001-2021届 江苏新高考模拟高三新高考(一模模拟)数学试题(原卷版)
2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(原卷版)
一、选择题目：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1.设 2（z+�）+3(z-�)=4+6i，则 z=( ).
A.1-2i
B.1+2i
C.1+i
D.1-i
2.已知集合 S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则 S∩T=( )
（1）写出⊙C 的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点 F（4,1）作⊙C 的两条切线, 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. 23.[选修 4 一 5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥6 的解集； （2）若 f（x）≥ —a ,求 a 的取值范围.
祝福语 祝你马到成功，万事顺意!
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为�和�，样本方差分 别记为 s12 和 s22
（1） 求�，�， s12，s22； （2） 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
�-�≥2 �12+2�22，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显 著提高，否则不认为有显著提高）. 18.(12 分) 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面 ABCD，PD=DC=1，M 为 BC 的 中点，且 PB⊥AM， （1） 求 BC； （2） 求二面角 A-PM-B 的正弦值。
作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提 高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数 据如下： 旧 设 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 备 新 设 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 备
(新高考地区使用)测评卷(一)-2021年新高考数学优选测评卷(解析版)
2021年新高考数学优选测评卷数学 优选卷（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数2lg(2)y x x =--+的定义域为集合M ，函数sin y x =的值域为N ，则M N =（ ）A ．∅B ．(]2,1-C ．[)1,1- D ．[]1,1-【答案】C【解析】因为220x x --+>，所以()2,1M =-，又[]1,1N =-，故[)1,1M N =-.故选:C . 2．若12aii+-为实数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．12-C ．12D ．2-【答案】B 【解析】1221255ai a a i i +-+=+-，要使原式是实数，则2105a +=，12a =-， 故选：B .3．中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用1234若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（ ） A ．135B ．170C ．1840D ．11680【答案】A【解析】记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件M . 依题意得()4821C 35P M ==. 故选: A4．下列三个命题：①命题p ：2, 0x R x x ∀∈+<，则命题p 的否定是：2, 0x R x x ∃∈+>； ②命题p ：211x -≤，命题q ：101x>-，则p 是q 成立的充分不必要条件； ③在等比数列{}n b 中，若52b =，98b =，则74b =±； 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】①命题p ：2,0x R x x ∀∈+<，则命题p 的否定是2,0x R x x ∃∈+≥，所以该命题是假命题；②化简命题p ：01x ≤≤，命题q ：1x <，则p 是q 成立的非充分非必要条件，所以该命题是假命题； ③在等比数列{}n b 中，若52b =，98b =，则74b =±，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4，所以74b =.所以该命题是假命题.所以有0个真命题. 故选：A.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50C ．60D ．80【答案】C 【解析】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C6．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足21AM AN +=，设AC x AM y AN =+，则23x y +的最小值为（ ） A ．48 B ．49C ．50D ．51【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()4,3C ，()0,3D ， 设(),0M m ，()0,N n ，因为21AM AN +=，所以21m n +=，102m <<，01n <<. 因为AC x AM y AN =+，所以4x m =，3y n=，所以()898981823225252449n mx y m n m n m n m n⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭. 当且仅当818n m m n=，即27m =，37n =时取等号.故选: B .7．如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得ABC 为等边三角形，则t 的值为（ ）A 32+ B 333+C 333+D ．333【答案】C【解析】由題意()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =. 设()3,log C x x ，因为ABC 是等边三角形，所以点C 到直线AB 的距离为32， 所以3t x -，3x t =. 根据中点坐标公式可得33333log log 131log log log 223t t t t ⎛+-==-= ⎝⎭， 所以33t -=，解得333t +=故选：C8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 在双曲线上，且点()2,1M -为线段PQ 的中点，//PQ BF ，双曲线的离心率为e ，则2e =（ ）A ．212B 31+ C ．222D 51+ 【答案】A【解析】解法一：由题意知(),0F c ，()0,B b ，则PQ BF bk k c==-.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减，得()()2121221212b x x y y x x a y y +-=-+. 