2019年北京市中考数学试题(Word版,解析版)
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2019年北京市中考数学试卷
一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星
“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439
000米．将439 000用科学记数法表示应为（）
A.0.439×106 B.4.39×106C.4.39×105D.139×10
3
【解析】本题考察科学记数法较大数，
N
a10中要求10||1a，此题中5,39.4Na
，故
选C
2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）
A.
B. C. D.
【解析】本题考察轴对称图形的概念，故选C
3．正十边形的外角和为（）
A.180°B.360°C.720°D.1440°
【解析】多边形的外角和是一个定值360°，故选B
4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，
得到点C．若CO=BO，则a的值为（）
A.-3 B.-2 C.-1 D.1
【解析】本题考察数轴上的点的平移及绝对值的几何意义.点A表示数为a，点B表
示数为2，点C表示数为a+1，由题意可知，a＜0，∵CO=BO，∴2|1|a，解得
1a
2019北京中考数学
中考精选试卷2019 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（此题共 32 分，每题 4 分）1、(2019 北京中考， 1，4 分) 2 的相反数是、、、1D、1A 2B -2C22【答案】 B2、(2019 北京中考， 2，4 分)据报导，某小区居民李先生改良用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000 吨，将 300 000用科学计数法表示应为、 0.3 106B、3 105C、3 106D、30 104A【答案】 B3、(2019 北京中考， 3，4 分)如图，有 6 张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是A、1B、1C、1D、1 6432【答案】 D4、(2019 北京中考， 4，4 分)右图是几何体的三视图，该几何体是A、圆锥B、圆柱C、正三棱柱D、正三棱锥【答案】 C5、(2019 北京中考， 5，4 分)某篮球队 12 名队员的年纪以下表所示：年纪（岁）18192021人数5412则这 12 名队员年纪的众数和均匀数分别是A、18,19B、19,19C、18,19.5D、19,19.5中考精选试卷【答案】 A6、(2019 北京中考， 6，4 分)园林队在某公园进行绿化，中间歇息了一段时间，已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t （单位：小时）的函数关系的图象以下图，则歇息后园林队每小时的绿化面积为A、40 平方米B、50 平方米C、80 平方米D、100 平方米【答案】 B7、(2019 北京中考， 7，4 分)如图，○O 的直径 AB⊥弦 CD垂足是 E，∠A=22.5°， OC=4，CD的长为A、2 2B、4C、4 2D、8【答案】 C8、(2019 北京中考，8，4 分)已知点A 为某关闭图形界限上必定点，动点 P 从点 A 出发，沿其界限顺时针匀速运动一周，设点 P 运动的时间为 x，线段 AP 的长为 y，表示 y 与 x 的函数关系大概如右图所示，则该关闭图形可能是【答案】A二、填空题（此题共16 分，每题 4 分）9、(2019 北京中考，9，4分)分解因式：ax49ay 2____________________ _【答案】a( x23y)( x2 3 y)10、(2019北京中考，10，4分)在某一时辰，测得一根高为 1.8m的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为 25 米，那么这根旗杆的高度为 _____________m中考精选试卷【答案】1511、(2019北京中考，11，4分)如，在平面直角坐系xoy 中，正方形OABC的2,写出一个函数y k( k0) 使它的象与正方形xOABC有公共点，个函数的表达式__________________【答案】y1，y k(0k 4)，（答案不独一）x x12、(2019北京中考，12，4分)在平面直角坐系xoy中，于点P（x，y）我把点 P’(-y+1,x+1)叫做点 P 的陪伴点，已知点 A1的陪伴点 A2，点 A2的陪伴点 A3，点 A3的陪伴点 A4，挨次获得A1，A2，A3，⋯⋯ A n⋯⋯，若点 A1的坐（ 3,1），点 A3的坐___________,点 A2019的坐 ___________;若点 A1的坐（a,b），于随意的正整数 n，点 A n均在 x 上方， a，b 足的条件___________。
2019年北京市数学中考试题含答案
2019年北京市高级中等学校招生考试数学试卷考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上、在试卷上作答无效．4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为( )A. 0.439×106B. 4.39×106C. 4.39×105D. 439×1032. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是( )3. 正十边形的外角和为( )A. 180°B. 360°C. 720°D. 1440°4. 在数轴上，点A 、B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ，若CO ＝BO ，则a 的值为( )A. －3B. －2C. －1D. 1 5. 已知锐角∠AOB 如图，第5题图(1)在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ︵，交射线OB 于点D ，连接CD; (2)分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ ︵于点M ，N ； (3)连接OM ，MN .根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( ) A. ∠COM ＝∠CODB. 若OM ＝MN ，则∠AOB ＝20°C. MN ∥CDD. MN ＝3CD6. 如果m ＋n ＝1，那么代数(2m ＋n m 2－mn ＋1m )·(m 2－n 2)的值为( )A. －3B. －1C. 1D. 37. 用三个不等式a >b ，ab >0，1a <1b 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3 8. 某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)第8题图下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5－25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20－30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20－30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20－30之间 所有合理推断的序号是( )A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④ 二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9. 若分式x －1x的值为0，则x 的值为________．10. 如图，已知△ABC ，通过测量、计算得△ABC 的面积约为________cm 2.(结果保留一位小数)第10题图11. 在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是________．(写出所有正确答案的序号)第11题图12. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB ＋∠PBA ＝________°(点A ，B ，P 是网格交点)．第12题图13. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (a ，b )(a >0，b >0)在双曲线y ＝k 1x 上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y ＝k 2x上，则k 1＋k 2的值为________．14. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为________．第14题图15. 小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s 20，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，－4，9，－5，记这组新数据的方差为s 21，则s 21＝________s 20.(填“>”，“＝”或“<”)16. 在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD ，正确四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是________．三、解答题(本题共68分，第17－21题，每小题5分，第22－24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：|－3|－(4－π)0＋2sin60°＋(14)－1.18. 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧4（x －1）<x ＋2.x ＋73>x .19. 关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．20. 如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE ＝DF ，连接EF . (1)求证：AC ⊥EF ；(2)延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O .若BD ＝4，tan G ＝12，求AO 的长．第20题图21. 国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数，对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a. 国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组：30≤x ＜40，40≤x <50，50≤x <60，60≤x <70，70≤x <80，80≤x <90，90≤x ≤100)；b. 国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是：61．762.463.665.966.468.569.169.369.5c. 40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d. 中国的国家创新指数得分为69.5.(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，回答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第______；(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“○”画出代表中国的点；(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为________万美元；(结果保留一位小数)(4)下列推断合理的是________．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．22. 在平面内，给定不在同一条直线一上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD.(1)求证：AD＝CD；(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD ＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．第22题图23. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i 组有x i 首，i ＝1，2，3，4；②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第(i ＋1)天背诵第二遍，第(i ＋3)天背诵第三遍，三遍后完成背解答下列问题：(1)填入x 3补全上表：(2)若x 1＝4，x 2＝3，x 3＝4，则x 4的所有可能取值为________； (3)7天后，小云背诵的诗词最多为________首．