高等数学：第七讲 空间平面一般方程
空间平面的 一般方程
空间平面的一般方程
平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
Ax By Cz D 0
—— 空间平面的一般方程 空间平面方程一定是三元一次方程.
因为
B 0,
所以该平面方程为 y + z = 0 .
例题讲解
例2. 求过三点P(a,0,0)、 Q(0,b,0) 、R(0,0,c)的平面方程( 其中 a 、b 、 c 为不等 于零的常数)。
解 设所求的平面方程为 Ax+By +Cz +D = 0 ，
把P、Q、R 三点坐标代入方程，得
aA D 0 bB D 0 cC D 0
特殊情形
• 当 A =B= 0 时, Cz+D = 0 表示平行于xoy坐标面的平面；
同理
By +D = 0 表示平行于xoz坐标面的平面；
O
Ax +D = 0 表示平行于yoz坐标面的平面.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0 )
特殊情形
• 当 A =B=D= 0 时, z = 0 就表示xoy坐标面；
解得
A D 、B D 、C D
a
b
c
例题讲解
例2. 求过三点P(a,0,0)、 Q(0,b,0) 、R(0,0,c)的平面方程( 其中 a 、b 、 c 为不等 于零的常数)。
代入所设方程得
z
x y z 1 平面的截距式方程
c
a bc
x轴上截距 y 轴上截距 z轴上截距
O
xa
by
空间平面的一般方程
设有三元一次方程 Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C2 0) ①
任取一组满足上述方程的解 x0 , y0 , z0 , 则
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程①与此点法式方程等价, 因此方程①的图形是
法向量为 n A, B,C 的空间平面.
因此三元一次方程一定是空间平面方程.
Ax By Cz D 0
( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, Ax +By +Cz = 0 表示通过原点的平面；
• 当 A = 0 时, By +Cz +D= 0 表示平行于x轴的平面； 当 B = 0 时, Ax +Cz +D= 0 表示平行于y轴的平面； 当 C = 0 时, Ax +By +D= 0 表示平行于z轴的平面；
Ax By Cz D 0
特殊情形
( A2 B2 C 2 0 )
• 当 A = D = 0 时, By +Cz = 0 表示经过x轴的平面；
同理
Ax +Cz = 0 表示经过y轴的平面；
O
Ax +By 2 B2 C 2 0 )
同理
y = 0 就表示xoz坐标面；
x = 0 就表示yoz坐标面.
例题讲解
例1. 求一个通过 x 轴和点M0(3,1,-1)的平面方程。
解 因为所求平面通过 x 轴， 故可设该平面方程为By+Cz=0
把点M0 ( 3, 1, -1 )代入方程，得 B C 0,
即
BC
故该平面方程为 By +B z = 0 .
谢谢
高等数学(解析几何)图形
y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .
.
z 0
.
o
.
.
x
y
z =0
2
25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
2 y2 z2 4x 4z
L:
y
2
3z 2
关于xoy面:
(x,y,z) (x,y,-z)
关于x轴:
(x,y,z) (x,-y,-z)
M(x,y,z)
y
P
(x,y,-z)
关于原点:
(x,y,z) (-x,-y,-z)
.
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
c
B A
A´
B´
c´
u
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
.
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
x
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
.
x
1. 空间直角坐标系
八个卦限
点的坐标
Ⅳ
Ⅲ
z z
Ⅱ
Ⅰ
M (x,y,z)
M (x,y,z)
0
y
y
.
x
N
x
Ⅵ
Ⅷ
Ⅴ
1. 空间直角坐标系
z
坐标和点
z
(x,y,z) M
M (x,y,z)
00
y
大学课件 高等数学 曲面及其方程
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
转轴为z轴,半顶角为 的圆锥面的方程.
解 yOz面上直线方程为 z
z
z y cot
圆锥面方程
•
• M1(0, y1, z1 )
z x2 y2 cot O
15
曲面及其方程
三、柱面 (cylindrical surface )
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为 柱面.
这条定曲线C 称为柱面的 准线,
动直线L称为柱面的 母线.
