人教版A版高中数学选修2-3：排列与组合_课件1
(2)方法 1：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人， 有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种站法，根椐分 步计数原理，共有 A55·A22＝240 种站法．
方法 2：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种站法， 再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有 A15种站法，最后 让甲、乙全排列，有 A22种方法，共有 A44·A15·A22＝240 种．
三 几何型排列组合问题
【例 3】已知平面 a∥β 在 a 内有 4 个点，在 β 内有 6 个点． (1)过这 10 个点中的 3 点作一平面，最多可作多少个
不同平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
【解析】 (1)所作出的平面有三类： ①α 内 1 点，β 内 2 点确定的平面，有 C14·C26个； ②α 内 2 点，β 内 1 点确定平面，有 C24·C16个； ③α，β 本身，共 2 个． 所以所作的平面最多有 C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．
(2)要使六位数为奇数，其个位数字必须是 1 或 3 或 5，所 以所求六位奇数的个数是 A13A14A44＝288.
(3)要使六位数能被 5 整除，个位数字必须是 0 或 5，当个 位数字是 0 时，有 A55个；当个位数字是 5 时，有 4A44个，因 此，能被 5 整除的六位数的个数是 A55＋4A44＝216.
相邻问题捆绑法；
不相邻问题插空法；
多排问题单排法； 定序问题倍缩法； 定位问题优先法； 有序分配问题分步法； 多元问题分类法； 交叉问题集合法； 至少(或至多)问题间接法； 选排问题先取后排法； 局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法.
3.解答组合应用题的总体思路 (1)⑥ 整体分类 .从集合的意义讲,分类要 做到各类的并集等于全集,以保证分类的不 遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分 类的不重复,计算结果是使用分类计数原理. (2)⑦ 局部分步 .整体分类以后,对每一类 进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证 分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步 的不重复.计算结果时用分步计数原理.
这两种方法都是③ 直接法 .
(3)先不考虑附加条件，计算出所有排 列数或组合数，再减去不符合要求的排列 数或组合数，即④ 间接法 .
2.解排列、组合题的“十六字方针， 十二个技巧”
(1)“十六字方针”是解排列、组合题 的基本规律,即⑤ .
分类相加、分步相乘.、 有序排列、无序组合
(2)“十二个技巧”是解排列、组合题 的捷径,即:
赛，每人只参加一项竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．24
B．48
C．120
D．72
【解析】 分选 A 和不选 A 二类情况，若不选 A 有 A44种，若 选 A，应先选人有 C11C34种，再排科目，A12A33种，故 C11C34A12A33 种．所以总方案为 A44＋C11C34A12A33＝72.故选 D.
(5)方法 1：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 A22种， 再让其他 4 人在中间位置作全排列，有 A44种，根据分步计数 原理，共有 A22·A44＝48 种站法．
方法 2：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有 A22种 站法，然后考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 人去站，有 A44种 站法，由分步计数原理共有 A22·A44＝48 种站法．
(3)辩证地看待“元素”与“位 置”.排列、组合问题中的元素与位 置，没有严格的界定标准，哪些事 物看成元素或位置，要视具体情况 而定，有时“元素选位置”，问题 解决得简捷，有时“位置选元素”， 效果会更好.
1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，
分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不
D．2A26
【解析】分两步：①把 4 名学生平均分成二组，有C224种 分法；②把两组学生分配到六个班的两个班去，有 A26种分法， 所以共有方案21A26·C24种，故选 B.Leabharlann 【点评】先均匀分组再分配．
3.从 A、B、C、D、E 五名学生中，选出四名学生参加数
学、物理、化学、英语竞赛，其中 A 不参加物理、化学竞
进一步理解排列、组合的概念， 掌握排列、组合数公式；提高灵活 应用排列、组合知识及其基本方法、 技巧分析和解决有关应用问题的能 力.
1.求解排列与组合的综合应用题的三条 途径
(1)以① 元素为分析对象 ,先满足特殊 元素的要求,再考虑其他元素,即优元法.
(2)以② 位置为分析对象 ,即先满足特殊 位置的要求,再考虑其他位置,即优位法.
二 数字排列和位置排列问题
【例 2】用 0,1,2,3,4,5，组成没有重复数字的数： (1)能组成多少个六位数； (2)能组成多少个六位奇数； (3)能组成多少个能被 5 整除的六位数； (4)能组成多少个比 240135 大的数．
【解析】(1)第一位不能是 0，有 A15种方法，其它各位有 A55种方法，共有六位数的个数是 A15A55＝600.
