安徽省池州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
安徽省池州市东至二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含解析
安徽省池州市东至二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2. 命题:“，”，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，3. 下列命题中是公理的是（）A. 在空间中，如果两个角的两条边对应平行，那么这两个角相等或互补B. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直C. 平行于同一条直线的两条直线平行D. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行4. 已知的导函数为，则（）A. B. C. D.5. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知命题“若，则”，则此命题的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列命题中错误的是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，，则8. 已知曲线在处的切线垂直于直线，则实数的值为（）A. B. C. D.9. 一个几何体的三视图如图所示，其中网格纸中每个小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.10. 已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A. B.C. D.11. 中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.12. 如果圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的极大值为__________．14. 曲线在点处的切线方程是__________．15. 已知圆有两点关于直线：对称，则圆的半径是__________．16. 已知函数若函数恰有3个不同零点，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知命题：直线：和直线：平行，命题：函数的值可以取遍所有正实数．（1）若为真命题，求实数的值；（2）若命题，均为假命题，求实数的取值范围．18. 一装有水的直三棱柱容器（厚度忽略不计），上下底面均为边长为5的正三角形，侧棱为10，侧面水平放置，如图所示，点，，，分别在棱，，，上，水面恰好过点，，，，且．（1）证明：；（2）若底面水平放置时，求水面的高．19. 已知函数（为常数）的一个极值点为．（1）求实数的值；（2）求在区间上的最大值．20. 已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，侧面是等腰直角三角形，，，点是棱的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）证明：平面平面．21. 已知函数的导函数为，其中为常数．（1）讨论的单调性；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．22. 已知被直线，分成面积相等的四个部分，且截轴所得线段的长为2．（1）求的方程；（2）若存在过点的直线与相交于，两点，且点恰好是线段的中点，求实数的取值范围．安徽省池州市东至二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题参考答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线3x+3y+7=0的斜率故选D.2. 命题:“，”，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】由全称命题的否定为特称命题，可得命题p:“”,则为：故选D.3. 下列命题中是公理的是（）A. 在空间中，如果两个角的两条边对应平行，那么这两个角相等或互补B. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直C. 平行于同一条直线的两条直线平行D. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行【答案】C【解析】A. 在空间中,如果两个角的两条边对应平行,那么这两个角相等或互补，不是公理；B. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直，不是公理；C. 平行于同一条直线的两条直线平行，是公理；D. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行，不是公理.故选C.4. 已知的导函数为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的导函数为，所以.故选D.5. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由于函数y=x3在R上单调递增；∴a3>b3，⇔a>b.∴“a>b”是“a3>b3”的充要条件。
安徽省池州市2019-2020学年高二下学期期末联考理科数学试题
的
人数，则
（）
A．
B．
C．
D．
12. 已知不等式 A．
对任意
恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
B．
C．
D．
二、填空题
13.
，且
，复数
在复平面上对应的点
，复平面上的动点 的集合所对应区域的面积为______.
14. 某次数学竞赛，全体参赛学生的成绩 服从正态分布
15. 设
，其中e为自然对数的底数，若
安徽省池州市2019-2020学年高二下学期期末联考理科数学试题
，若
，则
________.
，则 ________.
16. 已知定义在 的解集为________.
上的函数
的导函数为
，若对于任意
都有
，且
，则不等式
三、解答题
17. 某县教研室联合本县 ， 两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分150分，规定120分及其以上为优秀，教研室为了研究 数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了100名联考学生的成绩，得到下面 列联表：
，且 ，且 ，且 ，且
安徽省池州市2019-2020学年高二下学期期末联考理科数学试题
，设
，则下列判断正确的是（ ）
10. 一条线段的中点叫做线段的重心；在三角形中，各边中线的交点叫做三角形的重心．由此类比给出四面体的重心：在四面体中连接四面体各
顶点与对面三角形重心的线段的交点叫做四面体的重心．则在四面体中，四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为（ ）
安徽省池州市2019-2020学年高二下学期期末联考理科数学试题
一、单选题
1. 已知 为虚数单位，且复数 满足
2019-2020学年安徽省池州市高二下学期期末数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年安徽省池州市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知i为虚数单位，且复数z满足i•z＝1﹣3i，则z的共轭复数是（）A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i2．某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据，经计算相关系数r＝0.862，则下列判断正确的是（）A．商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系B．商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系C．商品销售额与利润率负相关，且具有较弱的相关关系D．商品销售额与利润率负相关，且具有较强的相关关系3．2020年5月28日，《中华人民共和国民法典》（以下简称《民法典》）获十三届全国人大三次会议高票通过，其被誉为“社会生活的百科全书”，具有重要意义．某网站就“是否关注《民法典》”向网民展开问卷调查，回收100份有效问卷，得到如下2×2列联表，经计算K2≈3.030，则下列结论正确的是（）关注《民法典》不关注《民法典》男4510女3015附：P（K2≥k）0.100.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828 A．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别无关B．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关C．在犯错误不超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关D．在犯错误超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关4．（+2x）8的展开式中二项式系数最大的项是（）A．35x2B．20x2C．70x4D．35x45．安徽马鞍山市山水秀美，历史文化灿烂，素有“一半山水，一半诗歌”的美誉，被称为山水诗都．某同学暑假对马鞍山市的“褒禅山”、“镇淮楼古街“、“采石矶景区”、“大青山李白文化旅游区”的四个景区进行游玩，若不能先去“镇淮楼古街”，也不能最后去“褒禅山”和“采石矶景区”游玩，则该同学不同的游玩线路总数为（）A．10B．16C．24D．326．一副扑克牌去掉大小王还有52张，充分洗牌后随机不放回的依次摸出2张牌，在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是（）A．B．C．D．7．凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则凸十二边形的对角线条数为（）A．44B．54C．65D．778．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（）A．288B．144C．96D．729．已知函数f（x）＝e x，其中e为自然对数的底数，其导函数为f'（x），设＝m，则下列判断正确的是（）A．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x+1，且m＜f'（2）＜f'（e）B．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x+1，且f'（2）＜m＜f'（e）C．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x﹣1，且f'（e）＜f'（2）＜mD．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x﹣1，且f'（2）＜f'（e）＜m10．一条线段的中点叫做线段的重心；在三角形中，各边中线的交点叫做三角形的重心．由此类比给出四面体的重心；在四面体中连接四面体各顶点与对面三角形重心的线段的交点叫做四面体的重心．则在四面体中，四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为（）A．1：1B．2：1C．3：1D．4：111．2020年6月5日，世界环境日，今年的主题是“关爱自然，刻不容缓”，某地区环保部门100名党员参加“关爱自然，刻不容缓”的主题学习活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示．现从年龄在[50，60）、[60，70）的人员中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在[50，60）的人数，则P（X＝3）＝（）A．B．C．D．12．已知不等式ax2e3x﹣2lnx﹣3x≥1对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[e，+∞）C．（0，1]D．（0，e]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．a∈R，且0＜a＜1，复数z＝+i在复平面上对应的点P（x，y），复平面上的动点P的集合所对应区域的面积为．14．某次数学竞赛，全体参赛学生的成绩ξ服从正态分布N（60，σ2）（σ＞0），若P（ξ＞80）＝0.2，则P（60≤ξ≤80）＝．15．设m＝dx，其中e为自然对数的底数，若（m﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a4＝．16．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对于任意x＞0都有f'（x）＜f（x），且f（4）＝4，则不等式f（x）﹣x3＜0的解集为．三、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某县教研室联合本县A，B两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分150分，规定120分及其以上为优秀，教研室为了研究数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了100名联考学生的成绩，得到下面2×2列联表：优秀非优秀合计A学校481260B学校162440合计6436100（1）估计A校学生数学成绩为优秀的概率；（2）能否有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0250.0100.001 k 3.841 5.024 6.63510.828 18．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax+5，其中a为常数．（1）当a＝5时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．19．某湿地公园占地约44万m2，风景优美，吸引了大批市民前来游玩、健身．当地政府为了开展全民健身活动，组织了跑步队，并给每位队员发放统一服装，吸引了越来越多的市民加入跑步队．组织者统计了跑步队成立一个月内每一天队员的人数，用x表示跑步队成立的天数，y表示当天跑步队的人数，给出部分数据如表所示：第x（天）1491625y（人）4080120140160经研究发现，可以用y＝c+d作为y关于x的回归方程类型．（1）根据表中的数据，建立y关于x的回归方程；（2）请预测第36天跑步队的人数．参考数据：t i y i x i y i x t 108111920768097955其中＝x i，＝y i，t i＝，＝t i．参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．20．某企业生产的某种产品尺寸在[72.8，97.2）（单位：厘米）内的产品为正品，其余的均为次品，每生产件该产品，若是正品，则获利200元，若是次品，则亏本80元．现随机抽取这种产品100件，测量其尺寸（单位：厘米），得到如下频数分布表：分[67.5，[72.5，[77.5，[82.5，[87.5，[92.5，[97.5，组72.5）77.5）82.5）87.5）92.5）97.5）102.5）频2922332482数（1）已算出这100件产品的尺寸的平均数为＝85，求这100件产品的尺寸的方差s2；（2）若该产品的尺寸服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．①试估计每生产一件该产品，该产品是正品的概率；②设该企业每生产一件该产品的利润为X，求X的分布列．参考数据：≈6.1，若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．21．已知函数f（x）＝xlnx+（1﹣m）x+m，其中m∈Z．（1）当m＝1时，求函数f（x）的极小值；（2）若对任意x＞1，f（x）＞0恒成立，求m的最大值．22．某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现A，B双方参加比赛，A方在每一场获胜的概率为p（0＜p＜1），假设每场比赛的结果相互独立．（1）当p ＝时，求A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；（2）若B方在每一场获胜的概率为q，设比赛场数为ξ．（i）试求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；（用p，q表示）（i）求E（ξ）的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知i为虚数单位，且复数z满足i•z＝1﹣3i，则z的共轭复数是（）A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i解：由i•z＝1﹣3i，所以z＝＝﹣（1﹣3i）i＝﹣3﹣i，则z的共轭复数是＝﹣3+i．故选：A．2．某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据，经计算相关系数r＝0.862，则下列判断正确的是（）A．商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系B．商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系C．商品销售额与利润率负相关，且具有较弱的相关关系D．商品销售额与利润率负相关，且具有较强的相关关系解：根据相关系数r＝0.862＞0，判断该商品销售额与利润率正相关，又r＝0.862＞0.75，所以其具有较强的相关关系．故选：B．3．2020年5月28日，《中华人民共和国民法典》（以下简称《民法典》）获十三届全国人大三次会议高票通过，其被誉为“社会生活的百科全书”，具有重要意义．某网站就“是否关注《民法典》”向网民展开问卷调查，回收100份有效问卷，得到如下2×2列联表，经计算K2≈3.030，则下列结论正确的是（）关注《民法典》不关注《民法典》男4510女3015附：P（K2≥k）0.100.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828 A．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别无关B．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关C．在犯错误不超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关D．在犯错误超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关解：由题意知，K2≈3.030＞2.706，所以有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关．故选：B．4．（+2x）8的展开式中二项式系数最大的项是（）A．