高等数学-第3章-3.3-曲线的弯曲程度——曲率
高等数学第三章课后习题答案
第三章 中值定理与导数的应用1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。
解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的条件。
又xx f 1)(='，解方程,111,1)1()()(-=--='e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。
因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。
2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)('=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。
由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。
又因方程'()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。
因此，方程'()0f x =有且只有三个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。
3．若方程 01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根,0x 证明:方程0)1(12110=++-+---n n n a x n a nxa 必有一个小于0x 的正根。
解：取函数()1011nn n f x a x a xa x --=+++。
0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导，且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根。
高等数学a3教材
高等数学a3教材高等数学A3教材是大学高等数学教学中常用的教材之一，旨在帮助学生深入理解高等数学的基本概念、定理和方法，并培养解决实际问题的能力。
该教材内容全面、系统，适合大多数理工科专业的学生学习。
下面将从教材的结构、内容和特点等方面进行介绍。
一、教材结构高等数学A3教材根据内容的难易程度，分为若干章节和小节。
具体结构如下：1. 第一章：多元函数微分学- 1.1 二元函数的极限与连续- 1.2 偏导数与全微分2. 第二章：多元函数微分学进阶- 2.1 隐函数与参数方程及求导- 2.2 多元函数的微分法及其应用3. 第三章：重积分- 3.1 二重积分- 3.2 三重积分及其应用4. 第四章：曲线与曲面积分- 4.1 路径与曲线积分- 4.2 曲面积分及其应用5. 第五章：无穷级数- 5.1 数项级数- 5.2 幂级数6. 第六章：曲线与曲面问题- 6.1 空间曲面的方程与曲率- 6.2 参数方程曲线与曲面二、教材内容高等数学A3教材的内容广泛涵盖了多元函数微分学、重积分、曲线与曲面积分、无穷级数以及曲线与曲面问题等重要知识点。
下面将逐个介绍各个章节的内容要点：1. 第一章：多元函数微分学第一章主要介绍了二元函数的极限与连续的概念，以及偏导数与全微分的计算方法和应用。
2. 第二章：多元函数微分学进阶第二章进一步深入探讨了隐函数与参数方程的概念，以及求导的方法和应用。
3. 第三章：重积分第三章主要介绍了二重积分的概念、计算方法和应用，以及三重积分的引入和应用。
4. 第四章：曲线与曲面积分第四章主要讲解了路径与曲线积分的概念、计算方法和物理应用，并引入了曲面积分的概念和应用。
5. 第五章：无穷级数第五章介绍了数项级数和幂级数的概念、性质和判敛条件，以及级数的求和方法。
6. 第六章：曲线与曲面问题第六章主要研究了空间曲面的方程和曲率的计算方法，以及参数方程曲线与曲面的性质和应用。
三、教材特点高等数学A3教材具有以下几个特点：1. 理论与实践结合：教材内容既注重基本理论的阐述，又注重与实际问题的结合，通过一些例题和应用案例，让学生更好地理解数学在现实生活中的应用。
谢金云(2)《平面曲线的曲率》教案和说课设计
平面曲线的曲率第一部分：教案（P1-6）第二部分：说课稿（P7-11）2009年12月《平面曲线的曲率》教案课题：平面曲线的曲率课时：2课时（90分钟）教学目标：认知目标：1、理解曲率的概念和曲率公式的实际应用；2、了解曲率圆和曲率半径的概念；3、掌握曲率计算公式的推导过程及公式的实际应用，真正体会微积分和导数在数学中的重要地位。
能力目标：激发学生的数学学习兴趣，加强数学建模的能力，掌握归纳总结的数学思想方法，培养学生联系实际学习的意识，增进数学应用的眼光，提高学生的主观能动性情感目标：培养学生勇于探索、大胆应用的数学精神，培养团结协作的意识。
教学重点：曲率的概念，曲率计算公式的实际应用。
教学难点：利用曲率计算公式解决实际应用问题。
教学方法：引导探究法（Enlightment）、分层次教学法（Delamination）、任务驱动法（Assignment）。
