福建省南安一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案
第I卷（选择题 共60分）
一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在
答题卡上）：
1.为虚数单位，若，则的值为
（ ）
A． B． C． D．
2.以下说法，正确的个数为 （ ）
①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类
比推理．
②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．
③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比
推理．
④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，
这是运用的演绎推理．
A．0 B．2 C．3 D．4
3.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图所示，则函数在开
区间内有极大值点
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
4.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的
生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，据表中提供的数据，求出y关于x
的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中值为
x3456
y2.544.5
（ ）
A． B． C． D．
5.若函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则
等于（ ）
A．4 B．4x C．4+2△x D．4+2△x
2
6.下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最
多的数是5；
②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0；
③如果一组数据1，2，x，4的中位数是3，那么x=4；
④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数．
其中错误的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3
D．4
7.函数的图象在点
处的切线方程为 （ ）
A． B． C． D．
8.如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于 （
）
A． B．
C． D．
9.函数在（0,1）内有极小值，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
10.某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，
现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层
抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按
一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学
生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的
号码有下列四种情况：
①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277； ②5，9，100，
107，121，180，195，221，265，299；
③11，41，71，101，131，161， 191，221，251，281； ④31，61，
91，121，151，181，211，241，271，300
关于上述样本的下列结论中，正确的是
（ ）
A．①④都可能为系统抽样 B．①③都可能为分层抽样
C．②③都不能为系统抽样 D．②④都不能为分层抽样
11.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于
直线对称，则该双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数
，，若任意给定的总存在两个不同的，使得成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
二.填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）：
13.函数的单调增区间为 ．
14.在正方体中，分别为棱和的中点，则sin〈，〉的值为________．
15.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为
．
16.在平面几何里，已知的两边互相垂直，且，则边上的高；拓展到空
间，如图，三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且,则点到面的距离
_
H
_
C
_
B
_
A
_
S
_
a
_
c
_
b
_
h'
三.解答题（共6小题，要求写出解答过程或者推理步骤）：
17.(本题满分12)已知函数的极值点为和．
（Ⅰ）求实数
，
的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值.
18.(本题满分12分)在数列{}中，，且，
（1）求的值；
（2）猜测数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明。
19.(本题满分12分)如图，矩形所在的平面与平面垂直，且，，，分别
为的中点．
（Ⅰ） 求证：直线与平面平行；
（Ⅱ）若点在直线上，且二面角
的大小为，试确定点的位置．
20.(本题满分12分)已知函数（）．
（Ⅰ）若函数在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求证：（）．
21.(本题满分12分)已知直线与椭圆
相交于、两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为
，求线段的长；
（2）若向量
与向量
互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最
大值．
22.(本题满分14分)已知函数
(1)当
时，求函数
的极小值；
(2)当
时，过坐标原点
作曲线
的切线，设切点为
，求实数
的值；
(3)设定义在
上的函数
在点
处的切线方程为
当
时，若
在
内恒成立，则称
为函数
的“转点”．当
时，试问函数
是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明
理由．
123
00
单调递增单调递减单调递
增
南安一中2014～2015学年度高二上学期期末考
理科数学试卷参考答案
∴， ………………6分
当变化时，与的变化情况如下表：
……10分
………………11分
∴， ………………12分
18.解：（1） 6分
（2）猜测。下用数学归纳法证明： 7分
①当时，显然成立； 8分
②假设当时成立，即有，则当时，由得，
故
，故时等式成立；
③由①②可知，对一切均成立。 12分
19.解：（Ⅰ）证明：取的中点，连结，．
∵分别是的中点， ∴，
∴平面
， …………………3分
又，且平面
，平面
，
∴平面
． …………………5分
（Ⅱ）解：如图，在平面内，过作的垂线，记为，则平面.
以为原点，、、所在的直线分别为轴，轴，轴建立建立空间直角坐标
系.
∴.
∴，，． …………………7分
设，则.
设平面的法向量为，
则∴
取，得，，
∴． .…………………9分
又平面的法向量为， .…………………10分
∴，解得或.
故或（或）. …………………12分
20.解：（1）因为…………1分，若函数在区间上是单调递增函数，则
恒成立，即恒成立，所以．………………2分
又，则，所以．…………………4分
（2）当时，由（Ⅰ）知函数在上是增函数，……5分
所以当时，，即，则．……8分
令，则有，………………9分
当时，有，因此在上是增函数，
所以有，即可得到．………11分
综上有（）． ………………12分
21.解：（1），2
=2，即∴则
∴椭圆的方程为，
2分
将
代入消去
得： 设
∴
5分
（2）设
，即 6分
由
，消去
得：
由，整理得：
又， 8分
由，得：
，整理得： 9分
代入上式得：，
，条件适合，
由此得：，故长轴长的最大值为． 12分
22.解：(1)当
时，
，
当
时，
；当
时
；当
时
.
所以当
时，
取到极小值
.…………………4分
(2) ，所以切线的斜率
整理得
,显然
是这个方程的解，
又因为
在
上是增函数，
所以方程
有唯一实数解，故
.…………………8分
(3)当
时，函数
在其图象上一点
处的切线方程为
，设
，则
，
若
，
在
上单调递减，所以当
时
，此时
；
所以
在
上不存在“转点”. …………………10分
若
时,
在
上单调递减,所以当
时,
，此时
，所以
在
上不存在“转点”. …………………12分
若
时
，即
在
上是增函数，
当
时，
，
当
时，
， 即点
为“转点”，
故函数
存在“转点”，且
是“转点”的横坐标. …………………14分
福建省南安第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试文数试题(原卷版)
福建省南安第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，收集了好几组数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为95.7318.7+=x y ，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）A. 身高在145.75cm 以上B. 身高在145.75cm 左右C. 身高一定是145.75cmD. 身高在145.75cm 以下2．已知直线方程为01=++y x ，则该直线的倾斜角为（ ）A ．o 45B ．o 60C ．o 90D ．o 1353．原命题“若3x ≤-，则0x <”的逆否命题．．．．是（ ） A ．若3x <-，则0x ≤ B ．若3x >-，则0x ≥C ．若0x ≥，则3x >-D ．若0x <，则3x ≤-4．当635.62>K 时，认为事件A 与事件B （ ）A ．有95%的把握有关B ．有99%的把握有关C ．没有理由说它们有关D ．不确定5．直线0534=-+y x 与圆9)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，则AB 的长度等于（ ）A． BC．．16. “210x ->”是“1x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知焦点在x 轴上的椭圆过点(3,0)A -，且离心率e =，则椭圆的标准方程是（ ） A ．2218194x y += B ．22149x y +=C ． 2218194x y += D ． 22194x y += 8． 已知21,F F 是椭圆的两个焦点, 过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点, 若△2ABF 是正三角形, 则这个椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．32C ．33D ．23 9．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.x y 2±= B .x y 2±= C . x y 22±= D.x y 21±= 10.设线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动， 且|AB|=4，点M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程是（ ） A ．14922=+y x B ．422=+y x C ．422=-y x D ．192522=+x y 11．直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ）A ．48B ．36C ．56D ．6412．椭圆：1162522=+y x 上的一点A 关于原点的对称点为B ，2F 为它的右焦点，若A 2F ⊥B 2F ，则三角形△A 2F B 的面积是（ ）A ． 15B ． 32C ． 16D ． 18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．命题1sin ,:≤∈∀x R x p 的否定p ⌝是 .14．抛物线y x 22-=的焦点坐标是 ．15．如果实数x ，y 满足()x y ++=2322，则y x的最大值是 。
