等差数列与等比数列的类比课件
高一数学复习考点知识讲解课件58---等比数列的性质
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等比数列的性质 考点知识
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 导语
在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质．
一、由等比数列构造新等比数列
问题1结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？
提示
等差数列 等比数列
定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数2 / 20 列就叫作等比数列
符号表示 an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) anan－1＝q(n≥2，n∈N*)
通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1
类比 差⇒商；和⇒积，积⇒乘方
性
质 等差数列首项a1，公差d 等比数列首项a1，公比q
把等差数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以q公比的等比数列
等差数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公差为md的等差数列 等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公比为qm的等比数列
等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列
知识梳理
1．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
§5-2 等差数列与等比数列
§5－2 等差数列与等比数列
【知识要点】
1．熟练掌握等差数列、等比数列的定义：
an－an－1＝d(常数)(n≥2)数列{an}是等差数列；
qaann1(常数)(n≥2)数列{an}是等比数列；
由定义知：等差数列中的项an及公差d均可在R中取值，但等比数列中的项an及公比q均为非零实数．
应该注意到，等差数列、等比数列的定义是解决数列问题的基础，也是判断一个数列是等差数列、等比数列的唯一依据．
2．明确等差中项与等比中项的概念，并能运用之解决数列问题：
cbacab、、2成等差数列，b叫做a、c的等差中项，由此看出：任意两个实数都有等差中项，且等差中项唯一；
b2＝aca、b、c成等比数列，b叫做a、c的等比中项，由此看出：只有同号的两个实数才有等比中项，且等比中项不唯一；
3．灵活运用等差数列、等比数列的通项公式an及前n项和公式Sn：
等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d＝a1＋(n－1)d，
dnnnanaaSnn2)1(211；
等比数列{an}中，an＝amqn－m＝a1qn－1，
)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn；
4．函数与方程的思想运用到解决数列问题之中：
等差数列、等比数列中，首项a1、末项an、项数n，公差d(公比q)、前n项和Sn，五个量中，已知三个量，根据通项公式及前n项和公式，列出方程可得另外两个量．
等差数列中，ndandSdadnann)2(2121、，可看作一次函数与二次函数的形式，利用函数的性质可以解决数列问题．
5．等差数列、等比数列的性质：
等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；
【复习要求】
1．理解等差数列、等比数列的概念．
2．掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．
第四讲 等差数列与等比数列
- 1 - 第四讲 等差数列与等比数列
一、知识梳理
1. 等差、等比数列的定义与性质
等差数列 等比数列
定义 1na-na=d
nnaa1=q(q0)
通项公式 na=1a+（n-1）d na=1a1nq(q0)
递推公式 na=1na+d, na=ma+(n-m)d na=1naq na=mamnq
中项 A=2ba 推广：A=2aknkna（n,k
N+ ;n>k>0） abG2。推广：G=knknaa（n,k
N+ ;n>k>0）。任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个
前n项和
nS=2n（1a+na）
nS=n1a+2)1(nnd nS=qqan11()1
nS=qqaan11
性质 （1）若mnpq，则mnpqaaaa；
（2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，，……仍为等差数列，公差为dn2；
（3）若三个成等差数列，可设为adaad，，
（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT
（5）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）
（6）d=nmanma(mn)
(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列 （1）若mnpq，则mnpqaaaa··
（2）232nnnnnSSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq
1、数列是不是等差数列有以下三种方法：
①),2(1为常数dndaann
②211nnnaaa(2n)
③bknan(kn,为常数).
