北京一零一中学2020-2021学年度第一学期高三数学统考二10月考
2020届北京海淀区一零一中学上学期高三开学考数学试题(解析版)
2020届北京海淀区一零一中学上学期高三开学考数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}|21x A x =≥，{}2|1B y y x ==+，则U A B =I ð（ ）A ．{x |x ≤0}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x <1}D ．{x |0≤x <1}【答案】D【解析】先计算出集合U ,,A B B ð的结果，然后根据交集的概念即可计算出U A B ⋂ð的结果. 【详解】因为21x ≥，所以0x ≥，所以{}|0A x x =≥，又因为211y x =+≥，所以{}|1B y y =≥，所以{}U |1B y y =<ð，所以{}U |01A B x x =≤<I ð. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集、补集混合运算，中间涉及到解指数不等式以及函数值域问题，难度较易.2．设i 是虚数单位，则复数i 221i-+的模为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据i 的性质以及复数的除法运算将221i i-+的表示为a bi +的形式，然后即可计算出复数的模. 【详解】因为()()()()22121112111i i i i i i i --=--=---=-+++-，所以221i i-=+. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及复数的模，难度较易.复数进行除法计算时，可依据分母实数化的方法完成求解；已知z a bi =+，则z =.3．下列函数中为偶函数的是（ ） A ．()1ln1x f x x -=+ B ．()1cos f x x =- C ．()2xf x -=- D ．()ln f x x =【答案】B【解析】先判断函数的定义域，然后再根据()(),f x f x -之间的关系确定出函数的奇偶性. 【详解】A ．因为()1ln1x f x x -=+中101x x ->+，所以定义域为()(),11,-∞-+∞U 关于原点对称， 又因为()()111lnln ln 111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+，所以是奇函数； B ．因为cos y x =是偶函数，所以()1cos f x x =-也是偶函数；C ．因为()2xf x -=-的定义域为R ，()()()2xf x f x f x -=-≠-≠，所以()f x 是非奇非偶函数；D ．因为()ln f x x =定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以()f x 是非奇非偶函数. 故选：B. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，难度较易.判断一个函数的奇偶性，首先观察定义域是否关于原点对称，其次才是讨论()(),f x f x -的关系.4．已知a r、b r都是单位向量，则“1λ=±”是“(a +rb λr)⊥ (a b λ-rr)”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据“1λ=±”与“(a +rb λr)⊥ (a b λ-rr)”的互相推出情况判断出对应的是何种条件即可. 【详解】当1λ=±时，()()()210a b a b a b λλλ+⋅-=-⋅=r r r r r r ，所以()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以充分性满足，当()()a b a b λλ+⊥-r r r r 时，()()()210a b a b a b λλλ+⋅-=-⋅=r r r r r r ，所以210λ-=或a b ⊥r r，所以必要性不满足，所以是充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，难度较易.考虑p 是q 的何种条件时，要从两方面分析：充分性、必要性，同时注意是由小范围推出大范围.5．如图，表n 是(2n ﹣1)×(2n ﹣1)的方阵，最外层数字是n ﹣1，由外而内每层数字递减1，最中心数字为0.表1的各数之和为0，表2的各数之和为8，表3的各数之和为40，则表6的各数之和为（ ）A ．420B ．440C ．460D ．480【答案】B【解析】分析表的结构：由表1开始，每增加一层，表中数据增加的个数为8，16，32，......，由此即可计算出表6中的各数之和.【详解】因为每增加一层，表中数据增加的个数为：8，16，32，......，所以表6中数据之和为：()()()()018228338448558+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()22222812345855440=⨯++++=⨯=.故选：B. 【点睛】本题考查数与式中的归纳推理，难度一般.处理数与式中的归纳推理，关键是要能找到数或式子的特点，这对分析和归纳问题的能力要求很高. 6．狄利克雷函数为F (x )()10x x R x ⎧=∈⎨⎩，为有理数时，，为无理数时，.有下列四个命题：①此函数为偶函数，且有无数条对称轴；②此函数的值域是[]0,1；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点()()()()()(),,,,,A a F a B b F b C c F c ，使得△ABC 是等腰直角三角形，以上命题正确的是（ ） A ．①② B ．①③C ．③④D ．②④【答案】B【解析】①根据奇偶性定义和对称轴对应的表达式进行判断；②根据()F x 的取值得到值域；③根据周期性的定义进行分析；④先假设存在，然后推理证明是否存在. 【详解】①()F x 的定义域为R 关于原点对称，当x 为有理数时，()()1F x F x =-=，当x 为无理数时，()()0F x F x =-=，所以()()F x F x =-恒成立，所以()F x 是偶函数，取非零有理数a ，当x 为有理数时，()()F a x F a x +=-，当x 为无理数时，()()F a x F a x +=-，所以()()F a x F a x +=-恒成立，a 有无数种可能，所以()F x 有无数条对称轴； ②因为()F x 的取值只有0,1，所以()F x 的值域为{}0,1；③取有理数()0a a >，当x 为有理数时，()()1F x F x a =+=，当x 为无理数时，()()0F x F x a =+=，所以()()F x F x a =+恒成立，a 有无数种可能，所以()F x 是周期函数且无最小正周期；④设存在()()()()()(),,,,,A a F a B b F b C c F c 满足条件，根据函数值域可知，,,a b c 的可能组合为：两个有理数一个无理数、两个无理数一个有理数，(1)不妨设,a b 为有理数，c 为无理数，因为ABC V 为等腰直角三角形，所以AB 只能为ABC V 的斜边， 所以2a bc +=，所以c 为有理数，与假设矛盾，故不成立； (2)不妨设,a b 为无理数，c 为有理数，因为ABC V 为等腰直角三角形，所以AB 只能为ABC V 的斜边，所以2a bc +=，所以c 为无理数，与假设矛盾，故不成立， 综上可知：不存在三点使得ABC V 为等腰直角三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的性质的综合应用，难度较难.处理新函数的性质问题，可从函数各个性质的定义入手解决问题；常见的函数对称轴对应的形式()()f a x f a x +=-，周期函数对应的形式()()()0f x T f x T +=≠. 7．已知y =f (x +2)是奇函数，若函数g (x )=f (x )12sin x --有k 个不同的零点，记为x 1，x 2，…，x k ，则x 1+x 2+…+x k =（ ） A ．0 B ．kC ．2kD ．4k【答案】C【解析】根据()f x 与sin12y x =-的对称性，判断出()g x 的对称性，由此即可计算出对应的零点之和. 【详解】因为()2y f x =+是奇函数，所以()f x 关于点()2,0成中心对称，又因为函数sin12y x =-也是关于点()2,0成中心对称， 所以()()sin12g x f x x =--的零点即为函数()f x 与sin12y x =-交点的横坐标，且交点关于点()2,0成中心对称， 所以12 (422)k kx x x k +++=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查函数对称性的应用，难度一般.(1)已知函数()y f x a =+是奇函数()y f x ⇔=关于点(),0a 成中心对称；(2)已知函数()y f x a =+是偶函数()y f x ⇔=关于直线x a = 对称.8．所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I 表示，人类能听到的声强范围很广，其中能听见的1000Hz 声音的声强（约10﹣12W /m 2）为标准声强，记作I 0，声强I 与标准声强I 0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L ，即L =lg 0I I ，声强级L 的单位名称为贝（尔），符号为B ，取贝（尔）的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝（尔）.简称分贝（dB ）.《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140dB .一个士兵大喝一声的响度为90dB ，如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度，那么这群土兵的人数为（ ） A ．1万 B ．2万C ．5万D ．10万【答案】D【解析】根据题意以及条件列出关于张飞、士兵的声强的方程，求解出张飞、士兵的声强，根据声强之比确定出这群士兵的人数. 【详解】设张飞的声强为1I ，一个士兵的声强为2I ，根据题意可知：12121214010lg,9010lg 1010I I --==， 所以2110I =，3210I -=，所以51210I I =， 所以这群士兵的人数为10万. 