞0时，F'（1）＝﹣a＜0，且当x＝ln（a+1）+1时，，∴∃x0∈（1，+∞），使F'（x）＝0，即∃x∈（1，x0）时F'（x）＜0，F（x）在（1，x0）递减，F（x）＜F（1）＝0，不符合题意．综上得a≤0．21．如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A（2，1）作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点．（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；（2）若k1+k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．【分析】（1）设抛物线的方程为x2＝ay，代入A（2，1），可得a＝4，即可求抛物线E 的标准方程和准线方程；（2）设出AB和AC所在的直线方程，分别把直线和抛物线联立后求得B，C两点的横坐标，再由两点式写出直线BC的方程，把B，C的坐标，k1+k2＝k1k2，代入后整理，利用相交线系方程的知识可求出直线BC恒过的定点．【解答】（1）解：设抛物线的方程为x2＝ay，则代入A（2，1），可得a＝4，∴抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝﹣1；（2）证明：设B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB方程y＝k1（x﹣2）+1，AC方程y＝k2（x﹣2）+1，联立直线AB方程与抛物线方程，消去y，得x2﹣4k1x+8k1﹣4＝0，∴x1＝4k1﹣2①同理x2＝4k2﹣2②而BC直线方程为y﹣x12＝（x﹣x1），③∵k1+k2＝k1k2，∴由①②③，整理得k1k2（x﹣2）﹣x﹣y﹣1＝0．由x﹣2＝0且﹣x﹣y﹣1＝0，得x＝2，y＝﹣3，故直线BC经过定点（2，﹣3）．22．在极坐标系中，曲线，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求C1的直角坐标方程与C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且定点P的坐标为（2，0），求|PA|+|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）曲线，根据，整理得：y2＝4x．曲线C2的参数方程为（t为参数）转换为普通方程为：．（2）把直线的参数方程为（t为参数），代入y2＝4x，得到：．所以，，所以|PA|+|PB|＝＝．。
2020-2021学年新疆乌鲁木齐二十中高二(下)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年新疆乌鲁木齐二十中高二（下）期末数学试卷（理科）1.（单选题，4分）公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（）种．A. A105B. C105C.105D.5102.（单选题，4分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A.12种B.24种C.30种D.36种3.（单选题，4分）某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）A.12B.20C.36D.1204.（单选题，4分）新冠防疫期间，某街道需要大量志愿者协助开展防疫工作．某学校有3名男教师、3名女教师申请成为志愿者，若安排这6名志愿者到3个社区协助防疫工作，每个社区男女教师各1名，则不同的安排方式种数是（）A.18B.36C.48D.725.（单选题，4分）（√x -1）5的展开式中，x2的系数为（）A.5B.-5C.10D.-106.（单选题，4分）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）A.720种B.2160种C.4100种D.4400种7.（单选题，4分）已知(x+ax )6的展开式中的常数项为-160，则实数a=（）A.2B.-2C.8D.-88.（单选题，4分）设随机变量ξ服从正态分布N（1，4），则P（ξ＜3）的值为（）（参考数据：P（u-σ＜ξ＜u+σ）=0.6526，P（u-2σ＜ξ＜u+2σ）=0.9544）A.0.1737B.0.3474C.0.6837D.0.82639.（单选题，4分）A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为23，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是（）A. 34B. 89C. 79D. 5610.（单选题，4分）对于数据组（x i，y i）（i=1，2，3，⋯，n），如果由线性回归方程得到的对应于自变量x i的估计值是y î，那么将y i- y î称为相应于点（x i，y i）的残差．某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（x，y）如表所示：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 m根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为ŷ =0.7x+a，据此计算出样本（4，3）处的残差为-0.15，则表中m的值为（）A.3.3B.4.5D.5.511.（填空题，5分）x，y取值如表：x 1 4 5 6y 0.8 m 5.1 5.6 7.4已知y与x线性相关，且求得回归方程为ŷ=x+1，则m=___ ．12.（填空题，5分）C101−C102+C103−C104+⋅⋅⋅+C109−C1010 =___ （用数字作答）．13.（填空题，5分）某校举行教职工党史知识竞赛．高三年级党支部将从4名80、3名90后和1名00后中选派5人参赛，则80后、90后、00后都至少一人入选的选派方法种数是___ .