高三第一轮复习 平面向量的概念及其线性运算
AB BC , AC
这种求向量和的方法，称为向量加法的三
基础知识
②平行四边形法则：以同一点O为起点的 两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以
OC O为起点的对角线 就是a与b的和，这种
作两个向量和的方法叫做向量加法的平行 四边形法则； ③向量加法的几何意义：如图所示.
基础知识
(A) PB＝2CP (B)
(C) CP ＝2PB
(D)AP＝2PB
PB ＝2AP
2、在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE
AC AG . AB 与CF相交于G点，设 =a， =b，试用a,b表示
二、考点探究
考向2
探究点二 平面向量的线性运算
平面向量的线性运算
������ ������ ������ ������
长度 (3)模：向量的_____ 叫做向量的模，
记作|a|,|b|或
AB ， CD .
基础知识
2.特殊向量
名 称
零向量 单位向量
说 明
0的向量，其方向是任意的 长度等于__ _________，记作0
长度等于___________ 1个单位的向量
平行向量
相同或相反的非零向量，又叫共线向量， 方向_______________ 规定：0与任一向量共线
其中错误说法的序号是
①②
.
二、考点探究
探究点一 平面向量的基本概念
[总结反思] 对于向量的有关概念应注意以下几点: (1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无 关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向 量,而平行向量未必是相等向量;相等向量具有传递性. (2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向 量的模是非负数,可以比较大小. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题 时,不要把它与函数图像的平移混为一谈. (4)非零向量 a 与 的关系: 是与 a 同方向的单位向量.
( C)
������ ������ ������ ������
B. - a+ b
������ ������
������
������
C. a+ b
������ ������
������
������
D. - a- b
(2)[2017· 惠州二调] 如图,在正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的 中点,点 F 是 BC 的一个三等分点,那么������������=( D )
相同 的向量 长度相等且方向_______ 相反 的向量 长度相等且方向_______
相等向量
相反向量
基础知识
3.向量的加法与减法
(1)向量的加法
①三角形法则：已知非零向量a,b,在平面内 任取一点A，作 AB =a, BC =b,则向量 a+b 叫做a与b的和，记作____, 即
AC
a+ b AC =____=
������������
������
.
5. M 是△ABC 边 BC 的中点,������������=a,������������=b,则������������= ������(a+b) .
6. 向量 e1 与 e2 不共线,若 a=e1-e2 与 b=-2e1+λe2 共线,则 λ 的值为
2
.
二、考点探究
探究点一 平面向量的基本概念
练习2：设a是任一向量，e是单位向量， 且a∥e，则下列表示形式中正确的是( )D
a A、 e = |a|
B、a=|a|e C、a=-|a|e D、a=±|a|e
二、考点探究
探究点一 平面向量的基本概念
练习 3：判断下列各命题是否正确. (1)零向量没有方向; (2)若|a|=|b|,则 a=b; (3)单位向量都相等; (4)向量就是有向线段; (5)如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c; (6)若 a=b,b=c,则 a=c; (7)若四边形 ABCD 是平行四边形, 则 ������������ = ������������, ������������ = ������������; (8)a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b.
2 1
基础知识
3.在△ABC 中,AD,BE,CF 为三角形三边的中线,它们 交于 G(如图 4-23-1 所示),易知 G 为△ABC 的重心, 则有如下结论: (1)������������+������������+������������=0;
������ (2)������������= (������������+������������); ������ ������ ������
平面向量的概念及其线性运算
基础知识
1.向量的有关概念
(1)定义：既有_____ ，又有_____ 的量叫做向量. 大小 方向
(2)表示方法： ①用字母表示：a,b,c； ②用表示向量的有向线段的起点和终点字母表 示：如
AB,CD, 其中有向线段的长度表示向量
大小 方向 的_____ ，箭头所指的方向表示向量的____.
������
������
������������- ������������
������
������
二、考点探究
考向2
探究点二 平面向量的线性运算
平面向量的线性运算
[总结反思] (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地 找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加、减法相 互转化,其基本步骤是:①观察各向量的位置;②寻找相应三角 形或多边形;③运用相关法则找关系;④化简结果. (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用 平行四边形法则、三角形法则,及三角形中位线、相似三角形 对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知 向量有直接关系的向量求解.
