高一数学下学期综合试题及 答案
高一数学下学期数学试卷
一、选择题（单项选择，每小题5分，共60分）
1．sin(-11400)的值是（ ）
A B C D
2．已知为单位向量，则下列正确的是（ ）
A B C D
3．设，若共线，则k等于( )
A 3 B 0 C -5 D 3或-5
4．（ ）
A 0 B -1 C D 1
5．函数的最小正周期是（ ）
A B C D
6．有以下结论：
（1）若,且，则
（2）
（3）
（4）函数的图象可由函数的图象按向量平移而得到。
其中错误的结论是（ ）
A （1）（2） B （3）（4） C （1）（3） D （2）（4）
7．三角形ABC中，则的值是（ ）
A 1 B -1 C 0 D
8．已知=（-2，-3）、＝（1，1），点在线段MN的中垂线上，
则x等于（ ）．
A． B． C． D．
9．在三角形ABC中，是B-A<0的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充要条件 D 既不充分也不必要的条件
A B C D
11．在三角形ABC中，已知则向量在向量的投影是（ ）
A 7 B 6 C 5 D 4
12．把函数的图象向右平移a个单位，所得图象关于y轴对称，则a的最
大负值是( )
A B C D
二、填空题（每小题6分，共24分）
13．_____________________ .
15．已知三角形ABC中，
则与的夹角是_________________________ .
16．给出下列8种图象的变换方法：
（1） 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）。
（2） 将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
变）；。
（3） 将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不
变）；。
（4） 将图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不
变）；。
（5） 将图象向左平移个单位。
（6）将图象向右平移个单位。
（7）将图象向左平移个单位。
（8）将图象向右平移个单位。
需要且只要用上述3种变换可由函数的图象得到的图象，那么这3种变换
正确的顺序是 ___________________________（填上一组正确的序号即
可）
三 解答题（共66分）
17．（13分）
18．（13分）已知
的值； （2）求的值。
19．（13分）如图，某观测站C在城A的南偏西方向上，从城A出发有一
条公路，走向是南偏东，在C处测得距离C处31千米的公路上的B处有一
辆正沿着公路向城A驶去，行驶了20千米后到达D处，测得C、D二处间
距离为21千米，这时此车距城A多少千米？
20. （13分）已知，，，，且，求证．
21．（14分）在三角形ABC中，点D分之比为1：2，点E分分之比为2：
1，设，。
（1）
（2）试用表示；
(3) 在边AC上有F点，使得，求证：B,P,F三点共线。
P
E
B
D
C
A
答 案
1． 选择题
DCDAD CBACC AD
7.△ABC为等腰直角三角形，，且，
8．，，中点为．＝（1，1）-（-2，-3）＝（3，4），．∵ ，∴ ，
∴ ． 9.
10． 由可解得。 11．，由余弦定理得
12．=2向右平移个单位得 它关于y轴对称，，当k=1时， 二、填
空题 13． 14. 15. 16. 方案一：（5）（1）（3）或(3) (5) (1)或
（5）（3）（1） 方案二：（1）（7）（3）或（3）（1）（7）或
（1）（3）（7）
三、解答题
17．解： ……3分
又
…… 7分
= …… 13分
18．解：== …… 2分
又 ……4分
……6分
（2）如图
…… 13分
19．解：在中，，，，
由余弦定理得:
所以．……4分
在中，CD＝21，
．……9分
由正弦定理得
（千米）．所以此车距城A有15千米．
20．证明：要证，
只需证， ……3分
只需证． ……5分
∵，，，
∴，，，……9分
∴，
∴成立．
∴． ……13分
21.由题意 ……2分
① ……4分
（2）设
② ……6分
由①、②得，
解得
……9分
（3）由，得 ……11分
，即与共线 ……13分
又与有公共点B，三点共线。……14分
2022-2023学年福建省福州市高一下学期期末质量检测数学试题【含答案】
2022-2023学年福建省福州市高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题1．在ABC 中，3a =，1b =，60A =︒，则B =（）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°【答案】A【分析】由正弦定理求得sin B ，再结合边的关系即可得解．【详解】由正弦定理sin sin a b A B=，所以31sin 12sin 23b A B a ⨯===，又a b >，所以A B >所以30B = ．故选：A.2．已知水平放置的ABC 按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，2A O ''=，那么ABC 的周长为（）A ．6B ．222+C ．2215+D ．2217+【答案】D【分析】根据斜二测画法的规则作出原图ABC ，求出各个边长即可求解.【详解】根据斜二测画法的规则作出原图ABC 如图：由直观图中1B O C O ''''==，2A O ''=，可得ABC 中，1BO CO ==，4AO =，因为AO BC ⊥，则224117AB AC ==+=，又底边2BC =，所以ABC 的周长为2217+.故选：D.3．某校高一年级开展英语百词测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计.将所得成绩分成5组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[]95,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图.则第4组的学生人数为（）A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】A【分析】先根据频率分布直方图中小矩形面积之和等于1，求出m 的值，再由第四个小矩形面积乘以100即可求解.【详解】由图可得:()0.010.020.060.0751m ++++⨯=，解得0.04m =，所以第四组的人数为0.04510020⨯⨯=.故选：A.4．设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（）①//m α，//αβ，则//m β；②m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ；③m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥；④n β⊂，m α⊥，//m n ，则αβ⊥.A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D【分析】根据线面平行和面面平行的性质可判断①②；根据线面垂直和面面垂直的性质可判断③④，由此可得选项.【详解】解：①若//m α，//αβ，则//m β或m β⊂，故①错误；②若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n 或m 与n 异面，故②错误；③若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或//m β，又n β⊥，则m n ⊥，故③正确；④若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，m α⊥，可得αβ⊥，故④正确.故选：D.5．设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（）A ．89B ．223C ．63D ．23【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，求得圆锥的侧面积和底面积，即可得出母线长和半径的关系，然后利用勾股定理即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由题意得23rl r ππ=，解得3l r =，又222l r h =+，则22h r =，223h l =．故选：B.6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，3CO CE →→=，BE 的延长线与CD 交于点F .若→→=AB a ，AD b →→=，则EF →=（）A ．6176a b→→-B ．11306a b→→-+C ．11306a b→→+D ．61+76a b→→【答案】B【分析】根据向量的线性运算律进行运算.【详解】解：如图所示：由3CO CE →→=得15CE EA =，由//DC AB 得EFC ∽EBA △，∴15CF CE AB EA ==，又∵DC AB =，∴15CF DC =，111111116565306306EF EC CF AC CD DC DA DC DC DA a b →→→→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=--=--=-+ ⎪⎝⎭，故选：B.7．已知直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，体积为23，M 为1A B 中点，则点M 到平面11A B C的距离为（）A ．217B ．455C ．77D ．233【答案】A【分析】根据三棱柱的体积求出棱长，设M 到平面11A B C 的距离为d ，利用1111M A B C C A B M V V --=以及棱锥的体积公式即可求解.【详解】直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，设棱长为a ，因为体积为23，所以213234ABC V S AA a a =⋅=⋅= ，解得：2a =，设点M 到平面11A B C 的距离为d ，因为112A B =，1122CB CA ==，所以11A B C 中，11A B 边上的高为()222217-=，则1112772CA B S =⨯⨯= ，取AB 的中点H ，连接CH ，则CH AB ⊥，因为1AA ⊥面ABC ，CH ⊂面ABC ，所以1AA ⊥CH ，因为1AA AB A = ，所以CH ⊥面11ABB A ，在ABC 中，3CH =，由1111M A B C C A B M V V --=，即11111133B M CA B A d S CH S ⋅⋅=⋅⋅ ，即1117321332d ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯，解得：217d =，故点M 到平面11A B C 的距离为217，故选：A.8．下列四个命题正确的个数为（）①抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为16；②现有7名同学的体重（公斤）数据如下：50，55，45，60，68，65，70，则这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为65；③新高考改革实行“312++”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为12.A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【分析】对于①，利用列举法分析判断，对于②，利用百分位数的定义求解即可，对于③，利用列举法分析判断【详解】①：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为6636⨯=种，向上点数之和不小于10的基本事件有()4,6，()5,5，()5,6，()6,4，()6,5，()6,6共6种，所以所求事件的概率61366P ==，故①正确，②：因为775% 5.25⨯=，所以这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为68，故②错误，③：从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为246C =，选出的两科中含有政治学科的基本事件有（政治，地理），（政治，生物），（政治，化学）共3种，所以所求事件的概率3162P ==，故③正确，故选：B.二、多选题9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是11,A D BD 的中点，则（）A ．四点A ，M ，N ，C 共面B ．MN ∥CDC ．1AD ∥平面1BCD D ．若1MN =，则正方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为12π【答案】BD【分析】连接1AD 和1BC ，由此可知点A ，M ，N 在平面11ABC D 中，而点C 不在平面11ABC D 中，即可判断选项A ；由已知得MN 为△1ABD 的中位线，利用中位线的性质即可判断选项B ；由已知得点B ,C ,1D 都在平面11A BCD ,1A D 与平面11A BCD 相交，即可判断选项C ；由1MN =即可求得正方体的棱长为2，则可以求出正方体1111ABCD A B C D -外接球的半径，即可判断选项D .【详解】对于选项A ，连接1AD 和1BC ，由此可知点A ，M ，N 在平面11ABC D 中，点C ∉平面11ABC D ，则四点A ，M ，N ，C 不共面，即选项A 不正确；对于选项B ，由正方体的性质结合条件可知M ，N 分别是11,AD BD 的中点，所以MN ∥AB ,又因为CD ∥AB ,所以MN ∥CD ，即选项B 正确；对于选项C ，点B ,C ,1D 都在平面11A BCD ,所以1A D 与平面1BCD 相交，即选项C 不正确；对于选项D ，因为MN 为△1ABD 的中位线，且1MN =，所以正方体的棱长为2，设正方体1111ABCD A B C D -外接球的半径为R ,则2221112=23R D A AA AB ++=,即3R =，则外接球的表面积为24π12πS R ==,即选项D 正确；故选：BD .10．已知复数13z i =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z=，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为32i 【答案】ABC【分析】对选项,A 求出13=22w i -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 的虚部为32,判断得解.【详解】对选项,A 由题得13,z i =--213(13)22313=42213(13)(13)i i i w i ii i -----+∴===-+-+-+--.所以复数w 对应的点为13(,)22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为13144w =+=，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为32,所以选项D 错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）A ．甲与乙互斥B ．乙与丙互斥C ．甲与乙独立D ．甲与乙对立【答案】BC【分析】结合互斥事件、对立事件和相互独立事件的知识确定正确选项.【详解】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A 错误.事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B 正确.事件甲和事件乙是否发生没有关系，用A 表示事件甲，用B 表示事件乙，()()()111,,224P A P B P AB ===，则()()()P AB P A P B =，所以甲与乙独立，C 正确.由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.故选：BC12．设△ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，若2cos sin cos sin ac A B b B C =，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】AC【分析】利用正弦定理与二倍角的正弦公式可得A B =或2A B π+=，从而可得正确的选项.【详解】由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===知：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，由2cos sin cos sin ac A B b B C =知：2224sin sin cos sin 4sin cos sin R A C A B R B B C=所以sin cos sin cos A A B B =，所以sin 2sin 2A B =，而(),,0,A B A B π+∈，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=所以△ABC 是等腰三角形，或直角三角形，故选：AC.三、填空题13．已知一组数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3（其中a R ∈），则中位数为．【答案】3.5【分析】首先根据平均数求出参数a ，即可一一列出数据，再求出数据的中位数即可；【详解】解：因为数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3，所以32451936a a -+++-++=⨯，解得2a =，所以则组数据分别是3,4,4,3,1,9-，按从小到大排列分别为3,1,3,4,4,9-，故中位数为343.52+=故答案为：3.514．已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =.【答案】22【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．甲参加猜成语比赛，假定甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为.【答案】2764【分析】直接利用二项分布的概率公式即可求解【详解】由题意，甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，所以在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为223332714464C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2764.16．已知正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧面积为45，若该四棱锥的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为.【答案】92π【分析】由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长，求出正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求.【详解】设正四棱锥的侧棱长为b ，又侧面积为45，∴21421452b ⨯⨯⨯-=，解得6b =，∴正四棱锥P ABCD -的高622h =-=，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在正四棱锥P ABCD -的高所在直线上，如图，设球O 的半径为R ，则()()22222R R -+=，解得32R =，则球O 的体积为334439R 3322V πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：92π.