材料力学课件4第四章弯曲内力4-1资料
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材料力学课件第四章 弯曲内力
固定端：支反力 F R x F R y
与矩为 M 的支反力偶
M FRy FRx
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-3 剪力与弯矩
梁的内力分析
内力分析
应力分析
变形分析
拉压杆横截面上的内力——轴力 受扭轴横截面上的内力——扭矩 受弯曲梁横截面上的内力——？
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BUAA
例1：试建立图示简支梁的
ห้องสมุดไป่ตู้
q
剪力、弯矩方程，画剪力、 弯矩图。
A
B
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
剪力弯矩图中要标明符号以及特征点的大小。 剪力图在有集中力作用处（包括支座处），发生突变。
弯矩图在有集中力偶作用处（包括支座处），发生突变。
Page18
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
微积分关系的推导
取梁一长dx微段， 研究它的平衡
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
作业： 4-2（e,f）,4-3, 4-4, 4-5(b,d,f)
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
材料力学第4章弯曲强度ppt课件
力学
悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面 [ ] 0.34MPa， 木材的 [ ] 10MPa,[ ] 1MPa求许可载荷。
✓ 画梁的剪力图和弯矩图 ✓ 按正应力强度条件计算许可载荷
✓ 按切应力强度条件计算许可载荷
材料
第四章 弯曲强度：梁弯曲时的强度计算
力学
✓ 按胶合面强度条件
计算许可载荷
✓ 求支反力
✓ 作FS、M图
材料
第四章 弯曲强度：梁弯曲时的强度计算
力学
例 [σ ]=170MPa，
[τ ]=100MPa，选 择槽钢型号。
✓ 按正应力强度条件 选择截面
m3
对于一根槽钢
查表取： No.36c，其
材料
第四章 弯曲强度：梁弯曲时的强度计算
力学
例 [σ ]=170MPa，[τ ]=100MPa，选择槽钢型号。
[ ]
1. 对于抗拉和抗压强度相等的材料(如低碳钢)
要求：绝对值最大的正应力不超过材料的许用应力 2. 对于抗拉和抗压强度不相等的材料(如灰铸铁)
要求：最大拉应力不超过材料的许用拉应力 t max [ ] 最大压应力不超过材料的许用压应力 emax [ ]
材料
第四章 弯曲强度：梁弯曲时的强度计算
力学
切应力强度条件
max
=
F S* S max z max Izb
[ ]
式中
S* z max
——中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩
b—横截面在中性轴处的宽度
注意：1)对于细长梁，其强度主要由弯曲正应力控制； 2)对于短粗梁、薄壁截面梁、集中力作用在支座附近的梁，
应同时考虑正应力和切应力强度条件。
✓ 求截面对中性轴z的惯性矩
第4章弯曲内力-PPT课件
第 4章
§4.1 概 述
弯曲内力
§4.2 剪力与弯矩
剪力图与弯矩图
§4.3 弯矩、剪力与分布载荷集度间的 微分关系 §4.4 刚架的内力图
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§4.1 概 述
4.1.1 平面弯曲的概念 一、弯曲变形 在垂直于杆件轴线的外力作用下，使原为直线的 轴线成为曲线。这种变形称为弯曲。 二、以弯曲变形为主的杆件称为梁。
4.1.3 静定梁的基本形式 根据约束的不同，静定梁的基本形式有三种。 (1) 简支梁 一端为固定铰支，另 一端为可动铰支的梁
F q b)
(2) 外伸梁 简支梁的一端或两端 伸出支座之外的梁
(3) 悬臂梁 一端固定，另一端 自由的梁
b)
F b)
F
F
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§4.2 剪力与弯矩 剪力图与弯矩图
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§4.2 剪力与弯矩 剪力图与弯矩图
例 4-2 图4-9a所示简支梁受集中载荷F作用。试列出梁 的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§4.2 剪力与弯矩 剪力图与弯矩图
4.2.2 梁横截面上的内力-剪力与弯矩 一、剪力方程和弯矩方程 以x表示横截面在梁轴线上的位置，各截面上的 剪力和弯矩可表示为x的函数。
F F ( x ) S S
M M ( x )
二、剪力图和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程，画出剪力和弯矩随截 面位置变化的图线，分别称为剪力图和弯矩图。
F 0计算剪力FS；
y
(4)由力矩平衡方程 截开截面的形心。
M 0 计算弯矩M，式中C为
C
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§4.1 概 述
弯曲内力
§4.2 剪力与弯矩
剪力图与弯矩图
§4.3 弯矩、剪力与分布载荷集度间的 微分关系 §4.4 刚架的内力图
