高考数学理科模拟试题(附答案)

高考数学模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷理科附详细答案 77

高考数学模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (7)一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A.[0，2]B.（1，3）C.[1，3）D.（1，4）2.（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A.5﹣4iB.5+4iC.3﹣4iD.3+4i3.（5分）函数f（x）=的定义域为（）A.（0，）B.（2，+∞）C.（0，）∪（2，+∞）D.（0，]∪[2，+∞）4.（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5.（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A. B.ln（x2+1）＞ln（y2+1）C.sinx＞sinyD.x3＞y36.（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.2B.4C.2D.47.（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.188.（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx.若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A.（0，）B.（，1）C.（1，2）D.（2，+∞）9.（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A.5B.4C.D.210.（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为.12.（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为.13.（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=.14.（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为.15.（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f （x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h （x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称.若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是.三、解答题（共6小题，满分75分）16.（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）.（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间.17.（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点.（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.18.（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（12分）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn.20.（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）. （Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围.21.（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (7)参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A.[0，2]B.（1，3）C.[1，3）D.（1，4）【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C.【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键.2.（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A.5﹣4iB.5+4iC.3﹣4iD.3+4i【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值.【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D.【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题.3.（5分）函数f（x）=的定义域为（）A.（0，）B.（2，+∞）C.（0，）∪（2，+∞）D.（0，]∪[2，+∞）【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域.【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C.【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础.4.（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根.故选：A.【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查.5.（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A. B.ln（x2+1）＞ln（y2+1）C.sinx＞sinyD.x3＞y3【分析】实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），可得x＞y，对于A.B.C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误.【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，A.取x=2，y=﹣1，不成立；B.\取x=0，y=﹣1，不成立C.取x=π，y=﹣π，不成立；D.由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D.【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.6.（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.2B.4C.2D.4【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D.【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题.7.（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人.故选：C.【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题.8.（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx.若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A.（0，）B.（，1）C.（1，2）D.（2，+∞）【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围.【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：KOA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B.【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题.9.（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A.5B.4C.D.2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0.a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案.【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）.化目标函数为直线方程得：（b＞0）.由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小.∴2a+b=2.即2a+b﹣2=0.则a2+b2的最小值为.故选：B.【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题.10.（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程. 【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0.故选：A.【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查.二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为 3 .【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可.【解答】解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3.故答案为：3.【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力.12.（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC的面积为AB•AC•sinA，计算求得结果.【解答】解：△ABC中，∵•=AB•AC•cosA=tanA，∴当A=时，有AB•AC•=，解得AB•AC=，△ABC的面积为AB•AC•sinA=××=，故答案为：.【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题.13.（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=.【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比.【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==.故答案为：.【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题.14.（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为 2 .【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值.【解答】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，所以Tr+1==，令12﹣3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号.a2+b2的最小值为：2.故答案为：2.【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查.15.（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f （x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h （x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称.若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞） .【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论.【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键.三、解答题（共6小题，满分75分）16.（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）.（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间. 【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x.令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得.解得 m=，n=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）.将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2.y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x.令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ，故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z.【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题.17.（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点.（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.【分析】（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.【解答】解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，又M为AB的中点，∴AM=1.∴CD∥AM，CD=AM，∴AM C1D1，∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，∴C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴面D1C1M与ABC1D1共面，作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，∴CN=，在Rt△D1CN中，CD1=，CN=，∴D1N=∴cos∠D1NC===解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），∴=（1，0，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，∴=（0，2，1）.显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos＜，＞|===，显然二面角为锐角，∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为.【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力.18.（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.【分析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ.【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）×=+=.（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=2）=×=；P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=4）=×+×=；P（ξ=6）=×=；故ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 6 P故ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大.19.（12分）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=.对n分类讨论“裂项求和”即可得出. 【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，∴Sn==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1.∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==.∴Tn=﹣++…+.当n为偶数时，Tn=﹣++…+﹣=1﹣=.当n为奇数时，Tn=﹣++…﹣+=1+=.∴Tn=.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题.21.（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ）利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值.【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，A（3，），F（，0），，∴.∵△ADF为正三角形，∴.又∵，∴，∴p=2.∴C的方程为y2=4x.当D在焦点F的左侧时，.又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，∵△ADF为正三角形，∴3+=p﹣6，解得p=18，∴C的方程为y2=36x.此时点D在x轴负半轴，不成立，舍.∴C的方程为y2=4x.（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0），∴kAD=﹣.由直线l1∥l可设直线l1方程为，联立方程，消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）. 点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），即，∴，∴，∴，∴直线AE过定点（1，0）；（ⅱ）直线AB的方程为，即.联立方程，消去x得，∴，∴=，由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：=，∴△ABE的面积=，当且仅当y1=±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16.【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题.20.（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）. （Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围.【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点.【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣k（﹣）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴ex﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=ex﹣kx，x∈（0，+∞）.∵g′（x）=ex﹣k=ex﹣elnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=ex﹣k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想.是一道导数的综合应用题.属于中档题.高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。

高考数学模拟试题及答案

高考数学模拟试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 已知等差数列{an}的前三项依次为1，4，7，则该数列的通项公式为：A. an = 3n - 2B. an = 3n - 1C. an = 3nD. an = 3n + 13. 函数f(x) = 2x - 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 3C. 4D. 54. 圆x^2 + y^2 = 4的圆心坐标为：A. (0, 0)B. (2, 0)C. (0, 2)D. (-2, 0)5. 已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定6. 函数y = ln(x)的导数是：A. y' = 1/xB. y' = xC. y' = x^2D. y' = 1二、填空题（每题5分，共20分）1. 等比数列{bn}中，若b1 = 2，公比q = 3，则b3 = __________。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2) = __________。

3. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为 __________。

4. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, -4)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为 __________。

三、解答题（共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数的最小值。

（10分）2. 已知圆C：x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，求圆的半径和圆心坐标。

（10分）3. 已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(1, 2)，B(4, 6)，C(7, 10)，求三角形ABC的面积。

2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学(理科)试题

四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学
（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数
．设zÎC，则在复平面内35
££所表示的区域的面积是（）
z
．B．C．D．
．
13
B ．
23
C ．
43
二、填空题
13．“五一”假期期间，小明和小红两位同学计划去卷上的圆锥曲线大题.如图，小红在街道E 处，小明14．已知点C 的坐标为()2,0，点,A B 是圆0AC BC ×=uuu r uuu r
，设P 为线段AB 的中点，则15．已知函数()()2e R x f x ax a =-Î有两个极值点围为___________．
三、双空题
信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：。

【高考冲刺】普通高等学校招生全国统一考试高考模拟卷(三)-理科数学(附答案及答题卡)

