二次函数综合(五)——特殊四边形
二次函数综合（五）
——特殊四边形
1、平行四边形存在性问题
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．
这道题第一问我们就不赘述，直接给出答案，我们重点分析二、三两问，第一问答案如下：
此时，我们发现C和E点坐标非常好求，这里也直接给出答案，C（1，-4）、E
的横坐标后表示出纵坐标，再用两者纵坐标的差的绝对值等于2即可，具体如下：
显然我们巧施绝对值，可以避免讨论的问题，在解决动点问题，有巧妙的好处，我们继续思考，我们刚才说平行四边形的性质常用两条，除了对边平行且相等外，还有对角线互相平分，那么如何用对角线互相平分呢？我们只需利用平行四边形相对的顶点的纵坐标之和相等即可，当然我们这里不知道C和M是相对的顶点呢？还是C和N，故需分类讨论，但无需画图即可完成，具体过程如下：
现在我们继续分析第三问，面积最值问题，常见思路也是两个，一是平行线法+判别式法（作已知直线的平行线与二次函数相切）；二是铅垂法+函数法，我们先来看方法一，具体过程如下：
此时我们虽然求出了三角形APB的最大面积，可是P点坐标如何求？其实在前面求b的过程已知判别式为0，解一元二次方程就是小儿科的问题，具体求P点坐标过程如下:
至此本题已大功告成，回顾本题，我们用到了相切，这是我们解决最值问题的一有利武器，二是用到了平行线等面积转化，其实我们初中图形的变换就是三+一，三是平移，旋转，翻折，一是等面积变换，前三者都不改变的图形的形状与大小，只改变图形的位置，而后者是改变图形的形状，不改变图形的面积，其实本质都是改变图形或点不理想的位置.这是我们解决几何问题的法宝，我们应该好好琢磨.
那么我们再来看方法二，要用铅垂高公式来求，这里因为三角形APB的水平宽已知为3，其实就是求铅垂高的最大值，故过点P做y轴的平行线与AB相交即可，具体过程如下：
做完第二种解法后，我们明显感觉到第二种解法比第一种解法简单，故我们在平时学习训练中，要多总结一些二级结论对我们解题代来很多好处，如我们这里的铅垂高公式掌握了，我们解这样的面积问题就是探囊取物一般.
平行四边形存在性问题：。
初中数学丨二次函数的动点问题总结例题解析，两个问题一次解决
初中数学丨二次函数的动点问题总结例题解析，两个问题一次解决动点问题一直是初中热点，近几年往往考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
今天老师针对初中数学的二次函数及动点问题整理了这篇文章，并通过中考真题的详细讲解让同学们掌握所有知识点。
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动点问题题型方法归纳总结动态几何特点——问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）共同点：1.特殊四边形为背景2.点动带线动得出动三角形；3.探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；4.求直线、抛物线解析式；5.探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。
代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用 t 表示，在讨论分析R t△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接用 t 表示，进行分组讨论即可计算。
点评：此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1,2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的事在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的 t 值与题目中的0＜t＜1矛盾，应舍去点评：这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
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中考数学解答题压轴题突破 重难点突破八 二次函数与几何综合题 类型四：二次函数与特殊四边形问题
同Ⅰ)可得 NG＝FM＝3，OF＝t－3，
∵∠OFB＝∠FPM，
∴tan ∠OFB＝tan ∠FPM，
OB FM 4
3
∴OF＝PM，即t－3＝－21t2＋t＋4，
1＋ 201 1－ 201 解得 t1＝ 4 ，t2＝ 4 (舍)，
∴F
2014－11，0.
综上，点 F 的坐标为(2，0)或
形问题
[眉山：2022T26；泸州：2022T23；达州：2021T25(3)； 凉山州：2021T28；绵阳：2020T24；德阳：2020T25]
4．(2022·眉山第 26 题 12 分)在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2－ 4x＋c 与 x 轴交于点 A，B(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，且点 A 的坐标为(－5，0)． (1)求点 C 的坐标； (2)如图①，若点 P 是第二象限内抛物线上一动点，求点 P 到直线 AC 距 离的最大值；
解：(1)由二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与 x 轴相交于点 A(－1，0)和
点 B(3，0)，得 1－b＋c＝0， 9＋3b＋c＝0，
b＝－2， 解得c＝－3.
