解三角形专题(高考题)练习【附答案】
1、在b、c，向量2sin,3mB，2cos2,2cos12BnB，且//mn。
（I）求锐角B的大小； （II）如果2b，求ABC的面积ABCS的最大值。
5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.coscos3cosBcBaCb
（I）求cosB的值； （II）若2BCBA，且22b，求ca和b的值.
6、在ABC中，5cos5A，10cos10B.
（Ⅰ）求角C； （Ⅱ）设2AB，求ABC的面积.
7、在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量(1,2sin)mA，
(sin,1cos),//,3.nAAmnbca满足
（I）求A的大小；（II）求)sin(6B的值.
8、△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C+3cos（A+B）=0，.
当13,4ca，求△ABC的面积。
9、在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知11tan,tan23AB，且最长
边的边长为l.求：
（I）角C的大小； （II）△ABC最短边的长.
10、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =7，且
.272cos2sin42C
BA
(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积.
12、在ABC中，角ABC、、的对边分别为abc、、，(2,)bcam，(cos,cos)ACn，
且mn。
⑴求角A的大小； ⑵当22sinsin(2)6yBB取最大值时，求角B的大小
13、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若).(RkkBCBAACAB
（Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若kc求,2的值.
14、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且coscosBCbac2.
（I）求角B的大小； （II）若bac134，，求△ABC的面积.
15、（2009全国卷Ⅰ理） 在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，
已知222acb，且sincos3cossin,ACAC 求b
16、（2009浙江）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，
3ABAC
．
（I）求ABC的面积； （II）若6bc，求a的值．
17、6.（2009北京理）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB，4cos,35Ab。
（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求ABC的面积.
18、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，
2
3
cos)cos(BCA
,acb2，求B.
19、（2009安徽卷理）在ABC中，sin()1CA, sinB=13.
（I）求sinA的值 ， (II)设AC=6，求ABC的面积.
20、（2009江西卷文）在△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，6A，
(13)2cb
．
（1）求C； （2）若13CBCA，求a,b，c．
21、（2009江西卷理）△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，
sinsintancoscosABCAB
,sin()cosBAC.
（1）求,AC； （2）若33ABCS,求,ac. 21世纪教育网
22、（2009天津卷文）在ABC中，ACACBCsin2sin,3,5
（Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求)42sin(A的值。
23、(2010年高考天津卷理科7)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，
若223abbc，sinC=23sinB，则A=
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
24．(2010年高考全国2卷理数17）（本小题满分10分）
ABC中，D为边BC上的一点，33BD
，5sin13B，3cos5ADC，求AD
25．（2010年高考浙江卷理科18）在ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，
已知cos2C= -14。
（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC，求b及c的长。
26、（2010年高考广东卷理科16）
已知函数()sin(3)(0,(,),0fxAxAx在12x时取得最大值4．
(1) 求()fx的最小正周期； (2) 求()fx的解析式；
(3) 若f(23α +12)=125,求sinα．
27、（2010年高考安徽卷理科16）（本小题满分12分）
设ABC是锐角三角形，,,abc分别是内角,,ABC所对边长，并且
22
sinsin() sin() sin33ABBB
。
(Ⅰ)求角A的值； (Ⅱ)若
12,27ABACa
，求,bc（其中bc）。
2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十六)解三角形理+Word版含答案
专题强化训练(十六) 解三角形1．[2019·天津卷]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理bsin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．[2019·石家庄一模]已知△ABC 的面积为33，且内角A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若sin C ＝3sin A ，求边AC 的长；(2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．解：(1)∵△ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝60°.设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由△ABC 的面积S ＝33＝12ac sin B 可得ac ＝12. ∵sin C ＝3sin A ，由正弦定理知c ＝3a ，∴a ＝2，c ＝6.在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28，∴b ＝27，即AC 的长为27.(2)∵BD 是AC 边上的中线，∴BD →＝12(BC →＋BA →)， ∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA →)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos B )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c 时取“＝”，∴|BD →|≥3，即BD 长的最小值为3.3．[2019·合肥质检二]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝2c sinC ，△ABC 的面积S ＝abc .(1)求角C ；(2)求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可得2c ＝sin C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝2π3. (2)由(1)知2c ＝sin C ，同理可知2a ＝sin A ，2b ＝sin B .△ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝12(sin A ＋sin B ＋sin C )＝12[sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ]＋34 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋34＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋34. ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1， ∴△ABC 周长的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2＋34.4．[2019·武汉4月调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝104，B ＝2A ，b ＝15. (1)求a ；(2)已知M 在边BC 上，且CM MB ＝12，求△CMA 的面积． 解：(1)由0<A <π，cos A ＝104，知sin A ＝64， ∴sin B ＝sin2A ＝2sin A cos A ＝2×64×104＝154， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 可知， a ＝b sin A sin B＝ 6. (2)cos B ＝cos2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1042－1＝14， sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝64×14＋104×154＝368， △ABC 的面积S △ABC ＝12ab ·sin C ＝12×6×15×368＝9158， 又CM MB ＝12，∴S △CMA ＝13S △ABC ＝13×9158＝3158. 5．[2019·济南模拟]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，B ＝2π3，c ＝ 3. (1)求角C ； (2)若点E 满足AE →＝2EC →，求BE 的长．解：(1)解法一：由题设及正弦定理得2sin B sin C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，又sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以2sin B sin C ＝sin B .由于sin B ＝32≠0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. 解法二：由题设及余弦定理可得2b sin C ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc， 化简得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. 解法三：由2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，结合b ＝a cos C ＋c cos A ，可得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. (2)解法一：由正弦定理易知b sin B ＝csin C ＝23，解得b ＝3. 又AE →＝2EC →，所以AE ＝23AC ＝23b ，即AE ＝2. 在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6， 所以A ＝π6， 所以在△ABE 中，A ＝π6，AB ＝3，AE ＝2， 由余弦定理得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos π6＝ 3＋4－2×3×2×32＝1， 所以BE ＝1.解法二：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6，所以A ＝π6，a ＝c ＝ 3. 由余弦定理得b ＝(3)2＋(3)2－2×3×3×co s 23π＝3. 因为AE →＝2EC →，所以EC ＝13AC ＝1. 在△BCE 中，C ＝π6，BC ＝3，CE ＝1，由余弦定理得BE ＝BC 2＋EC 2－2BC ·EC cos π6＝3＋1－2×3×1×32＝1， 所以BE ＝1. 解法三：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6， 所以A ＝π6，a ＝c ＝ 3. 因为AE →＝2EC →，所以BE →＝13BA →＋23BC →. 则|BE →|2＝19(BA →＋2BC →)2＝19(|BA →|2＋4BA →·BC →＋4|BC →|2)＝19(3－4×3×3×12＋4×3)＝1，所以BE ＝1.6．[2019·太原一模]如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，交AB 于点E ，且BC ＝2，DE ＝62.(1)求B ；(2)求△ABC 的面积．解：(1)∵a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，∴由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得a 2＋c 2－ac ＝b 2， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.(2)如图，连接CE ，∵D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，∴AE ＝CE ，∴CE ＝AE ＝DEsin A ＝62sin A . 在△BCE 中，由正弦定理得CEsin B＝BC sin ∠BEC ＝BC sin2A ， ∴62sin A sin60°＝22sin A cos A ，∴cos A ＝22， ∵0°<A <180°，∴A ＝45°，∴∠ACB ＝75°，∴∠BCE ＝∠ACB －∠ACE ＝30°，∠BEC ＝90°，∴CE ＝AE ＝3，AB ＝AE ＋BE ＝3＋1，∴S △ABC ＝12AB ·CE ＝3＋32. 7．[2019·长沙一模]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a .解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2， 由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，∵sin C ≠0， 所以sin A ＝cos A 2， 所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，又cos A 2≠0， 所以sin A 2＝12， 故A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134. 8．[2019·福州质检]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32.(1)求△ABC 的外接圆直径；(2)求a ＋c 的取值范围．解：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3. 根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝b sin B ＝32sin π3＝1. (2)解法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3， 可得0<A <2π3. 由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6. 所以12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1， 从而32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3. 解法二：由(1)知，B ＝π3， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－3ac≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)， 因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即0<a ＋c ≤3， 又三角形两边之和大于第三边， 所以32<a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3.。
解三角形解答题十大题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
解三角形解答题十大题型总结【题型目录】题型一：利用正余弦定理面积公式解题题型二：解三角形与三角恒等变换结合题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题题型五：角平分线相关的定理题型六：有关三角形中线问题题型七：有关内切圆问题（等面积法）题型八：与向量结合问题题型九：几何图形问题题型十：三角函数与解三角形结合【典例例题】题型一：利用正余弦定理面积公式解题【例1】△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2)3+.【详解】：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=.故ABC 的周长为3【例2】的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2．【详解】：（1）()2sin 8sin 2B A C +=，∴()sin 41cos B B =-，∵22sin cos 1B B +=，∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=，∴2b =．【例3】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5+【详解】：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 6222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c 2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a b ABC ∆∴的周长为5+【例4】已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，c ccosA =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆，求b ，c .【答案】(1)3A π=(2)b c ==2【详解】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C-=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A ,故bc =4，而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==2【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边．sin sin 2A C c b C +=．(1)求角B 的大小；(2)若112,2tan tan tan b A C B+==，求ABC 的面积．，【题型专练】1.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，（1）求角A （2）若2a =，ABC ∆的面积为；求,b c .【答案】（1）（2）b=c=2【解析】：（1）由及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，因为B A C π=--sin cos sin sin 0A C A C C --=．由于sin 0C ≠，所以1sin(62A π-=．又0A π<<，故3A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==4bc =，而2222cos a b c bc A =+-，故228b c +=．解得2b c ==．2.已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积．【答案】（1）14；（2）1【解析】：（1）由题设及正弦定理可得22b ac=又a b =，可得2,2b c a c==由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==（2）由（1）知22b ac=因为90B = ，由勾股定理得222a cb +=故222a c ac +=，得c a ==所以的面积为13.（2021新高考2卷）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则37sin 8C ==，因此，11sin 452284ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△；（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.4.（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin B a B =+．(1)求角A 的大小；(2)若2sin a B C ==，求ABC 的面积．5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,tan sin a b c B A C B ==.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的面积为196，求ABC 外接圆的半径.题型二解三角形与三角恒等变换结合【例1】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C =22，求C .【答案】（1；（2）15︒.【分析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==；（2）30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C∴=︒-+1cos sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【例2】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若33b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【分析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又33b c a -=②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．【例3】在ABC ∆中，满足222sin cos sin cos A B A B C -+=-．（1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==，，求tan α的值.【详解】（1）∵221cos B sin B =-，221cos C sin C =-，∴222sin A cos B cos C -=-变形为22211sin A sin B sin C --+=--（）（），即222sin A sin B sin C ++=，利用正弦定理可得：222a b c ++=，由余弦定理可得cosC=22-，即C=34π.（2）由（1）可得cos （A+B ）=2，A+B=4π，又cosAcosB=cos()cos 3225A B A B ++-=（），可得72cos(A B)10-=，同时cos （αA +）cos （αB +）=72cos(2α)cos(2αA B)cos A B 41022π+++++-=（），∴22272272cos(2α)sin2αcos(αA)cos(αB)410210222cos cos cos πααα++-+++===222222722sinαcosα2102cos sin cos sin cos ααααα--++（）=222622552cos sin cos ααα+-=2510tan α+- 2tan α=5，∴2tan 5tan 62αα-+=，∴ 1tan α=或4.【题型专练】1.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C +=.【分析】【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C-=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C+-=由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）2b c +=，由正弦定理得：sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：62sin 4C =或624因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故62sin 4C +=.（2）法二：2b c += sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C ，即3sin 6C C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+62sin sin()464C ππ=+=.2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos B A B =+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B A A B-的取值范围.，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到3.在ABC 中，已知223sin cos sin cos sin 222A CB +=.（1）求证：2a c b +=；（2）求角B 的取值范围.【详解】证明：（1）223sin cossin cos sin 222C A A C B += 1cosC 1cos 3sin sin sin 222A A C B++∴+=()()sin 1cosC sin 1cos 3sin A C A B ∴+++=sin sin sin cosC sin cos 3sin A C A C A B∴+++=()sin sin sin C 3sin A C A B ∴+++=C A B π++= A C B π∴+=-()sin sin A C B∴+=sin sin 2sin A C B∴+=根据正弦定理得：2a c b +=，得证．（2）由（1）知在ABC 中，2a c b+=又222cos 2a c b B ac +-=消去b 化简得：()2231611cos 84842a c ac B ac ac +=-≥-=当且仅当a c =时取等号，又B 为三角形的内角，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题【例1】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2AB C +=，且2a =，则ABC 的面积的最大值为A ．33B ．32CD．【答案】A【解析】：因为()tan tan2AB C +=，且B C A +=π-，所以()22tan2tan tan 1tan 2A B C A A +=-=--tan 02A =>，所以tan 2A =，则2π3A =.由于2a =为定值，由余弦定理得222π42cos 3b c bc =+-，即224b c bc =++.