高二数学圆锥曲线习题及答案
（数学选修1-1）第二章 圆锥曲线[提高训练C 组]及答案
一、选择题
1．若抛物线x y =2
上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）
A ．1(,44±
B ．1(,)84±
C ．1(,44
D ．1(,84
2．椭圆
124
4922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直， 则△21F PF 的面积为（ ） A ．20 B ．22 C ．28 D ．24
3．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22
=的焦点，点M 在 抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）
A ．()0,0
B ．⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21 C ．()
2,1 D ．()2,2 4．与椭圆14
22
=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13
322=-y x D ．1222
=-y x 5．若直线2+=kx y 与双曲线62
2
=-y x 的右支交于不同的两点，
那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-
） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,3
15
--） 6．抛物线2
2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线
m x y +=对称，
且2
1
2
1-=⋅x x ，则m 等于（ ）
A ．23
B ．2
C ．2
5
D ．3
二、填空题
1．椭圆14
92
2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 。
2．双曲线2
2
1tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为___。
3．若直线2y kx =-与抛物线2
8y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则
AB =______。
4．若直线1y kx =-与双曲线2
2
4x y -=始终有公共点，则k 取值范围是 。
5．已知(0,4),(3,2)A B -，抛物线2
8y x =上的点到直线AB 的最段距离为__________。
三、解答题
1．当0
0180α从到变化时，曲线2
2
cos 1x y α+=怎样变化？
2．设12,F F 是双曲线
116
92
2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且01260F PF ∠=， 求△12F PF 的面积。
3．已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直
平分线与x 轴相交于点0(,0)P x .证明：.2
2022a
b a x a b a -<<--
4．已知椭圆22
143
x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同 两点关于直线4y x m =+对称。
（数学选修1-1） 第二章 圆锥曲线 [提高训练C 组]
一、选择题
1．B 点P 到准线的距离即点P 到焦点的距离，得
PO PF =，过点P 所作的高也是中线
1
8
x
P ∴=，代入到x y =2得y P =±
1(,8P ∴ 2．D 2
2
2
2
12121214,()196,(2)100PF PF PF PF PF PF c +=+=+==，相减得
3．D
MF 可以看做是点M 到准线的距离，当点M 运动到和点A 一样高时，MA MF +取得最小值，
即2y M =，代入x y 22
=得2x M =
4．
A 2
41c c =-=，且焦点在x 轴上，可设双曲线方程为22
22
13x y a a -
=-过点(2,1)Q 得222
22
4112,132
x a y a a -=⇒=-=- 5．D 222
2226,(2)6,(1)41002
x y x kx k x kx y kx ⎧-=-+=---=⎨=+⎩有两个不同的正根
则2
2122
1224024040,11001k k x x k x x k ⎧∆=->⎪⎪
⎪
+=>⎨-⎪
-⎪=>⎪-⎩
得1k <<- 6．A 22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -=
=--=-+=--而得，且212122
x x y y
++(,)
在直线y x m =+上，即2121
2121,222
y y x x m y y x x m ++=++=++ 二、填空题 1
．(55
-
可以证明12,,PF a ex PF a ex =+=-且2221212PF PF F F +<
而3,2,3
a b c e ===
=
，则22222222
()()(2),2220,1a ex a ex c a e x e x ++-<+<< 22111
,,
x x e e e
<
-<<
即55e -<< 2
渐近线为y =，其中一条与与直线210x y ++=
垂直，得11
,24
t == 3
．222122
848
,(48)40,42
y x k k x k x x x k y kx ⎧=+-++=+==⎨=-⎩ 得1,2k =-或，当1k =-时，2440x x -+=有两个相等的实数根，不合题意
当2k
=
时，12AB x =-===
4
．1,±222224,(1)4,(1)2501
x y x kx k x kx y kx ⎧-=--=-+-=⎨=-⎩
当2
10,1k k -==±时，显然符合条件；
当210k -≠
时，则2
20160,k k ∆=-== 5
直线AB 为240x y --=，设抛物线2
8y x =上的点2(,)P t t 三、解答题
1．解：当0
0α=时，0
cos01=，曲线2
2
1x y +=为一个单位圆；
当0
090α<<时，0cos 1α<<，曲线22
111cos y x α
+=为焦点在y 轴上的椭圆； 当090α=时，0cos900=，曲线2
1x =为两条平行的垂直于x 轴的直线；
当0
90180α<<时，1cos 0α-<<，曲线
22
111cos x y α
-=-
为焦点在x 轴上的双曲线； 当0180α=时，0cos1801=-，曲线22
1x y -=为焦点在x 轴上的等轴双曲线。
2．解：双曲线
116
92
2=-y x 的3,5,a c ==不妨设12PF PF >，则1226PF PF a -== 22201212122cos 60F F PF PF PF PF =+-⋅，而12210F F c ==
得2
2
2
12121212()100PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅=-+⋅=
3．证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，则中点1212
(
,)22
x x y y M ++，得2121,AB y y k x x -=-
22222211,b x a y a b +=22222222,b x a y a b +=得2222222121()()0,b x x a y y -+-=
即222
21222
21y y b x x a
-=--，AB 的垂直平分线的斜率2121,x x k y y -=-- AB 的垂直平分线方程为12211221(),22
y y x x x x
y x y y +-+-
=---
当0y =时，22222212121
0221(1)
2()2
y y x x x x b x x x a -+-+==-- 而2122a x x a -<+<，2222
0.a b a b x a a
--∴-<< 4．解：设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，21211
,4
AB y y k x x -=
=--
而2
2
113412,x y +=2
2
223412,x y +=相减得2
2
2
2
21213()4()0,x x y y -+-= 即1212003(),3y y x x y x +=+∴=，000034,,3x x m x m y m =+=-=-
而00(,)M x y 在椭圆内部，则22
91,43
m m +<
即m <<。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为 _________．【答案】②③【解析】①中没有规定k的范围，所以动点P的轨迹不一定是椭圆；②正确；③也正确，因为该方程的两个根一个大于1，一个大于零小于1；根据双曲线的第二定义可知④不正确.【考点】本小题主要考查圆锥曲线的定义的应用，考查学生的推理能力和运算求解能力.点评：圆锥曲线的定义中都有一些限制条件，解题时要特别注意.2. F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆【答案】C【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。
解：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以点M的轨迹是线段，故选C。
3.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质。
解：椭圆焦点在x轴，排除A,B。
将分别代入C,D方程中知选D。
4.过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y1) ，B(x2, y2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （）A．8B．10C．6D．4【答案】A【解析】由抛物线的焦半径公式得=，故选A。
【考点】本题主要考查抛物线的焦半径表达式应用。
点评：基础题，关键是记熟抛物线的焦半径公式。
5.过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】C【解析】因为点M（2，4）在抛物线y 2=8x上，所以应考虑两种情况，一是过点M与抛物线相切的直线；二是过点M平行于轴的直线，共有两条，故选C。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.已知两点和，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．给出下列直线：①；②；③；④，其中为“B型直线”的是（）A．①③B．①②C．③④D．①④【答案】Ｂ【解析】∵|PM|-|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即（x＞0），①，把y=x+1代入双曲线（x＞0）并整理，得7x2-18x-153=0，∵△=（-18）2-4×7×（-153）＞0∴y=x+1是“B型直线”．②把y=2代入双曲线（x＞0）并整理，得x2=，∴y=2是“B型直线”．③把代入双曲线（x＞0）并整理，得144=0，不成立．∴不是“B型直线”。
④把y=2x+1代入双曲线（x＞0）并整理，得20x2+36x+153=0，∵△=362-4×20×153＜0∴y=2x+1不是“B型直线”．故选B。
【考点】本题主要考查曲线方程的概念，双曲线的定义及标准方程。
点评：创新题型，理解满足。
的点是双曲线右支上的点是关键。
2. P为椭圆上一点，为它的一个焦点，求证：以为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．【答案】见解析。
【解析】证明：如图，设的中点为，则两圆圆心之间的距离为，即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．两圆内切，即以为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．【考点】本题主要考查椭圆的定义、标准方程、几何性质。
点评：基础题，分析图形的几何性质，联想定义是关键。
3.抛物线截直线所得弦长等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将y = 2x+1代入前面的得 4－ 8x+ 1 = 0；设交点坐标为 (，),(，)则+= 2，=，由弦长公式可得弦长等于，选A。
【考点】本题主要考查直线与抛物线位置关系。
点评：基本题型，圆锥曲线弦长公式要记住。
4.已知圆与抛物线的准线相切，则．【答案】2【解析】抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）2+y2=16相切，所以3+=4，p=2。
高二数学圆锥曲线综合测试题(使用)含答案!