因为线段PQ 的中点为()2,1M -， 所以124x x +=-，122y y +=， 又1212PQy y b k x x c -==--，所以2242b b c a--=，整理得22a bc =， 所以()42222244a b c c c a ==-，即424410e e --=，得2e =. 故选：A.解法二：由题意知(),0F c ，()0,B b ，则BF b k c=-. 设直线PQ 的方程为()12y k x -=+，即21y kx k =++， 代人双曲线方程，得()()()222222222221210ba k x a k k a k ab --+-+-=.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则124x x +=-， 所以()22222214a k k b a k+=--，又BF b k k c ==-，所以22222144b b b a b a c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得22a bc =，所以2220c b bc --=， 即2210c cb b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1c b ，则)()22222222221111c c c b e a c b c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两番，为了更好地了解该开发区的经济收人变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图，则下列结论中正确的是（ ）A ．产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多B ．产业结构调整后科技研发的收入增幅最大C ．产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低D ．产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入 【答案】ABD【解析】设产业结构调整前的经济收入为a ，则调整后的经济收入为4a ，由饼状图知调整前纺织服装收入为0.45a ，节能环保收入为0.15a ，食品加工收入为0.18a ，科技研发收入为0.22a ，调整后的纺织服装收入为40.150.6a a ⨯=，节能环保收入为40.25a a ⨯=，食品加工收入为40.150.6a a ⨯=，科技研发收入为40.45 1.8a a ⨯=.对于选项A ：由以上数据易得产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多都为a ，故选项A 正确；对于选项B ：产业结构调整后科技研发的收入为1.8a ，增幅最大，故选项B 正确； 对于选项C ：产业结构调整后纺织服装收入为0.6a ，调整前为0.45a ，有所升高， 故选项C 错误；对于选项D ：产业结构调整后食品加工收入是0.6a ，调整前纺织服装收入是0.45a ，所以产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入的43倍，故选项D 正确. 故选：ABD10．设函数()()sin 2f x x ϕ=+，已知()f x 在()0,2π上有且仅有1个极大值点，则下列四个结论中正确的有（ ）A ．()f x 在()0,2π内有5个零点B ．()f x 在()0,2π有2个极小值点C ．()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．ϕ可以取2π【答案】BD【解析】因为函数()()sin 2f x x ϕ=+的最小正周期22T ππ==，又因为()f x 在()0,2π上有且仅有1个极大值点，所以函数()f x 的图象如图所示.所以()f x 在()0,2π内有4个零点，()f x 在()0,2π有2个极小值点，()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，由()0sin 1f ϕ==解得22k πϕπ=+，k ∈Z .所以BD 正确，AC 错误.故选：BD .11．已知双曲线1C ：()2211221110,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的方程为3y x =，且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆2C ：22221x y a b+=的焦距与双曲线1C 的焦距相同，且椭圆2C 的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线交2C 于A ，B 两点，若点()11,A y ，则下列说法中正确的有（ ）A ．双曲线1C 的离心率为2B ．双曲线1C 的实轴长为12C ．点B 的横坐标的取值范围为()2,1--D ．点B 的横坐标的取值范围为()3,1--【答案】AD【解析】双曲线1C ：()2211221110,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的方程为3y x =，则可设双曲线1C 的方程为223y x λ-=，∵过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴314λ-=，解得14λ=，∴双曲线1C 的方程为224413x y -=，即2211344x y -=，可知双曲线1C 的离心率1212e ==，实轴的长为1，故选项A 正确，选项B 错误； 由13144+=可知椭圆2C ：22221x y a b+=的焦点()11,0F -，()21,0F，不妨设()()111,0A y y >，代入22221x y a b +=得212211y a b +=，∴21b y a =，∴直线AB 的方程为2(1)2by x a=+， 联立22222(1)21b y x a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得()()2222321310a x a x a ++---=，根据韦达定理可得221313B a a x +-=+⋅，可得222318333B a x a a +=-=-+++.又21a >，∴234a +>，28123a <<+，∴31B x -<<-，故选项C 错误，选项D 正确. 故选：AD.12．如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A D 的中点，F 为1CC 上的一个动点，设由点A ，E ，F 构成的平面为α，则（ ）A ．平面α截正方体的截面可能是三角形B ．当点F 与点1C 重合时，平面α截正方体的截面面积为26C ．点D 到平面α的距离的最大值为263D ．当F 为1CC 的中点时，平面α截正方体的截面为五边形【答案】BCD【解析】如图，建立空间直角坐标系，延长AE 与z 轴交于点P ， 连接PF 与y 轴交于点M ，则平面α由平面AEF 扩展为平面APM .由此模型可知A 错误，B ，D 正确.()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2D A P 设点M 的坐标为()[]()0,,02,4t t ∈，则可知点P 到直线AM 的距离为，则可得APM △的面积222125164t d S t =++=12442PAD S =⋅⋅=△，设点D 到平面α的距离为h ，利用等体积法D APM M PAD V V --=，即1133APM PAD S h S t ⋅⋅=⋅⋅△△可得2516h t =+.则2165h t =+， 由2165h t =+在[]2,4t ∈单调递增 所以当4t =时，h 取到最大值为263.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =_________． 