微分方程第5章.1
5(5)二阶微分方程
线 无 的 1(x)与y2 (x)称 方 L[ y] = 0 性 关 y 为 程
的基础解系.
15
二阶微分方程
线性方程的通解, 为了求 齐次 线性方程的通解 只要求它的两个线性无关的特解. 只要求它的两个线性无关的特解 如 y ′′ + y = 0, y1 = cos x , y 2 = sin x , y2 , 且 = tan x ≠ 常数 通解 y = C1 cos x + C2 sin x. y1
2
3
二阶微分方程
例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . 解: 设电路中电流为 i(t), 极板上 R 的电量为 q(t) 自感电动势为 EL , , 由电学知
‖ +q q Q 根据回路电压定律: 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 di q E L Ri = 0 dt C
如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 2 di q d uC duC 2 E + 2β +ω0 uC = 0 L d t C Ri = 0 5 dt d t2
二阶微分方程
例1 例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
d y dy 形如 (x + Q( x) y = f ( x) 2 + P( x) dx dx
= C 1 cos x + C 2 sin x + x 2 2
非齐次方程的通解 方程的通解. 是非齐次方程的通解
22
二阶微分方程
定理5 定理5
(线性叠加原理2) (线性叠加原理2) 线性叠加原理
《常微分方程》第五章练习题
x
y
C1
e3t 2e3t
C2
et 2et
3、满足初值条件的解为
~
(t )
et e t
4、方程组的通解为
x y
C1e2t
4 5
C2e7t
1 1
。
4
5、所求基解矩阵为 (2 e
3t
3)e
3t
e 3t (2 3)r
3t ．
6、 (t )
e3t [E
t(A
3E)]
A1 (t)
A2 (t)
，t
(a,b) .
部分参考答案 一、填空题
1、 (t) (t)C
2、(t) exp[(t t0 )A]
t t0
exp[(t s)A] f (s)ds
3、必要
t t0
1 (s) f
(s)ds
三、计算题
1、
A
4 3
3
4
2、原方程组的通解为
x ' Ax ce mt 有一解形如(t) pemt ，其中 c ， p 是常数向量．
3
4、证明：如果 φ(t) 是方程组 x Ax 满足初始条件 φ(t0 ) η 的解，那么
φ(t) [exp A(t t0 )]η 。
5、证明：如果 Φ(t),Ψ (t) 在区间 a t b 上是 n 阶线性方程组
1、向量
X1
(t)
2et 0
，
X
2
(t)
t 2et et
的伏朗斯基行列式
W (t) =（
）．
A 、0 ； B 、 tet ； C 、2 e t ； D 、2 e2t ．
2、有关矩阵指数 exp A 的性质，以下说法正确的是（ ）
传热学-第五章1-2
假设边界层内的速度分布和温度分布，解积分方程 c）数值解法：近年来发展迅速 可求解很复杂问题：三维、紊流、变物性、超音速 （2）动量传递和热量传递的类比法 利用湍流时动量传递和热量传递的类似规律，由湍流 时的局部表面摩擦系数推知局部表面传热系数 （3）实验法 用相似理论指导
五、
对流换热过程的单值性条件
c [J (kg C) ]
[N s m2 ]
[1 K ]
运动粘度 [m 2 s]
1 v 1 v T p T p
h (流体内部和流体与壁 面间导热热阻小)
、c h (单位体积流体能携带更多能量)
流动引起的对流相项 非稳态项
导热引起的扩散项
1）如u=0、v=0上式即为二维导热微分方程。 2）如控制体内有内热源，在其右端加上
1 ( x, y) c
3）由能量方程说明，运动的流体除了依靠流体的 宏观位移传递热量，还依靠导热传递热量。
归纳对流换热微分方程组:(常物性、无内热源、 二维、不可压缩牛顿流体)
前面4个方程求出温度场之后，可以利用牛顿冷 却微分方程： t
hx t y w, x
计算当地对流换热系数 hx
四、表面传热系数的确定方法 （1）微分方程式的数学解法 a）精确解法（分析解）：根据边界层理论，得到 边界层微分方程组 常微分方程 求解
b）近似积分法：