(3)������������= (������������+������������),������������= (������������+������������).
������
������
4.若������������=λ������������+μ������������(λ,μ 为常数),则 A,B,C 三点共线 的充要条件是 λ+μ=1.
������ ������
探究点一 平面向量的基本概念 C
) C. a=- b
������ ������
例 1(1)设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使
|������| |������|
+ =0 成立的是 ( B. a∥b
A. a=2b
D. a· b=0
(2)给出下列说法:
①若|a|=|b|,则 a=b; ②若 a∥b,b∥c,则 a∥c ③a 与 b 是非零向量,若 a 与 b 同向,则 a 与-b 反向; ④若������������与������������共线,则 A,B,C 三点在同一条直线上.
二、考点探究
考向1
探究点二 平面向量的线性运算
.
平面向量加、减法运算的几何意义
例 2 (1)若|������������|=|������������|=|������������-������������|=2,则|������������+������������|= 2 ������ (2)若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足
对点演练
CD 等于( A ) 1.D是△ABC的边AB上的中点，则向量
1 － BC ＋ BA (A) (B) 2
1 － BC (C) 2 BA
(D)
1 BC BA 2
1 BC BA 2
2.判断下列四个命题： ①若a∥b，则a=b；②若|a|=|b|，则a=b； ③若|a|=|b|,则a∥b；④若a=b，则|a|=|b|. 其中正确的个数是( ) A (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
考向3
探究点二 平面向量的线性运算
利用向量的线性运算求参数
例 4 (1)[2017·锦州一模] 在△ABC 中,AB=2,BC=3, ∠ABC=60° ,AD 为 BC 边上的高,O 为 AD 的中点, 若������������=λ������������+μ������������,则 λ+μ= ( A. 1 B.
例 3 (1) 在△ABC 中,P,Q 分别在 AB,BC 上,且 ������������= ������������,������������= ������������,若������������=a,������������=b,则������������= A. a- b
������ ������ ������ ������
对点演练
7.若四边形 ABCD 满足������������= ������������且|������������|=|������������|,则四边
������ ������
形 ABCD 的形状是 等腰梯形 .
8.已知|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围是
[2,6]
.
二、考点探究
|������������-������������|=|������������+������������-2������������|,则△ABC 的形状为直角三角形 .
二、考点探究
考向1
探究点二 平面向量的线性运算
平面向量加、减法运算的几何意义
练习1、已知P，A，B，C是平面内四点，
＝AC 且 PA＋PB＋PC ，那么一定有 ( )
(2)向量的减法 (-b) பைடு நூலகம்减去一个向量 ①定义：定义a-b=a+____, DB 相反向量 相当于加上这个向量的_________ ；
届数学一轮复习第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算教学案含解析
第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1。
了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。
掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。
知识梳理1.向量的有关概念（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。
规定：0与任一向量平行。
（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a＋b＝b＋a。
（2）结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb＝03.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
［常用结论与微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2。
中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).3。
错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.诊断自测1。
平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型突破·考法探究
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】若 = 7， = 4 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7]
B． 3，7
C． 3，11
D．(3，11)
【答案】C
【解析】由题意知 = 7， = 4，且 = | − |，
当, 同向时， 取得最小值， = | − | = ||| − ||| = |4 − 7| = 3；
【答案】C
【解析】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故
A错误．
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误．
对于C，若Ԧ = ，则,
，故C成立．
Ԧ 必定共线，故//
Ԧ
对于D，当Ԧ ≠ 时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与
Ԧ 可以为共线向量，故D错误．故选：C
后一个向量终点的向量．
即 + + ⋯ + − = ．
（2）||| − ||| ≤ | ± | ≤ || + ||，当且仅当, 至少有一个为时，向量不等式的等号成
立．
（3）特别地：||| − ||| ≤ | ± |或| ± | ≤ || + ||当且仅当, 至少有一个为时或者
与向量长度无关，两个向量方向相同
且长度相等，就是相等向量．
题型突破·考法探究
题型一：平面向量的基本概念
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．若||
Ԧ > ||，则Ԧ >
C．若Ԧ = ，则//
Ԧ
B．若||
Ԧ = ||，则Ԧ =
D．若Ԧ ≠ ，则与
