高中数学教案——函数-区间的概念及求定义域的方法

课题：2.1.2函数－区间的概念及求定义域的方法

教学目的：

1．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法；

2．培养抽象概括能力和分析解决问题的能力；

教学重点：“区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法

教学难点：正确求分式函数、根式函数定义域

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定

前面我们已经学习了函数的概念，，今天我们来学习区间的概念和记号二、讲解新课：

1．区间的概念和记号

在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.

设a,b∈R ,且a

①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

②满足不等式a

③满足不等式a≤x

这里的实数a和b叫做相应区间的端点.

在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：

这样实数集R 也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x

注意：书写区间记号时：

①有完整的区间外围记号（上述四者之一）； ②有两个区间端点，且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“，”隔开. 2．求函数定义域的基本方法

我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.

3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.

4．复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数 三、讲解范例：下面举例说明函数定义域的求法.

例1已知⎪⎩

⎪

⎨⎧+=10

)(x x f π )

0()0()0(>=

例2已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]

解：f [g (x )]=（

1+x ）2-1=x +2x

例3 求下列函数的定义域： ①14)(2

--=

x x f ②2

14

3)(2-+--=

x x x x f

③=

)(x f x

11111++

④x

x x x f -+=

0)1()(

⑤3

7

3132+++-=

x x y

解：①要使函数有意义，必须：142

≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=

x x f 的定义域为： [3,3-]

②要使函数有意义，必须：⎩⎨

⎧≠-≠-≤-≥⇒⎩

⎨⎧≠-+≥--131

40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-->⇒x x x 或或

∴定义域为：{ x|4133≥-≤<-->x x x 或或}

③要使函数有意义，必须： 0

11110110≠++≠+≠⎪

⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧x

x x ⇒

2

110-≠-≠≠⎪⎩

⎪

⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}2

1

,1,0|{--≠∈x R x x 且

④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩

⎨⎧<-≠⇒01

x x

∴定义域为：{}011|<<--

⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩

⎪⎨

⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}3

7

|{-≠x x

例4 若函数a

ax ax y 1

2+

-=

的定义域是R ，求实数a 的取值范围

解：∵定义域是R,∴恒成立，01

2

≥+

-a

ax ax ∴⎪⎩

⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例5 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )4

1(-⋅x f 的定义域

解：要使函数有意义，必须：

43434

54

3

43

45

14111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+

=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧

≤≤-4343|x x 求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；

④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.

例6 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f ；

∵已知x x f x f 3)1()(2=+ ①，

将①中x 换成

x 1

得x

x f x f 3)()1(2=+ ②， ①×2-②得x x x f 36)(3-= ∴x

x x f 12)(-=.

例7 设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式.

解：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ,

∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；

又∵f(x)满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，