（用数字作答）14.（填空题，5分）如图，三根绳子上共挂有6只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，每枪只能打破一只气球，而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法数是___ ．15.（问答题，8分）有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙箱中有3只红球，5只白球．（1）随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；（2）从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率．16.（问答题，8分）现有甲、乙等6名来自三所大学的大学生（每所大学各2人）志愿者，为响应当地政府生活垃圾分类管理政策的推行，他们被随机分配到3个社区担任“垃圾分类指导员”工作，每个社区分配两名大学生．（1）求甲、乙两人被分配到同一社区的概率；（2）设有X个社区的两名“垃圾分类指导员”来自同一所大学，求X的分布列与数学期望．17.（问答题，8分）随着工作压力的增大，很多家长下班后要么加班，要么抱着手机，陪伴孩子的时间逐渐减少，为了调查A地区家长陪伴孩子的时间，研究人员对200名家长一天陪伴孩子的时间进行统计，所得数据统计如图所示．（Ⅰ）求这200名家长陪伴孩子的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（Ⅱ）若按照分层抽样的方法从陪伴时间在[40，80）的家长中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求至少有1人陪伴孩子的时间在[60，80）的概率；（Ⅲ）为了研究陪伴时间的多少与家长的性别是否具有相关性，研究人员作出统计如表所示，判断是否有99%的把握认为陪伴时间的多少与家长的性别有关．男性 女性 陪伴时间少于60分钟 50 30 陪伴时间不少于60分钟5070附： K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ) ，n=a+b+c+d ． P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.82818.（问答题，8分）一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成，若笔试和抢答满分均为100分，其中5名选手的成绩如表所示：选手 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 笔试（x 分）87909192 95 抢答（y 分）86 89 89 9294对于这5名选手，根据表中的数据，试解答下列两个小题： （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动，以ξ表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望E （ξ）．附： b ̂ = ∑(x i −x )ni=1(y i −y )∑(x i−x )2n i=1， a ̂ = y - b ̂ x ．19.（问答题，8分）抖音是一款音乐创意短视频社交软件，是一个专注年轻人的15秒音乐短视频社区．用户可以通过这款软件选择歌曲，拍摄15秒的音乐短视频，形成自己的作品．2018年6月首批25家央企集体入驻抖音．一调研员在某单位进行刷抖音时间的调查，若该单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人．（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有3人是抖音迷，4人为非抖音迷，现从这7人中随机抽取3人做进一步的详细登记．（ⅰ）用X表示抽取的3人中是抖音迷的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ⅱ）设A为事件“抽取的3人中，既有是抖音迷的员工，也有非抖音迷的员工”，求事件A 发生的概率．。
2020-2021学年北京市昌平区高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，5分）已知全集A={x|x2≤4}，B={x∈Z|x＞-1}，则A∩B=（）A.{0，1，2}B.{1，2}C.{-1，0，1，2}D.{x|-1＜x≤2}2.（单选题，5分）已知x，y∈R，且x＞0，y＞0，x+y=2，那么xy的最大值为（）A. 14B. 12C.1D.23.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（）A.y=1-x2B.y=2|x|C.y= √xD.y=lnx4.（单选题，5分）在等差数列{a n}中，a5=4，数列{a n}的前9项的和为（）A.4B.8C.36D.72}，则函数f（x）=cx2-x-a的图5.（单选题，5分）若不等式ax2-x-c＞0的解集为{x|-1＜x＜12象可以为（）A.B.C.D.6.（单选题，5分）为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女需要志愿者40 30不需要志愿者160 270经计算可得X2≈9.967．由P（X2≥6.635）=0.01，下列结论正确的是（）A.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关B.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关7.（单选题，5分）已知奇函数y={f(x)， x＞0g(x)， x＜0.如果f（x）=a x（a＞0且a≠1）对应的图象如图所示，那么g（x）=（）A. (12)−xB. −(12) xC.2-xD.-2x8.（单选题，5分）“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1．