24. 如图，P 是AB ︵与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是AB ︵上的一动点，连接PC 交弦AB 于点D .第24题图小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点C 在AB ︵上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度的几组值，如下表：在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题；当PC ＝2PD 时，AD 的长度约为________cm.25. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与直线x ＝k ，直线y ＝－k 分别交于点A ，B ，直线x ＝k 与直线y ＝－k 交于点C .(1)求直线l 与y 轴的交点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB ，BC ，CA 围成的区域(不含边界)为W . ①当k ＝2时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．(1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)； (2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P (12，－1a )，Q (2，2)，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27. 已知∠AOB ＝30°，H 为射线OA 上一定点，OH ＝3＋1，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足∠OMP 为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150°，得到线段PN ，连接ON .(1)依题意补全图①；(2)求证：∠OMP ＝∠OPN ；(3)点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ，写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON ＝QP ，并证明．第27题图28. 在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE ︵是△ABC 的一条中内弧．第28题图(1)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧DE ︵，并直接写出此时DE ︵的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，B (0，0)，C (4t ，0)(t >0)．在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t ＝12，求△ABC 的中内弧DE ︵所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE ︵，使得DE ︵所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．2019北京中考真题解析1. C 【解析】439000＝4.39×105.2. C 【解析】3. B 【解析】4. A 【解析】∵将点A 向右平移1个单位长度得到点C ，∴点C 表示的数为a ＋1.∵A 、B 在原点O 的两侧，且B 表示数字2，CO ＝BO ，∴点C 表示的数为－2，即a ＋1＝－2.解得a ＝－3.5. D 【解析】如解图，连接ON ，CM ，DN .由作图过程(2)知，CM ＝CD ＝DN ，∴CM ︵＝CD ︵＝DN ︵.∠COM ＝∠COD ＝∠DON .A 正确；由作图过程(1)知OM ＝ON .又∵OM ＝MN ，∴OM ＝ON ＝MN .∴△OMN 是等边三角形，∠MON ＝60°.∴∠COD ＝13∠MON ＝13×60°＝20°，即∠AOB ＝20°.B 正确；设OA 交MN 于点E .∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝180°－∠COD 2.∵OM ＝ON ，∴∠OMN ＝∠ONM ＝180°－∠MON2.∵∠MON ＝3∠COD ，∴∠OMN ＝180°－3∠COD2.∵∠OEN 是△OME 的外角，∴∠OEN ＝∠OMN ＋∠MOE＝∠OMN ＋∠COD ＝180°－3∠COD 2＋∠COD ＝180°－∠COD2.∴∠OEN ＝∠OCD .∴MN ∥CD .C 正确；根据“两点之间，线段最短”可知，MC ＋CD ＋DN ＞MN .∵MC ＋CD ＋DN ＝3CD .即3CD ＞MN .D 错误．第5题解图6. D 【解析】∵m ＋n ＝1，∴原式＝[2m ＋n m （m －n ）＋1m ]·(m 2－n 2)＝2m ＋n ＋m －n m （m －n ）·(m ＋n )(m －n )＝3(m＋n )＝3.7. D 【解析】构成的命题有3个，分别为：①若a ＞b ，ab ＞0，则1a ＜1b ；②若a ＞b ，1a <1b ，则ab ＞0；③若ab ＞0，1a <1b，则a ＞b .①②③都是真命题．8. C 【解析】由统计图中男生、女生的条形图可知，男生人均参加公益劳动的时间是24.5小时，女生人均参加公益劳动的时间是25.5小时，∴这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5－25.5之间，所以①正确；由统计表可知，从左到右时间按由小到大的排序排列，其中0≤t ＜10之间共有7＋8＝15人，10≤t ＜20之间共有31＋29＝60人，20≤t ＜30之间共有25＋26＝51人．∵15＋60＝75＜100，15＋60＋51＝126＞100，∴第100、101个数据在20≤t ＜30之间，∴中位数在20≤t ＜30之间，所以②正确；由统计表可知，在0≤t ＜10之间初中生人数最多是15人，最少是0人．当0≤t ＜10之间初中生人数是15时，此时数据为15，25，36，44，11.∵15＋25＋36＋44＋11＝131，最中间的数是第66个数，而15＋25＝40＜66，15＋25＋36＝76，∴中位数在20≤t ＜30之间．当0≤t ＜10之间初中生人数是0时，此时数据为0，25，36，44，11.∵0＋25＋36＋44＋11＝116，最中间的数是第58、59个数，而0＋25＝25＜58，0＋25＋36＝61＞59，∴中位数在20≤t ＜30之间．∴这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20≤t ＜30之间，∴③正确；由统计表可知，从左到右第2、3、4、5小组高中生人数分别为31＋29－25＝35人，25＋26－36＝15人，30＋32－44＝18人，4＋8－11＝1人．当0≤t ＜10之间高中生人数是0时，此时数据为0，35，15，18，1.∵0＋35＋15＋18＋1＝69，最中间的数是第35个数，而0＋35＝35，∴中位数在10≤t ＜20之间．当0≤t ＜10之间高中生人数是15人时，∵15＋35＋15＋18＋1＝84，最中间的数是第42、43个数，而15＜42，15＋35＝50＞43，∴中位数在10≤t ＜20之间．∴这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数一定在10≤t ＜20之间，所以④错误．9. 1 【解析】要使x －1x 有意义，则分母x ≠0.∵x －1x 的值为0，∴x －1＝0，解得x ＝1，∴x 的值为1.10. 度量求解【解析】本题考查三角形面积，直接动手测量即可．11. ①② 【解析】长方体的三视图都是矩形，圆柱的主视图和左视图是矩形．圆锥的三视图中没有矩形．12. 45 【解析】如解图所示，延长AP ，则AP 经过格点C ，连接BC .设网格中小正方形的边长为1，则由勾股定理得PC ＝BC ＝12＋22＝5，PB ＝12＋32＝10.∵PC 2＋BC 2＝(5)2＋(5)2＝10，PB 2＝(10)2＝10，∴PC 2＋BC 2＝PB 2.∴△PBC 是等腰直角三角形．∴∠CPB ＝45°.∵∠CPB 是△ABP 的外角，∴∠P AB ＋∠PBA ＝∠CPB ＝45°.第12题解图13. 0 【解析】∵点A (a ，b )(a >0，b >0)在双曲线y ＝k 1x 上，∴b ＝k 1a .∴k 1＝ab .∵点A (a ，b )与点B 关于x轴对称，∴B (a ，－b )．∵点B (a ，－b )(a >0，b >0)在双曲线y ＝k 2x 上，∴－b ＝k 2a .∴k 2＝－ab .∴k 1＋k 2＝ab ＋(－ab )＝0.14. 12 【解析】设图①中菱形对角线分别为a ，b ，且a >b .由图②得12a ＋12b ＝5，即a ＋b ＝10.由图③得12a －12b ＝1，即a －b ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝10a －b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4.∴菱形的面积为12ab ＝12×6×4＝12.15. ＝ 【解析】数据92，90，94，86，99，85的平均数x 0＝16×(92＋90＋94＋86＋99＋85)＝91.∴s 20＝16×[(92－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(86－91)2＋(99－91)2＋(85－91)2]＝683.数据2，0，4，－4，9，－5的平均数x 1＝16×(2＋0＋4－4＋9－5)＝1.∴s 21＝16×[(2－1)2＋(0－1)2＋(4－1)2＋(－4－1)2＋(9－1)2＋(－5－1)2]＝683.∴s 20＝s 21. 16. ①②③ 【解析】在矩形ABCD 中，连接AC 、BD 交于点O .作四边形MNPQ ，连接MP 、NQ ，当MP 、NQ 都经过点O 时，如解图．∵矩形ABCD 是中心对称图形，点O 是对称中心，∴OM ＝OP ，ON ＝OQ .∵直线MN ，PQ 具有任意性，∴存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形，∴①正确；当MP ＝NQ 时，平行四边形MNPQ 是矩形．∵当MP 确定后，总存在NQ 使得NQ ＝MP ，∴存在无数个四边形MNPQ 是矩形．∴②正确．当MP ⊥NQ 时，平行四边形MNPQ 是菱形．当MP 确定后，过点O 一定可以画出NQ ⊥MP .∵MP 具有任意性，∴存在无数个四边形MNPQ 是菱形，∴③正确；当MP ⊥NQ 且MP ＝NQ 时，平行四边形MNPQ 是正方形，当矩形ABCD 的邻边不相等时，不存在四边形MNPQ 是正方形，∴④错误．第16题解图17. 解：原式＝3－1＋2×32＋4 ＝23＋3.18. 解：由4(x －1)＜x ＋2解得x ＜2.由x ＋73＞x 解得x ＜72.∴不等式组的解集为x ＜2.19. 解：∵关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根， ∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(2m －1)≥0.解得m ≤1. ∵m 为正整数，∴m ＝1.当m ＝1时，可得方程x 2－2x ＋1＝0. 解得x 1＝x 2＝1.20. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∴∠BAC ＝∠DAC . ∵AB ＝AD ，BE ＝DF ，∴AB －BE ＝AD －DF ，即AE ＝AF . ∴△AEF 是等腰三角形．又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴AC ⊥EF ；(2)解：由题意作解图如下，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ，OB ＝12BD ＝12×4＝2.∴∠G＝∠AEG .由(1)知EF ⊥AC .又∵BD ⊥AC .∴EF ∥BD .∴∠AEG ＝∠ABO .∴∠G ＝∠ABO .∵tan G ＝12，∴tan ∠ABO ＝AO OB ＝12.∴AO ＝OB ·tan ∠ABO ＝2×12＝1.第20题解图21. 解：(1)17 【解法提示】由频数分布直方图可知，根据国家创新指数得分将数据从大到小排列为：2，2，12，9，6，8，1.∵中国的国家创新指数得分为69.5，将国家创新指数得分在60≤x <70这一组从大到小排列为：69.5，69.3，69.1，68.5，66.4，65.9，63.6，62.4，61.7，∴中国在60≤x <70这一分数段排名第一位，∴中国的国家创新指数得分排名世界的名次为：2＋2＋12＋1＝17.(2)如解图①所示第21题解图①(3)2.7【解法提示】如解图②所示，过表示中国的点画横轴的平行线，在该平行线的上方且最左边的点的横坐标就是所求的最小值，最小值约为2.7.