教学工具：木杆、多媒体课件教学。
教学过程：一、引入：前面我们已经学习了导数的应用，例如函数极值、最值的求解，函数单调性的判断及函数图像的描绘等，我们体会了导数的重要性，曾有人说微积分和导数是最伟大的人类心智成就之一，足以可见它们在人类生产生活中的应用之广泛，今天我们要继续学习导数的另一个应用——“平面曲线的曲率”，这个内容虽然是个选修内容，可是对于我们工程机械专业的学生来说是个不得不学的内容，所以我们接下来就来探讨有关平面曲线的曲率的问题。
二、新课讲解：（一）引入课题：（5分钟）操作实验，并布置任务。
感性认识“直”——“弯”——“最弯之处”：取一根笔直的木杆，当它放置于桌面上时，它很明显时直的，没有弯曲。
当它的两端各受另一个向上的外力时，它马上会开始弯曲，在这个过程中，有的地方弯曲程度大，有的地方弯曲程度小，随着力度的增大，竹片会断裂，很明显我们可以得出结论：断裂处就是弯曲得最厉害的地方。
当然弯曲的时木杆，断裂了也没什么关系，但若是因荷载作用而弯曲变形的船体结构中的钢梁，我们是不能让它们断裂的，所以我们必须找到那个最容易断裂的地方，然后给它加固，或者我们要采取一些什么样的措施来防止因为弯曲而容易断裂的铁路铁轨的问题呢？在数学领域里，我们用曲率来描述曲线的弯曲程度，因此今天我们就来探讨“平面曲线的曲率”的问题。
高等数学A-第2章-11-11(弧微分曲率及习题课)
s
2
x
MM
2
x
2
MM MM
MM 2
x 2
MM MM
2
x2 y2 x 2
MM MM
2
1
பைடு நூலகம்
y x
2
s x
MM MM
2
1
y x
2
lim
MM
lim
MM 1,
lim y y
x0 MM MM MM
x0 x
lim s lim x0 x x0
y 1 x2 l 0 2 Rl 2 R
y 1 x
Rl
K y 1 x
Rl
显然 K x0 0;
K
xl
1 R
y
R
B
ol
x
y 1 x3 6Rl
例5. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x asint ;
x acos t
x 表示对参
y bcos t ;
y bsint
数 t 的导数
故曲率为
M1
弧长相同时,弧段弯曲程 度越大转角越大
M
S1
M
N S2 N
转角相同时,弧段越短 弯曲程度越大
定义: 设MM s,由M到M的切线转角为,
(1) K 称为平均曲率;
s
(2) 若 lim 存在, 称此极限值为点M处的曲率.
s0 s
y
记为 K d lim .
C
ds s0 s
M. . M0 S M S
曲率圆与曲率半径习例6-8
用 内容小结
课堂思考与练习
结构框图
习题课 内容小结
典型习例
一. 弧微分
高等数学第三版教材目录
高等数学第三版教材目录第一章微积分简介1.1 微积分的起源与发展1.2 微积分的基本概念1.3 微积分的应用领域第二章极限与连续性2.1 极限的定义与性质2.2 无穷小量与无穷大量2.3 连续性及其判定第三章导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 导数的几何意义与物理意义3.3 微分及其应用第四章微分中值定理与导数应用4.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理4.2 洛必达法则与导数应用4.3 凸函数与切线方程第五章积分与积分应用5.1 不定积分与定积分5.2 牛顿-莱布尼茨公式5.3 定积分的几何应用第六章微分方程与其应用 6.1 微分方程基本概念6.2 一阶线性微分方程6.3 高阶线性微分方程第七章多重积分与曲线积分 7.1 二重积分的概念与计算 7.2 曲线积分的概念与计算 7.3 曲面积分及其应用第八章矢量场与散度定理 8.1 矢量场的概念与性质 8.2 散度定理的概念与应用 8.3 对称性与斯托克斯公式第九章级数与幂级数9.1 数项级数的概念与判敛法 9.2 幂级数及其收敛域9.3 幂级数展开与泰勒展开第十章参数方程与极坐标系10.1 参数方程的基本概念10.2 曲线上的曲率与曲率半径 10.3 极坐标系下的曲线与曲面第十一章空间解析几何11.1 空间点、直线及其性质 11.2 平面及其性质与方程11.3 空间曲面及其性质与方程第十二章多元函数微分学12.1 多元函数的偏导数12.2 多元复合函数的求导法则 12.3 隐函数的求导与导数应用第十三章多元函数积分学13.1 二重积分与累次积分13.2 三重积分与坐标变换13.3 曲线积分与曲面积分第十四章曲线、曲面与向量场积分14.1 曲线的弧长与线积分14.2 曲面的面积与面积分14.3 向量场的通量与通量积分第十五章傅里叶级数与傅里叶变换15.1 傅里叶级数的概念与性质15.2 傅里叶级数展开与非周期函数15.3 傅里叶变换及其应用这是《高等数学第三版》教材的目录，共分为15章。
高等数学(理工科)课件第3章导数的应用
0
0
极
f (x) ↗ 大
值
极大值 f (1) 10,
极
↘
小
↗
值
极小值 f (3) 22.