上有
且仅有"个零点$则符合条件的正整数的值为!!!!!! 三解答题共7$分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
一必考题共6$分
!7!本小题满分!#分
如图所示$在平面四边形 "$)+ 中$+"*"$$)+)"5)
#5+)#$+"+))#'$+$5))'$+)5+)!
!!"求:4;的值-
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3!"(
!!!在长方体 "$)+*"!$!)!+! 中"$)#$))""!)槡#点 , 为"$! 的中点点 ( 为对角线 ")! 上的动点点 0 为底面 "$)+ 上的动点点(0 可以重合则 ,(1(0 的最小值为
.!!
/!槡#6
0!'(槡#
'&回答第卷时$将答案写在答题卡上$写在本试卷上无效# (&考试结束后$将本试卷和答题卡一并交回#
第卷
一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的
!!已知全集为实数集 $集合")&# ##*###$'$$)&# +,-##$$'$则!%""&$)
! " 因为函数1!%"在 #&" 上有且仅有'个零点&
! " 所以%/()
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2023-2024学年四川省成都市高三高考冲刺卷(一)数学(理)模拟试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高三高考冲刺卷（一）数学（理）模拟试题一、单选题1．已知集合2{|60},{|4}A x x x B y y x =+-≥=≤≤，则集合()A B =R ð（）A ．(,0)[2,)-∞⋃+∞B ．(,0)(2,)-∞+∞C ．(,3][2,)-∞-+∞UD ．(,3](2,)-∞-+∞ 【正确答案】A【分析】根据题意，将集合,A B 分别化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.【详解】因为{2{|60}2A x x x x x =+-≥=≥或}3x ≤-，且{}{|4}02B y y x y x ==≤≤=≤≤，则()(),02,B =-∞+∞R ð，所以(,0)[2(),)A B -∞⋃+=∞R ð.故选：A2．走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A ．甲走路里程的极差等于10B ．乙走路里程的中位数是26C ．甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D ．甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差【正确答案】C【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.【详解】对于A 选项，712-月甲走路的里程为：31、25、21、24、20、30，甲走路里程的极差为312011-=公里，A 错；对于B 选项，712-月乙走路的里程为：29、28、26、28、25、26，由小到大排列分别为：25、26、26、28、28、29，所以，乙走路里程的中位数是2628272+=，B 对；对于C 选项，甲下半年每月走路里程的平均数31252124203015166+++++=，乙下半年每月走路里程的平均数为2928262825261622766+++++==，所以，甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数，C 对；对于D 选项，由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，D 错.故选：C.3．已知平面向量||2a = ，||1b = ，,a b 的夹角为60 ，)a tb t +=∈R ，则实数t （）A ．1-B ．1C ．12D ．1±【正确答案】A【分析】对a tb +=两边平方，再由数量积公式计算可得答案.【详解】因为a tb += ，所以22223a a b t t b +⋅⋅+= ，即2422cos603t t +⨯⨯+= ，解得1t =-.故选：A.4．若直线y ax =是曲线2ln 1y x =+的一条切线，则实数=a A ．12e -B ．122e -C ．12e D ．122e 【正确答案】B【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，进行比较建立方程关系进行求解即可．【详解】数的定义域为（0，+∞），设切点为（m ，2lnm+1），则函数的导数2f x x'=（），则切线斜率2k m =，则对应的切线方程为22122y lnm x m x m m-+=-=-（）（），即221y x lnm m=+-，2y ax a m=∴= ，且210lnm -=，即12lnm =，则12m e =，则121222a ee-=，故选B ．本题主要考查函数的导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．5．函数1e ()sin 1e xxf x x -=⋅+的部分图象大致形状是（）A ．B ．C．D．【正确答案】C【分析】先判断函数的奇偶性，结合对称性以01x <<时的函数值的正负判断可得答案.【详解】由1e ()sin 1e xxf x x -=⋅+，x ∈R ，定义域关于原点对称，得()()()()1e e 11e sin sin sin 1e e 11ex x xx x x f x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除BD ；当01x <<时，1e 0x-<，1e 0x+>，sin 0x >，所以()1e sin 01e xxf x x -=⋅<+，排除A.故选：C.6．已知正方体1111ABCD A B C D -(如图1)，点P 在棱1DD 上(包括端点).则三棱锥1B ABP -的侧视图不可能．．．是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据题意结合三视图逐项分析判断.【详解】对于选项A ：当点P 于点D 重合，则1B ABP -的侧视图如选项A 所示，故A 正确；对于选项B ：当点P 于点1D 重合，则1B ABP -的侧视图如选项B 所示，故B 正确；对于选项C ：当点P 为线段1DD 的中点，则1B ABP -的侧视图如选项C 所示，故C 正确；对于选项D ：因为点P 在棱1DD 上运动，则侧视图中右边的一条边与底边垂直，且右边的一条边的边长与正方体的棱长相等，所以1B ABP -的侧视图如不可能如选项D 所示，故D 错误；故选：D.7．已知抛物线24y x =的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（）A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22154x y +=D ．22165x y +=【正确答案】B【分析】根据椭圆的焦点以及31,2⎛⎫-± ⎪⎝⎭在椭圆上，即可求解,,a b c 的值.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0，准线为=1x -，设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，椭圆中，1c =，当=1x -时，32y =，故229141,a b+=又222a b c =+，所以2,a b ==，故椭圆方程为22143x y +=，故选：B8．已知()()sin f x x ωϕ=+（0,ωϕ>为常数），若()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ϕ的值可以是（）A ．5π6-B ．π6-C ．π3D ．2π3【正确答案】A【分析】根据()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可得03ω<≤，再由π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得()f x 的一条对称轴和一个对称中心，进而求得2ω=，再求ϕ的值.【详解】对于函数()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，因为()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以πππ262T ω-≤=，即03ω<≤.又π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π5π2π2623x +==为()f x 的一条对称轴，且ππ23,02⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，因为2π5πππ312432T-=<≤，所以2π3x =和5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则2π5π4312T =-，即πT =，所以(]2π20,3Tω==∈，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，则5π2π12k ϕ⨯+=，Z k ∈，则5ππ6k ϕ=-+，Z k ∈，当0k =时，5π6ϕ=-.故选：A.9．如图，在矩形ABCD 中，E F 、分别为边AD BC 、上的点，且3AD AE =，3BC BF =，设P Q 、分别为线段AF CE 、的中点，将四边形ABFE 沿着直线EF 进行翻折，使得点A 不在平面CDEF 上，在这一过程中，下列关系不能．．成立的是（）A ．直线//AB 直线CD B ．直线AB ⊥直线PQC ．直线//PQ 直线ED D ．直线//PQ 平面ADE【正确答案】C【分析】画出翻折之后的立体图形，根据点线面之间的位置关系以及平行与垂直的相关定理，可以证明或证伪相关命题.【详解】翻折之后如图所示：①因为3AD AE =，3BC BF =，所以//AB EF 且//EF CD ，因此//AB CD ，故选项A 成立；②连接FD ，因为P Q 、分别为FA FD 、的中点，所以//PQ AD ，又因为AB AD ⊥，所以AB PQ ⊥，故选项B 成立；③因为//PQ AD ，⋂=ED AD D ，所以PQ 与ED 不平行，故选项C 不成立；④因为//PQ AD ，且PQ ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//PQ 平面ADE ，故选项D 成立.故选：C10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，筒车每秒转动rad 12π，如图2所示，盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为（）A ．3.2mB ．3.4mC ．3.6mD ．3.8m【正确答案】D设ts 后盛水桶M 到水面的距离h 关于t 的函数解析式为()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，根据题中信息求出函数()h t 的解析式，再令2t =即可得解.【详解】设ts 后盛水桶M 到水面的距离h 关于t 的函数解析式为()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，由题意可得()()max min 41.52.51h t A b h t A b ⎧=+=⎪⎨=-=-=-⎪⎩，解得 2.51.5A b =⎧⎨=⎩，由于筒车每秒转动rad 12π，所以，函数()h t 的最小正周期为()22412T s ππ==，所以，212T ππω==，则() 2.5sin 1.512t h t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则()0 2.5sin 1.53h ϕ=+=，可得3sin 5ϕ=，由于函数()h t 在0=t 附近单调递增，则ϕ为第一象限角，所以，4cos 5ϕ=，所以，()12 2.5sin 1.5 2.5cos 1.5622h πϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2.5 1.5 3.8m =≈.故选：D.