第21题解图②(4)①②【解法提示】由散点统计图知，点A，B在表示中国的点的上方，∴中国的国家创新指数得分低于点A、B所代表的国家，因此中国提出”加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力，①正确；点B、C在表示中国的点的右侧，∴中国的人均国内生产总值低于点B、C所代表的国家，因此中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值，②正确．22. (1)证明：∵点O到点A，B，C的距离均等于a，∴图形G为以点O为圆心，a为半径的圆(如解图所示)．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴AD＝CD；(2)解：如解图所示，连接BM，OD.由(1)得AD＝CD.又∵AD＝CM，∴CD＝CM.∠DBC＝∠MBC＝∠MDC.∵DM⊥BC，∴∠DBC＋∠BDM＝90°.∴∠MDC＋∠BDM＝90°，即∠BDC＝90°.∴BC是⊙O的直径．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵∠OBD＝∠ABD，∴∠ODB＝∠ABD.∴OD∥AB.∵BE⊥DE，∴OD ⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．∴直线DE与图形G的公共点个数为1.第22题解图23. 解：(1)如表格所示；【解法提示】第3组，第3天背诵第一遍，第3＋1＝4天背诵第二遍，第3＋3＝6天背诵第三遍． (2)4，5，6【解法提示】观察表格，可得⎩⎪⎨⎪⎧4≤x 1＋x 3＋x 4≤144≤x 2＋x 4≤144≤x 4≤14，即⎩⎪⎨⎪⎧4≤4＋4＋x 4≤144≤3＋x 4≤144≤x 4≤14，解得4≤x 4≤6.∵x 4为正整数，∴x 4＝4或5或6；(3)23【解法提示】依题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2≤14x 2＋x 3≤14x 1＋x 3＋x 4≤14x 2＋x 4≤14，则3(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)≤70，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4≤703，要小云背诵的诗词最多，则取x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝23，当x 1＝5、x 2＝9、x 3＝5、x 4＝4时符合题意，则最多背诵23首．24. 解：(1)AD ，PC ，PD ； 【解法提示】一个自变量值只可能对应一个函数值，∵由表格可知当AD ＝3.01或4时，PC 均为2.25，∴PC 长是AD 长的函数；∵当AD ＝1.54或5.11时，PD 均为2.00，∴PD 长是AD长的函数．(2)函数图象如解图：第24题解图(3)2.30或4.00【解法提示】由函数图象可知，当AD ＝2.30或4.00时，PC ＝2PD .25. 解：(1)在y ＝kx ＋1中，当x ＝0时，y ＝1.∴直线与y 轴的交点坐标为(0，1)；(2)①如解图所示．当k ＝2时，直线l 表达式为：y ＝2x ＋1，直线x ＝k 为x ＝2，直线y ＝－k 为y ＝－2.在y ＝2x ＋1中，当y ＝－2时，－2＝2x ＋1，解得x ＝－32；∴B (－32，－2)，当x ＝2时，y ＝2×2＋1＝5.∴A (2，5)，C (2，－2)，此时区域W 内的整点个数为6；第25题解图②－1≤k <0或k ＝－2【解法提示】当k >0时，区域内必含坐标原点，故不符合题意；当k <0时，W 内点的横坐标在k 到0之间，故－1≤k <0时，W 内无整点，当－2≤k <－1时，W 内可能存在的整数点横坐标只能为－1，此时边界上两点坐标为C (－1，－k )和A (－1，－k ＋1)，AC ＝1，当k 不为整数时，其上必有整点，但k ＝－2时，只有两个边界点为整点，故W 内无整点，当k <－2时，横坐标为－2的边界点为(－2，－k )和(－2，－2k ＋1)，线段长度为－k ＋1>3，故必有整点．综上，－1≤k <0或k ＝－2.26. 解：(1)在y ＝ax 2＋bx －1a 中，当x ＝0时，y ＝－1a.∴A (0，－1a )．∵点A 向右平移2个单位长度得到点B ，∴B (2，－1a)；(2)∵点B (2，－1a )在抛物线上，∴－1a ＝a ×22＋b ×2－1a .∴b ＝－2a .∴对称轴为直线x ＝－b2a ＝－－2a 2a ＝1；(3)由(2)知b ＝－2a .∴y ＝ax 2＋bx －1a ＝ax 2－2ax －1a.当a ＞0时，在y ＝ax 2－2ax －1a 中，当x ＝12时，y ＝－34a －1a .∵－34a －1a ＜－1a ，∴点P (12，－1a )在抛物线的上方．当x ＝2时，y ＝－1a .∵－1a ＜2，∴点Q (2，2)在抛物线的上方．∴抛物线与线段PQ 没有公共点，舍去．当a ＜0时，∵－34a －1a ＞－1a ，∴点P (12，－1a )在抛物线的下方．∴当－1a ≤2，即a ≤－12时，Q (2，2)在抛物线上方，此时抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点．综上，a 的取值范围是a ≤－12.27. (1)解：如解图①所示．第27题解图①(2)证明：在△OPM 中，∠AOB ＋∠OMP ＋∠OPM ＝180°.又∵∠AOB ＝30°，∴∠OMP ＋∠OPM ＝150°.∵PM 绕点P 顺时针旋转150°得到线段PN ，∴∠MPN ＝150°，即∠NPO ＋∠OPM ＝150°.∴∠OMP ＝∠OPN ；(3)解：OP ＝2.证明：如解图②所示，过点P 作PE ⊥OA 于点E ，过点N 作NF ⊥OB 于点F ，则∠PFN ＝∠MEP ＝90°.由(1)知∠OMP ＝∠OPN .∴∠PME ＝∠NPF .在△PFN 和△MEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PFN ＝∠MEP ，∠NPF ＝∠PME ，PN ＝MP ，∴△PFN ≌△MEP (AAS)．∴NF ＝PE ，PF ＝ME .在Rt △OPE 中，OP ＝2，∠AOB ＝30°，∴PE ＝1，OE ＝ 3.∵OH ＝3＋1，即OE ＋EH ＝3＋1，∴EH ＝1.∵点M 关于点H 的对称点为点Q ，∴QH ＝MH ＝1＋ME ＝1＋PF .∴EQ ＝EH ＋HQ ＝1＋1＋PF ＝2＋PF ＝OP ＋PF ＝OF .在△ONF 和△QPE 中，⎩⎪⎨⎪⎧NF ＝PE ，∠OFN ＝∠QEP ，OF ＝QE ，∴△ONF ≌△QPE (SAS)．∴ON ＝QP .第27题解图②28. 解：(1)画出DE ︵如解图①所示，DE ︵与BC 相切时，△ABC 的中内弧最长．此时DE ︵的长为以DE 长为直径的半圆．∵Rt △ABC ，AB ＝AC ＝22，∴BC ＝2AB ＝2·22＝4.∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ＝12×4＝2.∴lDE ︵＝12×π×2＝π；第28题解图①(2)①当t ＝12时，C (2，0)．连接DE ，当DE ︵在DE 的下方时，点P 的纵坐标最小时点P 为DE 的中点，如解图②所示．∵A (0，2)，∴BA ＝2.∵点D 是BA 的中点，∴BD ＝1.∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ＝12×2＝1.∴⊙P 的半径PD ＝12.∵12＜1，∴DE ︵是△ABC 的中内弧．∴y P ≥1.第28题解图②第28题解图③当DE ︵在DE 的上方时，点P 的纵坐标最大时⊙P 与AC 相切于点E .如解图③所示，作DE 的垂直平分线FG 交DE 于点F ，交x 轴于点G ，则四边形DBGF 是矩形，圆心P 在FG 上．∵C (2，0)，A (0，2)，∴BC ＝BA ＝2.∴Rt △ABC 是等腰直角三角形．∴∠ACB ＝45°.∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC .∴∠AED ＝∠ACB .∴∠AED ＝45°.连接PE ，∵⊙P 与AC 相切于点E ，∴PE ⊥AC .∴∠PEA ＝90°.∴∠PEF ＝∠PEA －∠AED ＝45°.∵PF ⊥DE ，∴∠FPE ＝45°.∴∠PEF ＝∠FPE .∴PF ＝EF .∵FG 平分DE ，∴DF ＝EF ＝12DE ＝12×1＝12.∴PF ＝12.∵FG ＝BD ＝1，∴PG ＝FG －PF ＝1－12＝12.∴P (12，12)．∴y P ≤12. 综上，圆心P 的纵坐标y P 的取值范围为y P ≥1或y P ≤12.②0＜t ≤2【解法提示】ⅰ. 当P 在DE 上方时，如解图④所示，圆心P 在边AC 上且DE ︵与边BC 相切于点F 时，符合题意．∵C (4t ，0)，∴BC ＝4t .∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ＝12×4t ＝2t .连接PF .∵⊙P 与BC 相切于点F ，∴PF ⊥BC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥PF .∴DG ＝12DE ＝12×2t ＝t .∵PF ⊥BC ，∴PF∥y 轴．∴△EPG ∽△EAD .∴PG AD ＝EG ED ＝12.∴PG ＝12AD ＝12×1＝12.又∵GF ＝BD ＝1，∴PF ＝PG ＋GF ＝12＋1＝32.∴DP ＝32.在Rt △PDG 中，由勾股定理得DP 2＝DG 2＋GP 2，即(32)2＝t 2＋(12)2.解得t ＝± 2.∵t ＞0，∴t ＝ 2.∴t 的取值范围是0＜t ≤ 2.第28题解图④ⅱ. 当P 在DE 下方时，如解图⑤.⊙P 与AC 相切于点E 为临界状态，过P 作PM ⊥DE 于点M ，DE ︵为△ABC 的中内弧，只需PM ≤1即可．此时易得△EMP ∽△ABC ，∴PM BC ＝EM AB ，即PM 4t ＝t 2.得PM ＝2t 2，故0<t ≤22第28题解图⑤综上，t 的取值范围为0＜t ≤ 2.。
【中考真题】2019年北京市中考数学真题试卷(附答案)
试卷第1页，总9页 …………外…………○…订……学____考号：__…………内…………○…订……绝密★启用前 【中考真题】2019年北京市中考数学真题试卷（附答案) 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ） A ．0.439×106 B ．4.39×106 C ．4.39×105 D ．139×103 2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．正十边形的外角和为（ ） A ．180° B ．360° C ．720° D ．1440° 4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO=BO ，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．1 5．已知锐角∠AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ； （2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ； （3）连接OM ，MN ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A ．∠COM=∠COD B ．若OM=MN ，则∠AOB=20° C ．MN ∥CD D ．MN=3CD…外…………○…………装…※※请※※不※※要※…内…………○…………装…试卷第3页，总9页 …○…………………○………订…………○学校:______：___________班级：_____考号：__________…○…………………○………订…………○④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．①②③④ 二、填空题 9．若分式1x x -的值为0，则x 的值为______. 10．如图，已知△ABC ，通过测量、计算得△ABC 的面积约为____cm 2.（结果保留一位小数） 11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号） 12．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝_____°（点A ，B ，P 是网格线交点）. 13．在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x =上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x =上，则12k k +的值为______. 14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．线…………○……线…………○……15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差2s．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s，则21s______2s. (填“>”，“=”或“<”)16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．