2017-2018年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷及答案
第1页（共15页） 2017-2018学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷 一.填空题 1．（3分）准线方程为y+1=0的抛物线标准方程为 2．（3分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过点A且与圆O相切的直线方程是 ．
3．（3分）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 ． 4．（3分）参数方程（θ为参数，且θ∈R）化为普通方程是
5．（3分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为 6．（3分）设F1和F2为双曲线4x2﹣2y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是 7．（3分）已知抛物线y2=4x的焦点F和A（1，1），点P为抛物线上的动点，则|PA|+|PF|取到最小值时点P的坐标为
8．（3分）椭圆+=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为 ．
9．（3分）双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为右支上一点，且，则双曲线渐近线的夹角为 10．（3分）已知定点P（﹣4，0）和定圆Q：x2+y2=8x，动圆M和圆Q外切，且经过点P，求圆心M的轨迹方程 11．（3分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条．则r的取值范围是 ． 12．（3分）已知l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0相交于点P，线段 第2页（共15页）
AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2=4的一条动弦，且，则的最小值是
二．选择题 13．（3分）当ab＜0时，方程ax2﹣ay2=b所表示的曲线是（ ） A．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线 C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线 14．（3分）已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（ ） A．m∥n且n与圆O相离 B．m∥n且n与圆O相交 C．m与n重合且n与圆O相离 D．m⊥n且n与圆O相离
15．（3分）椭圆上有n个不同的点P1，P2，P3，…，Pn，椭圆右焦点F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值为（ ） A．2017 B．2018 C．4036 D．4037 16．（3分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF=60°，则∠MFO的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．不确定 三.解答题 17．已知抛物线C：y2=4x与直线l交于A、B两点 第3页（共15页）
（1）若直线l的方程为y=2x﹣4，求弦AB的长度； （2）O为坐标原点，直线l过抛物线的焦点，且△AOB面积为，求直线l的方程．
18．已知双曲线． （1）求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为20的双曲线的标准方程； （2）P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是（4，0），求|PA|的最小值． 19．已知曲线C1：x2+y2=4，点N是曲线C1上的动点． （1）已知定点M（﹣3，4），动点P满足，求动点P的轨迹方程； （2）设点A为曲线C1与x轴的正半轴交点，将A沿逆时针旋转得到点B，点N在曲线C1上运动，若，求m+n的最大值． 20．已知椭圆，四点P1（1，1）、P2（0，1）、、中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程： （2）椭圆C上是否存在不同的两点M、N关于直线x+y=1对称？若存在，请求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由； （3）设直线l不经过点P2且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，求证：l过定点． 21．已知曲线Γ：2（a﹣2）x﹣by2+b﹣4=0（a，b∈R） （1）若a=b=4，求经过点（﹣1，0）且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程： （2）若a=4，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b如何变化，这两个点都不在曲线Γ上； （3）若曲线Γ与线段y=x（0≤x≤1）有公共点，求a2+b2的最小值． 第4页（共15页）
2017-2018学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析
一.填空题 1．（3分）准线方程为y+1=0的抛物线标准方程为 x2=4y 【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0）， ∵抛物线的准线方程为y=﹣1， ∴=1， ∴p=2， ∴抛物线的标准方程为：x2=4y． 故答案为：x2=4y．
2．（3分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过点A且与圆O相切的直线方程是 x+2y﹣5=0 ． 【解答】解：由于A（1，2）在圆O：x2+y2=5上，故过点A且与圆O相切的直线方程是x+2y﹣5=0， 故答案为：x+2y﹣5=0．
3．（3分）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 ． 【解答】解：设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则+=1，①，
+=1，②． 第5页（共15页）
①﹣②得：=﹣． ∵点（1，2）是弦的中点 ∴x1+x2=8，y1+y2=4，
∴k==﹣． 故答案是﹣．
4．（3分）参数方程（θ为参数，且θ∈R）化为普通方程是 x2+y=3 【解答】解：∵参数方程（θ为参数，且θ∈R）， ∴由sin2θ+cos2θ=1，得y﹣2+x2=1， ∴参数方程（θ为参数，且θ∈R）化为普通方程是x2+y=3． 故答案为：x2+y=3．
5．（3分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为 4 【解答】解：双曲线， 由此得a=3，b=， c=2， 椭圆中，则a2=b2+c2=4+12=16． 则a的值为4． 故答案为：4．
6．（3分）设F1和F2为双曲线4x2﹣2y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满 第6页（共15页）
足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是 【解答】解：∵F1、F2是双曲线4x2﹣2y2=1的两个焦点，P是此双曲线上的点，∠F1PF2=60°，可得b=，
由双曲线焦点三角形面积公式． 故答案为：．
7．（3分）已知抛物线y2=4x的焦点F和A（1，1），点P为抛物线上的动点，则|PA|+|PF|取到最小值时点P的坐标为 （）
【解答】解：过点P作PB垂直于准线，过A作AH垂直于准线，PA+PF=PA+PB≤AH， 此时最小，点P与点A的坐标为相同，所以点P为．
故答案为：．
8．（3分）椭圆+=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为 4 ． 【解答】解：由题意，设P（4cosθ，2sinθ） 则P到直线的距离为d==， 当sin（θ﹣）=1时，d取得最大值为4， 第7页（共15页）
故答案为：4． 9．（3分）双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为右支上一点，且，则双曲线渐近线的夹角为 ，或 【解答】解：根据题意，则， 由焦点三角形面积公式，∴b2=6， 渐近线为， 夹角为，或． 故答案为：，或．
10．（3分）已知定点P（﹣4，0）和定圆Q：x2+y2=8x，动圆M和圆Q外切，且经过点P，求圆心M的轨迹方程 双曲线的左支 【解答】解：结合图象可得，MQ﹣MP=4，可得a=2，c=4，则b=， M的轨迹为双曲线的左支．
故答案为：双曲线的左支．
11．（3分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r 第8页（共15页）
＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条．则r的取值范围是 2＜r＜4 ． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2， 相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2）， 当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，
因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3， 即M的轨迹是直线x=3． 将x=3代入y2=4x，得y2=12， ∴﹣2＜y0＜2， ∵M在圆上， ∴（x0﹣5）2+y02=r2， ∴r2=y02+4≤12+4=16， ∵直线l恰有4条， ∴y0≠0， ∴4＜r2＜16， 故2＜r＜4时，直线l有2条； 斜率不存在时，直线l有2条； 所以直线l恰有4条，2＜r＜4， 故答案为：2＜r＜4．
12．（3分）已知l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2=4的一条动弦，且，则的最小值是 3 【解答】解：∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0， ∴l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3）， ∴P轨迹为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=2， 作垂直线段CD⊥AB，CD=1，
上海市复兴高级中学2017-2018学年上学期高二期末数学试题及答案（word版）
上海市复兴⾼级中学2017-2018学年上学期⾼⼆期末数学试题及答案（word版）1上海市复兴⾼级中学2017学年第⼀学期期终考试⾼⼆年级数学试卷⼀、填空题（本⼤题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 2018i =____________．2. 抛物线24y x =的准线⽅程为____________．3. 双曲线2241x y -=的渐近线⽅程为____________．4. 已知()(1)x i i y +-=（其中x 、y R ?），则x y +=____________．5. 已知2i +是关于x 的实系数⽅程20x mx n ++=的⼀个根，则n =____________．6. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的⼀个顶点恰组成⼀个正三⾓形的三顶点，且椭圆CC 的⽅程为____________．7. 设复数2(1),()z x x i x R =+-?，则||z 的最⼩值为____________．8. E 为椭圆2214x y +=上在第⼀象限的⼀个动点，点(2,0)A ，点(0,1)B ，O 为坐标原点．则四边形OAEB ⾯积的最⼤值为____________．9. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1290F PF ?o ，则点P 到x 轴的距离为____________． 10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则C 的⽅程为____________．11. P 为抛物线2:4C y x =上⼀动点，F 为C 的焦点，平⾯上⼀点(3,)A m ，若PF PA +的最⼩值为4，则实数m 的取值范围为____________．12. 对于曲线C 所在平⾯上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的⾓α，使得0αAPB 承对于曲线C 上的任意两个不同的点,A B 恒成⽴，则称⾓α为曲线C 相对于点0P 的“界⾓”，并称其中最⼩的“界⾓”为曲线C 相对于点0P 的“确界⾓”．曲线0):20)x C y x ì=í??-____________．2⼆、选择题（本⼤题共4题，每题5分，共20分）13. “直线与抛物线的对称轴平⾏”是“直线与抛物线仅有⼀个公共点”的（）A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. ⾮充分⾮必要条件14. 若实数k 满⾜09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的（）A. 实半轴长相等B. 虚半轴长相等C. 焦距相等D. 渐近线相同15. 给出下列命题：①若z C ?，则20z 3；②若a R ?，则(1)a i +是纯虚数；③若a 、b R ?，且a b >，则a i b i +>+；④若1z i =，则31z +对应的点在复平⾯内的第⼀象限．其中正确命题的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D.416. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 逆时针旋转α后可以成为函数()f x 的图像，则α的⾓度可以为（） A. 30° B. 45° C. 60°D. 90°三、解答题（本⼤题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知复数z满⾜z =2z 的虚部为2．（1）求复数z ；（2）设z 、2z 、2z z -在复平⾯上的对应点分别为A 、B 、C ，求ABC V 的⾯积．18. 已知圆22:(1)8C x y ++=．3 （1）设点(,)Q x y 是圆C 上⼀点，求x y +的取值范围；（2）如图，定点(1,0)A ，M 为圆C 上⼀动点，AM 的中垂线交CM 于点N ．求证：动点N 的轨迹为椭圆，并求其⽅程．19. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的亮点,A B ．（1）若点,A B 分别在双曲线的左、右两⽀上，求实数k 的取值范围；（2）若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．20. 动点P 到直线20x +=的距离⽐它到点(1,0)M 的距离⼤1．。
2017-2018学年上海市浦东新区高二上学期期末考试数学试题 扫描版