单值性条件：能单值地反映对流换热过程特点的条件 完整数学描述：对流换热微分方程组 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界 (1) 几何条件 说明对流换热过程中的几何形状和大小 平板、圆管；竖直圆管、水平圆管；长度、 直径等 (2) 物理条件 说明对流换热过程的物理特征
第5章地下水运动的基本微分方程及定解条件
潜水面渗流速度为 ，当潜水面坡度很小、渗径∂s由∂x代替时，得到
（5—41）
实质是在潜水含水层渗流中，垂直分量流速vz远远小于水平分量流速vx和vy，而vz可以忽略，即假定等水头面是铅垂面，渗流被视为是水平流。这就是裘布依假定。单位宽度含水层断面上的流量为
（5—42）
该方程称为裘布依方程。
可见由质量守恒建立的渗流连续性方程（地下水运动的连续性方程）更具有普遍意义，它包括了潜水含水层、承压含水层及越流系统中水流运动的守恒原理。连续性方程表示出地下水任意点A到B的连续性。
5.1渗流连续性方程
依据质量守恒定律：在饱水含水层内选定小立方体：△x∙△y∙△z=V0；依据质量守恒定律→单位时间内，流入与流出小立方体的质量变化=单位时间内，小立方体水质量的变化。
注意：（1）水头减小引起的含水层中介质及水的3个变化，和相反过程。它确定了弹性释水、弹性储存的概念，忽略第三种变形。（2）为何弹性储存与重力储存的不同？何为弹性变形、塑性变形？弱透水层中和潜水含水层中有没有弹性储存？
5.2.2含水层水体压缩与膨胀方程
由上述分析，确定多孔介质固体颗粒为不可变形的刚性体，当含水层抽水或放水时所产生的水量，由两部分组成，一是水体积膨胀所释放出的水量；二是固体骨架压密所释放出来的水量。
孔隙含水层，尤其是细粒孔隙含水层，抽水（或放水）含水层水头（或水位）下降时，释放出来的水量与含水层水头（或水位）增大相同值时，含水层中压缩储存的水量是不相等的。所以有弹性储存与重力储存的区别；能够恢复的部分为弹性变形，不能恢复的部分为塑性变形；弱透水层中也有弹性储存；潜水含水层中也存在有弹性储存，只是它与重力储存相比小的多，一般情况下可忽略。
（*）
图5-1多孔介质单元水均衡要素图
5第五章梁弯曲时的位移5-1
M (x ) ± w ′′ = E Iz
(5-1)
（挠）曲线在x-y坐标中M与w''的 曲线在 坐标中 正负号关系
O
x
M M
O
x
M M
y
M <0 w′′ > 0
y
M >0 w′′ < 0
M与w''总是异号 总是异号
1 θ w C
法线
变形前梁轴线
x
A
x y
B
切线
1
变形后截面形心
截面x 截面 的水平位移相对于w为高阶微量 <<w ，略去
截面x的位移 挠度 截面 的位移—挠度、转角 的位移 挠度、 转角 θ C 1 w θ C
1
挠度
A
x y
B
x
挠曲线
梁变形前后横截面形心位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移。 为位移，位移包括线位移和角位移。在小 变形和忽略剪力影响（ 变形和忽略剪力影响（l >> h）的条件下， ）的条件下， 略去x 方向的线位移， 略去 方向的线位移，y 方向的线位移是截 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移， 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为 挠度， 表示，单位m、 挠度，用 w 表示，单位 、mm；角位移 ； 是横截面变形前后的夹角，称为转角 转角， 是横截面变形前后的夹角，称为转角，用 θ 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一 表示，单位弧度。 光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（ 的曲线称为挠曲线 条光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（弹性 曲线） 曲线） 。
固定端
传热学第5章 对流换热的理论基础(1)
局部表面传热系数的变化趋势。
y u∞ tf
主流区 u∞
u∞
对流
u
导
qδ
u
层流底层 q
热 0 层流边界层xc 过渡区 湍流边界层 l x
导 热
hx
导热 热阻0 增大
扰动 表面传热系数
热阻 增大
x
普朗特准数Pr
定义：Pr
a 物理意义：
u∞y
u∞
t∞
δ
t∞
δt
ｕ
t
0 层流边界层
tw
x
流体的动量扩散能力与热量扩散能力之比。