高等数学应用教程 3.2.1 函数的极值及其求法
解法2 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) f (x) 6x 6 6(x 1)
令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 由于 f (1) 12 0， 则 f (1) 10为极大值 由于 f (3) 12 0， 则 f (3) 22为极小值
1、求出函数 f（x）所有的临界点（驻点和不可导点）；
2、计算各临界点的函数值和区间端点的函数值；
3、比较各函数值的大小，其中最大的就是函数 f(x)在区 间[a, b]上的最大值，最小的就是函数 f(x)在区间[a, b] 的最小值.
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值 例3
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值
2
arctan
1 n
n
( n 为正整数)?
高等数学应用教程
二、 型未定式
定理3.3.2 如果函数 f (x)和g (x)满足：
2)
f
( x)、g ( x)
，在
o
U(x0 )
内可导，且
f (x)
3) lim
A
xx0 g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xx0 g(x) xx0 g(x)
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
同济大学高等数学§2.4.3-5函数的凹凸1§2.5曲线的曲率
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
1．定义 1 设有曲线段y f ( x) ， x(a,b) ，
若对于其上任何两点A, B ，弦 AB 总位于所夹曲线
B (1,6), C (2,1). y
6B
1
C
3 2 1 o 1 2
x
2
A
3
§2.9 曲线的曲率
2.9.1 曲率概念
曲线弧 M⌒N 两端切线的夹角 ，可以看作是点 M
沿曲线移动到点 N 时，切线 MT 随着转动到 NT 所
转过的角，故 又称为转角。
N
决定曲线弯曲程度的两个因素：
（1） 曲线的弧长； （2）弧两端切线的转角。
5．定理 8 可导函数 f ( x) 在(a,b) 内是凸（或凹）函数 曲线 y f ( x) 在(a,b) 内位于它的任意一点的切线 上方（或下方）。这时曲线y f ( x) 在(a,b) 内是向下 凸（或向上凸）的。
6．定理 9 若函数 f ( x) 在(a,b) 内，有 f ( x)0
（或 f ( x)0 ），则曲线y f ( x) 在(a,b) 内向下凸 （或向上凸）。
f
(x) f ( x2) x x2
lim f ( x) f ( x1) f ( x2 ) f ( x1) f ( x1) f ( x2 ),
xx2 x x1
x2 x1
x1 x2
∴ f ( x1) f ( x2 ) ，即 f ( x) 在 (a,b) 内单调增加。
曲率属性及在3D层位解释中的应用
维普资讯
６ ８
勘探地球物理进展
第２ ５卷
曲率简单地说是曲率半径的倒数 。从这个简 单的式子中我们可以看到曲率半径越小， 曲线的弯 曲程度越大 ， 曲率也就越大。假 如考虑曲率半径为
无 穷大 的极 限情况 ， 圆周 的局部 可 近似 为一段直 则 线， 因此 曲率 为 ０ 。曲率还 可 以表 示成 导数 的 形式
（ 见 Ｔ ｏ ｓ ［７ ） 参 ｈｍａ ，９ ２ ：
（） ２
这个 公 式 表 明 曲率 与 曲线 的二 阶导 数密 切 相 关 。通 常我 们 用二 阶导数直 接 测量 曲率 ． 一假 设 这
仅在零倾角的特殊情况下才严格有效。然而 ． 在倾 角很 小时 ， 也能 给 出一个很 好 的近 似 使 曲率 可 它
视化 的另 一种 方法 是 考虑 穿越 一 特 定 成 图层 面 的
２ Ｄ横截面如图 ３ 所示。图中的矢量垂直于层面 ， 被绘成灰色， 等间隔沿层分布。当地层为水平层和
斜平 层时 ， 相应 的 矢量 互 相 平 行 ， 因此 地 层在 这 些
图４ ３ Ｄ空间中的曲率
ＸＹ 代表底 图的 ２ 十袖 ． 三表示时间或深度 注意 ２个 互相垂直平 面 层面之交线分别描述 了扳大 曲率 丘． 与 山和极 小曲率 另外 ２ 十正变曲率， 倾向曲率 和走向曲率
条 件下 ， 难 以甚 至不 可能 观察 到的 。这里 的层 面 是
是指任意曲面， 它可 以是一个平面 ， 经解释得 到的 或用 于控制抽取体属性的某个 窗口。层面属性可
以分 为三大 类 ： 面相关 属性 是 指那些 利用 一个 层 层
面从辅助数据源 中提 取出来的属性 ， 如震 幅、 相干 体、 复数道和 Ａ Ｏ数 据。层 面衍生属性是指 直接 Ｖ 从层面本身计算得到的属 性。这 一类 中最常用的 属性是一阶导数型属性 ， 如倾角、 边界和方位角， 及
高等数学典型例题与解法(一)01-第38讲 曲率与曲率半径_38
d 些= 亜
fcsc2t —2sint
孜=无=克赢=一乎毗
d%2 dx
dt
dt
____________
从而，曲率K= 伊〃 I g— 10 g_
3, 10
5 4sin3t"
(1 _|_ y，2)a (4sin2t + 25cos2*)2 (4 + 21cos^)2
当cost = 0即％ = 0时曲率最大，当cost = ±1即工=±2时曲率最小.