不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到1，得到1即终止运算．已知正整数k，经过6次运算后得到1，则k的值为（）A.32B.32或5C.64D.64或109.（单选题，5分）设无穷等比数列{a n}，则“0＜a2＜a1”是“{a n}为递减数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，5分）2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：① 在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；② 在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；③ 在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；④ 甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．其中所有正确结论的序号是（）A. ① ②B. ② ③C. ① ④D. ③ ④11.（填空题，5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∪B=___ ．12.（填空题，5分）命题p：∃x＞0，x2+x-1≥0，则￢p：___ ．13.（填空题，5分）函数f（x）= lg(2x−1)√1−x的定义域为 ___ ．14.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=17，a n+1=a n-4，则当n=___ 时，数列{a n}的前n项和取得最大值．15.（填空题，5分）已知函数f（x）=xe-x，则f′（1）=___ ；若函数g（x）=f（x）-m有两个零点，则实数m的取值范围是 ___ ．16.（填空题，5分）数列{a n}：a1，a2，…，a n，…；{b n}：b1，b2，…，b n，…定义数列a n b n：a1，a2，b3，a4，a5，b6，a7，…① 设a n= {−1，n为奇数2，n为偶数，b n=1，1≤n≤29，则数列a n b n的所有项的和等于 ___ ；② 设a n=5n，b n=4n-1，1≤n≤29，则数列a n b n与b n a n有 ___ 个公共项．17.（问答题，14分）已知等差数列{a n}满足a3+a5=20，a6=4a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，c n=a n+b n，再从条件① 、条件② 、条件③ 中选择两个作为一组已知条件，求数列{c n}的前n项和S n．条件① ：b1=1；条件② ：b5=8b2；条件③ ：b2+b3=6．18.（问答题，14分）已知函数f（x）= 13x3−x2 +1．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．19.（问答题，14分）记数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，都有S n= 32a n−2n．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）设b n=a n+2，求证：数列{b n}是等比数列；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和S n．20.（问答题，14分）已知函数f（x）=lnx-（a+1）x+1，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≤0；x2-1在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+ a221.（问答题，14分）已知集合A={1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为A k，1，A k，2，A k，3，…，A k，m，其中1≤k≤n，k∈N*，m∈N*．当1≤j≤m，j∈N*时，设A k，j={x1，x2，……，x k}，且x1＜x2＜x3＜…＜x k．定义：S（A k，j）=x k-x k-1+x k-2-…+（-1）k+1x1；T[k]=S（A k，1）+S（A k，2）+S（A k，3）+…+S（A k，m）．（Ⅰ）若n=5，（ⅰ）写出满足S（A4，j）=2的一个集合A4，j，并写出j的最大值；（ⅱ）求T[1]+T[2]+T[3]的值；（Ⅱ）若存在唯一的n∈N*，使得T[1]+T[2]+…+T[n]=1024，求n的值．2020-2021学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，5分）已知全集A={x|x2≤4}，B={x∈Z|x＞-1}，则A∩B=（）A.{0，1，2}B.{1，2}C.{-1，0，1，2}D.{x|-1＜x≤2}【正确答案】：A【解析】：可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|-2≤x≤2}，B={x∈Z|x＞-1}，∴A∩B={x∈Z|-1＜x≤2}={0，1，2}．故选：A．【点评】：本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知x，y∈R，且x＞0，y＞0，x+y=2，那么xy的最大值为（）A. 14B. 12C.1D.2【正确答案】：C）2=1，即可得答案．【解析】：根据题意，由基本不等式的性质可得xy≤（x+y2【解答】：解：根据题意，x＞0，y＞0，x+y=2，）2=1，当且仅当x=y=1时等号成立，则xy≤（x+y2即xy的最大值为1．【点评】：本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．3.