天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学(理)试题(含答案)
参考公式：
·锥体的体积公式 V 圆柱=Sh，其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合 A={x|–2≤x≤2}，B={x|y= 1 }，那么 A∩B=（ ）． 1 x
AF
(x3，y3，z3 )(
2，2，2 333
)
2 3
x3
2 3
y3
2 3
z3
0，
n3 AE (x3，y3，z3)(1，1，0) x3 y3 0，
取 y3=1，得 x3=–1，z3=0，即 n3=(–1，1，0)． 由得二面角 GAFE 的大小为 30°，得
cos30°= |n2 n3 | = | t ( 1) 11 (t 1) 0 | = 3 ，化简得 2t2–5t+2=0，
………①
由 S7=14a2+7 得 d=a1+1，………②
2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一)
数 学 试 卷（理工类）
2019.03
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
CD 上一点，且满足 AP =m AC + 1 AB ，若△ABC 2
C P
的面积为 2 3 ，则| AP |的最小值为（ ）．
A
D
B
（A） 2
（B） 3
（C）3
（D） 4 3
南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 2 页（共 9 页）
第Ⅱ卷
注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共 12 小题，共 110 分．
的钢管相接焊成笔直的一根．
（Ⅰ）当 n=3 时，记事件 A={抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等}，求 P(A)； （Ⅱ）当 n=2 时，若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），求的分布列和数学 期望 E．
南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 5 页（共 9 页）
得 分 评卷人
（D）(–3，0)∪(0，3)
（7）过双曲线 x2 y 2 1（a＞0，b＞0）的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于 a2 b2
A，B 两点，若 B 为线段 FA 的中点，且 OB⊥FA（O 为坐标原点），则双曲线的离
心率为（ ）．
（A） 2
（B） 3
（C）2
（D） 5
（8）如图，在△ABC 中，∠BAC= π ， AD =2 DB ，P 为 3
则
n2
AF
(x2，y2，z2 )(
2，2，2 333
)
2 3
x2
2 3
y2
2 3
z2
0，
n2 AG (x2，y2，z2)(1，t，0) x2 ty2 0，
取 y2=1，得 x2=–t，z2=t–1，即 n2=(–t，1，t–1)．
设平面 AFE 的法向量为 n3=(x3，y3，z3)，
则
n3
∴cosB=cos2C=1–2sin2C= 1 ． 8
∵B=2C，∴C 为锐角，∴cosC＞0， ∴cosC= 1 sin2C = 3 ．
4
………………2 分 ………………4 分
而 sinB= 1 cos2B = 3 7 ， 8
………………6 分
∴cosA=–cos(B+C)=–(cosBcosC–sinBsinC)= 9 ． ………………9 分 16
是为
．
（12）已知在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x y
2
2t
2，
（t
4t，
为参数）．点
M( 2 ，0)，P 为 C 上一点，若|PM|=4 2 ，则△POM 的面积为
．
（13）已知 x，y 均为正实数，且 2x y = 7 6 ，则 x+3y 的最小值为
．
xy 2
（14）设函数
f(x)=
南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 7 页（共 9 页）
得 分 评卷人
（19）（本小题满分 14 分）
已知椭圆
C：
x a
2 2
y2 b2
1（a＞b＞0）的离心率为
6 ，两焦点与短轴的一个端点的连 3
线构成的三角形面积为 2 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设与圆 O：x2+y2= 3 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点（O 为坐标原点），
（A）{x|–2≤x＜1} （B）{x|–2≤x≤1} （C）{x|x＜–2} （D）{x|x≤2}
2x y ≥ 0，
（2）设变量
x，y
满足约束条件
x x
2y ≤ 0，
2
≥
0，则目标函数
z=x–y
y ≤ 3，
的最大值为（ ）．
（A）1
（B）–1
（C） 3 2
（D）–3
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 3，则输出的
（17）解：（Ⅰ）以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐
标系 Cxyz，则 A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，S(0，0，2)，D(1，
0，0)，E(1，1，0)．
由 SF=2FE 得 F( 2 ， 2 ， 2 )． 333
∴ AF =( 2 ， 2 ， 2 )， BC =(2，–2，0)， 333
理由．
南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 6 页（共 9 页）
得 分 评卷人
（18）（本小题满分 13 分）
已知数列{an}是等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 a5=3a2，S7=14a2+7． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{an+bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{(–1)nbn(an+bn)}的前 n 项和 Tn．
|n2 ||n3 |
2 ( t)2 1 (t 1)2
2
又 0≤t≤1，求得 t= 1 ．于是满足条件的点 G 存在，且 DG= 1 ．…………13 分
2
2
南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（理工类）第 3 页（共 6 页）
（18）解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是 d．
由 a5=3a2 得 d=2a1，
（A）[0， 5 ] （B）[0， ] （C）[ 5 ， 11 ] （D）[ 11 ，]
12
2
12 12
12
（6）函数 f(x)是奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，f(–3)=0，则不等式 xf(x)＜0 的解
集为（ ）．
（A）(–3，0)∪(3，+∞)
（B）(–∞，–3)∪(0，3)
（C）(–∞，–3)∪(3，+∞)
0＜x1＜x2 时，
f ( x1) x1
f(x2) ＜ x2
1 x1
–1．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：f(x)(g(x)–1)＞g(x)– 1 ． e2
南开区高三年级模拟考试（一）数学试卷（理工类）第 9 页（共 9 页）
2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一)
数学试卷（理工类）参考答案
（16）解：（Ⅰ）事件
A
为随机事件，P(A)=
C31C32C61 C93
=9 14
．
……………4 分
（Ⅱ）可能的取值为 2，3，4，5，6．
………………………5 分
P(=2)= C32 = 1 ，P(=3)= C31C31 = 1 ，
C92 12
C92 4
P(=4)=
C32
C92
=
………………………2 分
SC =(2，0，–2)，
∵ AF · BC =0， AF · SC =0，
∴ AF ⊥ BC ， AF ⊥ SC ，
∴AF⊥平面 SBC．
………………………5 分
（Ⅱ）设 n1=(x1，y1，z1)是平面 SBD 的一个法向量，
南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（理工类）第 2 页（共 6 页）
由于 DS =(–1，0，2)， DB =(–1，2，0)，则有
n1 DS (x1，y1，z1)( 1，0，2) x1 2z1 0，
n1
DB
(x1，y1，z1)(
1，2，0)
x1
2
y1
0，
令 x1=2，则 y1=1，z1=1，即 n1=(2，1，1)，
设直线 SA 与平面 SBD 所成的角为，而 AS =(0，0，2)，
得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．请 将答案填在题中横线上。
（9）已知复数 z= 1 3i ，则 z 的实部为
．
3i
（10）二项式( x – 1 )5 的展开式 中常数项为
．
3x
（11）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分
别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积
1 3
，P(=5)=
C31C31 C92
=
1 4
，
P(=6)=
C32 C92
2019年天津市南开艺术中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年天津市南开艺术中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题： 来源： 福建省平潭县新世纪学校2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题理已知（R ），其中为虚数单位，则（ ）（A ）-1 （B ）-9 （C ）1 （D ）9 【答案】B 【解析】试题分析：由已知有，系数对应相等有：，解得，故选：B ．考点：复数的运算．第 2 题： 来源： 福建省漳州市华安县第一中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 理试卷及答案 将十进制数17转化为二进制数为（ ） A ． 11110 B ．10101 C ．10011 D ．10001 【答案】 D第 3 题： 来源： 甘肃省会宁县第一中学2019届高三数学上学期第三次月考试题理 已知a=log0.32，b=20.1，c=sin789°，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【答案】B第 4 题： 来源： 广东省天河区普通高中2017_2018学年高一数学10月月考试题试卷及答案09若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B第 5 题：来源：吉林省普通高中2016_2017学年高三数学毕业第三次调研测试试卷理试卷及答案2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值为A． B．C． D．【答案】D第 6 题：来源：江西省横峰县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题理试卷及答案已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为s2=×(+++-16)，则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】D第 7 题：来源：甘肃省兰州第一中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且a＝4，b＋c＝5， tanB＋tanC＋＝tanBtanC，则△ABC的面积为 ( )A. B. 3 C.D.