高二数学圆锥曲线综合测试题（考试时间：120分钟，共150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )A.255B.32C.233D ．26．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1(x ＞3)D.x 216－y 29＝1(x ＞4)7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e5x (e 为双曲线离心率)，则有( )A ．b ＝2aB ．b ＝5aC ．a ＝2bD ．a ＝5b 8．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－17169．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ）A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--） 10．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．611．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 12．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．25D ．3 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.15．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．16．双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为__ _。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1, 0）B．（2, 0）C．（3, 0）D．（－1, 0）【答案】A【解析】主要考查抛物线的标准方程、几何性质。
易得，焦点坐标为（1, 0），故选A。
2.圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+ y 2-x-2 y -="0"B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"C．x2+ y 2-x-2 y +1=0D．x2+ y 2-x-2 y +=0【答案】D【解析】主要考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆的位置关系。
解：抛物线y 2=2x的准线为，验证圆心坐标适合y 2=2x且圆心到准线距离为半径。
选D。
3.平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A．y 2=－2x B．y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x【答案】C【解析】主要考查抛物线的定义、标准方程。
解：动圆圆心满足到定点A（-2，0）与到定直线x=2距离相等，其轨迹为抛物线，所以其方程为y 2=－8x，故选C。
4.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A．y 2=-2x B．y 2=-4xC．y 2=2x D．y 2=-4x或y 2=-36x【答案】B【解析】主要考查抛物线的定义、标准方程。
解：由已知，抛物线开口向左，设y 2=-2px,则5+=6，所以p=2，y 2=-4x。
故选B。
5.过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】C【解析】主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系。
解：结合图形分析。
点M在抛物线上，所以抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有过点M的切线及平行于轴的直线，共两条，故选C。
高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(完整资料).doc
即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
得 x2＋6x－11＝0②
记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以
A. B. C. D.
6．双曲线 离心率为2，有一个焦点与抛物线 的焦点重合，则mn的值为（）
A． B． C． D．
7.若双曲线 的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ()
(A)2(B)3(C)4(D)4
8．如果椭圆 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A B C D
9、无论 为何值，方程 所表示的曲线必不是（ ）
20在平面直角坐标系 中，点P到两点 ， 的距离之和等于4，设点P的轨迹为 ．（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线 与C交于A，B两点．k为何值时 ？此时 的值是多少？
21.A、B是双曲线x2－ ＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
（Ⅱ）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 ， 故 ．
，即 ． 而 ，
于是 ．
所以 时， ，故 ．
当 时， ， ．
，
而 ，
所以 ．
21A、B是双曲线x2－ ＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.若椭圆与双曲线有公共的焦点，其交点为且∠，则△的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵点p既在椭圆上又在双曲线上，∴，由椭圆与双曲线有公共的焦点，得∴∴.【考点】椭圆、双曲线定义的应用。
点评：本题主要考查椭圆和双曲线定义的灵活应用，先根据点p既在椭圆上又在双曲线上，得，，再利用完全平方式求出，从而求出△的面积。
2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，在抛物线上，可以设其方程为：，准线方程为：；根据抛物线的上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得到准线的距离为5，即∴抛物线方程为。
【考点】本题考查了抛物线的定义及其标准方程的求法。
点评：求抛物线的方程时，通常利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离来求。
本题中根据点在抛物线上判断出焦点在y轴负半轴上是关键。
3.若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取得最小值时点的坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（2，2）D．【答案】C【解析】点A（3，2）在抛物线的内部，如图：过点A向准线作垂线AH,交抛物线于P，此时取最小值,把代入得，所以的坐标是（2，2）。
【考点】抛物线的定义。
点评：本题用数形结合的思想来解。
如图，由抛物线的定义，,当A,P,H三点共线时，最小。
4.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的焦点为：设，则，设直线PQ为：，由得：∴∴∴。
【考点】抛物线的焦点弦。
点评：在解决焦点弦问题时，一般先利用定义转化成点到准线的距离，然后联立直线方程与抛物线方程，得一元二次方程，再利用韦达定理求解。
5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A. B. 6 C. D. 12【答案】C【解析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=4，所以选C【考点】本题主要考查椭圆的定义及标准方程。
高二下册数学圆锥曲线单元测试题有答案
高二下册数学圆锥曲线单元测试题有答案导读：本文高二下册数学圆锥曲线单元测试题有答案，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