思路点睛：建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：审清题目条件、要求、理解数学关系；（2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型；（3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得出结论.11．已知双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>l 与圆2220(0)x y mx m +-=>相切于M ，与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B ，且M 为AB中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．2BCD【正确答案】B 【分析】.设出直线l 的方程，求出A ，B 的坐标，从而可得点M 的坐标，代入圆方程中即可求离心率【详解】依题意，设直线l的方程为(0)y n n =+>，圆2220(0)x y mx m +-=>的方程可化为222()x m y m -+=，即圆心坐标为(,0)m ，半径为m ，因为直线l 与圆相切于Mm =，由0n >可化简得m =，则直线l的方程为()3y x m =+，双曲线C 的两条渐近线分别为b y x a =，b y x a =-，由)y x m b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得A，同理可得B ，因为M 为AB中点，由中点坐标公式可得222(3ma M b a -，M 在圆上，将M 的坐标代入圆方程可得222222())3ma m m b a -+=-，化简整理得222()0a b -=，从而可得a b =，则双曲线C 的离心率ce a==故选：B12．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且满足(1)(3)4,(1)(3)6---=++-=f x g x g x f x ，(2)g x +为奇函数，则1071()n f n ==∑（）A ．5350-B ．5250-C ．5150-D ．5050-【正确答案】A【分析】由条件通过赋值，结合周期函数的定义证明()()h x f x x =+为周期为2的周期函数，再求()()0,1h h ，结合周期函数性质求1071()n h n =∑，由此可得结论.【详解】因为函数(2)g x +为奇函数，所以()()220g x g x ++-+=，在(1)(3)4f x g x ---=中将x 代换为1x +可得()(2)4f x g x --=①，在(1)(3)6g x f x ++-=中将x 代换为1x +可得(2)(2)6g x f x ++-=②，①②两式相减可得()()(2)(2)22g x f x f x g x ++--+-+=，所以()(2)2f x f x --=，即()(2)2f x x f x x -+-=+，设()()h x f x x =+，则()()2h x h x +=，所以函数()()h x f x x =+为周期为2的周期函数，由()()220g x g x ++-+=取0x =可得()20g =，由()(2)4f x g x --=取0x =可得(0)(2)4f g -=，所以(0)4f =，在()(2)2f x f x --=中取1x =可得()(1)12f f --=，在()(2)4f x g x --=中取1x =可得(1)(1)4f g -=④，在()(2)4f x g x --=中取=1x -可得(1)(3)4f g --=⑤，在()()220g x g x ++-+=中取1x =可得()()310g g +=⑥，将④⑤⑥相加可得()(1)18f f -+=，又()(1)12f f --=，所以()13f =，又(0)4f =，()()h x f x x =+，所以()()0004h f =+=，()()1114h f =+=，又函数()()h x f x x =+为周期为2的周期函数，所以()()()()1071()1231074107428n h n h h h h ==+++⋅⋅⋅+=⨯=∑，所以()()()()()1071()112210710742812107n h n n h h h =-=-+-+⋅⋅⋅+-=-++⋅⋅⋅+∑，所以()()()10711107107428428577853502n h n n =+⨯-=-=-=-∑，所以1071()5350n f n ==-∑.故选：A.知识点点睛：本题考查奇函数的性质，周期函数的定义，周期函数的性质，组合求和法，等差数列求和，考查赋值法，属于综合题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13．若复数z 满足(2i)12i z +=-，则z 的共轭复数z 的虚部为________.【正确答案】1【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可由共轭复数的概念以及虚部概念求解.【详解】由(2i)12i z +=-得()()()()12i 2i 12i 2i 4i 2i 2i 2i 2i 5z ------====-++-，故i z =，且虚部为1，故114．在[]4,4-之间任取一个实数m ，使得直线0x y m ++=与圆222x y +=有公共点的概率为________.【正确答案】12/0.5【分析】利用直线与圆的位置关系求出m 的取值范围，再利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】圆222x y +=因为直线0x y m ++=与圆222x y +=≤，解得22m -≤≤，因此，所求事件的概率为()()221442P --==--.故答案为.1215．已知正三棱柱111ABC A B C -所有顶点都在球O 上，若球O 的体积为32π3，则该正三棱柱体积的最大值为________.【正确答案】8【分析】由条件结合球的体积公式求球的半径，设正三棱柱的底面边长为x ，求出三棱柱的高，结合棱柱的体积求三棱柱的体积，再利用导数求其最大值.【详解】设正三棱柱111ABC A B C -的上，下底面的中心分别为12,O O ，连接12O O ，根据对称性可得，线段12O O 的中点O 即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心，线段OA 为该外接球的半径，设OA R =，由已知3432ππ33R =，所以2R =，即2OA =，设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为x ，设线段BC 的中点为D ，则2AD x =，1223323AO AD ==⨯=，在1Rt AO O △中，1OO ==所以12O O =，0x <<，又ABC 的面积1122S BC AD x =⋅=⨯=所以正三棱柱111ABC A B C -的体积242x V x =⨯设t ，则22123x t =-，02t <<，所以)2123V t t =-，02t <<，所以)2129V t '=-，令0V '=，可得3t =或3t =-，舍去，所以当0t <<0V '>，函数)2123V t t =-在0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，当2323t <<时，0V '<，函数()231232V t t =-在23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当233t =时，()231232V t t =-取最大值，最大值为8，所以当22x =时，三棱柱111ABC A B C -的体积最大，最大体积为8.故答案为.816．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a C c A b c -=-，且1a c +=，则当边c 取得最大值时，ABC 的周长为________.【正确答案】33/33【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值，利用正弦定理可求得c 的最大值及其对应的C 的值，进而可求得b 的值，由此可得出ABC 的周长.【详解】因为cos cos a C c A b c -=-，由正弦定理可得sin cos cos sin sin sin A C A C B C -=-，即()sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C -=+-=+-，整理可得2cos sin sin A C C =，因为A 、()0,πC ∈，所以，sin 0C >，则1cos 2A =，故π3A =，由正弦定理可得)231sin sin 332c a c c C A =-，整理可得2332332sin 31sin 23sin Cc C C C=+++因为2π03C <<，当π2C =时，c 取最大值，且c 4323=-+，此时，(1143a c =-=--=，π6B =，所以，22c b ==因此，当边c 取得最大值时，ABC的周长为()((32423a b c ++=+-+-=-.故答案为.3三、解答题17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*231n n S a n N =-∈．()1求{}n a 的通项公式；()2若()()1311nn n n b a a +=++，求{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)13n n a -=．(2)311 2231n n T ⎛⎫=- +⎝⎭．【分析】()1利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．()2利用()1的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】() 1等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*231.n n S a n N =-∈①当1n =时，解得11a =．当2n ≥时11231n n S a --=-②-①②得1323n n n a a a --=，所以13(nn a a -=常数)，故11133n n n a --=⋅=．()2由于13n n a -=，所以()()1133111123131n n n n n n b a a -+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以011311113112313131312231n n n n T -⎛⎫⎛⎫=-+⋯+-=- ⎪ ⎪+-+++⎝⎭⎝⎭．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18．“五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠；消费金额满300元减60元；方案二：消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球（这些小球除颜色不同其余均相同），抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下：抽到的红球个数0123优惠折扣无折扣九折八折七折(1)现有甲乙两位顾客各获得一次抽奖活动，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；(2)若李女士在该商场消费金额为x 元（300x >），请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李女士选择何种优惠方案提出建议.【正确答案】(1)99200(2)答案见解析【分析】（1）先求事件抽奖的顾客获得八折优惠的概率，再根据独立重复试验的概率公式求两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；（2）在300x >条件下，分别求两种方案下李女士实付金额的期望，由此提出建议.【详解】（1）设事件A ：抽奖的顾客获得八折优惠，则213336C C 9()C 20P A ⋅==；由于甲乙两位顾客获得八折优惠的概率均为920，设甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率P ，则129999C (12020200P =⨯-=；所以甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率为99200.（2）方案一：设实付金额1ξ，则160x ξ=-,（300x >）.