浦东新区2017学年度高二数学第一学期期末质量抽测评分标准一、填空题（每小题3分，共36分）1．1； 2．()43,； 3． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-813521；4．34； 5．15； 6．22； 7．21c c ++；8. 8； 9．1121+-n ； 10．()10,； 11．2； 12．112231+-⨯-n n . 二、选择题（每小题3分，共12分）13. C ； 14. B ； 15. B ； 16．D ．三、解答题 （本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）解：（1）因为圆心O 到直线l 的距离1312030=+-⨯+=d ，…………………2分所以弦长2AB ==.………………………………2分 （2）弦AB 的垂直平分线的方程可设为03=+-c y x ，……………………2分由圆的性质知，弦AB 的垂直平分线经过圆心O ，所以，0=c ，………1分 所以，弦AB 的垂直平分线的方程为03=-y x .…………………………1分 18．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）解：（1）因为θ=⋅cos ，…………………………………………………2分 所以，向量在向量521232=++==θcos .…3分（2）因为()k ,k k 213--=-=，且()21,=，…………………………2分 因为⊥，所以，0=⋅，即，()()021231=-⨯+-⨯k k ，解得，1=k ，此时，()12-=,.…………………………………………………3分 19．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）解：（1）显然直线l 的斜率k 存在且0<k ，设l ：()21+-=x k y ，得⎪⎭⎫⎝⎛-021,k A ，()k ,B -20.………………………………2分则，⎪⎭⎫⎝⎛=22,k ，()k ,--=1，由3=， 得，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=k k 3232，即32-=k ………………………………………………………2分所以，所求直线l 的方程为()2132+--=x y 或写成0432=-+y x .………1分（2）由题意知，OB OA S AOB 21=∆()k k -⎪⎭⎫⎝⎛-=22121 ()44212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=k k ()0<k ，…………………………………………2分 则()44=⎪⎭⎫⎝⎛-+-k k ，解得2-=k . …………………………………………2分 此时直线l 的方程为()212+--=x y 或写成280x y +-=.………………1分 20．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分） 解：（1）由⎩⎨⎧=+=+1854510811d a d a ，解得⎩⎨⎧==351d a ，………………………………3分所以，()23315+=⨯-+=n n a n . ……………………………………………2分（2）只要把a k =3k+2在数列{}n b 的第几项确定，而{}n b 其余的项都是3，那么{}n b 确定了。
2018-2019学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷1.（填空题，4分）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2），B={-1，0，1}，则（∁U A ）∩B=___ ．2.（填空题，4分）化简| (√3+i)8(6+8i )(4+4i )4 |=___ ．3.（填空题，4分）从集合{-1，1，2，3}随机取一个为m ，从集合{-2，-1，1，2}随机取一个为n ，则方程 x 2m+y 2n=1可以表示___ 个不同的双曲线．4.（填空题，4分）在（ 1x −x 2 ）6的展开式中，第4项的二项式系数是___ （用数字作答） 5.（填空题，4分）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α，β构成直二面角”是“m⊥β的___ 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）6.（填空题，4分）若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=___ ．7.（填空题，5分）复数i 1！×10+i 2！×9+…+i 10！×1的虚部是___ ．8.（填空题，5分）已知经停某站的高铁列车有100个车次，随机从中选取了40个车次进行统计，统计结果为：10个车次的正点率为0.97，20个车次的正点率为0.98，10个车次的正点率为0.99，则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为___ （精确到0.001） 9.（填空题，5分）设A ，B 是实数集R 的两个子集，对于x∈R ，定义：m= {0，x ∉A1，x ∈A ，n={0，x ∉B 1，x ∈B，若对任意x∈R ，m+n=1，则A ，B ，R 满足的关系式为___ ．10.（填空题，5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱柱）高为4，体积为16，则这个球的表面积是___ ．（参考公式：球的表面积S=4πR 2） 11.（填空题，5分）6月12日，上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》，将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类．某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可能的，那么随机事件“4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是___12.（填空题，5分）对于无理数x ，用＜x ＞表示与x 最接近的整数，如＜π＞=3，＜ √3 ＞=2，设n∈N*，对于区间（- 12，n +12 ）的无理数x ，定义 C n x=C n＜x ＞，我们知道，若m∈N ，n∈N*（m≤n ）和r∈N*（r≤n ），则有以下两个恒等式成立： ① C n m =C n n-m ； ②C n+1r =C n r +C n r-1，那么对于正整数n 和两个无理数m∈（0，n ），r∈（1，n ），以下两个等式依然成立的序号是___① C n m=C n n-m；② C n+1r=C n r+C n r-113.（单选题，5分）已知双曲线y2a2−x2b2=1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F（0，-2），一条渐近线的斜率为√3，则该双曲线的方程为（）A. x23−y2=1B. x2−y23=1C. y23−x2=1D. y2−x23=114.（单选题，5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= √3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A. 15B. √56C. √55D. √2215.（单选题，5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）B.10种C.12种D.14种16.（单选题，5分）已知两个复数z1、z2的实部和虚部都是正整数，关于代数式12√|z1z2|下判断：① 最大值为2；② 无最大值；③ 最小值为√2；④ 无最小值，其中正确判断的序号是（）A. ① ③B. ① ④C. ② ④D. ② ③17.（问答题，14分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD || BC，∠BAD=90°，AB=AD=1，BC=3．（Ⅰ）求证：AF⊥CD；（Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD上是否存在点M，使得直线CE || 平面AFM？若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．18.（问答题，14分）已知正整数n≥2，f（x）=（x+3）n=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0．（1）若f（x）的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n的值；（2）若n=2019，且a k是a n，a n-1…，a 1，a0中的最大值，求k的值．19.（问答题，14分）设z∈C．（1）若z= 3+i1+2i，且z是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一根，求b和c的值；（2）若zz−4是纯虚数，已知z=z0时，|z +2√3i |取得最大值，求z0；（3）肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题，已知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9，求该题能被正确解答的概率．20.（问答题，16分）已知以椭圆E：x2a2+y2b2=l（a＞b＞0）的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．（1）求椭圆E的方程；（2）若（x，y）是椭圆E上的动点，求2x+y的取值范围；（3）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆E交于异于椭圆顶点的A，B两点，O为坐标原点，直线AO与椭圆E的另一个交点为C点，直线l和直线AO的斜率之积为1，直线BC与x轴交于点M，若直线BC，AM的斜率分别为k1，k2，试判断k1+2k2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．21.（问答题，18分）对于集合A={a1，a2，……，a n}，B={b1，b2，…，b n}，n∈N*，m∈N*，定义A+B={x+y|x∈A，y∈B}．集合A中的元素个数记为|A|．规定：若集合A满足|A+A|=n(n+1)2，则称集合A具有性质T．（1）已知集合A={1，3，5，7}，B={ 13，23，43，83}，写出|A+A|，|B+B|的值；（2）已知集合A={ 23，(23）2，（23）3，…，（23）n}，其中n≥3，证明：A具有性质T；（3）已知n=m=2019，且集合A，B均有性质T，求|A+B|的最小值．。
上海市复兴高级中学2017-2018学年上学期高二期末数学试题及答案(word版)
上海市复兴高级中学2017学年第一学期期终考试高二年级数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 2018i =____________．2. 抛物线24y x =的准线方程为____________．3. 双曲线2241x y -=的渐近线方程为____________．4. 已知()(1)x i i y +-=（其中x 、y R Î），则x y +=____________．5. 已知2i +是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，则n =____________．6. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点，且椭圆CC 的方程为____________．7. 设复数2(1),()z x x i x R =+-?，则||z 的最小值为____________．8. E 为椭圆2214x y +=上在第一象限的一个动点，点(2,0)A ，点(0,1)B ，O 为坐标原点．则四边形OAEB 面积的最大值为____________．9. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1290F PF ?o ，则点P 到x 轴的距离为____________． 10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则C 的方程为____________．11. P 为抛物线2:4C y x =上一动点，F 为C 的焦点，平面上一点(3,)A m ，若PF PA +的最小值为4，则实数m 的取值范围为____________．12. 对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0αAPB 承对于曲线C 上的任意两个不同的点,A B 恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线0):20)x C y x ìï?ï=íïï-<ïî相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是____________．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “直线与抛物线的对称轴平行”是“直线与抛物线仅有一个公共点”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14. 若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A. 实半轴长相等B. 虚半轴长相等C. 焦距相等D. 渐近线相同15. 给出下列命题：①若z C Î，则20z ³；②若a R Î，则(1)a i +是纯虚数；③若a 、b R Î，且a b >，则a i b i +>+；④若1z i =，则31z +对应的点在复平面内的第一象限．其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.416. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 逆时针旋转α后可以成为函数()f x 的图像，则α的角度可以为（ ） A. 30° B. 45° C. 60°D. 90°三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知复数z 满足z =2z 的虚部为2．（1）求复数z ；（2）设z 、2z 、2z z -在复平面上的对应点分别为A 、B 、C ，求ABC V 的面积．18. 已知圆22:(1)8C x y ++=．（1）设点(,)Q x y 是圆C 上一点，求x y +的取值范围；（2）如图，定点(1,0)A ，M 为圆C 上一动点，AM 的中垂线交CM 于点N ．求证：动点N 的轨迹为椭圆，并求其方程．19. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的亮点,A B ．（1）若点,A B 分别在双曲线的左、右两支上，求实数k 的取值范围；（2）若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．20. 动点P 到直线20x +=的距离比它到点(1,0)M 的距离大1．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过定点(,0)(0)D m m >作直线l ，与（1）中的轨迹C 相交于A 、B 两点，E 为点D 关于原点O 的对称点，证明：AED BED ??；（3）在（2）中，是否存在垂直于x 轴的直线'l 被以AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出'l 的方程；若不存在，请说明理由．21. 在平面直角坐标系xOy 中有如下正确结论：00(,)P x y 为曲线221mx ny +=（m 、n 为非零实数，且不同时为负）上一点，则过点P 的切线方程为001mx x ny y +=．（1）已知00(,)P x y 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，l 为过点P 的椭圆的切线，若直线OP 与直线l 的斜率分别为OP k 与l k ，求证：OP i k k ´为定值；（2）过椭圆222:1(0)x C y a a+=>上一点A 引椭圆C 的切线，与y 轴交于点B ．若OAB V 为正三角形，求椭圆C 的方程；（3）求与圆222(1x y r r +=<<及（2）中的椭圆C 均相切的直线l 与坐标轴围成的三角形的面积的取值范围．参考答案一、填空题1. 1-2. 1x =-3. 12y x =?4. 35. 56. 221129x y +=7. 8. 9. 10. 221189x y += 11. m 轾?犏臌12. 75°二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17. （1）1z i =+或1i --（2）118. （1）[]5,3x y +?（2）2212xy +=19. （1）(k ?（2）1k =?20. （1）24y x =（2）证明略（3）不存在，理由略21. （1）证明略（2）2213x y +=（3）)+?。
