广东省茂名市五校联盟2021届高三年级第一次联考语文试题(含答案解析)
广东省茂名市五校联盟2021届高三第一次联考试题 生物 Word版含答案
茂名市2021届五校联盟高三级第一次联考生物试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分100分，考试用时75分钟。
注意事项：1.答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分选择题(共40分)一、单项选择题。
(本大题12小题，每题2分，共24分)1.下列有关组成生物体的元素和化合物的叙述，正确的是A.变性的蛋白质不能与双缩脲发生紫色反应B.糖类都是能源物质，其中淀粉是植物的储能物质C.哺乳动物血液中的Ca2+的含量过高会引发抽搐D.某些脂质可作为信息分子参与动物生命活动的调节2.下列有关细胞结构与功能的叙述，错误的是A.真核生物、原核生物都可利用氨基酸形成多肽并产生水B.增加氧气浓度可以提高哺乳动物成熟红细胞吸收K＋的速率C.叶绿体中产生的ATP不可用于其吸收Mg2+的过程D.噬菌体和大肠杆菌结构上的根本区别是有无细胞结构3.下列有关酶的叙述中，不正确的是A.吞噬细胞的溶酶体中不含有分解硅尘的酶B.从胃蛋白酶的提取液中沉淀该酶可用盐析的方法C.溶菌酶能够溶解细菌的细胞膜，具有抗菌消炎的作用D.基因可通过控制酶的合成来控制代谢过程，进而控制生物体的性状4.在凋亡诱导因子与细胞膜受体结合后，通过细胞内信号传导激活凋亡相关基因，细胞凋亡的关键因子Dnase酶和Caspase酶被激活，Dnase酶能切割DNA形成DNA片段，Caspase酶能切割相关蛋白质形成不同长度的多肽，导致细胞裂解形成凋亡小体，被吞噬细胞吞噬清除。
2021届广东外语外贸大学附属中学高三语文第一次联考试题及参考答案
2021届广东外语外贸大学附属中学高三语文第一次联考试题及参考答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：新中国成立之初，居民消费主要为满足温饱；20世纪六七十年代，自行车、手表、缝纫机是结婚必备的“三大件”；90年代，彩电、冰箱、洗衣机“新三件”渐成生活标配；进入21世纪，智能家电、汽车消费越来越普遍；近年来，人们的“购物车”越来越丰满了，里面除了有曾是“主角”的食品、衣服之外，文化、旅游、健身等也成为重要选项，折射出我国消费的变迁。
实际上，悄然而变的不只是消费，产业亦是如此，大量企业都在随市场需求而创新求变、转型发展。
然而，整体来看，无论是消费，还是产业，都存在着结构性矛盾，特别是高品质商品和服务供给不足，难以满足人们日益增长的美好生活需要。
中国人民大学财政金融学院副院长赵锡军认为，公共服务消费是我国消费领域存在的短板，特别是在高质量医疗、养老、教育、社会保障等方面供给不足，大量三甲医院、高等院校等优质公共服务和消费品集中在大城市。
解决教育、医疗等公共服务不平衡问题，保障消费的均衡性等性，需要下大功夫。
（摘编自刘坤《消费“富矿”亟待产业来“挖宝”》）材料二：近年来，中国人均可支配收入不断增长，居民购买力提升，物质生产日渐丰裕，居民恩格尔系数持续下降，食品供给实现从匮乏到富足的转变，已经全面超越吃饱饭的初级阶段，向着品质消费的阶段大踏步迈进。
如今，很多人不再操心填饱肚子的问题，而是对食品的要求愈发严苛，对食品安全的容忍度降低。
消费升级不仅是简单的零售领域，也倒逼农业种养结构调整和产业升级，由此催生了越来越多的绿色优质农产品，包括大米等主食以及蔬菜、瓜果、肉类等。
显然，消费升级是一个指挥棒，其发挥了市场引导作用，促使整个产业链转变方向，由单纯的追求产量，逐渐转向追求质量，为消费者提供优质产品和服务。
显然，这是一种良性的发展模式，具有更持久的发展潜力，亦会构建消费者和商家、社会的多赢格局。
广东茂名五校联盟2021高三数学上第一次联考(解析版)
2021届广东省茂名市五校联盟高三上学期第一次联考数学试题一、单选题 1．复数21ii+的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．iD ．i -【答案】B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.2．已知集合(){}210,|ln 61x A x B x Z y x x x ⎧⎫-==∈=+-⎨⎬+⎩⎭，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．(]1,1-D ．[]1,1-【答案】A【分析】先解分数不等式和一元二次不等式化简集合A ，B ，再进行交集运算即可. 【详解】解分式不等式101x x -≤+得11x -<≤，故(1,1]A =-， 使对数型函数有意义，则一元二次方程260x x +->，即(2)(3)0x x +-<得23x -<<，故{1,0,1,2}B =-， 所以{0,1}AB =.故选：A.3．已知向量||4a =，||8=b ，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算．【详解】2222|2|(2)4444a b a b a a b b +=+=+⋅+=⨯+故选：D.【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握数量积的性质，把模转化为数量积的运算．4．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20【答案】C【分析】利用间接法，先全排再除去不符合题意的情况即得结果.【详解】四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故4222422216A A A A -=.故选：C.5．若10.3221,log 3,32a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D【分析】易得12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，然后由222log 3b =推出32b >比较即可. 【详解】12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 3222222log 3log 9log 82log 23=>==，32b ∴>， 又0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以c a b <<. 故选：D6．在ABC 中，,4B AD π=是BC 边上的高，且2CD AD =，则cos BAC ∠=（ ）A B C ． D ．【答案】C【分析】设AD x =，求得,2,,BD x CD x AB AC ====，结合余弦定理，即可求解.【详解】设AD x =，因为,24B CD AD π==，所以,2,,BD x CD x AB AC ====，由余弦定理，可得cos BAC ∠==. 故选：C.7．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6.故选：C .【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 8．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞【答案】D【解析】因为/()sin 23(cos sin )41f x x a x x a =-+++-，由题设可得sin 23(cos sin )410x a x x a -+++-≥在[,0]2π-上恒成立，令cos sin t x x =+，则2sin 21x t =-，又cos sin )4t x x x π=+=+，且444x πππ-≤+≤，故sin()[1,1]4x t π≤+≤⇒∈-，所以问题转化为不等式2340t at a -++≥在[1,1]-上恒成立，即不等式2340t at a --≤在[1,1]-上恒成立．令函数2()34,[1,1]h t t at a t =--∈-，则1(1)0{{17(1)01h a a h a -≤≥⇒⇒≥≤≥，应选答案D ． 点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a 的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．二、多选题9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表:如图是某市12月1日~20日AQI 指数变化趋势，则下列叙述正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占13C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月，上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】AD【分析】根据折线图中的信息，对每一个选项进行逐一判断即可.【详解】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确： 对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14，故B 错误； 对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选: AD10．