【答案】12【解析】当2n =时，2113a S =+=；当3n ≥时， 由11n n a S -=+可得121n n a S --=+，两式相减得11n n n a a a ---=，即12n n a a -=， 所以，数列{}n a 是从第二项开始成以2为公比的等比数列，24223412a a ∴=⨯=⨯=.故答案为：12.14．仰望星空，时有流星划过天际，如图，有两个观察者在地球上A ，B 两地同时看到S 处有一颗流星，仰角分别是α和β(MA ，MB 表示当地的地平线)，假设O 为地球中心，且点S ，A ，B ，O 共面，劣弧AB 所对的圆心角为2θ.若测算到23.2α=︒，44.3β=︒， 2.25θ=︒，500km AB ≈，则AS ≈___________km .(精确到1km )参考数据：sin23.20.394︒≈，sin46.550.726︒≈，sin720.951︒≈.【答案】382【解析】连接MO ，由题意得,MA OA MB OB ⊥⊥，OA 、OB 为半径，所以MAO MBO ≌，所以MO AB ⊥，所以MOA MOB θ∠=∠=, 所以MAB MBA θ∠=∠=,在SAB 中，25.45SAB αθ∠=+=︒，46.55SBA βθ∠=+=︒，所以18025.4546.55108ASB ∠=︒-︒-︒=︒.由正弦定理得sin sin AB ASASB SBA=∠∠，可得()5000.726382km 0.951AS ⨯≈≈.故答案为：38215．已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB PB AC ====，22CP =D 是PB 的中点，且7CD =O 的表面积为____________.【答案】283π【解析】由2PA AC ==，22CP =222PA C C P A =+，所以PA AC ⊥， 由点D 是PB 的中点，且2PA AB PB ===，可求得3AD =，又由7,2CD AC ==，可得222CD AD AC =+，所以AD AC ⊥，又ADAP A =且,AD AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB ，以PAB △为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，如图所示，则三棱锥P ABC -的外接球即为该三棱柱的外接球，球心O 到底面PAB △的距离为112d AC ==, 由正弦定理，可得PAB △的外接圆的半径为122sin 603PA r =⨯= 所以球O 的半径为2222271()33R d r =+=+=，所以球O 的表面积为2272844)33S R πππ==⨯=.故答案为：283π.16．已知函数()23f x x a x b =+++，当2,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时记()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______ 【答案】1727【解析】对()23f x x a x b =+++去绝对值可得()32f x x x a b +=++①，当2,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2230f x x x '+=>，()f x 的最大值为()111f a b =+++，()32f x x x a b -=-+②，()2320f x x x '=->，()f x 的最大值为()111f a b =+++， ()32f x x x a b +=-+-③，()2230f x x x '+=-<，()f x 的最大值为2483927f a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，()32f x x x a b -=---④，()2230f x x x '-=-<，()f x 的最大值为2483927f a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最大值为23f ⎛⎫⎪⎝⎭或()1f ， ()()11,1f a b M a b =+++≥，()248,3927M a b f a b ⎛⎫≥=+++ ⎪⎝⎭， ()4848111192792,72a b a b a a b M a b b ⎛⎫⎛⎫+++++++=+++++++ ⎪≥ ⎪⎝⎭⎝⎭48519341192792727a ab b ≥+--++--=+=，所以()17,27M a b ≥， 故答案为：1727四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记3log n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）323443n n +-⋅. 【解析】（1）令1n =得1121S a +=，可得113a =； 当2n ≥时，1121n n S a --+=与21n n S a +=相减，可得13n n a a -=. 所以{}n a 是以13为首项，公比为13的等比数列. 故1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）利用对数的性质可得331log log 3nn n b a n ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， ①1122212333n n n n nT a b a b a b =+++=+++.②2311123333n n n T +=+++ 两式相减①—②可得231121111123333333223n n n n n n T +++=++++-=-⋅. 整理得323443n nn T +=-⋅.18．在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，1cos 3B =，a b +=（1）求,a b 的值；（2）已知,D E 分别在边,BA BC 上，且42AD CE +=，求BDE 面积的最大值. 【答案】（1）32a =，42b =；（2）最大值423. 【解析】解：（1）因为4A π=，1cos 3B =，所以222sin 1cos 3B B =-=，2sin 2A =，由正弦定理，72a b +=可化为()2sin sin 72R A B +=，即22227232R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭解得26R =， 所以22sin 6322a R A ==⨯=，222sin 6423b R B ==⨯=； （2）()42sin sin sin cos cos sin 6C A B A B A B +=+=+=， sin sin c aC A=，解得42c =+. 因为42AD CE +=，所以()4232424BD BE AB BC AD CE +=+-+=++-=，BDE 的面积212242sin 23323BDEBD BE SBD BE B BD BE +⎛⎫==≤=⎪⎝⎭，当且仅当2BD BE ==时，取得最大值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，2APB π∠=，3ABC π∠=，23PB =，4PC =，点M 是AB 的中点.（1）求证：CM ⊥平面PAB ；（2）线段CD 上是否存在一点N ，使得直线PN 与平面PMD 6，若存在，求出的CNND值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1CNND=. 【解析】解：（1）证明：连接PM ，在PAB ∆中，因为3ABC π∠=，23PB =，4PC =，所以2PA =.