根据基本不等式得22423b c bc bc bc bc =++≥+=，即43bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立.所以11433sin 22323ABC S bc A =≤⨯⨯=.故选：A【例2】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2)33(,)82.【分析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)解法一：因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅==⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=⋅-=+.又因3,tan 623C C ππ<<>,故3313388tan 82C <+<，故3382ABC S <<.故ABC S 的取值范围是33,82解法二：若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得b ==，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，且2211a a a +>-+，解得122a <<，可得ABC ∆面积1sin 23S a π==∈．【例3】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若4a c +=，2sin sin sin B A C =+，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C．D ．4【答案】A 【解析】因为2sin sin sin B A C =+，所以2b a c =+，因4a c +=，所以2=b ，由余弦定理得()acacac ac ac b ac c a ac b c a B 221224216222cos 22222-=--=--+=-+=所以ac B ac 212cos 2-=，所以acacB -=6cos ，所以()()()()acac ac ac ac B B 22222661cos 1sin --=--=-=因11sin 22ABCa c ac a c Sac B ac ac ∆==⋅==因为ac c a 2≥+，所以()442=+≤c a ac，ABC S ∆=≤=注：此题也可用椭圆轨迹方程做【例4】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，若2a =，b =，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】因为2a =，b =，由余弦定理得()2222222324432432cos c c cc cc bcac b A -=⋅-+=-+=所以()()2244244222223216324121632161232441cos 1sin c c c c c c c cc A A -+-=-+-=--=-=因21sin 2ABCS bc A ∆===设t c =2，则ABCS∆==≤注：此题也可用圆轨迹方程做【题型专练】1.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．【解析】：由，且，故()()()a b sinA sinB c b sinC +-=-，又根据正弦定理，得()()()a b a b c b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222122b c a cosA bc +-==，所以060A =，又224b c bc bc +-=≥，故12BAC S bcsinA ∆=≤2.已知，，分别为△ABC 角，，的对边，cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，且=3，则下列结论中正确的是()A.=3B.=23C.△ABC D.△ABC 【答案】B【解答】解∵cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，∴(1−sin 2p −(1−sin 2p −(1−sin 2p =cosvos −cos(+p −(1−2sin 2p ，∴sinLin +sin 2+sin 2−sin 2=0，由正弦定理可得B +2+2−2=0，∴cos =2+2−22B=−12，又0<<，∴=23，即2=3=2+2−23=2+2+B⩾2B +B =3B ，当且仅当==1时取等号，∴B⩽1，∴=12Bsin 故选：B ．3.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B c C b a sin cos +=．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=b ，求ABC 面积的最大值.【详解】(1)∵Bc C b a sin cos +=∴由正弦定理知B C C B A sin sin cos sin sin +=①在三角形ABC 中，()C B A +-=π∴()B C C B C B A sin sin cos sin sin sin +=+=②由①和②得C B C B sin cos sin sin =而()π,0∈C ，∴0sin ≠C ，∴B B cos sin =又()π,0∈B ，∴4π=B (2)ac B ac S ABC 42sin 21==∆，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 22⨯，整理得：ac≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为(1212222⨯=+1=+4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ）．（1）若b +c =3a ，求A ；（2）若a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．【解析】（1）∵sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ），结合正、余弦定理，可得a •2+2−22B=b •（2−2+2−22B），化简得，c ＝2b ，代入b +c =3a ，得a =3b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =2+42−322δ2=12，∵A ∈（0，π），∴A =3．（2）由（1）知，c ＝2b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =52−442=5412，∴△ABC 的面积S =12bc sin A ＝b 21−c 22=b 2=16=当b 2=209时，S 取得最大值，为43．5.在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD =且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___【答案】5如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-,在CDA ∆和C D B ∆中，分别由余弦定理可得22221144cos ,cos()c c b a c cθπθ+-+-=-=，两式相加，整理得2222()02c a b +-+=，∴2222()4c a b =+-．①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得2222aba b c +-=，②由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =．把①代入②整理得2242aba b ++=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以54222ab ab ab ≥+=，故得85ab ≤．所以118sin 22545ABCab C S ∆=≤⨯=．即ABC ∆面积的最大值是5．故答案为5．6.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a b C B -=．(1)求B ；(2)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，若ABC 的面积为()2224a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________.【答案】4,12]+【解析】因为ABC 的面积为()2224a b c +-，所以()2221sin 42a b c ab C +-=，所以222sin 2a b c C ab +-=.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，sin C C =，即tan C ，所以3Cπ=.由正弦定理可得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以83832(sin sin )sin sin 8sin 3336a b A BA A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为ABC 为锐角三角形，所以62A ππ<<，所以sin 126A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，则ssin()86A π<+，即8a b <+≤.故ABC 的周长的取值范围是4,12]+.【例2】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin sin cos sin B CC C A++=(1)求A ；(2)若ABC 的外接圆的半径为1，求22b c +的取值范围.c【例3】（2022·重庆八中高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sinsin ,2A Ca b A b +==(1)求角B 的大小；(2)求2a c -的取值范围.【例4】（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin 2B Ca A B c ++=．(1)求角A 的大小；(2)若角B 为钝角，求b的取值范围．【题型专练】1.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sincos sin sin A B C A B =++.（1）求角C 的大小；（2）若c ，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2+（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab+-=-由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=.（2）2,2sin ,2sin 2sin sin sin sin3a b c a A b BA B C π====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++++++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦230,,sin 1333323A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭ ，2sin 23A π⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭，ABC ∴∆周长的取值范围是(2+.2.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+.3.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos )a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．【详解】（1）由题意知()(cos )sin cos sin sin a C C b c A C C B C =+⇒+=+，所以()()sin cos sin sin A C C A C C +=++，即sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C+=++sin cos sin sin A C A C C =+，因0sin ≠C cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又50,,666A A ππππ⎛⎫<<∴-∈- ⎪⎝⎭ ，所以66A ππ-=，所以3π=A （2）由余弦定理得：222222cos 25a b c b c A b c bc =+-⋅=+-=，即()2325b c b c +-⋅=.22b c b c +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ （当且仅当b c =时取等号），()()()22221253324b c b c b c b c b c +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：10b c +≤（当且仅当b c =时取等号），ABC ∴ 周长51015L a b c =++≤+=，ABC ∴ 周长的最大值为15.题型五：角平分线相关的定理【例1】在中ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为．【详解】由题意知ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222ac B cBD ABD aBD CBD ∴=∠+∠，即1311111122222ac c a ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯即2c a =+，所以12a c =+，所以))12422224333a c a c a c a c c a ⎛⎫⎫+++=+++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例2】△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若60BAC ∠= ,求B ∠.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC∠=-∠+∠∠=所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以3tan ,30.3B B ∠=∠= 【例3】（河南省豫北名校普高联考2022-2023学年高三上学期测评（一）文科数学试卷）在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△ ；③tan tan tan A C A C +-这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．(1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．ABC ABD BCD S S S =+ ，12π1sin 232ac c ∴=⋅即333444ac c a =+，a c ac ∴+=，a ac +∴()11444552a c a c a c ac c a ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭【题型专练】1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23BAC π∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，1AD =，则b c +的最小值为．【详解】ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222bc A cAD BAD bAD CAD ∴=∠+∠，即11111222222bc c ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯，即bc b c =+，所以111b c ∴=+，所以()111124b cb c b c b c c b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭2.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin BC；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【详解】，1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠，∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =，∴BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232x -=，解得1x =，即1AC =．题型六：有关三角形中线问题遇到角平分线问题一般有两种思路：思路一：中线倍长法思路二：利用平面向量【例1】在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足cos 0cos 2B bC a c+=+，（1）求角B 的值；（2）若2c =，AC 边上的中线32BD =，求ABC ∆的面积.【详解】（1）cos cos sin 00cos 2cos 2sin sin B b B BC a c C A C+=⇔+=++,()cos 2sin sin sin cos 0B A C B C ⇒++=2sin cos cos sin sin cos 0A B B C B C ⇒++=()2sin cos sin 0A B B C ⇒++=.()1sin 2cos 10,sin 0,cos 2A B A B ⇒+=≠∴=-.所以23B π=,（2）解法一：中线倍长法：延长BD 到E ，使BD=DE ，易知四边形AECD 为平行四边形，在BEC ∆中，EC=2，,因为23ABC π∠=，所以3BCE π∠=，由余弦定理2222cos BE EC BC EC BC BCE =+-⋅⋅∠，即223222cos3a a π=+-⋅⋅，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=解法二：BC BA BD +=，所以()22BC BA BD +=B+=即︒++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120cos 223222ac a c ，即⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯++=21424432a a ，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【例2】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2π3A =．(1)若6a =，ABC的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度；(2)若E 为边BC上一点，且AE =，:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值．【题型专练】1．（2022·广东广州·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin 2B Cb a B +=.(1)求A ；(2)若a =，3BA AC ⋅=，AD 是ABC 的中线，求AD 的长.2．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）在①()()()()sin sin sin a c A B a b A B -+=-+；②2S BC =⋅；③cos sin b C a c B =；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求角B 的大小；(2)AC 边上的中线2BD =，求ABC 的面积的最大值．题型七：有关内切圆问题（等面积法）【例1】在▵B中，sin2=B=1，B=5，则A.B=25B.▵B 的面积为32C.▵BD.▵B【答案】B【解答】解：∵sin2=∴cos=1−2sin22=1−2×2=35，又B=1，B=5，∴由余弦定理，B2=B2+B2−2B⋅B⋅cos=52+12−2×5×1×(35)=20，∴B=25，故A正确；∵cos=35且为三角形内角，∴sin=1−cos2=45，所以△B的面积为=1=12×1×5×45=2，故B错误；根据正弦定理B sin=2o其中表示外接圆的半径)得：2=45=即△B C正确；如图，设△B内切圆圆心为，半径为，连接B，B，B，因为内切圆与边B ，B ，B 相切，故设切点分别为，，，连接B ，B ，B ，可知：B =B =B =，且B ⊥B ，B ⊥B ，，根据题意：△B =12B ⋅B ⋅sin =12×5×1×45=2，利用等面积可得：△B +△B +△B =△B ，即：12B ⋅+12B ⋅+12=2，∴=4B+B+B==D 正确．故选ACD ．【例2】（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（理））已知在ABC 中，()254cos 4sin A B C ++=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的内切圆圆心为O ，ABC 的外接圆半径为4，求ABO 面积的最大值．【题型专练】1.三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，则()A.三角形另一边长为6B.三角形的周长为20C.三角形内切圆面积为3D.【答案】B【解答】解：因为三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，A .由余弦定理得：三角形另一边长为82+52−2×8×5×cos60°=7，故A 错误；B .三角形的周长为8+5+7=20，故B 正确；C .设三角形内切圆的半径为，由面积法得到：12×8×5×sin60°=12×20×，解得=3，所以内切圆的面积为，故C 正确；D .设三角形外接圆的半径为，则由正弦定理得到7sin60°=2，解得=，故D 错误．故选BC ．2.（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos a cC Cb-=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，记r 为ABC 的内切圆半径，求r 的最大值.题型八：与向量结合问题【例1】锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B = 平行．（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围．【解析】解：（1）因为：//m n，所以：sin cos 0a B A =，由正弦定理，得：sin sin cos 0A B B A -=，又因为：sin 0B ≠，从而可得：tan A =，由于：0A π<<，所以：3A π=．（2）因为：由正弦定理知sin sin sin 3b c aB C A====，可得：三角形周长sin )3l a b c B C =++=+，又因为：23C B π=-，所以：2sin sin sin sin()36B C B B B ππ+=+-=+，因为：ABC ∆为锐角三角形，所以：62B ππ<<，2(,)633B πππ+∈，3sin sin (2B C +∈，所以：l ∈．【例2】（2022·河北沧州·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos ,3b c A a C a -==．(1)求角A ；(2)若点D 满足1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．【题型专练】1.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >．已知2BA BC = ，1cos 3B =，3b =．求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．【解析】解：（1）2BA BC= ，1cos 3B =，3b =，可得cos 2ca B =，即为6ac =；2222cos b a c ac B =+-，即为2213a c +=，解得2a =，3c =或3a =，2c =，由a c >，可得3a =，2c =；（2）由余弦定理可得2229947cos 22339a b c C ab +-+-===⨯⨯，sin C ==，sin B ==，则17224223cos()cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+⨯．2.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若1AB AC BA BC ==．解答下列问题：（1）求证：A B =；（2）求c 的值；（3）若||AB AC +=ABC ∆的面积．【解析】证明：（1）因AB AC BA BC =，故cos cos bc A ac B =，即cos cos b A a B =．由正弦定理，得sin cos sin cos B A A B =，故sin()0A B -=，因为A B ππ-<-<，故0A B -=，故A B =．⋯（4分）（2）因1AB AC = ，故cos 1bc A =，由余弦定理得22212b c a bc bc+-=，即2222b c a +-=；又由（1）得a b =，故22c =，故c =．⋯（10分）（3）由||AB AC += 22||||2||6AB AC AB AC ++=，即2226c b ++=，故224c b +=，因22c =，故b =，故ABC ∆是正三角形，故面积23342ABC S ∆=⨯=．⋯（16分）题型九：几何图形问题【例1】在ABC ∆中，3B π∠=，15AB =，点D 在边BC 上，1CD =，1cos 26ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求ABC ∆的面积．【解析】解：（1）由1cos 26ADC ∠=，可得153sin 26ADC ∠==，则11sin sin()sin cos cos sin 333226BAD ADC ADC ADC πππ∠=∠-=∠-∠=-⨯．（2）在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠=，解得7BD =，所以718BC =+=，所以ABC ∆的面积11sin 158sin 223S AB BC ABD π=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【例2】如图，在ABC ∆中，6B π∠=，AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长．【解析】解：（1）在ADC ∆中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin 7ADC ∠=，所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B=∠-∠433117272=-⨯1114=．（2）在ABD ∆中，由正弦定理得11sin 1411sin 437AB BADBD ADB⋅∠===∠，在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 13213492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯．所以7AC =．【例3】如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD ∆sin sin BADCAD∠∠的值．