2017-2018学年上海交通大学附属中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2018学年上海交通大学附属中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．设地球的半径为，地球上，两地都在北纬的纬度线上去，且其经度差为，则，两地的球面距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，根据地球纬度的定义，算出小圆半径，由两地经度差为，在中算出，从而得到，利用球面距离的公式即可得到两地球面的距离.详解：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，则平面，在中，，同理，两地经度差为，，在中，，由此可得是边长为的等边三角形，得，两地球面的距离是，故选C.点睛：本题考查地球上北纬圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题. 2．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得、都垂直于； ②存在平面，使得、都平行于； ③内有不共线的三点到的距离相等； ④存在异面直线，，使得，，，其中，可以判定与平行的条件有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个 【答案】B【解析】试题分析：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．：①与平行．此时能够判断①存在平面γ，使得都平行于γ；两个平面平行，所以正确． ②存在平面γ，使得都垂直于γ；可以判定与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能与不平行．②不正确．③不能判定与平行．如面内不共线的三点不在面的同一侧时，此时与相交；④可以判定与平行．∵可在面内作，则与必相交．又．故选B ．【考点】平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 3．一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先还原正方体，将对应的字母标出，与所成角等于与所成角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.详解：还原正方体，如图所示，设，则，与所成角等于与所成角，余弦值为，故选D.点睛：本题主要考查异面直线所成的角以及空间想象能力，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.4．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，若，，那么下列四个命题中①必存在，使得；②必存在，使得；③必存在，使得；④必存在，使得.真命题的个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A【解析】分析：函数是连续的，故在闭区间上，的值域也是连续的，令，根据不等式的性质可得①正确；利用特值法可得②③④错误，从而可得结果.详解：函数是连续的，故在闭区间上，的值域也是连续的，令，对于①，，故①正确.对于②，若，则，无意义，故②错误.对于③，时，不存在，使得，故③错误.对于④，可能为，则无意义，故④错误，故选A.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函不等式的性质及连续函数的性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，利用定理、公理、结论以及特值判断，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二、填空题5．函数的定义域为__________．【答案】【解析】分析：解不等式组即可得结果.详解：要使函数有意义，则有，故答案为.点睛：定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.6．表面积为的球的体积为__________．【答案】【解析】分析：先根据球的表面积公式，列方程得到球半径，再利用球的体积公式求解该球的体积即可.详解：，，故答案为.点睛：本题主要考查球的体积公式和表面积公式，意在考查学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.7．的二项展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中项的系数.详解：的二项展开式的通项为，，展开式项的系数为故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 8．高一（10）班有男生人，女生人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，则抽取男生的人数为__________人．【答案】6【解析】分析：根据分层抽样的定义直接计算即可.详解：设抽取男生的人数为，因为男生人，女生人，从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，所以，取男生的人数为，故答案为.点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.9．人并排站成一行，其中甲、乙两人必须相邻，那么不同的排法有__________种.（用数学作答）【答案】240【解析】分析：甲、乙两人必须相邻，利用捆绑法与其余的人全排即可.详解：甲乙相邻全排列种排法，利用捆绑法与其余的人全排有种排法，共有，故答案为.点睛：常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.10．若交大附中共有名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________．【答案】1【解析】分析：根据每年有天，可判断名教职工，中至少有两人生日在同一天为必然事件,从而可得结果.详解：假设每一天只有一个人生日，则还有人，所以至少两个人同日生为必然事件，所以至少有两人生日在同一天的概率为，故答案为.点睛：本题考查必然事件的定义以及必然事件的概率，属于简单题.11．设函数，则使得成立的的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为，两边平方利用一元二次不等式的解法求解即可.详解：且在时，，导数为，即有函数在单调递增，函数为偶函数，等价为，即，平方得，解得，所求的取值范围是，故答案为.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.12．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________．【答案】【解析】分析：过作，垂足为，则平面，则即为所求平面角，从而可得结果.详解：依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，由平面，可得，所以平面，则即为所求平面角，因为，，所以，故答案为.点睛：本题考查长方体的性质，以及直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.13．一个正方体的个顶点可以组成__________个非等边三角形.【答案】48【解析】分析：从正方体的个顶点中人取三个点共有种取法，其中等边三角形共有个，作差即可得结果.详解：从正方体的个顶点中人取三个点共有种取法，其中等边三角形共有个，所以非等边三角形共有个，故答案为.点睛：本题主要考查组合数的应用，属于简单题.14．将集合的元素分成互不相交的三个子集：，其中,，，且，，则满足条件的集合有__________个．【答案】3【解析】分析：由可得，令，则，，，然后列举出的值，从而可得结果.详解：，所以，令，根据合理安排性，集合的最大一个元素，必定为：，则，又，，①当时，同理可得.②当时，同理可得或，综上，一共有种，故答案为.点睛：本题考查主要考查集合与元素的关系，意在考查抽象思维能力，转化与划归思想，分类讨论思想应用，属于难题.解得本题的关键是首项确定，从而得到，由此打开突破点.15．设非空集合为实数集的子集，若满足下列两个条件：（1），；（2）对任意，都有，，，则称为一个数域，那么命题：①有理数集是一个数域；②若为一个数域，则；③若，都是数域，那么也是一个数域；④若，都是数域，那么也是一个数域.其中真命题的序号为__________．【答案】①②③④【解析】分析：根据“数域”的定义，对四个结论逐一验证即可，验证过程一定注意“照章办事”，不能“偷工减料”.详解：，则①正确；对于②，若是一个数域，则，于是任何一个分数，都可以构造出来，即，②正确；对于③，，③正确；定义④，④正确，故答案为①②③④.点睛：本题考查集合与元素的关系，以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.16．已知函数在时有最大值，，并且时，的取值范围为，则__________．【答案】【解析】分析：由函数在时有最大值，可得，先判断在上单调递减，可得，解高次方程即可得结果.详解：函数在时有最大值，则可得，，，在上单调递减，则满足，，，解得，又，故答案为.点睛：本题考查求二次函数闭区间上的最值，二次函数的应用，体现了分类讨论的数学思想以及转化与划归思想，属于难题.解答本题的关键是判断出函数的单调性，求出解析式，将问题转化为解高次方程.三、解答题17．某公司生产一种产品，每年投入固定成本万元.此外，每生产件这种产品还需要增加投入万元.经测算，市场对该产品的年需求量为件，且当出售的这种产品的数量为（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）.（1）若该公司这种产品的年产量为（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量的函数；（2）当该公司的年产量为多少时，当年所得利润最大？最大为多少？【答案】(1) ;(2) 当年产量为件时，所得利润最大.【解析】分析：（1）利用销售额减去成本即可得到年利润关于年产量的函数解析式；（2）分别利用二次函数的性质以及函数的单调性，求得两段函数值的取值范围，从而可得结果.详解：（1）由题意得：；（2）当时，函数对称轴为，故当时，；当时，函数单调递减，故，所以当年产量为件时，所得利润最大.点睛：本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). 18．解关于的不等式.（）【答案】见解析.【解析】分析：对分五种情况讨论，分别利用一元一次不等式与一元二次不等式的解法求解即可.详解：①当时，；②当时：，，因为，故等式左边因式分解得：；当时，；当时，，此时解集为空集；当时，；点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想的应用.属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.19．如图，二面角的大小为，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由平面可证，由二面角为直二面角及是正方形可证，再由线面垂直判定定理得平面，即可得证；（2）取的中点，连接，，由四边形为正方形可证，，即可得为二面角的平面角，根据题设条件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等体积法，由即可得点到平面的距离.试题解析：（1）∵平面，∴.又∵二面角为直二面角，且，∴平面，∴，∴平面，∴.（2）取的中点，连接，.∵四边形为正方形，∴，∴，即为二面角的平面角，又，∴，由（1）知，且，∴，∴，由，解得，∴，即∴，即二面角的余弦值为.（3）取的中点，连接，∵，二面角为直二面角，∴平面，且.∵，，∴平面，∴，∴，又，由，得，∴.点睛：立体几何的证明需要对证明的逻辑关系清楚，证明线线垂直，先由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；用普通法求二面角，讲究“一作、二证、三求”，通过辅助线先把二面角的平面角及计算所需线段作出来，再证明所作角是二面角的平面角；点到面的距离还原到体积问题，则利用等体积法解题.20．设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.（1）设，，若，求向量；（2）对于中的任意两个向量，，证明：；（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.【答案】（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.【解析】分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结果；（2）设，，，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.详解：（1）依题意得：，设，代入运算得：或；（2）设，，，则从而得证；（3）设与的夹角为，则，则，故最大值为.点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.21．对于函数，若关系式中变量是变量的函数，则称函数为可变换函数.例如：对于函数，若，则，所以变量是变量的函数，所以是可变换函数.（1）求证：反比例函数不是可变换函数；（2）试判断函数是否是可变换函数并说明理由；（3）若函数为可变换函数，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】分析：（1）利用反证法，假设是可变换函数，，利用关变量的一元二次方程无解但导出矛盾，从而可得结论；（2）利用必须有交点，而连续且单调递减，值域为，连续且单调递增，值域为，进而可得结论；.（3），则恒大于，即无交点，不满足题意；若，则必定有交点，即方程有解，从而可得结果.详解：（1）假设是可变换函数，则，因为变量是任意的，故当时，此时有关变量的一元二次方程无解，则与假设矛盾，故原结论正确，得证；（2）若是可变换函数，则，则有关的两个函数：必须有交点，而连续且单调递减，值域为，连续且单调递增，值域为，所以这两个函数与必定有交点，即：变量是变量的函数，所以是可变换函数；（3）函数为可变换函数，则，若，则恒大于，即无交点，不满足题意；若，则必定有交点，即方程有解，从而满足题意.点睛：本题主要考查函数的性质、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“可变换函数”达到考查函数性质的目的.。
2017年复旦附中自招数学题 配答案
44、若关于 x 的方程 x 2 b a 有四个实数解，则化简 a b a b a b 的结果 ab ab a b
是 A、-2
B、0
C、2
D、4
45、如果方程 x 1 x2 2x m 0 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 m
的取值范围是
A、 0 m 1
B、 m 3 4
A、 1 5 2
B、 1 5 2
C、 1 5 2
D、以上答案都不正确
40、已知 a,b,c 是不完全相等的任意实数，若 x a 2b c, y a b 2c, z 2a b c ，
则关于 x, y, z 的值，下列说法正确的是
A、小于 0
D、至多有一个大于 0
A、1
B、-3
C、-1
D、2
53、甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖。在比赛结果揭晓之前，四个人做
了如下猜测
甲：两名获奖者在乙、丙、丁中
乙：我没有获奖，丙获奖了
丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖
丁：乙说的对
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为
