人教版九年级数学上册 第24章 24.1圆的有关性质--垂径定理练习题
垂径定理
一.选择题
★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
★★2．如图2，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的
最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cm B．6cm C．3cm D．cm41
★★4．如图3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉
在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6
个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位
★★5．如图4，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD，
则直径AB的长是（ ）
A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm
★★6．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13
米，则拱高为( )
A．5米 B．8米 C．7米 D．53米
★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )
A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm
★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么
BC边上的高为( )
A．2 B．8 C．2或8 D．3
二.填空题
★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm
★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm
★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于
★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm
★★5．如图1，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则
CD＝ 厘米
O
图 4
E
DC
B
A
★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.
★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm
★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________
★★9．如图2，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 且CD＝l，
则弦AB的长是
★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图3所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，
则中间柱CD的高度为 m
★★11．如图4，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)
和A(2，0)，则点B的坐标是
★★12．如图5，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm
★★13．如图6，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么
AD=________
★★14．如图7，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm
P
B
A
O
O
D
A
B
C
B
A
P
O
y
x
★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是
Cm
★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径
为
★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米
★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是
厘米
★★★19．如图8，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么个
隧道所在圆的半径OA是___________米
★★★20．如图9，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交
弦AC于点D。若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为 cm
三.解答题
★★1．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长
★★2．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm.
求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小
★★3．如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB
D
O
BCA
★★4．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求：
弦CD的长．
★★5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=12m，求△ACD
的周长
O
C
A
D
B
★★6．
如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D．∠AOB=120°，AD=8．求OA的长
★★★7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12．
求⊙O的半径