2014-2015年福建省漳州市华安一中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2014-2015学年福建省漳州市华安一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）椭圆的焦距为（）A．B．4C．D．52．（5分）设复数z=3+4i7，则|z|=（）A．B．1C．5D．3．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4B．4C．2D．24．（5分）条件甲：“a＞0且b＞0”，条件乙：“方程﹣=1表示双曲线”，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如果执行右边的程序框图，那么输出的S=（）A．10B．22C．46D．946．（5分）若=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），则•（+）=（）A．4B．15C．7D．37．（5分）已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则m=（）A．3或B．3C．D．8．（5分）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A．2B．3C．4D．49．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．10．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是．12．（4分）函数f（x）=+lnx的导数为．13．（4分）如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为14．（4分）点P是函数y=x2﹣lnx的图象上任一点，则P到直线y=x﹣2的距离的最小值为．15．（4分）已知四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D（﹣5，﹣4，8），则顶点D到平面ABC的距离为．三、解答题（80分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知复数z1=2﹣3i，z2=求：（1）z 1+（2）z1•z2；（3）．17．（13分）某商场举行抽奖活动，从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和：等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．（1）求中三等奖的概率（2）求中奖概率．18．（13分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）求a，b的值（2）求f（x）在x∈[﹣3，3]的最值．19．（13分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．20．（14分）已知函数f（x）=x2（x﹣a）+bx（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若b=0，不等式﹣1nx+1≥0对任意的x∈[，+∞）恒成立，求a的取值范围．21．（14分）已知F1，F2为椭圆的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线与椭圆交于M，N两点，且线段MN的中点为点（1，），若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由？（3）若直线y=kx+2与椭圆交于A，B两点，当k为何值时，OA⊥OB（O为坐标原点）？2014-2015学年福建省漳州市华安一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）椭圆的焦距为（）A．B．4C．D．5【解答】解：因为椭圆，所以半长轴为：a=3，半短轴为：b=2，所以，c==．所以焦距为：2．故选：C．2．（5分）设复数z=3+4i7，则|z|=（）A．B．1C．5D．【解答】解：复数z=3+4i7=3+4i3=3﹣4i，则|z|==5．故选：C．3．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4B．4C．2D．2【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选：B．4．（5分）条件甲：“a＞0且b＞0”，条件乙：“方程﹣=1表示双曲线”，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“a＞0且b＞0”，可推得“方程﹣=1表示双曲线”，即甲可推出乙，而“方程﹣=1表示双曲线”不能推出“a＞0且b＞0”，即乙不可可推出甲，故甲是乙的充分不必要条件故选：A．5．（5分）如果执行右边的程序框图，那么输出的S=（）A．10B．22C．46D．94【解答】解：由图循环体被执行四次，其运算规律是对S+1的和乘以2再记到S 中，每次执行后的结果依次是4，10，22，46故选：C．6．（5分）若=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），则•（+）=（）A．4B．15C．7D．3【解答】解：∵=（2，0，3），=（0，2，2），∴+=（2，2，5），∴•（+）=2×2+（﹣3）×2+1×5=3，故选：D．7．（5分）已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则m=（）A．3或B．3C．D．【解答】解：∵椭圆的焦点在y轴，∴a2=m+9，b2=9，可得c2=a2﹣b2=m，又∵椭圆的离心率等于∴⇒∴m=3故选：B．8．（5分）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A．2B．3C．4D．4【解答】解：双曲线的左焦点坐标为：，抛物线y2=2px的准线方程为，所以，解得：p=4，故选：C．9．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选：D．10．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可知点F（﹣c，0）直线AB斜率为=，直线BF的斜率为=∵∠FBA=90°，∴（）•=﹣=﹣1整理得c2+ac﹣a2=0，即（）2+﹣1=0，即e2+e﹣1=0解得e=或﹣∵0＜e＜1∴e=，故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是y2=﹣4x．【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x故答案为：y2=﹣4x12．（4分）函数f（x）=+lnx的导数为．【解答】解：函数的导数f′（x）=，故答案为：13．（4分）如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为【解答】解：图中阴影部分的面积为S=cosxdx=sinx=1，矩形的面积为，∴豆子落在图中阴影部分的概率为．故答案为：．14．（4分）点P是函数y=x2﹣lnx的图象上任一点，则P到直线y=x﹣2的距离的最小值为．【解答】解：由可得x=1，所以切点为（1，1），它到直线y=x﹣2的距离为．故答案为：15．（4分）已知四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D（﹣5，﹣4，8），则顶点D到平面ABC的距离为11．【解答】解：因为四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D（﹣5，﹣4，8），所以=（2，﹣2，﹣3），=（4，0，6），=（﹣7，﹣7，7）．设平面ABC的法向量为=（a，b，c）所以，不妨令a=3，则c=﹣2，解得b=6．平面ABC的法向量为=（3，6，﹣2）．所以顶点D到平面ABC的距离，就是在平面ABC的法向量投影的长度，即：==11．故答案为：11．三、解答题（80分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知复数z1=2﹣3i，z2=求：（1）z 1+（2）z1•z2；（3）．【解答】解：∵数z1=2﹣3i，z2===﹣1+i．则（1）z 1+=（2﹣3i）+（﹣1﹣i）=1﹣4i；（2）z1•z2=（2﹣3i）（﹣1+i）=1+5i；（3）=．17．（13分）某商场举行抽奖活动，从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和：等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．（1）求中三等奖的概率（2）求中奖概率．【解答】解：从袋中同时抽两个小球共有（0，1）（0，2）（0，3）（1，2）（1，3）（2，3）六中情况（1）设抽出两个球的号码之和为3为事件A，事件A共包含（0，3）（1，2）两种情况∴（2）设抽出两球的号码为5为事件B，两球的号码之和为4为事件C，由上知∴中奖概率概率为P=18．（13分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）求a，b的值（2）求f（x）在x∈[﹣3，3]的最值．【解答】解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，即，解得a=1，b=0．（2）f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．令f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．若x∈（﹣1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是减函数．∴f（﹣1）=2是极大值；f（1）=﹣2是极小值；又f（3）=18，f（﹣3）=﹣18．∴最大值与最小值分别为：f（3）=18，f（﹣3）=﹣18．19．（13分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．【解答】（1）解：由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE．（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．可得，．20．（14分）已知函数f（x）=x2（x﹣a）+bx（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若b=0，不等式﹣1nx+1≥0对任意的x∈[，+∞）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，a=3、b=l，则f（x）=x2（x﹣3）+x=x3﹣3x2+x，所以f′（x）=3x2﹣6x+1，则在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=3﹣6+1=﹣2，又f（1）=1﹣3+1=﹣1，所以在点（1，f（1））处的切线方程y+1=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1=0；（Ⅱ）由b=0得f（x）=x2（x﹣a），因为﹣1nx+1≥0对任意的x∈[，+∞）恒成立，所以x﹣lnx+1≥a对任意的x∈[，+∞）恒成立，设g（x）=x﹣lnx+1，则，令=0，解得x=1，当＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0；所以函数g（x）在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则函数g（x）的最小值是g（1）=2，即a≤2，所以a的取值范围是（﹣∞，2]．21．（14分）已知F1，F2为椭圆的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线与椭圆交于M，N两点，且线段MN的中点为点（1，），若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由？（3）若直线y=kx+2与椭圆交于A，B两点，当k为何值时，OA⊥OB（O为坐标原点）？【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），由已知|PF1|+|PF2|=4，得2a=4，即有a=2，点P（1，）在椭圆上，即有+=1，即有b=，则所求椭圆方程是；（2）若存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴，设l方程代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8k（﹣k）x+4（k﹣）2﹣12=0，设M（x1，y1）、N（x2，y2），有，得，又∵点C（1，）在椭圆内部，故所求直线l方程；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程：，化简得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，则，，∵OA⊥OB∴x1•x2+y1y2=0，又，∴，解得：，∴，经检验满足△＞0，∴当时，OA⊥OB．。
福建省南安一中2013-2014学年高二上学期期末数学文试卷
南安一中2015届高二（上）期末考试试卷数学（文科）本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟.注意事项：1.考生务必将自己的姓名、班级用签字笔写在答题卷上；2.非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用圆球笔和涂改液.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，若用系统抽样方法，则所抽取的编号可能是A . 2,4,6,8B . 2,6,10,14C . 2,7,12,17D . 5,8,9,14 2. 有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至多有1次中靶”的对立事件是A. 只有1次中靶 B . 至少有1次中靶 C . 2次都不中靶 D . 2次都中靶 3. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是A ．甲B ． 乙C ． 丙D ．丁4. 总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为A ．01B ．02C ．07D ．085.曲线31y ax bx =+-在点(1,(1))f 处的切线方程为=+=b a x y 则,A ．3-B ．2C ．3D ．4 6. 从一堆苹果中任取20粒，称得各粒苹果的质量（单位：克）数据分布如下表所示：根据频数分布表，可以估计在这堆苹果中，质量大于130克的苹果数约占苹果总数的 A ．10% B ．30% C ．60% D ．80% 7.如图给出的是计算20141614121++++ 的值的程序框图， 其中判断框内应填入的是A ．2014<iB ．1007>iC ．1007≤iD ．2016<i8.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长 方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的14,且样本容量 为200,则中间一组有频数为A ．40B ．32C ．0.2D ． 0.259.小强和小华两位同学约定下午在武荣公园篮球场见面,约定谁先到后必须等10分钟,这时若 另一人还没有来就可以离开.如果小强是1：40分到达的,假设小华在1点到3点内到达,且 小华在 1点到3点之间何时到达是等可能的,则他们会面的概率是A ．91B ．16C ． 14D ．1310.已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=.若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=,则以下结论正确的是A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '<'<ˆ,ˆ D ．a a b b '>'<ˆ,ˆ 11.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①xax g x f )()(=(0,a >1)a ≠且； ②()0g x ≠；③()()()()f x g x f x g x ''⋅>⋅．若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则a 等于 A ．21 B ．45 C ．2 D ．2或2112.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P,使△APB 的最大边是AB”发生的概率为31,则ADAB的值为 A ．