故选：D. 【点睛】本题考查对数函数模型以及对数的计算，难度一般.能根据函数模型求解出声强的比是解答本题的关键.二、填空题9．已知菱形ABCD 的边长为1，∠B =60°，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，则AF DE ⋅u u u r u u u r的值为_____.【答案】38 【解析】将,AF DE u u u r u u u r 表示为x AD y AB +u u u r u u u r，然后利用向量的数量积计算公式即可求解出AF DE ⋅u u u r u u u r的值.【详解】因为12DE DA AE AD AB =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12AF AB BF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，且18060120BAD ∠=︒-︒=︒，所以22 11131 22242 AF DE AD AB AB AD AD AB AD AB⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+=--⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3311cos12048=-⨯⨯⨯︒=.故答案为：38.【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的运用以及向量的数量积运算，对于分析与转化计算的能力要求较高，难度较易.10．知函数y=A sin (ωx+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|2π<)的部分图象如图所示，则φ的值为_____.【答案】6π-【解析】根据图象直接分析出,,A Bω的值，再根据图象的最高点以及ϕ的取值范围即可计算出ϕ的值.【详解】因为()()24243,122A B--+-====-，422233Tπππ⎛⎫⎛⎫=--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以22142Tππωπ===，所以13sin12y xϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，代入点4,23π⎛⎫⎪⎝⎭，则23sin123πϕ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，所以2sin13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以22,32k k Zππϕπ+=+∈，,22ππϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以6πϕ=-.故答案为：6π-.【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解析式中的量，难度一般.对于()()sin ωφf x A x B =++的图象，若函数最大值为M ，最小值为N ，则有,22M NM NA B -+==. 11．关于x 的方程3230x x a --=有三个不同的实数解，则a 的取值范围是__________． 【答案】(—4，0).【解析】试题分析：，因为关于x 的方程3230x x a --=有三个不同的实数解，所以有三个不同的实数解，，，令，则；令，则；，所以.【考点】三次函数的零点问题.12．已知函数()010x e x f x ln x x⎧<⎪=⎨>⎪⎩，，，则直线y =x +1与曲线()y f x =的交点个数为_____；若关于x 的方程()10f x x a e++=有三个不等实根，则实数a 的取值范围是_____.【答案】一个 ()1,0-【解析】（1）作出(),1f x y x =+的图象，根据图象的交点个数即可得到答案； （2）考虑()f x 的图象与1y x a e=--的图象有三个交点时对应的a 的取值范围. 【详解】（1）函数图象如图所示：（注意：x =0取不到）又因为xy e =在0x =处的切线为0y e x e =+，即为1y x =+，所以交点个数为1个；（2）关于x的方程()1f x x ae++=有三个不等实根⇔()f x的图象与1y x ae=--的图象有三个交点. 如图所示：当1y x ae=--与1lnyx=相切时，设切点为()00,lnx x-，所以11x e-=-，所以x e=，所以1lne a ee-⨯-=-，所以0a=，此时共两个交点，将1=-ye图象下移时只有有一个交点；将1=-ye图象上移时，有三个交点；直到当1a=-时，1=-ye的图象与()f x的图象刚好两个交点，当1=-ye图象上移时只有2个交点，故当10a-<<时，()f x的图象与1y x ae=--的图象有三个交点.故答案为：一个；()1,0-.【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合思想的运用，难度较难.注意()()()h x f x g x=-的零点个数⇔方程()()f xg x=的根的数目()(),f xg x⇔图象的交点个数.三、解答题13．已知数列{a n}是单调递减的等比数列，前n项和为S n，S2=3，a314=，则{a n}的公比q=_____.【答案】13【解析】先根据已知条件计算出等比数列的公比的可取值，再根据数列的单调性确定出公比的值.【详解】因为3321223a a S a a q q =+=+=，314a =， 所以211344q q +=，所以14q =-或13， 又因为{}n a 是递减数列，所以13q =. 故答案为：13. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，着重考查了等比数列的单调性的分析，难度较易.分析等比数列的单调性，可从首项和公比的角度入手.14．已知函数f (x )=|lgx |，若f (a )=f (b )(a ≠b )，则函数()225020x x g x ax b x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，，的最小值为_____.【答案】【解析】根据条件先得到,a b 之间的关系，再分别判断()g x 在两段区间上的最小值，最后取其中的较小值作为()g x 的最小值. 【详解】因为lg lg a b =，所以不妨令a b <，则有lg lg a b -=， 所以1ab =，()101b a a=<<， 所以()(2302x x g x ax x ax ⎧++≤⎪=⎨⎪+>⎩，，，当0x ≤时，()(233g x x =+≥，取等号时x =当0x >时，()2g x ax ax =+≥=x =， 综上可知：()min g x =.故答案为：【点睛】本题考查函数与方程以及分段函数的最值，对于转化与计算的能力要求较高，难度一般.注意将含绝对值的对数值转化为自变量之间的关系.15．以数列{}n a 的任意相邻两项为坐标的点()1,n n n P a a +，均在一次函数y =2x +k 的图象上，数列{}n b 满足1n n n b a a +=-，且10b ≠.（1）求证数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n b 的公比；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为S n ，T n ，若S 6=T 4，S 5=﹣9，求k 的值. 【答案】（1）证明见解析，2；（2）8.【解析】(1)将点代入直线方程即可得到{}n a 的递推公式，再根据1n n n b a a +=-即可得到1,n n b b +的关系，即可证明{}n b 为等比数列并求解通项公式；(2)先根据条件求解出,n n S T 的表达式，再根据已知条件即可计算出k 的值. 【详解】（1）证明：根据题目条件，可知a n +1=2a n +k ， 整理可得a n +1+k =2（a n +k ）； ∵b n =a n +1﹣a n =a n +k ；∴有b n +1=2b n ，即数列{b n }是首项为a 1+k ，公比为2的等比数列. （2）解：数列{b n }的前n 项和()()()()11122112n n na k T a k +-==-+-；∴数列{a n }的前n 项和()()121nn n S T nk a k nk =-=-+-；∵S 6=T 4，S 5=﹣9；∴可列方程组()()()()()()641151216212159a k k a k a k k ⎧-+-=-+⎪⎨-+-=-⎪⎩，解得178a k =-⎧⎨=⎩；∴8k =. 【点睛】本题考查等比数列的证明以及数列求和的应用，难度一般.等差、等比数列的证明可根据定义完成；形如()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的递推公式，可变形为形如111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭的递推公式.16．已知函数()22sin2xf x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数()f x 在[]0,2π内的所有零点.【答案】（1）2π，22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）0，23π，2π.【解析】(1)利用降幂公式以及辅助角公式将()f x 变形为()sin A x ωϕ+，再根据最小正周期和单调增区间的求解公式完成求解；(2)令()0f x =，求解出[]0,2π内满足条件的x 即可. 【详解】（1）()()22sin1cos 2sin 126x f x x x x x π⎛⎫=-=--=+- ⎪⎝⎭. 221T ππ∴==， 由22,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈.解得：222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈. ∴函数()f x 单调递增区间为：22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）令2sin 106x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即1sin 62x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴2,66x k k Z πππ+=+∈或52,66x k k Z πππ+=+∈. 