K="
3,
(1+門2
NATIONAL UNIVERSITY OF DEFENSE TECHNOLOGY'
r
国防科学技术大学
第38讲曲率与曲率半径
(3)曲率半径与曲率中心
____
过曲线上。上点M作一个与其相切的圆(即它在
点M处与曲线有公共 切线)，使该圆与曲线。 线在在点点MM处处有的相曲同率的圆凹，向其和圆曲心率和，半称径这分个别圆称为曲 为曲线C在点M处的曲率中心和曲率半径.
N«3I Mvtniey of Maw
高等数学典型例题与解法（一）
第38讲曲率与曲率半径
理学院李建平教授
主要内容
第38讲曲率与曲率半径
i弧微分平面光滑曲线的弧长微分(弧微分)在几何上是用切线长 作为曲线长的一种局部线性近似.
⑴平面光滑曲线C\y = y(x)的弧微分
ds = 1 + y,2dx.
国防科学技术大学
第38讲曲率与曲率半径
2、曲率曲率是曲线的切线的转角关于弧长的变化率.
(1)曲率定义 设M是光滑曲线Gy = y(x)上一定点，N是。上
异于M的任意一点.设弧段标力的长度为4s , 设 点M处的切线转动到点N处的切线位置时, 切线 转过的角度为，如果极限
高等数学同济大学课件上第37曲率
理解曲率的几何意义：第37曲率 描述了曲线在某一点的弯曲程度， 可以用于描述曲线的形状和性质。Fra bibliotek添加标题
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理解曲率的计算公式：第37曲率 可以通过计算曲线在某一点的二 阶导数得到。
理解曲率的物理意义：第37曲率 可以用于描述物体在空间中的运 动轨迹，例如在物理学中的圆周 运动、天体运动等。
生物医学：利用曲率进行人体 器官建模，提高医疗诊断准确 性
汇报人：
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大，曲线 弯曲程度越大
曲率是微分几何 中的重要概念
曲率在物理学、 工程学等领域有 广泛应用
曲率定义：描述曲线在某一点的弯曲程度 曲率公式：k = 1/r，其中k为曲率，r为半径 解析过程：首先，确定曲线在某一点的切线方向和法线方向 然后，计算切线方向和法线方向之间的夹角，即曲率角 最后，根据曲率公式计算曲率值
同济大学课件上 第37曲率的定义
同济大学课件上 第37曲率的计算 方法
同济大学课件上 第37曲率的应用 实例
同济大学课件上 第37曲率的注意 事项
曲率是描述曲线弯曲程度的量 第37曲率是描述曲线在某一点的弯曲程度 第37曲率与曲线的弧长、切线斜率等有关 第37曲率在微分几何、物理等领域有广泛应用
第37曲率是同济 大学高等数学课件 上的一个重要概念
第37曲率与其他 曲率相比，具有独 特的性质和特点
第37曲率与其他 曲率之间的关系， 可以帮助我们更好 地理解和掌握高等 数学中的曲率概念
第37曲率与其他 曲率的关系，可以 帮助我们更好地解 决实际问题中的曲 率问题
理解曲率的定义：曲率是描述曲 线弯曲程度的量，第37曲率是描 述曲线在某一点的弯曲程度。
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§3.3 曲线的弯曲程度——曲率
一、曲率的概念
在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。
本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。
例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。
为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。
直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。
那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？
如图3.6所示，12M M 和23M M 是两段等长的曲线弧，23M M 比12M M 弯曲得厉害些，当点
2M 沿曲线弧移动到点3M 时，切线的转角2α∆比
从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时，切线的转角1α∆要大些。
如图3.7所示，12M M 和12N N 是两段切线转角同为α∆的曲线弧，12N N 比12M M 弯曲得厉害些，显然，12M M 的弧长比12N N 的弧长大。
这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。
由此，我们引入曲率的概念。
如图3.8所示，设,M N 是曲线()y f x =上的两点，当点M 沿曲线移动到点N 时， 切线相应的转角为α∆， 曲线弧MN 的长为s ∆。
我们用s
∆∆α来表示曲线弧MN 的平均弯曲程
1M
图
3.6
图
3.7
图3.8
2 / 4
度，并称它为曲线弧MN 的平均曲率，记为K ，即
K s
α
∆=
∆。
当0s ∆→（即N M →）时，若极限0lim
s d s ds
αα
∆→∆=
∆存在，从而极限0
l i m
s d s d s αα∆→∆=∆存在，则称0lim s d s ds
αα
∆→∆=∆为曲线()y f x =在M 点处的曲率，记
为K ，即
d K ds
α
=。
（3.1） 注意到，
d ds
α
是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。
二、曲率的计算公式
设函数)(x f 的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式.