12 B ．35C ．14 D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1200人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有________学生． 14.函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图象如下，记()y f x =的导函数为/()y f x =，则不等式0)('≥x f 的解集为_________．15.在边长为2的正方形ABCD 内任取一点P ，则使点P 到四个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 16.设有以下两个程序：程序(1) A=-8 程序(2) x=1/4 B=2 i=1If A<0 then while i<3 A=-A x=1/(1+x) END if i=i+1 B=B^2 wend A=A+B print x C=A-2*B end A=A/C B=B*C+1Print A,B,C程序（1）的输出结果是______,________,_________. 程序（2）的输出结果是__________.三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y (单位:千元)的数据资料,算得10180ii x==∑,10120i i y ==∑,101184i i i x y ==∑,1021720i i x ==∑.(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+; (Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关并说明理由; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y bx a =+中,1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑,a y bx =-,其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为y bx a =+.18.（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60 分的人数； （Ⅲ）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10 的概率．19.（本小题满分12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率（Ⅰ）试分析估计两个班级的优秀率； （Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.（本小题满分12分）设函数x ax x f ln +=.图（Ⅰ）当1-=a 时，求函数()x f y =的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）已知0<a ，若函数()x f y =的图象总在直线21-=y 的下方，求a 的取值范围；21.（本小题满分12分）某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =;(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.22.（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， （ⅰ）求实数a 的值；（ⅱ）若 对 于 121,[,3]x x e ∀∈，不 等 式 12()()11f xg x k --≤恒成 立 ，求 实 数 k 的 取 值 范 围 ．南安一中2015届高二年期末考试试卷数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．13．4440 14．]2,1[]31,23( --15. 4π16. （1）3、 17、 4；（2）95三、解答题：本大题满分74分． 17.18.解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.00⨯++0.025a +++=． …………………………………1分 解得0.03a =． ………………………………………………………………………………2分（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=． …3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． ………………………………………5分（3）成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ． ………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．……………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．……………11分 所以所求概率为()715P M =． ………………………………………………………………12分 19.解：（Ⅰ）由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50% (4)分（Ⅱ ）8分因为K 2＝－250×50×55×45＝10099≈1.010，………………………10分所以由参考数据知，没有75%的把认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助． ……………………………………12分20．解：（Ⅰ）当1-=a 时，()2ln f x x x =-+，()xx x f12/+-=，()11/-=f ，所以切线的斜率为1-.………………………………………………2分又()11-=f ，所以切点为()1,1-.故所求的切线方程为：()11--=+x y 即0=+y x .………………………4分（Ⅱ）()221212122a x ax a f x ax x x x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'=+==，0>x ，0a <.……………………6分令()0/=x f，则ax 21-=. 当⎥⎦⎤⎝⎛-∈a x 21,0时，()0/>x f ；当⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∈,21a x 时，()0/<x f .故ax 21-=为函数()x f 的唯一极大值点， 所以()x f 的最大值为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a 21ln 2121.……………………………10分由题意有2121ln 2121-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a ，解得21-<a . 所以a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛-∞-21,.……………………………………………………12分21.解:(Ⅰ)变量x 是在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能. 当x 从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时,输出y 的值为1, 故211=P ;…………2分 当x 从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时,输出y 的值为2,故312=P ; …………4分当x 从24,18,12,6这4个数中产生时,输出y 的值为3,故613=P . …………6分 所以输出y 的值为1的概率为21,输出y 的值为2的概率为31,输出y 的值为3的概率为61. (Ⅱ)当2100n =时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率如下,比较频率趋势与概率,可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大. …………12分22．解：（Ⅰ）22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-+=-（0x >）， ···························· 1分由()0,0f x x '>⎧⎨>⎩得，01x <<；由()0,0f x x '<⎧⎨>⎩得，1x >.∴ ()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数． ··································· 3分 ∴ 函数()f x 的最大值为(1)1f =-． ························································ 4分 （Ⅱ）∵ ()a g x x x =+， ∴ 2()1ag x x'=-． （ⅰ）由（Ⅰ）知，1x =是函数()f x 的极值点， 又∵ 函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴ 1x =是函数()g x 的极值点，∴ (1)10g a '=-=，解得1a =． ····························································· 7分 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意． ································ 8分 （ⅱ）∵ 211()2f e e=--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+，∵ 2192ln 321e -+<--<-， 即 1(3)()(1)f f f e<<， ∴ 11[,3]x e∀∈，1min 1max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-． ··················· 9分由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x '=-. 当1[,1)x e∈时，()0g x '<；当(1,3]x ∈时，()0g x '>．故()g x 在1[,1)e为减函数，在(1,3]上为增函数．∵ 11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而 11023e e <+<, 1(1)()(3),g g g e ∴<<∴ 21[,]x e e ∀∈，2min 2max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====． ··························· 10分① 当10k ->，即1k >时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴ 312k ≥-+=-，又∵ 1k >，∴ 1k >． ························································································ 12分 ② 当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+． ∵ 121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+， ∴ 342ln 33k ≤-+．又∵1k <，∴ 342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-++∞．······················ 14分。
福建省泉州市南安一中高二数学期末试卷 文(含解析)
2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．一位母亲记录了儿子3﹣9岁的身高，收集了好几组数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.18x+73.95，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高在145.75cm以上B．身高在145.75cm左右C．身高一定是145.75cm D．身高在145.75cm以下2．已知直线方程为x+y+1=0，则该直线的倾斜角为（）A．45° B．60° C．90° D．135°3．原命题“若x≤﹣3，则x＜0”的逆否命题是（）A．若x＜﹣3，则x≤0B．若x＞﹣3，则x≥0C．若x＜0，则x≤﹣3 D．若x≥0，则x＞﹣34．当K2＞6.635时，认为事件A与事件B（）A．有95%的把握有关B．有99%的把握有关C．没有理由说它们有关D．不确定5．直线4x+3y﹣5=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，则AB的长度等于（）A．1 B．C．2 D．46．“x2﹣1＞0”是“x＞1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知焦点在x轴上的椭圆过点A（﹣3，0），且离心率e=，则椭圆的标准方程是（）A． =1 B． =1C． =1 D． =18．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．10．设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=4，点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程是（）A．=1 B．x2+y2=4 C．x2﹣y2=4 D． +=111．直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（）A．36 B．48 C．56 D．6412．椭圆： =1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（）A．15 B．32 C．16 D．18二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置）13．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．14．抛物线x2=﹣2y的焦点坐标为．15．如果实数x，y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值是．16．已知M（﹣5，0），N（5，0）是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|=|PN|+6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列五条曲线：①﹣=1；②y2=4x；③﹣=1；④+=1；⑤x2+y2﹣x﹣3=0其中为“黄金曲线”的是．