【答案】C第 8 题：来源：内蒙古巴彦淖尔市2018届高三数学12月月考试题理试卷及答案设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，.且.则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A第 9 题：来源：山东省青州市2017_2018学年高一数学10月月考试题试卷及答案若函数y=ax与在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax+bx在（0，+∞）上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增【答案】 B第 10 题：来源： 2016_2017学年广西钦州市高新区高一数学下学期期中试题试卷及答案设S n 是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n }的前n项和，则下列命题错误的是( )．A．若d＜0，则数列{S n }有最大项 B．若数列{S n }有最大项，则d＜0C．若数列{S n }是递增数列，则对任意n∈N * ，均有S n ＞0D．若对任意n∈N * ，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列【答案】 C第 11 题：来源：安徽省黄山市2016_2017学年高二数学下学期期中试题理（含解析）若，且，则的最大值为( )．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】,所以选B.第 12 题：来源： 2016_2017学年河南省南阳市高二数学下学期第一次月考（3月）试题理已知函数满足，且，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】D第 13 题：来源：湖南省怀化三中2018_2019学年高二数学上学期期中试题理等比数列｛an｝满足a1=3，=6，则( )A．21 B．42 C．63D．84【答案】B第 14 题：来源：内蒙古包头市青山区2016_2017学年高二数学下学期4月月考试卷理（含解析）已知函数y=f′（x），y=g′（x）的导函数的图象如图，那么y=f（x），y=g（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小可得答案．【解答】解：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y=f（x）的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC，故选D．第 15 题：来源：山东省济南市2017_2018学年高二数学上学期开学考试试题试卷及答案在中,则=（）A 或 BC D 以上都不对【答案】C第 16 题：来源： 2017年高考仿真卷•数学试卷含答案(四)理科已知数列{an}是公差为的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a8=( )A.7B.C.10D.【答案】D 解析∵数列{an}是公差为的等差数列,Sn为{an}的前n项和,S8=4S4,∴8a1+d=4又d=,∴a1=∴a8=a1+7d=+7故选D.第 17 题：来源：湖北省荆州市2018届高三数学上学期第一次双周考试题理试卷及答案我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的（）A．54 B．9 C．12 D．18【答案】D第 18 题：来源：山东省济南市2017_2018学年高二数学上学期开学考试试题试卷及答案在△ABC中，若，则其面积等于（）A．12 B． C．28 D．【答案】D第 19 题：来源：湖北省武汉外国语学校2018_2019学年高二数学10月月考试题（含解析）若，则等于（）A. B. C.D.【答案】B【解析】试题分析：，.考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．第 20 题：来源：河南省襄城县2017_2018学年高二数学9月月考试题记为中的最小值，当正数变化时，令则t的最大值为（）A．1 B． C． D．【答案】C第 21 题：来源：广西柳江中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理A． B． C． D．【答案】A．故选：A．第 22 题：来源：广西桂林市七星区2017_2018年高一数学上学期期中检测试题试卷及答案已知函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数，若,则的取值范围是（）A．B． C.D．【答案】C第 23 题：来源：吉林省长春市第十一高中2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题理已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )A．在上为减函数 B．在处取极小值C．在处取极大值 D．在上为减函数【答案】D第 24 题：来源：山东省淄博市2018届高三数学上学期开学考试试题试卷及答案理已知定义域为R的函数 f （x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣2f （x）＞4，若 f （0）=﹣1，则不等式f（x）+2＞e2x的解集为（）A．（0，+ B．（﹣1，+ C．（﹣∞，0 D．（﹣∞，﹣1）【答案】A第 25 题：来源：四川省宜宾第三中学2019届高三数学11月月考试题理（含解析）从数字中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【解析】总样本数为,其中两位数大于的有个，所以所求概率为选B.第 26 题：来源：甘肃省民勤县第一中学2017_2018学年高一数学上学期期末考试试题已知点，则线段的垂直平分线的方程是（）A． B． C． D．【答案】B第 27 题：来源：山西省忻州市2017_2018学年高一数学上学期摸底考试试题a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0【答案】A第 28 题：来源： 2016_2017学年安徽省滁州市全椒县襄河镇高一数学下学期期中试题试卷及答案理已知△的内角满足，则（）A．B．C．D．【答案】C第 29 题：来源：江西省南昌市实验中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题试卷及答案理曲线在点P(1,4)处的切线与y轴交点的纵坐标是A．－9 B．－3 C．－1 D．3【答案】C第 30 题：来源：湖北省钢城四中2018_2019学年高二数学上学期期中试题理直线经过点，且倾斜角是直线倾斜角的2倍，则以下各点在直线上的是A．B．C．D．【答案】B【详解】由题得直线过定点（0，-1），所以圆心（-3,3）到定点的距离为，所以点P到直线距离的最大值为5+1=6.第 31 题：来源：贵州省仁怀市2015-2016学年高一数学11月月考试题试卷及答案设偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集是（A）（B）（C）（D）【答案】C第 32 题：来源： 2017届北京市海淀区高三5月期末(二模)数学试题(理)含答案已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是A. B. C.是递增数列 D. 存在最小值【答案】C第 33 题：来源： 2019高考数学一轮复习第10章概率统计和统计案例第2讲几何概型分层演练文2018091013设a∈[0，10]，则函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为( )A． B．C． D．【答案】B．因为函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数，所以a－2＜0，解得a＜2，所以函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为＝．第 34 题：来源：江西省赣州市2016_2017学年高一数学上学期第二次月考试题试卷及答案已知函数y=f(x)是（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）是单调递增的，则下列不等式中一定成立的是（）A．f(sin)>f(cos) B． f(sin)>f(cos)C． f(cos（）)>f(sin) D． f(sin)<f(cos)【答案】C第 35 题：来源：河南省豫南九校2018_2019学年高二数学下学期第二次联考试题理（含解析）若是函数的导函数，则的值为（）A. 1B. 3C. 1或3 D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后求出函数值即可．【详解】∵，∴∴.故选C．【点睛】本题考查导函数的求法，解题的关键是熟记基本初等函数的求导公式和求导法则，属于简单题．第 36 题：来源：青海省西宁市2018届高三数学9月月考试题理试卷及答案已知集合，若，则有（）A． B． C．D．【答案】A第 37 题：来源： 2019高中数学第二章平面向量单元测试（一）新人教A版必修4若与满足，，则等于（）A． B． C．D．2【答案】B【解析】由题意得，故选B．第 38 题：来源：江西省新余市2016_2017学年高一数学下学期第一次段考（3月）试题试卷及答案两条直线，互相垂直，则的值是（）A．或 B． C． D．或【答案】A第 39 题：来源：湖北省六校联合体2017届高三4月联考数学试题（理）含答案设，其中是实数，则（）A．1 B． C． D．2【答案】D第 40 题：来源：黑龙江省双鸭山市2017_2018学年高二数学9月月考试题理试卷及答案若方程=1表示双曲线，其中a为负常数，则k的取值范围是( )(A)(,-) (B)(,-) (C)(-,) (D)(-∞,)∪(-,+∞)翰林汇【答案】B第 41 题：来源： 2016_2017学年安徽省滁州市全椒县襄河镇高一数学下学期期中试题试卷及答案理等差数列中，，，则当取最大值时，n值为（）A．6 B．7 C．6或7 D．不存在【答案】C第 42 题：来源：山东省潍坊市临朐县2017届高三数学上学期阶段性质量检测（12月月考）试题理已知，，且，则向量与向量的夹角为A. B.C. D. 或【答案】C第 43 题：来源：云南省玉溪市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案设某大学的女生体重(单位：kg)与身高(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据求得回归方程为，则下列结论中不正确的是（）A．与具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg【答案】D第 44 题：来源：湖南省双峰县2018届高三数学上学期第二次月考试题理试卷及答案命题，是假命题，则实数的取值范围是（）A． B． C.D．【答案】D第 45 题：来源： 2016-2017学年新疆库尔勒市高一数学上学期期末考试试题试卷及答案已知α角与120°角的终边相同，那么的终边不可能落在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】 C第 46 题：来源： 2018届高考数学文科总复习课时跟踪检测试卷(4)函数及其表示试卷及答案函数f(x) 的定义域为( )A．(－1,1] B．(0, 1]C．[0,1]D．[1，＋∞)【答案】B 由条件知则x∈(0,1]．∴原函数的定义域为(0,1]．第 47 题：来源：辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三数学上学期第三次模拟试题文（含解析）已知命题，命题是成等比数列的充要条件”.则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当x＜﹣2，或x＞1时，，故命题p为真命题；b2=ac=0时，a，b，c不是等比数列，故命题q为假命题；故命题，，均为假命题；为真命题；故选：C第 48 题：来源：河北省景县2017_2018学年高一数学上学期第一次调研考试试题试卷及答案非空集合M满足：若x∈M，则∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于A．0 B．1 C．－1 D．不确定【答案】C试题分析：依题意，得当4∈M时，有，从而，，于是集合M的元素只有4，，所有元素之积等于4×（）×=-1第 49 题：来源：甘肃省兰州市2017_2018学年高二数学上学期期中试题试卷答案设数列是等差数列, 若则A. B. C. D.【答案】C第 50 题：来源：广西桂林市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案定义在上的偶函数在上是减函数,则A. B.C. D.【答案】B。