方案二：设实付金额2ξ，则2ξ的可能取值有：x ，0.9x ，0.8x ，0.7x ；（300x >）.03236C 1()C 20P x ξ===；1233236C C 9(0.9)C 20P x ξ===；29(0.8)20P x ξ==；33236C 1(0.7)C 20P x ξ===；所以()219998178520201020102010100E x x x x x ξ=+⨯+⨯+⨯=.①若8560100x x -<，解得300400x <<，选择方案一；②若8560100x x -=，解得400x =，选择方案一或方案二均可；③若8560100x x ->，解得400x >，选择方案二.，所以当消费金额大于300且小于400时，选择方案一；当消费金额等于400时，选择方案一或方案二均可；当消费金额大于400时，选择方案二.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是BC ，11AC 中点，平面11ABB A 平面AEF l =．(1)证明：l EF ∥；(2)若AB AC ==，平面11ACC A ⊥平面11ABB A ，且1AB EF ⊥，求直线l 与平面11A B E 所成角的余弦值．【正确答案】(1)证明过程见详解【分析】（1）取AB 中点G ，连接EG ，1A G ，先证明四边形1EGA F 为平行四边形，再证明EF ∥平面11ABB A ，再根据直线与平面平行的性质即可证明l EF ∥；（2）根据题意先证明11AC ，11A B ，1AA 两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再根据1AB EF ⊥求得1AA 的值，再利用线面角的向量求法即可求解．【详解】（1）取AB 中点G ，连接EG ，1A G ，∵E ，G 分别是BC ，AB 中点，∴EG AC ∥且12EG AC =，又∵1A F AC ∥且112A F AC =，∴1A F EG ∥且1=A F EG ，∴四边形1EGA F 为平行四边形，∴1EF A G ∥，又EF ⊄平面11ABB A ，1AG ⊂平面11ABB A ，∴EF ∥平面11ABB A ，∵EF ⊂平面AEF ，平面AEF ⋂平面11ABB A l =，∴EF l ∥．（2）由三棱柱为直棱柱，∴1AA ⊥平面111A B C ，∴111AA AC ⊥，111AA A B ⊥，∵平面11ACC A ⊥平面11ABB A ，平面11ACC A 平面111ABB A AA =，11AC ⊂平面11ACC A ，∴11A C ⊥平面11ABB A ，∴1111A C A B ⊥，故以1A 为坐标原点，以11A C ，11A B ，1AA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设1AA a =，则1B ，F ，)E a ，(0,0,)A a ，所以1)AB a =- ，(0,)EF a =-，又1AB EF ⊥，则10AB EF ⋅=，解得2a =，所以2)E ，(0,0,2)A，则11A B =，12)A E =，设平面11A B E 法向量为(,,)n x y z =，所以11100n A B n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020z ⎧=⎪+=，取x =，得1)n =- ，由（1）知直线EF l ∥，则l方向向量为(0,2)EF =-，设直线l 与平面11BCC B 所成角为α，则sin cos ,3n EF n EF n EF α⋅===⋅，则cos α=所以直线l 与平面11BCC B所成角的余弦值为3．20．已知抛物线C ：22y x =，过(1,0)P 的直线与C 相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点.(1)证明：直线OA ，OB 的斜率之积为定值；(2)若线段AB 的垂直平分线交y 轴于M ，且12tan 5AMB ∠=，求直线AB 的方程.【正确答案】(1)证明见解析(2)10x -=或10x -=【分析】（1）直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示斜率乘积；（2）结合二倍角公式，求||4||3AB MN =，以及弦长公式求AB ，并利用韦达定理表示MN ，利用比值，即可求直线方程.【详解】（1）设1222(,),(,)A x y B x y ，设直线AB ：x =my +1.联立221y x x my ⎧=⎨=+⎩化简可得：2220.y my --=由韦达定理可得：12122,2y y m y y +==-；所以1212221212124222OA OB y y y y k k y y x x y y ⋅====-⋅，所以直线OA ，OB 的斜率之积为定值2-.（2）设线段AB 的中点N ，设AMN θ∠=.则22tan 12tan tan 21tan 5AMB θθθ∠===-，解得2tan 3θ=，所以||2||3AN MN =，即||4||3AB MN =；所以12|||AB y y =-=又线段AB 的中点N ，可得122N y y y m +==，所以211N N x my m =+=+.因为MN AB ⊥，所以MN k m =-，所以2|||1)N M MN x x m =-=+.所以||4||3AB MN =，解得m =所以直线AB 的方程为：10x -=或10x +-=.21．已知()ln 1(R)f x x kx k =-+∈，()(e 2)x g x x =-.(1)求()f x 的极值；(2)若()()g x f x ≥，求实数k 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)1k ≥【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，然后分0k ≤与0k >讨论，即可得到结果.（2）根据题意，将问题转化为1n 2e l xx k x+≥-+在0x >恒成立，然后构造函数1ln ()e 2xx h x x+=-+，求得其最大值，即可得到结果.【详解】（1）已知1()ln 1,(),0f x x kx f x k x x'=-+=->（），当0k ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 无极值，当0k >时，1()kx f x x -'=，()f x 在10k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在1,k ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭单调递减，当1x k =时，()f x 有极大值，1(ln f k k=-，无极小值，综上：当0k ≤时，()f x 无极值；当0k >时，极大值为1()ln f k k=-，无极小值；（2）若()()g x f x ≥，则(e 2)ln 10x x x kx --+-≥在0x >时恒成立，l 2e 1n x x k x +∴≥-+恒成立，令()()221ln ln e e 2,xx x x x h x h x x x '+--=-+=，令2ln e x x x x φ=--（），则21(2)e 0(0)x x x x x xφ'=--+<>（），()x φ在()0+∞，单调递减，又12e 11e 0,(1)e 0e φφ-⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理知，存在唯一零点01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x φ=，即0001ln 20000000111ln e lne ,ln e e x x x x x x x x x x x -===，，令e (0),()(1)e 0,()x x x x x x x x ωωω'=>=+>（）在()0+∞，上单调递增，000011ln(),ln x x x x ωω⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭，即00ln x x -=∴当0(0,)x x ∈时，()h x 单调递增，0(,)x x ∈+∞单调递减，()()0000max 0001ln 11e 221x x x h x h x x x x +-==+=-+=，0()1k h x ∴≥=，即k 的取值范围为1k ≥.关键点睛：本题主要考查了用导数研究函数极值问题，难度较难，解答本题的关键在于分离参数，然后构造函数，将问题转化为最值问题.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为：1cos x y φφ⎧=⎪⎨⎪=⎩（φ为参数），曲线2C 的参数方程为：sin 2sin cos x ty t t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)将曲线12,C C 化为普通方程；(2)若曲线2C 与y 轴相交于,A B ，与x 轴相交于C ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线π:(0)6l θρ=≥与曲线2C 相交于P ，求四边形ACBP 的面积.【正确答案】(1)2212y x -=；21y x =+，[1,1]x ∈-(2)1【分析】（1）根据关系2221sin 1cos cos φφφ-=消去曲线1C 的参数可得其普通方程，根据平方关系消去参数t 可得曲线2C 的普通方程，（2）先求点,,,A B C P 的坐标，再求四边形ACBP 面积即可.【详解】（1）曲线1C的参数方程为：1cos x y φφ⎧=⎪⎨⎪=⎩（φ为参数）可得222221cos sin 2cos x y φφφ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（φ为参数）消去参数φ可得：2212y x -=，所以曲线1C 的普通方程为.2212y x -=曲线2C 的参数方程为sin 2sin cos x t y t t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）可得22sin cos 12sin cos x t ty t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）消去参数t 可得21y x -=，又因为sin 2[1,1]t ∈-，所以[1,1]x ∈-.所以曲线2C 的普通方程为：21y x =+，[1,1]x ∈-.（2）易得曲线2C 与y 轴交于(0,1)±，与x 轴交于(1,0)-.将射线π:(0)6l θρ=≥化为直角坐标方程.(0)3y x =≥联立()22012y x y x ⎧=≥⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以四边形ACBP 的面积()112ACB ACPC P S S SAB x x =+=+=+所以四边形ACBP的面积为123．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明：（Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（1）先由基本不等式可得222x y z xy yz xz ++≥++，再结合()2x y z ++的展开式即可证明原式成立；（2）利用柯西不等式[]2222()()()()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭证明.【详解】证明：（Ⅰ）：因为()()()2222222222xy y z x z x y z xy yz xz+++++++=≥++所以22221()2223()x y z x y z xy yz xz xy yz zx =++=+++++≥++故13xy yz zx ++≤，当且仅当x y z ==时“=”成立.（Ⅱ）,,x y z 均为正数，由柯西不等式得：2222[()()()]()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭即22221x y z y z x z x y ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭，故22212x y z y z x z x y ++≥+++，当且仅当x y z ==时“=”成立.本题考查利用基本不等式、柯西不等式等证明不等式，难度一般.证明时，利用整体思想，注意“1”的巧妙代换.。

