高中数学人教版必修五课件 2.5 等比数列前n项和(25)
高中数学 必修5 15.等比数列前n项和
1 15.等比数列前n项和
教学目标 班级：_____ 姓名：____________
1.理解并掌握等比数列前n项和公式.
2.掌握等比数列前n项和的性质，并能应用性质解决相关问题.
教学过程
一、等比数列前n项和公式.
1.等比数列前n项和公式:________________________________
注意事项：
（1）nS的求解，分1q和1q两种情况，注意讨论.
（2）等比数列共有5个量，知三求二.
2.等比数列前n项和的性质.
（1）等比数列前n项和公式)1(1)1(1qqqaSnn可化为)1(1111qqqaqaSnn，
可知，若AAqSnn（0A），则na为等比数列.
（2）na为等比数列，则nS，nnSS2，nnSS23成等比数列（其中nS，nnSS2，nnSS23各项均不为0）.
（3）若等比数列na共有2n项，则qSS奇偶.
（4）na是公比为q的等比数列，对任意的Nnm,有pmmpmSqSS.
（5）na是公比为q的等比数列，nT为数列的前n项之积，则,...,,232nnnnnTTTTT成等比数列.
二、等比数列前n项和的应用.
例1：设)(2...222)(1374Nnnfn，则)(nf=__________.
练1：在正项等比数列na中，811a，165a，求它的前5项和.
2 例2：已知等差数列}{na的通项公式为nan，等比数列}{nb的通项公式为nnb2，求数列}{nnba的前n项和nS.
例3：在等比数列na中，公比2q，前2012项的和902012S，则__________...2012642aaaa
练3：已知等比数列na的前n项和为nS，若10mS，302mS，求mS3.
《等比数列的前n项和公式》说课稿(附教案)
《等比数列的前n项和公式》说课稿
《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。下面， 我从教材分析，情境创设、公式推导，公式应用，教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。
教材分析
等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
学情分析
就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。基于此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？ 应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。
教学目标
在知识方面：理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。
在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。
重点难点
重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。
难点：由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前ｎ项和公式。
情境创设
《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求.
我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔，发明了国际象棋。当时的国王大为赞赏，就问他想要什么。达依尔说：“请在棋盘的64个方格上，第一格放1颗麦粒，第二格放2颗麦粒，第三格放4颗麦粒，依次类推，每一格放的麦粒数都是前一格的两倍，直到第64格，请您给我足够的麦粒以实现上述要求。”选择这个故事作为问题情景首先是因为经典永远是经典,这正是基于数学教师对数学史知识的广泛认同.通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.其次,将学生的角色设计成国王的谋士，更加激发了学生的探究热忱，同时也让学生明白数学和生活息息相关，把学以致用的思想渗透到课堂中。最后,通过让学生大胆预测麦粒的重量产生悬念,在公式推导后让学生运用公式解决问题,收尾呼应.在教师的引导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起等比数列的数学模型。数列是以1为首项，2为公比的等比数列。当学生跃跃欲试要求这个数列的前64项和时，课题的引入水到渠成。
最新人教版高中数学必修五 等比数列前n项和公式的推导与应用优质教案
2.5 等比数列的前n
2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用
从容说课
师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的
等比数列前n项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得qaaaaaaaannnn1223211...
再由分式性质，得qaSaSnnn1,整理得)1(11qqqaaSnn
教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间
教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导
2.等比数列前n项和公式的应用
教学难点 等比数列前n项和公式的推导
教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等
三维目标
一、知识与技能
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；
2.探索并掌握等比数列前n项和公式；
3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想
二、过程与方法
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学； 2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动
三、情感态度与价值观
1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；
2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；
3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？
生
知道一些，踊跃发言
师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求
(完整版)数列公式汇总.doc
人教版数学必修五
第二章 数列 重难点解析
第二章 课文目录 2． 1 数列的概念与简单表示法 2． 2 等差数列
2． 3 等差数列的前 n 项和 2． 4 等比数列
2． 5 等比数列前 n 项和
【重点】 1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前 n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式
【难点】
1、根据数列的前 n 项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法
⒈ 数列的定义 ：按一定次序排列的一列数叫做 数列 .
注意 ：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么
它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现 .
⒉ 数列的项 ：数列中的每一个数都叫做这个数列的 项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第
2 项， ，第 n 项， .
