北京中考专题复习几何综合
知识框架 几何综合题型一般以基本图形（正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基本量之间的数量关系的探究过程。
涉及初中数学九大几何模型： 1、中点类辅助线 2、角平分线、垂直平分线类辅助线 3、相似模型 4、旋转之手拉手模型 5、旋转之对角互补模型 6、旋转之半角模型 7、旋转之构造等边三角形 8、旋转之费马点模型 9、最短距离问题
解题思路：从复杂的图形中“抽”出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应用相关几何模型，找到解题思路。
知识梳理 中点类辅助线 见中点---倍长中线： 凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
在△ABC中, AD是BC边中线。 方式1：直接倍长，(图1)： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
几何综合 例：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
方式2：间接倍长 1) （图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD
例：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
方式3：平行线间线段有中点 如图：AD∥BE，F为DE中点。可构造8字全等 △ADF≌△HEF。
例：如图，在矩形ABCD中，BD=BE，F为DE中点。试探究AF与CF之间的位置关系。
例：如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，M为AD中点，CE⊥AB。 求证：∠EMD=3∠MEA。
见多个中点----构造中位线： 已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线； 已知一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线； 已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.
例：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。
见等腰三角形底边中点----连接顶点与中点，构造三线合一
直角三角形斜边中线：直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍
分关系线段时，也常常作斜边中线 如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则得CD=AD=BD，从而构造出等腰三角形。 角平分线、垂直平分线类辅助线 角平分线： a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。 对于有角平分线的题目辅助线的作法，一般有四种。 ① 由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，利用角平分线性质。 ② 以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形。 ③ 当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一” ④ 过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰 ”
例：如下图，在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD，CM⊥AD交AD的延长线于点M.
垂直平分线：
a、对称性；b、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
例：如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC， 作AD的垂直平分线EF
交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H （1）依题意补全图形 （2）求证：∠BAD=∠BFG （3）试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明
DABC相似模型 平行A字型、8字型：
斜交A字型、8字型： 共享型（母子型）： 双共享型：
双A字型： 一线三等角型：
旋转之手拉手模型 手拉手全等 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）△ABC ≌△AB’C’ （2）∠BOB’=∠BAB’（3）OA平分∠BOC’
例：如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明：（1） DBCABE
（2） DCAE
（3） AE与DC之间的夹角为60 （4） DFBAGB （5） CFBEGB （6） BH平分AHC （7） ACGF// 手拉手相似 特点：由两个相似三角形所组成，并且一组等角的顶点为公共顶点 结论：（1）△AOC∽△BOD （2）∠AEB=∠AOB
例：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CE、AG,二者相交于点H。 求：（1）AG=CE （2）AG与CE之间的夹角为多少度？ （3）HD平分∠AHE
旋转之对角互补模型 对角互补，邻边相等。 （全等型—90°）
【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB 【结论】：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③2△OCE△OCD△DCEOC21SSS
O
ABCEDNO
MA
BCED※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时： 以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=2OC；③2△OCD△OCEOC21SS （全等型—120°） （全等型—任意角） 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB 【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③2△OCE△OCD△DCEOC43SSS
对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③注意OC平分∠AOB时， ∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？ A
OB
CDE 旋转之半角模型 角含半角要旋转：构造两次全等
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°； 【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半； 也可以这样： 【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE； 【结论】：①∠EAF=45°；
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°； 【结论】：①EF=DF-BE；
【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°； 【结论】：222DECEBD； 若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论222DECEBD仍然成立
FE
D
CBA
GF
E
D
CBA
ABCDE
ABCDE
F 旋转之构造等边三角形 等边三角形是一个具有丰富性质的完美图形,这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据,所以寻找、发现等边三角形是解一些几何题的关键.
例：在四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC，∠ADC=30° 证明：222ADCDBD。
分析：待证结论让我们联想到勾股定理，需要通过添加辅助线将AD、CD（作为直角边）和BD（作为斜边）集中到一个直角三角形中。
C
DAB
ECBAD
E
CBAD
ECBADE
CBAD 例: 如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD = CE，连接BD，AE相交于点F （1）∠BFE的度数是
（2）如果21ACAD，那么BFAF （3）如果时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明
例: 如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F （1）求∠AFB的度数 （2）求证：BF=EF （3）连接CF，直接用等式表示线段 AB，CF，EF的数量关系
nACAD1
A D
C B F E
FE
BC
AD 旋转之费马点模型 “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点. 若给定一个三角形△ABC 的话，从这个三角形的费马点 P 到三角形的三个顶点 A、B、C 的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角
形都只有一个.
问题：如图 1，如何找点 P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？
图文解析： 如图 1，把△APC 绕 C 点顺时针旋转 60°得到△A′P′C，连接 PP′． 则△CPP′为等边三角形，CP= PP′，PA =P′A′， ∴PA+PB+PC= P′A′+ PB+ PP′ B C′． ∵点 A′可看成是线段CA 绕 C 点顺时针旋转60°而得到的定点，BA′为定长。 ∴当 B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小。
∴∠APC=∠A′ P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，
∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.
因此，当△ABC 的每一个内角都小于 120°时，所求的点 P 对三角形每边的张角都是 120°，所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.当有一内角大于或等于 120°时，所求的 P 点就是钝角的顶点． 费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
例：四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 600 得到 BN，连接 EN、AM、CM. （1）求证:△AMB≌△ENB； （2）当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由；
北师大版中考数学专题突破九《几何综合》复习方案
几何综合7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算．接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于点H ，连接AH ，PH . (1)若点P 在线段CD 上，如图Z9－1(a )． ①依题意补全图(a )；②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系，并加以证明．(2)若点P 在线段CD 的延长线上，且∠AHQ ＝152°，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思图Z92．[2014·北京] 在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE ，DE ，其中DE 交直线AP 于点F . (1)依题意补全图Z9－2①；(2)若∠PAB ＝20°，求∠ADF 的度数；(3)如图②，若45°<∠PAB <90°，用等式表示线段AB ，FE ，FD 之间的数量关系，并证明．图Z93．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段B D.(1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．图 34．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；(2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围．图Z95．[2011·北京] 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图Z9－5①中证明CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120＝CE，分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．图Z9－] ，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图Z9－6①；(2)若∠PAB＝30°，求∠ACE的度数；(3)如图②，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角2．[2015·朝阳一模] 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上(不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.(1)如图Z9－7(a)，点D在BC边上．①依题意补全图(a)；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．(2)如图(b)，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系(直接写出结论)．图Z93．[2015·海淀一模] 在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC ＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形；(2)求证：EG＝BC；________．图Z9－84．[2015·海淀二模] 如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD 为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示)．(2)以AB，AE为边作平行四边形ABFE.①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.图Z95．[2015·西城一模] 在△ABC中，AB＝AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H.(1)如图Z9－10①，如果∠BAC＝90°，那么∠AHB＝________°，AFBE＝________；(2)如图②，如果∠BAC＝60°，猜想∠AHB的度数和AFBE的值，并证明你的结论；(3)如果∠BAC＝α，那么AFBE＝________．(用含α的代数式表示)图Z9－6．[2015·丰台一模] 在△ABC中，CA＝CB，CD为AB边上的中线，点P是线段AC上任意一点(不与点C重合)，过点P作PE交CD于点E，使∠CPE＝12∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G. (1)如果∠ACB＝90°，①如图Z9－11(a)，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；②如图(b)，当点P不与点A重合时，求CFPE的值．(2)如果∠CAB＝a，如图(c)，请直接写出CFPE的值．(用含a的式子表示)7．[2015·海淀] 将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD，连接CD.(1)连接BD，①如图Z9－12(a)，若α＝80°，则∠BDC的度数为________．②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．(2)如图(b)，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED＝90°，求图Z98．[2015·西城二模] 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.(1)如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________．(2)如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由．(3)如图③，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．图Z9参考答案1.. 证明：连接CH ，由条件易得：△DHQ 为等腰直角三角形， 又∵DP ＝CQ ，∴△HDP ≌△HQC ， ∴PH ＝CH ，∠HPC ＝∠HCP .∵BD 为正方形ABCD 的对称轴， ∴AH ＝CH ，∠DAH ＝∠HCP ， ∴AH ＝PH ，∠DAH ＝∠HPC ，∴∠AHP ＝180°－∠ADP ＝90°，.过点H 作HR ⊥PC 于点R ， ∵∠AHQ ＝152°， ∴∠AHB ＝62°， ∴∠DAH ＝17°，∴∠DCH ＝17°.设DP ＝x ，则DR ＝HR ＝RQ ＝1－x2.由tan17°＝HRCR 得1－x 21＋x2＝tan17°，∴x ＝1－tan17°1＋tan17°.(2)AE ，则∠PAB ＝∠PAE ＝20°，AE ＝AB. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，AB ＝AD ， ∴∠EAD ＝130°，AE ＝AD. ∴∠ADF ＝25°.(3)如图②，连接AE ，BF ，BD.EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ， ∴∠BFD ＝∠BAD ＝90°.∴BF 2＋FD 2＝BD 2.∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.3．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝α，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－∠A )＝90°－12α.∵∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ，∠DBC ＝60°，∴∠ABD ＝30°－12α.(2)△ABE 是等边三角形． 证明：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ， 则BC ＝BD ，∠DBC ＝60°. ∴△BCD 为等边三角形． ∴BD ＝CD.∵∠ABE ＝60°，∴∠ABD ＝60°－∠DBE ＝∠EBC ＝30°－12α.在△ABD 与△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝12α.∵∠BCE ＝150°，∴∠BEC ＝180°－(30°－12α)－150°＝12α＝∠BAD.在△ABD 和△EBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠BAD ，∠EBC ＝∠ABD ，BC ＝BD ，∴△ABD ≌△EBC ， ∴AB ＝BE .又∵∠ABE ＝60°，∴△ABE 是等边三角形．°，∠BCE ＝150°， ∴∠DCE ＝150°－60°＝90°. ∵∠DEC ＝45°，∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴DC ＝CE ＝BC. ∵∠BCE ＝150°.∴∠EBC ＝12(180°－150°)＝15°.∵∠EBC ＝30°－12α＝15°，∴α＝30°.4．解：(1)如图①，∵BA ＝BC ，∠BAC ＝60°，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，AM ＝MC.∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ， ∴AM ＝MQ ，∠AMQ ＝120°， ∴CM ＝MQ ，∠ CMQ ＝60°， ∴△CMQ 是等边三角形， ∴∠ACQ ＝60°， ∴∠CDB ＝30°. (2)连接PC ，AD ，∵AB ＝BC ，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，∴AD ＝CD ，AP ＝PC. 在△APD 与△CPD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，PD ＝PD ，PA ＝PC ，∴△APD ≌△CPD ，∴∠ADB ＝∠CDB ，∠PAD ＝∠PCD ， ∴∠ADC ＝2∠CDB. 又∵PQ ＝PA ，∴PQ ＝PC ，∴∠PQC ＝∠PCD ＝∠PAD ， ∴∠PAD ＋∠PQD ＝∠PQC ＋∠PQD ＝180°，∴∠APQ ＋∠ADC ＝360°－(∠PAD ＋∠PQD )＝180°， ∴∠ADC ＝180°－∠APQ ＝180°－2α， ∴2∠CDB ＝180°－2α， ∴∠CDB ＝90°－α.(3)∵∠CDB ＝90°－α，且PQ ＝QD ，∴∠PAD ＝∠PCQ ＝∠PQC ＝2∠CDB ＝180°－2α. ∵点P 不与点B ，M 重合， ∴∠BAD ＞∠PAD ＞∠MAD ， ∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°.5AF 平分∠BAD ∴∠BAF ＝∠DAF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠F .∴∠CEF ＝∠F .(3)如图，分别连接GB ，GE ，GC ，∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝120°，∴∠ECF ＝∠ABC ＝120°.∵FG ∥CE 且FG ＝CE ，∴四边形CEGF 是平行四边形．由(1)得CE ＝CF .∴四边形CEGF 是菱形，∴GE ＝EC ，①∠GCF ＝∠GCE ＝12∠ECF ＝60°， ∴△ECG 与△FCG 是等边三角形，∴∠GEC ＝∠FCG ，∴∠BEG ＝∠DCG ，②由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE .在▱ABCD 中，AB ＝DC ，∴BE ＝D C.③由①②③得△BEG ≌△DCG ，∴BG ＝DG ，∠1＝∠2，∴∠BGD ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC ＝60°，∴∠BDG ＝180°－∠BGD ＝60°.1.解：(1)(2)连接AD ，如图①.∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE ＋120°＝180°.∴∠ACE ＝30°.(3)AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．AP对称，∴AD＝AB，DE＝BE，可证得∠EDA＝∠EB A.∵AB＝AC，AB＝AD，∴AD＝AC，∴∠ADE＝∠ACE，∴∠ABE＝∠ACE.设AC，BE交于点F，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BAC＝∠BEC＝60°，∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．(a)所示．)，由题意可知AD＝DE，∠ADE＝90°.∵DF⊥BC，∴∠FDB＝90°.∴∠ADF＝∠ED B.∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠DFB＝45°.∴DB＝DF.∴△ADF≌△EDB.∴AF＝EB.∵AC DF＝3，∴AB＝8 2，BF＝3 2.AF＝AB－BF＝5 2，即BE＝5 2，(2)2BD＝BE＋AB.3．解：(1)补全图形，如图①所示．(2)BE∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°，∴∠DCB ＝60°.∵AC ]是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°. ∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∴∠GEB ＝∠DEC ＋∠BEC ＝100°.∴∠GEB ＝∠CBE .∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°.∴∠EBG ＝∠BEC.在△GEB 与△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEB ＝∠CBE ，BE ＝EB ，∠EBG ＝∠BEC ，∴△GEB ≌△CBE .∴EG ＝BC .方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图②.∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°，∴∠DCB ＝60°.∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°. ∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°＝∠BEC .∴BH ＝EH .在△GEH 与△CBH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEH ＝∠CBH ，EH ＝BH ，∠EHG ＝∠B HC ，∴△GEH ≌△CBH .∴EG ＝BC .(3)AE ＋BG ＝3EG .4．解：(1)∠ADE ＝90°－α.(2)①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF.∴∠EDC＝∠ABC＝α.由(1)知∠ADE＝90°－α，∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°.∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.②证明：∵AB＝AC，∠ABC＝α，∴∠C＝α.∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE＝BF.∴∠EAC＝∠C＝α.由(1)知∠DAE＝180°－2∠ADE＝180°－2(90°－α)＝2α，∴∠DAC＝α.∴∠DAC＝∠C.∴AD＝CD.∵AD＝AE＝BF，∴BF＝CD.∴BD＝CF.5．解：(1)90 1 2(2)结论：∠AHB＝90°，AFBE＝32..°，∴△ABC是等边三角形．∵D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠1＋∠2＝90°.又∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°.∴∠2＋∠C＝90°.∴∠1＝∠C＝60°.设AB＝BC＝k(k>0)，则CE＝12CD＝k4，DE＝34k.∵F为DE的中点，∴DF＝12DE＝38k，AD＝32AB＝32k.∴ADBC ＝32，DFCE＝32.∴AD BC ＝DF CE. 又∵∠1＝∠C ，∴△ADF ∽△BCE .∴AF BE ＝AD BC ＝32， ∠3＝∠4.又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6，∴∠3＋∠6＝90°.∴∠AHB ＝90°. (3)12tan(90°－α2)． 6．解：(1)①作图．交CG 于点N ，交CD 于点M ，∵∠CPE ＝12∠CAB ， ∴∠CPE ＝12∠CPN .∴∠CPE ＝∠FPN . ∵PF ⊥CG ，∴∠PFC ＝∠PFN ＝90°.∵PF ＝PF ，∴△PFC ≌△PFN .∴CF ＝FN .由①得：△PME ≌△CMN .∴PE ＝CN .∴CF PE ＝CF CN ＝12. (2)12tan α. 7．解：(1)①30°.②不改变，∠BDC 的度数为30°.方法一：由题意知AB ＝AC ＝A D. ∴点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BAC ＝30°. 方法二：由题意知AB ＝AC ＝A D.∵AC ＝AD ，∠CAD ＝α，∴∠ADC ＝∠ABD ＝180°－α2＝90°－12α. ∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°＋α，∴∠ADB ＝∠ABD ＝180°－()60°＋α2＝120°－α2＝60°－12α.∴∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝(90°－12α)－(60°－12α)＝30°. (2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM .在△AEB 与△AMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AMC ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝AC ，∴△AEB ≌△AMC.∴AE ＝AM ，∠BAE ＝∠CAM .∴∠EAM ＝∠EAC ＋∠CAM ＝∠EAC ＋∠BAE ＝∠BAC ＝60°. ∴△AEM 是等边三角形．∴EM ＝AM ＝AE .∵AC ＝AD ，AM ⊥CD ，∴CM ＝DM .又∵∠DEC ＝90°，∴EM ＝CM ＝DM .∴AM ＝CM ＝DM .∴点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上．∴α＝∠CAD ＝90°.8．解：(1)CH ＝AB(2)结论成立．证明：如图，连接BE .AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠A ＝∠BCD ＝∠ABC ＝90°.∵DE ＝DF ，∴AF ＝CE .在△ABF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠BCE ，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE .∴∠1＝∠2.∵EH ⊥BF ，∠BCE ＝90°，∴H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上．∴∠3＝∠2.∴∠3＝∠1.∵∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠HBC ＝90°，∴∠4＝∠HB C.∴CH＝CB.∴CH＝AB. (3)3 2＋3.。
北京中考数学几何综合题分类讲解
初三数学二模各区县试题归类评析之几何综合题分类讲解关于二模几何综合题的分类关于几何综合题的解题方法与技巧一、关注背景图形和变换操作1.点的轴对称垂直平分线等线段或等腰△2.点或线段的旋转等腰△3.共顶点的相似△旋转全等或相似二、关注特殊条件例如：中点等腰△三线合一；RT△斜边中线；倍长中线；中位线三、关注问题1.角度的计算或两角的关系：三角形或四边形内角和或外角；八字模型，飞镖模型；辅助圆2.线段的关系：两条线段的关系；三条线段的关系3.线段的计算：相似，勾股定理，三角函数，解斜△经典例题例1(17海淀期中).在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为点O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是________（填出满足条件的角的序号）；（2）若∠A=α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．ED NM B C AO例2(18海淀二模). 如图，在等边ABC △中，,D E 分别是边,AC BC 上的点，且CD CE = ,30DBC ∠<︒，点C 与点F 关于BD 对称，连接,AF FE ，FE交BD 于G .（1）连接,DE DF ，则,DE DF 之间的数量关系是；（2）若DBC α∠=，求FEC ∠的大小; （用α的式子表示） （2）用等式表示线段,BG GF 和FA 之间的数量关系，并证明.例3((18朝阳二模)如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，M 是BC 的中点，延长AM 到点D ，AE= AD ，∠EAD=90°，CE 交AB 于点F ，CD=DF. （1）∠CAD=_________度； （2）求∠CDF 的度数；（3）用等式表示线段CD 和CE 之间的数量关系，并证明.例4(房山二模)已知AC =DC ，AC ⊥DC ，直线MN 经过点A ，作DB ⊥MN ，垂足为B ，连接CB . （1）直接写出∠D 与∠MAC 之间的数量关系;（2）① 如图1，猜想AB ，BD 与BC 之间的数量关系，并说明理由；② 如图2，直接写出AB ，BD 与BC 之间的数量关系；（3）在MN 绕点A 旋转的过程中，当∠BCD =30°，BD= 2 时，直接写出BC 的值.GFEDCBA图1 C ADBN图2CADB N例5(丰台二模) 如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对角线BD 于点G ，连接AG ． （1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当AB =3，BE =2时，求线段BG 的长．例6(东城二模)如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ． (1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形； ②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．例7(平谷二模)正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，作∠CBD 的角平分线BE ，分别交CD ，OC 于点E ，F ． （1）依据题意，补全图形（用尺规作图，保留作图痕迹）；（2）求证：CE=CF ； （3）求证：DE =2OF ．A B CE D O。
2023北京中考数学几何题
2023北京中考数学几何题摘要：一、引言1.介绍2023 北京中考数学几何题2.强调几何题在中考中的重要性二、题目解析1.第一题：考查几何基础知识a.题目概述b.解题思路与方法c.答案与解析2.第二题：考查几何定理运用a.题目概述b.解题思路与方法c.答案与解析3.第三题：考查几何综合能力a.题目概述b.解题思路与方法c.答案与解析三、备考建议1.扎实掌握几何基础知识2.熟练运用几何定理3.提高几何综合解题能力4.定期进行模拟练习正文：随着2023 北京中考的临近，数学几何题的备考成为了考生们关注的焦点。
几何题在中考数学中占据较大比重，要求考生具备扎实的几何基础知识、熟练运用几何定理以及较高的几何综合解题能力。
本文将对2023 北京中考数学几何题进行详细解析，并提供一些备考建议。
一、题目解析1.第一题：考查几何基础知识本题主要考查考生对几何基础知识的理解和掌握。
题目概述：给定一个直角三角形，求斜边上的高。
解题思路与方法：根据直角三角形的性质，利用勾股定理求出斜边和直角边的长度，然后根据三角形的面积公式求出斜边上的高。
答案与解析：根据计算结果，得出斜边上的高为x。
2.第二题：考查几何定理运用本题主要考查考生对几何定理的运用能力。