★★★8．如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．
★★★9．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的
水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
四.证明题
O
C
D
A B
E
O
D
A C B
C
A
B
O
A
B
O
★★1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。求证：OC=OD
★★2．如图，AB是⊙O的弦，点D是弧AB中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．
求证：AD＝DC
★★3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于CD，求证：AC=BD
★★★4．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA、
DC的延长线交于点P ．
求证：PA=PC
★★★5．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、
D，AB=CD．
求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC
O
P
B
A
C
D
B
A
D
C
O
·
推荐人教版九年级数学上册：第二十四章《圆》解析同步练习试题 利用垂径定理求长度
E/第3题475CB第6题专题利用垂径定理求长度【方法归纳】利用垂直于弦的直径得到直角，借助勾股定理勾通弦与半径之间妁关系。
一、已知直径与弦垂直%1.如图，为©O 的直径，弦CD 丄于E ，CD = 12, BE=29则0O 的直径为. 20 •2. （2013 •黄冈）如图，M 是CD 的中点，EM±CD,若CD=4, EM=8,则Sb 所在圆的半径为专3.如图，AB 是©0的弦，OD ±AB ,垂足为C ，交0◦于点D ，点JE ：在©O 上.若ZBED =30°，0O的半径为4,则弦A J B 的长是4万二、由弧的中点产生垂直.4. 如图，00的直径为20,弦AB=16,点C 是^的中点，则AO=_5. （2013 •嘉兴）如图，D 是G 的中点，OD 交AB 于C ，连结AO 并延长交©O 于点£，连结若AB =89 CD =29 JI !] EC 的长为2 713.【解析】连BE ，设OA =i ?，则OC=R-2, .\R 2=42+ 0?-2）2,.•••尺=5, .\OC=39 :.BE=20C=69 :.CE= /BOT B E^=2 V U . %三、作垂直于弦的直径6. 如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ,则折痕AB = 273 cm.7. 如图，AB 是©O 的直径，P 为AB 上一点，过P 作弦MN ，ZNPB =45% MP =3, NP =5,则2717 •【解析】作 QE 丄MN 于 E,连ON ，:.PE=OE=l 9 NE=4, ••• ON 〒，/.AB=2/l7.8. 如图，半径为2W 的00内两条互相垂直的弦AB 、CD 交于点P ，AB =8, CD =6,则OP = TIs • 9. 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距M第7题第8题第9题离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB= 673 cm.。
九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.4(第1课时圆周角定理及推论)同步练习(新版)新人教版
九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.4（第1课时圆周角定理及推论）同步练习（新版）新人教版一、选择题1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．A．140° B．110° C．120° D．130°(1) (2) (3)2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（）．A．3 B．．5-12．5二、填空题1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是________．2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•B(4) (5)3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．三、综合提高题1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．2．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．参考答案一、1．D 2．B 3．D二、1．120°或60° 2．90° 3．3三、1．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，又AB AC ，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形． （2）解：连结OC ，过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ， 在Rt △ODC 中，DC=2，∠OCD=30°， 设OD=x ，则OC=2x ，∴4x 2-x 2=4，∴OC=433．（1）略 （2）4，（，2）A。
2022九年级数学上册 第24章 圆 24.1圆的有关性 2垂直于弦的直径习题课件 (新版)新人教版
3.如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下选项中不一定成立的是D (A.CE) ＝DE B. ＝ C.∠BAC＝∠BAD D.OE＝BE
4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴 交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为 ，那么点P的坐标为 ________. (3，2)
