2016届中考数学二轮复习：专题二方程(组)与不等式(组)高品质版
中考数学复习 第二单元 方程(组)与不等式(组)第06课时 一元二次方程及其应用课件
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
(续表)
应用类型
等量关系
面积问题
AB+BC+CD=a
S阴影=⑨ (a-2x)(b-2x)
S阴影=⑩(a-x)(b-x)
第八页，共三十四页。
S阴影= ⑪
-
·x
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对点演练
题组一 必会题
1.若关于x的方程(fāngchéng)(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是 (
耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为 3 m2
(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为 x m,下列方程符合题意的
A.16(1+2x)=25
B.25(1-2x)=16
)
[答案] D
[解析]一种药品原价每盒25元,两次降价的百分
率都为x,所以第一次降价后的价格用代数式表
示为25(1-x),第二次降价后的价格用代数
式表示为25(1-x)·(1-x)=25(1-x)2,根据题意可
列方程为25(1-x)2=16,故选D.
C.16(1+x)2=25
D.25(1-x)2=16
第二十六页，共三十四页。
基
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探
究
角度( jiǎodù)2 图形面积问题
例4 [2018·安徽名校模拟] 如图6-2,某街道办事处把一块矩形空地进行绿化.已知该矩形空地
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 分式方程及其应用
③若分式方程的解为正数，则 a 的取值范围为 aa＞＞－－4 且4且a a≠≠11；
yy－－33≠≠00，，
【 分 层 分 析 】 若 分 式 方 程 的 解 为 正 数 ， 则 yy＞＞00 ， 即
3533aaa＋5＋＋5513112a22－＋－＞3130≠2≠00，，
， ＞0
解得 aa＞＞－－4 且4且a a≠≠1.1
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2022·普宁月考)若分式方程2xx－－1a－4＝－x2＋x＋1 a的解为整数，则整
数 a 的值为
(D )
A．±2
B．±1 或±2
C．1 或 2
D．±1
4．(2022·富川县模拟)关于 x 的分式方程2m－＋xx＋x－3 2＝1 有解，则实数
m 应满足的条件是 A．m＝－1
1．(2022·鼓楼区期末)关于 x 的分式方程x＋m 3＝1，下列说法中正确的
是
( B)
A．方程的解是 x＝m－3
B．当 m＞3 时，方程的解是正数
C．当 m＜3 时，方程的解为负数
D．当 m＝3 时，方程无解
2．(2022·荷塘区模拟)分式方程2x＋x－a 1＝2 的解为 x＝2，则 a 的值为 ( A)
④若分式方程有负分数解，则 a 的值可以为 －－5(5答(答案不案唯不一唯) ；
【分层分析】若分式方程有负分数解，则 3a＋一12)＝－－1，1，－2－，－2，3，－－34，，
4－，6 －…，解得 6…
a＝3－133，－134，－153，－136或－6…－，∴a
的值可以为
－55.
⑤若分式方程有非负整数解，则 a 的值可以为 －－44(答(答案不案唯不唯一) . 【解分得层a＝分3－析4】，若－分73式，方－程23，1有383非，负133整或数…解，则，3a∴＋5a一1的2＝)值00或可，，1以…，1为2，，－－42，，454.4或，…5，
初中数学中考二轮复习重难突破专题10 方程(组)与不等式(组)(含答案)
专题10 方程（组）与不等式（组）重点分析在中考，不等式的性质常在选择题中考查；一元一次不等式的解法及其数轴上的表示常在选择题、填空题和计算题中考查；一元一次不等式的应用常结合二元一次方程、分式方程或一元二次方程在解答题形式中考查。
难点解读难点一：不等式的基本性质（或（或难点二：一元一次不不等式的解法及解集表示难点三：一元一次不等式组的解集类型及表示【提分要点】难点四：列不等式解应用题的步骤≥真题演练1.若关于x 的一元二次方程有实数根，则字母k 的取值范围是（）A.B.且C.D.且【答案】D 【解析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，解得且k≠0．故选：D ．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．2.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，，有下列结论：①；②；③二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则．其中，正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】将已知的一元二次方程整理为:一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断.【详解】一元二次方程化为一般形式得：，∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，∴，∴，故②正确；∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，∴，，而选项①中，只有在m=0时才能成立，故①错误；二次函数y=====，当y=0时，=0，∴x=2或x=3，∴抛物线与x轴的交点为（2,0）与（3,0），即a=2，b=3，∴a+b=2+3=5，故③正确，故选：C.【点拨】此题考查已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系式，二次函数图象与坐标轴交点，根与系数的关系公式及根的判别式公式是解此题中的关键计算.3.已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根【答案】A【解析】由数轴可知：，，然后计算根的判别式的值即可得出答案．【详解】由数轴可知：，；∴；∴有两个不相等的实数根故选：A【点拨】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题．4.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. x2＝2xB. x2－2x＝－1C. 2x2－1＝xD. 2x2－2x+1＝0【答案】D【解析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值，取其小于零的选项即可得出结论．【详解】解：A.∵x2＝2x∴x2-2x＝0∴△=（-2）2-4×1×0=4＞0，∴一元二次方程x2-2x=0有两个不相等的实数根，故不符合题意；B.∵x2－2x＝－1∴x2－2x+1＝0∴△=(-2)2-4×1×1=0，∴一元二次方程x2－2x＝－1有两个相等的实数根，故不符合题意；C.∵2x2－1＝x∴2x2－x -1＝0∴△=（-1）2-4×2×（-1）=90，∴一元二次方程2x2－1＝x有两个不相等的实数根，故不符合题意；D.∵△=（-2）2-4×2×1=-4<0，∴一元二次方程2x2－2x+1＝0没有实数根，故符合题意．故选：D．【点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．5.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．【详解】解：由题意得：，故选A【点拨】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．6.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：．故选：B．【点拨】本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．7.《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（）A. x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2B. 2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2C. x2＝42＋（x﹣2）2D. x2＝（x﹣4）2＋22【答案】A【解析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．【详解】解：根据勾股定理可得：x2=（x-4）2+（x-2）2，故选：A．【点拨】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．8.如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和B分别代表的是（ ）A. 分式基本性质，最简公分母=0B. 分式的基本性质，最简公分母≠0C. 等式的基本性质2，最简公分母=0D. 等式的基本性质2，最简公分母≠0【答案】C【解析】根据解分式方程的步骤，可得答案．【详解】去分母得依据是等式基本性质2，检验时最简公分母等于零，原分式方程无解.故答案选：C.【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练的掌握解分式方程的方法.9.若关于x的方程的一个根为1，则代数式的值为__________．【答案】-1．【解析】把x=1代入方程，整体求值即可．【详解】解：关于x的方程的一个根为1，代入得，，移项得，，故答案为：-1．