四、解答题17．已知函数()2332sin cos 3sin cos 222f x x x x x =+--．(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)若θ为锐角，π102245f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos θ的值．【答案】(1)511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)255【分析】（1）利用三角变换公式可得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用整体法可求单调减区间.（2）利用两角差的余弦可求cos θ的值.【详解】（1）()223sin 23sin 2cos sin 23cos 22sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=+-⨯=-=- ⎪⎝⎭，令3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，则511,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故函数()f x 的单调递减区间为511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由π102245f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得10sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因θ为锐角，故444πππθ-<-<，而sin 04πθ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故044ππθ<-<，所以310cos 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而2241025cos cos cos sin 442442105ππππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.18．已知平面向量a →，b →满足()1,3a →=，102b →=.（1）若//b a →→，求b →的坐标；（2）若25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求32a b →→-的值；（3）若a →在b →上的投影向量为2b →-，求a →与b →的夹角.【答案】（1）13,22b →⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）310；（3）34π.【分析】（1）由题意设()1,3b λ→=，解方程2210132λ+=即得解；（2）根据25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求出56a b →→⋅=，利用22329124a b a a b b →→→→→→-=-⋅+求解；（3）设a →与b →的夹角为θ，[0,]θπ∈，解方程cos 2ba b b θ→→→→⋅⋅=-得解.【详解】解：（1）由题意设()1,3b λ→=，2210132b λ→=+=，解得12λ=±，即13,22b →⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，（2）∵25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴250a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222950a a b b →→→→-⋅-=，即()22102139504a b →→⨯+-⋅-⨯=，故56a b →→⋅=，所以22329124*********a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=-+=，（3）设a →与b →的夹角为θ，[0,]θπ∈，则cos 2b a b b θ→→→→⋅⋅=-，即10cos 2102b b θ→→⋅⋅=-，即2cos 2θ=-，因为[0,]θπ∈，所以34πθ=.所以a →与b →的夹角为34π.19．某大学为调研学生在A 、B 两家餐厅用餐的满意度，从在A 、B 两家都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分为6组：[010)，、[10)20，、[20)30，、[30)40，、[40)50，、[5060]，，得到A 餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：（1）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（2）从对B 餐厅评分在[020)，范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[010)，范围内的概率.（3）如果从A 、B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.【答案】（1）20人；（2）35；（3）选择B 餐厅用餐，理由见解析.【分析】（1）由A 餐厅分数的频率分布直方图得频率，从而得人数；（2）对B 餐厅评分在[010)，范围内的有2人，记为m 、n ，对B 餐厅评分在[10)20，范围内的有3人，记为a 、b 、c ，用列举法写出任选2人可能，计数后可计算出所求概率；（3）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论．【详解】（1）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30分的频率为：(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，∴对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=人，（2）对B 餐厅评分在[010)，范围内的有2人，设为m 、n ，对B 餐厅评分在[10)20，范围内的有3人，设为a 、b 、c ，从这5人中随机选出2人的选法为：mn 、ma 、mb 、mc 、na 、nb 、nc 、ab 、ac 、bc ，共10种，其中恰有1人评分在[010)，范围内的选法包括：ma 、mb 、mc 、na 、nb 、nc ，共6种，故2人中恰有1人评分在[010)，范围内的概率为63105P ==，（3）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20，∴A 餐厅评分低于30分的人数所占的比例为20%，B 餐厅评分低于30分的人数为23510++=，∴B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%，∴会选择B 餐厅用餐.20．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,2,45b c B ==∠= .（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB Ð=，求sin DAC ∠的值.【答案】（1）3BC =；（2）2525.【解析】（1）在ABC 中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABC 中，由正弦定理可以求出5sin 5C =，再利用ADC ∠与ADB ∠互补可以求出4cos 5ADC ∠=-，得出ADC ∠是钝角，从而可得C ∠为锐角，即可求出cos C 和sin ADC ∠的值，利用sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开代入数值即可求解.【详解】在ABC 中，因为5b =，2c =，45B ∠= ，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2252222a a =+-⨯⨯⨯所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍）所以3BC =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =，得52sin 45sin C= .所以5sin 5C =在ADC △中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-= ，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠= ，所以C ∠为锐角故225cos 1sin 5C C =-=因为4cos 5ADC ∠=-，所以22431cos 155sin ADC ADC ⎛⎫∠=-∠=--= ⎪⎝⎭，()sin sin 180sin ()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠ ，sin cos cos sin ADC C ADC C=∠∠+∠∠3254525555525=⨯-⨯=【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出4cos 5ADC ∠=-，可得ADC ∠为钝角，从而C ∠为锐角，可确定cos C 的值.21．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）求三棱锥1C C DE -的体积；（2）求异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值.【答案】（1）43；（2）25.【解析】（1）因为11C C DE C CDE V V --=，由正四棱柱1111ABCD A B C D -，可知1CC 为点1C 到平面CDE 的高，结合已知，即可求得答案；（2）取AD 的中点Q ，连接NQ ，BQ ，证明//NQ MB 且NQ MB =，可得1C DE ∠为异面直线MN 与1C D 所成角(或其补角)，求解三角形可得115,17,25DE C E C D ===再由余弦定理可得异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值.【详解】（1） 1113C C DE C CDE CDE V V S h --∆==，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中∴1CC ⊥平面ABCD ，即1CC 为点1C 到平面CDE 的高111111421432323C C DE V CD CE CC -∴=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=（2）取AD 的中点Q ，连接NQ ，BQN 为1A D 的中点∴1//NQ AA 且112NQ AA =， M 为1BB 的中点，∴1//MB AA ，且112MB AA =∴//NQ MB 且NQ MB=∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ 且MN BQ=同理可证//DE BQ 且DE BQ=∴//MN DE 且MN DE=∴1C DE ∠为异面直线MN 与1C D 所成角(或其补角).在正方形ABCD 中，2AB =，E 为BC 中点∴115,17,25DE C E C D ===∴22211112cos 25DE DC C C D E E DC DE +-∠==⋅⋅.∴异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值为25.【点睛】关键点睛：本题考查了求异面直线夹角问题，解题关键是将求两条异面直线夹角问题转化为求共面直线夹角，结合余弦定理进行求解.22．如图，平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，3AB AD BC ===，23BD =，以BD 为折痕将ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且6PC =.（1）若E 为棱PD 中点，求异面直线CE 与PB 所成角的余弦值；（2）证明：平面BCD ⊥平面PBC ；（3）求二面角P BD C --的平面角的正弦值.【答案】（1）13；（2）证明见解析；（3）306.【分析】（1）取DB 的中点M ，连接ME ，MC ，CE ，证明出MEC ∠即为异面直线CE 与PB 所成的角，分别求出NE 、EC 、CM ，在MEC 中，由余弦定理求出异面直线CE 与PB 所成角的余弦值；（2）直接利用面面垂直的判定定理证明平面BCD ⊥平面PBC ；（3）解：在平面PBC 内，过点P 作PF BC ⊥于F ，连接MF ，证明出PMF ∠即为二面角P BD C --的平面角，求出PF ，PM ，在Rt PFM △中，可以求出二面角P BD C --的平面角的正弦值.【详解】（1）解：取DB 的中点M ，连接ME ，MC ，CE ，因为E 为PD 的中点，则//ME PB ，则MEC ∠即为异面直线CE 与PB 所成的角，在PCD 中，6PC =，3CD =，3PD =，则222PD PC CD =+，所以PCD 为直角三角形，则1322CE PD ==，在MEC 中，1322ME PB ==，132MC BD ==，32CE =，由余弦定理可得，222993144cos 3323222ME CE MC MEC ME CE +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，故异面直线CE 与PB 所成角的余弦值为13；（2）证明：由（1）可知，CD PC ⊥，又CD BC ⊥，PC BC C ⋂=，PC ，BC ⊂平面PBC ，所以CD ⊥平面PBC ，又CD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面PBC ；（3）解：在平面PBC 内，过点P 作PF BC ⊥于F ，连接MF ，由（2）可知，平面BCD ⊥平面PBC ，又平面BCD 平面PBC BC =，所以PF ⊥平面BCD ，因为PM BD ⊥，由三垂线定理可得，MF BD ⊥，则PMF ∠即为二面角P BD C --的平面角，在PBC 中，由余弦定理可得2229962cos 22333PB BC PC B PB BC +-+-===⋅⋅⨯⨯，在Rt PBF 中，2cos 33BF BF B PB ===，所以2,945BF PF ==-=，在等腰PBD △中，22936PM PB BM =-=-=，在Rt PFM △中，530sin 66PF PMF PM ∠===，故二面角P BD C --的平面角的正弦值为306.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（或求距离），常用的方法有：(1)直接法；(2)等体积法；(3)补形法；(4)向量法.。
黑龙江省高一下学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，那么集合（ ）{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<A B = A ．B ． {}32x x -<<{}52x x -<<C ．D ． {}33x x -<<{}53x x -<<【答案】A【分析】由集合交集的定义直接运算即可得解.【详解】因为集合，，{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<所以.{}|32B x x A -<=< 故选：A.2．设命题：，，则为（ ）p x ∀∈N x ∈Z p ⌝A ．，B ．， x ∀∈N x ∉Z x ∃∈N x ∉ZC ．，D ．， x ∀∉N x ∈Z x ∃∈N x ∈Z 【答案】B【分析】含有一个量词的命题的否定，既要否定结论，也要改变量词.【详解】命题：，，则为：，，故A ，C ，D 错误.p x ∀∈N x ∈Z p ⌝x ∃∈N x ∉Z 故选：B.3．设，，且，则的最小值为（ ）0x >0y >9xy =x y +A ．18B ．9C ．6D ．3 【答案】C【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】∵0,0x y >>∴，（当且仅当，取“=”）6x y +≥=3x y ==故选：C.4．若为第一象限角，则是（ ） α2αA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 【答案】D【解析】写出第一象限角，得到的范围，再讨论k 的取值即可.α2α【详解】因为为第一象限角， α所以， 22,2k k k Z ππαπ<<+∈所以，,24k k k Z απππ<<+∈当时，，属于第一象限角，排除B ； 0k =024απ<<当时，，属于第三象限角,排除AC ； 1k =524αππ<<所以是第一或第三象限角2α故选：D5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 ()26log f x x x =-()f x A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,4()4,+∞【答案】C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. (2)310f =->3(4)202f =-<【解析】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.6．sin 20cos 40cos 20sin140︒︒︒︒+=A ． BC ．D ．12-12【答案】B【详解】 sin 20cos 40cos 20sin140sin 20cos 40cos 20sin 40sin(2040)sin 60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B7．已知函数是定义在上的减函数，则当时，实数的取值范围为()f x [)0,+∞1(21)()3f a f ->a （ ） A ． B ． C ． D ． 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】根据函数为定义域上的减函数及定义域建立不等式组即可求解.【详解】因为函数是定义在上的减函数，且， ()f x [)0,+∞1(21)(3f a f ->所以， 1213021a a ⎧-<⎪⎨⎪≤-⎩解得， 1223a ≤<故选：C8．已知是偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是()f x ()0,∞+()()()0.5,1,0f f f --（ ）A ．B ． ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<C ．D ．()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-【答案】C【分析】利用偶函数的性质化简要比较的三个数，再根据函数在上的单调性判断出三者的()0,∞+大小关系，从而确定正确选项.【详解】∵函数为偶函数，∴，又∵在区间上是增()f x ()()()0.50.5(11),f f f f -=-=()f x ()0,∞+函数，∴，即.()()()00.51f f f <<()()()00.51f f f <-<-故选C.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.二、多选题9．