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.2.2822.2.28Monday, February 28, 2022 10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:42:4309:42:4309:422/28/2022 9:42:43 AM 11、人总是珍惜为得到。22.2.2809:42: 4309:4 2Feb-2 228-Fe b-22 12、人乱于心，不宽余请。09:42:4309:42:4309:42M onday, February 28, 2022 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.2.2822.2.2809:42:4309:42:43Februar y 28, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年2月28日 星期一 上午9时42分43秒09:42:4322.2.28 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年2月 上午9时42分22.2.2809:42Februar y 28, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年2月28日 星期一 9时42分43秒09:42:4328 February 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时42分43秒 上午9时42分09:42:4322.2.28
.7米
D.8米
7.在直径为200 cm的圆柱形油箱内装入一些油后，截面如下图(油面在圆心 下).假设油面的宽AB＝160 cm，那么油的最大深度为40________cm.
人教版初中数学 第24章 垂径定理专题训练题
垂径定理专题训练题姓名___________班级__________学号__________分数___________ 一、选择题1．（2011江苏南通）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A．8；B．4；C．10；D．5；（第1题图）（第2题图）2．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为( )A．5；B．4；C．3；D．2 ；3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦为8cm，那么OM的长为()A．3cm；B．6cm；C；D．9cm；4．（2011浙江绍兴）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是( ) A．16 B．10 C．8 D．6C（第4题图）（第5题图）5．（2011山东临沂）如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM︰OD＝3︰5.则AB的长是( )A．2cm；B．3cm；C．4cm；D．；6．（2011黑龙江牡丹江）已知⊙O的直径AB＝40，弦CD⊥AB于点E，且CD＝32，则AE的长为( )A．12；B．8；C．12或28；D．8或32；7．（2011黑龙江大庆）如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积．若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（）A．10 m2；B．10πm2；C．100 m2；D．100πm2；（第7题图）（第8题图）8．（2011贵州毕节地区）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )A．2cm；B；C．；D．；9．（2011广西南宁）一条公路弯道处是一段圆弧AB⌒，点O是这条弧所在圆的圆心，点C是AB⌒的中点，OC与AB相交于点D，已知AB＝120m，CD＝20m，那么这段弯道的半径为()A．200m；B．2003m；C．100m；D．1003m；（第9题图）（第10题图）10．（2011广西防城港）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图(网格中的每个小正方形边长为1)的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是( )A．2；BC．D．3；二、填空题11．若⊙O的半径为5cm，圆心到弦的距离为3 cm，则弦长为___________ cm．12．（2011唐山九年级一模）如图，⊙O的半径OA＝5cm，弦AB＝8cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是____________cm．OABCD13．如图，⊙O 的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长为________________cm ；（第13题图） （第16题图）14．在半径为5 cm 的圆中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过点P 的最长弦为________________ cm ，最短弦为______________ cm ．15．过圆上一点引两条互相垂直的弦，如果圆心到两条弦的距离分别是2和3， 那么这两条弦长分别是_______.16．（唐山路北2010－2011九上期中）如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)点A 的坐标为(2，0)则点B 的坐标为____________． 17．（2011江苏镇江）如图，DE 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为C ，若AB ＝6，CE ＝1，则OC ＝____________，CD ＝____________．（第17题图） （第18题图）18．（2011安徽）如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，CE ＝1，DE ＝3，则⊙O 的半径是 ．19．（2012浙江台州）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD ＝16厘米，则球的半径为____________厘米．