三、解答题17．计算：()01142604sinπ-----+（）.18．解不等式组：4(1)2,7.3x xxx-<+⎧⎪+⎨>⎪⎩19．关于x的方程22210x x m-+-=有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=12，求AO的长．试卷第4页，总9页试卷第5页，总9页 外…………○…………装…○…………订…………○…………○……学校:___________姓名：班级：___________考号：___________内…………○…………装…○…………订…………○…………○…… 21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a ．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组： 30≤x ＜40，40≤x ＜50，50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x≤100）； b ．国家创新指数得分在60≤x ＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.569.1 69.3 69.5 c ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图： d ．中国的国家创新指数得分为69.5. （以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》） 根据以上信息，回答下列问题： （1）中国的国家创新指数得分排名世界第______； （2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在…………○……※※在※※装※※订※※线…………○……“” 1）天背诵第二遍，第（3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3第4天 第天 第7天试卷第7页，总9页 …………装…………○订…………○…___________姓名：___________班_考号：___________…………装…………○订…………○…③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 解答下列问题： （1）填入3x 补全上表； （2）若14x =，23x =，34x =，则4x 的所有可能取值为______； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首． 24．如图，P 是AB 与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是AB 上一动点，连接PC 交弦AB 于点D ．小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C 在AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度 的几组值，如下表： 在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；试卷第8页，总9页 ………线…………○……………线…………○…… （3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD 时，AD 的长度约为______cm ． 25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：()10y kx k =+≠与直线x k =，直线y k =-分别交于点A ，B ，直线x k =与直线y k =-交于点C ．（1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA ，，围成的区域（不含边界）为W ．①当2k =时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数；②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx a 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,)2P a -，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27．已知30AOB ∠=︒，H 为射线OA 上一定点，1OH =，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150︒，得到线段PN ，连接ON ．（1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON=QP ，并证明．试卷第9页，总9页 …………装…………………订……………线…………○……___________姓名：___________________考号：_______…………装…………………订……………线…………○…… 28．在△ABC 中，D ，E 分别是ABC △两边的中点，如果DE 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE 为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE 是△ABC 的一条中内弧． （1）如图，在Rt △ABC 中，AB AC D E ==，分别是AB AC ，的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在△ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点． ①若12t =，求△ABC 的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC 中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．参考答案1．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．C【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．B【解析】【分析】根据多边的外角和定理进行选择．【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．4．A【解析】【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3．【详解】解：∵点C在原点的左侧，且CO=BO，∴点C表示的数为-2，∴a=-2-1=-3．故选：A．【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．5．D【解析】【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B选项正确；∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，又∠CMN=12∠AON=20°，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．6．D【解析】【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式=()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭ 2()()()()m n m n m n m n m m n m m n ⎡⎤+-=+⋅+-⎢⎥--⎣⎦ 3()()3()()m m n m n m n m m n =⋅+-=+- 1m n +=∴原式=3，故选D.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．D【解析】【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【详解】解：命题①，如果,0a b ab >>，那么11a b<. ∵a b >，∴0a b ->，∵0ab >，∴0a b ab ->，整理得11b a>，∴该命题是真命题. 命题②，如果11,,a b a b><那么0ab >. ∵11,a b <∴110,0.b a a b ab --<<∵a b >，∴0b a -<，∴0ab >. ∴该命题为真命题. 命题③，如果110,ab a b><，那么a b >. ∵11,a b <∴110,0.b a a b ab --<<∵0ab >，∴0b a -<，∴b a < ∴该命题为真命题.故，选D【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．8．C【分析】根据中位数与平均数的意义对每个选项逐一判断即可.【详解】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200=25.015，一定在24.5-25.5之间，正确；②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15,60,51,62,12，则中位数在20~30之间，故②正确.③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10的人数在0~15之间，当人数为0时，中位数在20~30之间；当人数为15时，中位数在20~30之间，故③正确.④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为0~15，35,15，18,1.当0≤t＜10时间段人数为0时，中位数在10~20之间；当0≤t＜10时间段人数为15时，中位数在10~20之间，故④错误【点睛】本题考查了中位数与平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．1.【解析】【分析】根据分式的值为零的条件即可得出．【详解】解：∵分式1xx的值为0，∴x-1=0且x≠0，∴x=1．故答案为1．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 的延长线于点D ，测量出AB ，CD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积．【详解】解：过点C 作CD ⊥AB 的延长线于点D ，如图所示．经过测量，AB=2.2cm ，CD=1.7cm ，11 2.2 1.7 1.922∆∴=⋅=⨯⨯≈ABC S AB CD （cm 2）． 故答案为：1.9．【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键． 11．①②【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．【详解】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故答案为：①②．【点睛】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．12．45.【解析】延长AP 交格点于D ，连接BD ，根据勾股定理得到PD 2=BD 2=1+22=5，PB 2=12+32=10，求得PD 2+DB 2=PB 2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：延长AP 交格点于D ，连接BD ，则PD 2=BD 2=1+22=5，PB 2=12+32=10，∴PD 2+DB 2=PB 2，∴∠PDB=90°，即△PBD 为等腰直角三角形，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．0.【解析】【分析】由点A （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在双曲线1k y x=上，可得k 1=ab ，由点A 与点B 关于x 轴的对称，可得到点B 的坐标，进而表示出k 2，然后得出答案．【详解】解：∵点A （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在双曲线1k y x =上， ∴k 1=ab ；又∵点A 与点B 关于x 轴的对称，∴B （a ，-b ）∵点B 在双曲线2k y x=上， ∴k 2=-ab ；∴k1+k2=ab+（-ab）=0；故答案为：0．【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．14．12.【解析】【分析】由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：51 x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得：32xy=⎧⎨=⎩，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面积．