先求d α，因为α是曲线切线的倾斜角，所以αtan ='y ，从而y '=arctan α，两边微分，得
())(11arctan 2y d y y d d ''+=
'=αdx y y '''
+=2
11
（3.2） 其次求ds ，如图 3.9，在曲线上任取一点
0M ，并以此为起点度量弧长。
若点()y x M ,在()000,y x M 的右侧()0x x >，规定弧长为正；若
点()y x M ,在()000,y x M 的左侧()0x x <，规定弧长为负；依照此规定，弧长s 是点的横坐标x 的增函数，记为()x s s =。
当点M 沿曲线移动到N ，相应地，横坐标由x 变到x x +∆时，有
=
∆2
)(s ()
()()2
2
2
y x MN ∆+∆=≈，
即 22)(1)(
x
y
x s ∆∆+≈∆∆，
图3.9
3 / 4
取极限后可得等式
2020)(lim 1)(
lim x
y
x s x x ∆∆+=∆∆→∆→∆，
即 22)(1)(dx dy
dx ds +=21y '+=，
又因为，s 是x 的增函数，故0ds
dx ≥，从而
21y dx
ds
'+=， 即 dx y ds 21'+=。
（3.3） 把（3.2）、（3.3）式代入（3.1）式，得
23/2
(1)y K y ''
='+ （3.4）
这就是曲线()y f x =在点(,)x y 处曲率的计算公式.
例1 求下列曲线上任意一点处的曲率： （1）b kx y +=；（2）222R y x =+。
解 （1）因为k y ='，0=''y ，代入公式（3.4），得0K =。
所以，直线上任意一点的曲率都等于零，这与我们的直觉“直线不弯曲”是一致的。
（2）因为022='+y y x ，y x y -='；322y
R y y x y y -='--=''，代入公式（3.4）
，得
()
3
2
2
1y K y ''
=
'+()
2
32)(132
x y R -+-
=
()
R
y
x
R 12
3
2
2
2
=
+=。
所以，圆上任意一点处的曲率都相等，即圆上任意一点处的弯曲程度相同，且曲率等于圆的半径的倒数。
三、曲率圆
如图3.10，设曲线()y f x =在点(,)M x y 处的曲率为(0)K K ≠。
在点M 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D ，使1
||DM K
ρ=
=。
以D 为圆
图3.10
4 / 4
心，ρ为半径所作的圆称为曲线在点M 处的曲率圆；曲率圆的圆心D 称为曲线在点M 处的曲率中心；曲率圆的半径ρ称为曲线在点M 处的曲率半径。
根据上述规定，曲率圆与曲线在点M 处有相同的切线和曲率，且在点M 邻近处凹凸性相同。
因此，在工程上常常用曲率圆在点M 邻近处的一段圆弧来近似代替该点邻近处的小曲线弧。
例2 设工件内表面的截线为抛物线20.4y x =，现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值。
因为
0.8,0.8y x y '''==，
所以，抛物线上任一点的曲率半径为
23/223/2
1(1)[1(0.8)]0.8
y x K y ρ'++===
''， 当0x =时，即在顶点处，曲率半径最小，为 1.25ρ=。
所以，选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长.。