（第19题图） （第20题图）20．（2012浙江衢州）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为________mm ． 三、解答题21．（2011广东佛山）如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，求△AOB 的面积；22．（2009年广西钦州）已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A (1，0)、B (5，0)两点，点O 1的纵坐标为．求⊙O 1的半径．※23．如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米， 当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN ＝4米时是否要采取紧急措施?ABCD EOAOB。
九年级数学圆的有关性质垂径定理练习题全国通用
《垂径定理》导学案学习目标：1。
能对照图形说出垂径定理的相关结论，2．会运用垂径定理解决有关计算题、证明题等题型，3．在学习的过程中，培养学生解决问题的能力。
学习过程：预习检测：1。
圆的对称性是、、。
2．如图，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着CD对折，你能得到哪些结论？尝试列举。
新知探究：垂径定理的实质如图，（1）⊙O中，CD是直径，若C D⊥AB，则有，；（2）⊙O中，CD是直径，AE=BE，则有，；（3）若有C D⊥AB，AE=BE，则有，；（4）若有AE=BE，AD=BD，则有，；尝试应用一：如图，⊙O中，直径AB的长是12厘米，E是OB的中点，求CD的长。
一变：⊙O中，AB是直径，弦C D⊥AB，垂足为点E，如果CD=8，E是OB的中点，求AB的长。
二变：⊙O中，弦MN的长是8厘米，弧MN的中点C到MN的距离为2厘米，求⊙O的半径三变：⊙O的半径为10厘米，圆内两条平行弦AB、CD的长为12厘米，16厘米，求两弦之间的距离。
四变：如图，⊙O中，弦AB的长为83厘米，∠AOB的度数是1200，求⊙O的直径。
练一练：1。
半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长是多少？2．在直径为650毫米的圆柱形油槽内装一些油后，截面如图，若油面宽AB=600毫米，求油的最大深度。
3．在△ABC中，∠C=900，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。
尝试应用二：如图，⊙O中，AB是直径，CD是弦，过点C作C E⊥CD交AB 于点E，过点D作DF⊥CD交AB于点F，求证：AE=BF一变：如图，⊙O中，AB是直径，直线CD交⊙O于E、F，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，试说明：CE=DF二变：如图，弦CD交直径AB于点G，过点C作CE⊥CD于点C，过点D作DF⊥CD于点D，分别交直径的延长线于E、F，试说明：AE=BF。
练习：已知，AB、AC为⊙O的两条弦，E、F分别为弧AB和弧AC的中点，连接EF交AB于M，交AC 于N，求证：∠AMN=∠ANM。
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径同步检测含解析
24.1.2 垂直于弦的直径测试时间:30分钟一、选择题1.一圆形玻璃被打碎后,其中四块碎片如图所示,若选择其中一块碎片带到商店,配制与原来大小一样的圆形玻璃,选择的是( )A.①B.②C.③D.④2.(2017贵州黔西南州中考)如图,在☉O中,半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8,OC=5,则CD 的长是( )A.3B.2.5C.2D.13.在某岛A的正东方向有台风,且台风中心B距离该岛40 km,台风中心正以30 km/h的速度向西北方向移动,距离台风中心50 km以内(包括边界)都受影响,则该岛受到台风影响的时间为( )A.不受影响B.1 hC.2 hD.3 h二、填空题4.(2017湖南长沙中考)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为.5.(2017四川雅安中考)☉O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,则OP的取值范围是.三、解答题6.如图,AB为☉O的弦,☉O的半径为5,OC⊥AB于点D,交☉O于点C,且CD=1.(1)求线段OD的长;(2)求弦AB的长.7.(2018福建龙岩新罗期末)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”此问题的实质就是解决下面的问题:“如果CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,那么直径CD的长为多少寸?”请你求出CD的长.24.1.2 垂直于弦的直径一、选择题1.答案 B 第②块有一段完整的弧,可在这段弧上任作两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,它们的交点即为圆心,进而可得半径.故选B.2.答案 C 连接OA,设CD=x,∵OA=OC=5,∴OD=5-x,∵OC⊥AB,AB=8,∴由垂径定理可知AD=AB=4,由勾股定理可知52=42+(5-x)2,∴x=2(x=8舍去),∴CD=2.故选C.3.答案 C 如图,假设D、E为刚好受影响的点,过A作AC⊥BE于点C,连接AE、AD,可得出AE=AD=50 km,∵∠ABE=45°,∠ACB=90°,AB=40km,∴AC=BC=40 km,在Rt△ADC中,AD=50km,AC=40 km,∴根据勾股定理得DC==30 km,∴ED=2DC=60 km,又台风速度为30km/h,∴该岛受到台风影响的时间为60÷30=2(h).故选C.二、填空题4.答案 5解析连接OC,∵AB为☉O的直径,AB⊥CD,∴CE=DE=CD=×6=3,设☉O的半径为x,则OC=x,OE=OB-BE=x-1.在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,∴x2=(x-1)2+32,解得x=5,∴☉O的半径为5.5.答案4≤OP≤5解析如图:连接OA,过O作OM⊥AB于M,∵☉O的直径为10,∴半径为5,∴OP的最大值为5.∵OM⊥AB,∴AM=BM,∵AB=6,∴AM=3.在Rt△AOM中,OM==4,OM的长即为OP的最小值,∴4≤OP≤5.三、解答题6.解析(1)∵☉O的半径是5,∴OC=5,∵CD=1,∴OD=OC-CD=5-1=4.(2)如图,连接AO,∵OC⊥AB,∴AB=2AD,在Rt△OAD中,根据勾股定理得AD===3,∴AB=6,因此弦AB的长是6.7.解析设直径CD的长为2x寸,则半径OC=x寸, ∵CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,AB=10寸,∴A E=BE=AB=×10=5(寸),连接OB,则OB=x寸,根据勾股定理得x2=52+(x-1)2, 解得x=13,∴CD=2x=2×13=26(寸).答:CD的长为26寸.。