【点拨】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是明确方程解的概念，代入未知数的值求代数式的值．10.若方程组的解适合x+y=2，则k的值为_____．【答案】3【解析】分析：根据等式的性质,可得关于k的方程,根据解方程,可得答案.详解：两式相加,得3(x+y)=3k-3, 由x+y=2, 得 3k-3=6,计算得出k=3,故答案为3.点睛：本题考查了二元一次方程组的解，利用等式的性质得出3(x+y)=3k-3是解答本题的关键.11.写出一个解集为的不等式组：____________．【答案】【解析】根据不等式的性质对进行变形，“同大取大，同小取小”，从而可得出另一个不等式为，即可得出一个满足条件的不等式组．【详解】由不等式的性质：由可得；所以可得另一个不等式：；所以不等式组为；故答案为：【点拨】本题主要考查不等式的性质、熟悉求解一元一次不等式组的过程，要求学生能够熟练地掌握不等式的性质、解一元一次不等式组的方法，属于基础知识题．12.不等式组的最大整数解为_____．【答案】1【解析】首先分别求出每一个不等式的解集，得出不等式组的解集，进一步得出最大整数解即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，所以不等式组的解集为，最大整数解为1．故答案为：1．【点拨】此题考查求不等式组的整数解，求出不等式组的解集是解决问题的关键．13.关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是____________.【答案】8⩽a<13；【解析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解不等式3x−5>1，得：x>2，解不等式5x−a⩽12,得：x⩽，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4⩽<5，解得：8⩽a<13，故答案为8⩽a<13【点拨】此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键14.解方程：x2﹣4x+3=0．【答案】x1=1，x2=3．【解析】【详解】试题分析：本题考查了一元二次方程的解法，用十字相乘法分解因式求解即可.解：x2﹣4x+3=0（x﹣1）（x﹣3）=0x﹣1=0，x﹣3=0x1=1，x2=3．15.（2021年河南省淮滨县第一中学中考九年级数学模拟试题）解不等式组：【答案】【解析】分别求出每一个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可.【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：∴不等式组的解集为：.【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法.16.已知两人各自每天所读页数相同．读书天数12345页码之差7260483624页码之和152220424（1）表中空白部分从左到右2个数据依次为，；（2）小明、小红每人每天各读多少页？（3）已知这本名著有488页，问：从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读几页，才能确保第10天结束时还不被小红超过？（答案取整数）【答案】（1）288，356．（2）小明每天读28页，小红每天读40页．（3）小明至少平均每天要比原来多读8页，才能确保第10天结束时还不被小红超过．【解析】（1）第一天两人一共读了152-84=68页，故第三天页码之和=220+68=288页，第四天页码之和=288+68=356页；（2）小明每天读x页，小红每天读y页．由题意，解方程组即可解决问题；（3）从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读m页．由题意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解不等式即可解决问题.【详解】（1）第一天两人一共读了152-84=68页，故第三天页码之和=220+68=288页，第四天页码之和=288+68=356页，故答案为288，356．（2）小明每天读x页，小红每天读y页．由题意，解得，答：小明每天读28页，小红每天读40页．（3）从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读m页．由题意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解得m≥7.2，∵m是整数，∴m=8，∴小明至少平均每天要比原来多读8页，才能确保第10天结束时还不被小红超过．【点拨】本题考查一元一次不等式、二元一次方程组等知识，解题的关键是读懂表格中的信息，学会利用参数构建方程组或不等式解决问题．。
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
重难点 2：一元一次不等式的应用 在某次篮球联赛初赛阶段，每队共有 10 场比赛，每场比赛都要分出
胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分，积分超过 15 分才能获得参加 决赛资格． (1)已知甲队在初赛阶段的积分为 18 分，求甲队初赛阶段胜、负各多少 场； (2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少 场？
4．对于带有单位的应用题，设未知数和答时要带单位． 评分说明： (1)正确地设未知数并列出方程或方程组得 2 分； (2)方程或方程组解答正确得 1 分，解答的具体过程不是得分点，可以省 略；
(3)写出“答”得 1 分； (4)正确地设未知数并列出不等式得 2 分； (5)解不等式的过程不是得分点，可以省略，正确地写出不等式的解得 1 分； (6)正确地写出“答”得 1 分．
(1)【教你审题】设甲队初赛阶段胜 x 场，负 y 场．
原题信息
整理后的信息
在某次篮球联赛初赛阶段，每队共 x＋y＝10
有 10 场比赛
每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分， 2x＋y＝18
甲队在初赛阶段的积分为 18 分
解：设甲队初赛阶段胜 x 场，负 y 场，由题意得，
x＋y＝10， 2x＋y＝18，(2 分)
积分超过 15 分才能获得参加决赛 2a＋(10－a)>15
资格，乙队要获得参加决赛资格
解：设乙队初赛阶段胜 a 场，则负(10－a)场，由题意得， 2a＋(10－a)>15，(6 分) 解得 a>5.(7 分) 答：乙队在初赛阶段至少要胜 6 场．(8 分)
1．设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”等不能出现，即应给出 肯定的未知数的设法． 2．对于不等式的应用，应注意一些关键词语，从而建立不等式模型，例 如“不少于≥”“不超过≤”“至少≥”“最多≤”“不高于≤”等． 3．不等式的应用还需要验根，题目中用字母表示的量要符合实际意义， 如人数是正整数，时间不能为负数等．
中考数学复习《方程(组)与不等式(组》测试题(含答案)
中考数学复习《方程(组)与不等式(组》测试题（含答案）一、选择题1.下列数值中不是不等式5x ≥2x ＋9的解的是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 22.将不等式3x －2＜1的解集表示在数轴上，正确的是( )3.若关于x 的方程x 2－2x ＋c ＝0有一根为－1，则方程的另一根为( ) A. －1 B. －3 C. 1 D. 34.已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍，设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，列方程组正确的是( ) A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2yB. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7y ＝2x C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7x ＝2y D. ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7y ＝2x5.已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为( ) A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 6.若关于x 的方程x ＋m x －3＋3m 3－x＝3的解为正数，则m 的取值范围是( ) A. m <92 B. m <92且m ≠32 C. m >－94 D. m >－94且m ≠－347.定义新运算：a ★b ＝a (1－b )，若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜1)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 与m 无关8.在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学误将3x 看成了8x ，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是( )A. 13x ＝18x －5B. 13x ＝18x ＋5C. 13x ＝8x －5D. 13x ＝8x ＋5 9.如图，某小区有一块长为18 m ，宽为 6 m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x m ，则可列出关于x 的方程是( )A. x 2＋9x －8＝0 B. x 2－9x －8＝0 C. x 2－9x ＋8＝0 D. 2x 2－9x ＋8＝010.