【详解】解：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：51x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得：32xy=⎧⎨=⎩，∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，∴菱形ABCD的面积=116412 22⨯=⨯⨯=AC BD；故答案为：12．【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．15．=【解析】【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【详解】解：∵两组数据的平均值分别为91和1，2222222(9291)(9091)(9491)(8691)(9991)(8591)6s -+-+-+-+-+-==1166863= 22222221(21)(01)(41)(41)(91)(51)13668663s -+-+-+--+-+--=== ∴2201s s =故答案为=【点睛】本题考查方差的意义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变． 16．①②③【解析】【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是菱形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM=QD，AQ=PD，∵PD=BM，∴AB=AD，∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．17．3【解析】【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可【详解】原式124++14=-=3【点睛】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 18．不等式组的解集为2x <. 【解析】 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得：442442,36x x x x x -<+-<+<，，∴2x < 解不等式②得：73,37,27x x x x x +>->-->-，∴72x < ∴不等式组的解集为2x < 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．1m =，此时方程的根为121x x == 【解析】 【分析】直接利用根的判别式≥0得出m 的取值范围进而解方程得出答案．【详解】解：∵关于x 的方程x 2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b 2-4ac=4-4（2m-1）≥0， 解得：m≤1， ∵m 为正整数， ∴m=1，∴此时二次方程为：x 2-2x+1=0，则（x-1）2=0，解得：x1=x2=1．【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．20．（1）证明见解析；（2）AO=1。
2019北京中考数学解析
2019年北京市初中毕业、升学考试数学（满分100分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内.1. （2019北京市，1题，2分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米.将439000用科学记数法表示应为6 6A. 0.439 10 B . 4.39 105 3C. 4.39 10 D . 439 10【答案】C【解析】绝对值大于1的正数用科学记数法表示为 a 10n 1 |^ 10 ,其中n是等于原数的整数位数减1.•■- 439000=4.39' 104 5；故选C.【知识点】科学记数法一一表示较大的数2. （2019北京市，2题，2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是【答案】C【解析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这样的图形叫轴对称图形^ 故选C.【知识点】图形变换——轴对称图形.3.（2019北京市，3题，2分）正十边形的外角和为A. 180o B . 360o C . 720o D . 1440°【答案】B【解析】根据多边形的外角和等于360°易得B正确；故选B.4 （2019北京市，4题，2分）在数轴上，点A, B在原点O的两侧，分别表示数a, 2,将点A向右平移1个单位长度，得到点 C.若CO=BQ 则a的值为A. -3 B . -2 C. -1 D . 1【答案】A【解析】由题意知，点B表示的数是2,由CO=BO可得点C表示的数为2或-2,将点C向左平移1个单位长度可得到点A,故点A表示的数为1或-3;又•.•点A, B在原点。
的两侧；.••点A表示的数-3.【知识点】多边形的外角和等于360 ° .【知识点】有理数——数轴、分类讨论5.(2019北京市，5题，2分)(1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心，。
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一、选择题2019 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷参考答案1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．A 二、填空题9．a(b -2)210．x2 +111．20 12．-3，-1，0，-12 3三、解答题13．证明：∵DE ∥AB∴∠CAB =∠ADE在△ABC 与△DAE 中⎧∠CAB =∠ADE⎪AB =DA⎪∠B =∠DAE∴△ADE ≌△BAC （ASA）∴BC =AE14．解：原式=1 +=5 2 - 2 ⨯2+ 4 215．解：由3x >x - 2 ，得x >-1由x +1> 2x ，得3x <15∴-1 <x <1516．代数式化简得：4x2 -12x + 9 -x2 +y2 -y2= 3x2 -12x +9= 3(x2 - 4x +3)∵x2 - 4x =1代入得∴原式=1217．设每人每小时的绿化面积为x 平方米.则有：180-180= 3 6x解得x =2.5(6 + 2)x经检验：x = 2.5 是原方程的解答：每人每小时的绿化面积为2.5 平方米18．（1）△= 4 - 4(2k - 4) = 20 -8k∵方程有两个不等的实根∴△>0即20 -8k >0∴k <52（2）∵k为整数∴0 <k <5即k =1或2，2x1、2=-1±5 -2k∵方程的根为整数，∴5 - 2k 为完全平方数当k =1时，5 - 2k =3k = 2 时，5 - 2k =1∴k =219．（1）在ABCD 中，AD∥BC∵F 是AD 中点.∴DF =1AD ，又∵CE =1BC .2 2∴DF =CE 且DF ∥CE∴四边形CEDF 为平行四边形（2）过D 作DH ⊥BE 于H在ABCD 中∵∠B =60︒∴∠DCE =60︒∵AB =4∴CD =4∴CH =2，DH = 2 3在CEDF 中，CE =DF =1AD = 3 2∴EH =1在Rt△DHE 中DE = (2 3)2 +12 =1320．（1）∵PA 、PC 与O 分别相切于点A 、C∴∠APO =∠EPD 且PA ⊥AO 即∠PAO =90︒∵∠AOP =∠EOD ，∠PAO =∠E =90︒∴∠APO =∠EDO即∠EPD =∠EDO（2）连结OC∴PA =PC =6∵tan ∠PDA =34∴在Rt△PAD 中AD = 8 ，PD =10∴CD =4∵tan ∠PDA =34∴在Rt△OCD 中，OC =OA = 3 ，OD =5∵∠EPD =∠EDO∴△OED ∽△DEP∴PD=D E=10=2 OD OE 5 1在Rt△OED 中OE2 +DE2 =52∴OE =521．（1）0.03（2）陆地面积3.6水面面积1.5图略（3）370022．（1）a（2）四个等腰直角三角形面积和为a2正方形ABCD 的面积为a2∴S正方形MNPQ =S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE= 4 ⨯1⨯12 2=2（3）2323．解：（1）当x = 0 时，y =-2 .∴A(0，-2)抛物线对称轴为x =--2m=1 2m∴B(1，0)（2）易得A 点关于对称轴的对称点为A(2 ，-2)则直线l 经过A 、B .没直线的解析式为y =kx +b⎧2k +b =-2⎩k +b = 0，解得⎧k =-2⎩b = 2∴直线的解析式为y =-2x +2（3）∵抛物线对称轴为x =1抛物体在2 <x < 3 这一段与在-1 <x < 0 这一段关于对称轴对称结合图象可以观察到抛物线在-2 <x <-1这一段位于直线l 的上方在-1 <x < 0 这一段位于直线l 的下方∴抛物线与直线l 的交点横坐标为-1 ；当x =-1时，y =-2x(-1) + 2 =+4则抛物线过点（-1，4）当x =-1时，m + 2m - 2 = 4 ，m =2∴抛物线解析为y = 2x2 - 4x - 2 .24．解：（1）30︒-1 α 2（2）△ABE 为等边三角形证明连接AD 、CD 、ED∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD则BC =BD ，∠DBC =60︒又∵∠ABE =60︒∴∠ABD = 60︒-∠DBE =∠EBC = 30︒-1α 2且△BCD 为等边三角形.在△ABD 与△ACO 中⎧AB =AC⎪AD =AD⎪BD =CD∴△ABD ≌△ACD （SSS）∴∠BAD =∠CAD =1∠BAC =1α 2 2∵∠BCE =150︒∴∠BEC =180︒- (30︒-1α)-150︒=1α 2 2在△ABD 与△EBC 中A ⎧∠BEC =∠BAD⎪∠EBC =∠ABD⎪BC =BD D∴△ABD ≌△EBC （AAS）E ∴AB =BEB C∴△ABE 为等边三角形（3）∵∠BCD = 60︒，∠BCE =150︒∴∠DCE =150︒- 60︒=90︒又∵∠DEC =45︒∴△DCE 为等腰直角三角形∴DC =CE =BC∵∠BCE =150︒∴∠EBC =(180︒ -150︒)=15︒2而∠EBC = 30︒-1α=15︒ 2∴α = 30︒25. 解：(1) ① D 、E ；② 由题意可知，若 P 点要刚好是圆 C 的关联点；需要点 P 到圆 C 的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角度为 60︒ ； 由图1 可知 ∠APB = 60︒ ，则 ∠CPB = 30︒ ，连接 BC ，则 PC = BCsin ∠CPB = 2BC = 2r ；∴若 P 点为圆 C 的关联点；则需点 P 到圆心的距离 d 满足 0 ≤ d ≤ 2r ； 由上述证明可知，考虑临界位置的 P 点，如图 2； P 点 P 到原点的距离 OP = 2⨯1= 2 ； 过 O 作 x 轴的垂线 OH ，垂足为 H ；t a n ∠OGF = OF = 2 3 = 3 ； AB OG 2∴ ∠OGF = 60︒ ；C ∴ OH = O G ⋅sin 60︒ = 3 ；∴ sin ∠OPH = OH = 3 ；OP 2 ∴ ∠OPH = 60︒ ； 易得点 P 1 与点 G 重合，过 P 2 作 P 2 M ⊥ x 轴于点 M ； 易得 ∠P 2 OM = 30︒ ；∴ OM = O P 2 ⋅cos30︒ = 3 ； 图1 y G (P 1) HO MF x图2从而若点 P 为圆 O 的关联点，则 P 点必在线段 P 1 P 2 上； ∴0 ≤ m ≤ 3 ； (2) 若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段 EF 的中点； 考虑临界情况，如图 3；即恰好 E 、F 点为圆 K 的关联时，则 KF = 2KN = 1 EF = 2 ；2∴此时 r =1 ；y故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，F这个圆的半径 r 的取值范围为 r ≥1.x KNE图3。
2019北京市中考数学试题试卷及答案