35x2B．20x2C．70x4D．35x4解：由已知得：．∵展开式中的中间项，即第5项的二项式系数最大，故所求项为：．故选：C．5．安徽马鞍山市山水秀美，历史文化灿烂，素有“一半山水，一半诗歌”的美誉，被称为山水诗都．某同学暑假对马鞍山市的“褒禅山”、“镇淮楼古街“、“采石矶景区”、“大青山李白文化旅游区”的四个景区进行游玩，若不能先去“镇淮楼古街”，也不能最后去“褒禅山”和“采石矶景区”游玩，则该同学不同的游玩线路总数为（）A．10B．16C．24D．32解：根据题意，分2种情况讨论：①最后游玩“镇淮楼古街”，剩下3个个景区全排列，安排在前三次旅游，有A33＝6种游玩线路，②不在最后游玩“镇淮楼古街”，则“镇淮楼古街”有C21种情况，“大青山李白文化旅游区”只能安排在最后，将剩下的2个安排在其余的2个位置，有A22种情况，则此时有C21A22＝4种游玩线路，则有6+4＝10种不同的游玩线路；故选：A．6．一副扑克牌去掉大小王还有52张，充分洗牌后随机不放回的依次摸出2张牌，在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是（）A．B．C．D．解：在不放回地抽取且第一次抽到黑桃的情况下，还剩下51张扑克牌，其中黑桃还剩下12张，∴在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是：P＝．故选：C．7．凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则凸十二边形的对角线条数为（）A．44B．54C．65D．77解：根据题意，凸多边形中，四边形有2条对角线，即＝2，五边形有5条对角线，即＝5，类推可得：六边形有9条对角线，即＝9，……则n边形的对角线的数目为，则凸十二边形的对角线有＝54条；故选：B．8．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（）A．288B．144C．96D．72解：根据题意，分3步进行分析：①将除A、B、C之外的三人全排列，有A33＝6种情况，②由于AD必须相邻，则A必须安排在D相邻的两个空位中，有2种情况，③将B、C安排在剩下的3个空位中，有A32＝6种情况，则有6×2×6＝72种不同的安排方法；故选：D．9．已知函数f（x）＝e x，其中e为自然对数的底数，其导函数为f'（x），设＝m，则下列判断正确的是（）A．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x+1，且m＜f'（2）＜f'（e）B．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x+1，且f'（2）＜m＜f'（e）C．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x﹣1，且f'（e）＜f'（2）＜mD．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x﹣1，且f'（2）＜f'（e）＜m解：∵指数函数f（x）＝e x的增长速度是爆炸式增长，∴曲线切线的斜率越来越大，＝m表示两点（2，f（2）），（e，f（e））连线所在直线的斜率，易知其在点（2，f（2））处的切线斜率与点（e，f（e））处的切线斜率之间，∴曲线在x＝0处的切线斜率k＝f'（0）＝1，∴切线方程为y＝x+1，且f'（2）＜m＜f'（e）．故选：B．10．一条线段的中点叫做线段的重心；在三角形中，各边中线的交点叫做三角形的重心．由此类比给出四面体的重心；在四面体中连接四面体各顶点与对面三角形重心的线段的交点叫做四面体的重心．则在四面体中，四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为（）A．1：1B．2：1C．3：1D．4：1解：线段的重心分线段的比为1：1，三角形的重心到顶点的距离与到对边的距离之比为2：1，所以可类比得到四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为3：1．故选：C．11．2020年6月5日，世界环境日，今年的主题是“关爱自然，刻不容缓”，某地区环保部门100名党员参加“关爱自然，刻不容缓”的主题学习活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示．现从年龄在[50，60）、[60，70）的人员中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在[50，60）的人数，则P（X＝3）＝（）A．B．C．D．解：由频率分布直方图得：（0.005+0.010+a+0.030+0.035）×10＝1，解得a＝0.020，年龄在[50，60）的人数为0.030×10×100＝30，年龄在[60，70）的人数为0.02×10×100＝20，根据分层抽样可知年龄在[50，60）中抽取10×＝6人，年龄在[60，70）中抽取10×＝4人．再从这10人中随机抽取4人进行座谈，基本事件总数n＝＝210，用X表示参与座谈的居民的年龄在[50，60）的人数，则X＝3包含的基本事件个数m＝＝80，∴P（X＝3）＝＝．故选：D．12．已知不等式ax2e3x﹣2lnx﹣3x≥1对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[e，+∞）C．（0，1]D．（0，e]解：由ax2e3x﹣2lnx﹣3x≥1，可得a≥＝，令t＝2lnx+3x，则t∈R，于是原不等式等价转化为a≥恒成立，设f（t）＝，可得f′（t）＝﹣，所以当t＜0时，f′（t）＞0，f（t）递增；当t＞0时，f′（t）＜0，f（t）递减，所以f（t）max＝f（0）＝1，所以a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．a∈R，且0＜a＜1，复数z＝+i在复平面上对应的点P（x，y），复平面上的动点P的集合所对应区域的面积为．解：复数z＝+i在复平面上对应的点P（x，y），∴x＝，y＝，∴x2+y2＝1，（x＞0，y＞0）．复平面上的动点P的集合所对应区域的面积＝×π×12＝．14．某次数学竞赛，全体参赛学生的成绩ξ服从正态分布N（60，σ2）（σ＞0），若P（ξ＞80）＝0.2，则P（60≤ξ≤80）＝0.3．解：由ξ服从正态分布N（60，σ2）（σ＞0），得正态分布曲线的对称轴为x＝μ＝60，又P（ξ＞80）＝0.2，∴P（60≤ξ≤80）＝．故答案为：0.3．15．设m＝dx，其中e为自然对数的底数，若（m﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a4＝80．解：因为m＝dx＝＝1，所以（m﹣2x）5＝（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，由二项式定理知，a4＝＝80．故答案为：80．16．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对于任意x＞0都有f'（x）＜f（x），且f（4）＝4，则不等式f（x）﹣x3＜0的解集为（4，+∞）．解：f'（x）＜f（x）即为xf′（x）﹣3f（x）＜0，设g（x）＝，则g′（x）＝＜0，故g（x）在（0，+∞）递减，又∵f（4）＝4，∴g（4）＝＝，不等式f（x）﹣x3＜0可化为＜，即g（x）＜g（4），故x＞4，故不等式的解集是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．三、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某县教研室联合本县A，B两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分150分，规定120分及其以上为优秀，教研室为了研究数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了100名联考学生的成绩，得到下面2×2列联表：优秀非优秀合计A学校481260B学校162440合计6436100（1）估计A校学生数学成绩为优秀的概率；（2）能否有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0250.0100.001 k 3.841 5.024 6.63510.828解：（1）由抽取数据，A校数学成绩优秀学生的人数为48，所以估计A校学生数学成绩为优秀的概率估计值为：＝，（2）由公式＝≈16.667．由于16.667＞10.828故有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关，18．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax+5，其中a为常数．（1）当a＝5时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．解：（1）a＝5时，f（x）＝x3﹣x2﹣5x+5，f′（x）＝3x2﹣2x﹣5＝（3x﹣5）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1或x＞，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，）递减，在（，+∞）递增；（2）∵f（x）＝x3﹣x2﹣ax+5，∴f′（x）＝3x2﹣2x﹣a，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴3x2﹣2x﹣a≥0在R恒成立，∴△＝4+12a≤0，解得：a≤﹣，故实数a的范围是（﹣∞，﹣]．19．某湿地公园占地约44万m2，风景优美，吸引了大批市民前来游玩、健身．当地政府为了开展全民健身活动，组织了跑步队，并给每位队员发放统一服装，吸引了越来越多的市民加入跑步队．组织者统计了跑步队成立一个月内每一天队员的人数，用x表示跑步队成立的天数，y表示当天跑步队的人数，给出部分数据如表所示：第x（天）1491625y（人）4080120140160经研究发现，可以用y＝c+d作为y关于x的回归方程类型．（1）根据表中的数据，建立y关于x的回归方程；（2）请预测第36天跑步队的人数．参考数据：t i y i x i y i x t 108111920768097955其中＝x i，＝y i，t i＝，＝t i．参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．解：（1）根据题意知，y＝c+d，令t ＝，所以y＝c+dt；计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝108，且t i y i＝1920，＝55，所以＝＝＝30，＝﹣＝108﹣30×3＝18，所以＝18+30t，则y关于x 的回归方程为＝18+30；（2）若x＝36，则＝18+30×＝198，所以预测第36天跑步队的人数为198人．20．某企业生产的某种产品尺寸在[72.8，97.2）（单位：厘米）内的产品为正品，其余的均为次品，每生产件该产品，若是正品，则获利200元，若是次品，则亏本80元．现随机抽取这种产品100件，测量其尺寸（单位：厘米），得到如下频数分布表：分组[67.5，72.5）[72.5，77.5）[77.5，82.5）[82.5，87.5）[87.5，92.5）[92.5，97.5）[97.5，102.5）频数2922332482（1）已算出这100件产品的尺寸的平均数为＝85，求这100件产品的尺寸的方差s2；（2）若该产品的尺寸服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．①试估计每生产一件该产品，该产品是正品的概率；②设该企业每生产一件该产品的利润为X，求X的分布列．参考数据：≈6.1，若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．解：（1）这100件产品的尺寸方差：s2＝225×0.02+100×0.09+25×0.22+0×0.33+25×0.24+100×0.08+225×0.02＝37.5；（2）①∵该产品的尺寸服从正态分布N（μ，σ2），μ＝，σ＝≈6.1，∴μ﹣2σ＝85﹣2×6.1＝72.8，μ+2σ＝85+2×6.1＝97.2，由正态分布可知，每生产一件该产品，尺寸在[72.8，97.2）内的概率为P≈0.9545，即每生产一件该产品，该产品是正品的概率为0.9545．②设该企业每生产一件该产品的利润为X，则X＝200，﹣80．又知P（X＝100）＝0.9545，P（X＝﹣80）＝0.0455．故X的分布列为：X200﹣80P0.95450.045521．已知函数f（x）＝xlnx+（1﹣m）x+m，其中m∈Z．（1）当m＝1时，求函数f（x）的极小值；（2）若对任意x＞1，f（x）＞0恒成立，求m的最大值．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），当m＝1时，f（x）＝xlnx+1，f′（x）＝lnx+1．∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故f（x）在x＝时取得极小值，极小值为f（）＝1﹣；（2）由f（x）＝xlnx+（1﹣m）x+m（x＞1），得f′（x）＝lnx+1+（1﹣m）＝lnx+2﹣m．当m≤2时，可知f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，故f（x）在区间（1，+∞）上单调递增．故f（x）＞f（1）＝1＞0，符合题意；当m＞2时，令f′（x）＝0，得x＝e m﹣2．∴当x∈（1，e m﹣2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（e m﹣2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）的最小值为m﹣e m﹣2＞0．设g（m）＝m﹣e m﹣2（m＞2），则g′（m）＝1﹣e m﹣2＜0．故g（m）在（2，+∞）上单调递减，而g（3）＝3﹣e＞0，g（4）＝4﹣e2＜0．∴不等式m﹣e m﹣2＞0的解集为{m|2＜m＜m0}，其中m0∈（3，4）．∴m的最大值为3．22．某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现A，B双方参加比赛，A方在每一场获胜的概率为p（0＜p＜1），假设每场比赛的结果相互独立．（1）当p＝时，求A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；（2）若B方在每一场获胜的概率为q，设比赛场数为ξ．（i）试求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；（用p，q表示）（i）求E（ξ）的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议．解：（1）A方恰在比赛四场后赢得比赛，则A方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，∴A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率为：P＝＝．（2）（i）由题意知p+q＝1，ξ的取值为3，4，5，P（ξ＝3）＝p3+q3．P（ξ＝4）＝＝3p3q+3pq3，P（ξ＝5）＝＝3p3q+3pq3，∴ξ的概率分布列为：ξ345P p3+q33p3q+3pq36p3q2+6p2q3ξ的数学期望为：E（ξ）＝3（p3+q3）+4（3p3q+3pq3）+5（6p3q2+6p2q3）＝6p2q2+3pq+3．（ii）E（ξ）＝6p2q2+3pq+3＝6（pq+）2+，∵p+q＝1，0＜P＜1，∴0＜pq≤，∴E（ξ）在pq＝，p＝q＝时，取得最大值，最大值为：6（）2+＝，由数学期望的表达式可知当pq∈（0，]时，E（ξ）单调递增，∴pq接近0时，即当p，q相差较大时，也就是p→0，q→1，或者p→1，q→0时，比赛场数的数学期望相对较小，故建议A，B双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数．。
安徽省宿州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷
安徽省宿州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共11题；共22分)1. （2分） (2019高二上·德惠期中) 命题“若，则”的逆否命题是A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则2. （2分） (2015高二上·邯郸期末) “∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A . ∀x∈R，x2﹣2＜0B . ∀x∈R，x2﹣2≤0C . ∃x0∈R，﹣2＜0D . ∃x0∈R，﹣2≤03. （2分）如果方程表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二上·安平期末) 已知，，若∥ ，则λ与μ的值可以是（）A .B .C . ﹣3，2D . 2，25. （2分） (2016高二上·杭州期中) 若，则下列结论不正确的是（）A . a2＜b2B . ab＜b2C . ＞2D . |a|﹣|b|=|a﹣b|6. （2分）已知命题；命题则下列命题中真命题是（）A .B .C .D .7. （2分）抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是（）A . （1，1）B .C .D . （2，4）8. （2分）在平面直角坐标系中，定义点P（x1,y1),Q(x2,y2)之间的“理想距离”为：d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|；若C(x,y)到点A(2,3),B(8,8)的“理想距离”相等，其中实数x、y满足，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是（）A .B .C . 10D . 59. （2分）若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）A . （1，﹣2，0）B . （0，﹣2，2）C . （2，﹣4，4）D . （2，4，4）10. （2分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，则该三棱柱的外接球的表面积为（）A . 4πB . 8πC . 12πD .11. （2分）椭圆的弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)12. （1分）命题“若sinA=sinB，则∠A=∠B”的逆否命题是________13. （2分） (2019高三上·宁波期末) 在中，为边中点，经过中点的直线交线段于点，若，则 ________；该直线将原三角形分成的两部分，即三角形与四边形面积之比的最小值是________14. （1分） (2016高二下·上海期中) 已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B 的坐标________．15. （1分） A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，AB= ，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.三、解答题 (共6题；共55分)16. （5分） (2016高二上·如东期中) 在△A BC中，B（﹣3，0），C（3，0），直线AB，AC的斜率之积，求顶点A的轨迹．17. （10分） (2018高二上·鼓楼期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆离心率是，焦点到相应准线的距离是3．（1）求椭圆的方程；（2）如图，设A是椭圆的左顶点，动圆过定点E（1，0）和F（7，0），且与直线x＝4交于点P，Q．①求证：AP，AQ斜率的积是定值；②设AP，AQ分别与椭圆交于点M，N，求证：直线MN过定点．18. （10分） (2017高二上·邢台期末) 在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，PA= a，AD=2a．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值．19. （15分）(2017·奉贤模拟) 过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B 两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．20. （5分）(2017·山东模拟) 如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．21. （10分） (2018高二上·深圳期中) 已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．参考答案一、选择题 (共11题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共5分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、17-1、17-2、18-2、19-1、19-2、19-3、21-1、21-2、。