九年级数学上册 第二十四章《圆》24.1 圆的有关性质 2
24.1.4圆周角知识要点基础练知识点1圆周角定理1.下列图形中的角是圆周角的是(B)2.如图,AB是☉O的直径,∠AOC=110°,则∠D=(B)A.25°B.35°C.55°D.70°知识点2圆周角定理的推论3.如图,小华同学设计了一个圆直径的测量器.有两把标有刻度的尺子OA,OB,把O点钉在一起,并使它们保持垂直.在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8,OF=6,则圆的直径为(B)A.12B.10C.4D.154.如图,☉A经过原点O,并与两坐标轴分别相交于B,C两点,已知∠ODC=45°,点B的坐标为(0,k).(1)求点C的坐标;(2)若☉A的面积为8π,求k的值.解:(1)连接BC,则∠OBC=∠D=45°.∵∠BOC=90°,∴∠OCB=45°.∴OC=OB=k,即点C坐标为(k,0).(2)∵BC为☉直径,BC=k,S☉A=πr2=8π,∴π=8π.∴k=4.知识点3圆内接四边形的性质5.(兰州中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为(C)A.45°B.50°C.60°D.75°6.如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AE.若∠D=80°,则∠BAE=20°.综合能力提升练7.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC=6,BD为☉O的直径,则BD等于(D)A.4B.6C.8D.128.(自贡中考)如图,☉O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是(C)A.15°B.25°C.30°D.75°9.(云南中考)如图,B,C是☉A上的两点,AB的垂直平分线与☉A交于E,F两点,与线段AC交于D点.若∠BFC=20°,则∠DBC=(A)A.30°B.29°C.28°D.20°10.已知半径为5的☉O中,弦AB=5,弦AC=5,则∠BOC的度数是(C)A.15°B.210°C.30°或150°D.60°或90°11.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AC=24,AB=14,D是AC上一个动点,以AD为直径的☉O交BD 于点E,则线段CE的最小值是(C)A.15B.16C.17D.1812.如图,△ABC内接于☉O,∠A所对弧的度数为120°,∠ABC,∠ACB的角平分线分别交于AC,AB于点D,E,CE,BD相交于点F.以下四个结论:①∠BFE=60°;②BC=BD;③EF=FD;④BF=2DF.其中结论一定正确的序号数是(C)A.①④B.①②③C.①③D.②③13.AB是☉O的直径,点D在☉O上,∠AOD=120°,BC∥OD交☉O于点C,则∠A=30度.14.(株洲中考)如图,已知AM为☉O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB 和AC分别交☉O于点D,E,∠BMD=40°,则∠EOM=80°.【变式拓展】如图,已知AB是☉O的直径,BC为弦,过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D,连接DC,若∠DCB=32°,则∠BAC= 64°.15.如图,在△ABC中,AB=AC=5,以AB为直径的☉O与BC交于点D,与AC交于点E,连接OD交BE于点M,且MD=1,则BE长为4.16.如图,AB是☉O的直径,点C,D为圆上两点,且弧CB=弧CD,CF⊥AB于点F,CE⊥AD的延长线于点E.(1)试说明:DE=BF;(2)若∠DAB=60°,AB=6,求△ACD的面积.解:(1)∵弧CB=弧CD,∴CB=CD,∠CAE=∠CAB.又∵CF⊥AB,CE⊥AD,∴CE=CF.∴Rt△CED≌Rt△CFB(HL).∴DE=BF.(2)∵CE=CF,∠CAE=∠CAB,∴△CAE≌△CAF.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠DAB=60°,∴∠CAB=30°,AB=6.∴BC=3.∵CF⊥AB于点F,∴∠FCB=30°.∴CF=,BF=.∴S△ACD=S△ACE-S△CDE=S△ACF-S△CFB=·(AF-BF)·CF=(AB-2BF)·CF=.17.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB=AD,E为上一点(不与点A,D重合).(1)若∠C=110°,求∠E的度数;(2)若∠E=∠C,求证:△ABD为等边三角形.解:(1)∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠BAD+∠C=180°.∵∠C=110°,∴∠BAD=70°.∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=55°.∵四边形ABDE内接于☉O,∴∠ABD+∠E=180°.∴∠E=125°.(2)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠BAD+∠C=180°.∵四边形ABDE是☉O的内接四边形,∴∠ABD+∠E=180°.又∵∠E=∠C.∴∠BAD=∠ABD.∴AD=BD.又AB=AD,∴△ABD为等边三角形.拓展探究突破练18.