高一数学上学期期中考试试卷含答案
1 高一上学期期中考试 数学试题
本试卷共4页，23题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2{|280}Axxx，{|210}Bxx，则AB（ ） A．)2,( B．)21,2( C．(4,+) D．)4,21(
2．函数4()1xfxx
的定义域为（ ）
A．(,4] B．(,1)(1,4] C．(,1)(1,4) D．(0,4) 3．“R,||0xxx”的否定是（ ） A．R,||0xxx B．R,||0xxx C．R,||0xxx D．R,||0xxx 4．下列函数既是奇函数又在(0,)上单调递减的是（ ） A．yx B．3yx C．1yx D．2yx 5．“4a”是“关于x的方程20(R)xaxaa有实数解”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数2,0()1(),02xxxfxx
，则((2))ff（ ）
A．4 B．12 C．12 D．8 7．已知()fx为定义在R上的偶函数，当0x时，()2xfx，则()fx的值域为（ ） A．[1)， B．(0,1) C．(0,1] D．(,1] 8．已知0.22a，0.32b，0.30.2c，则（ ） A．bac B．abc C．bca D．acb 2
9．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”． 计费方法如下： 每户每月用水量 水价 不超过312m的部分
3
元3/m
超过312m但不超过318m的部分
6
元3/m
超过318m的部分 9元3/m
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为（ ） A．320m B．318m C．315m D．314m 10．Rx，用函数()Mx表示函数()fxx，2()gxx中较大者，记为()max{(),()}Mxfxgx，则()Mx的值域为（ ）
A．(1,) B．(0,) C．[1)， D．[0)，
二、多项选择题：本大题共3小题．每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 11．已知,,abc为实数，且0ab，则下列不等式正确的是（ ） A．11ab B．22bcac C．baab D．22baba 12．狄利克雷函数()fx满足：当x取有理数时，()1fx；当x取无理数时，()0fx．则下列选项成立的是（ ） A．0)(xf B．1)(xf
C．0)(3xxf有1个实数根 D．0)(3xxf有2个实数根 13．已知定义在R上函数()fx的图象是连续不断的，且满足以下条件：①Rx，()()fxfx；②
12,(0,)xx，当12xx时，都有21
21
()()0fxfxxx
；
③(1)0f．则下列选项成立的是（ ） A．(3)(4)ff B．若(1)(2)fmf，则(,3)m
C．若()0fxx，则(1,0)(1,)x D．Rx，RM，使得()fxM 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 14．已知函数1()1xfxa（0a且1a），则函数()fx的图象恒过定点 ． 15．已知函数3()3cfxaxbxx，若()4ft，则()ft ． 16．已知函数2()fxxbxc，若(1)(2)0ff，则(1)f ． 17．将“2416”中数字“4”移动位置后等式可以成立，如：“2416”．据此，若只移动一个数字的位置使等式“23164
”成立，则成立的等式为 ． 3
四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分12分） 已知全集RU，集合0{R|213}Axx，集合1{R|24}2xBx．
（1）求BA及R()CAB
；
（2）若集合{R|2,0}Cxaxaa，CB，求实数a的取值范围．
19．（本题满分14分） 已知函数)(xf为定义在R上的奇函数，当0x时，2
1)(xxxf．
（1）求(2)f的值； （2）用函数单调性的定义证明：函数)(xf在),0(上单调递增； （3）求函数)(xf在Rx上的解析式．
20．（本题满分14分） 已知函数()2xfx
．
（1）求322(0)222f
的值；
（2）若函数()()()hxfxgx，且(),()hxgx满足下列条件：①()hx为偶函数；②()2hx 且
Rx使得()2hx；③()0gx且()gx恒过(0,1)点．
写出一个符合题意的函数()gx，并说明理由． 21．（本题满分14分） 已知函数2()(1)1fxaxax
，Ra．
（1）若不等式()0fx的解集为1(,1)2，求a的值； （2）若0a，讨论关于x不等式0)(xf的解集．
22．（本题满分14分） 已知二次函数2()1(R)fxxkxk
．
（1）若()fx在区间[2)，上单调递增，求实数k的取值范围； 4
（2）若2k，当[11]x，时，求(2)x
f的最大值；
（3）若()0fx在(0)x，上恒成立，求实数k的取值范围．
23．（本题满分14分） 现对一块边长8米的正方形场地ABCD进行改造，点E为线段BC的中点，点F在线段CD或AD上（异于CA,），设||AFx（米），AEF的面积记为)(1xfS（平方米），其余部分面积记为2S（平
方米）． （1）当10x（米）时，求)(xf的值；
（2）求函数)(xf的最大值；
（3）该场地中AEF部分改造费用为19S（万元），其余部分改造费用为225S（万元），记总的改造费用为W（万元），求W取最小值时x的值． 5
答案及评分标准 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题4分，共40分． D B B C A D C A C D 二、多项选择题：本大题共3小题．每小题4分，共12分． 11．ACD； 12．ABC； 13．CD. 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 14．(1,2)； 15．2； 16．6； 17．32164. 四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分12分） 解：（1）由02131x得1x，所以{|1}Axx ······································ 1分
由1242x即12222x得12x，所以{|12}Bxx ··················· 3分
所以{|11}ABxx ········································································· 5分 (){|1}RCAxx ······················································································ 6分
(){|1}RCABxx ·············································································· 7分
（2）因为CB，且0a 所以22a，1a ···················································································· 10分 故所求a的取值范围为：01a ································································· 12分
19. （本小题满分14分） 解：（1）因为当0x时，2
1)(xxxf
所以2
17(2)224f ················································································ 2分
又因为)(xf为奇函数，所以4
7)2()2(ff ············································ 4分
（2）12,(0,)xx
错误!未找到引用源。，12xx ········································· 5分
则222122212121222121
)(11)()(xxxxxxxxxxxfxf
12121212122222
1212
()()()()(1)xxxxxxxxxxxxxx ··················· 8分
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期期中考试 数学含答案
2024年下学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2}A =，{,}B xy x A y A =∈∈，则集合B 中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.12.设,a b ∈R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A.a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B.a ∃∈R ，210ax +=无实数解C.a ∀∈R ，210ax +=无实数解D.a ∃∈R ，210ax +≠有实数解4.已知集合{1,2}M =，{1,2,4}N =，给出下列四个对应关系：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）A. B.C. D.6.若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.02a << B.111a b+≤2≤ D.228a b +≤7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A.(,2)(2,)-∞-+∞B.(0,2)(2,)+∞ C.(2,0)(2,)-+∞ D.(,2)(0,2)-∞-8.若函数2(21)2(0)()(2)1(0)b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+--≤⎩，为在R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（）A.1,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.[]1,2 D.[2,)+∞二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bf x x x=+，下列说法正确的是（）A.若1b =，则函数()f x 的最小值为2B.若1b =，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C.若1b =-，则函数()f x 的值域为RD.若1b =-，则函数()f x 是奇函数10.已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的部分图象如图所示，则（）A.0abc >B.0a b +>C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+>的解集为112x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x >.则下列说法正确的是（）A.(0)0f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D.()2(21)20f x f x -+->的解集为{31}x x -<<三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若36a ≤≤，12b ≤≤，则a b -的范围为________.13.定义在R 上的函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()f x 在(0,)+∞上单调递减；③(0)1f =，请写出一个满足条件的函数()f x =________.14.对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B =-，则B 的“小和数”为________，B 的“大和数”为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合{3}A x a x a =≤≤+，集合{1B x x =<-或5}x >，全集R U =.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知幂函数()2()253mf x m m x =-+是定义在R 上的偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,4上，()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知关于x 的不等式(2)[(31)]0mx x m ---≥.（1）当2m =时，求关于x 的不等式的解集；（2）当m ∈R 时，求关于x 的不等式的解集.18.（17分）为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x 元，实际支付金额为y 元.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a 、b 元，且a 、b 满足关系式45085b a a =++-320(90)a ≥，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额-甲乙拼单后实际支付的总额）19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”.（1）若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(,0)a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”.若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-.（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()tg()(0)h x x t =>在(0,)+∞上存在保值区间，求t 的取值范围.2024年下学期期中考试参考答案高一数学1.B2.A3.C4.D【详解】对于①，1y x =，当2x =时，1N 2y =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110N y =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，2N y =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，4N y =∈，故④满足题意. D.5.A6.C 【详解】因为0a >，0b >，当3a =，1b =时，3ab =，1114133a b +=+=，2210a b +=，所以ABC 选项错误.由基本不等式a b +≥22a b+≤=，选C.7.A 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，故函数在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，故(2)(2)0f f -=-=，函数在(2,0)-和(2,)+∞上满足()0f x <，在(,2)-∞-和(0,2)上满足()0f x >.()0xf x <，当0x <时，()0f x >，即(,2)x ∈-∞-；当0x >时，()0f x <，即(2,)x ∈+∞.综上所述：(,2)(2,)x ∈-∞-+∞ .故选A.8.C 【详解】21020221b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得12b ≤≤.∴实数b 的取值范围是[]1,2，故选C.9.BCD 10.ACD11.ABD解：因为函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，所以(0)(0)(0)f f f +=，即2(0)(0)f f =，则(0)0f =；令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，故()f x 为奇函数；设12,x x ∈R ，且12x x <，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-+，即1212())()(0f x f x f x x -=->，所以()f x 在R 上是减函数，所以()f x 在区间[],m n 上有最大值()f m ；由2(21)(2)0f x f x -+->，得2(23)(0)f x x f +->，由()f x 在R 上减函数，得2230x x +-<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，所以2(21)(2)0f x f x -+->的解集为{31}x x -<<，故选ABD.12.[1,5]13.21x -+（答案不唯一）14.5，80【详解】由题意可知，B 的“小和数”为(1)01235-++++=，集合B 中一共有5个元素，则一共有52个子集，对于任意一个子集M ，总能找到一个子集M ，使得M M B = ，且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为B 的“小和数”，这样的子集对共有54222=个，其中M B =时，M =∅，考虑非空子集，则子集对有421-对，则B 的“大和数”为4(21)5580-⨯+=.故答案为：5；80.15.【详解】（1）因为3a a <+对任意a ∈R 恒成立，所以A ≠∅，又A B =∅ ，则135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤；（2）若x A ∀∈，x B ∈是真命题，则有A B ⊆，则31a +<-或5a >，所以4a <-或5a >.16.【详解】（1）因为2()(253)mf x m m x =-+是幂函数，所以22531m m -+=，解得2m =或12，又函数为偶函数，故2m =，2()f x x =；（2）原题可等价转化为220x kx -+>对[1,4]x ∈恒成立，分离参数得2k x x <+，因为对[1,4]x ∈恒成立，则min 2(k x x<+，当0x >时，2x x +≥=当且仅当2x x=即x =时取得最小值.故k <17.【详解】（1）解：当2m =时，不等式可化为(1)(5)0x x --≥解得1x ≤或5x ≥，所以当2m =时，不等式的解集是{1x x ≤或5}x ≥.（2）①当0m =时，原式可化为2(1)0x -+≥，解得1x ≤-；②当0m <时，原式可化为2((31)]0x x m m ---≤，令231m m =-，解得23m =-或1；1）当23m <-时，231m m -<.故原不等式的解为231m x m -≤≤；2）当23m =-时，解得3x =-；3）当203m -<<时，231m m <-，原不等式的解为231x m m≤≤-；③当0m >时，原式可化为2((31)]0x x m m---≥，1）当01m <<时，231m m >-，2x m∴≥或31x m ≤-；2）当1m =时，不等式为2(2)0x -≥，x ∈R ；3）当1m >时，231m m <-，31x m ∴≥-或2x m≤.综上，当23m <-时，原不等式的解集为231x m x m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-≤≤；当23m =-时，不等式的解集为{}3x x =-；当203m -<<时，解集为231x x m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤-；当0m =时，解集为{}1x x ≤-；当01m <<时，不等式的解集是{2x x m ≥或31}x m ≤-；当1m =时，不等式的解集为R ；当1m >时，解集是{31x x m ≥-或2}x m≤.18.【详解】（1）由题意，当0300x <≤时，y x =；当300500x <≤时，3000.8(300)0.860y x x =+-=+；当500x <时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110y x x =+-+-=+.综上，,03000.860,300500 0.7110,500x x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+<⎩.