2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439000用科学记数法表示应为（A）60.43910´（B）64.3910´（C）54.3910´（D）343910´2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）3．正十边形的外角和为（A）180o（B）360o（C）720o（D）1440o4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（A）3-（B）2-（C）1-（D）15．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；NMDO BCPA（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M ，N ；（3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（A ）∠COM =∠COD（B ）若OM =MN ，则∠AOB =20°（C ）MN ∥CD（D ）MN =3CD6．如果1m n +=，那么代数式()22221m nm n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）37．用三个不等式a b >，0ab >，11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．学生类别5下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间所有合理推断的序号是 （A ）①③ （B ）②④（C ）①②③（D ）①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式1x x的值为0，则x 的值为______.10．如图，已知ABC !，通过测量、计算得ABC !的面积约为______cm 2.（结果保留一位小数）11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）第10题图CBA第11题图③圆锥②圆柱①长方体第12题图BA12．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝__________°（点A ，B ，P 是网格线交点）.13．在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x =上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x =上，则12k k +的值为______.14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．图3图2图115．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s ，则21s ______20s .(填“>”，“=”或“<”)16．在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是______．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：()01142604sin π---++o（）.18．解不等式组：4(1)2,7.3x x x x -<+⎧⎪+⎨>⎪⎩19．关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD 上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tan G=12，求AO的长．21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：40/万元d．中国的国家创新指数得分为69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l的上1方．请在图中用“d”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是______．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．22．在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ． （1）求证：AD =CD ；（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD =CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．CBA23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i 组有i x 首，i =1，2，3，4；②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（1i +）天背诵第二遍，第（3i +）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；第3组第4组4x4x4x③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题： （1）填入3x 补全上表；（2）若14x =，23x =，34x =，则4x 的所有可能取值为_________； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．24．如图，P 是与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上一动点，连接PC 交弦AB 于点D ．ABCDP小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C 在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度 的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 PC /cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83AD/cm0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和 ______的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；x /cmy /cm123456654321O（3）结合函数图象，解决问题：当PC =2PD 时，AD 的长度约为______cm ．25. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：()10y kx k =+≠与直线x k =，直线y k =-分别交于点A ，B ，直线x k =与直线y k =-交于点C ． （1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA ，，围成的区域（不含边界）为W ．①当2k =时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx a=+-与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,)2P a -，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27．已知30AOB ∠=︒，H 为射线OA 上一定点，31OH =+，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150︒，得到线段PN ，连接ON ．（1）依题意补全图1； （2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON =QP ，并证明．备用图图1BAOB28．在△ABC 中，D ，E 分别是ABC !两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC 的中内弧．例如，下图中是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，22AB AC D E ==，，分别是AB AC ，的中点．画出△ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在△ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点． ①若12t =，求△ABC 的中内弧所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．2019年北京市中考数学答案一. 选择题.二. 填空题.9. 1 10. 测量可知11. ①②12. 45°13. 0 14. 12 15. =16. ①②③三. 解答题.17．【答案】18．【答案】2x<19.【答案】m=1，此方程的根为121x x== 20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD，AC平分∠BAD∵BE=DF∴AB BE AD DF-=-∴AE=AF∴△AEF是等腰三角形∵AC平分∠BAD∴AC⊥EF（2）AO =1.21.【答案】（1）17（2）（3）2.7（4）①②22.【答案】（1）∵BD平分∠ABC∴∠=∠ABD CBD∴AD=CD（2）直线DE与图形G的公共点个数为1. 23．【答案】 （1）如下图第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组 第2组第3组 3x3x3x第4组（2）4，5，6 （3）23 24． 【答案】（1）AD ， PC ，PD ； （2）（3）2.29或者3.98 25. 【答案】（1）()0,1（2）①6个②10k-≤<或2k=-26.【答案】（1）1 (2,)Ba-；（2）直线1x=；（3）1a-≤２．27.【答案】（1）见图（2）在△OPM中，=180150OMP POM OPM OPM∠︒-∠-∠=︒-∠150OPN MPN OPM OPM∠=∠-∠=︒-∠OMP OPN∴∠=∠（3）OP=2.28.【答案】（1）如图：1801180180n r l πππ===g （2）①1P y ≥或12P y ≤；②0t <≤BC。
2019年北京中考数学真题试卷及答案
2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为 （A ）60.43910´ （B ）64.3910´（C ）54.3910´（D ）343910´2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ）3．正十边形的外角和为（A ）180o （B ）360o （C ）720o （D ）1440o4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO=BO ，则a 的值为（A ）3-（B ）2-（C ）1-（D ）15．已知锐角∠AOB（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M ，N ；（3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 （A ）∠COM=∠COD （B ）若OM=MN ，则∠AOB=20°（C ）MN ∥CD（D ）MN=3CD6．如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（A ）3- （B ）1-（C ）1 （D ）37．用三个不等式a b >，0ab >，11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．B下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是 （A ）①③ （B ）②④（C ）①②③（D ）①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式1x x 的值为0，则x 的值为______.10．如图，已知ABC !，通过测量、计算得ABC !的面积约为______cm2.（结果保留一位小数）学生类别511．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）12．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝__________°（点A ，B ，P 是网格线交点）.13．在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x =上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x =上，则12k k +的值为______.14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数第10题图CBA第11题图③圆锥②圆柱①长方体第12题图BA图3图2图1据的方差为21s ，则21s ______20s . (填“>”，“=”或“<”)16．在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）． 对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是______．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：()01142604sin π----++o （）.18．解不等式组：4(1)2,7.3x x x x -<+⎧⎪+⎨>⎪⎩19．关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．20．如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ．（1）求证：AC ⊥EF ；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a ．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x ＜40，40≤x ＜50，50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ≤100）；b ．