天津南开区2019届中考数学模拟试卷(三)【含答案及解析】
天津南开区2019届中考数学模拟试卷（三）【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、单选题1. 在实数﹣、、π、中，是无理数的是（）A. ﹣B.C. πD.2. 我国对“一带一路”沿线国家不断加大投资，目前已为有关国家创造了近1100000000美元税收，其中1100000000用科学记数法表示应为（）A. 0.11×108B. 1.1×109C. 1.1×1010D. 11×1083. 在下列的计算中，正确的是（）A. m3+m2=m5B. m5÷m2=m3C. （2m）3=6m3D. （m+1）2=m2+14. 如图是下面某个几何体的三种视图，则该几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 三棱柱5. 不等式组的非负整数解的个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 76. 如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=（）A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°7. a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B. C. D.8. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x （min）之间的函数关系如图所示．有下列说法：①A、B之间的距离为1200m；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③b=960；④a=34．以上结论正确的有（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④9. 对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（）A. 它的图象与x轴有两个交点B. 方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3C. 它的图象的对称轴在y轴的右侧D. x＜m时，y随x的增大而减小10. 如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN 恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题11. 因式分【解析】 x2y﹣4y=_____．12. 若式子有意义的x的取值范围是_____．13. 下表是某校女子排球队队员的年龄分布：14. 年龄/岁13141516人数1452td15. 圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于_____（结果保留π）．16. 如图，直线y＝x＋2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点P.若OP＝，则k的值为________．17. 已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m 的取值范围是________．三、解答题18. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣2．19. 实验探究：（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．20. 为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A，B，C三类分别装袋，投放，其中A 类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料，废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．21. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．22. 如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A 处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD．23. 如图，⊙O的直径AB=12cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD．（1）求证：点P为的中点；（2）若∠C=∠D，求四边形BCPD的面积．24. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：25. 地铁站ABCDEx(千米)891011.513y1(分钟)1820222528td26. 如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y=﹣x2+bx的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B'，当△OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，OD=2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题36 基本不等式(解析版)
考点36 基本不等式1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若x ，y ，z 是正数，且3412x y z ==，(),1x yn n z+∈+，n N ∈，则n 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令3412x y z k ===，得3log x k =，4log y k =，12log z k =，则111x y z +=，得1x y xy z +=，所以()22x y x y x y z xy y x++==++，注意到432y x x =>，即2y x >，且y x <，所以112y x >>，设y t x =，则1924,2x y t z t +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.所以4n =.故选B.2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=， 又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤； 因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b ＝11a -+1，∴a+2b ＝a+222133311a a a +=-+++=+--…，当且仅当a 取等号，∴a+2b的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+ D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+， 当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立， 所以11m n+的最小值为3+ A.6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x ，y均为正实数，且272x y xy +=，则x+3y的最小值为_____________ 【答案】2; 【解析】 x ，y 均为正实数,22172x y xy y x +=+=+,)12113233)7722y xx y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭17 2.72≥+==时等号成立.故答案为：2.7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若lg lg 0a b +=，则21a b+的最小值是_____________. 【答案】【解析】∵lga+lgb ＝lgab ＝0， ∴ab ＝1，且a ＞0，b ＞0，则21a b +≥=当且仅当21a b =且ab ＝1时即a =b 2=取得最小值故答案为8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】5【解析】因为cos24ABC ∠=，所以221cos 2cos121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u rBD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯，整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，35c a +≤=，当且仅当a =，15c =时等号成立，故填5. 9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】()()2222211122x ty t y x y x y xy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：111．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为______．【答案】256【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭．故答案为：256． 12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==， 由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________． 【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则AC =分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心， 连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心． 连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132O ABC acV -=⨯⨯=， ∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得22222212()()11224O O AC a c R +=+=+=+， ∴222244(1)4(1)1644a c acS R ππππ+==+≥+=球表，当且仅当a c =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π． 