（2）甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85a b a a a +=++≥-.45045023202(85)3201708585a b a a a a +=++=-+++--490230490550≥=⋅+=（元）当且仅当4502(85)85a a -=-即8515a -=±时，原式取得最小值.此时100a =（或70a =，舍去），550450b a =-=（元）因为550500>，则拼单后实付总金额0.7550110495M =⨯+=（元）故折扣省下来的钱为55049555-=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52-=（元），乙实际支付55450422.52-=（元）而若甲乙不拼单，因为100300<，故甲实际应付100a '=（元）；300450500<<，乙应付0.845060420b '=⨯+=（元）.因为420元<422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额b 比不拼单时的实付金额b '还要高，因此该分配方式不公平.（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）答：当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.19.【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，所以()()f x f x =--()2211x x ⎡⎤=--+=--⎣⎦，又()00f =，所以()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）（i ）因为定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1y g x =+为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()2g x g x =--，1x <时，21x ->，所以()()1121122g x g x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪--⎝⎭.所以()11,111,12x xg x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()()()11,1tg 011,12t x x h x x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩，a ）当()0,1x ∈时，()11()11022h x t t t x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+=⋅--> ⎪ --⎝⎭⎝⎭在()0,1单调递增，当()[,]0,1a b ⊆时，则112112t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎩，即方程112t x x ⎛⎫⋅--= ⎪-⎝⎭在()0,1有两个不相等的根，即()220x t x t +--=在()0,1有两个不相等的根，令()()()22,0m x x t x t t =+-->，因为()()0011210m t m t t ⎧=-<⎪⎨=+--=-<⎪⎩，所以()220x t x t +--=不可能在()0,1有两个不相等的根；b ）当()1,x ∈+∞时，()()110h x t t x ⎛⎫=⋅-=> ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递增，当()[,]1,a b ⊆+∞时，则1111t a a t bb ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即方程11t x x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭在()1,+∞有两个不相等的根，即20x tx t -+=在()1,+∞有两个不相等的根，令()()2,0n x x tx t t =-+>，则有()2110022212n t t t t t n t t t⎧=-+>⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+<⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得4t >.c ）当01a b <<<时，易知()g x 在R 上单调递增，所以()()()tg 0h x x t =>在()0,+∞单调递增，此时11211t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()()2222211221111111211112111a a a a a t a a a a a b b b t b b b b ⎧---+-====-+⎪⎪----⎨-+-+⎪===-++⎪---⎩令()()()11,011r a a a a =--+<<-，则易知()r a 在()0,1递减，所以()()00r a r <=即0t <，又1b >时，()112241t b b =-++≥=-，当且仅当()111b b -=-，即2b =时取等，以()()110111241t a a t b b ⎧=-+<⎪⎪-⎨⎪=-++≥⎪-⎩，此时无解；t 的范围是()4,+∞.。
河北省邯郸市2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学(含答案)
高一年级期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第一章至第三章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 若幂函数为偶函数，则的值为（）A-2或1 B. -2 C. 1 D. 多个取值2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.3. 命题“实数不都是有理数”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，4. 已知命题：关于的不等式的解集为．那么，其成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C D. 5. 定义：函数，即表示函数，中较大者．已知函数，，则的最小值为（）A. 0B. 7C. 4D. 26. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，的()()1231m f x m m x -=+-m {A xy ==∣{B y y ==∣A B = [)1,+∞[)0,+∞∅[)1,-+∞x ∃∈R x ∉Qx ∃∈R x ∈Q x ∀∈R x ∈Q x ∀∈R x ∉Qp x ()2110a x ax a --++≥R 1a>a≥a ≤≤a <()()()max{}M x f x g x =，()M x ()f x ()g x ()22f x x =-()4g x x =+()M x R ()f x ()()13f x f x -=+(],2-∞()πa f =，，则（）A. B. C. D. 7. 数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（）A. 两位中省钱小能手是钦钦B. 两位中谁是省钱小能手与价格升降有关C. 两位中省钱小能手莎莎D. 两位中谁是省钱小能手与购买数量有关8. 定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果．例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1．对于集合，其所有子集的“和睦数”的总和为（）A. 82B. 74C. 12D. 70二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法错误的是( ).A. 函数的定义域为，则函数的定义域为B. 函数的最小值为3C. 和表示同一个函数D. 函数在上单调递减10. 享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．以他的名字命名的函数为“高斯函数”，也叫做取整函数．它的函数值表示不超过的最大整数．例如，，．下列说法正确的是（）A. B. 若，则C. 函数值域是是的b f =()0c f =a b c<<c b a <<b c a <<c a b <<M H M {}1,2,3,4,5543217+-+-={}2,4426+={}16,}n A n n n ⎧-=∈∈⎨⎩N N ()1f x +[)2,2-()f x [)1,3-()23311x x y x x ++=>-+()2x f x x=()g x x =()4f x x x=+()()2,00,2-⋃()[]f x x =x []0.50=[]2.32=()1.31f -=-()()f a f b =1a b -<()[]g x x x =-[)0,1D. 不等式的解集为11. 已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B. 的最大值为C. 的最小值为4 D. 的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若函数，且，则__________．13. 已知函数对任意，，，都有，则的取值范围为__________．14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，__________，不等式的解集是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15. 已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求的取值范围．16. （1）已知，，求的取值范围；（2）已知，都是正实数，比较与的大小．17. 2024年巴黎奥运会上，中国健儿用汗水和努力诠释了“更快、更高、更强——更团结”的奥林匹克精神．他们以坚韧不拔的精神和卓越的表现，赢得了世界的瞩目与赞誉，也点燃了全国体育迷的运动热情．体育赛事如火如荼，全民健身热潮澎湃，体育消费热情高涨．某商场对9月份某品牌乒乓球套装的日销售量进行调查，发现日销售量（单位：百套）与时间（一个月内的第天）的部分数据如下表所示：第天381524[][]220x x --<{02}xx ≤<∣0m >0n >x ()()2210m t x n t x +---<11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭21m n +=mn 181m m n +1112m n +++3+()21f x x =+()217f m -=m =()223,1,2,1,x mx x f x mx x ⎧++≤=⎨+>⎩1x 2x ∈R 12x x ≠()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦m ()f x ()2,2-()0,2x ∈()22f x x x =+20x -<<()f x =()()10f x f x -+<{}421A x a x a =-≤≤+∣901x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭1a =A B ⋂A B A = a 02a b <+<21b a -<-<3a b +a b 22a b b a+a b +()F x x x x百套5678（1）请你依据上表中的数据，从以下两种函数模型中选择你认为更合适的一种函数模型来表示该品牌乒乓球套装日销售量（单位：百套）与时间的关系，说明你的理由．函数模型：①；②．（2）经调查发现，日销售价格（单位：元/套）与时间（一个月内的第天）的函数关系近似表示为（常数）．第15日的日销售额为49000元，记该品牌乒乓球套装的日销售收入为（单位：百元）．根据第（1）问选择的模型，预估该商场9月份该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第几天最低．18. 已知是定义在上的函数，，且，都有．（1）求，的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围．19. 已知定义在上的函数满足，，在上单调递增．（1）求的值．（2）证明：是奇函数．（3）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求的取值范围．()/F x ()F x x ()F x kx b =+()F x n =+()M x x x ()40M x =+0t >()f x ()29bx c f x x +=+[]3,3-()2213f =-[]3,3x ∀∈-()()0f x f x +-=b c ()f x []3,3-[]3,3x ∈-[]1,2a ∈()2176f x at t a ≤-+-t R ()f x ()()()2f a b f a f b +=++()11f =()f x R ()5f ()()2g x f x =+x ()()()()233f ax f x f ax f -<-a高一年级期中考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】A9，【答案】A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】CD10.【答案】BCD11.【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】213.【答案】14.【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.【解析】【分析】（1）解集合B 中的不等式，得到集合B ，代入集合A 中，由交集的定义求；（2）依题意，有，分当和两种类型，由集合的包含关系求的取值范围.【小问1详解】因为等价于所以．当时，，所以．【小问2详解】由，可得．当时，，解得，此时符合题意；当时，解得．综上所述，的取值范围为或．16.【解析】【分析】（1）由不等式的性质即可求解；（2）通过作差法即可判断【详解】（1）令，，，即，21m -≤≤-22x x -+112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1a =A B ⋂A B ⊆A =∅A ≠∅a 901x x -≤+()()190,10,x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩{19}B xx =-<≤∣1a ={}33A xx =-≤≤∣{}33{19}{13}A B xx x x x x ⋂=-≤≤⋂-<≤=-<≤∣∣∣A B A = A B ⊆A =∅421a a ->+5a <-A ≠∅41,219,5,a a a ->-⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩34a <≤a ()(],53,4∞--⋃()()3a b m a b n b a +=++-m n ∈R ()()3m n a m n b a b -++=+则有解得．又，，所以，，所以，即．（2）．因为，，所以，．当时，，即；当时，，即．综上所述，当时，；当时，．17.【解析】【分析】（1）通过具体数据代入解析式即可判断；（2）由，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】选择模型②．理由如下：若选择①作为函数模型，将，分别代入，得解得所以．此时，当时，，当时，，所以不适合作为F (x )与的函数模型．对于模型②，将，分别代入，得解得3,1,m n m n -=⎧⎨+=⎩()()2,321,m a b a b b a n =⎧+=+--⎨=-⎩02a b <+<21b a -<-<()024a b <+<()12b a -<--<()()126a b b a -<+--<136a b -<+<()()()2332222a b a b a b a b ab a b ab ab a b b a +--++--+==0a >0b >0a b +>0ab >a b =()220a a a b b b +-+=22a b a b b a+=+a b ≠()220a a a b b b +-+>22a b a b b a+>+a b =22a b a b b a +=+a b ≠22a b a b b a+>+()()())403f x F x M x ⎛==+ ⎝()F x kx b =+()3,5()8,653,68,k b k b =+⎧⎨=+⎩1,522,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12255y x =+15x =3775y =≠24x =4685y =≠()F x kx b =+x ()3,5()8,625,36,m n m n +=⎧⎨+=⎩1,3,m n =⎧⎨=⎩此时，经验证，，均满足，所以模型②满足题意．【小问2详解】由，得，所以．，当且仅当时，等号成立，所以预估该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第8天最低．18.【解析】【分析】（1）根据题意得到该函数为奇函数，再根据奇函数的性质求得结果；（2）由（1）可得解析式，根据定义法可证明出该函数的单调性；（3）根据单调性得到最大值，再根据恒成立问题以及能成立问题求解不等式.【小问1详解】因为，都有，则是定义在上的奇函数，得，解得，所以，由，可得，解得，此时，满足，所以，；【小问2详解】证明：由（1）知，设，()3F x =+()15,7()24,8()3F x =+()15490f =4074904t ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭120t =()()())403240f x F x M x ⎛==+=++ ⎝240480≥==8x =[]3,3x ∀∈-()()0f x f x +-=()f x []3,3-()009c f ==0c =()29bx f x x=+()2213f =-()2229413b f ==-+1b =-()29x f x x -=+()()0f x f x +-=1b =-0c =()29x f x x-=+1233x x -≤<≤则，因为，所以，，所以，即．故函数在上为单调递减函数；【小问3详解】由（2）知在上为单调递减函数，所以在上的最大值为，因为对任意，使得都成立，所以，所以，因为存在，使得成立，所以，又因为，所以是关于的单调递增函数，所以，即，解得或，所以的取值范围为．19.【解析】【分析】（1）根据赋值法可得到结果；（2）利用奇函数的定义可得到结果；（3）根据函数的单调性得到有关的不等式，再根据题意求解取值范围即可.【小问1详解】在中，()()()()()()121212122222122199999x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++1233x x -≤<≤120x x -<1290x x ->()()120f x f x ->()()12f x f x >()29x f x x-=+[]3,3-()29x f x x-=+[]3,3-()f x []3,3-16[]3,3x ∈-()2176f x at t a ≤-+-()2max 176f x at t a ≤-+-217166at t a -+-≥[]1,2a ∈217166at t a -+-≥()2max 30at t a -+-≥210t +>()213y a t t =+--a ()()22max 3213at t a t t -+-=+--2210t t -->12t ≤-1t ≥t [)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦x ()()()2f a b f a f b +=++令，得；令，得；令，，得，即；【小问2详解】证明：令，得，解得，令，，得，所以，，所以是奇函数；【小问3详解】由，得，即，又在R 上是增函数，即，所以，即，当时，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意，当时，不等式等价于，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意，当时，不等式等价于，若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则，即，若，则不等式的解集为，不满足题意；若，即，则不等式解集为，要想有2个整数解，则，即，的1a b ==()()()21124f f f =++=2a b ==()()()422210f f f =++=4a =1b =()()()41412101213f f f +=++=++=()513f =0a b ==()()()0002f f f =++()02f =-b x =-a x =()()()202f x f x f +-+==-()()4f x f x -=--()()()()()()()24222g x f x f x f x f x g x -=-+=--+=--=-+=-()()2g x f x =+()()()()233f ax f x f ax f -<-()()()()233f ax f f ax f x +<+()()23232f ax f ax x +-<+-()f x 233ax ax x +<+()23130ax a x -++<()()130ax x --<0a ={3}xx >∣0a <()130x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭{13x x x a ⎫><⎬⎭或0a >()130x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭13a <13a >13x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭101a <<1a >13a=∅13a >103a <<13x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭156a <≤1165a ≤<综上所述，的取值范围为或.a 1165a ≤<1a >。
