数学人教版九年级上册二次函数的实际应用---利润最值问题
二次函数的实际应用-----利润最值问题
某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元／千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元／千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元／千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元／千克）之间
的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大
利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
（元／千克）(千克)xy018104024
一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价X … 50 60 70 80 …
销售量Y … 100 90 80 70 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价X元、每星期售出商品的数量为Y件，请写出Y与X的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件.市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件.设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件.
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？每星期的最大利润是多少？
九年级上册数学二次函数利润问题解法
在九年级数学课程中，学习二次函数是一个重要的内容，而解决利润问题是二次函数的常见应用之一。在本文中，我将从浅入深地探讨九年级上册数学二次函数利润问题的解法，并共享我的个人观点和理解。
让我们简要回顾一下二次函数的基本概念。二次函数的一般形式可以写作f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a不等于0。在数学上，二次函数通常以抛物线的形式呈现，因此我们可以通过二次函数的图像来更直观地理解其性质和应用。
解决利润问题通常涉及到寻找最大利润或最小成本的情况，而这正是二次函数的优势所在。通过求解二次函数的顶点，我们可以轻松地找到最大值或最小值，从而有效地解决利润问题。
在九年级上册数学中，我们学习了如何通过二次函数的标准形式（一般式）或顶点形式来解决利润问题。对于利润问题，我们需要理解如何将利润表示成一个二次函数，并通过求解该二次函数来找到最大利润的时机或最低成本的发生时机。
当探讨九年级上册数学二次函数利润问题解法时，我们需要从以下几个方面展开讨论：
1. 利润问题基本概念：对于利润问题的基本概念和应用进行介绍，包括如何将商业活动的成本和收入表示成一个二次函数。 2. 二次函数的顶点形式：介绍如何通过二次函数的顶点形式来解决利润问题，以及理解顶点对应的意义和应用。
3. 利润问题的示例分析：通过实际的利润问题示例，演示如何利用二次函数的顶点形式来解决问题，并深入分析每一个步骤和推理过程。
4. 个人观点和理解：共享我对利润问题解法的个人看法和理解，以及对二次函数在实际应用中的优势和局限性的思考。
通过以上系统的论述，我将为您撰写一篇深入、广泛，并具有实际应用价值的九年级上册数学二次函数利润问题解法的文章。文章将以清晰的逻辑框架和条理性的表达方式让您更深入地理解这一主题，并能够灵活地应用到实际问题中。文章的总字数将超过3000字，以确保内容的细致和全面。
接下来，我将把重点放在准备材料和深入研究示例上，以确保文章的质量和深度。在此过程中，我将不断提及您指定的主题文字，以保持文章的紧密联系并确保其高质量。期待为您撰写出一篇有价值的文章！二次函数在解决利润问题中的应用可以说是非常灵活和有效的。我们可以通过二次函数的顶点形式来找到最大利润或最小成本的时机，以此来优化商业活动的经营决策。接下来，让我们深入探讨九年级上册数学二次函数利润问题的解法。
人教版数学九年级上册：22.3 实际问题与二次函数 第2课时 二次函数与最大利润问题 教案
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与最大利润问题
课题 第2课时 二次函数与最大利润问题 授课人
教
学
目
标 知识技能 通过对问题情境的分析确定二次函数的解析式，并体会二次函数的意义，能根据变量的变化趋势进行预测.
数学思考 对实际问题的探究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题.
问题解决 通过探索、分析建立两个变量之间的函数关系的过程，体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.
情感态度 通过对实际问题的解决，逐步领会二次函数的应用价值和实际意义，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望.
教学重点 用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题.
教学难点 通过问题中的数量变化关系列出函数解析式.
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.请求出下列二次函数的最大值或最小值：
（1）y＝2x2－4x－5；（2）y＝－x2＋3x.
2.用一根长为20 m的绳子围成一个矩形，求围成的矩形的最大面积是多少.
师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评.
提示：对于第1题可指导学生运用两种不同的方法进1.通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课提供铺垫.
2.复习运用二次函数解答面积问题，采用类比的方法让教学效行解答；
对于第2题应先确定矩形的长和宽，再利用矩形面积公式列函数解析式，最后求最值. 果较为明显.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，应如何定价才能使利润最大？
师生活动：教师引导学生分析调整价格包括涨价和降价两种情况.
教师展示问题：那么该如何定价呢？
学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题. 通过日常生活中的实际问题，激发学生思考，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.