A、甲 丁
B、乙 丙
C、乙 丁
截得线段的长度为 l ，则 l 的取值范围为 A、 0 l 1 B、1 l 2 C、 2 l 3 D、 3 l 4
50、已知实数 x, y 满足： x y 3 0, 2y3 y 6 0 ，则 x y2 的值为 y
A、0
B、 1 2
C、1
D、 3 2
51、已知二次函数 y x2 2ax 2 ，当自变量 x 的取值范围为 1 x 1时，y 的取值既有
正值，又有负值，则实数 a 的取值范围为
A、 a 1 2
2018-2019年上海市复旦附中高二上10月月考数学试卷(有答案)
2018-2019年复旦附中高二上10月月考一. 填空题1. 等差数列{}n a 中，已知1510a =，4590a =，则60a =2. 在等比数列{}n a 中，已知11a =，公比q ∈R ，且1q ≠，12345n a a a a a a =，则n =3. 1123lim 23n nnn n ++→∞-=+ 4. 与向量(3,4)a =-共线的单位向量0a =5. 已知点P 分线段12PP 的比为2-，若1(1,2)P ，2(3,1)P -，则点P 的坐标为 6. 已知(0,1)A 、(1,0)B 、(3,)C k ，若ABC ∠为钝角，则k 的取值范围为7. 若数列100，50，20，⋅⋅⋅的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为 8. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢。
”其意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，良马到齐后，返回去迎接驽马，多少天后两马相遇。
”利用我们所学的知识，可知离开长安后的第 天，两马相逢9. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，若2AO A B A C =+，且||||O A A B =，则向量CA 在向量BC上的投影为10. 已知数列{}n a 的前n 项和1(1)n n S n -=-⋅，若对任意的正整数n ，有1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是二. 选择题11. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-+⋅⋅⋅+--，则1k a +=（ ） A. 121k a k ++ B. 112224k a k k +-++C. 122k a k ++D. 112122k a k k +-++12. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列（ ）A. 有极限，其值是整数B. 有极限，其值是分数C. 有两个极限D. lim n n a →∞不存在13. 已知||3b =，如果a 在b 上的投影是32-，那么a b ⋅为（ ） A. 92- B. 92 C. 2 D. 1214. 如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点， 若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ） A. 43 B. 53 C. 158D. 2三. 解答题15. 已知||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为120°. （1）求|32|a b -；（2）若(32)()a b ka b -⊥+，求实数k 的值.16. 已知O 为坐标原点，(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---. （1）若A 、B 、C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n ∈N . （1）证明：{1}n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，并指出n 为何值时，n S 取得最小值，简单说明理由.18. 数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =-.（1）求n S 的表达式； （2）设21nn S b n =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求lim n n T →∞.19. 在数列{}n a 中，已知11a =，22a =，且数列{}n a 的奇数项依次组成公差为1的等差 数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{}n b 满足212n n na b a -=，记数列{}n b 的前 n 项和为n S .（1）写出数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ；（3）证明：当6n ≥时，12n S n-<.（Ⅱ卷）1. 在△ABC 中，90C =︒，3CB =，点M 是AB 上的动点（包含端点），则MC CB ⋅的取值范围是2. 如图，等腰直角三角形ABC ，点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与CA 、CB 两边分别交于M 、N 两点，且CM CA λ=，CN CB μ=，则4λμ+的最小值为3. O 是平面α上一定点，A 、B 、C 是平面α上△ABC 的三个顶点，B 、C 分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是 （把你以为正确的序号全部写上）（1）动点P 满足OP OA PB PC =++，则△ABC 的外心一定在满足条件的P 点的集合中； （2）动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC λ=++（0λ>），则△ABC 的内心一定在满足条 件的P 点的集合中；（3）动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++（0λ>），则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点的集合中； （4）动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++（0λ>），则△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点的集合中； （5）动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++（0λ>），则△ABC 的 外心一定在满足条件的P 点的集合中； 4. 数列{}n a 中，若11a =，112n n n a a ++=（*n ∈N ），则122lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+= 5. 已知数列{}n a 的首项11a =，对任意*n ∈N ，n a 、1n a +是方程230n x nx b -+=的两实根，则21n b -=6. 已知数列{}n a 满足n n a n k =⋅（*n ∈N ，01k <<），下面说法正确的是（把你认为正确的命题序号全部填上） （1）当12k =时，数列{}n a 为递减数列； （2）当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； （3）当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；（4）当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项.。
2017-2018学年上海复旦附中高一上学期期末考数学试卷含详解
2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是A.y = B.2(1)y x =-C.2xy -= D.0.5log (1)y x =+2.已知函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（）A.[1,)+∞ B.[0,2]C.(,2]-∞D.[1,2]3.如果函数()y f x =图象上任意一点的坐标(),x y 都满足方程()lg lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（）A.()y f x =是区间()0,∞+上的减函数，且4x y +≤B.()y f x =是区间()1,+∞上的增函数，且4x y +≥C.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≥D.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≤4.若函数()f x 的反函数为()1fx -，则函数()1f x -与()11f x --的图象可能是()A. B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.函数()1f x x =-的定义域是________.6.函数()2210y x x =+-≤≤的反函数()1f x -=______．7.设2()f x =()g x x=，则()()f x g x ⋅=__________﹒8.若log 41,a b =-则a b +的最小值为_________.9.幂函数()()3311t f x t t x+=-+是奇函数，则()2f =______．10.函数21lg82y x x=+-的单调递减区间是______．11.函数1223xxy -=+的值域是______．12.设关于x 的方程265x x a -+=的不同实数解的个数为n ，当实数a 变化时，n 的可能取值组合的集合为______．13.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.14.若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．16.已知函数()()41g x t x x=--，[]1,2x ∈的最大值为()f t ，则()f t 的解析式为()f t =______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知关于x 的不等式()22log 230x x t -++<，其中t R ∈．（1）当0=t 时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t 的取值范围．18.已知函数()()210x f x x x +⎛⎫=> ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的反函数()1fx -；（2）若2x ≥时，不等式()()(11x fx a a ---＞恒成立，求实数a 的范围．19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()23214x f x a a x =-+++，[)0,24x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且102a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[)0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）求()M a 的表达式，并规定当()2M a ≤时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．20.指数函数()y g x =满足()24g =，且定义域为R 的函数()()()2g x n f x g x m-+=+是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若存在实数t ，使得不等式()()22220f t t f t k -+->成立，求实数k 的取值范围．21.设集合M 为下述条件的函数()f x 的集合：①定义域为R ；②对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜．（1）判断函数()2f x x =是否为M 中元素，并说明理由；（2）若函数()f x 是奇函数，证明：()f x M ∉；（3）设()f x 和()g x 都是M 中的元素，求证：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩也是M 中的元素，并举例说明，()()()()()()(),,f x f x g x G x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩不一定是M 中的元素．2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是A.y = B.2(1)y x =-C.2xy -= D.0.5log (1)y x =+【答案】A【详解】试卷分析：对A ，函数在上为增函数，符合要求；对B ，在上为减函数，不符合题意；对C ，为上的减函数，不符合题意；对D ，在上为减函数，不符合题意.故选A.考点：函数的单调性，容易题.2.已知函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（）A.[1,)+∞B.[0,2]C.(,2]-∞D.[1,2]【答案】D【分析】根据二次函数223y x x =-+的关系式，可求出对称轴、顶点坐标、与y 轴交点坐标，可画出大致图象，再根据二次函数223y x x =-+在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值2，确定m 的取值范围．【详解】解： 二次函数2223(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线开口向上，对称轴为1x =，顶点坐标为(1,2)，与y 轴的交点为(0,3)其大致图象如图所示：由对称性可知，当3y =时，0x =或2x =，二次函数223y x x =-+在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值2，12m ∴．故选：D ．3.如果函数()y f x =图象上任意一点的坐标(),x y 都满足方程()lg lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（）A.()y f x =是区间()0,∞+上的减函数，且4x y +≤B.()y f x =是区间()1,+∞上的增函数，且4x y +≥C.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≥D.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≤【答案】C【分析】由给出的方程得到函数()y f x =图象上任意一点的横纵坐标,x y 的关系式，利用基本不等式求出x y +的范围，整理出()1111y x x =+≠-，可得函数在()1,+∞上的增减性，二者结合可得正确答案．【详解】()lg lg lg lg x y x y xy+=+= 00x y x y xy >⎧⎪∴>⎨⎪+=⎩22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（当且仅当x y =时取等号）22x y x y +⎛⎫∴+≤ ⎪⎝⎭，解得：4x y +≥由x y xy +=得：()11111111x x y x x x x -+===+≠---当()1,x ∈+∞时，11y x =-为减函数111y x ∴=+-在()1,+∞上为减函数故选C【点睛】本题考查了函数单调性的判断，利用基本不等式求最值等知识，关键是能利用对数方程得到真数之间的关系，属于基础题．4.若函数()f x 的反函数为()1fx -，则函数()1f x -与()11f x --的图象可能是()A.B.C.D.