福建省漳州市十校联盟2024-2025学年高一上学期期中质量检测联考数学试题含答案
福建省漳州市十校联盟2024-2025学年高一上学期期中质量检测联考数学试题（答案在最后）满分150分，考试时间120分钟一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U 是实数集{}{}R,15,2M x x N x x =-≤≤=≥∣∣，则阴影部分所表示的集合是（）A.{12}x x -≤<∣B.{25}xx ≤≤∣C.{12}xx -<≤∣ D.{12}xx -≤≤∣【答案】A 【解析】【分析】由阴影部分表示的集合U M N I ð求解.【详解】解：阴影部分表示的集合为：{12}U M xx N ≤⋂=-<∣ð，故选：A 2.函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+的定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D3.下列不等式中，可以作为“30x -<”的一个必要不充分条件是（）A.14x <<B.4x <C.1x <D.02x <<【答案】B 【解析】【分析】由必要不充分条件的概念逐项判断即可.【详解】对于A:14x <<为30x -<既不充分也不必要条件；对于B ：4x <为30x -<的必要不充分条件；对于C:1x <为30x -<的充分不必要条件；对于D ：02x <<为30x -<的充分不必要条件；故选：B4.若336a b +=，则a b +的取值范围是（）A.(1,2]-B.[]0,2C .(2,)+∞ D.(,2]-∞【答案】D 【解析】【分析】根据基本不等式的应用可得3≥2a b +≤.【详解】易知30,30a b >>，所以336a b +=≥=，即可得3≥2393a b +≤=，所以2a b +≤，当且仅当1a b ==时，等号成立.故选：D5.幂函数()223()1m m f x m m x +-=--在(0,)+∞上是增函数，则实数m 的值为（）A.2或1-B.1-C.2D.2-或1-【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性，可得221130m m m m ⎧--=⎨+->⎩，进而求解即可.【详解】由题意得，221130m m m m ⎧--=⎨+->⎩，解得2m =.故选：C.6.若命题“2R,20x ax ax ∃∈-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{04}aa <<∣ B.{}08aa ≤≤∣C.{08}aa ≤<∣ D.{04}aa ≤<∣【答案】C 【解析】【分析】转化为x ∀∈R ，220ax ax -+>为真命题,分类讨论,结合判别式符号列不等式求解即可.【详解】命题:p x ∃∈R ，220ax ax -+≤为假命题，即x ∀∈R ，220ax ax -+>为真命题.当0a =时：20>恒成立；当0a ≠时：满足2Δ80a a a >⎧⎨=-<⎩，解得08a <<.综上，实数a 的取值范围是[)0,8，故选：C7.已知函数()16,2,2x x a x f x ax -⎧-≤=⎨>⎩在定义域上是单调递减函数，求实数a 的取值范围为（）A.2,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.2,15⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分段函数是减函数，各个函数在对应区间上单调递减，且(],2-∞对应函数右端点函数值大于或等于()2,+∞对应函数的左端点函数值，建立不等式后解得a 的取值范围.【详解】由题意可知：()6g x x a =-在(],2-∞上单调递减，又∵()6g x x a =-关于直线6x a =对称，∴()g x 在(],6a -∞上单调递减，∴62a ≥，∴13a ≥；()1x h x a -=在()2,+∞上单调递减，∴01a <<；且()()22g h ≥即26a a -≥，∴27a ≥或25a ≤，∴215a ≤<.故选：A.8.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，12,(,0)x x ∀∈-∞，且()()12211221,4x f x x f x x x x x -<>-，且(2)4,(0)0f f -=-=，求不等式()4f x <-的解集为（）A.[2,2]-B.(2,0)(0,2)-C.(2,0)(2,)-+∞D.(2,2)-【答案】B 【解析】【分析】构造函数()4()+=f x g x x，由已知条件确定它的奇偶性与单调性，然后利用其性质分类讨论解不等式．【详解】12,(,0)x x ∀∈-∞，且()()12211221,4x f x x f x x x x x --，则()()12212140x f x x f x x x -->-，()()122121[4][4]0x f x x f x x x +-+>-，所以212121()4()4f x f x x x x x ++->-，设()4()+=f xg x x，则2121(0)()g x x x g x ->-，21()()g x g x >，因此(,0)x -∞时，()g x 是增函数，又因为()f x 是偶函数，所以()4()4()()f x f x g x g x x x-++-==-=--，所以()g x 是奇函数，因此()g x 在(0,)+∞上也是增函数，(2)4(2)02f g -+-==-，则(2)(2)0=--=g g ，()4f x <-，()40f x +<，0x <时，()40f x x +>，即()0g x >，所以20x -<<，0x >时，()40f x x+<，即()0g x <，所以0<<2，综上，不等式的解集为()()2,00,2-⋃，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性解不等式，解题时主要要构造新函数()4()+=f xg x x，利用它的性质求解．在题中出现1221()()x f x x f x -时，构造新函数需要通过提取（或分子分母同除以或不等式两边同除以）21x x 得出2121()()f x f x x x -，当然本题中不等式右边不为0，因此需先移项变形，再确定构造的函数．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分.9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知{}*32,N A xx n n ==+∈∣，{}*53,N B x x n n ==+∈∣，{}*72,N C x x n n ==+∈∣，若()a A B C ∈⋂⋂，则下列选项中符合题意的整数a 为（）A.23B.68C.128D.233【答案】ACD 【解析】【分析】依题意可知整数a 除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2；对选项逐一验证即可得出结论.【详解】根据题意可知，A B C ⋂⋂代表的是除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2的整数；对于A ，可知23372,23543,23732÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，即A 正确；对于B ，可得683222,685133,68795÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，不合题意，即B 错误；对于C ，可得1283422,1285253,1287182÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，即C 正确；对于D ，易知2333742,2335463,2337332÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅.可知D 正确.故选：ACD10.若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（）A.222a b ab +≤B.222a b +≥C.+≤ D.112a b+≥【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，222b a a a b b +=，利用基本不等式求出最大值；B 选项，由基本不等式得()()22224a b a b +≥+=，求出222a b +≥；C 选项，()224a b ≤+=2≤，C 错误；D 选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】A 选项，()()222222ab a b b a a b a b ab ++≤+===，当且仅当1a b ==时，等号成立，故A 正确；B 选项，()()22222224a bab ab a b +≥++=+=，故222a b +≥，当且仅当1a b ==时，等号成立，B 正确；C 选项，()224=+++=a b a b 2≤，当且仅当1a b ==时，等号成立，C 错误；D 选项，()11111111122222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当b aa b=，即1a b ==时，等号成立，D 正确.故选：ABD11.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足2()()e e x x f x f x ---=+，则下列命题正确的是（）A.函数()f x 的图像关于(0,0)对称B.函数()f x 的图像关于y 轴对称C.函数()f x 的最小值2D.()()0.10.123f f >-【答案】BC 【解析】【分析】依题意求出函数()f x 的解析式，可得其为偶函数，判断出A 错误，B 正确；再由基本不等式可得C 正确，利用奇偶性和单调性可得D 错误.【详解】由2()()e e x x f x f x ---=+可得2()()e e x x f x f x ---=+；两式联立可得()e e x x f x -=+，易知函数()f x 满足()()e e xxf x f x -=+=-，可知()f x 为偶函数，即可得A 错误，B 正确；易知e 0x >，所以()1e 2e x x f x =+≥=，当且仅当0x =时，等号成立，可得C 正确；当[)0,x ∈+∞时，根据对勾函数以及偶函数性质可得，()f x 为单调递增；易知()()0.10.133f f -=，且0.10.123<，所以()()()0.10.10.1233f f f <=-，即D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算:314316(0.125)(1181-⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭___________.【答案】1927-【解析】【分析】根据分数指数幂运算法则计算可得结果.【详解】易知原式()()()314343132278190.510.512172323--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故答案为：1927-13.定义运算,,a a ba b b a b≤⎧⊗=⎨>⎩，已知函数()(132)3x f x x =-⊗，则()f x 的最大值为___________.【答案】9【解析】【分析】根据a b ⊗的含义及函数132y x =-与函数3x y =的单调性可得分段函数()f x 的解析式及单调性，可得最大值.【详解】由题意得，a b ⊗表示a 与b 的最小值，∵132y x =-在R 上单调递减，3x y =在R 上单调递增，且2x =时，1323x x -=，∴当2x ≤时，3132x x ≤-，当2x >时，3132x x >-，∴op =3,≤213−2s >2，∴()f x 在(,2)-∞上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，∴max ()(2)9f x f ==.故答案为：9.14.若函数2231()3ax x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是10,9⎛⎤ ⎥⎝⎦，则f (x )的单调递增区间是________.【答案】(,1]-∞-【解析】【分析】令g (x )=ax 2+2x +3，由f (x )的值域确定g (x )的值域，从而求出a 值，利用复合函数单调性的性质可得答案.【详解】令g (x )=ax 2+2x +3，由于f (x )的值域是10,9⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以g (x )的值域是[2，+∞).因此有0,12424a a a>⎧⎪-⎨=⎪⎩解得a =1，这时g (x )=x 2+2x +3，2231()3x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，由于g (x )的单调递减区间是(-∞，-1]，所以f (x )的单调递增区间是(-∞，-1].故答案为：(,1]-∞-【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查指数函数性质的应用，属于基础题.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合|A x y ⎧==⎨⎩，103|2B x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭+>-.（1）求()R A B ⋃ð;（2）若{6}C xa x a =-≤≤∣，且A C A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1A ,(0,)2R B ⎛⎤⋃=-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ð（2）[4，6]【解析】【分析】（1）先化简集合A ，B ，再利用集合的并集和补集运算求解；（2）由A C A = ，得到A C ⊆求解.【小问1详解】解：由040x x >⎧⎨-≥⎩，得04x <≤.所以A (0,4]=，由2103x x +>-，得:2110,332x x x +<∴-<<-.所以1,32B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，1,[3,)2R B ⎛⎤=-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ð.所以，()1A ,(0,)2R B ⎛⎤⋃=-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ð；【小问2详解】由A C A = ，得A C ⊆，所以604a a -≤⎧⎨≥⎩，解得64a a ≤⎧⎨≥⎩即46a ≤≤.所以实数a 的取值范围[4，6].16.已知2()(2)(,)f x ax a x b a b R =-++∈（1）若不等式()0f x <的解集为(1,3)-，求a ，b 的值;（2）若b =2，且0a >求关于x 的不等式()0f x >的解集.【答案】（1）2,6a b ==-（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由不等式的解集得相应一元二次方程的解，结合韦达定理求解；（2）不等式变形为2(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，再根据2a与1的大小分类讨论得出不等式的解集．【小问1详解】因为()0f x <的解集为(1,3)-，所以0a >，且1-和3是方程2(2)0ax a x b -++=的两个实数根.2(1)3,(1)3a ba a+∴-+=-⨯=，解得:2,6a b ==-.【小问2详解】当2b =时，2()(2)2(2)(1)f x ax a x ax x =-++=--()0f x >等价于(2)(1)0ax x -->因为0a >，得2(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭当21a =，即2a =时，不等式为2(1)0x ->，得1x ≠，当21a <，即2a >时，解不等式得2x a <或1x >，当21>a，即02a <<时，解不等式得1x <或2x a >，综上，当2a =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞.当2a >时，不等式的解集为2,(1,)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.当02a <<时，不等式的解集为2(,1),a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.17.漳州市是中国重要的食用菌生产基地之一，食用菌产业得益于得天独厚的气候环境和土壤条件.某乡镇企业于2025年准备投资种植一批目前市场上较受欢迎的鸡枞菌.根据研究发现：种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，每生产x 万斤，需投入其他成本()c x 万元，211010,0366()160021285,3650x x x c x x x x ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩，根据市场调查，鸡枞菌的市场售价每万斤20万元，且全年所有产量都能全部售出.（利润=收入-固定成本-其它成本)（1）写出2025年利润f x （）（万元）与产量x （万斤）的函数解析式；（2）求2025年鸡枞菌产量x 为多少万斤时，该企业所获利润最大，求出利润最大值.【答案】（1）211065,0366()1600230,3650x x x f x x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪--+<≤⎪⎩（2）2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元【解析】【分析】（1）由利润=收入-固定成本-其它成本，根据题意求解；（2）由（1）的结论，利用二次函数的性质和基本不等式求解.【小问1详解】解：由题意可知：当036x ≤≤时，2211()20101055106566f x x x x x x ⎛⎫=-++-=-+- ⎪⎝⎭，当3650x <≤时，16001600()202128555230,f x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭211065,0366()1600230,3650x x x f x x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪∴=⎨⎪--+<≤⎪⎩.【小问2详解】由211065,0366()1600230,3650x x x f x x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪--+<≤⎪⎩，①当036x ≤≤时，2211()1065(30)8566f x x x x =-+-=--+当30x =时，()f x 取得大值，最大值为85，②当3650x <≤时，1600()230230150f x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当1600x x=即40x =时，()f x 取得最大值50，由①②可得:当40x =时，()f x 取得最大值150，综上所述，2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元.18.