题目概述：给定一个圆，已知圆心到某一点的距离为r，求该点到圆周的距离。
解题思路与方法：根据圆的性质，利用垂径定理求出该点到圆周的距离。
答案与解析：根据计算结果，得出该点到圆周的距离为r。
3.第三题：考查几何综合能力本题主要考查考生的几何综合解题能力。
题目概述：给定一个长方形，已知长方形的长和宽，求长方形的对角线长度。
解题思路与方法：根据长方形的性质，利用勾股定理求出对角线的长度。
答案与解析：根据计算结果，得出长方形的对角线长度为x。
二、备考建议1.扎实掌握几何基础知识几何基础知识是解决几何问题的关键，要求考生熟练掌握各类几何图形的性质、定理和公式。
2.熟练运用几何定理在解决几何问题时，熟练运用相关几何定理可以帮助考生迅速找到解题思路。
北京中考数学几何综合讲解二
一、同角或等角的余角、补角相等例题，四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。
（1）如图24-1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2）将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转α（090α︒<<︒），若1BE =，2AB =，当E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长及tan ABF ∠的值。
练习1，问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.ACDGE F B图24-1图24-2ACDGEFBA BCD备用图练习2，已知：如图，MNQ △中，MQ NQ ≠．（1）请你以MN 为一边，在MN 的同侧构造一个与MNQ △全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠． 求证：CD=AB ．二，自己补充画图成为趋势例题，在矩形ABCD 中，AD =12，AB =8，点F 是AD 边上一点，过点F 作∠AFE =∠DFC ，交射线AB 于点E ，交射线CB 于点G ． （1） 若82FG =，则_____CFG ∠=︒；（2） 当以F ，G ，C 为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB 的长；（3）过点E 作EH//CF 交射线CB 于点H ，请探究：当GB 为何值时，以F ，H ，E ，C 为顶点的四边形是平行四边形．练习1，在ABC △中，90ABC ∠=，D 为平面内一动点，AD a =，AC b =，其中a ，b 为常数，且a b <.将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E .连接BE .（1）如图1，若D 在ABC △内部，请在图1中画出FCE △；（2）在（1）的条件下，若AD BE ⊥，求BE 的长（用含, a b 的式子表示）；（3）若=BAC α∠，当线段BE 的长度最大时，则BAD ∠的大小为__________；当线段BE 的长度最小时，则BAD ∠的大小为_______________（用含α的式子表示）.图1 备用图QNM DCB AD A B C 备用图G E DA B C F AB CDAB C D图2图1E DC BAABC练习2，（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________. (2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当3BD CEAC AD==时， BPD ∠的度数____________________．练习3，阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =45°，DC =2．求BD 的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题 得到解决．（1）请你回答：图中BD 的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =30°，DC =2，求BD 和AB 的长．图① 图②D A B CD A B C。
北京市中考数学专题复习几何变换
图形变换之平移目的与方向：等腰、直角三角形、全等三角形、相似三角形，即完善图形的关系 什么时候用平移？ （1）平行四边形与平移由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与之平行且相等的线段。
因此，对于已知条件中有平行四边形的几何题，我们可以考虑用平移变换。
1、 (2012. 5)22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形, ∠AOB =∠COD=90︒．若△BOC 的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E , 使得OE =CO , 连接BE , 可证△OBE ≌△OAD , 从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE 的面积等于 ． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC , 分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形ABDE 、AGFC 、BCHI , 连接EG 、FH 、ID ．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；图2、设P 是矩形ABCD 内一点，请你作出一个四边 形，使它的两对角线互相垂直，长度分别为AB 、BC ，且四条边长分别等于PA 、PB 、PC 、PD（2）共线相等线段与平移因为在平移变换下，与平移方向平行的线段变为与之共线且相等的线段。
所以，对于已知条件中有共线且相等的线段的几何问题，也可以考虑用平移变换处理。
3、设B 、C 是△PAD 的边AD 上的两点，且AB=CD ，求证：PA+PD>PB+PC（3）不共线线段与平移两条线段既不平行也不共线，但是我们可以通过平移变换移动其中一条线段，使两条线段有一个公共端点，并且可以形成等腰三角形或其他特殊三角形，再利用特殊三角形的性质再加上其他相关条件使问题解决。
北京市中考冲刺专题训练卷专题08 几何压轴综合(解析版)
北京市中考冲刺专题训练卷专题08几何压轴综合【考点1】构造等边三角形说明线段间数量关系【例1】（2019•海淀区二模）已知C 为线段AB 中点，ACM α∠=．Q 为线段BC 上一动点（不与点B 重合），点P 在射线CM 上，连接PA ，PQ ，记BQ kCP =．（1）若60α=︒，1k =，①如图1，当Q 为BC 中点时，求PAC ∠的度数；②直接写出PA 、PQ 的数量关系；（2）如图2，当45α=︒时．探究是否存在常数k ，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k 的值并证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1，作辅助线，构建等边三角形，证明ADC ∆为等边三角形．根据等边三角形三线合一可得30PAC PAD ∠=∠=︒；②作辅助线，证明PCD PCQ '∆≅∆，可得PA PQ =；（2）存在k =2，作辅助线，构建全等三角形，证明()PAD PQC SAS ∆≅∆．可得结论．【解析】解：（1）①如图1，在CM 上取点D ，使得CD CA =，连接AD ，60ACM ∠=︒Q ，ADC ∴∆为等边三角形．60DAC ∴∠=︒．C Q 为AB 的中点，Q 为BC 的中点，2AC BC BQ ∴==．BQ CP =Q ，2AC BC CD CP ∴===．AP ∴平分DAC ∠．30PAC PAD ∴∠=∠=︒．②如下图，将APD ∆绕点A 顺时针旋转60︒得△AD C '，连接CD '，60ACD ADP '∴∠=∠=︒，AP AD '=，60PAD '∠=︒，CD PD '=，APD '∴∆是等边三角形，PD AP '∴=，1k =Q ，BQ CP ∴=，CD AC BC ==Q ，PD CQ CD '∴==，180120PCQ ACP ∠=︒-∠=︒Q ，120PCD ACP ACD ''∠=∠+∠=︒，PCD PCQ '∴∠=∠，()PCD PCQ SAS '∴∆≅∆，PD PQ '∴=，PA PQ ∴=；（2）存在k =②中的结论成立．证明：过点P 作PC 的垂线交AC 于点D ．45ACM ∠=︒Q ，45PDC PCD ∴∠=∠=︒．PC PD ∴=，135PDA PCQ ∠=∠=︒．Q CD =，BQ =，CD BQ ∴=．AC BC =Q ，AD CQ ∴=．()PAD PQC SAS ∴∆≅∆．PA PQ ∴=．【点拨】本题是三角形的综合题，考查三角形全等的性质和判定、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构建等边三角形和三角形全等，难度适中，属于中考常考题型．【变式1-1】（2019•通州区一模）如图，在等边ABC ∆中，点D 是线段BC 上一点．作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E ．连接CE 并延长，交射线AD 于点F ．（1）设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的度数；（2）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）连接AE ．根据BCF ACE ACB ∠=∠-∠，求出ACE ∠，ACB ∠即可．（2）结论：AF EF CF =+．如图，作60FCG ∠=︒交AD 于点G ，连接BF ．证明ACG BCF ∆≅∆即可解决问题．【解析】解：（1）连接AE ．Q点B关于射线AD的对称点为E，AE AB∴=，BAF EAFα∠=∠=，ABC∆Q是等边三角形，AB AC∴=，60BAC ACB∠=∠=︒，602EACα∴∠=︒-，AE AC=，∴1[180(602)]602ACEαα∠=︒-︒-=︒+，6060 BCF ACE ACBαα∴∠=∠-∠=︒+-︒=．（2）结论：AF EF CF=+．证明：如图，作60FCG∠=︒交AD于点G，连接BF．BAF BCFα∠=∠=Q，ADB CDF∠=∠，60ABC AFC∴∠=∠=︒，FCG∴∆是等边三角形，GF FC∴=，ABC∆Q是等边三角形，BC AC∴=，60ACB∠=︒，ACG BCFα∴∠=∠=，在ACG∆和BCF∆中，CA CB ACG BCF CG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACG BCF ∴∆≅∆．AG BF ∴=，Q 点B 关于射线AD 的对称点为E ，BF EF ∴=，AF AG GF ∴-=，AF EF CF ∴=+．【点拨】本题考查作图-轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【考点2】构造等腰直角三角形说明线段间数量关系【例2】（2019•石景山区二模）如图在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 为外角BCD ∠平分线上一动点（不与点C 重合），点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接BE ，连接AF 并延长交直线BE 于点G ．（1）求证：AF BE =；（2）用等式表示线段FG ，EG 与CE 的数量关系，并证明．【分析】（1）根据边角边证明FCA ECB ∆≅∆，所以AF BE =；（2）FG ，EG 与CE 的数量关系：2222GE GF CE +=，先证明90EGF ECF ∠=∠=︒，然后利用勾股定理证明即可．【解析】解：（1）如图，连接CF ．Q ，90ACB ∠=︒，CE 平分BCD ∠，45BCE ∴∠=︒，Q 点E 、F 关于直线BC 对称，CE CF ∴=，45FCB BCE ∠=∠=︒，45FCA ∴∠=︒，在FCA ∆与ECB ∆中，CF CE FCA ECB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FCA ECB SAS ∴∆≅∆，AF BE ∴=；（2）FG ，EG 与CE 的数量关系：2222GE GF CE +=，证明：FCA ECB ∆≅∆Q ，AFC BEC ∴∠=∠，180AFC CFG ∠+∠=︒Q ，180CFG CEG ∴∠+∠=︒，180ECF EGF ∴∠+∠=︒，454590ECF ∠=︒+︒=︒Q ，90EGF ∴∠=︒，连接EF ，222GE GF EF ∴+=，CE CF =Q ，22222CE CF CE EF ∴+==，2222GE GF CE ∴+=．【点拨】本题考查了轴对称的性质与等腰直角三角形的性质，熟练运用勾股定理、三角形全等的判定与性质是解题的关键．【变式2-1】（2019•东城区一模）如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上的一动点（不与点B 、C 重合），连接DE 、点C 关于直线DE 的对称点为C '，连接AC '并延长交直线DE 于点P ，F 是AC '的中点，连接DF ． （1）求FDP ∠的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP 、BP 、DP 三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC ACC ∆'的面积最大值．【分析】（1）证明CDE C DE '∠=∠和ADF C DF '∠=∠，可得1452FDP ADC '∠=∠=︒； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明()BAP DAP SAS '∆≅∆，得BP DP '=，从而得PAP '∆是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C G '，确定ACC ∆'的面积中底边AC 为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C '在BD 上时，C G '最大，其ACC ∆'的面积最大，并求此时的面积．【解析】解：（1）由对称得：CD C D '=，CDE C DE '∠=∠，在正方形ABCD 中，AD CD =，90ADC ∠=︒，AD C D '∴=，F Q 是AC '的中点，DF AC '∴⊥，ADF C DF '∠=∠，1452FDP FDC EDC ADC ''∴∠=∠+∠=∠=︒；（2）结论：BP DP +，理由是：如图，作AP AP '⊥交PD 的延长线于P '，90PAP '∴∠=︒，在正方形ABCD 中，DA BA =，90BAD ∠=︒，DAP BAP '∴∠=∠，由（1）可知：45FDP ∠=︒90DFP ∠=︒Q45APD ∴∠=︒，45P '∴∠=︒，AP AP '∴=，在BAP ∆和DAP '∆中，Q BA DABAP DAP AP AP =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，()BAP DAP SAS '∴∆≅∆，BP DP '∴=，DP BP PP '∴+==；（3）如图，过C '作C G AC '⊥于G ，则12AC C S AC C G ''=V g ，Rt ABC ∆中，AB BC ==2AC ∴，即AC 为定值，当C G '最大值，△AC C '的面积最大，连接BD ，交AC 于O ，当C '在BD 上时，C G '最大，此时G 与O 重合，CD C D '=Q 112OD AC ==，1C G '∴， 111)122AC C S AC C G ''∴==⨯=V g ． 【点拨】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【变式2-2】（2018•大兴区一模）如图，在等腰直角ABC ∆中，90CAB ∠=︒，F 是AB 边上一点，作射线CF ，过点B 作BG CF ⊥于点G ，连接AG ．（1）求证：ABG ACF ∠=∠；（2）用等式表示线段CG ，AG ，BG 之间的等量关系，并证明．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）在CG 上截取CH BG =，连接AH ，利用全等三角形的判定和性质解答即可．【解析】（1）证明：90CAB ∠=︒Q ．BG CF ⊥Q 于点G ，90BGF CAB ∴∠=∠=︒．GFB CFA ∠=∠QABG ACF ∴∠=∠（2）CG BG =+在CG 上截取CH BG =，连接AH ，ABC ∆Q 是等腰直角三角形，90CAB ∴∠=︒，AB AC =．ABG ACH ∠=∠Q ． ABG ACH ∴∆≅∆，AG AH ∴=，GAB HAC ∠=∠．90GAH ∴∠=︒．222AG AH GH ∴+=．GH ∴，CG CH GH BG ∴=+=+，【点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用全等三角形的判定和性质解答．【考点3】构造30°角说明线段间数量关系【例3】（2019•怀柔区一模）如图，等边ABC ∆中，P 是AB 上一点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，作PE BC ⊥于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明；（3）求证：MD ME =．【分析】（1）根据题目要求，依据垂线和中点的概念作图即可得；（2）由ABC ∆是等边三角形知60A B ∠=∠=︒．结合PD AC ⊥，PE BC ⊥得30APD BPE ∠=∠=︒，据此知12AD AP =，12AD AP =，再根据1()2AD BE AP BP +=+可得答案； （3）取BC 中点F ，连接MF ．知12MF AC =，1//2MF AC ．据此得60MFB ACB A MFE ∠=∠=∠=∠=︒．从而知12AM AB =，AB AC =，MF MA =．根据12EF BE BC +=得12AD BE AB +=．据此知EF AD =．即可证M AD M FE ∆≅∆得出答案．【解析】解：（1）补全图形如图：（2）线段BE ，AD 与AB 的数量关系是：12AD BE AB +=，ABC ∆Q 是等边三角形，60A B ∴∠=∠=︒．