2、数列是不是等比数列有以下四种方法：
①)0,,2(1且为常数qnqaann
- 2 - ②112nnnaaa(2n，011nnnaaa)
类比推理-在等差数列与等比数列之间
类比推理，在等差数列与等比数列之间
戴又发
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．类比推理具有探索、发现的功能，通过类比可以提出新的问题和作出新的发现。能否广泛而恰当地运用好类比推理方法，是衡量一个人创造性思维能力的重要标志之一。开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。”
下面先考察等差数列与等比数列中的类比对象，然后以试题的形式给出相应的结论。
一．等差数列与等比数列中的类比对象
1．考察等差数列与等比数列的定义
等差数列：如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．
等比数列：如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
等差数列中的＂差＂与等比数列中的＂比＂为类比对象．
2．考察数列的项与项之间关系
相与项之间关系 等差数列 等比数列
相邻两项关系 1nnaad 1nnaaq
首末两项关系 1(1)naand 11nnaaq
任意两项关系 ()nmaanmd nmnmaaq
3．考察数列若干项的和与积 若,,abc成等差数列，则2acb；
若,,abc成等比数列，则2acb；
设,,,mnpq均为正整数，且mnpq，则
对于等差数列na，有mnpqaaaa；
对于等比数列na，有mnpqaaaa；
对于等差数列na，前n项和为 112nniiaaan；
对于等比数列na，前n项积为 211()nniniaaa；
在等差数列与等比数列之间，只要明确了类比元素和类比运算，就能运用类比推理方法得到新的结论．
由以上考察可以得到：
等差数列中的公差d与等比数列中的公比q互为类比元素．
等差数列与等比数列的类比关系
等差数列与等比数列的类比关系
等比数列和等差数列是两类特殊的数列，他们的关系甚密，从定义上看等比数列和等差数列的定义仅有一字之差，把“差”变成了“商”。在等差数列中1nnaad，关键是“差”，在等比数列中1nnaqa，关键是“商”。而在等差数列的通项公式中111(1)nnaandaddd，同学们可以用类比的教材中等差数列通项公式的推导2123213431aaqaaqaqaaqaq，来推得等比数列的通项公式1111nnnaaqaqqq。
从以上两个公式可以看出等差数列中差与和对应，属于同级运算；在等比数列中商与积对应，也是同一级的运算。而且我们把等差数列和等比数列对比可以得到，由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积（积变成幂）。我们可以把等比数列看作是等差数列的升级，所以我们用类比等差数列的方法研究等比数列。
例1．已知数列na为等差数列，且,()mkaaabmk，则mkbkamakm；若数列nb为等比数列，且,()mkbabbmk，（1）类比等差数列的结果，你认为mkb可能是什么值？
（2）证明你的推测是否正确。
分析：根据等比数列是等差数列的升级，以及由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积（积变成幂）等差和等比的性质来猜想。
解：（1）由mkbkambkamakmkmkm，可以猜想kkmmkmkmbba
（2）由题1111,mkmkbaaqbbaq，1kmbqa，kkkmkmmkmmkmmkmbbbbqaaa
点评：本题考察学生的类比迁移能力，在考试中经常以这种题型来考察，这也是高中学生应具备的基本能力。
例2．在等差数列na中，若150a，则有等式121229(29,)nnaaaaaannN成立，类比上述性质，相应的在等比数列nb中，若191b，则有等式__________________________成立。
第5讲 等差数列与等比数列
第5讲 等差数列与等比数列
一．基础知识回顾
定义 常数）为(}{1daaPAannn 常数）为(}{1qaaPGannn
通项公式 na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d=dn+1a-d knknnqaqaa11
求和公式
ndanddnnnaaansnn)2(22)1(2)(1211
)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnasnnn
中项公式 A=2ba 推广：2na=mnmnaa abG2。推广：mnmnnaaa2
性质 1 若m+n=p+q则 qpnmaaaa 若m+n=p+q，则qpnmaaaa。
2 若}{nk成A.P（其中Nkn）则}{nka也为A.P。 若}{nk成等比数列 （其中Nkn），则}{nka成等比数列。
3 ．nnnnnsssss232,, 成等差数列。 nnnnnsssss232,,成等比数列。
4
)(11nmnmaanaadnmn
11aaqnn ，
mnmnaaq )(nm
二．典例精析
探究点一：等差数列与等比数列的基本量运算
例1：等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，
(1)求通项an； (2)若Sn＝242，求n.