素材2
六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间间隔两人； (5)甲、乙站在两端； (6)甲不站在左端，乙不站在右端．
【解析】(1)方法 1：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有 A14种站法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 A55种站法，根据分步计数原理，共有 A14·A55＝480 种站法．
【解析】 ①含 0 的：有 C35C14A44A14种； ②不含 0 的：有 C35C24A55种．共有 C35C14A44A14＋C35C24A55＝11040 个．
一 分组分配问题
【例 1】有 6 本不同的书按下列方式分配，问共有 多少种不同的分配方式？
(1)分成 1 本、2 本、3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中 1 人一本，1 人两 本，1 人三本； (3)平均分成三组，每组 2 本； (4)分给甲、乙、丙三人，每个人选 2 本．
方法 2：由于不站两端，这两个位置只能从其余 5 个人中 选 2 个人站，有 A25种站法，然后中间 4 人有 A44种站法，根据 分步计数原理，共有 A25·A44＝480 种站法．
方法 3：若对甲没有限制条件共有 A66种法，甲在两端共有 2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的 站法数，共有 A66－2A55＝480 种站．
(4) 在 问 题 (3) 的 基 础 上 再 分 配 即 可 ， 共 有 分 配 方 式 C26·AC2433·C22·A33＝C26·C24·C22＝90 种．
【点评】平均分组问题应防止重复的情况，如{1,2}，{3,4}， {5,6}与{1,2}，{5,6}，{3,4}是同一分组．一般来说，km 个不同 元素分成 k 组，每组 m 个，则不同的分法有Ckmm·CmkA－1kkm…Cmm种．
素材1
某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某 次社区服务中的 2 项服务工作，如果要求至少有 1 名 女生参加，且每项工作均由 2 人承担，那么不同的选 派方案种数为 84 种．
【解析】先从 6 人中依题设选 4 人，有 C12C34＋C22C24种， 然后将 4 人平均分配承担 2 项工作，有 C24C22种，共有 (C12C34＋C22C24)C24C22＝84 种．
【解析】 (1)分三步：先选一本有 C16种选法；再从余下 的 5 本中选两本有 C25种选法；最后余下的三本全选有 C33种选 法．由分步计数原理知，分配方式共有 C16·C25·C33＝60 种．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)的基础上，还 应考虑再分配问题，分配方式共有 C16·C25·C33·A33＝360 种．
4.过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直 线有( )
A．18 对 B．24 对 C．30 对 D．36 对
【解析】 以三棱柱 6 个顶点中 4 个顶点为顶点的三棱锥共 C46－3＝12 个．每个三棱锥含三组对棱是三对异面直线，故 共有 36 对异面直线，选 D.
5.用 0,1,2，…，9 十个数字组成五位数，其中含 3 个奇 数字与 2 个偶数字且数字不同的五位数有 11040 .
(6)方法 1：甲在左端的站法有 A55种，乙在右端的站法有 A55种，且 甲在左端而乙在右端的站法有 A44种，共有 A66－2A55＋A44＝504 种 站法．
方法 2：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端 A55种，②甲 在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有 A55＋A14·A44·A14＝504 种站 法．
(4)方法 1：先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种，然 后将甲、乙按条件插入站队，有 3A22种，故共有 A44·(3A22)＝144 种站法．
方法 2：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙 之间的两个位置上，有 A24种，然后把甲、乙及中间 2 人看作 一个“大”元素与余下 2 人作全排列有 A33种方法，最后对甲、 乙进行排列，有 A22种方法，故共有 A24·A33·A22＝144 种站法．
【点评】象这种带有限制条件的排位问题，一般都是对某 个或某些元素加以限制的问题，被限制的元素通常称为特殊元 素，被限制的位置称为特殊位置．这一类题通常从三种途径考 虑：①以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问 题，即先满足特殊元素；②以位置为主考虑，这时，一般先解 决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置；③先不考虑限制 条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列．
(3)因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”， 第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队，有 A44种；第二步再将 甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中，有 A25种，故共有 站法为 A44·A25＝480 种．
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修23
(4)冠 、亚军是有顺序的，是排列问题． (5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺 序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1 枪，有顺序，是排列问题.
类型 2 组合数的计算
[典例 2] (1)计算：C9979＋C9989＋C91900＝________； (2)求值：C5n－n＋C9n－＋n1＝________； (3)解不等式 C4n>C6n. 解析：(1)C9979＋C9989＋C91900＝C91800＋C91900＝C91901＝C2101＝ 101×100 2×1 ＝5 050.