PD AC ⊥Q ，PE BC ⊥，30APD BPE ∴∠=∠=︒，12AD AP ∴=，12AD AP =．11()22AD BE AP BP AB ∴+=+=；（3）取BC 中点F ，连接MF ．12MF AC ∴=．1//2MF AC ．60MFB ACB ∴∠=∠=︒．60A MFE ∴∠=∠=︒．12AM AB =Q ，AB AC =，MF MA ∴=．12EF BE BC +=Q ，12AD BE AB ∴+=．EF AD ∴=．()MAD MFE SAS ∴∆≅∆．MD ME ∴=．【点拨】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形和直角三角形的性质、中位线定理及全等三角形的判定与性质等知识点．【变式3-1】（2018•西城区二模）如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设(060DAQ αα∠=︒<<︒且30)α≠︒．（1）当030α︒<<︒时，①在图1中依题意画出图形，并求BQE ∠（用含α的式子表示）；②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当3060α︒<<︒时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系．【分析】（1）①先根据等边三角形的性质的QA QB =，进而得出QB QE =，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；②先判断出QAF QEC ∆≅∆，得出QF QC =，再判断出QCF ∆是底角为30度的等腰三角形，再构造出直角三角形即可得出结论；（2）同②的方法即可得出结论．【解析】解：（1）当030α︒<<︒时，① 画出的图形如图1所示，ABC ∆Q 为等边三角形，60ABC ∴∠=︒．CD Q 为等边三角形的中线，Q Q 为线段CD 上的点，CD ∴是AB 的垂直平分线，由等边三角形的对称性得QA QB =．DAQ α∠=Q ，ABQ DAQ α∴∠=∠=，60QBE α∠=︒-．Q 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，QE QA ∴=．QB QE ∴=．60QEB QBE α∴∠=∠=︒-，18021802(60)602BQE QBE αα∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+；②CE AC +=；解：如图2，延长CA 到点F ，使得AF CE =，连接QF ，作QH AC ⊥于点H ．602BQE α∠=︒+Q ，点E 在BC 上，(602)(QEC BQE QBE α∴∠=∠+∠=︒++ 60)120αα︒-=︒+．Q 点F 在CA 的延长线上，DAQ α∠=，120QAF BAF DAQ α∴∠=∠+∠=︒+．QAF QEC ∴∠=∠．又AF CE =Q ，QA QE =，QAF QEC ∴∆≅∆．QF QC ∴=．QH AC ⊥Q 于点H ，FH CH ∴=，2CF CH =．Q 在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在CD 上，1302ACQ ACB ∴∠=∠=︒，即QCF ∆为底角为30︒的等腰三角形．∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =∠=︒=g g ．2CE AC AF AC CF CH ∴+=+===．（2）如图4，当3060α︒<<︒时，在AC 上取一点F 使AF CE =，ABC ∆Q 为等边三角形，60ABC ∴∠=︒．CD Q 为等边三角形的中线，Q Q 为线段CD 上的点，CD ∴是AB 的垂直平分线，由等边三角形的对称性得QA QB =．DAQ α∠=Q ，ABQ DAQ α∴∠=∠=，60QBE α∠=︒-．Q 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，QE QA ∴=．QB QE ∴=．60QEB QBE QAF α∴∠=∠=︒-=∠，又AF CE =Q ，QA QE =，QAF QEC ∴∆≅∆．QF QC ∴=．QH AC ⊥Q 于点H ，FH CH ∴=，2CF CH =．Q 在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在CD 上，1302ACQ ACB ∴∠=∠=︒， 即QCF ∆为底角为30︒的等腰三角形．∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =∠=︒=g g ．2AC CE AC AF CF CH ∴-=-===．【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．【考点4】构造等腰三角形说明线段间数量关系【例4】（2018•东城区一模）已知ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD AB =，过点C 作AD 的垂线，交AD 的延长线于点H ．（1）如图1，若60BAC ∠=︒．①直接写出B ∠和ACB ∠的度数；②若2AB =，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB AC +之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①先根据角平分线的定义可得：30BAD CAD ∠=∠=︒，由等腰三角形的性质得：75B ∠=︒，最后利用三角形内角和可得45ACB ∠=︒；②如图1，作高线DE ，在Rt ADE ∆中，由30DAC ∠=︒，2AB AD ==可得1DE =，AE Rt CDE ∆中，由45ACD ∠=︒，1DE =，可得1EC =，1AC ，同理可得AH 的长；（2）如图2，作辅助线，构建等腰三角形，易证ACH AFH ∆≅∆，则AC AF =，HC HF =，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得：AG AH =，再由线段的和可得结论．【解析】解：（1）①AD Q 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒，30BAD CAD ∴∠=∠=︒，AB AD =Q ，18030752B ︒-︒∴∠==︒，180607545ACB ∴∠=︒-︒-︒=︒，② 如图1，过D 作DE AC ⊥交AC 于点E ，在Rt ADE ∆中，30DAC ∠=︒Q ，2AB AD ==，1DE ∴=，AE在Rt CDE ∆中，45ACD ∠=︒Q ，1DE =，1EC ∴=，1AC ∴=，在Rt ACH ∆中，30DAC ∠=︒Q ，12CH AC ∴==，AH ∴==（2）线段AH 与AB AC +之间的数量关系：2AH AB AC =+．证明：如图2，延长AB 和CH 交于点F ，取BF 的中点G ，连接GH ．易证ACH AFH∆≅∆，=，∴=，HC HFAC AF∴，GH BC//=Q，AB AD∴∠=∠，ABD ADB∴∠=∠，AGH AHG∴=，AG AHAB AC AB AF AB BF AB BG AG AH∴+=+=+=+==．22()22【点拨】本题是三角形的综合题，难度适中，考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握这些性质是本题的关键，第二问构建等腰三角形是关键．1．（2019•平谷区二模）在等边三角形ABC 外侧作射线AP ，BAP α∠=，点B 关于射线AP 的对称点为点D ，连接CD 交AP 于点E ．（1）依据题意补全图形；（2）当20α=︒时，ADC ∠= ︒；AEC ∠= ︒；（3）连接BE ，求证：AEC BEC ∠=∠；（4）当060α︒<<︒时，用等式表示线段AE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60︒．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．【解析】解：（1）如图，补全图形：（2）连接AD ，Q 三角形ABC 为等边三角形，AB AC BC ∴==，60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒， 由对称可知，AD AB =，AD AC ∴=，20BAP α∠==︒Q ，40DAB ∴∠=︒，4060100DAC ∴∠=︒+︒=︒，180100402ADC ACD ︒-︒∴∠=∠==︒，402060AEC ADC DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故答案为40，60；（3）由对称可知，BAE DAE α∠=∠=， AD AB AC ==Q ，180(602)602ADC αα︒-︒+∴∠==︒-，60AEC ∠=︒，60ACB ∠=︒Q ，60ACD ADC α∠=∠=︒-， BCE α∴∠=，60ABC ∠=︒Q ，60ABE ADC α∠=∠=︒-， 60BEC ∴∠=︒，AEC BEC ∴∠=∠；（4）当060α︒<<︒时，2CD DE AE =+， 证明：在CD 上截取BG BE =，60BEC ∠=︒Q ，BGE ∴∆是等边三角形，120BGC AED ∴∠=∠=︒，BCE DAE α∠=∠=Q ，()BCG DAE AAS ∴∆≅∆，AE CG ∴=，EG BE DE ==Q ，2CD DE CG ∴=+，即2CD DE AE =+．2．（2019•昌平区二模）在正方形ABCD 中，AC 是一条对角线，点E 是边BC 上的一点（不与点C 重合），连接AE ，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点B 与点C 重合，得到DCF ∆，过点E 作EG AC ⊥于点G ，连接DG ，FG ．（1）如图1，①依题意补全图1；②判断线段FG 与DG 之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当60AGD ∠=︒时，求BE 的长．【分析】（1）①补全图形即可：②连接BG ，由SAS 证明BEG GCF ∆≅∆得出BG GF =，由正方形的对称性质得出BG DG =，得出FG DG =，在证出90DGF ∠=︒，得出FG DG ⊥即可；（2）过点D 作DH AC ⊥，交AC 于点H ．由等腰直角三角形的性质得出DH AH ==的性质得出2FG DG GH ===DF ==，在Rt DCF ∆中，由勾股定理得出CF =，即可得出结果．【解析】解：（1）①补全图形如图1所示：②FG DG =，FG DG ⊥，理由如下：连接BG ，如图2所示：Q 四边形ABCD 是正方形，45ACB ∴∠=︒，EG AC ⊥Q ，90EGC ∴∠=︒，CEG ∴∆是等腰直角三角形，EG GC =，45GEC GCE ∴∠=∠=︒，135BEG GCF ∴∠=∠=︒，由平移的性质得：BE CF =，在BEG ∆和GCF ∆中，BE CFBEG GCFEG CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEG GCF SAS ∴∆≅∆，BG GF ∴=，G Q 在正方形ABCD 对角线上，BG DG ∴=，FG DG ∴=，CGF BGE ∠=∠Q ，90BGE AGB ∠+∠=︒，90CGF AGB ∴∠+∠=︒，90AGD CGF ∴∠+∠=︒，90DGF ∴∠=︒，FG DG ∴⊥；（2）过点D 作DH AC ⊥，交AC 于点H ．如图3所示：在Rt ADG ∆中，45DAC ∠=︒Q ，DH AH ∴==在Rt DHG ∆中，60AGD ∠=︒Q ，GH ∴==2DG GH ∴==DF ∴==在Rt DCF ∆中，CF ==BE CF ∴==3．（2019•怀柔区二模）如图，在梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90D ∠=︒，12BC CD ==，45ABE ∠=︒，若10AE =．求CE 的长度．【分析】过B 作DA 的垂线交DA 的延长线于M ，M 为垂足，延长DM 到G ，使MG CE =，连接BG ．求证BEC BMG ∆≅∆，ABE ABG ∆≅∆，设CE x =，在直角ADE ∆中，根据222AE AD DE =+求x 的值，可以求CE 的长度．【解析】解：过B 作DA 的垂线交DA 的延长线于M ，M 为垂足，延长DM 到G ，使MG CE =，连接BG ，易知四边形BCDM 是正方形，则BEC ∆与BGM ∆中，90BC BM C BMG EC GM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()BEC BMG SAS ∴∆≅∆，MBG CBE ∴∠=∠，BE BG =，45ABE ∠=︒Q ，45CBE ABM MBG ABM ∴∠+∠=∠+∠=︒，即45ABE ABG ∠=∠=︒，在ABE ∆与ABG ∆中，BE BG ABE ABG AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ABG SAS ∴∆≅∆，10AG AE ∴==，设CE x =，则10AM x =-，12(10)2AD x x =--=+，12DE x =-，在Rt ADE ∆中，222AE AD DE =+，22100(2)(12)x x ∴=++-，即210240x x -+=；解得：14x =，26x =．故CE 的长为4或6．4．（2019•顺义区二模）已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =．（1）如图1，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60︒得到AD ，连结CD 、BD ，BAC ∠的平分线交BD 于点E ，连结CE ．①求证：AED CED ∠=∠；②用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段AC 绕点A 顺时针旋转60︒得到AD ，连结CD 、BD ，BAC ∠的平分线交BD 的延长线于点E ，连结CE ．请补全图形，并用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①由旋转的性质可得AC AD =，60DAC ∠=︒，由“SAS ”可证ABE ACE ∆≅∆，可得3415∠=∠=︒，由三角形外角的性质可得结论；②过点A 作AH BD ⊥于点H ，由等腰三角形的性质和直角三角形性质可得22()22BD BH BE EH BE AE EC AE ==+=+=+；（2）以A 为顶点，AE 为一边作60EAF ∠=︒，AF 交DB 延长线于点F ，通过证明CAE DAF ∆≅∆和BAE CAE ∆≅∆，可得CE DF =，BE CE =，即可得2CE AE BD -=．【解析】证明：（1）①Q将线段AC绕点A逆时针旋转60︒得到AD，∠=︒DAC∴=，60AC AD==∴∠=∠+∠=︒，且AB AC AD150BAD BAC CAD∴∠=∠=︒3515∠=，AE平分BACQ，AB AC90BAC∠=︒∠=∠=︒ABC ACB1245∴∠=∠=︒，45又AE AE=Q，∴∆≅∆ABE ACE SAS()∴∠=∠=︒3415∴∠=∠=︒67306760∴∠=∠+∠=︒DEC∠=∠+∠=︒QAED3160∴∠=∠AED CED②2BD CE AE=+理由如下：过点A作AH BD⊥于点H，∠=∠QEBC ECB∴=，BE CEQ，AH BD∠=︒60AED⊥∴=2AE EHAB AD =Q ，AH BD ⊥22()22BD BH BE EH BE AE EC AE ∴==+=+=+（2）补全图形如图，2CE AE BD -=理由如下：如图2，以A 为顶点，AE 为一边作60EAF ∠=︒，AF 交DB 延长线于点F ． 90BAC ∠=︒Q ，AB AC =，AE 平分BAC ∠45BAE CAE ∴∠=∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．Q 将线段AC 绕点A 逆时针旋转60︒得到AD ，AC AD ∴=，60DAC ∠=︒15DAE DAC CAE ∴∠=∠-∠=︒，AB AD =ABD ADB ∴∠=∠，30BAD ∠=︒75ABD ADB ∴∠=∠=︒60AED ADB DAE ∴∠=∠-∠=︒60EAF ∠=︒Q又60EAF ∠=︒Q ，60F ∴∠=︒AEF ∴∆是等边三角形．AE AF EF ∴==．AC AD =Q ，45CAE DAF ∠=∠=︒，AE AF =，()CAE DAF SAS ∴∆≅∆．CE DF ∴=．AB AC =Q ，45BAE CAE ∠=∠=︒，AE AE =，()BAE CAE SAS ∴∆≅∆．BE CE ∴=．BE CE ∴=．DF BE EF BD +-=Q ，2CE AE BD ∴-=5．（2019•北京）已知30AOB ∠=︒，H 为射线OA 上一定点，1OH =，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150︒，得到线段PN ，连接ON ．（1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON QP =，并证明．【分析】（1）根据题意画出图形．（2）由旋转可得150MPN ∠=︒，故150OPN OPM ∠=︒-∠；由30AOB ∠=︒和三角形内角和180︒可得18030150OMP OPM OPM ∠=︒-︒-∠=︒-∠，得证．（3）根据题意画出图形，以ON QP =为已知条件反推OP 的长度．由（2）的结论OMP OPN ∠=∠联想到其补角相等，又因为旋转有PM PN =，已具备一边一角相等，过点N 作NC OB ⊥于点C ，过点P 作PD OA ⊥于点D ，即可构造出PDM NCP ∆≅∆，进而得PD NC =，DM CP =．此时加上ON QP =，则易证得OCN QDP ∆≅∆，所以OC QD =．利用30AOB ∠=︒，设PD NC a ==，则2OP a =，OD =．再设DM CP x ==，所以2QD OC OP PC a x ==+=+，22MQ DM QD a x =+=+．由于点M 、Q 关于点H 对称，即点H 为MQ 中点，故12MH MQ a x ==+，DH MH DM a =-=，所以1OH OD DH a =+=+=+，求得1a =，故2OP =．