函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点()0,2，若把函数()y f x =图像向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，则下列结论正确的是（ ）A ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．函数()y f x =的最小正周期是π C ．函数()y f x =的值域是[]0,2 D ．ϕ的最小值是6π 【答案】BCD【分析】将点(0,2)代入()f x 表达式中，可求出4πθ=，则()cos 21f x x =+，再根据余弦函数的性质对每一选项进行判断，得出答案.【详解】由函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，可得2sin 22θ=，即sin 21,02,2,24ππθθπθθ=<<∴=∴=，故2()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+⋅==+， 当4x π=时，()1f x =，故A 不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=，故B 正确； ()cos 21[0,2]f x x =+∈，故C 正确；而()cos 21sin 212f x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭sin 21sin 21()6626f x x x g x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确故选：BCD【点睛】易错点睛：本题考查三角函数的图象性质，解答中利用最小正周期公式求函数的最小正周期时，公式2T ωπ=中的ω是函数()cos y A x ωϕ=+ 中x 的系数，在函数图象左、右平移时，遵循“左加，又减”，一定是在自变量x 上进行加减，这是很容易错的地方，属于中档题.11．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（ ）A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=B ．双曲线C C ．||1OE =D ．OMN 的面积为6【答案】ABD【分析】由已知可得||OM c ==0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，从而有2||||3OE OP =，得23a b =，再结合222c a b =+可求出,a b 的值，进而可求得渐近线方程、离心率、OMN 的面积【详解】如图：设双曲线C 的焦距为2213c =，MN 与y 轴交于点P ，由题可知||13OM c ==，则(0, )P b ，由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，可得2||||3OE OP =，即23a b =，2222294b c a a a -==，2a =，3b =，2914e -=，解得13e =. 双曲线C 的渐近线方程为320x y ±=，||2OE =，M 的坐标为(2,3)，6OMN S =△， 故选：ABD.【点睛】此题考查双曲线的简单的几何性质的应用，考查圆的方程，考查数形结合的思想，属于中档题 12．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，,E F 分别是棱,AA CC ''的中点，过直线EF 的平面分别与棱,BB DD ''交于,M N ，设(),0,1BM x x =∈，则正确的说法是（ ）A ．四边形MENF 为平行四边形B ．若四边形MENF 面积()(),0,1S f x x =∈，则()f x 有最小值C ．若四棱锥A MENF -的体积()(),0,1V p x x =∈，则()p x 是常函数D ．若多面体ABCD MENF -的体积1(),,12V h x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数 【答案】ABC【分析】根据面面平行的性质判断A ，根据菱形面积公式判断B ，将四棱锥分解成两个小棱锥的和，根据小棱锥的体积公式判断C ，根据对称性得出11()22ABCD A B CD V h x V '''-===可判断D ． 【详解】∵平面//ADD A ''平面,//BCC B EN MF ''∴，同理//FN EM ，所以四边形MENF 为平行四边形，故A 正确；若四边形MENF 面积1(),2S f x EF MN M ==⋅⋅为BB '中点时，即12x =时，MN 是短，此时面积最小，故B正确； 连接,,AF AM AN ，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以,M N 为顶点的两个小棱锥，因为AEF 的面积是个常数，,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥A MENF -的体积()V P x =是常函数，故C 正确；多面体ABCD MENF -的体积11()22ABCD A B CD V h x V '''-===为常数函数，故D 错误. 故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查柱锥台的体积，解答本题的关键是找到几何体中的定值，AEF 的面积是个常数且,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，考查学生空间想象能力，属于中档题．三、填空题13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n a n =-，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为_________. 【答案】210【分析】先根据等差数列前n 项和公式得2n S n =，进而得nS n n=，再根据等差数列前n 项和公式即可得答案. 【详解】解：因为数列{}n a 满足21n a n =-，所以数列{}n a 是等差数列， 所以()12(121)22n n n a a n n S n ++-===，所以n Sn n =，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为2020(120)2102T +==. 故答案为：210.【点睛】结论点睛：若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列. 14．已知直线1y x =+是曲线()()ln f x x a =+的切线，则a =_________. 【答案】2【分析】设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标等于曲线()f x 在0x x =处的函数值以及导数的几何意义求解出0x 的值，从而a 的值可求.【详解】设切点为()00,x y ，则()00001,ln y x y x a =+=+，由()0011f x x a'==+得01x a +=， 所以()001ln ln10x x a +=+==，解得01x =-，所以012a x =-=, 故答案为：2.【点睛】思路点睛：已知曲线()y f x =的切线方程求解参数值的步骤：（1）设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标0y 的值等于曲线在0x x =处的函数值()0f x ，得到第一个方程；（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率()0k f x '=，得到第二个方程； （3）两个方程联立求解出其中参数的值.15．已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点M ，N 分别是棱BC 、11C D 的中点，点P 在平面1111D C B A 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为__________．【答案】3515-. 【解析】分析：取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥，可得点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作1OH A N ⊥于H ，可得355OH =，即可求得PQ 长度的最小值. 详解：如图，取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥.∵5PM =，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2 ∴1OP =∴点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值.作1OH A N ⊥于H ，则1A ON ∆的面积为1113222111212222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.∴11322A N OH ⨯=，则OH =.∴PQ 1-故答案为15-. 点睛：本题考查线段长的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．