高中数学必修2直线与方程练习题及答案详解
第 - 1 - 页 共 11 页 直线与方程复习A 一、选择题 1．设直线0axbyc的倾斜角为，且sincos0，则,ab满足（ ）
A．1ba B．1ba C．0ba D．0ba
2．过点(1,3)P且垂直于直线032yx 的直线方程为（ ） A．012yx B．052yx C．052yx D．072yx 3．已知过点(2,)Am和(,4)Bm的直线与直线012yx平行， 则m的值为（ ） A．0 B．8 C．2 D．10
4．已知0,0abbc，则直线axbyc通过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 5．直线1x的倾斜角和斜率分别是（ ） A．045,1 B．0135,1 C．090，不存在 D．0180，不存在
6．若方程014)()32(22mymmxmm表示一条直线，则实数m满足（ ） A．0m B．23m C．1m D．1m，23m，0m 二、填空题 1．点(1,1)P 到直线10xy的距离是________________.
2．已知直线,32:1xyl若2l与1l关于y轴对称，则2l的方程为__________; 若3l与1l关于x轴对称，则3l的方程为_________; 若4l与1l关于xy对称，则4l的方程为___________; 3． 若原点在直线l上的射影为)1,2(，则l的方程为____________________。 4．点(,)Pxy在直线40xy上，则22xy的最小值是________________. 5．直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为 (1,4),(5,0)BD，则直线l的方程为________________。 第 - 2 - 页 共 11 页
三、解答题 1．已知直线AxByC0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x轴相交； （4）系数满足什么条件时是x轴；
2．求经过直线0323:,0532:21yxlyxl的交点且平行于直线032yx的直线方程。
3．经过点(1,2)A并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。
4．过点(5,4)A作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5． 第 - 3 - 页 共 11 页
第三章 直线与方程B 一、选择题
1．已知点(1,2),(3,1)AB，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．524yx B．524yx C．52yx D．52yx 2．若1(2,3),(3,2),(,)2ABCm三点共线 则m的值为（ ） Ａ．21 Ｂ．21 Ｃ．2 Ｄ．2 3．直线xayb221在y轴上的截距是（ ） A．b B．2b C．b2 D．b 4．直线13kxyk，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1) 5．直线cossin0xya与sincos0xyb的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与,,ab的值有关 6．两直线330xy与610xmy平行，则它们之间的距离为（ ）
A．4 B．21313 C．51326 D．71020 7．已知点(2,3),(3,2)AB，若直线l过点(1,1)P与线段AB相交，则直线l的 斜率k的取值范围是（ ）
A．34k B．324k C．324kk或 D．2k 二、填空题 1．方程1yx所表示的图形的面积为_________。
2．与直线5247yx平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 3．已知点(,)Mab在直线1543yx上，则22ba的最小值为 4．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)mn重合，则nm的值是___________________。 第 - 4 - 页 共 11 页
５．设),0(为常数kkkba，则直线1byax恒过定点 ． 三、解答题 1．求经过点(2,2)A并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。
2．一直线被两直线0653:,064:21yxlyxl截得线段的中点是P点，当P点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。
4．直线313yx和x轴，y轴分别交于点,AB，在线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，如果在第一象限内有一点1(,)2Pm使得△ABP和△ABC的面积相等，求m的值。
（数学2必修）第三章 直线与方程 [提高训练C组] 一、选择题
1．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，
又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（ ） A．13 B．3 C．13 D．3 2．若PabQcd，、，都在直线ymxk上，则PQ用acm、、表示为第 - 5 - 页 共 11 页
（ ） A．acm12 B．mac
C．acm12 D． acm12 3．直线l与两直线1y和70xy分别交于,AB两点，若线段AB的中点为 (1,1)M，则直线l的斜率为（ ）
A．23 B．32 C．32 D． 23 4．△ABC中，点(4,1)A,AB的中点为(3,2)M,重心为(4,2)P，则边BC的长为（ ） A．5 B．4 C．10 D．8 5．下列说法的正确的是 （ ） A．经过定点Pxy000，的直线都可以用方程yykxx
00
表示 B．经过定点bA，0的直线都可以用方程ykxb表示
C．不经过原点的直线都可以用方程xayb1表示 D．经过任意两个不同的点222111yxPyxP，、，的直线都可以用方程 yyxxxxyy
121121表示
6．若动点P到点(1,1)F和直线340xy的距离相等，则点P的轨迹方程为（ ） A．360xy B．320xy
C．320xy D．320xy 二、填空题 1．已知直线,32:1xyl2l与1l关于直线xy对称，直线3l⊥2l，则3l的斜率是______. 2．直线10xy上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转090得直
线l， 第 - 6 - 页 共 11 页
则直线l的方程是 ． 3．一直线过点(3,4)M，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________． 4．若方程02222yxmyx表示两条直线，则m的取值是 ． 5．当210k时，两条直线1kykx、kxky2的交点在 象限． 三、解答题 1．经过点(3,5)M的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？
2．求经过点(1,2)P的直线，且使(2,3)A，(0,5)B到它的距离相等的直线方程 3．已知点(1,1)A，(2,2)B，点P在直线xy21上，求22PBPA取得 最小值时P点的坐标。 4．求函数22()2248fxxxxx的最小值。 第三章 直线和方程 [基础训练A组] 一、选择题
1.D tan1,1,1,,0akababb
2.A 设20,xyc又过点(1,3)P，则230,1cc，即210xy 3.B 42,82mkmm 4.C ,0,0acacyxkbbbb 5.C 1x垂直于x轴，倾斜角为090，而斜率不存在 6.C 2223,mmmm不能同时为0 二、填空题
1.322 1(1)13222d
2. 234:23,:23,:23,lyxlyxlxy 3.250xy '101,2,(1)2(2)202kkyx
4.8 22xy可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：4222d 第 - 7 - 页 共 11 页
5. 23yx 平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点(3,2) 三、解答题 1. 解：（1）把原点(0,0)代入AxByC0，得0C；（2）此时斜率存在且不为零 即0A且0B；（3）此时斜率不存在，且不与y轴重合，即0B且0C；
（4）0,AC且0B （5）证明：00Pxy，在直线AxByC0上 00000,AxByCCAxBy 000AxxByy。
2. 解：由23503230xyxy，得1913913xy，再设20xyc，则4713c 472013xy为所求。
3. 解：当截距为0时，设ykx，过点(1,2)A，则得2k，即2yx； 当截距不为0时，设1,xyaa或1,xyaa过点(1,2)A， 则得3a，或1a，即30xy，或10xy 这样的直线有3条：2yx，30xy，或10xy。 4. 解：设直线为4(5),ykx交x轴于点4(5,0)k，交y轴于点(0,54)k， 14165545,4025102Skkkk
得22530160kk，或22550160kk 解得2,5k或 85k 25100xy，或85200xy为所求。
第三章 直线和方程 [综合训练B组] 一、选择题