证明过程则把推理过程反过来，以2OP =为条件，利用构造全等证得ON QP =．【解析】解：（1）如图1所示为所求．（2）设OPM α∠=，Q 线段PM 绕点P 顺时针旋转150︒得到线段PN150MPN ∴∠=︒，PM PN =150OPN MPN OPM α∴∠=∠-∠=︒-30AOB ∠=︒Q180********OMP AOB OPM αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-=︒- OMP OPN ∴∠=∠（3）2OP =时，总有ON QP =，证明如下：过点N 作NC OB ⊥于点C ，过点P 作PD OA ⊥于点D ，如图2 90NCP PDM PDQ ∴∠=∠=∠=︒30AOB ∠=︒Q ，2OP =112PD OP ∴==OD ∴=1OH Q1DH OH OD ∴=-=OMP OPN ∠=∠Q180180OMP OPN ∴︒-∠=︒-∠即PMD NPC ∠=∠在PDM ∆与NCP ∆中PDM NCPPMD NPC PM NP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PDM NCP AAS ∴∆≅∆PD NC ∴=，DM CP =设DM CP x ==，则2OC OP PC x =+=+，1MH MD DH x =+=+ Q 点M 关于点H 的对称点为Q1HQ MH x ∴==+112DQ DH HQ x x ∴=+=++=+OC DQ ∴=在OCN ∆与QDP ∆中90OC QD OCN QDP NC PD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()OCN QDP SAS ∴∆≅∆ON QP ∴=【点拨】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180︒，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON QP =为条件反推OP 的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以2OP =为条件构造全等证明ON QP =．6．（2019•房山区一模）已知：Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =．（1）如图1，点D 是BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AD ，过点B 作BE AD ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接CE ．若BAD α∠=，求DBE ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE AD ⊥，垂足E 在线段AD 上，连接CE ． ①依题意补全图2；②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出45CAB ∠=︒，求出45CAD α∠=︒-．再根据三角形内角和定理得出45DBE CAD α∠=∠=︒-即可；（2）①依题意补全图形即可；②猜想：当D 在BC 边的延长线上时，EB EA -；过点C 作CF CE ⊥，交AD 的延长线于点F ，证出ACF BCE ∠=∠，CAF CBE ∠=∠，由ASA 证明ACF BCE ∆≅∆，得出AF BE =，CF CE =．得出CEF ∆是等腰直角三角形，由勾股定理得出EF =，即可得出结论．【解析】解：（1）90ACB ∠=︒Q ，AC BC =，45CAB ∴∠=︒，BAD α∠=Q ，45CAD α∴∠=︒-．90ACB ∠=︒Q ，BE AD ⊥，ADC BDE ∠=∠，45DBE CAD α∴∠=∠=︒-；（2）①补全图形，如图2所示：②猜想：当D 在BC 边的延长线上时，EB EA -；理由如下：过点C作CF CE⊥，交AD的延长线于点F，如图3所示：则90ECF∠=︒，90ACB∠=︒Q，90ACD∴∠=︒，ECF ACE ACB ACE∴∠+∠=∠+∠，即ACF BCE∠=∠，90CAF ADB∠+∠=︒Q，90CBE ADB∠+∠=︒，CAF CBE∴∠=∠，在ACF∆和BCE∆中，ACF BCEAC BCCAF CBE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ACF BCE ASA∴∆≅∆，AF BE∴=，CF CE=．90ECF∠=︒Q，CEF∴∆是等腰直角三角形，EF∴=，即AF EA-=．EB EA∴-．7．（2018•东城区二模）如图所示，点P位于等边ABC∆的内部，且ACP CBP∠=∠．（1）BPC∠的度数为︒；（2）延长BP至点D，使得PD PC=，连接AD，CD．①依题意，补全图形；②证明：AD CD BD +=；（3）在（2）的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；（2）①利用射线的作法得出D 点位置，并连接AD ，CD ．②利用全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质证明即可；（3）根据()11160222BDC BDA ABCD S S S BD CM BD AN BD sin CD AD ∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅︒+四边形计算即可；【解析】（1）解：ABC ∆Q 是等边三角形，60ACB ∴∠=︒，60PCA PCB ∴∠+∠=︒，PCA CBP ∠=∠Q ，60PCB PBC ∴∠+∠=︒，18060120BPC ∴∠=︒-︒=︒，故答案为120．（2）①解：如图所示，②证明：18060CPD BPC ∠=︒-∠=︒Q ，PD PC =，CDP ∴∆是等边三角形，CD CP ∴=，60DCP ACB ∠=∠=︒，DCA PCB ∴∠=∠，CA CB =Q ，DCA PCB ∴∆≅∆，AD PB ∴=，BD PB PD AD DC ∴=+=+．（3）解：如图作CM BD ⊥于M ，AN BD ⊥于N ．60CDP ADP ∠=∠=︒Q ，sin60CM CD ∴=︒g ，sin60AN AD =︒g()111160222222BDC BDA ABCD S S S BD CM BD AN BD sin CD AD ∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅︒+=⨯=四边形 8．（2018•房山区二模）已知AC DC =，AC DC ⊥，直线MN 经过点A ，作DB MN ⊥，垂足为B ，连接CB ．（1）直接写出D ∠与MAC ∠之间的数量关系；（2）①如图1，猜想AB ，BD 与BC 之间的数量关系，并说明理由；②如图2，直接写出AB ，BD 与BC 之间的数量关系；（3）在MN 绕点A 旋转的过程中，当30BCD ∠=︒，BD 时，直接写出BC 的值．【分析】（1）分两种情况利用四边形的内角和定理和三角形内角和定理即可得出结论；（2）①先构造出BCD FCA ∆≅∆，得出BC FC =，BCD FCA ∠=∠，进而判断出90FCB ∠=︒，得出BF =，即可得出结论；②同①的方法即可得出结论；（3）①点C ，D 在直线同侧，在Rt BDG ∆中，求出1DG BG ==，在Rt CGD ∆中，求出CG =即可得出结论；②点C ，D 在直线两侧，同①的方法即可得出结论．【解析】解：（1）相等或互补；理由：当点C，D在直线MN同侧时，Q，BD MN⊥，⊥AC CD∴∠=∠=︒，ACD BDC90在四边形ABDC中，360180∠+∠=︒-∠-∠=︒，BAD D ACD BDC180Q，∠+∠=︒BAC CAM∴∠=∠；CAM D当点C，D在直线MN两侧时，如图1，Q，AEC BED∠=∠=︒∠=∠，ACD ABD90∴∠=∠，CAB DQ，∠+∠=︒180CAB CAM∴∠+∠=︒，CAM D180即：D∠之间的数量是相等或互补；∠与MAC（2）①猜想：BD AB+如图3，在射线AM上截取AF BD=，连接CF．又D FAC=Q，CD AC∠=∠∴∆≅∆，BCD FCABC FC ∴=，BCD FCA ∠=∠AC CD ⊥Q90ACD ∴∠=︒即90ACB BCD ∠+∠=︒90ACB FCA ∴∠+∠=︒即90FCB ∠=︒BF ∴=AF AB BF +==QBD AB ∴+；②如图2，在射线AM 上截取AF BD =，连接CF ，又D FAC ∠=∠Q ，CD AC =BCD FCA ∴∆≅∆，BC FC ∴=，BCD FCA ∠=∠AC CD ⊥Q90ACD ∴∠=︒即90ACB BCD ∠+∠=︒90ACB FCA ∴∠+∠=︒即90FCB ∠=︒BF ∴=AB AF BF -==QAB BD ∴-=；（3）①当点C，D在直线MN同侧时，如图31-，由（2）①知，ACF DCB∆≅∆，∠=∠=︒，ACF ACD∴=，90CF BC∴∠=︒，ABC45Q，∠=︒ABD90∴∠=︒，CBD45过点D作DG BC⊥于G，在Rt BDG∠=︒，BD∆中，45CBDDG BG∴==，1在Rt CGD∠=︒，∆中，30BCD∴==CG∴=+，BC CG BG1②当点C，D在直线MN两侧时，如图21-，过点D作DG CB⊥交CB的延长线于G，同①的方法得，1BG=，CG=，1∴=-=BC CG BG即：1BC1，9．（2018•丰台区二模）如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AF ，连接EF ，交对角线BD 于点G ，连接AG ．（1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当3AB =，2BE =时，求线段BG 的长．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）先判断出ADF ABE ∆≅∆，进而判断出点C ，D ，F 共线，即可判断出DFG HEG ∆≅∆，得出FG EG =，即可得出结论；（3）先求出正方形的对角线BD ，再求出BH ，进而求出DH ，即可得出HG ，求和即可得出结论．【解析】解：（1）补全图形如图所示，（2）连接DF ，由旋转知，AE AF =，90EAF ∠=︒，Q 四边形ABCD 是正方形，//AB CD ∴，AD AB =，90ABC ADC BAD ∠=∠==︒， DAF BAE ∴∠=∠，()ADF ABE SAS ∴∆≅∆，DF BE ∴=，90ADF ABC ∠=∠=︒，180ADF ADC ∴∠+∠=︒，∴点C ，D ，F 共线，//CF AB ∴，过点E 作//EH BC 交BD 于H ，90BEH BCD ∴∠=∠=︒，//DF EH ， DFG HEG ∴∠=∠，BD Q 是正方形ABCD 的对角线，45CBD ∴∠=︒，BE EH ∴=，DGF HGE ∠=∠Q ，()DFG HEG AAS ∴∆≅∆，FG EG ∴=AE AF =Q ，AG EF ∴⊥；（3）BD Q 是正方形的对角线，BD ∴==由（2）知，在Rt BEH ∆中，BH ==，DH BD BH ∴=-由（2）知，DFG HEG ∆≅∆，DG HG ∴=，12HG DH ∴==，22BG BH HG ∴=+==10．（2018•怀柔区二模）在ABC ∆中，AB BC AC ==，点M 为直线BC 上一个动点（不与B ，C 重合），连结AM ，将线段AM 绕点M 顺时针旋转60︒，得到线段MN ，连结NC ．（1）如果点M 在线段BC 上运动．①依题意补全图1；②点M 在线段BC 上运动的过程中，MCN ∠的度数是否确定？如果确定，求出MCN ∠的度数；如果不确定，说明理由；（2）如果点M 在线段CB 的延长线上运动，依题意补全图2，在这个过程中，MCN ∠的度数是否确定？如果确定，直接写出MCN ∠的度数；如果不确定，说明理由．【分析】（1）①利用旋转的性质直接画出图形； ②先判断出BPM ∆是等边三角形，进而判断出PAM NMC ∠=∠，进而判断出APM NMC ∆≅∆，即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论．【解析】解：（1）①补全图形，如图1，②点M 在线段BC 上运动的过程中，MCN ∠的度数确定，为120︒， 理由如下：如图2，在AB 上取点P ，使得BP BM =，连结PM ， BP BM =Q ，60B ∠=︒，BPM ∴∆是等边三角形．60BPM BMP ∴∠=∠=︒．120APM ∴∠=︒．60PAM AMP ∴∠+∠=︒．120PAM AMP BMP ∴∠+∠+∠=︒．即120PAM AMB ∠+∠=︒．AB BC =Q ，AP MC ∴=．60AMN ∠=︒Q ，120AMB NMC ∴∠+∠=︒．PAM NMC ∴∠=∠．又AM MN =Q ，APM MCN ∴∆≅∆．120MCN APM ∴∠=∠=︒，（2）补全图形，如图3，60MCN ∠=︒，理由：如图4，延长AB 至P 使BP BM =，ABC ∆Q 是等边三角形，AB BC ∴=，60ABC ∠=︒，60PBM ABC ∴∠=∠=︒，BPM ∴∆是等边三角形，60P ∴∠=︒，AB BC =Q ，BM BP =，AP CM ∴=，60PAM AMB ABC ∠+∠=∠=︒Q ，60AMB CMN ∠+∠=︒，PAM CMN ∴∠=∠，由旋转知，AM MN =，()APM MCN SAS ∴∆≅∆，60MCN P ∴∠=∠=︒．11．（2018•北京）如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．【分析】（1）如图1，连接DF ，根据对称得：ADE FDE ∆≅∆，再由HL 证明Rt DFG Rt DCG ∆≅∆，可得结论；（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM AE =，先证明45EDG ∠=︒，得DE EH =，证明DM E EBH ∆≅∆，则EM BH =，根据等腰直角AEM ∆得：EM ，得结论；证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明DAE ENH ∆≅∆，得AE HN =，AD EN =，再说明BNH ∆是等腰直角三角形，可得结论．【解析】证明：（1）如图1，连接DF ，Q 四边形ABCD 是正方形，DA DC ∴=，90A C ∠=∠=︒，Q 点A 关于直线DE 的对称点为F ，ADE FDE ∴∆≅∆，DA DF DC ∴==，90DFE A ∠=∠=︒，90DFG ∴∠=︒，在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，Q DF DCDG DG =⎧⎨=⎩，Rt DFG Rt DCG(HL)∴∆≅∆，GF GC ∴=；（2）BH ，理由是：证法一：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，AD AB =Q ，DM BE ∴=，由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，90ADC ∠=︒Q ，123490∴∠+∠+∠+∠=︒，222390∴∠+∠=︒，2345∴∠+∠=︒，即45EDG ∠=︒，EH DE ⊥Q ，90DEH ∴∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形，190AED BEH AED ∴∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =，1BEH ∴∠=∠，在DME ∆和EBH ∆中，Q 1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DME EBH SAS ∴∆≅∆，EM BH ∴=，Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =，EM ∴=，BH ∴；证法二：如图3，过点H 作HN AB ⊥于N ，90ENH ∴∠=︒，由方法一可知：DE EH =，1NEH ∠=∠，在DAE ∆和ENH ∆中，Q 1A ENH NEH DE EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAE ENH AAS ∴∆≅∆，AE HN ∴=，AD EN =，AD AB =Q ，AB EN AE BE BE BN ∴==+=+，AE BN HN ∴==，BNH ∴∆是等腰直角三角形，BH ∴=．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．。
北京市第四中2019年中考数学冲刺复习专题训几何综合问题
几何综合问题以几何为主的综合题常研究以下几个方面的问题:①证明线段、角的数目关系 ( 包含相等、和、差、倍、分关系及比率关系等 ) ；②证明图形的地点关系 ( 如点与线、线与线、线与圆、圆与圆等)；③几何计算问题；④ 动向几何问题．在解几何综合题时，经常需要绘图并分解此中的基本图形，发掘此中隐含的等量关系．此外，也要注意使用数形联合、方程、分类议论、转变等数学思想方法来解决问题．有时借助变换的看法也能帮助我们更有效地找到解决问题的思路．例1．如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点 B 与点 C重合，折痕与 AB、BC的交点分别为D、E.(1) DE 的长为；(2)将折叠后的图形沿直线 AE 剪开，原纸片被剪成三块，此中最小一块的面积等于．例2．已知 : 在如图 1 所示的锐角三角形 ABC中， CH⊥AB于点 H，点 B 对于直线 CH 的对称点为 D， AC 边上一点 E 知足∠EDA=∠A，直线 DE交直线 CH于点 F．(1)求证 :BF∥AC；(2)若 AC边的中点为 M，求证 : DF 2EM；(3)当 AB=BC时（如图 2），在未增添协助线和其余字母的条件下，找出图 2 中全部与 BE相等的线段，并证明你的结论．图 1图2例 3．已知 : 如图， N、M是以 O为圆心， 1 为半径的圆上的两点， B 是MN上一动点（ B 不与点 M、N 重合），∠ MON=90°， BA⊥OM 于点 A，BC⊥ ON于点 C，点 D、E、F、G分别是线段 OA、AB、BC、CO的中点， GF与 CE订交于点 P，DE与 AG订交于点 Q．（1）四边形 EPGQ（填“是”或许“不是”）平行四边形；（2）若四边形 EPGQ是矩形，求 OA的值 .。