将空间问题转化到平面问题，准确求出点P 的轨迹，结合等积法的运用是解决本题的关键.四、双空题16．设抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B作l 的垂线，垂足为,C D ，若4AF BF =，则AB =_________.CDF 的面积为_________. 【答案】2545 【分析】由题意利用焦点坐标即可求得p 的值，联立直线方程和抛物线方程，结合几何关系和弦长公式即可求得CDF 的面积．【详解】解：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，所以12p=，所以2p =， 如图所示，过点B 作//BM l ，交直线AC 于点M ，由抛物线的定义知||||AF AC =，||||BF BD =，且||4||AF BF =， 所以||3||AM BF =，||5||AB BF =， 所以3,45AM AB BM BF ==， 可知：AFx BAM ∠=∠，所以直线AB 的斜率为4tan 3BM k BAM AM =∠==， 设直线AB 的方程为4(1)3y x =-，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由24(1)34y xy x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y整理得241740x x-+=，所以12174x x+=，所以1225||4AB x x p=++=，所以254||||sin545CD AB BAM=∠=⨯=，所以CDF的面积为15252⨯⨯=，故答案为：25,54．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p=++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．五、解答题17．如图，在平面四边形ABCD中，120,2,B BC ABC∠=︒=的面积为3(1)求AC ；(2)若60ADC ∠=︒，求四边形ABCD 周长的最大值. 【答案】（1）27（2）647+【分析】（1）由ABC 面积1322322ABCS AB =⨯⨯⨯=，求得4AB =，然后在ABC 中，利用余弦定理得求解. （2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，利用余弦定理得到228()3m n mn =+-，然后利用基本不等式求得m n +最大值即可.【详解】（1）由ABC 面积公式得1322322ABCS AB =⨯⨯⨯=， 所以4AB =，在ABC 中，由余弦定理得22224224cos12028AC ︒=+-⨯⨯⨯=， 所以27AC = （2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，由余弦定理得222(27)2cos 60m n mn ︒=+-，2()3m n mn =+-则22()2832832m n m n mn +⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭，即2()284m n +≤，所以47m n +≤当且仅当m n ==. 所以四边形ABCD周长的最大值为6+18．在①234,,4a a a -成等差数列;②123,2,S S S +成等差数列;③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且 . (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()21log n n b n a =+，记数列242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明2nT <. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）选①：根据等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选②：根据等比数列的前n 项和定义以及等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选③：先求解出2a ，则等比数列的公比q 可求，则{}n a 通项可求；（2）先求解出{}n b 的通项公式，再求解出242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求解出n T 的结果，并证明出2n T <即可.【详解】设等比数列的公比为(0)q q >， （1）选①：因为234,,4a a a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，因为12a =，所以22332131412,2,2a a q q a a q q a a q q ======， 所以234224q q q =+-，即()()22211q q q+=+.又0q >，解得2q，所以2nn a =.选②：因为123,2,S S S +成等差数列， 所以()21322S S S +=+，即()12112322a a a a a a ++=+++，化简得234a a +=， 所以2242q q +=，即220q q --=， 又0q >，解得2q，所以2nn a =.选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=， 因为n a 是等比数列，则212a q a ==， 所以2nn a =. （2）因为2nn a =，所以22(1)log (1)log 2(1)nn n b n a n n n =+=+=+，所以22222422(21)112(1)(1)n n n b n n n n ⎛⎫++==- ⎪++⎝⎭， 所以22222111112122223(1)n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221111112121223(1)(1)n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 222(1)n =-+因为n ∈+N 时，220(1)n >+，所以2n T <.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式： （1）()11111n n n n =-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（3）111n n n n=+-++；（4）()()1121121212121n n n n n ++=-----. 19．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN .(1)证明:MN AH ⊥；(2)当H 为PC 的中点，3,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60°，求平面ABCD 与平面AMHN 所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）6π. 【分析】（1）连结AC BD 、且AC BD O =，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，得到BD AH ⊥，再利用线面平行证明//BD MN ，即证MN AH ⊥；（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，利用线面成角60°求出线段之间关系，再建立空间直角坐标系，利用法向量成角求锐二面角的大小即可. 【详解】（1）连结AC BD 、且ACBD O =，连结PO .因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AH ⊂平面PAC ，所以，BD AH ⊥，因为，//BD 平面AMHN BD ⊂，平面PBD ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ， 所以，MN AH ⊥.（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以60PAO ︒∠=， 所以，13,2AO PA PO PA ==， 因为，3PA =，所以，36BO PA =. 以,,OA OD OP 分别为,,x y z 轴，如图所示建立空间直角坐标系，记2PA =， 所以，33(0,0,0),(1,0,0),0,,0,33O A B D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，133),,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以，23330,,0,,0,2BD AH ⎛⎫⎛==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即233302y x z ⎧=⎪⎨⎪-=⎪⎩，令2x =，解得0,23y z ==，所以，(2,0,3)n =.因为PO ⊥平面ABCD ，所以3)OP =是平面ABCD 的一个法向量 记平面ABCD 与平面AMHN 所成角为锐二面角是θ， 则||3cos |cos ,|2||n OP n OP n OP θ⋅=<>==‖. 因为θ是锐角，所以平面ABCD 与平面AMHN 所成角为6π. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．受新冠肺炎疫情影响，上学期网课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了非常大的损害.我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图所示:前50名 后50名 近视 40 32 不近视1018(1)求a 的值，并估计这2000名学生视力的平均值(精确到0.1)；(2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到的数据如列联表，根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关?(3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的高度重视.近年来我市空军飞行员录取情况喜人，继2019年我市有6人被空军航空大学录取之后，今年又有3位同学顺利拿到了空军航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实立德树人根本任务已初见成效.2020年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于5.0，若以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，这3名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k2.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）0.75a =，4.6；（2）没有；（3）分布列见解析，34. 【分析】（1）根据频率分布直方图的知识直接计算求解即可；（2）由列联表数据代入公式计算2K 的观测值2003.175 3.84163k =≈<，进而得答案； （3）由题得视力在5.0以上的同学所占的比例为14，根据题意得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布求解即可得答案.【详解】（1）由直方图可得(0.250.521 1.75)0.21a ++++⨯=，所以0.75a =，4.10.50.2 4.30.750.2 4.5 1.750.2 4.710.2 4.90.750.25.10.250.2 4.6x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈所以估计这2000名学生视力的平均值是4.6.（2）因为2K 的观测值2100(40181032)2003.175 3.8415050722863k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%把握认为视力与学习成绩有关.（3）视力在48以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为：0.2510.250.754=+所以从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，则1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即3313(),0,1,2,344k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0312013313271327(0),(1)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2132333139131(2),(3)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()344E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布等知识点，考查运算能力与数据处理能力.本题的前两问均属简单运算，第三问解题的关键是根据频率估计概率得到视力在5.0以上的同学所占的比例为14，进而得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭.是中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点是(),0,F c P 椭圆上的一动点，且PF 的最小值是1，当PF 垂直长轴时，3||2PF =. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 相切，且交圆22:4O x y +=于,M N 两点，求MON △面积的最大值，并求此时直线l 方程.【答案】（1）22143x y +=；（2y =【分析】（1）由||PF 的最小值为1，得到1a c -=，再由3||2PF =， 结合222a b c =+，求得,a b 的值，即可求得椭圆的方程. （2）设切线l 的方程为y kx t =+，联立方程组，根据直线与椭圆相切，求得2234t k -=，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得MON △的面积的表示，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，点P 椭圆上的一动点，且||PF 的最小值是1，得1a c -=，因为当PF 垂直长轴时，可得3||2PF =，所以232b a =，即223b a =， 又由222a bc =+，解得2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由题意知切线l 的斜率一定存在，否则不能形成MON △，设切线l 的方程为y kx t =+， 联立22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2223484120k x ktx t +++-=， 因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()222(8)4344120kt k t ∆=-+-=，化简得2234t k =+，则2234t k -=， 因为点O 到直线l的距离d =所以||MN ==||MN = 故MON △的面积为114||122||||S MN d t t =⋅==+ ， 因为22304t k -=≥，可得23t ≥，即t ≥1||||y t t =+在)+∞上单调递增，所以1||||3t t +≥||t =则3S ≤=MON △当||t =0k =，所以直线的方程为y =【点睛】对于直线与椭圆的位置关系的处理方法：1、判定与应用直线与椭圆的位置关系，一把转化为研究直线方程与椭圆组成的方程组的解得个数，结合判别式求解；2、对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆的内部或在椭圆上，判定直线与椭圆的位置关系.22．已知函数()()2,ln f x x m g x x x =-=+. (1)若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；(2)若()()222x xf xg x xe x x e ++<++在()0,4x ∈时恒成立，求实数m 的最小值. 【答案】（1）()F x 的极大值是m -，无极大值；（2）42ln 44e +-.【分析】（1）先写函数()()()F x f x g x =-并求导，再利用导数正负判断单调性和极值即可；（2）先分离参数(2)ln xm x e x x >-+-，再研究函数最大值得到m 的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）2()ln F x x x m x =---，定义域为(0,)+∞， 1(21)(1)()21x x F x x x x'+-=--=. ()001F x x '<⇔<<；()01F x x '>⇔>；当x 变化时，(),()F x F x '的变化情况如下表:由上表可得()F x 的极大值是(1)F m =-，无极大值；（2）由2()()22x x f x g x xe x x e ++<++在(0,4)x ∈时恒成立，即22ln 22x x x m x x xe x x e -+++<++，整理为(2)ln x m x e x x >-+-在(0,4)x ∈时恒成立.设()(2)ln x h x x e x x =-+-，则1()(1)x h x x e x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭， 当1x >时，10x ->，且1,1x e e x ><，10,()0x e h x x'∴->∴>. 当01x <<时，10x -<， 设211,0,xx u e u e u x x'=-=+>∴在(0,1)上单调递增， 当0x →时，11,0x u e x x →+∞∴=-<；当1x =时，10u e =->， 0(0,1)x ∴∃∈，使得00010x u e x =-= ∴当()00,x x ∈时，0u <；当()0,1x x ∈时，0>u .∴当()00,x x ∈时，()0h x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x '<，故函数()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,4)上单调递增.()()()0000000000122ln 2212x h x x e x x x x x x x =-+-=-⋅-=--. ()0000022(0,1),2,121x h x x x x ∈∴-<-=--<-，4(4)2ln 440h e =+->， ∴当(0,4)x ∈时，()(4)h x h <，(4),m h m ∴≥∴的最小值是42ln 44e +-.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.。