⒊数列的一般形式 ：
a1 , a2 , a3 , , an , ，或简记为 an ，其中 an 是数列的第 n 项
§2.5等比数列前n项和公式教学设计
§2.5等比数列前n项和 教学设计
永吉四中数学郎苗
一、教材分析
1、教学内容：《等比数列的前n项和》是高中数学人教A版《必修5》第一章《数列》第5节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．
2、教材分析：《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．
二、学情分析
1、知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.
2、认知水平与能力：高二学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．
3、任教班级学生特点：我班学生基础知识还行、思维较活跃，应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．
三、目标分析
教学目标
依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
1.知识与技能
理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能简单的应用公式. 2．过程与方法
数列公式汇总
数列公式汇总
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人教版数学必修五
第二章 数列 重难点解析
第二章 课文目录
2．1 数列的概念与简单表示法
2．2 等差数列
2．3 等差数列的前n项和
2．4 等比数列
2．5 等比数列前n项和
【重点】
1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
【难点】
1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
⒊数列的一般形式：
,,,,,321naaaa，或简记为na，其中na是数列的第n项
⒋ 数列的通项公式：如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修5
1.等比数列{an}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )
(A)179
(B)211 (C)248 (D)275
解析:由16=81×q4,q>0得q=,
所以S5==211.
故选B.
2.在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )
(A) (B)- (C)± (D)±3
解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,
故a4>0,a8>0,
因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.
3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )
(A) (B)- (C) (D)-
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,
即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,
所以a1=.故选C.
4.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )
(A)2 (B) (C)4 (D)
解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,
所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,
即a4=4a3,
所以q==4,故选C.
5.等比数列{an}的前n项和Sn=3n-a,则实数a的值为(
B )
(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在
解析:法一 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.
又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.
因为{an}是等比数列,
所以=3,得a=1.故选B.
法二 由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.
6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )
等比数列前n项和(精讲)
1 等比数列的前n项和（第一课时）
（选自人教版高中数学第一册（上）第三章第五节）
一、教材分析
1.从在教材中的地位与作用来看
《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．
2.从学生认知角度看
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．
3. 学情分析
教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨．
4. 重点、难点
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．
教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点．
二、目标分析
知识与技能目标：
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础
上能初步应用公式解决与之有关的问题．
过程与方法目标：
通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转
化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．
情感与态度价值观：
通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之
间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点． 2 三、过程分析
学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：
高中数学第一课时-等比数列的前n项和公式
4.3.2 等比数列的前n项和公式 第一课时 等比数列的前n项和公式
课标要求 素养要求
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.
2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. 在探索等比数列的前n项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.
新知探究
在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？
如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列
问题 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？
提示 1＋3＋9＋…＋320＝1－3211－3＝12(321－1).
1.等比数列的前n项和公式
应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式
已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比
公式 Sn＝na1，q＝1a1（1－qn）1－q，q≠1 Sn＝na1，q＝1a1－anq1－q，q≠1
2.等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时，设A＝a1q－1，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
3.错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法；
(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法.
拓展深化
[微判断]
1.求等比数列的前n项和可以直接套用公式Sn＝a1（1－qn）1－q.(×)
高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列前n项和的求解练习(含解析)新
word 1 / 5 第1课时 等比数列前n项和的求解
A级 基础巩固
一、选择题
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为()
A．63 B．64 C．127 D．128
解析：设数列{an}的公比为q(q＞0)，则有a5＝a1q4＝16，
所以q＝2，数列的前7项和为S7＝a1（1－q7）1－q＝1－271－2＝127.
答案：C
2．设在等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a3的值为()
A.154B.152C.74D.72
解析：根据等比数列的公式，得S4a3＝a1（1－q4）（1－q）·a1q2＝（1－q4）（1－q）q2＝1－24（1－2）×22＝154.
答案：A
3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()
A．190 B．191 C．192 D．193
解析：设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝12，n＝7，由a11－1271－12＝381，解得a1＝192.
答案：C
4．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于()
A．－6(1－3－10) B.19(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
解析：因为3an＋1＋an＝0，a2＝－43≠0，
所以an≠0，所以an＋1an＝－13， word
2 / 5 所以数列{an}是以－13为公比的等比数列．
因为a2＝－43，所以a1＝4，
所以S10＝41－－13101－－13＝3(1－3－10)．
答案：C
5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足S2mSm＝9，a2mam＝5m＋1m－1，则数列{an}的公比为()
A．－2 B．2 C．－3 D．3