【解析】解：（1）ABC ∆ 中，1cos 3B =，22sin 3B ∴=．34ADC π∠= ，4ADB π∴∠=．ABD ∆=，83AD ∴=；（2）设DC a =，则2BD a =，2BD DC = ，ACD ∆，1222323a ∴=⨯⨯⨯，2a ∴=AC ∴==由正弦定理可得42sin sin BAD ADB=∠∠，sin 2sin BAD ADB ∴∠=∠．242sin sin CAD ADC =∠∠，2sin 4CAD ADC ∴∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠ ，∴sin sin BADCAD∠=∠【例4】如图，在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90ADC ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求sin ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．【解析】解：（1）ABD ∆中，45A ∠=︒，2AB =，5BD =，由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠，即25sin sin 45ADB =∠︒，解得2sin 5ADB ∠=；（2）由90ADC ∠=︒，所以2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得：222222cos 52525BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯，解得5BC =．【例5】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【答案】（1）5；（2）5.【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠o，所以2sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<o ，所以cos 5ADB ∠==；（2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=.在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 25825255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=.所以5BC =.【题型专练】1.如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos BAD ∠=21sin 6CBA ∠=，求BC 的长．【解析】解：1AD =，2CD =，AC =（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠= ．∴cos CAD ∠=；（2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，cos 21sin 7321sin 143sin 2CAD BAD CAD BAD α∠=∠=-∴∠=∠=∴=，在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC ACCBAα=∠，解得：3BC =．即BC 的长为3．2.在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2．（1）求AD 的长；（2）求CBD ∆的面积．【解析】解：（1）由已知11sin 2sin 222ABD S AB BD ABD ABD ∆=∠=⨯∠= ，所以sin ABD ∠=(0,2ABD π∠∈，所以cos ABD ∠=在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠= ，所以AD =．（2）由AB BC⊥，得2ABD CBD π∠+∠=，所以5sin cos 5CBD ABD ∠=∠=，又42,sin 2sin cos 5BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=，()222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠，所以CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin 51155455,sin 4sin 42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCD BCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠．3.如图，在平面四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==．（1）当四边形ABCD 内接于圆O 时，求四边形ABCD 的面积S ；（2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线BD的长．【解析】（本题满分为14分）解：（1）连接BD ，由余弦定理可得：222222cos 24224cos BD AB AD AB AD A A =+-=+-⨯⨯⨯ ，222222cos 46246cos BD BC CD BC CD C C =+-=+-⨯⨯⨯ ，可得：2016cos 5248cos A C -=-，2⋯分又四边形ABCD 内接于圆O ，则又A C π+=，所以：2016cos 5248cos()A A π-=--，化简可得：1cos 2A =-，又(0,)A π∈，所以23A π=，3C π=，4⋯分所以12124sin 46sin 2323ABD BCD S S S ππ∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，6⋯分（2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ，可得：222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-=+- ，8⋯分可得：22221124sin 46sin 2224224cos 46246cos S A C A C ⎧=⨯⨯+⨯⨯⎪⎨⎪+-⨯⨯=+-⨯⨯⎩，可得：sin 3sin 423cos cos S A CC A⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，平方后相加，可得：24106sin sin 6cos cos 16S A C A C +=+-，即：266cos()16S A C =-+，10⋯分又(0,2)A C π+∈，当A C π+=时，216S 有最大值，即S 有最大值．此时，A C π=-，代入23cos cos C A =-，可得：1cos 2C =，又(0,)C π∈，可得：3C π=，12⋯分在BCD ∆中，可得：222222cos 46246cos 283BD BC CD BC CD C π=+-=+-⨯⨯⨯= ，可得BD =．14⋯分4.如图所示，已知圆内接四边形ABCD ，记tan tan tan tan 2222A B C D T =+++．（1）求证：22sin sin T A B=+；（2）若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求T 的值及四边形ABCD 的面积S．【解析】解：（1）sincos sin cos222222tan tan tan tan tan cot tan cot 22222222sin sin cos sin cos sin 2222A AB BA B A B A A B B T A A B B A Bππ--=+++=+++=+++=+．（2）由于：6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，由题知：cos cos 0BAD BCD ∠+∠=，可得：22222222470227AB AD BD BC CD BD BD AB AD BC CD +-+-+=⇒= ，则3cos 7A =，sin A =则1()sin 2S AD AB CD BC A =+= ，则1610()sin sin 219S AB BC AD CD ABC ABC =+∠=∠=，22sin sin T A B =+==5.如图，角A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，6AB =，3BC =，4CD =．（1）若60B =︒，30DAC ∠=︒，求sin D ；（2）若180BAD BCD ∠+∠=︒，5AD =，求cos BAD ∠．【解析】解：（1）在ABC ∆中，222361cos 2362AC B +-==⨯⨯，222363627AC ∴=+-⨯=，AC ∴=ACD ∆中，由正弦定理sin sin DAC D CD AC∠=，sin sin sin 30AC D DAC CD ∴=⋅∠=︒=．（2）在ABD ∆中，22256cos 256BD BAD +-∠=⨯⨯，在BCD ∆中，22234cos 234BD BCD +-∠=⨯⨯，180BAD BCD ∠+∠=︒ ，cos cos 0BAD BCD ∴∠+∠=，∴22222256340256234BD BD +-+-+=⇒⨯⨯⨯⨯可得：222(2536)5(916)0120BD BD +-++-=，可得：22261252550BD BD ⨯-+⨯-=，可得27247BD =，则BD =22224725365637cos 256607BDBAD +-+-∴∠===⨯⨯．6.某市欲建一个圆形公园，规划设立A ，B ，C ，D 四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中A ，B ，C 的位置已确定，2AB =，6BC =（单位：百米），记ABC θ∠=，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．（1）如果4DC DA ==，求四边形ABCD 的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为283π万平方米，求cos θ的值．【解析】解：（1）连结BD ，可得四边形ABCD 的面积为：11sin sin 22ABD CBD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ， 四边形ABCD 内接于圆，180A C ∴+=︒，可得sin sin A C =．11sin sin 22S AB AD A BC CD C =+ 1()sin 2AB AD BC CD A =+1(2464)sin 2A =⨯+⨯16sin A =．(*)⋯在ABD ∆中，由余弦定理可得：222222cos 24224cos 2016cos BD AB AD AB AD A A A =+-=+-⨯⨯=- ，同理可得：在CDB ∆中，222222cos 64264cos 5248cos BD CB CD CB CD C C C =+-=+-⨯⨯=- ，2016cos 5248cos A C ∴-=-，结合cos cos(180)cos C A A =︒-=-，得64cos 32A =-，解得1cos 2A =-，(0,180)A ∈︒︒ ，120A ∴=︒，代入(*)式，可得四边形ABCD面积16sin120S =︒=．（2） 设圆形公园的半径为R ，则面积为283π万平方米，可得：2283R ππ=，可得：2213R =，∴由正弦定理2sin AC R B ==sin θ==由余弦定理可得：AC ==sin θ∴==214sin 159cos θθ=-，22sin cos 1θθ+= ，∴2159cos cos 114θθ-+=，整理可得：2214cos 9cos 10θθ-+=，∴解得：1cos 7θ=，或12．7.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.【答案】（1）23π，4；（2）3.【解析】（1）sin 3cos 0,tan 3A A A +=∴=- ，20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+- ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯⨯，22cos ,72cos 77AC C CD C∴=∴===，12CD BC ∴=，1134223222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，132ABD ABC S S ∆∆∴==.8.四边形的内角与互补，．（1）求和；（2）求四边形的面积．【答案】（1）60C =︒，7BD =；（2）23．【详解】：（1）连接BD ．在ABD ∆和CBD ∆中，利用余弦定理列等式2222BD BC CD BC=+-cos CD C ⋅和2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅，且cos cos C A =-，代入数据得54cosC +，求cos C 的值，进而求C 和的值；（2）由（1）知ABD ∆和CBD ∆的面积可求，故四边形等于ABD ∆和CBD ∆的面积．（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅．①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cosC =+．②。
专题14 三角恒等变换与解三角形(解析版)
专题14 三角恒等变换与解三角形【高考导航】1．利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点．2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.【真题解析】1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725[解析] 解法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， ∴sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫352－1＝－725.故选D. 解法二：∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35，∴cos α＋sin α＝325，∴1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.[答案] D2．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A[解析] 解法一：因为sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ，即cos C (2sin B －sin A )＝0，所以cos C ＝0或2sin B ＝sin A ，即C ＝90°或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以0°<C <90°，故2b ＝a .故选A.解法二：由正弦定理和余弦定理得b ⎝⎛⎭⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝2a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ， 所以2b 2⎝⎛⎭⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝a 2＋3b 2－c 2， 即2b a(a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2－c 2， 即(a 2＋b 2－c 2)⎝⎛⎭⎫2b a －1＝0，所以a 2＋b 2＝c 2或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2>c 2，故2b ＝a ，故选A.[答案] A3．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.[解析] 由余弦定理得cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14， ∴cos ∠CBD ＝－14，sin ∠CBD ＝154， ∴S △BDC ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152. 又cos ∠ABC ＝cos2∠BDC ＝2cos 2∠BDC －1＝14， 0<∠BDC <π2，∴cos ∠BDC ＝104. [答案]152 104 4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．[解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A. 故sin B sin C ＝23. (2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12. 所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8. 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.【典例解析】考点一 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sin αcos α.(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α. 3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a . 【训练】1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13 D ．－79[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. [答案] D【训练】2．已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin2(α＋γ)＝3sin2β，则m ＝( ) A.12 B.34 C.32D ．2 [解析] 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A ·sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan A tan B＝2，故选D. [答案] D3．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________． [解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴cos2α＝－255，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55× 1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案]7π4(1)三角恒等变换的三原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如1题．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)解决条件求值应关注的三点①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．③求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如3题．考点二 解三角形1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状[解析] ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．[答案] B 角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算[解析] 由b sin B －a sin A ＝12a sin C 及正弦定理得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫342＝74.故选A.[答案] A 角度3：结合正、余弦定理进行面积的计算[思维流程] (1)代换A ＋C 为π－B →化简关系式→求出cos B (2)求sin B →结合面积公式求出ac →借助余弦定理求出b[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．【特别提醒】 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．【训练】1．[角度1]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 的形状一定是( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形[解析]在△ABC中，∵cos2A2＝b＋c2c，∴1＋cos A2＝sin B＋sin C2sin C＝12·sin Bsin C＋12，∴1＋cos A＝sin Bsin C＋1，∴cos A sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，∴sin A cos C＝0，sin A≠0，∴cos C＝0，∴C为直角．故选B.[答案] B【训练】2．[角度2]在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，则B＝()A.π6或5π6 B.π3 C.π6 D.5π6[解析]∵a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，∴由正弦定理可得sin A sin B cos C＋sin C sin B cos A＝12sin B. 又∵sin B≠0，∴sin A cos C＋sin C cos A＝12，解得sin(A＋C)＝sin B＝12.∵0<B<π，∴B＝π6或5π6.故选A.[答案] A【训练】3．[角度3]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．[解析]由正弦定理得，(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c，又a＝2，所以b2＋c2－bc＝4，所以cos A＝b2＋c2－42bc＝bc2bc＝12，故A＝π3.因为b2＋c2≥2bc，所以bc≤4，所以S△ABC＝12bc sin A≤12×4×32＝3，当且仅当b＝c时取等号．[答案] 3考点三 正、余弦定理的实际应用1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【训练】1．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km[解析] 画出示意图如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin30°sin45°＝3 2. [答案] B2．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.[解析] 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin30°＝DB sin15°，即DB ＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin45°＝252(3－1)sin (90°＋θ)，即25sin45°＝252(3－1)cos θ，得到cos θ＝3－1.[答案]3－1解三角形实际问题的4步骤【强化训练】一、选择题1．已知α为锐角，且7sin α＝2cos2α，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝( ) A.1＋358 B.1＋538C.1－358D.1－538[解析] 由7sin α＝2cos2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0， 解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358，故选A. [答案] A2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4[解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×sin π33＝22，所以A ＝π4或3π4.又a <b ，所以A <B ，所以A ＝π4.[答案] B3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－31010[解析] 设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22×102c ×c＝－1010，故选C. [答案] C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若满足c ＝2，a cos C ＝c sin A 的△ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(3，2)D ．(2，2)[解析] 因为a cos C ＝c sin A ，由正弦定理得sin A cos C ＝sin C sin A ，易知sin A ≠0，故tan C ＝1，所以C ＝π4.过点B 作AC 边上的高BD ，垂足为D ，则BD ＝22BC ，要使满足条件的△ABC 有两个，则BC >2>22BC ，解得2<BC <2.故选D.[答案] D5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析] 因为sin C ＝23sin B ，所以由正弦定理得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc ，得a ＝7b ，再由余弦定理可得cos A ＝32，所以A ＝π6.故选A. [答案] A6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积为312c ，则ab 的最小值为( )A.12B.13C.16D ．3 [解析] 由正弦定理及2c cos B ＝2a ＋b ，得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )，则2sin C ·cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，整理可得2sin B ·cos C ＋sin B ＝0，又0<B <π，所以sin B >0，则cos C ＝－12，因为0<C <π，所以C ＝2π3，所以sin C ＝32，则△ABC 的面积为12ab sin C ＝34ab ＝312c ，即c ＝3ab ，结合c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，可得a 2＋b 2＋ab ＝9a 2b 2，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ＋ab ≤9a 2b 2，即ab ≥13，当且仅当a ＝b ＝33时等号成立，故ab 的最小值是13.故选B. [答案] B 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sin B ＋sin C )b ＋(2c ＋b )sin C ，则A ＝________.[解析] 由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，故A ＝120°.[答案] 120°8．计算：4cos50°－tan40°＝________.[解析] 4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin (120°－40°)－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝ 3.[答案]39．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝45°，C 点的仰角∠CAB ＝60°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝45°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.[解析] 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝60°，BC ＝100 m ，所以AC ＝2003m.在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝45°， 从而∠AMC ＝60°，由正弦定理得AC sin60°＝AM sin45°，因此AM ＝20023m.在Rt △MNA 中，AM ＝20023m ，∠MAN ＝45°，得MN ＝2003m.[答案] 2003三、解答题10．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． [解] (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos2A ·sin π4＝7226. 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝⎛⎭⎫54c －a cos B ＝b cos A . (1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S . [解] ∵⎝⎛⎭⎫54c －a cos B ＝b cos A ，∴由正弦定理得⎝⎛⎭⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即有54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，则54sin C ·cos B ＝sin C .∵sin C >0，∴cos B ＝45.(1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝23.又∵a ＋b ＝10，∴a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5，∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0，解得c ＝10或c ＝－2(舍去)，∴S ＝12ac sin B ＝15.12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，且b ≥a ，求2b －c 的取值范围． [解] (1)由已知可得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2C －14sin 2C ， 化简得sin 2A ＝34，∴sin A ＝±32，又0<A <π，∴sin A ＝32，故A ＝π3或2π3. (2)由a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 因为b ≥a ，所以B ≥A ，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3且B ∈⎣⎡⎭⎫π3，2π3， 故2b －c ＝4sin B －2sin C＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6. 因为π3≤B <2π3，所以π6≤B －π6<π2，所以2b －c 的取值范围为[3，23)．。