母
准线
线
LC
16
曲面及其方程
z
例 讨论方程 x2 y2 R2的图形.
M•
解 在xOy面上, x2 y2 R2表一个圆C. C
椭圆抛物面的图形如下：
x012 y2 z 2 p 2q
z
z
z
O
x
y
O
x
y
p 0,q 0
O
y
x
p 0,q 0
30
曲面及其方程
特殊地 当p q时, 方程变为
x2 2p
y2 2qp
z1
x2 y2 z ( p 0)
旋转抛物面
2p 2p
paraboloid of revolution
(由 xOz面上的抛物线 x2 2 pz 绕z轴旋转
第三节 曲面及其方程
(surface)
曲面方程的概念 旋转曲面(surface of revolution) 柱面 (cylindrical surface ) 二次曲面(quadratic surface) 小结 思考题 作业
高等数学(下册)第8章第2讲空间平面方程
第八章 向量代数与空间解析几何
第二讲 空间平面方程
本讲内容
01 空间平面方程表示 02 两平面的位置关系 03 点到平面的距离
一、 空间平面方程表示
1.平面的点法式方程
定义
设 是空间中的一个平面，如果非零向量 n 与平面 垂直，则称向量 n 为 平面 的法线向量（简称平面的法向量）．
11
一、 空间平面方程表示
几个特殊平面
（1）若D 0 时，平面Ax By Cz 0 过原点.
z
x y
12
一、 空间平面方程表示
(2)平行于坐标轴的平面
当A 0时，平面By Cz D 0 的法向量
n {0, B,C}垂直于x 轴，所以平面平行于x 轴. x
特别地，当D 0 时，平面By Cz 0
足的关系式.
z
n
•
M0
•
M
O
y
x
4
一、 空间平面方程表示
如图所示, 设M (x, y, z)为平面 上的任一点，根据
法线向量的定义得n M0M , 所以 n M0M = 0, 由于M 0M {x x0 , y y0, z z0}，因此有
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0． (8.1)
显然，一个平面的法线向量不唯一，且法线向量与平面上的任何一个向量都垂直.
3
一、 空间平面方程表示
1.平面的点法式方程
已知平面 过一定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) ，它的法线向量为 n = {A, B, C} ，其中 A, B, C 不同时为零.下面要建立平面 的方程，就是刻画平面上任意一点所满
z
平行于xOy 平面.
高等数学-01空间解析几何(课件
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
高等数学典型习题及参考答案
⾼等数学典型习题及参考答案第⼋章典型习题⼀、填空题、选择题1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是2、平⾏于向量}1,2,1{a -=?的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平⾯过点=--+-z y x4、.xoz y z y x :⾯上的投影柱⾯⽅程是在曲线??==++Γ2102225、()==-=+=+=-δλδλ则平⾏与设直线,z y x :l z y x :l 1111212121()23A ()12B ()32C ()21D6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b ?-+=,则与b a 3??-平⾏的单位向量为 ( )（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±（D ）}11,7,3{1791-± 7、曲线==++2z 9z y x 222在xoy 平⾯上投影曲线的⽅程为（）（A ）==+2z 5y x 22 （B ）==++0z 9z y x 222（C ）==+0z 5y x 22 （D ）5y x 22=+8、设平⾯的⼀般式⽅程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平⾯必( ) (A)平⾏于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的⽅程分别为251214:1+=+=+z y x L ，67313:2+=+=z y x L ，41312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L10、设平⾯的⼀般式⽅程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平⾯必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy ⾯(D) 平⾏于xoy ⾯11、⽅程05z 3y 3x 222=-+所表⽰的曲⾯是（）（A ）椭圆抛物⾯（B ）椭球⾯（C ）旋转曲⾯（D ）单叶双曲⾯⼆、解答题1、设⼀平⾯垂直于平⾯0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线??=+-=010z y x 的垂线，求该平⾯⽅程。
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
高等数学：第六讲 空间平面点法式方程
目录
01
点法式方程
02
例题讲解
03
内容小结
空间平面的点法式方程
※法向量： 垂直于平面的非零向量称为该平面的法向量。
记作： n A, B,C
n
※平面法向量的基本特征：
1.一个平面有多无少穷个多法个向法量向？量。
2.一个平面法的向法量向的量方的向方有向几有个两？个。
3.平面的法向量与垂平直面于上平的面向上量任位意置向关量系。如何？
即
x - 4 y + 9 z+1 = 0 .