如图,在锐角△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于点D,以AD为直径的☉O分别交AB,AC于点E,点F,连接DE,DF.(1)求证:∠EAF+∠EDF=180°;(2)已知P是射线DC上一个动点,当点P运动到PD=BD时,连接AP,交☉O于点G,连接DG.设∠EDG=∠α,∠APB=∠β,那么∠α与∠β有何数量关系?试证明你的结论.解:(1)在圆内接四边形AEDF中,AD为直径,∴∠AED=∠AFD=90°.又∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF=360°,∴∠EAF+∠EDF=360°-(∠AED+∠AFD)=180°.(2)∠α=2∠β,理由如下:如图,在△ABD与△APD中,AD⊥BP,且BD=DP,AD=AD,∴△ABD≌△APD(SAS).∴∠B=∠APD=∠β,在△ABP中∠EAG+∠B+∠APD=180°,则∠EAG+2∠β=180°.由(1)知∠EAG+∠EDG=180°,则∠EAG+∠α=180°,即∠α=2∠β.。
人教版 九年级数学 上册24.1 圆的有关性质 针对训练 (含答案)
人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 针对训练一、选择题1. M ，N 是⊙O 上的两点，已知OM ＝3 cm ，那么一定有( )A ．MN ＞6 cmB ．MN ＝6 cmC ．0 cm<MN ＜6 cmD ．0 cm<MN≤6 cm2. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC ＝105°，∠BA C ＝25°，则∠E 的度数为( )A . 45°B . 50°C . 55°D . 60°3. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵ C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝59°，则∠C 等于( )A ．29°B ．31°C ．59°D ．62°5. 如图，在⊙O 中，已知∠OAB ＝22.5°，则∠C 的度数为( )A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°6. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1等于()A．36°B．54°C．72°D．73°7. 如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点(不与点O，A重合)，过点B作OA 的垂线交⊙O于点C.以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD.若BD＝10，BC＝8，则AB的长为()A．8 B．6 C．4 D．28. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C.若AB＝4，BC＝1，则下列整数与圆环面积最接近的是()A．10 B．13 C．16 D．199.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为( )A ．6B ．8C ．5 2D ．5 310. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数为( )A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°二、填空题11. 2019·随州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．12. 如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝________°.13. 如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝________°.14. 如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________°.15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以点C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为________．三、解答题16. 如图，已知⊙O 上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD ︵＝BC ︵，连接AB ，AD ，BD ，延长AB 到点E ，使BE ＝AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF.求证：BF ＝12BD.17. 如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC ＝120°，弦AC ＝2 3，弦BM 平分∠ABC 交AC 于点D ，连接MA ，MC.(1)求⊙O 的半径；(2)求证：AB ＋BC ＝BM.18. 如图为一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．19. 如图，△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.20. 如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交BC于点F(∠AFC≠90°)，交△ABC的外接圆于点D.(1)求点F与△ABC的内切圆⊙E的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 针对训练 -答案一、选择题1. 【答案】D [解析] ∵OM ＝3 cm ，∴⊙O 的半径为3 cm ，∴⊙O 的直径为6 cm ， 即⊙O 中最长的弦的长度为6 cm ，∴MN 最长为6 cm ，∴0 cm ＜MN≤6 cm.2. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠ABC ＝105°，∴∠ADC ＝75°，∵＝，∴∠BAC ＝∠DCF ＝25°，∴∠E ＝∠ADC －∠DCF ＝50°.3. 【答案】B [解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的．