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（）A.y=1-x2B.y=2|x|C.y= √xD.y=lnx【正确答案】：B【解析】：根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．【解答】：解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=1-x2，是二次函数，是偶函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；对于B，y=2|x|= {2x，x≥02−x，x＜0，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增，符合题意；对于C，y= √x，其定义域为[0，+∞），不是偶函数，不符合题意；对于D，y=lnx，是对数函数，其定义域为（0，+∞），不是偶函数，不符合题意；故选：B．【点评】：本题考查函数单调性和奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．4.（单选题，5分）在等差数列{a n}中，a5=4，数列{a n}的前9项的和为（）A.4B.8C.36D.72【正确答案】：C【解析】：利用等差数列的通项公式和前n项和公式直接求解．【解答】：解：在等差数列{a n}中，a5=4，∴数列{a n}的前9项的和为：S9=92(a1+a9) =9a5=36．【点评】：本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．}，则函数f（x）=cx2-x-a的图5.（单选题，5分）若不等式ax2-x-c＞0的解集为{x|-1＜x＜12象可以为（）A.B.C.D.【正确答案】：C，且a＜0，由根与系数【解析】：根据题意，分析可得方程ax2-x-c=0的解为x1=-1或x2= 12的关系分析a、c的值，即可得f（x）的解析式，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，不等式ax 2-x-c ＞0的解集为{x|-1＜x ＜ 12 }， 则方程ax 2-x-c=0的解为x 1=-1或x 2= 12，且a ＜0， 则有 {(−1)+12=1a(−1)×12=−c a，解可得 {a =−2c =−1 ， 函数f （x ）=cx 2-x-a=-x 2-x+2，是开口向下，对称轴为x=- 12的二次函数， 故选：C ．【点评】：本题考查一元二次不等式的解法，涉及二次函数的性质，属于基础题．6.（单选题，5分）为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女 需要志愿者4030不需要志愿者160 270 经计算可得X 2≈9.967．由P （X 2≥6.635）=0.01，下列结论正确的是（ ） A.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 B.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 【正确答案】：B【解析】：利用独立性检验中K 2的统计意义判断．【解答】：解：因为9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关． 故选：B ．【点评】：本题考查独立性检验，属于基础题． 7.（单选题，5分）已知奇函数 y ={f (x )， x ＞0g (x )， x ＜0.如果f （x ）=a x （a ＞0且a≠1）对应的图象如图所示，那么g （x ）=（ ）A. (12)−xB. −(12) xC.2-xD.-2x【正确答案】：D【解析】：根据函数的奇偶性，先求出函数f（x）的图象即可得到结论．【解答】：解：当x＞0时，函数单调递减，则0＜a＜1，∵f（1）= 12，∴a= 12，即函数f（x）=（12）x，当x＜0，则-x＞0，则f（-x）=（12）-x=-f（x），则y=-（12）-x=-2x，即g（x）=-2x，x＜0，故选：D．【点评】：本题主要考查函数解析式的求解，根据指数函数的图象求出函数的解析式，结合函数奇偶性的性质是解决本题的关键．8.（单选题，5分）“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1．不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到1，得到1即终止运算．已知正整数k，经过6次运算后得到1，则k的值为（）A.32B.32或5C.64D.64或10【正确答案】：D【解析】：利用正整数k经过6次运算后得到1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到k 的所有可能的取值．【解答】：解：根据题意，正整数k经过6次运算后得到1，所以正整数k经过5次运算后得到2，经过4次运算后得到4，经过3次运算后得到8或1（不符合题意，舍去），经过2次运算后得到16，则经过1次运算后得到32或5，所以正整数k的值为64或10，故选：D．【点评】：本题主要考查了归纳推理的应用，按照变换规则，进行逆向分析是解题关键，考查了学生的推理能力，是中档题．9.（单选题，5分）设无穷等比数列{a n}，则“0＜a2＜a1”是“{a n}为递减数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由已知求出等比数列的公比范围，然后结合通项公式判断{a n}的单调性，举出反例说明“{a n}为递减数列”不能得到“0＜a2＜a1”，进一步得出结论．【解答】：解：因为无穷等比数列{a n}，0＜a2＜a1，所以公比q满足0＜q=a2a1＜1，所以有a n＞a n+1=a n q，即{a n}为递减数列；而无穷等比数列{a n}如果是递减数列，它的第一项和第二项可以为负，如−18，−14，−12，−1，−2……，所有不一定可以得到0＜a2＜a1，所以“0＜a2＜a1”是“{a n}为递减数列”的充分而不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了等比数列的单调性的判断，通项公式及充要条件的判断，属于基础题．