从－3，－1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a .若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧13（2x ＋7）≥3x －a ＜0无解，且使关于x 的分式方程x x －3－a －23－x ＝－1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是( )31二、填空题11.一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是________元． 12.分式方程1x －2＝3x的解是________． 13.已知A ，B 两地相距160 km ，一辆汽车从A 地到B 地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4 h 到达，则这辆汽车原来的速度是________km/h.14.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞12x －1≤8－x 的最大整数解是________．15.若方程(x －m )(x －n )＝3(m ，n 为常数，且m ＜n )的两实数根分别为a 、b (a ＜b )，则m 、n 、a 、b 的大小关系为______________． 16.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3bx ＋ay ＝－7的解，则代数式(a ＋b )(a －b )的值为________．17.已知关于x 的方程2x ＝m 的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3－n x ＋2y ＝5n (0<n <3)，若y >1，则m 的取值范围是________．三、解答题18.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧9x 2－4y 2＝36x －y ＝2.19.解方程：2x ＋3＝1x －1.20.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3（x －1）12x ≤8－32x ＋2a 有四个整数解，求实数a 的取值范围．21.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －3＜4x4（x ＋1）＋2≥x ，并把它们的解集在数轴上表示出来．22.关于x 的两个不等式①3x ＋a2<1与②1－3x >0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值； (2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．23.已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0. (1)若此方程的一个根为1，求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．24.某校学生利用双休时间去距学校10 km 的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min 后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．25.某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队中选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？26.春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．27.为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，2016年投入教育经费8640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县将投入教育经费多少万元？28.五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同．(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？(2)经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求量的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？29.倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．(1)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？(2)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？30.如图，一块长5米、宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780.(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．方程(组)与不等式(组)阶段测评1. D 【解析】不等式5x ≥2x ＋9的解集是x ≥3，因此2不是这个不等式的解，故选D.2. D 【解析】3x －2<1，解得x <1，故选D.3. D 【解析】设方程的另一个根为x 2，则根据根与系数关系有－1＋x 2＝2，解得x 2＝3.4. A【解析】根据题意可得等量关系：①甲数＋乙数＝7，②甲数＝乙数×2，根据等量关系列出方程组即可．设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，可列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2y，故选A.5. D 【解析】∵3是方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，∴9－3(m ＋1)＋2m ＝0，解得m ＝6，∴方程为x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，若等腰△ABC 的腰长为3，底边长为4，则其周长为3＋3＋4＝10；若等腰△ABC 的腰长为4，底边长为3，则周长为4＋4＋3＝11.6. B 【解析】由x ＋m x －3＋3m 3－x ＝3，得x ＋m x －3－3m x －3＝3，解得x ＝9－2m 2，解方程组⎩⎨⎧9－2m2>09－2m2≠3，得m <92且m ≠32，故选B.7. A 【解析】∵a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0的两根，∴a 2－a ＝－14m ，b 2－b ＝－14m ，∴b ★b －a ★a＝b (1－b )－a (1－a )＝b －b 2－a ＋a 2＝－(b 2－b )＋(a 2－a )＝14m －14m ＝0.8. B 【解析】根据题意可知：8x 的倒数18x 比3x 的倒数13x 小5，所以可列方程为13x ＝18x ＋5.9. C 【解析】因为人行道的宽度为x 米，所以阴影部分的长为(18－3x )米，宽为(6－2x )米，故阴影部分面积为(18－3x )(6－2x )＝60，化简得x 2－9x ＋8＝0.故选C.10. B 【解析】解不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x <a，∵原不等式组无解，∴a ≤1，则a 不能取五个已知值中的3；解分式方程得x ＝5－a 2，又∵分式方程有整数解，∴5－a 2为整数，且5－a 2≠3，∴a 只能从－3，－1，12，1中取－3，1，所以满足条件的a 的值的和为－3＋1＝－2.11. 180 【解析】设成本为x 元，由题意得：300×0.8－x ＝60，解得x ＝180.12. x ＝3 【解析】去分母，两边同乘x(x －2)得x ＝3(x －2)，去括号得x ＝3x －6，移项并合并同类项得x ＝3，经检验x ＝3是原分式方程的根．13. 80 【解析】设这辆汽车原来的速度是x km /h ，根据题意得：160x －160（1＋25%）x ＝0.4，解得x ＝80，经检验x ＝80是原方程的根．14. 3 【解析】由x ＋2＞1得x ＞－1，由2x －1≤8－x 得x ≤3，所以原不等式组的解集是－1＜x ≤3，最大整数解为x ＝3.15. a ＜m ＜n ＜b 【解析】如解图，解方程(x －m)(x －n)＝3可以看作是求y ＝(x －m)(x －n)与y ＝3这两个函数图象的交点，由解图易得a ＜m ＜n ＜b.16. －8 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3bx ＋ay ＝－7的解，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＝3 ①3b －2a ＝－7 ②，①＋②得a ＋b ＝－4，①－②得5a －5b ＝10，则a －b ＝2，∴(a ＋b)(a －b)＝－4×2＝－8.17. 25＜m ＜23 【解析】解原方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n ＋2y ＝2n －1.∵y ＞1，∴2n －1＞1，即n ＞1.∵0＜n ＜3，∴1＜n ＜3，∴3＜x ＜5.当x ＝3时，m ＝2x ＝23；当x ＝5时，m ＝2x ＝25.∵当x ＞0时，m 随x 的增大而减小，∴25＜m ＜23.18. 