2025年高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算一、基本技能练1.已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝()A.4B.3C.2D.02.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝6，则2a －b 在a 方向上的投影向量为()A.12a B.a C.b D.12b 3.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝()A.20B.15C.9D.64.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于()A.0B.1C.2D.35.(多选)设向量a ＝(－1，1)，b ＝(0，2),则()A.|a |＝|b |B.(a －b )∥bC.(a －b )⊥aD.a 与b 的夹角为π46.我国东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若BC →＝a ，BA →＝b ，BE →＝3EF →，则BF →＝()A.1225a ＋925bB.1625a ＋1225bC.45a ＋35bD.35a ＋45b 7.已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－2，4)，则|a －b |＝________.8.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，1)，c ＝(3，2).若向量a 与向量k b ＋c 共线，则实数k ＝________.9.已知非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为________.10.在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n＝________.11.已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－6，2)，x ∈[0，π].(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.12.在平面四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝22，对角线AC 与BD 交于点E ，E 是BD 的中点，且AE →＝2EC →.(1)若∠ABD ＝π4，求BC 的长；(2)若AC ＝3，求cos ∠BAD .二、创新拓展练13.点P 是△ABC 所在平面内一点，满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC一定是()A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形14.(多选)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是()A.AB →·CE →＝－1B.OE →＋OC →＝0C.|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影向量的长度为7615.在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝2，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且MN ＝32，若MN →·(AD →－BC →)＝32，则AB →·CD →＝________.16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且C ＝π3，a ＋b ＝λc (其中λ>1).(1)若λ＝3，证明：△ABC 为直角三角形；(2)若AC →·BC →＝98λ2，且c ＝3，求λ的值.参考答案与解析一、基本技能练1.答案B 解析a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2－(－1)＝3，故选B.2.答案A 解析∵向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝6，∴(2a －b )·a ＝2|a |2－a ·b ＝2×22－2×6×12＝2，∴2a －b 在a 方向上的投影向量为12a .3.答案C 解析AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM→＋34AD －14AD →＋13AB ＝13AB →2－316AD →2＝13×36－316×16＝9，选C.4.答案C 解析如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.∴m ＋n ＝2.5.答案CD 解析∵a ＝(－1，1)，b ＝(0，2)，a －b ＝(－1，－1)，对于A ，|a |＝2，|b |＝2，∴|a |≠|b |，故A 错误；对于B ，－1×2－(－1)×0≠0，∴a －b 与b 不平行，故B 错误；对于C ，(a －b )·a ＝－1×(－1)＋(－1)×1＝0，∴(a －b )⊥a ，故C 正确；对于D ，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝222＝22，又a 与b 的夹角范围是[0，π]，∴a 与b 的夹角为π4，故D 正确.6.答案B解析BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋34EA →＝BC →＋34(EB →＋BA →)＝BC →－34BF →＋BC →－916BF →＋34BA →，解得BF →＝1625BC →＋1225BA →，即BF →＝1625a ＋1225b ，故选B.7.答案5解析由题意知a －b ＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a －b |＝42＋（－3）2＝5.8.答案1解析已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，1)，c ＝(3，2)，所以k b ＋c ＝(－2k ＋3，k ＋2)，因为向量a 与向量k b ＋c 共线，所以k ＋2＝3×(－2k ＋3)，解得k ＝1.9.答案23π解析设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋b )⊥a ，得(a ＋b )·a ＝0，即a ·b ＝－a 2，又cos θ＝a ·b |a ||b |＝－a 2|a |·2|a |＝－a 22a2＝－12，且0≤θ≤π，则θ＝23π.10.答案23解析由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC →－12＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.11.(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.解(1)由题意，得－6cos x ＋2sin x ＝0，所以tan x ＝3，又x ∈[0，π]，所以x ＝π3.(2)f (x )＝a ·b ＝－6cos x ＋2sin x＝22sin因为x ∈[0，π]，所以x －π3∈－π3，2π3，所以∈－32，1，所以f (x )∈[－6，22]，即f (x )的最大值为22，此时x －π3＝π2，则x ＝5π6；f (x )的最小值为－6，此时x －π3＝－π3，则x ＝0.12.解(1)在△ABD 中，AB ＝4，AD ＝22，∠ABD ＝π4，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD，所以sin ∠ADB ＝4×sin π422＝1，因为0<∠ADB <π，所以∠ADB ＝π2.所以BD ＝22，所以DE ＝BE ＝2，AE ＝10.所以cos ∠AED ＝cos ∠BEC ＝55.因为AE →＝2EC →，所以EC ＝102.由余弦定理得BC 2＝BE 2＋EC 2－2BE ·EC ·cos ∠BEC ＝2＋52－2×2×102×55＝52，所以BC ＝102.(2)法一因为AC ＝3，AE →＝2EC →，所以AE ＝2.设DE ＝BE ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠ADB ＝（22）2＋4x 2－422×22×2x.在△AED 中，由余弦定理得cos ∠ADB ＝（22）2＋x 2－222×22×x，所以4x 2－882x ＝x 2＋442x，解得x ＝22，所以BD ＝4 2.在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 22×AB ×AD＝16＋8－32162＝－24.法二因为AC ＝3，AE →＝2EC →，所以|AE →|＝2，在△ABD 中，E 为BD 的中点，所以AB →＋AD →＝2AE →，平方得|AB →|2＋|AD →|2＋2AB →·AD→＝4|AE →|2，即16＋8＋2×4×22×cos ∠BAD ＝16，解得cos ∠BAD ＝－24.二、创新拓展练13.答案B 解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，所以|CB →|－|(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形.14.