a
b
例题讲解
例3. 求过三点M1(2,-1,4)， M2(-1,3,-2)， M3(0,2,3)的平面 的方程。
解
取该平面 的法向量为
n M1M 2 M1M3
i jk
3 4 6 14, 9, 1
n
M1
2 3 1
又M1 ， 利用点法式方程公式得平面 的方程
a( n )
例题讲解
例2. 求过点M0(2,3,1)且平行于向量 a 1, 2, 1 和 b 3, 3,1 的平面方程。
解
所求平面的法向量可取 n a b
n
ijk
1 2 1 1, 4,9
33 1
又因为平面过M0 ( 2, 3, 1 )，所以由点法式方程公式可得
该平面方程为 (x 2) 4( y 3) 9(z 1) 0,
——平面 的点法式方程
例题讲解
例1. 求过点M0(2,1,1)且垂直于向量a {1,2,3} 的平面方程。
解 所求平面的法向量 n a {1,2,3}
又因为平面过M0 (2,1,1)，所以由点法式方程公式可得
空间曲线在一般平面上投影方程的求法
摘 要 介 绍 了两 种 求 空 间 曲线 在 一 般 平 面 上 投 影 曲线 方 程 的 方 法 ，方 法一 是将 投 影 曲 线 看 作 是柱 面与 一 般
平 面 的 交 线 ，而 方 法 二 是 将 投 影 曲线 看 作 是 空 间 曲 线 上各 点 在 一 般 平 面 上 的 投 影 点 组 成 的 曲线 ．
性质 ３ ．（ × ）一 （ ×占）． 一 （ × ）． ．
所 以
ｙ ｌ ×６ Ｉ。，
证 明 令
· （６× ）一 （ × ６）· ．
一 ＋ ＋ × ｂ，
同理可得
因 为
（ × ６） · ＝ （ × ）·ｂ．
· （６× ） ＝ · （６× （ ＋ ＋ × ６））一 · （ｏｈ× ＋ × （ Ｘ ６））＝
１ Ｇ（ｘ１，Ｙ１，ｚ１）一 ０
ｏ ● ＝＇● ＝Ｈ ｏ ●‘ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●‘》 ●ｏ ● ＝ ●‘＝ ●ｏ ● ＝Ｈ ｏ ●
ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●
· （ ＋ ）］ 一 ［ ·（ ＋ ）
（ · ）６——（６· ） ．
· （６× （ × ６））一 · （（６ ·ｂ）Ｅ一 （６ ·ｉｆ）ｂ）＝
ｙ（１ Ｉ。Ｉ ｂ ｌ 一 （ ·６）。）一 ｙ｝ Ｉ ｚ ｌ Ｉ ｚ（１一 ｃＯＳｚ（ ， ））一
参 考 文 献
［１３同济 大 学 数 学 教 研 室 ．高 等 数 学 ＩＭ］．北 京 ：高等 教 育 出版 社 ，１９９６．
ＶｏＩ．１３，Ｎｏ．２ Ｍ ａＦ．，２０１０
高 等 数学 研 究
ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩＣＳ
２３
空 间 曲线 在 一 般 平 面 上 投 影 方 程 的 求 法
8.2空间解析几何与向量代数 直线方程(3)
=
0 即 方程为
=
=
5 平面外一点到平面的距离 如图
M0 N
M
1
设平面 : Ax+By+Cz+D=0. 则 平面上点M1(x1, y1, z1)满足 A1x+B1y+C1z+D1=0. 由于 M0N 为之法向.故 M0N // (A, B, C).