安徽省池州市2019-2020学年数学高二上学期理数期中考试试卷A卷
安徽省池州市2019-2020学年数学高二上学期理数期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2018高二下·石嘴山期末) 设集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝（）A . {x|2≤x＜3}B . {x|－2≤x＜0}C . {x|0＜x≤2}D . {x|－2≤x＜3}2. （1分）(2020·江西模拟) 给出下列三个命题：①“ ”的否定；②在中，“ ”是“ ”的充要条件；③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．其中假命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （1分） (2018高一上·大石桥期末) 下列大小关系正确的是（）A .B .C .D .4. （1分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点。
若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE 内部的概率等于（）A .B .C .D .5. （1分）(2018·栖霞模拟) 高三某班有学生人，现将所有同学随机编号并用系统抽样的方法，抽取一个容量为的样本.已知号，号，号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A .B .C .D .6. （1分）两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是（）A . 0<d≤3B . 0<d≤5C . 0<d<4D . 3≤d≤57. （1分） (2019高三上·宁德月考) 某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A . 16B .C .D .8. （1分）(2017·武邑模拟) 设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A .B .C .D .9. （1分）设,,若直线与圆相切,则m+n的取值范围是（）A .B .C .D .10. （1分）(2018·商丘模拟) 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为91，39，则输出的（）A . 11B . 12C . 13D . 1411. （1分）(2016·江西模拟) 如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为的正方形，矩形ADD1A1所在的平面垂直于平面ABCD，且AA1=2，则该几何体ABCD﹣A1D1的外接球的体积是（）A .B .C .D .12. （1分）设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数,当时,;当且时 ,,则函数在上的零点个数为（）A . 2B . 4C . 5D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·高淳期末) 已知等比数列{an}的各项为正数，公比为q，若q2=4，则=________．14. （1分）(2018·西安模拟) 已知满足若有最大值8，则实数的值为________．15. （1分） (2018高二上·玉溪期中) 将函数f（x）=sin( 2x)的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是________16. （1分） (2016高二上·中江期中) 在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m ﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________三、解答题 (共6题；共14分)17. （2分） (2018高一下·台州期中) 在中，角的对边分别为，且，.（1）求的值；（2）若a=2，求的面积.18. （3分） (2016高二下·衡阳期中) 一个均匀的正方体玩具，各个面上分别写有1，2，3，4，5，6，将这个玩具先后抛掷2次，求：（1）朝上的一面数相等的概率；（2）朝上的一面数之和小于5的概率．19. （2分） (2017高二上·唐山期末) 如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，F为AC的中点，AB=BC=2，BE= ．（Ⅰ）证明：EF⊥BD；（Ⅱ）在线段AE上是否存在一点G，使得二面角D﹣BG﹣E的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20. （2分）(2017·孝义模拟) 数列{an}满足an+5an+1=36n+18，n∈N* ，且a1=4．（1）写出{an}的前3项，并猜想其通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．21. （2分） (2017高三下·西安开学考) 已知椭圆C：的焦距为，离心率为，其右焦点为F，过点B（0，b）作直线交椭圆于另一点A．（Ⅰ）若，求△ABF外接圆的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆N：相交于两点G、H，设P为N上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．22. （3分） (2017高一上·辽宁期末) 已知函数f（x）=2x+2﹣x ．（Ⅰ）试写出这个函数的性质（不少于3条，不必说明理由），并作出图象；（Ⅱ）设函数g（x）=4x+4﹣x﹣af（x），求这个函数的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共14分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、22-1、。
2019-2020学年安徽省池州市高二下学期期末联考理科数学试题 解析版
安徽省池州市2019-2020学年高二下学期期末联考理科数学试题满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．无效．．． 4．保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，且复数z 满足i 13i z ⋅=-，则z 的共轭复数是（ ） A ．3i -+B ．3i --C ．3i +D ．3i -2．某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据，经计算相关系数0.862r =，则下列判断正确的是（ ）A ．商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系B 商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系C ．商品销售额与利润率负相关，且具有较弱的相关关系D ．商品销售额与利润率负相关，且具有较强的相关关系3．2020年5月28日，《中华人民共和国民法典》（以下简称《民法典》）获十三届全国人大三次会议高票通过，其被誉为“社会生活的百科全书”，具有重要意义．某网站就“是否关注《民法典》”向网民展开问卷调査，回收100份有效问卷，得到如右22⨯列联表，则下列结论正确的是（ ）A ．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别无关B ．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关C ．在犯错误不超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关D ．在犯错误超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．4．8122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．235xB ．220xC ．470xD ．435x5．安徽马鞍山市山水秀美，历史文化灿烂，素有“一半山水，一半诗歌”的美誉，被称为山水诗都．某同学暑假对马鞍山市的“褒禅山”、“镇淮楼古街”、“采石矶景区”、“大青山李白文化旅游区”的四个景区进行游玩，若不能先去“镇淮楼古街”，也不能最后去“褒禅山”和“采石矶景区”游玩，则该同学不同的游玩线路总数为（ ） A ．10B ．16C ．24D ．326．一副扑克牌去掉大小王还有52张，充分洗牌后随机不放回的依次摸出2张牌，在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是（ ） A ．113B ．117C ．417D ．12217．凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则凸十二边形的对角线条数为（ ） A ．44B ．54C ．65D ．778．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A ，B ，C 三人两两不相邻，A 和D 是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（ ） A ．288B ．144C ．96D ．729．已知函数()e xf x =，其中e 为自然对数的底数，导函数()f x '，设()()e 2e 2f f m -=-，则下列判断正确的是（ ）A ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =+，且同()()2e m f f ''<<B ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =+，且()()2e f m f ''<<C ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =-，且()()e 2f f m ''<<D ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =-，且()()2e f f m ''<<10．一条线段的中点叫做线段的重心；在三角形中，各边中线的交点叫做三角形的重心．由此类比给出四面体的重心：在四面体中连接四面体各顶点与对面三角形重心的线段的交点叫做四面体的重心．则在四面体中，四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为（ ） A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．4:111．2020年6月5日，世界环境日，今年的主题是“关爱自然，刻不容缓”，某地区环保部门100名党员参加“关爱自然，刻不容缓”的主题学习活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[]70,80分组，得到的频率分布直方图如图所示．现从年龄在[)50,60、[)60,70的人员中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[)50,60的人数，则()3P X ==（ ）A ．49B ．59C ．23D ．82112．已知不等式23e 2ln 31xax x x --对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．[)e,+∞C ．(]0,1D ．(]0,e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．a ∈R ，且01a <<，复数1i z a a =-在复平面上对应的点(),P x y ，复平面上的动点P 的集合所对应区域的面积为________．14．某次数学竞赛，全体参赛学生的成绩ξ服从正态分布()()260,0N σσ>，若()800.2P ξ>=，则()6080P ξ≤≤=________．15．设e11d m x x=⎰，其中e 为自然对数的底数，若()52501252m x a a x a x a x -=++++，则4a =________． 16．已知定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对于任意0x >都有()()3f x f x x'<，且()44f =，则不等式()31016f x x -<的解集为________． 三、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）某县教研室联合本县A ，B 两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分150分，规定120分及其以上为优秀，教研室为了研究数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了100名联考学生的成绩，得到下面22⨯列联表：（1）估计A 校学生数学成绩为优秀的概率；（2）能否有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）已知函数()325f x x x ax =--+，其中a 为常数．（1）当5a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，求实数a 的取值范围． 19．（12分）某湿地公园占地约44万2m ，风景优美，吸引了大批市民前来游玩、健身．当地政府为了开展全民健身活动，组织了跑步队，并给每位队员发放统一服装，吸引了越来越多的市民加入跑步队．组织者统计了跑步队成立一个月内每一天队员的人数，用x 表示跑步队成立的天数，y 表示当天跑步队的人数，给出部分数据如下表所示：经研究发现，可以用y c =+作为y 关于x 的回归方程类型． （1）根据表中的数据，建立y 关于x 的回归方程； （2）请预测第36天跑步队的人数． 参考数据：其中5115i i x x ==∑，5115i i y y ==∑，i t 5115i i t t ==∑．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑，a v u β=-．20．（12分）某企业生产的某种产品尺寸在[)72.8,97.2（单位：厘米）内的产品为正品，其余的均为次品，每生产一件该产品，若是正品，则获利200元，若是次品，则亏本80元现随机抽取这种产品100件，测量其尺寸（单位：厘米），得到如下频数分布表：（1）已算出这100件产品的尺寸的平均数为85x =，求这100件产品的尺寸的方差2s ； （2）若该产品的尺寸服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①试估计每生产一件该产品，该产品是正品的概率； ②设该企业每生产一件该产品的利润为X ，求X 的分布列．6.1≈，若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6827P Zμσμσ-<+=，()220.9545P Z μσμσ-<+=，()330.9973P Z μσμσ-<+=．21．（12分）已知函数()()ln 1f x x x m x m =+-+，其中m ∈Z ． （1）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（2）若对任意1x >，()0f x >恒成立，求m 的最大值． 22．（12分）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先羸得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现A ，B 双方参加比赛，A 方在每一场获胜的概率为()01p p <<，假设每场比赛的结果相互独立．（1）当12p =时，求A 方恰在比赛四场后赢得比赛的概率； （2）若B 方在每一场获胜的概率为q ，设比赛场数为ξ． （i ）试求ξ的分布列及数学期望()E ξ；（用P ，q 表示） （ⅱ）求()E ξ的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议．2019-2020学年第二学期期末考试卷高二理科数学参考答案1．【答案】A 【解析】由题意得()13i13i i 3i iz -==--=--，所以z 的共轭复数是3i -+． 2．【答案】B【解析】因为0.8620r =>，所以商品销售额与利润率正相关，又0.8620.75r =>，所以具有较强的相关关系． 3．【答案】B【解析】依据列联表中的数据可得()2210045153010 3.030 2.70655457525K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关． 4．【答案】C【解析】由二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，所以二项式系数最大的项是()44445812702T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭．5．【答案】A【解析】分两类：第一类，最后游玩“镇淮楼古街”，则有33A 种游玩线路；第二类，不在最后游玩“镇淮楼古街”，则有1222C A 种游玩线路．所以该同学不同的游玩线路数为31232210A C A +=种游玩线路．6．【答案】C【解析】在不放回地抽取且第1次抽到黑桃的前提下，还剩下12张黑桃，共剩51张扑克牌，故第2次也抽到黑桃的概率为1245117=． 7．【答案】B【解析】通过列表归纳可得故凸十二边形的对角线条数为234567891054++++++++=． 8．【答案】D【解析】分三步：先将除A ，B ，C 三人的其余三人进行排序，有33A 种方法，因为A 和D 必须相邻，所以A 只能插入与D 相邻的两个空位，有2种方法，最后将B ，C 插入剩余三个空位，有23A 种方法故共有3233272A A ⨯⨯=种方法．9．【答案】B【解析】由指数函数()e xf x =的图象可知，函数的增长速度越来越快，故曲线的切线斜率越来越大，()()e 2e 2f f m -=-表示两点()()2,2f ，()()e,e f 连线所在直线的斜率，易知其在点()()2,2f 处的切线斜率与点()()e,e f 处的切线斜率之间，故选B ． 10．【答案】C【解析】线段的重心分线段的必为1:1，三角形的重心到顶点的距离与到对边的距离之比为2:1，故可类比得出四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为3:1． 11．【答案】D【解析】由频率分布直方图知()0.0050.0100.0300.035101a ++++⨯=，解得0.020a =，年龄在[)50,60的人数为0.0301010030⨯⨯=，年龄在[)60,70的人数为0.021010020⨯⨯=．根据分层抽样，可知年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[)60,70的抽取4人．所以()31644108321C C P X C === 12．【答案】A【解析】方法一：由23e 2ln 31xax x x --≥得232ln 32ln 312ln 31e ex x xx x x x a x +++++≥=，令2ln 3t x x =+，则 t ∈R ，于是等价转化为1e t t a +≥对于一切实数恒成立，设()1e t f t t +=，则()t tf t e'=-，所以当0t <时，()0f t '>，()f t 单调递增，当0t >时，()0f t '<，()f t 单调递减，所以()()max 01f t f ==，所以1a ≥．方法二：由23e 2ln 31x ax x x --≥得232ln 32ln 312ln 31e ex x xx x x x a x +++++≥=，易证e 1x x ≥+（当且仅当0x =时取等号），所以2ln 32ln 312ln 311e 2ln 31x xx x x x x x +++++≤=++（当且仅当2ln 30x x +=，即3ln 2x x =-时取等号），所以1a ≥． 13．【答案】π4【解析】x =y =221x y +=，且0x >，0y >，故所对应的区域为14个单位圆，面积为π4． 14．【答案】0．3 【解析】由()()2~60,0N ξσσ>，得60μ=，故()()128060800.32P P ξξ->≤≤==．15．【答案】80 【解析】因为ee 111d ln 1m x x x===⎰，所以条件等式即为()525012512x a a x a x a x -=++++．而由二项式定理易知()441451280a C =⋅⋅-=．16．【答案】()4,+∞ 【解析】()()3f x f x x'<即为()()30xf x f x '-<，设函数()()3f x g x x =，则()()()()()3264330f x x f x x xf x f x g x x x''⋅-⋅-'==<，所以()g x 在()0,+∞上单调递减， 又因为()44f =，所以()()3414416f g ==，不等式()31016f x x -<可化为()3116f x x <，即()()4g x g <，故解集为()4,+∞． 17．（10分） 【答案】见解析【解析】（1）由抽取数据，A 校数学成绩优秀学生的人数为48， 所以估计A 校学生数学成绩为优秀的概率估计值为484605=；……………………………………（5分） （2）()221004824161216.66764366040K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于16.66710.828>故有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关．………………………………………（10分） 18．（12分）【答案】见解析【解析】（1）当5a =时，()3255x x f x x =--+，求导可得()()()2325351x x f x x x =--=-+'，………………………………………………（2分）令()0f x '=，得1x =-，或53x =． 当1x <-时，或53x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当315x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减． 所以()f x 单调递增区间为(),1-∞-，5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 单调递减区间为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．……（6分） （2）因为()325x x x f a x =--+，所以()232x x a f x '=--，因为函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，所以对一切实数x ∈R ，()2320x x a f x =--≥'恒成立，………………………………………（9分）所以()()22430a ∆=--⨯⨯-≤，解得13a ≤-，故实数a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．……………………………………………………………………（12分）19．（12分） 【答案】见解析【解析】（1）∵y c =+令t =，∴y c d t =+⋅，……………………………………………………………………（2分）∵1234535t ++++==，108y =，511920i i i t y ==∑，52155i i t ==∑，∴515222151920531083055535i ii i i t y t yd t t==--⨯⨯===-⨯-∑∑，………………………………………………（5分）把样本点的中心()3,108代入108303c =+⨯，得18c =，………………………………（7分） ∴1830y t =+，∴y 关于x的回归方程式：18y =+8分） （2）将36x =代入18y =+中，得18198y =+=，故预测第36天跑步队的人数为198人．……………………………………………………（12分） 20．（12分） 【答案】见解析【解析】（1）这100件产品的尺寸的方差22250.021000.09250.2200.33250.241000.082250.0237.5s =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，（4分）（2）因为该产品的尺寸符合正态分布()2,N μσ，85x μ==， 6.1σ=≈， 所以2852 6.172.8μσ-=-⨯=，2852 6.197.2μσ+=+⨯=由正态分布可知，每生产一件该产品，尺寸在[)72.8,97.2内的概率0.9545P ≈，即每生产一件该产品，该产品是正品的概率为0．9545．…………………………………（8分） 设该企业每生产一件该产品的利润为X ，则200X =，80-， 易知()1000.9545P X ==，()4010.0455P X =-=-， 故X 的分布列为………………………………………………………………………………………………………（12分） 21．【答案】见解析【解析】（1）函数定义域为()0,+∞，当1m =时，()ln 1f x x x =+，故()ln 1f x x '=+， 所以当10ex <<时，()0f x '<，所以()f x 单调递减； 所以当1ex >时，()0f x '>，所以()f x 单调递增 故()f x 在1ex =处取得极小值，极小值为111e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；………………………………（4分）（2）由()()()ln 11f x x x m x m x =+-+>，得()()ln 11ln 2f x x m x m '=++-=+-，…………………………………………………（5分） 当2m ≤时，易知()0f x '>在()1,+∞时恒成立，故()f x 在区间()1,+∞上单调递增， 故()()110f x f >=>，符合题意，…………………………………………………………（7分）当2m >时，令()0f x '=，得2e m x -=．列表如下：故()f x 的最小值20e m m -->，…………………………………………………………………（9分） 设()()2e 2m g x m m -=->，则()2e 10m g m -'=-<，故()g m 在()2,+∞上单调递减，而()33e 0g =->，()244e 0g =-<， 所以不等式20e m m -->的解为：02m m <<，其中()03,4m ∈，所以m 的最大值为3．…………………………………………………………………………（12分）22．（12分）【答案】见解析【解析】（1）A 方恰在比赛四场后赢得比赛，则A 方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，所以A 方恰在比赛四场后赢得比赛的概率为223121233327C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭；…………………………（3分） （2）（i ）易知1p q +=，ξ取值为3，4，5．()333P p q ξ==+，()22223333433P C p q p C q p q p q pq ξ==⋅+⋅=+，()222222322344566P C p q p C q p q p q p q ξ==⋅+⋅=+，故ξ的概率分布列为：………………………………………………………………………………………………………………（6分） 所以点的数学期望为()()()()333332233433566E p q p q pq p q p q ξ=+++++．()()()()22222231230p q p pq q pq p q p q p q =+-+++++()()22313121230pq pq pq p q =-+-+22633p q pq =++．……………………………………………………………………………………（8分）（ⅱ）()222121633648E p q pq pq ξ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 因为1p q +=，01p <<，所以104pq <≤，所以()E ξ在14pq =， 即12p q ==时，取得最大值，最大值为211213364488⎛⎫++= ⎪⎝⎭．………………………………（10分） 由数学期望的表达式可知当10,4pq ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()E ξ单调递增， 所以pq 接近0时，即当p ，q 相差较大时，也就是0p →，1q →或者1p →，0q →时，比赛场数的数学期望相对较小，故建议A ，B 双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数．………………………………（12分）。
安徽省池州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试卷
理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，且复数z 满足i 13i z ⋅=-，则z 的共轭复数是（） A ．3i -+B ．3i --C ．3i +D ．3i -2．某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据，经计算相关系数0.862r =，则下列判断正确的是（）A ．商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系B 商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系C ．商品销售额与利润率负相关，且具有较弱的相关关系D ．商品销售额与利润率负相关，且具有较强的相关关系3．2020年5月28日，《中华人民共和国民法典》（以下简称《民法典》）获十三届全国人大三次会议高票通过，其被誉为“社会生活的百科全书”，具有重要意义．某网站就“是否关注《民法典》”向网民展开问卷调査，回收100份有效问卷，得到如右22⨯列联表，则下列结论正确的是（）A ．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别无关B ．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关C ．在犯错误不超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关D ．在犯错误超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．4．8122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（）A ．235xB ．220xC ．470xD ．435x5．安徽马鞍山市山水秀美，历史文化灿烂，素有“一半山水，一半诗歌”的美誉，被称为山水诗都．某同学暑假对马鞍山市的“褒禅山”、“镇淮楼古街”、“采石矶景区”、“大青山李白文化旅游区”的四个景区进行游玩，若不能先去“镇淮楼古街”，也不能最后去“褒禅山”和“采石矶景区”游玩，则该同学不同的游玩线路总数为（） A ．10 B ．16 C ．24 D ．326．一副扑克牌去掉大小王还有52张，充分洗牌后随机不放回的依次摸出2张牌，在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是（） A ．113 B ．117 C ．417 D ．12217．凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则凸十二边形的对角线条数为（）A ．44B ．54C ．65D ．778．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A ，B ，C 三人两两不相邻，A 和D 是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（） A ．288 B ．144 C ．96 D ．729．已知函数()e x f x =，其中e 为自然对数的底数，导函数()f x '，设()()e 2e 2f f m -=-，则下列判断正确的是（）A ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =+，且同()()2e m f f ''<<B ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =+，且()()2e f m f ''<<C ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =-，且()()e 2f f m ''<<D ．曲线在0x =处的切线方程为1y x =-，且()()2e f f m ''<<10．一条线段的中点叫做线段的重心；在三角形中，各边中线的交点叫做三角形的重心．由此类比给出四面体的重心：在四面体中连接四面体各顶点与对面三角形重心的线段的交点叫做四面体的重心．则在四面体中，四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为（）A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．4:111．2020年6月5日，世界环境日，今年的主题是“关爱自然，刻不容缓”，某地区环保部门100名党员参加“关爱自然，刻不容缓”的主题学习活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[]70,80分组，得到的频率分布直方图如图所示．现从年龄在[)50,60、[)60,70的人员中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[)50,60的人数，则()3P X ==（）A ．49 B ．59 C ．23 D ．82112．已知不等式23e 2ln 31xax x x --对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,+∞ B ．[)e,+∞ C ．(]0,1D ．(]0,e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．a ∈R ，且01a <<，复数1i z a a =-在复平面上对应的点(),P x y ，复平面上的动点P 的集合所对应区域的面积为________．14．某次数学竞赛，全体参赛学生的成绩ξ服从正态分布()()260,0N σσ>，若()800.2P ξ>=，则()6080P ξ≤≤=________．15．设e11d m x x=⎰，其中e 为自然对数的底数，若()52501252m x a a x a x a x -=++++，则4a =________．16．已知定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对于任意0x >都有()()3f x f x x '<，且()44f =，则不等式()31016f x x -<的解集为________． 三、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）某县教研室联合本县A ，B 两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分150分，规定120分及其以上为优秀，教研室为了研究数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了100名联考学生的成绩，得到下面22⨯列联表：（1）估计A 校学生数学成绩为优秀的概率；（2）能否有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）已知函数()325f x x x ax =--+，其中a 为常数． （1）当5a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，求实数a 的取值范围． 19．（12分）某湿地公园占地约44万2m ，风景优美，吸引了大批市民前来游玩、健身．