（写出所有“黄金曲线”的序号）三、解答题（本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．18．顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l：y=2x+1与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度．19．已知命题p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，命题q：关于x的方程x2+2ax+a+2=0有解．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．20．“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示：价格x 5 5.5 6.5 7销售量y 12 10 6 4通过分析，发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系．（Ⅰ）求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程；（Ⅱ）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？注：在回归直线y=中，， =﹣．=146.5．21．设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．22．如图，中心在原点的椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A，B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．一位母亲记录了儿子3﹣9岁的身高，收集了好几组数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.18x+73.95，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高在145.75cm以上B．身高在145.75cm左右C．身高一定是145.75cm D．身高在145.75cm以下【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；分析法；概率与统计．【分析】利用回归方程估计的数值都是估计值，有一定的误差．【解答】解：将x=10代入回归方程得y=71.8+73.95=145.75．由于回归方程预测的数值估计值与真实值之间存在误差，故孩子10岁时身高在145.75cm左右．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的拟合效果，属于基础题．2．已知直线方程为x+y+1=0，则该直线的倾斜角为（）A．45° B．60° C．90° D．135°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角．【解答】解：由直线方程x+y+1=0，得其斜率k=﹣1，设其倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=﹣1，∴α=135°．故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，是基础题．3．原命题“若x≤﹣3，则x＜0”的逆否命题是（）A．若x＜﹣3，则x≤0B．若x＞﹣3，则x≥0C．若x＜0，则x≤﹣3 D．若x≥0，则x＞﹣3【考点】四种命题．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用四种命题中题设和结论之间的关系求出结果．【解答】解：原命题“若x≤﹣3，则x＜0”则：逆否命题为：若x≥0，则x＞﹣3故选：D【点评】本题考查的知识要点：四种命题的应用转换．属于基础题型．4．当K2＞6.635时，认为事件A与事件B（）A．有95%的把握有关B．有99%的把握有关C．没有理由说它们有关D．不确定【考点】独立性检验的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据所给的观测值同临界值的比较，得到有1﹣0.01=99%的把握认为事件A与事件B 有关系，得到结果．【解答】解：∵K2＞6.635，∴有1﹣0.01=99%的把握认为两个事件有关系，故选：B．【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的作用，本题解题的关键是理解临界值对应的概率的意义，本题是一个基础题．5．直线4x+3y﹣5=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，则AB的长度等于（）A．1 B．C．2 D．4【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆心坐标为（1，2），半径R=3，圆心到直线的距离d==，则|AB|=2=2==4，故选：D【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，利用弦长公式是解决本题的关键．6．“x2﹣1＞0”是“x＞1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由x2﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．即可判断出结论．【解答】解：由x2﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．“x2﹣1＞0”是“x＞1”必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知焦点在x轴上的椭圆过点A（﹣3，0），且离心率e=，则椭圆的标准方程是（）A． =1 B． =1C． =1 D． =1【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a=3，由离心率公式和a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a=3，e==，可得c=，b===2，则椭圆方程为+=1．故选：D．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质及离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由△ABF2是正三角形可知，即，由此推导出这个椭圆的离心率．【解答】解：由题，∴即∴，∴，解之得：（负值舍去）．故答案选A．【点评】本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题要注意公式的合理选取．9．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意知，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力．10．设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=4，点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程是（）A．=1 B．x2+y2=4 C．x2﹣y2=4 D． +=1【考点】轨迹方程．【专题】直线与圆．【分析】可以取AB的中点M，根据三角形ABO是直角三角形，可知OM=2是定值，故M的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆．问题获解．【解答】解：设M（x，y），因为△ABC是直角三角形，所以||OM|=定值．故M的轨迹为：以O为圆心，2为半径的圆．故x2+y2=4即为所求．故选B【点评】本题考查了圆的轨迹定义，一般的要先找到动点满足的几何条件，然后结合曲线的轨迹定义去判断即可．然后确定方程的参数，写出方程．11．直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（）A．36 B．48 C．56 D．64【考点】抛物线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】依题意联立方程组消去y，进而求得交点的坐标，进而根据|AP|，|BQ|和|PQ|的值求得梯形APQB的面积．【解答】解：直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线：x=﹣1作垂线，垂足分别为P，Q，联立方程组得，消元得x2﹣10x+9=0，解得，和，即有A（9，6），B（1，﹣2），即有|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形APQB的面积为×（10+2）×8=48，故选B．【点评】本题主要考查了抛物线与直线的关系．常需要把直线与抛物线方程联立根据韦达定理找到解决问题的途径．12．椭圆： =1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（）A．15 B．32 C．16 D．18【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】AO=BO=c=3，设A（x，y），则x2+y2=9，由此能求出三角形△AF2B的面积．【解答】解：椭圆=1中，a=5，b=4，c=3，∵椭圆=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，AF2⊥BF2，∴AO=BO=c=3，设A（x，y），则x2+y2=9，∵=1，∴|y|==4，∴三角形△AF2B的面积是2××4×4=16，故选：C．【点评】本题考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置）13．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1 ．【考点】命题的否定．【专题】综合题．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．【点评】本题考查了命题的否定，注意一些否定符号和词语的对应．14．抛物线x2=﹣2y的焦点坐标为．【考点】抛物线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】抛物线x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．【解答】解：∵抛物线x2=﹣2y中，2p=2，解得p=1，∴抛物线x2=﹣2y的焦点坐标为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的焦点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．15．如果实数x，y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值是．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；数形结合；综合法；直线与圆．【分析】设=k，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，如图示：从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=r=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k=tan∠EOC==，即为的最大值．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．16．已知M（﹣5，0），N（5，0）是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|=|PN|+6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列五条曲线：①﹣=1；②y2=4x；③﹣=1；④+=1；⑤x2+y2﹣x﹣3=0其中为“黄金曲线”的是②⑤．（写出所有“黄金曲线”的序号）【考点】曲线与方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出所求双曲线的方程．再分别将双曲线与五条曲线联立，通过解方程判断是否有交点，由此可得答案．【解答】解：∵点M（﹣5，0），N（5，0），点P使|PM|﹣|PN|=6，∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，可得b2=c2﹣a2=52﹣32=16，则双曲线的方程为=1（x＞0），对于①，两方程联立，无解．则①错；对于②，联立y2=4x和=1（x＞0），解得x=成立，则②成立；对于③，联立﹣=1和=1（x＞0），无解，则③错；对于④，联立+=1和=1（x＞0），无解，则④错；对于⑤，联立x2+y2﹣x﹣3=0和=1（x＞0），化简得25x2﹣9x﹣171=0，由韦达定理可得两根之积小于0，必有一个正根，则⑤成立．∴为“黄金曲线”的是②⑤．故答案为：②⑤．【点评】本题考查双曲线的定义和方程，考查联立曲线方程求交点，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】（1）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出a的值．（2）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．【解答】解：（1）l1⊥l2 时，a×1+2×（a﹣1）=0，解得a=．∴a=．（2）∵a=1时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔，解得a=﹣1．【点评】本题考查两直线相交、垂直、平行、重合的条件，体现了转化的数学思想．属于基础题．18．顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l：y=2x+1与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线的标准方程；（2）直线l：y=2x+1与抛物线联立，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求AB的长度．【解答】解：（1）由题意，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2，可知p=2．…（1分）∴抛物线标准方程为：x2=4y…（4分）（2）直线l：y=2x+l过抛物线的焦点F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2…（8分）联立得x2﹣8x﹣4=0…（9分）∴x1+x2=8…（10分）∴|AB|=y1+y2+2=2x1+1+2x2+1+2=2（x1+x2）+4=20…（12分）【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用抛物线的定义是关键．