函数的图象过（ ）()log (2)(01)a f x x a =+<<A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BCD【分析】画出函数大致图象即可判断.【详解】的图象相当于是把的图象向左平移2个单()log (2)(01)a f x x a =+<<()log 01a y x a =<<位，作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二､三､四象限. ()()log 2a f x x =+()01a <<()f x 故选：BCD.10．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数的是（ ）(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 3y x =||1y x =+21y x =-+1y x=-【答案】AD【分析】逐个分析各项可得结果.【详解】对于A 项，设，定义域为R ，则，所以是奇函数， 3()y f x x ==3()()f x x f x -=-=-3y x =由，在上单调递增可得在上单调递增，故选项A 正确；0α>y x α=(0,)+∞3y x =(0,)+∞对于B 项，设，定义域为R ，则，所以是偶()||1y f x x ==+()||1||1()f x x x f x -=-+=+=||1y x =+函数，故选项B 错误；对于C 项，设，定义域为R ，，所以是偶函数，2()1y f x x ==-+2()1()f x x f x -=-+=21y x =-+故选项C 错误； 对于D 项，，定义域为，，所以 1()y f x x ==-(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x f x x-==-是奇函数，由，在上单调递减可得在上单调递减， 1y x=-0α<y x α=(0,)+∞1y x -=(0,)+∞所以在上单调递增.故选项D 正确. 1y x=-(0,)+∞故选：AD.11．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ） 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èøy t =t A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】ABC 【分析】画出在的图像，即可根据图像得出. 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø【详解】画出在的图像如下： 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø则可得当或时，与的交点个数为0；0t <2t ≥1y cosx =+y t =当或时，与的交点个数为1； 0=t 322t ≤<1y cosx =+y t =当时，与的交点个数为2. 302t <<1y cosx =+y t =故选：ABC.12．设函数，则下列结论正确的是（ ）()cos2f x x x -A ．的一个周期为()f x π-B ．的图像关于直线对称 ()y f x =π6x =-C ．的图像关于点对称 ()y f x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．在有3个零点()y f x =[0,2π]【答案】ABC【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可()f x【详解】， π()cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对A ，最小周期为，故也为周期，故A 正确； 2ππ2T ==π-对B ，当时，为的对称轴，故B 正确； π6x =-ππ262x -=-sin y x =对C ，当时，，又为的对称点，故C 正确； π12x =26π0x -=()0,02sin y x =对D ，则， ()0f x =()ππ2sin 202π,Z 66x x k k ⎛⎫-=⇒-=∈ ⎪⎝⎭解得，故在内有共四个零点，故D 错误 ()ππ,Z 212k x k =+∈()f x [0,2π]π7π13π19π,,,12121212x =故选：ABC.三、双空题13．函数的振幅是________，初相是________． 1π3sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】 3 π6【分析】根据振幅和初相的定义可得答案.【详解】振幅，3A =令则初相. 0x =π6ϕ=故答案为:3, π6四、填空题14．函数（，且）的图象必经过点的坐标________．1x y a =+0a >1a ≠【答案】()0,2【分析】利用指数函数的性质即可求解.【详解】令，得，0x =012y a =+=所以函数（，且）的图象必经过点.1x y a =+0a >1a ≠()0,2故答案为：.()0,215．等于________．2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【答案】44.5【分析】设，由平方关系得到2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒求解.2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【详解】解：设，2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒因为，22222222sin 1cos 89,sin 2cos 88,sin 3cos 87,...,sin 89cos 1︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒所以，2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒两式相加得：，2189S =⨯所以，44.5S =故答案为：44.516．已知，且，则________． ()1sin 535α︒-=27090α-︒<<-︒()sin 37α︒+=【答案】##【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-cos β值，利用的范围确定的符号.αcos β【详解】设,,那么,从而.53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-于是.因为,()sin sin 90cos γββ︒=-=27090α︒︒-<<-所以.由,得. 143323β︒︒<<1sin 05β=>143180β︒︒<<所以cos β===所以. ()sin 37sin αγ︒+==故答案为：五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且角α的终边与单位圆交点为P ，，且β是第一象限角，求：和的cos 0.6β=sin()αβ-tan()αβ+值.【答案】 ，sin()αβ-=2tan()11αβ+=-【分析】先利用题给条件求得，，，再利sin αα==tan 2α=-4sin 5β=4tan 3β=用两角差的正弦公式和两角和的正切公式即可求得和的值.sin()αβ-tan()αβ+【详解】角α的终边与单位圆交点为P ，则 sin αα==tan 2α=-由，且β是第一象限角，可得， cos 0.6β=4sin 5β=4tan 3β=则 4sin()sin cos cos sin 0.65αβαβαβ-=-== ()42tan tan 23tan()41tan tan 11123αβαβαβ-+++===----⨯18．已知．求值：tan 2α=(1)； sin cos sin cos αααα+-(2)．2cos 2sin cos 1ααα--【答案】(1)3；(2) 85-【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.【详解】（1）∵，tan 2α=∴； sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---（2）. 22222cos 2sin cos 12tan cos 2sin cos 1111co 1s sin ta 4n 1558αααααααααα-----=-=-=-=-++19．已知，． 0πx <<1sin cos 5x x +=(1)求的值；sin cos x x -(2)若，试比较与的大小． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-tan x tan θ【答案】(1) 7sin cos 5x x -=(2)tan tan x θ> 【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出的值，再利用完全平方公式即可求出的值； 242sin cos 25x x =-sin cos x x -（2）根据第一问求出的值，再利用已知等式求出的值，进行比较即可.tan x tan θ【详解】（1）对于，两边平方得， 1sin cos 5x x +=221sin cos 2sin cos 25x x x x ++=所以，∵，∴，，所以， 242sin cos 25x x =-0πx <<sin 0x >cos 0x <sin cos 0x x ->∴，∴； 249(sin cos )12sin cos 25x x x x --==7sin cos 5x x -=（2）联立，解得，所以， 1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 53cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4tan 3x =-因为，且，所以分子分母同除以有：，解得． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-cos 0θ≠cos θtan 11tan 13θθ+=-tan 2θ=-∴.tan tan x θ>20．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．【答案】(1)(－1，1)；(2)奇函数，证明见解析；(3)(0，1)．【分析】（1）结合真数大于零得到关于的不等式组即可求得函数的定义域； x （2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．x 【详解】（1）要使函数有意义，则， 1010x x +>⎧⎨->⎩解得，即函数的定义域为；11x -<<()f x (1,1)-（2）函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=- 是奇函数．()f x ∴（3）若时，由得，1a >()0f x >log (1)log (1)a a x x +>-则，求解关于实数的不等式可得， 1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩x 01x <<故不等式的解集为．(0,1)21．已知函数．2()sin cos cos 2f x x x x x =+(1)求的单调递减区间；()f x (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围． ()()g x f x a =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 【答案】(1)； 2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2) 31,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可；（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性，即可求出实数()a f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围．a【详解】（1）21cos211()sin cos cos22cos22cos2222xf x x x x x x x x x-=+=++=++，1sin262xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，解得，则的单调递减区间为3222,262k x k kπππππ+≤+≤+∈Z2,63k x k kππππ+≤≤+∈Z()f x；2,,63k k kππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，当()()g x f x a=-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，0,6xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单增，当时，，2,662xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭,62xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,626xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦单减，()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭又，，，要使在上有()10sin162fπ=+=13sin6222fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭71sin0262fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦两个解，则.31,2a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22．已知函数.1()1xf xx-=+（1）证明函数在上为减函数；()f x(1,)-+∞（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；ln(tan)y f x=（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.(,42ππ(tan)tan0f x a x+≤【答案】（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.,,44k k k Zππππ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭(,3-∞-【解析】（1）利用单调性定义证明即可.（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据tan1tan1xx<⎧⎨>-⎩奇偶性定义可判断函数的奇偶性.（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的tant x=11tatt-+<+()1,+∞a取值范围.【详解】（1），，，11x∀>-21x∀>-12x x<又，()()()122212121211()()11112x xx xf x f xx x x x----=-+-=+++因为，，，故，，，11x >-21x >-12x x <110x +>210x +>120x x -<故即，所以函数在上为减函数.12())0(f x f x ->12()()f x f x >()f x (1,)-+∞（2）的满足的不等关系有：即， ((ln t )n )a y f x =x 1tan 01tan x x->+()()1tan tan 10x x +-<故，解得， tan 1tan 1x x <⎧⎨>-⎩,44k x k k Z ππππ-+<<+∈故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称. ,44k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭Z k ∈令()((ln ta )n )F x f x =又 ()()()tan tan tan()tan tan 11ln ln ln 11x x x x xF x f -+--===--+，()()()tan ln x f F x =-=-故为奇函数. ln (tan )y f x =（3）令，因为，故. tan t x =(,)42x ππ∈1u >故在上不等式能成立即为 (,)42ππ(tan )tan 0f x a x +≤存在，使得，所以在上能成立， 1t >101t at t-+≤+()11t a t t -≤+()1,+∞令，则且， 1s t =-0s >()21121323t s t t s s s s-==+++++由基本不等式有2s s+≥s 所以时等号成立， ()131t t t -≤=-+1t 故的最大值为a 的取值范围为. ()11t y t t -=+3-(,3-∞-【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.。
河北邯郸2024年高一下学期期末质检数学试题+答案