当地政府为了开展全民健身活动，组织了跑步队，并给每位队员发放统一服装，吸引了越来越多的市民加入跑步队．组织者统计了跑步队成立一个月内每一天队员的人数，用x 表示跑步队成立的天数，y 表示当天跑步队的人数，给出部分数据如下表所示：经研究发现，可以用y c =+y 关于x 的回归方程类型． （1）根据表中的数据，建立y 关于x 的回归方程； （2）请预测第36天跑步队的人数． 参考数据：其中5115i i x x ==∑，5115i i y y ==∑，i t =5115i i t t ==∑．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑，a v u β=-．20．（12分）某企业生产的某种产品尺寸在[)72.8,97.2（单位：厘米）内的产品为正品，其余的均为次品，每生产一件该产品，若是正品，则获利200元，若是次品，则亏本80元现随机抽取这种产品100件，测量其尺寸（单位：厘米），得到如下频数分布表：（1）已算出这100件产品的尺寸的平均数为85x =，求这100件产品的尺寸的方差2s ； （2）若该产品的尺寸服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①试估计每生产一件该产品，该产品是正品的概率； ②设该企业每生产一件该产品的利润为X ，求X 的分布列．6.1≈，若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6827P Zμσμσ-<+=，()220.9545P Z μσμσ-<+=，()330.9973P Z μσμσ-<+=．21．（12分）已知函数()()ln 1f x x x m x m =+-+，其中m ∈Z ． （1）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（2）若对任意1x >，()0f x >恒成立，求m 的最大值． 22．（12分）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先羸得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现A ，B 双方参加比赛，A 方在每一场获胜的概率为()01p p <<，假设每场比赛的结果相互独立．（1）当12p =时，求A 方恰在比赛四场后赢得比赛的概率； （2）若B 方在每一场获胜的概率为q ，设比赛场数为ξ． （i ）试求ξ的分布列及数学期望()E ξ；（用P ，q 表示） （ⅱ）求()E ξ的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议．理科数学参考答案1．【答案】A 【解析】由题意得()13i13i i 3i iz -==--=--，所以z 的共轭复数是3i -+． 2．【答案】B【解析】因为0.8620r =>，所以商品销售额与利润率正相关，又0.8620.75r =>，所以具有较强的相关关系． 3．【答案】B【解析】依据列联表中的数据可得()2210045153010 3.030 2.70655457525K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关． 4．【答案】C【解析】由二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，所以二项式系数最大的项是()44445812702T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 5．【答案】A【解析】分两类：第一类，最后游玩“镇淮楼古街”，则有33A 种游玩线路；第二类，不在最后游玩“镇淮楼古街”，则有1222C A 种游玩线路．所以该同学不同的游玩线路数为31232210A C A +=种游玩线路．6．【答案】C【解析】在不放回地抽取且第1次抽到黑桃的前提下，还剩下12张黑桃，共剩51张扑克牌，故第2次也抽到黑桃的概率为1245117=． 7．【答案】B【解析】通过列表归纳可得故凸十二边形的对角线条数为234567891054++++++++=． 8．【答案】D【解析】分三步：先将除A ，B ，C 三人的其余三人进行排序，有33A 种方法，因为A 和D 必须相邻，所以A 只能插入与D 相邻的两个空位，有2种方法，最后将B ，C 插入剩余三个空位，有23A 种方法故共有3233272A A ⨯⨯=种方法． 9．【答案】B【解析】由指数函数()e x f x =的图象可知，函数的增长速度越来越快，故曲线的切线斜率越来越大，()()e 2e 2f f m -=-表示两点()()2,2f ，()()e,e f 连线所在直线的斜率，易知其在点()()2,2f 处的切线斜率与点()()e,e f 处的切线斜率之间，故选B ． 10．【答案】C【解析】线段的重心分线段的必为1:1，三角形的重心到顶点的距离与到对边的距离之比为2:1，故可类比得出四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为3:1． 11．【答案】D【解析】由频率分布直方图知()0.0050.0100.0300.035101a ++++⨯=，解得0.020a =，年龄在[)50,60的人数为0.0301010030⨯⨯=，年龄在[)60,70的人数为0.021010020⨯⨯=．根据分层抽样，可知年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[)60,70的抽取4人．所以()31644108321C C P X C === 12．【答案】A【解析】方法一：由23e 2ln 31x ax x x --≥得232ln 32ln 312ln 31e e x x xx x x x a x +++++≥=，令2ln 3t x x =+，则t ∈R ，于是等价转化为1e t t a +≥对于一切实数恒成立，设()1e t f t t +=，则()ttf t e'=-，所以当0t <时，()0f t '>，()f t 单调递增，当0t >时，()0f t '<，()f t 单调递减，所以()()max 01f t f ==，所以1a ≥．方法二：由23e 2ln 31x ax x x --≥得232ln 32ln 312ln 31e ex x xx x x x a x +++++≥=，易证e 1x x ≥+（当且仅当0x =时取等号），所以2ln 32ln 312ln 311e 2ln 31x xx x x x x x +++++≤=++（当且仅当2ln 30x x +=，即3ln 2x x =-时取等号），所以1a ≥． 13．【答案】π4【解析】x =，y =221x y +=，且0x >，0y >，故所对应的区域为14个单位圆，面积为π4．14．【答案】0．3【解析】由()()2~60,0N ξσσ>，得60μ=，故()()128060800.32P P ξξ->≤≤==．15．【答案】80 【解析】因为ee111d ln 1m x x x===⎰，所以条件等式即为()525012512x a a x a x a x -=++++．而由二项式定理易知()441451280a C =⋅⋅-=．16．【答案】()4,+∞ 【解析】()()3f x f x x'<即为()()30xf x f x '-<，设函数()()3f x g x x =， 则()()()()()3264330f x x f x x xf x f x g x x x''⋅-⋅-'==<，所以()g x 在()0,+∞上单调递减，又因为()44f =，所以()()3414416f g ==，不等式()31016f x x -<可化为()3116f x x <，即()()4g x g <，故解集为()4,+∞． 17．（10分） 【答案】见解析【解析】（1）由抽取数据，A 校数学成绩优秀学生的人数为48， 所以估计A 校学生数学成绩为优秀的概率估计值为484605=；……………………………………（5分） （2）()221004824161216.66764366040K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于16.66710.828>故有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关．………………………………………（10分） 18．（12分） 【答案】见解析【解析】（1）当5a =时，()3255x x f x x =--+， 求导可得()()()2325351x x f x x x =--=-+'，………………………………………………（2分） 令()0f x '=，得1x =-，或53x =． 当1x <-时，或53x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当315x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减． 所以()f x 单调递增区间为(),1-∞-，5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 单调递减区间为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．……（6分）（2）因为()325x x x f a x =--+，所以()232x x a f x '=--， 因为函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，所以对一切实数x ∈R ，()2320x x a f x =--≥'恒成立，………………………………………（9分） 所以()()22430a ∆=--⨯⨯-≤，解得13a ≤-， 故实数a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．……………………………………………………………………（12分） 19．（12分） 【答案】见解析【解析】（1）∵y c =+，令t =，∴y c d t =+⋅，……………………………………………………………………（2分）∵1234535t ++++==，108y =，511920i i i t y ==∑，52155i i t ==∑，∴515222151920531083055535i ii i i t y t yd t t==--⨯⨯===-⨯-∑∑，………………………………………………（5分）把样本点的中心()3,108代入108303c =+⨯，得18c =，………………………………（7分）∴1830y t =+，∴y 关于x的回归方程式：18y =+8分）（2）将36x =代入18y =+中，得18198y =+=，故预测第36天跑步队的人数为198人．……………………………………………………（12分） 20．（12分） 【答案】见解析【解析】（1）这100件产品的尺寸的方差22250.021000.09250.2200.33250.241000.082250.0237.5s =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，（4分）（2）因为该产品的尺寸符合正态分布()2,N μσ，85x μ==， 6.1σ=≈， 所以2852 6.172.8μσ-=-⨯=，2852 6.197.2μσ+=+⨯=由正态分布可知，每生产一件该产品，尺寸在[)72.8,97.2内的概率0.9545P ≈，即每生产一件该产品，该产品是正品的概率为0．9545．…………………………………（8分）设该企业每生产一件该产品的利润为X ，则200X =，80-，易知()1000.9545P X ==，()4010.0455P X =-=-，故X 的分布列为………………………………………………………………………………………………………（12分）21．【答案】见解析【解析】（1）函数定义域为()0,+∞，当1m =时，()ln 1f x x x =+，故()ln 1f x x '=+，所以当10e x <<时，()0f x '<，所以()f x 单调递减； 所以当1ex >时，()0f x '>，所以()f x 单调递增 故()f x 在1e x =处取得极小值，极小值为111e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；………………………………（4分） （2）由()()()ln 11f x x x m x m x =+-+>，得()()ln 11ln 2f x x m x m '=++-=+-，…………………………………………………（5分）当2m ≤时，易知()0f x '>在()1,+∞时恒成立，故()f x 在区间()1,+∞上单调递增，故()()110f x f >=>，符合题意，…………………………………………………………（7分）当2m >时，令()0f x '=，得2e m x -=．列表如下：故()f x 的最小值20e m m -->，…………………………………………………………………（9分）设()()2e 2m g x m m -=->，则()2e 10m g m -'=-<，故()g m 在()2,+∞上单调递减，而()33e 0g =->，()244e 0g =-<，所以不等式20e m m -->的解为：02m m <<，其中()03,4m ∈，所以m 的最大值为3．…………………………………………………………………………（12分）22．（12分）【答案】见解析【解析】（1）A 方恰在比赛四场后赢得比赛，则A 方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，所以A 方恰在比赛四场后赢得比赛的概率为223121233327C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭；…………………………（3分）（2）（i ）易知1p q +=，ξ取值为3，4，5．()333P p q ξ==+，()22223333433P C p q p C q p q p q pq ξ==⋅+⋅=+，()222222322344566P C p q p C q p q p q p q ξ==⋅+⋅=+，故ξ的概率分布列为：………………………………………………………………………………………………………………（6分）所以点的数学期望为()()()()333332233433566E p q p q pq p q p q ξ=+++++．()()()()22222231230p q p pq q pq p q p q p q =+-+++++()()22313121230pq pq pq p q =-+-+22633p q pq =++．……………………………………………………………………………………（8分）（ⅱ）()222121633648E p q pq pq ξ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 因为1p q +=，01p <<，所以104pq <≤，所以()E ξ在14pq =， 即12p q ==时，取得最大值，最大值为211213364488⎛⎫++= ⎪⎝⎭．………………………………（10分）由数学期望的表达式可知当10,4pq ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()E ξ单调递增， 所以pq 接近0时，即当p ，q 相差较大时，也就是0p →，1q →或者1p →，0q →时， 比赛场数的数学期望相对较小，故建议A ，B 双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数．………………………………（12分）。
安徽省池州市2019版数学高二上学期文数期末考试试卷(I)卷
安徽省池州市2019版数学高二上学期文数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·诸城模拟) 设集合A={y|y=2x ，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A . （﹣1，1）B . （0，1）C . （﹣1，+∞）D . （0，+∞）2. （2分）已知数列中，，则（）A . 1028B . 1026C . 1024D . 10223. （2分）对于常数m、n，“mn>0”是“方程的曲线是椭圆”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2018高二下·中山月考) 已知p：是方程的一个根，q：，则p是q的（）条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要5. （2分） (2015高二上·石家庄期末) 若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A . a=1，b=2B . a=﹣1，b=2C . a=1，b=﹣2D . a=﹣1，b=﹣26. （2分） (2020高二上·吴起期末) 若，则的最大值为（）A .B .C .D .7. （2分）若双曲线的渐近线与抛物线的准线所围成的三角形面积为2,则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·淮北模拟) 已知等差数列满足，则的最大值为（）A .B . 20C . 25D . 1009. （2分）已知定义在R上的函数，其导函数的图像如图所示，则下列叙述正确的是（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·湖北模拟) 在中，给出下列说法：①若，则一定有；②恒有；③若，则为锐角三角形.其中正确说法的个数有（）A . 0B . 1C . 2D . 311. （2分）如果函数满足：对于任意的，都有恒成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·成都开学考) 经过双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若|MN|= ，则该双曲线的离心率是（）A . 2或B . 或C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的公比q的取值范围是________．14. （1分） (2016高一上·青浦期中) 设x＞0，则的最小值为________．15. （1分）函数f（x）=2xsin（2x+5）的导数是________．16. （1分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如， A（﹣1.1）=﹣1．（理科）若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是________ ．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2018高二下·衡阳期末) [选修4—5:不等式选讲]已知函数（1）求不等式的解集.（2）若不等式的解集非空，求的取值范围.18. （10分） (2018高二上·白城月考) 若曲线：，（）的离心率且过点，曲线：，自曲线上一点作的两条切线切点分别为，．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）求的最大值．19. （10分） (2018高一下·长阳期末) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，n∈N* ， a3＝5，S10＝100．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和 .20. （10分）(2017·成都模拟) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2 ，求a+c的最大值．21. （10分）(2018·商丘模拟) 已知函数，其中为常数且 .（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，，若存在，使成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2020高二上·淮阴期末) 已知双曲线的方程为，离心率,顶点到渐近线的距离为（1）求双曲线的方程;（2）设是双曲线上点， ,两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、第11 页共12 页22-2、第12 页共12 页。