高中数学必修二《直线与方程及圆与方程》测试题-及答案
直线方程一选择题1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ）A.3B.-2C. 2D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．072=+-y xB ．012=-+y xC ．250x y --=D ．052=-+y x 3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）x y O x y O x y O xyO A B C D 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ）A ．32-B ．32C ．23-D ．235．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-6、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（ ）A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 27、直线2x+3y-5=0关于直线y=x 对称的直线方程为（ ）A 、3x+2y-5=0B 、2x-3y-5=0C 、3x+2y+5=0D 、3x-2y-5=08、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 9、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ） A.a=2,b=5; B.a=2,b=5-; C.a=2-,b=5; D.a=2-,b=5-.10．平行直线x －y ＋1 = 0，x －y －1 = 0间的距离是（ ）A ．22 B ．2 C ．2 D ．22 11、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=0二填空题（共20分，每题5分）12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 __；13两直线2x+3y －k=0和x －ky+12=0的交点在y 轴上，则k 的值是14、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是 。
高中数学必修二直线与方程单元练习题（精选.）
⾼中数学必修⼆直线与⽅程单元练习题（精选.）直线与⽅程练习题⼀、填空题(5分×18=90分)1．若直线过点(3,－3)且倾斜⾓为30°,则该直线的⽅程为；2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同⼀直线上，那么k 的值是；3.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是；4.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三⾓形的⾯积不⼤于１，那么b 的取值范围是；5. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线⽅程是；6．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平⾏，则它们之间的距离是: 7、过点A(1,2)且与原点距离最⼤的直线⽅程是:8.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于⼀点，则a 的值是:9．已知点)2,1(-A ，)2,2(-B ，)3,0(C ，若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上的⼀点，则直线CM 的斜率的取值范围是:10．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最⼩值为: 11.与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线有______条.12．直线l 过原点，且平分□ABCD 的⾯积，若B (1, 4)、D (5, 0)，则直线l 的⽅程是．13．当10k 2<<时，两条直线1-=-k y kx 、k x ky 2=-的交点在象限． 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的⽅程；15.直线y=21x 关于直线x ＝1对称的直线⽅程是 ; 16.已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线⽅程是____________．17.光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上，反射光线经过点()1,1B ,则反射光线所在直线的⽅程18．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最⼤，则P 的坐标为:⼆.解答题(10分×4+15分×2=70分)19．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点； (2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的⾯积为4，求直线l 的⽅程．20．（1）要使直线l 1：m y m m x m m 2)()32(22=-+-+与直线l 2：x -y=1平⾏，求m 的值.（2）直线l 1：a x +(1-a)y=3与直线l 2：(a -1)x +(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值.21．已知?A B C 中，A (1, 3)，AB 、AC 边上的中线所在直线⽅程分别为x y -+=210和y -=10，求?A B C 各边所在直线⽅程．22.△ABC 中，A （3，－1），AB 边上的中线CM 所在直线⽅程为：6x ＋10y －59=0，∠B 的平分线⽅程B T 为：x －4y ＋10=0，求直线BC 的⽅程.23．已知函数x a x x f +=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意⼀点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂⾜分别为N M 、．（1）求a 的值；（2）问：||||PN PM ?是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设O 为原点，若四边形OMPN ⾯积为1+2 求P 点的坐标24.在平⾯直⾓坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图所⽰）。
人教A版高中数学必修二第三章《直线与方程》检测题含答案.docx
第三章《直线与方程》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1. 不论刃为何值，直线(m —\)x+ (2/7?—l)y=/77—5恒过定点()( \\ A. 1,—— B. (-2,0) C. (2,3) D. (9, -4) I 2丿 '2.x — y — 3 S 02. 已知不等式组x + y-3>0表示的平面区域为M,若以原点为圆心的圆0与M 无公x — 2y + 3 n 0共点，则圆。
的半径的取值范围为()A. (0,—)B. (3匹,+8)C. (0,VK)U(3^,+8)D. (0,—)U(3V2,+oo) 3. 若直线厶：x+ay+6=0与厶：U-2)%+3y+2a=0平行,则厶与厶之间的距离为 ()A. V2B.吨C. V3D.出3 84. 若点A (l,l)关于直线y = kx + b 的对称点是3(-3,3),则直线y = kx + b 在y 轴上 的截距是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知直线/I ：x-y-l=0,动直线?2：(k + l)x +炒+ k = 0(kw/?)，则下列结论够 误的是( )A.存在k, I 、使得厶的倾斜角为90。