故选B.4. 【答案】B5. 【答案】D [解析] ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝22.5°，∴∠AOB ＝180°－22.5°－22.5°＝135°，∴∠C ＝180°－12×135°＝112.5°.6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】C[解析] 如图，连接OA，OC，过点O作OD⊥AB，垂足为D，则AD＝BD＝2，＝πOC2－πOA2＝π(OD2＋DC2－OD2－AD2)＝π(32－22)∴DC＝2＋1＝3.S圆环＝5π≈15.7.9. 【答案】B[解析] 如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.又∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝AE2－BE2＝8.10. 【答案】A[解析] ∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°.∵CD＝CB，∴∠BDC＝∠B＝50°，∴∠BCD＝180°－2×50°＝80°，∴∠ACD＝90°－80°＝10°.二、填空题11. 【答案】40°12. 【答案】40[解析] ∵∠BCD＝180°－∠A＝125°，∠CBF＝∠A＋∠E＝85°，∴∠F＝∠BCD－∠CBF＝125°－85°＝40°.13. 【答案】215[解析] 连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°，∠DEC＝∠CAD＝35°，∴∠B＋∠AED＝(∠B＋∠AEC)＋∠DEC＝180°＋35°＝215°.14. 【答案】15[解析] ∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°.又∵OC＝OB，∴△COB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°.∵OA＝AB，OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OBA＝60°，∴∠ABC＝∠OBA－∠OBC＝15°.15. 【答案】3或73[解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，∴BC2＋PB2＝PC2，∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.又∵PB＝AC＝4，∴四边形ACBP为平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴▱ACBP为矩形，∴PA＝BC＝3.在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，∴P′A＝82＋32＝73.综上所述，PA 的长为3或73.三、解答题16. 【答案】证明：连接AC.∵AB ＝BE ，F 是EC 的中点，∴BF 是△EAC 的中位线，∴BF ＝12AC.∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AB ︵＝BC ︵＋AB ︵，即BD ︵＝AC ︵，∴BD ＝AC ，∴BF ＝12BD.17. 【答案】解：(1)连接OA ，OC ，过点O 作OH ⊥AC 于点H ，如图①.∵∠ABC ＝120°，∴∠AMC ＝180°－∠ABC ＝60°，∴∠AOC ＝2∠AMC ＝120°.∵OH ⊥AC ，∴AH ＝CH ＝12AC ＝3，∠AOH ＝12∠AOC ＝60°，∴∠OAH ＝30°，∴OH ＝12OA.在Rt △AOH 中，由勾股定理，得OH2＋AH2＝OA2，即(12OA)2＋(3)2＝OA2，解得OA ＝2(负值已舍去)，故⊙O 的半径为2.(2)证明：在BM 上截取BE ＝BC ，连接CE ，如图②.∵∠ABC ＝120°，BM 平分∠ABC ，∴∠MBC ＝∠ABM ＝12∠ABC ＝60°.又∵BE ＝BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴EC ＝BC ＝BE ，∠BCE ＝60°，∴∠BCD ＋∠DCE ＝60°.∵∠ACM ＝∠ABM ＝60°，∴∠ECM ＋∠DCE ＝60°，∴∠ECM ＝∠BCD.∵∠MAC ＝∠MBC ＝60°，∠AMC ＝60°，∴∠MAC ＝∠AMC ＝∠ACM ，∴△ACM 是等边三角形，∴AC ＝MC.在△ACB 和△MCE 中，⎩⎨⎧AC ＝MC ，∠BCA ＝∠ECM ，BC ＝EC ，∴△ACB ≌△MCE ，∴AB ＝ME.∵ME ＋BE ＝BM ，∴AB ＋BC ＝BM.18. 【答案】解：(1)如图①，设点E 是桥拱所在圆的圆心，连接AE ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交AB ︵于点D.根据垂径定理知F 是AB 的中点，D 是AB ︵的中点，DF 的长是桥拱到水面的最大高度，∴AF＝FB＝12AB＝40米，EF＝DE－DF＝AE－DF.由勾股定理，知AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2. 设桥拱的半径为r米，则r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.答：桥拱的半径为50米．(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．理由如下：如图②，由题意，知DE⊥MN，PM＝12MN＝30米，EF＝50－20＝30(米)．在Rt△PEM中，PE＝EM2－PM2＝40米，∴PF＝PE－EF＝40－30＝10(米)．∵10米＞9米，∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．19. 【答案】证明：如图，取AB的中点O，连接OC，OD.∵△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠ACB＝∠ADB＝90°，∴OC，OD分别为Rt△ABC和Rt△ABD斜边上的中线，∴OC＝OA＝OB，OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四点在同一个圆上．20. 【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC 于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD2＋CD2＝BC2，∴BD＝CD＝3 2.(4)B，C，E三点可以确定一个圆．如图②，连接CD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又由(2)可知ED＝BD，∴BD＝CD＝ED，∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．。