2019-2020学年安徽省池州市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省池州市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．若直线1:230l x y -+=与直线2:310l x my +-=相互垂直，则实数m 的值为（ ） A ．6- B ．6C ．32-D ．32【答案】B【解析】根据两直线垂直时的斜率关系，即可得关于m 的方程，进而求得m 的值. 【详解】直线1:230l x y -+=与直线2:310l x my +-=相互垂直， 则满足()2310m ⨯+-⨯=， 解得6m =， 故选：B. 【点睛】本题考查了直线垂直时的斜率关系，根据斜率关系求参数，属于基础题.2．已知命题()2:,ln 450p x R x x ∀∈-+…，则命题p 的否定，命题．．p 的真假分别为（ ）A ．()2,ln 450x R x x ∀∈-+<，真 B ．()2,ln 450x R x x ∀∈-+<，假 C ．()2,ln 450x R x x ∃∈-+<，真 D ．()2,ln 450x R x x ∃∈-+<，假【答案】C【解析】根据全称命题的否定，可得命题p 的否定；根据二次函数性质及对数的性质，可判断真假. 【详解】全称命题的否定为特称命题，故()2:,ln 450p x R x x ⌝∃∈-+<； 因为2451x x -+≥，则()2ln 45ln10x x -+=…，故命题p 为真， 故选：C. 【点睛】本题考查了全称命题否命题形式，命题真假判断，属于基础题.3．已知函数4()34ln f x x x =-，则曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．85y x =- B ．129y x =- C ．41y x =- D ．63=-y x【答案】A【解析】根据函数解析式，先求得导函数.将切点坐标求出来，由点斜式即可求得切线方程. 【详解】函数4()34ln f x x x =- 依题意，34()12f x x x'=-， 故(1)8k f '==，而(1)3f =，所以切点为()1,3 所以由点斜式可得切线方程为38(1)y x -=-， 即85y x =-， 故选：A. 【点睛】本题考查了求函数上一点的切线方程，属于基础题.4．圆221:460C x y x y +-+=与圆222:610330C x y x y ++-+=的公切线条数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A【解析】先将两个圆的方程化为标准方程，求得两个圆的圆心距，与半径比较即可判断两个圆的位置关系，进而判断出公切线数量. 【详解】圆221:460C x y x y +-+=与圆222:610330C x y x y ++-+=则化为标准方程可得圆221:(2)(3)13C x y -++=，圆222:(3)(5)1C x y ++-=，故12C C ==；1>，所以圆12,C C 相离，故两圆有4条公切线， 故选：A. 【点睛】本题考查了圆的一般式与标准方程的转化，圆与圆位置关系的判断方法，由圆与圆的位置关系判断公切线数量，属于基础题.5．用斜二测画法画一个水平放置的边长为ABC V 得到的直观图A B C '''V ，则A B C '''V 的面积为（ ） A．B．CD【答案】C【解析】先求得等边三角形面积，再根据直观图面积与原图形的面积关系，即可求得直观图的面积. 【详解】边长为ABC V，则24ABC S =⨯=V ，由直观图与原图形的面积之比为1:A B C ABC S S '''=V V ； 故A B C '''V的面积为=， 故选：C. 【点睛】本题考查了斜二测画法所得直观图与原图形的面积关系，属于基础题.6．已知某圆锥的轴截面为一等腰ABC V ，其中5,4AB AC BC ===，则该圆锥的体积为（ ） A．3BC．3D．【答案】C【解析】根据题意画出圆锥的轴截面图形，由线段关系求得圆锥的高，即可由圆锥体积公式求解. 【详解】根据题意作出圆锥的轴截面图形如下图所示：其中O 为线段BC 的中点，设底面圆的半径为r ， 则2225421AO AB BO =-=-=，故圆锥的体积211421421333V r h πππ==⨯=， 故选：C. 【点睛】本题考查了圆锥的轴截面画法，圆锥体积的求法，属于基础题.7．若函数2()332ln f x x x m x =--在[2,6]上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．128,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(,12]-∞C ．128,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．(,12)-∞【答案】A【解析】先求得函数()f x 的导函数，根据函数()f x 在[2,6]上单调递增可令()0f x '….分离参数后构造二次函数，即可由二次函数性质求得二次函数的最小值，进而求得m 的取值范围. 【详解】函数2()332ln f x x x m x =-- 则()632mf x x x'=--， 因为函数()f x 在[2,6]上单调递增，令()0f x '…，则6320mx x--…，即2632x x m -…， 令2632,[2,6]y x x x =-∈，函数2632y x x =-在82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在8,63⎛⎤ ⎥⎝⎦上单测递增，故64863293m ⨯-⨯…， 解得1283m -„，故选：A. 【点睛】本题考查了利用导数分析函数的单调性，由单调性求参数的取值范围，二次函数图像与性质的简单应用，属于基础题.8．已知长方体1111ABCD A B C D -中，11,,2AA AD AB E F ==分别为所在线段的中点，则满足AE BF ⊥的图形为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，进而可得线线垂直.对于不正确选项，将异面直线平移，平移到同一平面内，利用勾股定理逆定理说明线段不垂直即可. 【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，11,,2AA AD AB E F ==分别为所在线段的中点，设1AD =，则11,2AA AB ==.对于A ，由直线与平面位置关系可知BA AE ⊥,因而,AE BF 为异面直线但是不垂直； 对于B ，取11B C 中点1E ，连接11,FE BE ，如下图所示：则11532,,22BF BE E F ===，不满足勾股定理逆定理，因而AE BF ⊥不成立. 在选项C 中，连接,AF EF ，如下图所示：因为1AD =，则2,2AF BF AB ===，故222AF BF AB +=， 故BF AF ⊥；而1//EF CC ，故EF ⊥平面ABCD ，故EF BF ⊥， 而EF AF F =I ，则BF ⊥平面AEF ，则AE BF ⊥， 对于D ，取BC 中点M ，CF 中点N ,1114C H C C =.连接,,,,EM NM NH EH AH ，如下图所示：212,1122AE HE AH ===，不满足勾股定理，所以AE 与HE 不垂直 因为////HE MN BF ,所AE 与BF 不垂直. 综上可知，满足AE 与BF 不垂直的只有C 故选：C. 【点睛】本题考查了直线与平面位置关系，直线与平面垂直的判定，直线与直线的位置关系应用，属于基础题.9．已知圆C 过点(7,2),(1,6),(0,1)-，若直线:10l x y --=与圆C 交于,M N 两点，则||MN =（ ）A．2B．CD．【答案】B【解析】根据圆经过三个点，可设圆的一般方程.求得圆的方程后化为标准方程，求得圆心到直线l 的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值. 【详解】圆C 过点(7,2),(1,6),(0,1)-可设圆22:0C x y Dx Ey F ++++=，将(7,2),(1,6),(0,1)-代入可得53720,3760,10,D E F D E F E F +++=⎧⎪+-+=⎨⎪++=⎩解得8,4,5D E F =-==-，整理得22(4)(2)25x y -++=；故圆心(4,2)-到直线:10l x y --=的距离d =，故||MN == 故选：B. 【点睛】本题考查了圆一般方程求法，圆的一般方程与标准方程的转化，直线与圆相交弦长求法，属于基础题.10．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++…；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题的是（ ） A ．p B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．p q ∧【答案】C【解析】由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断选项.【详解】命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥ 由辅助角化简可得sin cos 12sin 14x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，可知当34x π=-时，2sin 104x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，故p 为假；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-若直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切，则222d ==， 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真， 故()p q ⌝∧为真， 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题. 11．如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,4,2ABC AB BC PA AB BC ⊥===，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π【答案】D【解析】根据线段垂直关系，将三棱锥置于长方体中，根各棱长可求得其外接球的半径，即可求得其外接球的表面积. 【详解】由于三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,ABC AB BC ⊥， 故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：则体对角线PC 即为外接球的直径，222||22426PC =++= 所以外接球的半径6R =，故三棱锥P ABC -的外接球表面积244624S R πππ==⨯=， 故选：D. 【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征，三棱锥外接球的表面积求法，将三棱锥置于长方体或正方体中是常用方法，属于中档题. 12．若关于x 的方程ln x x m x =在(1,)+∞上有解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．[1,)+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(1,)+∞【答案】A【解析】(1)x t t =>，将方程变形后，构造函数()ln xf x x=.利用导数分析出()f x 的单调性，画出图像后，结合曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线斜率即可求得m 的取值范围. 【详解】 (1)x t t =>，则方程转化为22ln 0(1)(*)t t m t t --=>；显然当0m =时，方程在(1,)+∞上无解；当0m ≠时，（）式可以化为1ln (1)2t t m t-=； 令()ln x f x x =，21ln ()xf x x -'=，故当(1,)x e ∈时，()0f x '>， 当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<， 作出函数()f x 的图象如下所示，21ln1(1)11-'==f 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线斜率为1，故1012m <<，即12m >， 故实数m 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题考查了利用导数分析函的数单调性，导数的几何意义应用，构造函数法求参数的取值范围，数形结合的应用，综合性强，属于难题.二、填空题13．过点(2,3),(4,8)的直线l 的一般方程为_________. 【答案】5240x y --=【解析】先根据两个点坐标求得直线的斜率，利用点斜式求得直线方程，再化为一般式即可. 【详解】过点(2,3),(4,8)的直线l 的斜率为835422-=-， 故所求直线的方程为53(2)2y x -=-， 即5240x y --=. 故答案为：5240x y --= 【点睛】本题考查了直线方程的求法，已知两点求直线的斜率，点斜式方程的应用，方程几种表达方式的转化，属于基础题.14．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱1CC 上，且12C D CD =，过点D 的平面α与平面11AB C 平行，且1BB ⋂平面E α=，则1BEB E=__________.【答案】12【解析】根据题意，作出截面α.由直线关系可得11//DE B C ，进而求得1BEB E. 【详解】因为平面//α平面11AB C ， 所以//DE 平面11AB C ，而DE ⊂平面11CBB C ，平面11CBB C ⋂平面1111AB C B C =， 则11//DE B C ，故112BE B E =. 故答案为：12【点睛】本题考查了空间几何体截面的作法，线段关系的判断，属于基础题. 15．函数2()3x x f x e e x =-+的极小值为__________. 【答案】2-【解析】先求得函数()f x 的导函数'()f x .令()0f x '=，解得极值点，即可判断导函数的符号及单调区间，进而求得函数()f x 的极小值.【详解】 函数2()3xx f x e e x =-+则()()2()231211xx x x f x ee e e '=-+=--，令()0f x '=， 解得1ln,02x x ==， 故当1,ln2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 当1ln,02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故函数()f x 在0x =处取到极小值(0)2f =-. 故答案为：2- 【点睛】本题考查了导数在研究函数极值中的应用，根据导函数判断函数的单调性，属于中档题. 16．如图所示，三棱锥A BCD -中，ABD ∆、BCD ∆均为等边三角形，23,4AC BC ==，则三棱锥A BCD -的体积为________.【答案】3【解析】根据ABD ∆、BCD ∆均为等边三角形，4BC =，可求得,AO CO 的长.结合23AC =AOC ∆为正三角形.可证明BD ⊥平面AOC ，所以2B AOC D AOC B A A O BCD C V V V V ----=+=，即可求得A BCD V -.【详解】取BD 的中点O ，连接,AO CO ，如下图所示：因为三棱锥,4A BCD AB AD BC DC BD -=====， 故3,,4232AO BD CO BD AO CO ⊥⊥==⨯=， 又23AC =，所以AOC ∆为正三角形，又因为,,AO BD CO BD AO CO O ⊥⊥⋂=，故BD ⊥平面AOC ， 故三棱锥A BCD -的体积为213222(23)433A BCD B AOC D AOC B AOC V V V V ----=+==⨯⨯⨯⨯=.故答案为：43 【点睛】本题考查三棱锥中线面垂直的判断，三棱锥体积的求法，证明BD ⊥平面AOC 是关键，并且2B AOC D AOC B A A O BCD C V V V V ----=+=，属于中档题.三、解答题17．如图所示，三棱锥S ABC -中，90BCA ACS ︒∠=∠=，,M N 分别是线段,SC SB 的中点，过,M N 的平面α与平面ABC 的交线为l .（1）求证：//BC l ；（2）若CSB CBS ∠=∠，求证：BS AN ⊥.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）根据中位线定理可证明//BC MN ，从而可知//MN 平面ABC .由线面平行的性质即可判定//BC l .（2）由题意90BCA ACS ︒∠=∠=可得AC ⊥平面BCS ，所以AC BS ⊥.连接CN ，由CSB CBS ∠=∠可得N 为BD 的中点.从而证明BS ⊥平面ACN ，即可得BS AN ⊥.【详解】（1）证明：三棱锥S ABC -中， ∵M 为SC 的中点，N 为SB 的中点， ∴//BC MN ，∵BC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ， ∴//MN 平面ABC ，∵MN ⊂平面α，平面αI 平面=ABC l ，故//MN l ， 故//BC l ；（2）证明：∵90BCA ACS ︒∠=∠=， ∴,,AC BC AC SC BC SC C ⊥⊥⋂=， ∴AC ⊥平面BCS ， ∵BS ⊂平面BCS ， ∴AC BS ⊥， 连接CN ，∵CSB CBS ∠=∠，∴,SC BC N =为BD 的中点， ∴CN BS ⊥， ∵AC CN C ⋂=， ∴BS ⊥平面ACN ，∵AN ⊂平面ACN ，故BS AN ⊥. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定，直线与平面平行性质的应用，线面垂直的判定及性质应用，属于中档题. 18．已知函数()2()1xf x eax=+，其中12a >. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）记函数()()xg x f x xe =+的极大值为M ，若1M >，求实数a 的取值范围.