19．已知命题p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，命题q：关于x的方程x2+2ax+a+2=0有解．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】先求出命题p，q同时为真命题的条件，然后利用补集思想求“p且q”为假命题的条件即可．【解答】解：若p是真命题．则a≤x2，∵x∈，1≤x2≤4，∴a≤1，即p：a≤1．若q为真命题，则方程x2+2ax+a+2=0有实根，∴△=4a2﹣4（a+2）≥0，即a2﹣a﹣2≥0，即q：a≥2或a≤﹣1．若“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，即，即a≤﹣1∴“p且q”是真命题时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系，利用条件先求出p，q同时为真命题的条件，解决本题的关键．20．“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x元和销售量y 杯之间的一组数据如下表所示：价格x 5 5.5 6.5 7销售量y 12 10 6 4通过分析，发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系．（Ⅰ）求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程；（Ⅱ）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？注：在回归直线y=中，， =﹣．=146.5．【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）把y=13代入回归方程计算x．【解答】解：（Ⅰ） ==6， ==8．=5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182，=52+5.52+6.52+72=146.5，==﹣4，=8+4×6=32．∴销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程为=﹣4x+32．（Ⅱ）令﹣4x+32=13，解得x=4.75．答：商品的价格定为4.75元．【点评】本题考查了线性回归方程的解法和数值估计，属于基础题．21．设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得D点坐标，从而求得t值；【解答】解：（1）由实轴长为，得，渐近线方程为x，即bx﹣2y=0，∵焦点到渐近线的距离为，∴，又c2=b2+a2，∴b2=3，∴双曲线方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，由，∴y1+y2=﹣4=12，∴，解得，∴t=4，∴，t=4．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．22．如图，中心在原点的椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A，B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为：，由继而求出b2=a2﹣c2=1，继而得出椭圆方程．（Ⅱ）设直线斜率为k，则直线l的方程为：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，∵2a=4∴a=2…（1分）∵…（2分）∴b2=a2﹣c2=1…（3分）所以，椭圆的方程为：…（4分）（Ⅱ）法一：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB．①当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴的端点，不符合题意…（5分）②当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为：y=kx+2由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…（6分）令△＞0，得：（16k）2﹣4•（4k2+1）•12=4k2﹣3＞0∴…（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（8分）又y1=kx1+2，y2=kx2+2∴==…（9分）∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…（10分）∴∴∴k=±2…（11分）∴直线l的方程为：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…（12分）（Ⅱ）法二：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB，设直线l的方程为：x=m（y﹣2）…（5分）由得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…（6分）令△＞0，得：16m4﹣4•（m2+4）•（4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴…（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（8分）又=…（9分）∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…（10分）∴∴，∴…（11分）∴所求直线的方程为：，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0 所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0…（12分）【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合题，属于难度较大的题目，计算量大，在高考中经常在压轴题中出现．。
福建省南安一中高二上学期期末考试数学文科试题
南安一中2015～2016上学期高二年期末考数学（文）试卷本试卷考试内容为：人教版选修1—1（1，2章），选修1—2（1章）。
分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：（1）给定临界值表（2）,))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=为样本容量。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1. 一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，收集了好几组数据（略），由此建立的身高与年龄的回 归模型为95.7318.7+=x y ，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ） A. 身高在145.75cm 以上 B. 身高在145.75cm 左右 C. 身高一定是145.75cm D. 身高在145.75cm 以下 2．已知直线方程为01=++y x ，则该直线的倾斜角为（ ） A ．o45 B ．o60 C ．o90 D ．o135 3．原命题“若3x ≤-，则0x <”的逆否命题．．．．是（ ） A ．若3x <-，则0x ≤ B ．若3x >-，则0x ≥ C ．若0x ≥，则3x >-D ．若0x <，则3x ≤-4．当635.62>K 时，认为事件A 与事件B （ ）A ．有95%的把握有关B ．有99%的把握有关C ．没有理由说它们有关D ．不确定5．直线0534=-+y x 与圆9)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，则AB 的长度等于（ ）A ． C ．．1 6. “210x ->”是“1x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知焦点在x 轴上的椭圆过点(3,0)A -，且离心率e =） A ．2218194x y += B ．22149x y += C ．2218194x y += D ． 22194x y += 8． 已知21,F F 是椭圆的两个焦点, 过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点, 若△2ABF 是正三角形, 则这个椭圆的离心率为（ ）A ．22 B ．32 C ．33 D ．23 9．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.x y 2±= B . x y 2±= C . x y 22±= D.x y 21±=10.设线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动， 且|AB|=4，点M 是线段AB 的中 点，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．14922=+y xB ．422=+y xC ．422=-y xD ．192522=+x y11．直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ） A ．48 B ．36 C ．56 D ．64 12．椭圆：1162522=+y x 上的一点A 关于原点的对称点为B ，2F若A 2F ⊥B 2F ，则三角形△A 2F B 的面积是（ ）A ． 15B ． 32C ． 16D ． 18第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置）13．命题1sin ,:≤∈∀x R x p 的否定p ⌝是 . 14．抛物线y x 22-=的焦点坐标是 ． 15．如果实数x ，y 满足()x y ++=2322，则yx的最大值是 。
福建省南安一中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 文
福建省南安一中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 文一．选择题：〔本大题共12小题，每一小题5 分，总分为60分〕1.某同学进入高二前，高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如下列图,如此该同学数学成绩的平均数是〔 〕A ．125B ．126C ．127D ．128 2.样本11、12、13、14、15的方差是〔 〕A ．13B ．10C ．2D ．4 3. 设命题p ：函数cos 2y x =的最小正周期是2π命题q ：函数sin y x =的图象关于y 轴对称，如此如下判断正确的答案是〔 〕A ．q p ∨为真B ．q p ∧为假C ．P 为真D ．q ⌝为假4.回归直线ˆˆˆy bx a =+过样本点的中心〔4，5〕，且ˆb =1.23，如此回归直线的方程是〔 〕A ．ˆy＝1.23x ＋4 B ．ˆy ＝1.23x ＋5 C ．ˆy ＝1.23x ＋0.08 D ．ˆy ＝0.08x ＋1.235.“直线062=+-y x a 与直线09)3(4=+--y a x 互相垂直〞是“1a =-〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.如下命题是真命题的是〔 〕A ．R x ∈∃ 使得53cos sin =x x B ．)0,(-∞∈∃x 使得12>xC ．R x ∈∀ 恒有x x cos sin >D ．),0(π∈∀x 恒有12->x x7.设]2,0[π∈x ，如此21sin <x 的概率是〔 〕A ．61B ．41C ．31D ．218.焦点在x 轴上的椭圆离心率12e =，它的半长轴长等于圆03222=--+x y x 的半径，如此椭圆的标准方程是〔 〕1112 134 86 2A ．13422=+y xB ．14322=+y xC ．141622=+y xD ．116422=+y x 9.从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片并记下其数字，如此二次取出的卡片上数字之和恰为4的有〔 〕 A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种10.某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a 、b ，如此双曲线12222=-by a x 的离心率5>e的概率是〔 〕 A ．61 B ．41 C ．31 D ．36111.假设抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线15422=-x y 的一个焦点重合，如此该抛物线的标准方程可能是〔 〕A ．y x 42= B ．x y 42= C ．y x 122-= D ．x y 122-=12.椭圆：192522=+y x 上的一点A 关于原点的对称点为B ，2F 为它的右焦点，假设22AF BF ⊥，如此三角形△2AF B 的面积是〔A ．215B ．10C ．6D ．9 二．填空题：〔本大题共4小题，每一小题413.高三年抽取10人，又高二年学生有300人，如此该校高中生共有人. 14.命题P ：x R ∀∈，3210x x -+>的否认是.15.先后抛掷硬币三次，如此有且仅有二次正面朝上的概率是.16.过椭圆：12222=+by a x 〔a>b>0〕的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，F是椭圆的右焦点，BF x ⊥轴于F 点，当2131<<k 时，椭圆的离心率e 的取值范围是. 三．解答题：〔本大题共6小题，总分为74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕17.〔12分〕某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进展检查，测得每个球的直〔Ⅰ〕补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；〔Ⅱ〕统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.9,40.1)的中点值是40.0)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(准确到0.1)．18.(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进展合理定价，将该产品按事先拟定的价格进展试销，得到如下数据： 〔Ⅰ〕求回归直线方程ˆˆˆyb x a =⋅+，其中ˆb =－20，ˆa =y －ˆb x ⋅； 〔Ⅱ〕预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从〔Ⅰ〕中的关系，且该产品的本钱是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？〔利润=销售收入-本钱〕39.5 39. 9 40.1 40. 339.719.〔12分〕点(1,0)F ，直线L ：1x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线L 的距离； 〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕是否存在过点(4,2)N 的直线m ，使得直线m 被轨迹C 截得的弦AB 恰好被点N 平分.假设存在，求直线m 的方程，假设不存在，请说明理由。