一、选择题1 若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为( )A B C D2 椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为( )A B C D3 若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为( )A B C D4 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是( )A B C D5 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是( )A ( )B ( )C ( )D ( )6 抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于( )A B C D二、填空题1 椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时,点横坐标的取值2 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则这双曲线的离心率为___3 若直线与抛物线交于、两点，若线段的中点的横坐标是，则______4 若直线与双曲线始终有公共点，则取值范围是5 已知，抛物线上的点到直线的最段距离为__________三、解答题1 当变化时，曲线怎样变化?2 设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，求△的面积3 已知椭圆，、是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点证明：4 已知椭圆，试确定的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称(数学选修1-1)第二章圆锥曲线参考答案[提高训练C组]一、选择题1 B 点到准线的距离即点到焦点的距离，得，过点所作的高也是中线，代入到得，2 D ，相减得3 D 可以看做是点到准线的距离，当点运动到和点一样高时，取得最小值，即，代入得4 A 且焦点在轴上，可设双曲线方程为过点5 D 有两个不同的正根则得6 A ，且在直线上，即二、填空题1 可以证明且而，则即2 渐近线为，其中一条与与直线垂直，得3得，当时，有两个相等的实数根，不合题意当时，4当时，显然符合条件;当时，则5 直线为，设抛物线上的点三、解答题1 解：当时，，曲线为一个单位圆;当时，，曲线为焦点在轴上的椭圆;当时，，曲线为两条平行的垂直于轴的直线;当时，，曲线为焦点在轴上的双曲线;当时，，曲线为焦点在轴上的等轴双曲线2 解：双曲线的不妨设，则，而得3 证明：设，则中点，得得即，的垂直平分线的斜率的垂直平分线方程为当时，而，4 解：设，的中点，而相减得即，而在椭圆内部，则即。
高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(同名12841)
圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对2．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.A. 2B. 12 C. 2 D.14．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条A. 1B.2C. 3D.45．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A 02=-y xB 042=-+y xC 01232=-+y xD 082=-+y x7、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对8．方程02=+ny mx )0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）B 二、填空9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .10．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 11、抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标 。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图示的方向进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD边上，此时将B记为B′（图中EF为折痕，点F也可以落在边CD上）．过B′作交EF于点T，求点T的轨迹方程．【答案】．【解析】解：如图，以边的中点为原点，边所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则．因为，，根据抛物线的定义，点的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线的一部分．设，由，即定点到定直线的距离为4．设，由，即定点到定直线的距离为4．所以抛物线的方程为．在折叠中，线段长度在区间内变化，而，所以．故点的轨迹方程为．【考点】本题主要考查抛物线的定义及标准方程。
点评：基础题，分析图形的几何性质，联想定义是关键，易错点是忽视x的变化范围。
2.设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】Ｂ【解析】两焦点分别为：（2，0），（-2，0）。
根据椭圆的定义：P到两焦点的距离之和等于 4×2="8" ，又因为 P到两焦点的距离之差为2，可求得，P到两焦点距离分别为 5，3.所以三角形边长分别为3，4，5.选B。
【考点】本题主要考查椭圆的定义，标准方程及几何性质。
点评：常见题型，利用椭圆的定义及几何性质，确定三角形边长，以确定其形状。
3.若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是．【答案】【解析】由题设条件知a=2b，c=2，∴4b2=b2+60，∴b2=20，a2=80，故所求椭圆的标准方程是。
【考点】本题主要考查椭圆的定义，标准方程及几何性质。
点评：常见题型，确定a,b,c的关系。
4.在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，且三边AC、BC、AB的长成等差数列，求顶点A的轨迹方程．【答案】顶点的轨迹方程为．【解析】解：三边AC、BC、AB的长成等差数列，，顶点的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆（长轴端点除外）．由，，得，，则．顶点的轨迹方程为．【考点】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，等差数列的基础知识。
人教版高二上学期数学(选择性必修1)《第三章圆锥曲线的方程》单元测试卷带答案
人教版高二上学期数学(选择性必修1)《第三章圆锥曲线的方程》单元测试卷带答案考试时间：90分钟；满分：150分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2020·湖南·高二期末）双曲线x2−my2=1(m∈R)的右焦点坐标为(2,0)，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±13x B．y=±3x C．y=±√3x D．y=±√33x2．（5分）（四川成都·高三开学考试（文））我们把离心率为√22的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆”，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（）．A．x22+y2=1B．x24+y22=1C．x26+y23=1D．x28+y24=13．（5分）（河北·高三阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F(3,0)，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦AB中点坐标为(2,−1)，则椭圆的面积为（）A．36√2πB．18√2πC．9√2πD．6√2π4．（5分）（陕西·高三阶段练习（文））已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y215=1(a>√15)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°．|PF1|=5|PF2|则C的方程为（）A．x221+y215=1B．x218+y215=1C．x236+y215=1D．x242+y215=15．（5分）（全国·高二专题练习）设F1,F2是椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)的公共焦点，曲线C1,C2在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90∘，若椭圆的离心率e1∈[√63,1)，则双曲线的离心率e2的范围是（）A．(1,√2]B．(1,√3]C．[√3,+∞)D．[√2,+∞)6．（5分）（2023·广东茂名·高三阶段练习）已知抛物线C：y2=8x的准线为l，l与x轴交于点P，直线x=1与抛物线C交于A，B两点，则△PAB的面积为（）A．4√2B．6√2C．8√2D．12√27．