设函数2x x f a ka x -=-（）（0a >且1,R)a k ≠∈，若()f x 是定义在R 上的奇函数且8(1)3f =.（1）求k 和a 的值;（2）判断()f x 的单调性（无需证明），并求关于m 的不等式()2(1)50f m f m ++-+<成立时实数m 的取值范围;（3）已知函数22()2(),[0,1]x x g x a a f x x -=+-∈，求()g x 的值域.【答案】（1）1,32k a ==（2）在R 上单调递增，()(),23,-∞-⋃+∞（3）341,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性以及函数值即可解得k 和a 的值;（2）由复合函数单调性可判断()f x 在R 上单调递增，利用单调性以及奇偶性解不等式可得实数m 的取值范围;（3）利用换元法将函数整理成二次函数形式，判断出其单调性，再由二次函数性质可得结果.【小问1详解】因为()f x 是R 上奇函数，所以()()f x f x -=-，即22x x x x a ka a ka ---=-+，整理得:()(12)0x x k a a --+=所以1120,2k k -==.所以()x x f x a a -=-，检验可知符合题意；又18(1)3f a a =-=，即28103a a --=，解得3a =或13a =-（舍）所以1,32k a ==.【小问2详解】由（1）可知()33x x f x -=-，易知指数函数3x y =为单调递增，函数3x y -=为单调递减，利用复合函数单调性可得()f x 在R 上单调递增,又因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()22(1)55f m f m f m +<--+=-所以215m m +<-，即260m m -->，解得2m <-或3m >.所以()f x 在R 上单调递增，m 的取值范围是−∞,−2∪3,+∞【小问3详解】()2222()2()2,[0,1]x x x x x x g x a a f x a a a a x ---=+-=+--∈所以()22()33233x x x x g x --=+--()()2332332,[0,1]x x x x x --=---+∈令33x x t -=-，由（2）易知33x x t -=-在0,1上单调递增，所以8t 0,3⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦记22822(1)1,0,3y t t t t ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦当时min 1,1t y ==；当83t =时，max 349y =.所以()g x 的值域是341,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.给定函数4()1f x x x c=-++.（1）写出函数()f x 图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）;（2）当2c =时，①判断函数()f x 在区间(2,)-+∞上的单调性，并用定义证明;②已知函数g(1)1x +-是奇函数，且当[0,1]x ∈时，2()22g x x mx m =-+，若对任意1[0,2]x ∈，总存在2[0,2]x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(,1)c c --（2）①函数()f x 在区间(2,)-+∞上单调递增，证明见解析；②[0，1].【解析】【分析】（1）由函数成中心对称的充要条件可得()4()1f x c c x x---=-为奇函数，可得对称中心；（2）①根据单调性定义按照步骤即可证明函数()f x 在区间(2,)-+∞上单调递增；②依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果.【小问1详解】根据题意可知，函数4()1f x x x c =-++是由函数4y x x =-向左平移c 个单位，向上平移1个单位得到的；所以()4()1f x c c x x---=-为奇函数，可得函数()f x 图象的对称中心是(,1)c c --.【小问2详解】当2c =时，4()12f x x x =-++.①函数()f x 在区间(2,)-+∞上单调递增；证明如下:12,(2,)x x ∀∈-+∞，且12x x <，()()()()()12121212124441112222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+-+-=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭，因为122x x -<<，所以12120,20,20x x x x -<+>+>，所以()()1241022x x +>++，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在(2,)-+∞单调递增，②因为(1)1g x +-是奇函数，所以()g x 关于点(1,1)对称，设()g x 在[0,2]上的值域为,()A f x 在[0,2]上的值域为B .因为对任意1[0,2]x ∈，总存在2[0,2]x ∈，使得()()12g x f x =，所以A B ⊆，由①可知()f x 在[0,2]上单调递增，又(0)1,(2)2f f =-=，所以[1,2]B =-，又222()22()2,[0,2]g x x mx m x m m m x =-+=--+∈，当0m <时，()g x 在[0,1]上单调递增，又g(1)1,()g x =关于点(1,1)对称，所以函数()g x 在(1,2]也单调递增，故()g x 在[0,2]上单调递增，又因为g(0)2,(2)2(0)22m g g m ==-=-，故[2,22]A m m =-，因为A B ⊆，所以21222m m ≥-⎧⎨-≤⎩，得0m ≥，又0m <，所以此时m 不存在.当01m ≤≤时，g()x 在(0,)m 单调递减，在(,1)m 单调递增，又g()x 的对称中心为(1,1)，所以g()x 在(1,2)m -单调递增，在(2,2]m -单调递减，所以[min{(2),()},max{(0),(2)}]A g g m g g m =-，要使A B ⊆，只需()()()222022121g g m g m m m ⎧=-=-≥-⎪⎨=-+≥-⎪⎩，且()()()202222222g m g m g m m m ⎧=≤⎪⎨-=-=-+≤⎪⎩，解得01m ≤≤，又01,m ≤≤所以01m ≤≤，当1m >时，()g x 在[0,1]单调递减，所以()g x 在(1,2]单调递减，所以()g x 在[0,2]单调递减，所以[22,2]A m m =-，所以22122m m -≥-⎧⎨≤⎩，所以1m ≤，又1m >，所以此时m 不存在，综上：01m ≤≤，即m 的范围是[0,1].【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={x|y =√ x −1}，N =(−∞,2]，则M ∩N =( ) A. [1,+∞)B. [1,2]C. RD. ⌀2.已知函数f(x)={|x|−1,x ≤13x ,x >1，则f[f(−3)]=( )A. 0B. 1C. 3D. 93.若函数f(x +1)=x 2−1，则f(x)=( ) A. x 2+2xB. x 2−1C. x 2−2xD. x 2+14.已知a =0.12，b =log 22，c =20.1，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c >a >bB. c >b >aC. b >a >cD. b >c >a5.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x(1−x).则当x <0时，f(x)=( ) A. x(1+x)B. x(1−x)C. x(x −1)D. −x(1+x)6.函数f(x)=√ −x 2+4x 的单调增区间为( ) A. [0,2]B. (−∞,2]C. [2,4]D. [2,+∞)7.若函数f(x)={a x ,x ≥1(4−a 2)x +2,x <1，且满足对任意的实数x 1≠x 2，都有[f(x 1)−f(x 2)]⋅(x 1−x 2)>0成立，则实数a 的取值范围( ) A. (1,+∞)B. (1,8)C. (4,8)D. [4,8)8.关于x 的方程(34)x =3a+25−a有负根的一个充分不必要条件是( ) A. 34<a <4B. 34<a <5C. 34<a <6D. −23<a <34二、多选题：本题共3小题，共18分。
浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学测试试卷(含解析)
浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学测试试卷考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确选项.1.已知集合{}2,A x x x Z =<∈，{}12B x x =-<<，则A B = （）A.{}0,1 B.()0,1 C.{}1,0,1- D.()1,2-2.命题“0,e 1xx x ∀>>+”的否定形式是（）（其中e 2.718= 为常数）A .0,e 1x x x ∀><+ B.0,e 1x x x ∃<≤+C.0,e 1xx x ∃><+ D.0e 1x x x ∃>≤,+3.设,a b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（）A.12、3、1- B.1-、3、12C.12、1-、3 D.1-、12、35.已知0.50.60.3,0.3a b ==，122(5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜b ＜a6.已知1)3f x +=+，则(1)f x +的解析式为（）A.4(0)x x +≥ B.23(0)x x +≥ C.224(1)x x x -+≥ D.23(1)x x +≥7.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（）元A .1200B.1040C.490D.4008.已知函数()321()1m f x m m x-=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分.9.下列各组函数中，表示同一函数的是A.y =2y =B.()=f x x，()t ϕ=C.y =，y =D.y =3y x =-10.下列命题为真命题的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b <<，则22a ab b >>C.若0a b >>，且0c <，则22c c a b > D.若a b >，则11a b<11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x >，(2)4f =，则（）A.(5)10f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在R 上单调递减D.当1x <-时，()2(2)f x f x ->非选择题部分三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.12.若3,0()1,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则((2))f f -=__________．13.已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b k +=-且0,0m n >>，则91m n+的最小值为______.14.研究表明，函数()()g x f x a b =+-为奇函数时，函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称．若函数()323f x x x =-的图象对称中心为(),P a b ，那么a b -=__________．四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）求值：()3121123320.2521624----⎛⎫⎛⎫--⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知11223(0)a aa -+=>，求值：22111a a a a --++++.16.已知集合{}|30A x x =-≤<，{}2|(1)0B x x a x a =-++≤.（1）若1a =-，求A B ⋂；（2）设:p x A ∈；:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x x=+.（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）判断()f x 在()1,0-上的单调性，并用定义证明你的结论.18.新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供[]0(0),1x x ∈（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到12(6)4t k x =⋅-+（万件），其中k 为工厂工人的复工率[]()0.51k ∈，，A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++（万元）.（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数；（2）对任意的[]0,10x ∈（万元），当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）19.已知函数()2f x x =-，2()24()g x x mx m =-+∈R ．（1）若对任意x ∈R ，不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围；（2）若对任意1[1,2]x ∈，存在2[4,5]x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（3）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在0[2,2]x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围．考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学测试试卷.选择题部分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确选项.1. 已知集合{}2,A x x x Z =<Î，{}12B x x =-<<，则A B =I （ ）A. {}0,1B. ()0,1C. {}1,0,1- D. ()1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为{}{}2,1,0,1A x x x Z <Î=-，{}12B x x =-<<，所以{}0,1A B =I .故选：A2. 命题“0,e 1x x x ">>+”的否定形式是（ ）（其中e 2.718=L 为常数）A. 0,e 1x x x "><+ B. 0,e 1x x x $<£+C. 0,e 1x x x $><+ D. 0e 1x x x $>£,+【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定形式即可得到答案.【详解】命题“0,e 1x x x ">>+”的否定形式是“0e 1x x x $>£,+”.故选：D.3. 设,a b ÎR , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】由2()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出2()0a b a -<，如0a =，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.4. 图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x a =在第一象限内的图象，则解析式中指数a 的值依次可以是（）A.12、3、1- B. 1-、3、12C.12、1-、3 D. 1-、12、3【答案】D 【解析】【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a 的值.【详解】在题给坐标系中，作直线12x =，分别交曲线321,,C C C 于A 、B 、C 三点则A B C y y y <<，又1312111122822-æöæöæö=<=<=ç÷ç÷ç÷èøèøèø则点A 在幂函数3y x =图像上，点B 在幂函数12y x =图像上，.点C 在幂函数1y x -=图像上，则曲线123,,C C C 对应的指数分别为11,,32-故选：D5. 已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. b ＜a ＜cD. c ＜b ＜a【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.【详解】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6<，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x = 在(0,)+¥上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3(5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<．故选：C6. 已知1)3f x +=+，则(1)f x +的解析式为（ ）A. 4(0)x x +³B. 23(0)x x +³ C. 224(1)x x x -+³ D. 23(1)x x +³【答案】B 【解析】【分析】由)13fx =+，还原，反解x ，回代，即可求得()f x ，再求()1f x +.()11t t +=³，反解得：()21x t =-回代得：()()213f t t =-+，即：()()()2131f x x x =-+³，故：()()2130f x x x +=+³.故选：B.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，但要注意换元的等价性.7. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（ ）元A. 1200B. 1040C. 490D. 400【答案】C 【解析】【分析】根据表格中的数据，分别计算12000中的每部分的纳税额，再求八月份应缴纳的个税.【详解】1200050007000-=元，其中有3000元应纳税3%，700030004000-=元应纳税10%，所以一共纳税30003%400010%490´+´=元.故选：C【点睛】本题考查分段函数的应用，重点考查读懂题意，属于基础题型.8. 已知函数()321()1m f x m m x-=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x Î+¥且12x x ¹，满足()()12120f x f x x x ->-，若,,0a b R a b Î+<，则()()f a f b +的值（ ）A 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断【答案】B 【解析】【分析】.根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m ，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.【详解】由题可知：函数()321()1m f x m m x -=--是幂函数则2112m m m --=Þ=或1m =-又对任意的12,(0,)x x Î+¥且12x x ¹，满足()()1212f x f x x x ->-所以函数()f x 为(0,+∞)的增函数，故2m =所以7()f x x =，又()()f x f x -=-，所以()f x 为R 单调递增的奇函数由0a b +<，则a b <-，所以()()()f a f b f b <-=-则()()0f a f b +<故选：B【点睛】本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如()()()()()121212120,0->-×->éùëû-f x f x f x f x x x x x ，属中档题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分.9.