故答案为：16π．14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,则V ABC 面积最大值为_________. 【答案】3 【解析】在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,如下图所示：则1CD =，由三角形内角平分线定理可知：2AB BDAC CD==，设,2AC x BAC α=∠=，则2,0,2AB x πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：2223422cos 2x x x x α=+-⋅⋅⋅，即22954cos 2x x α=-，可得2954cos 2x α=-，V ABC 面积为219sin 22sin 2sin 2254cos 2S x x x αααα=⋅⋅⋅==-22222tan 918tan 181tan 311tan 19tan 9tan 54tan 1tan S αααααααα⋅+⇒====-++-⋅+…,当且仅当31tan =α时，等号成立，故V ABC 面积最大值为3.15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则tan tan tanC A B ++的最小值是_______．【答案】12 【解析】由正弦定理可得：sin 3sin sin C B A =得：()sin sin cos cos sin 3sin sin A B A B A B B A +=+=sin cos cos sin 3sin sin cos cos cos cos A B A B B AA B A B+∴=，即tan tan 3tan tan A B A B +=又()tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B C A B C A B A B ++==-+22tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A B+-=-=-- 令tan tan A B t =，得：()()()22231613333tan tan tan 3161111t t t t A B C t t t t t -+-+-++====-++----ABC ∆为锐角三角形 ()tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B+∴-=+=<-得：tan tan 1A B >，即1t > 10t ∴->()3tan tan tan 3166121A B C t t ∴++=-++≥=- 当且仅当()3311t t -=-，即tan tan 2t A B ==时取等号 ()min tan tan tan 12A B C ∴++=本题正确结果：1216．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数,a b 满足3ab a b ++=，则+a b 的最小值为__________． 【答案】2 【解析】因为,a b 2a b+≤成立. 所以()24a b ab +≤所以()()234a b ab a b a b =++++≤+即：()()21240b a a b +-+≥+ 解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去） 当3a bab a b =⎧⎨++=⎩时，等号成立，即：1a b ==时，等号成立.所以+a b 的最小值为217．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．【答案】12 【解析】以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，在菱形ABCD 中，设，，，则，，，， 又E 为CD 边的中点，则，，，，由基本不等式有，，，当且仅当时取“”，即，菱形ABCD 的面积为，即菱形面积的最大值为12．故答案为：12．18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】∵正实数满足，∴（2a+b），当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为．19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【解析】因为的面积为，所以,因此，因为，所以因此，当且仅当时取等号即，的最小值为.20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数()f x x a x b =++-. （1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集； （2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b+的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）32+ 【解析】（1）当1a =，1b =时，()114f x x x =++-≤，得124x x ≤-⎧⎨-≤⎩或1124x -<<⎧⎨≤⎩或124x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：22x -≤≤，∴不等式()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤.（2）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ∴2a b +=，∴()121121213332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a =，4b =-.∴12a b +的最小值为3221．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数()211f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析. 【解析】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤． 【答案】(1) ()1,3- (2)见证明 【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-， 由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解， 综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-； （2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=， ∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥， ∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲 已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明 【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x mm x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++=由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知()()0f x x a a =->． （1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =--的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫=-+-=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =--+， ()()22224x x x x --+≤--+=，4k∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 所以当343n m m n =，即2n =1m =时，123m n +最小值为2。
天津市南开区2019届高三下学期第一次模拟考试试卷(含解析)
2018——2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一）文科综合政治部分第I卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上1—11题的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共11题，在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1。
在日常生活中，不带钱包出门已经成为天津人的习惯,缴费、购物、出行，一部手机就可以搞定,各公共服务部门通过在手机上的“窗口”，已经让市民不用出行,坐在家中也能缴费、办政务，其中最受欢迎的分别是证件照随拍、乘车码和生活缴费服务。
手机支付①改变了货币职能,实现了物物交换②减少了现金使用确保了账户安全③创新了服务模式方便了购物消费④简化了收款手续，节省了交易成本A。
①② B. ①③ C. ③④D。
②④【答案】C【解析】【详解】材料中,缴费、购物、出行，一部手机就可以搞定,各公共服务部门通过手机支付的推行，让市民实现家中办公，创新了服务模式，方便了居民购物消费，同时也能够简化收款手续,节省交易成本，题肢③和④说法正确。
手机支付，依然是以货币为商品交换的媒介实现的，没有改变货币的职能,更没有实现物物交换,题肢①说法错误；手机支付可以减少现金使用，但是确保账户安全的说法有误，题肢②排除。
本题选择C选项。
【点睛】货币知识的相关归纳1、一般等价物含义:表现其他一切商品的价值，充当商品交换的媒介。
2、贵金属金银的特点：贵金属金银能够固定充当一般等价物的原因是其具有体积小、价值大、易于分割、不易磨损、便于保存和携带等特点.3、货币与一般等价物：货币是从商品中分离出来固定充当一般等价物的特殊商品。
当贵金属金银固定充当一般等价物时，货币就出现了。
货币的本质是一般等价物。
4、历史上充当过一般等价物的商品有:早期有牲畜、布帛、贝壳等；后期有贵金属金银、货币。
2.为了使资产保值增值，必须学习相应的理财知识。
下列关于投资理财说法正确的是①银行存款利率提高意味着居民的实际收益必然增加②持公司债券意味着成为公司的股东,每年可享受分红③股票投资收益来自于企业利润和价格上升带来的差价④保险具有互助特征，可使自已所承担的风险损失下降A. ①②B. ③④C。
2019届天津市南开区南开中学高三第五次月考数学试题(解析版)
连接 ， 等腰三角形 中, ，
,
是 的中线,
同理,可得 ,
由此可得
，
,可得 , 代入上式得
， , 当 时, 的最小值为 ,
此时 的最小值为 ,故答案为 .
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算法则，考查零点二次函数的性质，属于难题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向量模的平方 .
因此 或 （舍）．
所以只可能是 ，
此时 ，因此 ，
所以平面 所在小圆的半径即为 ，
又因为 ，
所以外接球 的半径 ，
所以球 的表面积为 ．
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC的长，即得到 ，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题。
13．已知曲线 的参数方程为 为参数），点 为其焦点,在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ,点 分别在曲线 和 的实线部分上运动（如图所示），且 总是平行于 轴，则 的周长的取值范围是________.