(2)①∵点 P(m，n)在抛物线 y＝x2－2x－3 上， ∴P(m，m2－2m－3)， ∵过点 P 作 x 轴的垂线交直线 l：y＝x 于点 Q， ∴Q(m，m)，∴PQ＝－m－232＋241，
(2)过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，过点 P 作 PF⊥x 轴交 AC 于点 H，如图①. ∵A(－5，0)，C(0，5)，∴OA＝OC， ∴△AOC 是等腰直角三角形，∴∠CAO＝45°， ∵PF⊥x 轴，∴∠AHF＝45°＝∠PHE， ∴△PHE 是等腰直角三角形，
PH ∴PE＝ 2，∴当 PH 最大时，PE 最大，
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破七 二次函数综合题 类型四：二次函数与特殊四边形问题
Ⅰ)如答图①，连接AC，分别过点A，B作对边的平行线交于 点F. 在▱ ACBF中，∵C(0，－5)向右平移1个单位长度，再向上平 移5个单位长度得到A(1，0)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(6，5)；
解：设点Q的坐标为(a，b)，过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM 于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K， ∴△BMQ≌△QNF≌△EKB， ∴NF＝KB＝MQ＝|a＋2|，QN＝EK＝BM＝|b|， ∴点F的坐标为 (a－b，a＋b＋2)， 点E的坐标为 (－2－b，a＋2)，
Ⅱ)如答图②，分别过点A，C作BC，AB的平行线交于点 F，在▱ ABCF中，∵B(5，0)向左平移5个单位长度，再向 下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴A(1，0)按照相同的平移方式得到F(－4，－5)；
Ⅲ)如答图③，连接AC，分别过点B，C作对边的平行线交 于点F.在▱ ACFB中，∵A(1，0)向左平移1个单位长度，再 向下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(4，－5)； 综上所述，满足条件的点F分别为(6，5)，(－4，－5)或 (4，－5)．
(1)求抛物线的函数解析式； (2)把抛物线 y＝x2＋bx＋c 平移，使得新抛物线的顶点 为点 P(2，－4)．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对 称轴上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点 的四边形是平行四边形的点 M 的坐标，并把求其中一个 点 M 的坐标的过程写出来．
解：(1)该抛物线的函数解析式为y＝x2－72x－1. (2)满足条件的点M的坐标为 (2，－4)，(6，12)，(－2，12)． 由题意可知，平移后抛物线的函数解析式为 y＝x2－4x， 对称轴为直线x＝2，如答图．
【中考数学几何模型】第二十二节：二次函数特殊平行四边形存在性问题
中考数学几何模型第二十二节:二次函数特殊平行四边形存在性问题422.二次函数正方形存在性问题(初三)在平面直角坐标系中,抛物线y =―13x 2+bx +c 交x 轴于A(―3,0),B(4,0)两点,交y 轴于点C .(1)求抛物线的表达式,(2)如图,直线y =34x +94与抛物线交于A,D 两点,与直线BC 交于点E .若M(m,0)是线段AB 上的动点,过点M 作x 轴的垂线,交抛物线于点F ,交直线AD 于点G ,交直线BC 于点H .①当点F 在直线AD 上方的抛物线上,且S △EFG =59S △OFG 时,求m 的值;②在平面内是否存在点P ,使四边形EFHP 为正方形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.423.二次函数面积最大值矩形存在性问题(初三)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+2x +c(a ≠0)与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,连接BC,OA =1,对称轴为直线x =2,点D 为此拋物线的顶点.(1)求抛物线的解析式(2)抛物线上C 、D 两点之间的距离是_______(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点,连接BE 和CE ,求△BCE 面积的最大值;(4)点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q 的坐标.424.二次函数线段最大值相等角矩形存在性问题(初三)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0),点B(―3,0),且0O=OC.(1)求抛物线的解析式(2)点P在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点P的坐标;(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E.①求DE的最大值②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.425.二次函数菱形存在性三角形相似存在性问题(初三)如图,已知直线y=―2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x 轴于点C,交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y=―2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.①求点M、N的坐标;②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.426.二次函数菱形存在性问题(初三)如图,抛物线y=x2+2x―8与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标(2)连接AC,直线x=m(―4<m<0)与该抛物线交于点E,与AC交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;(3)点M在y轴上，点N在直线AC上,点P为拋物线对称轴上一点,是否存在点M,使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.427.二次函数菱形存在性问题三角形面积相等问题(初三)x2+2x―6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.如图,抛物线y=12(1)求A、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式.(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点,过点P作BC的平行线1,交线段AC于点D.①试探究:在直线1上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由;②设抛物线的对称轴与直线1交于点M,与直线AC交于点N.当S△DWN=S△AOC时,请直接写出DM的长.428.二次函数三角形面积最大值菱形存在性问题(初三)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边BC在x轴上,∠ABC=90∘,以A为顶点的抛物线y=―x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线解析式;(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB 交AC于点D,过点D平行于y轴的直线1交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,EC为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.429.二次函数菱形存在性问题(初三)已知抛物线F:y=x2+bx+c的图象经过坐标原点0,且与x轴另一交点为(―33,0).(1)求抛物线F的解析式.x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限)，求y2―y1的(2)如图1,直线1:y=33值(用含m的式子表示);,设点A′是点A关于原点0的对称点,如图2.(3)在(2)中,若m=43①判断△AA′B的形状,并说明理由;②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.430.二次函数线段最大值菱形存在性问题(初三)如图,二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A(―3,0),B(1,0),交y 轴于点C .点P(m,0)是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N .(1)求这个二次函数的表达式:(2)①若点P 仅在线段A0上运动，如图，求线段MN 的最大值;②若点P 在x 轴上运动,则在y 轴上是否存在点Q ,使以M,N,C,Q 为顶点的四边形为菱形.若存在,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.431.二次函数菱形存在性问题(初三)如图,一次函数y =33x ―3图象与坐标轴交于点A 、B ,二次函数y =33x 2+bx +c 图象过A 、B 两点.(1)求二次函数解析式(2)点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q ,使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.答案422【解】(1)∵抛物线y =―13x 2+bx +c 交x 轴于A(―3,0),B(4,0)两点,∴y =―13(x +3)(x ―4)=―13x 2+13x +4;(2)①如图1,∵B(4,0),C(0,4),∴设BC 的解析式为:y =kx +n,则{4k +n =0n =4,解得{k =―1n =4∴BC 的解析式为:y =―x +4,∴―x +4=34x +94,解得:x =1,∴E(1,3),∵M(m,0),且MH ⊥x 轴,∴G (m,34m +94),F (m,―13m 2+13m +4),∴FG =―13m 2+13m +4―(34m +94)=―13m 2―512m +74∵S △EFG =59S △OEG ,△EFG 和△OEG 的水平宽度相同,∴FG =59ON,∴―13m 2―512m +74=59×94解得:m 1=34,m 2=―2;②存在,由①知:E(1,3),且∠CBM =45∘∴过点E 作AB 的平行线,与抛物线的交点就是正方形EFHP 的顶点F.