答案BCD 解析因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0，0)，A (1，0)，B (－1，0)，C (0，3)，设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →－13，y 又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32，即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32.所以选项C 正确；ED →BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影向量的长度为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确.15.答案－2解析因为点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，所以MN →＝MO →＋ON →＝12(AB →－CD →)，则有MN →·(AD →－BC →)＝12(AB →－CD →)·(AD →－BC →)＝12(AB →－CD →)·(AB →＋BD →－BC →)＝12(AB →－CD →)·(AB →＋CD →)＝32.又因为AB ＝2，所以CD ＝1，则由MN →＝12(AB →－CD →)两边平方化简得5＝|CD →|2－2AB →·CD →，即AB →·CD →＝|CD →|2－52＝－2.16.(1)证明∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ，∵C ＝π3，∴sin B ＋＝32，即sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝32，∴32sin B ＋32cos B ＝32即32sin B ＋12cos B ＝32，则＝32，又B ∈(0，π)，从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π3，解得B ＝π6B ＝π2.若B ＝π6A ＝π2，△ABC 为直角三角形；若B ＝π2△ABC 也为直角三角形.所以△ABC 为直角三角形.(2)解若AC →·BC →＝98λ2，即|AC →||BC →|cos C ＝98λ2，又C ＝π3，则12ab ＝98λ2，∴ab ＝94λ2.由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，即a 2＋b 2－ab ＝c 2＝9，即(a ＋b )2－3ab ＝9，又a ＋b ＝3λ，故9λ2－274λ2＝9，解得λ2＝4，又λ>1，∴λ＝2.。
高三一轮复习 平面向量的概念及线性运算
第二十六课时平面向量的概念及线性运算考纲要求：1.平面向量的概念(B) 2.平面向量的加法、减法及数乘运算(B)知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在惟一一个实数λ，使得b＝λa.基础训练：：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( )(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )( )(4)向量a－b与b－a是相反向量．( )(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )(6)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )(7)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×(7)√2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与相等的向量有________．3．化简：4．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.答案：－13[典题1](1)给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________． (2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题为________．(填序号) 解析：(1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.(2)①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量． 答案：(1)②③ (2)①③④ 小结：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．[典题2](1)设D 为△ABC 所在平面内一点，则下列结论正确的是________．(填序号)(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC . (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案：(1)① (2)12答案：23小结：向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．练习：答案：3[典题3]设两个非零向量a 和b 不共线．(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线． (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 解析： (1)因为＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，所以＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5，所以，共线．又与有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线．(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.即k ＝±1时，k a ＋b 与a ＋k b 共线． [探究1] 若将本例(1)中“＝2a ＋8b ”改为“＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A 、B 、D 三点共线？解：＋＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，即＝4a ＋(m －3)b .若A 、B 、D 三点共线，则存在实数λ，使＝λ，即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A 、B 、D 三点共线．[探究2] 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1.故当k ＝－1时两向量反向共线． 小结：(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．练习：1．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.解析：∵a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，即t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上．答案：3总结：1．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．注意：1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.课后作业1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量与相等；④若非零向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．则所有正确命题的序号是________．解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误；由于方向相同或相反的向量为共线向量，故与也可能平行，即A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故④错误．3．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，＝b ，则＝________.