2021届广东省茂名市五校联盟高三上学期第一次联考数学试题(解析版)
2021届广东省茂名市五校联盟高三上学期第一次联考数学试题一、单选题 1．复数21ii+的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．iD ．i -【答案】B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.2．已知集合(){}210,|ln 61x A xB x Z y x x x ⎧⎫-==∈=+-⎨⎬+⎩⎭，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．(]1,1-D ．[]1,1-【答案】A【分析】先解分数不等式和一元二次不等式化简集合A ，B ，再进行交集运算即可. 【详解】解分式不等式101x x -≤+得11x -<≤，故(1,1]A =-， 使对数型函数有意义，则一元二次方程260x x +->，即(2)(3)0x x +-<得23x -<<，故{1,0,1,2}B =-，所以{0,1}AB =.故选：A.3．已知向量||4a =，||8=b ，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算． 【详解】2222|2|(2)4444a b a b a a b b +=+=+⋅+=⨯+=故选：D.【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握数量积的性质，把模转化为数量积的运算．4．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20【答案】C【分析】利用间接法，先全排再除去不符合题意的情况即得结果. 【详解】四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故4222422216A A A A -=.故选：C.5．若10.3221,log 3,32a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D【分析】易得12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，然后由222log 3b =推出32b >比较即可.【详解】12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 3222222log 3log 9log 82log 23=>==，32b ∴>， 又0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以c a b <<. 故选：D6．在ABC 中，,4B AD π=是BC 边上的高，且2CD AD =，则cos BAC ∠=（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】C【分析】设AD x =，求得,2,,BD x CD x AB AC ====，结合余弦定理，即可求解.【详解】设AD x =，因为,24B CD AD π==，所以,2,,BD x CD x AB AC ====，由余弦定理，可得222cos10BAC ∠==-. 故选：C.7．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg 1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C .【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 8．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞【答案】D【解析】因为/()sin 23(cos sin )41f x x a x x a =-+++-，由题设可得sin 23(cos sin )410x a x x a -+++-≥在[,0]2π-上恒成立，令cos sin t x x =+，则2sin 21x t =-，又cos sin )4t x x x π=+=+，且444x πππ-≤+≤，故sin()[1,1]4x t π≤+≤⇒∈-，所以问题转化为不等式2340t at a -++≥在[1,1]-上恒成立，即不等式2340t at a --≤在[1,1]-上恒成立．令函数2()34,[1,1]h t t at a t =--∈-，则1(1)0{{17(1)01h a a h a -≤≥⇒⇒≥≤≥，应选答案D ． 点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a 的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．二、多选题9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表:AQI 指数值 0~5051~100101~150151~200201~300300>空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日~20日AQI 指数变化趋势，则下列叙述正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占13C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月，上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】AD【分析】根据折线图中的信息，对每一个选项进行逐一判断即可.【详解】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100， 第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确：对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14，故B 错误；对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选: AD10．函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点()0,2，若把函数()y f x =图像向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，则下列结论正确的是（ ） A ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．函数()y f x =的最小正周期是π C ．函数()y f x =的值域是[]0,2 D ．ϕ的最小值是6π 【答案】BCD【分析】将点(0,2)代入()f x 表达式中，可求出4πθ=，则()cos 21f x x =+，再根据余弦函数的性质对每一选项进行判断，得出答案.【详解】由函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，可得2sin 22θ=，即sin 21,02,2,24ππθθπθθ=<<∴=∴=，故2()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+⋅==+， 当4x π=时，()1f x =，故A 不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=，故B 正确； ()cos 21[0,2]f x x =+∈，故C 正确；而()cos 21sin 212f x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭sin 21sin 21()6626f x x x g x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确故选：BCD【点睛】易错点睛：本题考查三角函数的图象性质，解答中利用最小正周期公式求函数的最小正周期时，公式2T ωπ=中的ω是函数()cos y A x ωϕ=+ 中x 的系数，在函数图象左、右平移时，遵循“左加，又减”，一定是在自变量x 上进行加减，这是很容易错的地方，属于中档题.11．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（ ）A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=B ．双曲线C 的离心率为132C ．||1OE =D ．