（5分）（陕西·研究室一模（文））已知过抛物线C:y 2=4x 的焦点F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，Q 为AB 的中点，P 为C 上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（ ） A ．83B ．53C ．8D ．58．（5分）（四川省高二期末（理））已知双曲线C:x 2−y 2b 2=1(b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2 圆(x −1)2+y 2=34与C 的渐近线相切.P 为C 右支上的动点 过P 作两渐近线的垂线 垂足分别为A,B .给出以下结论： ①C 的离心率e =2； ②两渐近线夹角为30∘； ③|PA |⋅|PB |为定值34； ④|AB |的最小值为√32. 则所有正确结论为（ ） A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④二．多选题（共4小题 满分20分 每小题5分） 9．（5分）（江苏省高二阶段练习）已知方程x 24−t+y 2t−1=1表示的曲线为C 则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当1<t <4时 曲线C 是椭圆B ．当t >4或t <1时 曲线C 是双曲线C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆 则1<t <52 D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆 则t >410．（5分）（全国·高二课时练习）已知直线l ：√3x −y −√3=0过抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点F 且与抛物线C 交于A B 两点 过A B 两点分别作抛物线准线的垂线 垂线分别为M N 则下列说法错误的是（ ）A ．抛物线的方程为y 2=4xB ．线段AB 的长度为183C ．∠MFN =90°D ．线段AB 的中点到y 轴的距离为8311．（5分）（全国·高二课时练习）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左 右两个顶点分别是A 1,A 2 左 右两个焦点分别是F 1,F 2 P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点 给出下列结论 其中正确的是（ ） A ．||PA 1|−|PA 2||=2aB ．直线PA 1 PA 2的斜率之积等于定值b 2a 2C ．使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有且仅有四个D ．若PA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =b 2 则PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =012．（5分）（浙江·高二期末）已知F 1 F 2同时为椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1（a 1>b 1>0）与双曲线C 2:x 2a 22−y 2b 22=1（a 1>0 b 2>0）的左右焦点 设椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M 椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1 e 2 O 为坐标原点 则下列结论正确的是（ ）A．a12−b12=a22−b22B．若∠F1MF2=π3则b12=3b22C．若|F1F2|=2|MO|则1e12+1e22=2D．若|F1F2|=3|MF2|则e1e2的取值范围是(35,3)三．填空题（共4小题满分20分每小题5分）13．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x且其右焦点为(5,0)则双曲线C的标准方程为.14．（5分）（重庆高二阶段练习）根据抛物线的光学性质可知从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示从A(5,m1)沿直线y=m1发出的光线经抛物线y2=4x两次反射后回到光源接收器D(5,m2)则该光线经过的路程为.15．（5分）（全国·高二专题练习）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2斜率为12的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点且△ABF2的内切圆的周长是2π 若椭圆的离心率为e∈[12,34]则线段AB的长度的取值范围是.16．（5分）（安徽·高二阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2且椭圆C与双曲线C'：2x 2a2−y2=1共焦点若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足|MF1|⋅|MF2|=2则△MF1F2的面积是.四．解答题（共6小题满分70分）17．（10分）（甘肃·高二阶段练习（文））设命题p：方程x21−2m +y2m+2=1表示双曲线；命题q：“方程C1:x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”.(1)若命题q为真命题求实数m的取值范围；(2)若p∨q为真命题p∧q为假命题求实数m的取值范围.18．（12分）（江苏省高二阶段练习）已知双曲线C的焦点在x轴上焦距为10 且它的一条渐近线方程为y=43x.(1)求C的标准方程；(2)过C的右顶点斜率为2的直线l交C于A B两点求|AB|.19．（12分）（江苏·高二阶段练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上离心率√22焦距为2√3.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与椭圆在第一象限交于A B两点与x y轴分别交于M N两点且MA=NB,MN=2√3求直线l的方程.20．（12分）（重庆高三阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22；上顶点为A右顶点为B直线AB与圆O:x2+y2=1相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设与圆O相切的直线l与椭圆相交于M,N两点Q为弦MN的中点O为坐标原点.求|OQ|⋅|MN|的取值范围.21．（12分）（重庆高二阶段练习）已知拋物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F且过F的弦长的最小值为4.(1)求p的值；(2)如图经过点P（三象限）且不过原点的直线l与拋物线Γ相交于S,T两点且直线FS,FT的斜率分别为k1,k2.问：是否存在定点P使得k1⋅k2为定值2若存在请求出点P的坐标.22．（12分）（上海·高三阶段练习）如图F是抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点过F的直线交抛物线Γ于A B两点点A在第一象限点C在抛物线上使得△ABC的重心G在x轴上直线AC交x轴于点Q且Q在点F 的右侧．记△AFG△CQG的面积分别为S1S2．已知点(1,2)在抛物线Γ上．(1)求抛物线Γ的方程；(2)设A点纵坐标为2t试用t表示点G的横坐标；(3)在（2）的条件下求S1S2的最小值及此时点G的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题满分40分每小题5分）1．（5分）（2020·湖南·高二期末）双曲线x2−my2=1(m∈R)的右焦点坐标为(2,0)则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±13x B．y=±3x C．y=±√3x D．y=±√33x【解题思路】首先将双曲线方程化为标准式再根据c=2求出m即可得到双曲线方程从而求出渐近线方程；【解答过程】解：双曲线x2−my2=1(m∈R)即x2−y21m=1的右焦点坐标为(2,0)所以1+1m =22解得m=13所以双曲线方程为x2−y23=1则双曲线的渐近线为y=±√3x；故选：C.2．（5分）（四川成都·高三开学考试（文））我们把离心率为√22的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆” 且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4 则椭圆C的方程为（）．A．x22+y2=1B．x24+y22=1C．x26+y23=1D．x28+y24=1【解题思路】先由e=√22得到c=√22a与b=√22a再由S△PF1F2的最大值得bc=4进而求得a2=8b2=4故可得到椭圆C的方程.