变式迁移1：在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.
探究点二：等差数列与等比数列性质的应用
例2 已知数列{an}是等差数列．
(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n；
(2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；
(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．
变式迁移2：(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.
专题14 等差、等比数列(解析版)
第14讲 等差、等比数列
考点1：等差数列
一、等差数列的基本概念和公式
1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母𝑑表示．
2. 等差中项：如果三个数𝑥，𝐴 ，𝑦组成等差数列，那么𝐴叫做𝑥和𝑦的等差中项，即𝐴=𝑥+𝑦2．
3.通项公式：𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑=𝑎𝑚+(𝑛−𝑚)𝑑,(𝑛∈𝑁∗,𝑚∈𝑁∗,𝑚≤𝑛)⇒𝑑=𝑎𝑛−𝑎𝑚𝑛−𝑚(𝑛,𝑚∈𝑁∗,𝑛≠𝑚)
4. 前n项和公式：𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)2𝑑，(𝑛∈𝑁∗)；
二、等差数列的性质：
1. 𝑎𝑚=𝑎𝑛+(𝑚−𝑛)𝑑，𝑑=𝑎𝑚−𝑎𝑛𝑚−𝑛,(𝑛∈𝑁∗，𝑚∈𝑁∗);
2. 若𝑝+𝑞=𝑚+𝑛，则有𝑎𝑝+𝑎𝑞=𝑎𝑚+𝑎𝑛；若2𝑚=𝑝+𝑞，则有2𝑎𝑚=𝑎𝑝+𝑎𝑞（𝑝，𝑞，𝑚，𝑛∈𝑵∗）；
3. {𝑎𝑛}为等差数列，𝑆𝑛为前𝑛项和，则𝑆2𝑛−1=(2𝑛−1)𝑎𝑛；{𝑏𝑛}为等差数列，𝑆𝑛′为前𝑛项和，𝑆2𝑛−1′=(2𝑛−1)𝑏𝑛；有𝑎𝑛𝑏𝑛=𝑆2𝑛−1𝑆2𝑛−1′．
4. 若{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}均为等差数列，且公差分别为𝑑1，𝑑2，则数列{𝑝𝑎𝑛}，{𝑎𝑛+𝑞}，{𝑎𝑛±𝑏𝑛}也为等差数列，且公差分别为𝑝𝑑1，𝑑1，𝑑1±𝑑2．
5. 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即𝑎𝑛，𝑎𝑛+𝑚，𝑎𝑛+2𝑚，．．．．，为等差数列，公差为𝑚𝑑．
6. 等差数列的前𝑛项和也构成一个等差数列，即𝑆𝑛，𝑆2𝑛−𝑆𝑛，𝑆3𝑛−𝑆2𝑛，⋯⋯为等差数列，公差为𝑛2𝑑，(𝑛∈𝑁∗)；
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列
数列是数学中一种重要的概念，它基于一定的规律和规则顺序排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列形式。它们在数学中有着广泛的应用和重要的作用。本文将介绍等差数列和等比数列的定义、性质以及应用。
一、等差数列
等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。其一般形式可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, ..., a₁+nd, ...
其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。公差d表示数列中相邻两项之间的差值恒定。
等差数列的性质：
1. 首项和第n项的关系：aₙ = a₁ + (n-1)d；
2. 公差与项数的关系：d = (aₙ - a₁)/(n-1)；
3. 等差数列的和：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)。
等差数列可以通过首项和公差推导出后续的任意项，也可以根据已知的首项和末项来确定公差和项数。它在数学和科学中有着广泛的应用，如物理学中的运动学问题、计算机科学中的算法分析等。
二、等比数列 等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。其一般形式可以表示为：a₁, a₁r, a₁r², a₁r³, ..., a₁rⁿ, ...