OMN 的面积为6【答案】ABD【分析】由已知可得||13OM c ==，再由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，从而有2||||3OE OP =，得23a b =，再结合222c a b =+可求出,a b 的值，进而可求得渐近线方程、离心率、OMN 的面积【详解】如图：设双曲线C 的焦距为2213c =，MN 与y 轴交于点P ，由题可知||13OM c ==，则(0, )P b ，由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，可得2||||3OE OP =，即23a b =，2222294b c a a a -==，2a =，3b =，2914e -=，解得13e =. 双曲线C 的渐近线方程为320x y ±=，||2OE =，M 的坐标为(2,3)，6OMN S =△， 故选：ABD.【点睛】此题考查双曲线的简单的几何性质的应用，考查圆的方程，考查数形结合的思想，属于中档题12．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，,E F 分别是棱,AA CC ''的中点，过直线EF 的平面分别与棱,BB DD ''交于,M N ，设(),0,1BM x x =∈，则正确的说法是（ ）A ．四边形MENF 为平行四边形B ．若四边形MENF 面积()(),0,1S f x x =∈，则()f x 有最小值C ．若四棱锥A MENF -的体积()(),0,1V p x x =∈，则()p x 是常函数D ．若多面体ABCD MENF -的体积1(),,12V h x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数 【答案】ABC【分析】根据面面平行的性质判断A ，根据菱形面积公式判断B ，将四棱锥分解成两个小棱锥的和，根据小棱锥的体积公式判断C ，根据对称性得出11()22ABCD A B CD V h x V '''-===可判断D ．【详解】∵平面//ADD A ''平面,//BCC B EN MF ''∴，同理//FN EM ，所以四边形MENF 为平行四边形，故A 正确；若四边形MENF 面积1(),2S f x EF MN M ==⋅⋅为BB '中点时，即12x =时，MN 是短，此时面积最小，故B 正确； 连接,,AF AM AN ，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以,M N为顶点的两个小棱锥，因为AEF 的面积是个常数，,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥A MENF -的体积()V P x =是常函数，故C 正确；多面体ABCD MENF -的体积11()22ABCD A B CD V h x V '''-===为常数函数，故D 错误. 故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查柱锥台的体积，解答本题的关键是找到几何体中的定值，AEF 的面积是个常数且,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，考查学生空间想象能力，属于中档题．三、填空题13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n a n =-，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为_________. 【答案】210【分析】先根据等差数列前n 项和公式得2n S n =，进而得nS n n=，再根据等差数列前n 项和公式即可得答案.【详解】解：因为数列{}n a 满足21n a n =-，所以数列{}n a 是等差数列， 所以()12(121)22n n n a a n n S n ++-===，所以n Sn n =，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为2020(120)2102T +==. 故答案为：210.【点睛】结论点睛：若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列.14．已知直线1y x =+是曲线()()ln f x x a =+的切线，则a =_________. 【答案】2【分析】设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标等于曲线()f x 在0x x =处的函数值以及导数的几何意义求解出0x 的值，从而a 的值可求. 【详解】设切点为()00,x y ，则()00001,ln y x y x a =+=+，由()0011f x x a'==+得01x a +=， 所以()001ln ln10x x a +=+==，解得01x =-，所以012a x =-=, 故答案为：2.【点睛】思路点睛：已知曲线()y f x =的切线方程求解参数值的步骤：（1）设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标0y 的值等于曲线在0x x =处的函数值()0f x ，得到第一个方程；（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率()0k f x '=，得到第二个方程； （3）两个方程联立求解出其中参数的值.15．已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点M ，N 分别是棱BC 、11C D 的中点，点P 在平面1111D C B A 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为__________．351. 【解析】分析：取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥，可得点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作1OH A N ⊥于H ，可得355OH =，即可求得PQ 长度的最小值.详解：如图，取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥.∵5PM =，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2 ∴1OP =∴点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值.作1OH A N ⊥于H ，则1A ON ∆的面积为1113222111212222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. ∴11322A N OH ⨯=，则355OH =. ∴PQ 长度的最小值为3515- 351. 点睛：本题考查线段长的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．将空间问题转化到平面问题，准确求出点P 的轨迹，结合等积法的运用是解决本题的关键.四、双空题16．设抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足为,C D ，若4AF BF =，则AB =_________.CDF 的面积为_________.【答案】2545 【分析】由题意利用焦点坐标即可求得p 的值，联立直线方程和抛物线方程，结合几何关系和弦长公式即可求得CDF 的面积．【详解】解：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，所以12p=，所以2p =， 如图所示，过点B 作//BM l ，交直线AC 于点M ，由抛物线的定义知||||AF AC =，||||BF BD =，且||4||AF BF =， 所以||3||AM BF =，||5||AB BF =， 所以3,45AM AB BM BF ==， 可知：AFx BAM ∠=∠，所以直线AB 的斜率为4tan 3BM k BAM AM =∠==， 设直线AB 的方程为4(1)3y x =-，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由24(1)34y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 整理得241740x x -+=，所以12174x x +=， 所以1225||4AB x x p =++=， 所以254||||sin 545CD AB BAM =∠=⨯=， 所以CDF 的面积为15252⨯⨯=， 故答案为：25,54．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．五、解答题17．如图，在平面四边形ABCD 中，120,2,B BC ABC ∠=︒=的面积为23.(1)求AC ；(2)若60ADC ∠=︒，求四边形ABCD 周长的最大值. 【答案】（1）27（2）647+【分析】（1）由ABC 面积132322ABCSAB =⨯⨯⨯=，求得4AB =，然后在ABC 中，利用余弦定理得求解.（2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，利用余弦定理得到228()3m n mn =+-，然后利用基本不等式求得m n +最大值即可. 