由图可知， 时直线 与 的图象有三个交点，
时,方程 有三个不相等的实数根,
同理,若 ,可得 时，方程 有三个不相等的实数根,
所以实数 的取值范围是 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题.函数零点的几种等价形式：函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.
调性确定出f（x）的单调递减区间即可；（2）由f（x）解析式，以及f（ ） ，求出
【精品高考数学试卷】2019年天津市南开区高考数学一模试卷(文科)+答案
2019年天津市南开区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤2}，B ＝{x |y ＝1−√1−x }，那么A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣2≤x ≤1}B ．{x |﹣2≤x ＜1}C ．{x |x ＜﹣2}D ．{x |x ≤2}2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{2x +y ≥0x +2y −2≥0x ≤0y ≤3，则目标函数z ＝x ﹣y 的最大值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．32D ．﹣33．（5分）执行如图所示的程序枢图，输入的a 的值为3，则输出的i ＝（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．（5分）设a ，b ∈R ，则“a ＜b ”是“（a ﹣b ）a 2＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数y ＝2sin （π3−2x ）（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（ ） A ．[0，5π12] B ．[5π12，11π12] C ．[0，π2]D ．[11π12，π]6．（5分）函数f （x ）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，f （﹣3）＝0，则不等式xf（x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，0）∪（3，+∞） B ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D ．（﹣3，0）∪（0，3）7．（5分）过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，若B 为线段F A 的中点，且OB ⊥F A ，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√58．（5分）如图，在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，若△ABC 的面积为2√3，则|AP →|的最小值为（ ）A ．√2B ．√3C ．3D ．43二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上． 9．（5分）已知复数z =√3i3−iz 的实部为 ． 10．（5分）已知函数f （x ）＝（ax 2+x ﹣1）e x +f ′（0），则f ′（0）的值为 ． 11．（5分）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1﹣EDF 的体积为 ．12．（5分）已知P 为抛物线C ：y 2＝4√2x 上一点，点M （√2，0），若|PM |＝4√2，则△POM （O 为坐标原点）的面积为 ．13．（5分）已知x ，y 均为正实数，且x +3y ＝2，则2x+y xy的最小值为 ．14．（5分）设函数f （x ）={x 2−5x +6，x ≥04x +4，x ＜0，若函数g （x ）＝x +a ﹣f （x ）有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤) 15．（13分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差x（℃）101113128发芽数y（颗）2325302616（Ⅰ）求这5天的平均发芽率；（Ⅱ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有的基本事件，并求满足“m，n∈[25，30]”的事件A的概率．16．（13分）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，∠B＝2∠C，sin C=√74（1）求cos B，cos A的值；（2）设bc＝24，求边a的长．17．（13分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF＝2FE．（Ⅰ）求异面直线AF与DE所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：AF⊥平面SBC；（Ⅲ）设G为线段DE的中点，求直线AG与平面SBC所成角的余弦值．18．（13分）已知数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和，且a5＝3a2，S7＝14a2+7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b n（a n+b n）}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为√2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2=34相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值． 20．（14分）已知函数f （x ）=1+lnxx ． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间（m ，m +13）（m ＞0）上存在极值，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）设g （x ）=1+xa [xf （x ）﹣1]，对任意x ∈（0，1）恒有g （x ）＜2x ﹣2，求实数a 的取值范围．2019年天津市南开区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【解答】解：∵B ＝{x |x ≤1}； ∴A ∩B ＝{x |﹣2≤x ≤1}． 故选：A ．2．【解答】解：变量x ，y 满足约束条件条件的可行域如图： 目标函数z ＝x ﹣y 经过可行域的B 点时，目标函数取得最大值， 由{x =0x +2y −2=0可得B （0，1），目标函数z ＝x ﹣y 的最大值为：﹣1． 故选：B ．3．【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a ＝3，M ＝100，N ＝1，i ＝1满足条件M ＞N ，M ＝103，N ＝3，i ＝2 满足条件M ＞N ，M ＝106，N ＝9，i ＝3 满足条件M ＞N ，M ＝109，N ＝27，i ＝4 满足条件M ＞N ，M ＝112，N ＝81，i ＝5 满足条件M ＞N ，M ＝115，N ＝243，i ＝6 不满足条件M ＞N ，退出循环，输出i 的值为6． 故选：C ．4．【解答】解：若a ＝0，b ＝1，满足a ＜b ，但（a ﹣b ）a 2＜0不成立， 若“（a ﹣b ）a 2＜0，则a ＜b 且a ≠0，则a ＜b 成立， 故“a ＜b ”是“（a ﹣b ）a 2＜0”的必要不充分条件，故选：B ．5．【解答】解：y ＝2sin （π3−2x ）＝﹣2sin （2x −π3），求y ＝2sin （π3−2x ）的递增区间，等价于求y ＝2sin （2x −π3）的递减区间，由2k π+π2≤2x −π3≤2k π+3π2，k ∈Z ， 得2k π+5π6≤2x ≤2k π+11π6，k ∈Z ， 得k π+5π12≤x ≤k π+11π12，k ∈Z ， 当k ＝0时，5π12≤x ≤11π12， 即函数y ＝2sin （2x −π3）的递减区间为[5π12，11π12]，则函数y ＝2sin （π3−2x ），x ∈[0，π]的单调递增区间为[5π12，11π12]，故选：B ．6．【解答】解：根据题意，函数f （x ）为奇函数，则f （3）＝﹣f （﹣3）＝0， 函数f （x ）在（0，+∞）内是增函数，且f （﹣3）＝0， 在（0，3）上，f （x ）＜0，在（3，+∞）上，f （x ）＞0，又由f （x ）为奇函数，则在（﹣3，0）上，f （x ）＞0，在（﹣∞，﹣3）上，f （x ）＜0， xf （x ）＜0⇒{x ＞0f(x)＜0或{x ＜0f(x)＞0，则有﹣3＜x ＜0或0＜x ＜3，即不等式的解集为（﹣3，0）∪（0，3）； 故选：D ．