解析：连结CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且＝12a ，所以＝b ＋12a .4．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则＝________.6．如图，在△ABC中，AH⊥BC交BC于H，M为AH的中点，若则λ＋μ＝________.7．△ABC所在的平面内有一点P，满足则△PBC与△ABC的面积之比是________．9．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，若且 (λ∈R)，则实数λ的值为________．10．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若(m ，n ∈R )，则m n的值为________．解析：设＝a ，＝b ，则＝m a ＋n b ，＝12b －a ，由向量与共线可知存在实数λ，使得即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ，所以mn＝－2.11.如图，在平行四边形ABCD 中，设S ，R ，Q ，P 分别为AP ，SD ，RC ，QB 的中点，若＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________.答案：6512．如图所示，在△ABO 中，AD 与BC 相交于点M ，设试用a 和b 表示向量.解：设＝m a ＋n b ，则＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b ，＝12 ＝－a ＋12b . ∵A 、M 、D 三点共线，故存在实数t ，使得即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ， ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①联立①②，解得m ＝17，n ＝37.故＝17a ＋37b .。
高考数学一轮总复习 第26讲 平面向量的概念及线性运算课件 理 新人教A版
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所以O→A＝－(O→B＋O→C)，即O→B＋O→C是与O→A方向相反且 长度相等的向量．
如图所示，以 OB、OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD，
则O→D＝O→B＋O→C，所以O→D＝－O→A， 在平行四边形 BOCD 中，设 BC 与 OD 相交于 E，B→E＝E→C， 则O→E＝E→D. 所以 AE 是△ABC 的边 BC 的中线，且|O→A|＝2|O→E|. 所以 O 是△ABC 的重心，故正确．
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(4)O 是平面内一定点，A、B、C 是平面内不共线的三个 点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(|AA→→BB|＋|AA→→CC|)，λ∈[0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心；
(5)已知 A、B、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点， 若O→A＋O→B＋O→C＝0，则 O 是△ABC 的重心．
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三 平面向量 (xiàngliàng)共线问题
【例 3】设 a，b，c 为非零向量，其中任意两向量不共 线，已知 a＋b 与 c 共线，且 b＋c 与 a 共线，试问 b 与 a ＋c 是否共线？并证明你的结论．
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【解析】 b 与 a＋c 共线，证明如下： 因为 a＋b 与 c 共线，所以存在唯一实数 λ， 使得 a＋b＝λc，① 又因为 b＋c 与 a 共线，所以存在唯一实数 μ， 使 b＋c＝μa，② ①－②，得 a－c＝λc－μa，即(1＋μ)a＋(－1－λ)c＝0. 因为 a 与 c 不共线，由平面向量基本定理，得
素材 (sùcái )3
已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a －3b 平行，且平行时它们是同向还是反向？
高考一轮复习 平面向量的概念与线性运算教案 理 教案
某某省东北师X大学附属中学2015届高考一轮复习平面向量的概念与线性运算教案理知识梳理：[阅读必修四第二章]1.向量的有关概念(1).向量:既有 ,又有的量叫向量;通常记为 ;长度为的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量加法与减法(1).向量加法按法则或法则;向量加运算律:交换律:;结合律:(2).向量减法作法:(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下：长度：方向：(2)．运算律4.共线定理:5.平面向量基本定理:6.基底:二、题型探究探究一：平面向量的基本概念例1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a=b；=是四边形ABCD为平行四边形的②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB DC充要条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c；其中正确的序号是。
=。
因此，AB DC③正确；∵a=b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c。
④不正确；当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤不正确；考虑b=0这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是②③。
点评：本例主要复习向量的基本概念。
向量的基本概念较多，因而容易遗忘。
为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。
例2：设0a为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·0a;(2) 若a与a0平行，则a=|a|·0a；（3）若a与0a平行且|a|=1，则a=0a。
上述命题中，假命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|0a模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与0a平行，则a与0a方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=－|a|0a，故（2）、（3）也是假命题。
高考一轮第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算ppt
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1．下列给出的命题正确的是
A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个
(
)
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向 相同的向量
D．相等的向量必是共线向量
答案： D
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2．如右图所示，向量a－b等于 A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
(
)
C．e1－3e2
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 盘锦模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 M、N、P 三点共线，O 为坐标原点，且 ON ＝ a15 OM ＋a6 OP (直线 MP 不过点 O)，则 S20 等于 ( A．10 C．20 B．15 D．40 )
求两个
加法 向量和 的运算
(1)交换律：a＋b＝
三角形 法则
b＋a .