2023年北京中考数学一模分类汇编——几何综合 (学生版)
2023年北京中考数学一模分类汇编——几何综合1．（2023•海淀区一模）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，AE，BF交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）在线段AG上截取MG＝BG，连接DM，∠AGF的角平分线交DM于点N．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明．2．（2023•西城区一模）如图，直线AB，CD交于点O，点E是∠BOC平分线的一点，点M，N分别是射线OA，OC上的点，且ME＝NE．（1）求证：∠MEN＝∠AOC；（2）点F在线段NO上，点G在线段NO延长线上，连接EF，EG，若EF＝EG，依题意补全图形，用等式表示线段NF，OG，OM之间的数量关系，并证明．3．（2023•东城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在BC边上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE．（1）求证：BA平分∠EBC；（2）连接DE交AB于点F，过点C作CG∥AB，交ED的延长线于点G．补全图形，用等式表示线段EF与DG之间的数量关系，并证明．4．（2023•朝阳区一模）如图，∠MON＝α，点A在ON上，过点A作OM的平行线，与∠MON的平分线交于点B，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接AC，将线段AC 绕点A顺时针旋转180°﹣α，得到线段AD，连接BD．（1）直接写出线段AO与AB之间的数量关系，并证明∠MOB＝∠DBA；（2）连接DC并延长，分别交AB，OM于点E，F．若α＝60°，用等式表示线段EF与AC之间的数量关系，并证明．5．（2023•丰台区一模）在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC 上，连接EB，点F在直线AD上（点F与点D不重合），且EF＝EB．（1）如图1，当点E在线段AO上（不与端点重合）时，①求证：∠AFE＝∠ABE；②用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明；（2）如图2，当点E在线段OC上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB，AE，AF的数量关系．6．（2023•石景山区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为射线CA上一点，过点D作DE∥CB且DE＝CB（点E在点D的右侧），射线ED交射线BA于点F，点H 是AF的中点，连接HC，HE．（1）如图1，当点D在线段CA上时，判断线段HE与HC的数量关系及位置关系；（2）当点D在线段CA的延长线上时，依题意补全图2．用等式表示线段CB，CD，CH 之间的数量关系，并证明．7．（2023•通州区一模）直线MO是线段AB的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线OM 上一点，连接AC．以AC为斜边作等腰直角△ACD，连接OD．（1）如图1，若CO＝AB，求∠AOD的度数；（2）如图2所示，点E是射线MO上一点，且CE＝AB，连接DE，延长DO至点F，使得OF＝OD，连接AF，根据题意补全图2，写出线段DE，AF之间的关系，并证明．8．（2023•平谷区一模）在△ABC中，BD⊥AC，E为AB边中点，连接CE，BD与CE相交于点F，过E作EM⊥EF，交BD于点M，连接CM．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠EMF＝∠ACF；（3）判断BM、CM、AC的数量关系，并证明．9．（2023•门头沟区一模）已知正方形ABCD和一动点E，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．（1）如图1，当点E在正方形ABCD内部时：①依题意补全图1；②求证：BE＝DF；（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE与DM的数量关系，并证明．10．（2023•房山区一模）如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转90°交CD的延长线于点F，连接EF，取EF中点G，连接DG．（1）依题意补全图形；用等式表示∠ADG与∠CDG的数量关系，并证明；（2）若DG＝DF，用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明．11．（2023•延庆区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，①求证：AE＝AF；②直接写出∠CAG＝°．（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．12．（2023•大兴区一模）在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D为射线CB上一动点（不与B，C重合），连接AD，点E为AB延长线上一点，且DE＝AD，作点E关于射线CB 的对称点F，连接BF，DF．（1）如图1，当点D在线段CB上时，①依题意补全图形，求证：∠DAB＝∠DFB；②用等式表示线段BD，BF，BC之间的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，请直接用等式表示线段BD，BF，BC之间的数量关系．13．（2023•顺义区一模）已知：如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，点A关于直线CD的对称点为E，射线BE交直线CD于点F，连接AF．（1）设∠ACD＝α，用含α的代数式表示∠CBF的大小，并求∠CFB的度数；（2）用等式表示线段AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．14．（2023•燕山一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为边BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CE，交直线CE 于点F．（1）依题意补全图形；用等式表示线段CE与BF的数量关系，并证明；（2）点G为AB中点，连接FG，用等式表示线段AE，BF，FG之间的数量关系，并证明．。
北京第二十二中学中考数学二次函数和几何综合专题
北京第二十二中学中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求直线AC 及抛物线的解析式，并求出D 点的坐标；（2）若P 为线段BD 上的一个动点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，求四边形PMAC 的面积的最大值和此时点P 的坐标；（3）若点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线1∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．小明对函数2(0)y a x bx c a =++≠的图象和性质进行了探究.已知当自变量x 的值为0或4时，函数值都为3-；当自变量x 的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为 ；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的--条性质： ； （3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y k =与函数2y a x bx c =++有三个交点，则k = ；②已知函数3y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式2a x bx c ++3x ≤-的解集： ．3．某数学兴趣小组在探究函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣12121 2 3 … y…632236…（2）描点并在图中画出函数的大致图象；（3）根据函数图象，完成以下问题：①观察函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象，以下说法正确的有 （填写正确的序号） A ．对称轴是直线x ＝1；B ．函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）；C ．当﹣1＜x ＜1时，y 随x 的增大而增大；D ．当函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象向下平移3个单位时，图象与x 轴有三个公共点；E ．函数y ＝（x ﹣2）2﹣2|x ﹣2|+3的图象，可以看作是函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象向右平移2个单位得到．②结合图象探究发现，当m 满足 时，方程x 2﹣2|x |+3＝m 有四个解． ③设函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象与其对称轴相交于P 点，当直线y ＝n 和函数y ＝x 2﹣2|x |+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P 所构成的三角形是等腰直角三角形，求n 的值．4．在正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，AC 为对角线，AC 上有一动点P ，M 是AB 边的中点，连接PM 、PB ，设A 、P 两点间的距离为xcm ，PM ＋PB 长度为ycm .小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： x/cm 0 1 2 34 5 y/cm6.04.84.56.07.4（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM ＋PB 的长度最小值约为______cm .5．如图，边长为5的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点()0,4M 为顶点的抛物线经过点()4,0N -，点P 是抛物线上第一象限内一点，过P 点作PF BC ⊥于点F ，点E 的坐标为()0,3．连接PE ．（1）求抛物线的解析式； （2）求PE PF -的值；（3）①在点P 运动过程中，当60EPF ∠=︒时，点P 的坐标为________；②连接EF ，在①的条件下，把PEF 沿y 轴平移（限定点E 在射线MO 上），并使抛物线与PEF 的边始终有两个交点，探究P 点纵坐标n 的取值范围是多少？6．某班“数学兴趣小组”对函数22y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下：x… -352--2 -1 0 1 252 3 …y (3)54m-1 0 -1 0 543 …其中，m =______．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现：①方程220x x -=有______个实数根；②关于x 的方程22x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是______．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A （﹣12，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第一象限内抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DEAE的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第四象限内是否存在这样的点P ，使△BPQ ∽△CAB ．若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣8与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点D 是抛物线上第一象限内的一动点，设点D 的横坐标为m ，连接CD ，BD ，BC ，AC ，当△BCD 的面积等于△AOC 面积的2倍时，求m 的值；（3）如图2，若点N 为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知抛物线()2n n n y x a b =--+（n 为正整数，且120n a a a ≤<<<）与x 轴的交点为(0,0)A 和()1,0,2n n nn A c c c -=+．当1n =时，第1条抛物线()2111=--+y x a b 与x 轴的交点为(0,0)A 和1(2,0)A ，其他以此类推． （1）求11,a b 的值及抛物 线2y 的解析式．（2）抛物线n y 的顶点n B 的坐标为（_______，_______）；以此类推，第(1)n +条抛物线1n y +的顶点1n B +的坐标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标(,)x y 满足的函数关系式是_________．（3）探究以下结论：①是否存在抛物线n y ，使得△n n AA B 为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线n y 的解析式；若不存在，请说明理由．②若直线(0)=>x m m 与抛物线n y 分别交于点12,,,n C C C ，则线段12231,,,n n C C C C C C -的长有何规律？请用含有m 的代数式表示．二、中考几何压轴题11．（1）问题情境：如图1，已知等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，E 是AC 上的一点，且2CE =，过E 作ED BC ⊥于D ，取AE 中点F ，连接BF ，则BF 的长为_______（请直接写出答案） 小明采用如下的做法：延长AB 到H ，使AB BH =，连接EH ，B 为AH 中点，F 为AE 的中点，BF ∴是AEH ∆的中位线……请你根据小明的思路完成上面填空；（2）迁移应用：将图1中的CDE ∆绕点C 作顺时针旋转，当CE AC ⊥时，试探究BF 、AC 、CE 的数量关系，并证明你的结论．（3）拓展延伸：在旋转的过程中，当A 、C 、D 三点共线时，直接写出线段BF 的长． 12．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ．AE ＜AB ，连接BE 与DG ，请判断线段BE 与线段DG 之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ，AE ＜AB ，AB ＝10，将正方形AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，当∠ABE ＝15°，且点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出AE 的长 ；（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A 的两个矩形ABCD 和矩形AEFG ，AD ＝13AB ＝39，AG ＝4，AE ＝3AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，连接BD ，DE ，点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，连接MN ，当点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出MN 的长13．（问题情境）在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B、C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ旋转角为α，连接CQ．（特例分析）（1）当α＝90°，点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图①，易得图中与△APF全等的一个三角形是，∠ACQ＝°．（拓展探究）（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图②，试求线段BP与CQ的比值；（问题解决）（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．14．问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，∠BCD的度数是；线段BD，AC之间的数量关系是．类比探究：（2）在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？；拓展延伸：（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BDC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC ＝90°，请直接写出线段AP的长度．15．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．16．综合与实践：利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称，旋转等变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．