【思路分析】利用代入消元法，将方程②变为y ＝x －2，将此方程代入方程①求x ，进而求出y.解：⎩⎪⎨⎪⎧9x 2－4y 2＝36①x －y ＝2 ②，将②变形为y ＝x －2 ③，将③代入①得：9x 2－4(x －2)2＝36， 化简得：5x 2＋16x －52＝0，将方程左边因式分解得：(x －2)(5x ＋26)＝0， 解得x ＝2或x ＝－265，将x ＝2代入方程②得y ＝0； 将x ＝－265代入方程②得y ＝－365.综上所述，原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－265y ＝－365.19. 解：去分母，得2(x －1)＝x ＋3， 去括号、移项、合并同类项，得x ＝5， 经检验，x ＝5是原方程的根． ∴原方程的解为x ＝5.20. 解：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3（x －1） ①12x ≤8－32x ＋2a ②， 解不等式①得x ＞－52，解不等式②得x ≤a ＋4，由不等式组的解集有四个整数解，得1≤a ＋4＜2， ∴－3≤a ＜－2.21. 解：解不等式5x －3<4x 得x<3， 解不等式4(x ＋1)＋2≥x 得x ≥－2， ∴不等式组的解集为－2≤x<3. 解集在数轴上表示如解图所示：22. 解：解不等式①，得x<2－a3，解不等式②，得x<13.(1)∵两个不等式的解集相同， ∴2－a 3＝13， ∴a ＝1.(2)∵不等式①的解都是不等式②的解， ∴2－a 3≤13， ∴a ≥1.23. (1)解：将x ＝1代入x 2＋mx ＋m －2＝0，得 12＋1×m ＋m －2＝0， 解得m ＝12.(2) 证明：一元二次方程x 2＋mx ＋m －2＝0的根的判别式为： b 2－4ac ＝m 2－4(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4. ∵不论m 取何实数，(m －2)2≥0， ∴(m －2)2＋4＞0，即b 2－4ac ＞0，∴不论m 取何实数，原方程都有两个不相等的实数根．24. 解：设骑车学生的速度为x km /h ，则汽车的速度为2x km /h ，可得：10x ＝102x ＋2060，解得x ＝15，经检验x ＝15是原方程的解，汽车的速度为：2x ＝2×15＝30 km /h ，答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是15 km /h ，30 km /h . 25. 解：设甲队单独完成此项工程需x 天，则乙队需(x ＋5)天， 依据题意可以列方程： 1x ＋1x ＋5＝16， 解得x 1＝10，x 2＝－3(舍去)，经检验x ＝10是原方程的解；设甲队每天的工程费用为y 元，则乙队每天的工程费用为(y －4000)元，依据题意得： 6y ＋6(y －4000)＝385200， 解得y ＝34100，∴甲队单独完成此项工程费用为：34100×10＝341000元 ， 乙队单独完成此项工程费用为：30100×15＝451500元 ， ∵341000＜451500，∴选择甲工程队．答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队．⎪⎧2x ＋3y ＝270解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30y ＝70，答：甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为70元． (2)设商场购进甲种商品a 件，则购进乙种商品为(100－a)件，利润为w 元．根据题意得a ≥4(100－a)， 解得a ≥80，由题意得w ＝(40－30)a ＋(90－70)(100－a)＝－10a ＋2000， ∵k ＝－10＜0，∴w 随a 的增大而减小，∴当a 取最小值80时，w 最大＝－10×80＋2000＝1200(元)，∴100－a ＝100－80＝20(件)．答：当商场购进甲种商品80件，乙种商品20件时，获利最大，最大利润为1200元． 27. 解：(1)设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意得： 6000(x ＋1)2＝8640，解得x 1＝－2.2(舍去)，x 2＝0.2答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%. (2)2017年该县投入教育经费为： 8640×(0.2＋1)＝10368(万元)，答：预算2017年该县将投入教育经费为10368万元．28. 解：(1)设乙种救灾物品每件x 元，则甲种救灾物品每件(x ＋10)元，由题意得： 350x ＋10＝300x， 解得x ＝60，经检验x ＝60是原方程的解，∴x ＋10＝70(元)．答：甲、乙两种救灾物品每件的价格分别为70元、60元． (2)70×2000×14＋60×2000×34＝125000(元)．答：需筹集资金125000元．29. 解：(1)设购买A 种型号健身器材x 套，B 种型号健身器材y 套，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50310x ＋460y ＝20000， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝30.答：购买A 种型号健身器材20套，B 种型号健身器材30套． (2)设购买A 种型号健身器材z 套，根据题意得： 310z ＋460(50－z)≤18000， 解得z ≥3313.∵z 为整数，∴z 的最小值为34.答：A 种型号健身器材至少要购买34套．11 重叠部分的面积”， 列方程求解即可．解：设配色条纹的宽度为x 米，由题意得5x ×2＋4x ×2－4×x 2＝1780×4×5， 解得：x ＝14或x ＝174(不合题意舍去)． 答：配色条纹的宽度为14米． (2)解：由题意得地毯的总造价为：1780×4×5×200＋(1－1780)×4×5×100＝850＋1575＝2425(元)， 答：地毯的总造价为2425元．。
中考数学复习考点知识与题型专题讲义16--- 二次函数与不等式(组)(提高篇)
中考数学复习考点知识与题型专题讲义16 二次函数与不等式（组）（提高篇）1．关于x的二次函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）和一次函数y2＝x+2．（1）求证：函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点．（2）已知函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，①试求此时k的值；②若y1＞y2，试求x的取值范围．【分析】（1）证明△＝b2﹣4ac≥0，便可得结论；（2）①函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，根据根与系数的关系列出k的方程，便可求解；②分k＝1和k=−15两种情况，依据y1＞y2列出关于x的不等式，解之可得．【解答】解：（1）∵△＝（2k﹣1）2+8k＝4k2﹣4k+1+8k＝4k2+4k+1＝（2k+1）2≥0，∴函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点；（2）①设kx2+（2k﹣1）x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2=−2k−1k，x1x2=−2k，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(2k+1)2k2，∵函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，∴|x1﹣x2|＝3，∴(2k+1)2k2=32，解得，k＝1或k=−1 5；②当k＝1时，y1＝（x+2）（x﹣1），y2＝x+2∵y1＞y2，∴（x+2）（x﹣1）＞x+2，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得：x＜﹣2或x＞2；当k=−15时，∵y1＞y2，∴−15（x+2）（x+5）＞x+2，即（x+2）（x+10）＜0，解得：﹣10＜x＜﹣2．【点评】本题主要考查二次函数与不等式组及二次函数与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．已知二次函数y1=−12x2+bx+c（b，c是常数）与一次函数y2＝kx+c（k是常数，k≠0）．（1）若y1的图象与x轴只有一个交点（2，0），求b，c的值；（2）若y1的图象可由抛物线y＝ax2+2c（a是常数，a≠0）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出y1的函数关系式；（3）若k+b＝3，当x≥2时，y1＜y2恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴x=−b2a=b＝2，当x＝2时，y1＝0，即可求解；（2）由平移的性质即可求解；（3）两个函数交点的横坐标为2或2b﹣2k，当x≥2时，y1＜y2恒成立，即：2b﹣2k≥2，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴x=−b2a=b＝2，当x＝2时，y1=−12x2+bx+c＝﹣2+4+c＝0，解得：c＝﹣2，故b＝2，c＝﹣2；（2）由题意得：a=−12，则y=−12（x+2）2+2c+1=−12x2﹣2x+2c﹣1=−12x2+bx+c，故2c﹣1＝c，解得：c＝1，故抛物线的表达式为：y=−12x2﹣2x+1；（3）联立两个函数的表达式并整理得：x2＝2b﹣2kx，解得：x＝0或2b﹣2k，又∵k+b＝3，故两个函数的交点的横坐标为0或6﹣4k，当6﹣4k≤0时，即k≥1.5时，恒有y1＜y2；当0＜k＜1.5时，6﹣4k≤2，即1≤k＜1.5；当k＜0时，6﹣4k≤2，解得k≥1，故无解；当k＝1时，b＝2，当x＝2时，有y1＝y2，综上，k＞1．