∴FH =EF,∠EFH =∠FHP =∠HPE =90∘,∵M(m,0),且MH ⊥x 轴,∴H(m,―m +4),F (m,―13m 2+13m +4),分两种情况:第一种情况:当―3⩽m <1时,如图1,点F 在EP 的左侧∴FH =(―m +4)―(―13m 2+13m +4)=13m 2―43m,∴13m 2―43m =1―m,解得:m 1=1+132(舍),m 2=1―132,∴H(1―132,7+132),∴P (1,7+132),第二种情况:当1<m <4时,点F 在PE 的右边,如图2,同理得―13m 2+43m =m ―1,解得:m 1=1+132,m 2=1―132(舍)，同理得P (1,7―132);综上,点P 的坐标为:(1,7+132)或(1,7―132).423【解】(1)∵OA =1,∴A(―1,0),又∵对称轴为x =2,∴B(5,0),将A,B 代入解析式得:{0=a ―2+c0=25a +10+c ,解得{a =―12c =52,∴y =―12x 2+2x +52(2)由(1)得:C (0,52),D (2,92),∴由两点距离公式可得:CD =22,故答案为22;(3)∵B(5,0),C (0,52),∴直线BC 的解析式为:y =―12x +52,设E (x,―12x 2+2x +52),且0<x <5,如图,作EF ⊥x 轴交BC 于点F,则F (x,―12x +52),∴EF =―12x 2+2x +52―(―12x +52)=―12x 2+52x,S △BCE =12×EF ×BO =12×(―12x 2+52x )×5=―54(x ―52)2+12516当x =52时,S △BCE 有最大值为12516;(4).设P(2,y),Q(m,n),由(1)知B(5,0),C (0,52),分三种情况讨论:①若BC 为矩形的对角线,由中点坐标公式得:{5+0=2+m 0+52=y +n ,解得:{m =3n =52―y ,又∵∠BPC =90∘,∴PC 2+PB 2=BC 2,即:22+(52―y )2+32+y 2=52+(52)2,解得y =4或y =―32,∴n =―32或n =4,∴Q (3,―32)或Q(3,4)，②若BP 为矩形的对角线,由中点坐标公式得{5+2=0+m 0+y =52+n ,解得:{m =7n =y ―52,又∵∠BCP =90∘,BC 2+CP 2=BP 2即:52+(52)2+22+(52―y )2=32+y 2,解得y =132,∴Q(7,4),③若BQ 为矩形的对角线,由中点坐标公式得:{5+m =2+00+n =y +52,解得:{m =―3n =y +52,又∵∠BCQ =90∘,∴BC 2+CQ 2=BQ 2,即:52+(52)2+m 2+(52―n )2=(5―m)2+n 2,解得n =―72,∴Q (―3,―72),综上,点Q 的坐标为(3,―32)或(3,4),或(7,4)或(―3,―72).解法二,也可以构造利用一线三等角三角形相似来解决。
二次函数的压轴(特殊四边形存在问题)
特殊四边形的存在、探究问题【典例精讲】一：平行四边形1、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）2与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．例1.已知抛物线b-=2+axaxy+⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.练习1.已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ；(2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.第（2）题备用图2、如图，一次函数221+-=x y 分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，抛物线y=﹣x 2+bx+c 过A 、B 两点。
（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标。
3．如图，抛物线y=x 2﹣2x+c 的顶点A 在直线l ：y=x ﹣5上． （1）求抛物线顶点A 的坐标；（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状； （3）在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例1．已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a=++>与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B 点左侧。
专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法(原卷版)(人教版)
专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法类型一、平行四边形存在性问题例．已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)如图2，设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ，在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），直线y x m =+与抛物线交于A 、C 两点．(1)求点C 的坐标；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点P 作y 轴平行线交AC 于E 点，当EP 最长时求此时点P 的坐标；(3)抛物线顶点为M ，在平面内是否存在点N ，使以,,,A B M N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N 点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA PC+值最小，求最小值；(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练3】综合与实践如图，抛物线23y ax x c=++与x轴交于A，B两点（点A在点(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．类型二、菱形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，抛物线23y ax bx =++交x 轴于点()30A ，和点(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是直线AC 上方拋物线上一动点，连接BC ，AD ADM △的面积为1S ，BCM 的面积为2S ，当121S S -=时，求点(3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴交直线上是否存在点E ，使以P ，Q ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由(1)求ABC 的面积；(2)点P 为直线AC 上方抛物线上的任意一点，过点P 作PD y ∥轴交直线22PD CD +的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点与平移后的抛物线的交点，点M 为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点的一点，直接写出所有使得以点B E M N 、、、为顶点的四边形是菱形的点求其中一个点N 的坐标的求解过程写出来．类型三、矩形存在性问题例．已知抛物线()240y ax bx a =+-≠交x 轴于点()4,0A 和点()2,0B -，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线AC 下方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标及PD PE +最大值．(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点且AC 为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M 、N 的坐标，不存在，请说明理由．(1)求点A、B、C的坐标；(2)将抛物线L向右平移1个单位，得到新抛物线对称轴l上是否存在点D，使得以点D的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的表达式；的面积为S，求S (2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设PBC坐标；(3)已知M是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N，使以B的四边形是矩形？若存在，直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．类型四、正方形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过,A B 两点，P 是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P 满足PAB PBA ∠=∠，求点P 的坐标；(3)设M 是抛物线的对称轴上一点，N 是坐标平面内一点，若四边形AMPN 是正方形，求此正方形的面积．【变式训练1】如图，二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．连接BC ．点P 是抛物线第一象限内的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ．交BC 于点E ．过点P 作BC 的平行线，交y 轴于点M ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；(2)在点P 的运动过程中，求使四边形CEPM 为菱形时，m 的值；(3)点N 为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM 上是否存在点Q 使得以P ，E ，Q ，N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH 点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点标．课后训练1．