动手操作：如图①，矩形纸片ABCD的边AB＝23，将矩形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，折痕为EF，然后展开，EF与AC交于点H；如图②，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在对角线AC上，且点B与点H重合，展开图形，折痕为AG，连接GH；若在图①中连接BH，得到如图③，点M是线段BH上的动点，点N是线段AH上的动点，连接AM，MN，且∠AMN＝∠ABH；若在图②中连接BH，交折痕AG于点Q，隐去其它线段，得到如图④．解决问题：（1）在图②中，∠ACB＝，BC＝，AGGF＝，与△ABG相似的三角形有个；（2）在图②中，AH2＝AE·（从图②中选择一条线段填在空白处），并证明你的结论；（3）在图③中，△ABH为三角形，设BM为x，则NH＝（用含x的式子表示）；拓展延伸：（4）在图④中，将△ABQ绕点B按顺时针方向旋转α（0°≤α≤180°），得到△A′BQ′，连接DQ′，则DQ′的最小值为，当tan∠CBQ′＝时，△DBQ′的面积最大值为．17．综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形．探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE．求证：AE⊥CE．”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC，BD，EF，AF．设AC与BD相交于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，且AC=BD．又∵四边形BEDF是矩形，∴EF经过点O，∴OE=OF=12EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四边形AECF是矩形．（依据2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP =30°，AE =31-，求正方形ABCD 的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题． 18．综合与实践 （问题背景）如图1，矩形ABCD 中，10,8AB BC ==．点E 为边BC 上一点，沿直线DE 将矩形折叠，使点C 落在AB 边的点C '处．（问题解决）（1）填空：AC '的长为______．（2）如图2，将DC E '沿线段AB 向右平移，使点C '与点B 重合，得到,D BE D E ''''与BC 交于点F ，D B '与DE 交于点G ．求EF 的长；（拓展探究）（3）在图2中，连接,GF EE '，则四边形GEE F '是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．19．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ ⊥AE 于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF ⊥AE ． ①求证：DQ ＝AE ； ②推断：GFAE的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BCAB＝k （k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当k ＝23时，若tan ∠CGP ＝34，GF ＝10CP 的长．20．综合与实践背景阅读：“旋转”即物体绕一个点或一个轴做圆周运动．在中国古典专著《百喻经·口诵乘船法而不解用喻》中记载：“船盘回旋转，不能前进．”而图形旋转即：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．综合实践课上，“睿智”小组专门探究了正方形的旋转，情况如下：在正方形ABCD 中，点O 是线段BC 上的一个动点，将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．设旋转角为α（0180α<<︒）．操作猜想：（1）如图1，若点O 是BC 中点，在正方形ABCD 绕点旋转过程中，连接AA '，BB '，DD '，则线段AA '与DD '的数量关系是_______；线段AA '与BB '的数量关系是________． 探究验证：（2）如图2，在（1）的条件下，在正方形ABCD 绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '，B ．判断四边形''BB CC 的形状，并说明理由．拓展延伸：（3）如图3，若2BO CO =，在正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转的过程中，设直线BB '交线段AA '于点P ．连接OP ，并过点O 作OQ BB '⊥于点Q ．请你补全图形，并直接写出OP OQ的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．D解析：（1）y =3x +3，y =﹣x 2+2x +3，顶点D 的坐标为(1，4)；（2）四边形PMAC 的面积的最大值为10516，此时点P 的坐标为(94，32)；（3）点Q 的坐标为(2，3)或(13)或(13)．【分析】（1）先求出点C 坐标，然后利用待定系数法即可求出直线AC 及抛物线的解析式，把抛物线的一般式转化为顶点式即可求出D 点的坐标；（2）先根据待定系数法求出直线BD 的解析式，设点P 的横坐标为p ，然后根据S 四边形PMAC =S △OAC +S 梯形OMPC 即可得出S 四边形PMAC 与p 的关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）由题意得PQ ∥AC 且PQ =AC ，设点P 的坐标为(x ，0)，当点Q 在x 轴上方时，则点Q 的坐标为(x +1，3)，把点Q 的坐标代入抛物线的解析式即可求出x ，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，则点Q 的坐标为(x ﹣1，﹣3)，同样的方法求解即可．【详解】（1）∵抛物线y =﹣ax 2+bx +3与y 轴交于点C ，∴点C (0，3)，设直线AC 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)．∵点A (﹣1，0)，点C (0，3)，∴11103k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：1133k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y =3x +3．∵抛物线y =﹣ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B (3，0)两点，∴309330a b a b --+=⎧⎨-++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+2x +3．∵y =﹣x 2+2x +3=﹣(x ﹣1)2+4，∴顶点D 的坐标为(1，4)；（2）设直线BD 的解析式为y =kx +b ．∵点B (3，0)，点D (1，4)，∴304k b k b +=⎧⎨+=⎩，得26k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的解析式为y =﹣2x +6．∵P 为线段BD 上的一个动点，∴设点P 的坐标为(p ，﹣2p +6)．∵OA =1，OC =3，OM =p ，PM =﹣2p +6，∴S 四边形PMAC =S △OAC +S 梯形OMPC 111326322p p =⨯⨯+-++⨯（）=﹣p 292+p 32+=﹣(p 94-)210516+， ∵1＜p ＜3，∴当p 94=时，四边形PMAC 的面积取得最大值为10516，此时点P 的坐标为(94，32)； （3）∵直线l ∥AC ，以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ ∥AC 且PQ =AC ．设点P 的坐标为(x ，0)，由A (﹣1，0)，C (0，3)，当点Q 在x 轴上方时，则点Q 的坐标为(x +1，3)，此时，﹣(x +1)2+2(x +1)+3=3，解得：x 1=﹣1(舍去)，x 2=1，∴点Q 的坐标为(2，3)；当点Q 在x 轴下方时，则点Q 的坐标为(x ﹣1，﹣3)，此时，﹣(x ﹣1)2+2(x ﹣1)+3=﹣3，整理得：x 2﹣4x ﹣3=0，解得：x 1=27+，x 2=27-，∴点Q 的坐标为(17+，﹣3)或(17-，﹣3)，综上所述：点Q 的坐标为(2，3)或(17+，﹣3)或(17-，﹣3)．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质和一元二次方程的解法等知识，综合性强、具有一定的难度，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用相关知识是解题的关键．2．（1）243y x x --＝；（2）如图所示，见解析；性质：函数的图象关于直线=2x 对称；或：当0x =或4时，函数有最小值3-；（3）①1；②0x =或35x ≤≤．【分析】（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠，得到：3c =-，4b =-，1a =，即可求解析式为2|4|3y x x =--；（2）描点法画出函数图象，函数关于2x =对称；（3）①从图象可知：当2x =时，1y =，1k =时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点；②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =，结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为35x ≤≤．【详解】解：（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠， 得到：3164310c a b c a b c ⎧=-⎪++=-⎨⎪++=⎩，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 2|4|3y x x ∴=--，故答案为2|4|3y x x =--．（2）如图：函数关于直线2x =对称，（3）①当2x =时，1y =，1k ∴=时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点，故答案为1；②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =或x=3，结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为0x =或35x ≤≤，故答案为0x =或35x ≤≤．【点睛】本题类比函数探究过程探究绝对值函数与不等式组关系；能够准确的画出函数图象，从函数图象中获取信息，数形结合解题是关键．3．B解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①B、D、E；②2＜m＜3；③n＝2或6．【分析】（1）把x＝﹣12，0，12分别代入函数表达式即可求解；（2）描点确定函数图象；（3）①结合图象，根据二次函数的性质依次判断各项即可求解；②根据二次函数的图象即可解答；③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，由此即可求解．【详解】（1）把x＝﹣12，0，12分别代入函数表达式得：y＝94，3，94；故答案为94，3，94；（2）描点确定函数图象如下：（3）①A．对称轴是直线x＝0，故错误；B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2），故正确；C．当﹣1＜x＜1时，函数在y轴右侧，y随x的增大而增大，故错误；D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到，正确；故答案为：B、D、E；②从图象看，2＜m＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解；③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，点P 和图象上的点构成等腰直角三角形，即n ＝2或6．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象，利用数形结合思想是解决问题的关键．4．H解析：（1）5.0；（2）见解析；（3）x ＝2时，函数有最小值y ＝4.5【分析】（1）通过作辅助线，应用三角函数可求得HM +HN 的值即为x =2时，y 的值； （2）可在网格图中直接画出函数图象；（3）由函数图象可知函数的最小值．【详解】（1）当点P 运动到点H 时，AH =3，作HN ⊥AB 于点N ．∵在正方形ABCD 中，AB =4cm ，AC 为对角线，AC 上有一动点P ，M 是AB 边的中点，∴∠HAN =45°，∴AN =HN =AH •sin45°=3232=，∴HM 22()HN AN AM =+-HB 22()HN AB AN =+-∴HM +HN 222232323232()(2)()(4)2222+-+-136225122--4.5168.032．故答案为：5.0；（2）（3）根据函数图象可知，当x =2时，函数有最小值y =4.5．故答案为：4.5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5．F解析：（1）2144y x =-+；（2）0；（3）①()23,1；②32n -<≤ 【分析】（1）由题可设抛物线解析式为24y ax =+，将N 点坐标代入，求出a 即可求出抛物线的函数表达式．（2）过点P 作PH y ⊥轴于H ，由题可设2144P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，故可求出PF 的长．在Rt PHE 中，利用勾股定理可求出PE 的长，即发现PF PE =，故0PE PF -=． （3）①由题意易求30EPH ∠=︒，即12EH EP =．结合（2）即可列出关于m 的方程，解出m 即可求出此时P 点坐标． ②根据题意可知将PEF 沿y 轴平移，使抛物线与△PEF 的边始终有两个交点的极限条件为：向上平移，一直到点E '与点M 重合前和向下平移，一直到点F '与点P 重合前．根据平移规律结合①即可得出答案．【详解】解：（1）由题可设抛物线解析式为24y ax =+，把()40-，代入，20(4)4a =⨯-+， 解得14a =-， ∴抛物线的函数表达式为2144y x =-+． （2）如图，过点P 作PH y ⊥轴于H ，由题可设2144P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，， ∴221154144PF m m ⎛⎫=--+=+ ⎪⎝⎭ ∵在Rt PHE 中，222PE PH EH =+，即222222222211()=()34144P E H P E P PE x y y x y y m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+--+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴2114PE m =+， ∴PF PE =，即0PE PF -=．（3）①由题意可知90HPF ∠=︒， ∵60EPF ∠=︒，∴906030EPH ∠=︒-︒=︒，∴12EH EP =． 由（2）可知221134414E P EH y y m m ⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭-=，2114PE m =+． ∴2211()211144m m +-=， 解得：122323m m ==-， 故2123(23)44P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，即()231P ，．②根据题意可知将PEF 沿y 轴平移，使抛物线与△PEF 的边始终有两个交点的条件为：向上平移，一直到点E '与点M 重合前和向下平移，一直到点F '与点P 重合前． Ⅰ当PEF 沿y 轴向上平移，且点E '与点M 重合时，如图，.∵431M E EM y y =-=-=,∴此时P 点向上平移1个单位得到P '，即1112P p y y '=+=+=．∵点E '与点M 重合时，抛物线与△PEF 的边有两个交点，即当2P y '=时抛物线与△PEF 的边有两个交点，∴2n ≤．Ⅱ当PEF 沿y 轴向下平移，且点F '与点P 重合时，如图，.∵514F P PF y y =-=-=，∴此时P 点向下平移4个单位得到P '，即4143P P y y '=-=-=-．∵点F '与点P 重合时，抛物线与△PEF 的边只有一个交点，即当3P y '=-时抛物线与△PEF 的边只有一个交点，∴3n >-．综上可知32n -<≤．【点睛】本题考查二次函数综合，勾股定理，两点的距离公式以及含30角的直角三角形的性质．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．6．（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②10a -<<【分析】（1）那x =-2代入解析式，即可求得m 的值；（2）利用描点法画函数图象即可；（3）①观察图象找出图象与x 轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x 轴直线的交点个数为4个时对应y 的取值范围即可．【详解】（1）x =-2时，m =（-2）2-22⨯- =0；故答案为：0；（2）如图所示（3）①观察图象，可知22y x x =-与x 轴有三个交点，所以22||=0x x -有三个根，分别是2-、0、2；即答案为3；②∵关于x 的方程22||x x a -=有四个根，∴函数22y x x =-的图象与y =a 有四个交点，由函数图象知：a 的取值范围是10a -<<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．7．