【详解】（1）由ABC 面积公式得1322322ABCS AB =⨯⨯⨯=， 所以4AB =，在ABC 中，由余弦定理得22224224cos12028AC ︒=+-⨯⨯⨯=， 所以27AC = （2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，由余弦定理得222(27)2cos 60m n mn ︒=+-，2()3m n mn =+-则22()2832832m n m n mn +⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭，即2()284m n +≤，所以m n +≤当且仅当m n ==时，等号成立. 所以四边形ABCD周长的最大值为6+18．在①234,,4a a a -成等差数列;②123,2,S S S +成等差数列;③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且 . (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()21log n n b n a =+，记数列242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明2nT <. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）选①：根据等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选②：根据等比数列的前n 项和定义以及等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选③：先求解出2a ，则等比数列的公比q 可求，则{}n a 通项可求；（2）先求解出{}n b 的通项公式，再求解出242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求解出n T 的结果，并证明出2n T <即可. 【详解】设等比数列的公比为(0)q q >， （1）选①：因为234,,4a a a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，因为12a =，所以22332131412,2,2a a q q a a q q a a q q ======， 所以234224q q q =+-，即()()22211q q q+=+.又0q >，解得2q，所以2nn a =.选②：因为123,2,S S S +成等差数列， 所以()21322S S S +=+，即()12112322a a a a a a ++=+++，化简得234a a +=， 所以2242q q +=，即220q q --=， 又0q >，解得2q，所以2nn a =.选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=， 因为n a 是等比数列，则212a q a ==， 所以2nn a =. （2）因为2nn a =，所以22(1)log (1)log 2(1)nn n b n a n n n =+=+=+，所以22222422(21)112(1)(1)n n n b n n n n ⎛⎫++==- ⎪++⎝⎭， 所以22222111112122223(1)n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221111112121223(1)(1)n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 222(1)n =-+因为n ∈+N 时，220(1)n >+，所以2n T <.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()11111n n n n =-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（31=-（4）()()1121121212121n n n nn ++=-----.19．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN .(1)证明:MN AH ⊥；(2)当H 为PC 的中点，3,PA PC AB PA ==与平面ABCD 所成的角为60°，求平面ABCD 与平面AMHN 所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）6π. 【分析】（1）连结AC BD 、且AC BD O =，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，得到BD AH ⊥，再利用线面平行证明//BD MN ，即证MN AH ⊥；（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，利用线面成角60°求出线段之间关系，再建立空间直角坐标系，利用法向量成角求锐二面角的大小即可. 【详解】（1）连结AC BD 、且ACBD O =，连结PO .因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AH ⊂平面PAC ，所以，BD AH ⊥， 因为，//BD 平面AMHN BD ⊂，平面PBD ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ， 所以，MN AH ⊥.（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以60PAO ︒∠=， 所以，13,2AO PA PO PA ==， 因为，3PA AB =，所以，36BO PA =. 以,,OA OD OP 分别为,,x y z 轴，如图所示建立空间直角坐标系，记2PA =， 所以，33(0,0,0),(1,0,0),0,,0,0,,033O A B D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13(0,0,3),,0,2P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以，23330,,0,2BD AH ⎛⎫⎛==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2333022yx z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0,23y z ==，所以，(2,0,23)n =.因为PO ⊥平面ABCD ，所以(0,0,3)OP =是平面ABCD 的一个法向量 记平面ABCD 与平面AMHN 所成角为锐二面角是θ， 则||3cos |cos ,|2||n OP n OP n OP θ⋅=<>==‖. 因为θ是锐角，所以平面ABCD 与平面AMHN 所成角为6π. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．受新冠肺炎疫情影响，上学期网课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了非常大的损害.我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图所示:前50名 后50名 近视 40 32 不近视1018(1)求a 的值，并估计这2000名学生视力的平均值(精确到0.1)；(2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到的数据如列联表，根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关?(3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的高度重视.近年来我市空军飞行员录取情况喜人，继2019年我市有6人被空军航空大学录取之后，今年又有3位同学顺利拿到了空军航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实立德树人根本任务已初见成效.2020年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于5.0，若以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，这3名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.75a =，4.6；（2）没有；（3）分布列见解析，34. 【分析】（1）根据频率分布直方图的知识直接计算求解即可； （2）由列联表数据代入公式计算2K 的观测值2003.175 3.84163k =≈<，进而得答案； （3）由题得视力在5.0以上的同学所占的比例为14，根据题意得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布求解即可得答案.【详解】（1）由直方图可得(0.250.521 1.75)0.21a ++++⨯=，所以0.75a =，4.10.50.2 4.30.750.2 4.5 1.750.2 4.710.2 4.90.750.25.10.250.2 4.6x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈所以估计这2000名学生视力的平均值是4.6. （2）因为2K的观测值2100(40181032)2003.175 3.8415050722863k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%把握认为视力与学习成绩有关.