2023届陕西省咸阳市高考模拟检测(二模)理科数学试题及答案

注意事项z 威阳市2023年高考模拟检测〈二）数学〈理科〉试题l.本试题共4页，满分150分，时间120分钟2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3.回答选择题时，逃出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第I卷〈选择题共60分〉一、选择题z本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I.己知复数z满足iz+l =i，那么lz l=人l B ..Ji C.Ji2已失u综合M=lx l v=.J x-U, N={x l主主＜0�，那么M N=l 1· J I I x'+ l IA.{xll运x�2}B.{xix注1} c. {xll白＜2}D.2D.{xll<x<2}3.某商场要将单价分别为36元／kg,48元／kg,72元／kg的3种糖果按3:2: l的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等．那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为A.52元／kgB.50元／kg c.48元／kg D.46元／kg4.已知I'll,n是两条不同的直线，α，p是两个不同的平面，有以下四个命题：①若ml/n, nl>α，则，n／／α＠若m..lα，m..lβ，则αIIβ其中正确的命题是A.②③B.②④5. 函数J(x）＝丘：的大致图像为lx lxA. B.x②若ml>α，m..lβ，则αiβ④若αiβ，ml>α，nl>β，则m..lnc.①③ D.①②1’c. D.π6.已失11函数f(x)=4sin（缸’－ψ），当x＝一时，f(x）取得最小值，则｜叫的最小值是3 x1πSπ丁πB. -C .- D.-63667.数列｛α，，）的前，1项和为S ，，，对一切正整数n ，点（n ，乱）在函数f(x)=x 2+2x 的图像上，b =2( n εN ＊且应1），则数列队｝的前，1项和为已＝F,＋在二A.在Ml －石；；＝－IB.在Z三－1c.在二－石�A.JrD.d古3-./38.已知直角三角形ABC ，ζC=90°,AC=4, BC =3，现将该三角形沿斜边AB 旋转一周，则旋转形成的儿何体的体积为48万24万A 12πB 16πc －一－D.－一一539.巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先白皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂II合德·账；J11π24立在1735年解诀．欧位通过推导得出：l+-+-+＋一＋＝一．某同学为了验证15，役的结论，设计4 9n26J II 了如阁的第法，计算1+-+-+＋一一一的值来估算，则判断框槟入的是4 9 20232 A.n>2023B.n 注2023c.n运2023D.n<202310.2022年卡珞尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从叩开始传球，甲等可能地把球传给乙，两，丁中的任何－个人，以此类推，贝I］经过三次传球后己只接到－次球的概率为A .-27l－QJnpc 立27D.162711.己叫线C：兰卡（α＞0,b>O).c 叫线的半焦距则当取得最大酬，双曲线2α＋3bc的离心$为、/13A.－一一2.J3D.___:____223e=2.718 ...，对任意xe(-1，叫，不等式扩注ae[2+ln （创刊）］恒成立，Y！瞧B亟c主12.己知实数a>O,数。

2024年高考数学模拟试题及答案

2024年高考数学模拟试题及答案2024年高考数学模拟试题及答案一、选择题1、下列函数中，既是偶函数又在区间(0, ∞)上单调递增的是（）。

A. y = |x|B. y = x^3C. y = log2xD. y = sinx2、已知平面向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为120°，则（2a-b）·（a+3b）=（）。

A. -7 B. -5 C. 1 D. 93、已知函数f（x）=ax^7+bx^5+cx^3+dx+5，且f（-5）=3，则f（5）=（）。

A. -7 B. -3 C. 3 D. 7二、填空题1、若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，S4=28，则{an}的通项公式为。

2、已知球O的半径为4，则球O的内接正方体的棱长为。

3、若函数f（x）=log2x，则f（4）的值是。

三、解答题1、已知向量a=（1，2），b=（cosθ，sinθ），设向量ma+b与向量a-mb平行，求tanθ的值。

2、已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-9|，当且仅当x=5时取得最小值，求最小的m和最大的n，使得当x∈[m, n]时，函数f（x）取得最小值。

3、已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为3，底面边长为2，E为BC中点。

求点B1到平面BDE的距离。

四、选做题1、选修4-1：几何证明选讲在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点。

求证：EB=EC。

2、选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心、半径为r的圆与直线x=π/2相切。

求圆上点到直线x=π的距离的最大值和最小值。

3、选修4-5：不等式选讲已知a、b、c均为正数，且a+b+c=1。

求证：(1/a)+(1/b)+(1/c)≥9。

五、附加题1、某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生900人，男生500人，女生400人。