M2(1, 1, 1) 且与
平面1：x+y+z=0 垂直， 求平面 . 设 1 法向 n1=(1, 1, 1). 则 平面 // n1 . 而 过点M1, M2. 故 平面 // M1M2 .
M2
= =
重合
n1
M1
因此，平面 n1M1M2 . 即 的法向 n =n1M1M2 .
n
即
即
点到平面的 距离公式
3
王毅教案
二、 空间直线及其关系
例6 求 M0(x0, y0, z0) 到 xy 平面的距离. 解：xy平面：z=0. 1 空间直线的一般方程 上述直线也等价于
故
空间上任何两个不平行的平面的交点在一 条直线上，同样，这条直线上任一点都在这两 条平面的交线上，故，空间直线可用下面方程 组表示
z=0
例4 设平面 与 x, y, z 轴分别交于 P (p, 0, 0), Q(0, q, 0), R (0, 0, r)，求 的方程, 其中p, q, r 非零. 解：设平面 为方程 A x + B y + C z + D = 0. 则 A p+D = B q + D = C r + D = 0.
1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2: A2x+B2y+C2z+D2=0.
高等数学教案-向量代数与空间解析几何
高等数学教学教案第8章 向量代数与空间解析几何授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第1节 向量及其运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 数量积、向量积、混合积，两个向量垂直、平行的条件教学难点 两个向量垂直、平行的条件参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（向量运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用表达式进行向量运算的方法.教 学 基 本 内 容一．空间直角坐标系1.直角坐标系，点叫做坐标原点.2.在直角坐标系下，数轴统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫作一个卦限，分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.3.数组为点在空间直角坐标系中的坐标，其中分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．二．空间两点间的距离设，为空间两点，则与之间的距离为.三．向量的概念1. 向量:既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．O Oxyz 111(, , )M x y z 222(, , )N x y z M N 212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=Oxyz Oz Oy Ox ,,zOx yOz xOy ,,(, , )x y z M Oxyz z y x ,,M2. 向量的模:向量的长度称为向量的模，记作或.3. 单位向量:模为的向量叫做单位向量.4. 零向量:模为的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．5. 相等向量:大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作.规定：所有的零向量都相等.6.负向量:与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作．7. 平行向量:平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．8. 共面向量:平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量共面.四．向量的线性运算1. 向量的加法定义 对向量，，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和，记作．这种向量求和方法称为平行四边形法则．若将向量平移，使其起点与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和，该法则称为三角形法则．对于任意向量，，，满足以下运算法则：(1)(交换律)． (2) (结合律)． (3)．2.向量的减法定义 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即．特别地，当时，有.若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量.3.数乘向量定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是，方向：当时，与同向；当时，与反向；当时，．对于任意向量，以及任意实数，，有下列运算法则：(1) ． (2) ． (3) ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，称为，的一个线性组合．特别地，与同方向的单位向量叫做的单位向量，记作，即. 定理 向量与非零向量平行的充分必要条件是存在唯一的实数，使得.a AB10b a =a a -a a b A AB AD a b AB ADABCD A C ACa b b a +b a a b c a b a b c a +b =b +a ()()a +b +c =a +b +c 0a +=a a b -b a b ()--a b =a +b b =a ()-0a +a =a b a b b a λa λa λa λa 0λ>λa a 0λ<λa a 0λ=λ0a =a b λμ()()λμλμa =a ()+λμλμ+a =a a ()+λλλ+a b =a b λμa +b a b (, )R λμ∈a a a e ||a ae a =a b λλa =b例7 已知向量，，求.例8 已知三角形的顶点分别是，求三角形的面积.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第2节 空间平面和直线 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 平面方程和直线方程及其求法，平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角教学难点 利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决问题参考教材 同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1.