如图1，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 、Q 为直线BC 下方抛物线上的两点，点Q 的横坐标比点P 的横坐标大1，过点P 作PM y ∥轴交BC 于点M ，过点Q 作QN y ∥轴交BC 于点N ，求PM QN +的最大值及此时点Q 的坐标；(3)如图3，将抛物线()230y ax bx a =+-≠先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y '，在y '的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E ，使得以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D为直线y x=上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC点P的坐标；(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．(1)求出抛物线与直线的解析式；(2)已知点K为线段AD上一动点，过点求AHD的最大面积；(3)若点M是x轴上的一动点，点N的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点4．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点(1,0)-，(3,0)和()0,3．(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当AN MN +有最大值时，求出抛物线上点M 的坐标；(3)若点P 为抛物线2y ax bx c =++（0a ≠））的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点，在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A ，P ，Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．。
专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题(解析版)
模型介绍要求证平行四边形的存在，得先了解平行四边形的性质：（1）对应边平行且相等.（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：A B D C AB DC x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：2222A CB D AC B Dx x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，可以理解为AC 的中点也是BD的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D B A B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩，2222A CB D AC B Dx x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩．当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得：（1）BC 为对角线时，531352m n +=+⎧⎨+=⎩，可得()17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得()21,4D -；（3）AB 为对角线时，153235m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得()33,0D ．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：1=D B C A +-，2=D A C B +-，3D A B C =+-．（此处特指点的横纵坐标相加减）2.两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）．（1）当AB 为对角线时，130120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式：A C B D AC BD x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．例题精讲考点一：二次函数背景下的平行四边形存在性问题【例1】．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +6与x 轴交于A （2，0），B （﹣6，0）两点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以B、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A（2，0），B（﹣6，0）代入抛物线y＝ax2+bx+6得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+6；（2）存在点P，使得以B、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵y＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+2）2+8，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，在y＝﹣x2﹣2x+6中，令x＝0得y＝6，∴C（0，6），设P（m，﹣m2﹣2m+6），Q（﹣2，t），又B（﹣6，0），①以CP，QB为对角线，则CP，QB的中点重合，∴，解得，∴P（﹣8，﹣10）；②以CQ，PB为对角线，则CQ，PB中点重合，∴，解得，∴P（4，﹣10）；③以CB，PQ为对角线，则CB，PQ中点重合，∴，解得，∴P（（﹣4，6）；综上所述，点P的坐标为（﹣4，6）或（﹣8，﹣10）或（4，﹣10）．变式训练【变1-1】．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是经过（1，0）且与y轴平行的直线，点P是抛物线上的一点，点Q是y轴上一点；（1）求抛物线的函数关系式；（2）若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；（3）若tan∠PCB＝，求点P的坐标．解：（1）当y＝0时，（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3＝0，解得x1＝，x2＝3，即A（，0）B（3，0），由A，B关于x＝1对称，得＝﹣1，解得m＝2，即A（﹣1，0），函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）由四边形ABPQ是平行四边形，得PQ∥AB，PQ＝AB＝4，当PQ＝4，即x＝4时，y＝5，即P（4，5）；当x＝﹣4时，y＝21，即P（﹣4，21），AB为对角线，A（﹣1，0），B（3，0），设P（a，a2﹣2a﹣3），Q（0，n），则，解得，P（2，﹣3）．综上所述：四边形ABPQ是平行四边形P（4，5），（﹣4，21），（2，﹣3）；（3）如图，过P作PQ⊥x轴于Q，交CB延长线于R，过P作PH⊥BC于H，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，∴x＝0，则y＝﹣3；y＝0，则0＝x2﹣4x+3，解得：x1＝﹣1，x2＝3，故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BC解析式：y＝x﹣3，∴R（m，m﹣3），PR＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2﹣3m，∵OB＝OC＝3，∴∠CBQ＝135°，∴∠HPR＝45°，∵CO＝OB，∴∠OCR＝45°，∴CR＝OQ＝m，∴PH＝RH＝PR÷＝m（m﹣3），又∵CR＝OQ＝m，∴CH＝m+m（m﹣3）＝m（m﹣1）由tan∠PCB＝＝＝，解得：m＝5，则m2﹣2m﹣3＝12，故P（5，12）．当点P在直线BC的下方时，同法可得：＝，解得m＝或0（舍弃），∴P（，﹣），综上所述，满足条件点P坐标为（5，12）或（，﹣）．考点二：二次函数背景下的菱形存在性问题【例2】．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．∵AP＝BP，∴△PBC周长的最小值是AC+BC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），∴AC＝3，BC＝．∴△PBC周长的最小值是：3+．抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∴P（1，2）；（3）存在．设P（1，t），Q（m，n）∵A（3，0），C（0，3），则AC2＝32+32＝18，AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，∵四边形ACPQ是菱形，∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图2，∴t2﹣6t+10＝18，解得：t＝3±，∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），∵四边形ACPQ是菱形，∴AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，当P1（1，3﹣）时，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝﹣，∴Q1（4，﹣），当P2（1，3+）时，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝，∴Q2（4，），②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图3，∴t2﹣6t+10＝t2+4，解得：t＝1，∴P3（1，1），∵四边形APCQ是菱形，∴AC与PQ互相垂直平分，即AC与CQ中点重合，∴＝，＝，解得：m＝2，n＝2，∴Q3（2，2），③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图4，∴t2+4＝18，解得：t＝±，∴P4（1，），P5（1，﹣），∵四边形ACQP是菱形，∴AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，∴＝，＝，解得：m＝﹣2，n＝3，∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣），综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为（﹣3，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵点C的坐标为（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，则点F的坐标为（m，m2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4即y＝（m﹣）2+，此时点E的坐标为（，）；（3）点G的坐标为（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG垂直平分CD∴点E的纵坐标y＝＝1，将y＝1代入y＝x+3，得x＝﹣2．