【解答过程】解：由已知e=ca =√22得c=√22a故b=√a2−c2=√22a∵S△PF1F2=12|F1F2||y P|=12 ×2c|y P|≤bc即(S△PF1F2)max=bc=4∴√22a×√22a=4得a2=8故b2=12a2=4所以椭圆C的方程为x 28+y24=1.故选：D．3．（5分）（河北·高三阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家物理学家他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F(3,0)过F作直线l交椭圆于A B两点若弦AB中点坐标为(2,−1)则椭圆的面积为（）A．36√2πB．18√2πC．9√2πD．6√2π【解题思路】利用作差法构建斜率中点坐标相关方程y1−y2x1−x2=−x1+x2y1+y2×b2a2再结合c=√a2−b2即可求解出a b 进而求出面积.【解答过程】设A(x1,y1)B(x2,y2)则有{x12a2+y12b2=1x22 a2+y22b2=1两式作差得：x12−x22a2=−y12−y22b2即k=y1−y2x1−x2=−x1+x2y1+y2×b2a2弦AB中点坐标为(2,−1)则k=−x1+x2y1+y2×b2a2=−2−1×b2a2又∵k=0−(−1)3−2=1∴1=−2−1×b2a2∴a2=2b2又∵c=√a2−b2=3∴可解得a=3√2b=3故椭圆的面积为abπ=9√2π.故选：C.4．（5分）（陕西·高三阶段练习（文））已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y215=1(a>√15)的两个焦点P为C上一点且∠F 1PF 2=60°．|PF 1|=5|PF 2| 则C 的方程为（ ） A ．x 221+y 215=1 B ．x 218+y 215=1C ．x 236+y 215=1D ．x 242+y 215=1【解题思路】利用椭圆定义结合余弦定理得到c 2a 2=2136 再结合b 2=15 求出椭圆方程.【解答过程】在椭圆C:x 2a 2+y 215=1(a >√15)中 由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a 因为|PF 1|=5|PF 2| 所以|PF 2|=a3,|PF 1|=5a 3 在△PF 1F 2中 |F 1F 2|=2c 由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2 即4c 2=25a 29+a 29−5a 29=21a 29所以c 2a 2=2136 又b 2=15．所以a 2=36 所以椭圆C 的方程为x 236+y 215=1．故选：C ．5．（5分）（全国·高二专题练习）设F 1,F 2是椭圆C 1:x 2a12+y 2b12=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2:x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点 曲线C 1,C 2在第一象限内交于点M,∠F 1MF 2=90∘ 若椭圆的离心率e 1∈[√63,1) 则双曲线的离心率e 2的范围是（ ） A ．(1,√2]B ．(1,√3]C ．[√3,+∞)D ．[√2,+∞)【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义求出|MF 1|,|MF 2| 由勾股定理即可得到e 1,e 2的关系 从而解出． 【解答过程】由题意可得 |MF 1|+|MF 2|=2a 1 |MF 1|−|MF 2|=2a 2 解得：|MF 1|=a 1+a 2 |MF 2|=a 1−a 2 因为∠F 1MF 2=90∘ 所以|MF 1|2+|MF 2|2=4c 2 即a 12+a 22=2c 2 亦即(1e 1)2+(1e 2)2=2 所以e 2=√2−(1e 1)2∈(1,√2]．故选：A ．6．（5分）（2023·广东茂名·高三阶段练习）已知抛物线C ：y 2=8x 的准线为l l 与x 轴交于点P 直线x =1与抛物线C 交于A B 两点 则△PAB 的面积为（ ） A ．4√2B ．6√2C ．8√2D ．12√2【解题思路】联立直线与抛物线的方程 即可得到A,B 纵坐标 然后结合三角形面积公式 即可得到结果.【解答过程】由题意知l ：x =−2 点P (−2,0) 由{y 2=8x x =1得y =±2√2 所以△PAB 的面积为12×3×4√2=6√2.故选:B.7．（5分）（陕西·研究室一模（文））已知过抛物线C:y 2=4x 的焦点F 且倾斜角为60°的直线交C 于A B 两点 Q 为AB 的中点 P 为C 上一点 则|PF|+|PQ|的最小值为（ ） A ．83B ．53C ．8D ．5【解题思路】根据给定条件 求出点Q 的横坐标 再借助抛物线的定义求解作答.【解答过程】抛物线C:y 2=4x 的焦点F(1,0) 准线x =−1 直线AB ：y =√3(x −1) 由{y =√3(x −1)y 2=4x 消去y 并整理得：3x 2−10x +3=0 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 则x 1+x 2=103线段AB 的中点Q 的横坐标x Q =x 1+x 22=53过点Q 作准线x =−1的垂线 垂足为D 交抛物线C 于点P 连PF 如图于是|PF|+|PQ|=|PD|+|PQ|=|QD|=83 在抛物线C 上任取点P ′ 过P ′作准线x =−1的垂线 垂足为D ′ 连P ′F,P ′Q,D ′Q则有|P ′F|+|P ′Q|=|P ′D ′|+|P ′Q|≥|D ′Q|≥|QD| 当且仅当点P ′与点P 重合时取等号 所以|PF|+|PQ|的最小值为83. 故选：A.8．（5分）（四川省高二期末（理））已知双曲线C:x 2−y 2b 2=1(b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2 圆(x −1)2+y 2=34与C 的渐近线相切.P 为C 右支上的动点 过P 作两渐近线的垂线 垂足分别为A,B .给出以下结论： ①C 的离心率e =2； ②两渐近线夹角为30∘； ③|PA |⋅|PB |为定值34； ④|AB |的最小值为√32. 则所有正确结论为（ ） A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④【解题思路】根据圆与渐近线相切可求出b =√3 c =2 根据离心率公式求出离心率可判断①正确； 根据渐近线方程可得倾斜角 从而可得两渐近线的夹角 可判断②不正确；设P(x 0,y 0)(x 0≥1) 根据点到直线距离公式求出|PA| ⋅|PB|为定值 可判断③正确；设P(x 0,y 0)(x 0≥1) 联立直线方程解得A,B 的坐标 再根据两点间的距离公式求出|AB|可判断④正确. 【解答过程】因为圆(x −1)2+y 2=34与C 的渐近线相切 所以圆心(1,0)到渐近线bx −y =0的距离等于圆的半径√32即√b 2+1=√32解得b =√3所以c =√a 2+b 2=√1+3=2 离心率e =ca =2 故①正确；因为C 的渐近线为y =±√3x 所以两渐近线的倾斜角为60∘和120∘ 所以两渐近线夹角为60∘ 故②不正确；设P(x 0,y 0)(x 0≥1) 则x 02−y 023=1 |PA|⋅|PB|=√3x 00√3+1√3x 00√3+1 =|3x 02−y 02|2×2=34为定值 故③正确；依题意设PA:y −y 0=−√33(x −x 0) 联立{y −y 0=−√33(x −x 0)√3x −y =0得{x =√34y 0+14x 0y =34y 0+√34x 0则A(√34y 0+14x 0,34y 0+√34x 0) 联立{y −y 0=√33(x −x 0)√3x +y =0 {x =−√34y 0+14x 0y =34y 0−√34x 0 则B(−√34y 0+14x 0,34y 0−√34x 0)所以|AB|=(√340140√340140(340√340340√340=√34y 02+34x 02 =√3x 02−94因为x 0≥1 所以|AB|=√3x 02−94≥√3−94=√32当且仅当x 0=1 即P 为双曲线的右顶点时 等号成立.故④正确. 故选：D.二．多选题（共4小题 满分20分 每小题5分）9．（5分）（江苏省高二阶段练习）已知方程x 24−t +y 2t−1=1表示的曲线为C 则下列四个结论中正确的是（ ） A ．当1<t <4时 曲线C 是椭圆 B ．当t >4或t <1时 曲线C 是双曲线C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆 则1<t <52 D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆 则t >4 【解题思路】根据x 24−t+y 2t−1=1表示椭圆可求得1<t <52或52<t <4 判断A; x 24−t+y 2t−1=1表示双曲线可求得t >4或t <1 判断B;根据表示椭圆时焦点的位置可列出相应的不等式组 求得参数范围 判断C,D. 