邯郸市2023—2024学年第二学期期末质量检测高一数学班级__________姓名__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.有三组数据（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9.设它们的方差依次为222123,,s s s ，则（ ） A.222123s s s >> B.222132s s s >> C.222132s s s << D.222123s s s <<2.在复平面内，非零复数z 满足i z z =（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在（ ） A.一､三象限 B.二､四象限C.实轴上（除原点外）D.坐标轴上（除原点外）3.已知向量(),1ab =，且()23a b b +⋅= ，则向量a与向量b 的夹角为（ ）A.π6 B.π4C.π3D.π24.已知ABC 的顶点坐标分别是())(,,0,A BC −，则sin C =（ ）D.5.设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为假命题的是（ ） A.若α∥,,m l βαβ⊥⊥，则m ∥lB.若,,m l m l αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥C.若α∥,,m m βα⊂∥l ，则l ∥βD.若m ∥,,l m l α⊥∥β，则αβ⊥6.在ABC 中，60,2A AB AC ∠==，平面内一点O 满足OA OB OC == ，则向量OC 在向量AB 上的投影向量为（ ）A.14AB AB C.14AB − D.AB7.在三棱锥S ABC −中，SA ⊥平面,4,6ABC ABAC BC ===，若该三棱锥的体积为球的表面积为（ ） A.256π7 B.368π7C.48πD.32π 8.甲､乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次，乙抛掷3次，事件M =“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件N =“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件S =“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是（ ）A.M N ⊆B.()()()P M N P M P N ∪=+C.()()P S P N <D.()()P S P M =二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.已知非零向量,,a b c，下列说法错误的是（ ） A.若a a b b ⋅=⋅，则a b =±B.若a b a b +=+，则a b a b ⋅=C.若()2,1,1a b==，且a∥b ，则a =D.若()3,4a =，则与a垂直的单位向量的坐标为43,55 −10.已知复数,z w 均不为0，则下列式子正确的是（ ） A.20z B.zw w z=C.2z z z +=D.11.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6,A B C D =为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（ ） A.ABC 为钝角三角形B.ABC 的最大内角是最小内角的2倍C.若D 为AC 中点，则:BD AC =D.若ABD CBD ∠∠=，则::5BD AC =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某校高一年级有1250人，全年级学生的近视率为60%，男生中有390人近视.学校医务室计划通过抽样的方法估计高一年级所有近视学生的平均度数.现从近视的学生中通过按比例分配的分层随机抽样的方法得到容量为100的样本，样本中男生的平均度数为300度，女生的平均度数为350度，则估计高一年级近视学生的平均度数为__________度.13.在如图所示的圆锥中，AB 为底面圆O 的直径，C 为 AB 的中点，24AB OP ==，则异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为__________.14.已知,OA OB 是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量OP，有且只有一对实数,x y 使OP xOA yOB =+ ，且当,,P A B 共线时，有1x y +=.同样，在空间中若三个向量,,OA OB OC不共面，那么对任意一个空间向量OP，存在唯一的在度实数组(),,x y z ，使得OP xOA yOB zOC =++ ，目当,,,P A B C 共面时，有1x y z ++=.如图，在四棱锥P ABCD −中，BC ∥,2AD AD BC =，点E 是棱PD 的中点､PC 与平面ABE 交于F 点，设PF xPA yPB zPE =++，则PFPC=__________；2y z x +−=__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）为响应“强化学校体育工作，推动学生文化学习和体育锻炼协调发展”的号召，现从某学校随机抽取了100名学生，获得了他们一周体育运动的时间（单位：h ），将数据绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的a ，并估计该校学生一周体育运动时间的平均数；（2）为鼓励同学们积极参加体育运动，学校计划对一周运动时间较长的前30%同学给予奖励，若小华一周体育运动时间为9.4小时，他能否获得奖励？请说明理由. 16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱111A B C ABC −中，2,ABAC D ==为BC 的中点.（1）证明：1A B ∥平面1AC D ；（2）若三棱柱111A B C ABC −的体积为AB BC =，求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值. l 7.（本小题满分15分）如图，在平面四边形ABCD 中，设,,,sin cos BC a AB c AC b a CBA BAC ∠∠====.（1）求sin BAC ∠，（2）若,22AB AC CD AD ===，求ADC ∠为何值时，平面四边形ABCD 的面积最大？ 18.1（本小题满分17分）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K 共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）､方块（红色）､黑桃（黑色）､梅花（黑色））.现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K 即为成功.现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③抽取规则 有放回依次抽取不放回依次抽取按数字等比例分层抽取成功概率1p 2p 3p（1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； （2）若三种抽取方式小明各进行一次， （i ）求这三次抽取中至少有一次成功的概率；（ii ）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p ，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p 最大？如果无关，请给出简要说明. 19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面,ABCD PD DC =，点H 在棱PC 上.（1）证明：平面HAB ⊥平面PAD ； （2）当13CH CP =时，求二面角H DB C −−的正切值； （3）过H 且与,PB CD 都平行的平面α分别交,,BC PD BD 于,,Q M N ，若3PD =，当H 在线段PC 的两个三等分点之间运动时（含三等分点），求四边形MHQN 面积的取值范围.邯郸市2023—2024学年第二学期期未质量检测高一数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案DACACCBDACDBDBCD1.D 解析：由对称性可知三组数据的平均数相等，再结合数据的集中与离散程度可知选D. [命题意图]考查方差的意义.2.A 解析：设i z a b =+，由已知得i z z =，即()i i i i,a b a b b a a b +=−=+∴=，故选A. [命题意图]考查复数的运算及几何意义.3.C 解析：(()2,2,22cos ,||4cos ,13a a a b b a b a b b a b =∴=∴+⋅=+=+=，1cos ,2a b ∴= ，又[]π,0,π,,3a b a b ∈∴=，故选C.[命题意图]考查向量的数量积.4.A 解析：方法一：由())(2,0,,0,A BC −，知4,AB AC BC ==定理知222cos 2AC BC AB ACB AC BC∠+−==⋅，所以sin ACB ∠=A.方法二：如图，由())(,,0,A BC −，知π,sin 4ACOBCO BCO∠∠∠==，()sin sin sin cos cos sin ACB ACO BCO ACO BCO ACO BCO∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=，故选A.[命题意图]考查余弦定理及同角三角函数关系. 5.C 解析：C 中由α∥,m βα⊂可得m ∥β，当m ∥l 且满足l β⊂时，不满足l ∥β，故C 错误.[命题意图]考查空间直线､平面间的位置关系. 6.C 解析：在ABC 中，由余弦定理知222,,BC AC BC AB ABC =∴+= 为直角三角形，又OA OB OC == ，故外心O 是斜边AB 的中点，AOC ∴ 为正三角形，由投影向量的几何意义，向量OC 在向量AB 上的投影向量为14AB −，故选C.[命题意图]考查投影向量的定义.7.B 解析：如图，将三棱锥S ABC −补成三棱柱SDE ABC −，则三棱锥S ABC −和三棱柱SDE ABC −的外接球相同，设12,O O 分别为ABC 和SDE 的外心，则三棱柱SDE ABC −的外接球球心O 为12O O 的中点，连接1AO 并延长交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，连接AO ，因为AB AC =，所以,sin AFAF BC ABC AB ∠⊥=12sin ACAO ABC ∠==，所以1AO =1132S ABCV BC AF SA −=×⋅⋅=可得4SA =，则222111922,7OO AO AO OO ==+=，则外接球的表面积2368π4π7S AO =⋅=，故选B.[命题意图]考查几何体的体积，外接球等综合问题.8.D 解析：用()1,2i x i =表示甲第i 次抛掷的结果，那么甲抛掷两次的结果可以用()12,x x 表示.用1表示正面向上，0表示反面向上，则样本空间()()()(){}()(){}Ω0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,{(0M N ===，()0),1,1}，故A ，B 错误；对于事件S ，方法一：借助表格列举如下，()0,0,0()0,0,1()0,1,0()1,0,0()1,1,0()1,0,1()0,1,1()1,1,1()0,0√√√√√√√()0,1 √ √ √ √()1,0 √ √ √ √()1,1√()74411322P S +++∴==，又()()12P M P N ==，所以C 错误，D 正确，故选D.方法二：设事件T =“甲得到的反面数比乙得到的反面数少”，则()()P S P T =，下证事件S 与事件T 对立.若事件S 与事件T 同时发生，那么甲的正面数和反面数都比乙的少，那么甲抛的次数至少比乙少两次，与题目矛盾；若事件S 与事件T 都不发生，那么甲的正面数和反面数都不比乙的少，那么甲抛的次数不比乙少，与题目矛盾；故事件S 与事件T 对立，()()12P S P T ∴==，故选D. [命题意图]考查事件的互斥与相互独立的定义，考查古典概型概率的计算.9.ACD 解析：若a a b b ⋅=⋅ ，即22||a b = ，则a b = ，故A 错误；由a b a b +=+ 知,a b 同向共线，则a b a b ⋅=，故B 正确；由a∥b ，设(),a b λλλ== ，又222,4,a a λλλ=∴+=∴=∴=或(a ，故C 错误；设与a垂直的单位向量的坐标为(),x y ，则221,340,x y x y +=+=解得4,535x y = =− 或4,53,5x y=− =故D 错误，故选ACD.[命题意图]考查向量数量积与模的运算､向量的共线与垂直的坐标运算.10.BD 解析：设i z =，则22i 10z ==−<，故A 错误；由复数的模的性质zw z ww zz==，故B 正确；设1i z =+，则1i,||2z z z =−+=，而2z =，故C 错误；222||||||||z z z z z z z ===，又2222||||||||||||z z z z z z z z z ====，故D 正确，故选BD. [命题意图]考查复数及模的运算性质.11.BCD 解析：由题知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可知::4:5:6a b c =，不妨设4a m =，则5,6b m c m =，对于A ，由上知c 为最大边，故C 为最大角，由余弦定理知1cos 08C =>，故C 为锐角，所以ABC 为锐角三角形，故A 错误；对于B ，由上知A 为最小角，且3cos 4A =，又1cos 8C =，知3cos 24C =，且,A C 均为锐角，则2C A =，故B 正确；对于C,2BD BA BC =+，平方得()22222222222242cos 2279,2a c b BD c a ac ABC c a ac a c b m BD ac ∠+−=++=++⋅=+−=∴=，又5AC m =，故::10BD AC =，故C 正确；对于D ，由9cos 16B =得sin B =，又29cos 12sin 216B B =−=，所以sin 2B =，由ABCBCD BAD S S S =+ ，即()1146sin 46sin 222Bm m B m m BD ×××=×+××，故BD =，故D 正确，故选BCD. [命题意图]考查三角函数､正余弦定理､解三角形､三角形中线､角平分线的应用.12.324 解析：高一年级女生近视人数为125060%390360×−=，则高一年级近视学生的平均度数为390360300350324750750×+×=. [命题意图]考查分层随机抽样的平均数. 13.12解析：方法一：如图，连接AC ，分别取,PB AC 的中点,D E ，连接,,OD OE DE ，则OD ∥,PA OE ∥BC ，则DOE ∠或其补角为异面直线AP 与BC 所成角，作DF AB ⊥于点F ，连接EF ，由C 为 AB 的中点可得AC BC =，且AC BC ⊥，而4AB =，则3,45AC BC AE AFBAE ∠===== ，由余弦定理可得11,2EF DF OP DE OE OD ===2221cos 22OD OE DE DOE OD OE ∠+−==−⋅，则异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为12.方法二：如图，连接,AC PC ，分别取,AC PC 的中点,D E ，连接,,OD DE OE ，则DE ∥,PA OD ∥BC ，则ODE ∠或其补角为PA 与BC 所成角，1122DE PA OD BC ===，Rt POC 中，12OE PC ==，则ODE 为等边三角形，则60ODE ∠= ，即异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为12.[命题意图]考查异面直线所成的角. 14.23；2 解析：方法一：1,22z PF xPA yPB zPE xPA yPB PD PC AC AP AB BC AP AB AD AP =++=++=−=+−=+− ，()()111222PB PA PD PA AP PA PB PD =−+−−=−++又,,P F C 三点共线，即存在实数λ，使得PF PC λ= ，故11,,222z x y λλλ=−==，又1x y z ++=，所以23λ=，故1222,,,,223333PF x y z y z x PC λ=−==∴==+−=. 方法二：过P 作l ∥AD ，延长AE 交l 于点.G AD ∥,BC AD ∥,l BC ∴∥l ，连接BG ，与PC 的交点即为21,2,,32PF PG PG AD PE AD PF F PC AC AP AB BC AP AB AD AP FC BC AD BC ED BC PC ∴==⋅=⋅=∴==−=+−=+− ()()111,222PB PA PD PA AP PA PB PD =−+−−=−++ 22113322PF PC PA PB PD ∴==−++ 122221,222333333PA PB PE y z x =−++∴+−=+−×−= . 注：确定F 位置的方法不唯一.[命题意图]考查立体几何与向量的综合运用.15.解：（1）（0.010.020.070.170.070.040.01)21,0.11a a +++++++×=∴= 该校学生一周体育运动时间的平均数的估计值为10.0230.0450.1470.3490.22110.14130.08150.028.08×+×+×+×+×+×+×+×=.（2）不能. ()0.220.30.020.080.14168289.459.40.2211−−+++×=+≈>. 故小华不能获得奖励.[命题意图]考查频率分布直方图及平均数､百分位数的计算.16.解：（1）证明：如图，连接1AC 交1AC 于点O ，连接OD ，则OD 为1ABC 的中位线，OD ∴∥1A B ，又OD ⊂平面11,AC D A B ⊄平面11,AC D A B ∴∥平面1AC D .（2）2AB AC BC === ，111114ABC A B C ABC S V AA −∴===∴= ，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，又1BB ⊥平面1,ABC BB AD ∴⊥，又1,BB BC B AD ∩=∴⊥平面11BCC B ， 1AC D ∠∴为直线1AC 与平面11BCC B 所成角，1AC =，又AD =11sin AD AC D AC ∠∴=.[命题意图]考查线面平行的判定和线面角.17.解：（1）由已知及正弦定理知sin sin cos BAC CBA CBA BAC ∠∠∠∠⋅=⋅， 因为sin 0CBA ∠≠，故tan BAC ∠=， 又0πBAC ∠<<，所以π3BAC ∠=，所以sin BAC ∠=. （2）由（1）知π3BAC ∠=，又AB AC =，故ABC 为等边三角形， 设(),0,πADC∠θθ=∈. 11sin sin 22ADC ABC ABCD S S S CD AD AB AC BAC θ∠=+=⋅⋅+⋅⋅ 平面四边形221121sin sin 22AC AC θθ=×××+×=+， 在ADC 中，由余弦定理知2222cos 54cos AC CD AD CD AD θθ=+−⋅⋅=−，所以πsin 2sin 3ABCD S θθθ ==+−平面四边形， 又ππ2π,333θ −∈− ，所以当ππ32θ−=，即5π6θ=时，平面四边形ABCD 的面积最大，2+. [命题意图]考查正余弦定理解三角形､三角形面积公式､三角函数求最值.18.解：（1）设方式①的样本空间为1Ω，方式②的样本空间为2Ω，方式③的样本空间为3Ω， 则()()()123Ω8864,Ω8756,Ω444432n n n =×==×==×+×=， 设事件A =“抽到一张红10和一张红K ”，{A =（红桃10，红桃K ），（红桃10，方块K ），（方块10，红桃K ），（方块10，方块K ），（红桃K ，红桃10），（方块K ，红桃10），（红桃K ，方块10），（方块K ，方块10），故()()()()()()123123818181,,Ω648Ω567Ω324n A n A n A p p p n n n =========. （每个2分） （2）（i ）记三次抽取至少有一次成功为事件B ，则()()()()12376371111187416p B p p p =−−−−=−××=. （ii ）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大.方法一：设三次抽取成功的概率分别为,,a b c （即,,a b c 为123,,p p p 不同顺序的一个排列）， 则()()()112p ab c a bc b a c abc =−+−=+−，又()()()321312213123,p p p p p p p p p p p p >>∴+>+>+， 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大. 方法二：若按①②③的顺序，13711574874112p =×+××=， 同理①③②②①③､②③①､③①②③②①顺序下的概率分别为1391395,,,,224224224224112，（每个顺序的 概率值1分）故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大.[命题意图]考查古典概型，相互独立事件及其概率运算.19.解：①证明：PD ⊥ 平面,ABCD PD AB ∴⊥，在正方形ABCD 中，,,AB AD PD AD D AB ⊥∩=∴⊥平面PAD ， AB ⊂ 平面HAB ，∴平面HAB ⊥平面PAD .（2）如图，在平面PCD 内过点H 作HG CD ⊥于点G ，则HG ∥PD ， 又PD ⊥平面,ABCD HG ∴⊥平面ABCD ，过G 作GE BD ⊥于点E ，连接HE ，HE BD ∴⊥，则GEH ∠为二面角H BD C −−的平面角，连接AC 交BD 于点O ，则有23GEDG PH OC CD CP ===， 设PD a =，易得OC =，则GE =，tan GH GEH GE ∠∴=（3）PB ∥平面MHQN ，平面MHQN ∩平面PBC HQ =， PB ∴∥HQ ，同理PB ∥,MN HQ ∴∥MN ， 又CD ∥平面MHQN ，同理可得MH ∥NQ ，即四边形MHQN 为平行四边形.方法一：sin MHQN S MH MN HMN ∠∴=⋅ ， PB ∥,MN MH ∥,sin sin AB HMN PBA ∠∠∴=， sin MHQN S MH MN PBA ∠∴=⋅，而sin PA PBA PB∠== 设1233PH PC λλ = ，则MH λ=，)1,1HQ CH MN HQ PB PCλλ==−∴==− ，)2212MHQN S λλλ ∴−−−+ .又12,33MHQN S λ ∴∈ . 方法二：如图，延长QN 交AD 于点F ，连接MF ，由（1）得AB ⊥平面,PAD QF ∥AB ， QF ∴⊥平面,,MHQN PAD QF MF S MH MF ∴⊥∴=⋅ ， 设1233PH PC λλ =，又3,3PD PM MH λ=∴==， 则33,33MD DF CQ λλ=−==−，)1MF λ−，))221312MHQN S λλλλλ ∴=⋅−−−−+又12,33MHQN S λ ∴∈ . [命题意图]考查面面垂直的判定､二面角以及线面平行的性质.。