下列各组函数中，表示同一函数的是A. y =，2y =B. ()=f xx ，()t j =C. y =，y =D. y =，3y x =-【答案】BC 【解析】【详解】试题分析：A 中定义域不同；B 、C 中定义域，对应关系都相同；D 项对应关系不同考点：两函数是否为同一函数判定10. 下列命题为真命题的是（ ）的A. 若0a b >>，则22ac bc >B. 若0a b <<，则22a ab b >>C. 若0a b >>，且0c <，则22c c a b > D. 若a b >，则11a b<【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可求解.【详解】选项A ：当0c =时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 22,00a b a b a ab ab b a b ì<<ìÞ>Þ>íí<<îî，∴a 2>ab >b 2，所以本命题是真命题；选项C: 222211000a b a b a b>>Þ>>Þ<<，220,c cc a b <\>Q ，所以本命题是真命题；选项D: 若0,0a b ><时，11a b<显然不成立，所以本命题是假命题；故选：BC ．11. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x >，(2)4f =，则（ ）A. (5)10f = B. ()f x 奇函数C. ()f x 在R 上单调递减D. 当1x <-时，()2(2)f x f x ->【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，赋值法得到()12f =，(4)(2)(2)8f f f =+=，(5)10f =；B 选项，先赋值得到()00f =，令y x =-得()()0f x f x +-=，故B 正确；C 选项，令121,x x y x x ==-，且21x x >，当0x >时，()0f x >，故2121()()()0f x f x f x x -=->，从而()f x 在R 上单调递增；D 选项，先变形得到()()()21(1)f x f x f f x -=-=-，又1x <-，故12x x ->，由函数单调性得到D 正确.【详解】A 选项，()()()f x y f x f y +=+中，为令()()()f x y f x f y +=+中，令2x y ==得(4)(2)(2)8f f f =+=，令4,1x y ==得(41)(4)(1)8210f f f +=+=+=，即(5)10f =，A 正确；B 选项，()()()f x y f x f y +=+中，令0x y ==得(0)(0)(0)f f f =+，解得()00f =，()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-得()()()00f x f x f +-==，故()f x 为奇函数，B 正确；C 选项，()()()f x y f x f y +=+中，令121,x x y x x ==-，且21x x >，故121121()()()f x x x f x f x x +--=-，即2121()()()f x f x f x x -=-，当0x >时，()0f x >，故2121()()()0f x f x f x x -=->，即21()()f x f x >，故()f x 在R 上单调递增，C 错误；D 选项， 由A 知()12f =，()()()21(1)f x f x f f x -=-=-，又1x <-，故12x x ->，又()f x 在R 上单调递增，所以()2(2)f x f x ->，D 正确.故选：ABD非选择题部分三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.12. 若3,0()1,0x x f x x xì£ï=í>ïî，则((2))f f -=__________．【答案】9【解析】【分析】根据解析式直接计算即可.【详解】因为21(2)309f --==>，所以1((2))(99f f f -==.故答案为：9.13. 已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ¹过定点(),k b ，若m n b k +=-且0,0m n >>，则91m n+的最小值为______.【答案】16【解析】【详解】根据指数型函数定点问题，求,k b ，再结合基本不等式求最值.因为11(0x y a a -=+>且1)a ¹过定点()k b ，，则k =1，2b =，若1m n b k +=-=且0,0m n >>，则()91919101016n m m n m n m n m n æö+=++=++³+=ç÷èø ，当且仅当9n m m n=且1m n +=，即14n =， 34m =时取等号．所以91m n+的最小值为16.故答案为：1614. 研究表明，函数()()g x f x a b =+-为奇函数时，函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称．若函数()323f x x x =-的图象对称中心为(),P a b ，那么a b -=__________．【答案】3【解析】【分析】构造奇函数()()g x f x a b =+-，根据其为奇函数，即可求得,a b 值.【详解】根据题意函数32()3f x x x =-的图象对称中心为(,)P a b ，设()()32()()3g x f x a b x a x a b =+-=+-+-，则()g x 为奇函数，则()()32()3()g x x a x a b g x -=-+--+-=-，所以()()()()323233x a x a b x a x a b -+--+-=-++++，得()()()()3322332x a x a x a x a b -+++=++-++，即322226662a ax x a b +=++，即()232662620a x a a b -+--=，则有32660126202a a a a b b -==ììÞíí--==-îî，所以3a b -=.故答案为：3四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. （1）求值：()3121123320.2521624----æöæö--´´ç÷ç÷èøèø；（2）已知11223(0)a aa -+=>，求值：22111a a a a --++++.【答案】（1）3；（2）6【解析】【分析】（1）利用指数运算性质化简求值即可；（2）结合指数运算性质，利用完全平方和公式求解即可.【详解】（1）原式()1212233214212222424134-=--´´+´=-´+=-=.（2）由11223(0)a a a -+=>，而111222()27a a a a --+=+-=，则2212()247a aa a --+=+-=，故22114716171a a a a --+++==+++.16. 已知集合{}|30A x x =-£<， {}2|(1)0B x x a x a =-++£.（1）若1a =-，求A B Ç；（2）设:p x A Î；:q x B Î， 若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|10A B x x =-£<I ；（2）3a £-.【解析】【分析】（1）解不等式求出集合B ，再与集合A 进行交集运算即可求解；（2）由题意可得A 是B 的真子集，由2(1)0x a x a -++£可得：()()10x x a --£，讨论1和a 的大小关系，解得集合B ，列不等式解之即可求解.【详解】（1） 当1a =-时{}{}2|10|11B x x x x =-£=-££因为{}|30A x x =-£<，所以{}|10A B x x =-£<I .（2）:p x A Î；:q x B Î， 若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，由2(1)0x a x a -++£可得：()()10x x a --£方程()()10x x a --=的两根为1和a ，当1a >时，{}1|B x x a =££，此时不符合题意；当1a =时，{}1B =，此时不符合题意；当1a <时，{}|1B x a x =££，若A 是B 的真子集，则31a a £-ìí<î解得：3a £-所以实数a 的取值范围为3a £-.17. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x x=+.（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）判断()f x 在()1,0-上的单调性，并用定义证明你的结论.【答案】（1）()1,00,0x x f x xx ì+¹ï=íï=î （2）()f x 在()1,0-上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，得()00f =，再设0x <，则0x ->，代入即可求解；（2）根据条件，利用函数单调性的定义进行判断、证明，即可求解.【小问1详解】因为()f x 是定义在R 的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()1f x x x=+，所以当0x <时，则0x ->，则()()1f x x f x x -=--=-，则()1,(0)f x x x x=+<，所以()1,00,0x x f x xx ì+¹ï=íï=î【小问2详解】()f x 在()1,0-上单调递减，证明如下：设1210x x -<<<，则()()12121211f x f x x x x x -=+--.()()()2112121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x æö--=-+=--=-×ç÷èø，因为1210x x -<<<，所以1212120,01,10x x x x x x -<<<-<，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，即函数()f x 在()1,0-上单调递减.18. 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供[]0(0),1x x Î（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到12(6)4t k x =×-+（万件），其中k 为工厂工人的复工率[]()0.51k Î，，A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++（万元）.（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数；（2）对任意的[]0,10x Î（万元），当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）【答案】（1）3601807204ky k x x =---+；（2）0.58k ³.【解析】【分析】（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系；（2）根据（1）的结果，由题意，只需36018072004ky k x x =---³+在[]0,10x Î上恒成立，即()()72041802x x k x ++³+在[]0,10x Î上恒成立，根据函数单调性，求出()()72042x x x +++的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供x （万元）的专项补贴，所以，A 公司生产防护服的利润121280(6)20850(6)44y x k x k x x éù=+--++-êú++ëû3601807204kk x x =---+；（2）为使A 公司不产生亏损，只需利润36018072004ky k x x =---³+在[]0,10x Î上恒成立；即()()72041802x x k x ++³+在[]0,10x Î上恒成立；因为()()()()()2272047220212748801272202222x x x x x x x x x x x ++++++++===+++++++，令2t x =+，因为[]0,10x Î，所以[]2,12t Î，记()12720g t t t=++，任取12212t t £<£，则()()()()2112121212121212127207207t t g t g t t t t t t t t t -æöæö-=++-++=-+ç÷ç÷èøèø()1212127t t t t æö=--ç÷èø因为120t t -<，124144t t <<，所以12121234t t <=，即121270t t ->，所以()12121270t t t t æö--<ç÷èø，即()()12g t g t <，所以函数()12720g t t t=++在[]2,12t Î上单调递增；因此()()max 12105g t g ==，即()()72042x x x +++的最大值为105；所以只需180105k ³，即0.58k ³.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.19. 已知函数()2f x x =-，2()24()g x x mx m =-+ÎR ．（1）若对任意x ÎR ，不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围；（2）若对任意1[1,2]x Î，存在2[4,5]x Î，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（3）若1m =-，对任意n ÎR ，总存在0[2,2]x Î-，使得不等式()200g x x n k -+³成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1122m æöÎ-ç÷èø（2）54m éÎêë（3）4k £【解析】【分析】（1）将不等式()()g x f x >恒成立转化为2(21)60x m x -++>恒成立，再根据Δ0<即可求m 的取值范围；（2）将题中条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据区间[1,2]的两端点的函数值(1),(2)g g 可得到()y g x =的对称轴x m =在区间[1,2]之间，从而可得到min ()()g x g m =，进而可求得m的取值范围；（3）将不等式()200g x x n k -+³成立化简得到不等式024x n k ++³成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ³，再构造函数(){}0max ()max ,8n h x n n j ==+，根据min ()n j 即可求解．【小问1详解】由题意得2242x mx x -+>-恒成立，得2(21)60x m x -++>恒成立，即2Δ(21)240m =+-<解得1122m æöÎ-ç÷èø．【小问2详解】当()11[1,2],x g x D ÎÎ，当()22[4,5],[2,3]x f x ÎÎ，由题意得[2,3]D Í∴2(1)12432(2)4443g m g m £=-+£ìí£=-+£î得5342m ££，此时()y g x =对称轴为[1,2]x m =Î，故min ()()[2,3]g x g m =Î，即222()243g m m m £=-+£得1m ££或1m ££-，综上可得54m éÎêë．【小问3详解】由题意得对任意n ÎR ，总存在0[2,2]x Î-，使得不等式024x n k ++³成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ³，而(){}{}0max max (2),(2)max ,8h x h h n n =-=+，设{}()max ,8n n n j =+，则min ()n k j ³，而{},4()max ,88,4n n n n n n n j ì<-ï=+=í+³-ïî，易得min ()(4)4n k j j =-=³，故4k £．【点睛】关键点点睛：小问（2）的关键是将题中条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据闭区间的端点和函数的对称轴来求解参数的取值范围；小问（3）的关键是构造函数，即将不等式成立问题转化为求解函数的最值问题．。
广西壮族自治区南宁市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
南宁市2024-2025学年秋季学期期中考试高一数学试卷考试时长: 120分钟满分: 150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 全称量词命题“∀x∈R,x²≥0”的否定是,( )^ ∀x∈R,x²≤0 B. ∃x∈R, x²<0C. ∃x∈R,x²≥0 D ∀x∈R, x²<02. 已知集合A={0,1,2}, B={x|-2<x≤3},则A∩B= ( )A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1,2}3. 集合{1,2}的子集个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. “我住在广西”是“我住在中国”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 如果m>0, 那么m+4的最小值为( )mA. 2B. 22C. 4D. 86. 函数f(x)=x+3的定义域是( )A. {x|x≥-3}B. {x|x>0}C. {x|x≥3}D. {x|x≥4}7. 已知f(x―3)=2x²―3x+1,则f(1)= ( )A. 15B. 21C. 3D. 08. 若不等式kx²―6kx+k+8≥0的解集为R，则实数k的取值范围是 ( )A. 0≤k≤1B. 0<k≤1C. k<0或k>1D. k≤0或k≥1第1页，共4页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若a<b<0, 则下列不等式正确的是 ( )A1 a <1bB.ab<a⁷ c |a| D.1a>1b10. 下列各组函数表示同一函数的是( )A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=x²,g(x)=|x|²C.f(x)=x+1,g(x)=x2―1x―1D.f(x)=x0x,g(x)=xx211. 若函数y=x²+bx+c的图象与x轴的两个交点是A(-2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是( )A. b+c=-1B. 方程x²+bx+c=0的两根是-2, 1C. 不等式.x²+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}D. 不等式x²+bx+c≤0的解集是{x|-2≤x≤1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设集合A={2,1-a,5}, 若4∈A,则a= .13. 已知函数那么f(f(3))= .14. 不等式x+3x―5<0的解集为 .四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题13分) 已知全集U=R, 集合.A=x|x≥4,B=x|―6≤x≤6.(1)求A∩B和A∪B;(2)求((C U A)∩(C U B)第2页，共4页16.(本题15分) 设集合U=R,A=x|0≤x≤3,B=x|m―1≤x≤2m.(1)m=3,求A∪(C U B);(2) 若B⊆A求m的取值范围.17.(本题15分) 已知二次函数f(x)=x²―ax+b,f(1)=2,f(3)=―6.(1) 求f(x)的解析式;(2) 写出f(x)的单调区间; 并求.x∈[―1,5]时，f(x)的最大值与最小值.第3页，共4页18.(本题17分) 求下列函数的最值. (1) 已知x>2, 求y=x+1x―2的最小值；(2) 已知:x>0,y>0,且2x+y=1.求1x +9y的最小值.(3) 已知(0<x<4,求x(4―3x)的最大值.19.(本题17分)已知函数f(x)=,且f(1)=10.(1) 求a的值;(2) 判断函数f(x)在[3,+∞)上的单调性，并用定义法证明；(3) 求函数f(x)在区间[3，6]上的最大值和最小值.