专题解三角形大题(含答案)
专题解三角形大题(含答案)靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
今天，你，做数学题了吗？1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC的面积。
根据正弦定理和余弦定理，可以得到sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。
代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。
同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。
解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得sinC=√3/2，若△ABC是钝角三角形，面积为0.4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C和如果c=2，求△ABC面积的最大值。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得S△ABC=√3.5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。
根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7.6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。
代入正弦定理和已知条件，解得sinB=1/2，周长为3c。
1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。
由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。
专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长. 【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小； （2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当 时，由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<，【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos,cos 44x x m ⎛⎫= ⎪⎭， sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， （当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()1f B <≤，综上， ()f B的取值范围为⎛ ⎝⎦． 例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin cos ba c B C A C --+=+（1）求A 的大小； （2）求代数式b c a +的取值范围.【答案】（1）3π（22b ca+<≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin cos b a c B C A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin B A B -，因为cos 0B ≠，故得sin A =ABC ∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b ca+的取值范围即可．试题解析： （1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin cos b a c B C A C --+=+，∴()()2cos sin cos ac B B C A C -+=+ ， ∴()()2cos sin ,B A B ππ--=-∴2cos sin B A B -=，∴23sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫+++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b ca+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的． 例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为2ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6 【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c c o s A a c o s B-+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得2sin 2a R A ===.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号， 所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】 ，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， AB =， 1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值. 4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】 【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得 ，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯= 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值.试题解析：（1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC ∆面积的最大值为.8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =. （1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 1⎡⎤⎣⎦.在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b c B C=，∴22sin 2sin 311sin sin sin tan B C B c B B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=+，∵43B ππ≤≤，∴1tan B ≤≤21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积S满足222a b c =+-． （1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围． 【答案】（1）23π；（2）(tan C =0C π<<， 23C π∴=.（2）()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值； （2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围.（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由3040{ 202A A C A C πππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(S AcosC ∴+∈.12．【衡水金卷信息卷 （五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (3+(3.试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =， ∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。
2024年上海数学高考一轮复习必刷大题 专题1 解三角形大题综合含详解
专题01解三角形大题综合一、解答题1．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知()2sin cos c 2πos 6f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求方程()0f x =的解集；(2)求函数()y f x =在[]0,π上的单调增区间.2．（2023·上海闵行·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A B =，4a =，6b =．(1)求cos B 的值；(2)求ABC 的面积．3．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数()23sin cos 32f x x x x =-+．(1)求函数()y f x =的最小正周期和单调区间；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．4．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）在ABC 中，a b c ､､分别是角A B C ､､的对边.设()()2,,cos ,cos m a c b n B C =+= ，已知0m n ⋅=r r (1)求角B 的大小；(2)设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，求函数()y f x =的最小值.5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，P 是边长为2的正三角形ABC 所在平面上一点（点A 、B 、C 、P 逆时针排列），且满足CP CA =，记θ∠=CAP .(1)若π3θ=，求PB 的长；(2)用θ表示PAB 的面积S ，并求S 的取值范围.6．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量())2sin ,cos2,3cos ,1m x x n x ωωω==，其中0ω>，若函数()f x m n=⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调增区间；(2)在ABC 中，若()2,f B BC B A =-==，求BA BC ⋅的值.7．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）已知扇形OAB 的半径为1，π3AOB ∠=，P 是圆弧上一点（不与A ，B 重合），过P 作,PM OA PN OB ⊥⊥，M ，N为垂足．(1)若12PM =，求PN 的长；(2)设AOP x ∠=，PM ，PN 的线段之和为y ，求y 的取值范围．8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()π4cos sin(6f x x x =-的最大值为()f A .(1)求角A ；(2)当a =2b =时，求ABC 的面积.9．（2023·上海·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边AC 上，且2,AD CD BD AC ==．(1)若BD 平分ABC ∠，求sin sin ABDBDC∠∠的值；(2)若,,AB AC BC成递增的等比数列，AC =ABC 的面积．10．（2023·上海·高三专题练习）已知向量,2sin 22x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎝⎭ ，函数()y f x m n ==⋅ .(1)设ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()1f θ=，求θ的值；(2)在ABC 中，1AB =，()1f C =，且ABC的面积为2，求sin sin A B +的值.11．（2023春·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位后得到()g x 的图像，求方程()12g x =在[]π,π-的解集.12．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+.(1)求()f x 的单调增区间；(2)设ABC 为锐角三角形，角A B C ､､所对的边分别是,,,5a b c a b ==，若()0f A =，求ABC 的面积.13．（2023·上海嘉定·统考二模）已知向量()sin ,1cos 2a x x =+ ，1cos ,2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()f x a b =⋅ ．(1)求函数()y f x =的最大值及相应x 的值；(2)在ABC 中，角A 为锐角，且7π12A B +=，()1f A =，2BC =，求边AC 的长．14．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）在ABCcos cos C A =，6B π=，BC边中线AM (1)求A 的值；(2)求ABC 的面积．15．（2023·上海金山·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c，已知a =45C =︒.(1)若sin A B =，求c ；(2)若15B A -=︒，求ABC 的面积.16．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知函数25π()sin 2cos 16f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小值和单调增区间；(2)设角A B 、、C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求sin A ．17．（2023·上海黄浦·统考二模）在ABC 中，53cos ,cos 135A B =-=．(1)求sin C 的值；(2)若4AB =，求ABC 的周长和面积．18．（2023·上海浦东新·统考三模）已知向量),cos a x x =，πsin ,cos 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设()f x a b =⋅ .(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若()1f A =，4b =，三角形ABC的面积为a 的长.19．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知函数()ππsin 2cos sin 122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(1)求函数()f x 的最值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，2b =，且2sin sin B C A +=，求ABC 的面积．20．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知函数21()2cos 2f x x x =--，x R ∈.(1)求函数()y f x =在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求ABC S .21．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）设函数()2cos 2f x x x ωω=+，其中02ω<<.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 图像在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上存在对称轴，求ω的取值范围.22．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若33cos a c b C -=，求角B 的大小；(2)已知3b =、π3B =，若D 为ABC 外接圆劣弧AC 上一点，求ADC △周长的最大值.23．（2023·上海长宁·统考二模）（1）求简谐振动sin cos y x x =+的振幅、周期和初相位([0,2π))ϕϕ∈；（2）若函数11sincos 22y x x =+在区间(0,)m 上有唯一的极大值点，求实数m 的取值范围；（3）设0a >，()sin sin f x ax a x =-，若函数()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数，求实数a 的取值范围．xπ0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭π3π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭π5ππ,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5π35π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭y '+0-0+0-y极大值极小值极大值专题01解三角形大题综合一、解答题1．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知()2sin cos c 2πos 6f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求方程()0f x =的解集；(2)求函数()y f x =在[]0,π上的单调增区间.【答案】(1)ππ,Z 26k x x k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭(2)π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）化简得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取π2π,Z 3x k k +=∈，解得答案.（2）取πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解不等式，取0k =和1k =得到单调增区间.【详解】（1）()312sin cos cos 2sin 2cos 2si 2622πn f x x x x x x x ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭13sin 2222πsin 23x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=，取()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则π2π,Z 3x k k +=∈，解得ππ,Z 26k x k =-∈.故方程()0f x =的解集为ππ,Z 26k x x k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭.（2）取πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，当0k =时，π0,12⎡⎤⎢⎣⎦满足条件；当1k =时，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足条件；综上所述：单调增区间是π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2023·上海闵行·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A B =，4a =，6b =．(1)求cos B 的值；(2)求ABC 的面积．【答案】(1)1cos 3B =(2)82【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解.（2）根据余弦定理可得c ，由cos B 可得sin B ，进而可得面积.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，又sin sin 22sin cos A B B B ==，所以2sin cos sin a b B B B=，即462sin cos sin B B B =，解得1cos 3B =；（2）由（1）得1cos 3B =，则sin 3B =，又由余弦定理222222461cos 2243a cbc B ac c +-+-===⨯，0c >，解得6c =，所以11sin 4622S ac B ==⨯⨯=3．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+．(1)求函数()y f x =的最小正周期和单调区间；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)最小正周期πT =；单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间为()5π11π,πZ 2211k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)2⎫⎪⎪⎣⎭【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间；（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数m 的取值范围．【详解】（1）()21πsin cos cos sin 2cos 2sin 22223f x x x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小正周期2ππ2T ==；令()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈，解得()π5πππZ 1122k x k k -≤≤+∈，可得函数()y f x =的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦·令()ππ3π2π22πZ 232k x k k +≤-≤+∈，解得()5π11ππZ 1122k x k k π+≤≤+∈，可得因数()y f x =的单调递减区间为()5π11π,πZ 2211k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）可知，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y f x =在5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ2,332x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，()f x 由增大到1，当5ππ212,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,323x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()f x 由1若关于x 的方程()0f x m -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭4．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）在ABC 中，a b c ､､分别是角A B C ､､的对边.设()()2,,cos ,cos m a c b n B C =+= ，已知0m n ⋅=r r(1)求角B 的大小；(2)设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，求函数()y f x =的最小值.【答案】(1)2π3B =(2)最小值2-【分析】（1）利用向量的坐标运算和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x 值.