5.1 对流传热概说
5.1.1 对流传热的基本概念和计算公式
1. 对流（Convection）： 是指流体各部分之间发生相对位移时，冷热
流体相互掺混所引起的热量传递现象 。
2. 对流换热（Convection heat transfer）:
流体流过另一个物体表面时，流动方向 u∞
tf
对流和导热联合起作用的
对流换热是流体的导热和热对流两种基本方式 共同作用的结果。因此凡是影响流体导热和对流 的因素都将对对流换热产生影响。
归纳起来，主要有以下五方面： 流动的成因（自然对流, 强制对流） 流动的流动状态（层流, 紊流） 换热时物体有无相变（沸腾, 凝结） 流体的物性（导热系数, 粘度, 密度, 比热容等） 换热表面的几何因素
空气 cp 1.21kJ /(m3 C)
导热系数λ：
水的冷却能力强于空气
影响流体内部的热量传递过程和温度分布； λ越大，导热热阻越小，对流换热越强烈。
常温下：水 0.551 W /(m K) 空气 0.0257 W /(m K )
第5章 动态电路的过渡过程
解： 选定各电压、电流参考方向如图所示。 S打在1位时，电路处于稳态，电容相当于开路，此时 uC（0 -）= US =100 V t = 0时，S由1位打向2位，根据换路定律，有 uC（0+）= uC（0 -）=100 V 此时电容相当于100 V的电压源，作t = 0+ 时的等效电路如图5.1（b）所 示。由KVL得 uC（0+）- uR3（0+）+ uR2（0+）= 0 uC（0+）- [-R3 i（0+）] + R2 i（0+）= 0
R3 6 20 12 V uC（0 -）= U S R1 R3 46
t = 0时，S打开，输入为零。S打开瞬间有 uC（0+）= uC（0 -）= 12 V
1. 电压电流变化规律 电压、电流参考方向如图5.3（b）所示。换路后，根据KVL可得 uR - uC = 0 根据图5.3（b）中电压、电流参考方向，可写出电阻、电容VCR， 分别为 uR = R i R
iC C
d uC dt
将以上三式联立，可求出换路后（即t≥0时）电容电压uC变化规律的 微分方程 d uC RC + uC = 0 （t≥0） （5-2）
（4）一阶电路的全响应及三要素法；
（5）时间常数的计算及其物理意义。
难点：
（1）动态电路的经典分析法——解微分方程法； （2）过渡过程初始值的计算； （3）储能元件充放电规律。
5.1 过渡过程及换路定律
5.1.1 过渡过程
当电源电压（激励）为恒定值或作周期性变化时，电路中各部分电压 或电流（响应）也是恒定的或按周期性规律变化，即电路中响应与激励的 变化规律完全相同，称电路的这种工作状态为稳定状态，简称稳态。但是， 在实际电路中，经常遇到电路由一个稳定状态向另一个稳定状态的变化， 尤其当电路中含有电感、电容等储能元件时，这种状态的变化要经历一个 时间过程，称为过渡过程。 含有储能元件（也叫动态元件）L或C的电路称为动态电路。 电路产生过渡过程的原因无外乎有外因和内因，电路的接通或断开， 电路参数或电源的变化，电路的改接等都是外因。这些能引起电路过渡过 程的电路变化统称为“换路”。除了外因，电路中还必须含有储能元件电 感或电容，这是产生过渡过程的内因。动态电路的过渡过程，实质是储能 元件的充、放电过程。 电路的过渡过程一般比较短暂，但它的作用和影响都十分重要。有的 电路专门利用其过渡特性实现延时、波形产生等功能；而在电力系统中， 过渡过程的出现可能产生比稳定状态大得多的过电压或过电流，若不采取 一定的保护措施，就会损坏电气设备，引起不良后果。因此研究电路的过 渡过程，掌握有关规律，是非常重要的。
第五章_第3节 解对初值和参数的连续依赖性
以及参数a g l 都是测量得到的，是有误差的.解对 初始值及参数连续，意味着这些值足够精确时，解的 误差也会足够的小。
几何意义：
y
D
min( , / 2)
y0
y0
p( x0 , y0 )
G
0
a
x0 x0
b
x
问题的转化
讨论一般n阶微分方程的初值问题
dy f ( x, y , ), dx y ( x0 ) y0 , n ( x, y ) G R R ， K R m
由已知条件, 对 ( x, y ) S ,存在以它为中心的圆 Ci G ,使 f ( x, y) 在其内满足李氏条件,利普希茨常数为 Li.根据有限
C 时,有 S G G 覆盖定理,存在N,当G i
N
对 0 ,记 , S ), min , / 2 d (G
k 1
k
3). 用归纳法证明 k ( x, )对( x, ) D是连续的.