B.对任意的k, I 、与厶都有公共点C.对任意的4人与厶都不重合D.对任意的人与厶都不垂皐 3(-3,-2),直线1过点且与线段AB 相交，则1的斜 率k 的取值范围( A. k> — ^ik<-4 43 C. — 一 <^<4 D.4 7.图中的直线/,,/2,/3的斜率分别是，则有( )B. k y <k }< k 2C. k 3<k 2< k 、D. k 2<k y < k 、6.设点 A (2,—3),)B. -4<k<-4 以上都不对A. ky<k 2< k 3TV TV 27V 5 7TA. 3 B . 6 c. 3 D . 69. 直线3x + y-4 = 0的斜率和在y 轴上的截距分别是（）A. 一3,4B. 3,-4C. -3,-4D. 3,410. 过点（一2, 1）,且平行于向量v=（2, 1）的直线方程为（）A. % — 2y + 4 = 0B. % 4- 2y — 4 = 0C. % — 2y — 4 = 0D. % + 2y + 4 =11・过点水3, 3）且垂直于直线4x + 2y - 7 = 0的直线方程为A. y = -x + 2B. y = —2x + 7 C ・ y = -x + - D. y = -x - 丿 2 J 丿 22 丿 2212. 在平面直角坐标系中，己知A （l,-2）, B （3,0）,那么线段A3中点的坐标为（）. A.（2,-1） B.（2,1） C.（4,-2） D. （-1,2）二、填空题13. 已知G,b,c 为直角三角形的三边长，C 为斜边长，若点在直线Z ：Q + by + 2c = 0上，则加2 +/?2的最小值为 __________ ・14. me R ,动直线 l }\x + my -1 =（）过定点 动直线 /2: nix - y- 2m + A /3 = 0 定点3,若直线1与人相交于点P (异于点A,B),则\PAB 周长的最大值为15. ______________________________________________________________ 过点(2, —3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ________________________ 16. 定义点POoJo)到直线上似+ By + C = 0(护+ B 2^ 0)的有向距离为d =已知点Pi ，P2到直线2的有向距离分别是心,〃2,给出以下命题: ① 若di — d.2 - ② 若心+ d = =0,则直线P1P2与直线2平行；=0,则直线EE 与直线/平行；③若心+ 〃2 = 0,则直线RE 与直线2垂直；④若didzVO,则直线ED 与直线2相交; 其中正确命题的序号是 ___________________ •三、解答题17. 求符合下列条件的直线方程：(1) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0平行;(2) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0垂直;(3) 过点P(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等.18.己知ZMBC的三个顶点坐标分别为＞1(-4,-2), B(4,2), C(1 , 3).(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)求边4B上的中线所在直线的一般式方程.19.已知直线/ :3x + 2y-2 + 22x + 4y + 22 = 0(1)求证：直线1过定点。
2020年高中数学人教A版必修二 直线与方程 练习15 Word版含答案
学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C ．与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【解析】 选项A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确．【答案】 D2．若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( )【导学号：09960095】A ．45°，1B ．135°，－1C ．90°，不存在D ．180°，不存在【解析】 由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.【答案】 C3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π 【解析】 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 B4．(2015·陕西府谷高一检测)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l的倾斜角为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【解析】直线l可能有两种情形，如图所示，故直线l的倾斜角为30°或150°.故选C.【答案】 C5．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是() A．0 B．1C.12D．2【解析】如图，k OA＝2，k l′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k∈[0,2]．故直线l的斜率k的最大值为2.【答案】 D二、填空题6．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．【解析】∵A、B、C三点在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴2－(－1)0－(－3)＝4－2m－0，∴m＝2.【答案】 27．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB 所在直线的斜率之和为________．【解析】如图，易知k AB＝3，k AC＝－3，则k AB＋k AC＝0.【答案】 0 三、解答题8．已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线P A 的倾斜角为60°.【导学号：09960096】【解】 (1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)， ∵A (1,2)，∴k P A ＝0－2a －1＝－2a －1. 又∵直线P A 的倾斜角为60°， ∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0,2－3)．9．已知直线l 上的两点A (－2,3)，B (3，－2)． (1)求直线AB 的斜率；(2)若C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系式；当a ＝12时，求b 的值． 【解】 (1)由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. (2)∵点C 在直线l 上， ∴k BC ＝b ＋2a －3＝k AB ＝－1.∵a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝12.[自我挑战]10．斜率为2的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )A ．4,0B ．－4，－3C ．4，－3D ．－4,3【解析】 由题意，得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2，解得a ＝4，b ＝－3. 【答案】 C11．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围.【导学号：09960097】【解】 y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]， ∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)， 设直线NA ，NB 的斜率分别为k NA ，k NB . ∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高中数学人教版必修二第三章《直线与方程》达标训练(含答案解析)
高中数学人教版必修二第三章《直线与方程》达标训练（含答案解析）一、选择题1．(2020·淄博高一检测)下列说法正确的是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示2．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是() A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝03．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则() A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<04．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－35．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )二、填空题6．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为________．7．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．三、解答题8．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m的范围；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．9．已知三角形的三个顶点A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求三角形三边所在直线的方程；(2)求AC边上的垂直平分线的方程．10．(2020·潍坊高一检测)已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图3-2-3所示，则( )图3-2-3A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c11．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或x2＋y6＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.。