【解答过程】当曲线C 是椭圆时 {4−t >0t −1>04−t ≠t −1 解得1<t <52或52<t <4 故A 错误；当曲线C 是双曲线时 (4−t )(t −1)<0 解得t >4或t <1 故B 正确； 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆 则{4−t >0t −1>04−t >t −1解得1<t <52 故C 正确；若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆 则{4−t >0t −1>04−t <t −1 解得52<t <4 故D 错误．故选:BC ．10．（5分）（全国·高二课时练习）已知直线l ：√3x −y −√3=0过抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点F 且与抛物线C 交于A B 两点 过A B 两点分别作抛物线准线的垂线 垂线分别为M N 则下列说法错误的是（ ）A ．抛物线的方程为y 2=4xB ．线段AB 的长度为183C ．∠MFN =90°D ．线段AB 的中点到y 轴的距离为83【解题思路】求出抛物线的焦点坐标 可得p =2 即可判断A;联立方程求出A,B 坐标 可得|AB | 判断B ；确定M,N 坐标 可计算k NF ⋅k MF 判断C;求出线段AB 的中点坐标 即可判断D. 【解答过程】由题意不妨设点A 在点B 上方 直线l ：√3x −y −√3=0与x 轴交点(1,0) 又l 经过y 2=2px 的焦点 故F (1,0) 可得p =2 即抛物线方程为C ：y 2=4x A 正确．由{√3x −y −√3=0y 2=4x可得3x 2−10x +3=0 解得x =3或13可得A(3,2√3)B (13,−2√33) 所以|AB |=√(3−13)2+(2√3+2√33)2=163B 错误．由以上分析可知 M(−1,2√3) N (−1,−2√33) F (1,0)可得k NF ⋅k MF =2√332×2√3−2=−1则MF ⊥NF 即∠MFN =90∘ C 正确． 因为A(3,2√3) B (13,−2√33) 故线段AB 的中点为(53,2√33) 则线段AB 的中点到y 轴的距离为53 D 错误 故选：BD ．11．（5分）（全国·高二课时练习）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左 右两个顶点分别是A 1,A 2 左 右两个焦点分别是F 1,F 2 P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点 给出下列结论 其中正确的是（ ） A ．||PA 1|−|PA 2||=2aB ．直线PA 1 PA 2的斜率之积等于定值b 2a 2C ．使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有且仅有四个D ．若PA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =b 2 则PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0【解题思路】由双曲线的定义 可判定A 错误；由k PA 1⋅k PA 2=y 0x 0+a⋅y 0x 0−a=y 02x 02−a 2 结合双曲线的方程 得到k PA 1⋅k PA 2=b 2a 2 所以B 正确；结合双曲线的几何性质 可判定C 错误；结合x 02+y 02=c 2 得到PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 02+y 02−c 2 可判定D 正确．【解答过程】由题意 点P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点 设P(x 0,y 0) 对于A 中 由双曲线的定义知 ||PA 1|−|PA 2||≠2a 所以A 错误； 对于B 中 由A 1(−a,0) A 2(a,0) 可得k PA 1⋅k PA 2=y 0x 0+a⋅y 0x 0−a =y 02x 02−a 2又由x 02a 2−y 02b 2=1所以y 02=b 2a2(x 02−a 2) 可得k PA 1⋅k PA 2=b 2a 2所以B 正确；对于C 中 若P 在第一象限 则当|PF 1|=2c 时 |PF 2|=2c −2a △PF 1F 2为等腰三角形；当|PF 2|=2c 时 |PF 1|=2c +2a △PF 1F 2也为等腰三角形 故点P 在第一象限且使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有两个．同理可得 在第二 三 四象限且使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 也各有两个 因此使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 共有八个 所以C 错误．对于D 中 由PA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 02+y 02−a 2=b 2 得x 02+y 02=c 2 从而PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 02+y 02−c 2=0 所以D 正确．故选：BD ．12．（5分）（浙江·高二期末）已知F 1 F 2同时为椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1（a 1>b 1>0）与双曲线C 2:x 2a 22−y 2b 22=1（a 1>0 b 2>0）的左右焦点 设椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M 椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1 e 2 O 为坐标原点 则下列结论正确的是（ ）A ．a 12−b 12=a 22−b 22B ．若∠F 1MF 2=π3 则b 12=3b 22C ．若|F 1F 2|=2|MO | 则1e 12+1e 22=2D ．若|F 1F 2|=3|MF 2| 则e 1e 2的取值范围是(35,3)【解题思路】设|F 1F 2|=2c 所以c 2=a 12−b 12 c 2=a 22+b 22.对于A ：计算出a 12−b 12=a 22+b 22 即可判断；对于B ：由椭圆的定义和双曲线的定义解得：|MF 1|=a 1+a 2 |MF 2|=a 1−a 2.利用余弦定理得到4c 2=a 12+3a 22结合c 2=a 12−b 12=a 22+b 22 即可求得b 12=3b 22；对于C ：先判断出△F 1MF 2为直角三角形.利用勾股定理得到4c 2=2a 12+2a 22.即可求出1e 12+1e 22=1(c a 1)2+1(ca 2)2=a 12+a22c2=2；对于D ：先求出e 1e 2=94(a 1a 2+a2a 1−2).令t =a 1a 2则e 1e 2=94(t +1t −2).利用定义判断出t =a 1a 2∈(53,3) 结合对勾函数的单调性可以求出e 1e 2∈(35,3).【解答过程】因为F1F2同时为椭圆C1：x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）与双曲线C2:x2a22−y2b22=1（a1>0b2>0）的左右焦点可设|F1F2|=2c所以c2=a12−b12c2=a22+b22.对于A：因为c2=a12−b12c2=a22+b22所以a12−b12=a22+b22.故A错误；对于B：由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF2|=2a1；由双曲线的定义可知：|MF1|−|MF2|=2a2.联立解得：|MF1|=a1+a2|MF2|=a1−a2.由余弦定理可得：|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2−2|MF1|⋅|MF2|cosπ3.因为∠F1MF2=π3所以4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)⋅(a1−a2)×12整理化简得：4c2=a12+3a22.因为c2=a12−b12所以4(a12−b12)=a12+3a22即4b12=3(a12−a22).因为c2=a12−b12=a22+b22所以a12−a22=b12+b22.代入4b12=3(a12−a22)可得：4b12=3(b12+b22)整理得：b12=3b22.故B正确；对于C：因为|F1F2|=2|MO|所以|MO|=|OF1|=|OF2|.由等腰三角形的性质可得：∠F2MO=∠OF2M∠F1MO=∠OF1M.因为∠OF2M+∠F1MO+∠OMF2+∠OF1M=∠OF2M+∠F1MF2+∠OF1M=π所以∠F1MF2=π2即△F1MF2为直角三角形.所以|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2即4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2整理得：4c2=2a12+2a22.