【答案】A【分析】f （x ）和f ﹣1（x ）关于y=x 对称是反函数的重要性质；而将f （x ）的图象向右平移a 个单位后，得到的图象的解析式为f （x ﹣a ）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．【详解】函数f （x ﹣1）是由f （x ）向右平移一个单位得到，f ﹣1（x ﹣1）由f ﹣1（x ）向右平移一个单位得到，而f （x ）和f ﹣1（x ）关于y=x 对称，从而f （x ﹣1）与f ﹣1（x ﹣1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x ﹣1，排除B ，D ；A ，C 选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得A 选项有可能，C 选项排除；故答案为：A【点睛】本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.函数()1f x x =-的定义域是________.【答案】{|2x x -且1}x ≠【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.【详解】由题意，要使函数有意义，则1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得，1x ≠且2x ≥-；故函数的定义域为：{|2x x -且1}x ≠.故答案为：{|2x x -且1}x ≠.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.6.函数()2210y x x =+-≤≤的反函数()1fx -=______．【答案】()1fx -=，[]2,3x ∈【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）即可．【详解】()2210y x x =+-≤≤ []2,3y ∴∈又x =()1f x -∴=，[]2,3x ∈故答案为()1fx -=，[]2,3x ∈【点睛】本题考查反函数的求解，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．7.设2()f x =()g x x=，则()()f x g x ⋅=__________﹒【答案】x ，x ＞1【分析】求f (x )·g (x )的定义域，然后化简f (x )·g (x )即可﹒【详解】()()f x g x ⋅定义域为(1，＋∞)，2()()x f x xx g ⋅==，∴()()f x g x ⋅=x ，x ＞1．故答案为：x ，x ＞1．8.若log 41,a b =-则a b +的最小值为_________.【答案】1【详解】试卷分析：由log 41,a b =-得104a b=>，所以114a b b b +=+≥=（当且仅当14b b =即12b =时，等号成立）所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.9.幂函数()()3311t f x t t x+=-+是奇函数，则()2f =______．【答案】2【分析】根据幂函数的定义求出t 的值，再验证()f x 是否为奇函数，从而求出()2f 的值．【详解】()()3311t f x t t x+=-+ 为幂函数311t t ∴-+=，解得：1t =±或0当1t =时，()4f x x =为偶函数，不合题意当1t =-时，()2f x x -=为偶函数，不合题意当0=t 时，()f x x =为奇函数，符合题意()22f ∴=综上所述：()22f =故答案为2【点睛】本题考查了幂函数的定义、奇偶性的应用，属于基础题．10.函数21lg 82y x x =+-的单调递减区间是______．【答案】(]2,1-【分析】根据对数函数定义域要求求得函数的定义域；根据复合函数单调性，由对数函数为增函数，要求复合函数的减区间，需求真数的减区间，即分式的分母的增区间，利用二次函数的单调性求解即可得到结果．【详解】由题意得：21082x x >+-，解得：24-<<x ∴函数21lg82y x x=+-的定义域为()2,4-根据复合函数单调性可知，要求21lg 82y x x=+-的单调递减区间，只需求282y x x =+-在()2,4-上的单调递增区间即可282y x x =+-在(]2,1-上单调递增，在[)1,4上单调递减∴函数21lg82y x x=+-的单调递减区间为(]2,1-故答案为(]2,1-【点睛】本题考查复合函数的单调性的求解，涉及到分式函数、二次函数和对数函数的单调性；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.11.函数1223xxy -=+的值域是______．【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】采用分离常数法得到4123x y =-++，根据指数函数的值域和不等式的性质即可求得函数的值域.【详解】()2341241232323x x x x x y -++-===-++++233x +> 440233x ∴<<+4111233x ∴-<-+<+∴函数1223xx y -=+的值域为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查分离常数法求解分式型函数的值域问题，涉及到指数函数值域的运用，属于基础题.12.设关于x 的方程265x x a -+=的不同实数解的个数为n ，当实数a 变化时，n 的可能取值组合的集合为______．【答案】{}0,2,3,4【分析】将方程265x x a -+=的实数解的个数问题转化为265y x x =-+与y a =交点的个数问题，作图分析即得答案．【详解】由题意知：n 为265y x x =-+与y a =交点的个数在平面直角坐标系中画出265y x x =-+与y a =的图象，如图：①当a<0时，该方程没有实数根，0n =；②当0a =时，该方程恰有两个实数解，2n =；③当04a <<时，该方程有四个不同的实数根，4n =；④当4a =时，该方程有三个不同的实数根，3n =；⑤当4a >时，该方程有两个不同的实数根，2n =；n ∴的可能取值组合的集合为{}0,2,3,4故答案为{}0,2,3,4【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数判断，关键是能够将问题转化为函数交点个数问题，通过数形结合的方法来进行求解．13.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.【答案】10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．【详解】解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，解得：a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；故答案为：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．14.若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；【答案】[)5,+∞【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可.【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+，当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+，且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-，且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++，且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞故答案为：[)5,+∞【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．【答案】①.1-②.(][),04,-∞+∞ 【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由()f x 的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与x 轴有交点，得到0∆≥，解不等式即可得到所求范围．【详解】①由题意得：()111f a a =-+=()f x 为R 上的奇函数()()f x f x ∴-=-()()111f f ∴-=-=-②若()f x 的值域为R 且()f x 图象关于原点对称∴当0x >时，()2f x x ax a =-+与x 轴有交点240a a ∴∆=-≥解得：0a ≤或4a ≥a ∴的取值范围为(][),04,-∞+∞ 故答案为1-；(][),04,-∞+∞ 【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题．16.已知函数()()41g x t x x=--，[]1,2x ∈的最大值为()f t ，则()f t 的解析式为()f t =______．【答案】24,0305,3t t t t t -≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩【分析】当1t =和1t >时，可知函数单调递增，则()()2f t g =；当1t <时，结合对号函数性质得到()g x 在()0,∞+2≥、12<<和1≤三种情况下确定()g x在[]1,2上的单调性，进而可确定最大值点，代入求得最大值；综合各种情况可得最终结果.【详解】①当1t=时，()4g xx=-，可知()g x在[]1,2上单调递增()()22f t g∴==-②当1t>时，()()41g x t xx=--，可知()g x在[]1,2上单调递增()()222224f tg t t∴==--=-③当1t<时，()()()4411g x t x t xx x⎡⎤=--=--+⎢⎥⎣⎦由对勾函数性质可知：()g x在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减2≥，即01t≤<时，()g x在[]1,2上单调递增()()224f tg t∴==-⑵当12<<，即30t-<<时()g x在⎡⎢⎣上单调递增，在2⎤⎥⎦上单调递减()f t g∴==--1≤，即3t£-时，()g x在[]1,2上单调递减()()15f tg t∴==-综上所述：()24,0305,3t tf t tt t-≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩故答案为24,0305,3t ttt t-≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩【点睛】本题考查含参数的函数最值的求解，涉及到对号函数性质的应用；关键是能够通过分类讨论的方式，将变量所处不同范围时函数的单调性确定，进而根据函数单调性得到最值.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知关于x的不等式()22log230x x t-++<，其中t R∈．（1）当0=t时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t 的取值范围．【答案】（1）130,1,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；（2）9,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据对数函数性质可得20231x x <-+<，解不等式求得结果；（2）不等式有解等价于2223231x x t x x -<<-+能成立；分别求出不等式左右两侧函数的最小值和最大值，从而得到t 的范围.【详解】（1）当0=t 时，不等式为：()22log 230x x -+<，即20231x x <-+<等价于22231230x x x x ⎧-+<⎨-+>⎩，解得：102x <<或312x <<∴不等式的解集为130,1,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） 不等式()22log 230x x t -++<有解20231x x t ∴<-++<有解2223231x x t x x ∴-<<-+能成立令()223f x x x =-，则()min 39994848f x f ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭令()2231g x x x =-+，则x →+∞或x →-∞时，()g x →+∞98t ∴>-，即实数t 的取值范围为9,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查对数不等式的求解、能成立问题的求解；解决能成立问题的关键是能通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的大小比较，通过求解函数最值求得结果；易错点是求解对数不等式时，忽略定义域的要求.18.已知函数()()210x f x x x +⎛⎫=> ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的反函数()1fx -；（2）若2x ≥时，不等式()()(11x f x a a ---＞恒成立，求实数a 的范围．【答案】（1）())11fx x -=>；（2）()1-+【分析】（1）首先确定()f x 的值域，再根据解析式反解出x ，再将,x y 互换，标注出定义域（即()f x 的值域）即可得到结果；（2）利用（1）的结论，将不等式化成(211a a +>-，分别在1a =-、1a >-和1a <-三种情况下，利用恒成立的思想求解出实数a 的取值范围.【详解】（1）()22111x f x x x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x >111x∴+>()()1,y f x ∴=∈+∞又11x+=，解得：x =())11f x x -∴=>（2）由（1）得：((11x a a -=>(211a a ∴+>-①当1a =-时，00>，不成立②当1a >-2111a a a ->=-+对2x ≥恒成立11a ∴-<<+③当1a <-1a <-对2x ≥恒成立x →+∞→+∞∴此时a 无解综上所述：()1a ∈-+【点睛】本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等知识，考查运算求解能力；求反函数，一般应分以下步骤：求解出()y f x =的值域，即为所求反函数的定义域；由解析式反求出()x g y =；交换()x g y =中,x y 的位置，标注出定义域即可得到()1fx -.19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()23214x f x a a x =-+++，[)0,24x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且102a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[)0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）求()M a 的表达式，并规定当()2M a ≤时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎣⎦；（2）答案见解析，50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）当0x =时，得到0=t ；当024x <<时，11t x x=+，利用对勾函数性质可求得10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，取并集得到结果；（2）由（1）可将()f x 化为()33034231442a t t a g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪=-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，，，得到()g t 的单调性后，可知最大值在0=t 或12t =处取得；分别在104a ≤≤和1142a <≤两种情况下确定()g t 的最大值，即()M a ，由()2M a ≤得到不等式，解不等式求得结果.