可得：函数()f x 在[]0,2π内的所有零点为：0，23π，2π.【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换的综合应用，难度较易.求解函数()()sin f x A x =+ωϕ的单调区间，可根据sin y x =的单调区间，采用整体替换的方法求解出x ωϕ+中的x 范围即为()()sin f x A x =+ωϕ的单调区间.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()21cos 2cos A B C ++=.（1）若2a =，求sin A 的值；（2）求22sin sin A B +的取值范围. 【答案】（1）34；（2）33,42⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】(1)先根据条件计算出C 的值，然后利用正弦定理即可求解出sin A 的值； (2)利用降幂公式以及辅助角公式化简22sin sin A B +，将其化简为()cos A x b ωϕ++的形式，然后根据角度计算出取值范围即可. 【详解】（1）∵()21cos 2cos A B C ++=，∴21cos 2cos C C -=，解得cos 1C =-或12， ∵()0,C π∈， ∴1cos 2C =，可得3C π=，∵2a =，∴由正弦定理可得2sin 2n A C ==，解得3sin 4A =；（2）∵3C π=，A B C π++=，∴()221cos 21cos 21sin sin 1cos 2cos 2222A B A B A B --+=+=-+121111cos 2cos 21cos 221cos 22322223A A A A A ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭， ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1cos 21,32A π⎛⎫⎡⎫+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，∴22133sin sin 1cos 2,2342A B A π⎛⎫⎛⎤+=-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，着重考查转化与计算能力，难度一般.(1)正弦定理的运用，一定要注意是在满足齐次的条件之下；(2)解三角形时注意对于隐含条件的使用：A B C π++=.18．已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数. （1）当1a =-时，求()f x 过切点为()()1,f x 的切线方程； （2）若()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，求a 的值； （3）若不等式()f x x ≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1y =-；（2）2e -；（3）11a e≤-.【解析】(1)利用导数的几何意义求解出切线斜率即可求解出对应切线方程； (2)根据a 的范围分析函数的单调性，确定出最值即可求解出a 的值；(3)采用分离参数的方法，构造新函数，根据新函数的最值即可求解出a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =-时，()ln f x x x =-+， 则()11f x x'=-+， 所以()10k f '==切， 切点()()1,1f ，即()1,1-，所以切线方程为()()101y x --=-，即1y =-. （2）()1'1ax a x f xx +=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()1,e 上单调递增，()()1f x f e ae <=+，无最大值.当0a <时，在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增， 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递增， 若函数在()1,e 上取得最大值3-，则11e a <-<，且13f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则2a e =-.（3）不等式()f x x ≤恒成立，则ln ax x x +≤恒成立，ln 1xa x≤-， 令()ln 1xg x x =-，（0x >）()21'lnxg x x -+=， 在()0,e 上，()0g x '<，()g x 单调递减， 在(),e +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()min 11g x g e e==-， 所以11a e≤-. 【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，难度一般.(1)含参函数在区间上的最值分析，注意根据参数的范围进行分类讨论；(2)已知不等式恒成立，求解参数范围的两种方法：分类讨论法、参变分离法.19．已知函数247(),[0,1]2x f x x x-=∈-（1）求()f x 的单调区间和值域；(2) 设1a ≥，函数22()32g x x a x a =--，[0,1]x ∈，若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值．【答案】(1) 增区间为1(,1)2，减区间为1(0,)2，值域为[4,3]--；(2) 3[1,]2【解析】【详解】（1）对函数f(x)求导，得2224167(21)(27)'()(2)(2)x x x x f x x x -+---==-- 令f¢(x)=0解得112x =或272x =，当x 变化时，f¢(x)、f(x)的变化情况如下表：（表略）所以，当1(0,)2x ∈时，f(x)是减函数；当1(,1)2x ∈时，f(x)是增函数；当[0,1]x ∈时，f(x)的值域为【-4,-3】（2）对函数g(x)求导，得22'()3()g x x a =-因此1a ≥，当[0,1]x ∈时，22'()3(1)0g x a <-≤因此当[0,1]x ∈时，g(x)为减函数，从而当[0,1]x ∈时有()[(1),(0)]g x g g ∈ 又2(1)123,(0)2g a a g a =--=-，即当[0,1]x ∈时有2()[123,2]g x a a a ∈--- 任给[0,1]x ∈，1()[4,3]f x ∈--，存在[0,1]x ∈使得10()()f x g x =，则[4,3]--⊆2[123,2]a a a ---，即21234{23a a a --≤--≥-解(1)式得1a ≥或53a ≤- 解(2)式得32a ≤又1a ≥，故：a 的取值范围为312a ≥≥ 20．设S 为有限集合，1A ，2A ，…，2019A 为S 的子集，X 表示集合X 中元素的个数，已知对于每个正整数()12019i i ≤≤，都有15i A S ≥. （1）记()m S 为元素个数为m 的集合，当3m =时，求集合()m S 的所有子集的个数； （2）若一定有集合S 中的某个元素在至少k 个集合i A 中出现，则k 最大值是多少？并加以证明.【答案】（1）8；（2）404，证明见解析.【解析】(1)根据集合中的元素个数即可计算出集合的子集个数； (2)先假设元素在集合中的出现的次数之间的不等关系，然后根据15i A S ≥即可得到元素出现次数满足的不等式，即可求解出k 的最大值. 【详解】（1）()33S = 有3个元素，所以有328=个子集；（2）不妨设{}1,2,3,...,S n =，而i 在集合1A ，2A ，…，2019A 中出现了i a 次，并且12...n a a a ≤≤≤.因为121220192019 (5)n n na a a a A A A n ≥+++=+++≥，所以整数n a 的最小值为404，所以max 404k ≥.令5n =，{}12404...1A A A ====，{}405406808...2A A A ====， {}8098101212...3A A A ====，{}121312141616...4A A A ====， {}161716182019...5A A A ====，则404k =.综上，k 的最大值为404. 【点睛】本题考查集合的子集个数以及集合中的元素个数的判断，主要考查分析与推理的能力，难度较难.一个含n 个元素的集合，其子集个数为2n .。
2024届北京一零一中学高三下学期期中考试(月考3)数学试题
2024届北京一零一中学高三下学期期中考试（月考3）数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12±2．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2或233B ．2或3C ．3或62D ．233或623．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．34．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --5．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．36．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则AB =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)7．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=8．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞9．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ．410．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡-⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市一零一中学2019-2020学年度第二学期高三数学统考四(详解版)
5.