高二年级共有学生1100人，男生600人，女生500人。

高考数学模拟试卷(理科)-Word版含解析

云南省多校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P且x∉Q}为P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣23．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在[﹣，]上是增函数的一个函数为（）A．y=sin（+）B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣）D．y=cos（﹣）4．若向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），则下列说法中正确的个数是（）①⊥；②向量与向量的夹角为90°；③对同一平面内的任意向量，都存在一对实数k1，k2，使得=k1+k2．A．3 B．2 C．1 D．05．已知函数f（x）=f（log23）的值为（）A．B．C．D．6．直线l：y=k（x+）与曲线C：x2﹣y2=1（x＜0）相交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（，）C．（0，）∪（，π）D．[0，π）7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为36，28，则输出的a=（）A．4 B．8 C．12 D．208．某几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为（）A．B．C． +4+D．π+8+9．图所示的阴影部分由坐标轴、直线x=1及曲线y=e x﹣lne围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（）A．B． C．1﹣D．1﹣10．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值为（）A．4 B．2 C．D．111．已知A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C在第一象限的公共点，其中圆心C（0，4），点A到M的焦点F的距离与C的半径相等，M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2 C．D．12．已知函数f（x）=x2﹣tcosx．若其导函数f′（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（）A．[﹣1，﹣]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣1，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），则++…+的值为．14．已知等差数列{a n}满足：a1+a5=4，则数列{2}的前5项之积为（用数字作答）15．设实数x ，y 满足约束条件若目标函数z=ax +by （a ＞0，b ＞0）的最大值为2，记m 为+的最小值，则y=sin （mx +）的最小正周期为．16．已知三棱锥O ﹣ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心O 的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若球O 的体积为，则三棱锥O ﹣ABC 的体积是．三、解答题（共70分）17．（12分）已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n }（n ∈N*）（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（12分）拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由附：独立性检验统计量K 2=，n=a +b +c +d19．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ，且△ABC 是的边长为4的等边三角形，AE=2，CD与平面ABDE所成角的余弦值为，F是线段CD上一点．（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：平面CDE⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P是椭圆C上任意一点，且点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于+1（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于不同两点A，B，设N为椭圆上一点，是否存在整数t，使得t•=+（其中O为坐标原点）？若存在，试求整数t的所有取值；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线y=x，求实数a，b的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求++的最小值．2017年云南省曲靖一中等多校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P且x∉Q}为P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．【分析】首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P ﹣Q即可．【解答】解：∵化简得：P={x|0＜x＜2}而Q={x||x﹣2|＜1}化简得：Q={x|1＜x＜3}∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，∴P﹣Q={x|0＜x≤1}故选B【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．2．已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．【解答】解：（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，∴a2﹣1﹣2ai=﹣2i，∴a2﹣1=0，﹣2a=﹣2，∴a=1．则|ai|=|i|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在[﹣，]上是增函数的一个函数为（）A．y=sin（+）B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣）D．y=cos（﹣）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意求出函数周期，可知满足条件的函数是选项B或C，再由在[﹣，]上是增函数进一步判断只有C符合．【解答】解：由图象的相邻两条对称轴间的距离是，可知，T=π，选项B、C满足．由x∈[﹣，]，得2x∈[0，π]，函数y=cos（2x+）为减函数，不合题意．由x∈[﹣，]，得2x﹣∈[，]，函数y=sin（2x﹣）为增函数，符合合题意．故选：C．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．4．若向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），则下列说法中正确的个数是（）①⊥；②向量与向量的夹角为90°；③对同一平面内的任意向量，都存在一对实数k1，k2，使得=k1+k2．A．3 B．2 C．1 D．0【考点】向量在几何中的应用．【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可判断①②；由向量共线定理，可得，共线，由平面向量基本定理，即可判断③．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），由•=1×2+（﹣2）×1=0，可得⊥，故①正确；由•=1×（﹣4）+（﹣2）×（﹣2）=0，可得⊥，故②正确；由=﹣2可得，共线，由平面向量基本定理，可得对同一平面内的任意向量，不都存在一对实数k1，k2，使得=k1+k2．故③错误．综上可得，正确的个数为2．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的性质，主要是向量垂直的条件：数量积为0，考查平面向量基本定理的运用以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．5．已知函数f（x）=f（log23）的值为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】根据log23的范围循环代入分段函数的下段，当满足自变量的值大于等于3时代入f（x）的解析式求值．【解答】解：由f（x）=，∵log23＜3，∴f（log23）=f（log23+1）=f（log26），由log26＜3，∴f（log26）=f（log26+1）=f（log212），∵log212＞3，∴f（log23）=f（log212）==．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了分段函数的函数值的求法，关键是注意适用范围，是基础题．6．直线l：y=k（x+）与曲线C：x2﹣y2=1（x＜0）相交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（，）C．（0，）∪（，π）D．[0，π）【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】首先根据题意直线l：y=k（x+）与曲线x2﹣y2=1（x＜0）相交于A、B两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【解答】解：曲线x2﹣y2=1（x＜0）的渐近线方程为：y=±x直线l：y=k（x+）与相交于A、B两点所以：直线的斜率k＞1或k＜﹣1α∈（，）由于直线的斜率存在：倾斜角a≠，故直线l的倾斜角的取值范围是（，）∪（，）故选：A．【点评】本题考查的知识要点：直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系．7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为36，28，则输出的a=（）A．4 B．8 C．12 D．20【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=4，b=4时，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值．【解答】解：第一次循环，a=36，b=28，a＞b，a=8；第二次循环，a=8，b=28，a＜b，b=20；第三次循环，a=8，b=20，a＜b，b=12；第四次循环，a=8，b=12，a＜b，b=4，第五次循环，a=8，b=4，a＞b，a=4，第六次循环，a=4，b=4，a=b，不满足条件a≠b，退出循环，输出a=4，故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．某几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为（）A．B．C． +4+D．π+8+【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，进而可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，其表面积由半圆锥的曲面，底面及四棱锥的底面，前，后，右侧面组成，∵其侧视图是一个等边三角形，∴半圆锥的底面半径为1，高为，故圆锥的母线长为：2，故半圆锥的底面面积为：，曲侧面面积为：π，四棱锥的底面面积为：4，前后侧面均为腰长为2的等腰直角三角形，面积均为：2，右侧面是腰为2，底为2的等腰三角形，面积为：，故组合体的表面积为：π+8+，故选：D【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，圆锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．9．图所示的阴影部分由坐标轴、直线x=1及曲线y=e x﹣lne围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（）A．B． C．1﹣D．1﹣【考点】定积分；几何概型．【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分的面积为（e x﹣1）dx=（e x﹣x）|=e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，∴该点落在阴影部分的概率是=1﹣．故选D．【点评】本题考查概率的计算，考查定积分知识的运用，属于中档题．10．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值为（）A．4 B．2 C．D．1【考点】余弦定理．【分析】（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得A=．sinA=2sinBcosC，利用正弦定理与余弦定理可得：b=c．因此△ABC是等边三角形．即可得出．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．∴cosA==，A∈（0，π），∴A=．∵sinA=2sinBcosC，∴a=2b×，化为：b=c．∴△ABC是等边三角形．那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值==4．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C在第一象限的公共点，其中圆心C（0，4），点A到M的焦点F的距离与C的半径相等，M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2 C．D．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，则|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，由C（0，4），F（，0），可得A（，2），代入抛物线的方程可得，4=2p•，解得p=2，即有a=+=，A（，2），可得C到直线OA：y=2x的距离为d==，可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=，直线OA被圆C所截得的弦长为，故选D【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．12．已知函数f（x）=x2﹣tcosx．若其导函数f′（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（）A．[﹣1，﹣]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣1，]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导数f′（x）=x+tsinx，并设g（x）=f′（x），并求出g′（x）=1+tcosx，由f′（x）在R上单调递增即可得出tcosx≥﹣1恒成立，这样即可求出t的取值范围．