10.（单选题，5分）2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：① 在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；② 在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；③ 在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；④ 甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．其中所有正确结论的序号是（）A. ① ②B. ② ③C. ① ④D. ③ ④【正确答案】：B【解析】：利用平均变化率、瞬时变换率的含义理解统计表，并进行选项判断．【解答】：解：① 在[t1，t2]这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，说法错误．② 在[t2，t3]这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，说法正确．③ 在t2时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确．④ 甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误．故选：B．【点评】：本题考查在图象中理解瞬时变化率及平均变化率，属于基础题．11.（填空题，5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∪B=___ ．【正确答案】：[1]{3，4，5}【解析】：进行补集和并集的运算即可．【解答】：解：∵U={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，2，3}，B={3，4}，∴∁U A={4，5}，（∁U A）∪B={3，4，5}．故答案为：{3，4，5}．【点评】：本题考查了集合的列举法的定义，并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．12.（填空题，5分）命题p：∃x＞0，x2+x-1≥0，则￢p：___ ．【正确答案】：[1]∀x＞0，x2+x-1＜0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x＞0，x2+x-1＜0．故答案为：∀x＞0，x2+x-1＜0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．13.（填空题，5分）函数f（x）=√1−x___ ．【正确答案】：[1]（12，1）【解析】：由题意根据函数的定义域的求法，得出x的范围．【解答】：解：对于函数f（x）=√1−x2x-1＞0，1-x＞0，求得12＜x＜1，可得函数的定义域为（12，1），故答案为：（12，1）．【点评】：本题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题．14.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=17，a n+1=a n-4，则当n=___ 时，数列{a n}的前n项和取得最大值．【正确答案】：[1]5【解析】：根据条件求得数列{a n}是首项为17，公差为-4的等差数列，进而分析出何时项为正，何时为负即可求解结论．【解答】：解：∵数列{a n}满足a1=17，a n+1=a n-4，∴数列{a n}是首项为17，公差为-4的等差数列，∴a n=17-4（n-1）=21-4n，∴当n≤5时，a n＞0，当n＞5时，a n＜0，∴当n=5时，数列{a n}的前n项和取得最大值，故答案为：5．【点评】：本题考查等差数列的前n项和取最大值时n的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.（填空题，5分）已知函数f（x）=xe-x，则f′（1）=___ ；若函数g（x）=f（x）-m有两个零点，则实数m的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]0; [2]（0，1e）【解析】：根据题意，求出函数的导数，将x=1代入可得第一空答案，由函数的导数分析f （x）的单调性，可得f（x）的最值，据此作出函数的大致图像，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f（x）=xe-x，则其导数f（x）=（x）′e-x+x（e-x）′=（1-x）e-x，则f′（1）=（1-1）e-1=0，f′（x）=（1-x）e-x，在区间（-∞，1）上，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，在区间（1，+∞）上，f′（x）＜0，则f（x）为减函数，则f（x）≤f（1）= 1e，在区间（-∞，0）上，f（x）＜0，在区间（0，+∞）上，0＜f（x）≤ 1e，若函数g（x）=f（x）-m有两个零点，即函数y=f（x）与直线y=m有且仅有2个交点，必有0＜m≤ 1e ，即m的取值范围为（0，1e）．故答案为：0，（0，1e）．【点评】：本题考查函数导数与单调性的关系，注意正确计算函数的导数，属于中档题．16.（填空题，5分）数列{a n}：a1，a2，…，a n，…；{b n}：b1，b2，…，b n，…定义数列a n b n：a1，a2，b3，a4，a5，b6，a7，…① 设a n= {−1，n为奇数2，n为偶数，b n=1，1≤n≤29，则数列a n b n的所有项的和等于 ___ ；② 设a n=5n，b n=4n-1，1≤n≤29，则数列a n b n与b n a n有 ___ 个公共项．