第4页，共4页高一数学11月期中考试参考答案题号1234567891011答案BDDBCABABDBDABD1. B 【详解】全称量词命题“∀x∈R, x²≥0”的否定是 ∃x ∈R,x²<0,故选: B.2. D 【详解】由题意. A =0.1,2,B =x|―2<x ≤3,所以A∩B={0,1,2}.故选: D.3. D 【详解】因为A={0.1}, 所以集合A 有∅,{0},{1},{0,1}共4个子集.故选: D4. B 【详解】“我住在广西”则一定有“我住在中国”，反之不成立，所以“我住在广西”则一定有“我住在中国”的充分不必要条件.故选：B5. C 【详解】 m >0,m +4m ≥2m ⋅4m =4,当且仅当 m =4m ,即m=2时取等号，所以 m +4m 的最小值为4.故选：C6. A 【详解】要使函数 f (x )=x +3有意义, 需x+3≥0, 解得x≥-3, 即得函数的定义域为:{x|x≥-3}.故选: A.7. B 【详解】∵f(x-3)=2x²-3x+1, ∴f(1)=(4-3)=2×4²-3×4+1=21,故选B.8. A 【详解】若k=0, 则不等式为8>0, 满足条件,若k≠0，要使不等式恒成立，则满足 {k >0=36k 2―4k (k +8)≤0, 即 {k >0k 2―k ≤0 则 {k >00≤k ≤1,所以0<k≤1, 综上, 实数k 的取值范围为0≤k≤1. 故选: A9. BD 【详解】对于A 、D,因为a<b<0,所以 ab>0,则 1ab >0,所以 a ⋅1ab <b ⋅1ab ,即 1b <1a ,故A 错误, D 正确; 对于B, 因为a<b<0, 所以a·a>b·a, 即 ab <a²,故 B 正确;对于C, 若a<-1<b<0, 则|a|>1, 0<|b|<1, 所以有|a|>|b|, 故C 错误.故选: BD.10. BD 【分析】同一个函数的定义：如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数.根据定义判断选项.【详解】A. f(x)=x,g(x)=|x|,对应关系不一致，不是同一函数.B.f (x )=x²,g (x )=|x|²=x²,定义域相同，对应关系一致，是同一函数.C. f(x)定义域为R, g(x)定义域为{x|x≠1}, 定义域不同, 不是同一函数.D. f(x)定义域为{x|x≠0},可化为 f (x )=1x ,g(x)定义域为 x|x ≠0,可化为 g (x )=1x ,是同一函数.故选: BD.11. ABD 【详解】依题意, 方程 x²+bx +c =0的两根是-2, 1, B 正确;显然-b=-1,c=-2,即b=1,c=-2,b+c=-1, A 正确;不等式 x²+bx +c >0, 即 x²+x ―2>0的解集为{x|x<-2或x>1}, C 错误;不等式 x²+bx +c ≤0,即 x²+x ―2≤0的解集是 x|―2≤x ≤1,D 正确.故选: ABD 12. - 3【详解】集合A={2,1-a,5},若4∈A, 则1-a=4⇒a=-3.故答案为: - 313. - 1【详解】因为 f (x )={2―x (x ≥1)x 2+x ―1(x <1),所以f(3)=2-3=-1,所以 f (f (3))=f (―1)=(―1)²―1―1=―1, 故答案为: -1.14. {x|-3<x<5}【详解】 x +3x ―5<0(x +3)(x ―5)<0,解得 ―3<x <5..故答案为： x|―3<x <5答案第1页，共3页15.【详解】(1) A={x|x≥4},B={x|-6≤x≤6},A∩B={x|4≤x≤6}3分A∪B=x|x≥―6 .6分(2)C U A={x|x<4} .8分或x>6}- .10分(C U A)∩(C U B)={x|x<―6} .13分16. 【详解】A={x|0≤x≤3}（1）1分故可得或x>6}- .3分所以或x>6}-(2) 由题B⊆A:当B=∅时,m-1>2m,解得m<-1,符合题意;分 (9)分 (13)综上可得，m的取值范围为m<-1或 (15)17.【详解】(1) 因为f(x)=x²―ax+b,且f(1)=2,f(3)=-6,.............................................................................................2分解得(a=8, b=9, .........................................................5分(只有一个正确得2分)....................................................................................所以6分（2）由（1）知.对称轴为x=4，图象开口朝上分 (8)所以f（x）的减区间是（-∞,4],增区间是....................................[4,+∞）10又4∈[-1,5],所以f（x）在区间[-1,4]上单调递减,在区间[4,5]上单调递增, (12)所以f(x)ₘᵢₙ=f(4)=―7, ………………………………13分f(x)最大值在f(-1)或f(5)取到, f(-1)=18, f(5)=-6,∴f(-1)>f(5)·f(x)ₘₐₓ=f(―1)=18 ………………………………………15分18.【详解】(1)∵x>2,x―2>0,1x―2>0.6分…14分而y=x+1x―2=x―2+1x―2+2≥2(x―2)⋅1x―2+2=4, .3分当且仅当即x=3时取等号，所以……………………………………………………………5分(2)1x+9y=(1x+9y)(2x+y)=11+y x+18x y211+2yx ⋅18xy=11+62, ..8分当且仅当时,取等号,又2x+y=1,即时分101 x +9y取得最小值11+62 11分（3）15分当且仅当3x=4-3x时取等号，即（满足0<x<4）时x（4-3x）最大值为 (17)法二：函数y=x(4―3x)=―3x²+4x的开口向下，对称轴为x=―4―6=23, ..15分所以当时,x（4-3x）取得最大值为1719.【详解】(1) 函数f(x)=x2+ax,因为f(1)=10,…………………………………………………………………………………………………3分(2)函数f(x)在[3,+∞)上单调递增,知由下面证明单调区间，设3≤x₁<x₂,则f(x1)―f(x2)=x1―x2+9x1―9x2=(x1―x2)(x1x2―9x1x2), .8分由3≤x₁<x₂,则x₁x₂―9>0,x₁―x₂<0,x₁x₂>0, 11分所以(x1―x2)x1x2―9x1x2<0⇒f(x1)―f(x2)<0,即f(x₁)<f(x₂), ..12分……………………………………………………………………………………………13分（3）由（2）可知f（x）在区间[3,+∞）上单调递增,则在区间[3,6]上单调递增…………14分所以f(x)mn=f(3)=3+93=6,f(x)max=f(6)=6+96=152, 16分 (6)答案第3页，共3页。
辽宁省辽南协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)
2024-2025学年度上学期期中考试高一数学时间：120分钟 满分：150分命题范围：必修一一、单选题：（每题5分）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（ ）A.， B.，C.， D.，3.已知，，则“”是“且”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（ ）A. B.C. D.5.已知关于的方程有两个实数根，.若，满足，则实数的取值为（ ）A.或6B.6C. D.6.函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）A. B.C. D.{}*05,U x xx =≤<∈N {}1,2,3P ={}2,4Q =()UP Q = ð{}0,2,3,4{}2,4{}2,3,4{}1,2,43x ∃≥2230x x -+<3x ∀≥2230x x -+<3x ∀≥2230x x -+≥3x ∀<2230x x -+≥3x ∃<2230x x -+≥x y ∈R 1x y +≤12x ≤12y ≤a b ad bc c d =-2014132a a <a 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,1,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭3,12⎛⎫-⎪⎝⎭()3,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭x ()222110x k x k +-+-=1x 2x 1x 2x 22121216x x x x +=+k 2-2-54()1f x +[]2,1-()g x =()g x 1,22⎛⎫-⎪⎝⎭()1,-+∞()1,00,22⎛⎫-⎪⎝⎭1,22⎛⎤-⎥⎝⎦7.已知函数，若在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.8.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（ ）A. B. C.-3D.0二、多选题（每题6分）9.下列函数中，值域为的是（ ）A. B.C.， D.（）10.下列命题中，真命题是（ ）A.若、且，则、至少有一个大于1B.C.“”是“”的必要条件D.“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件11.已知，，，则下列结论中一定成立的是（ ）A.的最小值是B.的最小值是2D.的最小值是25三、填空（每题5分）12.已知集合，，，则的值为______.13.已知函数，，则______.14.已知是定义在上的偶函数，若在上是增函数，则满足的实数的取值范围为______；若当时，，则当时，的解析式是______.四、解答题（共77分）15.已知：（），：.()()231,1,1a x x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x R a 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭23,34⎛⎤⎥⎝⎦2,13⎛⎫⎪⎝⎭3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭()y g x =()(),11,-∞--+∞ ()1g x -1x >-()221g x x =-()()1f x g x =-1-2-[]0,4()[]1,1,5f x x x =-∈()24f x x =-+()f x =[]2,14x ∈-()12f x x x=+-0x >x y ∈R 2x y +>x y 2,2x x x∀∈<R x y >x y >0m <220x x m -+=0a >0b >1a b +=22a b +121ab ab +49a b+{}3,A a ={},1B a ={}1,2,3,2A B =- a ()2f x x =()2g x x =+()()3f g =()f x R ()f x [)0,+∞()()11f m f -<m 0x ≥()24f x x x =+0x <()f x p 22680x ax a -+<0a ≠q 2430x x -+≤（1）当时，若同时成立，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16.已知集合，集合，集合，集合.（1）求（2）设，求实数的取值范围.17.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求实数和的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）若，求的取值范围.18.某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足（为常数）.如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍.（1）求的值；（2）将2023年该产品的利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；（3）该厂家2023，结果保留1位小数）.19.对于二次函数（），若存在，使得成立，则称为二次函数（）的不动点.（1）求二次函数的不动点；（2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且，，求的最小值.（3）若对任意实数，二次函数（）恒有不动点，求的取值范围.1a =,p q x p q a U =R 4221x A xx ⎧-⎫=<⎨⎬+⎩⎭{}312B x x =->[],1C m m =+A B()U B C C = ðm ()24ax b f x x +=-()2,2-()213f =a b ()f x ()2,2-()()2110f t f t -+-<t x m 0m ≥32kx m =-+k 32k y m 1.414=2y mx nx t =++0m ≠0x ∈R 2000mx nx t x ++=0x 2y mx nx t =++0m ≠23y x x =--()2231y x a x a =-++-1x 2x 1x 20x >1221x x x x +b ()()211y ax b x b =+++-0a ≠a高一数学参考答案题号1234567891011答案BBBACDBAACADACD1. B 因为，所以.2. B 解：因为命题“，”为存在量词命题，所以其否定为“，”.3. B 【详解】当“”时，如，，满足，但不满足且，当且时，根据不等式的性质有“”，故“”是“且”的必要不充分条件.4. A 【详解】因为，即，即，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：A5. C 【详解】∵关于的方程有两个实数根，，∴，解得，∴实数的取值范围为，根据韦达定理可得，，∵，∴，即，解得或（不符合题意，舍去），∴实数的值为.6. D 【详解】由函数的定义域为，可得函数的定义域为，函数，可得，解得，所以函数定义域为.{}{}*05,1,2,3,4U x x x U =≤<∈==N(){}{}{}42,42,4UP Q == ð3x ∃≥2230x x -+<3x ∀≥2230x x -+≥1x y +≤4x =-1y =1x y +≤12x ≤12y ≤12x ≤12y ≤1x y +≤1x y +≤12x ≤12y ≤2014132a a <2213140a a -⨯<⨯-⨯2230a a --<()()2310a a -+<312a -<<a 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x ()222110x k x k +-+-=1x 2x ()()222141450k k k ∆=---=-+≥54k ≤k 54k ≤1212x x k +=-2121x x k =-()22212121212216x x x x x x x x +=+-=+()()()2221221161k k k ---=+-24120k k --=2k =-6k =k 2-()1f x +[]2,1-112x -≤+≤()f x []1,2-()g x =12210x x -≤≤⎧⎨+>⎩122x -<≤()g x 1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦7. B 【详解】由在上是减函数可得，解得，8. A 【详解】因为为奇函数，所以关于对称，则关于对称，即，当时，，当时，，则，所以，则，因为，则或，解得或，所以.9. AC 【详解】对于A ：函数，在定义域上单调递增，又，，所以，故A 正确；对于B ：由，所以，即，故B 错误；对于C ：函数，在定义域上单调递增，又，，所以，故正确；对于D ：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，故D 错误；10. AD 【详解】假设，都不大于1，即，，则，因此不成立，所以假设不成立，故A 正确；()f x R 2300231a a a a-<⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩2334a <≤()1g x -()1g x -()0,0()g x ()1,0-()()2g x g x =---1x >-()221g x x ==1x <-21x -->-()()()222221287g x g x x x x ⎡⎤=---=----=---⎣⎦()2221,1287,1x x g x x x x ⎧->-=⎨---<-⎩()()()2222,1122,1x x f x g x x x ⎧->-⎪=-=⎨-+<-⎪⎩()0f x =22201x x ⎧-=⎨>-⎩()21220x x <-⎧⎪⎨-+=⎪⎩11x =22x =-121x x +=-()1f x x =-[]1,5x ∈()10f =()54f =()[]0,4f x ∈20x ≥244x -+≤()(],4f x ∈-∞()f x =[]2,14x ∈-()20f -=()144f =()[]0,4f x ∈C 0x >()1220f x x x =+-≥-=1x x=1x =()[)0,f x ∈+∞x y 1x ≤1y ≤2x y +≤2x y +>因为时，，故B 错误；因为，但是，则不一定能推出，且，但是，所以不一定能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C 错误；关于方程有一正一负根，所以“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，故D 正确；故选：AD11. ACD 【详解】∵，，，∴，所以A 中结论一定成立，由已知得，∴，所以B 中的结论是错误的，由，所以C 中的结论是成立的，由已知得，所以D 中的结论是成立的，12.【详解】由题意得，且，故，13. 25 【详解】根据题意可知，则.【详解】∵是定义在上的偶函数，若在上是增函数，∴不等式等价为，即得，得，若，则，则当时，，则当时，，1x =22x x >32->32-<x y >x y >23>-23<-x y >x y >x y >x y >220x x m -+=44000m m m ∆=->⎧⇔⇔<⎨<⎩0m <220x x m -+=0a >0b >1a b +=()2221122a b a b +≥+=21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭()2222111117241244ab a b ab ab ab ab -+⎛⎫+==+≥-+= ⎪⎝⎭()222a b ≤+=≤()494949131325b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭2-a a ≠2a =2a =-()3325g =+=()()()235525f g f ===()f x R ()f x [)0,+∞()()11f m f -<()()11f m f -<111m m -=-<111m -<-<02m <<0x <0x ->0x -≥()()24f x x x f x -=-=0x <()24f x x x =-故答案为：（1），（2）15.【详解】（1）当时，：，即：，：，即：，若同时成立，则，即实数的取值范围为（2）由（1）知，：，：（），即：，①当时，：，若是的充分不必要条件，则，解得；②当时，：，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意综上，实数的取值范围为.16.【详解】（1）由已知，，所以；（2）由（1）得，所以，又，且所以，即，解得，所以实数的取值范围是.17.【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，所以得，02m <<()24f x x x=-1a =p 2680x x -+<p 24x <<q 2430x x -+≤q 13x ≤≤,p q 23x <≤x (]2,3q 13x ≤≤p 22680x ax a -+<0a ≠p ()()240x a x a --<0a >p 24a x a <<p q 1243a a ≤<≤1324a ≤≤0a <p 420a x a <<<p q a 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦()4221,21x A xx ⎧-⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭{}()1312,1,3B x x ⎛⎫=->=-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ()11,1,23A B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()1,1,3B ⎛⎫=-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 1,13U B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ð()U B C C = ð[],1C m m =+()U C C B ⊆C ≠∅1311m m ⎧≥-⎪⎨⎪+≤⎩103m -≤≤m 103m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭()24ax bf x x+=-()2,2-()004bf ==0b =又因为，所以，经检验，当，时，是奇函数，所以，（2）由（1）可知，设所以因为，所以，，，，，所以，即，所以函数在上是增函数.