7．【解答】解：双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，由题意可知：设A （m ，n ），由B 为F A 的中点，且OA ＝c ，则△AOF 为等腰三角形，且OB ⊥AF ，∴∠BOA ＝∠xOA ，即tan ∠BOx ＝tan2∠AOx ．∴−b a =2⋅b a 1−(b a)2，整理得b 2＝3a 2， 双曲线的离心率e =c a =√1+(ba )2=2， ∴双曲线的离心率e ＝2，故选：C ．8．【解答】解：∵AP →=m AC →+12AB →， 又AD →=2DB →，∴AB →=32AD →，∴AP →=m AC →+34AD →， 又因为C ，P ，D 三点共线， 则m +34=1， 即m =14，∴AP →=14AC →+12AB →，∴AP →2=116AC →2+14AB →2+14AC →⋅AB →≥2×18|AC →||AB →|+14|AC →||AB →|cos π3=38|AC →||AB →|， ∵S △ABC=12|AC →||AB →|sin π3=2√3， ∴||AC →||AB →||＝8， ∴AP →2≥38×8=3， ∴|AP →|≥√3， 故选：B ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．【解答】解：∵z =1+√3i 3−i =(1+√3i)(√3+i)(3−i)(3+i)=i ， ∴z 的实部为0． 故答案为：0．10．【解答】解：∵f （x ）＝（ax 2+x ﹣1）e x +f ′（0），∴f ′（x ）＝（2ax +1）e x +（ax 2+x ﹣1）e x ＝（ax 2+x +2ax ）e x ， ∴f ′（0）＝0×e 0＝0 故答案为：011．【解答】解：将三棱锥D 1﹣EDF 选择△D 1ED 为底面，F 为顶点，则V D 1−EDF =V F−D 1ED ， 其S △D 1ED =12S A 1D 1DA =12，F 到底面D 1ED 的距离等于棱长1， 所以V F−D 1ED =13×12×1=16S 故答案为：1612．【解答】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x =−√2，焦点F （√2，0），与M 重合，又P 为C 上一点，|PF |＝4√2，∴x P ＝3√2， 代入抛物线方程得：|y P |＝2√6， ∴S △POM =12×|0M |×|y P |＝2√3． 故答案为：2√3．13．【解答】解：∵x ，y 均为正实数，且x +3y ＝2， 则2x+y xy =12(x +3y)(2y+1x)=12(7+2x y+3y x)≥12(7+2√2x y⋅3y x)=12(7+2√6)，当且仅当√2x =√3y =2√2(√6−1)5时取等号． ∴2x+y xy的最小值为12(7+2√6)，故答案为：12(7+2√6)．14．【解答】解：函数f （x ）={x 2−5x +6，x ≥04x +4，x ＜0，函数g （x ）＝x +a ﹣f （x ）有三个零点， 函数g （x ）＝x +a ﹣f （x ）＝0，可得y ={x 2−6x +6，x ≥03x +4，x ＜0与y ＝a 有3个交点，由函数的图象可得：x ≥0时由2个解，并且关于x ＝3对称，函数的最小值为﹣3； 3x +4＝﹣3，解得x =−73，所以：这三个零点之和的取值范围：（113，6）．故答案为：（113，6）．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤) 15．【解答】解：（Ⅰ）这5天的平均发芽率为：15（23+25+30+26+16）×100%＝24%．（Ⅱ）从3月1日至3月5日任中选2天， 记发芽的种子数分别为m ，n ，用（m ，n ）的形式列出所有的基本事件有10个，分别为：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16）．满足“m ，n ∈[25，30]”的事件A 包含的基本事件有： （25，30），（25，26），（30，26），共3个． ∴满足“m ，n ∈[25，30]”的事件A 的概率P （A ）=310． 16．【解答】解：（1）∵B ＝2C ，∴0＜C ＜90°， ∴cos B ＝cos2C ＝1﹣2sin 2C ＝1﹣2×（√74）2＝1−78=18 ∴sin B =3√78，∵sin C =√74∴cos C =34，故cos A ＝cos （180°﹣B ﹣C ）＝﹣cos （B +C ）＝sin B sin C ﹣cos B cos C =3√78×√74−34×18=916． （2）由正弦定理得asinA=b sinB=c sinC=2R ，即b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ． ∵bc ＝4R 2sin B sin C ＝4R 23√78×√74=218R 2＝24， ∴R 2=647，即R =8√77， ∵cos A =916，∴sin A =5√716， ∴a ＝2R sin A ＝2×8√77×5√716=5．17．【解答】（I ）解：∵D ，E 分别是AC ，BC 的中点， ∴DE ∥AB ，∴∠BAF 为AF 与DE 所成的角． ∵AB ＝AC ，∴BC ⊥AE ，又AS ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ． ∴AS ⊥BC ，又AE ∩AS ＝A ， ∴BC ⊥平面SAE ，∴BC ⊥SE ． ∵AB ＝AC ＝AS ＝2，AB ⊥AC ，∴AD ＝DE ＝1，AE ＝BE =√2，SE =√6， ∴EF =13SE =√63，BF =√BE 2+EF 2=2√63． 又cos ∠AES =AESE =√33，∴AF =√AE 2+EF 2−2AE ⋅EF ⋅cos∠AES =2√33， ∴cos ∠BAF =AB 2+AF 2−BF 22AB⋅AF =√33．∴异面直线AF 与DE 所成角的余弦值为√33．（II ）证明：由（I ）可知BC ⊥平面SAE ，又AF ⊂平面SAE ，∴BC ⊥AF ，由（I ）知AE =√2，EF =√63，AF =2√33，∴EF 2+AF 2＝AE 2，∴AF ⊥EF ，又BC ∩EF ＝E ，BC ⊂平面SBC ，EF ⊂平面SBC ，∴AF ⊥平面SBC ．（III ）解：延长AG 交BC 于M ，连接FM ，∵AF ⊥平面SBC ，∴∠AMF 为AG 与平面SBC 所成的角．∵G 是DE 的中点，∴DG =12DE =12，∴AG =√AD 2+DG 2=√52， ∴sin ∠DAG =DG AG =√55，cos ∠DAG =2√55，又∠ACM ＝45°， ∴sin ∠AME ＝sin （∠DAG +∠ACM ）=√55×√22+2√55×√22=3√1010． 又sin ∠AME =AE AM ，∴AM =AE sin∠AME =2√53． MF =√AM 2−AF 2=2√23．∴cos ∠AMF =MF AM =√105．∴直线AG 与平面SBC 所成角的余弦值为√105．18．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n }是公差为d 的等差数列，且a 5＝3a 2，S 7＝14a 2+7， 可得a 1+4d ＝3（a 1+d ），7a 1+21d ＝14（a 1+d ）+7，解得a 1＝1，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1；（Ⅱ）数列{a n +b n }是首项为1，公比为2的等比数列，可得a n +b n ＝2n ﹣1，可得b n ＝2n ﹣1﹣（2n ﹣1）， 则b n （a n +b n ）＝4n ﹣1﹣（2n ﹣1）•2n ﹣1，设K n ＝1•20+3•2+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1，2K n ＝1•2+2•22+…+（2n ﹣1）•2n ，相减可得﹣K n ＝1+2（2+22+…+2n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•2n＝1+2•2(1−2n−1)1−2−（2n ﹣1）•2n ，化简可得K n ＝3+（2n ﹣3）•2n ，则前n 项和T n =1−4n 1−4−3﹣（2n ﹣3）•2n=4n −103−（2n ﹣3）•2n ．19．