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§4.1 概 述
4.1.1 平面弯曲的概念 一、弯曲变形 在垂直于杆件轴线的外力作用下，使原为直线的 轴线成为曲线。这种变形称为弯曲。 二、以弯曲变形为主的杆件称为梁。
4.1.3 静定梁的基本形式 根据约束的不同，静定梁的基本形式有三种。 (1) 简支梁 一端为固定铰支，另 一端为可动铰支的梁
F q b)
(2) 外伸梁 简支梁的一端或两端 伸出支座之外的梁
(3) 悬臂梁 一端固定，另一端 自由的梁
b)
F b)
F
F
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§4.2 剪力与弯矩 剪力图与弯矩图
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§4.2 剪力与弯矩 剪力图与弯矩图
例 4-2 图4-9a所示简支梁受集中载荷F作用。试列出梁 的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§4.2 剪力与弯矩 剪力图与弯矩图
4.2.2 梁横截面上的内力-剪力与弯矩 一、剪力方程和弯矩方程 以x表示横截面在梁轴线上的位置，各截面上的 剪力和弯矩可表示为x的函数。
F F ( x ) S S
M M ( x )
二、剪力图和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程，画出剪力和弯矩随截 面位置变化的图线，分别称为剪力图和弯矩图。
F 0计算剪力FS；
y
(4)由力矩平衡方程 截开截面的形心。
M 0 计算弯矩M，式中C为
C
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材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
材料力学第四章弯曲变形
（逆时针）
第4章
弯曲变形
叠加法
例4-4 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 EI的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角。
A
l C F EI l F D l B
解：原荷载可看成为图a和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。
F
(a)
wC1
q C1
直线
qC1 2l qB1
·
wC1
wB1
F
(b)
wD2
qB2 qD2
2 Fl 2 EI
（顺时针）
第4章
弯曲变形
叠加法
将相应的位移进行叠加，即得：
wB wB1 wB 2
4 Fl 3 14Fl 3 6 Fl3 （向下） 3EI 3EI EI
（顺时针）
q B q B1 q B 2
Fl 2 2 Fl 2 5Fl 2 2 EI EI 2 EI
转角：横截面对其原来位置的角位移 q。也等 于平面曲线AC1B在C1点的切线和x轴的夹角。在图 示坐标系中， 顺时针转向述
q (转角)
A C1 y w(挠度)
B
x
挠曲线方程：横截面的挠度w与横截面位置x 有关，即w=f(x)为挠曲线方程。 转角方程：转角q 很小，有：
q tanq w f x
M x dVε dx 2 EI
2
全梁的弯曲应变能为：
Vε dVε
0
l
l
0
由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点都是 对称的,因此,梁的挠曲线也应是对称的。由图可 见,两支座处的转角绝对值相等,而且都是最大值。 分别以x=0及x=l代入式(4)可得最大转角值为:
q q max q
第4章
弯曲变形
叠加法
例4-4 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 EI的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角。
A
l C F EI l F D l B
解：原荷载可看成为图a和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。
F
(a)
wC1
q C1
直线
qC1 2l qB1
·
wC1
wB1
F
(b)
wD2
qB2 qD2
2 Fl 2 EI
（顺时针）
第4章
弯曲变形
叠加法
将相应的位移进行叠加，即得：
wB wB1 wB 2
4 Fl 3 14Fl 3 6 Fl3 （向下） 3EI 3EI EI
（顺时针）
q B q B1 q B 2
Fl 2 2 Fl 2 5Fl 2 2 EI EI 2 EI
转角：横截面对其原来位置的角位移 q。也等 于平面曲线AC1B在C1点的切线和x轴的夹角。在图 示坐标系中， 顺时针转向述
q (转角)
A C1 y w(挠度)
B
x
挠曲线方程：横截面的挠度w与横截面位置x 有关，即w=f(x)为挠曲线方程。 转角方程：转角q 很小，有：
q tanq w f x
M x dVε dx 2 EI
2
全梁的弯曲应变能为：
Vε dVε
0
l
l
0
由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点都是 对称的,因此,梁的挠曲线也应是对称的。由图可 见,两支座处的转角绝对值相等,而且都是最大值。 分别以x=0及x=l代入式(4)可得最大转角值为:
q q max q
第四章弯曲内力
§4.3 剪力和弯矩
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