人教版高中数学必修二教材用书直线与方程3.2-1直线的点斜式方程word版含答案2
3．2直线的方程3．2.1直线的点斜式方程点斜式、斜截式[提出问题]如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？提示：确定．问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示：确定．[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b 不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________________．(3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________________． [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]若直线l 过点(2,1)，分别求l 满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x 轴；(3)平行于y 轴；(4)过原点．解：(1)直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以由点斜式方程得y －1＝－1×(x －2)， 即方程为x ＋y －3＝0.(2)平行于x 轴的直线的斜率k ＝0，故所求的直线方程为y ＝1. (3)过点(2,1)且平行于y 轴的直线方程为x ＝2. (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k ＝12，故所求的直线方程为y ＝12x .直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为________________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解] (1)y ＝－33x －3 (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2. 解：(1)y ＝3x －3.(2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)， ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.两直线平行与垂直的应用[例3] 当a (1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]1．若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. 答案：382．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a 的值为________． 答案：37.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)·x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值． [解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m .由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1. ∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？ 解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2， 解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线的点斜式方程y －y 1＝k (x －x 1)( ) A ．可以表示任何一条直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与坐标轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3 D ．y －2＝x ＋3答案：A3．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为________． 答案：－24．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________________． 答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程． 解：(1)2x －y －1＝0 (2)x ＋3y ＋8＝0[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案：C2．直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 在同一直角坐标系中的图形可能是( )答案：D3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案：D4．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0 答案：A5．直线y ＝2x ＋3与y －2＝2(x ＋3)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．无法判断 答案：A 二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．答案：y －2＝23(x ＋3)7．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R)必过定点____________． 答案：(3,2)8．已知斜率为2的直线的方程为5ax －5y －a ＋3＝0，此直线在y 轴上的截距为________．答案：15三、解答题9．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．解：直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－?－5?＝－38，过点A (－5,0)，由点斜式得直线AB 的方程为y ＝－38(x ＋5)，即3x ＋8y ＋15＝0；同理，k BC ＝2＋30－3＝－53，k AC ＝2－00＋5＝25，直线BC ，AC 的方程分别为5x ＋3y －6＝0,2x －5y ＋10＝0.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.。
【人教A版】数学必修二：第三章《直线与方程》单元试卷(1)(Word版,含解析)
第三章过关检测(时间90分钟,满分100分)知识点分布表知识点 题号 分值 倾斜角与斜率 7,15 9 平行与垂直 4,5,9,11,12,13,18 22 直线的方程 2,3,4,5,6,8,11,12,15,18 36 交点坐标与距离公式1,10,12,14,16,1733一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.动点P 到点A(3,3)的距离等于它到点B(1,－3)的距离,则动点P 的轨迹方程是( ) A.x ＋3y －2＝0B.x ＋3y ＋2＝0 C.3x ＋y ＋2＝0D.3x ＋y －2＝02.直线Ax ＋By ＋C ＝0与两坐标轴都相交的条件是( ) A.A 2＋B 2≠0 B.C ≠0 C.AB ≠0 D.AB ≠0,C ≠03.直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.1243=-y x B.42131=-yxC.1243=-+y x D.1234=-+y x4.已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称,则直线l 的方程为( ) A.x －y ＋1＝0B.x －y ＝0 C.x ＋y ＋1＝0D.x ＋y ＝05.过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A.2x ＋y －1＝0B.2x ＋y －5＝0C.x ＋2y －5＝0D.x －2y ＋7＝06.已知直线Ax ＋By ＋C ＝0在横轴上的截距大于在纵轴上的截距,则A 、B 、C 应满足的条件是( ) A.A ＞B B.A ＜B C.0>+B C A C D.0<-BCA C 7.已知点P (x ,－4)在点A(0,8)和B(－4,0)的连线上,则x 的值为( ) A.－2B.2C.－8D.－68.直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3,则实数m 的值为( ) A.56B.－6C.56- D.6 9.P 1(x 1,y 1)是直线l :f (x ,y )＝0上一点,P 2(x 2,y 2)是直线l 外一点,则方程f (x ,y )＋f (x 1,y 1)＋f (x 2,y 2)＝0所表示的直线与l 的位置关系是( ) A.