推论
(E) :
设n维向量值函数f ( x, y )在区域 R : x x0 a , y y0 b, 上连续，而且对y满足李氏条件. 则微分方程( E )的解 y ( x, )在区域 h b Q : x x0 , y0 2 2 上是连续的，其中h min a, b ，而正数M M 为 f ( x, y ) 在区域R的一个上界.
定理5.1的证明
证明的主要步骤：
( E ) :
dy f ( x, y, ), y (0) 0 dx
常微分方程第四、第五章部分习题参考答案
常微分方程习题4.2 2、解下列方程 （1）045)4(=+''-x x x解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=t t t te c e c e c e c --+++432221(2)03332=-'+''-'''x a x a x a x解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-(4)0=+'+''x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t e c t ec xt t 23sin 23cos 212211--+=(5) 12+=-''t s a s解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=atat e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=atat e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t (6) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解形如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (7) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321 取特解形如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (8)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解形如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(9) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 221-+因为+-2i 不是特征根取特解形如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=tte c e c 221-+t t 2sin 562cos 52--（10）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（11）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t t te c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++, 当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at at te c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （12）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c ec 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211故通解为x=t te c ec 521--++te 2211 （13）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i 故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=+t e t t --)sin 414cos 415( (14) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+= 对于t x x sin =+'',=1λi,是方程的解， 设)sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得A=21-B=0 故t t x cos 21~-=对于t x x 2cos -=+'' ，设t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=31 B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+ 15）1442++=+'-''ttee x x x解：0442=+-λλ，22,1=λ，齐次方程的通解为)()(212t C C e t x t +=。
理论力学-高教出版-刘又文、彭献著-第5章
课
后 答
案
k
G
(a) 图 5.12 (b)
142
m
m
功， 但正是它使人获得向前的动量。 如自行车加速前进时， 后轮上的摩擦力并不作功，
五．质心位置 质心守恒 若 ∑ Fx = 0 若 ∑ Fx = 0
rC =
∑m r
m
i i
且 vC = 0 时，则 rC = 常矢； 且 vCx = 0 时，则 xC = 常数。
139
m
(a)
(b)
(c)
ω2
O
p2
A
ω1
p1
G1
l
G2
r
y
p2 p1 p
(b) 图 5.6
O
p2e
p2r
ω1
θ
p1
(c)
C
A
x
(a)
答：不对。刚体系中各刚体的动量应对同一惯性参考系计算。此处， p1 相对于 静系， p 2 却相对于动系 OA 杆，故不正确。应为
如图 5.6 c 所示，其中
p1 =
课
后 答
案
网
图 5.1
向相同，也沿切线方向，法向加速度大小 an =
v2
ρ
= 0 ，故 v = 0 。
4．质点在空间运动，已知作用力。为求质点运动规律需要几个运动初始条件？ 在平面内运动呢？沿给定的轨道运动呢？ 答： 因为基于牛顿第二定律的质点运动微分方程是矢量式，在分析问题时，需 应用其投影式。当质点在空间运动时，可取三个正交坐标轴上的投影式，已知力求运 动，需要知道质点的初速度在三个坐标轴上的投影以及质点初位置的三个坐标分量， 共六个运动初始条件。当质点在平面运动时，可取两个正交坐标轴上的投影式，需要 知道质点的初速度和初位置的两个坐标分量，共四个运动初始条件。当质点沿给定的