(2)结合律：(a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) .
平行四边形 法则
返回
向量
运算
定义 求a与b的相反
法则(或几何意义)
运算律
减法
向量－b的和的
运算叫做a与b 的差 三角形 法则
返回
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b” ¿ “a＋2b＝0”， 所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案： A 返回
5．(2012· 南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB ＝ 2e1－8e2， CB ＝e1＋3e2， CD ＝2e1－e2.
高考数学一轮复习规划第六章平面向量与复数第1讲 平面向量的概念及其线性运算课件
①P→Q＝32a＋32b；②P→T＝－32a－23b；③P→S＝23a－12b；④P→R＝32a＋b.
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
答案
解析 由 a＋b＝23P→Q，知P→Q＝32a＋23b，①正确；由 a－b＝23P→T，知P→T ＝32a－32b，②错误；P→S＝P→T＋b，故P→S＝32a－21b，③正确；P→R＝P→T＋2b＝32 a＋12b，④错误．故选 C.
以 λ<0，故 λ＝－21.故选 B.
解析 答案
7.(2021·济南模拟)如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 AB， AD 上的点，且A→M＝45A→B，连接 AC，MN 交于点 P，若A→P＝141A→C，则点 N 在 AD 上的位置为( )
A．AD 的中点 B．AD 上靠近点 D 的三等分点 C．AD 上靠近点 D 的四等分点 D．AD 上靠近点 D 的五等分点
则 x＋8y 的最小值为( )
A．21
B．25
C．27
D．34
答案
解析 根据题意，A，B，C 三点共线，点 O 在直线 AB 外，O→A＝1xO→B＋
2yO→C.设B→A＝λB→C(λ≠0，λ≠1)，则O→A＝O→B＋B→A＝O→B＋λB→C＝O→B＋λ(O→C－O→B)
→
→
＝λOC＋(1－λ)OB，
C．21
D．－2
解析 由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c＝kd(k<0)，于是 λa＋b
＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得 λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于 a，b 不共线，所以有
λ＝k， 2λk－k＝1，
整理得 2λ2－λ－1＝0，解得 λ＝1 或 λ＝－12.又因为 k<0，所
推荐-高三数学一轮复习课件5.1 平面向量的概念与线性运算
5.1 平面向量的概念与线性运算
考情概览
-3-
考纲要求
1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和两个向量相 等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解 其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算,并理解其几何 意义,以及两个向量共线的含义. 6.了解向量的线性运算性质及其几何 意义.
反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则������B ∥ ������������且|������B|=|������������|,
因此,������B = ������������. ③不正确.相等向量的起点和终点可以都不同. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b. 综上所述,真命题的序号是②.
所以������������
=
1 2
(������������
+
������B).
知识梳理
-11-
知识梳 理
双击自 测
12345
5.设在四边形 ABCD 中,有12 ������������ = ������������,且|������������|=|������������|,则这个四边 形是 等腰梯形 .
3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若
存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.
解:由题设知,������������=d-c=2b-3a,������������=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一
条直线上的充要条件是存在实数 k,使得������������=k������������,即
(× )