【详解】（1）由题意可得：()2cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=，由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，则()2sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin 0A B C B B C A B B C ++=++=，可得2sin cos sin 0A B A +=，因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠，可得2cos 10B +=，即1cos 2B =-，又因为()0,πB ∈，所以2π3B =.（2）由（1）可得2π3B =，则ππ3A CB +=-=，由题意可得：()2ππ2cos sin 2sin sin 2sin cos cos33f x x x x B x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭212cos sin sin cos 2x x x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭222sin cos x x x x=πsin22sin 23x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，因为2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π22sin 23x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当π3π232x +=，即7π12x =时，()f x 有最小值2-.5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，P 是边长为2的正三角形ABC 所在平面上一点（点A 、B 、C 、P 逆时针排列），且满足CP CA =，记θ∠=CAP .(1)若π3θ=，求PB 的长；(2)用θ表示PAB 的面积S ，并求S 的取值范围.【答案】(1)(2)(π2sin 20,23S θ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；（2）由正弦定理求出AP ，然后代入三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.【详解】（1）由π3θ=，且ABC 是边长为2的正三角形，则2π3PAB ∠=，且2PA CP CA ===，所以在PAB 中，由余弦定理得22212cos 448122PB PA AB PA AB PAB ∠⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭，所以PB =；（2）由CP CA =，则CAP CPA θ∠=∠=，则π2PCA θ∠=-，在PAC △中，由正弦定理有()2sin π2sin sin AP BC θθθ==-，得()2sin π24cos sin AP θθθ-==，所以1ππsin 4cos sin 233S PA AB θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2sin cos 2sin 22sin 23θθθθθθ⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，又0πθ<<，且0π2πθ<-<，则π02θ<<，所以ππ4π2333θ<+<，所以πsin 23θ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，则(π2sin 20,23θ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，故S 的取值范围为(0,2⎤+⎦.6．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量())2sin ,cos2,,1m x x n x ωωω==，其中0ω>，若函数()f x m n=⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调增区间；(2)在ABC 中，若()2,f B BC B A =-==，求BA BC ⋅的值.【答案】(1)πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (2)32-【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数()f x 化简，再由函数周期即可求得ω，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；（2）根据题意，由（1）中函数()f x 的解析式可得2π3B =，再由正弦定理可得a c =，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.【详解】（1）()πcos22sin 26f x m n x x x ωωω⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭ ()f x 的最小正周期为2ππ,π,12T ωω∴==∴=.故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，解得,3πππ6πk x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z （2）设ABC 中角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .()π2,2sin 226f B B ⎛⎫=-∴+=- ⎪⎝⎭ ，即πsin 216B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2π3B =.1sin ,,3,sin2BC a B A b b A ∴==∴=∴== ，πππ0,,,366A A C a c <<∴==∴== 13cos 322BA BC c a B ⎛⎫∴⋅=⋅⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭.7．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）已知扇形OAB 的半径为1，π3AOB ∠=，P 是圆弧上一点（不与A ，B 重合），过P 作,PM OA PN OB ⊥⊥，M ，N 为垂足．(1)若12PM =，求PN 的长；(2)设AOP x ∠=，PM ，PN 的线段之和为y ，求y 的取值范围．【答案】(1)12；(2)2.【分析】（1）在直角POM 与直角PON △中，利用锐角三角函数的定义求解作答.（2）由（1）中信息，把y 用x 的函数表示出，再借助正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）在POM 中，PM OA ⊥，则1sin 2PM POM OP ∠==，显然π(0,3POM ∠∈，则π6POM ∠=，从而πππ366PON AOB POM ∠=∠-∠=-=，在PON △中，PN OB ⊥，所以π1sin 1sin 62PN OP PON =∠=⨯=.（2）依题意，ππ,(0,33PON AOB POM x x ∠=∠-∠=-∈πsin sin ,sin sin()3PM OP POM x PN OP PON x =∠==∠=-，因此π11πsin sin()sin sin sin sin()3223y x x x x x x x x =+-=+-=+=+，显然ππ2π(,)333x +∈，于是πsin()3x +∈，所以y 的取值范围是.8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()π4cos sin(6f x x x =-的最大值为()f A .(1)求角A ；(2)当a =2b =时，求ABC 的面积.【答案】(1)π3；(2)2.【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简()f x ，再利用正弦函数性质求出角A 作答.（2）利用余弦定理求出c ，再利用三角形面积公式求解作答.【详解】（1）依题意，2ππ()4cos (sin cos cos sin )sin 2cos 66f x x x x x x x =-=-π2cos 212sin(216x x x =--=--，因为()0,πA ∈，则ππ11π2(,666A -∈-，又π()2sin(2)16f A A =--是()f x 的最大值，所以ππ262A -=，即π3A =.（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π222cos 3c c =+-⨯，即2230c c --=，解得3c =，所以ABC 的面积11πsin 23sin223ABC S bc A ==⨯⨯⨯ .9．（2023·上海·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边AC 上，且2,AD CD BD AC ==．(1)若BD 平分ABC ∠，求sin sin ABDBDC∠∠的值；(2)若,,AB AC BC成递增的等比数列，AC =ABC 的面积．【答案】(1)11(2)4【分析】（1）运用余弦定理求出,CD BC 的关系，再运用正弦定理求解；（2）运用余弦定理求出AB ，BC 的值，再求出sin B ∠，用面积公式计算即可.【详解】（1）设CD m =，则2,3AD m BD AC m ===，因为BD 平分ABC ∠，所以2AB ADBC CD==，设BC n =，则2AB n =，在ABC 中，2222239cos 212AB AC BC n m A AB AC mn +-+==⋅，在ABD △中，2222245cos 28AB AD BD n m A AB AD mn+--==⋅，由22223945128n m n m nm mn+-=，得22112n m =，sin sinsin sin ABD CBD CD m BDC BDC BC n ∠∠====∠∠；（2）因为,,AB AC BC 成递增的等比数列，AC =26AB BC AC ⋅==，在ABD △中，2222263cos 28AB AD BD AB ADB AD BD -+-∠==⋅，在BCD △中，2222203cos 24BC BD CD BC BDC BD CD -+-∠==⋅，因为cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，所以22262033084AB BC --+=，整理得22222AB BC +=，又6AB BC ⋅=，所以2236222BC BC+=，解得BC =3BC =，若BC =AB BC =>，不符合题意，若3BC =，则2AB =，符合题意，此时2227cos 212AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅，则sin ABC ABC ∠=△的面积1sin 2S AB BC ABC =⋅∠=10．（2023·上海·高三专题练习）已知向量,2sin 22x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎝⎭，函数()y f x m n ==⋅ .(1)设ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()1f θ=，求θ的值；(2)在ABC 中，1AB =，()1f C =，且ABC的面积为2，求sin sin A B +的值.【答案】(1)π2-或π6(2)1+【分析】（1）化简得到s π()2co 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得到2π(Z)63ππk k θ+=±∈，根据范围得到答案.（2）确定π6C =，根据面积公式得到=ab 227a b +=，得到2+=a b ，再根据正弦定理得到答案.【详解】（1）2π()cos2sin cos cos )sin 2cos 2226x x x f x x x x ⎛⎫=-+-=+ ⎪⎝⎭()π2cos 16f θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故2π(Z)63ππk k θ+=±∈，ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故π2θ=-或π6.（2）(0,π)C ∈，由（1）知π6C =，在ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是,a b，则1s n πi 26S ab ==，故=ab 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，故227a b +=.解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是2+=a b 由正弦定理得sin sin sin 112===A B C a b，故1sin sin ()12+=+=+A B a b 11．（2023春·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位后得到()g x 的图像，求方程()12g x =在[]π,π-的解集.【答案】(1)()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对称中心为ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈；(2)π5π11π7π,,,12121212⎧⎫⎨⎬⎩⎭--.【分析】（1）结合函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像特征可求()f x 的解析式及对称中心；（2）根据图象变换可得()g x 的解析式，从而方程可求.【详解】（1）根据函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像，可得32π5ππ2,4123A ω=⋅=+，∴2ω=.再根据五点法作图，5ππ2122ϕ⨯+=，∴π3ϕ=-，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令π2π,Z 3x k k -=∈，解得ππ,Z 62k x k =+∈，此时0y =.所以函数()f x 的对称中心为ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈.（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向左平移π6个单位，得到ππsin 2sin 632y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，令1sin 22x =，[][]π,π,22π,2πx x ∈-∴∈- 所以π5π11π7π2,,,6666x =--，解得π5π11π7π,,,12121212x =--故方程()12g x =在[]π,π-的解集为π5π11π7π,,12121212⎧⎫⎨⎬⎩⎭--.12．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+.(1)求()f x 的单调增区间；(2)设ABC 为锐角三角形，角A B C ､､所对的边分别是,,,5a b c a b ==，若()0f A =，求ABC 的面积.【答案】(1)ππ,π,Z2k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)4【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及三角函数的性质即可求解；（2）根据已知条件及余弦定理，利用余弦定理的推论及三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）()2211cos sin cos 222f x x x x =-+=+由π2π22π,Z k x k k -+≤≤∈，得πππ,Z 2k x k k -+≤≤∈，所以()f x 的单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，()1cos 22f x x =+，因为()0f A =，所以()1cos 202f A A =+=,即1cos 22A =-，因为π02A <<，所以02πA <<,所以2π23A =，即π3A =.由余弦定理可知，2222cos a b c bc A =+-，将5a b ==代入并整理得2560c c -+=，解得2c =或3c =.又因为ABC 为锐角三角形，所以222cos 0,02a c b B c ac+-=>>，即219250c +->，解得c 所以3c =.所以ABC的面积为11sin 5322ABC S bc A ==⨯⨯⨯△.13．（2023·上海嘉定·统考二模）已知向量()sin ,1cos 2a x x =+ ，1cos ,2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()f x a b =⋅ ．(1)求函数()y f x =的最大值及相应x 的值；(2)在ABC 中，角A 为锐角，且7π12A B +=，()1f A =，2BC =，求边AC 的长．【答案】(1)ππ8x k =+，k ∈Z ；(2)AC =【分析】（1）利用向量数量积坐标运算、二倍角公式以及辅助角公式求得函数()y f x =的解析式，再由正弦函数的性质求解；（2）由（1）求出角A 的值，再利用正弦定理求出AC 边的长作答.【详解】（1）依题意，cos 2111π1()cos sin (sin 2cos 2))22242x f x x x x x x +=+=++=++当ππ22π42x k +=+，即ππ,Z 8x k k =+∈时，()y f x =取最大值12.（2）由（1）及()1f A =π12142A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即πsin 24A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因π02A <<，则ππ5π2444A <+<，因此，324ππ4A +=，则π4A =，而7π12A B +=，有π3B =，在ABC 中，由正弦定理sin sin BC AC A B =得，π2sinsin 3πsin sin 4BC B AC A ==所以边AC.14．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）在ABCcos cos C A =，6B π=，BC边中线AM (1)求A 的值；(2)求ABC 的面积．【答案】(1)π6【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出A 的值；（2）由余弦定理得出2b =，最后由面积公式得出ABC 的面积．【详解】（1cos cos C A =cos cos CA=2sin cos cos sin cos sin()sin B A A C C A A C B+因为sin 0B ≠，所以cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =.（2）因为6B π=，23C A B ππ=--=，可知ABC 为等腰三角形.在AMC 中，由余弦定理可得2222cos120AM AC MC AC MC =+-⋅︒即227(2cos12022b b b b =+-⨯⨯⨯︒，解得2b =.所以ABC的面积为2211sin 222S b C ==⨯=.15．（2023·上海金山·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c，已知a =45C =︒.(1)若sin A B =，求c ；(2)若15B A -=︒，求ABC 的面积.【答案】(1)2c =(2)2+3【分析】(1)根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可.(2)先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得.【详解】（1）由sin A B =,应用正弦定理得a ==2b ∴=,2842242c ∴=+-⨯⨯,即得2c =.（2）因为15135B A B A -=︒⎧⎨+=︒⎩则7560B A =︒⎧⎨=︒⎩,c ==111sin =222ABC S ac B ==⨯⨯ 16．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知函数25π()sin 2cos 16f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小值和单调增区间；(2)设角A B 、、C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求sin A ．【答案】(1)()min 12f x =，单调递增区间()π3ππ,πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)6【分析】（1）由三角恒等变换得1()222f x x =-，结合正弦函数的性质求解即可；（2）由1cos 3B =，可得sin B =且β为锐角，60B >︒，由124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得60C =︒，再由()sin sin A B C =+求解即可.【详解】（1）解：由题意可得()2225ππππsin 2cos 1=sin 2++1cos =cos 2n 33si 62f x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ1cos 21cos 2cos sin 2sin 23322x x x x -=-+=-，所以当π2=2π+,Z 2x k k ∈，即ππ,Z 4x k k =+∈时，函数()f x 由π3π2π+22π+,Z 22k x k k ≤≤∈，解得π3ππ+π+,Z 44k x k k ≤≤∈，所以()f x 的单调递增区间()π3ππ,πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；综上所述：()min π1π42f x f k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，单调递增区间()π3ππ,πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）解：因为112224C f C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，sin C ∴=()0,πC ∈ ，60C ∴=︒或120︒，1cos sin 33662B B =⇒==>=Q ，且β为锐角，所以60B >︒，∴角C 只能为锐角60C =︒，()sin sin A B C ∴=+sin cos cos sin 6B C B C =+=.17．（2023·上海黄浦·统考二模）在ABC 中，53cos ,cos 135A B =-=．(1)求sin C 的值；(2)若4AB =，求ABC 的周长和面积．【答案】(1)1665；(2)周长32，面积24.【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得sin C 的值；（2）先利用正弦定理求得ABC 的,a b 的长，进而求得ABC 的周长和面积．【详解】（1）在ABC 中，53cos ,cos 135A B =-=，又(),0,πA B ∈，则124sin ,sin 135A B ==，则1235416sin sin()sin cos cos sin 13513565C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.（2）4c AB ==，又124sin ,sin 135A B ==，16sin 65C =，则由正弦定理得124sin sin 135415,4131616sin sin 6565A Ba cbc C C =====⨯=，则ABC 的周长为1513432++=ABC 的面积为1116sin 1513242265ab C =⨯⨯⨯=．18．（2023·上海浦东新·统考三模）已知向量),cos a x x =，πsin ,cos 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设()f x a b =⋅ .(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若()1f A =，4b =，三角形ABC的面积为a 的长.【答案】(1)π(2)【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可；（2）根据()1f A =求出角A ，结合条件及三角形面积公式求出c ，利用余弦定理即可求解a .【详解】（1）由题意，()f x a b =⋅=2πsin cos 2x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2cos cos x x x =+112cos 222x x =++π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因此函数()y f x =的最小正周期为2ππ2T ==；（2）由()1f A =得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ7π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，解得π3A =，因为11sin 422ABC S bc A c ==⨯=V 2c =,由余弦定理解得2222212cos 42242122a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,所以a =.19．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知函数()ππsin 2cos sin 122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(1)求函数()f x 的最值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，2b =，且2sin sin B C A +=，求ABC 的面积．【答案】(1)最大值为2，最小值为2-(2)2或3【分析】(1)把()f x 化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为x ，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为2x ，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；(2)先求出角A ，由余弦定理得到关于,a c 的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含,a c 的方程，联立方程组即可解出,a c 的值，再代入三角形的面积公式即可.【详解】（1）因为()sin 2cos sin 122f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 12cos 2x x x x x=-+=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2，最小值为2-．（2）结合(1)可知()2sin 226f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为()0,A π∈，所以112666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则2,623A A πππ-==．由余弦定理得2222241cos 242b c a c a A bc c +-+-===，化简得2224a c c =-+①．又2sin sin B C A +=，由正弦定理可得2b c +=，即4c +=②．结合①②得3a c ==或23a c ==．