重合B.平行C.垂直D.相交10.若点P (4,a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3,则a 的取值范围是( ) A.［0,10］ B.(0,10) C.]133,131[D.(－∞,0］∪［10,＋∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.P (－1,3)在直线l 上的射影为Q (1,－1),则直线l 的方程是_________.12.已知直线l :x －3y ＋2＝0,则平行于l 且与l 的距离为10的直线方程是_________. 13.若三条直线2x －y ＋4＝0,x －y ＋5＝0,2mx －3y ＋12＝0围成直角三角形,则m ＝__________.14.不论M 为何实数,直线l :(m －1)x ＋ (2m －1) y ＝m －5恒过一个定点,则此定点坐标为_______.三、解答题(本大题共4小题,共44分)15.(10分)求倾斜角为直线y ＝－x ＋1的倾斜角的31,且分别满足下列条件的直线方程: (1)经过点(－4,1); (2)在y 轴上的截距为－10.16.(10分)某供电局计划年底解决本地区最后一个村庄的用电问题,经过测量,若按部门内部设计好的坐标图(即以供电局为原点,正东方向为x 轴的正半轴,正北方向为y 轴的正半轴,长度单位千米),得到这个村庄的坐标是(15,20),离它最近的一条线路所在直线的方程为3x －4y －10＝0.问要完成任务,至少需要多长的电线?17.(10分)在△ABC 中,A (m ,2),B (－3,－1),C (5,1).若BC 的中点M 到AB 的距离大于M 到AC 的距离,试求实数M 的取值范围.18.(14分)一条光线经过P (2,3)点,射在直线l :x ＋y ＋1＝0上,反射后穿过点Q (1,1). (1)求入射光线的方程;(2)求这条光线从P 到Q 的长度.参考答案1解析：线段AB 的中点坐标是(2,0),AB 的斜率31333=-+=AB k , 又∵P 点的轨迹为过AB 的中点且与AB 垂直的直线, ∴)2(31--=x y ,即x ＋3y －2＝0. 答案：A2解析：直线与两坐标轴都相交,即直线不平行于坐标轴, 则A≠0,B≠0,即AB ≠0. 答案：C3解析：直线方程的截距式为1=+b y a x .由此可将方程化为1234=-+y x .答案：D4解析：由条件知,l 为PQ 的中垂线. ∵13124-=--=PQ k , ∴k l ＝1.又PQ 的中点为(2,3),∴由点斜式方程知,l 的方程为y －3＝x －2.∴x －y ＋1＝0. 答案：A5解析：设2x ＋y ＋c ＝0,又过点P (－1,3),则－2＋3＋c ＝0,c ＝－1,即2x ＋y －1＝0. 答案：A6解析：由条件,知A·B·C≠0.在方程Ax ＋By ＋C ＝0中,令x ＝0,得B C y -=;令y ＝0,得ACx -=. 由B C A C ->-,得0<-BCA C . 答案：D7解析：由条件知A 、B 、P 三点共线,由k AB ＝k AP 得x8448--=,∴x ＝－6. 答案：D8解析：由条件知直线在x 轴上截距为3,即直线过点(3,0),代入得3(m ＋2)＝2m . ∴m ＝－6. 答案：B9解析：f (x 1,y 1)＝0,f (x 2,y 2)＝常数,f (x ,y )＋f (x 1,y 1)＋f (x 2,y 2)＝0的斜率和f (x ,y )＝0的斜率相等,而与y 轴的交点不同,故两直线平行. 答案：B10解析：由点到直线的距离公式得3)3(4|136|22≤-+--a ,即15|153|≤-a ,∴|a －5|≤5.∴－5≤a －5≤5,即0≤a ≤10. 答案：A11解析：由已知l ⊥PQ ,21113-=--+=PQ k ,∴211=k . ∴l 的方程为)1(211-=+x y .∴x －2y －3＝0. 答案：x －2y －3＝012解析：设所求直线为x －3y ＋C ＝0,由两平行线间的距离,得1031|2|22=+-C ,解得C ＝12或C ＝－8.故所求直线方程为x －3y ＋12＝0或x －3y －8＝0. 答案：x －3y ＋12＝0或x －3y －8＝013解析：设l 1:2x －y ＋4＝0,l 2:x －y ＋5＝0,l 3:2mx －3y ＋12＝0,l 1不垂直l 2,要使围成的三角形为直角三角形,则l 3⊥l 1或l 3⊥l 2. 答案：43-或23- 14解法一:只要取两条直线求其交点即可,令M ＝1,则l 化为y ＝－4;令21=m 得l 方程为2921-=-x ,即x ＝9. 由⎩⎨⎧-==,4,9y x 得定点(9,－4).解法二:l 方程可化为M (x ＋2y －1)－x －y ＋5＝0, 由⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+--=-+.4,9,05,012y x y x y x 得∴定点为(9,－4). 答案：(9,－4)15解:由于直线y ＝－x ＋1的斜率为－1,所以其倾斜角为135°,由题意知所求直线的倾斜角为45°,所求直线的斜率k ＝1.(1)由于直线过点(－4,1),由直线的点斜式方程得y －1＝x ＋4,即x －y ＋5＝0;(2)由于直线在y 轴上的截距为－10,由直线的斜截式方程得y ＝x －10,即x －y －10＝0. 16解:根据题意可知点(15,20)到直线3x －4y －10＝0的距离即为所求. ∴9545169|10204315|==+-⨯-⨯=d (千米). ∴至少需9千米长的电线. 17解:BC 的中点M 的坐标为(1,0), 设M 到AB ,AC 的距离分别为d 1,d 2, 当m ≠－3且m ≠5时,直线AB 的方程:32121++=++m x y ,即3x －(m ＋3)y ＋6－m ＝0. 直线AC 的方程:55121--=--m x y , 即x －(m －5)y ＋m －10＝0.所以由点到直线的距离公式得186|9|21++-=m m m d ,2610|9|22+--=m m m d .由题意得d 1＞d 2, 即2610|9|186|9|22+-->++-m m m m m m ,解得21<m . 当m ＝－3时,d 1＝4,65122=d 满足d 1＞d 2. 当m ＝5时,7341=d ,d 2＝4,不满足d 1＞d 2. 综上所述, 21<m 时满足题意. 18解:如下图.(1)设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点. ∵1-=l k ,∴k QQ ′＝1.∴QQ ′所在直线方程为y －1＝1·(x －1), 即x －y ＝0. 由⎩⎨⎧=-=++,0,01y x y x解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为)21,21(--. 又∵M 为QQ ′的中点,由此得⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+.2',2',212'1,212'1y x ，y x 得解之∴Q ′(－2,－2).设入射光线与l 交点为N ,则P 、N 、Q ′共线. 又P (2,3),Q ′(－2,－2),得入射光线的方程为222232++=++x y , 即5x －4y ＋2＝0.(2)∵l 是QQ ′的垂直平分线,从而|NQ |＝|NQ ′|,∴|PN |＋|NQ |＝|PN |＋|NQ ′|＝|PQ ′|＝41)22()23(22=+++,即这条光线从P 到Q 的长度是41.。
必修二《直线与方程》单元测试题(含详细答案)
第三章 【2 】《直线与方程》单元检测试题时光120分钟,满分150分.一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是相符标题请求的)1．已知点A (1,3),B (－1,33),则直线AB 的竖直角是( ) A ．60°B ．30° C ．120°D ．150° [答案] C2．直线l 过点P (－1,2),竖直角为45°,则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 [答案] D3．假如直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行,则a 的值为( ) A ．－3 B ．－6 C ．32D ．23 [答案] B4．直线x a2－yb2＝1在y 轴上的截距为( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b [答案] B5．已知点A (3,2),B (－2,a ),C (8,12)在统一条直线上,则a 的值是( ) A ．0 B ．－4 C ．－8 D ．4 [答案] C6．假如AB <0,BC <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经由( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] D7．已知点A (1,－2),B (m,2),且线段AB 的垂直等分线的方程是x ＋2y －2＝0,则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 [答案] C8．