（3）由函数是定义在上的奇函数且，则，所以所以的取值范围是.18.【详解】（1）由已知，当时，，，解得：，（2）由（1）知，故。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a∈R，若集合M={1,a}，N={−1,0,1}，则“a=0”是“M⊆N”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.下列命题是全称量词命题且为真命题的是A. ∀a，b∈R，a2+b2<0B. 菱形的两条对角线相等C. ∃x0∈R，x20=x0D. 一次函数的图象是直线3.设全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x|3<x<8,x∈N}，则下图中的阴影部分表示的集合是A. {1,2,3,4,5}B. {3,4}C. {1,2,3}D. {4,5,6,7}4.若函数f(x)=4x2−kx−8在[5,8]上是单调函数，则实数k的取值范围是A. (−∞,40)B. (−∞,40]∪[64,+∞)C. [40,64]D. [64,+∞)5.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|13<x<12}，则不等式cx2+bx+a>0的解集为A. {x|−12<x<−13}B. {x|x>3或x<2}C. {x|2<x<3}D. {x|−3<x<−2}6.已知关于x的不等式2x+2x−a≥7在区间(a,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为A. 1B. 32C. 2 D. 527.17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有lg N=n+lg a.现给出部分常用对数值(如下表)，则可以估计22023的最高位的数值为真数x2345678910lg x(近0.301030.477120.602060.698970.778150.845100.903090.95424 1.000似值)A. 6B. 7C. 8D. 98.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=−x2+2x，函数f(x)={x,x≤0,g(x),x>0,若f(2−x2 )>f(x)，则实数x的取值范围是A. (−2,1)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
浙江省宁波市余姚2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含解析
余姚2024学年第一学期期中测试高一数学学科试卷（答案在最后）命题：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}24,2,A x xB x x =-<<=≥则R A B =ð（）A.()2,4 B.[)2,4 C.()2,2- D.(]2,2-【答案】C 【解析】【分析】利用集合补集和交集的定义求解即可．【详解】{}|2R B x x =< ð，{}|22R A B x x ∴⋂=-<<ð故选：C2.命题：2,+2+20x R x x ∀∈>的否定是()A.2000,+2+20x R x x ∃∈≤ B.2,+2+20x R x x ∀∈<C.2,+2+20x R x x ∀∈≤ D.2000,+2+20x R x x ∃∈<【答案】A 【解析】【分析】由全称命题的否定直接改写即可.【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题：2,220x R x x ∀∈++>的否定是：2000,220x R x x ∃∈++≤.【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，一般只需要改量词和结论即可，属于基础题型.3.函数()ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()4,5 B.()5,6 C.()6,7 D.()7,8【答案】C 【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数ln ,8y x y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()6ln620,7ln710f f =-<=->，所以()f x 的零点所在的区间为()6,7.故选：C .4.若0a >，0b >，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】取4a =，1b =，可得“4ab ≤”不能推出“4a b +≤”；由基本不等式可知由“4a b +≤”可以推出“4ab ≤”，进而可得结果.【详解】因为0a >，0b >，取4a =，1b =，则满足4ab ≤，但是54a b +=>，所以“4ab ≤”不能推出“4a b +≤”；反过来，因为a b ≤+，所以当4a b +≤时，有4≤，即4ab ≤.综上可知，“4ab ≤”是“4a b +≤”的必要不充分条件.故选：B.5.函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数op 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数op 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x +，所以()0f x <，排除D.故选：B.6.已知函数()22,1()22,1xa x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩（2a >-且1a ≠-）在定义域内单调，则a 的取值范围是（）A.(]1,1- B.11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C.()(]2,11,1--⋃- D.()12,11,3⎛⎤--- ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】由题意可知每一段函数在其定义域上为增函数，再当1x =时，222(2)x x ax a -+≥+可求得结果.【详解】因为函数()22,1()22,1xa x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩（2a >-且1a ≠-）在定义域内单调，而222y x ax =-+在[1,)+∞上只能单调递增，所以()22,1()22,1xa x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩在定义域内单调递增，所以22111222a a a a +>⎧⎪≤⎨⎪-+≥+⎩，解得113a -<≤，即a 的取值范围为11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：B7.若关于x 的函数()()2lg log 2a f x x ax ⎡⎤=++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（）A.()()0,11,2U B.()(0,11,⋃ C.()1,2D.(1,【答案】C【分析】根据定义域为实数集，转化为220x ax ++>且()2log 20a x ax ++>恒成立，结合二次不等式恒成立求解即可.【详解】由题意，0,1a a >≠，且对任意x ∈R ，220x ax ++>，①且()2log 20a x ax ++>，②对于①，21Δ80a =-<，结合0,1a a >≠，得()(0,11,a ∈⋃.若()0,1a ∈，由②知对任意()2,20,1x x ax ∈++∈R ，矛盾；若(1,a ∈，由②知对任意2,21x x ax ∈++>R ，即210x ax ++>，则22Δ40a =-<，得()1,2a ∈，综上，当()1,2a ∈时，对任意x ∈R ，①②同时成立.故选：C8.已知实数(),0,3a b ∈，且满足22279363ab a b b --=--，则22a b +的最小值为（）A.6B.2125C.214D.5【答案】D 【解析】【分析】由题意可得()2233+33a b a b -=+-，结合函数()2+3xf x x =单调性可得3a b =-，即可得()22215a b a +=-+，即可得解.【详解】由22279363a b a b b --=--可得()222327369+333bba ab b b -=+-+=+-，由(),0,3a b ∈，则()30,3b -∈，令()2+3xf x x =，则()f x 在()0,3上单调递增，有()()3f a f b =-，故3a b =-，即3a b +=，则()()222222326155a b a a a a a +=+-=-+=-+≥，当且仅当1a =时，等号成立，故22a b +的最小值为5.故选：D .二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.*,a n ∀∈∈R N a=B.已知a 为常数且1a >，则00x ∃>，当0x x >时，恒有log xa a ax x>>C.函数()12f x ⎛=⎪⎝⎭的单调递减区间是[)3,+∞D.()f x 在(),a b 上具有零点的必要不充分条件是()()0f a f b ⋅<【答案】BC 【解析】【分析】由指数幂的运算即可判断A ，由指对幂函数的特点即可判断B ，由复合函数的单调性即可判断C ，由函数零点的定义即可判断D.【详解】对于A ，当n a =，当n a =，故A 错误；对于B ，当1a >时，函数,,log xa y a y ax y x ===均为单调递增函数，且各类函数的增长速度为指数函数最快，对数函数最慢，所以00x ∃>，当0x x >时，恒有>B >log ，故B 正确；对于C ，由2430x x -+≥解得3x ≥或1x ≤，又243y x x =-+在(],1-∞单调递减，在[)3,+∞单调递增，且12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，由复合函数的单调性可知，()f x 在(],1-∞单调递增，在[)3,+∞单调递减，故C 正确；对于D ，取函数()21f x x =-，则函数()f x 的零点为1和1-，即()f x 在()2,2-上存在零点，但是−2⋅2>0，故D 错误；故选：BC10.下列不等式正确的是（）A.0.20.30.20.324<< B.0.10.10.10.30.40.5---<<C.0.40.30.2log 3log 3log 3<< D.62log 3lg53<<【答案】ACD 【解析】【分析】由指数函数的单调性即可判断A ，由()0.1f x x-=的单调性即可判断B ，由对数函数的单调性以及换底公式代入计算，即可判断C ，由作商法代入计算，即可判断D.【详解】对于A ，因为0.200.31<<，且2x y =在R 上单调递增，则0.00.30.4222124<==<，故A 正确；对于B ，由()0.1f x x-=在()0,∞+单调递减可得0.10.10.10.30.40.5--->>，故B 错误；对于C ，由()3log f x x =在()0,∞+上单调递增，则333log 0.2log 0.3log 0.40<<<，所以333111log 0.4log 0.3log 0.2<<，即0.40.30.2log 3log 3log 3<<，故C 正确；对于D ，由()6636log 33log 3log 270,1223==∈可得62log 33<，由100lg 53lg 5log 1251223==>可得2lg 53>，故D 正确；故选：ACD11.一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],ka kb 为()f x 的“k 倍跟随区间”；若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A.若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B.函数()11f x x=+存在跟随区间C.若函数()f x m =-存在跟随区间，则1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D.二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”【答案】ACD【解析】【分析】A ，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解b 的值；B ，假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解a ，b 的值，结合函数图象进行判断；C ，先设跟随区间为[],a b ，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出a ，b 的关系，然后统一变量表示出m ，列出关于m 的关系式，利用方程思想求解m 的取值范围，D ，若存在3倍跟随区间，则设定义域为[],a b ，值域为[]3,3a b ，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．【详解】选项A ：由已知可得函数()f x 在区间[1,]b 上单调递增，则有2()22,1f b b b b b =-+=>，解得2b =或1（舍)，所以2b =，A 正确；选项B ：若()11f x x=+存在跟随区间[],()a b a b <，又因为函数在单调区间(,0),(0,)-∞+∞上递减，图象如图示，则区间[],()a b a b <一定是函数的单调区间，即0a b <<或0a b <<,则有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，解得1212a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时,a b 异号，故函数()11f x x=+不存在跟随区间，B 不正确；选项C ：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间[],(1)a b a b -≤<，则有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，即b m a m ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，两式作差得：a b -=-，即(1(1)a b a b a b -+=+-+=-，又1a b -≤<1+=，得01≤<，所以1m a a =+=+-10,2t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则2m t t =-，即20t t m --=在区间10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上有一个实数根，只需：Δ1400m m =+>⎧⎨-≥⎩，解得104m -<≤，C 正确；选项D ：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为[],a b ，值域为[]3,3a b ，当1a b <≤时，函数在定义域上单调递增，则a ，b 是方程2132x x x -+=的两个不相等的实数根，解得0x =或4-，故存在定义域为[]4,0-使得值域为[]12,0-，D 正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较强.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数f(x)=ln(1)x ++____________.【答案】(]1,2-.【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组，解不等式组可得函数的定义域．【详解】由题意得21040x x +>⎧⎨-≥⎩，解得12x -<≤，所以函数的定义域为(]1,2-．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，可根据解析式的特征得到关于自变量x 的不等式（组），解不等式（组）后可得函数的定义域．13.求值：（1）122302132(9.6)3(1.5)48--⎫⎫⎛⎛---+= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭________；（2）21log 52(lg5)lg2lg502++⋅+=________．【答案】①.12##0.5②.11【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则逐项化简运算即可的答案；（2）根据对数运算法则、对数恒等式、指数运算化简即可得答案.【详解】（1）原式12223223392733221114822332--⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）原式2log 522(lg5)lg2(lg51)22(lg5)(1lg5)(lg51)1011=+⋅++⨯=+-⋅++=.14.若定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为奇函数；②()10f =；③对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ，已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()210x f x +⋅<的解集为________．【答案】1(,1)(,0)(1,)2-∞--+∞ 【解析】【分析】由对任意的()12,0,x x ∞∈+，且12x x ≠，()()2112120x f x x f x x x -<-可得()()f x g x x=在0,+∞上递减.注意到2+1⋅<0⇔2+<0，>02+>0，<0，结合()f x 为奇函数及1=0可得()g x 相关性质，即可得答案.【详解】因对任意的()12,0,x x ∞∈+，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<⇔-()()121212f x f x x x x x -<-，则()()f x g x x=在0,+∞上单调递减，又因()f x 为奇函数及1=0，则()g x 为偶函数，且()()110g g =-=，()()f x g x x=在(),0∞-上单调递增.因∈−∞,0∪0,+∞，则2+1⋅<0⇔2+<0，>02+>0，<0.当0x >，2+<0⇒=<0=1>1；当0x <，121002x x +>⇔-<<时，2+>0⇒=>0=−1⇒>−1，则102x -<<；当0x <，12102x x +<⇔<-时，2+>0⇒()()()011f x g x g x x=<=-⇒<-，则1x <-；综上，不等式()()210x f x +⋅<的解集为1(,1)(,0)(1,)2-∞--+∞ .故答案为：1(,1)(,0)(1,)2-∞--+∞ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-．（1）若1a =，且p 是真命题，求实数x 的取值范围；（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13x <<（2）(1,2]【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可得答案；（2）解一元二次不等式可得命题q 中的x ，根据充分不必要条件定义可得答案．【小问1详解】由命题:p 实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，当1a =时，即命题()():130p x x --<，解得13x <<；【小问2详解】0a >，命题:p 实数x 满足()()30x a x a --<，解得3a x a <<，命题:q 实数x 满足302x x -≤-，解得23x <≤．