∵EG关于y轴对称，∴点G的坐标为（2，1）；②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG设点E的坐标为（n，n+3），点D的坐标为（0，3）∴DE＝＝∵DE＝DC＝4，∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．∴点E的坐标为（﹣2，﹣2+3）或（2，2+3）将点E向下平移4个单位长度可得点G，点G的坐标为（﹣2，﹣2﹣1）（如图2）或（2，2﹣1）（如图3）③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD于点E，设点E的坐标为（k，k+3），点C的坐标为（0，﹣1）．∴EC＝＝．∵EC＝CD＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0（舍去），k2＝﹣4．∴点E的坐标为（﹣4，﹣1）将点E上移4个单位长度得点G．∴点G的坐标为（﹣4，3）．综上所述，点G的坐标为（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．考点三：二次函数背景下的矩形存在性问题【例3】．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．解：（1）∵OA＝1，∴A（﹣1，0），又∵对称轴为x＝2，∴B（5，0），将A，B代入解析式得：，解得，∴，自变量x为全体实数；（2）由（1）得：C（0，），D（2，），∴CD＝，故答案为2；（3）∵B（5，0），C（0，），∴直线BC的解析式为：，设E（x，），且0＜x＜5，作EF∥y轴交BC于点F，则F（x，），∴EF＝﹣（）＝，∴，有最大值为；当x＝时，S△BCE（4）设P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC为矩形的对角线，由中点坐标公式得：，解得：，又∵∠BPC＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，即：，解得y＝4或y＝﹣，∴n＝或n＝4，∴Q（3，）或Q（3，4），若BP为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得，又∵∠BCP＝90°，BC2+CP2＝BP2，即：，解得y＝，∴Q（7，4），若BQ为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：，又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，即：，解得n＝，∴Q（﹣3，﹣），综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．变式训练【变3-1】．如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K 为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，＝×5×4＝10；∴S△ABC（2）存在，理由如下：＝10，∵四边形ABPC的面积为18，S△ABC∴△BCP的面积为8，设直线BC的解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入，得k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，过P点作PM⊥x轴，交BC于点M，设P（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t+4），＝×4×PM＝2（﹣t2+3t+4+t﹣4）＝2（﹣t2+4t）＝8，∴S△BCP∴t＝2，∴P（2，6）；（3）存在，理由如下：设Q（m，﹣m2+3m+4），当m＞0时，如图1，∵矩形是以BC为边，∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，∵CQ＝BK，∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCQ＝∠GBK＝45°，∴△CHQ≌△BGK（AAS），∴HC＝HQ＝BG＝GK，∴m＝﹣m2+3m+4﹣4，∴m＝2或m＝0（舍），∴HQ＝2，∴K（6，2）；当m＜0时，如图2，∵矩形是以BC为边，∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，∵∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠OBH＝∠OHB＝45°，∠FCO＝∠CFO＝45°，∴OF＝OC＝OB＝OH＝4，∠HQG＝∠EFK＝45°，∵KC＝BQ，CF＝HB，∴FK＝QH，∴△QHG≌△KFE（AAS），∴QG＝HG＝EF＝EK，∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），∴m＝﹣2或m＝4（舍），∴GQ＝2，∴K（﹣6，﹣2）；综上所述，K点的坐标为（﹣6，﹣2）或（6，2）．考点四：二次函数背景下的正方形存在性问题【例4】．已知O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），有点C（﹣2，6）．（1）求A，B两点的坐标．（2）若点D（1，﹣3），点E在线段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延长ED交y轴于点F，求△EFO的面积．（3）若M在直线AC上，点Q在抛物线上，是否存在点M和点N，使以Q，M，N，A 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出M点的坐标．若不存在，请说明理由．解：（1）令x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∵A（4，0），B（﹣1，0）；（2）过点B作BG⊥AC，过点E作EH⊥OA，设E（m，0），∵C（﹣2，6），D（1，﹣3），AC＝6，AD＝3，BC＝，由△ABC的面积可得，5×6＝6BG，∴BG＝，由△ADE的面积可得，3|4﹣m|＝3EH，∴EH＝|4﹣m|，∵∠ACB＝∠ADE∴＝，∴＝，∴2m2﹣41m+57＝0，∴m＝或m＝19，∵点E在线段OA上，∴E（，0），则ED的直线解析式为y＝6x﹣9，∴F（0，﹣9），∴△EFO的面积＝×OE×OF＝××9＝；（3）直线AC的解析式为y＝﹣x+4，∴∠CAO＝45°，设M（t，﹣t+4），如图1：当AC为正方形QAMN边时，M点与N点关于x轴对称，∴N（t，t﹣4），∴M、N的中点为（t，0），∴A、Q中点也为（t，0），∴Q（2t﹣4，0），∵点Q在抛物线上，∴2t﹣4＝﹣1，∴t＝，∴M（，）；如图2：当M、Q关于x轴对称时，M（0，4），此时Q（0，﹣4）在抛物线上；如图3：当Q（0，﹣4）时，M（8，﹣4）；如图4：当Q（﹣1，0）时，M（﹣1，5）；综上所述：M（，）或M（0，4）或M（8，﹣4）或M（﹣1，5）．变式训练【变4-1】．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q 的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，连接BC，CD．由题意，C（0，3），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，当∠Q′BC＝90′时，∠ABQ′＝45°，∴EB＝EQ′＝2，∴Q′（1，﹣2），当∠QCB＝90°时，此时点Q与点D重合，Q（1，4），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，4）或（1，﹣2）．（3）如图2中，设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|，当2﹣a＝﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1＝0，解得，a＝，当2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5＝0，解得，a＝，∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．1．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点，连接AC，过点P作PE∥y 轴，与AC交于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）当PC∥AB时，求点P的坐标；（3）用含x的代数式表示PE的长，并求出当PE的长取最大值时对应的点P的坐标；（4）在（3）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OA＝2OC＝8OB，∴OA＝8，OB＝1，∴A（﹣8，0），B（1，0），将A、B代入y＝ax2+bx﹣4，得，∴，∴y＝x2+x﹣4；（2）当PC∥AB时，P点的纵坐标为﹣4，∴x2+x﹣4＝﹣4，∴x＝0或x＝﹣7，∵P点在第三象限，∴P（﹣7，﹣4）；（3）设AC的直线解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣4，设P（x，x2+x﹣4），则E（x，﹣x﹣4），∴PE＝﹣x﹣4﹣（x2+x﹣4）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+4）2+8，∴当x＝﹣4时，PE有最大值8，此时P（﹣4，﹣10）；（4）存在点Q，使得以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设Q（m，n），①当AC为对角线时，AC的中点为（﹣4，﹣2），PQ的中点为（，），∴﹣4＝，﹣2＝，∴m＝﹣4，n＝6，∴Q（﹣4，6）；②当AP为对角线时，AP的中点为（﹣6，﹣5），CQ的中点为（，），∴﹣6＝，﹣5＝，∴m＝﹣12，n＝﹣6，∴Q（﹣12，﹣6）；③当AQ为对角线时，AQ的中点为（，），CP的中点为（﹣2，﹣7），∴＝﹣2，＝﹣7，∴m＝4，n＝﹣14，∴Q（4，﹣14）；综上所述：以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q点坐标为（﹣4，6）或（﹣12，﹣6）或（4，﹣14）．2．