经由直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点,并且经由原点的直线方程是( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝0 [答案] C9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0,则当k 变化时,所有直线都经由过程定点( ) A ．(0,0) B ．(17,27)C ．(27,17)D ．(17,114)[答案] C10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 [答案] D11．已知直线l 的竖直角为135°,直线l 1经由点A (3,2),B (a ,－1),且l 1与l 垂直,直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行,则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2 [答案] B12．等腰直角三角形ABC 中,∠C ＝90°,若点A ,C 的坐标分离为(0,4),(3,3),则点B 的坐标可能是( )A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2) [答案] A二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中的横线上) 13．直线l 与直线y ＝1,x －y －7＝0分离交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,－1),则直线l 的斜率为_________.[答案] －23[解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y1＋y22＝－1,又y 1＝1,∴y 2＝－3,代入方程x －y －7＝0,得x 2＝4,即B (4,－3),又x1＋x22＝1,∴x 1＝－2,即A (－2,1),∴k AB ＝－3－14－－2＝－23.14．点A (3,－4)与点B (5,8)关于直线l 对称,则直线l 的方程为_________. [答案] x ＋6y －16＝0[解析] 直线l 就是线段AB 的垂直等分线,AB 的中点为(4,2),k AB ＝6,所以k l ＝－16,所以直线l 的方程为y －2＝－16(x －4),即x ＋6y －16＝0.15．若动点A ,B 分离在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为_________.[答案] 3 2[解析] 依题意,知l 1∥l 2,故点M 地点直线平行于l 1和l 2,可设点M 地点直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0,依据平行线间的距离公式,得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6,即l ：x ＋y －6＝0,依据点到直线的距离公式,得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.16．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22,则m 的竖直角可所以①15°②30°③45°④60°⑤75°,个中准确答案的序号是_________.(写出所有准确答案的序号)[答案] ①⑤[解析] 两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2, 由图知直线m 与l 1的夹角为30°,l 1的竖直角为45°,所以直线m 的竖直角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.[点评] 本题考核直线的斜率.直线的竖直角.两条平行线间的距离,考核数形联合的思惟．是高考在直线常识命题中不多见的较为庞杂的标题,但是只要基本扎实.办法灵巧.思惟深入,这一问题照样不难解决的．所以在进修中常识是基本.办法是骨架.思惟是魂魄,只有以思惟办法管辖常识才能在测验中以不变应万变．三.解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字解释,证实进程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2015·河南省郑州市高一上学期期末试题)已知直线l 经由点P (－2,5)且斜率为－34,(1)求直线l 的方程;(2)若直线m 平行于直线l ,且点P 到直线m 的距离为3,求直线m 的方程． [解析] (1)直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)整顿得3x ＋4y －14＝0.(2)设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0,d ＝|3×－2＋4×5＋n|32＋42＝3,解得n ＝1或－29.∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.18．(本小题满分12分)求经由两直线3x －2y ＋1＝0和x ＋3y ＋4＝0的交点,且垂直于直线x ＋3y ＋4＝0的直线方程．[解析] 解法一：设所求直线方程为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0,即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0.由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0,得 －13·(－3＋λ3λ－2)＝－1. 解得λ＝310.故所求直线方程是3x －y ＋2＝0. 解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝0x ＋3y ＋4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1即两已知直线的交点为(－1,－1)． 又3x －y ＋m ＝0过点(－1,－1), 故－3＋1＋m ＝0,m ＝2.故所求直线方程为3x －y ＋2＝0.19．(本小题满分12分)已知A (4,－3),B (2,－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0,求一点P ,使|PA |＝|PB |,且点P 到直线l 的距离等于2.[剖析] 解决此题可有两种思绪,一是代数法,由“|PA |＝|PB |”和“到直线的距离为2”列方程求解;二是几何法,应用点P 在AB 的垂直等分线上及距离为2求解．[解析] 解法1：设点P (x ,y )．因为|PA |＝|PB |, 所以x －42＋y ＋32＝x －22＋y ＋1 2.①又点P 到直线l 的距离等于2, 所以|4x ＋3y －2|5＝2.②由①②联立方程组,解得P (1,－4)或P (277,－87)．解法2：设点P (x ,y )．因为|PA |＝|PB |, 所以点P 在线段AB 的垂直等分线上．由题意知k AB ＝－1,线段AB 的中点为(3,－2),所以线段AB 的垂直等分线的方程是y ＝x －5.所以设点P (x ,x －5)．因为点P 到直线l 的距离等于2,所以|4x ＋3x －5－2|5＝2.解得x ＝1或x ＝277.所以P (1,－4)或P (277,－87)．[点评] 解决解析几何问题的重要办法就是应用点的坐标反应图形的地位,所以只要将标题中的几何前提用坐标表示出来,即可转化为方程的问题．个中解法2是应用了点P 的几何特点产生的成果,所以解题时留意多发明,多思虑．20．(本小题满分12分)△ABC 中,A (0,1),AB 边上的高CD 地点直线的方程为x ＋2y －4＝0,AC 边上的中线BE 地点直线的方程为2x ＋y －3＝0.(1)求直线AB 的方程; (2)求直线BC 的方程; (3)求△BDE 的面积．[解析] (1)由已知得直线AB 的斜率为2, ∴AB 边地点的直线方程为y －1＝2(x －0), 即2x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝02x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝2.即直线AB 与直线BE 的交点为B (12,2)．设C (m ,n ),则由已知前提得⎩⎨⎧m ＋2n －4＝02·m 2＋n ＋12－3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1∴C (2,1)．∴BC 边地点直线的方程为y －12－1＝x －212－2,即2x ＋3y －7＝0.(3)∵E 是线段AC 的中点,∴E (1,1)． ∴|BE |＝12－12＋2－12＝52,由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25y ＝95∴D (25,95),∴D 到BE 的距离为d ＝|2×25＋95－3|22＋12＝255,∴S △BDE ＝12·d ·|BE |＝110.21．(本小题满分12分)直线过点P (43,2)且与x 轴.y 轴的正半轴分离交于A ,B 两点,O为坐标原点,是否消失如许的直线同时知足下列前提：(1)△AOB 的周长为12; (2)△AOB 的面积为6.