3c =时，1sin 22ABCS bc A ==；23c =时，1sin 23ABC S bc A ==△．综上，ABC 的面积为2或3．20．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知函数21()2cos 2f x x x =--，x R ∈.(1)求函数()y f x =在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求ABC S .【答案】(1)max 0y =，min 22y +=-；(2)2.【分析】（1）利用辅助角公式将函数()f x 化简可得π()sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性得到()f x 在ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，在π5π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，进而求出最值；（2）根据题意得到π3C =，然后利用正弦定理得到2b a =，再结合余弦定理和三角形面积公式即可求解.【详解】（1）()1cos 21π2sin 21226x f x x x +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+，Z k ∈，得()f x 的单调递减区间为π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故()f x 在ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，在π5π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，故max π03y f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，min π5πmin ,1212y ff ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎨⎬ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎩⎭（2）π()sin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πsin 2106C ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，0πC <<，022πC <<，所以ππ11π2666C -<-<，所以ππ262C -=，π3C =，因为sin 2sin B A =，所以由正弦定理得2b a =，①由余弦定理得222π2cos3=+-c a b ab ，即2223c a b ab =+-=，②由①②解得：1a =，2b =.故1sin 2ABC S ab C ==△.21．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）设函数()2cos 2f x x x ωω=+，其中02ω<<.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 图像在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上存在对称轴，求ω的取值范围.【答案】(1)πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z(2)122ω≤<【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出ω，然后利用正弦函数的单调性求解；（2）利用正弦函数sin y x =的对称轴公式求参数的范围.【详解】（1）由题意，()21π1sin2cos sin2(cos 21)sin 222262f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，又02ω<<，于是2ππ2ω=，则1ω=，则()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调递增区间，令πππ22π,2π,622x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，解得πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ,即为()f x 的单调递增区间.（2）当π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，ππ2ππ2,6636x ωω⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，注意到题干02ω<<，则2πππ3π,3662ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数sin y x =的对称轴ππ,2x k k =+∈Z ，显然只有0k =时一条对称轴32π2ππ,6x =∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是2πππ362ω+≥，解得12ω≥，结合02ω<<可得122ω≤<22．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若33cos a c b C -=，求角B 的大小；(2)已知3b =、π3B =，若D 为ABC 外接圆劣弧AC 上一点，求ADC △周长的最大值.【答案】(1)1arccos 3B =；(2)3+【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求解作答.（2）由（1）及给定条件，求出ADC ∠，再利用余弦定理结合均值不等式求解作答.【详解】（1）在ABC 中，由33cos a c b C -=及正弦定理，得3sin sin 3sin cos A C B C -=，即3sin()sin 3sin cos B C C B C +-=，则3(sin cos sin cos )sin 3sin cos B C C B C B C +-=，整理得sin (3cos 1)0C B -=，而sin 0C ≠，即1cos 3B =，又因为0B π<<，所以1arccos 3B =.（2）在ADC △中，2π,33ADC AC ∠==，由余弦定理得2222π2cos3AC AD DC AD DC =+-⋅，于是22()()994AD DC AD DC AD DC ++=+⋅≤+，解得AD DC +≤当且仅当AD DC ==所以当AD DC ==ADC △周长取得最大值3+23．（2023·上海长宁·统考二模）（1）求简谐振动sin cos y x x =+的振幅、周期和初相位([0,2π))ϕϕ∈；（2）若函数11sin cos 22y x x =+在区间(0,)m 上有唯一的极大值点，求实数m 的取值范围；（3）设0a >，()sin sin f x ax a x =-，若函数()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（12π2π1T ==，初相位π4ϕ=；（2）π5π,33⎛⎤ ⎥⎝⎦；（3）()0,1；【分析】（1）利用辅助角公式化简，即可得到振幅、周期和初相位；（2）求导，令0y '=，求出导函数的零点，利用三角函数的单调性判断导函数的正负，进而分析出()y f x =的单调，列表分析出有唯一的极大值点的情况，即可得到实数m 的取值范围；（3）求导，并对a 分类讨论，利用余弦函数的单调性分析导函数在区间(0,π)的正负，即可判断()y f x =是否为严格增函数，进而得到实数a 的取值范围.【详解】解：（1）πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2π2π1T ==，初相位π4ϕ=；（2）111111cos sin cos sin 222222y x x x '⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令0y '=，得1cos 02x =,11sin 22x =，列表，x π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭π3π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭π5ππ,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5π35π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭y '+0-0+0-y 极大值 极小值 极大值函数11sin cos 22y x x =+在区间(0,)m 上有唯一的极大值点时，π5π33m <≤，即实数m 的取值范围为π5π,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.（3）()cos cos f x a ax a x '=-，当01a <<时，因为0πx <<，所以0πax x <<<，进而cos cos ax x >，()(cos cos )0f x a ax x '=->此时，()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数；当1a =时，()0f x =，()y f x =不是严格增函数；当1a >时，设π0,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0πx ax <<<，进而cos cos x ax >，()0f x '<，此时，()y f x =在区间π0,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是严格减函数；综上，若函数()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数，则01a <<，即实数a 的取值范围()0,1.【点睛】思路点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.。
三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题10 解三角形(解析版)
专题10 解三角形1．【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.3．【2017年高考山东卷理数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=， 故选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==，11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.6．【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .7．【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】,24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin 4C =【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=． （2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，1sin 2sin 2C C C +=，可得()cos 60C ︒+=．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 【答案】（1）B =60°；（2）()82. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =， 因此B =60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°， 由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，ABC S <<△．因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎭． 【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 10．【2019年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值．【答案】（1）7b =，5c =；（2. 【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =.（2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）14-；（2）【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．12．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【答案】（1）3c =；（2）5. 【解析】（1）因为23,3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+. 【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ===此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM=<=，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.14．【2018年高考全国Ⅰ理数】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC .【答案】（1（2）5. 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB =︒∠，所以sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.【名师点睛】求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边角；二是注意大边对大角，在解三角形中的应用.15．【2017年高考全国Ⅰ理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【答案】（1）23；（2）3+. 【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故△ABC 的周长为3【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.16．【2018年高考天津卷理数】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3；（2）b sin(2)A B -. 【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分． （1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（2）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cosA =因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-= 【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17．【2017年高考全国Ⅱ理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin2BA C +=． （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =；（2）2b =． 【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin 2BB =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =． （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =． 又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+= 所以2b =．【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．18．【2018年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （1）求∠A ；（2）求AC 边上的高．【答案】（1）π3；（2）2． 【解析】（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2）， ∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =11()2727-+⨯=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=，∴AC 边上的高为2．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，基本步聚是：第一步，定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步，定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边、角之间的互化； 第三步，求结果.19．【2017年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin(2)4A +的值．【答案】（1）b sin A （2）26.【解析】（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =． 由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =．由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin a B A b ==．所以，b sin A（2）由（1）及a c <，得cos A =， 所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=． 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．20．【2017年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 0A A =，a ，b =2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积.【答案】（1）4c =；（2【解析】（1）由已知可得tan A =2π3A =. 在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=.解得6c =- (舍去)，4c =. （2）由题设可得π2CAD ∠=， 所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=.故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅.又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=所以ABD △【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. （1）由题意首先求得2π3A =，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得4c =； （2）利用题意首先求得ABD △的面积与ACD △的面积的比值，然后结合ABC △的面积可求得ABD △.21．【2017年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=．因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【名师点睛】解答本题时，（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果．22．【2017年高考北京卷理数】在△ABC 中，A ∠=60°，c =37a . （1）求sin C 的值；（2）若a =7，求△ABC 的面积.【答案】（1）14；（2）【解析】（1）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯， 解得8b =或5b =-（舍）.所以△ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理实现边角互化；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. （1）根据正弦定理sin sin a cA C=求sin C 的值； （2）根据条件可知7,3,a c ==根据余弦定理求出b 的值，最后利用三角形的面积公式1sin 2S bc A =进行求解即可.。
理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之12解三角形
专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.(1)求A ;(2)若22a b c +=,求sin C .2.(2019全国Ⅱ理15)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===,则ABC △的面积为__________.3.(2019全国Ⅲ理18)△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ,已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.4.(2019江苏12)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅,则ABAC的值是 .5.(2019江苏15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b 2B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 6.(2019浙江14)在ABC △中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =____,cos ABD ∠=________.7.(2019北京15)在ABC △中,a =3,b -c =2 ,1cos 2B =- . (Ⅰ)求b ,c 的值; (Ⅱ)求sin(B -C ) 的值.8.(2019天津理15)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =.(Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2010-2018年一､选择题1.(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos 2=C ,1=BC ,5=AC ,则=ABA. D.2.(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ABC ∆的面积为2224a b c +-,则C =A.2πB.3π C.4π D.6π 3.(2017山东)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC ∆为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 4.(2016年天津)在ABC ∆中,若AB BC =3,120C ∠= ,则AC =A.1B.2C.3D.45.(2016年全国III)在ABC △中,π4B,BC 边上的高等于13BC ,则cos AC.10D.3106.(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12,1AB =,BC =则AC =A.5C.2D.17.(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ,B ,C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是A.8)(>+c b bcB.()ab a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤ 8.(2014江西)在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,若22()6c a b =-+,3C π=,则ABC ∆的面积是A.3B.239 C.233 D.33 9.(2014四川)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75,30,此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于A.1)mB.1)mC.1)mD.1)m 10.(2013新课标Ⅰ)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos A +cos20A =,7a =,6c =,则b =A.10B.9C.8D.511.(2013辽宁)在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =,且a b >,则B ∠=A.6πB.3πC.23πD.56π12.(2013天津)在△ABC 中,,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=13. (2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定14.(2012广东)在ABC ∆中,若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==则AC =A. B. 15.(2011辽宁)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2sin cos cos a A B b A +=,则=abA. B.16.(2011天津)如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,2AB AD AB ==,2BC BD =,则sin C 的值为CA.3 B.6 C.3 D.616.(2010湖南)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若120C ∠=,c =,则A.a b >B.a b <C.a b =D.a 与b 的大小关系不能确定 二､填空题18.(2018江苏)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .19.(2018浙江)在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2b =,60A =,则sin B =___________,c =___________.20.(2017浙江)已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =. 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________,cos BDC ∠=__________.21.(2017浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度｡祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ,6S = . 22.