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试题【含答案】
复旦中学高一期末数学试卷一､填空题1．已知角α终边经过点(2,1)P -，则sin α=．2．已知复数z 满足i 2i z =-，则z =3．满足π2cos 214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的角x 的集合为.4．已知函数()sin 22y x ϕ=+（0ϕ>）是偶函数，则ϕ的最小值是．5．已知{}n a 为无穷等比数列，23a =，14i i a +∞==-∑，则{}n a 的公比为．6．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p =．7．若数列{}n a 的通项公式为222023n a n n =-+，则n =时1i ni a =∑取到最大值.8．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知60BAC ∠=︒，求山的高度BC =m ..9．已知P 是边长为3的正方形ABCD 内（包含边界）的一点，则AP AB ⋅的最大值是.10．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}457,,10,0a S S ∈-，则n S 的最小值为11．已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-，求集合{}1,1500k m kb a a m =+≤≤∣中元素个数.12．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒，则当点P 满足120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的向量，且||2,||3b c == ，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是．二､选择题13．已知z 为复数，则“z z =”是“22z z =”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件14．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A ．cos 2y x=B ．tan y x=C ．πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 2y x=15．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①i e 10π+=；②2299cos isin cos isin cos isin i 101010101010ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中所有正确结论的编号是（）A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对16．设无穷项等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，则下列四个说法中正确的个数是（）①若0d <，则数列{}n S 有最大项；②若数列{}n S 有最大项，则0d <；③若数列{}n S 是递增数列，则对任意的*n ∈N ，均有0n S >；④若对任意的*n ∈N ，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三､解答题17．已知复数z 满足()1i 2i,z O +=为坐标原点，复数z 在复平面内对应的向量为OZ .(1)求34i z +-；(2)若向量OZ 绕O 逆时针旋转π2得到,OZ OZ '' 对应的复数为z '，求z z ⋅'.18．设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ，求使111000n T -<成立的n 的最小值．19．已知函数()sin ,f x x x =∈R .(1)求解方程:()13f x =;(2)设()()2π222g x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,求函数()g x 的单调递增区间;(3)在ABC 中,角,,A B C 所对应的边为,,a b c .若()4,f A b ABC == 的面积为求sin C 的值.20．已知数列{}n a ，若{}1n n a a ++为等比数列，则称{}n a 具有性质P.(1)若数列{}n a 具有性质P ，且1231,3a a a ===，求45,a a 的值；(2)若2(1)n nn b =+-，判断数列{}n b 是否具有性质P 并证明；(3)设212n c c c n n +++=+L ，数列{}n d 具有性质P ，其中13212321d d d c d d c =-=+=,,，试求数列{}n d 的通项公式.II 卷21．将函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则125...PA PA PA +++=.22．已知*(1,2,9)i a i ∈=⋯N ，且对任意()*28k k ∈≤≤N 都有11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，16a =，99a =，则91a a ++ 的最小值为.23．若向量,,a b c →→→满足a b ¹，0c ≠ ，且()()0c a c b -⋅-= ，则a b a b c++-的最小值是.24．已知函数()3112f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则122023202420242024f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为.1．5-【详解】∵角α终边经过点(2,1)P -，∴OP =sinα=，故答案为2【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解.【详解】因为复数z 满足i 2i z =-，所以2i12i iz -==--，所以z ==3．π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】借助余弦函数的性质计算即可得.【详解】由π2cos 214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()ππ22π43x k k +=±+∈Z ，即()πππ68x k k =±-+∈Z ，又[0,π]x ∈，则0k =，有πππ6824x =-=，当1k =，有ππ17ππ6824x =--+=，故角x 的集合为π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭.4．4π##14π【分析】利用三角函数的性质即可求解.【详解】因为函数()sin 22y x ϕ=+是偶函数，所以π2π,Z 2k k ϕ=+∈，解得ππ,Z 24k k ϕ=+∈，又0ϕ>，所以当0k =时，ϕ的最小值是π4.故答案为：π4ϕ=.5．12-##0.5-【分析】由题意知，||1q <，再利用无穷等比数列和的公式求解即可.【详解】因为无穷等比数列{}n a ，14i i a +∞==-∑，则||1q <，141a q=--，又213a a q q==，所以34(1)q q =--，解得12q =-或32q =（舍）.故答案为：12-.6．4【详解】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z ==，由韦达定理直线22,1,z z a a +==-∴=-'23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z =⋅=-'-=7．1011【分析】由0n a ≥判断出变号的相邻两项即可求解.【详解】令2220230n a n n =-+≥，解得202302n ≤≤，∵n N *∈,∴前1011项为正数，从1012项开始为负数，∴当1011n =时，1i ni a =∑取到最大值，故答案为：1011.8．600m【分析】先根据已知条件求解出,AM ACM ∠的大小，然后在ACM △中利用正弦定理求解出AC ，再根据,AC BC 的关系求解出BC .【详解】因为=45,60MAD CAB ∠︒∠=︒，所以180456075MAC ∠=︒-︒-︒=︒，所以180756045MCA ∠=︒-︒-︒=︒，又因为cos 45400m MA MD ︒==，所以MA =，又因为sin 60sin 45AC AM=︒︒，所以AC =，所以sin 60600m 2BC AC =︒=，故答案为：600m .【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将ACM △中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出AC 的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度BC 的目的.9．9【分析】在正方形中建立平面直角坐标系，设(,),(03,03)P x y x y ≤≤≤≤，结合向量数量积的概念可得结果.【详解】以A 点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设(,),(03,03)P x y x y ≤≤≤≤，可得(0,0),(3,0)A B ，所以(,),(3,0)AP x y AB ==，故(,)(3,0)3AP AB x y x ⋅== ，当3x =时，AP AB ⋅最大，最大值为9.故答案为：9.10．12-【分析】对4a 的值进行分类讨论，结合等差数列前n 项和最值的求法求得n S 的最小值.【详解】n S 取得最小值，则公差0d >，410a =-或40a =，（1）当17474530,0,770,5102a a a d S a S a +=>=⨯====-1130,51010a d a d ⇒+=+=-，16,20,28,2804n n a d a n a n n ⇒=-=>=-=-≤⇒≤，所以n S 的最小值为4146241212S a d =+=-+=-.（2）当1747410,0,77702a a a d S a +=->=⨯==-，不合题意.综上所述：457=0,= 10,0,n a S S S -=的最小值为12-.故答案为：12-11．9【分析】设{}n a 的公差为d ，由题意223344a b a b b a -=-=-基本量化简得到1122d a b ==.1k m b a a =+，代入基本量，化简得到22k m -=，通过m 的范围进而得到k 的范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，2233a b a b -=- ，1111224a d b a d b ∴+-=+-，即12d b =.2244a b b a -=- ，()1111283a d b b a d ∴+-=-+，得到1125a d b +=，将12d b =代入，得到11a b =，即1122d b a ==.1k m b a a =+ ，()111121k b a m d a -∴⋅=+-+，即()11112212k b b m b -⋅=+-，10b ≠ 得到22k m -=，21500,12500k m -≤≤≤≤ ，028k ≤-≤，210k ≤≤，所以元素个数为9个.故答案为：9.12．3+【分析】读懂题意，建立直角坐标系，将向量求模问题转化为费马点问题.【详解】以b为x 轴，c 为y 轴，建立直角坐标系如下图，设(),a x y = ，则()()2,0,0,3b c == ，a c a b a b --=+ ，a c ab a b ∴-+-++即为平面内一点(),x y 到()()()0,3,2,0,2,0-三点的距离之和，由费马点知：当点(),P x y 与三顶点()()()0,3,2,0,2,0A B C -构成的三角形ABC 为费马点时a c a b a b -+-++最小，将三角形ABC 放在坐标系中如下图：现在先证明ABC 的三个内角均小于120︒：4AB BC BC ==，22211cos 0213AB AC BCBAC AB AC +-∠==> ，222cos cos 02AB BC ACABC ACB AB BC+-∠=∠==，ABC ∴ 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为ABC 是等腰三角形，点P 必定在底边BC 的对称轴上，即y 轴上，120,30BPC PCB ︒︒∠=∴∠=，tan 233PO OC PCB =∠=⨯= ，即230,3⎛ ⎝⎭P ，现在验证120BPA ︒∠=：2333BP AP ==-，2221cos 22BP AP AB BPA BP AP +-∠==- ，120BPA ︒∴∠=，同理可证得120CPA ︒∠=，即此时点0,3⎛ ⎝⎭P 是费马点，到三个顶点A ，B ，C 的距离之和为233BP CP AP ++=+=+，即a c a b a b -+-++ 的最小值为3+；故答案为：3+13．A【分析】正向可得R z ∈，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得0a =或0b =，则必要性不成立.【详解】若z z =，则R z ∈，则22z z =，故充分性成立；若22z z =，设i,,R z a b a b =+∈，则2222i z a ab b =+-，222i z a ab b =--，则20ab =，0a =或0,b z =∴与z 不一定相等，则必要性不成立，则“z z =”是“22z z =”的充分非必要条件，故选：A 14．A【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得.【详解】对A ：2π2πT ==，又cos 2y x =是偶函数，故A 正确；对B ：tan y x =为奇函数，故B 错误；对C ：πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭周期为2π，故C 错误；对D ：sin 2y x =为奇函数，故D 错误.故选：A.15．A【分析】对①，通过欧拉公式，i e cos i sin πππ=+，算出即可；对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为29i i i 101010e e e πππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可.【详解】对①，由题意，i e 1cos i sin 11010πππ+=++=-++=，正确；对②，原式=29i i i 101010e eeπππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =29999i i i 10101021010299eeecos isin 22ππππππππ⎛⎫⎛⎫+++⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===+ =cosi sini 22ππ+=，正确.故选：A.16．C【分析】由等差数列的求和公式可得()2111+222n n n d d S na n a n +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,可看作关于n 的二次函数,由二次函数的性质逐个验证即可【详解】由等差数列的求和公式可得()2111+222n n n d d S na n a n +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,对于①,若0d <,由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项,故①正确；对于②,若数列{}n S 有最大项,则对应抛物线开口向下,则有0d <,故②正确；对于③,若对任意*n ∈N ,均有0n S >,对应抛物线开口向上,则有0d >,故数列{}n S 是递增数列,故③正确；对于④,若数列{}n S 是递增数列,则对应抛物线开口向上,则0d >,但无法确定0n S >恒成立,故④错误；故正确的有3个,故选:C【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用,考查数列的函数性质的应用17．(1)5(2)2-【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可.（2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可.【详解】（1）由()1i 2i z +=得：()()()()2i 1i 2ii 1i 1i 1i 1i 1i z -===-=+++-，34i 43i 5z ∴+-=-=.（2）又1i z =+，由复数的几何意义，得向量()1,1OZ = 绕原点O 逆时针旋转π2得到的()1,1OZ -'= ，则OZ '对应的复数为1i z '=-+，则()()1i 1i 2z z ⋅=+⋅-+=-'.18．(1)2n n a =.(2)10.【详解】试题分析：（1）借助于()12n n n a S S n -=-≥将12n n S a a =-转化为12(1)n n a a n -=>，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列1n a ⎧⎫⎨⎩⎭的通项公式112n n a =，可知数列为等比数列，求得前n 项和n T ，代入不等式111000n T -<可求得n 的最小值试题解析：（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->，即12(1)n n a a n -=>．从而21312,4a a a a ==．又因为123,1,a a a +成等差数列，即1232(1)a a a +=+．所以11142(21)a a a +=+，解得12a =．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =．（2）由（1）得112n n a =．所以2311[1()]1111122112222212n n n n T -=++++==-- ．由111000n T -<，得111121000n --<，即21000n >．因为9102512100010242=<<=，所以10n ≥．于是，使111000n T -<成立的n 的最小值为10．考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和19．(1)1(1)arcsin ,3k x k k Z π=+-∈(2)πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3)26【分析】(1)将()f x 代入方程,用反三角函数解出即可;(2)将()f x 代入()g x 用半角公式,辅助角公式进行化简,求出单调增区间即可;(3)先求出sin A 的值,再根据面积公式求出c 的值,根据sin A 的值求出角A 的值,再用余弦定理求出a ,再根据正弦定理即可求出sin A .