国家创新指数得分在60≤x ＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：/万元d．中国的国家创新指数得分为69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线1l的上方．请在图中用“d”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是______．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．22．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G， ABC的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ． （1）求证：AD=CD ；（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i 组有i x 首，i =1，2，3，4；②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（1i +）天背诵第二遍，第（3i +）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；③每天最多背诵14首，最少背诵4首．CBA解答下列问题： （1）填入3x 补全上表；（2）若14x =，23x =，34x =，则4x 的所有可能取值为_________；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．24．如图，P 是与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上一动点，连接PC交弦AB 于点D ．小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C 在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度 的几组值，如下表：AB在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和 ______的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD 时，AD 的长度约为______cm ．25. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：()10y kx k =+≠与直线x k =，直线y k =-分别交于点A ，B ，直线x k =与直线y k =-交于点C ．（1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA ，，围成的区域（不含边界）为W ． ①当2k=时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数；②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx a =+-与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,)2P a -，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27．已知30AOB ∠=︒，H 为射线OA上一定点，1OH=+，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150︒，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M总有ON=QP ，并证明．28．在△ABC 中，D ，E 分别是ABC !两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC 的中内弧．例如，下图中是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，22AB AC D E ==，，分别是AB AC ，的中点．画出△ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在△ABC中，备用图图1BAOABCDE AED CBD E，分别是AB AC，的中点．①若12t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．2019年北京市中考数学答案 一. 选择题.二. 填空题.9. 1 10. 测量可知11. ①②12. 45°13. 0 14. 12 15. =16. ①②③ 三. 解答题. 17．【答案】18．【答案】2x < 19.【答案】m=1，此方程的根为121x x ==20. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形 ∴AB=AD ，AC 平分∠BAD ∵BE=DF∴AB BE AD DF -=-∴AE=AF∴△AEF是等腰三角形∵AC平分∠BAD∴AC⊥EF（2）AO =1.21.【答案】（1）17（2）（3）2.7（4）①②22.【答案】（1）∵BD平分∠ABCABD CBD∴∠=∠∴AD=CD（2）直线DE与图形G的公共点个数为1.23．【答案】（1）如下图第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组第2组第3组3x3x3x第4组（2）4，5，6（3）2324．【答案】（1）AD，PC，PD；（2）（3）2.29或者3.98 25. 【答案】 （1）()0,1（2）①6个 ②10k -≤<或2k =-26. 【答案】（1）1(2,)B a -； （2）直线1x =；（3）1a -≤２．27.【答案】（1）见图（2）在△OPM 中，=180150OMP POMOPM OPM ∠︒-∠-∠=︒-∠150OPN MPN OPM OPM ∠=∠-∠=︒-∠ OMP OPN ∴∠=∠（3）OP=2. 28. 【答案】 （1）如图：1801180180n r l πππ===g（2）①1P y ≥或12P y ≤；②02t <≤BCD E。
2019北京中考数学试题12页word文档
2019 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校姓名准考证号1．本试卷共6 页，共五道大题，25 道小题，满分120 分，考试时间120 分钟。
招2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。
知5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
6．转载请注明学而思培优首发。
一、选择题（本题共32 分，每小题4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的.1．在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2019-2019）》中，北京市提出了共计约3 960 亿元的投资计划，将3 960 用科学记数法表示应为A．39.6 ⨯1022．-3的倒数是4A．43B．3.96 ⨯103B．34C．3.96 ⨯104C．-34D．0.396 ⨯104D．-433．在一个不透明的口袋中装有5 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2 的概率为A．15B．25C．35D．454．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a∥b ，∠1 =∠2 ，若∠3 = 40︒，则∠4 等于A．40︒ B．50︒C．70︒ D．80︒5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE = 20 m ，BE =10 m ，CD = 20 m ，则河的宽度AB 等于A．60 m B．40 mC．30 m D．20 m6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是c3a214b AB E CDA B C D7A ． 6.2 小时B ． 6.4 小时 PC ． 6.5 小时D ．7 小时 8．如图，点 P 是以 O 为圆心， AB 为直径的半圆上的动点， AB = 2 ，设弦 AP 的长为 x ，△APO 的面积为 y ，则下列图象中，能表示 y A O B 与 x 的函数关系的图象大致是y y 1 1 2212xAy 1 21 2 xBy 1 21 2 x C 1 2 xD二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．分解因式： ab 2 - 4ab + 4a = . 10．请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解 析式， y = .AMD11．如图， O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， M 是 AD 的中点，若 AB = 5 ， AD = 12 ，则四边形 ABOM 的周长为. O12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l ： y = -x - 1 ，双曲BC线 y = 1 ，在 l 上取一点 A ，过 A 作 x 轴的垂线交双曲线于点x1 1yB 1 ，过 B 1 作 y 轴的垂线交 l 于点 A 2 ，请继续操作并探究：过 A 2作 x 轴的垂线交双曲线于点 B 2 ，过 B 2 作 y 轴的垂线交 l 于点 A 3 ，…，这样依次得到 l 上的点 A 1 ， A 2 ， A ，…， A n ，…. 记点 A n 的横坐标为 a n ， 若 a 1 = 2 ， 则 a 2 = ， a 2019 = ；若要将上述操作无限次地进行下云，则 a 1 不1 B 1A 2O1x A 1l能取的值是 . 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）C13．已知：如图，D 是 AC 上一点，AB = DA ，DE ∥AB ，∠B = ∠DAE .E D求证： BC = AE .14．计算： (1 - 3)0+ | - 2 | -2 cos 45︒+ ( 1 )-1 .4A B3x >x - 2 ，15．解不等式组：16．已知x2 - 4x -1 = 0 ，求代数式(2x - 3)2 - (x +y)(x -y) -y2 的值.17．列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6 名工人对180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2 名工人，结果比计划提前3 小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积.18．已知关于x 的一元二次方程x2 + 2x + 2k - 4 = 0 有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.四、解答题（本题共20 分，每小题5 分）19．如图，在ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE =1BC ，连接DE ，CF .2A F D（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若AB = 4 ，AD = 6 ，∠B = 60︒，求DE 的长.20．如图AB 是O 的直径，PA ，PC 与O 分别相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E .（1）求证：∠EPD =∠EDO ；（2）若PC = 6 ，tan ∠PDA =3，求OE 的长.421．第九界中国国际园林博览会（园博会）已于2019 年5 月18B C EPCBAO DE日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分。
北京市2019年中考数学试题(含答案)