【解答】解：f′（x）=x+tsinx，设g（x）=f′（x）；∵f′（x）在R上单调递增；∴g′（x）=1+tcosx≥0恒成立；∴tcosx≥﹣1恒成立；∵cosx∈[﹣1，1]；∴；∴﹣1≤t≤1；∴实数t的取值范围为[﹣1，1]．故选：C．【点评】考查基本初等函数的求导公式，函数的单调性和函数导数符号的关系．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），则++…+的值为﹣1．【考点】二项式定理的应用．【分析】由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），令x=0，可得1=a0．令x=，可得0=1+++…+，即可得出．【解答】解：由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），令x=0，可得1=a0．令x=，可得0=1+++…+，∴++…+=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知等差数列{a n}满足：a1+a5=4，则数列{2}的前5项之积为1024（用数字作答）【考点】数列的求和．【分析】根据等差数列的性质可得a1+a5=a2+a4=2a3=4，即可求出前5项和，再根据指数幂的运算性质即可求出答案．【解答】解：∵等差数列{a n}满足：a1+a5=4，∴a1+a5=a2+a4=2a3=4，∴a1+a5+a2+a4+a3=4+4+2=10，∴数列{2}的前5项之积为2=210=1024，故答案为：1024【点评】本题考查了等差数列的性质和指数幂的运算性质，属于中档题15．设实数x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，记m 为+的最小值，则y=sin （mx +）的最小正周期为 π ．【考点】简单线性规划．【分析】首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的最小正周期，求出结果．【解答】解：设x 、y 的线性约束条件，如图所示：解得A （1，1）目标函数z=ax +by （a ＞0，b ＞0）的最大值为2，即：a +b=2，所以： +=≥2，则y=sin （2x +）的最小正周期为π，故答案为：π．【点评】本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的最小正周期，属于基础题型．16．已知三棱锥O ﹣ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心O 的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若球O 的体积为，则三棱锥O ﹣ABC 的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】由已知条件可求出AC ，求出△ABC 的面积，设球半径为R ，由球的体积可解得R ，再设△ABC 的外接圆的圆心为G ，进一步求出OG ，则三棱锥O ﹣ABC 的体积可求．【解答】解：三棱锥O ﹣ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心O 的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，则AC=，∴，设球半径为R ，由球的体积，解得R=4．设△ABC的外接圆的圆心为G，∴外接圆的半径为GA=，∴OG=．∴三棱锥O﹣ABC的体积是=．故答案为：．【点评】本题考查球的有关计算问题，考查棱锥的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（共70分）17．（12分）（2017•曲靖模拟）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n}（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据二倍角公式先化简得到f（x）=tanx，再根据函数零点定理可得x=+kπ，k∈Z，即可得到数列的通项公式，（Ⅱ）化简bn=（﹣），再裂项求和即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）===tanx，∵y=f（x）﹣=0，∴tanx=，∴x=+kπ，k∈Z，∵函数y=f（x）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n}，∴a n=+（n﹣1）π，（Ⅱ）b n====（﹣），∴数列{b n }的前n 项和S n =（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=【点评】本题考查了三角函数的化简和函数零点定理以及数列的通项公式和裂项法求前n 项和，属于中档题18．（12分）（2017•曲靖模拟）拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由附：独立性检验统计量K 2=，n=a +b +c +d【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验．【分析】（1）分层从40份女生问卷中抽取了8份问卷，有明显拖延症6人，“无明显拖延症2人，若从这8份问卷中随机抽取3份，随机变量X=0，1，2．利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；（2）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得K2的观测值k，即可得出．【解答】解：（1）从40份女生问卷中抽取了8份问卷，有明显拖延症6人，“无明显拖延症2人．…（2分）则随机变量X=0，1，2，…（3分） ∴P （X=0）==；P （X=1）==，P （X=2）==…（6分）分布列为…（7分）E（X）=0×+1×+2×=．…（8分）（2）K2=≈2.930 …（10分）由表可知2.706＜2.93＜3.840；∴P=0.10．…（12分）【点评】本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、“超几何分布”分布列及其数学期望公式、“独立性检验的基本思想的应用”计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•曲靖模拟）如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，且△ABC是的边长为4的等边三角形，AE=2，CD与平面ABDE所成角的余弦值为，F是线段CD上一点．（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：平面CDE⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，取ED的中点为M，以O为原点，OC为x 轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面CDE⊥平面DBC．（Ⅱ）求出平面DEC 的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出二面角B ﹣EC﹣D的平面角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，∵DB⊥平面ABC，DB⊂平面ABDE，∴平面ABDE⊥平面ABC，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，又OC⊂平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，∴OC⊥平面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∠CDO是CD与平面ABDE所成角，∵CD与平面ABDE所成角的余弦值为，∴CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为，∴sin ，∵OC=2，∴CD=4，BD=4，取ED 的中点为M ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OM 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣2，0），B （0，2，0），C （2，0，0），D （0，2，4），E （0，﹣2，2），F （，1，2），∴=（），=（2，﹣2，0），=（0，0，4），∴，，∴EF ⊥BC ，EF ⊥BD ，∵DB ，BC ⊂平面DBC ，且DB ∩BC=B ， ∴∴EF ⊥平面DBC ，又EF ⊂平面BDF ， ∴平面CDE ⊥平面DBC ．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当F 是线段CD 的中点时，得BF ⊥平面DEC ，又=（），则可取平面DEC 的一个法向量==（），设平面BCE 的一个法向量=（x ，y ，z ），=（2，﹣2，0），=（2，2，﹣2），则，取x=1，得=（1，），则cos ＜＞===，sin ＜＞=，∴二面角B ﹣EC ﹣D 的平面角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•曲靖模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P是椭圆C上任意一点，且点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于+1（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于不同两点A，B，设N为椭圆上一点，是否存在整数t，使得t•=+（其中O为坐标原点）？若存在，试求整数t的所有取值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义．【分析】（Ⅰ）由离心率为，可得a2=2b2，代入点（0，﹣1），可求解a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入t•=+后得到P 点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k的范围确定t的范围，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题知离心率为，所以a2=2b2．又因为点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于+1，所以a+c=+1，所以b2=1，a2=2．故C的方程为=1…（3分）（Ⅱ）由题意知直线直线AB的斜率存在．设AB方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由y=k（x﹣2）代入=1，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2＜．…x1+x2=，x1x2=，∵t•=+，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．∴x=，y=﹣．…（8分）∵点N在椭圆上，∴[]2+2•[﹣]=2，∴16k2=t2（1+2k2），∴t2=＜4，∴﹣2＜t＜2．∴整数t值为﹣1，0，1．…（12分）【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题．21．（12分）（2017•曲靖模拟）设函数f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线y=x，求实数a，b的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）将（0，﹣1），代入f（x），即可求得b的值，求导，由f′（1）=﹣2，即可求得a的值；（Ⅱ）求导，g′（x）=e x﹣2a，分类分别取得g（x）在区间[0，1]上的最小值h（a）解析式，根据函数的单调性即可求得h（a）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，则过点（0，﹣1），代入f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，则1+b=﹣1，则b=﹣2，求导f′（x）=e x﹣2ax﹣e，由f′（1）=﹣2，即e﹣2a﹣e=﹣2，则a=1，∴实数a，b的值分别为1，﹣2；（Ⅱ）f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣e，g′（x）=e x﹣2a，（1）当a≤时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a≤e x恒成立，即g′（x）=e x﹣2a≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，∴g（x）≥g（0）=1﹣e．（2）当a＞时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a＞e x恒成立，即g′（x）=e x﹣2a＜0，g（x）在[0，1]上单调递减，∴g（x）≥g（1）=﹣2a（3）当＜a≤时，g′（x）=e x﹣2a=0，得x=ln（2a），g（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，所以g（x）≥g（ln2a）=2a﹣2aln2a﹣e，∴h（a）=，∴当a≤时，h（a）=1﹣e，当＜a≤时，h（a）=2a﹣2aln2a﹣e，求导，h′（a）=2﹣2ln2a﹣2=2ln2a，由＜a≤时，h′（a）＜0，∴h（a）单调递减，h（a）∈（1﹣e，﹣e]，当a＞时，h（a）=﹣2a，单调递减，h（a）∈（﹣∞，﹣e），h（a）的最大值1﹣e．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•曲靖模拟）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，可得+=+==即可得出．【解答】解：（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：，化为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，t1+t2=1，t1t2=﹣1．∴+=+====．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•曲靖模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求++的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求出f（x）的最小值，即可求实数a的最小值M；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|≥|a﹣2|，∵关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，∴|a﹣2|≤a，∴a≥1，∴实数a的最小值M=1；（Ⅱ）m+2n+3p=1， ++=（++）（m+2n+3p）≥（+2+）2=16+8，∴++的最小值为16+8．【点评】本题考查绝对值不等式的运用，考查柯西不等式在最值中的应用，考查计算能力．。