福建省南安第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷 Word版含答案
南安一中2014～2015学年度下学期期末考 高二文科数学试卷 本试卷考试内容为：。
分第I卷（选择题）和第II卷，共页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。
注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题上。
2．考生作答时，请将答案答在答题上，在本试卷上答题无效。
按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（英语科选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号）。
4．保持答题面清洁，不破损。
考试结束后，将本试卷自行保存，答题交回。
1．，，， 则图中阴影部分表示的集合为（） A． B． C． D． 2．若则点位于 ． A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．若点在函数的图象上，则的值为A．0 B．C．1 D． 已知，是单位向量，且与的夹角为60°，则等于A．1 B．2－ C．3 D．4－ ．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 A．B．C．D．．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其中心角的弧度数是 A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或57．在ABC中，已知，则ABC 是A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形 ．，是函数的导函数，则的图象 大致是（ ） B. C. D. 9．已知、满足约束条件若的最小值为1，则=（ ） A． B． C．1 D．2 ．将函数）的图向左平移个长度单位后，所得到的图关于原点对称，则的最小值是A． B．C． D． 已知直线与函数的图象分别相交于两点，则的最大值为A．1 B．C．D．2 定义如果函数在[a,b]上存在满足，则称函数是上的“双中值函数”已知函数是上的“双中值函数”则实数的取值范围是 A．B．() C．(,1) D．(,1) 第II卷（非选择题，共90分） 二．填空题：本大题共4小题，共16分。
福建省南安第一中学2014_2015学年高二数学运动会综合练习
福建省南安第一中学2014-2015学年高二数学 运动会综合练习第Ⅰ卷 选择题（共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列有关命题的说法错误．．的是 ( ) A ．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等” B ．“若实数,x y 满足220x y +=，则,x y 全为0”的否命题为真命题 C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++≤，则⌝p ：x ∀∈R ， 2220x x ++> 2．四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则()12AB BD BC ++化简的结果是 ( ) A ．AM B ．BM C ．CM D ．DM3．若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x4．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．若O 为空间任意一点，,a b 为不共线向量，OA a =,OB b =,OC ma nb =+，若,,A B C 三点共线，则,m n 满足 （ ）A ．1m n +=-B ．1m n +=C ．0m n +=D ．1m n -=-6．在一椭圆中以焦点1F 、2F 为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于（ ） A ．21B ．22 C ．23 D ．527．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 作倾斜角为︒30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．6B ．3C ．2D ．338．正方体1111D C B A ABCD -中，E 为是1BB 的中点，则1A E 与DB 所成角的余弦值（ ）A D 9．如图所示，空间四边形OABC ，其对角线为OB AC M N ，，，分别为,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且满足2MG GN =，现用基向量OAOB OC ，，表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则x y z ，，的值分别为（ ）Ａ．1133x y z ===，，13Ｂ．111633x y z ===，，Ｃ．111363x y z ===，，Ｄ．111336x y z ===，，10．设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则BCD ∆是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()2,+∞D ．[)2,+∞12． 直线l 过抛物线的焦点与抛物线交于,A B 两点，O 是抛物线的顶点，则AOB ∆的形状是（C ） A ．直角三角形；B ．锐角三角形；C ．钝角三角形；D ．不确定，与抛物线的开口大小有关．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题纸相应的位置上） 13．若椭圆经过点()2,3P ，且焦点为()()122,0,2,0F F -，则该椭圆的离心率等于 ．14． 抛物线216y x =的焦点到双曲线221124x y -=渐近线的距离为 ．15．如图，060的二面角的棱上有,A B 两点，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长为 ． 16．已知双曲线22221x y ab-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，且124|PF |=|PF |，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．三．解答题：(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本题满分12分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -，点E 是上底面1111D C B A 的中心 ， （Ⅰ）化简下列各式：11AB B C +； 11AB A D -； 1AB CB AA ++．（Ⅱ）求下列各式中z y x ,,的值： （1）11AA z AB y AD x BD ++=； (2)1z y x ++=．18．（本题满分12分）长方体1111ABCD A BC D -的底面是边长为2的正方形，M 是AC 和BD 的交点，若在棱1AA 所在直线上有且仅有一个点P 使1PM PC ⊥,求棱1AA 的长．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形,//AD BC ,090BAD ∠=，22PA AB AD BC ====，PA ⊥底面ABCD ，且,E F 分别为,PC PB 的中点．(Ⅰ)求证：PB DE ⊥；(Ⅱ)求CD 与平面ADEF 所成的角的正弦值．20．（本题满分12分）ABC ∆的两个顶点坐标分别是()0,2B -和()0,2C ，顶点A 满足3sin sin sin 2B C A +=． （Ⅰ）求顶点A 的轨迹方程；（Ⅱ）若点(),P x y 在（Ⅰ）轨迹上，求2x y μ=-的最值．21．（本题满分12分）倾斜角为3π的直线l 过抛物线x y 42=的焦点F 与抛物线交于,A B 两点，点C 是抛物线准线上的动点． （Ⅰ）ABC ∆能否为正三角形？（Ⅱ）若ABC∆是钝角三角形，求点C纵坐标的取值范围．22．（本题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．设直线:1(0)l x my m=+≠与椭圆C相交于,A B两点，点A关于x轴对称点为'A．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程；（Ⅲ）试问：当m变化时，直线'A B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．南安一中2014～2015上学期综合练习（运动会）参考答案一．选择题１～６：C A D A B B ； 7～12：B C B C D C1．C ． 解析：若p q ∧为假命题， 则,p q 至少一个为假命题，故选C ． 2．A ． 解析：()12AB BD BC AB BM AM ++=+=,选A ． 3．D ． 解析：椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+= >>，点)23,25(-在椭圆上，222253()()2212a b c ⎧-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得22106a b =⎧⎨=⎩，故选D ． 4． A ． 解析：把1k =代入0x y k -+=，推得“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”；但“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”不一定推得“1k =”．故选A ．5．B ． 解析：(),1AB a b AC m a nb =-+=-+,若,,A B C 三点共线，则//,AB AC所以11,1,11m n m n m n-=∴-=-∴+=-，选B ． 6．B ． 解析： 由已知有b c =， ∴22==a c e ，故选B ．7．B ． 解析：可知12MF F 是一个内角为030的直角三角形，则2012tan 30,MF F F =23MF ∴=，112,233MF c a MF MF c ∴=∴=-=，e ∴=B ． 8．C ． 解析：如图建立空间直角坐标系，则()()()110,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,2D B A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭()111,1,0,0,1,2DB A E ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,110cos ,5DB A E <>=，选C ． 9．B ．解析：122,33MG GN OG OM ON =∴=+()11211113232633OA OB OC OA OB OC =⨯+⨯+=++,选Ｂ．10．C ． 解析：由条件0,0,0=⋅=⋅=⋅有,,AB AC AD 两两垂直，设,,AB a AC b AD c===，则BC BD CD ==，利用余弦定理可知BCD ∆的三个内角均为锐角，选C ．11．D ．解析：结合图形可知022222222tan 60,,3,3,4,4bb b ac a a c a e a≤∴≥∴≥∴-≥≥∴≥，2e ∴≥，选D ．12．C ． 解析：不妨设此抛物线的方程为px y 22=，过焦点的直线2:pmy x l +=，代入抛物线方程得：0222=--p pmy y ，设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=，2221212224y y p x x p p =⋅=， 04322121<-=+=⋅p y y x x ，所以AOB ∠为钝角．选C ．二．填空题13．解析：12,2538,4,2c a a e ==+=∴=∴=．14．解析：焦点()4,0，渐进线：0x =，则距离为422=． 15． 解析：由已知二面角为060，可知00,60,,120AC BD CA BD <>=∴<>=且有,,0,0CA AB AB BD CA AB AB BD ⊥⊥∴⋅=⋅=CD CA AB BD =++，22222CD CA AB BD CA BD ∴=+++⋅1361664268682⎛⎫=+++⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭,217CD ∴=16．解析：122212823,,33a a a PF PF PF PF PF =-=∴==，三角形两边之和大于第三边，所以1212,PF PF F F +≥即1052,33a c e ≥∴≤． 三．解答题：17．解析：（I ）11AB BC AB BC AC +=+=； ………………2分11AB A D AB AD DB -=-=；……………… 4分()111AB CB AA BA BC AA BA BC DD ++=--+=-++111BD DD DB DD DB =-+=+=…………6分（II ）（1）∵111BD BA AD DD AB AD AA =++=-++，∵11AA z AB y AD x BD ++=，∴1,1,1=-==z y x ．……………… 9分 （2）∵1111121C A AA A AA +=+=)(2111111D A B A AA ++=＝11111111112222AA A B A D AA AB AD ++=++， ∵1AA z AB y AD x AE ++=，∴1,21,21===z y x ．……………… 12分 18．解析：以A 为坐标原点，分别以1,,AB AD AA 为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系． ………………2分设棱1AA 的长为m ，AP 的长为x ， 则()()()11,1,0,0,0,,2,2,M P x C m ()1,1,PM x ∴=-，()12,2,PC m x =- 由于1PM PC ⊥，10PM PC ∴⋅=240x mx ∴-+=，……………… 6分由已知得方程240x mx -+=有且仅有一解，……………… 9分0∴∆=，4m ∴=，此时2x =，即棱1AA 的长为4． ………………12分19． 