2019年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为 （A ）610439.0⨯ （B ）61039.4⨯（C ）51039.4⨯（D ）310439⨯2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）3．正十边形的外角和为（A ）180°（B ）360°（C ）720°（D ）1440°4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO =BO ，则a 的值为（A ）﹣3（B ）﹣2（C ）﹣1（D ）15．已知锐角∠AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M ，N ；（3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 （A ）∠COM =∠COD （B ）若OM =MN ，则∠AOB =20° （C ）MN ∥CD（D ）MN =3CD6．如果1=+n m ，那么代数式()22212n m m mn m n m -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+的值为 （A ）﹣3（B ）﹣1 （C ）1 （D ）3NMD OBCPA7．用三个不等式b a >，0>ab ，ba 11<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．学生类别5下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是 （A ）①③ （B ）②④（C ）①②③（D ）①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式xx 1-的值为0，则x 的值为______.10．如图，已知△ABC ，通过测量、计算得△ABC 的面积约为______cm 2.（结果保留一位小数） 11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）第10题图CBA第11题图③圆锥②圆柱①长方体第12题图BA12．如图所示的网格是正方形网格，则=∠+∠PBA PAB __________°（点A ，B ，P 是网格线交点）. 13．在平面直角坐标系xOy 中，点A （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在双曲线xk y 1=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线xk y 2=上，则21k k +的值为______. 14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．图3图2图115．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s ，则21s ______20s . (填“>”，“=”或“<”)16．在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是______．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：()14160243-⎪⎭⎫⎝⎛+︒+---sin π.18．解不等式组：()⎪⎩⎪⎨⎧>++<-x x x x 3721419．关于x 的方程01222=-+-m x x 有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．20．如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ． （1）求证：AC ⊥EF ；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD =4，tanG =21，求AO 的长．21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a ．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x ＜40，40≤x ＜50，50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ≤100）；b ．国家创新指数得分在60≤x ＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.369.5 c ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：40/万元d ．中国的国家创新指数得分为69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线1l 的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是______．①相比于点A ，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B ，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．22．在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a（a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ． （1）求证：AD =CD ；（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD =CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．CBA23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i 组有i x 首，i =1，2，3，4；②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（1i ）天背诵第二遍，第（3i ）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；第1天第2天第3天 第4天第5天 第6天 第7天 第1组 1x1x1x第2组 2x2x2x第3组第4组4x 4x4x③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题： （1）填入3x 补全上表；（2）若41=x ，32=x ，43=x ，则4x 的所有可能取值为_________； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．24．如图，P 是与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上一动点，连接PC 交弦AB 于点D ．ABCDP小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C 在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度 的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 PC /cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；x /cmy /cm123456654321O（3）结合函数图象，解决问题：当PC =2PD 时，AD 的长度约为______cm ．25. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：1+=kx y （0≠k ）与直线k x =，直线k y -=分别交于点A ，B ，直线k x =与直线k y -=交于点C ． （1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ． ①当2=k 时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线abx ax y 12-+=与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点P （21，21-），Q （2,2）．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27．已知∠AOB =30°，H 为射线OA 上一定点，13+=OH ，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH上一动点，连接PM ，满足∠OMP 为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150°，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1； （2）求证：∠OMP =∠OPN ；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON =QP ，并证明．备用图图1BAOHHOA B28．在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC 的中内弧．例如，下图中是△ABC 的一条中内弧．ABCDE（1）如图，在Rt △ABC 中，22==AC AB ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；AED CB（2）在平面直角坐标系中，已知点A （0,2），B （0,0），C （4t ，0）（t ＞0），在△ABC 中，D ，E分别是AB ，AC 的中点． ①若21t ，求△ABC 的中内弧所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．2019年北京市中考数学答案一. 选择题.二. 填空题.9. 1 10. 测量可知11. ①②12. 45°13. 0 14. 12 15. =16. ①②③三. 解答题.17．【答案】18．【答案】2x<19.【答案】m=1，此方程的根为121x x== 20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD，AC平分∠BAD∵BE=DF∴AB BE AD DF-=-∴AE=AF∴△AEF是等腰三角形∵AC平分∠BAD∴AC⊥EF（2）AO =1.21.【答案】（1）17（2）（3）2.7（4）①②22.【答案】（1）∵BD平分∠ABCABD CBD∴∠=∠∴AD=CD（2）直线DE与图形G的公共点个数为1.23．【答案】（1）如下图第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组第2组第3组3x3x3x第4组（2）4，5，6（3）2324．【答案】（1）AD，PC，PD；（2）（3）2.29或者3.98 25. 【答案】 （1）()0,1（2）①6个②10k-≤<或2k =-26. 【答案】 （1）1(2,)B a ； （2）直线1x ；（3）1a ≤２． 27. 【答案】 （1）见图（2）在△OPM 中，=180150OMP POMOPM OPM ∠︒-∠-∠=︒-∠150OPN MPN OPM OPM ∠=∠-∠=︒-∠ OMP OPN ∴∠=∠（3）OP =2. 28. 【答案】 （1）如图：1801180180n r l πππ=== （2） ①1P y ≥或12P y ≤； ②0t <≤BC。
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北京市2019年高级中等学校招生统一考试数学试卷第I 卷 （机读卷 共56分）一. 选择题（共14个小题，每小题4分，共56分） 5. 下列图形中，不是中心对称图形的是 A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等边三角形6. 如果两圆的半径分别为3cm 和5cm ，圆心距为10cm ，那么这两个圆的公切线共有 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条8. 在∆ABC 中，∠=︒C 90，如果tan A =512，那么sin B 的值等于 A. 513 B. 1213 C. 512 D. 12510. 如果圆柱的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，那么它的侧面积等于 A. 202πcm B. 402πcm C. 202cm D. 402cm11. 如果关于x 的一元二次方程kx x 2690-+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 A. k <1 B. k ≠0 C. k k <≠10且 D.k >113. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，如果AB=10，CD=8，那么AE 的长为A. 2B. 3C. 4D. 514. 三峡工程在6月1日于6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h （米）随时间t （天）变化的是第II 卷 （非机读卷 共64分）二. 填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）15. 在函数y x =+3中，自变量x 的取值范围是_______。
16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且DE//BC ，如果BC=8cm ，AD ：AB=1：4，那么∆ADE 的周长等于________cm 。
18. 观察下列顺序排列的等式：9⨯0+1 = 1, 9⨯1+2 = 11, 9⨯2+3 = 21, 9⨯3+4 = 31, 9⨯4+5 = 41, ⋯ , 猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为___________________。