【正确答案】：[1]19; [2]2【解析】：① 由题意可以得到数列a n b n的通项公式，然后根据{a n}、{b n}的通项公式可以知道29个项里面有9个1，10个-1，10个2，从而得到问题解答；② 由题意可以得到数列a n b n和b m a m的通项公式，再令a n b n=b m a m即可得到n、m的关系式，最后根据5的倍数与4的倍数的特征可以得到解答．【解答】：解：① 由题意可得：a nb n= {a n，n≠3k，k∈N∗b n，n=3k，k∈N∗，∴当1≤n≤29时，数列a n b n的所有项的和为：9×1+（15-5）×（-1）+（14-4）×2=19；② 由题意可得：a nb n= {5n，n≠3k，k∈N∗4n−1，n=3k，k∈N∗，b m a m= {4m−1，m≠3k，k∈N∗5m，m=3k，k∈N∗，很显然，要使a n b n=b m a m，必须n、m同时为3的倍数或者同时不为3的倍数，若n、m同时为3的倍数，则有5m=4n-1，则n=24或n=9，此时m=19或m=7，不成立；若n、m同时不为3的倍数，则有5n=4m-1，则m=4或14或19或29，此时对应的有n=3或11或15或23，把与题意相矛盾的舍去，剩下m=14，n=11或m=29，n=23，即a11b11=b14a14或a23b23=b29a29，即数列a n b n与b n a n有2个公共项；故答案为19；2．【点评】：本题考查数列的综合应用，熟练掌握数列通项的求法是解题关键．17.（问答题，14分）已知等差数列{a n}满足a3+a5=20，a6=4a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，c n=a n+b n，再从条件① 、条件② 、条件③中选择两个作为一组已知条件，求数列{c n}的前n项和S n．条件① ：b1=1；条件② ：b5=8b2；条件③ ：b2+b3=6．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，即可求得数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }的公比为q ，分别取条件 ① ② 、条件 ① ③ 、条件 ② ③ 作为已知条件，列关于首项与公比的方程组，求解首项与公比，即可求得数列{b n }的通项公式，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前n 项和公式求解．【解答】：解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知可得 {2a 1+6d =20a 1+5d =4(a 1+d ) ，解得 {a 1=1d =3 ．∴a n =a 1+（n-1）d=3n-2， 则数列{a n }的通项公式为a n =3n-2； （Ⅱ）设数列{b n }的公比为q ， 选择条件 ① ② 作为已知条件：则 {b 1=1b 1q 4=8b 1q，解得 {b 1=1q =2 ， ∴ b n =b 1q n−1=2n−1 ；选择条件 ① ③ 作为已知条件：则 {b 1=1b 1q +b 1q 2=6，解得 {b 1=1q =2 或 {b 1=1q =−3 （舍）， ∴ b n =b 1q n−1=2n−1 ；选择条件 ② ③ 作为已知条件：则 {b 1q 4=8b 1q b 1q +b 1q 2=6 ，解得 {b 1=1q =2 ， ∴ b n =b 1q n−1=2n−1 ；∴ c n =a n +b n =3n −2+2n−1 ，则 S n =[1+4+7+...+(3n −2)]+(1+2+22+...+2n−1) = n +n (n−1)2×3+1−2n1−2=n (3n−1)2+2n −1 ． ∴数列{c n }的前n 项和S n = n (3n−1)2+2n −1 ．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查运算求解能力，是中档题．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）= 13x 3−x 2 +1． （Ⅰ）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在[-2，2]上的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出函数的导数，就是f（1），f′（1），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值即可．【解答】：解：（Ⅰ）f′（x）=x2-2x，则f′（1）=-1，∵f（1）= 13，∴切点是（1，13），故切线方程是y- 13=-（x-1）即3x+3y-4=0；（Ⅱ）令f′（x）=x2-2x=0，解得：x=0或x=2，x，f′（x），f（x）在[-2，2]的变化如下：∴f（x）地方极大值是f（0）=1，又f（2）=- 13，f（-2）=- 173，∴f（x）在[-2，2]的最大值是f（0）=1，f（x）在[-2，2]在最小值是f（-2）=- 173．【点评】：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用，是中档题．19.（问答题，14分）记数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，都有S n= 32a n−2n．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）设b n=a n+2，求证：数列{b n}是等比数列；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用数列的递推关系式和赋值法的应用求出结果；（Ⅱ）利用递推关系式的应用求出数列为等比数列；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，都有S n= 32a n−2n．