函数
f (x) = A sin(ωx +
π 4
)
(ω
>
0)
的图像与
x
轴交点的横坐标构成一个公差为
π 3
的等差
数列, 要得到函数 g(x) = A cos ωx 的图像, 只需将 f (x) 的图像 ( )
(A) 向左平移
π 12
个单位
(B) 向右平移
π 4
个单位
(C) 向左平移
π 4
个单位
(D) 向右平移
试卷编号：3817 北京一零一中题库管理系统 Q
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期高三数学统考四
一、选择题共 10 小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设全集 U = R, 集合 A = {x | 0 < x < 2}, B = {−3, −1, 1, 3}, 则集合 ( U A) ∩ B = ( )
13. 已知双曲线 C 与椭圆 √
x2 12
+
y2 3
= 1 的焦点相同, 且双曲线 C 的一条渐近线方程为
y=
5 2
x,
则双曲线
C
的方程为
＿＿＿＿＿
.
14. 如图所示, ABCD − A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体, M,
N 分别是下底面的棱 A1B1, B1C1 的中点, P 是上底面的
1 2
对称
(C) 线段 PO 长度的取值范围是 [1, 2]
(D) △OAP 的面积最大值为 1
二、填空题共 5 小题。 √
11. 在 二 项 式 ( 2 + x)9 的 展 开 式 中, 常 数 项 是 ＿＿＿＿＿ , 系 数 为 有 理 数 的 项 的 个 数 是 ＿＿＿＿＿ .
高中数学选择性必修二 北京一零一实验学校高二下学期期末数学试题(含答案)
当 时， ，则 ，而 ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，而 ，则 ，即 ；
∴满足 的 的值是 .
故答案为：
14.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝ －m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】求得 的最小值，以及 的最大值，根据已知条件的等价转化，列出不等式，则问题得解.
【详解】当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g（2）＝ －m，
对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min，
【答案】
【解析】
【分析】分别求出集合A，B，再求两集合的交集
【详解】解：由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，解得 ，所以 ,
所以 ，
故答案为：
12.写出“ ”的一个充分不必要条件_____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】先由不等式 求出解集，在解集内的任何数或范围，都可以是“ ”的一个充分不必要条件.
（2）设函数 为“ 函数”，且存在 ，使 ，求证：
（3）试写出一个“ 函数”，满足 ，且使集合 中元素最少（只需写出你的结论）
【答案】（1） 是“ 函数”， 不是“ 函数”；（2）证明见解析；（3） (答案不唯一).
【解析】
【分析】（1）利用“ 函数”定义，结合 与 解析式，判断 上的符号，利用作差法、函数单调性比较对应函数 的大小，进而确定是否为“ 函数”；
A.16B.25C.9D.36
【答案】B
2020-2021学年北京师大二附中高三(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设S ={x|2x +1>0}，T ={x|3x −5<0}，则S ∩T =( )A. ⌀B. {x|x <−12} C. {x|x >53}D. {x|−12<x <53}2. 若sinx <0，且sin(cosx)>0，则角x 是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+2x −a >0.若p 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A. a >−1B. a <−1C. a ≥−1D. a ≤−14. 已知定义在R 上的函数f(x)，g(x)满足g(x)=f(|x −1|)，则函数y =g(x)的图象关于( )A. 直线x =−1对称B. 直线x =1对称C. 原点对称D. y 轴对称5. 已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N ∗满足a p+q =a p +a q ，且a 2=−6，那么a 10等于 ( )A. −165B. −33C. −30D. −216. 已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2,−2cos2)，则sinα等于( )A. sin2B. −sin2C. cos2D. −cos27. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A. 不存在B. 有1条C. 有2条D. 有无数条8. 已知两个单位向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 的夹角为45°，且满足e 1⃗⃗⃗ ⊥(λe 2⃗⃗⃗ −e 1⃗⃗⃗ )，则实数λ的值为( )A. 1B. √2C. 2√33D. 29. 已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x −a)(x −b)(x −2a −b)≥0在x ≥0上恒成立，则( )A. a <0B. a >0C. b <0D. b >010. 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则a20=()A. 181B. 191C. 201D. 211二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）≤0，则实数m的取值范围是11.若不等式|x−m|<1成立的充分不必要条件是xx−1______．12.已知向量a⃗,b⃗ 满足a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=5，且|a⃗|=2，|b⃗ |=1，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为______．13.已知sinθ+cosθ=7，θ∈(0,π)，则tanθ=______ ．1314.如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有______对．15.已知数列a1，a2，…，a n是1，2，…，n(n≥2,n∈N∗)满足下列性质T的一个排列，性质T：排列a1，a2，…，a n有且仅有一个a i>a i+1(i∈{1,2,…,n−1})，则满足性质T的所有数列a1，a2，…，a n的个数f(n)=______三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知等比数列{a n}满足a3=12，a8=3，记其前n项和为S n．8(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若S n=93，求n．)(A>0,ω>0)只能同时满足下列三个条件中的两个：17.已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)的图象平移得①函数f(x)的最大值为2；②函数f(x)的图象可由y=√2sin(x−π4到；③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π．2(1)请写出这两个条件序号，并求出f(x)的解析式；(2)求方程f(x)+1=0在区间[−π,π]上所有解的和．18.如图，四边形ABCD中∠BAC=90°，∠ABC=30°，AD⊥CD，设∠ACD=θ(1)若△ABC面积是△ACD面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB=π，求tanθ．619.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求二面角F−BE−D的余弦值；(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得AM//平面BEF，并证明你的结论．20.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x(1)讨论f(x)的单调性−2(2)当a<0时，证明f(x)≤−34a21.有限个元素组成的集合A={a1,a2,…,a n}，n∈N∗，记集合A中的元素个数为card(A)，即card(A)=n.定义A+A={x+y|x∈A,y∈A}，集合A+A中的元素个时，称集合A具有性质P．数记为card(A+A)，当card(A+A)=n(n+1)2(Ⅰ)A={1,4,7}，B={2,4,8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；(Ⅱ)设集合A={a1,a2,a3,2020}，a1<a2<a3<2020，且a i∈N∗(i=1,2,3)，若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；(Ⅲ)设集合A={a1,a2,…,a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i>0(i=1,2,…,n)且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题考查一次不等式的解集及集合的交集问题，较简单．集合S 、T 是一次不等式的解集，分别求出再求交集． 【解答】解：S ={x|2x +1>0}={x|x >−12}，T ={x|3x −5<0}={x|x <53}， 则S ∩T ={x|−12<x <53}， 故选：D ．2.【答案】D【解析】解：∵−1≤cosx ≤1，且sin(cosx)>0， ∴0<cosx ≤1， 又sinx <0， ∴角x 为第四象限角， 故选：D ．根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．本题主要考查三角函数角象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：若命题p ：∀x ∈R ，x 2+2x −a >0为真命题， 则△=4+4a <0， 解得：a <−1， 故选：B若命题p ：∀x ∈R ，x 2+2x −a >0为真命题，则△=4+4a <0，解得实数a 的取值范围．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全称命题，函数恒成立问题，难度中档．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换，属于基础题．根据图象变换即可求出答案．