高考数学模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷理科附详细答案 77

高考数学模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (7)一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A.[0，2]B.（1，3）C.[1，3）D.（1，4）2.（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A.5﹣4iB.5+4iC.3﹣4iD.3+4i3.（5分）函数f（x）=的定义域为（）A.（0，）B.（2，+∞）C.（0，）∪（2，+∞）D.（0，]∪[2，+∞）4.（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5.（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A. B.ln（x2+1）＞ln（y2+1）C.sinx＞sinyD.x3＞y36.（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.2B.4C.2D.47.（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.188.（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx.若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A.（0，）B.（，1）C.（1，2）D.（2，+∞）9.（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A.5B.4C.D.210.（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为.12.（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为.13.（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=.14.（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为.15.（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f （x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h （x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称.若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是.三、解答题（共6小题，满分75分）16.（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）.（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间.17.（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点.（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.18.（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（12分）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn.20.（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）. （Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围.21.（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (7)参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A.[0，2]B.（1，3）C.[1，3）D.（1，4）【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C.【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键.2.（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A.5﹣4iB.5+4iC.3﹣4iD.3+4i【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值.【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D.【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题.3.（5分）函数f（x）=的定义域为（）A.（0，）B.（2，+∞）C.（0，）∪（2，+∞）D.（0，]∪[2，+∞）【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域.【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C.【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础.4.（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根.故选：A.【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查.5.（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A. B.ln（x2+1）＞ln（y2+1）C.sinx＞sinyD.x3＞y3【分析】实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），可得x＞y，对于A.B.C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误.【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，A.取x=2，y=﹣1，不成立；B.\取x=0，y=﹣1，不成立C.取x=π，y=﹣π，不成立；D.由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D.【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.6.（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.2B.4C.2D.4【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D.【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题.7.（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人.故选：C.【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题.8.（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx.若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A.（0，）B.（，1）C.（1，2）D.（2，+∞）【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围.【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：KOA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B.【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题.9.（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A.5B.4C.D.2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0.a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案.【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）.化目标函数为直线方程得：（b＞0）.由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小.∴2a+b=2.即2a+b﹣2=0.则a2+b2的最小值为.故选：B.【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题.10.（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程. 【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0.故选：A.【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查.二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为 3 .【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可.【解答】解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3.故答案为：3.【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力.12.（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC的面积为AB•AC•sinA，计算求得结果.【解答】解：△ABC中，∵•=AB•AC•cosA=tanA，∴当A=时，有AB•AC•=，解得AB•AC=，△ABC的面积为AB•AC•sinA=××=，故答案为：.【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题.13.（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=.【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比.【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==.故答案为：.【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题.14.（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为 2 .【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值.【解答】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，所以Tr+1==，令12﹣3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号.a2+b2的最小值为：2.故答案为：2.【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查.15.（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f （x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h （x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称.若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞） .【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论.【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键.三、解答题（共6小题，满分75分）16.（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）.（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间. 【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x.令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得.解得 m=，n=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）.将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2.y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x.令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ，故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z.【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题.17.（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点.（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.【分析】（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.【解答】解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，又M为AB的中点，∴AM=1.∴CD∥AM，CD=AM，∴AM C1D1，∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，∴C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴面D1C1M与ABC1D1共面，作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，∴CN=，在Rt△D1CN中，CD1=，CN=，∴D1N=∴cos∠D1NC===解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），∴=（1，0，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，∴=（0，2，1）.显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos＜，＞|===，显然二面角为锐角，∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为.【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力.18.（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.【分析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ.【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）×=+=.（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=2）=×=；P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=4）=×+×=；P（ξ=6）=×=；故ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 6 P故ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大.19.（12分）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=.对n分类讨论“裂项求和”即可得出. 【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，∴Sn==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1.∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==.∴Tn=﹣++…+.当n为偶数时，Tn=﹣++…+﹣=1﹣=.当n为奇数时，Tn=﹣++…﹣+=1+=.∴Tn=.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题.21.（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ）利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值.【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，A（3，），F（，0），，∴.∵△ADF为正三角形，∴.又∵，∴，∴p=2.∴C的方程为y2=4x.当D在焦点F的左侧时，.又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，∵△ADF为正三角形，∴3+=p﹣6，解得p=18，∴C的方程为y2=36x.此时点D在x轴负半轴，不成立，舍.∴C的方程为y2=4x.（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0），∴kAD=﹣.由直线l1∥l可设直线l1方程为，联立方程，消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）. 点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），即，∴，∴，∴，∴直线AE过定点（1，0）；（ⅱ）直线AB的方程为，即.联立方程，消去x得，∴，∴=，由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：=，∴△ABE的面积=，当且仅当y1=±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16.【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题.20.（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）. （Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围.【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点.【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣k（﹣）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴ex﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=ex﹣kx，x∈（0，+∞）.∵g′（x）=ex﹣k=ex﹣elnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=ex﹣k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想.是一道导数的综合应用题.属于中档题.高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。