(2016年全国II)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若4cos 5A =, 5cos 13C =,1a =,则b = . 23.(2015广东)设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若3a =,1sin 2B =,6C π=,则b = . 24.(2015福建)若锐角ABC ∆的面积为103,且5AB =,8AC =,则BC 等于 .25.(2015新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,75A B C ∠=∠=∠=,2BC =,则AB 的取值范围是_______.26.(2015北京)在ABC △中,4a =,5b =,6c =,则sin 2sin AC= .27.(2015天津)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ∆的面积为315,2b c -=,1cos 4A =-,则a 的值为 .28.(2015湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m.29.(2014新课标Ⅰ)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒;从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =,则山高MN =____m .30.(2014广东)在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.已知cos b C +cos 2c B b =,则=ba. 31.(2013安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.32.(2013福建)如图ABC ∆中,已知点D 在BC边上,AD ⊥AC,sinBAC ∠=, AB =3AD =,则BD 的长为_______________.C33.(2012安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是 .①若2ab c >;则3C π<②若2a b c +>;则3C π<③若333a b c +=;则2C π<④若()2a b c ab +<;则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<;则3C π>34.(2012北京)在ABC ∆中,若12,7,cos 4a b c B =+==-,则b = . 35.(2011新课标)ABC ∆中,60,B AC =︒=,则AB +2BC 的最大值为____.36.(2011新课标)ABC ∆中,120,7,5B AC AB =︒==,则ABC ∆的面积为_ __. 37.(2010江苏)在锐角三角形ABC ,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,6cos b a C a b +=,则tan tan tan tan C CA B+=_______.38.(2010山东)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2a b ==,sin cos B B +=则角A 的大小为 .三､解答题39.(2018北京)在ABC ∆中,7a =,8b =,1cos 7B =-. (1)求A ∠;(2)求AC 边上的高.40.(2018全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=,45A ∠=,2AB =,5BD =.(1)求cos ADB ∠;(2)若DC =求BC .41.(2018天津)在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin cos()6b A a B π=-.(1)求角B 的大小;(2)设2a =,3c =,求b 和sin(2)A B -的值.42.(2017新课标Ⅰ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC ∆的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC ∆的周长.43.(2017新课标Ⅲ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 0A A =,a =2b =. (1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求ABD ∆的面积. 44.(2017新课标Ⅱ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2sin()8sin 2B AC +=. (1)求cos B(2)若6a c +=,ABC ∆面积为2,求b .45.(2017天津)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5a =,6c =,3sin 5B =.(Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求πsin(2)4A +的值. 46.(2017北京)在ABC ∆中,A ∠=60°,37c a =. (Ⅰ)求sin C 的值;(Ⅱ)若7a =,求ABC ∆的面积.47.(2016年山东)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ (Ⅰ)证明:2a b c +=; (Ⅱ)求cos C 的最小值.48.(2016年四川)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. (I)证明:sin sin sin A B C =; (II)若22265b c a bc +-=,求tan B . 49.(2016年全国I)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I)求C ;(II)若c ABC △=的面积为2,求ABC △的周长. 50.(2015新课标2)∆ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍.(Ⅰ)求sin sin BC;(Ⅱ) 若AD =1,DC ,求BD 和AC 的长. 51.(2015湖南)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan a b A =,且B 为钝角.(1)证明:2B A π-=;(2)求sin sin A C +的取值范围.52.(2014山东)ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知63,cos ,32a A B A π===+. (I)求b 的值;(II)求ABC ∆的面积.53.(2014安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且3b =,1c =,2A B =. (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求sin()4A π+的值.54.(2013新课标Ⅰ)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB = 3 ,BC =1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90°(Ⅰ)若PB =12,求P A ;(Ⅱ)若∠APB =150°,求tan ∠PBA .55.(2013新课标Ⅱ)ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.56.(2012安徽)设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,a b c ,且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +.(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ) 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.57.(2012新课标)已知a ､b ､c 分别为ABC ∆三个内角A ､B ､C 的对边,cos a C +3sin 0a C b c --=.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若2=a ,ABC ∆的面积为3,求b ､c .58.(2011山东)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知cos 2cos 2cos A C c aB b --=. (I)求sin sin CA的值;(II)若1cos 4B =,2b =,ABC ∆的面积S .59.(2011安徽)在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,a =3,b =2,12cos()0B C ++=,求边BC 上的高.60.(2010陕西)如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间?61.(2010江苏)某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC 的高度h =4m,仰角∠ABE =α,∠ADE =β.Hh dβαDB C(1)该小组已经测得一组α､β的值,tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度｡若电视塔的实际高度为125m,试问d 为多少时,α-β最大?专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案部分 2019年1.解:(1)由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=,故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==. 因为0180A ︒︒<<,所以60A ︒=.(2)由(1)知120B C ︒=-,()sin 1202sin A C C ︒+-=,1sin 2sin 2C C C ++=,可得()cos 602C ︒+=-.由于0120C ︒︒<<,所以()sin 60C ︒+=,故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=. 2.解析:由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-, 因为6b =,2a c =,π3B =,所以222π36(2)4cos 3c c c =+-,所以212c =,21sin sin 2ABCS ac B c B ===△3.解析(1)由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=. 因为sin 0A ≠,所以sinsin 2A CB +=.由180A B C ︒++=,可得sincos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222B B B=. 因为cos02B ≠,故1sin 22B =,因此60B =︒. (2)由题设及(1)知△ABC的面积4ABC S a =△. 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+.由于ABC △为锐角三角形,故090A ︒<<︒,090C ︒<<︒,由(1)知120A C +=︒,所以3090C ︒<<︒,故122a <<,ABC S <<△. 因此,ABC △面积的取值范围是,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.4.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+,1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μμμμμμ-=+=+=+-=-+=+,所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以11()24AO AD AB AC ==+,13EC AC AE AB AC =-=-+, 221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=221322AB AB AC AC -+⋅+, 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+,所以221322AB AC =,所以223AB AC=,所以ABAC= 5.解析 (1)由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯,即213c =.所以3c =. (2)因为sin cos 2A Ba b=, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 6.解析:在直角三角形ABC 中,4AB =,3BC =,5AC =,4sin 5C =, 在BCD △中,sin sin BD BC C BDC=∠,可得122BD =;135CBD C ∠=-,224372sin sin(135)(cos sin )225510CBD C C C ⎛⎫∠=-=+=⨯+=⎪⎝⎭, 所以()72cos cos 90sin ABD CBD CBD ∠=-∠=∠=.7.解析:(I)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 因为2b c =+,所以()222123232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得5c =, 所以7b =.(II)由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==在ABC △中,B ∠是钝角,所以C ∠为锐角.所以11cos 14C ==. 所以()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 8.解析(Ⅰ)在ABC △中,由正弦定理sin sin b cB C=,得sin sin b C c B =,又由3sin 4sin c B a C =,得3sin 4sin b C a C =,即34b a =.又因为2b c a +=,得到43b a =,23c a =. 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin B ==,从而sin 22sin cos B B B ==227cos 2cos sin 8B B B =-=-,故πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭.2010-2018年1.A 【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ,所以由余弦定理, 得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ,所以=AB 故选A.2.C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=,所以222sin cos 2a b c C C ab +-==,所以在ABC ∆中,4C π=.故选C. 3.A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+,即2sin cos sin cos B C A C =,所以2sin sin B A =,即2b a =,选A. 4.A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 5.C 【解析】设△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,由题意可得1sin 342a c π==,则2a c =.在△ABC 中,由余弦定理可得222222295322b ac c c c c =+-=+-=,则b =. 由余弦定理,可得22222259cos 2c c c b c a A bc +-+-===故选C. 6.B 【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=,∴sin 2B =,所以45B =或135B =. 当45B =时,1AC ==,此时1,AB AC BC ===易得90A =与“钝角三角形”矛盾;当135B =时,AC =7.A 【解析】因为A B C π++=,由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=, 即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=, 整理得1sin sin sin 8A B C =, 又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===, 因此322222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==,由12S ≤≤ 得222311264a b c ≤≤,即8abc ≤≤因此选项C ､D 不一定成立.又0b c a +>>,因此()8bc b c bc a +>⋅≥,即()8bc b c +>,选项A 一定成立.又0a b c +>>, 因此()8ab a b +>,显然不能得出()ab a b +>选项B 不一定成立.综上所述,选A.8.C 【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①,由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②.所以由①②得6ab =,所以1sin 232ABC S ab π∆==. 9.C 【解析】∵tan15tan(6045)23=-=-,∴60tan 6060tan15120(31)BC =-=.10.D 【解析】225cos 10A -=,1cos 5A =,由余弦定理解得5b =. 11.A 【解析】边换角后约去sin B ,得1sin()2A C +=,所以1sin 2B =,但B 非最大角,所以6Bπ=.12.C 【解析】由余弦定理可得AC =再由正弦定理得sin 10A =. 13.B 【解析】∵cos cos sin bC c B a A +=,∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=,∴2sin()sin B C A +=,∴2sin sin A A =,∴sin 1A =,∴△ABC 是直角三角形.14.B【解析】由正弦定理得:sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=15.D 【解析】由正弦定理,得22sin sin sin cos A B B AA +=,即22sin (sin cos )B A AA ⋅+=,sin B A=,∴sin sin b B a A==. 16.D 【解析】设AB c =,则ADc =,BD =,BC =,在ΔABD 中,由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==,则sin A =,在ΔABC 中,由正弦定理得sin sin 3c BC C A ==,解得sin C =.17.A 【解析】因为120C ∠=,c =,所以2222cos c a b ab C =+-,222122()2a ab ab =+--所以22,0,aba b ab a b a b a b-=-=>>+ 因为0,0a b >>,所以0aba b a b-=>+,所以a b >.故选A.18.9【解析】因为120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,所以60ABD CBD ∠=∠=,由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+, 化简得ac a c =+,又0a >,0c >,所以111a c+=,则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+++=≥, 当且仅当2ca =时取等号,故4a c +的最小值为9. 19.7;3【解析】因为a =2b=,60A=,所以由正弦定理得2sin sin 7b AB a===.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2230c c--=,所以3c =., 2222224241cos 22424AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯,由22sin cos 1ABC ABC∠+∠=所以sin ABC ∠===,1sin 2BDC S BD BC DBC ∆=⨯⨯∠ 11sin()sin 22BD BC ABC BD BC ABC π=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=.C因为BD BC =,所以D BCD ∠=∠,所以2ABC D BCD D ∠=∠+∠=∠,cos cos24ABC BDC ∠∠====.21.2【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成,所以 6133611sin 6022S =⨯⨯⨯⨯=.22.2113【解析】∵4cos 5A =,5cos 13C =,所以3sin 5A =,12sin 13C =, 所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=, 由正弦定理得:sin sin b a B A =解得2113b =. 23.1 【解析】由1sin 2B =得6B π或56π,因为6C π,所以56B π≠,所以6Bπ,于是23A π=.有正弦定理,得21sin 32b π=,所以1b =. 24.7【解析】由已知得ABC∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin 2A =,(0,)2A π∈,所以3A π=. 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49,7BC =.25.【解析】如图作PBC ∆,使75∠=∠=B C ,2BC,作出直线AD 分别交线段PB ､PC于A ､D 两点(不与端点重合),且使75∠=BAD ,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形,过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在PBC ∆中,可求得62BP ,在QBC ∆中,可求得BQ =,所以AB 的取值范围为.26.1【解析】∵2223cos 24b c a A bc +-==, 而sin 22sin cos 243cos 21sin sin 64A A A a A C C c ⨯==⨯=⨯⨯=. 27.8 【解析】 因为0Aπ<<,所以sin 4A ==,又1sin 28ABC S bc A ∆===24bc ∴=, 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩,得6b =,4c =,由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以8a =.28., 30=∠BAC ,105=∠ABC ,在ABC ∆中,由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ,所以 45=∠ACB ,因为600=AB ,由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=, 即2300=BC m,在BCD Rt ∆中,因为 30=∠CBD ,2300=BC , 所以230030tan CDBC CD ==,所以6100=CD m.29.150【解析】在三角形ABC 中,AC =,在三角形MAC 中,sin 60sin 45MA AC=,解得MA =在三角形MNA 中3sin 602==,故150MN =. 30.2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得:sin cos sin cos 2sin B C C B B +=,即sin()2sin B C B +=,sin 2sin A B =,∴2a b =,故2ab=. 31.π32【解析】3sin 5sin A B =, π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ,所以π32.sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•,2223BD ∴==33.①②③【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时,22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得:2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得:3C π<.34.4【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-,解得b =4.35.【解析】 在ABC ∆中,根据sin sin sin AB AC BCC B A==,得sin sin 2sin sin ACAB C C C B=⋅==,同理2sin BC A =, 因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+.【解析】根据sin sin AB ACC B=得5sin sin 7AB C B AC ===11cos 14C ==, 所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+=11121421414⨯-⨯=. 37.4【解析】(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A ､B 和边a ､b 具有轮换性.当A =B 或a =b 时满足题意,此时有:1cos 3C =,21cos 1tan 21cos 2C C C -==+, tan22C =,1tan tan tan 2A B C===,tan tan tan tan C CA B+= 4. (方法二)226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+, 2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=⋅=⋅21sin cos sin sin C C A B =⋅.由正弦定理,得:上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅.38.6π【解析】由sin cos 2B B +=得12sin cos 2B B +=,即sin 21B =, 因02B π<<,所以2,24B B ππ==.又因为2,2,a b ==由正弦定理得22sin sin 4A π=, 解得1sin 2A =,而,a b <则04A B π<<=,故6a π=. 39.【解析】(1)在ABC ∆中,∵1cos 7B =-,∴(,)2B ππ∈,∴243sin 1cos B B =-=. 由正弦定理得sin sin a b A B=⇒7sin 437A =,∴3sin A =. ∵(,)2B ππ∈,∴(0,)2A π∈,∴π3A ∠=.(2)在ABC ∆中,∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=31143()72⨯-+⨯=33. 如图所示,在ABC ∆中,∵sin hC BC=,∴sin h BC C =⋅=33337142⨯=, ∴AC 边上的高为332.40.