【解答】解：由y=f(|x|)关于y轴对称，y=f(|x|)向右平移一个单位可得y=f(|x−1|)，得函数y=f(|x−1|)关于x=1对称，即函数y=g(x)的图象关于直线x=1对称，故选B．5.【答案】C【解析】解：∵a4=a2+a2=−12，∴a8=a4+a4=−24，∴a10=a8+a2=−30，故选：C．根据题目所给的恒成立的式子a p+q=a p+a q.给任意的p，q∈N∗，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．给这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．6.【答案】D【解析】解：∵角α终边上一点P的坐标是(2sin2,−2cos2)，∴x=2sin2，y=−2cos2，r=|OP|=2，∴sinα=yr =−2cos22=−cos2，故选：D．由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是平面的基本性质，正方体的几何特征，线面平行的判定定理，熟练掌握这些基本的立体几何的公理、定理，培养良好的空间想像能力是解答此类问题的关键．由已知中E，F分别为棱AB，CC1的中点，结合正方体的结构特征易得平面ADD1A1与平面D1EF相交，由公理3，可得两个平面必有交线l，由线面平行的判定定理在平面ADD1A1内，只要与l平行的直线均满足条件，进而得到答案．【解答】解：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与面D1EF平行，故选D8.【答案】B【解析】解：由单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的夹角为45°，，则e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos45°=√22由e1⃗⃗⃗ ⊥(λe2⃗⃗⃗ −e1⃗⃗⃗ )，可得，e1⃗⃗⃗ ⋅(λe2⃗⃗⃗ −e1⃗⃗⃗ )=0，即λe1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ −e1⃗⃗⃗ 2=0，λ−1=0，则√22解得λ=√2．故选：B．运用向量的数量积的定义，可得两个单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的数量积，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．本题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：设f(x)=(x−a)(x−b)(x−2a−b)，f(0)=−ab(2a+b)，由题意知，f(x)≥0在x≥0上恒成立，则ab(2a+b)≤0，a<0，b<0，可得2a+b≤0，ab(2a+b)≤0恒成立，排除B，D；我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．则有a=b或a=2a+b或b=b+2a三种情况，此时a=b<0显然成立；若b=b+2a，则a=0不成立；若a=2a+b，即a+b=0，可得b<0，a>0且a和2a+b都在正半轴上，符合题意，综上b<0恒成立．故选：C．设f(x)=(x−a)(x−b)(x−2a−b)，求得f(x)的零点，根据f(x)≥0在x≥0上恒成立，讨论a，b的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论．本题考查不等式恒成立问题，注意三次函数的图象，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意可知a n−1既是2的倍数，也是5的倍数，即a n−1是10的倍数，则a n−1=10(n−1)(n∈N∗)，故a20=10×(20−1)+1=191．故选：B．由题意可知a n−1是10的倍数，则a n−1=10(n−1)(n∈N∗)，代入求值即可．考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】[0,1)【解析】解：∵|x −m|<1，∴m −1<x <m +1， ∵xx−1≤0，∴{x(x −1)≤0x ≠1，∴0≤x <1， ∵不等式|x −m|<1成立的充分不必要条件是xx−1≤0， ∴[0,1)⊊(m −1,m +1)， 则{m −1<0m +1≥1，∴0≤m <1， ∴实数m 的取值范围是[0,1)． 故答案为：[0,1)．先求出绝对值不等式，分式不等式的解集，再由题意可得[0,1)⊊(m −1,m +1)，列出不等式组，求出m 的范围即可．本题主要考查充分条件、必要条件，集合间的包含关系，绝对值不等式，分式不等式的应用，属于中档题．12.【答案】π3【解析】解：设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，向量a ⃗ ,b ⃗ 满足a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=5，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1， 可得22+2×1×cosθ=5， 可得cosθ=12， 所以θ=π3． 故答案为：π3．直接利用向量的数量积化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．13.【答案】−125【解析】解：∵sinθ+cosθ=713，∴1+2sinθcosθ=49169，∴2sinθcosθ=−120169<0， 结合θ∈(0,π)，可得θ为钝角，∴tanθ<0．再根据2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=−120169，∴tanθ=−125，故答案为：−125．利用同角三角函数的基本关系求得2sinθcosθ=−120169，可得θ为钝角，tanθ<0；再根据2sinθcosθ=2tanθtan2θ+1=−120169，求得tanθ的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对．故答案为：3．展开图复原几何体，标出字母即可找出异面直线的对数．本题考查几何体与展开图的关系，考查异面直线的对数的判断，考查空间想象能力．15.【答案】2n−n−1【解析】解：∵当n=3时，1，2，3所有的排列有：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,2,1)，(3,1,2)，其中满足仅存在一个i∈{1,2,3}，使得a i>a i+1的排列有：(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)；∴f(3)=4；同理可得：f(4)=11，f(5)=26；∴归纳出f(n)=2n−n−1．证明：∵在1，2，…，n的所有排列(a1,a2,…,a n)中，若a i=n，(1≤i≤n−1)，从n−1个数1，2，3…n−1中选i−1个数从小到大排列为：a1，a2，…，a i−1，其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置；∴满足题意的排列个数为C n−1i−1；若a i=n，则满足题意的排列个数为f(n−1)，综上：f(n)=f(n−1)+n−1i−1Cn−1i−1=f(n−1)+2n+1−1；∴f(n)=23(1−2n−3)1−2−(n −3)+f(3)=2n −n −1．故答案为：2n −n −1．利用归纳法求解，先求出f(3).f(4)，f(5)，再由此推出f(n)，最后证明结论即可． 本题考查了数学归纳法，属于难题．16.【答案】解：(1)∵等比数列{a n }满足a 3=12，a 8=38，∴{a 1q 2=12a 1q 7=38，解得q =12，a 1=48， a n =a 1q n−1=48×(12)n−1．(2)S n =48×(12)n−1=93，∴(12)n−1=3116， 解得n −1=log 123116，∴n =log 123116+1．【解析】(1)由等比数列{a n }满足a 3=12，a 8=38，利用等比数列的通项公式求出q =12，a 1=48，由此能求出数列{a n }的通项公式a n ． (2)由(1)知S n =48×(12)n−1=93，由此能求出n ．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．17.【答案】解：(1)函数f(x)=Asin(ωx +π6)满足条件为①③：理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数f(x)=Asin(ωx +π6)满足的条件之一． 由③可知：T =π，所以ω=2． 故②不合题意．所以函数f(x)=Asin(ωx +π6)满足条件为①③： 由①知：A =2．所以f(x)=2sin(2x +π6)． (2)由于f(x)+1=0．所以sin(2x+π6)=−12，所以2x+π6=−π6+2kπ或2x+π6=7π6+2kπ(k∈Z)，解得：x=−π6+kπ或π2+kπ(k∈Z)，由于x∈[−π,π]，所以x的取值为−π6,5π6,−π2,π2．所以方程f(x)+1=0的所有的解的和为2π3．【解析】(1)直接利用①③得到函数的解析式．(2)利用三角函数的方程的应用求出所有的x的值，进一步求出它们的和．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】解：(1)设AC=a，则AB=√3a，AD=asinθ，CD=acosθ，由题意S△ABC=4S△ACD，则12a⋅√3a=4⋅12acosθ⋅asinθ，可得sin2θ=√32．(2)在△ABD中，由正弦定理BDsin∠BAD =ABsin∠ADB，可得BDsin(π−θ)=√3asinπ6，①在△BCD中，BDsin∠BCD =BCsin∠CDB，可得BDsin(π3+θ)=2asinπ3，②①÷②可得：2sin(π3+θ)=3sinθ，可得√3cosθ=2sinθ，可得tanθ=√32．【解析】(1)设AC=a，可求AB=√3a，AD=asinθ，CD=acosθ，由题意S△ABC=4S△ACD，利用三角形的面积公式即可求解；(2)在△ABD中，△BCD中，分别应用正弦定理，联立可得2sin(π3+θ)=3sinθ，利用两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】证明：(1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ．因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 从而AC ⊥平面BDE.…(4分)解：(2)因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D −xyz 如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为600，即∠DBE =60°， 所以EDDB =√3．由AD =3，可知DE =3√6，AF =√6．则A(3,0,0)，F(3,0,√6)，E(0,0,3√6)，B(3,3,0)，C(0,3,0)， 所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,√6)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,−2√6)． 