2020届高考数学压轴必刷题 专题10选择填空其余知识点题目(文理合卷)(含答案)

2020届高考数学压轴必刷题

专题10选择填空其余知识点题目(文理合卷)

1．【2018年新课标1理科10】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）

A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2+p3

【解答】解：如图：设BC＝2r1，AB＝2r2，AC＝2r3，

∴r12＝r22+r32，

∴SⅠ4r2r3＝2r2r3，SⅢπr12﹣2r2r3，

SⅡπr32πr22﹣SⅢπr32πr22πr12+2r2r3＝2r2r3，

∴SⅠ＝SⅡ，

∴P1＝P2，

故选：A．

2．【2018年浙江07】设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是

ξ0 1 2

P

则当p在（0，1）内增大时，（）

A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大

C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小

【解答】解：设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是

E（ξ）＝012p；

方差是D（ξ）

＝﹣p2+p

，

∴p∈（0，）时，D（ξ）单调递增；

p∈（，1）时，D（ξ）单调递减；

∴D（ξ）先增大后减小．

故选：D．

3．【2017年浙江08】已知随机变量ξi满足P（ξi＝1）＝p i，P（ξi＝0）＝1﹣p i，i＝1，2．若0＜p1＜p2，则（）

A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）

B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）

C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）

D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）

【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi＝1）＝p i，P（ξi＝0）＝1﹣p i，i＝1，2，…，

0＜p1＜p2，

∴1﹣p2＜1﹣p1＜1，

E（ξ1）＝1×p1+0×（1﹣p1）＝p1，

E（ξ2）＝1×p2+0×（1﹣p2）＝p2，

D（ξ1）＝（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1），

D（ξ2）＝（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2），

D（ξ1）﹣D（ξ2）＝p1﹣p12﹣（）＝（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，

∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．

故选：A．

4．【2014年浙江理科09】已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），

从乙盒中随机抽取i（i＝1，2）个球放入甲盒中．

（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i＝1，2）；

（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i＝1，2）．

则（）

A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）

C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）

【解答】解析：，，

，所以P1＞P2；

由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，

所以，

，

E（ξ1）﹣E（ξ2）．

故选：A．

5．【2012年上海理科17】设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）

A．Dξ1＞Dξ2

B．Dξ1＝Dξ2

C．Dξ1＜Dξ2

D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关

【解答】解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：

（x1+x2+x3+x4+x5），（）且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，

故选：A．

6．【2011年浙江理科09】有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）

A．B．C．D．

【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55＝120种结果，

下分类研究同类书不相邻的排法种数

假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4×2×2×2×1＝32种可能；

假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有4×1×2×1×1＝8种可能；

假设第一本是物理书，则有1×4×2×1×1＝8种可能．

∴同一科目的书都不相邻的概率P，

故选：B．

7．【2016年北京理科08】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

【解答】解：取两个球共有4种情况：

①红+红，则乙盒中红球数加1个；

②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；

③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；

④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．

设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y＝a．则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j＝x；

丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l＝y；

黑球总数a＝y+i+j，又x+y＝a，故x＝i+j

由于x＝k+j，所以可得i＝k，即乙中的红球等于丙中的黑球．

故选：B．

8．【2014年北京理科08】学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）

A．2人B．3人C．4人D．5人

【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，

语文成绩得B得也最多只有一个，

得C最多只有一个，

因此学生最多只有3人，

显然（AC）（BB）（CA）满足条件，

故学生最多有3个．

故选：B．

9．【2016年天津理科14】设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A 作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．

【解答】解：抛物线（t为参数，p＞0）的普通方程为：y2＝2px焦点为F（，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．|CF|＝2|AF|，

|CF|＝3p，|AB|＝|AF|p，A（p，），

△ACE的面积为3，，

可得S△ACE．

即：3，

解得p．

故答案为：．

10．【2019年全国新课标2理科16】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面

体共有个面，其棱长为．

【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为x，则x x x＝1，解得x1．故答案为：26，1．

11．【2016年上海理科14】如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足，则点P落在第一象限的概率是．

【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．

满足，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：

（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．

∴点P落在第一象限的概率是，

故答案为：．

12．【2016年新课标2理科15】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；

（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；

（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；

∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；

∴甲的卡片上的数字是1和3．

故答案为：1和3．

13．【2014年新课标1理科14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为．

【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，

再由丙说：我们三人去过同一城市，

则由此可判断乙去过的城市为A．

故答案为：A．

1．【2019年北京文科07】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星

等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A．1010.1B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1

【解答】解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，

由题意可得：，

∴，则．

故选：A．

2．【2019年新课标2文科16】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有

个面，其棱长为．

【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为x，则x x x＝1，解得x1．故答案为：26，1．

3．【2018年北京文科08】设集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A

B．对任意实数a，（2，1）?A

C．当且仅当a＜0时，（2，1）?A

D．当且仅当a时，（2，1）?A

【解答】解：当a＝﹣1时，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A不正确；

当a＝4，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；

当a＝1，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y≥1，x+y＞4，x﹣y≤2}，显然（2，1）?A，所以当且仅当a＜0错误，所以C不正确；

故选：D．

4．【2015年北京文科14】高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．

【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．从第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5．在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；

②观察散点图，作出对角线y＝x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名

次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；

故答案为：乙；数学．

5．【2010年新课标1文科14】设函数y＝f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N 个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i＝1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．

【解答】解：

方法一：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）

的图象与x轴、直线x＝0和直线x＝1所围成图形的面积，

∴根据几何概型易知∫01f（x）dx．

方法二：这种随机模拟的方法是在[0，1]内生成了N个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N1个，所以根据比例关系，而正方形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为．

故答案为：．

6．【2016年新课标2文科16】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；

（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；

（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；

∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；

∴甲的卡片上的数字是1和3．

故答案为：1和3．

7．【2014年新课标1文科14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为．

【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，

再由丙说：我们三人去过同一城市，

则由此可判断乙去过的城市为A．

故答案为：A．