高等数学：第七讲 空间平面一般方程
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特殊情形
• 当 A =B= 0 时, Cz+D = 0 表示平行于xoy坐标面的平面；
同理
By +D = 0 表示平行于xoz坐标面的平面；
O
Ax +D = 0 表示平行于yoz坐标面的平面.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0 )
特殊情形
• 当 A =B=D= 0 时, z = 0 就表示xoy坐标面；
因为
B 0,
所以该平面方程为 y + z = 0 .
例题讲解
例2. 求过三点P(a,0,0)、 Q(0,b,0) 、R(0,0,c)的平面方程( 其中 a 、b 、 c 为不等 于零的常数)。
百度文库
解 设所求的平面方程为 Ax+By +Cz +D = 0 ，
把P、Q、R 三点坐标代入方程，得
aA D 0 bB D 0 cC D 0
谢谢
解得
A D 、B D 、C D
a
b
c
例题讲解
例2. 求过三点P(a,0,0)、 Q(0,b,0) 、R(0,0,c)的平面方程( 其中 a 、b 、 c 为不等 于零的常数)。
代入所设方程得
z
x y z 1 平面的截距式方程
c
a bc
x轴上截距 y 轴上截距 z轴上截距
O
xa
by
同理
y = 0 就表示xoz坐标面；
x = 0 就表示yoz坐标面.
例题讲解
例1. 求一个通过 x 轴和点M0(3,1,-1)的平面方程。
解 因为所求平面通过 x 轴， 故可设该平面方程为By+Cz=0
把点M0 ( 3, 1, -1 )代入方程，得 B C 0,
即
BC
故该平面方程为 By +B z = 0 .
高等数学在线开放课程
空间平面的 一般方程
空间平面的一般方程
平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
Ax By Cz D 0
—— 空间平面的一般方程 空间平面方程一定是三元一次方程.
Ax By Cz D 0
特殊情形
( A2 B2 C 2 0 )
• 当 A = D = 0 时, By +Cz = 0 表示经过x轴的平面；
同理
Ax +Cz = 0 表示经过y轴的平面；
O
Ax +By = 0 表示经过z轴的平面.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0 )
空间平面的一般方程
设有三元一次方程 Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C2 0) ①
任取一组满足上述方程的解 x0 , y0 , z0 , 则
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程①与此点法式方程等价, 因此方程①的图形是
法向量为 n A, B,C 的空间平面.
因此三元一次方程一定是空间平面方程.
Ax By Cz D 0
( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, Ax +By +Cz = 0 表示通过原点的平面；
• 当 A = 0 时, By +Cz +D= 0 表示平行于x轴的平面； 当 B = 0 时, Ax +Cz +D= 0 表示平行于y轴的平面； 当 C = 0 时, Ax +By +D= 0 表示平行于z轴的平面；
• 当 A =B= 0 时, Cz+D = 0 表示平行于xoy坐标面的平面；
同理
By +D = 0 表示平行于xoz坐标面的平面；
O
Ax +D = 0 表示平行于yoz坐标面的平面.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0 )
特殊情形
• 当 A =B=D= 0 时, z = 0 就表示xoy坐标面；
因为
B 0,
所以该平面方程为 y + z = 0 .
例题讲解
例2. 求过三点P(a,0,0)、 Q(0,b,0) 、R(0,0,c)的平面方程( 其中 a 、b 、 c 为不等 于零的常数)。
百度文库
解 设所求的平面方程为 Ax+By +Cz +D = 0 ，
把P、Q、R 三点坐标代入方程，得
aA D 0 bB D 0 cC D 0
谢谢
解得
A D 、B D 、C D
a
b
c
例题讲解
例2. 求过三点P(a,0,0)、 Q(0,b,0) 、R(0,0,c)的平面方程( 其中 a 、b 、 c 为不等 于零的常数)。
代入所设方程得
z
x y z 1 平面的截距式方程
c
a bc
x轴上截距 y 轴上截距 z轴上截距
O
xa
by
同理
y = 0 就表示xoz坐标面；
x = 0 就表示yoz坐标面.
例题讲解
例1. 求一个通过 x 轴和点M0(3,1,-1)的平面方程。
解 因为所求平面通过 x 轴， 故可设该平面方程为By+Cz=0
把点M0 ( 3, 1, -1 )代入方程，得 B C 0,
即
BC
故该平面方程为 By +B z = 0 .
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空间平面的 一般方程
空间平面的一般方程
平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
Ax By Cz D 0
—— 空间平面的一般方程 空间平面方程一定是三元一次方程.
Ax By Cz D 0
特殊情形
( A2 B2 C 2 0 )
• 当 A = D = 0 时, By +Cz = 0 表示经过x轴的平面；
同理
Ax +Cz = 0 表示经过y轴的平面；
O
Ax +By = 0 表示经过z轴的平面.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0 )
空间平面的一般方程
设有三元一次方程 Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C2 0) ①
任取一组满足上述方程的解 x0 , y0 , z0 , 则
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程①与此点法式方程等价, 因此方程①的图形是
法向量为 n A, B,C 的空间平面.
因此三元一次方程一定是空间平面方程.
Ax By Cz D 0
( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, Ax +By +Cz = 0 表示通过原点的平面；
• 当 A = 0 时, By +Cz +D= 0 表示平行于x轴的平面； 当 B = 0 时, Ax +Cz +D= 0 表示平行于y轴的平面； 当 C = 0 时, Ax +By +D= 0 表示平行于z轴的平面；