设平面BEF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3y +√6z =03x −2√6z =0．令z =√6，则n ⃗ =(4,2, √6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BDE 的法向量，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−3,0)． 所以cos〈n ⃗ ,CA⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2×√26=√1313． 因为二面角为锐角，所以二面角F −BE −D 的余弦值为√1313.…(8分)(3)点M 是线段BD 上一个动点，设M(t,t,0)．则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −3,t,0)． 因为AM//平面BEF ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =0，即4(t −3)+2t =0，解得t =2．此时，点M 坐标为(2,2,0)，即当BM =13BD 时，AM//平面BEF.…(12分)【解析】(1)由已知中DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是边长为3的正方形，我们可得DE ⊥AC ，AC ⊥BD ，结合线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BDE ；(2)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 和平面BDE 的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F −BE −D的余弦值；(3)由已知中M是线段BD上一个动点，设M(t,t,0).根据AM//平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中(I)的关键是证得DE⊥AC，AC⊥BD，熟练掌握线面垂直的判定定理，(II)的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，(III)的关键是根据AM//平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．20.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，∴f′(x)=1x +2ax+2a+1=(2ax+1)(x+1)x，x>0，①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，②当a<0时，令f′(x)=0，解得x=−12a，当x∈(0,−12a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(−12a,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，综上所述当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a<0时，函数f(x)在(0,−12a )上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减；证明：(2)由(1)可知，当a<0时，函数f(x)在(0,−12a)上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减，∴f(x)max=f(−12a )=−1−ln2−14a−ln(−a)，从而要证f(x)≤−34a −2，只要证−1−ln2−14a−ln(−a)≤−34a−2，令t=−1a ，则t>0，问题转化为证明−12t+lnt≤−1+ln2，令g(t)=−12t+lnt，则g′(t)=−12+1t，当0<t<2时，g′(t)>0，函数g(t)单调递增，当t>2时，g′(t)<0，函数g(t)单调递减，∴g(t)≤g(2)=−1+ln2，即−12t+lnt≤−1+ln2成立，∴当a<0时，f(x)≤−34a−2成立．【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)由(1)求出函数的最大值，令t=−1a ，则t>0，问题转化为证明−12t+lnt≤−1+ln2，令g(t)=−12t+lnt，根据函数的单调性证明即可．21.【答案】解：(Ⅰ)集合A不具有性质P，集合B具有性质P．事实上，∵A={1,4,7}，∴A+A={2,5,8,11,14}，card(A+A)=5≠3(3+1)2，故A不具有性质P；∵B={2,4,8}，∴B+B={4,6,8,10,12,16}，card(B+B)=6=3(3+1)2，故B具有性质P．(Ⅱ)若三个数a，b，c成等差数列，则A={a,b,c,d}不具有性质P，理由是a+c=2b，则card(A+A)<4×(4+1)2=10．∵a1<a2<a3<2020，且a i∈N∗(i=1,2,3)，∴a3≤2019，要使a1+a2+a3取最大，则a3=2019，故a2≤2018，易知{a1,2018,2019,2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a2=2017，故a1≤2016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1=2014；∴(a1+a2+a3)max=6050；(Ⅲ)集合A具有性质P．设等比数列的公比为q，∴a n=a1q n−1(a1>0)且q为有理数．假设当i<k≤l<j时，有a i+a j=a k+a l成立，则有q j−i=q k−i+q l−i−1．∵q为有理数，设q=mn(m,n∈N∗且m与n互质)，因此有(mn )j−i=(mn)k−i+(mn)l−i−1，即m j−i=m k−i n j−k+m l−i n j−l−n j−i．上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然a i+a j=a k+a l不成立．∴card(A+A)=C n1+C n2=n(n+1)，故集合A具有性质P．2【解析】(Ⅰ)由已知集合结合定义求得A+A与B+B，再由性质P的概念判断；(Ⅱ)首先说明若三个数a，b，c成等差数列，则A={a,b,c,d}不具有性质P，由a1<a2< a3<2020，得a3≤2019，结合集合A具有性质P依次求出a3=2019，a2=2017，a1= 2014时，可得a1+a2+a3的最大值；(Ⅲ)根据等比数列的概念结合反证法证明结论．本题是新定义题，考查等差数列与等比数列的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。
2024北京人大附中高三10月月考数学
2024北京人大附中高三10月月考数 学命题人：薛坤 陈佳杰 审题人：杨良庆 吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则AB =（ ）A ．()2,4−B ．[)0,4C ．[]0,1D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（ ）A ．()1f x x=B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()xxf x e e −=−3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（ ）A ．bB C ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（ ） A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π35．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（ ） A ．()0,10 B ．()1,10C ．()()0,110,+∞ D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（ ）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D=，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg 20.3010=） A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b>”是“2256a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（ ）A ．12±B．2± C．2±D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______． 13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1； ②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴． 其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ．（1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ． 17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−>< ⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值； （2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值．①5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分） 已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程； （2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 20．（本小题15分） 已知函数()()2xf x exx =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−． （1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由； （3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−； 进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N “10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。
北京一零一中 2020-2021 学年度第一学期期中模拟初三数学WORD版