【答案】（1）7e ；（2）21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）将2a =代入函数解析式，并求得导函数()f x '.代入(1)f '即可求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）将()f x 代入可得()g x ，并求得导函数'()g x .由12a >，列表讨论'(),()g x g x 的变化情况.即可求得()g x 的极大值，结合1M >即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()2()e 21xf x x=+，依题意()()22()214241xx x f x e xxe e x x '=++=++，故(1)7f e '=.（2）依题意，()2()()1,xxx g x f x xe e axxe =+=++则()(2)(1)xg x e x ax '=++ 当1a >时，当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：由上表可知，2(2)(41)1M g e a -=-=->，解得214e a +>，故实数a 的取值范围为21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数分析函数的单调性与极值，根据极值的情况求参数的取值范围，属于中档题.19．已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=u u u u r u u u r ，求m 的值.【答案】（1；（2）m =. 【解析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ u u u u r u u u r.将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=，即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||2MN ==； （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--u u u u r u u u r，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=， 故()222481840,m m m ∆=--=->解得m <，12x x m +=-，2121,2m x x -=所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=u u u u r u u u r ，又22111x y +=故121212x x y y +=-， 故()21212122x x m x x m +++=-， 将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得2m =±.又因为m <所以2m =± 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题. 20．已知命题:p 函数221y mx x =-+在[2,)+∞上单调递增；命题:q 函数()2ln f x x mx =-至少有1个零点.（1）若q ⌝为假，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2m e ≤；（2）12,,2e ⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）因为q ⌝为假，则命题q 为真.令()0f x =，分离参数并构造函数ln ()xg x x=，求得()g x '，由()g x '的符号判断函数()g x 的单调性与极大值.结合函数图像即可求得m 的取值范围； （2）先求得当命题p 为真命题时m 的取值范围.再由p q ∧为假，p q ∨为真可知,p q 一真一假.分类讨论p 真q 假、p 假q 真，即可求得m 的取值范围. 【详解】（1）依题意若q ⌝为假，则命题q 为真， 令()2ln 0f x x mx =-=， 解得ln 2x mx =，令ln ()xg xx=，则21ln()xg xx-'=，故当(0,)x e∈时，()0g x'>，当(,)x e∈+∞，()0g x'<，作出函数()g x图象如下所示，所以当x e=时，()g x取得极大值，为1(e)ge=由图像可知若ln2x mx=至少有一个零点，则1()2mg ee≤=，即2me≤；（2）当命题p为真时，函数221y mx x=-+在[2,)+∞上单调递增，显然0m=时，不符合题意，由二次函数性质知0,12,mm>⎧⎪⎨≤⎪⎩解得12m≥；若p q∧为假，p q∨为真，则,p q一真一假：若p真q假，则实数m满足1,22,mme⎧≥⎪⎪⎨⎪>⎪⎩则2me>；若p假q真，则实数m满足1,22,mme⎧<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩则12m<；综上所述，实数m的取值范围12,,2e⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了根据命题真假求参数的取值范围，由复合命题真假求参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用，属于中档题.21．如图，四边形SADC由边长为2的等边SAB∆、等边ABD∆以及等边BCD∆拼接而成，现沿AB 进行翻折，使得平面SAB ⊥平面ABCD .（1）求证：SD AB ⊥；（2）求直线SC 与平面SBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）6. 【解析】（1）取AB 的中点O ，连接,OD OS .可得⊥OD AB ，OS AB ⊥，因而AB ⊥平面SOD ，即可得SD AB ⊥.（2）设C 到平面SBD 的距离为h ，直线SC 与平面SBD 所成角为,θ所以sin hSCθ=.求得,SD SC .在SDB ∆中，求得SD 边上的高，即可求得SBD S ∆.由等体积法可知C SBD S BCD V V --=，即可求得h 的值.【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连接,OD OS ，如下图所示：依题意，ABD ∆为等边三角形， 故⊥OD AB ，SAB ∆是等边三角形，所以OS AB ⊥， 又OS OD O =I ， 所以AB ⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ， 故SD AB ⊥；（2）设C 到平面SBD 的距离为h ，直线SC 与平面SBD 所成角为,2AB θ=， 则sin h SCθ=； 因为平面SAB ⊥平面ABCD ， 所以SO ⊥平面ABCD ，SD ==由SD AB ⊥，得SD CD ⊥，故SC ==因为2,2SD SB BD ===，故SD 边上的高为2，故1222SBD S =⨯=V ， 故C SBD S BCD V V --=，即1133SBD BCD S h S SO ⋅=⋅V V ，得11323h ⨯=，故h =，故直线SC 与平面SBD 所成角的正弦值sin θ=【点睛】本题考查了线面垂直的判定，直线与平面夹角的求法，等体积法的应用，属于中档题. 22．已知函数()4x f x me x =-. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）若m 1≥，证明：关于x 的不等式()61f x x x me x+-≥+在(0,)+∞上恒成立.【答案】（1）当0m ≤时函数()f x 在R 上单调递减；当0m >时，()f x 在4,lnm ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在4ln,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明见解析. 【解析】（1）先求得导函数，对m 分类讨论：当0m ≤时，易得()0f x '<，即可判断函数()f x 的单调性；当0m >时，令()0f x '=，求得极值点，即可判断在极值点左右两侧的函数单调性.（2）将()f x 解析式代入，移项后构造函数12()x e x g x e x m mx m=--+-.求得导函数()2(1)1()x x me x g x mx ---'=.根据m 1≥可知11x x me x e x --≥--，因而构造函数()1x h x e x =--，求得导函数)'(h x ，可判断()h x 的单调性，进而由单调性与最值得()0h x >，即10x me x -->.由()g x '讨论x 的取值情况，判断()g x 的单调性，并求得最值，即可证明()0g x ≥，从而证明不等式成立.【详解】（1）函数()4x f x me x =-，,x R ∈则()4x f x me '=-；若0m ≤，则()0f x '<，此时函数()f x 在R 上单调递减；若0m >，令()0f x '=，解得4lnx m =， 故当4,ln x m ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<； 当4ln ,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 故函数()f x 在4,lnm ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在4ln ,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； （2）证明：要证()61f x x x me x +-≥+，即证120x e x e x m mx m--+-≥， 令12()x e x g x e x m mx m=--+-， 则()2(1)1()x x me x g x mx ---'=，当m 1≥时，11x x me x e x --≥--，令()1x h x e x =--，则当0x >时，()10xh x e '=->，故函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，即()(0)0h x h >=；∴10x me x -->.当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g ≥=， 即120x e x e x m mx m--+-≥， 故关于x 的不等式()1f x x me x-≥+在(0,)+∞上恒成立. 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调区间，分类讨论思想的综合应用，利用构造函数法分析函数的单调性与极值和最值，利用导数证明不等式成立，属于难题.。
2018-2019学年安徽省池州市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年安徽省池州市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．直线2x ﹣y ﹣12＝0的斜率为（ ） A ．2 B ．﹣2C ．12D ．12-【答案】A【解析】将直线方程化为斜截式，即可求解. 【详解】直线方程2x ﹣y ﹣12＝0化为212y x =-，斜率为2. 故选:A. 【点睛】本题考查直线的几何特征、直线方程形式之间的转化，属于基础题. 2．已知p ：x ＞2，q ：x 2﹣x ﹣2＞0，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】将命题q 化简，即可求出结论. 【详解】q ：x 2﹣x ﹣2＞0，解得1x <-或2x >， 若p 成立，则q 成立，反之不成立， 所以p 是q 的充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题考查充分不必要条件判断，属于基础题.3．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 【答案】C【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的． 4．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x +2≥0”的否定是（ ）A ．∀x ∈∅，x 2﹣2x +2≥0B ．∀x ∈R ，x 2﹣2x +2＜0C ．∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+2≥0D ．∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+2＜0【答案】D【解析】根据全称命题的否定形式，即可求出结论. 【详解】命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x +2≥0”的否定是： “∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+2＜0”. 故选:D. 【点睛】本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题.5．已知PA =u u u r （2，1，﹣3），PB =u u u r （﹣1，2，3），PC =u u u r（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9 B ．﹣9C ．﹣3D ．3【答案】B【解析】由已知可得,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r共面，根据共面向量的基本定理，即可求解. 【详解】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r共面，(2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=u u u r u u u r u u u r，272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故选:B. 【点睛】本题考查空间四点共面的充要条件以及平面向量的基本定理，属于基础题.6．已知命题p ：f （x ）＝cosx 是周期函数；命题q ：若m ＞0，则关于x 的方程x 2+mx +m ＝0有两个不相等的实数根.下列说法正确的是（ ） A ．“p ∨q ”为真命题 B ．“p ∧q ”为真命题 C ．“￢p ”为真命题 D ．“￢q ”为假命题【答案】A【解析】显然命题p 为真，根据根的判别式判断命题q 的真假，即可求出结论. 【详解】命题p ：f （x ）＝cosx 是周期函数为真命题， 对于方程220,40x mx m m m +∆-+=>＝，4m >或0m <，所以命题q 为假，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， . “￢p ”为假命题，“￢q ”为真命题. 故选:A. 【点睛】本题考查复合命题真假的判定，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题. 7．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若PA ＝3，AB ＝2，BC 3=，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．16πD ．18π【答案】C【解析】根据已知垂直关系，可证BC PB ⊥，,Rt PAB Rt PBC V V 有共同的斜边，所以PC 中点到三棱锥的四个顶点距离相等，即为三棱锥的外接球的球心，即可求解. 【详解】P A ⊥平面ABC ，,,AC AB BC ⊂平面ABC ，,,PA AC PA BC AB BC ∴⊥⊥⊥， ,,PA AB A PA AB =⊂I 平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，而PB ⊂平面PAB ,BC PB ∴⊥.设PC 中点O ，在,Rt PAB Rt PBC V V 中，OA OB OP OC ===，所以O 为三棱锥外接球的球心，PC 为球直径， AB ⊥BC ， AB ＝2，BC 3=227AC AB BC ∴+= 22,4PA AC PC PA AC ⊥∴=+=，三棱锥的外接球的表面积为244()162ππ=.故选:C. 【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，确定球心是解题的关键，要注意空间垂直间的转化，或将三棱锥拓展成长方体，转化为长方体的外接球，属于中档题.8．圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝0被动直线mx +y ＝2m +1（m ∈R ）截得的弦长的最小值为（ ） A ．22 B ．23C ．4D ．32【答案】B【解析】动直线mx +y ＝2m +1过定点，根据几何关系，当直线和圆心与定点连线直线垂直时，弦长最短，即可求解. 【详解】圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝0化为22(1)(2)5x y -+-=， 圆心(1,2)C ，半径5r =，直线mx +y ＝2m +1化为1(2)y m x -=--， 直线恒过(2,1)P ，当直线与PC 垂直时，直线截圆所得的弦长最短为222||25223r PC -=-=. 故选:B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、过定点的最短弦长，注意直线的几何特征，熟练应用弦长公式，属于中档题.9．如图是某圆锥的三视图，A ，B 为圆锥表面上两点在正视图中的位置，其中B 为所在边中点，则在该圆锥侧面上A ，B 两点最短的路径长度为（ ）A 5B 6C 3D ．3【答案】A【解析】根据三视图求出圆锥母线长，并将圆锥侧面展开，在展开图中,A B 两点距离，即为所求. 【详解】设圆锥的顶点为S ，由三视图可得母线21(3)2+=， 将圆锥沿SA 展开如下图所示扇形， 扇形圆心角为22ππ=，所以圆锥的侧面展开图为半圆， 连AB ，AB 长为圆锥侧面上A ，B 两点最短的路径，,2ASB B π∠=为母线中点，1SB =，225AB SA SB ∴=+=.故选:A.【点睛】本题考查圆锥表面上两点距离的最小值，应用侧面展开图是解题的关键，属于中档题. 10．已知⊙C 1：x 2+y 2＝r 2和⊙C 2：x 2+y 2﹣4x +m ＝0的一条公切线方程为320x ++=，则两个圆的公共弦长为（ ） A ．132B ．142C ．152D 3【答案】C【解析】利用⊙C 1和⊙C 2的圆心到公切线距离分别等于各自的半径长，求出,r m ，进而求出两圆的相交弦所在的直线方程，再求出⊙C 1圆心到相交弦的距离，即可求出结论. 【详解】2221:C x y r +=e ，圆心1(0,0)C 到公切线的距离为r ，113r ∴==+，⊙C 2：2240x y x m ++﹣＝， 22(42)m x y -=-+，圆心2(2,0)C 4m -圆心2C2==，解得0m =， 22221240::C x y C x y x ++e e ＝1,﹣＝两方程相减得14x =即为相交弦所在的直线方程，1C 到相交弦的距离为14，所以相交弦长为=. 故选:C. 