【解答】解：（1）由题意可得，e =c a =√63，a 2﹣b 2＝c 2，bc =√2，解得a =√3，b ＝1，c =√2，即有椭圆的方程为x23+y 2＝1；（2）当k 不存在时，x ＝±√32，可得y ＝±√32，S △OAB =12×√3×√32=34；当k 存在时，设直线为y ＝kx +m （k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y ＝kx +m 代入椭圆方程可得（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0，x 1+x 2=−6km1+3k 2，x 1x 2=3m 2−31+3k 2，由直线l 与圆O ：x 2+y 2=34相切，可得√1+k 2=√32，即有4m 2＝3（1+k 2），|AB |=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√(−6km1+3k 2)2−12(m 2−1)1+3k 2=√3•√1+10k 2+9k 41+6k 2+9k 4=√3•√1+4k 21+6k 2+9k 4=√3•√1+49k 2+1k 2+6≤√3•√1429+6=2，当且仅当9k 2=1k 2，即k ＝±√33时等号成立，可得S △OAB =12|AB |•r ≤12×2×√32=√32，即有△OAB 面积的最大值为√32．此时直线方程y ＝±√33x ±1．20．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f ′（x ）=1x ⋅x−(1+lnx)2=1−1−lnx 2=−lnx 2， 则f ′（e ）=−lne e 2=−1e 2，即在点（e ，f （e ））处的切线斜率k =−1e 2， f （e ）=1+lne e=2e ， 则在点（e ，2e ）处的切线方程为y −2e =−1e 2（x ﹣e ），即y =−1e 2x +3e ． （Ⅱ）由f ′（x ）=−lnx x 2得， 当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，当x ＞l 时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故f （x ）在x ＝1出取得极大值．∵f （x ）在区间（m ，m +13）（m ＞0）上存在极值，∴{0＜m ＜1m +13＞1，即{0＜m ＜1．m ＞23，得23＜m ＜1， 即实数m 的取值范围是（23，1）．（Ⅲ）g （x ）=1+x a [xf （x ）﹣1]=1+x a [x •1+lnx x−1]=(1+x)lnx a ， 若任意x ∈（0，1）恒有g （x ）＜2x ﹣2，即任意x ∈（0，1）恒有(1+x)lnx a ＜2x ﹣2， 即(1+x)lnx a(1−x)＜−2，当x ∈（0，1）时，1+x 1−x •lnx ＜0，当a ＜0时，(1+x)lnx a(1−x)＞0，则(1+x)lnx a(1−x)＜−2不成立，当a ＞0时，由(1+x)lnx a(1−x)＜−2得（1+x ）lnx ＜﹣2a （1﹣x ）， 即lnx ＜−2a(1−x)1+x ，即lnx +2a(1−x)1+x＜0， 设h （x ）＝lnx +2a(1−x)1+x ，则h ′（x ）=x 2+(2−4a)x+1x(1+x)2， 设m （x ）＝x 2+（2﹣4a ）x +1，判别式△＝（2﹣4a ）2﹣4＝16a （a ﹣1），①若0＜a ≤1，则△≤0，h ′（x ）＞0，则h （x ）在（0，1]上为增函数， 又h （1）＝0，∴h （x ）＜h （1）＝0，此时0＜a ≤1满足条件．②若a ＞1，△＞0，m （0）＝1＞0，m （1）＝4（1﹣a ）＜0， ∴存在x 0∈（0，1），使得m （x 0）＝0，h （x ）在（x 0，1）内单调递减， 又h （1）＝0，∴当x ∈（x 0，1）时，h （x ）＞0，不合乎要求， 综上实数a 的取值范围是0＜a ≤1．。
2019年天津市南开区中考数学一模试卷〔精品解析版〕
A．﹣15
B．﹣12
C．﹣4
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
D．﹣2
13．（3 分）计算 的结果等于
．
14．（3 分）将 3x3﹣6x2+3x 分解因式，其结果为
．
15．（3 分）有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，
这个函数的表达式可能是（写出一个即可）：
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A．2πcm
B．
C．πcm
D． cm
12．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点，点 A 在点 B 左侧，顶点在 折线 M﹣P﹣N 上移动，它们的坐标分别为 M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛 物线移动过程中，点 A 横坐标的最小值为﹣3．则 a﹣b+c 的最小值是（ ）
A．10
B．12
C．20
D．24
11．（3 分）如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A、B 在⊙O 上，顶点 C、D 在⊙O 内，将正方
形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，使点 D 落在⊙O 上，若正方形 ABCD 的边长和⊙O 的半径均
为 6cm ， 则 点 D 运 动 的 路 径 长 为 （
）
大家拿到 考卷后 ，先看 是不是 本科考 试的试 卷，再 清点试 卷页码 是否齐 全，检 查试卷 有无破 损或漏 印、重 印、字 迹模糊 不清等 情况。 如果发 现问题 ，要及 时报告 监考老 师处理 。：1． 从前向 后，先 易后难 。通常 试题的 难易分 布是按 每一类 题型从 前向后 ，由易 到难。 因此， 解题顺 序 也宜按试 卷题号 从小到 大，从 前至后 依次解 答。当 然，有 时但也 不能机 械地按 部就班 。中间 有难题 出现时 ，可先 跳过去 ，到最 后攻它 或放弃 它。先 把容易 得到的 分数拿 到手， 不要“ 一条胡 同走到 黑”， 总的原 则是先 易后难 ，先选 择、填 空题， 后解答 题。2． 规范答 题，分 分计较 。 数学分 I 、II 卷， 第 I 卷 客观性 试题， 用计算 机阅读 ，一要 严格按 规定涂 卡，二 要认真 选择答 案。 第 II 卷为 主观性 试题， 一般情 况下， 除填空 题外， 大多解 答题一 题设若 干小题 ，通常 独立给 分。解 答时要 分步骤 （层次 ）解答 ，争取 步步得 分。 解题中 遇到困 难时， 能做几 步做几 步， 一分地争 取，也 可以跳 过某一 小
天津市南开区2019届高三一模考试理综试题(含答案)
2019届天津市南开区高三一模考试理综试卷理科综合生物部分理科综合共300分，考试用时150分钟。
生物试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共80分。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2．每题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．本卷共6题，每题6分，共36分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1．下列有关细胞结构和功能的叙述，正确的是A．细胞膜上的受体是细胞间信息交流所必需的结构B．植物细胞中的色素均位于叶绿体类囊体的薄膜上C．葡萄糖彻底氧化分解生成CO2的过程在膜上进行D．性激素、胰岛素的合成或加工过程中内质网活跃2．研究显示“调节性T细胞”可抑制免疫反应，防止因免疫反应过度损伤自身组织器官。
调节性T 细胞的数量由Mcl-1蛋白和Bim蛋白两种功能相反的蛋白质决定（如图所示）。
若Mcl-1蛋白活性缺失，最可能引发下列哪种疾病A．类风湿性关节炎B．囊性纤维病C．先天性胸腺发育不全D．艾滋病3．下列有关植物生命活动的叙述，正确的是A．绿色植物生命活动所需的直接能源物质主要由光合作用提供B．缺镁发黄的叶片与正常叶片相比，红光和蓝紫光吸收减少C．通过花药离体培养获得的单倍体植株只含有一个染色体组D．生长素从合成部位极性运输到植物体各部分发挥作用4．下图是研究人员利用供体生物DNA中无限增殖调控基因制备单克隆抗体的思路流程。
下列相关叙述正确的是A ．酶a 、酶b 作用位点分别为氢键和磷酸二酯键B ．Ⅰ是经免疫的记忆细胞与骨髓瘤细胞融合的杂交瘤细胞C ．筛选出既能无限增殖又能产生专一抗体的Ⅱ必须通过分子检测D ．上述制备单克隆抗体的方法涉及转基因技术和动物细胞核移植技术5．下图中，图甲表示有丝分裂不同时期核DNA 含量（C ）和细胞数目的变化关系；图乙、图丙分别表示细胞有丝分裂过程中某一时期的模式图。
2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学(理)试题
若公比q＝1，则当a1＞0时，则S2019＞0成立，
若q≠1，则S2019 ，
∵1﹣q与1﹣q2019符号相同，
∴a1与S2019的符号相同，
则“a1＞0”⇔“S2019＞0”，
即“a1＞0”是“S2019＞0”充要条件，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．
10． 展开式中的常数项为__________.