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．3．如图，抛物线y1＝ax2+c的顶点为M，且抛物线与直线y2＝kx+1相交于A、B两点，且点A在x 轴上，点B的坐标为（2，3），连结AM、BM．（1）a＝1，c＝﹣1，k＝1（直接写出结果）；（2）当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2（直接写出结果）；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出△ABP 的最大面积及点P坐标．【分析】（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1求得k值；再令y2＝0，可求得点A的坐标；将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c，解方程组可求得a和c的值；（2）由A（﹣1，0）、B（2，3），结合函数图象可得答案；（3）如图，设平行于直线y2＝x+1的直线解析式为：y3＝x+b，则该直线与抛物线在第四象限相切时，△ABP的面积最大，由一元二次方程的根的判别式可求得b值，从而可得点P坐标及y3＝x+b 的解析式，从y3＝x+b与x轴的交点C向直线y2＝kx+1作垂线段CD，在等腰直角三角形△ACD 中，可求得CD的长；求得AB的长，利用三角形的面积公式，可得答案．【解答】解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1得：3＝2k+1解得：k＝1∴y2＝x+1令y2＝0得：0＝x+1解得：x＝﹣1∴A（﹣1，0）将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c得：{0=a+c3=4a+c解得：a＝1，c＝﹣1故答案为：1，﹣1，1；（2）∵A （﹣1，0）、B （2，3）∴结合图象可得：当y 1＜y 2时，则x 的取值范围为﹣1＜x ＜2故答案为：﹣1＜x ＜2；（3）在直线AB 下方的抛物线上存在一点P ，使得△ABP 的面积最大．如图，设平行于直线y 2＝x +1的直线解析式为：y 3＝x +b由{y 2=x 2−1y 3=x +b得：x 2﹣1＝x +b ∴x 2﹣x ﹣1﹣b ＝0令△＝0得：1﹣4（﹣1﹣b ）＝0解得：b =−54∴y 3＝x −54，∴x 2﹣x ﹣1+54=0解得：x 1＝x 2=12∴P （12，−34） ∴当点P 坐标为（12，−34）时，△ABP 的面积最大 设y 3＝x −54与x 轴交于点C ，则点C 坐标为：（54，0），过点C 作CD ⊥AB 由平行线间的距离处处相等，可知线段CD 的长度即为△ABP 的高的长度∵y 2＝x +1与x 轴所成锐角为45°∴△ACD 为等腰直角三角形∵AC =54−（﹣1）=94∴CD =√2=94√2=9√28 ∵A （﹣1，0）、B （2，3）∴AB =√(2+1)2+32=3√2∴△ABP 的面积为：12×3√2×9√28=278∴在直线AB 下方的抛物线上存在一点P ，使得△ABP 的面积最大；△ABP 的最大面积为278；点P坐标为（12，−34）．【点评】本题考查了求一次函数、二次函数的解析式中的相关字母、构成的三角形的面积最大值的动点的存在性、二次函数与不等式的关系、抛物线与直线的交点个数与一元二次方程的实数根的关系等知识点，具有一定的综合性与难度．4．已知在同一平面直角坐标系中有函数y 1＝ax 2﹣2ax +b ，y 2＝﹣ax +b ，其中ab ≠0．（1）求证：函数y 2的图象经过函数y 1的图象的顶点；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点为M ，若点M 关于y 轴的对称点M '在函数y 1图象上，求a ，b 满足的关系式；（3）当﹣1＜x ＜1时，比较y 1与y 2的大小．【分析】（1）将函数y 1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y 2的解析式中，即可证得结论；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点M （m ，0），则点M 关于y 轴的对称点M '（﹣m ，0），根据图象上点的坐标特征得出{−am +b =0am 2+2am +b =0，解得b ＝﹣3a ； （3）两函数解析式做差，即可得出y 1﹣y 2＝ax （x ﹣1），根据x 的取值范围可得出x （x ﹣1）的符号，分a ＞0或a ＜0两种情况考虑，即可得出结论．【解答】解：（1）证明：∵y 1＝ax 2﹣2ax +b ＝a （x ﹣1）2﹣a +b ，∴函数y 1的顶点为（1，﹣a +b ），把x ＝1代入y 2＝﹣ax +b 得，y ＝﹣a +b ，∴函数y 2的图象经过函数y 1的图象的顶点；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点M （m ，0），则点M 关于y 轴的对称点M '（﹣m ，0），由题意可知{−am +b =0am 2+2am +b =0，解得b ＝﹣3a ； （3）∵y 1＝ax 2﹣2ax +b ，y 2＝﹣ax +b ，∴y 1﹣y 2＝ax （x ﹣1）．∵﹣1＜x ＜1，∴当﹣1＜x ＜0，x （x ﹣1）＞0．当0＜x ＜1，x （x ﹣1）＜0，当x ＝0，x （x ﹣1）＝0， ∴y 1＝y 2；当a ＞0且﹣1＜x ＜0时，ax （x ﹣1）＞0，y 1＞y 2；当a ＞0且0＜x ＜1时，ax （x ﹣1）＜0，y 1＜y 2；当a ＜0且﹣1＜x ＜0时，ax （x ﹣1）＜0，y 1＜y 2；当a ＜0且0＜x ＜1时，ax （x ﹣1）＞0，y 1＞y 2．【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．5．已知抛物线C ：y 1＝﹣x 2+bx +4．（1）如图，抛物线与x 轴相交于两点（1﹣m ，0）、（1+m ，0）．①求b 的值；②当n ≤x ≤n +1时，二次函数有最大值为3，求n 的值．（2）已知直线l ：y 2＝2x ﹣b +9，当x ≥0时，y 1≤y 2恒成立，求b 的取值范围．【分析】（1）﹣x2+bx+4＝0，x1+x2=b−1=1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）分n+1≤1即n≤0、n≤1≤n+1即0≤n≤1、iii：n≥1三种情况，分别求解即可；（3）①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0；②：△＞0，则b＞4或b＜﹣4，即可求解．【解答】解：（1）﹣x2+bx+4＝0x1+x2=b−1=1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小．i：n+1≤1即n≤0，当x＝n+1时，y有最大值，﹣（n+1）2+2（n+1）+4＝3，n=±√2，又∵n≤0，∴n=−√2，ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，当x＝1时y有最大值，﹣12+2＜1+4＝3不成立，iii：n≥1时，当x＝n时，y有最大值，﹣n2+2n+4＝3，解得n＝1±√2，又∵n≥1，∴n=1+√2，综上所述：n=−√2或n=1+√2；（3）y1≤y2，﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，﹣4≤b≤4；②：△＞0则b＞4或b＜﹣4，i：−2−b2＞0，不成立，ii：{−2−b2≤05−b≥0，b≤2，又∵b＞4或b＜﹣4，∴b＜﹣4，综上所述b≤4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．6．如图，已知直线y1＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物y2＝ax2+bx+c经过点B，C并与x轴交于点A（﹣1，0）．（1）求抛物线解析式，并求出抛物线的顶点D坐标（1，4）；（2）当y2＜0时、请直接写出x的取值范围x＜﹣1或x＞3；（3）当y1＜y2时、请直接写出x的取值范围0＜x＜3；（4）将抛物线y2向下平移，使得顶点D落到直线BC上，求平移后的抛物线解析式y＝x2+2x+1．【分析】（1）列方程得到C（0，3），B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），列方程即可得到结论；（2）由图象即可得到结论；（3）由图象即可得到结论；（4）当根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：（1）对于y1＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，x＝3，∴B（3，0），∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），抛物线过点C（0，3），∴3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x+2x+3，∴顶点D（1，4）；（2）由图象知，当y2＜0时、x的取值范围为：x＜﹣1或x＞3；（3）由图象知当y1＜y2时、x的取值范围为：0＜x＜3；（4）当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∵抛物线向下平移2个单位，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣2＝﹣x2+2x+1．故答案为：（1）（1，4）；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝﹣x2+2x+1．