【点睛】本题考查圆方程、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系、弦长公式等基础知识，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题.11．已知A 、B 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的左、右顶点，抛物线y 2＝2px（p ＞0）与椭圆C 相交于M 、N 两点，若AM 、BN 的斜率之积为49，则椭圆C 离心率是（ ） A．3B．3C．9D．9【答案】A【解析】根据椭圆与抛物线的对称关系，可得,M N 关于x 轴对称，设M 坐标，求出,AM BN 斜率，结合M 在椭圆上，求出,a b 关系，即可求出离心率.【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）与椭圆C 相交于M 、N 两点，设00(,)M x y ，则00(,)N x y -，且2200221x y a b+=，2222202000222220000()49AM BNb a x y y y b a k k x a x a x a x a a --⋅=⋅=-=-==+---，2225()1(),93c b e e a a ==-=∴=. 故选:A. 【点睛】本题以抛物线与椭圆交点为背景，考查椭圆的对称性、离心率、直线斜率公式，属于中档题.12．已知正方体ABCD ﹣A 'B ′C ′D ′棱长为3，点P 在棱AB 上，满足PA ＝2PB ，过点P 的平面α与BD ′垂直，则平面α截正方体所得截面面积为（ ）A ．B C D 【答案】B【解析】根据正方体的垂直关系，可得,BD AC BD AB '''⊥⊥，只需过P 点在正方体面上分别做,AC AB '平行线，即可做出截面，进而求出其面积. 【详解】连,BD B D ''，在正方体ABCD A B C D ''''﹣中，,AC BD BB AC '⊥⊥，BD BB B '⋂=，AC ∴⊥平面BB D D ''，BD '⊂平面,BB D D AC BD '''∴⊥，同理AB BD ''⊥，过P 分别在平面ABCD ，平面AA B B ''做//,//PQ AC PM AB '， 分别交,BC BB '于,Q M ，连MQ ，则,,PQ BD PM BD PM PQ P ''⊥⊥⋂=，BD '∴⊥平面MPQ ， 所以平面MPQ 即为所求的平面α，112,,33PA PB PB AB PM PQ MQ AB '=∴====＝242MPQ S ∴==V ，平面α故选：B.【点睛】本题考查正方体截面面积、线面垂直的判断，解题的关键要熟悉正方体的垂直关系，考查空间想象能力，属于中档题.二、填空题13．命题“若x +y ≠3，则x ≠1或y ≠2”的逆否命题是_____. 【答案】若x ＝1且y ＝2，则x +y ＝3. 【解析】根据逆否命题的形式，即可求解. 【详解】命题“若x +y ≠3，则x ≠1或y ≠2”的逆否命题是： “若x ＝1且y ＝2，则x +y ＝3.” 故答案为: 若x ＝1且y ＝2，则x +y ＝3. 【点睛】本题考查四种命题中的逆否关系，熟练掌握四种命题的定义和结构形式是解题的关键，属于基础题.14．已知双曲线C 过点M （2，2），且与x 2﹣4y 2＝4有相同的渐近线，则双曲线C 的方程为_____.【答案】221312y x -=.【解析】根据共渐近线关系设出双曲线C 方程，点M 代入方程，即可求解. 【详解】双曲线C 与x 2﹣4y 2＝4有相同的渐近线， 设双曲线C 方程为224(0)4x y λλ≠-＝双曲线C 过点M （2，2），22242124λ∴-⋅=-=，3λ∴=-，所以双曲线C 的方程为221312y x -=.故答案为: 221312y x -=.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，利用共渐近线双曲线关系，合理设方程是解题的关键，属于基础题.15．一个小球放入一长方形容器内，且与有公共顶点的三个面相接触，若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则该小球的半径是_____. 【答案】3或11.【解析】根据已知小球的球心A 到三个接触面的距离等于小球半径r ，小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，若以三个面的交点为坐标原点，分别以其中两个面的交线为坐标轴建立空间直角坐标系，球心和小球上的点的坐标可知，||AP r =，利用空间两点间的距离公式，即可求解. 【详解】如下图，设长方体的三个面公共点为O ，以,OE OF ，OG 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设小球的半径为r ，小球与共点的三个面相接触，则球心(,,)A r r r ，又因为小球上一点P 到这三个面的距离分别为4、5、5， 所以点P 坐标为222(5,4,5),||(5)(4)(5)P AP r r r r =-+-+-=， 整理得214330r r -+=，解得3r =或11r =. 故答案为:3r =或11r =.【点睛】本题考查了球外切多面体，考查了空间点、线、面间的距离的计算，利用空间直角坐标系是解题的关键，属于中档题.16．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，⊙F 与其准线相切，若直线l 被C 截得线段AB 的中点坐标为（1，1），则直线l 被⊙F 截得的弦长为_____. 【答案】295【解析】设A （x1，y 1），B （x 2，y 2），代入抛物线方程作差，求出直线AB 的斜率，得到直线AB 方程，进而求出圆心F 到直线AB 的距离，利用相交弦长公式，即可求解. 【详解】如图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则2114y x =，2224y x =，得（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝4（x 1﹣x 2），∴1212124422ABy y k x x y y -====-+. 又AB 的中点坐标为（1，1），∴AB 所在直线方程为y ﹣1＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1＝0. ⊙F 的圆心坐标为（1，0），半径为2， F 到直线2x ﹣y ﹣1＝0的距离d 2155-==. 则直线l 被⊙F 截得的弦长为22529522()55-=. 故答案为:2955.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系、直线与圆的位置关系，要注意相交弦中点问题点差法的应用，熟练掌握圆的相交弦长公式，属于中档题.三、解答题17．已知△ABC 的三个顶点分别为A （﹣3，0），B （2，1），C （﹣2，3），试求： （1）边AC 所在直线的方程；（2）BC 边上的中线AD 所在直线的方程；（3）BC 边上的高AE 所在直线的方程.【答案】（1）3x ﹣y +9＝0（2）2x ﹣3y +6＝0（3）2x ﹣y +6＝0【解析】（1）利用直线方程的两点式，即可求解；（2）求出BC 边上的中点D 坐标，利用,A D 两点坐标，即可求出直线方程；（3）求出直线BC 的斜率，即可得到高AE 的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.【详解】（1）∵A （﹣3，0），C （﹣2，3），故边AC 所在直线的方程为：3233x y +=-+， 即3x ﹣y +9＝0，（2）BC 边上的中点D （0，2），故BC 边上的中线AD 所在直线的方程为132x y +=-， 即2x ﹣3y +6＝0，（3）BC 边斜率k 131222-==-+， 故BC 边上的高AE 的斜率k ＝2，故BC 边上的高AE 所在直线的方程为y ＝2（x +3），即2x ﹣y +6＝0.【点睛】本题考查直线方程，熟练掌握直线方程的各种形式是解题的关键，属于基础题. 18．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ，D 为PB 中点，PC ＝3PE.（1）求证：平面ADE ⊥平面PBC ；（2）在AC 上是否存在一点M ，使得MB ∥平面ADE ？若存在，请确定点M 的位置，并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，M 是AC 中点；证明见解析【解析】（1）根据已知可得PA BC ⊥，AB BC ⊥，可证BC ⊥平面P AB ，进而BC ⊥AD ，根据已知可得AD ⊥PB ，AD ⊥平面PBC ，即可证明结论；（2）存在M 是AC 中点时，MB ∥平面ADE ，取EC 中点F ，连结BM ，MF ，可证 //MF 平面ADE ，//BF 平面ADE ，进而证明平面//ADE 平面MBF ，即可证明结论.【详解】（1）证明：∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥P A ，,,,AB BC AB PA A AB PA ⊥⊂Q I ＝平面P AB ，∴BC ⊥平面P AB ，AD ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AD ，∵P A ＝AB ，D 为PB 中点，∴AD ⊥PB ，,,BC PB B BC PB =⊂Q I 平面PBC ，∴AD ⊥平面PBC ，∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面PBC.（2）点M 是AC 中点时，MB ∥平面ADE ，证明如下：取EC 中点F ，连结BM ，MF ，因为,E F 分别为PC 的两个三等分点，在PAC V 中，//,MF AE AE ⊂平面ADE ，MF ⊄平面,//ADE MF ∴平面ADE ，同理//BF 平面ADE ，又,,MF BF F MF BF =⊂I 平面MBF ，平面//ADE 平面MBF ，MB ⊂平面MBF ，//MB ∴平面ADE .【点睛】本题考查面面垂直、线面平行的证明，要注意空间垂直间的相互转化，证明线面平行通常有两种思路：证明直线与平面内的一条直线平行，或过直线构造一个平面，证明两平面平行，进而证明线面平行，属于中档题.19．如图四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，PD ＝DC ＝BC 12=AB ＝2，M 为CD 的中点，点N 在PB 上，且PN 14=PB ．（1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）求三棱锥A ﹣BMN 的体积.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）在AP 上取一点H ，使得14PH PA =，连,HN DH ，可证1//,4HN AB HN AB =，由已知1//,4MD AB MD AB =，可证四边形MDHN 为平行四边形，进而有//DH MN ，即可证明结论； （2）PD ⊥底面ABCD ，PN 14=PB ，可求出点N 到平面ABCD 距离，利用A BMN N ABM V V --=，即可求解. 【详解】（1）证明：在AP 上取一点H ，使得14PH PA =， 连,HN DH ，,1//,414HN AB HN AB PN PB ∴==Q ， 90,//ABC BCD AB CD ∠∠︒∴Q ＝＝1,2DC AB M =为CD 的中点，14DM AB =， //,HN MD HN MD =∴，∴四边形MDHN 为平行四边形，//DH MN ∴，DH ⊂平面,PAD MN ⊄平面PAD ，//MN ∴平面PAD ；（2）13A BMN N ABM ABM N V V S h --==V ，其中h N 表示点N 到平面ABM 的距离， 34N h PD =，故33242N h =⨯=， 而1142422ABM S AB BC =⋅=⨯⨯=V ， ∴11342332A BMN N ABM ABM N V V S h --===⨯⨯=V ， 即三棱锥A ﹣BMN 的体积为2.【点睛】本题考查线面平行的证明以及椎体的体积，注意等体积法的应用，属于中档题. 20．已知动点P 到两定点M （﹣3，0），N （3，0）的距离满足|PM |＝2|PN |. （1）求证：点P 的轨迹为圆；（2）记（1）中轨迹为⊙C ，过定点（0，1）的直线l 与⊙C 交于A ，B 两点，求△ABC 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【答案】（1）证明见解析（2）S △ABC 最大值为8，直线l 的方程为10x y +-=或717170x y -+=.【解析】（1）设(,)P x y ，由已知结合两点间的距离公式，即可证明结论；（2）根据题意所求直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为：y ＝kx +1，求出圆心到直线l 的距离d ，进而用弦长公式将弦长用d 表示，将S △ABC 表示为关于d 的关系式，运用基本不等式，即可得到结论.【详解】（1）设(,)P x y ，则由|PM |＝2|PN |，得2222()[3)]34(x y x y ++=-+，化简得221090x y x -++＝，即22(5)16x y -+=，所以点P 的轨迹为圆；（2）由（1）得(5,0),4C r =，因为直线l 与⊙C 交于A ，B 两点，故直线斜率存在且不为0，不妨设直线l 的方程为y ＝kx +1，即kx ﹣y +1＝0，则圆心C 到直线l 的距离2251,||2161k d AB d k +==-+，()222221||16(168216)2ABC S AB d d d d d d d ==-⋅=+-≤-=V ，当且仅当28,22d d ==时，等号成立，所以当d ＝22时，S △ABC 有最大值为8，此时251221k d k +==+，化简得2171070k k +-=解得1k =-或717k =则直线l 的方程为10x y +-=或717170x y -+=.【点睛】本题考查圆的轨迹方程、直线与圆的位置关系以及三角形面积最大值，解题时要注意函数与方程思想的合理应用，属于中档题.21．如图，三棱柱ABC A B C -'''的棱长均为2，O 为AC 的中点，平面A 'OB ⊥平面ABC ，平面AAC C ''⊥平面ABC ．（1）求证：A 'O ⊥平面ABC ；（2）求二面角A ﹣BC ﹣C '的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】（1）由已知可得AC ⊥BO ，平面A 'OB ⊥平面ABC ，可证AC ⊥平面BOA ′，进而证明AC ⊥A ′O ，再由面AAC C ''⊥平面ABC.，即可证明结论；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，求出,,B C C '坐标，求出平面BCC '法向量坐标，取平面ABC 的法向量为m =r（0，0，1），根据空间向量面面角公式，即可求解.【详解】（1）证明：∵三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的棱长均为2，O 为AC 的中点，∴AC ⊥BO ，∵平面A 'OB ⊥平面ABC ，平面A 'OB ∩平面ABC ＝OB ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BOA ′，AO '⊂平面BOA ′，∴AC ⊥A ′O ，∵平面AA 'C 'C ⊥平面ABC ，平面AA 'C 'C ∩平面ABC ＝AC.AO '⊂平面AA C C ''，∴A 'O ⊥平面ABC.（2）解：由（1）得A 'O ⊥平面ABC ，因为BO ⊂平面ABC ，所以A 'O ⊥BO . 以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OA ′为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣1，0），B （3，0，0）， C （0，1，0），C ′（0，2，3），BC =u u u r （3-，1，0），BC '=u u u u r （3-，2，3）， 设平面BCC ′的法向量n =r（x ，y ，z ）， 则303230n BC x y n BC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+⎪⎩'+=u u u v r u u u u v r ， 取x ＝1，则3,1y z ==-，得n =r（1，3，﹣1）， 平面ABC 的法向量m =r（0，0，1）， 5cos ,5m n m n m n ⋅∴<>==-=-⋅r r u r r r r . ∴二面角A ﹣BC ﹣C '的余弦值为55-.【点睛】本题考查线面垂直证明、二面角的余弦，注意空间垂直之间的相互转化，考查数学计算能力，属于中档题.22．已知两点A （0，﹣1），B （0，1），直线PA ，PB 相交于点P ，且它们的斜率之积是13-，记点P 轨迹为C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，若|AM |＝|AN |，求直线l 的斜率k 的取值范围. 【答案】（1）221(0)3x y x +=≠；（2）(1,1)-. 【解析】（1）设(,)(0)P x y x ≠，由13PA PB k k ⋅=-利用斜率公式，得到,x y 关系式，整理即可求出结论；（2）斜率0k =显然成立，当0k ≠设直线l 方程为(0)y kx m k =+≠与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，由>0∆，得出关于,k m 的不等量关系，运用根与系数关系求出,M N 坐标关系，进而求出MN 中点Q 坐标，||||AM AN =，可得AQ l ⊥，求出,k m 关系，代入,k m 的不等量关系式，即可求出结论.【详解】（1）设点P （x ，y ），则k P A 1y x +=，k PB 1y x -=， 则有1y x+•113y x -=-，整理得2233(0)x y x +≠＝， 即曲线C 的轨迹方程为221(0)3x y x +=≠； （2）当直线l 斜率不存在时，||||AM AN =显然不符，故设直线l 方程为(0)y kx m k =+≠，代入2213x y +=， 整理得222(13)6330k x kmx m +++-=，由已知条件可知()()222236413330k m km ∆=-+->，即22130k m +->，①.设1122(,),(,)M x y N x y ，记MN 的中点为00(,)Q x y ， 则2121222633,1313km m x x x x k k--+==++， 所以，11002203,21313x x km m x y kx m k k+-===+=++， ② 由AM AN ＝，得AQ l ⊥，所以0011y k x +⋅=-， ③将②代入③化简得21313m k m ++=，即2132k m +=， ④ 将④代入①得()2221131304k k +-+>，即21k <， 得11k -<<且0k ≠，经检验，当0k =时，AM AN ＝也成立，故k 的取值范围为(1,1)-.【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆位置关系、不等式的解法、直线垂直关系，意在考查逻辑推理与数学计算能力，属于较难题.。