解：如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,1,0),(1,,1),(0,2,0)2A PBC ED ．………………2分（Ⅰ） 因为3(2,0,2)(1,,1)2P B D E ⋅=-⋅-0=，所以.PB DE ⊥………………4分 （Ⅱ）()1(1,,1),(0,2,0),2,1,02AE AD CD ===-设(),,n x yz =为平面ADEF 的法向量，则10,020,20n AE x y z n AD y ⎧⎧⋅=++=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩，取()1,0,1n =- …………8分 设CD 与平面ADEF 所成的角为θ，则105CD nsin cos CD,n |CD ||n |θ⋅=<>==⋅ ………………10分即CD 与平面ADEF ………………1 2分 20．解：（Ⅰ）由正弦定理知3||||||6||42AC AB BC BC +==>=，…………………21分∴A 的轨迹是以,B C 为焦点,长轴长26a =的椭圆（除去()0,3±）…………4分所以3a =， 2c =， 25b =，∴A 的轨迹方程为221(0)95y x x +=≠．……6分 （Ⅱ）如图，当直线2x y μ=-平移到1l 与椭圆相切时，μ取最小，当直线2x y μ=-平移到2l 与椭圆相切时，μ取最大，………………………………8分22221,205450952y x y x x x y μμμ⎧+=⎪-+-=⎨⎪=-⎩由消去得29， 22400429(545)0μμ∆=-⨯⨯-≥则，229,μμ∴≤≤11分当0x =时，3y =±，此时3μ=±不为最值，∴max μmin μ=． …12分 21．解：（Ⅰ）直线l 方程为)1(3-=x y ，由x y 42=可得)332,31(),32,3(-B A ．…………2分 若ABC ∆为正三角形，则3π=∠CAB ，由3π=∠AFx ，那么CA 与x 轴平行，此时||4A C A F ==，又116||3233AB AF BF =+=++=,与AC AB =矛盾，所以ABC ∆不可能是正三角形．（Ⅱ）设),1(m C -，则()44,23,,3CA m CB m ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，2(0CA CB m ⋅=≥ 所以ACB ∠不为钝角．若CAB ∠为钝角，则0<⋅，83BA ⎛= ⎝⎭，则0)32(338332<-+m ，得3310>m ．若角ABC ∠为钝角，则0<⋅,8,3AB ⎛=- ⎝⎭,则32)03m -<得332-<m 又,,C B A 不共线，即,CA CB 不平行，得m ≠-综上知，C 点纵坐标的取值范围是23103(,(23,)(,)-∞---+∞．22． 解：（Ⅰ）由题意可得22a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．…4分（Ⅱ）由2222221(1)44,(4)23041x y my y m y my x my ⎧+=⎪++=++-=⎨⎪=+⎩得即，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1221222,43.4m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩………………………………5分因为以线段AB 为直径的圆过坐标原点O ，即0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，212121212(1)(1)0,(1)()10my my y y m y y m y y +++=++++=．……………………7分所以222223241(1)()()10,0444m m m m m m m -++-+-+==+++，214m =，12m =±， 故所求直线l 的方程为111122x y x y =+=-+或．………………………………9分（Ⅲ）由（2）知：11'(,)A x y -，则直线'A B 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-，…………11分 令0y =，得21211121112121()(1)()x x my my y my y y x y x y y y y --+++=+=++ 22221112112212121232()241131424m my y my my y my y y my y m m y y y y m --+++++==+=+=+=++-+ 这说明，当m 变化时，直线'A B 与x 轴交于定点(4,0)………………………………14分。
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二(下)期中数学试卷(理科)
A． =0.7x+0.45
=0.7x+0.35
B． =0.7x+1
C． =0.7x+2.05
D．
考点 题 析
线性回 方程． 概率 统计． 设回 直线方程 =0.7x+a， 样 数据可得， =4.5， =3.5， 入可求这 样
数据的回 直线方程． 解答 解 设回 直线方程 =0.7x+a， 样 数据可得， =4.5， =3.5．
2014-2015 学
福建省泉州
南安 理科
中高
期中数学试卷
、选择题 大题共 12 小题， 小题 5 ，共 60 ．在 小题 出的四个选项中， 项符合题目要求的. 1． 2015 春•南安 校级期中 某林场 树苗 20000 棵， 中松树苗 4000 棵． 调查树苗 的生长情况，采用 层抽样的方法抽 个容 100 的样 ， 样 中松树苗的数 A． 考点 题 析 解答 15 B． 20 C． 25 D． 30
n
的展开式中各项系数和
3﹣1 =256， 解得 n=8 3 ﹣
8
的展开式通项公式 ，
Tr+1=
•
•
Байду номын сангаас
= ﹣1
r
•3
8 ﹣r
•
•x
4﹣r
，
4﹣r=0，解得 r=0 展开式的 数项是 Tr+1=T5，即第 5 项． 故选 C． 点评 题考查了 项式定理的应用问题， 也考查了利用特殊值求 知 的应用问题， 是 基础题目． 7． 2015 春•南安 校级期中 知 中装 大小 样，形状相 的 3 个白球 7 个黑球， 次从中任 个球并 放回， 在第 1 次 到的白球条件 ， 第 2 次 到的是黑球的概率 A． B． C． D．
福建省泉州市南安一中2014_2015学年高二数学下学期期中试卷理(含解析)
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（2015春•南安市校级期中）某林场有树苗20000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则样本中松树苗的数量为（）A．15 B．20 C．25 D．30考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：由分层抽样的定义得样本中松树苗的数量为=20，故选：B．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．2．（2015春•南安市校级期中）在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（2，σ2），若X 在（0，4）内取值的概率为0.6，则X在（0，2）内取值的概率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据ξ服从正态分布N（2，σ2），得到曲线的对称轴是直线x=2，根据所给的ξ在（0，4）内取值的概率为0.6，根据正态曲线的对称性知在（0，2）内取值的概率．解答：解：∵ξ服从正态分布N（2，σ2）∴曲线的对称轴是直线x=2，∵ξ在（0，4）内取值的概率为0.6，∴根据正态曲线的性质知在（0，2）内取值的概率为0.6×=0.3．故选：B．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．3．（2014秋•天元区校级期末）某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（）A．=0.7x+0.35 B．=0.7x+1 C．=0.7x+2.05 D．=0.7x+0.45考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5，代入可求这组样本数据的回归直线方程．解答：解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5．因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．故选A．点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4．（2015春•南安市校级期中）在“南安一中校园歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．85和6.8 B．85和1.6 C．86和6.8 D． 86和1.6考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：由茎叶图可知评委打出的最低分为78，最高分为91，去掉最高分和最低分，其余得分为83，83，84，85，90，求出平均数，再求出方差解答：解：由茎叶图可知评委打出的最低分为78，最高分为91，其余得分为83，83，84，85，90故平均分为=85，方差为[2×（83﹣85）2+（84﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2]=6.8．故选A点评：本题考查茎叶图，考查一组数据的平均数和方差，考查处理一组数据的方法，是一个基础题，本题可以体现出茎叶图的优点，可以保留原始数据．5．（2015春•南安市校级期中）随机变量ξ～B（100，0.3），则D（3ξ﹣5）等于（）A．62 B．84 C．184 D．189考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ～B（100，0.3），可得Dξ=100•0.3•0.7=21，然后由D（3ξ﹣5）=9Dξ，能求出最终结果．解答：解：∵随机变量ξ～B（100，0.3），∴Dξ=100•0.3•0.7=21，∴D（3ξ﹣5）=9Dξ=189．故选：D．点评：本题考查二项分布的方差，解题时要认真审题，注意公式D（aξ+b）=a2Dξ的合理运用．6．（2015春•南安市校级期中）若（3﹣）n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：令x=1求出n的值，再根据二项展开式的通项公式T r+1，求出常数项是第几项．解答：解：令x=1，得出（3﹣）n的展开式中各项系数和（3﹣1）n=256，解得n=8；∴（3﹣）8的展开式通项公式为，T r+1=••=（﹣1）r•38﹣r••x4﹣r，令4﹣r=0，解得r=0；∴展开式的常数项是T r+1=T5，即第5项．故选：C．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用特殊值求未知量的应用问题，是基础题目．7．（2015春•南安市校级期中）已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到的白球条件下，第2次取到的是黑球的概率为（）A． B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设已知第一次取出的是白球为事件A，第2次也取到黑球为事件B，先求出n（A），n（AB）的种数，然后利用条件概率公式进行计算即可．解答：解：设第1次抽到白球为事件A，第2次取到的是黑球为事件B，则n（A）=C31C91=27，n（AB）=C31C71=21，所以P（B|A）===，故选：D．点评：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．8．（2015春•南安市校级期中）将分别写有A，B，C，D，E，F的6张卡片装入3个不同的信封里中．若每个信封装2张，其中写有A，B的卡片装入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D． 54种考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分3步进行分析：①、先从3个信封中选一个放A、B，②、再从剩下的4张卡片中选两个放一个信封，③、余下放入最后一个信封，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分3步进行分析：①、先从3个信封中选一个放A、B，有3种不同的选法，②、再从剩下的4张卡片中选两个放一个信封有C42=6，③、余下放入最后一个信封，∴共有3×6=18种放法；故选：B．点评：本题考查分步计数原理，解题的关键是注意到第二步从剩下的4张卡片中选两个放到一个信封中．9．（2015春•南安市校级期中）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．24种B．48种C．72种D． 96种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类．解答：解：分两种情况：（1）A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D有1种，有4×3×2=24种；（2）A、C同色，先涂A有4种，E有3种，E有2种，B、D各有2种，有4×3×2×2=48种．共有72种，故选：C．点评：本题考查了区域涂色、种植花草作物是一类题目．分类要全要细．10．（2015•重庆模拟）如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．解答：解根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，其面积为（sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）|=1﹣（﹣）=1+；又矩形ABCD的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；故选B．点评：本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．11．（2015春•南安市校级期中）设a，b，m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b（modm）．若a=C+C+C+…+C，a≡b（mod5），则b的值可以是（）A．2015 B．2016 C．2017 D． 2018考点：同余方程．专题：综合题；二项式定理．分析：根据已知中a和b对模m同余的定义，结合二项式定理，a≡b（bmod5），比可得b 的除以5的余数是1，照四个答案中的数字，得到答案．