【详解】（1）解:由题知()13f x =,即1sin 3x =,解得12arcsin ,3x k k Z π=+∈或12arcsin ,3x k k Z ππ=+-∈;即1(1)arcsin ,3k x k k Z π=+-∈（2）由题()()2π222g x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,即()()2π22sin 2g x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()222cos x x=+()()2cos 21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,()g x ∴的单调递增区间为:πππ2π22π262k x k -+≤+≤+,Z k ∈,解得:ππππ36k x k -+≤≤+,Z k ∈,故()g x 的单调递增区间为πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;（3）由()32f A =sin A ∴=π3A ∴=或2π3A =,14,sin 2ABC b S bc A === 3c ∴=,当π3A =时,在ABC 中由余弦定理得:22221691cos 22432b c a a A bc +-+-===⋅⋅,解得a =,此时在ABC 中由正弦定理得:sin sin a c A C=,解得sin sin c A C a =当2π3A =时,在ABC 中由余弦定理得:22221691cos 22432b c a a A bc +-+-===-⋅⋅,解得a =此时在ABC 中由正弦定理得:sin sin a c A C=,解得sin sin 74c A C a ==,综上:sin C =3111sin 74C =.20．(1)45,a a 分别为5、11(2)数列{}n b 具有性质P ，证明见解析(3)()1*N ,213n n n d n -+-=∈【分析】（1）根据数列数列{}n a 具有性质P 可得{}1n n a a ++为等比数列，根据等比数列性质可求得答案；（2）依据数列新定义，结合等比数列定义即可判断结论，进而证明；（3）求出2n c n =，可得12n n n d d ++=，进而推出22n n n d d +-=，分n 为奇偶数，求出n d ，综合可得答案.【详解】（1）由题意数列{}n a 具有性质P ，{}1n n a a ++为等比数列，设公比为q ，由1231,3a a a ===，得122334424,,,28,5a a a a q a a a +=+=∴=+=∴=∴，又45516,11a a a +=∴=；（2）数列{}n b 具有性质P ；证明：因为2(1)n n n b =+-，所以()()111212132n n n n n n n b b ++++=+-++-=⋅，则112132232n n n nn n b b b b +++++⋅==+⋅，即{}1n n b b ++为等比数列，所以数列{}n b 具有性质P .（3）因为212n c c c n n +++=+L ，则12c =，2121(1)1,(2)n c c c n n n -+++=-+-≥L ，故22(1)12,(2)n c n n n n n n ++==---≥，12c =适合该式，故2n c n =，所以由13212321d d d c d d c =-=+=,,得13223124d d d d d =-=+=,,，则123122311,2,,3,4d d d d d d d ===∴+=+=，因为数列{}n d 具有性质P ，故{}1n n d d ++为等比数列，设其公比为q '，则2q '=，故111222,22,n n n n n n n n n d d d d d d +++++=++∴=∴-=，当n 为偶数时，()()()2422244222122213n n n n n n n n d d d d d d d d ------=-+-++-+=++++= ；当n 为奇数时，()()()12412243112(21)212221133n n n n n n n n n d d d d d d d d ------+=-+-++-+=+-++=++= ，故()1*N ,213n n n d n -+-=∈.【点睛】关键点睛：本题是关于数列新定义类型题目，解答的关键是要理解数列新定义，并依据该定义去解决问题.21．10【分析】根据题意作出两个函数的图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解.【详解】如图可知：函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =-共有5个交点，依次为12345,,,,A A A A A ，其中()31,0A ，∵函数()π4cos 2f x x =和直线()1g x x =-均关于点()31,0A 对称，则12345,,,,A A A A A 关于点()31,0A 对称，∴632,1,2,3i i PA i PA PA -+==uuu r uuuur uuu r ，且(31,PA =uuu r ，故533125...22510PA PA PA PA PA ===+++=⨯uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故答案为：10.22．31【分析】根据题意分两种情况讨论求出91a a ++ 的值，即可求得91a a ++ 的最小值.【详解】解：由题设，知：1i a ≥；211a a =+或231a a =-中恰有一个成立；321a a =+或341a a =-中恰有一个成立；…871a a =+或891a a =-中恰有一个成立；则①2117a a =+=，341a a =-，561a a =-，781a a =-，则()129357252a a a a a a +++=+++ ，当3571a a a ===时，129a a a +++ 的和为最小值为：31；②231a a =-，451a a =-，671a a =-，891a a =-，则()129468262a a a a a a +++=+++ ，当4681a a a ===时，129a a a +++ 的和为最小值为：32；因此，129a a a +++ 的最小值为：31.故答案为：31.23．2【解析】设,,a OA b OB c OC →→→→→→===，由条件可知AC BC ⊥，画出图形，由向量加减法及性质可得a b a bc→→→→→++-2||2||OM CM OC →→→+=，利用两边之和不小于第三边求解.【详解】设,,a OA b OB c OC →→→→→→===,因为0c a c b →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()0OC OA OC OB →→→→-⋅-=,即0AC BC →→⋅=,所以AC BC ⊥,取AB 中点M ,如图，所以2||2||a b a bOA OB OA OB OM AM cOC OC →→→→→→→→→→→→→++-++-+==2||2||2||2OM CM OC OC OC →→→→→+=≥=，当且仅当,,O M C 三点共线时取等号.故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，向量加法的几何意义，考查了数形结合思想，属于难题.24．2023【分析】利用函数的对称性得到()()12f x f x +-=，然后计算即可.【详解】根据题意，函数()3112f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()3311111122f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()12f x f x +-=，11012122024f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122023120232202210111013202420242024202420242024202420242024f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 101210112120232024f ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭故答案为：2023.。
广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题(解析版)
惠州市2023-2024学年第二学期期末质量检测试题高一数学全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.在复平面中，复数23i1i z −=+对应的点的坐标在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可求解对应的点为15,22−−，进而得解. 【详解】()()()()23i 1i 23i 15i 1i1i 1i 2z−−−−−==++−,故对应的点为15,22−−，故对应的点位于第三象限，故选：C2.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量C.若λ为实数，则向量a 与a λ方向相同 D. 单位向量的模都相等【答案】D 【解析】【分析】对于A ：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC ：举反例说明即可；对于D ：根据单位向量的定义分析判断.【详解】对于选项A ：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A 错误；对于选项B ：例如0a = ，b 是非零向量，可知,a b 是共线向量但不是相等向量，故B 错误；对于选项C ：例如a 是非零向量，且0λ<，可知向量a 与a λ方向相反，故C 错误； 对于选项D ：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D 正确； 故选：D.3. 已知数据1238,,,,x x x x 的平均数为10，方差为10，则123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数和方差分别为（ ） A. 32，90 B. 32，92C. 30，90D. 30，92【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232×+=，方差是231090×=. 故选：A4.已知向量(a = ，()2,0b = ，则向量a 在b方向上的投影向量为（ ）A. ()1,2B. ()2,0C. ()1,0D. ()2,1【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量公式可得.【详解】根据题意得cos a b a b a b ⋅⋅==⋅所以向量a 在b方向上的投影向量为()()2,0cos 1,02b a a b b⋅== ， 故选：C.5. 某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n =（ ） A. 100B. 120C. 200D. 240.【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样求样本中高中生和小学生的人数，列式求解即可. 【详解】由题意可知：样本中高中生的人数为315434n n =++，小学生的人数为5554312n n =++， 则1520412n n +=，解得120n =. 故选：B.6. 设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥ B. 若//m α，n ⊂α，则//m nC. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ：以正方体为载体，举反例说明即可；对于D ：根据线面垂直的性质分析判断. 【详解】对于正方体1111ABCD A B C D −，且,M N 分别为,AB CD 的中点，对于选项A ：例如AB ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，11AB A D ⊥， 但平面ABCD ∥平面1111D C B A ，故A 错误；对于选项B ：例如11A D ∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，但11AB A D ⊥，故B 错误； 对于选项C ：例如,AD MN ⊂平面ABCD ，且,AD MN 均与平面11BB C C 平行， 但平面ABCD ∩平面11BB C C BC =，故C 错误；对于选项D ：若m α⊥，n ⊂α，由线面垂直的性质可知m n ⊥，故D 正确； 故选：D.7. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）A. A 与B 是对立事件B. A 与C D ∩是互斥事件C. B 与D 是相互独立事件D. B 与C D ∪是相互独立事件【答案】D 【解析】【分析】选项A 和B ，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A 和B 的正误；选项C 和D ，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ∩即两个点数都是偶数，即A 与C D ∩可以同时发生，所以选项B 错误， 对于选项C ，因为331()664PB ×==×，333()1664P D ×=−=×，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误，对于选项D ，因为()1P C D = ，91(())364P B C D == ，所以(())()()P B C D P B P C D = ，所以选项D 正确， 故选：D.8. 已知直三棱柱111ABC A B C 的体积为8，二面角1C AB C −−的大小为π4，且AC BC =，12CC =，则点1A 到平面1ABC 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得1OC ，再根据直三棱柱的体积求出AB ，再利用等体积法求点1A 到平面1ABC 的距离. 【详解】取AB 的中点O ，连接1,OC OC ，AC BC = ，1,OC AB OC AB ∴⊥⊥，则二面角1C AB C −−的平面角为1C OC ∠，二面角1C AB C −−的大小为π4，则1π4C OC ∠=，所以12OC CC ==，1OC ，又 直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，111128ABC A B C ABC ABC V S CC S -∴=⋅==， 则4ABC S = ，1124422ABC S AB OC AB AB ∴=⋅=⨯=⇒=， 又 平面ABC⊥平面11A ABB ，平面ABC ∩平面11A ABB AB =，且,OC AB OC ⊥⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面11A ABB ， 设点1A 到平面1ABC 的距离为h ，又1111A ABC C ABA V V −−=，111111114422333232ABC ABA S h S OC h ∴⋅=⋅⇒×××=×××× ，解得h =， 故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A. 圆柱的侧面积为24πRB.2RC. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】ABC 【解析】【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得； 【详解】解：依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R ××=，所以AC 选项正确． 圆锥的侧面积为2πR R ×，所以B选项正确．圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +<， 圆柱表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项不正确． 故选：ABC10. 设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（ ）A. 若(1i)i z +=−，则1z = B. 对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z =⋅C. 对任意复数1z ，2z ，有122z z z ⋅D. 在复平面内，若{|22}Mz z =−≤，则集合M 所构成区域的面积为6π 【答案】BC 【解析】【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.【详解】对A ：由(1i)i z +=−，故()()()i 1i i1i1i1i 1i 2z −×−−−−===++−，故z =，故A 错误； 对B ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ， 则()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=−++===的12z z ⋅=故1212z z z z =⋅，故B 正确；对C ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ，有()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=−++，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=−−+，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=−−=−−+，故1212z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对D ：设i z x y =+(),x y ∈R ，则有()2224x y −+≤，集合M 所构成区域为以()2,0为圆心，半径为2的圆， 故2π4πS r ==，故D 错误. 故选：BC .11. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的是（ ） A.若60A =°，2a =，则ABCB. 若60A =°，1a =，则ABCC. 若a =，4b =，要使满足条件的三角形有且只有两个，则ππ,63A∈D. 若()cos cos ab c A B +=+，且1c = 【答案】AD 【解析】【分析】对于AB ：利用余弦定理结合基本不等式求bc 的最大值，进而可得面积的最大值；对于C ：利用余弦定理分析可得：关于c 的方程28cos 40c c A −+=有2个不相等的正根，结合二次方程列式求解；对于D ：利用余弦定理可得π2C =，再利用基本不等式求内切圆半径的最大值，即可得结果. 