【详解】（1）当0x =时，0=t 当024x <<时，11t x x=+12x x +≥ （当且仅当1x x =，即1x =时取等号），又0x →时，1x x +→+∞[)12,x x∴+∈+∞110,12t x x⎛⎤∴=∈ ⎥⎝⎦+综上所述：10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知：令21x t x =+，则10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()33034231442a t t a f x g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪==-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，当[]0,t a ∈时，()g t 单调递减；1,2t a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g t 单调递增又()3034g a =+，1524g a ⎛⎫=+⎪⎝⎭()110222g g a ⎛⎫∴-=-⎪⎝⎭①当104a ≤≤时，1202a -≤()1524M a g a ⎛⎫∴==+⎪⎝⎭由()2M a ≤得：34a ≤10,4a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦②当1142a <≤时，1202a ->()()3034M a g a ∴==+由()2M a ≤得：512a ≤15,412a ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦综上所述：当50,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，综合污染指数不超标【点睛】本题主要考查了利用给定函数模型求解实际问题，涉及到函数值域的求解、根据函数性质求解不等式等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.指数函数()y g x =满足()24g =，且定义域为R 的函数()()()2g x n f x g x m-+=+是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若存在实数t ，使得不等式()()22220f t t f t k -+->成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）2m =，1n =；（2）1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由指数函数定义可求得()g x ；利用()f x 为R 的奇函数可利用特殊值()00f =和()()11f f -=-构造方程求得,m n ；（2）由（1）结论可得()11221x f x =-++，可知()f x 为减函数；利用奇偶性将不等式化为()()2222f t t f k t ->-，由单调性得自变量大小关系，整理可得232k t t >-，由不等式有解可得()2min32k t t >-，根据二次函数最小值可求得结果.【详解】（1）()y g x = 为指数函数，即x y a =，又()24g =2a ∴=，即()2xg x =()122x x n f x m+-+∴=+()f x 是定义域为R 的奇函数()00f ∴=，即102n m -=+1n ∴=又()()11f f -=-1121214m m -+-+∴=-++，解得：2m =（2）由（1）得：()()()1212121122221221x x x x x f x +-++-===-++++2x y = 在R 上单调递增()f x \在R 上单调递减()f x 为奇函数()()22220f t t f t k ∴-+->可化为()()()222222f t t f t k f k t ->--=-2222t t k t ∴-<-，即232k t t>-令()232h t t t =-，则()min 11213333h t h ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭13k ∴>-即k 的取值范围为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点包括：待定系数法求指数函数的解析式，利用函数的奇偶性和函数单调性求解函数不等式，根据不等式能成立求解参数范围的问题；关键是能够利用函数性质将函数值的比较转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法得到所求变量与函数最值之间的关系．21.设集合M 为下述条件的函数()f x 的集合：①定义域为R ；②对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜．（1）判断函数()2f x x =是否为M 中元素，并说明理由；（2）若函数()f x 是奇函数，证明：()f x M ∉；（3）设()f x 和()g x 都是M 中的元素，求证：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩也是M 中的元素，并举例说明，()()()()()()(),,f x f x g x G x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩不一定是M 中的元素．【答案】（1）()2f x x =为M 中元素，理由见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【分析】（1）函数()2f x x =的定义域为R ，运用作差法结合新定义，可判断出满足条件，即可得到结论；（2）根据()()f x f x -=-，得到当210x x ->->时，()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫+>+⎪⎝⎭，即可得证；（3）分别讨论12,x x 对应点都在()f x 或()g x 上、12,x x 分别在两个函数上两种情况，可验证出结论；举例()2f x x =，()()23g x x =+，取12x =-，21x =-，可验证出不符合条件，即可得到结论．【详解】（1）函数()2f x x =的定义域为R ，满足条件①()()22121212123333f x f x x x +=+ ，2221212112212121443333999f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()222121211221212122422033339999f x x f x f x x x x x x x ⎛⎫∴+--=-+-=--< ⎪⎝⎭即：()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫+<+⎪⎝⎭，满足条件②∴函数()2f x x =是M 中元素（2）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-若当210x x ->->时，()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫--<-+- ⎪⎝⎭则121212123333f x x fx x ⎛⎫⎛⎫+=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()121212123333f x f x f x f x +=----()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，不满足条件②，()f x M∴∉（3）①若12,x x 对应的点在()f x 或()g x 图象上()(),f x g x Q 都是M 中的元素()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫∴+<+ ⎪⎝⎭，()()121212123333g x x g x g x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭可知结论必然成立②若12,x x 对应的点一个在()f x 上，一个在()g x 上()()()()121212121212333333f x g x g x g x g x x ⎛⎫∴+>+>+ ⎪⎝⎭或()()()()121212121212333333f x g x f x f x f x x ⎛⎫+>+>+ ⎪⎝⎭∴题设结论成立综上所述：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩是M 中元素当()2f x x =，()()23g x x =+，满足()(),f x g x 均为M 中元素当32x ≥-时，()2G x x =；当32x <-时，()()23G x x =+取12x =-，21x =-1212433332x x ∴+=->-，41639G ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭又()()12121213333G x G x +=+=，()()121212123333G x x G x x ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭()G x ∴存在不满足条件的情况，不一定为M 中的元素【点睛】本题考查新定义的理解与运用，涉及到函数奇偶性的应用、作差法和反例法的应用，考查学生的推理能力和计算能力，相对较抽象，属于中档题.。
2017-2018学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中考数学试卷含详解
复旦附中2017学年第二学期高二年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，满分48分）1.两条异面直线所成角的取值范围是________2.设()()4511i z +=-+，则Im z =________3.若复数z 是纯虚数，且满足226z z -++=，则z =__________4.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1B 到平面11AA C C 的距离是__________5.如图，三角形ABC 为直角三角形，90C ∠=︒，SA ⊥平面ABC ，则在四面体S ABC -的四个面中，共有______对互相垂直的平面.6.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点，则异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为______（用反余弦函数表示）7.关于x 的实系数方程210x x -+=的一个根为α，则arg α=________8.已知直线a ，如果直线b 同时满足：（1）和a 异面；（2）和a 所成的角是30︒；（3）和a 的距离为2，这样的直线b 有_____条.9.空间四边形ABCD 中，1AB AC AD BC BD CD ======，则二面角B AC D --的大小为_______（用反余弦函数表示）10.若变量x ，y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k =_________．11.已知()()111...1n z i n Z +⎛⎛⎛=++++∈ ⎝⎝⎝，则20172018z z -的值是____12.已知11z i =-+，235z i =+，32z i =+，44=-z i ，若在复平面中1z ，2z ，3z ，4z 所对应的点分别为1Z ，2Z ，3Z ，4Z ，过直线12Z Z 作一个与复平面所成的锐角为30︒的平面α，则线段34Z Z 在平面α内的射影长为____________二、选择题（每题4分，满分16分）13.对于以下四个命题：①两条异面直线有无数条公垂线；②直线在平面内的射影是直线；③如果两条直线在同一个平面内的射影平行，那这两条直线平行；④过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；上述命题中为真命题的个数为（）个A.1B.2C.3D.414.设(),z a bi a b R =+∈，那么11z z -+为纯虚数的充要条件是（）A.1a = B.1a =且0b ≠ C.1z = D.1z =且0b ≠15.对不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，有下面四个命题：①对于任意(),x y D ∈，都有22x y +≥-；②存在(),x y D ∈，使得22x y +≥；③对于任意(),x y D ∈，都有23x y +≤；④存在(),x y D ∈，使得21x y +≤-，其中的真命题是（）A.②③B.①②C.①④D.①③16.给出下列两个命题：（1）设a ，b ，c 都是复数．如果222a b c +>，则2220a b c +->；（2）设a ，b ，c 都是复数，如果2220a b c +->，则222a b c +>．那么，下述说法正确的是A.命题（1）正确，命题（2）也正确B.命题（1）正确，命题（2）错误C.命题（1）错误，命题（2）也错误D.命题（1）错误，命题（2）正确三、解答题（满分56分）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13BB BC ==，4AB =；（1）求证：平面11//AB D 平面1BDC ；（2）求11A B 与平面11AB C D 所成的角．18.复数z 满足224z iz ti -=+，t R ∈，（1）当2t =时，求z ；（2）若复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，求实数t 的取值范围．19.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，（如图）E 是棱11C D 的中点，F 是侧面11AA D D 的中心.（1）求三棱锥11A D EF -的体积；（2）求异面直线1A E 与AB 的夹角；（3）求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小.（结果用反三角函数表示）20.若关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，满足7αβ-=.（1）若1z ，2z ，m 均是实数，且212416z z -=，求m 的值；（2）若1z ，2z ，m 均是复数，且21241620z z i -=+，求m 的最大值和最小值．21.已知非零复数(),z x yi x y R =+∈，(),x y i x y R ω''''=+∈，()010z mi m =->；若z ，ω，0z 满足0z z ω=⋅，2z ω=.（1）求m 的值；（2）若z 所对应点(),x y 在圆2240x y x +-=，求ω所对应的点的轨迹；（3）是否存在这样的直线l ，z 对应点在l 上，ω对应点也在直线l 上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，若不存在，说明理由.复旦附中2017学年第二学期高二年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，满分48分）1.两条异面直线所成角的取值范围是________【答案】(0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．2.设()()4511i z +=-+，则Im z =________【答案】16-【分析】先对根据复数的运算法则，得到11616=-z i ，即可得出其虚部.【详解】()()()()42521(2)131616121+=====--+---i i z i因此其虚部为16-.