所以1e12+1e22=1(ca1)2+1(ca2)2=a12+a22c2=2.故C正确；对于D：因为|F1F2|=3|MF2|所以2c=3(a1−a2).e1e2=ca1⋅ca2=c2a1a2=94(a12−2a1a2+a22)a2a1=94(a1a2+a2a1−2).令t=a1a2则e1e2=94(t+1t−2).因为a1>a2所以t=a1a2>1.又|MF1|+|MF2|=2a1>|F1F2|=2c=3(a1−a2)解得：a1<3a2；由|MF1|−|MF2|=2a2<|F1F2|=2c=3(a1−a2)解得：3a1>5a2.所以t=a1a2∈(53,3).由对勾函数的性质可得：y=t+1t 在t∈(53,3)上单调递增所以y=t+1t∈(3415,103)所以e1e2=94(t+1t−2)∈(35,3).故D正确.故选：BCD.三．填空题（共4小题满分20分每小题5分）13．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x且其右焦点为(5,0)则双曲线C的标准方程为x 216−y29=1.【解题思路】依题意可得ba =34c=5即可求出a b的值从而得解.【解答过程】解：双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x可得ba =34其右焦点为(5,0)可得c=5又c2=a2+b2解得a=4b=3则双曲线C的方程为：x 216−y29=1．故答案为：x 216−y29=1．14．（5分）（重庆高二阶段练习）根据抛物线的光学性质可知从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示从A(5,m1)沿直线y=m1发出的光线经抛物线y2=4x两次反射后回到光源接收器D(5,m2)则该光线经过的路程为12 .【解题思路】求出p2利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案.【解答过程】由y2=4x得p2=1设B(x1,m1)C(x2,m2)由抛物线性质BC与x轴的交点即为抛物线的焦点|AB|=5−x1|BC|=x1+x2+2|CD|=5−x2所以|AB|+|BC|+|CD|=5−x1+x1+x2+2+5−x2=12所以该光线经过的路程为12.故答案为：12.15．（5分）（全国·高二专题练习）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2斜率为12的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点且△ABF2的内切圆的周长是2π 若椭圆的离心率为e∈[12,34]则线段AB的长度的取值范围是[8√53,4√5].【解题思路】设A(x1,y1),B(x2,y2),利用三角形内切圆面积计算可得12×4a×r=12×2c×|y1−y2|化简得|y1−y2|=2ac =2e由离心率范围求得|y1−y2|∈[83，4]再利用弦长公式即可求得答案.【解答过程】如图示由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,则△ABF2的周长为4a,设A(x1,y1),B(x2,y2)设△ABF2内切圆半径为r△ABF2的内切圆的周长是2π故2π=2πr,∴r=1由题意得12×4a×r=12×2c×|y1−y2|得|y1−y2|=2ac =2e由于e∈[12,34]故|y1−y2|∈[83,4]所以由|AB|=√1+1k2|y1−y2|,k=12可得|AB|=√5|y1−y2|∈[8√53,4√5]故答案为：[8√53,4√5].16．（5分）（安徽·高二阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2且椭圆C与双曲线C'：2x 2a2−y2=1共焦点若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足|MF1|⋅|MF2|=2则△MF1F2的面积是 1 .【解题思路】由椭圆和双曲线的定义可得{|MF1|+|MF2|=2a|MF1|−|MF2|=√2a解得{|MF1|=2+√22a|MF2|=2−√22a再代入|MF1|⋅|MF2|=2解得a的值从而得|MF1|､|MF2|和|F1F2|的长由勾股定理可知ΔMF1F2是直角三角形结合面积公式即可求解.【解答过程】由题意将双曲线C'：C′:2x2a2−y2=1化成标准形式为x2a22−y2=1不妨设点M在双曲线的右支上则由椭圆和双曲线的定义可得{|MF1|+|MF2|=2a|MF1|−|MF2|=2⋅√22a=√2a解得{|MF1|=2+√22a|MF2|=2−√22a因为|MF1|⋅|MF2|=2代入可得2+√22a⋅2−√22a=2解得a=2或a=−2(舍负)所以|MF1|=2+√2，|MF2|=2−√2双曲线的焦距|F1F2|=2√a22+1=2√3显然有|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2所以ΔMF1F2是直角三角形所以ΔMF1F2的面积为：S△MF1F2=12⋅|MF1|⋅|MF2|=12×(2+√2)×(2−√2)=1.故答案为：1.四．解答题（共6小题 满分70分）17．（10分）（甘肃·高二阶段练习（文））设命题p ：方程x 21−2m +y 2m+2=1表示双曲线；命题q ：“方程C 1:x 2m 2+y 22m+8=1表示焦点在x 轴上的椭圆”.(1)若命题q 为真命题 求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题 p ∧q 为假命题 求实数m 的取值范围.【解题思路】（1）由题意可得{m 2>2m +82m +8>0解不等式即可求解；（2）先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围 由题意可得p,q 一真一假 再分别讨论p 真q 假 p 假q 真时m 的取值范围即可. 【解答过程】(1)若q 为真 则{m 2>2m +82m +8>0解得：−4<m <−2或m >4. (2)若p 为真命题 则(1−2m )(m +2)<0 可得m >12或m <−2因为p ∨q 为真命题 p ∧q 为假命题 所以p,q 一真一假若p 真q 假 则：{m <−2或m >12m ≤−4或−2≤m ≤4 解得：m ≤−4或12<m ≤4 若p 假q 真 则：{−2≤m ≤12−4<m <−2或m >4此时无解 综上所述 实数m 的取值范围为：m ≤−4或12<m ≤4.18．（12分）（江苏省高二阶段练习）已知双曲线C 的焦点在x 轴上 焦距为10 且它的一条渐近线方程为y =43x.(1)求C 的标准方程；(2)过C 的右顶点 斜率为2的直线l 交C 于A B 两点 求|AB|.【解题思路】(1)由条件设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 根据条件列方程求a,b,c 即可；(2)联立方程组 求出交点坐标 利用两点距离公式求|AB|. 【解答过程】（1）因为焦点在x 轴上 故设C 的标准方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0). ∵双曲线的焦距为10 ∴c =5 ∵C 的一条渐近线为y =43x ∴ba =43 又a 2+b 2=52 联立上式解得a =3 b =4 故所求方程为x 29−y 216=1.（2）由(1)C 的右顶点为(3,0) 又直线l 的斜率为2 所以直线l 的方程为y =2x −6. 联立{x 29−y 216=1,y =2x −6消去变量y 可得 5x 2−54x +117=0解得x =3或x =395.则A B 两点的坐标分别为(3,0) 故|AB|=√(395−3)2+(485)2=24√55.19．（12分）（江苏·高二阶段练习）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点在x 轴上 离心率√22 焦距为2√3.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 与椭圆在第一象限交于A B 两点 与x y 轴分别交于M N 两点 且MA =NB,MN =2√3 求直线l 的方程.【解题思路】（1）依题意 求出a,c 再求出b 即可算出椭圆方程； （2）运用椭圆的中点弦公式和点差法即可求解. 