因为点M 是AB 的中点，所以2BM PM ==. 在BMC ∆中，3MBC π∠=，2BM =，4BC =，由余弦定哩，有23CM =，所以222BM CM BC +=，所以AB CM ⊥.在PMC ∆中，2PM =，23CM =，4PC =满足222PC CM PM =+， 所以PM CM ⊥，又AB PM M =，所以CM ⊥平面PAB .（2）如图，以点M 为坐标原点，建立空间肖角坐标系，则()0,0,0M ，(0,23,0)C ，(4,23,0)D -，设(),0,p p P x z ，(,23,0)([0,4])N λλ-∈，在PAB ∆中，3P PA PBz AB⋅==，而2PM =，得1P x =-，所以(1,0,3)P -. 平面PMD 的一个法向量为()111,,m x y z =，直线PN 与平面PMD 所成角为θ. 因为，所以(3,2,1)m =.因为(1,23,3)PN λ=--.所以2|||433|6sin |cos ,|8||22216PN PN ||PN λθλλ⋅-====⋅⋅-+m n m ，得210160λλ-+=，所以2λ=或8λ=(舍)，所以1CNND=.20．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.05 0.01 k3.8416.635（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计（3）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取一名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：34，方差：916.【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()21003010451575254555⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯10033= 3.030≈.因为3.030 3.841<，所以没有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14. 由题意13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，从而X 的分布列为所以()1344E X np ==⨯=， ()()139134416D X np p =-=⨯⨯=.21．给定椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），称圆心在原点O ，圆是椭圆C 的“卫星圆”.若椭圆C 的一个焦点为()2,0F -，点(O 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 的直线1l ，2l 与椭圆C 都只有一个交点，且1l ，2l 分别交其“卫星圆”于点M ，N .试探究：MN 的长是否为定值？若为定值，写出证明过程；若不是，说明理由.【答案】（1）椭圆的方程为22184x y +=，卫星圆的方程为2212x y +=；（2）是定值，证明过程见解析.【解析】（1）由条件可得椭圆C 的另一个焦点为()12,0F ，∴2a ==∴a =2c =，2b =，所以椭圆的方程为22184x y +=，卫星圆的方程为2212x y +=.（2）MN的长度为定值 ①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个交点，则其方程为x =x =-，当方程为x =此时1l 与“卫星圆”交于点()和()2--，此时经过点()，()2--且与椭圆只有一个交点的直线是2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，∴12l l ⊥，∴线段MN 是“卫星圆”的直径，∴MN =②当1l ，2l 都有斜率时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个交点的直线为()00y t x x y =-+，则()0022184y tx y tx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得到 ()()()2220000124280txt y tx x y tx ++-+--=，∴()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=，∴()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===---， 所以121t t ⋅=-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直. ∴线段MN 是“卫星圆”的直径，∴MN = 综合①②知：MN =. 22．设函数()1( )xxa a f x e -=+>.（1）求证：()f x 有极值点；（2）设()f x 的极值点为0x ，若对任意正整数a 都有()0,x m n ∈，其中,m n Z ∈，求n m -的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）由题意得()ln x xf x a a e -'=-，所以()()2ln 0x x f x a a e -''=+>，所以函数()f x '单调递增，由()0f x '=，得()()ln 1,1ln xxae a ae a==. 因为1a >，所以1ln 0a>，所以1log ln ae x a =. 当1log ln ae x a >时，()()0,f x f x '>单调递增；当1log ln ae x a<时，()()0,f x f x '<单调递减.因此，当1log ln ae x a=时函数()f x 有极值.（2）由（1）知，函数()f x 的极值点0x （即函数()f x '的零点）唯一，因为ln (1)af e a '-=-. 令()ln a g a a =，则()21ln 0aag a '-==，得a e =. 当a e >时，()()0,g a g a '<单调递减；当0a e <<时，()()0,g a g a '>单调递增， 所以()()1g a g e e ≤=，所以()ln 10a f ae '-=-<. 而()0ln 1f a '=-，当2a =时，()00f '<，当3a ≥时，()00f '>. 又()1ln 1a ef a '=-. 因为a 为正整数且2a ≥时，所以ln 2ln 121a a e≥>>. 当2a ≥时，()10f '>.即对任意正整数1a >，都有()10f '-<，()10f '>，所以()01,1x ∈-恒成立， 且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-. 所以n m -的最小值为2.。
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (10)