【详解】对于选项A ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即224b c bc =+−， 可得2242bc b c bc +=+≥，解得4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为142×A 正确； 对于选项B ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即221b c bc =+−，可得2212bc b c bc ++≥，解得1bc ≤，当且仅当1b c ==时，等号成立， 所以ABC面积的最大值为112×，故B 错误； 对于选项C ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即212168cos c c A =+−， 整理可得28cos 40c c A −+=，由题意可知：关于c 的方程28cos 40c c A −+=有2个不相等的正根，则2408cos 0Δ64cos 160A A > > =−>，解得1cos 2A >， 且()0,πA ∈，可得π0,3A∈，故C 错误； 对于选项D ，因为()cos cos a b c A B +=+，即cos cos a b c A c B +=+， 则22222222b c a a c b a b b a+−+−+=+，整理可得()()2220a b a b c ++−=， 注意到0a b +≠，则2220a b c +−=，即222+=a b c ，可知π2C =， 且1c =，则该三角形内切圆半径22ABC S ab ab a b c ra b c a b c +−==++++ .又因为1a b c c c c +−=−=≤−=−，当且仅当a b ==时，等号成立，可得0r <≤，所以该三角形的内切圆面积的最大值是2π=，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点 （1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；（2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式； （3）对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12. 甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是________. 【答案】715【解析】【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】设甲、乙解对题分别为事件A ，B ，则()()23,35P A P B ==，可得()()12,35P A P B == 所以恰好只有1人解对题的概率()()()()()()715P P AB P AB P A P B P A P B =+=+=. 故答案为：715. 13. 已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a ，中位数为b ，则a 与b 的大小关系为________.【答案】a b > 【解析】【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小. “拖尾”，可知平均数大于中位数，即a b >. 故答案为：a b >.14. 如图，已知在直三棱柱111ABC A B C 中，F 为11A C 的中点，E 为棱1BB 上的动点，12AA =，2AB =，BC =，4AC =.当E 是棱1BB 的中点，则三棱锥E ABC −体积为________；当三棱锥1A AEF −的外接球的半径最小时，直线EF 与1AA 所成角的余弦值为________.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理，可得cos BAC ∠，再求出sin ABC ∠，再用面积公式求ABC 的面积，体积公式求三棱锥E ABC −体积即可；作出辅助线，推导出当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点，进而求出各边长，得到11cos E FEB B E F =∠=【详解】因为2AB =，BC =，4AC =，所以在ABC 中，由余弦定理，得222416181cos 22248BA CA BC BAC BA CA +−+−∠===⋅××，所以sin ABC ∠1242ABC S =××=所以113E ABC V −==； 作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为1H ，易知棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ， 则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上， 因为1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =， 设AF的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ 中，222211QF R QQ ==+①，又因为22221111)QE R QQ Q E =+②21113116Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小， 此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点. 因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角. 因为1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理，得1B F =，因为11EB =，所以11B E EF FEB EF =∠=.. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得当三棱锥1A AEF −的外接球的半径最小时，E 为棱1BB 的中点，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，已知3BC =，4AC =，点P 为线段BC 中点，23AQ AB = ，设CB a = ，CA b =.（1）用向量a，b表示CQ；（2）若90ACB ∠=°，求AP CQ ⋅. 【答案】（1）2133CQa b =+ （2）73−【解析】【分析】（1）用三点共线的向量表达式结论可解；（2）将AP CQ ⋅用基底{,}CA CB 表示出来，再用数量积运算性质可解.【小问1详解】 如图所示，23AQ AB = ，所以()2122133333CQ CA AQ CA CB CA CA CB a b =+=+−=+=+， 所以2133CQa b =+ . 【小问2详解】点P 为线段BC 中点，用三点共线的向量表达式结论得111111()222222AP AC AB CA CA CB CA B a b C =+=−+−+=−+=−，由（1）知2133CQa b =+，则22121()113(21)||23|3|3AP CQ a a a b b b b a +⋅=⋅−−⋅−= ， 90ACB ∠=°,则0a b ⋅= .则2211734333AP CQ ×−×=⋅−= . 16. 已知有下面三个条件：①()S AC AB ⋅；②a c =；③2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________. （1）求角A 的大小；（2）若AD 是ABC 的角平分线，且2b =，3c =，求线段AD 的长. 【答案】（1）π3A =（2）AD =【解析】【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得sin A A =，得到tan A =cos 1A A =+，得到π1sin()62A −=，即可求解；选择③，化简得到222sin sin sin sin sinBC A B C +=+,即222b c a bc +−=，由余弦定理求得1cos 2A =，即可求解； （2）根据题意结合ABCABD ACD S S S =+ ，列出方程，即可求解. 【小问1详解】选择①：由()S AC AB ⋅，可得1sin cos 2bc A bc A =，即sin A A =，即tan A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =；选择②：因为②a c =sin si n A C =，sin sin cos sin A C C A C =+，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >cos 1A A =+，cos 2sin()16πA A A −=−=，可得π1sin()62A −=， 因为(0,π)A ∈，可得ππ66A −=，所以π3A =；选择③：由2sin sin sin 1sin sin sin sin B C AC B B C +=+，可得222sin sin sin sin sin B C A B C +=+, 又由正弦定理得222b c a bc +−=，再由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +−==， 因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】若AD 是ABC 的角平分线，则π6BAD CBD ∠=∠=， 且ABCBAD CBD S S S =+△△△，即11111233222222AD AD ××=×××+×××，解得AD =17. 为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；（2）求图1中m 的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；（3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学.生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率. 【答案】（1）表格见详解 （2）0.015m =；120 （3）310【解析】【分析】（1）根据题中数据补全表格；（2）根据频率和为1求得0.015m =，再结合百分位数的定义列式求解； （3）分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解. 【小问1详解】数学成绩优秀的有10050%50×=人，不优秀的人10050%50×=人，经常整理错题的有()10040%20%60×+=人， 不经常整理错题的是1006040−=人，经常整理错题且成绩优秀的有5070%35×=人， 所以表格为【小问2详解】由题意可知每组频率依次为0.05,0.1,0.35,20,0.2m ，则0.050.10.35200.21m ++++=，解得0.015m =； 因为0.050.10.350.50.65++=<，0.050.10.350.30.80.65+++=>， 设第65百分位数为x ，可知[)110,130x ∈，则()0.50.0151100.65x +−=，解得120x =， 所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120. 【小问3详解】由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为6053100×=，设为,,a b c ，“不经常总结整理错题” 的人数为4052100×=，设为,A B ， 从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间{}Ω,,,,,,,,,ab ac aA aB bc bA bB cA cB AB =，可知()Ω10n =，设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M ，则{},,M ab ac bc =，即()3n M =，所以()()()3Ω10n M PM n ==. 18. 如图，在四棱锥Q ABCD −中，底面ABCD 是正方形，侧面QAD 是正三角形，面QAD ⊥面ABCD ，M 是QD 的中点.（1）求证：QB ∥平面AMC ；（2）求直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值；（3）在棱QC 上是否存在点N 使平面BDN ⊥平面AMC 成立？如果存在，求出QNNC如果不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2（3）存在，12QN NC = 【解析】【分析】（1）设AC BD O = ，连接OM ，利用三角形的中位线定理可得OM ∥QB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由面面垂直的性质可证得CD ⊥平面QAD ，则CD AM ⊥，再由等边三角形的性质可得AM QD ⊥，然后由线面垂直的判定可得AM ⊥平面QCD ，则直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠，从而可求得答案；（3）当DN CM ⊥时，可证得平面BDN ⊥平面AMC ，设QNk NC=，然后在等腰直角三角形QCD 中利用平面向量的知识计算即可. 【小问1详解】证明：设AC BD O = ，连接OM ，因为底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 中点， 因为M 是QD 的中点，所以OM ∥QB ， 因为OM ⊂平面ACM ，QB ⊄平面ACM ， 所以QB ∥平面ACM【小问2详解】因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，因为平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ∩平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面QAD ，因为AM ⊂平面QAD ，所以CD AM ⊥,因为QAD 为等边三角形，M 是QD 的中点，所以AM QD ⊥， 因为QD CD D ∩=，,QD CD ⊂平面QCD ，所以AM ⊥平面QCD ， 所以直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠， 设正方形ABCD 的边长为2，则AMAC =因为AM ⊥平面QCD ，CM ⊂平面QCD ，所以AM CM ⊥，所以sin AMACM AC ∠=， 的即直线AC 与平面QCD【小问3详解】存在，当DN CM ⊥时，平面BDN ⊥平面AMC ，因为AM ⊥平面QCD ，DN ⊂平面平面QCD ，所以AM DN ⊥，因为AM CM M ∩=，,AM CM ⊂平面AMC ， 所以DN⊥平面AMC ，因为DN ⊂平面BDN ，所以平面BDN ⊥平面AMC ， 设QN k NC =，则QN kNC =，所以1kQN QC k =+， 由（2）知CD ⊥平面QAD ，因为QD ⊂平面QAD ，所以CD DQ ⊥，所以0DQ QC ⋅=，因为12CM DM DC DQ DC =−=− ，1()1111k k k DN DG GN DQ QC DQ DC DQ DC DQ k k k k =+=+=+−=+++++，所以110211k CM DN DQ DC DC DQ k k⋅=−⋅+= ++，所以22102(1)1k DQ DC k k −=++ ，得12(1)1k k k =++，解得12k =， 所以当12QN NC =时，平面BDN ⊥平面AMC .19. 将连续正整数1，2， ，*(N )n n ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数(如当12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15)F =，现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100).p（2）当2021n ≤时，求()F n 的表达式.（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =−，{}*|()1,100,N S n h n n n ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.【答案】（1）11192（2）,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤ −≤≤=−≤≤ −≤≤ （3）119【解析】【分析】（1）计算()10099023192F =+×+=，数字0的个数为11，得到概率.（2）考虑19n ≤≤，1099n ≤≤，100999n ≤≤，10002023n ≤≤四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑()*19,Nn b b b =<≤∈时，当()**1019,09,N ,N n k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，当100n =时三种情况，得到()g n 和()f n 的解析式，得到{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =，再计算概率的最值得到答案. 【小问1详解】当100n =时，()10099023192F =+×+=， 即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11， 则恰好取到0的概率为()11100192p =； 【小问2详解】当19n ≤≤时，这个数有1位数组成，()F n n =；当1099n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，9n −个两位数组成，则()29F n n =−；当100999n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，99n −个三位数组成，()3108F n n =−；当10002021n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成999n −个四位数组成，()41107F n n =−；综上所述：,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤ −≤≤=−≤≤ −≤≤ ， 【小问3详解】 当()*19,Nn b b b =<≤∈时，()0g n =，当()**1019,09,N ,N n k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，()g n k =；当100n =时，()11g n =，即()**0,19,10,19,09,N ,N 11,100n g n k n k b k b k b n ≤≤==+≤≤≤≤∈∈ = ，同理有()**0,18,101,18,09,N ,N80,899820,99,100n k n k b k b k b f n n n n ≤≤=+−≤≤≤≤∈∈ =−≤≤=， 由()()()1h n f n g n =−=，可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90n =， 所以当100n ≤时，{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =， 当9n =时，()90p =，当90n =时，()919017119p ==， 当()*10918,N n k k k =+≤≤∈时，()()()29209g n k kp n F n n k ===−+，由1912092020209k y k k ==−×++关于k 单调递增，故当()*10918,N n k k k =+≤≤∈时，有()p n 的最大值为()889169p =， 又8116919<， 所以当n S ∈时，()p n 最大值为119． 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.的。
高中数学必修二 北京市丰台区 — 学年度 高一下学期期末练习数学试题(含答案)
【答案】
【解析】
【分析】
先求解出分层抽样的抽样比，然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比，由此可计算出结果 .