【解答过程】（1） 由题意 e =√22,2c =2√3,∴c a=√3a=√22,a =√6 b 2=a 2−c 2=3椭圆方程为：x 26+y 23=1 ；（2）令AB 的中点为E 因为|MA|=|NB| 所以|ME|=|NE| 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 则x 126+y 123=1,x 226+y 223=1所以x 126−x 226+y 123−y 223=0 即(x 1−x 2)(x 1+x 2)6+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0所以(y 1+y 2)(y 1−y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=−12 即k OE ⋅k AB =−12设直线AB:y =k AB x +m,k AB <0,m >0 令x =0得y =m 令y =0得x =−m k AB即M (−mkAB,0),N(0,m) 所以E (−m2kAB,m2)即k AB ×m 2−m 2k AB=−12解得k AB =−√22或k AB =√22（舍去）又|MN|=2√3 即|MN|=√m 2+(√2m)2=2√3 解得m =2或m =−2（舍去） 所以直线AB:y =−√22x +2 即x +√2y −2√2=0；综上 椭圆的方程为：x 26+y 23=1 直线l 的方程为：x +√2y −2√2=0.20．（12分）（重庆高三阶段练习）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22；上顶点为A 右顶点为B 直线AB 与圆O:x 2+y 2=1相切. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设与圆O 相切的直线l 与椭圆相交于M,N 两点 Q 为弦MN 的中点 O 为坐标原点.求|OQ|⋅|MN|的取值范围.【解题思路】（1）由离心率得出a,b,c 关系 再由原点O 到直线AB 的距离等圆半径求得a,b 得椭圆方程； （2）先确定直线MN 斜率为0或斜率不存在时的结论 然后在斜率存在且不为0时 设方程为x =my +t （m ≠0） 代入椭圆方程应用韦达定理y 1+y 2 y 1y 2 求得中点Q 坐标 再由椭圆中弦长公式得弦长|MN | 计算|OQ ||MN | 变形后求得其范围 综合后可得结论． 【解答过程】（1） 由e =ca =√22知a =√2b =√2c原点O 到直线AB 的距离为d =√a 2+b2=√2b 2√3b=√2√3=1 故b =√32,a =√3故椭圆C 的标准方程为x 23+y 232=1.（2）k MN =0时：Q (0,1),M (−1,1),N (1,1) 或Q(0,−1),M(−1,−1),N(1,−1) 故|OQ |⋅|MN |=2；直线MN 斜率不存在时 Q(1,0),M(1,1),N(1,−1) 或Q(−1,0),M(−1,1),N(−1,−1)．故|OQ |⋅|MN |=2； 直线MN 斜率存在且不为0时：设直线l 的方程为x =my +t （m ≠0） 由直线l 与圆x 2+y 2=1相切 所以d =√m 2+1=1 即t 2=m 2+1联立{x 23+y 232=1x =my +t,得(m 2+2)y 2+2mty +t 2−3=0 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)由韦达定理：{y 1+y 2=−2mtm 2+2y 1y 2=t 2−3m 2+2y Q =y 1+y 22=−mt m 2+2 x Q =my Q +t =2t m 2+2所以MN 中点Q 的坐标为(2tm 2+2,−mtm 2+2)故|OQ |=√(2tm 2+2)2+(−mt m 2+2)2=√t 2(m 2+4)m 2+2=√(m 2+1)(m 2+4)m 2+2|MN |=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√(−2mt m 2+2)2−4⋅t 2−3m 2+2=2√1+m 2√6+3m 2−2t 2m 2+2=2√(m 2+1)(m 2+4)m 2+2故|OQ|⋅|MN|=2⋅(m 2+1)(m 2+4)(m 2+2)2=2(1+m 2m 4+4m 2+4) =2(1+1m 2+4m2+4)m 2+4m 2+4≥2√m 2⋅4m 2+4=8 当且仅当m 2=4m 2 m =±√2时等号成立2<2(1+1m 2+4m2+4)≤94 综上：|OQ |⋅|MN |的取值范围是[2,94].21．（12分）（重庆高二阶段练习）已知拋物线Γ:y 2=2px(p >0)的焦点为F 且过F 的弦长的最小值为4.(1)求p 的值；(2)如图 经过点P （三象限）且不过原点的直线l 与拋物线Γ相交于S,T 两点 且直线FS,FT 的斜率分别为k 1,k 2.问：是否存在定点P 使得k 1⋅k 2为定值2若存在 请求出点P 的坐标.【解题思路】（1）设出过点F 的直线方程 与抛物线联立 表示出弦长即可根据最小值求出； （2）设出直线l 的方程 与抛物线联立 利用韦达定理表示k 1⋅k 2 根据其为定值即可求出. 【解答过程】(1)设过点F 的直线方程为x =ty +p2 设交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)将直线代入抛物线可得y 2−2pty −p 2=0 则y 1+y 2=2pt y 1y 2=−p 2 所以|AB|=x 1+x 2+p =t (y 1+y 2)+2p =2pt 2+2p 当t =0时 |AB |取得最小值为2p =4 所以p =2； (2)假设存在定点P (x 0,y 0) 设直线l 的方程为x =my +n S (x 3,y 3),T (x 4,y 4) 将直线方程代入抛物线得y 2−4my −4n =0 则y 3+y 4=4m,y 3y 4=−4n所以k 1⋅k 2=y 3x 3−1⋅y 4x 4−1=y 3y 324−1⋅y4y 424−1 =16y 3y 4(y 3y 4)2−4[(y 3+y 4)2−2y 3y 4]+16=−4n n 2−2n+1−4m 2因为点P (x 0,y 0)为定点 所以y 0≠0 x 0=my 0+n 即m =x 0−n y 0因为直线l 不过原点 所以n ≠0 所以k 1⋅k 2=−4nn 2−2n+1−4×x 02−2nx 0+n 2y 02=−4y 02n (y 02−4)n 2+(8x0−2y 02)n+y 02−4x 02=−4y 02(y 02−4)n+y 02−4x 02n+(8x 0−2y 02)因为k 1⋅k 2为定值 所以{y 02−4=0y 02−4x 02=08x 0−2y 02≠0解得x 0=−1,y 0=±2因为P 在第三象限 所以存在定点P 其坐标为(−1,−2).22．（12分）（上海·高三阶段练习）如图 F 是抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的焦点 过F 的直线交抛物线Γ于A B 两点 点A 在第一象限 点C 在抛物线上 使得△ABC 的重心G 在x 轴上 直线AC 交x 轴于点Q 且Q 在点F 的右侧．记△AFG △CQG 的面积分别为S 1 S 2．已知点(1,2)在抛物线Γ上．(1)求抛物线Γ的方程；(2)设A 点纵坐标为2t 试用t 表示点G 的横坐标； (3)在（2）的条件下 求S1S 2的最小值及此时点G 的坐标．【解题思路】（1）将点(1,2)的坐标代入y 2=2px (p >0)可求出p 从而可得抛物线的方程（2）先求出直线AB 的方程为y =2tt 2−1(x −1) 代入抛物线方程 化简利用根与系数的关系可求出点B 的坐标 再由重心G 在x 轴上结合重心坐标公式可求出点C 的坐标 从而可求出点G 的横坐标 （3）求出直线AC 的方程 可求出Q (t 2−1,0) 从而S 1S 2=12|FG ||y A |12|QG ||y C | =2t 4−t 2t 4−1=2−t 2−2t 4−1 令m =t 2−2 代入化简后利用基本不等式可求出其最小值和点G 的坐标 【解答过程】(1)因为点(1,2)在抛物线Γ：y 2=2px (p >0)上 所以4=2p 得p =2 所以抛物线Γ的方程为y 2=4x(2)由A点纵坐标为2t得A点横坐标为t2设B(x B,y B),C(x C,y C)重心G(x G,y G)因为直线AB过F(1,0)所以k AB=2tt2−1所以直线AB的方程为y=2tt2−1(x−1)即x=t2−12ty+1代入y2=4x得y2−2(t2−1)ty−4=0所以2ty B=−4得y B=−2t 所以B(1t2,−2t)因为x G=13(x A+x B+x C)y G=13(y A+y B+y C)重心在x轴上所以2t−2t +y C=0得y C=2t−2t所以x C=(1t −t)2所以C((1t−t)2,2t−2t)所以x G=13(t2+1t2+1t2−2+t2)=2t4−2t2+23t2即点G的横坐标为2t 4−2t2+23t2；(3)由（2）得A(t2,2t)C((1t −t)2,2t−2t)所以k AC=2t−2t−2t1t2−2+t2−t2=2t所以直线AC的方程为y−2t=2t(x−t2)令y=0得x=t2−1即Q(t2−1,0)因为Q(t2−1,0)在点F的右侧所以t2>2所以S1S2=12|FG||y A|12|QG||y C|=|2t4−5t2+23t2||2t||t2−1−2t4−2t2+23t2||2t−2t|=2t4−t2t4−1=2−t2−2t4−1令m=t2−2则m>0S1 S2=2−mm2+4m+3 =2−1m+3m+4≥2−2√m⋅3m+4=2−12√3+4=1+√32当且仅当m=3m即m=√3取等号所以当m=√3时S1S2取得最小值为1+√32此时t2=√3+2则√3+2)2√3+2)+23(√3+2)=2所以G(2,0).第21页共21页。