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题10学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |2x -1≥0},则A ∩B =A.(1,+∞)B.[12,1) C.(12,2) D.[12,2) 2．若复数1-bi 2+i(b ∈R )的实部与虚部相等,则b 的值为A.-6B.-3C.3D.6 3．函数f (x )=2x2+1，x ∈[−1, √2]的值域为A.[2, 8]B.[4, 8]C.[1, 3]D.[2, 3]4．设△ABC,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P,恒有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0⃗⃗⃗⃗ ·P 0⃗⃗⃗⃗ ,则A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC5．定义在R 上的奇函数f (x )连续且可导,若f (x )-f'(x )<x -1恒成立(其中f'(x )为f (x )的导函数),则A.f'(0)<1B.f (-1)+f'(-1)<0C.f (1)<f (0)<f (-1)D.f (-1)<f (0)<f (1)6．在2019年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了3种不同的精美海报,每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报,集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛的门票.现有4个球迷组成的球迷团(每人各买一份球迷礼包),则他们能获得该门票的概率为A.1027B.49C.59D.17277．已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nC.若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥nD.若m ∥α,m ∥β,则α∥β8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=36,a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9=A.30B.35C.40D.4510．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),以原点O 为圆心的圆(圆的半径小于b )的面积为4π,且经过椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点,Q 为圆上任意一点,若P ,Q 两点间的距离的最小值为1,则椭圆的离心率为A.2√1313 B.√1313C.√32 D.12 11．下列区间中,函数f (x )=7sin(x -π6)单调递增的区间是A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)12．如图,已知圆柱OO 1的轴截面是边长为2的正方形,A 1,B 1,C 1是圆O 1的三等分点,BB 1∥AA 1∥OO 1,那么异面直线AC 1与OB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=e x 2-e x (e 是自然对数的底数)在x =1处的切线方程为 . 14．已知数列{a n }与{b n }满足a n =2b n +3(n ∈N ∗),若{b n }的前n 项和为S n =32(3n −1)且λa n >b n +36(n −3)+3λ对一切n ∈N ∗恒成立,则实数λ的取值范围是 . 15．某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出m 与年销售额t (单位:百万元) 进行了初步统计,得到下列表格中的数据:经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程t ＾=6.5m +17.5,则p = .16．已知某双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0,且该双曲线经过点(2,-3√2),则该双曲线的实轴长为 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(cos∠B ,2cos 2∠C 2-1),n =(c ,b -2a ),且m ·n =0.(1)求∠C 的大小;(2)若点D 为边AB 上一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,c =2√3,求△ABC 的面积. 18．(本题12分)如图,棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形.侧棱长为5,平面ABCD ⊥平面A 1ACC 1,AB =3√3,∠BAD =60°,点E 是ΔABD 的重心,且A 1E =4.(1)求证:平面A 1DC 1∥平面AB 1C ; (2)求棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积.19．(本题12分)某省在高考改革试点方案中规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;从2020年开始,高考总成绩由语、数、外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目考生的原始成绩从高到低依次划分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E 共8个等级,参照正态分布的原则,确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,132). (1)求该校高一年级学生的物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,X 表示这3人中某门选考科目的等级成绩在区间[61,80]的人数,求X 的分布列和数学期望.附:若随机变量ξ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.20．(本题12分)已知以F 为焦点的抛物线C :y 2=2px (p >0)过点P (1,-2),直线l 与C 交于A ,B 两点,M 为AB 的中点,O 为坐标原点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)当λ=3时,求点M 的坐标; (2)当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12时,求直线l 的方程.21．(本题12分)已知函数f (x )=(x −1)e x +ax 2,e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )在(1,f(1))处的切线方程为y =−ex +a +e ,求实数a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2021年全国新高考2卷数学试题(原卷版)
绝密★启用前 试卷类型： 2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅱ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内，复数213i i--对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 若全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,6A =，{}2,3,4,B =则U A C B =（ ）{}(A)3 {}(B)1,6 {}(C)5,6 {}(D)1,33. 若抛物线22(0)y px p =>焦点到直线1y x =+，则p =（ ）(A)1 (B)2 (D)44. 卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个球心为O 半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积22(1cos ),S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为（ ）(A)26% (B)34% (C)42% (D)50%5. 正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为（ ）(A)20+ 56(D)3 6. 某物理量的测量结果服从正态分布2(10,)N σ则下列结论中不正确的是（ ）()A σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大。