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1．2.2 组合
第 1 课时 组合与组合数公式
[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念(重点)． 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单 的组合问题(重点、难点)．
1．组合的概念 (1)组合：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组，叫作从n不同元素中取出m个元素的一 个组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元 素的组合数，用符号Cnm表示．
2．下列计算结果为 21 的是( )
A．A24＋C26 B．C77
C．A27
D．C27
解析：C27＝72× ×61＝21.
答案：D
3．下面几个问题中属于组合问题的是________． ①由 1，2，3，4 构成的双元素集合；②由 1，2，3 构成两位数的方法；③由 1，2，3 组合无重复数字的两位 数的方法． 解析：①中选出的两个元素构成集合，与顺序无关，
高中新课标数学人教A版选修2-3课件：1.2 排列与组合 第2课时
知识点三 全排列与阶乘 1.定义：n个不同元素全部取出的一个排列． n 2．计算公式：An ＝n×(n－1)×(n－2)ׄ×3×2×1＝n！. 3．阶乘：正整数1到n的连乘积． 4．规定：0！＝1. n！ m 5．排列数公式的另一种形式：An ＝ . n－m！
【练习3】 记n！＝1×2ׄn(n∈N*)，则1！＋2！＋3！＋„ ＋2014！的末位数字是________
3 新课堂· 互动探究 考点一 排列数公式的应用 例1 解下列方程或不等式． 4 3 x x－2 (1)A2 ＝ 140A ； (2)A ＜ 6A ＋ x 1 x 8 8 . 分析：根据排列数公式，把A m n 形式的方程或不等式转化为关于x 的方程或不等式求解．
2x＋1≥4 解析：(1)∵ x≥3
目标导航 1．能用两个计数原理推导出排列数公式； 2.理解排列、排列数的含义； 3.会用排列数公式解决简单的实际应用问题．
1 新知识· 预习探究 知识点一 排列的概念 1.一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同且元素的排列 顺中，任取m(m≤n)个元素分两 类完成：第一类：m个元素中含有a，分两步完成：a.将a排在某一个 位置上有m种方法．b.从其余的n－1个元素中选出m－1个元素排在余 －1 m－1 下的m－1个位置上有A m 种方法，即有 m A － n 1 n－1 种不同的方法．第二 类：m个元素中不含有a，从n－1个元素中选出m个元素排在第m个位 置上，有Am n－1种方法． m－1 m 由分类加法计数原理得：Am ＝ m A n n－1 ＋An－1.
3 ，∴x≥3，x∈N*，由A4 2x＋1＝140Ax 得，
人教A版高中数学选修2-3课件《1.2排列(第一课时)》
1）从特殊元素出发，事件分类完成，用分类计数原理．
2）从特殊位置出发，事件分步完成，用分步计数原理．
3）从“对立事件”出发，用减法．
小结：
（1）5人站成一排照相；
是
（2）从全班50名同学中挑选4人；
否
（3）从某6人中选取4人参加4×100m接力赛；
是
（4）将3本不同的书分发给3个人.
是
练习1下列问题是排列问题吗？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，
其不同结果有多少种？
不是排列
（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，
问题改述为： 从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，按照一定 的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法。
不同的排列为： abcabdacbacdadbadc bacbadbcabcdbdabdc cabcadcbacbdcdacdb dabdacdbadbcdcadcb 共有4X3X2=24种
2排列的定义
高中数学课件
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1.2排列（一)
问题引导 开门见山
1问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的
一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名 同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
分析：
树形图：
甲
乙
丙
３种 ２种
３×２＝６种
乙 丙 甲 丙甲 乙
相应的排列：
甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
成一列，共有多少种排列方法？
n种 (n-1)种
Ａ2 n =n(n-1)
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式课件新人教A版选修23
跟踪训练2 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的 所有可能站法. 解 由题意作“树状图”，如下，
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB， CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
解答
类型三 排列数公式及应用 例3 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)； 解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－ (55－n)＋1＝15(个)元素， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1659－n.
证明
反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式， 若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对 含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.
跟踪训练3 不等式 Ax8<6A8x－2 的解集为
A.[2,8]
第一章 1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列能应用排列知识解决简单的实际 问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 排列的定义
从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午 的活动，另1名同学参加下午的活动. 思考 让你安排这项活动需要分几步？ 答案 分两步.第1步确定上午的同学； 第2步确定下午的同学.
B.[2,6] C.(7,12)
D√.{8}
解析 由 Ax8<6Ax8－2，得8－8！x！<6×108－！x！，
化简得x2－19x＋84<0，
解得7<x<12，
①
人教版高中数学选修2-3 排列(共70张PPT)教育课件
（2）最后一个因数是n－m＋1（其中最小的整数）．
（3）共m个连续的正整数相乘．（m是取出元素的个 数以及后面式子相乘的因子的个数）
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个 元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
焦点在 x 轴上的椭圆方程xa22＋by22＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 线方程xa22－by22＝1?