其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。公比r表示数列中相邻两项之间的比值恒定。
等比数列的性质：
1. 首项和第n项的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)；
2. 公比与项数的关系：r = (aₙ/a₁)^(1/(n-1))；
3. 等比数列的和（当|r|<1时）：Sn = a₁ * (1 - rⁿ)/(1 - r)。
等比数列同样具有推导后续项和根据已知信息确定公比和项数的能力。它在数学和科学中的应用很广泛，如经济学中的复利计算、生物学中的生长模型等。
三、等差数列与等比数列的联系与区别
等差数列和等比数列都是常见的数列形式，它们之间存在一些联系与区别。
1. 联系：等比数列是等差数列的一种特殊情况，当公比r等于1时，等比数列退化成等差数列。
暑期班第6讲.等比数列与等差数列.文科.学生版
2010年·暑假 高三数学·第6讲·文·学生版 page 1 of 9
等差数列与等比数列 要求层次 重难点
数列的概念和表示法 B ⑴数列的概念和简单表示法
①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．
②了解数列是自变量为正整数的一类函数．
⑵等差数列、等比数列
①理解等差数列、等比数列的概念．
②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．
③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系． 等差数列的概念 B
等比数列的概念 B
等差数列的通项公式与前n项和公式 C
等比数列的通项公式与前n项和公式
C
板块一：等差数列与等比数列的基本性质
（一） 知识内容
等差数列：
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
通项公式：1(1)()nmaandanmd； 高考要求第六讲
等比数列与等差数列
知识精讲
2010年·暑假 高三数学·第6讲·文·学生版 page 2 of 9
前n项和公式：11()(1)22nnnaannSnad．
等差数列na的性质（其中公差为d）：
⑴()mnaamnd，mnaadmn；
⑵若pqmn，则有pqmnaaaa；若2mpq，则有2mpqaaa（p，q，m，nN）；
⑶在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即na，nma，2nma，为等差数列，公差为md；
第1讲等差数列与等比数列
第1讲等差数列与等比数列
限时训练
[XIANSHIKUHLIAN1
［选题明细表］
知识点、方法 题号
等差数列、等比数列的基本运算 2,5,9,11
等差数列、等比数列的性质 1,3,4,6,7,8,10
等差数列、等比数列的证明及综合 12,13
一、选择题
1. (2019 •厦门二模)已知等差数列｛an｝的前n项和为S,a3+a5=a4+2, 则S等于(D )
(A)-14 (B)-7 (C)7 (D)14
解析：根据题意，数列｛a n｝为等差数列,a 3+as=a4+2,
则 a3+a5=2a4=a4+2,解得 a^=2,
则 $= =7^=14,故选 D.
2. (2019 •福建宁德高三第一学期期末质量检测)等差数列｛an｝
中,a4=9,a7=15,则数列｛(-1) 3｝的前20项和等于(D )
(A)-10 (B)-20 (C)10 (D)20
解军:a 7-a 4=3d=6,解得 d=2,所以-a 1+a2-a 3+a4-…-a 19+a2°=10d=20,故 选D.
3. (2019 •保定二模)等比数列｛an｝ 中,若 an>0,a2a4=1,a1+a2+a3=7,则公 比q等于(B )
(A)「 (B)[ (C)2 (D)4
解析：因为 an>0,a2a4=1,
所以忒=1,解得a3=1.
因为 ai+a2+as=7,
所以-++1=7,化为6q2-q-仁0,
因为q>0,解得q二.故选B.
4. (2019 •安徽模拟)已知等比数列｛an｝的公比q=,该数列前9项的乘
积为1,则a1等于(B )
(A)8 (B)16 (C)32 (D)64
解析：由已知得aa2…ag=1,
又 aa9=a2a8=a3a7=a4a6二磴，所以感=1,
即 a5=1,
等比数列｛a n｝的公比q=,
所以 a5=a1( ) 4=1,a1=16,故选 B.
5. (2019 •临沂一模)“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，