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），∴A（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝12+32＝10，AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，①当AC＝AN时，AC2＝AN2，∴10＝2t2﹣4t+10，解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（2，1）；②当AC＝CN时，AC2＝CN2，∴10＝2t2，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（，3﹣）；③当AN＝CN时，AN2＝CN2，∴2t2﹣4t+10＝2t2，解得t＝，∴点N的坐标为（，）；综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）；（3）设E（1，a），F（m，n，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，解得：a＝，或a＝，∴E（1，）或（1，），∵B（3，0），C（0，3），∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，∴m＝2，n＝或n＝，∴点F的坐标为（2，）或（2，）；②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，解得：a＝4或a＝﹣2，∴E（1，4）或（1，﹣2），∵B（3，0），C（0，3），∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4，0），B（4，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数解析式；（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．解：（1）由题意把点A（﹣4，0），B（4，0），代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线C的函数解析式为：y＝﹣x2+8；（2）如图1，由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣8），设抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2m）2﹣8，由，消去y得到：，∵抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，∴，解得：，∴满足条件的m的取值范围为：4＜m＜4；（3）结论：四边形PMP'N能成为正方形．理由：情形1，如图2，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（4，4），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP'N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，∵∠PEF＝∠FHM＝90°，∴∠PFE+∠FPE＝90°，∠PFE+∠MFH＝90°，在△PFE和△FMH中，∴，∴△PFE≌△FMH（AAS），∴PE＝FH＝4，EF＝HM＝4﹣m，∴M（m+4，m﹣4），∵点M在y＝﹣x2+8上，∴m﹣4＝﹣（m+4）2+8，解得或（舍），∴m＝﹣6+2时，四边形PMP'N是正方形．情形2，如图，四边形PMP′是正方形，同法可得M（m﹣4，4﹣m），把M（m﹣4，4﹣m）代入y＝﹣x2+8中，4﹣m＝﹣（m﹣4）2+8，解得m＝12或m＝0（舍去），∴m＝12时，四边形PMP′N是正方形．综上，四边形PMP′N能成为正方形，m＝﹣6+2或12．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线AD下方抛物线上一动点，连接FA，FD，求△FAD面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点F的对应点，点P为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点Q，使得以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得，∴，∴y＝x2﹣3x﹣4，（2）当x＝0时，y＝﹣4，∴点C（0，﹣4），∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x＝，∴D（3，﹣4），∵A（﹣1，0），∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，设F（m，m2﹣3m﹣4），作FH∥y轴交直线AD于H，∴H（m，﹣m﹣1），∴FH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+2m+3，＝S△AFH+S△DFH＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，∴S△AFD最大为8，当m＝﹣＝1时，S△AFD（3）∵直线AD与x轴正方向夹角为45°，∴沿AD方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵F（1，﹣6），∴E（5，﹣10），抛物线y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，当DE为平行四边形的边时：若D平移到对称轴上F点，则Q的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴Q（，﹣），若E平移到对称轴上F点，则Q的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，∴Q（，﹣），若DE为平行四边形的对角线时，若E平移到对称轴上F点，则Q平移到D点，∴Q的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴Q（，﹣），∴Q（）或Q（）或Q（）．6．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+mx+4经过点A，且与x轴的另一个交点为点B．连接BC，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠BCO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点P为第一象限内的抛物线上一点，若以点C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4，则点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得：m＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…①，令y＝0，则x＝﹣1或4，故点B（﹣1，0）；（2）①当点E在CD上方时，tan∠BCO＝＝，则直线CE的表达式为：y＝x+4…②，联立①②并解得：x＝0或（舍去0），则点E（，）；②当点E在CD下方时，同理可得：点E′（，）；故点E的坐标为E（，）或（，）；（3）①如图2，当CM为菱形的一条边时，过点P作PQ∥x轴，∵OA＝OC＝4，∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，设点P（x，﹣x2+3x+4），则PM＝PQ＝x，C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，则PM＝PN，即：x＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4），解得：x＝0或4﹣（舍去0），故菱形边长为x＝4﹣2；②如图3，当CM为菱形的对角线时，同理可得：菱形边长为2；故：菱形边长为4﹣2或2．7．如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．解：（1）将点A（1，﹣4）代入直线y＝2x+n得，2+n＝﹣4，∴n＝﹣6，∴直线y＝2x﹣6，当y＝0时，代入直线得：0＝2x﹣6，解得：x＝3，∴点B坐标（3，0），设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点B代入抛物线得，0＝4a﹣4，解得：a＝1，∴抛物线表达式y＝（x﹣1）2﹣4；（2）当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：①如图，当AB为边时，设点M（0，m），已知点A（1，﹣4），点B（3，0）∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，解得m＝﹣，即点M的坐标（0，﹣），延长BN交y轴于点M′，作AG⊥y轴于G，BH⊥GA交GA的延长线于点H．由△BOM′∽△BHA，可得＝，∴＝，∴OM′＝，∴M′（0，），②如图，当AB为对角线时，取线段AB的中点P，作辅助圆⊙P，与y轴交于点M1，M2，作PG⊥y轴于点G，点P坐标（，），即（2，﹣2），由①可得线段AB＝＝2，∴⊙P半径，在Rt△PM1G中，PM1＝，PG＝2，M1G＝＝1，根据垂径定理可得，M2G＝1，∴点M1坐标（0，﹣1），点M2坐标（0，﹣3）；综上所述，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，点M坐标为：（0，﹣）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）；（3）存在点Q的横坐标为﹣2或，使∠BAQ＝45°．理由如下：假设存在满足条件的点Q，如图，当四边形ADBC为正方形，且点Q1，Q2分别在直线AD和直线AC上时，∠BAQ＝45°，设过线段AB中点P，且与线段AB垂直的直线：y＝﹣+b，将点P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，解得b＝﹣1，∴直线为y＝﹣，设点C点坐标（n，﹣n﹣1），在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝2，sin45°＝，解得BD＝，∴BD＝＝，解得n1＝0，n2＝4，∴点C坐标（0，﹣1），点D坐标（4，﹣3），设直线AD表达式为：y＝qx+p，将点A（1，﹣4），点D（4，﹣3）代入得，，解得，∴直线AD的表达式为y＝﹣，同理可得直线AC的表达式为y＝﹣3x﹣1，联立直线AD与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4可得，﹣＝（x﹣1）2﹣4，解得x1＝1，x2＝，同理联立直线AC与抛物线可解得x3＝1，x4＝﹣2，∴点Q的横坐标为﹣2或．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、（结位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．