()B σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5。
()C σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等。
()D σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.2内的概率与落在()10,10.3内的概率相等。
7. 若581log 2,log 3,,2a b c ===则（ ） ()A c b a << ()B b a c << ()C a c b << ()D a b c <<8. 设函数()f x 的定义域为R ，且()2f x +是偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）1().02A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()().10B f -= ()().20C f = ()().40D f =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
押第2题 复数(新高考)(原卷版)--2023年新高考数学临考题号押题
押新高考卷2题复数考点3年考题考情分析复数2022年新高考Ⅰ卷第2题2022年新高考Ⅱ卷第2题2021年新高考Ⅰ卷第2题2021年新高考Ⅱ卷第1题2020年新高考Ⅰ卷第2题2020年新高考Ⅱ卷第2题高考对复数知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练复数基础知识点，包括复数的代数形式，复数的实部与虚部，共轭复数，复数模长，复数的几何意义及四则运算．纵观近几年的新高考试题，均以复数的四则运算为切入点，考查复数的四则运算、共轭复数及几何意义．可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕复数的四则运算为背景展开命题．1.虚数单位：i ，规定12-=i 2.虚数单位的周期4=T 3.复数的代数形式：Z=(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部4.复数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧=≠≠⎩⎨⎧===+=0000000a b b b a b bi a z 纯虚数：虚数：：实数：5.复数相等：,,21di c Z bi a Z +=+=若则,21Z Z =d b c a ==,6.共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，()()()222222b a z z b a bi a bi a bi a z z +=⋅+=-=-+=⋅结论：推广：7.复数的几何意义：复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 8.复数的模：()R b a bi a Z ∈+=,，则22||z a bi a b =+=+；1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i+D ．62i -3．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i+4．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题）复数2i 13i --在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）2i 12i -=+（）A ．1B ．−1C ．iD ．−i6．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）()()12i 2i ++=（）A ．45i +B ．5i C ．5i -D ．23i+1．（2023·河北唐山·统考二模）()i 3i -的共轭复数为（）A ．3i +B ．3i -C ．13i +D ．13i-。
2021年全国新高考Ⅰ卷高考数学中真题试卷及答案解析【完整版】
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．44．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）5．已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．66．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•11．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)
压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。
2021年全国新高考2卷数学试题(原卷版)
绝密★启用前 试卷类型： 2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅱ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内，复数213i i--对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 若全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,6A =，{}2,3,4,B =则U A C B =（ ）{}(A)3 {}(B)1,6 {}(C)5,6 {}(D)1,33. 若抛物线22(0)y px p =>焦点到直线1y x =+，则p =（ ）(A)1 (B)2 (D)44. 卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个球心为O 半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积22(1cos ),S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为（ ）(A)26% (B)34% (C)42% (D)50%5. 正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为（ ）(A)20+ 56(D)3 6. 某物理量的测量结果服从正态分布2(10,)N σ则下列结论中不正确的是（ ）()A σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大。
()B σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5。
()C σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等。
()D σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.2内的概率与落在()10,10.3内的概率相等。