若消失,求直线的方程;若不消失,请解释来由． [解析] 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0,b >0),若知足前提(1),则a ＋b ＋a2＋b2＝12,① 又∵直线过点P (43,2),∵43a ＋2b ＝1.②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125b ＝92∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1,即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 若知足前提(2),则ab ＝12,③ 由题意得,43a ＋2b＝1,④由③④整顿得a 2－6a ＋8＝0,解得⎩⎨⎧a ＝4b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝6∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1,即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：消失同时知足(1)(2)两个前提的直线方程,为3x ＋4y －12＝0.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的长为2,宽为1,AB ,AD 边分离在x 轴.y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合,如图,将矩形折叠,使A 点落在线段DC 上．(1)若折痕地点直线的斜率为k ,试求折痕地点直线的方程; (2)当－2＋3≤k ≤0时,求折痕长的最大值．[解析] (1)①当k ＝0时,A 点与D 点重合,折痕地点的直线方程为y ＝12.②当k ≠0时,将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1), ∴A 与G 关于折痕地点的直线对称, 有k OG ·k ＝－1⇒1a ·k ＝－1⇒a ＝－k .故G 点坐标为(－k,1),从而折痕地点直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M (－k 2,12)．故折痕地点的直线方程为y －12＝k (x ＋k 2),即y ＝kx ＋k22＋12.由①②得折痕地点的直线方程为y ＝kx ＋k22＋12.(2)当k ＝0时,折痕的长为2.当－2＋3≤k ＜0时,折痕地点直线交直线BC 于点E (2,2k ＋k22＋12),交y 轴于点N (0,k2＋12)．则|NE |2＝22＋[k2＋12－(2k ＋k22＋12)]2＝4＋4k 2≤4＋4(7－43)＝32－16 3.此时,折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)． 而2(6－2)＞2,故折痕长度的最大值为2(6－2)．。
高中数学直线与方程精选题目(附答案)
高中数学直线与方程精选题目（附答案）1．经过A (2,0)，B (5,3)两点的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．90°D ．60°解析：选A ∵A (2,0)，B (5,3)， ∴直线AB 的斜率k ＝3－05－2＝1. 设直线AB 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)， 则tan θ＝1，∴θ＝45°.故选A.2．点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A. 3 B.3m C ．3D ．3m解析：选A 由点到直线的距离公式得点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝ 3.3．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.4．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n ＝－3，－mn＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.5．直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )解析：选B 根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的截距同正负． 6．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( )A ．无最小值且无最大值B ．无最小值但有最大值C ．有最小值但无最大值D ．有最小值且有最大值解析：选D 线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，于是y ＝4⎝⎛⎭⎫1－x 3(0≤x ≤3)，从而xy ＝4x ⎝⎛⎭⎫1－x 3＝－43⎝⎛⎭⎫x －322＋3，显然当x ＝32∈[0,3]时，xy 取最大值为3；当x ＝0或3时，xy 取最小值0.7．已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A 由题意，所给两条直线平行，∴n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴m ＋n ＝0. 8．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．2 3B ．3 3C ．3 2D ．4 2解析：选C 由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，故其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2. 9．直线l 过点(－3,0)，且与直线y ＝2x －3垂直，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝－12(x －3)B ．y ＝－12(x ＋3)C ．y ＝12(x －3)D ．y ＝12(x ＋3)解析：选B 因为直线y ＝2x －3的斜率为2，所以直线l 的斜率为－12.又直线l 过点(－3,0)，故所求直线的方程为y ＝－12(x ＋3)，选 B.10．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.11．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)D ．(0,2)解析：选A 设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0×y －3x －3＝－1，(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.12．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.13．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1， ∴m ＝1. 答案：114．若x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0三条直线交于一点，则k ＝________. 解析：∵直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0三条直线交于一点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴直线x ＋ky ＝0过点(－1，－2)， 解得k ＝－12.答案：－1215．若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2<0，得－2<a <1.答案：(－2,1)16．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∴12|ab |＝3，且－b a ＝16，解得a ＝－6，b ＝1或a ＝6，b ＝－1，∴直线l 的方程为x －6＋y ＝1或x6－y ＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝017．(本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．18．(本小题满分12分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5.解：设点P 的坐标为(a,0)(a >0)，点P 到直线AB 的距离为 D.由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d ＝12(3－1)2＋(3－2)2·d ＝5，解得d ＝2 5. 由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0，所以d ＝|a ＋3|1＋(－2)2＝25，解得a ＝7或a ＝－13(舍去)， 所以点P 的坐标为(7,0)．19．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 恒过一个定点．