因为q 是p 的充分不必要条件，则满足233a a ≤⎧⎨>⎩，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围为(1,2]．16.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加．(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；(2)写出y （珍稀鸟类的个数）关于x （经过的年数）的函数关系式；(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？（结果为整数）(参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈)【答案】（1）1166个；（2）1000 1.08x y =⨯，x ∈N （3）15年【解析】【分析】(1)根据题意求出一年后的只数，再求出两年后的只数即可;(2)根据珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加，列出函数关系即可；(3)由题意得到不等式1000 1.0831000x ⨯≥⨯，化简得到1.083x ≥，利用对数运算的性质，化简即可求解.【详解】解：(1)依题意，一年后这种鸟类的个数为100010008%1080+⨯=两年后这种鸟类的个数为108010808%1166+⨯≈(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加则所求的函数关系式为1000 1.08x y =⨯，x ∈N(3)令1000 1.0831000x ⨯≥⨯，得：1.083x ≥两边取常用对数得：lg1.08lg 3x ≥，即lg1.08lg 3x ≥考虑到lg1.080>，故lg 3lg1.08x ≥，故lg 3lg 3108lg1082lg 100x ≥=-因为32lg108lg(32)3lg 32lg 2=⨯=+所以lg 30.477114.33lg 32lg 2230.477120.3012x ≥≈≈+-⨯+⨯-约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上【点睛】本题主要考查了利用指数函数模型解决实际问题，考查学生利用数学知识分析和解决问题的能力，属于中档题.17.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =，1b =；（2）单调递减，见解析；（3）(,1)-∞-【解析】【分析】（1）根据(0)0f =得到1b =，根据(1)(1)f f -=-计算得到2a =，得到答案.（2）化简得到11()221x f x =++，12x x <，计算()()210f x f x -<，得到是减函数.（3）化简得到212kx x <-，参数分离212x k x -<，求函数212()x g x x -=的最小值得到答案.【详解】（1）因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以(0)0f =，即102b a -+=+，所以1b =．又由(1)(1)f f -=-，即111214a a-+-=++，所以2a =，检验知，当2a =，1b =时，原函数是奇函数.（2）()f x 在R 上单调递减.证明：由（1）知11211()22221x x x f x +-==+++，任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，因为函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <，所以12220x x -<，又()()1221210x x ++>，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递减.（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)(12)f kx f x f x >--=-，因为()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-，即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有212x k x -<恒成立，设221211()2()x g x x x x -==-⋅，令1t x =，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦则有2()2h t t t =-，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以min min ()()(1)1g x h t h ===-，所以1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-.【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.18.已知R a ∈，函数()f x x x a =-．（1）当2a =时，求使()f x x ≥成立的x 的集合；（2）若()y f x =在区间[]1,2上的最大值为2，求实数a 的值；（3）求函数()y f x =在区间[]1,2上的最小值（用a 表示）．【答案】（1）(][)0,13,∞⋃-（2）1a =或（3）()min 1,10,1224,231,3a a a f x a a a a -≤⎧⎪<<⎪=⎨-≤<⎪⎪-≥⎩【解析】【分析】（1）分段求解不等式即可；（2）分在1,2,2a x x x ===三种情况处取最大值即可；（3）讨论对称轴的位置即可.【小问1详解】当=2时，()222,222,2x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩当2x <时，()()2f x x x x =-≥，解得[]0,1x ∈；当2x ≥时，()()2f x x x x =-≥，解得[)3,x ∞∈+．综上，所求解集为(][)0,13,x ∞∈⋃-【小问2详解】2y x ax=-（ⅰ）当(1)12f a =-=时，1a =-或3，1a =-时，2()f x x x =+在区间[12]，的最大值(2)6f =，舍去；3a =时，2()3f x x x =-在区间[12]，的最大值39(24f =，舍去；（ⅱ）当(2)422f a =-=时，1a =或3a =（舍）1a =时2()f x x x =-在区间[12]，的最大值(2)2f =，成立（ⅲ）222(2,[1,2],[2,4]24242a a a a a f a =-==∈∈时28,a a ==此时2()f x x =-在区间[12]，的最大值2f =，成立1a ∴=或【小问3详解】①当1a ≤时，在区间[]1,2上，()22224a a f x x ax x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，其图像是开口向上的抛物线，对称轴是2a x =，1a ≤ ，1122a ∴≤<，()min ()11f x f a ∴==-②当12a <<时，在区间[1，2]上()min 0,()0f x xx a f x =-≥=∣③当2a ≥时，在区间[]1,2上，()22224a a f x x ax x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，其图像是开口向下的抛物线，对称轴是2a x =，1°当()3122a ≤<即()23a ≤<时，()min ()224f x f a ==-．2°当322a ≥即3a ≥时，()min ()11f x f a ==-()min 1,10,1224,231,3a a a f x a a a a -≤⎧⎪<<⎪∴=⎨-≤<⎪⎪-≥⎩19.已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()22222f x x x g x m -=++⋅的最小值为3-，求实数m 的值；（3）若关于x 的方程()()211420f x k f x k k k ⎡⎤⎡⎤-+--++=⎣⎦⎣⎦有两根，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1-（2）52m =-（3）417k =或0k <或12k >【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，从而求得a 的值.（2）利用换元法化简()g x 的解析式，根据最小值列不等式来求得m 的值.（3）先判断()f x 的单调性，结合奇偶性、换元法以及判别式进行分类讨论，由此求得实数k 的取值范围.【小问1详解】由题意知()()2log 41x f x ax =++的定义域为R ，()()22()log 41()log 41x x f x ax f x ax --=+-==++，整理得()()222log 41log 410x x ax -++-+=，而()()()()222241441log 41log 41log log 41414x x x x x x x x---+⋅++-+==++⋅()22414log log 4241x x x x x +⋅===+，∴220,1ax x a +==-；【小问2详解】()2 ()log 41x f x x =+-，∴()()2222log 41log 41log 41log 2()2412222222x x x x x x x f x x x x+-+--+===+=+=，依题意，函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-，令22x x t -+=，222x x t -=+≥=，当且仅当0x =时等号成立.，故()()222h t t mt t =+-≥的最小值为﹣3，则()222223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩，或2222324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52m =-；【小问3详解】由()222411()log 41log log 222x xx x x f x x +⎫⎛=+-==+ ⎪⎝⎭，函数1y x x =+在区间[)1,+∞上单调递增，当0x ≥时，21x ≥，所以122x x y =+在[)0,+∞上单调递增，故当0x ≥时，函数()f x 单调递增，由函数()f x 为偶函数，可知函数()f x 的增区间为[)0,+∞，减区间为(),0-∞，令()1n f x =-，有()201log 210n f ≥-=-=，方程()()211420f x k f x k k k -+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦①，可化为()()2420n k n k k k +-++=，整理为22320n kn k k --+=②，()222942174k k k k k ∆=--+=-，（ⅰ）当0∆=时，0k =或417k =，0k =时，方程②的解为0n =，可得方程①仅有一个解为0x =；417k =时，方程②的解为617n =，可得方程①有两个解；（ⅱ）当0∆>时，可得417k >或0k <，令()2232g n n kn k k =--+，则()g n 有一正一负两根，2(0)20g k k =-+<,12k ∴>或0k <.∴综上所述417k =或0k <或12k >.【点睛】易错点睛：奇偶性判断的准确性：在判断函数的奇偶性时，需要明确函数形式在x 和x -的相等关系.若判断不准确，后续的推导过程会出现偏差.最小值条件的应用：在应用最小值条件求解参数时，需要注意不等式的建立和换元过程，容易因为漏掉某些条件而导致错误.分类讨论的完整性：对于方程根的讨论，确保分类情况的完整性是关键，否则会遗漏部分解，导致最终结果不正确.。
安徽省2024-2025学年高一上学期11月期中教学质量检测数学试题(含答案)
安徽省2024-2025学年高一上学期11月期中教学质量检测数学试题考试时间：120分钟满分150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.下列集合中表示同一集合的是（）A. B.C. D.2.若，则下列不等式不能成立的是（）A. B.C. D.3.不等式的解集为A.或B.或C.或D.4.函数的图象可能是（）A. B. C. D.5.已知，则（）A.27B.18C.15D.256.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.7.已知是偶函数，且其定义域为，则（）A. B.-1 C.1 D.78.已知函数，若存在，且两两不相等，则的取值范围为A. B. C.[0，1] D.{(3,2)},{(2,3)}M N=={4,5},{5,4}M N=={(,)1},{1}M x y x y N y x y=+==+=∣∣{1,2},{(1,2)}M N==a b<<||||a b>2a ab>11a b>11a b a>-23540x x-+->{3x x≤-∣2}x≥{3x x≤-∣1}x≥{31x x-≤≤∣2}x≥∅1(0,1)xy a a aa=->≠13a a-+=33a a-+=()f x=(,3]-∞-[1,1]-(,1]-∞-[1,)-+∞2()35f x ax bx a b=+-+[61,]a a-a b+=1725,0()22,0x xf xx x x->⎧=⎨+-≤⎩()()()123f x f x f x==123x x x、、123x x x++()(1,1)-(1,1]-(0,1]二、多选题：本题共3小题，共18分.9.（多选）下列说法正确的有（ ）A.命题，则B.“”是“”成立的充分条件C.命题，则D.“”是“”的必要条件10.若正实数a ，b 满足，则下列说法正确的是（ ）A.ab 有最大值C.有最小值4 D.11.对于函数的定义域中任意的，当时，如下结论正确的是（ ）A. B.C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“对任意，都有”的否定是_______________.13.已知，求函数的最小值是_______________.14.已知是上的增函数，则实数的取值范围是_______________.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.（本小题13分）已知集合，集合.（1）求;（2）设集合，且，求实数的取值范围.16.（本小题15分）已知二次函数.（1）若的解集为，求a ，b 的值;（2）若f （x ）在区间上单调递增，求的取值范围.:,(0,1),2p x y x y ∀∈+<0000:,(0,1),2p x y x y ⌝∃∈+≥1,1a b >>1ab >2:,0p x R x ∀∈>2:,0p x R x ⌝∃∈<5a <3a <1a b +=14+11a b+22a b +()f x ()1212,x x x x ≠()2xf x =()()()1212f x x f x f x +=⋅()()()1212f x x f x f x ⋅=+()()12120f x f x x x ->-()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭x R ∈20x ≥54x >14245y x x =-+-2,1()4,12x a x f x a x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩R a {22}A xx =-∣……{1}B x x =>∣()R B A ⋂ð{6}M xa x a =<<+∣A M M ⋃=a 2()3()f x x ax a R =--∈()0f x <{3}xx b -<<∣[2,)-+∞a17.（本小题15分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为x m ，宽为y m.（1）若菜园面积为18m 2，则当x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小?并求出最小值.（2）若使用的篱笆总长度为16m ，则当x ，y 为何值时，可使菜园面积最大?并求出最大值.18.（本小题17分）已知函数在上是偶函数，当时，，（1）求函数在上的解析式；（2）求单调递增区间和单调递减区间;（3）求在的值域.19.（本小题17分）已知函数对任意实数x ，y 恒有，且当时，，又.（1）判断的奇偶性；（2）求证：是上的减函数并求函数在区间上的最大值;（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.()f x R 0x (2)()23f x x x =+-()f x R ()f x ()f x [4,4]-()f x ()()()f x y f x f y +=+0x >()0f x <(1)2f =-()f x ()f x R ()f x [3,3]-x R ∈()23()4f axf x <+a高一期中考试数学参考答案1.B2.D3.D4.D5.B6.B7.A8.D 7.A 8.D9.ABD 10.AC 11.ACD12.存在，使得13.514.[4，8）14.解:（1）由已知，又，所以;（2）因为，所以，又，所以，解得.所以的取值集合为.16.解:（1）的解集为，和是方程的两根，由根与系数关系得:;.（2）的对称轴为且在区间上单调递增，;.17.解：（1）由已知可得，而篱笆总长为;又因为，当且仅当时，即时等号成立所以菜园的长为6m ，宽为3m 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为12;0x R ∈200x ≤{1}R B x x =≤∣ð{22}A x x =-∣……(){21}R B A xx ⋂=-∣......ðA M M ⋃=A M ⊆{22},{6}A x x M x a x a =-=<<+∣∣ (62)2a a +>⎧⎨<-⎩42a -<<-a {42}a a -<<-∣()0f x < {3}x x b -<<∣3∴-b 230x ax --=∴3,33b a b -+=-⨯=-2,1a b ∴=-=()f x 2ax =()f x [2,)-+∞22a∴≤-4a ∴≤-18xy =2L x y =+212x y +≥=2x y =6,3x y ==x y（2）由已知得，而菜园面积为，则，当且仅当即时取等号，菜园的长为8m ，宽为4m 时，可使菜园面积最大，最大值为32.18.解:（1）当时，，函数是偶函数，当时，，.（2）由（1）可画出函数在上的图像，如图所示，则的单调递增区间为和，单调递减区间为和.（3）由函数的定义域为，由（2）中所作函数图象可知，当或时，取得最小值，当或时，取得最大值，故函数的值域.19.（1）解:取，则，，取，则，216x y +=S xy =2112232222x y S xy x y +⎛⎫==⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭2x y =8,4x y ==∴x y 0x (2)()23f x x x =+- ()y f x =0x >20,()()23x f x f x x x -<∴=-=--22230()230x x x f x x x x ⎧+-∴=⎨-->⎩…()y f x =R ()f x (1,0)-(1,)+∞(,1)-∞-(0,1)()y f x =[4,4]-1x =1x =-(1)(1)4f f =-=-4x =4x =-(4)(4)5f f =-=()f x [4,5]-0x y ==(00)2(0)f f +=(0)0f ∴=y x =-()()()f x x f x f x -=+-对任意恒成立，为奇函数.（2）证明:任取且，则，，又为奇函数，.故为上的减函数;为上的减函数，在区间上的最大值为，，故在上的最大值为6.（3）解:为奇函数，且，整理原式得，即可得，而在上是减函数，所以即恒成立，①当时不成立，②当时，有且，即，解得.故的取值范围为.()()f x f x ∴-=-x R ∈()f x ∴12,(,)x x ∈-∞+∞12x x <()()()2121210,0x x f x f x f x x ->+-=-<()()21f x f x ∴<--()f x ()()12f x f x ∴>()f x R ()f x R ()f x ∴[3,3]-(3)f -(3)3(1)236,(3)(3)6f f f f ==-⨯=-∴-=-=()f x [3,3]-()f x (2)(2)2(1)4f f f -=-=-=()22()()(2)f ax f x f x f +-<+-()2(2)()(2)f axf x f x f +-<+-()22(2)f ax x f x -<-()f x R 222ax x x ->-2320ax x -+>0a =0a ≠0a >0< 0980a a >⎧⎨-<⎩98a >a 9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。