故答案为16-【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的概念，熟记复数运算法则，以及复数的概念即可，属于基础题型.3.若复数z 是纯虚数，且满足226z z -++=，则z =__________【答案】【分析】先设复数z bi =，其中b ∈R ，且0b ≠，根据题意得到226-+++=bi bi ，根据复数的计算公式，即可求出结果.【详解】设复数z bi =，其中b ∈R ，且0b ≠，由226z z -++=得226-+++=bi bi ，6=，即3=，解得b =.所以=z ；故答案为【点睛】本题主要考查由复数的模求复数，熟记复数模的计算公式即可，属于常考题型.4.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1B 到平面11AA C C 的距离是__________【答案】2【分析】连结11B D 交11A C 于点O ，根据线面垂直的判定定理，证明11B D ⊥平面11AA C C ；再根据题中数据，即可求出结果.【详解】连结11B D 交11A C 于点O ，所以在正方体1111ABCD A B C D -中，1111B D A C ⊥；又侧棱1AA ⊥底面1111D C B A ，所以111⊥B D AA ；因为1111AA AC A ⋂=，且1AA ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，所以11B D ⊥平面11AA C C ；因为正方体的棱长为1，所以11=B D ，因此点1B 到平面11AA C C 的距离是111122==B O B D .故答案为22【点睛】本题主要考查求点到平面距离，熟记线面垂直的判定定理，以及正方体的结构特征即可，属于常考题型.5.如图，三角形ABC 为直角三角形，90C ∠=︒，SA ⊥平面ABC ，则在四面体S ABC -的四个面中，共有______对互相垂直的平面.【答案】3【分析】根据线面垂直，面面垂直的判定定理，直接判断，即可得出结果.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，SA ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAB ，所以平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面ABC ；又三角形ABC 为直角三角形，90C ∠=︒，即⊥CB CA ，又SA ⊥平面ABC ，所以⊥SA CB ；因为SA AC A ⋂=，所以CB ⊥平面SAC ；又CB ⊂平面SBC ，所以平面SAC ⊥平面SCB ；综上，共3对互相垂直的平面.故答案为3【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，熟记线面垂直，面面垂直的判定定理即可，属于常考题型.6.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点，则异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为______（用反余弦函数表示）【答案】10arccos5【分析】记F 为棱CD 的中点，连结1C F ，EF ，BE ，根据题意得到11//C F B E ，所以1FC B Ð即是异面直线1B E 与1BC 所成角，设正方体棱长为2，结合余弦定理求解，即可得出结果.【详解】记F 为棱CD 的中点，连结1C F ，EF ，BE ，因为正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱AB 的中点，所以EF 与11B C 平行且相等，即四边形11EFB C 为平行四边形，所以11//C F B E ，因此1FC B Ð即是异面直线1B E 与1BC 所成角，设正方体棱长为2，则2211415C F CC CF =+=+=，22114422C B CC CB =+=+=，22415BF CB CF =+=+=，所以158510cos 52522FC B +-Ð==×，所以110arccos5FC B Ð=.即异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为10arccos5.故答案为10arccos5【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角，结合余弦定理求解即可，属于常考题型.7.关于x 的实系数方程210x x -+=的一个根为α，则arg α=________【答案】3π±【分析】先设αa bi =+（,a b R ∈）为方程210x x -+=的一个根，根据复数相等的充要条件，得到1322αi =，根据arg α表示复数αa bi =+的辐角，结合辐角的概念，即可求出结果【详解】设αa bi =+（,a b R ∈）为方程210x x -+=的一个根，则()210+--+=a bi a bi ，整理得：()()22120-++--=a b a ab b i ，所以221020a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩，解得122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1322αi =因为arg α表示复数αa bi =+的辐角，记为θ，因此tan θ==ba又复数的辐角是复数所对应的向量与x 轴正方向的夹角，因此3πθ=±.故答案为3π±【点睛】本题主要考查求复数的辐角，以及解复数系下的方程，熟记复数相等的充分条件，以及复数辐角的概念即可，属于常考题型.8.已知直线a ，如果直线b 同时满足：（1）和a 异面；（2）和a 所成的角是30︒；（3）和a 的距离为2，这样的直线b 有_____条.【答案】无数【分析】明确异面直线的定义，夹角及距离，即可作图分析出结果.【详解】作出平面α，β，其中//αβ，不妨令a α⊂，b β⊂，且直线a 与直线b 满足题中条件；则平面β内任一条与b 平行的直线，都能满足题意.因此这样的直线b 有无数条.故答案为无数【点睛】本题主要考查异面直线，熟记异面直线的定义即可，属于常考题型.9.空间四边形ABCD 中，1AB AC AD BC BD CD ======，则二面角B AC D --的大小为_______（用反余弦函数表示）【答案】1arccos3【分析】先取AC 中点为O ，连结,OB OD ，根据题意得到OB AC ⊥，OD AC ⊥，推出BOD ∠即是二面角B AC D --的平面角，再由题中数据，结合余弦定理，即可求出结果.【详解】取AC 中点为O ，连结,OB OD ，因为AB BC AD CD ===，所以OB AC ⊥，OD AC ⊥，因此BOD ∠即是二面角B AC D --的平面角，又1AB AC AD BC BD CD ======，所以213122⎛⎫==-= ⎪⎝⎭BO OD ，因此222331144cos 32324--+-∠===⋅⨯OB OD BD BOD OB OD .所以1arccos 3∠=BOD ，即二面角B AC D --的大小为1arccos 3.故答案为1arccos3【点睛】本题主要考查求二面角的大小，根据题意作出二面角的平面角，结合余弦定理即可求解，属于常考题型.10.若变量x ，y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k =_________．【答案】2-【详解】试卷分析：画出如图所示的可行域，由可得，由图像可知当直线经过点A时，直线截距最小，即最小，则目标函数为因为解得即，因为点A也在直线上，所以11.已知()()111...123n z i n Z n +⎛⎛⎛=++++∈ ⎝⎝⎝，则20172018z z -的值是____【答案】1【分析】先由题意得到()20172018112017201...11823⎛⎛⎛=++++- ⎪ ⎝⎝-⎝⎝z z i ，根据复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】由题意，()2017111...1⎛⎛⎛=++++ ⎝⎝⎝z i ，()2018111...1⎛⎛⎛=++++⎝⎝⎝z i ，所以()20172018111...1⎛⎛⎛=++++- ⎝⎝-⎝⎝z z i ，因此20172018111...1z z i -=+⋅++⋅+-...1==故答案为1【点睛】本题主要考查复数模的计算，熟记公式即可，属于常考题型.12.已知11z i =-+，235z i =+，32z i =+，44=-z i ，若在复平面中1z ，2z ，3z ，4z 所对应的点分别为1Z ，2Z ，3Z ，4Z ，过直线12Z Z 作一个与复平面所成的锐角为30︒的平面α，则线段34Z Z 在平面α内的射影长为____________【答案】【分析】先由题意，得到1(1,1)-Z ，()23,5Z ，()32,1Z ，()44,1-Z ，根据题意，得到直线34Z Z 与平面α所成角为30︒；进而可求出结果.【详解】由题意可得：1(1,1)-Z ，()23,5Z ，()32,1Z ，()44,1-Z ，则121=Z Z k ，121=-Z Z k ，所以1234⊥Z Z Z Z ；又12Z Z ，34Z Z 都在复平面内，过直线12Z Z 所作的平面α与复平面所成的锐角为30︒，所以直线34Z Z 与平面α所成角为30︒；因此线段34Z Z 在平面α内的射影长为343cos302== Z Z .故答案为【点睛】本题主要考查线段在平面内的投影，以及复数的几何意义，熟记复数的几何意义，以及线面角的概念即可，属于常考题型.二、选择题（每题4分，满分16分）13.对于以下四个命题：①两条异面直线有无数条公垂线；②直线在平面内的射影是直线；③如果两条直线在同一个平面内的射影平行，那这两条直线平行；④过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；上述命题中为真命题的个数为（）个A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据异面直线的概念与性质，以直线与平面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】①任意两条异面直线的公垂线有且仅有一条；故①错；②当直线与平面垂直时，直线在平面内的射影是点，故②错；③当两条直线在同一个平面内的射影平行，那这两条直线可能平行，或异面；故③错；④过两条异面直线的一条如果有两个平面与已知直线平行，则第一条直线即是这两个平面的交线，且第二条直线与两平面都平行，则第二条直线平行与两平面的交线，即两直线平行，与两直线异面矛盾，所以过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；故④正确；故选A【点睛】本题主要考查直线与直线，以及直线与平面位置关系的判定，熟记直线与直线，以及直线与平面的位置关系即可，属于常考题型.14.设(),z a bi a b R =+∈，那么11z z -+为纯虚数的充要条件是（）A.1a =B.1a =且0b ≠ C.1z = D.1z =且0b ≠【答案】D【分析】先由题意，根据复数的运算得到()222211211-+-+=+++z a b bi z a b ，再由11z z -+为纯虚数，得到221020a b b ⎧+-=⎨≠⎩，进而可得出结果.【详解】因为(),z a bia b R =+∈，所以()()()()11111111a bi a bi z a bi z a bi a bi a bi -++---+==++++++-()2222121+-+=++a b bia b，又11z z -+为纯虚数，所以221020a b b ⎧+-=⎨≠⎩，即1z =且0b ≠.故选D【点睛】本题主要考查复数是纯虚数的充要条件，熟记复数的运算法则，以及复数的类型即可，属于常考题型.15.对不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，有下面四个命题：①对于任意(),x y D ∈，都有22x y +≥-；②存在(),x y D ∈，使得22x y +≥；③对于任意(),x y D ∈，都有23x y +≤；④存在(),x y D ∈，使得21x y +≤-，其中的真命题是（）A.②③B.①②C.①④D.①③【答案】B【分析】先作出不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域，根据图像，逐项判断，即可得出结果.【详解】作出不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域如下：由图知，区域D 为直线1x y +=与24x y -=相交的上部角型区域；显然区域D 所有的部分都在直线22+=-x y 的上方，有一部分在22x y +=的上方；显然①②正确；区域D 有一部分在23x y +=的下方，故③错误；区域D 所有的部分都在直线21x y +=-的上方，所以21+≥-x y ；故④错误；综上①②正确.故选B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及不等式所表示的平面区域，熟记二元一次不等式所表示的平面区域即可求解，属于常考题型.16.给出下列两个命题：（1）设a ，b ，c 都是复数．如果222a b c +>，则2220a b c +->；（2）设a ，b ，c 都是复数，如果2220a b c +->，则222a b c +>．那么，下述说法正确的是A.命题（1）正确，命题（2）也正确B.命题（1）正确，命题（2）错误C.命题（1）错误，命题（2）也错误D.命题（1）错误，命题（2）正确【答案】B【详解】命题（1）是正确的.222a b c +>表明22a b +与2c 都是实数，因此，根据移项法则有2220a b c +->.命题（2）是错误的.2220a b c +->仅表明222a b c +-是实数，并不能保证22a b +与2c 都是实数，故222a b c +>不一定成立.例如，取2a i =+，b i =，c =，则有()()222341420a b c i i +-=++--=>，但并没有222244a b i i c +=+>=.三、解答题（满分56分）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13BB BC ==，4AB =；（1）求证：平面11//AB D 平面1BDC ；（2）求11A B 与平面11AB C D 所成的角．【答案】（1）证明见详解；（2）3arctan4【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）过点1A 作1A O ⊥1AB 于点O ，证明1A O ⊥平面11AB C D ，得到11∠A B A 为11A B 与平面11AB C D 所成的角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，易知：11//BB DD 且11BB DD =，11//AB C D 且11AB C D =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，四边形11ABC D 也是平行四边形；因此11//BD B D ，11//AD BC ；又BD ⊂平面1C BD ，11B D ⊄平面1C BD ；1BC ⊂平面1C BD ，1AD ⊄平面1C BD ；所以11//B D 平面1C BD ；1//AD 平面1C BD ；又11B D ⊂平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，1111AD B D D ⋂=，所以平面11//AB D 平面1BDC ；（2）过点1A 作1A O ⊥1AB 于点O ，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，易知：AD ⊥平面11B BAA ，所以1⊥AD A O ，又1AB ⊂平面11AB C D ，AD ⊂平面11AB C D ，所以1A O ⊥平面11AB C D ，因此，11∠A B A 为11A B 与平面11AB C D 所成的角；又在长方体1111ABCD A B C D -中，13BB BC ==，4AB =，因此111113tan 4∠==A A A B A A B ，所以113arctan4∠=A B A ；即11A B 与平面11AB C D 所成的角为3arctan4.