(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围． 解：(1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)． 由直线方程的点斜式可知直线恒过定点(－2,1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图)．若当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≥0，f (3)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1. 20．(本小题满分12分)已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．解：(1)因为A ，B ，C 三点共线，且x B ≠x C ，则该直线斜率存在，则k BC ＝k AB ，即m 2－m －22＝1m －2，解得m ＝1或1－3或1＋ 3. (2)由已知，得k BC ＝m 2－m －22，且x A －x B ＝m －2.①当m －2＝0，即m ＝2时，直线AB 的斜率不存在，此时k BC ＝0，于是AB ⊥BC ； ②当m －2≠0，即m ≠2时，k AB ＝1m －2， 由k AB ·k BC ＝－1，得1m －2·m 2－m －22＝－1，解得m ＝－3.综上，可得实数m 的值为2或－3.21．(本小题满分12分)直线过点P ⎝⎛⎭⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由条件①可知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.由条件②可得12ab ＝6.又直线过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1， 联立，得⎩⎨⎧a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，12ab ＝6，43a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴所求直线方程为x 4＋y3＝1.22．(本小题满分12分)已知点P (2，－1)． (1)求过点P 且与原点O 的距离为2的直线的方程；(2)求过点P 且与原点O 的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点O 的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x ＝2符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为 y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 根据题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.则直线方程为3x －4y －10＝0.故符合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线． 则其斜率k ＝2，所以其方程为y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0. 最大距离为 5.(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6>5，故不存在这样的直线.。
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1．一条光线从点 A(－1,3)射向 x 轴，经过 x 轴上的点 P 反射后通过点 B(3,1)，求 P 点的坐标．3－0＝－31－ 01解 设 P( x,0) ，则 k PA ＝， k PB ＝＝，依题意，－ 1－ x x ＋ 1 3－ x 3－ x由光的反射定律得k PA ＝－ k PB ，即 3＝ 1，解得 x ＝2，即 P(2,0)．x ＋1 3－ x2．△ ABC 为正三角形，顶点A 在 x 轴上， A 在边 BC 的右侧，∠ BAC 的平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所在直线的斜率．解如右图，由题意知 ∠BAO ＝ ∠ OAC ＝ 30°，∴ 直线 AB 的倾斜角为 180°－ 30°＝ 150°，直线 AC 的倾斜角为 30°，∴ k AB ＝ tan 1503＝°－ 3 ，AC3k ＝ tan 30 ＝° 3 .2f a ， f b ， f c的大小． 3．已知函数 f(x)＝ log ( x ＋ 1)， a>b>c>0，试比较a b c解画出函数的草图如图，f xx 可视为过原点直线的斜率．f c f b f a由图象可知：c>b>a.4． (1) 已知四点 A(5,3)， B(10,6)，C(3，－ 4)， D(－ 6,11)，求证： AB ⊥ CD .(2)已知直线 l 1 的斜率 k 1＝ 3，直线 l 2 经过点 A(3a ，－ 2)， B(0， a 2＋ 1)且 l 1⊥ l 2，求实数4 a 的值．(1)证明 由斜率公式得：k AB ＝ 6－ 3 310－5 ＝ 5，11－ － 45 k CD ＝ － 6－ 3 ＝－ 3，则 k AB ·k CD ＝－ 1， ∴ AB ⊥CD .(2)解∵ l 1⊥ l 2，∴ k 1·k 2＝－ 1，3× a 2＋ 1－ － 2即 ＝－ 1，解得 a ＝1 或 a ＝3.40－ 3a5. 如图所示， 在平面直角坐标系中， 四边形 OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1， t)、 Q(1－ 2t,2＋ t)、R(－ 2t,2)，其中 t>0. 试判断四边形 OPQR 的形状．解由斜率公式得k OP＝t － 0＝ t，1－ 0QR 2－ 2＋ t＝－t＝ t，k OR2－ 0＝－1，k ＝－ 2t－ 1－ 2t－ 1＝t － 2t－ 0k PQ＝2＋ t －t2＝－1.＝1－ 2t－ 1－ 2t t∴k OP＝k QR， k OR＝ k PQ，从而 OP∥ QR， OR∥PQ .∴四边形 OPQR 为平行四边形．又k OP·k OR＝－ 1，∴ OP⊥ OR，故四边形 OPQR 为矩形．6．已知四边形ABCD 的顶点 A(m， n)， B(5，－ 1)， C(4， 2)， D(2,2) ，求 m 和 n 的值，使四边形 ABCD 为直角梯形．解∵四边形 ABCD 是直角梯形，∴有 2 种情形：(1)AB∥CD ， AB⊥ AD，由图可知： A(2，－ 1)．(2)AD∥ BC， AD ⊥ AB，k AD＝ k BCk AD·k AB＝－ 1n－2＝ 3m－ 2－1?n－ 2 n＋1·＝－ 1m－ 2 m－ 516m＝5.∴8n＝－516m＝ 2m＝5.综上或n＝－ 18n＝－57．已知直线 l1与 l 2的方程分别为7x＋ 8y＋ 9＝ 0,7x＋ 8y－3＝ 0.直线 l 平行于 l 1，直线 l 与 l1的距离为 d1，与 l2的距离为 d2，且 d1∶d2＝ 1∶ 2，求直线 l 的方程．解因为直线 l 平行 l1，设直线 l 的方程为 7x＋ 8y＋ C＝ 0，则 d1＝|C－ 9||C－－ 3 |，d2＝. 72＋ 8272＋82又2d1＝ d2，∴2|C－9|＝ |C＋ 3|.解得 C＝ 21 或 C＝ 5.故所求直线l 的方程为7x＋ 8y＋ 21＝ 0 或 7x＋8y＋ 5＝ 08．△ ABC 中， D 是 BC 边上任意一点(D 与 B，C 不重合 ) ，且 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | ·|DC|.求证：△ ABC 为等腰三角形．证明作 AO⊥ BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系 (如右图所示 )．设A(0，a)， B(b,0)， C(c,0)， D (d,0)．因为 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | |DC· |，所以，由距离公式可得b2＋ a2＝ d2＋ a2＋ (d－ b)(c－ d)，即－ (d－ b)(b＋d)＝( d－b)( c－d)．又 d－b≠ 0，故－ b－ d＝ c－ d，即－ b＝ c.所以 |AB|＝ |AC|，即△ ABC 为等腰三角形．9．一束平行光线从原点 O(0,0) 出发，经过直线l：8x＋ 6y＝ 25 反射后通过点 P(－ 4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．解设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为 (a，b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得b4a·－3＝－ 1a＝4，解得，8×a b b＝3 2＋ 6×2＝ 25∴A 的坐标为 (4,3) ．∵ 反射光线的反向延长线过A(4,3) ，又由反射光线过P(－ 4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.y＝ 3x＝78，由方程组，解得8x＋ 6y＝25y＝ 37∴反射光线与直线l 的交点坐标为8，3 .。