(0 x a)
B
C
a
a
BC段：
FS ( x) P M 2Pa - Px
(a x 2a)
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
(0 x a)
B
C
a
a
BC段：
FS ( x) P M 2Pa - Px
(a x 2a)
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
材料力学第四版(刘鸿文编)第04章(弯曲内力)-06
q( x)dx dFS ( x)
取一微段dx， 进行平衡分析。
x
dx
q(x) FS(x)+dFS (x) M(x)
A
dFS ( x ) q( x ) dx
剪力的导数等于该点处荷载 集度的大小。
FS(x) dx
M(x)+d M(x)
忽略高阶微量 MA 0 , 1 2 FS ( x)dx q ( x)(d x) M ( x) [M ( x) dM ( x)] 0 2 FS ( x)dx dM ( x) 0
(2)写出内力方程
qa FS ( x) FA qx qx 2
1 2 M ( x) FA x qx 2
1 1 2 qax qx 2 2
FA
A
q x a
FB
B
（3）根据方程画内力图
FS ( x)
FS
qa 2
qa x0 , FS 2
x －
qa 2
qa qx 2
+
dM ( x ) FS ( x ) 弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。 dx d 2 M ( x) dFS ( x) q ( x) 2 q(x) dx dx
FS(x)+dFS (x) M(x)
A
dM 2 ( x ) q( x ) 2 dx
弯矩与荷载集度的关系。
FS(x) dx
M(x)+d M(x)
FB
B
(3)根据方程画内力图
x1
x2
l
FS +
Me l x
M
+
bM l e
aM lபைடு நூலகம்e
－
x
Me FS ( x1 ) l FS ( x2 ) M e l M ( x1 ) M e x1 l M ( x2 ) M e (l x2 ) l x1 0 , M 0 x1 a , M a M e l x2 a , M b M e l x2 l , M 0
取一微段dx， 进行平衡分析。
x
dx
q(x) FS(x)+dFS (x) M(x)
A
dFS ( x ) q( x ) dx
剪力的导数等于该点处荷载 集度的大小。
FS(x) dx
M(x)+d M(x)
忽略高阶微量 MA 0 , 1 2 FS ( x)dx q ( x)(d x) M ( x) [M ( x) dM ( x)] 0 2 FS ( x)dx dM ( x) 0
(2)写出内力方程
qa FS ( x) FA qx qx 2
1 2 M ( x) FA x qx 2
1 1 2 qax qx 2 2
FA
A
q x a
FB
B
（3）根据方程画内力图
FS ( x)
FS
qa 2
qa x0 , FS 2
x －
qa 2
qa qx 2
+
dM ( x ) FS ( x ) 弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。 dx d 2 M ( x) dFS ( x) q ( x) 2 q(x) dx dx
FS(x)+dFS (x) M(x)
A
dM 2 ( x ) q( x ) 2 dx
弯矩与荷载集度的关系。
FS(x) dx
M(x)+d M(x)
FB
B
(3)根据方程画内力图
x1
x2
l
FS +
Me l x
M
+
bM l e
aM lபைடு நூலகம்e
－
x
Me FS ( x1 ) l FS ( x2 ) M e l M ( x1 ) M e x1 l M ( x2 ) M e (l x2 ) l x1 0 , M 0 x1 a , M a M e l x2 a , M b M e l x2 l , M 0
材料力学弯曲内力课件
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
0 x l
23
2. 列剪力方程和弯矩方程
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx qx2 0 x l
22
3. 作剪力图和弯矩图
24
例4-5 已知:简支梁如图 。求：剪力方程，弯矩 方程，并作剪力图和 弯矩图。
RAx x
RA Fs
80 kN
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
RC
x
40 kN
x
120 kN.m
M
160 kN.m
39
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
Fs Fs
弯矩 使梁产生上凹 (下凸)变形的 弯矩为正。
19
2、 剪力方程和弯矩方程.剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的
横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函 数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置 的变化规律。显示这种变化规律的图形则分 别称为剪力图和弯矩图。
研究CB梁， 受力如图
12
研究CB梁， 受力如图
MC 0
20 103 N m 3 m 2.5 m 5103 N m FBy 5 m 0
材料力学第四章梁的内力.
