高等数学-第3章-3.3-曲线的弯曲程度——曲率
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§3.3 曲线的弯曲程度——曲率
一、曲率的概念
在上一节中,我们研究了曲线的凹凸性,即曲线的弯曲方向问题。本节研究曲线的弯曲程度问题,这是在生产实践和工程技术中,常常会遇到的一类问题。例如,设计铁路、高速公路的弯道时,就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。为此,本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。 直觉上,我们知道,直线不弯曲,半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些,抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢?
如图3.6所示,12M M 和23M M 是两段等长的曲线弧,23M M 比12M M 弯曲得厉害些,当点
2M 沿曲线弧移动到点3M 时,切线的转角2α?比
从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时,切线的转角1α?要大些。 如图3.7所示,12M M 和12N N 是两段切线转角同为α?的曲线弧,12N N 比12M M 弯曲得厉害些,显然,12M M 的弧长比12N N 的弧长大。
这说明,曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比,与弧长成反比。由此,我们引入曲率的概念。
如图3.8所示,设,M N 是曲线()y f x =上的两点,当点M 沿曲线移动到点N 时, 切线相应的转角为α?, 曲线弧MN 的长为s ?。
我们用s
??α来表示曲线弧MN 的平均弯曲程
1M
图
3.6
图
3.7
图3.8
2 / 4
度,并称它为曲线弧MN 的平均曲率,记为K ,即
K s
α
?=
?。 当0s ?→(即N M →)时,若极限0lim
s d s ds
αα
?→?=
?存在,从而极限0
l i m
s d s d s αα?→?=?存在,则称0lim s d s ds
αα
?→?=?为曲线()y f x =在M 点处的曲率,记
为K ,即
d K ds
α
=
。 (3.1) 注意到,
d ds
α
是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。 二、曲率的计算公式
设函数)(x f 的二阶导数存在,下面导出曲率的计算公式.
先求d α,因为α是曲线切线的倾斜角,所以αtan ='y ,从而y '=arctan α,两边微分,得
())(11arctan 2y d y y d d ''+=
'=αdx y y '''
+=2
11
(3.2) 其次求ds ,如图 3.9,在曲线上任取一点
0M ,并以此为起点度量弧长。若点()y x M ,在()000,y x M 的右侧()0x x >,规定弧长为正;若
点()y x M ,在()000,y x M 的左侧()0x x <,规定弧长为负;依照此规定,弧长s 是点的横坐标x 的增函数,记为()x s s =。
当点M 沿曲线移动到N ,相应地,横坐标由x 变到x x +?时,有
=
?2
)(s ()
()()2
2
2
y x MN ?+?=≈,
即 22)(1)(
x
y
x s ??+≈??,
图3.9
3 / 4
取极限后可得等式
2020)(lim 1)(
lim x
y
x s x x ??+=??→?→?,
即 22)(1)(dx dy
dx ds +=21y '+=,
又因为,s 是x 的增函数,故0ds
dx ≥,从而
21y dx
ds
'+=, 即 dx y ds 21'+=。 (3.3) 把(3.2)、(3.3)式代入(3.1)式,得
23/2
(1)y K y ''
='+ (3.4)
这就是曲线()y f x =在点(,)x y 处曲率的计算公式.
例1 求下列曲线上任意一点处的曲率: (1)b kx y +=;(2)222R y x =+。
解 (1)因为k y =',0=''y ,代入公式(3.4),得0K =。所以,直线上任意一点的曲率都等于零,这与我们的直觉“直线不弯曲”是一致的。
(2)因为022='+y y x ,y x y -=';322y
R y y x y y -='--='',代入公式(3.4)
,得
()
3
2
2
1y K y ''
=
'+()
2
32)(132
x y R -+-
=
()
R
y
x
R 12
3
2
2
2
=
+=
。 所以,圆上任意一点处的曲率都相等,即圆上任意一点处的弯曲程度相同,且曲率等于圆的半径的倒数。 三、曲率圆
如图3.10,设曲线()y f x =在点(,)M x y 处的曲率为(0)K K ≠。在点M 处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D ,使1
||DM K
ρ=
=。以D 为圆
图3.10
4 / 4
心,ρ为半径所作的圆称为曲线在点M 处的曲率圆;曲率圆的圆心D 称为曲线在点M 处的曲率中心;曲率圆的半径ρ称为曲线在点M 处的曲率半径。
根据上述规定,曲率圆与曲线在点M 处有相同的切线和曲率,且在点M 邻近处凹凸性相同。因此,在工程上常常用曲率圆在点M 邻近处的一段圆弧来近似代替该点邻近处的小曲线弧。
例2 设工件内表面的截线为抛物线20.4y x =,现在要用砂轮磨削其内表面,问用直径多大的砂轮才比较合适?
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多,砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值。因为
0.8,0.8y x y '''==,
所以,抛物线上任一点的曲率半径为
23/223/2
1(1)[1(0.8)]0.8
y x K y ρ'++===
'', 当0x =时,即在顶点处,曲率半径最小,为 1.25ρ=。
所以,选用砂轮的半径不得超过1.25单位长,即直径不得超过2.50单位长.