解答：解：∵a=C+C+C+…+C=220=410=（5﹣1）10，a≡b（mod5），∴b的除以5的余数是1．故选：B．点评：本题考查的知识点是同余定理，其中正确理解a和b对模m同余，是解答本题的关键，同时利用二项式定理化简a的值，也很关键．12．（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；压轴题．分析：根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论．解答：解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：=（x1+x2+x3+x4+x5），=（++++）=且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，故选择A．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式．记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．（2015春•南安市校级期中）已知ξ～B（n，p），Eξ=3，D（2ξ+1）=9，则P的值是．考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式，先做出D（2ξ+1）=9时对应的Dξ=，做出关于n，p的关系式，把两个方程作比解出方程组，得到p的值．解答：解：∵ξ～B（n，p），Eξ=3，D（2ξ+1）=9，∴Dξ=，∴np=3，①np（1﹣p）=②∴得1﹣p=∴p=故答案为：点评：本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，解题的关键是熟练应用二项分布的期望和方差公式，在解题的时候注意对两个方程的处理方法，这里可以通过作比得到结果，本题是一个基础题．14．（2014秋•石景山区期末）A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有10 种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：根据题意，分析可得要从A地到B地路程最短，需要向上走2次，向右3次，共5次，则从5次中选3次向右，剩下2次向上即可满足路程最短，由组合数公式计算可得答案．解答：解：根据题意，要求从A地到B地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则有C53=10种不同的走法，故答案为：10．点评：本题考查排列、组合的应用，关键是理解路程最短的含义，将问题转化为组合的问题．15．（2011•延安校级模拟）若，则（a0+a2+a4）2的值为 1 ．2﹣（a1+a3）考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：通过对x分别赋值1，﹣1，求出各项系数和和正负号交替出现的系数和，两式相乘得解．解答：解：对于，令x=1得=a0+a1+a2+a3+a4令x=﹣1得=a0﹣a1+a2﹣a3+a4两式相乘得1=（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2故答案为1点评：本题考查解决展开式的系数和问题的重要方法是赋值法．16．（2015春•南安市校级期中）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的总体均值为24，且极差小于或等于4；④丁地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．则肯定进入夏季的地区有①④（写出所有正确编号）考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．解答：解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．其连续5天的日平均温度均不低于22．②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定．③丙地：5个数据的总体均值为24，且极差小于或等于4，当5个数据，21，24，25，25，25，可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定．④丁地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、丁．点评：本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特值即可．三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（2015春•南安市校级期中）设函数f（x）=x2﹣ax+2lnx（a∈R）在x=1时取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）根据f′（1）=0，求出a的值即可；（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣a+，当x=1时取得极值，则f′（1）=0，即：1﹣a+2=0，解得：a=3，经检验，符合题意．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x2﹣3x+2lnx，∴f′（x）=x﹣3+=，（x＞0），令f′（x）＞0解得：0＜x＜1或x＞2，令f′（x）＜0解得：1＜x＜2，∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞）；单调递减区间为（1，2）．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．18．（2015春•南安市校级期中）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中恰有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：接受挑战不接受挑战合计男性50 10 60女性25 15 40合计75 25 100根据表中数据，是否有99%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？P（K2≥k0）0.100 0.050 0.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.828附：K2=．考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）确定基本事件的个数，根据古典概型的概率公式，求这3个人中至少有2个人接受挑战的概率；（Ⅱ）根据2×2列联表，得到K2的观测值，与临界值比较，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为A，B，C，则，，分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：{A，B，C}，{，B，C}，{A，，C}，{A，，}，{，，C}，{，B，}，{A，，}，{，，}，共有8种；…（2分）其中，恰好有2个人接受挑战的可能结果有：{，B，C}，{A，，C}，{A，，}，共有3种．…根据古典概型的概率公式，所求的概率为P=．…（6分）（Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关，…（7分）根据2×2列联表，得到K2的观测值为：K2=≈5.56＜6.635．…（10分）所以没有99%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”．…点评：本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．19．（2015春•南安市校级期中）如图，已知抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C2：y=x2+上．（Ⅰ）求抛物线C1的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C1上的动点P作抛物线C2的两条切线PM、PN，切点为M、N．若PM、PN的斜率乘积为m，且m∈[，]，求|OP|的取值范围．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）写出C1的焦点为F（0，），代入抛物线C2方程即可求得p值，从而可得抛物线C1的方程及其准线方程；（Ⅱ）任取点P（t，t2），设过点P的C2的切线方程为y﹣t2=k（x﹣t）．联立切线方程与抛物线C2的方程，消掉y得x的二次方程，由相切得△=0，整理为关于k的二次方程，设PM，PN的斜率分别为k1，k2，由韦达定理可用t表示出m，根据m范围可得t2范围，由两点距离公式可得|OP|的范围．解答：解：（Ⅰ）C1的焦点为F（0，），所以=0+，p=．故C1的方程为x2=y，其准线方程为y=﹣．…（Ⅱ）任取点P（t，t2），设过点P的C2的切线方程为y﹣t2=k（x﹣t）．…代入抛物线方程，得2x2﹣4kx+4tk﹣4t2+1=0．…（6分）由△=（2k）2﹣8（4tk﹣4t2+1）=0，化简得2k2﹣4tk+4t2﹣1=0，记PM，PN的斜率分别为k1，k2，则m=k1k2=2t2﹣，因为m∈[，]，所以t2∈[1，2]…（10分）所以|OP|2=t2+t4=（t2+）2﹣∈[2，6]，所以|OP|∈[，]．…点评：本题考查抛物线方程、直线方程及直线与抛物线的位置关系，本题中P点坐标设法运用了抛物线的参数方程，简化了运算，给解决问题提供了方便．20．（2015春•南安市校级期中）我国对PM2.5采用如下标准：PM2.5日均值m（微克/立方米）空气质量等级m＜35 一级35≤m≤75二级m＞75 超标某地4月1日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．（Ⅰ）期间刘先生有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；（Ⅱ）从所给15天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）记“他这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，利用古典概型概率公式求解即可．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3 求出概率得到分布列，然后求解期望．解答：解：（Ⅰ）记“他这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P（B）=…（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3 …（6分）P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=…（10分）其分布列为：ξ0 1 2 3PEξ==1…点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．21．（2015•泉州模拟）4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕．某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用概率和为1，可求a；根据频率分布直方图，计算数据的平均数即可；（Ⅱ）计算被抽到的同学考试成绩在80（分）以上的概率；（Ⅲ）得出X可能的取值，求出X的分布列与期望E（X）．解答：解：（Ⅰ）由题意，（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，∴a=0.005；估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.15×95=76.5…4分（Ⅱ）（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上为事件A．P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；∴被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上的概率为0.4；…（6分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80（分）以上的概率为P=0.4；X可能的取值是0，1，2，3；∴P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==．∴X的分布列为：X 0 1 2 3P…所以 E（X）=0×+1×+2×+3×=…（13分）点评：本题考查了频率布直方图应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是综合性题目．22．（2015春•南安市校级期中）在（1+x+x2）n=D+D x+D x2+…+D x r+…D x2n ﹣1+D x2n的展开式中，把D，D，D，…，D叫做三项式系数．（Ⅰ）当n=2时，写出三项式系数D，D，D，D，D的值；（Ⅱ）二项式（a+b）n（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图：当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；（Ⅲ）求D C﹣D C+D C﹣D C+…D C的值（可用组合数作答）．考点：组合及组合数公式；归纳推理．专题：计算题；推理和证明；二项式定理．分析：（Ⅰ）根据三项式（x2+x+1）2的展开式，写出对应三项式的系数即可；（Ⅱ）类比杨辉三角，画出三项式的n（0≤n≤4）次系数的数阵表：（Ⅲ）根据（1+x+x2）2016•（x﹣1）2016的展开式中x2016的系数，与二项式（x3﹣1）2016展开式中x2016的系数相等，求出对应代数式的值．解答：解：（Ⅰ）因为（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1，所以=1，=2，=3，=2，=1；…（3分）（Ⅱ）类比杨辉三角，画出三项式的n（0≤n≤4）次系数的数阵表如下：…（6分）（Ⅲ）（1+x+x2）2016•（x﹣1）2016=（+x+x2+…+x r+…+x4029+x4030）•（x2016﹣x2015+x2014﹣x3+…+（﹣1）r x2016﹣r+…﹣x+），其中x2016的系数为﹣+﹣+…+，又（1+x+x2）2016•（x﹣1）2016=（x3﹣1）2016，而二项式（x3﹣1）2016的通项公式为T r+1=（﹣1）r（x3）2016﹣r，由3×（2016﹣r）=2016解得r=1344，所以x2016系数为=；由代数式恒成立，得﹣+﹣+…+==．…点评：本题考查了推理与证明的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，考查了构造函数解答问题的能力，是综合性题目．。