当n=1时，解得a1=4，当n=2时，S2=a1+a2=32a2−4，解得a2=16．（Ⅱ）由于S n=32a n−2n① ，当n≥2时，S n−1=32a n−1−2(n−1)② ，① - ② 得：a n=3a n-1+4，由于b n=a n+2，所以b n+1=a n+1+2=3a n+6，故b n+1b n =3a n+6a n+2=3，所以数列{b n}是以6为首项，3为公比的等比数列；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：b n=6×3n−1，故a n=b n-2=6×3n-1-2，所以S n=32a n−2n=32(6×3n−1−2)−2n=3n+1−2n−3．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.（问答题，14分）已知函数f（x）=lnx-（a+1）x+1，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≤0；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+ a2x2-1在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出f'（x），令f'（x）=0，求出x的值，然后利用f'（x）的正负确定函数f（x）的单调性，由函数极值的定义求出函数f（x）的极值，即函数f（x）的最值，从而得到f（x）的取值范围，即可证明；（Ⅱ）求出g'（x），然后分a≤0，0＜a＜1和a≥1三种情况，分别利用导数判断函数的单调性，结合函数极值的定义分析求解即可．【解答】：（Ⅰ）证明：函数f（x）=lnx-（a+1）x+1，定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=lnx-x+1，则f'（x）= −x+1x，令f'（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当x＞1时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，所以当x=1时，函数f（x）取得唯一的极大值f（1）=0，故f（x）的最大值为0，所以f（x）≤0；（Ⅱ）解：函数g（x）=f（x）+ a2x2-1，则g'（x）= ax 2−(a+1)x+1x=(x−1)(ax−1)x，① 当a≤0时，则ax-1＜0，当0＜x＜1时，x-1＜0，则g'（x）＞0，故g（x）单调递增，当x＞1时，x-1＞0，则g'（x）＜0，故g（x）单调递减，所以当x=1时，g（x）取得极大值，符合题意；② 当0＜a＜1时，则ax＜x，当0＜x＜1时，ax-1＜x-1＜0，则g'（x）＞0，故g（x）单调递增，当1＜x＜1a时，x-1＞0，ax-1＜0，则g'（x）＜0，故g（x）单调递减，所以当x=1时，g（x）取得极大值，符合题意；③ 当a≥1时，当x＞1时，ax-1≥x-1＞0，则g'（x）＞0，故g（x）单调递增，所以1不是函数g（x）的极大值．综上所述，实数a的取值范围为（-∞，1）．【点评】：本题考查了利用导数在函数中的应用，利用导数研究函数的单调性以及函数的最值问题，利用导数研究函数的极值问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，14分）已知集合A={1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为A k，1，A k，2，A k，3，…，A k，m，其中1≤k≤n，k∈N*，m∈N*．当1≤j≤m，j∈N*时，设A k，j={x1，x2，……，x k}，且x1＜x2＜x3＜…＜x k．定义：S（A k，j）=x k-x k-1+x k-2-…+（-1）k+1x1；T[k]=S（A k，1）+S（A k，2）+S（A k，3）+…+S（A k，m）．（Ⅰ）若n=5，（ⅰ）写出满足S （A 4，j ）=2的一个集合A 4，j ，并写出j 的最大值； （ⅱ）求T[1]+T[2]+T[3]的值；（Ⅱ）若存在唯一的n∈N*，使得T[1]+T[2]+…+T[n]=1024，求n 的值．【正确答案】：【解析】：理解定义：S （A k ，j ）=x k -x k-1+x k-2-…+（-1）k+1x 1，T[k]=S （A k ，1）+S （A k ，2）+S （A k ，3）+…+S （A k ，m ）．（Ⅰ）用特殊值和枚举法解题，（Ⅱ）分类讨论．【解答】：解：（Ⅰ）若n=5，（i ）取A 4，j ={1，2，3，4}，S （A 4，j ）=4-3+2-1=2． j 的最大值为3．（ii ）枚举法：集合A 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，则T[1]=15； 集合A 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，则T[2]=20；集合A 含有3个元素的子集有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，则T[3]=30； ∴T[1]+T[2]+T[3]=65．（Ⅱ）对于集合A 的子集，可以分两类，一类含n ，一类不含n ；如果有集合{x 1，x 2，...，x k ，n}（x 1，x 2，...，x k ，n∈Z ，且x 1＜x 2＜...＜x k ＜n ），则存在唯一与之对应的集合{x 1，x 2，...，x k }，满足S （{x 1，x 2，...，x k }）+S （{x 1，x 2，...，x k ，n}）=n ，且这样的集合有 C n−1k（1≤k ＜n ）组，最后还剩下集合{n}；∴T[1]+T[2]+…+T[n]=n （ C n−11 + C n−12 +...+ C n−1n−1 ）+n=2n-1•n ，令2n-1•n=1024，得n=8．【点评】：本题考查等比数列的前4项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．。