掌握平面方程和直线方程及其求法.2.会求平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.3.会求点到直线以及点到平面的距离.教 学 基 本 内 容一．空间平面方程1.平面方程的各种形式（1）若一个非零向量垂直于平面，则称向量为平面的一个法向量．（2）平面的点法式方程：过点，法向量为的平面方程为．（3）平面的三点式方程：过三点的平面方程为 称为平面的三点式方程.（4）平面的截距式方程：过三点，，的平面的方程为}2,1,3{--=a }1,2,1{-=b b a 2⨯ABC (1,1,1)(1,2,3)(2,3,4)、、A B C ABC n ∏n ∏0000(, , )M x y z {, , }A B C n =000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---(, 0, 0)A a (0, , 0)B b (0, 0, )C c (0)abc ≠例8将直线的一般式方程化为点向式方程和参数方程．例9求直线和的夹角. 例10求直线与平面的夹角.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第3节 空间曲面和曲线 课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程教学难点 空间曲线在坐标平面上的投影及其方程参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 2.了解空间曲线的参数方程和一般方程.3.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.教 学 基 本 内 容一．空间曲面定义 如果曲面与方程满足如下关系： (1) 曲面上每一点的坐标都满足方程； (2) 以满足方程的解为坐标的点都在曲面上． 则称方程为曲面的方程，而称曲面为此方程的图形．几个常见的曲面方程.1.球面（1）以坐标原点为球心，以为半径的球面方程为．（2）以为球心，以为半径的球面方程为. （3）一般方程.2310,32120,x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩113:141x y z l -+==-220:20x y l x z ++=⎧⎨+=⎩300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩10x y z --+=∑(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =∑∑R 2222R z y x =++000(,,)x y z R 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=0222=++++++D Cz By Ax z y x组称作空间曲线的一般方程.2.空间曲线的参数方程对于空间曲线，若上的动点的坐标可表示成为参数的函数随着的变动可得到曲线上的全部点，此方程组叫做空间曲线的参数方程.3.空间曲线在坐标面上的投影（1）设空间曲线的一般方程为消去变量之后所得到的方程,表示一个母线平行于轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线.以曲线为准线，母线平行于轴的柱面叫做关于面的投影柱面.投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，该曲线的方程可写成（2）消去方程组中的变量或，再分别与或联立，我们便得到了空间曲线在或面上的投影曲线方程：或（3）确定一个空间立体或空间曲面在坐标面上的投影.一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体或空间曲面在坐标面的投影区域..投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定.三．二次曲面1.椭圆锥面由方程所确定的曲面称为椭圆锥面.2.椭球面(,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩C C x y z ,,t ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x t C C (,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩z (,)0H x y =z C C z xoy xoy C xoy (,)0,0.H x y z =⎧⎨=⎩(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩x y 0x =0y =C yoz xoz (,)0,0,R y z x =⎧⎨=⎩(,)0,0.T x z y =⎧⎨=⎩22222x y z a b+=由方程 ()所确定的曲面称为椭球面，称为椭球面的半轴，此方程称为椭球面的标准方程．3.单叶双曲面由方程()所确定的曲面称为单叶双曲面．4.双叶双曲面由方程()所确定的曲面称为双叶双曲面．注 方程和也都是单叶双曲面;方程和也都是双叶双曲面．5.椭圆抛物面由方程 ()所确定的曲面称为椭圆抛物面．6.双曲抛物面由方程 ()所确定的曲面称为双曲抛物面．双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面．四．例题讲解例1建立球面的中心是点，半径为的球面方程. 例2 方程表示怎样的曲面？ 例3 分析方程表示怎样的曲面？例4 双曲线型冷却塔是电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种建筑物, 如图8.24所示.试分析双曲线型冷却塔外表面的数学模型.1222222=++cz b y a x 0, 0, 0a b c >>>, , a b c 1222222=-+cz b y a x 0, 0, 0a b c >>>1222222-=-+c z b y a x 0, 0, 0a b c >>>1222222=+-c z b y a x 1222222=++-cz b y a x 1222222-=+-c z b y a x 1222222-=++-cz b y a x 2222by a x z +=0, 0, 0a b c >>>2222by a x z -=0, 0, 0a b c >>>),,(0000z y x M R 024222=+-++y x z y x 222R y x =+8.24 图8.25坐标面上的双曲线分别绕绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点为圆锥面的12222=-by c z L。