果保留根号）解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y＝x+3，设与AB平行的直线解析式为y＝x+m，联立，消掉y得，x2+3x+m﹣3＝0，当△＝32﹣4×1×（m﹣3）＝0，即m＝时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x＝﹣，y＝﹣+＝，∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；②抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，在正方形APMN中，AP＝PM，∠APM＝90°，∴∠APF+∠FPM＝90°，∠QPM+∠FPM＝90°，∴∠APF＝∠QPM，∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS），∴PF＝PQ，设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ＝﹣1﹣n，即PF＝﹣1﹣n，∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3＝﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4＝0，解得n1＝（舍去），n2＝，﹣1﹣n＝﹣1﹣＝，所以，点P的坐标为（，）；（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，∵∠PAF+∠FPA＝90°，∠PAF+∠QAN＝90°，∴∠FPA＝∠QAN，又∵∠PFA＝∠AQN＝90°，PA＝AN，∴△APF≌△NAQ，∴PF＝AQ，设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），则有﹣x2﹣2x+3＝﹣1﹣（﹣3）＝2，解得x＝﹣1（不合题意，舍去）或x＝﹣﹣1，此时点P坐标为（﹣﹣1，2）．综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，点E为抛物线在直线AD下方的一个动点，连接AE、DE，问：△ADE的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值和点E的坐标．若不存在，请说明理由．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上一动点，若以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标（至少写两个）．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把点C（0，6）代入，∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣8x+6；（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴顶点M的坐标为（2，﹣2）∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，∴点N（2，2），设直线AN的解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，联立y＝2x2﹣8x+6得：，解得：，，∴点D（4，6），设△ADE的面积为S，点E（e，2e2﹣8e+6），过点E作EF⊥x轴交直线AD于点F，则点F坐标为（e，2e﹣2），∴EF＝（2e﹣2）﹣（2e2﹣8e+6）＝﹣2e2+10e﹣8，∴S＝•EF•|D x﹣A x|＝×3×（﹣2e2+10e﹣8）＝﹣3（e2﹣5e﹣4）＝，所以，当时，△ADE的面积，此时点E坐标为；（3）由（2）知，A（1，0），D（4，6），设Q（2，m），P（x，2x2﹣8x+6），①以AD为对角线时，∵以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴，解得：，∴P（3，0）；②以AP为对角线时，∵以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴，解得：，∴P（5，16）；③以AQ为对角线时，∵以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴，解得：，∴P（﹣1，16）；综上所述，当点P的坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．10．如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c 图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣），∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，∴，解得，∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）存在，理由如下：由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），∵C与B关于直线x＝1对称，∴C（2，﹣），①当BC、PQ为对角线时，如图：。
九年级数学下册第26章二次函数专题(五)二次函数与几何图形综合题作业课件新版华东师大版
a＝3(舍去)或
a
7 ＝3，
2
2
∴a 的值是7. 3
3．(2018·资阳)已知：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于点 A(0，6)、B(6，0)、C(－2，0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式； (2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E， 连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的
m1＝12 (舍去)，m2 ＝32，
此时 P 点坐标为(3，1)，∵PN＝ （1－3）2＋（3－1）2＝ 5，∴PN≠MN，∴平行四边形
2
22
MNPD 不为菱形，∴不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形．
(2)存在，理由如下：如图②，OB＝4，OA＝2，则 AB＝ 22＋42＝2 5，当 x＝1 时，y＝－2x
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．
解：(1)把 A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－5)代入 y＝ax2＋bx＋c，得
a－b＋c＝0，
a＝1，
25a＋5b＋c＝பைடு நூலகம்，解得 b＝－4，
c＝－5，
c＝－5，
∴y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，
D．－1 2
13．(2018·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋ bx(a>0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝
表达式为 y＝－x＋6，设 P(t，－1t2＋2t＋6)，其中 0＜t＜6，则 N(t，－t＋6)，∴PN＝PM 2
二次函数与四边形问题(经典)
二次函数------四边形1、（广东）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．2、（湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．3．（贵州遵义）如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． (1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．4.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．5.（湖北十堰）已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．A6、（福建莆田）已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与特殊的四边形
中考专题训练——二次函数与特殊的四边形1．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于A，B两点，AB＝4，与y轴交于C点，E为抛物线的顶点，∠ECO＝135°．（1）求二次函数的解析式；（2）若P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，且S△EAP＝3S△EMN，求点P的坐标；（3）过直线BC上两点P，Q（P在Q的左边）作y轴的平行线，分别交抛物线于N，M，若四边形PQMN 为菱形，求直线MN的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝12．（1）请用a的代数式表示C点坐标．（2）连接AC，BC，若△ABC的面积为10，求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，点P是直线y＝x+2上一点（位于x轴下方），点Q是反比例函数y＝kx（k＞0）图象上一点，若以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，则直接写出k的值（不需要写出计算过程）．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x﹣3经过B，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第四象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t．①求线段MN的长d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；②点Q是平面内一点，是否存在一点P，使以B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）M在抛物线上，线段MA绕点M顺时针旋转90°得MD，当点D在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标；（3）P在对称轴上，Q在抛物线上，以P，Q，B，C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系内，抛物线223=-++与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴y x x交于点B，顶点为D．