（3）视力在48以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为：0.2510.250.754=+所以从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，则1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即3313(),0,1,2,344k kkP X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以0312013313271327(0),(1)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 21302333139131(2),(3)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()344E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布等知识点，考查运算能力与数据处理能力.本题的前两问均属简单运算，第三问解题的关键是根据频率估计概率得到视力在5.0以上的同学所占的比例为14，进而得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭.是中档题. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点是(),0,F c P 椭圆上的一动点，且PF 的最小值是1，当PF 垂直长轴时，3||2PF =. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 相切，且交圆22:4O x y +=于,M N 两点，求MON △面积的最大值，并求此时直线l 方程.【答案】（1）22143x y +=；（2y =【分析】（1）由||PF 的最小值为1，得到1a c -=，再由3||2PF =， 结合222a b c =+，求得,a b 的值，即可求得椭圆的方程.（2）设切线l 的方程为y kx t =+，联立方程组，根据直线与椭圆相切，求得2234t k -=，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得MON △的面积的表示，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，点P 椭圆上的一动点，且||PF 的最小值是1，得1a c -=，因为当PF 垂直长轴时，可得3||2PF =，所以232b a =，即223b a =， 又由222a bc =+，解得2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由题意知切线l 的斜率一定存在，否则不能形成MON △，设切线l 的方程为y kx t =+， 联立22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2223484120k x ktx t +++-=， 因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()222(8)4344120kt k t ∆=-+-=，化简得2234t k =+，则2234t k -=， 因为点O 到直线l的距离d =所以||MN ==||MN = 故MON △的面积为114||122||||S MN d t t =⋅==+ ， 因为22304t k -=≥，可得23t ≥，即t ≥1||||y t t =+在)+∞上单调递增，所以1||||t t +≥||t =则S ≤=MON △当||t =0k =，所以直线的方程为y =【点睛】对于直线与椭圆的位置关系的处理方法：1、判定与应用直线与椭圆的位置关系，一把转化为研究直线方程与椭圆组成的方程组的解得个数，结合判别式求解；2、对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆的内部或在椭圆上，判定直线与椭圆的位置关系.22．已知函数()()2,ln f x x m g x x x =-=+. (1)若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；(2)若()()222x xf xg x xe x x e ++<++在()0,4x ∈时恒成立，求实数m 的最小值. 【答案】（1）()F x 的极大值是m -，无极大值；（2）42ln 44e +-.【分析】（1）先写函数()()()F x f x g x =-并求导，再利用导数正负判断单调性和极值即可；（2）先分离参数(2)ln x m x e x x >-+-，再研究函数最大值得到m 的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）2()ln F x x x m x =---，定义域为(0,)+∞，1(21)(1)()21x x F x x x x'+-=--=. ()001F x x '<⇔<<；()01F x x '>⇔>；当x 变化时，(),()F x F x '的变化情况如下表:由上表可得()F x 的极大值是(1)F m =-，无极大值；（2）由2()()22x x f x g x xe x x e ++<++在(0,4)x ∈时恒成立，即22ln 22x x x m x x xe x x e -+++<++，整理为(2)ln xm x e x x >-+-在(0,4)x ∈时恒成立. 设()(2)ln xh x x e x x =-+-，则1()(1)x h x x e x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，当1x >时，10x ->，且1,1x e e x ><，10,()0x e h x x'∴->∴>. 当01x <<时，10x -<， 设211,0,xx u e u e u x x'=-=+>∴在(0,1)上单调递增， 当0x →时，11,0x u e x x →+∞∴=-<；当1x =时，10u e =->， 0(0,1)x ∴∃∈，使得00010x u e x =-= ∴当()00,x x ∈时，0u <；当()0,1x x ∈时，0>u .∴当()00,x x ∈时，()0h x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x '<，故函数()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,4)上单调递增. ()()()0000000000122ln 2212x h x x e x x x x x x x =-+-=-⋅-=--. ()0000022(0,1),2,121x h x x x x ∈∴-<-=--<-，4(4)2ln 440h e =+->， ∴当(0,4)x ∈时，()(4)h x h <，(4),m h m ∴≥∴的最小值是42ln 44e +-.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.。
2021届高三三校第一次联考语文答案及解析
2021届高三三校第一次联考语文答案及解析1.B解析:A项“(cān)错误,正确的读音为“chān”。
C项“内趋力”应为“内驱力”D项“查”错误,正确的读音为“yǎo”2.B解析:B应为“隔膜”隔:感情通的障碍或思想认识的差距用在此处不通隔膜:①隔:②情意不相通,互不了解:③不了解,不熟悉,这里用的是义项③。
A项“甚至”表示更进一层的连接语词,使用正确,C项捉襟见肘意思是拉一下衣就露出胳膊肘儿,形容衣服破烂。
比喻顾此失彼,穷于应付。
这里使用的是比喻义。
D项“消弥”是消灭停止的意思,使用正确。
3.B解析:“甚至”前的号有误。
4.A解析:B项“病因是在于”这句中的“是”和“在于”在于重复,属子成分赞余。
C项“是20世纪中国文学史学科追求知识创新和观念重构的次重要的学术实验更是其自觉扬弃学科宿弊的一次重要的理论实践语序不当,应该是先“自觉扬弃学科宿弊”,然后才是“追求知识创新和观念重构”。
D项“统筹推进新盛河流域突出水环境问题整改落实到位结构混乱。
5.(3分)示例:①设若没有山②天下无道,名退隐③人类不再是井底之6.(6分(1)(2分)示例这些北大新生选的专业都不“热”/北大新生兴趣是最好的专业(2)(4分)示例:北大考古女孩钟芳蓉的选择,印证了“兴趣是选择专业的关键”。
专业,无所谓高低贵败,也没有“门”和“热门”之分,大学生选择专业不能过于功利性只有选择自己感兴的专业,才能更好地学习专业知识。
7.C解析:选项A,根据原文“产生之初的南戏是完全草根的、平民的舞台艺术”可以判断选项A中应该是“产生之初的南戏”,而选项中只写了“南戏”,以偏概全。
选项B根据原文“且角扮演的都是底层劳动妇女,她们在家中或要侍本公婆”可知“境遇凌惨”的概括不恰当,选项D,根据原文“观众的接受能力和期待视野会对戏曲的内容产生直接的影响”这里只提到“会产生直接的影响”,而不是“直接决定”,夸大程度。
8.C解析:原文表述为“南戏不为士大夫和主流文化所关注”“与元朵剧高华雄浑的人文情怀有所不同,南戏更多聚焦的是婚姻家庭生活,并未指出两者之间有因果关系,属于强加因果。