【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法取函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．7．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x＜12．【分析】（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，即可求解；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2，联立①②并解得：x=12，即可求解．【解答】解：（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2+2…①；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2…②，联立①②并解得：x=1 2，从图象可以看出，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：x＜1 2；故答案为：x＜1 2．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．8．已知二次函数y＝﹣x2+4x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点P是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+P A的值最小时，求P的坐标；（3）在（2）的条件下，根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而得到关于m的不等式，然后求得不等式的解集即可；（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．根据抛物线解析式求出B（0，12），利用待定系数法求出直线AB的解析式，于是得到结论；（3）根据图象即可求得使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝42+4m＞0．解得：m＞﹣4．（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．把（6，0）代入y ＝﹣x 2+4x +m ，得﹣62+4×6+m ＝0．解得m ＝12．故该抛物线解析式是y ＝﹣x 2+4x +12当x ＝0时，y ＝12，则B （0，12）．设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，∵A （6，0），B （0，12），∴{6m +n =0n =12，解得∴{m =−2n =12， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +12，∵y ＝﹣x 2+4x +12＝﹣（x ﹣2）2+16，∴对称轴是直线x ＝2．把x ＝2代入y ＝﹣2x +12得，y ＝﹣4+12＝8，∴P （2，8）；（3）∵A （6，0），B （0，12），使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜0或x ＞6．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数与不等式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题等知识，利用数形结合是解题的关键．9．如图，一次函数y ＝﹣2x +6的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过A 、B 两点．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出当x 取何值时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0；（3）点P 是抛物线在第一象限上的一个动点，是否存在点P ，使△ABP 面积最大，若存在，求出此时点P 坐标以及△ABP 面积，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出一次函数y ＝﹣2x +6与y 轴、x 轴交点A 、B 的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）观察图象直接得到答案；（3）过点P 作y 轴的平行线PQ 交AB 于点Q ，先利用图象上点的特征表示出P 、Q 两点的坐标，再求出PQ 的长，进而表示出△ABP 的面积，利用顶点坐标求最值．【解答】解：∵一次函数y ＝﹣2x +6的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，∴A （0，6），B （3，0），∵二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过A 、B 两点，∴{c =6−9+3b +c =0， 解得：{b =1c =6， ∴二次函数的解析式的解析式为：y ＝﹣x 2+x +6；（2）当y ＝0时，﹣x 2+x +6＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝3，∴抛物线与x 轴交点坐标为（﹣2，0），（3，0），当﹣2＜x ＜0或x ＞3时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ，但只有当﹣2＜x ＜0时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0，当﹣2＜x ＜0时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0；（3）过点P 作y 轴的平行线PQ 交AB 于点Q ，由点P在y＝﹣x2+x+6的图象上，可设P（m，﹣m2+m+6）（0＜m＜3），则Q（m，﹣2m+6），则PQ＝﹣m2+m+6+2m﹣6＝﹣m2+3m，∴S△ABP=12OB×PQ=12×3×（﹣m2+3m）=−32（m−32）2+278，∵﹣2＜0，∴当m=32时，即P点坐标为（32，214）时，S△ABP取得最大值，最大值为278．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与不等式组、二次函数的最值问题，观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键．10．如图，二次函数y＝x2﹣4x+3与一次函数y＝x﹣1的图象交于点A及点B，与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）根据图象，直接写出满足x﹣1≥x2﹣4x+3的x的取值范围；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得P A+PC最小，求点P坐标及P A+PC的最小值．【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论；（2）根据函数图象点A以及点A右边的部分，点B以及点B左边的部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集；（3）根据点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，于是得到直线AB 与对称轴的交点即为点P ，P A +PC 最小值＝AB ，根据勾股定理得到AB ，把x ＝2代入y ＝x ﹣1即可得到结论．【解答】解：（1）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x ＝0，得y ＝3，∴C （0，3），解{y =x 2−4x +3y =x −1得，{x =1y =0，{x =4y =3， ∴A （1，0），B （4，3）；（2）由图象可知，满足kx +b ≥x 2﹣4x +m 的x 的取值范围为：1≤x ≤4；（3）存在，∵点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，∴直线AB 与对称轴的交点即为点P ，则P A +PC 最小值＝AB ，∴AB =√(4−1)2+(3)2=3√2，把x ＝2代入y ＝x ﹣1得，y ＝1，∴P （2，1），P A +PC 最小值＝3√2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，难点在于求出点B 的坐标．11．直线y 1＝x +m 与抛物线y 2＝ax 2+bx +c 交于P 、Q （2，3）两点，其中P 在x 轴上，Q （2，3）是抛物线y 2的顶点．（1）求y 1与y 2的函数解析式；（2）求函数值y 1＜y 2时x 的取值范围．【分析】（1）先求出Q 点的坐标，再求出直线的解析式，再把Q 、P 的坐标代入二次函数的解析式求出a 的值即可；（2）根据函数的性质和交点坐标得出即可．【解答】解：（1）把点Q（2，3）代入y＝x+m，∴3＝2+m，∴m＝1，∴y1＝x+1，∴令y＝0，x+1＝0，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，0），∴顶点为（2，3），∴设抛物线y＝a（x﹣2）2+3，把P（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣2）2+3，解得：a=−1 3，∴y2=−13(x−3)2+3，即y=−13x2+43x+53；（2）∵直线y1＝x+1与抛物线y2=−13（x﹣3）2+3交于P（﹣1，0）、Q（2，3）两点，∴函数值y1＜y2时x的取值范围是﹣1＜x＜2．