【解析】(1)在ABD △中,由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知,52sin 45sin ADB=︒∠,所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠<︒,所以223cos 125ADB ∠=-=(2)由题设及(1)知,cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中,由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.41.【解析】(1)在ABC △中,由正弦定理sin sin a bA B=,可得sin sin b A a B =, 又由πsin cos()6b A a B =-,得πsin cos()6a B a B =-,即πsin cos()6B B =-,可得tan B =又因为(0π)B ∈，,可得3B π=.(2)在ABC △中,由余弦定理及2a =,3c =,3B π=,有2222cos 7b a c ac B =+-=,故b =.由πsin cos()6b A a B =-,可得sin A =.因为a c <,故cos A =.因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以,sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 42.【解析】(1)由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.(2)由题设及(1)得121cos()cos cos sin sin 632B C B C B C +=-=-=- 所以2π3B C +=,故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=,即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=,即2()39b c bc +-=,得b c +=.故ABC △的周长为343.【解析】(1)由已知得tan A =,所以23A π=. 在ABC ∆中,由余弦定理得222844cos 3c c π=+-,即2+224=0c c -.解得6c =-(舍去),4c = (2)有题设可得2CAD π∠=,所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=.故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅. 又ABC ∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=所以ABD ∆44.【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =,故sin 4(1cos )B B =-. 上式两边平方,整理得217cos 32cos 150B B -+=, 解得cos 1B =(舍去),15cos 17B =. (2)由15cos 17B =得8sin 17B =,故14sin 217ABC S ac B ac ∆==. 又2ABCS ∆=,则172ac =.由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=. 所以2b =.45.【解析】(Ⅰ)在ABC △中,因为a b >,故由3sin 5B =,可得4cos 5B =. 由已知及余弦定理,有2222cos 13b a c ac B =+-=,所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin a B A b ==. 所以,bsin A的值为13.(Ⅱ)由(Ⅰ)及a c <,得cos A =,所以12sin 22sin cos 13A A A ==, 25cos 212sin 13A A =-=-.故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=. 46.【解析】(Ⅰ)在△ABC 中,因为60A ∠=︒,37c a =,所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ==. (Ⅱ)因为37c a a =<,所以60C A ∠<∠=,由7a =,所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯, 解得8b =或5b =-(舍).所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=47.【解析】(Ⅰ)由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,所以C B C sin sin sin +=2,由正弦定理,得c b a 2=+.(Ⅱ)由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos22233311112222()2c c a b ab=--=-=+.所以C cos 的最小值为12.48.【解析】(I)证明:由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知 原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+== ∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠则,两边同时乘以sin sin A B ,可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B +=由和角公式可知,()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证｡(II)由题22265b c a bc +-=,根据余弦定理可知,2223cos 25b c a A bc +-==∵A 为三角形内角,()0,A π∈,sin 0A >则4sin 5A =,即cos 3sin 4A A = 由(I)可知cos cos sin 1sin sin sin A B C A B C +==,∴cos 11sin tan 4B B B ==. ∴tan 4B =.49.【解析】(1)()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得:()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=,()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =,1cos 2C = ∵()0πC ∈， ∴π3C =. ⑵ 由余弦定理得:2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=50.【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠ 1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠ 因为2ABD ADC S S ∆∆=,BAD CAD ∠=∠,所以2AB AC .由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=,所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中,由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠,2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠.222222326AB AC AD BD DC +=++=.由(Ⅰ)知2AB AC =,所以1AC =.51.【解析】(1)由tan ab A 及正弦定理,得sin sin cos cos A b BA a B==, 所以sin cos BA ,即sin sin()2B A π.又B 为钝角,因此2π+A ∈(2π,π),故B =2π+A ,即B A =2π; (2)由(1)知,C =π(A +B )=π(2A +2π)=2π2A >0,所以A 0,4π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-=sin cos2A A +=22sin sin 1A A -++=2192(sin )48A --+,因为0<A <4π,所以0<sin A <2,因此2<-22199sin 488A ≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.由此可知sin sin A C +的取值范围是(2,98].52.【解析】(I)在ABC ∆中,由题意知sin A ==,又因为2B A π=+,所有sin sin()cos 23B A A π=+==,由正弦定理可得3sinsina BbA===(II)由2B Aπ=+得,cos cos()sin23B A Aπ=+=-=-,由A B Cπ++=,得()C A Bπ=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A Bπ=-+=+sin cos cos sinA B A B=+(=+13=.因此,ABC∆的面积111sin32232S ab C==⨯⨯=.53.【解析】:(Ⅰ)∵2A B=,∴sin sin22sin cosA B B B==,由正弦定理得22222a c ba bac+-=⋅∵3,1b c==,∴212,a a==(Ⅱ)由余弦定理得22291121cos263b c aAbc+-+-===-,由于0Aπ<<,∴sin3A===,故1sin()sin cos cos sin()4443A A Aπππ+=+=-=54.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o60,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得2PA=o1132cos3042+-=74,∴;(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sinα,在△PBA中,由正弦定理得osinsin(30)αα=-,化简得4sinαα=,∴tan α=4,∴tan PBA ∠=4. 55.【解析】(Ⅰ)因为cos sin a b C c B =+,所以由正弦定理得:sin sin cos sin sin A B C C B =+,所以sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+,即cos sin sin sin B C C B =,因为sin C ≠0,所以tan 1B =,解得B =4π; (Ⅱ)由余弦定理得:2222cos4b ac ac π=+-,即224a c =+,由不等式得:222a c ac +≥,当且仅当a c =时,取等号,所以4(2ac ≥,解得4ac ≤+,所以△ABC 的面积为1sin 24acπ(44≤+1,所以△ABC 面积的最大1.56.【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=1cos 23A A π⇔=⇔=(II)2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔=⇒=+⇒=在Rt ABD ∆中,AD ===. 57.【解析】(1)由正弦定理得:cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=(2)1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=,解得:2b c ==.58.【解析】(I)由正弦定理,设,sin sin sin a b ck A B C===则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B ---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B--=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-, 化简可得sin()2sin().A B B C +=+又A B C π++=, 所以sin 2sin C A =,因此sin 2.sin CA= (II)由sin 2sin CA=得2.c a = 由余弦定理222222112cos cos ,2,44.44b ac ac B B b a a a =+-==+-⨯及得4= 解得a =1.因此c =2.又因为1cos ,0.4B B π=<<且所以sin B =因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯= 59.【解析】由A C B C B -=+=++π和0)cos(21,得.23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A 再由正弦定理,得.22sin sin ==a Ab B .22sin 1cos ,2,,=-=<<<B B B B A B a b 从而不是最大角所以知由π由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h ,则有.213sin +==C b h60.【解析】由题意知(53AB =+海里,906030,45,DBA DAB ∠=︒-︒=︒∠=︒105ADB ∴∠=︒在DAB ∆中,由正弦定理得sin sin DB AB DAB ADB=∠∠sin sin AB DAB DB ADB •∠∴===∠2=海里),又30(9060)60,DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒=, 在DBC ∆中,由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-••∠= 1300120029002+-⨯= CD ∴=30(海里),则需要的时间30130t ==(小时). 答:救援船到达D 点需要1小时.61.【解析】(1)tan tan H H AD AD ββ=⇒=,同理:tan H AB α=,tan h BD β=. AD —AB=DB,故得tan tan tan H H h βαβ-=,解得:tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--. 因此,算出的电视塔的高度H 是124m.(2)由题设知d AB =,得tan ,tan H H h H h d AD DB dαβ-====, 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+()H H h d d-+≥当且仅当d =,取等号)故当d =,tan()αβ-最大. 因为02πβα<<<,则02παβ<-<,所以当d =,α-β最大.故所求的d是。
经典解三角形练习题(含答案)
解三角形练习题一、选择题1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ）A ．无解B ．一解C ． 二解D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（）A ．3π B ．6πC ．32πD ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,108、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形9、在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是()A ．2>xB ．2<xC ．3342<<x D ． 3342≤<x 10、在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23B ．43C ．23或3 D ．43 或23 12、已知△ABC 的面积为23，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ ）A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°13、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）A ． 14B ．142C ．15D ．15214、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）A ． 450a 元B ．225 a 元C ． 150a 元D ． 300a 元15、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A ．7150分钟 B ．715分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟16、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（ ） A ． 5000米B ．50002 米C ．4000米D ．24000 米17、在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，∠C ＝70°，那么△ABC 的面积为（ ）A ．641B ．321 C ．161 D ．81 18、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．819、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ） A ．51<<x B ．135<<x C ．50<<x D ．513<<x20、在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形 二、填空题21、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 22、在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝23、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ；b ＝ 24、已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是25、已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 26、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是20米30米150°三、解答题27、在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。
专题4-5 解三角形大题归类-(解析版)
专题4-4 解三角形大题归类目录一、热点题型归纳【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型 ................................................................................... 1 【题型二】角平分线的扩展结论 .............................................................................................................. 4 【题型三】中线的处理方法 ...................................................................................................................... 6 【题型四】三角形高的类型 .................................................................................................................... 10 【题型五】三角形内心 ............................................................................................................................ 11 【题型六】外接圆 .................................................................................................................................... 14 【题型七】双三角形 ................................................................................................................................ 16 【题型八】四边形 .................................................................................................................................... 18 【题型九】四边形图形最值 .................................................................................................................... 20 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 22 三、模拟检测 .. (29)【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型【典例分析】（2022·湖北·高三开学考试）在ABC 中，2AB AC =，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠.(1)若cos ACB ∠=，求cos BAC ∠；(2)若AD AC =，且ABC BC 的长.【答案】【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理可得sin ABC ∠=，从而可得cos ABC ∠=，再由()cos cos CAB ABC ACB ∠∠∠=-+，展开即可求解；（2）利用三角形的面积公式可得111sin sin sin 2222AC AD AB AD AB AC θθθ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅，从而解得3cos 4θ=，根据三角形的面积求出24b =，再由余弦定理即可求解.（1）由cos ACB ∠=，得sin ACB ∠=，在ABC 中，由正弦定理可得sin AB ACABC =∠，又2AB AC =，所以sin ABC ∠=AB AC >，故cos ABC ∠=所以()()cos cos cos CAB ABC ACB ABC ACB ∠π∠∠∠∠=--=-+，即cos sin sin cos cos CAB ABC ACB ABC ACB ∠∠∠∠∠=-，所以cos CAB ∠==（2）由已知，设22AB AC t ==，所以AD AC t ==，另设CAD θ∠=.由ABC ACD ABD S S S =+△△△，可得1112sin2sin 2sin 222t t t t t t θθθ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅，所以12sin cos sin sin 2θθθθ⋅=+，因为sin 0θ≠，所以3cos 4θ=，所以21cos22cos 18θθ=-=，又02,sin2θπθ<<==，又212sin22ABC S t t θ==⋅⋅⋅=，所以24t =，所以222299422cos241822BC t t t t t θ=+-⋅⋅⋅==⨯=，所以BC =【提分秘籍】基本规律角平分线“拆”面积法：ABC ACD ABDS S S =+△△△1.（2022·湖北·高三开学考试）已知ABC 的角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，且sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +-=+， (1)求角A ;(2)若AD 平分BAC ∠交线段BC 于点D ，且2,2AD BD CD ==，求ABC 的周长.【答案】(1)23A π=(2)9+【分析】（1）先利用余弦定理化简cos cos c B b C +，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A ，（2）由ABCBADCAD SSS=+结合AD 平分BAC ∠，23A π=可得22bc b c =+，作AE BC ⊥于E ，则由ABD ACDS S 结合已知条件可得2cb=，解方程组可求得,b c ，再利用余弦定理可求出a ，从而可求出三角形的周长.（1）由余弦定理得222222cos cos 22a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⨯+⨯= 所以sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +-=+可化为sin sin sin sin a A c B c C b B -=+ 再由正弦定理，得222a cb c b -=+，得222c b a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-.因为(0,)A π∈， 所以23A π= （2）因为AD 平分BAC ∠，所以3BAD CAD π∠=∠=.由1211sin sin sin 232323ABCBADCADSSSb c c AD b AD πππ=+⇒⋅=⋅+⋅， 得22bc b c =+.作AE BC ⊥于E ，则11sin 232211sin 232ABD ACD c AD BD AES c BD S b DCb AD CD AE ππ⋅⋅==⇒==⋅⋅. 由222bc b cc b =+⎧⎨=⎩，解得6,3,c b =⎧⎨=⎩由余弦定理，得2222cos 63a b c bc A ，所以37a故ABC 的周长为937+2.（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）在①()()()sin sin sin sin A C a b c B C -=-+，①()2222cos 2a b c a c B a+--=，①()sin cos 6a B C B b π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________． (1)求B(2)若b =ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且BD =，求ABC 的面积． 【答案】(1)=3B π【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件①，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件①，先用三角形的内角之和为π，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S =+△△△，结合余弦定理和三角形的面积公式即可 （1）选择条件①：根据正弦定理，可得：()()()a c a b c b c -=-+可得：222a c b ac +-=根据余弦定理，可得：2221cos 22a cb B ac +-==()0,,=3B B ππ∈∴ 选择条件①：根据余弦定理，可得：2cos (2)cos =cos 2ab Ca c Bb C a-=根据正弦定理，可得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=整理可得：2sin cos sin()sin A B B C A =+= 。