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的几何求法即可，属于常考题型.18.复数z 满足224z iz ti -=+，t R ∈，（1）当2t =时，求z ；（2）若复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，求实数t 的取值范围．【答案】（1或；（2）()0,4.【分析】先设z a bi =+，（,a b R ∈），（1）根据题意，得到222()42+-+=+a b i a bi i ，根据复数相等的充要条件，列出方程组222422a b b a ⎧++=⎨-=⎩，求解，即可得出结果；（2）先由题意得到222()4+-+=+a b i a bi ti ，根据复数相等的充要条件，得到22242a b b a t ⎧++=⎨-=⎩，再由复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，得到00b a >⎧⎨<⎩，推出2200b b a ⎧+>⎨<⎩，从而可得出结果.【详解】设z a bi =+，（,a b R ∈），（1）当2t =时，224z iz ti -=+可化为：222()42+-+=+a b i a bi i ；整理得：()222242++-=+a b b ai i ，所以222422a b b a ⎧++=⎨-=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或13a b =-⎧⎨=-⎩，因此==z；（2）由224z iz ti -=+，可得：222()4+-+=+a b i a bi ti ，整理得：()22224++-=+a b b ai ti ，所以22242a b b a t ⎧++=⎨-=⎩，解得：222442t b b ta ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因为复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，所以00b a >⎧⎨<⎩，因此2200b b a ⎧+>⎨<⎩，即240402t t ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得：04t <<；即实数t 的取值范围为()0,4.【点睛】本题主要考查求复数的模，以及已知复数对应点的位置求参数，熟记复数模的计算公式，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.19.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，（如图）E 是棱11C D 的中点，F 是侧面11AA D D的中心.（1）求三棱锥11A D EF -的体积；（2）求异面直线1A E 与AB 的夹角；（3）求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小.（结果用反三角函数表示）【答案】（1）13；（2）arccos 5；（3）2.【分析】（1）对三棱锥11A D EF -换底，换成以F 为顶点，11A D E 为底的三棱锥，求出底面11A D E 的面积和对应的高，得到所求的体积.（2）找到异面直线1A E 与AB 所成的角，在11EA B 内由余弦定理求出.（3）取11A D 中点M ，连接MF ，通过证明MF ⊥平面1111D C B A ，找到FEM ∠即为EF 与底面1111D C B A 所成的角，求解即可.【详解】（1）11111113A D EF F A D E A D E V V S h --==⋅⋅=111211323⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭（2）11A B AB ，11EA B ∴∠或其补角即为异面直线1A E 与AB 所成角，在11EA B，11A E EB ==，112A B =，222111111111cos 25A E AB EB EA B A E A B +-∴∠==⋅，∴异面直线1A E 与AB 所成角为5arccos 5（3）取11A D 中点M ，连接MF ，1MF A A 且1A A ⊥平面1111D C B A ，MF ∴⊥平面1111D C B A ，FEM ∴∠即为EF 与底面1111D C B A 所成的角，1112MF AA ==,ME=tan 2MF FEM ME ∠===，EF ∴与底面1111D C B A所成的角的大小为arctan2.【点睛】本题考查三棱锥等体积转化，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，熟记棱锥的体积公式，异面直线所成的角，以及线面角的求法即可，属于中档题.20.若关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，满足αβ-=.（1）若1z ，2z ，m 均是实数，且212416z z -=，求m 的值；（2）若1z ，2z ，m 均是复数，且21241620z z i -=+，求m 的最大值和最小值．【答案】（1）3m =-；（2）7，最小值为7【分析】（1）先由题意，根据根与系数关系得到1αβz +=-，2αβz m =+，求出12284()2+-=z z m ，再由题意，得出42816+=m ，即可得出结果；（2）先由题意设m a bi =+，（,a b R ∈），得到[]212444(4)(5)--=-+-z z m a b i ，再结合题中条件，得到222(4)(5)7-+-=a b ，将复数模的问题，转化为圆上的点到与定点的距离问题，进而可求出结果.【详解】（1）因为1z ，2z ，m 均是实数，关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，所以1αβz +=-，2αβz m =+，又αβ-=，所以()2428αβαβ=-+，即12284()2+-=z z m ，即1228442=+-z z m ，又212416z z -=，所以42816+=m ，解得：3m =-；（2）因为1z ，2z ，m 均是复数，设m a bi =+，（,a b R ∈），则[]212441620444(4)(5)--=+--=-+-z z m i a bi a b i ，由αβ-=得228αβ-=，即()2428αβαβ+-=，所以1228442-=-z z m ，即(4)(5)7-+-=a b i ，所以222(4)(5)7-+-=a b ，即复数m 对应的点(,)a b 在圆222(4)(5)7-+-=a b 上，该点与原点距离的最大值为77+=+，最小值为：77=因此=m 的最大值为7+，最小值为7【点睛】本题主要考查根与系数关系的应用，以及复数模的计算，熟记复数的运算法则，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.21.已知非零复数(),z x yi x y R =+∈，(),x y i x y R ω''''=+∈，()010z mi m =->；若z ，ω，0z 满足0z z ω=⋅，2z ω=.（1）求m 的值；（2）若z 所对应点(),x y 在圆2240x y x +-=，求ω所对应的点的轨迹；（3）是否存在这样的直线l ，z 对应点在l 上，ω对应点也在直线l 上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，若不存在，说明理由.【答案】（1（2）ω所对应的点的轨迹是以(为圆心，以4为半径的圆；（3）这样的直线l 存在，且有两条y =或3y x =.【分析】（1）先由题意，得到02==z ，求解，即可得出结果；（2）先由0z z ω=⋅得到()()1''+=+-x y i x yi ，推出3434x x y y ''⎧'=⎪⎪⎨+='-⎪⎪⎩代入2240x y x +-=，得到()(22216''-+-=x y ，进而可得出结果；（3）先设直线l 存在，且为y kx b =+，根据()()1''+=+-x y i x yi得到'=+x x，'=-y y ；再由ω对应点也在直线l 上，y kx b ''=+，推出()-=++y k x b，得到k b ⎧=⎪=⎪⎩，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为2z ω=，0z z ω=⋅得002=⋅=z z z z z ，又()010z mi m =->，所以02==z ，所以m =；（2）由(),x y i x y R ω''''=+∈，0z z ω=⋅，得()()1''+=+-x y i x yi ，即44''''''+--==+x y x yi ，所以3434x x y y ''⎧'=⎪⎪⎨+='-⎪⎪⎩，因为2240x y x +-=，所以2233340444⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x y x ，即2240''''+--=x y x ，即()(22216''-+-=x y ；所以ω所对应的点的轨迹是以(为圆心，以4为半径的圆；（3）设直线l 存在，且为y kx b =+，由()()1''+=+-x y i x yi得'=+x x，'=-y y ；因为ω对应点也在直线l 上，所以y kx b ''=+，()-=++y k x b，所以=-y因此k b ⎧=⎪=⎪⎩，解得0b k =⎧⎪⎨=⎪⎩或03b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以这样的直线l存在，且有两条y =或3y x =.【点睛】本题主要考查复数代数形式的混合运算，以及点的轨迹问题，熟记复数的运算法则，复数的几何意义，以及点的轨迹方程的求法等即可，属于常考题型.。
复旦附中2018-2019学年第一学期高二年级期末考试卷2019.01 (1)
复旦附中2018-2019学年第一学期高二年级期末考试卷2019.01 一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1、抛物线y x 42=的准线方程是_________.2、若方程11722=-+-m y m x 表示椭圆，则实数m 的取值范围是_________. 3、若直线0102:1=-+y ax l 与直线()0532:2=+++y a x l 平行，则1l 与2l 之间的距离为_________.4、过点()3,3作圆()()11222=++-y x 的切线，则切线所在直线的方程为_________.5、若一条双曲线与1822=-y x 有共同渐近线，且与椭圆12202=+y x 有相同的焦点，则此双曲线的方程为_________.6、已知三角形ABC 的顶点()03，-A ,()0,3B ，若顶点C 在抛物线x y 62=上移动，则三角形ABC 的重心的轨迹方程为___________.7、设Q P ,分别为直线⎩⎨⎧-=-=t y t x 281（t 为参数，R t ∈）和曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 52cos 51y x C ：（θ为参数，R ∈θ）上的点，则PQ 的取值范围是_________.8、已知直线,0834:=+-y x l 若P 是抛物线x y 42=上的动点，则点P 到直线l 和它到y 轴的距离之和的最小值为_________.9、如果M 为椭圆1925221=+y x C ：上的动点，N 为椭圆199:222=+y x C 上的动点，那么⋅的最大值为_________.10、若关于x 的方程a a x x --=2-1有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_________.11、已知直线0=+by ax l ：与椭圆1922=+y x 交于B A ,两点，若()，5,5C 则→→⋅CB CA 的取值范围是_________.12、在平面直角坐标系中，已知圆222r y x C =+：与曲线y x 3=交于两点N M ,（M 在第一象限），与y 轴正半轴交于P 点，若(),0>=→→m OM m OT 点)2,7(-Q ，则当m 和r 变化时，NQ TP +的最小值为_________.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13、方程028322=+-y xy x 所表示的曲线的对称性是（ ）A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于x y =轴对称D 关于原点对称 14、若点()b a ,是圆222r y x =+外一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系为（ ） A 相离 B 相切 C 相交不过圆心 D 相交且过圆心15、已知，R ∈θ由所有直线()1cos 2:=-θx L 组成的集合记为M ，则下列命题中的假命题是（ ）A 存在一个圆与所有直线相交B 存在一个圆与所有直线不相交C 存在一个圆与所有直线相切D M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等16、双曲线122=-y x 的左右焦点分别为21,F F ,若P 是双曲线左支上的一个动点，则△21F PF 的内切圆的圆心可能是（ ）A )2,1(-B )21,1(- C )1,21(- D )1,2(-三、解答题（本大题共5题，共48分）17、已知圆C 的圆心在直线08=-+y x 上，并且圆C 与直线212:1-=x y l 和112:2-=x y l 都相切.（1）求圆C 的方程；（2）若直线1462:+=++ax a ay x l 与圆C 有两个不同的交点MN 长的最小值.18、在平面直角坐标系xoy 中，动圆M 圆心的轨迹为曲线C .（1）如果直线l 过点()4,0且和曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）已知不经过原点的直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，判断命题“如果∠︒=90AOB ，那么直线l 经过点()0,4T ”是真命题还是假命题，并说明理由.19、轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有C B A ,,三个无线电发射台，其中A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知B A ，两点距离10千米，C 是AB 的中点，海岸线与直线AB 的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚375001秒（注：无线电信号每秒传播5103⨯千米），在某时刻，测得轮船距离C 点距离为4千米.（1）以点C 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置 （2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？20、已知椭圆C 的两个焦点分别为()()(),00,,0,21>-c c F c F 短袖的两个端点分别为,,21B B 且△211B B F 为等边三角形.（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C 的方程；（2）如果在椭圆C 上存在不同的两点Q P ,关于直线121+=x y 对称，求实数c 的取值范围； （3）已知点()，1,0M 椭圆C 上两点B A ,满足2=，求点B 横坐标的取值范围. 21、已知21,F F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左,右焦点，过2F 作垂直于x 轴的垂线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠ 3021=F MF . （1）求双曲线C 的两条渐近线的夹角θ；（2）过点2F 的直线l 和双曲线C 的右支交于B A ,两点，求△B AF 1的面积最小值；过双曲线C 上任意一点Q 分别作该双曲线两条渐进线的平行线，它们分别交两条渐近线于21Q Q ，两点，求平行四边形21QQ OQ 的面积.。