【详解】因为分层抽样的抽样比为 ，
9.如图所示，在复平面内，复数 ， 所对应的点分别为A，B，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 并结合复数的几何意义得到 的表示.
【详解】因为 ， 与 对应， 与 对应，
所以 ，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用，难度较易.复数 和复平面内的点 一一对应，同时复数 和平面向量 也一一对应.
丰台区2019~2020学年度第二学期期末练习
高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据球与正方体位置关系，分析出球 半径，由此球的体积可求.
【详解】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的 ，
所以球的半径为 ，所以球的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查根据正方体与球的相切关系求球的体积，难度较易.当球内切于正方体时，球的半径为正方体棱长的 ；当球外接于正方体时，球的半径为正方体棱长的 .
苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)
启东市高一下学期数学期末试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为．5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为．14．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．参考答案一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为：．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为[﹣2，] ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（2x﹣3）（x+2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，即（2x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤，所以不等式的解集为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是4．【考点】HP：正弦定理．【分析】设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解方程求得x的值．【解答】解：设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解得 x=，故答案为．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为①③．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据直线与平面的位置关系的定义判定即可．【解答】解：直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交．对于①，l∥α，能确定直线l在平面α外，对于②，l与α至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线l在平面α外，对于③，l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外，故答案为：①③5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为3x+2y﹣12=0 ．【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论．【解答】解：设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为+=1∵P（2，3）在直线l上，∴+=1．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为12，可得ab=24，∴a=4，b=6，∴直线l的方程为+=1，即3x+2y﹣12=0，故答案为：3x+2y﹣12=0．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ﹣4 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，公比q=，S5=﹣，∴==﹣，a1=﹣4．故答案为：﹣4．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式．【分析】由余弦定理算出cosA，结合同角三角函数的平方关系得sinA，最后由正弦定理的面积公式，可得△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC中，a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理，得cosA==，∵A∈（0，π），∴sinA==，由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为S=bcsinA=×5×4×=，故答案为：．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案．【解答】解：如图，∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为2，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．由侧面积为12，即4×，即PG=3．在Rt△POG中，PO=∴正四棱锥的体积为V=故答案为：9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为（1，）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则z=，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．【解答】解：设直线3x﹣2y+4=0与直线2x﹣y﹣2=0交于点A，可得A（8，14），不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=，k的最小值k=1．因此，的取值范围为（1，）故答案为：（1，）．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），即可求出原点O到直线l 的距离的最大值．【解答】解：直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0化为（1﹣x）+k（2x+y）=0，联立，解得，经过定点P（1，﹣2），由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），∴原点O到直线l的距离的最大值为．故答案为：．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面ABC的距离．【解答】解：∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1，以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，1），∴点M到平面ABC的距离为：d===．故答案为：．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为3+．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++，利用基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由m，n满足+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++≥3+2=3+，当且仅当=时，等号成立，即3m+2n的最小值为3+，故答案为：3+．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为或﹣3 ．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．，整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，即可求解．【解答】解：设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，∴直线l的斜率为或﹣3．故答案为：或﹣314．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n=2﹣1，可得S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用已知可得：a n﹣a n﹣=2．利用等差数列的求和公式可得S n，再利用基本不等式的性质即可得出．1【解答】解：∵a n=2﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴S n=n+=n2．∴不等式S P+S q＞kS p+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为：．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA．由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，∵0＜B＜π，sinB≠0．∴sinA=cosA，即tanA=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵由a=1，A=，∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立，∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E ∥平面ADC1．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．AD⊂面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，连结ED，∵点E是C1B1的中点，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，∴A1E∥AD，又A1E⊄面ADC1，AD⊂平面ADC1．∴A1E∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）当λ=1时，，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．（2）当λ=2时， =，再由，能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{a n}的前n项和．【解答】解：（1）当λ=1时，a n+1=a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1=2+2+22+…+2n﹣1=2+=2n．证明：（2）当λ=2时，a n+1=2a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，即=，∵，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=，∴a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和：S n=2•20+3•2+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，①2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，②②﹣①，得：S n=（n+1）•2n﹣2﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n+1）•2n﹣2﹣=（n+1）•2n﹣2﹣2n+2=n•2n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．【考点】IM：两条直线的交点坐标．【分析】（1）分别求出直线l1与l3的交点A、l1与l2的交点B和l2与l3的交点C，且判断三点的坐标各不相同即可；（2）根据题意画出图形，由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；由此求出△ABC的面积最大值．【解答】解：（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），∴直线l1与l3交于点A；又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，则B（，）；l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，即这三条直线共有三个不同的交点；（2）根据题意，画出图形如图所示；AB⊥BC，∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；则△ABC的面积最大值为S=•|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据面积公式列方程求出BE；（2）对F的位置进行讨论，利用余弦定理求出y关于x的解析式；（3）分两种情况求出y的最小值，从而得出y的最小值，得出E，F的位置．【解答】解：（1）∵S△BCE=，S ABCD=2×，∴==，∴BE=AB=12．即E为AB靠近A的三点分点．（2）S ABCD=18×10×sin120°=90，当0≤x＜12时，F在CD上，∴S EBCF=（x+CF）BCsin60°=90，解得CF=12﹣x，∴y==2，当12≤x≤18时，F在BC上，∴S△BEF==，解得BF=，∴y==，综上，y=．（3）当0≤x＜12时，y=2=2≥5，当12≤x≤18时，y=＞＞5，∴当x=，CF=时，直线EF最短，最短距离为5．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由题意知，a n+13=（a1+a2++a n+a n+1）2﹣（a1+a2++a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2++a n）+a n+1．同样有a n2=2（a1+a2++a n﹣1）+a n（n≥2），由此得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式即可得到所求．（3）求得b n===2[﹣]，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得S n，结合不等式的性质，恒成立思想可得m≥，进而得到所求最小值．【解答】解：（1）当n=1时，有a13=a12，由于a n＞0，所以a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，将a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于a n＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2，①则有a13+a23+…+a n3+a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2．②②﹣①，得a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2﹣（a1+a2+…+a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2+…+a n）+a n+1．③同样有a n2=2（a1+a2+…+a n﹣1）+a n（n≥2），④③﹣④，得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有a n+1﹣a n=1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n=n．（3）b n===2[﹣]，则S n=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，S n＜对任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整数m的最小值为4．2017年7月28日。
江西省景德镇市美术中学高一数学理下学期期末试题含解析
江西省景德镇市美术中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象必经过点（）A．(0,1) B．(1,1) C．(2,0) D．(2,2)参考答案：D2. 若a<b<0，则( )A. B. C. D.参考答案：C取a=?2,b=?1,可得，即A不正确；2，即B不正确；∵a<b<0,∴，正确；，即D不正确，故选C.3. 若f(x)＝2tan x－，则f的值是()A．－ B．－4 C．4 D．8参考答案：A4. 如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）A．B．20C．D．28参考答案：B略5. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于5km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A. kmB. kmC. 5 kmD. 10 km参考答案：B【分析】根据题意画出ABC的相对位置，再利用正余弦定理计算。
【详解】如图所示，,，选B.【点睛】本题考查解三角形画出相对位置是关键，属于基础题。
6. 在△ABC中，为BC的三等分点，则( )A. B. C. D.参考答案：B试题分析：因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，，所以，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若，则，即有，为边的三等分点，则,故选B．7. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与参考答案：D在选项中，前者的属于非负数，后者的，两个函数的值域不同；在选项中，前者的定义域为，后者为或，定义域不同；在选项中，两函数定义域不相同；在选项中，定义域是的定义域为，定义域不相同，值域、对应法则都相同，所以是同一函数，故选D.8. 直线x+3y+3=0的斜率是（）A．﹣3 B．C．﹣D．3参考答案：C【考点】直线的斜率．【分析】利用Ax+By+C=0斜率k=﹣（B≠0）即可得出．【解答】解：直线x+3y+3=0的斜率k=﹣，故选：C．9. 下列不等式中成立的是( )A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞参考答案：D考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．解答：解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．故选：D．点评：本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键．10. 已知集合={0,1,2},则集合中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．9参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. △ABC三个内角分别为A，B，C，且sin A，sin C，sin B成等差数列，则cos C的最小值是.参考答案：12. （5分）已知点A（a，2）到直线l：x﹣y+3=0距离为，则a= ．参考答案：1或﹣3．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：∵点A（a，2）到直线l：x﹣y+3=0距离为，∴，化为|a+1|=2，∴a+1=±2．解得a=1或﹣3．故答案为：1或﹣3．点评：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．13. 若，则的值为参考答案：514. 已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的范围是．参考答案：[，6）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据分段函数单调性的性质，确定a满足的条件即可求得a的取值范围．【解答】解：要使函数f（x）是增函数，则满足，即≤a＜6，故答案为：[，6）．15. _______________。
2022北京西城区高一下学期期末数学试题和答案
2022北京西城高一（下）期末数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）在复平面内，复数2z i i =+对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（4分）设向量(3,1)a =，(1,2)b =−，则(2)(a b b −⋅= ) A ．11−B ．9−C ．7−D ．5−3．（4分）设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面．若//αβ，//m n ，m α⊥，则( ) A ．//n β B ．n β⊥C ．//m βD ．以上答案都不对4．（4分）若3cos 5α=，则3sin()(2πα−= )A ．35B ．35−C ．45 D ．45−5．（4分）函数()sin(2)6f x x π=+，[0x ∈，]2π的最大值和最小值分别为( )A ．1，1−B ．11,22−C ．1，12 D ．1，12−6．（4分）在ABC ∆中，若222a b c kab +−=，则实数k 的取值范围是( ) A ．(2,2)−B ．(1,1)−C ．1(2−，1)2D ．(0,1)7．（4分）已知向量a ，b 满足||4a =，||2b =，()a b b +⊥，那么向量a ，b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 8．（4分）函数1cos 2()sin xf x x−=的图像( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x π=对称D ．关于点(2π，0)对称9．（4分）设(,)αππ∈−，则“(4πα∈−，3)4π”是“sin cos 0αα+>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（4分）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是( )A ．[1−，2]B ．[0，2]C ．[0，4]D ．[1−，4]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
上海市延安中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题及答案
要使函数有 5 个零点, 则 3πω ∈[4π,5π) ,
解得
ω
的范围为
4 3
,
5 3
.
故答案为:
4 3
,
5 3
.
12．192
【分析】由题意画出满足条件的图，再由平面向量的运算可得
( ) (a − b)2 ⋅ (a − c)2 −[
a − b
⋅(a − c)]2
= (2S
ABC
)
2
，再由图形的几何性质即可得解．
( ) (2)若 (a − kc) ⋅ kb < 6 ，求实数 k 的取值范围．
19．已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn , Sn =3n2 + 4n,bn =a2n−1 ．
(1)求数列{an},{bn} 的通项公式；
n
(2)求所有使不等式 2023 < ∑ bi < 20230 成立的 n 的取值集合． i =1
此时 ABC
的面积取得最大值，即
(S
ABC
)max
=
1 ×2×4 2
3= 4
3，
( ) 因此 (a − b)2 ⋅ (a − c)2 −[ a − b ⋅(a − c)]2 的最大值为 4× (4 3)2 = 192 ．
故答案为：192 ． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用平面向量数量积的运算法则，将问题转化为求
14．若 O 是 ABC 内一点， OA + OB + OC = 0 ，则 O 是 ABC 的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
15．已知等比数列{an} 前 n 项和为 Sn ，则下列结论一定成立的是（ ）