九年级数学二次函数应用之最大利润问题(教师版)
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最大利润问题
知识点一：当自变量为全体实数时的二次函数的最值
对于二次函数acbxaxy20），当自变量x的取值范围是全体实数时，求它的最值，常用的方法有两种：①配方法：把acbxaxy(20）通过配方化成khxay2)(的形式，若a＞0，则当x＝h时，
y最小值＝k；若a＜0，则当x＝h时，y最大值＝k。
②公式法：2)2(abxayabac442，若a＞0，则当abx2时，abacy442最小值；
若a＜0，则当abx2时，244acbya最大值
例1求二次函数213212xxy的最小值，
解：解法1：（公式法）
,021a ∴当321232abx时，22114342244142acbya最小值
解法2：（配方法）
22(2121321xxxy]8)3[(21)1996(21)1622xxxx21(3)42x
当x＝ -3时，y有最小值﹣4。
解法3：（判别式法）
,213212xxy26(12)0xxy
∵x是任意实数，∴△＝36－4（1－2y）≥0，∴y≥﹣4，即y有最小值﹣4。此时0962xx，即x＝ -3
变式训练
1、求二次函数542xxy的最大值或最小值。
解：由a＝1 ＞0知，抛物线开口向上
∴当abx22124时，y有最小值，abacy442最小值201694
知识点二：当自变量在一定范围内时的二次函数的最值
对于二次函数acbxaxy(2)0，当自变量x在一定范围内取值时，求它的最值，通常要考虑函数的增减性，若自变量x的取值范围是1xx≤≤2x，则①若122bxxa≤≤，则当abx2时，244acbya最值
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
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最大利润问题
知识点一：当自变量为全体实数时的二次函数的最值
对于二次函数acbxaxy20），当自变量x的取值范围是全体实数时，求它的最值，常用的方法有两种：①配方法：把acbxaxy(20）通过配方化成khxay2)(的形式，若a＞0，则当x＝h时，
y最小值＝k；若a＜0，则当x＝h时，y最大值＝k。
②公式法：2)2(abxayabac442，若a＞0，则当abx2时，abacy442最小值；
若a＜0，则当abx2时，244acbya最大值
例1 求二次函数213212xxy的最小值。
变式训练
1、求二次函数542xxy的最大值或最小值。
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知识点二：当自变量在一定范围内时的二次函数的最值
对于二次函数acbxaxy(2)0，当自变量x在一定范围内取值时，求它的最值，通常要考虑函数的增减性，若自变量x的取值范围是1xx≤≤2x，则①若122bxxa≤≤，则当abx2时，244acbya最值
②若abx2不在1xx≤≤2x范围内时，则要考虑函数在1xx≤≤2x范围内的增减性：
Ⅰ．如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当2xx时，222yaxbx最大值＋c；当1xx时，;121cbxaxy最小值
Ⅱ．如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，121bxaxy最大值+c；当2xx时，222yaxbxc最小值
例2 分别在下列范围内求函数322xxy的最大值或最小值。(1)02x (2)23x≤≤
分析：先求出抛物线322xxy的顶点坐标，然后看横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况讨论确定最值；也可画出图象，利用图象求解。
点拨：求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数图象，借助于图象的直观性求解。
九年级数学： 22.3实际问题与二次函数 最大利润问题练习题含答案
第1页 共4页 人教版数学九级上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数
最大利润问题 专题练习题
1．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为( )
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为( )
A．50元 B．80元 C．90元 D．100元
3．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是( )
A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月
C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月
4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为 元，每日的销售量为 件，每日的利润y＝ ，所以每件降价____元时，每日获得的利润最大为____元．
5．已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式y＝－x2＋1200x－357600，则当卖出盒饭数量为____盒时，获得最大利润是____元．
6. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：
每投入x万元，可获得利润P＝－1100(x－60)2＋41.
每年最多可投入100万元的销售投资，
则5年所获利润的最大值是 ．
7. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题
[例1]：求下列二次函数的最值：
（1）求函数322xxy的最值．
解：4)1(2xy
当1x时，y有最小值4，无最大值．
（2）求函数322xxy的最值．)30(x
解：4)1(2xy
∵30x，对称轴为1x
∴当12330有最大值时；当有最小值时yxyx．
[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
解：设涨价（或降价）为每件x元，利润为y元，
1y为涨价时的利润，2y为降价时的利润
则：)10300)(4060(1xxy
)60010(102xx
6250)5(102x
当5x，即：定价为65元时，6250maxy（元）
)20300)(4060(2xxy
)15)(20(20xx
6125)5.2(202x
当5.2x，即：定价为57.5元时，6125maxy（元）
综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．
[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？
解：设每件价格提高x元，利润为y元，
则：)20400)(2030(xxy
)20)(10(20xx
4500)5(202x
当5x，4500maxy（元）
答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．
2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
数学人教版九年级上册实际问题与二次函数—利润问题
实际问题与二次函数—利润问题
主备教师： 张娜 设计时间： 第 周
课题 实际问题与二次函数—利润问题
教学
目标 让学生正确掌握解决实际问题与二次函数—利润问题
重点 解决实际问题与二次函数—利润问题中的取值范围
难点 解决实际问题与二次函数—利润问题中的最值
教
学
过
程 教学内容
一、新知探究：（复习课 改 知识回顾）
每件利润=售价-进价
总利润=每件利润×销售数量
1.某种商品每件的进价为40元，在某段时间内若以每件60元出售，可卖出300件，则总利润是多少？
解：每件利润= 60-40=20元
总利润= 20 ×300=6000元
答：总利润是6000元
2. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？
y=(X-30)(100-X)
y=-x2+130x-3000
Y最大值=1225
答:定价为65元时才能使利润最大.
3. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
解：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y
y=(60+x-40)(300-10x) =-10x²+100x+6000 (0≤X≤30)
即y=-10（x-5）²+6250 (0≤X≤30)
∴当x=5时，y最大值=6250
答：定价为65元时，利润最大，最大为6250
归纳知识点：解这类问题的一般步骤: （1）依据变量之间的关系列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用顶点公式或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
数学人教版九年级上册二次函数实际应用——最大利润问题
22.3.2二次函数与最大利润问题
一、学习目标：
（1）利用二次函数探索商品销售利润问题中的最大（小）值；
（2）能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。
二、重难点分析：
掌握数形结合思想利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。
三、知识链接：
单件利润= ____________—_____________
总利润= ______________×_____________=_____________—______________
四、典例精讲：
例1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况（分类讨论思想）
涨价的情况：
（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。每涨价1元，每星期少卖出10件，涨价x元时，则每星期少卖 _________件，实际卖出__________件, 则单件利润为___________元，因此，所得利润为________________________________元。
解：
思考：在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程，自己得出答案。 降价的情况：
（2）设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。每降价1元，每星期多卖出20件，降价x元时，则每星期多卖 _________件，实际卖出__________件, 则单件利润为___________元，因此，所得利润为_____________________________元。
五、归纳：利用二次函数求最大利润问题的五部曲
（1）审清题意，找到变量之间的关系 审
人教版初三数学上册二次函数实际应用-利润最大值问题
年级 九年级 学科 数学 教师姓名 王孟思
章节名称 专题18 二次函数的实际应用-利润最值问题 课时 1
学习内容分析 中考专题18。本节课复习利用二次函数解决利润最大值问题。A组学生在例题的基础上，引导学生总结利润最大值问题的解题思路，形成方法；B组学生先练习计算，再通过填空的形式引导列出函数关系式；C组学生学习弱化了的利润例题，将例题改编成简单问题，先进行计算，最后尝试函数，解决利润问题。
学生情况分析 班级学生层次水平不同，A组学生在之前的学习过程中已大致掌握了利润问题的解题思路，只要老师稍加点拨即可，这样的学生我们给他布置更深层次的问题，引导他自主学习；B组学生头脑中存在知识的片段，但是连接不起来，有的计算也存在问题，我们要通过设问填空的方式一步步引导学生解题的思路，然后通过由浅入深的练习巩固所学知识，直至掌握如何解决利润问题；C组学生在知识上和计算上都存在问题，所以遵循简单计算-函数的过程，一点一点教给他们，最终完成任务。
教学目标 课程标准 A组：熟练运用二次函数解决利润最值问题。
B组：能够通过简单思路的提示，运用二次函数解决利润最值问题。
C组：能够通过详细思路的提示，运用二次函数解决利润最值问题。
知识与技能 A组：能够熟练运用二次函数解决利润最值问题。
B组：能够利用填空分析清楚利润问题的数量关系，解决利润最值问题。
C组：能够解决简单的利润最值问题。
过程与方法 A组：经历自主探究解决利润最值问题的过程。
B组：经历填空分析清楚利润问题的数量关系,从而解决利润最值问题的过程。
C组：通过填空题分析清楚利润问题的数量关系,最后尝试解决简单的利润最值问题的过程。
情感、态度与价值观 A组：培养学生自主探究和合作学习的意识。
B组：培养学生分析问题、解决问题的能力。
C组：提高学生学习数学的兴趣。 教学重点
及
解决措施 A组：熟练运用二次函数解决利润最值问题。
《实际问题与二次函数》第二课时利润问题 教案
人教版数学九年级上22.3.2实际问题与二次函数第二课时教学设计
课题 22.3.2实际问题与二次函数 单元 第二十二章 学科 数学 年级 九年级上
学习
目标 情感态度和价值观目标 通过对生活中实际问题的探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情.
能力目标 1.通过对商品涨价与降价的分析，感受函数知识在生活中的应用；
2.在探究活动中，学会与他人合作并能与他人交流思维过程和探究结果．
知识目标 1.将实际问题抽象成数学问题，经历函数建模的过程；
2.会用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值.
重点 用二次函数知识解决商品利润问题。
难点 能够正确分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并求出最大(小）值。
学法 自主探究、分组探究、合作交流 教法 引导发现法 启发探究法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、情境导入
设疑：观看商场的促销广告、电商广告页面，商家做广告的目的是什么？
如果你是商场经理，你该如何定价才能获得最大利润？
揭示课题：商品利润问题 教师出示各种促销图片，设疑，激发学生探究的欲望，进而揭示课题。 从身边常见的生活实际情境入手，创设问题情境，激发学生的求知欲。 讲授新课 二、探究新知
问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是_____元，销售利润______元.
涉及到的数量关系：
（1）销售额=售价×销售量;
（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
问题2： 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
（1）降价：①设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元随之变化：