7. 若581log 2,log 3,,2a b c ===则（ ） ()A c b a << ()B b a c << ()C a c b << ()D a b c <<8. 设函数()f x 的定义域为R ，且()2f x +是偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）1().02A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()().10B f -= ()().20C f = ()().40D f =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(原卷版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设2（z+z̅）+3(z-z̅)=4+6i ，则z=( ).A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n ∈Z ｝，T=｛t|t=4n+1,n ∈Z ｝，则S ∩T=( )A.∅B.SC.TD.Z3.已知命题p ：∃x ∈R ，sinx ＜1；命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）A.p ∧qB.¬p ∧qC.p ∧¬qD.¬(pVq)4.设函数f(x)=1−x 1+x ，则下列函数中为奇函数的是（ ）A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+15.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A.π2B. π3C. π4D. π66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A.60种B.120种C.240种D.480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x-π4)的图像，则f(x)=（ ）A.sin(x 2−7π12)B. sin(x 2+π12)C. sin(2x −7π12)D. sin(2x +π12)8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ）A. 74B. 2332C. 932D. 299.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。
如图，点E,H,G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”。
押第7题 三角函数(新高考)(原卷版)--2023年新高考数学临考题号押题
押新高考卷7题三角函数考点3年考题考情分析三角函数2022年新高考Ⅰ卷第6题2022年新高考Ⅱ卷第6题2021年新高考Ⅰ卷第4、6题三角函数会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进行考查，单选题难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换，也是高考冲刺的重点复习内容。
可以预测2023年新高考命题方向将继续以三角函数的图象与性质，三角恒等变换等问题展开命题．1.特殊角的三角函数值2.同角三角函数的基本关系平方关系：1cos sin 22=+αα商数关系：αααcos sin tan =3.正弦的和差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+，()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-4.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+，()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+，()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-6.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =7.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=8.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=9.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα10.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．32C ．52D ．32．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题）若sin()cos()22cos sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-3．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．651．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知1cos 23x =-，则22ππcos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．916B ．56C ．1320D ．17242．（2023·重庆·统考模拟预测）已知角α，β满足1tan 3α=，()sin 2cos sin βαβα=+，则tan β=（）．A ．14B ．12C ．1D ．23．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()sin sin sin2αβαββ++-=，则（）A ．π2αβ+=B ．2παβ+=C ．2αβ=D ．αβ=4．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数π()sin cos (0)6f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（）A ．131,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．7,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．131,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．（2023·广东广州·统考二模）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若()π3f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤恒成立，且()ππ4f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为（）A ．π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）B ．πππ,π63k k 轾犏-+犏臌（k ∈Z ）C ．πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）D ．2πππ,π36k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）A ．49.25mC ．56.74m 11．（2023·河北邯郸·统考二模）已知函数个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则函数A ．()ππZ 6k k +∈。