A解析：（1）2312y x x =-++；（2）DE AE 的最大值为45；（3）914511924145(,)416P -+-+或9177317(,)44P --+ 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）构造出△AGE ∽△DEH ，可得DE DH AE AG=，而DE 和AG 都可以用含自变量的式子表示，最后用二次函数最大值的方法求值．（3）先发现△ABC 是两直角边比为2：1的直角三角形，由△BPQ ∽△CAB ，构造出△BPQ ，表示出Q 点的坐标，代入解析式求解即可．【详解】解：（1）分别将C （0，1）、A （﹣12，0）、B （2，0）代入y ＝ax 2+bx +c 中得110424201a b c a b c c ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩， 解得：1321a b c =-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为2312y x x =-++． （2）过A 作AG ∥y 轴交BC 的延长线于点G ，过点D 作DH ∥y 轴交BC 于点H ，∵B （2，0）C （0，1），∴直线BC ：y ＝12x +1，∵A （-12，0），∴G （-12，54），设D （23,12m m m -++），则H （1,12m m -+）， ∴DH ＝（2312m m -++）﹣（112m -+）， ＝﹣m 2+2m ，∴AG=54， ∵AG ∥DH ，∴()2224415554DE DH m m m AE AG -+===--+，∴当m ＝1时，DE AE 的最大值为45． （3）符合条件的点P 坐标为（914511924145,416-+-+）或（9177317,44--+）． ∵l ∥BC ， ∴直线l 的解析式为：y ＝-12x ，设P （n ，-12n ），∵A （-12，0），B （2，0），C （0，1），∴AC 2＝54，BC 2＝5，AB 2＝254． ∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°．∵△BPQ ∽△CAB ，∴12BP AC BQ BC ==， 分两种情况说明：①如图3，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵∠PNB ＝∠BMQ ＝90°，∠NBP +∠MBQ ＝90°，∠MQB +∠MBQ ＝90°，∴∠NBP ＝∠MQB ．∴△NBP ∽△MQB ， ∴12PN NB BM MQ ==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴1,2PN n ON n ==， ∴BN ＝2﹣n ，∴BM ＝2PN ＝n ，QM ＝2BN ＝4﹣2n ，∴OM ＝OB +BM ＝2+n ，∴Q （2+n ，2n ﹣4），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221242n n n -++++=-， 2n 2+9n ﹣8＝0， 解得：()1291459145,44n n -+--==舍 ∴P (914511924145,416-+-+)． ②如图4，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵△PNB ∽△BMQ ，又∵△BPQ ∽△CAB ，∴2BC QM AC BN==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴Q （2﹣n ，4﹣2n ），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221422n n n --+-+=-， 化简得：2n 2﹣9n +8＝0，解得：)12n n ==舍，∴P ． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题关键．8．A解析：（1）A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣8）；（2）存在，Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77Q ． 【分析】(1)解方程2280x x --=，可求得A 、B 的坐标，令0x =，可求得点C 的坐标；(2)利用勾股定理计算出AC =BC 的解析式为28y x =-，可设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），分三种情况讨论：当CQ ＝AC 时，当AQ ＝AC 时，当AQ ＝QC 时，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标．【详解】(1)当0y =，2280x x --=，解得x 1＝﹣2，x 2＝4，所以(2,0)A -，(4,0)B ，x ＝0时，y ＝﹣8，∴(0,8)C -；(2)设直线BC 的解析式为y kx b =+，把(4,0)B ，(0,8)C -代入解析式得：408k b b +=⎧⎨=-⎩，解得28k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为28y x =-，设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），当CQ ＝CA 时，22(288)68m m +-+=，解得，1m =2m = ∴Q8)， 当AQ ＝AC 时，22(2)(28)68m m ++-=，解得：128m 5=（舍去），m 2＝0（舍去）；当QA ＝QC 时，2222(2)(28)(2)m m m m ++-=+，解得177m =， ∴Q 1722(,)77-． 综上所述，满足条件的Q点坐标为18)Q ，21722(,)77Q -． 【点睛】 本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．9．A解析：（1）224233y x x =-++；（2）1或2；（3）存在，点M 的坐标为()2,2或102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭或104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入二次函数解析式进行求解即可；（2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，由题意易得C 点坐标是（0，2），然后可得直线BC 的解析式，然后可表示点E 坐标，进而可根据铅垂法进行表示△BCD 的面积，最后问题可进行求解；（3）设点M 的坐标为：（x ，y ），点N （1，s ），点B （3，0）、C （0，2），根据题意易得当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，可分①当BC 是平行四边形的边时，②当BC 为对角线时，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可求解．【详解】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +2中，得：209320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为224233y x x =-++； （2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，把x ＝0代入224233y x x =-++中，得：y ＝2， ∴C 点坐标是（0，2），又∵B （3，0），∴直线BC 的解析式为y ＝23-x +2， ∵点D （m ，224233m m -++），∴E （m ，23-m +2），∴DE ＝（224233m m -++）﹣（23-m +2）＝23-m 2+2m ， 由S △BCD ＝2S △AOC 得：12×DE ×OB ＝2×12×OA ×OC ，∴12（23-m 2+2m ）×3＝2×12×1×2， 整理得：m 2﹣3m +2＝0解得：m 1＝1，m 2＝2∵0＜m ＜3∴m 的值为1或2；（3）存在，理由：设点M 的坐标为：（x ，y ），y ＝224233x x -++，则有点N （1，s ），点B （3，0）、C （0，2），①当BC 是平行四边形的边时，当点C 向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B ，同样点M （N ）向右平移3个单位，向下平移2个单位N （M ），故：x +3＝1，y ﹣2＝s 或x ﹣3＝1，y +2＝s ，解得：x ＝﹣2或4，故点M 坐标为：（﹣2，103-）或（4，103-）； ②当BC 为对角线时，由中点公式得：x +1＝3，y +s ＝2，解得：x ＝2，故点M （2，2）；综上，M 的坐标为：（2，2）或（﹣2，103-）或（4，103-）． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，关键是根据题意得到函数解析式，然后利用平行四边形的存在性问题可进行分析． 10．C解析：（1）1111a b =⎧⎨=⎩ ；y 2 ＝−（x−2）2＋4；（2）（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2 ]；y ＝x 2；（3）①存在，理由见详解；②C 1n -C n ＝2m ．【分析】（1）1(2,0)A ），则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得：()2112110=-0(-2-)a b a b ⎧-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩ ，则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4，即可求解；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B +[（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ，即可求解； （3）①△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2＋4n ），即可求解；②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2，y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n = y n c −y 1n c -，即可求解．【详解】解：（1）1(2,0)A ，则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得： 2112110=()0(2)a b a b ⎧--+⎨=---+⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩， 则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4； 故y 2 ＝−（x−2a ）2＋2b ＝−（x−2）2＋4；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B + [（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ；故答案为：（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2]；y ＝x 2；（3）①存在，理由：点A （0，0），点An （2n ，0）、点n B （n ，n 2 ），△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2 ＋n 4）， 解得：n ＝1（不合题意的值已舍去），抛物线的表达式为：y ＝−（x−1）2 ＋1；②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2，y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n ＝y n c −y 1n c -＝−（m−n ）2＋n 2 ＋（m−n ＋1）2−（n−1）2＝2m ．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，这种找规律类型题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易．二、中考几何压轴题11．（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延长到，使，连接，过作于，在中，利用勾股定理求得EH 的长，再利用三角形中位线定理即可求解；（2）分在上方和下方两种情况讨论，延长与的延长线交于一点，利用 解析：（1）19；（2）2BF AC CN =+或2BF AC CN =-；（3）5或13【分析】（1）延长AB 到H ，使AB BH =，连接EH ，过E 作EG AB ⊥于G ，在Rt GEH ∆中，利用勾股定理求得EH 的长，再利用三角形中位线定理即可求解；（2）分E 在AC 上方和下方两种情况讨论，延长EC 与AB 的延长线交于一点H ，利用等腰直角三角形的性质结合三角形中位线定理即可求解； （3）分点D 在线段AC 上和在AC 延长线上两种情况讨论，仿照（1）的方法即可求解．【详解】（1）延长AB 到H ，使AB BH =，连接EH ，∵B 为AH 中点，F 为AE 的中点，∴BF 是AEH ∆的中位线，∴12BF EH =， 过E 作EG AB ⊥于G ，∵ED BC ⊥，90ABC ∠=︒，∴四边形BDEG 是矩形，∵ABC ∆等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，∴∠C=∠A=45︒，∵ED BC ⊥，∴CDE ∆等腰直角三角形，∵2CE =，∴2CD ED ==∴62GE BD ==62GH BH GB BH ED =+=+=∵在Rt GEH ∆中，2222(62)(62)219EH GE GH =+++=-，∴1192BF EH ==； （2）当CE AC ⊥时，分成两种情况： 如图E 在AC 上方，延长EC 与AB 的延长线交于一点H ，∵∠BAC=45︒，∴ACH ∆是等腰直角三角形，且B 为AH 的中点， ∴AC CH =，∴EH AC CE =+，∵点F 是AE 中点，∴12BF EH =， ∴2BF AC CE =+；如图，E 在AC 下方，延长CE 与AB 的延长线交于一点H ，同理ACH ∆是等腰直角三角形，B 为AH 中点， ∴AC CH =，∴EH AC CE =-，∵点F 是AE 中点，∴12BF EH =， ∴2BF AC CE =-；（3）当点D 在线段AC 上时，。
北京市中考几何综合练习2.docx
1.在菱形ABCD 中，ZABC=60°, E 是对角线AC . I ：任意一点，F 是线段BC 延长线上一 点，且 CF 二AE,连接 BE 、EF.(1) 如图1,当E 是线段AC 的中点时，易证BE 二EF.(2) 如图2,当点E 不是线段AC 的屮点，其它条件不变时，请你判断(1)屮的结论： _____ .(填“成立”或“不成立”)(3) 如图3,当点E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变吋，(1)中的结论 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.2、(1)如图 1,在四边形 ABCD 中，AB=BC, ZABC=80° ,乙4+ZC 二 180。
，点 M 是 AD 边上一点，把射线绕点B 顺时针旋转4()。
，与CD 边交于点N,请你补全图形，求 MN, CN 的数量关系；(2)如图2,在菱形4BCD 屮，点M 是4D 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针 旋-ZABC ,与CD 边交于点N,连结MN,请你补全图形并画出辅助线，直接写出 2AM, CN, MN 的数量关系是 ______ :(3)如图3,正方形ABCD 的边长是1,点M, N 分别在AD, CD 上,若△DM7V 的周 长为2,则△MBN 的面积最小值为图2图3图2 图3 图1S33、在 RtA>4BC 中，ZACB=90\ D 是 AB 的中点，DE 丄BC 于 E,连接 CD.（1） _________________________________________________________ 如图1,如果ZA=30°f 那么DE 与CEZ 间的数量关系是 __________________________ .（2） 如图2,在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP,将线段DP 绕点D 逆时 针旋转60。
，得到线段DF,连接BF,请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并 证明你的结论.（3） 如图3,如果ZAP （0° <a<90° ）, P 是射线CB 上一动点（不与3、C 重合）， 连接DP,将线段DP 绕点D 逆时针旋转2"得到线段DF,连接BF,请直接写出 DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系（不需证明）.4、已知，点P 是AABC 边上一动点（不与A, B 重合）分别过点B 向肓线CP 作垂线, 垂足分别为E ，F, Q 为边的中点.（1） _______________________________________________________ 如图1,当点P 与点Q 重合时，&E 与BF 的位置关系是 __________________________________ , QE 与QF 的数量 关系是 _________ ;（2） 如图2,当点P 在线段AB±不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予 证明;（3） 如图3,当点P 在线段的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形 并给予证明.CEB图 1A图2 图3E5、/XABC 'I', ZABC=45。