北京市第一零一中学2020-2021学年度第一学期初三年级10月阶段性测试一、选择题(本题共30分，每小题3分)第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.下列图案中,是中心对称图形的是( )2.一元二次方程8x 2-3x-5= 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) (A) 8,-3,-5 (B) 8,3,5 (C)8,3,-5 (D)8,-3,5 .3.下列函数中是二次函数的是( )(A) y=3x- 1 (B) y=x 3-2x-3 (C)y=(x+1)2-x 2 (D)y=3x 2-1 4.抛物线y=(x-1)2 +2的顶点坐标为( )(A)(-1,2) (B) (1,2) (C) (1,-2) (D) (2,1) 5.将抛物线y=2x 2向下平移3个单位，得到的抛物线为( ) (A) y=2x 2 +3 (B) y= 2x 2-3 (C)y= 2(x + 3)2 (D)y=2(x-3)26.如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A'B'C',连接AA',若∠1=25°，则∠BAC 的度数是( )(A) 10° (B) 20° (C) 30° (D) 40°第6题图 第8题图 第9题图 7.若关于x 的一元二次方程04122=+-x kx 有实数根,则实数k 的取值范围是( ) (A) k<4 (B) k< 4且k ≠0 (C) k ≤4 (D) k ≤4且k ≠08.如图,在平面直角坐标系xoy 中,△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数.若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF,则旋转中心的坐标是( )(A) (0,0) (B)(1,0) (C)(1,-1) (D)⎪⎭⎫⎝⎛2125，9.如图，在平面直角坐标系xoy 中，有五个点A(2,0), B(0,-2),C(-2, 4), D(4,-2),E(7,0),将二次函数 y=a(x-2)2+m(m ≠0)的图象记为W.下列的判断中 ①点A 一定不在W 上; ②点B,C,D 可以同时在W 上; ③点C,E 不可能同时在W 上. 所有正确结论的序号是( )(A)①②③ (B)①② (C)①③ (D)②③10.如图,正△ABC 的边长为3cm,动点P 从点A 出发,以每秒1 cm 的速度,沿A →B →C 的方向运动,到达点C 时停止,设运动时间为x (秒),y= PC 2,则y 关于x 的函数的图象大致为( )二、填空题(本题共16分，每小题2分)11.在平面直角坐标系xoy 中,将点(-2,3)绕原点0旋转180,所得到的对应点的坐标为_______. 12.若二次函数y= (x-1)2 +3的图象上有两点A(0,a), B(5,b),则a_______b. (填“>”，“=”或“<”) 13.商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份,该店销售额平均每月的增长率是___________.14.已知x=n 是关于x 的一元二次方程mx 2-4x-5=0的一个根，若mn 2-4n+m=6,则m 的值为______________.15.关于x 的一元二次方程mx 2- (m+ 1)x+1 =0有两个不等的整数根，m 为整数,那么m 的值是________________.16. 已知二次函数y=x 2-mx+m- 1的图象与x 轴只有一个公共点. (1)求m=__________.(2)当0≤x ≤3时, y 的取值范围为______________.17.如图,边长为1的正方形ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O.直角∠MPN 的顶点P 与点O 重合,直角边PM, PN 分别与OA,OB 重合,然后逆时针绕点P 旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ< 90°), PM,PN 分别交AB, BC 于E,F 两点,连接EF 交OB 于点G,则下列结论中正确的是__________. ①EF= V2OE;②记四边形OEBF 的面积为S 1,正方形ABCD 的面积为S 2,则S 1 :S2= 1:4; ③BE+ BF=2OA;④在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时, AE=43第17题图 第18题图18.函数y=x 2-2x-3(0≤x ≤4)的图象如下图,直线l //x 轴且过点(0,m),将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折,在直线l 下方的图象保持不变,得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m 的取值范围是___________.三、解答题(本题共54分，第19~25题，每小题5分，第26~27题,每小题6分,第28题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 19.计算()()201223)21(-5-3|-|+++-20.解一元二次方程x2 +2x-1= 0.21.对于抛物线y=-x2 +2x+ 3.(1)抛物线与x轴的交点坐标是__________，顶点坐标是___________.(2)在坐标系中画出此抛物线;(3)结合图象回答,若y> 0,则x的取值范围是______________.22.如图，已知等边三角形ABC, 0为△ABC内一点,连接OA, OB, OC,将OBAO绕点B顺时针旋转至△BCM.(1)依题意补全图形;(2)若OA=2,OB=3,OC= 1,求∠OCM度数.23.如图，直线y=x + m和抛物线y=x2 + bx +c都经过点A(1,0), B(3, 2).(1)求m的值和抛物线的解析式;(2)结合函数图象,求关于x的不等式x2 + bx+c>x+m的解集. (直接写出答案)24.在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本为10元/件,拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量y(单位:件)与线下售价x(单位:元/件, 12≤x<24)满足一次函数的关系,部分数据如下表: .(1)求y与x的函数关系式;(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问:当x为多少. 时,线上和线下利润总和达到最大?并求出此时的最大利润.25.探究函数y=x|x- 2|的图象与性质.小娜根据学习函数的经验,对函数y= x|x- 2|的图象与性质进行了探究.下面是小娜的探究过程,请补充完整:(1)下表是x与y的几组对应值.请直接写出: m=________,n=_________.(2)如图,小娜在平面直角坐标系xoy中,描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点,请再描出剩下的两个点,并画出该函数的图象;(3)结合画出的函数图象,解决问题:若方程xl|x-2| =a有三个不同的解,记为x1,x2,x3,且x1<x2<x3请直接写出x1 +x2 +x3的取值范围.26.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y= ax2 + bx +c的图象经过点A(0,-4)和B(-2,2).(1)求c的值,并用含a的式子表示b;(2)当-2<x<0时,若二次函数满足y随x的增大而减小,求a的取值范围;(3)直线AB上有一点C(m,5),将点C向右平移4个单位长度，得到点D.若抛物线与线段CD只有一个公共点，直接写出a的取值范围27.已知:在△ABC中，∠BAC=90°,AB = AC.(1)如图1,将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD,连接CD、BD,∠BAC平分线交BD于点E,连接CE.①用等式表示线段ED、AE、EC之间的数量关系(直接写出结果);②求证:∠AED=∠CED;(2)在图2中,若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD,连接CD, BD,∠BAC的平分线BD的延长线于点E,连接CE.请补全图形，用等式表示线段AE, CE, BD之间的数关系，并证明.28.我们定义:对于抛物线y= ax2 +bx +c(a≠0),以y轴上的点M(0, m)为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y',则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”。
2020-2021北京市东城区高三一模数学试卷
北京市东城区2021届高三一模数学试卷2021.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<1}，那么A∪B＝（A）（－1，2）（B）（－1，1）（C）（－∞，2）（D）（－∞，1）（2）在复平面内，复数（1＋2i）i对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）某中学高一、高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（A）18（B）22（C）40（D）60（4）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（A）92（B）9（C）272（D）27年级人数高一550高二500高三450合计1500（5）已知圆x 2＋y 2＝1截直线y ＝k （x ＋1）（k >0）所得弦的长度为1，那么k 的值为（A ）12（B ）33（C ）1（D（6）已知函数2102,()6,2,x x f x x x ⎧-<<=⎨-≥⎩，那么不等式f （x ）（A ）（0，1]（B ）（0，2]（C ）[1，4]（D ）[1，6]（7）“x y <”是“ln ln x y <”成立的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）宽与长的比为心，10.6182-≈的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD 中，BC1，AB ＞BC ，那么AB AC ⋅的值为（A1-（B1+（C ）4（D）2（9）已知椭圆221221x y C a b+=：（a >b >0）的右焦点F 与抛物线222(0)C y px p =>：的焦点重合，P 为椭圆C 1与抛物线C 2的公共点，且PF ⊥x 轴，那么椭圆C 的离心率为（A1（B）3（C）2（D1-（10）如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线y ＝f （x ）连接在一起，需满足要求：曲线y ＝f （x ）经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD，那么下列说法正确的是（A ）存在曲线y ＝ax 3＋bx 2－2x ＋5（a ，b ∈R ）满足要求（B ）存在曲线y ＝sin cos 2ax bx+＋c （a ，b ，c ∈R ）满足要求（C ）若曲线y ＝f 1（x ）和y ＝f 2（x ）满足要求，则对任意满足要求的曲线y ＝g （x ），存在实数λ，μ，使得g （x ）＝λf 1（x ）＋μf 2（x ）（D ）若曲线y ＝f 1（x ）和y ＝f 2（x ）满足要求，则对任意实数λ，μ，当λ＋μ＝1时，曲线y ＝λf 1（x ）＋μf 2（x ）满足要求第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020-2021学年北京市一零一中学九年级下学期月考数学试卷(4月份)Word版