点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）.△的周长最（1）点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当MQC △面积的最大值；小时，求CME（2）在（1）的条件下，当CME △的面积最大时，过点E 作EN x ⊥轴，垂足为N ，将线段CN 绕点C 顺时针旋转90°得到点N ，再将点N 向上平移16个单位长度.得到点P ，点G 在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H ，使点D ，P ，G ，H 构成菱形.若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由.6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 经过点（0，6），其对称轴为直线x =32．在x 轴上方作平行于x 轴的直线l 与抛物线交于A 、B 两点（点A 在对称轴的右侧），过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、C ．设A 点的横坐标为m ．（1）求此抛物线所对应的函数关系式．（2）当m 为何值时，矩形ABCD 为正方形．（3）当m 为何值时，矩形ABCD 的周长最大，并求出这个最大值．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线249y x bx c =-++经过点()5,0A -和点()10B ,．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PG y ⊥轴，交抛物线于点G ，过点G 作GF x ⊥轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；(3)如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上(不与A 、B 重合)，作DMN DBA ∠=∠，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得DMN ∆为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝x 2﹣2x +m （m ＞0）的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A ，与x 轴交于点B ，抛物线的图象与y 轴交于点C ，且OC ＝3OB ．（1）求点A 的坐标；（2）求直线AC 的表达式；（3）点E 是直线AC 上一动点，点F 在x 轴上方的平面内，且使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是菱形，直接写出点F 的坐标．9．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）； （3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）10．在平面直角坐标系中,抛物线C 1:y=x²+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点,A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3.0)，与y 轴交于C （0，-3）（1）求抛物线C 1的表达式；（2）分别写出抛物线C 1关于B 点，关于A 点的对称抛物线C 2， C 3的函数表达式（3）设C 1的顶点为D ，C 2与x 轴的另一个交点为A 1顶点为D 1，C 3与x 轴的另一个交点为B 1，顶点为D 2，在以A 、B 、D 、A 1、B 1、D 1、D 2这七个点中的四个点为顶点的四边形中，求面积最大的四边形的面积．11．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ，(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.12．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的边BC 在x 轴上，90ABC ∠=，以A 为顶点的抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)C ，交y 轴于点(0,3)E ，动点P 在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P 从A 点出发，沿A B →方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B 停止，设运动时间为t 秒，过点P 作PD AB ⊥交AC 于点D ，过点D 平行于y 轴的直线l 交抛物线于点Q ，连接,AQ CQ ，当t 为何值时，ACQ ∆的面积最大？最大值是多少？（3）若点M 是平面内的任意一点，在x 轴上方是否存在点P ，使得以点,,,P M E C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M 点坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.14．如图①，抛物线2y ax bx a b =+--与x 轴相交于()5,0A -、B 两点，过点A 的直线y x t =+与y 轴和抛物线相交于点C .（1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）点P 是抛物线上的一动点，当点P 在直线AC 的上方时，连接OP 、PC ，并把POC ∆沿着OC 翻折得到'P OC ∆，是否存在点P ，使得到四边形'POP C 为菱形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图②，动点E 在线段OA 上，过点E 作x 轴的垂线与AC 交于点M ，与拋物线交于点N ，试问：抛物线上是否存在点Q ，使EQN ∆与BEM ∆的面积相等时，线段NQ 的长度有最小值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.15．如图，已知抛物线1M ：22y ax x =-与直线y x =的一个交点记为A ，点A 的横坐标是3.将抛物线1M ：22y ax x =-向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线2M ，直线y x =与2M 的一个交点记为B ，点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .（1）求抛物线1M 的表达式及顶点坐标；（2）当点C 的横坐标为2时，直线y x n =+恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值； （3）在点C 的运动过程中，若直线y x n =+与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围. 16．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、C ，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点在直线4y x =-上，且横坐标为0，已知2OA =.（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，将抛物线沿直线4y x =-平移得到新抛物线，设新抛物线顶点的横坐标为m ，在平移过程中，若新抛物线与直线AB 有且只有一个公共点，求m 的值；（3）设新抛物线的顶点为P ，在平移的过程中，在y 轴上是否存在一点Q ，使得以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.17．如图，已知二次函数()31:430L y ax ax a a =-+>与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作直线//CD x 轴交抛物线1L 于一点D ，将抛物线1L 沿着直线CD 翻折，并向右平移m 个单位()0m ≥，得到抛物线2L ，抛物线2L 交直线CD 于E ，F 两点（E 在F 的左边），点M ，N 分别是1L ，2L 的顶点，连接CN ，NF ，FM ，MC 得到四边形CNFM.（1）当1a =，0m =时，直接写出抛物线2L 的解析式；（2）若点D ，E 是线段CF 三等分点，求m 的值；（3）在平移过程中，是否存在以点C ，N ，F ，M 为顶点的四边形是矩形的情形，若存在，求出m 应满足的关系式，若不存在，请说明理由.18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣12x 2﹣72x ﹣3交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C（1）求直线AC 的解析式；（2）点P 是直线AC 上方抛物线上的一动点（不与点A ，点C 重合），过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于点D ，求PD 的最大值；（3）将△BOC 沿直线BC 平移，点B 平移后的对应点为点B ′，点O 平移后的对应点为点O ′，点C 平移后的对应点为点C ′，点S 是坐标平面内一点，若以A ，C ，O ′，S 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点S 的坐标．19．已知抛物线23y ax bx =+-经过点(1,1)A -，(3,3)B -．把抛物线23y ax bx =+-与线段AB 围成的封闭图形记作G ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为图形G 中的抛物线上一点，且点P 的横坐标为m ，过点P 作//PQ y 轴，交线段AB 于点Q ．当APQ △为等腰直角三角形时，求m 的值；（3）点C是直线AB上一点，且点C的横坐标为n，以线段AC为边作正方形ACDE，且使正方形ACDE与图形G在直线AB的同侧，当D，E两点中只有一个点在图形G的内部时，请直接写出n的取值范围．20．如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为______；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是______；（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点，①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？。