M ＝0， M ＝0
A B
FS
Fb / l
FAy＝Fb/l
FBy＝Fa/l
Fa / l
Fab / l
M
2．写出剪力和弯矩方程 ＝Fb / l 0 x1 a x AC FS x1 M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l CB M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代 数和。
a 5 F 3a 3 2F ME Fa 2 2 3 2
目录
§4-3
例4-4 一悬臂梁， 其尺寸及梁上荷 载如图所示。试 求截面1-1上的剪 力和弯矩。
梁的内力及其求法
解：为避免求左端固定支座反力， 取右段脱离体。分布荷载用合力 代替。
FN FN M FS
FAy
FBy
截面上的剪力对所选梁 段上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为 负。 截面上的弯矩 使得梁呈凹形为正； 反之为负。
+
_
左上右下为正；反之为负
+
目录
_
左顺右逆为正；反之为负
§4-3
梁的内力及其求法
例题 解： 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2F
（1）具有纵向对称面； 平面弯曲 （2）外力都作用在此平 面内； （3）弯曲变形后轴线变 成对称面内的平面曲线
对称弯曲 平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该
平面曲线仍与外力共面。
§4-1
工程中的弯曲问题
常见弯曲构件截面
§4-2
梁的荷载与支座
梁的荷载和支座反力
材料力学B第4章弯曲内力
左端： FQ qa; M 0
点 A： FQ qa; M qa2 x
右端：
FQ
0
;M
3 2
qa 2
x (2) 根据微分关系画内力图.
3 2
qa
2
第四章 弯曲内力
材料力学
例 4-7用直接作图法画出梁的内力图.
a
q
a
AB
RA qa
FQ
qa/2 +
– qa/2
a
qa2
CD RD
3) 如果取截面的左边梁段研究，则顺时针转向的力偶在截面 上产生正弯矩；取截面的右边梁段研究，则逆时针转向的力 偶在截面上产生正弯矩。反之产生负弯矩。
第四章 弯曲内力
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
描述内力的变化规律： （1）数学方法—剪力方程和弯矩方程； （2）几何方法—剪力图和弯矩图。
q(x) M(x)+dM(x)
M(x)
FQ dx FQ+dFQ
第四章 弯曲内力
材料力学
因此可以建立载荷与剪力和弯矩间的微分关系：
d FQ (x) q(x) dx
d
M (x) dx
FQ
(x)
d2 M (x) d x2
d
FQ (x) dx
q(x)
第四章 弯曲内力
载荷与剪力和弯矩间的微分关系：
x
递增函数
x
递减函数
x
下凹
x
隆起
x
与 F相同
M2
M1 M2 m
第四章 弯曲内力
材料力学
内力图的一些特点:
1) 无限靠近端部的横截面上，剪力和弯矩在数值上等于作 用在端部的集中力和集中力偶矩的数值。