解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.
若方程xa22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系
一定； 在双曲线xa22－by22＝1 中，不管 a>b 还是 a<b，方程xa22－by22＝1 均表示焦点在 x
思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)都是从整体中取出部分（或全部）按照顺序排列 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等
能推广到一般
知识点一 排列的定义
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不 同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重
复抽取同一元素的情况。 2、按“一定顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排 列，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。（有序性） 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用 “树形图”。
（10）有10个车站，共需要多少种车票？
高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.取出后只形成一组，不排次序；
3.m小于或等于n .
哪些是组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
甲
乙
有条件的排列问题
一个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男 孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照 相留念。 7)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
捆绑法
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 8)若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一 起，有多少种不同的排法？
练：某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下 挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂 1面、2面、3面,并且不同的顺序表示不同的 信号，一共可以表示多少种不同的信号？
例2.（1）有5本不同的书，从中选3本送 给3名同学，每人各1本，共有多少种不 同的送法？
（2）有5种不同的书，买3本送给3名同 学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
N＝m1×m2×······×mn种不同的方法．
加法原理与乘法原理之间的联系与区别
联系：回答的都是有关做一件事的不同方法的种数 问题.
区别： (1)加法原理的重点在一个“类”字，乘法原 理的重点在一个“步”字;
(2)应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的 独立性，用其中任何一种方法都可以完成这件事， 要做到不重不漏;
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
的两位数的方法．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]
2．若C2n＝28，则n＝( A．9 C．7
) B．8 D．6
B [C2n＝n×n2－1＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相 等，则车票票价的种数是________．
思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样， “组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个 不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具 体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素 a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫 一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借 助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直 观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交 换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层 及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
[解] (1)原式＝140××39××28××17－73× ×62× ×51·(3×2×1)＝210－210＝0.
n≥5－n， n＋1≥9－n， (2)由9－n≥0， 5－n≥0， n∈N*，
得n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5， 当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.
高中数学人教A版选修2-3课件：本章整合1
������! (������-������)!
计 数 原 理
排列的应用 排列、组合 组合 组合的定义:从������个不同元素中取出������(������ ≤ ������)个元素合成一组
������ 组合数公式:C������ =
������(������-1)(������-2)…(������-������ + 1) ������! = ������! ������!(������-������)!
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
应用1学校举行数学模块考试,最后一个考场只有6名学生,其中 有4名文科生和2名理科生,要求把这6名学生排成一列,最后一名必 须是理科生,且2名理科生不能相邻,则教务员安排考场时不同的安 排方法有( ) A.720种 B.48种 C.96种 D.192种 提示:由于2名理科生不能相邻,故可用插空法求解. 解析:先将 4 名文科生全排有A4 4 种排法,再从 2 名理科生中任选 1 一名放在最后,有C2 种排法,最后将剩下的 1 名理科生插空(不能与最 1 1 1 后一名相邻)有C4 种排法,因此,一共有A4 4 C2 C4 = 192 种不同的排法.
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
专题二 排列与组合中元素的相邻与不相邻问题 求解排列与组合中元素“相邻”和“不相邻”的问题,应遵循“先整体, 后局部”的原则. (1)元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普 通”元素全排列,然后在“普通”元素之间或两端将需要不相邻的元 素插入. (2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为 一个大元素,然后与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内 部全排列.
《组合》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第1.2.2课时)
或采用排除法：
C12 * C141 + C22 * C131 = 825.
C153 - C151 = 825.
课堂练习
继续解答
④至多有两名女生含有三类：有2名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为：
⑤分两类：
C52 * C83 + C15 * C48 + C58 = 686.
A. 150种 B. 180种 C. 300种 D. 345种
本小题考查分类计算原理、分 步计数原理、组合等问题
课堂练习
1.填空 （1）6人分乘两辆小汽车出行，每辆车最多可坐4人，不同的乘车方法种数为__5_0__种(用数字作答). （2）长方体的长、宽、高分别为自然数a、b、c且0<c≤b<a≤6，这样的长方体一共有___3_5___个.
C 一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有_____.
A.120种 B.96种
C.60种
D.48种
解析：
5人中选4人则有
C
4 5
种，周五一人有
C
1 4
种，周六两人则有
C11
，周日则有
C
2 3
种，
故共有
C
4 5
×
C 41×
C3=2 60种,故选C.
课堂练习
2.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，
课前导入
问题1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而问题2只要求选出2名同学,是与顺序无 关的. 这就是我们这节课要学习的内容———组合
新知探究