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，一次函数和二次函数的图象和性质，用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键．12．已知抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，（−14＜m≤2）．直线l：y＝（k+1）x﹣3m+4．（1）若该抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣4，求该抛物线的顶点坐标．（2）证明：该抛物线与直线l必有两个交点．（3）若该抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立；当k﹣2≤x≤k时，该二次函数的最小值为﹣2k+1．求直线l的解析式．【分析】（1）依题意可知﹣3m＝﹣4，即可求解；（2）将y＝（k+1）x﹣3m+4代入y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，整理得：x2﹣（k+3m）x﹣4＝0，△＝[﹣（k+3m）]2﹣4×（﹣4）＝（k+3m）2+16＞0，即可求解；（3）分k＜1、1≤k≤3、k＞3三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）依题意可知﹣3m＝﹣4，解得：m=4 3，∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2−3x−4=(x−32)2−254，∴该抛物线的顶点坐标为（32，−254）．（2）联立y＝（k+1）x﹣3m+4和y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m并整理得：x2﹣（k+3m）x﹣4＝0，∵△＝[﹣（k+3m）] 2﹣4×（﹣4）＝（k+3m）2+16＞0，∴该抛物线与直线l必有两个交点．（3）∵由抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立，∴抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m的最小值为﹣4，∵y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m=(x+1−3m2)2−3m−(1−3m2)2=(x+1−3m2)2−9m2+6m+14，∴−9m2+6m+14=−4，整理得3m2+2m﹣5＝0，解得m＝1或m=−53（−53＜−14，舍去），∴当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，①当k＜1时，函数值y随x的增大而减小，∴当x＝k时，y min＝k2﹣2k﹣3，∴k2﹣2k﹣3＝﹣2k+1，解得k＝﹣2或k＝2（舍去），∴直线l的解析式为y＝﹣x+1；②当k﹣2≤1≤k时，即1≤k≤3，当x＝1时，y min＝﹣4＝﹣2k+1，解得k=5 2，∴直线l的解析式为y=72x+1；③当k﹣2＞1时，函数值y随x的增大而增大，∴当x＝k﹣2时，y min＝（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3，∴（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3＝﹣2k+1，解得k1＝k2＝2（舍去），综上，直线l的解析式为y＝﹣x+1或y=72x+1．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解集．13．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B 的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；（2）根据函数图象点A 以及点A 右边的部分，点B 以及点B 左边的部分的自变量x 的取值范围即为不等式的解集．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝（x +2）2+m 经过点A （﹣1，0），∴0＝1+m ，∴m ＝﹣1，∴抛物线解析式为y ＝（x +2）2﹣1＝x 2+4x +3，∴点C 坐标（0，3），∵对称轴x ＝﹣2，B 、C 关于对称轴对称，∴点B 坐标（﹣4，3），∵y ＝kx +b 经过点A 、B ，∴{−k +b =0−4k +b =3， 解得{k =−1b =−1， ∴一次函数解析式为y ＝﹣x ﹣1；（2）由图象可知，满足（x +2）2+m ≥kx +b 的x 的取值范围为x ≤﹣4或x ≥﹣1．【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，难点在于求出点B 的坐标．14．如图，一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的二根x 1，x 2（x 1＜x 2）是抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）写出不等式ax 2+bx +c ≥0的解集；（3）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（4）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．【分析】（1）先求出一元二次方程的两个根，即可知与x轴的两个交点的坐标，进而即可求出二次函数的解析式；（2）根据B、C两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴，根据A、C两点坐标可求出直线AC的解析式，再联立两个方程即可求出Q点的坐标；（3）根据两点之间线段最短，当此三点在同一条直线上时MQ+MA取得最小值，作A点关于x轴的对称点进而求得M点的坐标．【解答】解：（1）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二根x1，x2（x1＜x2）为：x1＝﹣3，x2＝1．∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的坐标为B（1，0），C（﹣3，0）．设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵抛物线过点A（3，6）．∴6＝a（3+3）（3﹣1），解得a=1 2．∴二次函数的解析式为y=12（x+3）（x﹣1）=12x2+x−32．（2）根据图象可知：不等式ax2+bx+c≥0的解集为：x≤﹣3或x≥1；（3）由y=12x2+x−32．∴抛物线的顶点坐标为P（﹣1，﹣2），对称轴方程为x＝﹣1．设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（3，6），C（﹣3，0），代入解得：k＝1，b＝3，直线AC解析式为y＝x+3．将x＝﹣1代入，得y＝2．∴Q（﹣1，2）．（4）作点A关于x轴的对称点A′（3，﹣6），连接A′Q，A′Q与x轴交于点M即为所求的点．设直线A′Q的解析式为y＝kx+b，将A′（3，﹣6），Q（﹣1，2）代入解得：k＝﹣2，b＝0．∴直线A′C的解析式为y＝﹣2x．令x＝0，则y＝0．∴M（0，0）．【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解决本题的关键是综合运用二次函数相关知识．15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△MCB的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）把A点、C点和D点坐标代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程求出a、b、c即可得到抛物线解析式；（2）连接OM，如图，先把（1）中解析式配成顶点式得到M（2，9），再利用对称性得到B（5，0），然后利用S△BCM＝S△OCM+S△BOM﹣S△OBC进行计算；（3）观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，∴{a−b+c=0c=5a+b+c=8解方程组得{a=−1b=4c=5，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）连接OM，如图，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴B（5，0），∴S△BCM＝S△OCM+S△BOM﹣S△OBC=12×5×2+12×5×9−12×5×5＝15；（3）x＜0或x＞2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了待定系数法求抛物线解析式．16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝﹣x2+c的图象相交于A（﹣1，2），B（2，n）两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；（3）设二次函数y＝﹣x2+c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．【分析】（1）把A坐标代入二次函数解析式求出c的值，确定出二次函数解析式，把B坐标代入求出n 的值，把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值即可；（2）根据函数图象，确定出所求x 的范围即可；（3）连接AC ，BC ，设直线AB 与y 轴交于点D ，三角形ABC 面积等于三角形ACD 面积+三角形BCD 面积，求出即可．