2020-2021学年北京市101中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图的几何体中，俯视图为三角形的是（）A．B．C．D．2．为解决延期开学期间全市初高三学生的学习需求，提升学生的实际获得，北京市教委打造了“答疑平台”，全市144000名初高三学生全部纳入在线答疑辅导范围．将144000用科学记数法表示应为（）A．144×103B．14.4×104C．1.44×105D．1.44×1053．如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角项点放在直线a上，若∠1＝40°，则∠2等于（）A．40°B．50°C．60°D．140°4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．85．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4B．bd＞0C．|a|＞|b|D．b+c＞06．把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（）A．2（a2﹣4）B．2（a﹣2）2C．2（a+2）（a﹣2）D．2（a+2）27．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若DE+BF＝8，则BF的值为（）A．3B．4C．5D．68．一家游泳馆的游泳收费标准为30元次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）A类5025B类20020C类40015例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费50+25×20＝550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡C．购买C类会员年卡D．不购买会员年卡二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果在实数范围内有意义，那么实数a的取值范围是．10．写出一个比3大且比4小的无理数：．11．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为．12．如果a+b＝2，那么代数式（a﹣）•的值是．13．如图，⊙O的半径为4，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，OD＝2，则∠BAC ＝．14．小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是cm2．15．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，三为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A的坐标是．16．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：都y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．（1）点（﹣3，4）的“可控变点”的坐标为；（2）若点N（m，2）是函数y＝x﹣1图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为．三、解答题（本题共68分，第17～20题每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23～24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）17．计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．18．解不等式组．19．已知x2+4x+3＝0，求代数式（x+3）2﹣2（x﹣2）的值．20．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．21．甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海．已知北京到上海的距离约为1320千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的倍，全程运行时间比列车乙少1.5小时，求列车甲从北京到上海运行的时间．22．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠P＝45°（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝14，DE＝8，求sin∠ABE的值．23．已知：在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A．（1）求点A的坐标；（2）反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+a﹣2交于点A和另外一点A（m，n）．①求b的值；②当n＞﹣2时，求m的取值范围．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F 在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．25．在电影《流浪地球》和《绿皮书》上映期间，为了解某大学1800名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学20名学生对两部电影的打分，过程如下．收集数据20名大学生对两部电影的打分结果如下：《流浪地球》78 75 99 98 79 67 88 78 76 9888 79 97 91 78 80 93 90 99 99《绿皮书》88 79 68 97 85 74 96 84 92 9789 81 91 75 80 85 91 89 97 92（1）整理、描述数据绘制了如图频数分布直方图和统计表，请补充完整：（说明：60≤x＜70表示一般喜欢，70≤x＜80表示比较喜欢，80≤x＜0表示喜欢，90≤x＜100表示超级喜欢）电影平均数众数中位数《流浪地球》86.599《绿皮书》86.588.5分析数据、推断结论（2）估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有人；（3）你认为观众更喜欢这两部电影中的（填《流浪地球》或《绿皮书》），理由是．26．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）：（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1，经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P（s，t），直接写出点P的纵坐标1的取值范围．27．如图，OABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上任意一点，将DA 绕D点逆时针旋转120°得到DE，连接AE，将AE绕A点逆时针旋转120°得到AG，连接CG．（1）依题意补全图形；（2）求∠EBD的度数；（3）直接写出BE2，CD2与AD2的数量关系．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形W：若在图形G上存在点P，使得P到图形W上各点的最短距离为l，称图形G为图形W的同类图形，点P为图形W的同类点．（1）已知直线l：y＝x，①判断直线m：y＝﹣x是否为直线l的同类图形，如果是，写出直线l的同类点P的坐标，如果不是，请说明理由；②点A为x轴上一动点，⊙A半径为1，若⊙A为直线I的同类图形，求点A的横坐标X A的取值范围；（2）已知坐标轴上的点R（5，0），Q（0，5）．点B，C在直线y＝x+b上，且B（﹣1，t），C（1，s）．线段RQ是线段BC的同类图形，直接写出b的取值范围．。
2020-2021学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合2{|20}A x x x =--，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{1-，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}2．（4分）已知3(0,),sin()225x xππ∈-=，则sin 2(x = )A ．1225B ．2425C ．1225-D ．2425-3．（4分）已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．（4分）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点．若AB a =，AD b =，则(AC = )A ．32a b -B ．2a b -C ．2a b -+D ．1122a b +5．（4分）“lna lnb >”是“33a b >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（4分）已知函数31()cos (0)2f x x x ωωω=->的图象与直线1y =的相邻两个交点间的距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是( ) A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=7．（4分）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，且||||AB AC AB AC +=-，则(BC CA = ) A ．12-B ．9-C ．9D ．128．（4分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当(x ∈-∞，0]时，1()23x f x =+，则23(log)(2f=)A．13B．1C．76D．1169．（4分）已知函数22|1|,7(),x x ef xlnx e x e--⎧+-<=⎨⎩若存在实数m，使得2()24f m a a=-成立，则实数a的取值范围是()A．[1-，)+∞B．(-∞，1][3-，)+∞C．[1-，3]D．(-∞，3]10．（4分）已知奇函数()f x的定义域为(,)22ππ-，且()f x'是()f x的导函数．若对任意(,0)2xπ∈-，都有()cos()sin0f x x f x x'+<，则满足()2cos()3f fπθθ<的θ的取值范围是( )A．(,)23ππ-B．(,)(,)2332ππππ--C．(,)33ππ-D．(,)32ππ二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。