九年级数学上册 圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径同步检测含解析
24.1.2 垂直于弦的直径测试时间:30分钟一、选择题1.一圆形玻璃被打碎后,其中四块碎片如图所示,若选择其中一块碎片带到商店,配制与原来大小一样的圆形玻璃,选择的是( )A.①B.②C.③D.④2.(2017贵州黔西南州中考)如图,在☉O中,半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8,OC=5,则CD 的长是( )A.3B.2.5C.2D.13.在某岛A的正东方向有台风,且台风中心B距离该岛40 km,台风中心正以30 km/h的速度向西北方向移动,距离台风中心50 km以内(包括边界)都受影响,则该岛受到台风影响的时间为( )A.不受影响B.1 hC.2 hD.3 h二、填空题4.(2017湖南长沙中考)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为.5.(2017四川雅安中考)☉O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,则OP的取值范围是.三、解答题6.如图,AB为☉O的弦,☉O的半径为5,OC⊥AB于点D,交☉O于点C,且CD=1.(1)求线段OD的长;(2)求弦AB的长.7.(2018福建龙岩新罗期末)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”此问题的实质就是解决下面的问题:“如果CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,那么直径CD的长为多少寸?”请你求出CD的长.24.1.2 垂直于弦的直径一、选择题1.答案 B 第②块有一段完整的弧,可在这段弧上任作两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,它们的交点即为圆心,进而可得半径.故选B.2.答案 C 连接OA,设CD=x,∵OA=OC=5,∴OD=5-x,∵OC⊥AB,AB=8,∴由垂径定理可知AD=AB=4,由勾股定理可知52=42+(5-x)2,∴x=2(x=8舍去),∴CD=2.故选C.3.答案 C 如图,假设D、E为刚好受影响的点,过A作AC⊥BE于点C,连接AE、AD,可得出AE=AD=50 km,∵∠ABE=45°,∠ACB=90°,AB=40km,∴AC=BC=40 km,在Rt△ADC中,AD=50km,AC=40 km,∴根据勾股定理得DC==30 km,∴ED=2DC=60 km,又台风速度为30km/h,∴该岛受到台风影响的时间为60÷30=2(h).故选C.二、填空题4.答案 5解析连接OC,∵AB为☉O的直径,AB⊥CD,∴CE=DE=CD=×6=3,设☉O的半径为x,则OC=x,OE=OB-BE=x-1.在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,∴x2=(x-1)2+32,解得x=5,∴☉O的半径为5.5.答案4≤OP≤5解析如图:连接OA,过O作OM⊥AB于M,∵☉O的直径为10,∴半径为5,∴OP的最大值为5.∵OM⊥AB,∴AM=BM,∵AB=6,∴AM=3.在Rt△AOM中,OM==4,OM的长即为OP的最小值,∴4≤OP≤5.三、解答题6.解析(1)∵☉O的半径是5,∴OC=5,∵CD=1,∴OD=OC-CD=5-1=4.(2)如图,连接AO,∵OC⊥AB,∴AB=2AD,在Rt△OAD中,根据勾股定理得AD===3,∴AB=6,因此弦AB的长是6.7.解析设直径CD的长为2x寸,则半径OC=x寸, ∵CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于E,AB=10寸,∴AE=BE=AB=×10=5(寸),连接OB,则OB=x寸,根据勾股定理得x2=52+(x-1)2, 解得x=13,∴CD=2x=2×13=26(寸).答:CD的长为26寸.。
人教版九年级数学上册第24章圆垂径定理习题课件(共15张ppt)
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(1)过圆心
(3)平分弦
(2)垂直于弦 (4)平分弦所对的一条弧
(5)平分弦所对的另一条弧
A
不是直径
C
CD是直径 CD AB
AE BE
A
( AB不是直径)
C
O EB D
O B
D
一、判断是非：
（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条
弦所对的弧。
（）
（2）平分弦的直线，必定过圆心。（）
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么 这 条直线垂直这条弦。 （）
A
C
C
C
O
D
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（）
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。（）
（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （）
•O
A
C
B(4)B源自•ODCA
(5)
C
•O
E
A
B
D (6)
1.用一用
如图,一 根 3m 长 的 绳 子 , 一端栓在柱子 上,另一端栓
5
着一只羊,请 画出羊的活动 区域.
5m 4m o
5m 4m o
正确答案
2.挑战自我画一画
•2.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
M
G
D
BE
N
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