11．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 ，则其外接球的表面积为__________.
12．在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 ( 为参数).若曲线 与 相交于 两点，则线段 的长等于__________.
5．C
【解析】
【分析】
将 化为 根据三角函数伸缩、平移关系，即可求解.
【详解】
将函数 的图象横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变),
得到函数 的图像，再向左平移 个长度单位，
得到函数 .
故选:C.
【点睛】
本题考查诱导公式的应用，三角函数图像变换关系，属于基础题.
6．C
【解析】
试题分析：函数 是偶函数，在上是增函数，所以在 上是减函数，
A．横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度
B．横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度
D．横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度
6．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，设 ， ， ，则 的大小关系是（）
天津市南开区2019-2020学年高考数学四月模拟试卷含解析
天津市南开区2019-2020学年高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A ．12- B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值. 【详解】依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.2．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >【答案】D 【解析】 【分析】先求函数在(1,4)上不单调的充要条件，即()0f x '=在(1,4)上有解，即可得出结论. 【详解】21241()24--'=--=ax ax f x ax a x x， 若()f x 在(1,4)上不单调，令2()241=--g x ax ax ，则函数2()241=--g x ax ax 对称轴方程为1x =在区间(1,4)上有零点（可以用二分法求得）. 当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，只需0(1)210(4)1610a g a g a >⎧⎪=--<⎨⎪=->⎩或0(1)210(4)1610a g a g a <⎧⎪=-->⎨⎪=-<⎩，解得116a >或12a <-.故选:D. 【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题. 3．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可. 【详解】由图象可得，函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22T πω==.将点,03π⎛⎫⎪⎝⎭代入()()2cos 2f x x ϕ=+中，得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈，解得()726k k Z πϕπ=-∈，由0ϕπ<≤，可得56πϕ=，所以()52cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()52226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当1k =-时，函数()y f x =在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 正确；令()52226k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得()1151212k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 当2k =时，函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误； 令()5262x k k Z πππ+=+∈，得()26k x k Z ππ=-∈，故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈，故C 正确； 令526x k ππ+=()k Z ∈，得5212k x ππ=-()k Z ∈，故函数()y f x =的对称轴是5212k x ππ=-()k Z ∈，故D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【详解】因为3tan()4πα+=-, 由诱导公式可得,sin 3tan cos 4ααα==-, 即3sin cos 4αα=-, 因为22sin cos 1αα+=, 所以216cos 25α=, 由二倍角的正弦公式可得,23sin 22sin cos cos 2αααα==-,所以31624sin 222525α=-⨯=-. 故选:D 【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.5．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ）A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>【答案】C 【解析】 【分析】计算出1x 、2x ，进而可得出结论. 【详解】由表格中的数据可知，196959689979895.176x +++++=≈，由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，则12x x >， 由于场外有数万名观众，所以，12212x x x x x +<<<. 故选：B. 【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.6．已知点(m,8)在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设,(ln ),()m a f b f c f n n π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b【答案】B 【解析】 【分析】先利用幂函数的定义求出m 的值，得到幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，再利用幂函数f （x ）的单调性，即可得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】由幂函数的定义可知，m ﹣1＝1，∴m ＝2， ∴点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 上， ∴2n ＝8，∴n ＝3，∴幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，∵23m n =，1＜lnπ＜3，n ＝3， ∴mln n nπ＜＜， ∴a ＜b ＜c ， 故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.7．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221113x y +=，222213x y +=，相减得到22033k +=，解得答案. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线斜率为k ，则221113x y +=，222213x y +=， 相减得到：()()()()1212121203x x x x y y y y -+++-=，AB 的中点为11,3P ⎛⎫⎪⎝⎭， 即22033k +=，故1k =-，直线AB 的方程为：43y x =-+. 故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.8．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅u u u r u u u r的值为( )A ．4B ．8C ．6D ．12【答案】B 【解析】 【分析】可画出图形，根据条件可得2323AC BC AO BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v ，从而可解出22AC AO BOBC BO AO⎧=+⎨=+⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，然后根据OA OB ⊥，2AB =进行数量积的运算即可求出()()282AO BO BO AO AC BC ⋅=⋅++=u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u rr ．【详解】 如图：点O 为ABC ∆的三条中线的交点11()(2)33AO AB AC AC BC ∴=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，11()(2)33BO BA BC BC AC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴由2323AC BC AO BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 可得：22AC AO BO BC BO AO⎧=+⎨=+⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又因OA OB ⊥，2AB =，222(2)(2)2228AC BC AO BO BO AO AO BO AB ∴⋅=+⋅+=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：B 【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.9．已知向量(3sin ,2)a x =-r ，(1,cos )b x =r ，当a b ⊥r r 时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1213-B ．1213C ．613-D ．613【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求出tan x ，22tan cos 22tan 1xx x π⎛⎫+=-⎪+⎝⎭，即可求解. 【详解】a b⊥Q r r ，23sin 2cos 0,tan 3a b x x x ⋅=-=∴=r r 222sin cos cos 2sin 22sin cos x x x x x x π⎛⎫∴+=-=- ⎪+⎝⎭22tan 12tan 113x x =-=-+. 故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）A．3B．3C．33D．233【答案】C【解析】【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积11(11)12S=⨯⨯+=，高3h=故体积133V Sh==故选：C．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．64【答案】B【解析】【分析】设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为3122x x-，设落在小正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解。