【解答】解：（1）把A （﹣1，2）代入y ＝﹣x 2+c 得：﹣1+c ＝2，解得：c ＝3，∴y ＝﹣x 2+3，把B （2，n ）代入y ＝﹣x 2+3得：n ＝﹣1，∴B （2，﹣1），把A （﹣1，2）、B （2，﹣1）分别代入y ＝kx +b 得{−k +b =22k +b =−1， 解得：{k =−1b =1， ∴y ＝﹣x +1；（2）根据图象得：使二次函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是﹣1＜x ＜2；（3）连接AC 、BC ，设直线AB 交y 轴于点D ，把x ＝0代入y ＝﹣x 2+3得：y ＝3，∴C （0，3），把x ＝0代入y ＝﹣x +1得：y ＝1，∴D（0，1），∴CD＝3﹣1＝2，则S△ABC＝S△ACD+S△BCD=12×2×1+12×2×2＝1+2＝3．【点评】此题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．17．如图，抛物线y1＝ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，经过点A的直线y2＝kx+b交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求a的值；（2）求直线AB对应的函数解析式；（3）直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝4a2﹣4a＝0，然后解方程和根据二次函数的定义可确定a 的值；（2）把抛物线的解析式配成顶点式得到A（﹣1，0），则把A点坐标代入y＝kx+b中得b＝k，所以一次函数解析式为可表示为y＝kx+k，则C（0，k），利用线段中点坐标公式得到B（1，2k），然后把B（1，2k）代入y＝x2+2x+1求出k即可得到直线AB的解析式；（3）利用函数图象，写出抛物线在直线AB上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，∴△＝4a 2﹣4a ＝0，而a ≠0，∴a ＝1；（2）抛物线的解析式为y ＝x 2+2x +1＝（x +1）2，∴A （﹣1，0），把A （﹣1，0）代入y ＝kx +b 得﹣k +b ＝0，解得b ＝k ，∴一次函数解析式为y ＝kx +k ，当x ＝0时，y ＝kx +k ＝k ，则C （0，k ），∵点C 是线段AB 的中点，∴B （1，2k ），把B （1，2k ）代入y ＝x 2+2x +1得2k ＝1+2+1，解得k ＝2，∴直线AB 的解析式为y ＝2x +2；（3）当x ≤﹣1或x ≥1时，y 1≥y 2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数的性质．18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C 1：y =32x 2+6x +2的顶点为M ，与y 轴相交于点N ，先将抛物线C 1沿x 轴翻折，再向右平移p 个单位长度后得到抛物线C 2：直线l ：y ＝kx +b 经过M ，N 两点．（1）结合图象，直接写出不等式32x 2+6x +2＜kx +b 的解集； （2）若抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，求p 的值及抛物线C 2的解析式．【分析】（1）令抛物线C 1的解析式中x ＝0，求出y 值即可得出点N 的坐标，再利用配方法将抛物线C 1的解析式配方，即可得出顶点M 的坐标，结合函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集；（2）找出点M 关于x 轴对称的对称点的坐标，找出点M 关于原点对称的对称点的坐标，二者横坐标做差即可得出p 的值，根据抛物线的开口大小没变，开口方向改变，再结合平移后的抛物线的顶点坐标即可得出抛物线C 2的解析式；【解答】解：（1）令y =32x 2+6x +2中x ＝0，则y ＝2，∴N （0，2）；∵y =32x 2+6x +2=32（x +2）2﹣4，∴M （﹣2，﹣4）．观察函数图象，发现：当﹣2＜x ＜0时，抛物线C 1在直线l 的下方，∴不等式32x 2+6x +2＜kx +b 的解集为﹣2＜x ＜0． （2）∵y =32x 2+6x +2抛物线C 1：的顶点为M （﹣2，﹣4），沿x 轴翻折后的对称点坐标为（﹣2，4）．∵抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，∴抛物线C 2的顶点坐标为（2，4），∴p ＝2﹣（﹣2）＝4．∵抛物线C 2与C 1开口大小相同，开口方向相反，∴抛物线C 2的解析式为y =−32（x ﹣2）2+4=−32x 2+6x ﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及根的判别式，解题的关键是：（1）求出M 、N 点的坐标；（2）根据点M 找出抛物线C 2的顶点坐标；19．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣2，0），且对一切实数x ，都有2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2成立．（1）当x ＝2时，求y 的值；（2）求此二次函数的表达式；（3）当x ＝t +m 时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的值为y 1，当x =t 2时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的值为y 2，若对一切﹣1≤t ≤1，都有y 1＜y 2，求实数m 的取值范围．【分析】（1）可令x ＝2，可得4≤4a +2b +c ≤4，即有4a +2b +c ＝4；（2）通过图象过一点点（﹣2，0）得到4a ﹣2b +c ＝0，由x ＝2得4a +2b +c ＝4，再将b 、c 都有a 表示．不等式2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2对一切实数x 都成立可转化成两个一元二次不等式即{ax 2−x +2−4a ⩾0(a −12)x 2+x −4a ⩽0恒成立，即可解得a =14； （3）当﹣1≤t ≤1时，y 1﹣y 2＜0，可得3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ＜0 恒成立．设W ＝3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ，则{3+(8+8m)+4m 2+16m ＜03−(8+8m)+4m 2+16m ＜0，由此求得t 的范围． 【解答】解：（1）解：∵不等式2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2对一切实数x 都成立，∴当x ＝2时也成立，即4≤4a +2b +c ≤4，即有y ＝4；（2）根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣2，0）， 可得4a ﹣2b +c ＝0 ①，又f （2）＝4，即4a +2b +c ＝4 ②．由①②求得 b ＝1，4a +c ＝2，∴y ＝ax 2+x +2﹣4a ，∴2x ≤ax 2+x +2﹣4a ≤12x 2+2，即{ax 2−x +2−4a ⩾0(a −12)x 2+x −4a ⩽0恒成立， ∴{ a ＞0△1=1−4a(2−4a)⩽0a −12＜0△2=1−4(a −12)⋅(−4a)⩽0， 解得：a =14，∴c ＝2﹣4a ＝1，二次函数的表达式为y =14x 2+x +1．（3）∵当﹣1≤t ≤1时，y 1＜y 2，即：y 1﹣y 2＜0，即[14(t +m)2+(t +m)+1]−[14（t 2）2+t 2+1]＜0． 整理得：3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ＜0，∵当t ＝1或﹣1时均成立，∴{3+(8+8m)+4m 2+16m ＜03−(8+8m)+4m 2+16m ＜0，整理得：{4m 2+24m +11＜04m 2+8m −5＜0解得：{−112＜m ＜−12−52＜m ＜12，∴−52＜m＜−12【点评】本题考查了二次函数与不等式恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．20．二次函数y1＝ax2+2x过点A（﹣2，0）和点B，过点A，B作一次函数y2＝kx+b，若点B的横坐标为1．（1）求出二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围；（3）若P点在抛物线y1上，且横坐标为﹣1，求△ABP的面积．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出y2＞y1时，﹣2＜x＜1；（3）过P作PQ∥y轴，交AB于Q，依据S△ABP＝S△APQ+S△BPQ进行计算即可．【解答】解：（1）如图1，把A（﹣2，0）代入y1═ax2+2x中得：4a+2×（﹣2）＝0，a＝1，∴二次函数的解析式y1═x2+2x，当x＝1时，y1＝1+2＝3，∴B（1，3），把A（﹣2，0）、B（1，3）代入y2＝kx+b中得：{−2k +b =0k +b =3， 解得：{k =1b =2， ∴一次函数的解析式：y 2＝x +2；（2）由图象得：当﹣2＜x ＜1时，y 2＞y 1；（3）过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，y 1═x 2+2x ，令x ＝﹣1，则y ＝﹣1，即P （﹣1，﹣1），y 2＝x +2，令x ＝﹣1，则y ＝1，即Q （﹣1，1），∴PQ ＝2，∴S △ABP ＝S △APQ +S △BPQ =12×2×（1+2）＝3．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；采用数形结合的方式是解决第2小题的关键，第3问中需要运用割补法计算三角形的面积．。